aplicações da integral simples

Chapter 1

Aplicaes da Integral Simples

1.1 rea de regies planares

Seja R a regio limitada pelo grfico da funo y = f(x), as retas x = a, x = b e o

eixo x, sendo f(x) 0 para todo [a, b]. A rea da regio R dado pela frmula:

A =

ba

f(x)dx.

x

y

O

R

ba

y = f(x)

x

y

O b = xna x1 x2 xi xi+1

y = f(x)

DEMONSTRAO

Tomemos nmeros x0, x1, x2, , xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < < xn = b e,x1, x

2, , xn tais que xi [xi1, xi]. Ento

A = (x1 x0) x1

f(x1) + (x2 x0) x2

f(x2) + + (xn xn1) xn

f(xn) =ni=1

xif(xi )

2

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares

A = limmaxxi0

ni=1

xif(xi ) =

ba

f(x) dx

Resumindo:

Seja R a regio delimitada pela curva y = f(x), f contnua em [a, b], pelas retasverticais x = a e x = b, e eixo x, ento a rea A de R dado por

A =

ba

|f(x)|dx.

Em particular se R a regio delimitada pela curva y = f(x), pelas retas verticaisx = a e x = b, e eixo x, tais que f contnua em [a, b], f(x) 0 para a < x < c ef(x) 0 para c < x < b ento a rea A de R dado por

A =

ba

|f(x)|dx = ca

f(x)dx+

bc

f(x)dx.

Seja R a regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], pelas retashorizontais y = c e y = d, e eixo y, ento a rea A de R dado por

A =

dc

|g(y)|dy.

Seja R a regio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) interceptando nospontos com abscissas x = a e x = b, ento a rea A de R dado por

A =

ba

|f1(x) f2(x)| dx.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 3

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Seja R a regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) interceptando nospontos com ordenadas y = c e y = d, ento a rea A de R dado por

A =

dc

|g1(y) g2(y)|dy.

Exemplo 1.1. Calcular a rea da figura do plano limitada pela curva y = tg x e o

eixo x e tal que /3 x /4.

Soluo

A =

pi/4pi/3

|tg(x)|dx = 0pi/3

tg(x)dx +

pi/40

tg(x)dx

A = [ ln( cos x)]0pi/3 + [ ln( cos x)]pi/40A =

3

2ln(2).

x

y

/3/4

Exemplo 1.2. Calcular a rea da figura do plano limitada pela curva y = log2(x) e o

eixo x e tal que 1/2 x 4.

Soluo

A =

41/2

| log2(x)|dx = 11/2

log2(x)dx +

41

log2(x)dx

Usando integrao por partes

A =15 ln(2) 5

2 ln(2).

x

y

1/2

1 4


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planaresExemplo 1.3. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas

f(x) = 2x2 + 10 e g(x) = 4x+ 16 de modo que 2 x 5.

Soluo

Para determinar os limites de integrao

fazemos a interseo das curvas:

y = 2x2 + 10 e y = 4x+ 16

2x2 + 10 = 4x+ 16 x = 1, 3.x

y

2 1 3 5

A =

12

[(2x2+10)(4x16)]dx+ 31

[(4x+16)(2x2+10)]dx+ 53

[(2x2+10)(4x+16)]dx

A =142

3.

1.1 Observao. Se f e g so funes contnuas em R, para calcular a rea da regio entre

as curvas y = f(x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseo entre

as curvas e o sinal de f(x) g(x). No h necessidade de mais detalhes sobre o grficode f ou de g.

Exemplo 1.4. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas

y1 = x5 x3 + 2x2 x+ 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 x+ 3.

Soluo

Intersees: y1 = y2 x5 x4 2x3 = 0 x3(x2 x 2) = 0 x3(x+ 1)(x 2) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 2.Sinal de y1 y2 = x3(x+ 1)(x 2) :

1 0 2 +++ +++


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planaresLogo,

A =

01

(y1y2)dx 20

(y1y2)dx = 01

(x5x42x3)dx 20

(x5x42x3)dx = 11630

.

Exemplo 1.5. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas y2+y1x = 0e y x = 0.

SoluoNeste exemplo convm tomar y como varivel

independente e as funes

x = f(y) = y2 + y 1 e x = g(y) = yAs intersees da parbola e da reta

x = y2 + y 1 e x = yso os pontos (1,1) e (1, 1).A =

11|y (y2 + y 1)|dy =

11

(y2 + 1)dy

A =4

3.

x

y

1

1


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.2: Exerccios1.2 Exerccios

[1] Determine a rea da regio do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:

(1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y y2, y = 1, y = 3 e x = 0

(1.3) xy = 4 e x+ y = 5 (1.4) y = 2x, y = 2x x2, x = 0 e x = 2

(1.5) y = 2x, y = 1 e y =2

x(1.6) y = |x2 4| e y = 2

(1.7) y = x3 3x e y = 2x2 (1.8) y = 9x, y = 9x e y = x

(1.9) f(x) = x|x| e g(x) = x3 (1.10) x = y2 2 e x = 6 y2


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos1.3 Volume de slidos

Introduo

Volume de um cilindro reto

Admitiremos inicialmente a definio de volume para cilindros retos:

Tomemos um plano e uma regio R deste plano,

com rea A limitada por uma curva fechada C.

Consideremos uma reta r perpendicular ao plano

e tomemos a superfcie cilndrica tal que C seja

sua diretriz e r uma geratriz (isto , obtida pela

reunio de todas as retas paralelas a r passando

por algum ponto de C).Consideremos um plano, , paralelo a . A regio do espao limitada pela superfcie

cilndrica e pelos dois planos um cilindro de base R e altura h, sendo h a distncia entre

os dois planos. O volume do cilindro , V = A.h.Dado um slido, tomemos um

eixo orientado OX e, para todo

nmero real x, o plano perpen-

dicular a OX em x (isto pas-

sando pelo ponto de abscissa x

do eixo). Suponhamos que:

Para todo x R, o planoem x intercepta o slido

se, e somente, se x [a, b].

Se x [a, b] a interseco uma regio desse plano

com rea que indicaremos

por A(x).


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosSe a funo A(x), definida em [a, b], contnua ento o volume do slido :

V =

ba

A(x) dx

Deduo da frmula:

Tomemos nmeros x0, x1, x2, ..., xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b enmeros a1, a2, ..., an tais que ai [xi1, xi].O cilindro cuja base a interseco do plano perpendicular ao eixo OX em ai com o

slido e cuja altura (xi xi1) tem volume igual a A(ai)(xi xi1) e ento

V = (x1 x0) x1

A(a1) + (x2 x1) x2

A(a2) + + (xn xn1) xn

A(an) =ni=1

xiA(ai)

V = limmaxxi0

ni=1

xiA(ai) =

ba

A(x) dx

Chamaremos as interseces do slido com os planos perpendiculares ao eixo de

sees planas do slido transversais ao eixo OX ou de sees planas.

Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirmide cuja base um quadrado de lado 2

e cuja altura 3.

Soluo

Tomemos o eixo OY perpendicular ao

plano da base da pirmide, ortogonal a

um dos lados da base e sua origem e

orientao como indicados na figura ao

lado.

Para todo y [0, 3] a seo plana transversal a OY um quadrado cujo lado varia com ye que indicaremos por L. Ento a seo plana tem rea A = L2 e o volume da pirmide

dado por V = 30

L2 dy.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos

Para relacionarmos L e y, tomemos:

Um plano perpendicular ao planoda base, paralelo a um dos lados

dessa base e contendo o eixo.

A projeo da pirmide nesteplano (veja figura ao lado).

Usando semelhana de tringulos temos

3 yL

=3

2 L = 6 2y

3

Logo,

V =

30

(6 2y3

)2dy =

1

9

30

(3624y+4y2) dy = 4

Vemos aqui uma confirmao da proposio apresentada no Ensino Mdio:

O volume da pirmide de base A e altura h V =Ah

3.

Exemplo 1.7. Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2.

Soluo

Podemos escolher um eixo OY qualquer.

Como indicado na figura ao lado, escolhemos

um eixo tal que o plano perpendicular a ele

na origem passa pelo centro da esfera.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosPara todo y [2, 2] a seo plana transver-sal a OY um crculo cujo raio varia com y e

que indicaremos por r. Ento a seo plana

tem rea A = r2 e o volume da esfera

dado por

V =

22r2 dy

Ou usando a simetria da esfera

V = 2

20

r2 dy

Para relacionarmos r e y, tomemos a inter-

seco da esfera com um plano que contenha

o eixo e passe pelo seu centro.

Pelo Teorema de Pitgoras (veja figura ao

lado),

r2 + y2 = 22 r =

4 y2

Logo,

V = 2

20

(4 y2

)2dy = 2

20

(4y2) dy = 323

.

Vemos aqui uma confirmao de outra proposio apresentada no Ensino Mdio:

O volume da esfera de raio R : V =4R3

3.

Exemplo 1.8. Represente graficamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano

z = 1 e a superfcie de equao z = x2 + y2.

Soluo

Representao grfica:

Dado um plano de equao z = c, c constante, (isto perpendicular a OZ), para obtermos

sua interseco com a superfcie, substitumos z = c na equao z = x2 + y2, obtendo,


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosLogo, a interseco

Se c > 0, um crculo no plano z = c deequao x2+y2 = c. Portanto com raioc.

Se c = 0, o ponto (0, 0)

Se c < 0, vazia

Logo trata-se de uma superfcie de revoluo

em torno de OZ.

Para considerar a interseco da superfcie

com o plano Y OZ, substitumos x = 0 na

equao z = x2 + y2 obtendo a equao da

parbola z = y2. Portanto a superfcie ger-

ada pela rotao desta parbola em torno de

OZ ( um parabolide de revoluo).

Na figura ao lado temos um esboo do slido

limitado pela superfcie e pelo plano z = 1.

Clculo do volume:

Para todo z [0, 1] a seo plana transversala OZ um circulo cujo raio

z. Ento a

seo plana tem rea A = (z)2 = z e o

volume do slido dado por

V =

10

z dz =

2

[z2]10=

2.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.9. Represente graficamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano

z = 1 e a superfcie de equao z =x2

4+y2

9()

Soluo

Representao grfica:

Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com

a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao (*), resultandox2

4+y2

9= c

Logo, a interseco :

Vazia , se c < 0.

(0, 0) , se c = 0.

Uma elipse no plano z = c, de equao x2

(2c)2

+y2

(3c)2

= 1 e portanto com

semi-eixos 2c e 3

c se c > 0.

Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ e com o plano XOZ,

substitumos x = 0 e y = 0 na equao () obtendo as parbolas z = y2

9e z =

x2

4.

Trata-se de um parabolide elptico. Ou seja, a representao grfica semelhante

do parabolide de revoluo - basta substituir os crculos por elipses.

Clculo do volume:

Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2ze 3z. Ento essa seo plana tem rea A = (2

z)(3

z) = 6z e o volume do slido

dado por

V = 6

10

z dz = 3[z2]10= 3.

Exemplo 1.10. Represente graficamente e calcule o volume do elipside de equao

x2

4+y2

9+ z2 = 1 ().

Soluo

Representao grfica:

Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosa superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao () resultando na equao,

x2

4+y2

9+ c2 = 1

0 x2

4+y2

9= 1 c2

De acordo com o sinal de 1 c2, temos que a interseco :

Vazia, se c > 1 ou c < 1.

(0, 0) , se c = 1 ou c = 1

Uma elipse no plano z = c, de equaox2(

21 c2

)2 + y2(31 c2

)2 = 1 eportanto com semi-eixos 2

1 c2 e

31 c2, se 1 < c < 1

As sees transversais a OX tambm so elipses, de equaes

z2(1 c

2

4

)2 + y2(3

1 c

2

4

)2 = 1,

obtidas fazendo-se x = c na equao (), para 2 < c < 2. De modo anlogo temos queas sees transversais a OY so elipses.A seguir temos um esboo do slido

Clculo do volume:

Para todo z [1, 1] a seo plana transver-sal a OZ uma elipse com semi-eixos

21 c2 e 31 c2. Ento essa seo plana

tem rea

A = (21 z2)(3

1 z2) = 6(1 z2)

e o volume do slido dado por

V = 6

11

(1z2) dz = 6[z z

3

3

]11

= 8.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos

Exemplo 1.11. Calcule o volume do slido

que interseco dos cilindros

x2 + y2 = 1 e x2 + z2 = 1 (figura ao lado)

Soluo

Clculo do volume:

Tomemos o eixo OX e as interseces de cada um dos cilindro com planos perpendiculares

a esse eixo. Para o cilindro x2 + y2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equao desse

cilindro obtemos

c2 + y2 = 1 y = 1 c2

Logo a interseco com o plano

x = c :

Vazia, se c > 1 ou c < 1.

A reta do plano x = c deequao y = 0 , se c = 1ou c = 1

A regio do plano x = c lim-itada pelas duas retas parale-

las y = 1 c2 se1 < c 1 ou c < 1.

A reta do plano x = c de equao z = 0 , se c = 1 ou c = 1

A regio do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas z = 1 c2 se1 < c < 1

Portanto a interseo dos dois cilindros com o plano x = c vazia se c > 1 ou c < 1e um quadrado (veja figura anterior) de lado L = 2

1 c2 e o volume do slido

V =

11L2 dx =

11

(21 x2)2 dx = 4

11

(1 x2) dx = 163.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.12. Calcular o volume do slido cuja base um crculo de raio 3 e cujas

sees transversais a um dimetro da base so quadrados.

SoluoTomemos um eixo orientado cuja

origem o centro do crculo e que

contm o dimetro (figura ao lado).

A seo transversal em x um

quadrado de lado L que varia com

x. Logo, sua rea igual a A = L2,

o volume do slido

V =

33L2 dx = 2

30

L2 dx (usando simetria)

e(L

2

)2+ x2 = 32 L2 = 4(9 x2)

Portanto,

V = 8

30

(9x2) dx = 8[9x x

3

3

]30

= 144


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.13. Calcular o volume do slido cuja base uma elipse de semi-eixos iguais

a 2 e 3 e cujas sees transversais ao eixo maior so tringulos equilteros.

SoluoTomemos um sistema de eixos

cartesianos tal que OX coincida

com o eixo maior (figura ao lado)

e O coincida com o centro da elipse.

Nesse sistema de eixos a elipse tem

equao

x2

9+y2

4= 1

A seo transversal em x um

tringulo equiltero de lado L que

varia com x. Logo, sua rea igual

a A =

3L2

4o volume do slido

V =

33

3L2

4dx = 2

30

3L2

4dx (usando simetria)

Como L = 2y ento ( pela equao

da elipse)

V =1

2

30

3.4y2 dx = 2

3

30

4.

(1 x

2

9

)dx =

= 83

[x x

3

27

]30

= 163.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.14. Calcular uma expresso em integrais que represente o volume do slido

cuja base a regio do plano limitada pela parbola x = y2 1 e a reta x = y+1 e cujassees transversais a OY so tringulos retngulos, issceles tais que a hipotenusa se

encontra sobre a base do slido.

Soluo

A regio R est representada na

figura ao lado.

A seo transversal em y um

tringulo retngulo issceles de

hipotenusa b e altura h (relativa

a hipotenusa), que variam com y.

Logo, sua rea A =bh

2=b2

4

O volume do slido V = 21

b2

4dy

Como

b = x1x2 = y+1(y21) = y2+y+2

Ento

V =

21

(y2 + y + 2)24

dy =81

40


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.15. Calcular uma expresso em integrais que represente o volume do slido

cuja base um tringulo retngulo ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e

cujas sees transversais a AC so semi-crculos com dimetros sobre a base do slido.

SoluoConsiderando o eixo OX como indicado na

figura ao lado, a seo transversal em x tem

rea A =r2

2sendo r o raio do semi-circulo.

O volume do slido

V =

2

40

r2 dx

Usando semelhana de tringulos

3

4=

2r

4 x 3(4 x)

8= r

Logo,

V =

2

40

9(4 x)264

dx =3

2



[1] Utilizando sees planas paralelas, mostre que o volume de uma pirmide quadrangular

reta, com altura h e base quadrada de lado a, igual aa2h

3.

[2] Utilizando integral de sees planas paralelas, mostre que o volume do cone circular

reto, de altura h e raio da base r, igual ar2h

3.

[3] Usando o Clculo Integral, calcule o volume de um tronco de pirmide, de altura h,

cuja base um quadrado de lado a e cujo topo um quadrado de lado b.

[4] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees

transversais a um dimetro da mesma so tringulos eqilteros, todos situados em um

mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como um dos seus lados

cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.


transversais a um dimetro da mesma so tringulos retngulos issceles, todos situados

em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como um dos

seus catetos cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.


transversais a um dimetro da mesma so tringulos retngulos issceles, todos situados

em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como hipotenusa

cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.


transversais a um dimetro da mesma so semi-elipses, todas situadas em um mesmo

semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm o eixo menor como cordas da

circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro e a medida do eixo maior igual

ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a rea da elipse de semi-eixos maior e

menor a e b, respectivamente, igual a ab ).


transversais a um dimetro da mesma so semi-elipses, todas contidas em um mesmo

semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm o eixo menor como cordas

da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro e todas elas tm a mesma


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.4: Exercciosexcentricidade e.

[9] Calcule o volume de um slido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e

menor a e b, respectivamente, e cujas sees transversais ao eixo menor so semi-crculos,

todos situados em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e tendo

para dimetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo menor.

[10] Calcule o volume de um slido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e

menor a e b, respectivamente, e cujas sees transversais ao eixo maior so semi-crculos,

todos situados em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e tendo

para dimetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que

esse volume menor do que o volume do item anterior).

[11] Calcule o volume do slido de base B = {(x, y) R2; y2 x 33y2} cujas seespor planos perpendiculares ao eixo Ox so quadrados com um lado apoiado em B.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo1.5 Volume de slidos de revoluo

Quando rotacionamos uma regio do plano xy em torno de uma reta (o eixo) real-

izando uma volta completa, o lugar geomtrico descrito pelo pontos da regio o que

chamamos um slido de revoluo.

Estudamos dois mtodos como calcular volumes de slidos de revoluo:

Mtodo do disco circular e do anel circular

Suponhamos que um slido de revoluo obtido rotacionando-se, em torno do eixo

x, uma regio R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma funo contnua num in-

tervalo [a, b], f(x) 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura abaixo.

x

y

O

R

ba

y = f(x)

x x

y

O ba

y = f(x)

Para cada x [a, b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto x,determina no slido de revoluo uma seo transversal que um circulo centrado em

(x, 0) e raio f(x) e portanto cuja area A(x) = [f(x)]2.

Portanto, o volume do slido de revoluo

V =

ba

A(x)dx =

ba

[f(x)]2dx.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y, umaregio R delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], g(y) 0, e pelasretas horizontais y = c e y = d, o volume V de S dado por

V =

dc

[g(y)]2dy.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e

x = b, sendo f1(x) f2(x) para a x b, o volume V de S dado por

V =

ba

([f1(x)]

2 [f2(x)]2)dx.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y, umaregio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais y = c

e y = d, sendo g1(y) g2(y) para c y d, o volume V de S dado por

V =

dc

([g1(y)]

2 [g2(y)]2)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta x = k,uma regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais

y = c e y = d, sendo g1(y) g2(y) > k para c y d, o volume V de S dado por

V =

dc

([g1(y) k]2 [g2(y) k]2

)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e

x = b, sendo f1(x) f2(x) > k para a x b, o volume V de S dado por

V =

ba

([f1(x) k]2 [f2(x) k]2

)dx.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.16. Considere a regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de y =

x,

para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y.Calcule o volume dos 2 slidos gerados.

Soluo

(a) Rotao em torno do eixo x

x

y

O 2

y =x

2

x x

y

O 2

Para cada x [0, 2], a seo transversal ao eixo Ox um circulo gerado pela rotaodo segmento vertical de comprimento y =

x. Logo, possui rea A(x) = y2 e o volume

do slido igual a

V =

20

y2dx =

20

xdx = 2.

(b) Rotao em torno do eixo y

y

xx

y

O 22

2

Para cada y [0,2], a seo transver-sal ao eixo Oy um anel circular de

raio externo igual 2 e raio interno igual

x = y2 e portanto tem rea igual

A(y) = 22x2 = 4y4 = (4y4).Logo o volume do slido igual a

V =

20

(4 y4)dy = 162

5.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.17. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio

delimitada por y = 3x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x e depois ao

redor do eixo y.

Soluo

Pontos de Interseo:

x1/3 =x

4 x = 0, x = 8 e y = 0, y = 2.

(a) Rotao em torno do eixo x

x

y

O 8

y = x4

y = 3x

2

x x

y

y1

y2

O 8

Para cada x [0, 8], a seo transversal ao eixo Ox um anel circular de raioexterno y2 = 3

x e raio interno y1 =

x

4e portanto tem rea A(x) = ( 3

x)2 (x

4)2 =

(x2/3 x

2

16

). Logo o volume do slido igual a

V =

80

(x2/3 x

2

16

)dx =

128

15.

(b) Rotao em torno do eixo y

y

x

y

O 8x1 x2

2

Para cada y [0, 2], a seo transversalao eixo Oy um anel circular de raio

externo x2 = 4y e raio interno igual

x1 = y3 e portanto tem rea igual

A(y) = (4y)2 (y3)2 = (16y2 y6).Logo o volume do slido igual a

V =

20

(16y2 y6)dy = 51221

.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.18. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada

pelas curvas y = x2 e y =x, ao redor da reta x = 2.

Soluo

Pontos de Interseo:

x2 =x x = 0, x = 1

x

y

O 1

y = x2

y =x

1

y

x

y

x1 x2O 15 24

1

Para cada y [0, 1], a seo transversal a reta x = 2 um anel circular de raioexterno (x2 + 2) = (

y + 2) e raio interno (x1 + 2) = (y2 + 2) e portanto tem rea

A(y) = (y + 2)2 (y2 + 2)2 = (y + 4y1/2 y4 4y2).

Logo o volume do slido igual a

V =

10

(y + 4y1/2 y4 4y2)dy = 4930

.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoMtodo dos invlucros cilndricos

Usamos este mtodo quando a rotao feito em torno do eixo do varivel dependente

y, (y = f(x)) e impossvel de escreve x como funo de y.

Suponhamos que um slido de revoluo obtido rotacionando-se, em torno do eixo

y, uma regio R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma funo contnua num in-

tervalo [a, b], f(x) 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura abaixo.

x

y

O

R

ba x x+x

y = f(x)

x

y

b

Dividimos R em faixas verticais de largura infinitsima x como mostrado na Figura.

Quando uma faixa vertical girada em torno do eixo y, ela gera uma casca cilndrica de

espessura x e volume V . Esta casca cilndrica a diferena entre um cilindro exterior

do raio (x + x) e um cilindro interior do raio x. Ambos os cilindros tm a altura

infinitamente prximo a f(x). Assim o volume desta casca cilndrica

V cilindro exterior cilindro interior (x+x)2f(x) x2f(x)=

(x2 + 2xx+ (x)2 x2

)f(x)

= (2xx+ (x)2

)f(x)

V 2xf(x)x

O volume total do slido de revoluo ser, de acordo com o Teorema Fundamental,

V =

ba

2xf(x)dx.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo1.2 Observao. Denotamos

A(x) = 2xf(x) = 2(raio)(altura)

Ou seja A(x) representa a rea lateral de um cilindro de raio x e altura f(x).

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], g(y) 0, e pelas retashorizontais y = c e y = d, o volume V de S dado por

V =

dc

2yg(y)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y uma regiodelimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e x = b,

sendo f1(x) f2(x) para a x b, o volume V de S dado por

V =

ba

2x(f1(x) f2(x)

)dx.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais y = c

e y = d, sendo g1(y) g2(y) para c y d, o volume V de S dado por

V =

dc

2y(g1(y) g2(y)

)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k,uma regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoy = c e y = d, sendo g1(y) g2(y) > k para c y d, o volume V de S dado por

V =

dc

2|y k|(g1(y) g2(y)

)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta x = k, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e

x = b, sendo f1(x) f2(x) > k para a x b, o volume V de S dado por

V =

ba

2|x k|(f1(x) f2(x)

)dx.

Exemplo 1.19. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio limitada

pela parabola y = 2x2 x3 o eixo x em torno do eixo y.

Soluo

f(x)

x

y

O x 2

A(x) = 2(raio)(altura) = 2x(2x2 x3) = 2(2x3 x4)

Logo

V =

20

2(2x3 x4) dx = 165


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.20. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio

delimitada por y = 3x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x.

Soluo

x

y

O 8

y = x4

y = 3x

2

x

y

y

O

2

A(y) = 2(raio)(altura) = 2y(4y y3) = 2(4y2 y4)

Logo

V =

20

2(4y2 y4) dy = 12815

Exemplo 1.21. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada

pelas curvas y = x2 e y =x, ao redor da reta x = 2.

Soluo

x

y

xO 15 24

A(x) = 2(raio)(altura) = 2(x+ 2)(x x2) = 2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2)

Logo

V =

10

2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2) dx = 4930



[1] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grfico

da funo f(x) =ex + ex

2, com x [1, 1], em torno do eixo Ox.

[2] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grfico

da elipse E : 9x2 + y2 = 9 em torno do:

(2.1) Eixo maior (2.2) Eixo menor.

[3] Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio compreendida entre o(s)

grfico(s) de:

(3.1) y = (x 1)(x 3)2 e o eixo x, ao redor do eixo y

(3.2) y = 3x, x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x

(3.3) y = 2x 1 e y = x 1, ao redor da reta x = 6

(3.4) x = (y 2)2 e y = x, ao redor da reta y = 1

(3.5) y = sen x, para 0 x , ao redor do eixo x


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides1.7 Momentos estticos e centrides

No nosso dia-a-dia, nos deparamos com muitas situaes em que precisamos manter

um sistema de corpos em equilbrio. Para conseguirmos apoiar uma placa plana em

uma haste fina, de forma que a mesma fique em equilbrio, o ponto de apoio da haste

deve estar localizado no centro de massa ou centride da placa, considerando-se o campo

gravitacional uniforme. Ou at mesmo para arrumar a carga de um caminho necessrio

que a mesma esteja em equilbrio para evitar acidentes por tombamento da carga, ou

desgastes de pneus e suspenso. Da, temos necessidade de determinar o centro de massa

ou centride no s de placas planas de formatos variados, como tambm arames, fios, e

slidos tri-dimensionais. Ao longo desse trabalho vamos mostrar como encontrar centro

de massa ou centrides como aplicao do clculo integral em vrias situaes.

Vale ressaltar nesse momento a diferena entre centro de massa e centro de gravidade.

O centro de massa independe de fatores externo, como por exemplo da acelerao da

gravidade local. J o centro de gravidade depende do campo gravitacional. Assim, o

centro de massa e o centro de gravidade s coincidem quando o campo gravitacional for

uniforme.

Como podemos encontrar o centro de massa?

Inicialmente vamos imaginar uma situao bem simples, como por exemplo uma

gangorra. A gangorra est apoiado num suporte como mostra a figura a seguir.

b bb

b b

p2p1

b b

d1b

d2

Vamos considerar duas pessoas sentadas nas extremidades com pesos p1 e p2 e dis-

tncias ao ponto de apoio d1 e d2 respectivamente. Pela lei da Alavanca de Arquimedes

a gangorra s estar em equilbrio se:

p1 d1 = p2 d2.

Agora vamos analisar a situao do ponto de vista uni-dimensional, considerando


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesa origem da reta real como mostra a figura abaixo e denotaremos por xg o centro de

gravidade da gangorra, ou seja, o ponto de apoio de forma que a gangorra fique em

equilbrio, considerando as condies anteriores.

xgbO b

x1b

b b

b

x2

p1 p2

b b

d1

b

d2

Nesse caso temos que d1 = xg x1 e d2 = x2 xg.Aplicando a lei da Alavanca, temos

p1 (xg x1) = p2 (x2 xg)p1 xg p1 x1 = p2 x2 p2 xgp1 xg p2 xg = p1 x1 + p2 x2xg (p1 + p2) = p1 x1 + p2 x2

Da, podemos concluir que

xg =p1 x1 + p2 x2

p1 + p2(1.1)

Desde quando o peso, segundo a lei de Newton a fora exercida sobre o corpo pela

atrao gravitacional da Terra temos que p1 = m1 g e p2 = m2 g, em que m1 e m2 soas massas das pessoas que esto sentadas na gangorra e g a acelerao da gravidade

aproximadamente igual 9, 8m/s. Com essas considerao a equao 1.9 dada por

xg =g m1 x1 + g m2 x2

g m1 + g m2 =m1 x1 +m2 x2

m1 +m2. (1.2)

Como nesse caso o campo gravitacional uniforme, verificamos que o centro de gravi-

dade (xg) coincide com o centro de massa, que denotaremos por x =m1 x1 +m2 x2

m1 +m2.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesConseqentemente, podemos definir o momento esttico da massa de uma partcula

em relao a um ponto.

1.3 Definio. Momento Esttico

Definimos o momento esttico da massa m1 em relao a origem, denotado por M1,

atravs do produto M1 = m1 x1, assim como o momento esttico da massa m2 emrelao a origem, denotado por M2, atravs do produto M2 = m2 x2, em que x1 e x2representam as distncias das massas m1 e m2 em relao a origem ou ponto referencial.

Assim como definimos o momento esttico em relao a um ponto, podemos tambm

definir o momento esttico em relao a outros referncias como, por exemplo, uma reta

ou um plano. O momento tambm pode ser aplicado a outras grandezas alm da massa

como: momento de fora, momento de comprimento, momento de rea, momento de

volume etc.

Agora vamos considerar a situao de termos um sistema de n partculas com massas

m1,m2, . . . ,mn localizadas nos pontos x1, x2, . . . , xn respectivamente sobre o eixo Ox.

Nesse caso o centro de massa do sistema dado pela razo entre o somatrio dos momentos

e a massa total, como mostra a equao abaixo.

x =

ni=1

mi xini=1

mi

=M

m m x = M

em que m =ni=1

mi representa a massa total do sistema eM =ni=1

mi xi o somatriodos momentos estticos de cada partcula em relao a origem.

Observe que o centro de massa um ponto em que podemos concentrar todas as

massas do sistema de forma que o somatrio dos momentos em relao ao referencial

considerado continua o mesmo.

No caso bi-dimensional, vamos considerar que as partculas esto posicionadas no

plano cartesiano, como mostrar a figura abaixo.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides

y

x

b

m3

b

m1

bm2

x3

y3

y1

x1

y2

x2

b

O

Seguindo um raciocnio similar ao caso uni-dimensional, j visto, s que agora tomando

como referencial os eixos Ox e Oy, temos que o centride, denotado por (x, y), dado por:

x =Mym

e y =Mxm

,

em que m =ni=1

mi representa a massa total do sistema, e

My =

ni=1

mixi e Mx =ni=1

miyi

representam os somatrios dos momentos em relao aos eixos Oy e Ox respectiva-

mente. Observe que o momento de uma partcula em relao ao eixo Ox o produto

da massa dessa partcula pela distncia da mesma ao eixo Ox, que uma distncia y.

Similarmente, para o momento em relao ao eixo Oy.

Assim, o ponto (x, y), que representa o centride, o ponto em que uma nica

partcula de massa m teria os mesmos momentos do sistema.

Vamos agora nos deter ao clculo do centro de massa ou centride de placas planas

finas de material homogneo com densidade uniforme (massa por unidade de rea) e

rea superficial A. Inicialmente, vamos encontrar centrides de placas com formato de


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesfiguras planas simtricas ou que possuam eixo de simetria. Uma superfcie simtrica

em relao a um eixo OO, se para cada ponto P da superfcie existe um ponto P, tal

que o segmento PPalm de ser perpendicular ao eixo OO, dividido ao meio pelo eixo.

Analogamente, podemos verificar a simetria de uma curva. Nesse caso, ou seja, quando

uma superfcie ou curva possui um eixo de simetria o centride em ambas situaes esto

sobre esse eixo de simetria. Caso a superfcie ou curva possua dois eixos de simetria, seu

centride est na interseo desses dois eixos. Assim, facilmente podemos determinar os

centrides de superfcies no formato de figuras geomtricas conhecidas como: quadrados,

retngulos, tringulos equilteros, crculos, elipses etc. Similarmente, podemos identificar

o centride de curvas na forma de circunferncias, elipses etc. Observe que no caso das

curvas, nem sempre o centride pertence a mesma. Ver a figura abaixo.

xg xg xg xg

b bb b

Quando temos superfcies compostas de vrias regies sem intersees, o momento

dessa superfcie o somatrio dos momentos de cada regio que a compe. Sendo a massa

de cada regio da superfcie composta igual a mi = Ai, i = 1, 2, 3 . . . os momentos em

relao aos eixos Ox e Oy so respectivamente,

My =ni=1

Aixi e Mx =ni=1

Aiyi.

Nesse caso xi e yi so as distncias dos centrides de cada regio aos eixo OX e Oy

respectivamente. Observe a figura abaixo.

(x1, y1)

(x2, y2)

2 8

6

2b

b


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.22. Vamos encontrar o centride da superfcie composta indicada nessa

figura.

Soluo: J sabemos que o centride de cada quadrado coincido com o seu centro.

Assim, vamos encontrar o somatrio dos momentos, considerando Ai a rea do quadrado

Qi e yi e xi, suas respectivas distncia ao eixo Ox e Oy, i = 1, 2. Portanto

Mx = A1 y1 + A2 y2 = [1(2 2) + 3(6 6)] = 112

e

My = A1 x1 + A2 x2 = 1(2 2) + 5(6 6) = 184

A rea total dada por A = 2 2 + 6 6 = 40. Assim,

x =My A =

184 40 =

23

5u.c e y =

Mx A =

112 40 =

14

5u.c

Exemplo 1.23. Achar o centride da seo de um pilar indicado na figura a abaixo.

50

30 500

30(x1, y1)

(x2, y2)

x

y

b

b

b

Soluo: Sabemos que quando a figura possui eixo de simetria, o centride est

sobre esse eixo de simetria. Observe que o eixo de simetria do pilar a primeira bissetriz.

Portanto, nesse caso, em particular, x = y =MxA

, em queMx o somatrio dos momentos

e A a rea total da superfcie. Assim,



Mx = y1A1 + y2A2 = (25 30 50 + 15 20 30) = 46.500cm3

A = 30 50 + 20 30 = 1500 + 600 = 2100cm2

Conseqentemente,

x = y = 46.500 2.100

= 22cm

E se quisermos encontrar o centride de um tringulo qualquer que no seja equi-

ltero? Nesse caso, se a placa homognea e de espessura constante, o baricentro coincide

com o centride de sua superfcie (veja figura abaixo).

x1 x2 x3

y1

y2

y3

G(xg, yg)

x

y

b

A

b

B

b Cb

Assim, dadas as coordenadas dos vrtices do tringulo podemos determinar o seu

baricentro, denotado por (xg, yg) de forma prtica por:

xg =x1 + x2 + x3

3yg =

y1 + y2 + y33


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.24. Encontre o centride da superfcie composta indicada na figura abaixo.

30

30

40

40 x

y

O

Soluo: Observe que nessa figura temos a primeira bissetriz como eixo de simetria,

assim x = y. Basta, ento, encontrarmos y =MxA

. Observe, tambm, que o somatrio

dos momentos Mx o momento do quadrado, M1x subtrado do momento do tringulo,

M2x e a rea total, A, a rea, A1 do quadrado menos a rea, A2 do tringulo. Portanto

A = A1 + A2 = 40 40 30 302

= 1.150cm2

Mx = M1x M2x = A1 y1 A2 y2 =

(40 40 20 30 30

2 13 30

)=

27.500 cm3.

Conseqentemente,

y = x = MxA

=27.500

1.150= 23, 9cm


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.25. Na figura abaixo qual deve ser o valor de x para que a ordenada do

centride seja igual a 2?

x

3

2

8

x

y

bb

b b

b

G1

b G2

Soluo: Sabemos que a ordenada do centride dada por y =MxA

, em que Mx

denota o momento esttico em relao a x e A a rea total. Vamos denotar por M1x o

momento do retngulo em relao ao eixo x e porM2x o momento do tringulo em relao

ao eixo x, assim como, A1 e A2 as reas do retngulo e do tringulo respectivamente.

Assim,

A1 = 2x e A2 =(x 3) 6

2.

Enquanto que

Y1 = 1 e Y2 =1

3 6 + 2 = 4.

Agora vamos encontrar o momento em relao a x e a rea total.

Mx = A1 y1 + A2 y2 = 2x 1 + (x 3)2

6 4 = 2x+ 12x 36 = 14x 36.

A = 2x+(x 3) 6

2= 2x+ 3x 9 = 5x 9.

y =MxA

=14x 365x 9 = 2. (1.3)

Resolvendo a equao 1.9, temos

14x 36 = 10x 18 4x = 18 x = 4, 5.

Como faremos para encontrar centrides de regies planas que no so formadas por

figuras geomtricas, as quais j conhecemos o centride, como mostramos anteriormente?


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesComo por exemplo, o centride de uma regio limitada por uma funo qualquer? Para

tanto vamos mostrar como obter uma expresso em integral que calcula centrides desse

tipo de regio.

Seja R uma regio limitada pelas retas x = a, y = b, o eixo x e a funo contnua

f(x) em [a, b].

Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b.

a b

xi

x

Ri

Ci

x

y

f

b

b b

b

b

b

b

b

b

Seja x = xi1 xi e vamos tomar xi [xi1, xi], tal que

xi =xi1 + xi

2, i = 1, 2, . . . ,n.

Assim, podemos dizer que a regio aproximadamente a unio dos retngulos de base



xi e altura f(xi). Vamos denotar por Ci =(xi,

f(xi)

2

)o centride de cada retngulo

Ri, e por Ai = f(xi) x a rea de cada retngulo Ri. Portanto, a massa dada porm = Ai.

O momento de cada retngulo Ri em relao ao eixo y dado por

My(Ri) = [ f(xi) x] massa

xidistancia deRi ao eixo y

= xi f(xi) x

Para encontrar o momento da regio R em relao ao eixo y, vamos fazer o mximo

dos xi tender a zero. Conseqentemente temos

My = limn

ni=1

xi f(xi) x =ni=1

limn

xi f(xi) x := ba

x f(x)dx.

Da, x =Mym

=

ba

x f(x)dx A =

1

A

ba

x f(x)dx.Similarmente,

Mx(Ri) = [ f(xi) x] f(xi)2

= 12 [f(xi)]2 x

Mx = limn

ni=1

12 [f(xi)]2 x =

ni=1

limn

12 [f(xi)]2 x :=

ba

1

2[f(x)]2dx.

Conseqentemente,

y =Mxm

=

ba

1

2[f(x)]2dx

A =1

2A

ba

1

2[f(x)]2dx.

A mesma linha de raciocnio pode ser usada para determinarmos o centride no caso

da regio R ser limitada pelas retas y = c e y = d e o eixo y e a funo contnua x = f(y)

em [c,d], como mostra a figura abaixo.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesIncluir figura 11 Ver com Joseph

Nesse caso, encontramos

y =1

A

ba

y f(y)dy e x = 12A

ba

[f(y)]2dy.

Exemplo 1.26. Encontrar o centride de1

4da circunferncia de raio r.

r

r x

y

Soluo: a equao x2+y2 = r2 representa uma circunferncia de raio r. No primeiro

quadrante a quarta parte da circunferncia o grfico da funo f(x) =r2 x2 e sua

rea A =r2

4. Assim, vamos usar os resultados obtidos anteriormente,

x =1

A

ba

x f(x)dx e y = 12A

ba

[f(y)]2dy.

Assim,

x =4

r2

r0

xr2 x2dx (1.4)

Vamos resolver a integral da equao 1.10 por substituio de varivel, fazendo t =

r2 x2 dt = 2xdx. Para x = 0 t = r2 e x = r t = 0.Portanto,

x =4

r2

r0

xr2 x2dx = 4

r2

0r2

t

2dt =2

r2

r20

tdt

=2

r2 t

3/2

3/2

r2

0

=2

r2

(r2)3 2

3=

4

3r2 r3 = 4r

3.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesCalculando y, temos

y =1

A

ba

[f(x)]2

2dx =

4

r2

r0

(r2 x2

2dx

)=

2

r2

[r2x x

3

3

] r

0

=2

r2

[r3 r

3

3

]=

2

r2

(2r3

3

)=

4r

3.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus1.8 Segundo Teorema de Pappus-Guldin

Agora que voc sabe encontrar centrides de regies planas, j est apto a entender

o teorema de Pappus-Guldin, que propicia o clculo do volume do slido gerado pela

rotao de uma regio plana em torno de um eixo de rotao.

1.4 Teorema. Se uma regio plana gira em torno de uma reta de seu plano que no a

intercepta, o volume gerado igual ao produto da rea da regio plana pelo comprimento

da circunferncia percorrida pelo seu centride.

Prova. Vamos considerar o eixo x como eixo de rotao e y a ordenada do centride

da regio plana e vamos tomar um elemento de rea dA = t dy, como mostra a figuraabaixo.

S

x

y

gft

b

G

b

b

dy

b

ba

bbb

Assim, queremos mostrar que o volume do slido gerado V o produto da rea da

regio plana pelo comprimento da circunferncia percorrida pelo eu centride, ou seja

V = Area

2ycircunferncia

.

Utilizando o mtodo da casca cilndrica, observe que o volume gerado pela rotao

da regio S em torno do eixo x dado pela expresso


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus

V = 2

ba

y tdy. (1.5)

Por outro lado, a ordenada do centride dada por

y =

ba

ydA

ba

dA

=

ba

ydA

A ba

ydA = yA. (1.6)

Como dA = t dy e com os resultados obtidos na equao 1.6, da equao 1.5 temos

V = 2

ba

y tdy = 2 ba

ydA = 2yA

Assim, fica demonstrado Segundo Teorema de Pappus-Guldin. 2

1.5 Observao. Generalizando, o segundo teorema de Pappus-Goldin nos diz que o vol-

ume do slido gerado pela rotao de uma regio plana em torno de um eixo dado por

V = 2d A, em que d a distncia do centride da regio ao eixo de rotao e A area da regio.

Exemplo 1.27. Determinar o volume de um toro gerado pela rotao de um crculo de

raio R em torno de um eixo de seu plano distncia K > R do seu centro ( ver figura

abaixo).

b

G

K

R

Soluo Pelo segundo teorema de Pappus-Goldin, o volume dado por

V = A 2K = R2 2K = 22KR2.

Assim, o volume do toro gerado V = 22KR2.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus1.6 Observao. Nesse caso o centride coincidiu com o centro do crculo cuja ordenada

K. Ou seja, y = K. Caso a rea no seja um crculo temos que encontrar o centride.

Exemplo 1.28. Encontrar o volume gerado pela rotao do tringulo de vrtices (1, 1),

(3, 1) e (2, 7) em torno da reta y = 2x, como mostra a figura abaixo.

(2, 7)

(1, 1) (3, 1)b b

b

f

b

G

b

d

Soluo Sabemos, pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, que o volume do slido

gerado dado por V = 2d A, em que, nesse caso, d a distncia do centride dotringulo reta y = 2x e A a rea do tringulo. Portanto, inicialmente, vamosencontrar o centride do tringulo. Como visto anteriormente, temos

xg =1 + 3 + 2

3= 2 yg =

1 + 1 + 7

3= 3.

Portanto o centride do tringulo,G, dado por G = (2, 3).

Agora, precisamos da distncia entre o ponto G e a reta y = 2x, e para tanto,vamos nos lembrar como encontrar distncia entre ponto e reta.

Dada uma reta ax + by + c = 0, a distncia entre a reta e o ponto P (x0, y0) dada

por

d =ax0 + by0 + c

a2 + b2.

Assim, a distncia, d, entre a reta 2x+ y = 0 e o ponto G(2, 3) dada por

d =2 (2 + 1) (3 + 0)

22 + 12=

75

5.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de PappusClaramente a rea, A, do tringulo A = 6, portanto o volume do slido gerado

V = 2d A = 2 75

5 6 = 84

5

5.

Exemplo 1.29. Usando o segundo teorema de Pappus-Guldin, determine a ordenada

do centride de semi-crculo de raio R.

b

G

Soluo Vamos denotar por A a rea do semi-crculo de raio R, e por y a ordenada

do seu centride. Pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, temos

V = A 2y = R2

2 2y = 2R2y (1.7)

Por outro lado, o volume da esfera dado por

V =4

3R3 (1.8)

Igualando as equaes 1.7 e 1.8 temos

2R2y =4

3R3 y = 4R

3.

Portanto, a ordenada do centride do semi-crculo de raio R y =4R

3e observe que

a sua abscissa, x nula, pois est sobre o eixo y, que o eixo de simetria.



[1] Determine a posio do centride das seguintes figuras e o volume do slidos gerados

pela rotao das mesmas em torno da reta indicada abaixo de cada figura:

(1.1)

x

y

3 3

0 2

8

2

6

reta: y = 10

(1.2)

x

y

6

0 2 8

2

reta: x y + 4 = 0

(1.3)

x

y

810 0 8 10

27

reta: y 7 = 0

3 x

2

1

y (1.4)

21

reta: x 4 = 0

[2] Determine as coordenadas do centro de gravidade da regio plana especificada:

(2.1) Regio no primeiro quadrante, delimitada pela elipsex2

a2+y2

b2= 1, (x 0, y 0)

(2.2) rea delimitada pela curva y = 4 x2

4e o eixo x

(2.3) rea delimitada pela parbola y2 = ax e pela reta x = a.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.9: Exerccios[3] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x2 e y = x2 + 2.

(3.1) Esboce R e calcule a sua rea.

(3.2) Calcule o centride de R.

(3.3) A regio R girado em torno da reta x = 2 formando um slido D. Calcule o

volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.

[4] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x2 3x+ 6 e x+ y 3 = 0.

(4.1) Esboce R e calcule a sua rea.

(4.2) Calcule o centride de R.

(4.3) A regio R girado em torno da reta x+y3 = 0 formando um slido D. Calculeo volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco1.10 Comprimento de Arco de uma Curva

Em muitas situaes vamos precisar do comprimento da trajetria percorrida por

uma partcula, como por exemplo o comprimento de uma rodovia, constituda de muitas

curvas sinuosas. Nesses casos, se faz necessrio o clculo do comprimento do arco de

uma dada curva. O nosso objetivo agora poder expressar esse comprimento atravs de

uma integral definida. Para tanto, vamos considerar uma funo contnua f com primeira

derivada tambm contnua, definida num intervalo fechado [a, b]. Nessas condies, vamos

considerar que o grfico dessa funo uma curva lisa e sem repeties de trechos como

mostrar a figura a seguir.

P0 = a

Pn = b

x

y

f

b


a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b

Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos

P0,P1,P2, . . . ,Pn,

tais que P0(a, y0) e Pn(b, yn), como mostra a figura seguinte.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco

Pi1

Pi

Pn1

P0 = a

Pn = b

xi

xixi1

P1

yi

x

y

f

Assim, fazendo um clculo grosseiro podemos dizer que o comprimento da curva,

denotado por L, aproximadamente igual a soma dos comprimentos dos segmentos Pi1Pi

com i = 1, 2, . . . ,n. Ou seja,

L =ni=1

P(i1)Pi = P0P1 + P1P2 + . . .+ P(n1)Pn

Considerando xi = xix(i1) e yi = yi y(i1), vamos denotar por li o compri-mento de cada segmento P(i1)Pi, em que i = 1, 2, . . . ,n, isto , li = P(i1)Pi.

Pi1

Pi

Pn1

P0 = a

Pn = b

xi

xixi1

P1

yi

x

y

f

Na figura anterior, observe o tringulo retngulo, e por Pitgoras temos:



li =

(xi)2 + (yi)2 =

(xi)

2

(xi)2((xi)

2 + (yi)2)=

1 +

(yixi

)2|xi|.

Observe que xi um valor positivo, devido a forma que tomamos a partio. Con-

seqentemente, o comprimento total da curva(L) aproximadamente igual

L =ni=1

li =ni=1

1 +

(yixi

)2xi.

Fazendo o mximo dos xi tender a zero, diminumos o erro nos clculos e refinamos

a partio, pois n. Assim, passando o limite, temos

limn

L = limn

ni=1

1 +

(yixi

)2xi =

ni=1

limn

1 +

(yixi

)2xi.

Agora, como f derivvel e contnua em [a, b], o Teorema do Valor Mdio garante

que existe ci [xi1, xi] tal que yi = f (ci)xi.Dessa forma podemos definir o comprimento da curva como

L =ni=1

limn

1 +

(yixi

)2xi :=

ba

1 + [f (x)]2dx.

Portanto conclumos que se f = f(x) uma funo contnua e derivvel para todo

x pertencente ao intervalo fechado [a, b] o comprimento da curva lisa do grfico de f

dado por

L =

ba

1 + [f (x)]2dx.

Analogamente, se g = g(y) uma funo contnua e derivvel em [c, d], temos

L =

dc

1 + [g(y)]2dy.

Agora usando o resultado obtido podemos resolver os seguintes exemplos:


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoExemplo 1.30. Calcule o comprimento de arco da curva de equao

y =ex + ex

2para x [1, 1].

Soluo: A derivada da funo y = f(x) f (x) =ex ex

2, assim

L =

11

1 +

(ex ex

2

)2dx =

11

1 +

(ex)2 2exex + (ex)24

dx

=

11

4 + (ex)2 2 + (ex)2

4dx =

11

(ex)2 + 2 + (ex)2

4dx

=

11

(ex + ex)2

4dx =

11

ex + ex4 dx

Como ex + ex > 0 para todo x,

L =1

2

11

(ex + ex

)dx =

1

2

[ex ex]11 = 12

(2e 2 1

e

)= e 1

eu.c.

Uma curiosidade que as funes y(x) =ex + ex

2e y(x) =

ex ex2

, so o

cosseno hiperblico e o seno hiperblico, respectivamente. O grfico da funo cosseno

hiperblico (ver figura abaixo) uma "catenria" e tem a forma de um fio flexvel preso

pelas pontas e deixado sob ao da gravidade.

f



Exemplo 1.31. Calcule o comprimento do arco da parbola y =x2

2para x [0, 1].

Soluo

Como f(x) =x2

2e f (x) = x o comprimento do arco da parbola dado por

L =

10

1 + [f (x)]2dx igual a L =

10

1 + x2dx.Usando substituio trigonomtrica,

fazendo y = tg(t) e observando o tringulo abaixo, temos

1

x

1 + x2

t

b

b

b

b

b

b

cos(t) =1

1 + x21 + x2 =

1

cos(t)= sec(t)

sen(t) =x

1 + x2

tg(t) =x

1 dx = sec2(t)dt

x = 0 t = arctg(0) = 0 e y = 1 t = arctg(1) =

4.

Logo, o comprimento de arco da parbola

L =

10

(1 + x2)dx =

4

0

1 + tg2(t) sec2(t)dt

=

4

0

sec3(t)dt=sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|

2

4

0

=

sec(4

) tg

(4

)+ ln

sec(4)+ tg (4) sec(0) tg(0) + ln |sec(0) + tg(0)|

2

=

22 (1) + ln

22 + 1

2=

2 + ln

2 + 12

u.c.

Agora, vamos mostrar como obtivemos o resultado da integral da funo

sec3(t),

sinalizada anteriormente.



sec3(t)dt =

sec2(t)sec(t)dt

Vamos resolver a integral pelo mtodo de integrao por partes, fazendo

u = sec(t) du = sec(t)tg(t)dt e dv = sec2(t)dt v = tg(t).

Aplicando o mtodo de integrao por parte, em que

udv = uv

vdu, temos

sec3(t)dt = sec(t) tg(t)

tg2(t)sec(t)dt

= sec(t) tg(t) (

sec2(t) 1) sec(t)dt= sec(t) tg(t)

sec3(t)dt+

sec(t)dt

Observe que do outro lado da ltima igualdade encontramos novamente a integralsec3(t)dt. Resolvendo a igualdade e usando o resultado

sec(t)dt = ln |sec(t) + tg(t)|+ C,

C uma constante, temos

2

sec3(t)dt = sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|+ C

Da,

sec3(t)dt =

sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|2

+ C

=

1 + x2 x+ ln 1 + x2 + x

2+ C


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoExemplo 1.32. Calcule o comprimento do arco da curva

y = ln(x), em que3 x

(8).

Soluo: A derivada da funo y = ln(x) igualdy

dx=

1

x, assim o comprimento do

arco dado por

L =

83

1 +

(1

x

)2dx =

83

1 +

1

x2dx

=

83

x2 + 1

x2dx =

83

x2 + 1

|x| dx

A ltima integral deve ser resolvida pelo mtodo de substituio trigonomtrica.

Fazendo x = tg(t) e observando o tringulo abaixo temos

1

x

1 + x2

t

b

b

b

b

b

b

cos(t) =1

1 + x21 + x2 =

1

cos(t)= sec(t)

sen(t) =x

1 + x2

tg(t) =x

1 dx = sec2(t)dt

Muitas vezes, principalmente quando vamos fazer muitas substituies de variveis,

trocar os limites da integral definida fica complicado, assim podemos colocar o resultado

final em funo de x e utilizar os limites dados no incio. Considerando que3 x 8,

e fazendo a substituio de varivel para t, temos

x2 + 1

x=

tg2(t) + 1

tg(t)sec2(t)dt =

sec(t) sec2(t)

tg(t)dt

=

sec3(t)

tg(t)dt =

1

cos3(t) cos(t)sen(t)

dt =

1

cos2(t) sen(t)dt

=

1

cos2(t) sen(t) sen(t)

sen(t)dt =

sen(t)

cos2(t) sen2(t)dt

=

sen(t)

cos2(t) (1 cos2(t))dt


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoAgora vamos fazer uma substituio de variveis, fazendo

u = cos(t) du = sen(t)dt

Dando continuidade,

sen(t)

cos2(t) (1 cos2(t))dt = 1

u2(1 u2)du = 1

u2(1 u)(1 + u)du

=

(A

u+

B

u2+

C

1 u +D

1 + u

)du

No mtodo de decomposio em fraes parciais, temos que encontrar as constantes

A,B,C eD. Para tanto, vamos encontrar o m.m.c. da equao seguinte:

1u2(1 u)(1 + u) =

A

u+

B

u2+

C

1 u +D

1 + u

1 = Au(1 u2) +B(1 u2) + Cu2(1 + u) +Du2(1 u)

Poderamos resolver por igualdade de polinmios, mas um mtodo fcil associarmos

valores a u, assim

u = 0 B = 1

u = 1 C = 12

u = 1 D = 12

u = 2 1 = 6A 3B + 12C 4D A = 0Portanto, temos



(A

u+

B

u2+

C

1 u +D

1 + u

)du =

(0

u 1u2 1

2(1 u) 1

2(1 + u)

)du

=1

u+

1

2ln|u 1| 1

2ln|1 + u|+ C = 1

cos(t)+

1

2ln|cos(t) 1| 1

2ln|1 + cos(t)|+ C

Usando a relao obtida anteriormente em que cos(t) =1

1 + x2, podemos obter o

resultado em funo da varivel x, e enfim aplicar os limites de integrao.

x2 + 1

x=

11

1 + x2

+1

2ln

11 + x2 1 12 ln

1 + 11 + x28

3

=1 + x2 +

1

2ln

11 + x2 1 12 ln

1 + 11 + x28

3

=

1 + (8)2 +

1

2ln

11 + (8)2 1 12 ln

11 + (8)2

1 + (3)

2 12ln

1

1 + (3)

2 1

+1

2ln

1 + 1(3)2

= 3 +1

2ln

13 1 12 ln

1 + 13 2 12 ln

12 1+ 12 ln

1 + 12

= 3 +1

2ln

23 12 ln

43 2 12 ln

12+ 12 ln

32

= 1 +1

2ln

3

2u.c.



[1] Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:

(1.1) y = ln(1 x2) de x = 14a x =

3

4. (1.2) y =

1

4x4 +

1

8x2de x = 1 a x = 2.

(1.3) y = 1 ln( sen x) de x = 6a x =

4. (1.4) (y 1)2 = (x+ 1)3 de x = 0 a x = 1.

(1.5) y =1

2

(ex + ex

)de x = 0 a x = 1. (1.6) x =

1

3y3 +

1

4yde y = 1 a y = 3.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies

1.12 rea de superfcies de revoluo

Vamos supor que temos uma curva y = f(x) definida num intervalo [a, b], em que f

uma funo positiva e possui derivadas contnuas, ver a figura abaixo. Ao rotacionarmos

essa curva em torno do eixo OX um slido gerado. Queremos encontrar uma integral

que represente a rea da superfcie desse slido. Para tanto, inicialmente devemos fazer

um clculo aproximado. Uma idia dividirmos esse slido em pedaos e aproximar cada

pedao de um tronco de cone. Ao somar a rea de superfcie de cada tronco de cone

obtemos um clculo aproximado e ao tomarmos o limite o clculo obtido a rea exata

da superfcie do slido de revoluo.

y = f(x)y

x

r1

r2

l1

l

b

b

Inicialmente vamos deduzir uma frmula para encontrar a rea de superfcie do tronco

de um cone.

Observe o cone planificado ao lado. Atravs da regra de trs abaixo deduzimos a rea

do setor circular, que representa a rea lateral do cone de geratriz (l1 + l). O comprimento

da circunferncia de raio (l1 + l) est para a rea do crculo com mesmo raio, assim como

o comprimento do setor circular de ngulo est para a sua rea.

2 (li + l) (l1 + l)2

2r2 AM

AM =2r2 (l1 + l)2

2 (l1 + l)= l1r2. 2r2

(l1 + l)


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesSimilarmente, obtermos que a rea lateral do cone menor dada por: Am = r1l1.

A rea da superfcie de um tronco de cone dada pela rea da superfcie do cone

maior menos a do cone menor. Portanto

A = Am Am = r2(l1 + l) r1l1 = [(r2 r1)l1 + r2l]. (1.9)

Agora, por semelhana de tringulos temos

l1r1

=l1 + l

r2 r2l1 = r1l1 + r1l (r2 r1)l1 = r1l

Substituindo o resultado obtido na equao 1.9 temos

A = (r1l + r2l) = 2rl (1.10)

em que r =1

2(r1 + r2) o raio mdio da faixa.

Agora vamos deduzir a integral que representa a rea da superfcie do slido de

revoluo.


a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b, cujos intervalos so iguais.

y

x

P0 PnP1

Pi1Pi

Pn1b

b

b

b

b

b

b

ab

b

Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos P0,P1,P2, . . . ,Pn,

tais que P0(a, y0) e Pn(b, yn), como mostra a figura anterior. Podemos aproximar o trecho

da curva entre xi e xi1, por um segmento de reta que liga Pi1(xi1, yi1) a Pi(xi, yi). Ao

girar o segmento de reta Pi1Pi em torno do eixo OX, obtermos um tronco de pirmide,


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies

cuja geratriz l = |Pi1Pi| e raio mdio igual a r = 12(yi1 + yi). Consequentemente, a

rea da superfcie do tronco desse cone dada por

2yi1 + yi

2|Pi1Pi|.

Como f contnua, quando x = xixi1 suficientemente pequeno e considerandoi pertencente ao intervalo [xi1, xi], podemos obter uma melhor aproximao, pois yi =

f(xi) = f(i), assim como tambm yi1 = f(xi1) = f(i). Ainda com intuito demelhorar a aproximao, podemos tomar o comprimento do segmento |Pi1Pi| como ocomprimento do arco que liga Pi1 a Pi, ou seja, em vez de |Pi1Pi| podemos escrever

1 + [f(i)]2x

2yi1 + yi

2|Pi1Pi| = 2f(i)

1 + [f (i)]2x.

Consequentemente, a rea total da superfcie do slido aproximadamente

ni=1

2f(i)

1 + [f (i)]2x.

Agora refinando a partio, fazendo n e passando o limite,

n

limi=1

ni=1

2f(i)

1 + [f (i)]2x :=

ba

2f(x)

1 + [f (x)]2dx.

Logo, para uma funo f positiva e com derivada contnua encontramos que a rea

de superfcie do slido gerado pela rotao da curva y = f(x) em torno do eixo OX

dada por

A =

ba

2f(x)

1 + [f (x)]2dx.

Observe que o termo 2f(x) representa o comprimento da circunferncia descrita

por um ponto (x, y) pertencente a curva ao ser girado em trono do eixo OX e o termo

ds =

1 + [f (x)]2dx representa o comprimento da curva.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesSimilarmente, se temos uma curva dada pela funo x = g(y), y[c, d], ento a rea

da superfcie do slido gerado pela rotao da curva a em trono do eixo y dada por

A =

dc

2g(y)

1 + [g(y)]2dy.

Exemplo 1.33. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x3 ao

redor do eixo OX, em que x varia entre 0 e 2.

f(x) = x3

2 x

y

Soluo: Nesse caso, vamos usar a frmula A = ba

2f(x)

1 + [f (x)]2dx, pois o

raio da circunferncia descrita por um ponto pertencente a curva y = x3, quando essa gira

em torno do eixo OX y = f(x).Vamos encontrar a rea da superfcie do slido obtido

pela rotao da curva y = x3, 0 x 2 ao redor do eixo OX. Para tanto devemosresolver a integral abaixo.

A =

20

2x3

1 + [3x2]2dx =

20

2x31 + 9x4dx

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9x4, temos

que dt = 36x3dx e para x = 0 t = 1 e x = 2 t = 144. Substituindo temos

A =

20

2x31 + 9x4dx =

18

1441

tdt

=

18

t3/2

3/2

144

1

=

27

(145

145 1

)u.a.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesExemplo 1.34. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x1/3 ao

redor do eixo OY , em que y varia entre 1 e 2.

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 812345678

Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rota-

cionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto

pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x = y3. Ento vamos usar

a frmula

A =

dc

2x

1 +

[dx

dy

]2dy com c y d.

Assim, temos que resolver a integral

A =

21

2y3

1 + [3y2]2 =

21

2y3

1 + 9y4dy.

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9y4, temos

que dt = 36y3dy e para y = 1 t = 10 e y = 2 t = 145. Substituindo temosLogo,

A =

21

2y3

1 + [3y2]2dy =2

36

14510

tdt

=

27

t3/2

3/2

145

10

=2

81

(145

145 10

10)u.a.


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesExemplo 1.35. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = 1 x2

ao redor do eixo OY , em que x varia entre 0 e 1.

x

y

y = 1 x2

Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rota-

cionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto

pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x. Dessa forma podemos

integrar em relao a x. Ento vamos usar a frmula

A =

ba

2x

1 +

[dy

dx

]2dx com a x b.

Assim, temos que resolver a integral

A =

10

2x

1 + [2x]2dx = 10

2x1 + 4x2dx.

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 4x2, temos

que dt = 8xdx e para x = 0 t = 1 e x = 1 t = 5. Substituindo temosLogo,

A =

10

2x1 + 4x2dx =

2

8

51

tdt

=

4

t3/2

3/2

5

1

=

6

(55 1

)u.a.



Calcular a rea da superfcie gerada pela rotao do arco de curva dado, em torno

do eixo indicado:1) y2 = 4ax, 0 x 3a; eixo dos x 2) y = 2x, 0 x 2; eixo dos x

3) y = 2x, 0 x 2; eixo dos y 4) y = sen x, 0 x ; eixo dos x

5) x =y, 1 y 4; eixo dos y 6) y = 16 x2, 3 x 3; eixo dos x


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.15: Respostas1.14 Respostas dos Exerccios Propostos

rea de Regies Planares (pgina 06)

[1]

(1.1) [2 ln 2 1]u.a (1.2) 463u.a (1.3)

[152 8 ln 2

]u.a

(1.4)[

3ln 2 4

3

]u.a (1.5)

[34

+ 2 ln 2]u.a (1.6)

[162 + 246 643

]u.a

(1.7) 716u.a (1.8) 18 ln 3 u.a (1.9)

1

6u.a

(1.10)64

3u.a

Volume de Slidos (pgina 21)[3] V =

h

3(a2 + ab+ b2) u.v [4] V =

43r3

3u.v [5] V =

8r3

3u.v

[6] V =4r3

3u.v [7] V =

4r3

3u.v [8] V =

2r3

31 e2 u.v

[9] V =2a2b

3u.v [10] V =

2ab2

3u.v [11] V = 6 u.v

Volume de slidos de revoluo (pgina 32)

[1] V =(e4 + 4e2 1)

4e2u.v

[2]{

(2.1) V = 4 u.v (2.2) V = 12 u.v

[3]

(3.1) V =

24

5u.v (3.2) V =

96

5u.v (3.3) V =

272

15u.v

(3.4) V =27

2u.v (3.5) V =

2

2u.v

Centrides e 2o Teorema de Pappus (pgina 50)

[1]

(1.1)

(4,

37

7

); V = 264u.v (1.2)

(23

5,14

5

); V = 232

2u.v

(1.3)

(0,

23

15

); V = 80u.v (1.4)

(44

28 ,76

84 3); V = 2(17 )u.v


Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.15: Respostas

[2]{

(2.1)(4a3

,4b

3

)(2.2)

(0,

8

5

)(2.3)

(3a5, 0)

[3]{

(3.1) A =8

3u.a (3.2) (x, y) = (0, 1) (3.3) V =

32

3u.v

[4]{

(4.1) A =32

3u.a (4.2) (x, y) =

( 1, 25

8

)(4.3) V =

2562

15u.v

Comprimento de arco de uma curva (pgina 61)

[1]

(1.1) ln

(215

) 1

2u.c (1.2)

123

32u.c (1.3) ln

2 123

u.c(1.4)

1

27(2222 13

13) u.c (1.5)

1

2e(e2 1) u.c (1.6) 53

6u.c

rea de uma superfcie de revoluo (pgina 68)1)

56

3a2 2) 8

5 3) 4

5

4) 4[2 + ln(

2 + 1)] 5)

6(1717 5

5) 6) 48


aplicações da integral simples

Documents