Aplicações de Derivadas

INTRODUÇÃO

Vamos aqui abordar algumas aplicações de derivadas. Assunto que com certeza cai em uma ou duas

questões na P1 de Cálculo e que os alunos quebram mais a cabeça. O segredo aqui é exercitar e ver

como resolver vários casos, não tem segredo, e até repetimos isso várias vezes, pois realmente é

necessário exercitar. Vamos falar sobre Taxas Relacionadas, Máximos e Mínimos, TVM, Otimização e

Gráficos.

1 TAXAS RELACIONADAS

Os problemas de taxa relacionada são aplicações do que aprendemos sobre derivadas, em especial,

a regra da cadeia. Esses problemas nos pedem a taxa de variação de determinadas grandezas a

partir de outras (daí seu nome).

Eles podem parecer difíceis, mas a gente precisa ter calma ao analisar; para ser possível resolvê-los,

é necessário montarmos uma equação que envolve as variáveis do problema e, então, derivá-la

usando a regra da cadeia.

Uma dica show para esses problemas é tentar enxergar relações geométricas (teorema de Pitágoras,

seno, cosseno, tangente, semelhança de triângulos), elas costumam nos dar as equações que dará a

solução. Além disso, fique atento ao sinal das taxas, em geral, eles não são dados nos enunciados, é

preciso deduzi-lo; se a taxa faz a medida diminuir, ela é negativa.

A melhor maneira de ficar craque é nisso é fazendo muitos exercícios, os problemas costumam

exigir pensamentos parecidos para sua resolução, ou seja, fazê-los será a melhor forma de estudar.

E assim vamos fazer...

Um balão se eleva verticalmente do solo à razão de 3m/s. Quando o balão está a 48m do solo,

passa exatamente sob ele um automóvel viajando a velocidade de 20m/s. Com que velocidade varia, 4

segundos após, a distância entre eles?

Nesse exercício, como todos os de taxas de variação, devemos ver o que são esses dados que ele nos

deu e identificar o que é que ele nos pede.

Aqui, a gente vê:

Taxa de subida do balão = b’(t) = 3m/s

Taxa de deslocamento do carro = c’(t) = 20m/s

Altura do balão = b = 48m

Distância do carro = c = 0m

Precisamos achar uma equação que relacione as variáveis...

A distância entre o carro e o balão num instante qualquer pode ser descrita a partir do teorema de

Pitágoras, já que o balão está vertical em relação ao carro:

Agora que já temos nossa equação, temos que derivá-la dos dois lado em relação ao tempo, sem

esquecer a regra da cadeia:

Temos que lembrar que o problema pede a distância após 4 segundos, ou seja, b e c são as distâncias

dadas acrescidas do tempo passado.

Usando essas distâncias e as taxas de variação do início do problema, podemos substituir na equação e

encontrar a solução:

Descobrimos então, que o carro e o balão se distanciam a uma de taxa de 17,8 m/s.

Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja

no mesmo nível dos olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma

velocidade de 2m/s. Com que velocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará

variando quando o observador estiver a 2m da parede?

Nossos dados são:

Taxa de variação do observador = x’ =dx/dt = -2m/s (a distância diminui)

Distância do observador = x = 2m

Altura do quadro = 1m

Para acharmos a equação do problema, temos que pensar num triângulo, o ângulo da visão do

observador tem sua tangente calculada pelos dados do problema:

Agora podemos derivar e usar os dados para resolver o problema:

Sabemos que, pela Regra da Cadeia

Ou seja, o ângulo de visão do quadro aumenta a uma taxa de 0,4 rad/s.

Tranquilo, né? Vamos fazer mais uma que geralmente os professores cobram, relacionando

área com comprimento.

Simples! Qual a taxa de variação da área de um círculo quando seu raio está aumentando

em 3cm/s enquanto tem dimensão 10cm?

Resposta:

A única equação que pode relacionar área do círculo com o raio é :

Pela Regra da Cadeia, a gente tem:

Substituindo o valor da 1ª equação, temos:

Mas não fica só com esses exercícios. Quer ficar fera mesmo, treine cada vez mais e mais situações de

taxas, como lá nos exercícios recomendados e principalmente provas antigas.

2 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES

Os máximos e mínimos de funções tem um enorme efeito prático, afinal, podemos saber

qual tamanho nos dará o menor custo e fabricação ou qual a aceleração máxima de um

carro. Esse estudo nos ajudará mais adiante nos problemas de otimização.

O principal teorema desse estudo (teorema de Fermat) nos diz que as derivadas dos pontos

de máximo e mínimo são zero. Esse teorema se torna bem intuitivo se pensarmos na função

como uma montanha ou uma depressão; no topo da montanha ou no fundo da depressão,

a reta tangente não terá inclinação, será paralela ao eixo x, ou seja, sua derivada é zero.

É importante diferenciarmos máximos e mínimos absolutos de máximos e mínimos locais.

Os valores absolutos são os maiores, ou menores, valores da função ou de um intervalo

inteiro da função (suas derivadas são zero!); já, os valores locais são os maiores ou menores

de uma vizinhança, suas derivadas também são zero, porém, esses valores não são os

maiores nem os menores da função.

Nesse intervalo, os pontos (0,0) e (3,-27) são pontos de mínimo local e o ponto (1,5) é ponto de

máximo local. Porém, o ponto de máximo absoluto é (-1,37)

(um dos extremos do intervalo) e o ponto de mínimo absoluto é

(3,-27), ou seja (3,-27) é mínimo local e absoluto da função.

Para acharmos esses pontos, precisamos seguir uma

estratégia, que consiste em acharmos os pontos críticos

da função no intervalo, mas que pontos críticos seriam

esses? São os pontos em que a derivada é zero ou não existe.

Após acharmos os pontos críticos, calculamos os valores desses pontos e os valores dos

pontos extremos do intervalo; dentre esses valores, o maior será o máximo absoluto e o

menor será o mínimo absoluto.

Se liga no exemplo!!

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto da função no

intervalo [0,3].

Para começarmos, vamos derivar a função e achar os pontos críticos:

Não há pontos onde a derivada não existe e a derivada será zero se , ou seja,

são nos pontos críticos.

Agora calculamos os valores nos pontos críticos e nos extremos, e achamos nossos valores

máximos e mínimos:

Chegamos a resposta, o valor de máximo absoluto é 19 e ocorre no extremo do intervalo, no

ponto x=3; o valor de mínimo absoluto é -1 e ocorre no ponto x=1

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto da função

no intervalo [-1,1].

Para começarmos, vamos derivar a função e achar os pontos críticos:

. A derivada será zero quando , o ponto crítico é

. Não há como o

denominador ser zero, porque não possui raízes reais.

Agora calculamos os valores nos pontos críticos e nos extremos, e achamos nossos valores

máximos e mínimos:

Chegamos a resposta, o valor de máximo absoluto é 1,1 e ocorre no ponto x = 1; o valor de

mínimo absoluto é -0,29 e ocorre no ponto x = -1/2.

3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

O Teorema do Valor Médio é fundamental no Cálculo, pois ele nos permitirá tirar

conclusões sobre derivadas, fazendo nosso estudo avançar. Para entendermos ele, será

preciso, antes, apresentarmos o Teorema de Rolle, depois perceberemos que o Teorema do

Valor Médio nada mais é do que uma generalização do Teorema de Rolle.

TEOREMA DE ROLLE

Se uma função, contínua e derivável em [a,b], tiver f(a) = f(b), há um ponto c onde a

derivada é zero (f’(c) = 0).

Podemos entender esse teorema se pensarmos no gráfico de funções; há três possibilidades

de uma função sair de uma altura y num gráfico e voltar para essa mesma altura com um x

diferente.

A função pode ser uma reta ligando a e b, ou seja, uma reta paralela ao eixo x, não havendo

inclinação e, portanto, tendo derivada zero. Ou a função irá crescer (ou decrescer), mas

precisará decrescer (ou crescer, respectivamente) para voltar à mesma altura; nesse

processo, haverá uma troca do sinal da derivada e em um ponto a derivada é zero,

permitindo a troca de sinal.

Agora, podemos enunciar o Teorema do Valor Médio e depois explicá-lo melhor:

TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Se uma função, contínua e derivável em [a,b], há um ponto c onde

ou .

Podemos interpretar do teorema que há um ponto c onde a derivada é paralela a reta de

liga f(a) e f(b), como a imagem nos ajuda a visualizar. Agora conseguimos enxergar que o

Teorema do Valor Médio é uma generalização do Teorema de Rolle.

Após obtermos esses resultados, podemos apresentar a outro resultado importante; se as

derivadas de duas funções são iguais ( f’(x) = g’(x) ), então, essas funções são iguais e

separadas, apenas por uma constante f(x) = g(x) + C, (se C = 0, as funções são exatamente

iguais).

Bora exercitar?

Encontre o ponto c que satisfaz o Teorema do Valor Médio de

no intervalo [-1,1].

Primeiro, vamos calcular a derivada da função:

Agora, aplicamos o TVM:

4 REGRA DE L’HÔSPITAL

Salvador da pátria!!

Agora que já sabemos derivar, podemos aprender um método muito útil para resolver

limites. A regra de L’Hôspital é válida para indeterminações do tipo

ou

, SÓ para esse

tipo, o método não nos dá uma ferramenta mágica para resolver qualquer limite; é muito

comum usar o método de maneira errada e encontrar resultados errados, então fique

atento para que a regra seja aplicada corretamente.

A regra se aplica caso tenhamos um

e para resolver esse limite

podemos calcular o limite das derivadas das funções sem alterar o resultado inicial, ou seja,

.

Exemplo

aplicando L’Hôspital...

Precisamos ficar atentos, pois, às vezes, a indeterminação não aparece de cara, precisamos

mudar a notação para chegarmos às indeterminações aplicáveis à regra de L’Hôspital. Em

geral, temos produtos de e reescrevemos como quocientes.

Se , podemos escrever como

e atingir a indeterminação desejada, neste caso,

. Dá uma ligada no exemplo

abaixo:

Resposta:

Substituindo em 0, a gente tem:

Reescrevendo, na forma a gente acabou de ver...

√ aplicando L’Hôspital...

Além desse tipo de recurso para reescrever as indeterminações, também podemos

encontrar indeterminações do tipo , para resolvermos, aplicamos o log e

usamos suas propriedades para chegarmos às indeterminações que se aplicam a regra.

Aplicando em 0, a gente vai ter y=

Aplicando o logaritmo dos dois lados, a gente vai ter...

(limite já calculado no exemplo anterior)

Agora precisamos “voltar” com o log...

Portanto,

Encontre os limites:

1)

Podemos ver que se trata de uma indeterminação do tipo

, então aplicamos L’Hôspital...

Podemos ver que a indeterminação

permanece, então aplicamos L’Hôspital novamente...

2)

Podemos ver que o se trata de uma indeterminação do tipo , então aplicamos o log dos dois

lados...

O limite acima apresenta uma indeterminação

, então aplicamos L’Hôspital...

Agora, precisamos voltar a função inicial...

Dá pra ver o quanto ele é salvador! Resolve muitos limites que antes a gente achava impossível de

responder, só toma cuidado pra não querer aplicar L’hôspital onde não deve!!

5 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Os problemas de otimização é uma aplicação do estudo de máximos e mínimos de funções,

eles consistem em, dado um problema, achar a solução mais vantajosa para o problema

dentre as possibilidades de um intervalo de valores. Para resolvermos, precisamos seguir

uma passo a passo que facilitará a resolução do problema:

1. Escrever a função do problema apenas com a variável que se quer minimizar ou

maximizar.

Se houver mais de uma variável, é preciso usar as informações do problema para

só haver uma variável.

2. Encontrar o intervalo em que a variável está definida.

3. Encontrar os pontos em que a derivada é zero e testar esses pontos e os

extremos, para encontrar o máximo ou o mínimo absoluto. (o que aprendemos em

Máximos e Mínimos de funções)

Saca só no exemplo:

Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a mínima.

Passo 1

A função a ser minimizada é . Porém, a função está com duas variáveis, então

vamos usar o outro dado do problema para reduzir a só uma variável

;

Passo 2

Como o problema nos pede x positivo, e não há como x ser maior que 100. Portanto,

nosso intervalo será [0,100].

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função e igualá-la a zero

Considerando nosso intervalo, x só pode ser 10.

Agora testamos os valores e achamos o mínimo absoluto:

Então, os dois números do problema são

.

Se 1200 cm²de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base

quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

Passo 1

Para eliminarmos a variável h da função, vamos analisar os outros dados do problema:

Área total = 1200cm²

Passo 2

O lado l precisa ser positivo (>0) e a área da base não pode ser maior que 12000 cm², então

. Nosso intervalo é .

Passo 3

Dadas as condições do problema, a maior área possível é 4.000 cm³.

Encontre o ponto sobre a reta que está mais próximo da origem.

Passo 1

Encontramos a função do problema a partir do teorema de Pitágoras:

Usando a reta dada no problema, escrevemos a função com apenas uma variável:

Passo 2

Se pensarmos no gráfico da reta, o ponto procurado está no segundo quadrante ( ), já

que ao cortar o eixo y, a reta só se distancia mais da origem. Além disso, o ponto não será

menor que a raiz da reta, ou seja,

. Nosso intervalo é, então,

.

Passo 3

(Não há como a raiz ter um valor nulo nem negativo, então não ponto onde a derivada não

exista)

Calculando os mínimos...

Portanto, o ponto da reta que tem menor distância até a origem é

6 ESBOÇO DE GRÁFICOS

Os problemas envolvendo esboços de gráficos costumam ter lugar garantido nas provas,

por isso, é preciso saber fazê-los. Veremos que esse se trata de um passo a passo

envolvendo os conceitos de limite, derivada e algumas aplicações, por isso, é muito

importante dominar os assuntos anteriores para facilitar a visualização do gráfico.

Revisando...

1. Assíntotas Verticais

No primeiro passo, vamos verificar se há assíntotas verticais na função, ou seja,

valores de x onde a função não existe.

Para fazermos isso, temos que achar algum ponto que cause problema no domínio

da função e depois calcular os limites laterais da função naquele ponto, assim,

veremos como a função se comporta quando tende àquele ponto.

Se o ponto x = a não está no domínio de f, fazemos:

É importante ressaltar que calcularemos os limites para todos os pontos que não

estão no domínio de f. Se não houver nenhum, significa que a função não tem

assíntotas verticais e não precisamos calcular nenhum desses limites.

2. Assíntotas Horizontais

Para verificarmos as assíntotas horizontais, devemos saber como a função se

comporta quando x é muito grande ou muito pequeno. Para isso, devemos calcular

os limites da função quando x tende a +∞ e -∞.

3. Estudo da Derivada Primeira

Nesse passo, vamos estudar o sinal da derivada da função e chegar a conclusões

sobre o comportamento da função.

Para isso, devemos derivar a função e achar os intervalos onde f’ é positiva e f’ é

negativa.

Com essas informações em mãos, podemos saber os intervalos onde f é crescente e

onde f é decrescente, afinal, se a derivada da função é positiva, essa função é

crescente, já que as retas tangentes têm inclinações positivas e; se a derivada é

negativa, a função é decrescente, já que as retas tangentes têm inclinações

negativas.

4. Teste da Derivada Primeira

Agora que temos os intervalos crescentes e decrescentes da função, temos que

classificar os pontos onde há a troca de crescente para decrescente, ou vice-versa,

nesses pontos a derivada é zero.

Precisamos saber, então, se esses pontos são máximos ou mínimos locais, para isso,

vamos analisar os intervalos; se a derivada é positiva, se torna zero no ponto e

depois é negativa, significa que o ponto é máximo local da função, (podemos

utilizar o mesmo pensamento para o ponto de mínimo local).

Além desses casos, um ponto pode ter derivada zero, porém não haver troca de

sinal da derivada nesses ponto. Esses são os pontos de inflexão e serão estudados

nos próximos dois passos.

f’(c) = 0; se f’ troca de positivo para negativo, c é ponto de máximo local.

f’(c) = 0; se f’ troca de negativo para positivo, c é ponto de mínimo local.

f’(c) = 0; se f’ não troca de sinal, c é ponto de inflexão.

5. Teste da Concavidade

Além de identificarmos os intervalos crescentes e decrescentes da função, podemos

estudar como são esses intervalos, ou seja, sua concavidade. A concavidade de uma

função pode ser “para cima” ou “para baixo” e isso dependerá da derivada da

derivada, ou seja, a derivada segunda da função.

Se a derivada segunda for positiva num intervalo, significa que a derivada vai

aumentando nesse intervalo, ou seja, a função tem concavidade para cima. Por outro

lado, se a derivada segunda for negativa num intervalo, a derivada vai diminuindo

nesse intervalo, então, a função tem concavidade para baixo.

Podemos constatar que esse raciocínio foi análogo à análise do passo 3, porém o

efeito sobre a função é diferente.

6. Pontos de Inflexão

Os pontos de inflexão são os pontos onde a derivada é zero, porém não há troca de

sinal da derivada e também os pontos onde a derivada segunda é zero. Nesses pontos,

há a troca de concavidade da função. Ao realizarmos os passos anteriores, os pontos

de inflexão surgem “naturalmente”.

Uma boa dica é ir esboçando seu gráfico a cada passo, assim você vai começar a visualizá-lo

melhor. Além disso, vale lembrar que esses são os passos para resolução dos problemas de

gráfico com o embasamento teórico, para que você fique craque no esboço de gráficos, é

preciso treinar essa resolução, ou seja, fazer exercícios! Geralmente são exercícios longos,

bem pesados, então toma cautela com qualquer continha que fizer, pois podem fazer uma

diferença enorme na resposta.

OBS: se quiser conferir exercícios sem gabarito ou visualizar melhor determinado gráfico,

sugerimos o site http://rechneronline.de/function-graphs/.

1) Esboce o gráfico de

Passo 1:

Podemos ver que a função está definida para qualquer valor de x, portanto, não há

assíntotas verticais.

Passo 2:

Ambos os limites são positivos, pois o termo de maior grau é par, assim um número

negativo infinitamente grande fará a função ter um valor positivo.

Passo 3:

Para estudar o sinal da derivada, vamos pensar nos termos separadamente e depois

analisar os intervalos de cada um:

Vamos analisar todas as possibilidades de intervalos e descobrir o sinal de f’:

Então, temos:

f(x) é crescente em

f(x) é decrescente em

Passo 4

Os pontos candidatos a máximo, mínimo ou ponto de inflexão são -1, 0 e 2, obtidos no

passo anterior, agora fazemos o teste da derivada primeira.

Pelos resultados obtidos no passo anterior:

x = -1 f’ troca de negativo para positivo mínimo local

x = 0 f’ troca de positivo para negativo máximo local

x = 2 f’ troca de negativo para positivo mínimo local

Passo 5

Agora precisamos saber a concavidade dos intervalos:

Resolvendo a equação de segundo grau temos que as raízes são

, utilizando uma calculadora .

; f tem concavidade para cima.

; f tem concavidade para baixo.

Passo 6

Os candidatos a ponto de inflexão surgem dos passos anteriores; do passo 4, não há

nenhum, do passo 6, há os pontos -0,55 e 1,22, neles, a derivada segunda é zero, portanto

de concavidade.

x = -0,55 f troca de concavidade para cima para concavidade para baixo

ponto de inflexão

x = 1,22 f troca de concavidade para baixo para concavidade para cima

ponto de inflexão

Agora você precisa juntar todas as informações e esboçar seu gráfico, ele deve se parecer

com esse:

Caraca!! Eu sei, é cansativo pra caramba! Dependendo do gráfico, vai ser bem trabalhoso mesmo!

Se fixa no passo a passo e vai dar tudo certo! Pode confiar!!

7 EXERCÍCIOS

As questões sobre aplicações de derivada são garantidas nas provas, por isso,

recomendamos que faça provas antigas como exercício, elas te darão uma boa base para

a prova. Você pode encontra-las aqui no nosso site, lá em provas antigas.

1) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,

01cm/min. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é

30cm.

2)Uma luz está no alto de um poste de 5m. Um menino de 1,6m se afasta do poste em

linha reta à razão de 1, 2m/s.

a) A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6m do poste?

b) A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra?

3) Seja . Determine o ponto c, pertencente ao intervalo [-3,3], tal que o

Teorema do Valor Médio é satisfeito.

4) Calcule os limites:

a)

b)

c)

5) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de piquenique

retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados

não adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será necessária para

completar o trabalho?

6) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções

(manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x³ – 3x² – 80x + 500. Cada mesa é

vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?

7) Esboce o gráfico de

8) Esboce o gráfico de

Gabarito

1) 0,15πcm²/min 2) a) 1,764m/s b) 0,564m/s 3) c = 0 4) a)3/2 b) 2/π c) 0

5) 200m 6) 32 mesas

7)