apostila 3 - derivadas
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apostilas de DerivadosTRANSCRIPT
D E R I V A D A S
Derivada de uma Função num Ponto Seja um ponto ),( 11 yxP da função )(xfy = definida no intervalo I, sendo então 1x
um elemento de I e )( 1xf seu valor correspondente para a função.
A diferença )()( 11 xfxxf -D+ chamamos de yD que será o acréscimo ou
incremento da função relativamente ao ponto .1x
O quociente x
y
DD
recebe o nome de razão incremental da função relativamente ao
ponto .1x
A derivada no ponto 1x é o limite da razão incremental quando xD tende para zero, quando este limite existir. Em símbolos:
Função Derivada A derivada de uma função )(xfy = para qualquer x pertencente ao seu domínio é dada por:
Se este limite existir.
y
x 1x xx D+1
)( 1xf
)( 1 xxf D+
P
Q
Damos um acréscimo ou incremento xD para a variável x em 1x e obte- mos um outro valor para a variável x que será
xx D+1 e que terá )( 1 xxf D+ como seu correspon- dente para a função.
xD
yD
)(xf
x
xfxxf
x
yxf
xx D-D+
=DD
=¢®D®D
)()(limlim)( 11
001
x
xfxxf
x
yxf
xx D-D+
=DD
=¢®D®D
)()(limlim)(
00
Exemplos Calcule as funções derivadas das seguintes funções: 1) xxf 2)( = Solução
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
x
yxf
xxxx D-D+
=D
-D+=
D-D+
=DD
=¢®D®D®D®D
222lim
2)(2lim
)()(limlim)(
0000
2)(2)2(lim2
lim)(00
=¢Þ==DD
=¢®D®D
xfx
xxf
xx
2) 1)( 2 -+= xxxf
Solução
[ ] [ ]x
xxxxxx
x
xfxxf
x
yxf
xxx D-+--D++D+
=D
-D+=
DD
=¢®D®D®D
11)()(lim
)()(limlim)(
22
000
[ ] [ ]x
xxxxxxxxxf
x D-+--D++D+D+
=¢®D
11)(2lim)(
222
0
( )x
xxxx
x
xxxxxxxxxf
xx DD+D+D
=D
+---D++D+D+=¢
®D®D
2
0
222
0
)(2lim
112lim)(
12)(12)12(lim)(0
+=¢Þ+=+D+=¢®D
xxfxxxxfx
3) xaxf =)( Solução
=D
-=
D-
=D
-D+=
DD
=¢D
®D
D+
®D®D®D x
aa
x
aa
x
xfxxf
x
yxf
xx
x
xxx
xxx
)1(limlim
)()(limlim)(
0000
aax
aa x
x
x
x
xln
1limlim
00×=
D-
×=D
®D®D
4) xsenxf =)( Solução
=D
-D+=
D-D+
=¢®D®D x
xsenxxsen
x
xfxxfxf
xx
)(lim
)()(lim)(
00
=D+
D
D
=D
+D+-D+
=®D®D®D 2
2coslim
2
2lim2cos
22
lim000
xx
x
xsen
x
xxxxxxsen
xxx
xxx
cos2
2cos1
2
02cos1 =´=
+´=
Notação Habitualmente a derivada de )(xfy = é representada por:
[ ])(,),(,,,)(, xfDyDxfDdx
df
dx
dyxfy xx
LeibnizLagrange 43421
43421¢¢
Formulas de Derivação As fórmulas de derivação são obtidas usando a definição de Derivadas e facilitam o seu cálculo. Usaremos nas fórmulas a notação de Lagrange, por ser mais simples. Funções Algébricas Sejam wvu ,, e t funções de x e os números reais n e .k Sejam as seguintes funções: I) Função Constante 0=¢Þ= yky
Exemplos 1) 03 =¢Þ= yy
2) 00 =¢Þ= yy
3) 05 =¢Þ-= yy
4) 0=¢Þ= yy p
II) Função Identidade 1=¢Þ= yky
III) Função Soma twvuytwvuy ¢-¢+¢+¢=¢Þ-++=
· Fórmula válida para qualquer número de funções.
Exemplos 1) 1013 =¢Þ+=¢Þ+= yyxy
2) 1015 =¢Þ+=¢Þ+= yyexy
3) 101 =¢Þ+=¢Þ+= yyxy p
IV) Função Produto vuvuyvuy ¢×+×¢=¢Þ×=
Exemplos 1) )4()3()4()3()4()3( +×-++×-=¢Þ+×-= xDxxxDyxxy
12341)3()4(1 +=¢Þ-++=¢Þ×-++×=¢ xyxxyxxy
2) )5()2()5()2()5()2( -×++-×+=¢Þ-×+= xDxxxDyxxy
32251)2()5(1 -=¢Þ++-=¢Þ×++-×=¢ xyxxyxxy
Observações a) Se vkyvkvyvkvkyvky ¢×=¢Þ¢×+×=¢Þ¢×+×¢=¢Þ×= 0
Exemplos 1) 212)(22 =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= yyxDyxy
2) eyeyxDeyexy =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= 1)(
3) 313)(33 =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= yyxDyxy
b) Se wvuwvuwvuywvuy ¢××+×¢×+××¢=¢Þ××=
Exemplos 1) )3(23)2(32)(32 xDxxxxDxxxxDyxxxy ××+××+××=¢Þ××=
2222 186663232321 xyxxxyxxxxxxy =¢Þ++=¢Þ××+××+××=¢
2) )1()2()1( +×+×-= xxxy )1()2()1()1()2()1()1()2()1( +×+×-++×+×-++×+×-=¢ xDxxxxDxxxxDy
1)2()1()1(1)1()1()2(1 ×+×-++××-++×+×=¢ xxxxxxy
2432113 2222 -+=¢Þ-++-+++=¢ xxyxxxxxy
V) Função Quociente
2v
vuvuy
v
uy
¢×-×¢=¢Þ=
Exemplos
1) 22
1)1(1)()1()1(1
x
xxy
x
xDxxxDy
x
xy
×+-×=¢Þ
×+-×+=¢Þ
+=
222
111
xy
xy
x
xxy -=¢Þ
-=¢Þ
--=¢
2) 2222
220120)(2)2(2
xy
xy
x
xy
x
xDxDy
xy -=¢Þ
-=¢Þ
×-×=¢Þ
×-×=¢Þ=
3) 22 )2(
1)3()2(1
)2(
)2()3()2()3(
2
3
+×--+×
=¢Þ+
+×--+×-=¢Þ
+-
=x
xxy
x
xDxxxDy
x
xy
22 )2(
5
)2(
32
+=¢Þ
++-+
=¢x
yx
xxy
VI) Função Potência uunyuy nn ¢××=¢Þ= -1
Exemplos 1) 44155 515)(5 xyxyxDxyxy =¢Þ××=¢Þ××=¢Þ= -
2) 66177 717)(7 xyxyxDxyxy =¢Þ××=¢Þ××=¢Þ= -
3) 2)12(3)12()12(3)12( 2133 ×-×=¢Þ-×-×=¢Þ-= - xyxDxyxy
62424)144(62)144(3 222 +-=¢Þ+-×=¢Þ×+-×=¢ xxyxxyxxy
4) 221)1(2)1()1(2)1( 122 +=¢Þ×+×=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xyxyxDxyxy
Aplicações 1º.) Derivada de um monômio 111 1)()( --- ××=¢Þ×××=¢Þ×××=¢Þ×=¢Þ×= nnnnn xnkyxnkyxDxnkyxDkyxky
Exemplos 1) 2133 15355 xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= -
2) 3144 12433 xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= -
3) 3144 344
3
4
3xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= -
4) 4155
3
105
3
2
3
2xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= -
2º.) Derivada de um polinômio O polinômio é uma soma algébrica de monômios. Aplicando a fórmula da função soma: twvuytwvuy ¢-¢+¢+¢=¢Þ-++= Exemplos 1) 861383 2 -=¢Þ+-= xyxxy
2) 310127354 223 -+=¢Þ+-+= xxyxxxy
3) 11094553 23234 -+-=¢Þ+-+-= xxxyxxxxy
4) 44155 )3(51)3(5)3()3(5)3( +=¢Þ×+×=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xyxyxDxyxy
5) )32()3(4)3()3(4)3( 32214242 ++=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xxxyxxDxxyxxy
VII) Função Raiz
n n
n
un
uyuy
1-×
¢=¢Þ=
Exemplos
1) x
yx
xDyxy
2
1
2
)(12
=¢Þ×
=¢Þ=-
2) x
yx
yx
xDyxy
2
1
22
2
)2(2
)2(2
12=¢Þ=¢Þ
×=¢Þ=
-
3) 3 233 23 23 13
3
223
4
163
4
)4(3
4
)4(3
)4(4
xy
xy
xy
x
xDyxy
××=¢Þ
×=¢Þ
×=¢Þ
×=¢Þ=
-
3 23 2 23
2
223
4
xy
xy =¢Þ
××=¢
4) 4 34 34 14
4
274
3
)3(4
3
)3(4
)3(3
xy
xy
x
xDyxy =¢Þ
×=¢Þ
×=¢Þ=
-
Exercícios Obter as funções derivadas das funções: 1) 4=y 0=¢y 2) xy 3= 3=¢y 3) 34 -= xy 4=¢y
4) 752 2 +-= xxy 54 -=¢ xy
5) 1)( 234 ++-= xxxxf xxxxf 234)( 23 +-=¢
6) 5
8
4xy = 5
3
5
32xy =¢
7) 35)( -= ttf 415)( --=¢ ttf
8) )1)(1( 32 --= xxy xxxdx
dy235 24 --=
9) ty 3= tdt
dy
32
3=
10) 35)( -= ttf 352
5
-=
tdt
df
11) 3 4xy = 3 23
4
x
xy =¢
12) 5 2xy = 5 35
2
xy =¢
13) 3 2)2( -= xy 3 23
2
-=¢
xy
14) 3
1
xy =
4
3
xy -=¢
15) 2
1
--
=x
xy
2)2(
1
--=¢x
y
16) x
xy
+=
1
2)1(2
1
xx
xy
+
-=¢
17) 1
12
2
+-
=t
ty
22 )1(
4
+=¢t
ty
18) 1+×= xxy xx
xy
+
+=¢
22
12
19) 22 1 tty -= 2
3
1
32
t
tt
dt
dy
-
-=
20) 3
1
1)( ÷
ø
öçè
æ-+
=x
xxf
4
2
)1(
)1(6
-+
-=x
x
dx
df
Funções Exponenciais e Logarítmicas Sejam u e v funções de ,x a um número real e o numero de Euler ...71828,2=e , que é a base do sistema de logaritmos neperianos. I) Função Exponencial a) uaayay uu ¢××=¢Þ= ln
b) ueyey uu ¢×=¢Þ=
II) Função Logarítmica
a) eu
uyuy aa loglog
¢=¢Þ=
b) u
uyuy
¢=¢Þ= ln
III) Função Exponencial Geral a) vuuuuvyuy vvv ¢××+¢××=¢Þ= - ln1
Exercícios Calcular as funções derivadas das seguintes funções: 1) xey -= R.: xey --=¢
2) xey = xey =¢
3) 32)( -= xexf 322)( -=¢ xexf
4) xx
xx
ee
eey -
-
+-
= 2)(
4xx eedx
df-+
=
5) 23xay = aaxy x ln6
23=¢
6) 23)( xxf x= )3ln2(3)( xxxf x +=¢
7) )53log( 2 -= ty et
ty log
53
62 -
=¢
8) 2)3ln( += xy 3
2
+=¢x
y
9) )3(ln 2 += xy 3
)3ln(2
++
=¢x
xy
10) xxy = )ln1( xxy x +=¢
11) xxy ln2= )1ln2( +=¢ xxy
12) xx eexy 552 -+= xx exxey 525 5)52( --+=¢
Funções Circulares Diretas Seja u uma função de .x a) uuyuseny ¢×=¢Þ= cos
b) uusenyuy ¢×-=¢Þ= cos
c) uuyutgy ¢×=¢Þ= 2sec
d) uuyugy ¢×-=¢Þ= 2seccoscot
e) uutguyuy ¢××=¢Þ= secsec
f) uuguyuy ¢××-=¢Þ= cotseccosseccos
Exercícios Calcular as derivadas das funções: 1) xseny 3= R.: xy 3cos3=¢
2) 4xseny = 43 cos4 xxy =¢
3) xseny 3= xxseny cos3 2=¢ 4) xy 2cos= xseny 22-=¢
5) xtgy 2= xxtgy 2sec2=¢
6) 4cot xgy = 423 seccos4 xxy -=¢
7) xy 3cos2= xsenxy 2cos6-=¢ 8) xsenxy = xxxseny cos+=¢
9) x
xseny =
2
cos
x
xsenxxy
-=¢
10) xseny = xsen
xy
2
cos=¢
11) xgxtgy cot-= xxy 22 seccossec +=¢ 12) )(cosxseny = )(coscos xxseny -=¢
13) x
ysec
4=
x
xtgy
sec
2-=¢
14) xsenxy 32cos -= xxseny cos322 --=¢
Regra da Cadeia Sendo )(ufy = e )(xgu = podemos calcular a derivada da função composta de
gcomf usando a fórmula:
dx
du
du
dy
dx
dy×=
Exemplos Use a Regra da Cadeia para obter as derivadas das seguintes funções: 1) 43 )( xxy -= Solução
Fazendo xxu -= 3 e 4uy = temos: 13 2 -= xdx
du e 34u
du
dy= , então
)13()(4)13(4 23323 --=-×=Þ×= xxxxudx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
2) )54ln( -= xy Solução
Fazendo 54 -= xu e uy ln= temos: 4=dx
du e
udu
dy 1= , então
54
444
1
-==×=Þ×=xuudx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
Exercícios Usando a Regra da Cadeia, obter as derivadas de: 1) )35( 2 += xseny R.: )35cos(10 2 +=¢ xxy
2) 123 += xy 3ln36 2xy ×=¢
3) 52 )1( += xy 42 )1(10 +=¢ xxy
4) xseny 3= xxseny cos3 2=¢
5) )2log( += xy 2
log
+=¢x
ey
Derivadas de Funções Inversas Seja a função )(xfy = derivável e inversível num intervalo fechado. A derivada
da função inversa )(1 yfx -= no mesmo intervalo é dada por:
xd
ydyd
xd 1=
Funções Circulares Inversas Seja u uma função de .x Seja a função usenarcy = , sua inversa é ysenu = .
Temos que 22 11cos udy
duyseny
dy
du-=Þ-==
A função usenarcy = é definida no intervalo úû
ùêë
é-2
,2
pp, onde o cosseno é positivo.
De acordo com a fórmula da função inversa: 21
11
udy
dudu
dy
-==
Aplicando a Regra da Cadeia: 22 11
1
u
uy
dx
du
udx
du
du
dy
dx
dy
-
¢=¢Þ×
-=×=
a) 21 u
uyusenarcy
-
¢=¢Þ=
b) 21
cosu
uyuarcy
-
¢-=¢Þ=
c) 21 u
uyutgarcy
+
¢=¢Þ=
d) 21
cotu
uyugarcy
+
¢-=¢Þ=
e) 1
sec2 -
¢=¢Þ=
uu
uyuarcy
f) 1
seccos2 -
¢-=¢Þ=
uu
uyuarcy
Exercícios Calcular as derivadas das funções:
1) xsenarcy 3= R.: 291
3
xy
-=¢
2) 3cos xarcy = R.: 6
2
1
3
x
xy
--=¢
3) x
tgarcy1
= R.: 1
12 +
-=¢x
y
4) )23( -= xsenarcy R.: 3129
32 -+-
=¢xx
y
5) 22xtgarcy = R.: 441
4
x
xy
+=¢
6) )25( 3xsenarcy -= R.: 23
2
)25(1
6
x
xy
---=¢
7) x
xarcy
-=
2cos R.:
xxy
-×--=¢
1)2(
1
8) )1(cot 2xgarcy -= R.: 4222
2
xx
xy
+-=¢
9) xsenarcxy += 2 R.: 21
12
xxy
-+=¢
10) xtgarcxy = R.: 21 x
xxtgarcy
++=¢
Derivadas de Funções Hiperbólicas Funções Hiperbólicas
2
uu eeusenh
--=
2cosh
uu eeu
-+=
uu
uu
ee
ee
u
usenhutgh -
-
+-
==cosh
uu
uu
ee
ee
utghugh -
-
-+
==1
cot
uu eeuuh -+
==2
cosh
1sec
uu eeusenhuh --
==21
seccos
Fórmulas de Derivação
uuyusenhy ¢×=¢Þ= cosh
uusenhyuy ¢×=¢Þ= cosh
uuhyutghy ¢×=¢Þ= 2sec
uuhyughy ¢×-=¢Þ= 2seccoscot
uuhguhyuhy ¢××-=¢Þ= cotseccosseccos
uuhtguhyuhy ¢××-=¢Þ= secsec
Exercícios Calcular a derivada das funções 1) )3( xsenhy = R.: )3cosh(3 xy =¢ 2) )1( 2xtghy += R.: )1(sec2 22 xhxy +=¢
3) 2sec xhxy = R.: 2222 secsec2 xhxtghxhxy +-=¢ 4) )2(ln xtghy = R.: )4(seccos4 xhy =¢
5) x
y1
coth= R.: x
hx
y1
seccos1 2
2=¢
Funções Hiperbólicas Inversas
)1ln( 21 ++=- uuusenh
)1ln(cosh 21 -+=- uuu )1( ³u
u
uutgh
-+
=-
1
1ln
2
11 )1( 2 <u
1
1ln
2
1cot 1
-+
=-
u
uugh )1( 2 >u
u
uuh
21 11
lnsec-+
=- )10( £< u
u
uuh
21 11
lnseccos++
=- )0( ¹u
Fórmulas de Derivação
12
1
+
¢=¢Þ= -
u
uyusenhy
1cosh
2
1
-
¢=¢Þ= -
u
uyuy )1( ³u
2
1
1 u
uyutghy
-
¢=¢Þ= - )1( 2 <u
2
1
1cot
u
uyughy
-
¢=¢Þ= - )1( 2 >u
2
1
1sec
uu
uyuhy
-
¢-=¢Þ= - )10( << u
2
1
1seccos
uu
uyuhy
+
¢-=¢Þ= - )0( ¹u
Exercícios
1) )3(1 xsenhy -= R.: 19
32 +
=¢x
y
2) )(cosh 1 xey -= R.: 12 -
=¢x
x
e
ey
3) )2
(2 1 xtgtghy -= R.: xy sec=¢
4) x
ghy1
cot 1-= R.: 1
12 --
=¢x
y
5) )(cossec 1 xhy -= R.: xy sec=¢ Derivadas Sucessivas Seja a função 12)( 23 ++= xxxf , vamos obter as seguintes derivadas:
®+=¢ xxxf 43)( 2 derivada primeira ou derivada de 1ª. ordem, ®+=¢¢ 46)( xxf derivada segunda ou de 2ª. ordem, ®=¢¢¢ 6)(xf derivada terceira ou de 3ª. ordem,
®= 0)()4( xf derivada quarta ou de 4ª. ordem,
M logo, ,0)()( =xf n se ®³ 4n derivada enésima ou de ordem .n Exercícios I) Obter a derivada de ordem n das seguintes funções:
1) xexf -=)( R.:ïî
ïíì -
=-
-
parnparae
imparnparaexf
x
x
n )()(
2) 123 -+-= xxxy 40)( ³= nsey n
3) xsenxf =)(
ïïî
ïïí
ì
=
=-
=-
=
=
,...12,8,4/
,...11,7,3/cos
,...10,6,2/
,...9,5,1/cos
)()(
npxsen
npx
npxsen
npx
xf n
4) 2)(
x
exf = 2)(
2
1)(
x
n
n exf =
5) x
y1
= )1()( )(!)1( +--= nnn xny
II) Dada a função ,32432)( 234 +-+-= xxxxxf calcular 1) )2(-¢f R.: 118- 2) )2(f ¢¢ 68 3) )1(f ¢¢¢ 30
4) )0()4(f 48 Derivadas de Funções Implícitas A equação define 0),( =yxF define y como uma função implícita de .x Exemplos
· 3694 22 =+ yx
· 02222 =++- yxxyyx
· 3=+- yxyx
· 233 =+ xyyx A derivada y¢ pode ser obtida por um dos seguintes processos:
a) Resolver, se possível, em relação a y e derivar em relação a .x Este processo somente deve ser usado quando podemos isolar facilmente o .y
b) Admitindo y como uma função de ,x derivar a equação dada em relação a x e resolver o resultado em relação a .y¢ Este processo de derivação é conhecido como derivação implícita.
Exemplos Calcular as derivadas das funções: 1) 0432 =-+ yyx Solução
3
22)3(032
2
22
+-=¢Þ-=+¢Þ=¢+¢+x
xyyxyxyyyxxy
2) 05323 =+- yyx Solução
0)32(30323 23222322 =-¢+Þ=¢-¢+ yyxyyxyyyyxyx
23
222223
32
33)32(
yyx
yxyyxyyxy
--=¢Þ-=-¢
Exercícios I) Obter y¢ nas seguintes funções, por derivação implícita.
1) 0843 33 =-+ yx R.: 2
2
4
3
y
xy -=¢
2) 02 2222 =-+- yxyxxy yxxy
xyxyy
42
222
2
----
=¢
3) 0334 =- xyyx xyx
yyxy
33
3424
33
-+-
=¢
4) xyyx 422 =- yx
yxy
+-
=¢2
2
5) 2yyx -= y
y21
1
-=¢
6) 633 =- yx 32
2
x
yy =¢
7) 41
2
1=+
yx
2
2
2x
yy -=¢
8) 22 463 xxyy =- xy
xyy
33
43
-+
=¢
9) 3694 22 =+ yx y
xy
9
4-=¢
10) 3=+- yxyx x
yy
--
=¢1
1
II) Calcule 2
2
yd
xd das seguintes funções representadas na forma implícita:
1) 0642 2 =-- yx 32
2 1
xxd
yd-=
2) xyx ln=- 32
2
)1( --=x
x
xd
yd
Regra de L’Hospital Esta regra é usada no cálculo de limites, para levantar indeterminações da forma
0
0 ou
¥¥
, e consiste em derivar-se separadamente numerador e denominador,
tantas vezes quantas forem necessárias. Exemplos Calcular os seguintes limites:
1) ®==® 0
0
0
0lim
0
sen
x
xsen
xindeterminado
11
1
1
0cos
1
coslimlim
00====
®®
x
x
xsen
xx
2) ®=+--
+-=
+--+-
=+--
+-® 0
0
1111
231
1111
2)1(31
1
23lim
23
3
23
3
1 xxx
xx
xindeterminado
®=--
-=
---
=--
-=
+--+-
®® 0
0
123
33
1)1(2)1(3
3)1(3
123
33lim
1
23lim
2
2
2
2
123
3
1 xx
x
xxx
xx
xxindeterminado
2
3
4
6
26
6
2)1(6
)1(6
26
6lim
123
33lim
12
2
1==
-=
-=
-=
---
®® x
x
xx
x
xx
Exercícios Usando a Regra de L’hospital, calcular os seguintes limites:
1) 3
9lim
2
3 --
® x
x
x R.: 6
2) x
xx
x
121lim
2
0
---®
1-
3) 3
lnlim
x
x
x +¥® 0
4) xx e
x
+¥®lim 0
5) xsen
x
x 20
cos1lim
-®
2
1
6) 2
lim2
2 --
® x
eex
x 2e
7) x
x
x
)1ln(lim
0
+®
1
8) xsen
x
x 2
3
0
cos1lim
-®
2
3
9) xsenx
x
x -® cos
2coslim
4
p 2
10) x
ex
x
1lim
++¥®
¥+
Significado Geométrico de Derivada Seja um ponto ),( 11 yxP da função )(xfy = definida no intervalo I, sendo então 1x
um elemento de I e )( 1xf seu valor correspondente para a função.
A diferença )()( 11 xfxxf -D+ chamamos de yD que será o acréscimo ou
incremento da função relativamente ao ponto .1x Consideremos a reta secante s que passa pelos pontos P e Q e que forma um ângulo b com o eixo das abscissas e a reta t , tangente ao gráfico da função
)(xf no ponto P , e que forma um ângulo a com o eixo das abscissas.
O quociente x
y
DD
recebe o nome de razão incremental da função relativamente ao
ponto 1x , sendo igual a tangente trigonométrica do ângulo b que é igual ao coeficiente angular da reta .s
smtgx
xfxxf
x
y==
D-D+
=DD
b)()( 11
A derivada no ponto 1x é o limite da razão incremental quando xD tende para zero, quando este limite existir.
y
x 1x xx D+1
)( 1xf
)( 1 xxf D+
P
Q
Damos um acréscimo ou incremento xD para a variável x em 1x e obte- mos um outro valor para a variável x que será
xx D+1 e que terá )( 1 xxf D+ como seu correspon- dente para a função.
xD
yD
b a
t
s )(xf
Mas quando xD tender a zero, o ponto Q se aproximará de P e a reta secante s transformar-se-á na reta tangente t e o ângulo b tenderá para o ângulo a , portanto o coeficiente angular da reta s transformar-se-á no coeficiente angular da reta .t Temos então:
txx
mtgx
xfxxf
x
y==
D-D+
=DD
®D®Da
)()(limlim 11
00
Portanto: “A derivada da função )(xfy = no ponto P é a declividade ou o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico neste ponto”. Exemplos 1) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 21)( xxf -=
no ponto de abscissa .21 =x Solução
4422)2(2)( -=Þ-=×-=¢=Þ-=¢tt mfmxxf
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 24)( xxxf -= no
ponto de abscissa .31 =x Solução a) Coeficiente angular: tm
2264)3(324)3(24)( -=Þ-=-=¢Þ×-=¢Þ-=¢tmffxxf
b) Ponto de tangência: ),( 11 yxP
)3,3(3912334)3()( 2
11 Tfxfy Þ=-=-×=== c) Equação da tangente: Sabemos da Geometria Analítica que equação do feixe de retas que passa por um ponto ),( 11 yxP é )( 11 xxmyy t -=- .
Temos então 92362623)3(23 +-=Þ++-=Þ+-=-Þ--=- xyxyxyxy
Exercícios 1) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xxxf 2)( 2 -= no ponto
de abscissa .11 =x R.: 1-=y 2) Determine a equação da tangente ao gráfico da função 1)( 3 -= xxf no ponto
de abscissa .21 =x R.: 1712 -= xy
3) Determine a equação da tangente ao gráfico da função 3 2)( xxf = no ponto
de abscissa .221 =x R.: 3
2
3
2+=x
y
4) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xgy 2cot= no
ponto ÷ø
öçè
æ0,
4
p. R.: 0
22 =-+
pyx
5) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xy ln= , no ponto de interseção com o eixo das abscissas. R.: 01=-- yx
Significado Físico de Derivada Seja um móvel que se desloca segundo a equação horária ),(tSS = onde o
espaço S depende do tempo .t
Fazendo tD tender a zero teremos a velocidade do móvel no instante t , denominada velocidade instantânea que é dada por:
td
Sd
t
tSttS
t
Sv
tt=
D-D+
=DD
=®D®D
)()(limlim
00
Portanto: A velocidade instantânea de um móvel é igual a derivada da função
)(tSS = no instante t considerado.
De modo análogo dada a equação da velocidade )(tvv = , a aceleração média
de um móvel é dada por t
vam D
D= , onde vD indica a variação de velocidade e tD
a variação de tempo entre dois instantes quaisquer. Fazendo tD tender a zero
teremos a aceleração instantânea num determinado instante 1t que é dada por:
S
t t tt D+
)(1tS
)(tSS =
SD
tD P
Q
Sabemos da física, que a velocidade média de um móvel é
dada por t
Svm D
D= , onde SD
indica a variação do espaço percorrido e tD o tempo gasto para percorrê-lo.
)(1
ttS D+
td
vd
t
va
t=
DD
=®D 0
lim
Portanto: A aceleração instantânea de um móvel é igual a derivada da função
)(tvv = no instante t considerado.
Resumindo: Derivando a equação horária obtém-se a equação da velocidade e derivando a equação da velocidade obtém-se a equação da aceleração. Exemplo 1) Um ponto percorre uma curva obedecendo a equação horária 2)( 2 -+= tttS . Calcular sua velocidade e sua aceleração no instante .2=t (Unidades S.I.) Solução
smvSvttSv /5514122)2(12)( =Þ=+=+×=¢=Þ+=¢=
./22)()( 2smatStva =Þ=¢¢=¢=
Exercícios 1) Um móvel desce um plano inclinado segundo a equação horária
tttS 612)( 2 += (Unidade S.I.). Pede-se:
a) sua velocidade s3 após a partida, R.: sm /78 b) sua velocidade inicial. sm /6 2) Determine a velocidade e a aceleração de uma partícula cuja função horária é
( ) 2320 ttS += (Unidade S.I.) no instante .0 st = R.: 2/6/0 smesm
3) Um móvel em movimento sobre uma reta tem velocidade 3)( ttv = no
instante st 2= (Unidade S.I.). Calcular a aceleração neste instante. R.:
2
3/
43
1sm .
4) Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação 2
73)(
+-
=t
ttS (Sistema
CGS). Determinar sua velocidade e sua aceleração após deslocar cm2 ?
R.: scm /13
1 e 2/
169
2scm-
5) Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação 432 24 --= ttq (q em radianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares
após 4 segundos. R.: sradw /488= e srad /378=a
A Derivada como Taxa de Variação Toda Derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função )(xfy = , quando a variável independente varia de um valor x até um valor xx D+ , a correspondente variação de y será )()( xfxxfy -D+=D .
O quociente x
xfxxf
x
y
D-D+
=DD )()(
representa a taxa média de variação de y
em relação a x .
A derivada x
xfxxf
xd
ydxf
x D-D+
==¢®D
)()(lim)(
0 é a taxa instantânea de variação ou
simplesmente a taxa de variação de y em relação a x . Exemplos 1) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por tttS 16)( 2 += , 80 ££ t , onde t é dado em segundos e S em metros.Pede-se: a) A taxa de variação média da velocidade(velocidade média) entre os instantes 3 e 4 . b) A taxa de variação da velocidade no instante 3=t (Velocidade no instante
3=t ). Solução
a) smSS
t
S/23
1
5780
1
)489(6416
1
)3163(4164
34
)3()4( 22
=-
=+-+
=×+-×+
=--
=DD
b) smSSttS /22)3(1661632)3(162)( =¢Þ+=+×=¢Þ+=¢
Obs.: Nos instantes:îíì
=Þ=
=Þ=
smvst
smvst
/223
/244smvmédia /23=Þ
2) O raio de uma circunferência cresce à razão de scm/21 . Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? Solução
scmtd
ld
td
ld
td
rd
td
ldrl /4221222 pppp =Þ×=Þ=Þ=
Exercícios 1) Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar: a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 5,2 a m0,3 ; R.: mm /5,5 2 b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede .4 m
R.: mm /8 2 2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia à razão de scm /5,12 . Calcular a taxa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede cm10 . R.: scm /750.3 3
3) Uma escada cujo comprimento é de m10 está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de sm /2 , com que velocidade o topo da escada desliza parede abaixo quando está a m6 acima
do solo? R.: sm /3
8-
4) Um gás de um balão esférico escapa na razão .min/2 3dm Qual a razão de
diminuição da superfície do balão, quando o raio for de dm12 ? R.: sdm /3
1 2-
5) O raio de uma esfera é r no fim de t segundos. Calcular o raio quando as
taxas de variação da superfície e do raio forem numericamente iguais. R.: ..8
1cu
p
Funções Crescentes e Decrescentes Sejam as retas 1t e 2t tangentes respectivamente aos gráficos das funções )(xf
e )(xg nos pontos de abscissa 1x abaixo:
Se Þ>Þ> )()( 2121 xfxfxx função crescente
Se Þ<Þ> )()( 2121 xgxgxx função decrescente
Sabe-se que a derivada da função num ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste ponto. Quando a derivada é positiva o ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas é menor do que 090 , portanto a função é crescente. Quando a derivada é negativa o ângulo é maior do que 090 , portanto a função é decrescente. Teorema de Rolle Se f é uma função contínua em [ ]ba, e derivável em ] [ba, e )()( bfaf =
então existe pelo menos um ponto ] [bac ,Î tal que .0)( =¢ cf Demonstração Existem dois casos que devem ser considerados.
y
x O
)(xf 1t
1x
)( 1xf
1x
)( 1xg
)(xg
2t
O
x
y
a a
Função Crescente Função Decrescente
0)( 1 <¢== xgtgmt a 0)( 1 >¢== xftgmt a
1º. Caso: f é constante em [ ]ba,
2º. Caso: f não é constante em [ ]ba,
Exemplo Dada a função ,594)( 23 xxxxf +-= verificar se estão satisfeitas as condições para validade do Teorema de Rolle em cada um dos seguintes intervalos:
[ ] úû
ùêë
é2
5,1,1,0 e .
2
5,0 úû
ùêë
é Determinar um número c em cada um desses intervalos
de modo que .0)( =¢ cf Solução Sendo uma função polinomial, f é derivável e contínua em R, portanto também é derivável e contínua nos intervalos dados.
Temos 0)0( =f , 0)1( =f e 4
75
2
5=÷
ø
öçè
æf . Então o teorema de Rolle só é valido no
intervalo [ ]1,0 . Assim [ ]1,0Îc e .0)( =¢ cf
f
a b x
y
Neste caso )()()( bfafcf == ,
para todo [ ]., bacÎ Assim
0)( =¢ cf para todo ] [bac ,Î .
a b 1c 2c 3c
f
Neste caso )()()( bfafcf =¹
para algum [ ]., bacÎ Observa-se que os pontos 1C e
2C são pontos de máximo e o
ponto 3C é o ponto de mínimo e
nestes pontos .0)( =¢ cf
1C
2C
3C
y
x
îíì -
=+
=Þ+-=¢12
219
12
21951812)( 2 xouxxxxf portanto
12
219 -=c .
Interpretação Geométrica O Teorema de Rolle diz que se a função é contínua em [ ]ba, e derivável em
] [ba, e assume valores iguais nos extremos deste intervalo, então existe ao
menos um ponto do intervalo ] [ba, , onde a tangente ao gráfico da função é
paralela ao eixo dos x . Exercícios Nos exercícios abaixo verificar se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas pelas funções no intervalo considerado. Depois calcular um valor c pertencente ao intervalo que verifique a tese do teorema. 1) 86)( 2 +-= xxxf e [ ]4,2 R.: 3=c
2) xxxf 16)( 3 -= e [ ]4,0 3
34=c
Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio Se f é uma função contínua em [ ]ba, e derivável em ] [,, ba então existe ao
menos um ponto ] [bac ,Î tal que )()()(
cfab
afbf¢=
-
-.
Demonstração
Seja a função )(xF que mede a diferença entre a curva f e a reta secante .AB
A
B C
a c b
)(cf f
x
y
)(xF Seja a equação da reta secante AB : )( AA xxmyy -=- , onde
ab
afbfm
--
=)()(, )(afyA = e
axA = . Portanto temos
)()()(
)( axab
afbfafy -
--
=-
)()()()(
afaxab
afbfy +-
--
=
)(af
)()()()(
)()()( afaxab
afbfxfyxfxF --
--
-=-=
Mas nos pontos A e B 0)()( == bFaF , condição que satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle, portanto
,0)( =¢ cF então
ab
afbfcf
ab
afbfxfxF
--
=¢Þ--
-¢=¢)()(
)()()(
)()(
Exemplo Dada a função ,53)( 23 -+= xxxf verificar que as condições para validade do teorema do valor médio estão satisfeitas para 1-=a e .2=b Encontrar todos os
números ,c [ ],2,1-Îc tal que )1(2
)1()2()(
----
=¢ff
cf .
Solução Sendo f uma função polinomial, então ela é contínua e derivável em R, portanto
também é no intervalo [ ].2,1- Temos então
155232)2( 23 =-´+=f , 35)1(3)1()1( 23 -=--´+-=-f e xxxf 63)( 2 +=¢ .
Portanto 066366312
31563
)1(2
)1()2()( 222 =-+Þ=+Þ
++
=+Þ----
=¢ ccccccff
cf
{ 31310222 --=¢¢+-=¢Þ=-+ couccc . Somente 31+-=c satisfaz a condição de pertencer ao intervalo [ ].2,1-
Interpretação Geométrica O Teorema de Lagrange diz que se a função é contínua em [ ]ba, e derivável em
] [ba, então existe pelo menos um ponto no intervalo considerado onde a reta
tangente ao gráfico é paralela à reta determinada pelos pontos ( ))(, afaA e
( ))(, bfbB
Exercícios Nos exercícios abaixo verificar se as hipóteses do teorema do Valor Médio são satisfeitas pelas funções no intervalo considerado. Depois calcular um valor c pertencente ao intervalo que verifique a tese do teorema. 1) 2)( xxf = e [ ]2,0 R.: 1=c
2) 12)( 2 -+= xxxf e [ ]1,0 2
1=c
3) 3 2)( xxf = e [ ]1,0 27
8=c
4) 2100)( xxf -= e [ ]6,8- 2±=c Valores Críticos e Pontos Críticos Um número a do domínio da função )(xfy = denomina-se valor crítico, se
0)( =¢ af ou se )(af ¢ não existe. O ponto ( ))(, afa é um ponto crítico da função. Os pontos de máximo, mínimo e de inflexão são exemplos de pontos críticos de uma função. No gráfico seguinte, A , B , C , D , E e F são pontos críticos e as abscissas a , b , c , d , e e f são valores críticos. Observar que não existe a derivada no ponto A e nos demais pontos críticos a derivada é nula.
Máximos e Mínimos Locais Uma função )(xfy = tem um valor máximo local ou máximo relativo para
ax = , se existir um intervalo aberto I que contém a e )(af for maior do que os valores que imediatamente o precedem e o sucedem na função. Uma função )(xfy = tem um valor mínimo local ou mínimo relativo para ax = , se existir um intervalo aberto I que contém a e )(af for menor do que os valores que imediatamente o precedem e o sucedem na função. Os pontos de máximo local ou de mínimo local são pontos extremos ou são os extremantes da função e )(af é chamado de valor extremo de f .
a b c
d
e f 1x 2x
A
B
C
D
E
F
O
x
y
Exemplos 1) Na função 21)( xxf -= , existe um ponto de máximo local para 0=x e o máximo local de f é 1)0( =f .
2) Na função 1)( 2 -= xxf , existe um ponto de mínimo local para 0=x e o mínimo local de f é 1)0( -=f .
3) Na função xsenxf =)( , existe um ponto de máximo local para 2
p=x e o
máximo local de f é 12
)2
( ==pp
senf e existe um ponto de mínimo local para
2
3p=x e o mínimo local de f é 1
2
3)
2
3( -==
ppsenf .
x
1-
y
1- 1 O
x
1
y
1- 1
O
x
y
O 2
3p
2
p
1
1-
4) Abaixo temos o gráfico da função )(xfy = , no intervalo [,] 21 xx , A e C são pontos de máximo local e B e D são pontos de mínimo local.
Máximos e Mínimos Absolutos Na maioria dos problemas práticos, devemos encontrar um máximo absoluto ou um mínimo absoluto de uma função num determinado intervalo. O máximo absoluto num intervalo é o valor máximo da função no intervalo e o mínimo absoluto é o menor valor no intervalo. Os extremos absolutos podem coincidir com os extremos locais. Nos três primeiros exemplos anteriores os extremos locais coincidem com os extremos absolutos. No quarto exemplo, no intervalo
],[ 21 xx , o máximo absoluto é o ponto A e o mínimo absoluto é o ponto D . Determinação dos Máximos e Mínimos pelo Método da Primeira Derivada Em pontos onde a função )(xf é derivável, a reta tangente ao gráfico da função nos pontos de máximo e mínimo é paralela ao eixo das abscissas, então, o ângulo que a mesma forma com o eixo é nulo, portanto nesses pontos a derivada da função é nula. O gráfico abaixo mostra que na vizinhança do ponto de máximo, a função passa de crescente para decrescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de 1x passa de positivo para negativo. No ponto de mínimo, a função passa de decrescente para crescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de 2x passa de negativo para positivo. Nos pontos de máximo a concavidade da curva é voltada para baixo e nos pontos de mínimo a concavidade é voltada para cima.
A
B
C
a b
c d
O
y
x
)(xf
1x
D
2x
Ponto de Inflexão Se a derivada não mudar de sinal ao passar pelo ponto crítico temos um ponto de inflexão. No exemplo temos um ponto de inflexão com reta horizontal ou ponto de inflexão horizontal para 0=x . Observando o gráfico da função
3)( xxf = , o sinal da primeira derivada é positivo para todo Îx R* e nulo para 0=x . Observar que no ponto de inflexão a concavidade muda de sentido. Para 0<x a concavidade é para baixo e para 0>x a concavidade é para cima.
1x 2x
x
x
y )(xfy =
O
y
Seja a função )(xf definida e derivável num intervalo aberto ),( ba : 1º.) Calcula-se os zeros da equação 0)( =¢ xf , obtendo-se os valores críticos. 2º.) Estuda-se o sinal de )(xf ¢ nas proximidades dos valores críticos.
· Se )(xf ¢ mudar de positivo para negativo )(xfÞ passa por um máximo;
· Se )(xf ¢ mudar de negativo para positivo )(xfÞ passa por um mínimo;
· Se )(xf ¢ não mudar de sinal , temos um ponto de inflexão.
Vemos que o método da primeira derivada consiste em estudar o sinal de )(xf ¢ próximo aos valores críticos. O quadro acima resume o método. Exemplos Determinar os extremantes das seguintes funções: 1) 13)( 3 +-= xxxf Solução 1º.) 11133033)(0)( 21
222 =-=Þ=Þ=Þ=-=¢Þ=¢ xouxxxxxfxf 2º.) Sinal de )(xf ¢ .
Observamos que no ponto 1- a função )(xf ¢ muda de sinal positivo para negativo, sendo portanto um ponto de máximo local. No ponto 1+ , a função )(xf ¢ muda de sinal negativo para positivo indicando um ponto de mínimo local.
–
+ +
1- 1 x
)(xf ¢
y
x
3
1-
1-
1
)3,1(-
)1,1( -
Gráfico
13)( 3 +-= xxxf
Observação: O ponto de inflexão não tem derivada nula, portanto não é um ponto de inflexão horizontal. 2) 1)( 23 -+--= xxxxf Solução
1º.) 3
110123)(0)( 1
2 =-=Þ=+--=¢Þ=¢ xouxxxxfxf
2º.) Sinal de )(xf ¢ .
Observamos que no ponto 1- a função )(xf ¢ muda de sinal negativo para
positivo, sendo portanto um ponto de mínimo local. No ponto 3
1, a função )(xf ¢
muda de sinal positivo para negativo indicando um ponto de máximo local.
– –
+ 1- 3
1
x
Gráfico
x
y
3
1
1-
2-
27
22-
1)( 23 -+--= xxxxf
)2,1( --
÷ø
öçè
æ -27
22,
3
1
Determinação dos Máximos e Mínimos pelo Método da Segunda Derivada O método da segunda derivada, consiste em estudar o sinal de )(xf ¢¢ para os valores críticos. O quadro abaixo explica o método. Exemplos Determinar os extremantes das funções: 1) 13)( 3 +-= xxxf Solução 1º.) 11033)(0)( 1
2 =-=Þ=-=¢Þ=¢ xouxxxfxf 2º.) xxf 6)( =¢¢
· 06)1(6)1( <-=-=-¢¢f : a função passa por um máximo.
· 06)1(6)1( >==¢¢f : a função passa por um mínimo. 2) 1)( 23 -+--= xxxxf Solução
1º.) 3
110123)(0)( 21
2 =-=Þ=+--=¢Þ=¢ xouxxxxfxf
2º.) 26)( --=¢¢ xxf
· 06)1(6)1( >=--=-¢¢f : a função passa por um mínimo.
· 02)3
1(6)( <-=-=¢¢ xf : a função passa por um máximo.
Seja a função )(xf definida e derivável num intervalo aberto ),( ba : 1º.) Calcula-se os zeros da equação 0)( =¢ xf , obtendo-se os valores críticos. 2º.) Calcula-se a derivada segunda )(xf ¢¢ e verifica-se seu sinal para os valores críticos obtidos.
· Se 0)( <¢¢ xf : a função passa por um máximo.
· Se 0)( >¢¢ xf : a função passa por um mínimo.
· Se 0)( =¢¢ xf : nada se pode afirmar, devemos aplicar o método da primeira derivada.
Observação: A função xxf =)( tem um mínimo local para 0=x mas não é
derivável neste ponto, portanto 0)( ¹¢ xf .
Exercícios Determinar as coordenadas dos pontos extremos das seguintes funções: 1) 14)( 2 --= xxxf R.: Mínimo: )5,2( -
2) 21
)(x
xxf
+= R.: Mínimo: )
2
1,1( -- , Máximo: )
2
1,1(
3) 1033 +-= xxy R.: Mínimo: )8,1( , Máximo: )12,1(-
4) 1)( 3 += xxf R.: Não tem
5) 34 4)( xxxf -= R.: Mínimo: )27,3( -
Problemas de Máximos e Mínimos 1) Calcular dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível. Solução Seja x e y dois números positivos:
xyyx -=Þ=+ 1616 e 216)16( xxxxPyxP -=-×=Þ×=
Devemos encontrar o valor máximo da função, portanto inicialmente calcularemos para que valor de x , a derivada primeira é nula.
80216 =Þ=-= xxdx
dP, e verificar se a derivada segunda é negativa.
Þ<-= 022
2
xd
PdMáximo
881616 =Þ-=Þ-= yyxy R.: 88 e
x
y
xxf =)(
O
2) Uma pedra é lançada ao ar. Suponha que sua altura h , em metros, t segundos após o lançamento, seja ttth 105)( 2 +-= . Qual é a altura máxima atingida por esta pedra? Em que instante ela a atinge? Solução Devemos novamente encontrar o valor máximo da função.
sttdt
dh101010 =Þ=+-=
Þ<-= 0102
2
dt
hdMáximo
mhh 5)1(105)1(10)1(5)1( 2 =Þ+-=+-=
R.: A altura máxima da pedra será de m5 e conseguirá depois de s1 . Exercícios 1) Deve-se construir uma caixa com base retangular, a partir de um retângulo de cm16 de largura e cm21 de comprimento cortando-se um quadrado em cada
quina. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o volume máximo. R.: cmcm 33 ´ 2) Uma folha de papel deve conter 232 cm de texto impresso, devendo suas margens superior e inferior ter cm2 e suas margens laterais cm1 . Quais devem ser as dimensões da folha de modo que sua área seja a menor possível? R.: cmcm 126 ´ 3) Um terreno tem forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem m18 e m30 respectivamente. Deseja-se construir um edifício com a forma retangular
com frente sobre o cateto maior de modo que a área seja máxima. Quais as dimensões do retângulo? R.: mm 915 ´ 4) Uma caixa com tampa tem uma capacidade de 3512 dm . Sendo a base quadrada, quais são as dimensões para que a área total seja mínima? R.: Cubo de dm8 de aresta 5) Determine o raio de um cilindro de revolução com 316 cmp de volume, para que a superfície total seja mínima. R.: cm2
DESENVOLVIMENTO DE FUNÇÕES Fórmula de Taylor A Fórmula de Taylor permite representar algumas funções através de um Polinômio, com um erro possível de ser estimado. Se considerarmos a função
RIf ®: que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo I , então o polinômio de Taylor de ordem n definida no ponto c é dada por:
!
))((
!3
))((
!2
))(())(()()(
)(32
n
cxcfcxcfcxcfcxcfcfxP
nn
n
-++
-¢¢¢+
-¢¢+-¢+= K
Obs.: Para 0=c a Fórmula de Taylor transforma-se na Fórmula de MacLaurin. Exemplos 1) Determinar o Polinômio de Taylor de ordem 4 da função xexf =)( no ponto
.0=c Solução
!4
))((
!3
))((
!2
))(())(()()0(
4)4(32 cxcfcxcfcxcfcxcfcfPn
-+
-¢¢¢+
-¢¢+-¢+=
24
)0)(0(
6
)0)(0(
2
)0)(0()0)(0()0()0(
4)4(32
4
-+
-¢¢¢+
-¢¢+-¢+=
xfxfxfxffP
Sabemos que xexfxfxfxfxf ==¢¢¢=¢¢=¢= )()()()()( )4(
Então 1)0()0()0()0()0( 0)4( ===¢¢¢=¢¢=¢= efffff
Portanto 2462
1)(432
4
xxxxxP ++++= é o Polinômio de Taylor de grau 4 da função
xexf =)( no ponto .0=c 2) Determinar o Polinômio de Taylor de grau 2 da função ,cos)( xxf = no ponto
.0=c Solução
10cos)0(cos)( ==Þ= fxxf 00)0()( =-=Þ-=¢ senfxsenxf
10cos)0(cos)( -=-=¢¢Þ-=¢¢ fxxf O Polinômio de grau 2 no ponto 0=c é dado por:
!2
)0)(()0)(0()0()(
2
2
-¢¢+-¢+=
xxfxffxP
21)(
2
)0(1)0(01)(
2
2
2
2
xxP
xxxP -=Þ
--+-+=
3) Determinar o Polinômio de Taylor de grau 4=n para a função xxf ln)( = no ponto .2=c Solução
2ln)2(ln)( =Þ= fxxf
2
1)2(
1)( 1 =¢Þ==¢ - fxx
xf
4
1)2()( 2 -=¢¢Þ-=¢¢ - fxxf
4
1)2(2)( 3 =¢¢¢Þ=¢¢¢ - fxxf
8
3)2(6)( )4(4)4( -=Þ-= - fxxf
O Polinômio de grau 4 no ponto 2=c será:
!4
)(
!3
)2)(2(
!2
)2)(2()2)(2()2()(
)4(32
4
xfxfxfxffxP +
-¢¢¢+
-¢¢+-¢+=
432 )2(64
1)2(
24
1)2(
8
1)2(
2
12ln)( ---+---+= xxxxxPn
APLICAÇÕES DAS SÉRIES Tábuas de logaritmos e de funções trigonométricas foram calculadas por meio das séries. Efetuaremos a seguir Três cálculos por meio de séries. 1) Calcular o valor de 062sen com cinco decimais exatas. Solução Desenvolvendo a série de Taylor em potências de )( cx - temos:
K+-
--
--+= ccx
csencx
ccxcsenxsen cos!3
)(
!2
)(cos)(
32
Façamos 060=c , pois conhecemos as funções trigonométricas de 060 e porque é próximo de .620
Então: 034907,090
26062 000 ===-=-p
cx e
K+--×+= 03
02
000 60cos!3
)034907,0(60
!2
)034907,0(60cos034907,06062 sensensen
K+´-´-´+=2
1
6
)034907,0(
2
3
2
)034907,0(
2
1034907,0
2
362
320sen
88295,0000004,0000528,0017454,0866025,0620 =--+=sen
2) Calcular o valor de e com quatro decimais exatas. Solução Desenvolvendo a série de Taylor em potências de )( cx - sendo 0=c temos:
K++++++++=50407201202462
1765432 xxxxxx
xe x
K++++++++=5040
1
720
1
120
1
24
1
6
1
2
1111e
K++++++++= 00020,000139,000833,004167,016667,05,011e
7183,2=e
3) Calcular o valor de 035cos com quatro decimais exatas.
K+-
+-
+-
---=!4
cos)(
!3
)(
!2
cos)()(coscos
432 xcxsenxcxxcxsenxcxxx
Façamos 030=c , pois conhecemos as funções trigonométricas de 030 e porque é próximo de .350
Então: 08727,0180
553035 000 =
´==-=-
pcx e
K+´
+
+´
+´
-´-=
24
)08727,0(30cos
6
)08727,0(30
2
)08727,0(30cos08727,03030cos35cos
40
3020000 sen
sen
K+´+´+´-´-=240
00006,0
2
3
6
00066,0
2
1
2
00762,0
2
308727,0
2
1
2
335cos 0
K+++--= 000002,000006,000330,004364,086603,035cos 0
8192,035cos =