FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA

CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994

Curso: Engenharia de Produção Tipo de atividade: ExercíciosDisciplina: Cálculo IIProfessor: Maria Auxiliadora LagePeríodo/turma: 3º Data: --/04/2014Aluno(a):

Derivadas Parciais Definição Equação do Plano Tangente Regra da Cadeia e Aplicações

Introdução

Se y = f (x) é uma função de uma variável real, sua derivada

f ' ( x )= limΔx→0

( f ( x+Δx )−f ( x )Δx pode ser interpretada como a taxa de variação de y em

relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f .Se z = f (x, y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por

isso, denominadas derivadas parciais. a derivada parcial de f em relação a x considera apenas x como variável e y

permanece constante. Notações: f x=

∂ f∂ x

a derivada parcial de f em relação a y considera apenas y como variável e x

permanece constante.Notações: f y=

∂ f∂ y

Valem para as derivadas parciais as fórmulas análogas às das funções de uma variável.

Participe da Resolução

1. (G) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:

a. O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros

de raio e y metros de altura.

b. A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala

retangular de largura a e comprimento b.

c. A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para

revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura e

y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.

2. Dadas as funções abaixo, calcule os valores funcionais indicados, sendo:

a) f ( x , y )=5x−13 y−x2 y+7 a1) f(2,3) = ? a2) f(-1,0) = ?

b) f ( x , y )=4 y3+12x

y+√ y+3−15

a1) f(3,1) = ? a2) f(6,-2) = ?

3. (ST)Se f ( x , y )=x3+x2 y3−2 y2, determine:

a.f x=

∂ f∂ x

b. f x (2,1)

c.f y=

∂ f∂ y

d. f y (2,1 )

4. (SH) Se f ( x , y )=x3 y2−2x2 y+3 x , determine:

a. f x ( x , y )

b. f y (x , y )

c. f x (2,−1)

d. f y (2 ,−1)

5. Se f ( x , y )=x2+3 xy2+2 y+3 yx2 , determine:

a.f x=

∂ f∂ x

b.f y=

∂ f∂ y

6. Se w=3 xe2 y+5x2, determine:

a.

∂w∂ x

b.

∂w∂ y

7. Se w=2 x2 y−5 yexy+3 x , determine:

a.

∂w∂ x

b.

∂w∂ y

8. Se Z=x2sen2 y+x cos2x , determine:

a.

∂Z∂ x

b.

∂Z∂ y

9. (SH) Ache

∂w∂ y se w=xy 2exy .

Interpretação geométrica das derivadas parciais

As derivadas parciais, podem ser interpretadas como as inclinações das retas tangentes em P(a,b,c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y=b e x= a

Sejam S o gráfico de z=f(x,y) e P(a,b,c) um ponto de S onde f x e

f y existem. Sejam C1

e C2 os traços (cortes) de S nos planos y=b e x=a, respectivamente e seja, T 1e T 2 as tangentes a C1 e C2 em P.

(i) O coeficiente angular de T 1 no plano-y=b é f x (a ,b )

(ii) O coeficiente angular de T 2 no plano-x=a é f y (a ,b) . (SWOKOWSKI,1995, p.386)

Participe da resolução

1. (ST) Sef ( x , y )=4−x2−2 y2, encontre f x (1,1)e f y (1,1 )e interprete esses números

como inclinações .

2. Se f ( x , y )=sen ( x

1+ y ), calcule

∂ f∂ x

e ∂ f∂ y

3. Determine

∂ z∂ x

e ∂ z∂ y se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela

equação x3+ y3+z3+6 xyz=1 .

Resp:

∂ z∂ x

=−( x2+2 yz )z2+2 xy

∂ z∂ y

=−( y2+2 xz )z2+2 xy

As derivadas parciais podem ser interpretadas como taxa de variação. Se

z=f(x,y), então

∂ z∂ x representa a variação de z com relação a x quando y é mantido

fixo. Da mesma forma,

∂ z∂ y representa a taxa de variação de z em relação a y,

quando x é mantido fixo.

Regra da Cadeia e Aplicações

Se w=f (u , v ) , com u=g ( x , y )e v=h( x , y )e se f, g e h são diferenciais, então:

∂w∂ x

=∂w∂ u

∂u∂ x

+∂w∂v

∂ v∂ x e

∂w∂ y

=∂w∂ u

∂ u∂ y

+∂w∂ v

∂ v∂ y .

(SWOKOWSKI,1995, p.398)

Regra da cadeia e diagrama em árvore.Para achar a taxa de variação de uma variável com relação a outra numa cadeia de funçõescompostas diferenciáveis;a) Trace um diagrama em árvore exprimindo as relações entre as variáveis e assinale cada ligação no diagrama a derivada que relaciona as variáveis nas extremidades.b) Paca cada caminho entre duas variáveis multiplique as derivadas de cada passo ao longodo caminho.c) Some as contribuições de cada caminho.

Participe da Resolução

1. Por meio da regra da cadeia, ache

∂w∂ p e

∂w∂ q se w=r3+s2

, com r=pq2 s=p2senq .

2. Use a regra da cadeia para achar

∂w∂ t , se w=x2+ yz , com y=2t−4 , z=t3

.

3. Calcule

∂w∂ h sendo w=x2+2 xy , x=3h e y=e2 h

4. Use a regra da cadeia para calcular

∂ z∂ t :

a. z=x3−3 xy2 , x=2t , y=t2

b. z=x2+3 y+1 , x=2 t+1 , y=t2

5. Sendo z=xe y+ y2sen ( x ) , comx=s2 t e y=st , calcular

∂ z∂ s e

∂ z∂ t

6. Determine

∂ z∂ t , sendo:

a. z=x2+xy− y2 , x=1−t , y=e t

b. z=x2 y+xy−3 , x=−t , y=ln t

Taxas relacionadas – Aplicações da Regra da CadeiaAs regras da cadeia são úteis na resolução de problemas de taxas relacionadas.

7. Seja um reservatorio de forma cilíndrica de 2 m de raio e 3 m de altura, calcule a variação do volume deste reservatorio quando as medidas são modificadas para 2,1m de raio e 2,8m de altura. (Lembre-se: volume do cilindro é calculado pela fórmula V=πr2 h ) R: 1,256m3/t

8. A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6 cm3/min. Ao vazar a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta a razão de 0,25cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm3, o raio é de 5cm. Determine a taxa de variação da altura da pilha. R: 0,076

9. Dada uma caixa retangular de comprimento (a), largura (b) e altura (c). As medidas da Caixa variam em função do tempo. Em certo instante, as dimensões da Caixa são a=1,3m, b= 1,6m e 2= 2 m e a e b aumentam a uma taxa de 1,2m/s e 1,4 m/s, respectivamente. A altura diminui a taxa de 2,83m/s. Nesse instante, determine a taxa de variação do volumen. R: 1,59m3/s

10. A pressão P(k,Pa), o volume V(litros) e a temperatura T(Kelvin) de 1 mol de gás ideal estão relacionadas pela equação PV=8,31T. encontré a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de 300K e está aumentando numa taxa de

0,1K/s e o volume é de 100 L e está aumentando numa taxa de 0,2L/s. R: ∂P∂ t

=−0 ,4155KPa /s

11. (SH) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de Ohm, I = V/R, e uma regra de cadeia, para achar a taxa à qual a corrente I (em ampères) varia em função do tempo.

12. A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 cm e está crescendo à uma taxa de 0,5 cm/s enquanto a sua largura é de 6 cm e está crescendo a 0,2 cm/s?

13. Uma peça cilíndrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio diminui à razão de 0,02 cm/s e a altura aumentar à razão de 0,03 cm/s, então determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

14. Uma peça retangular de metal tem 10 cm de base e 16 cm de altura. Se a base aumentar à razão de 0,04 cm/s e altura aumentar à razão de 0,02 cm/s, então determine a taxa de variação da área em relação ao tempo.

Exercícios de Aplicação - Lista 1

1. (SH) Ache os valores funcionais indicados:

a. f ( x , y )=2x− y2 , f (−2,5 ), f (0 ,−2 )

b.f ( x , y )= y+2

x, f (3,1 ), f (2,0)

c. f (r , s )=√1−r−ers , f (1,1) , f (0,4 )

d. f ( x , y , z )=√25−x2− y2−z2 , f (1 ,−2,2 )

e.f ( x , y , z )=2+tgx+ ysenz , f ( π

4,4 ,

π6

)

2. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo:

a. f ( x , y )=3x−2 y 4

b. f ( x , y )=x+5 y2+3

c. f ( x , y )=x3−5 y2+3xy

d. f ( x , y )=x5+3 x3 y2+3 xy4

e. f ( x , y )=xy

f. f ( x , y )=π⋅x2 y

g. f ( x , y )=xe3 y

h.f ( x , y )= x2

y

i.f ( x , y )= x

2+ 1y+7 x2 y

j.f ( x , y )= 3

x2− 1

y−√ x

k. f (r , s )=r ln (r2+s2 )

l. f ( x , y )=senx cos y

3. (SH) Seja z=f ( x , y )=x−4 y+3 .a. Calcule dz ;

b. Use dz encontrado para determinar a variação de z=f ( x , y )quando ( x , y )varia

de (1 , 3)para (1 ,01; 2,99 ).c. Compare com o resultado acima encontrado.

4. (SH) Seja V=f (r , h )=πr2h a função que nos dá o volume de um cilindro.d. Calcule dV ;

e. Use dV encontrado para determinar a variação de V=f (r , h )=πr2h quando o raio e a altura do cilindro variam de 6 cm e 15 cm para 6,01 e 15,02, respectivamente.

f. Compare com o resultado acima encontrado.

5. (SH) O raio o e a altura de um cilindro reto são 8 cm e 20 cm, respectivamente,

com erro possível de medida de ±0 ,01cm . Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do cilindro. (Lembre-se: volume do cilindro é

calculado pela fórmula V=πr2 h)

6. (SH) Seja um reservatório de forma cilíndrica de 2 m raio e 3 m de altura. Calcule um valor aproximado para a variação do volume deste reservatório, quando as medidas são modificadas para 2,1 m de raio e 2,8 m de altura.

7. Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.a) z=x3 - 3xy2; x=2t, y=t2

b) z= xlny; x=3t, y=et

7. Calcule dz/dt, sendo z=x2+ 3y+1, x=2t+1 e y= t2.

8. Sendo z = xey + y2sen(x), com x = s2t, y = s.t, calcular:

∂ z∂ s

,∂ z∂ t

9. Dados w = t2 + st, com t = x2 e s = lny, calcular:

∂w∂ x

,∂w∂ y

10. Sendo z = exseny, com x = st2 e y = s2 t, determinar

∂ z∂ s

,∂ z∂ t

11. (SH) Um certo gás obedece à lei dos gases ideiais PV=8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à taxa de 2°/min e a pressão esteja aumentando à taxa de ½ (kg/cm2)/min. Se, em certo instante, a temperatura é de 200° e a pressão é 10 (kg/cm2), ache a taxa à qual o volumen está variando.

12. (SH) A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6 cm 3/min. Ao vazar, a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à razão de ¼ cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm 3, o raio é de 5 cm, determine a taxa de aumento da altura da pilha.

13. (ST) O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 4,6 cm/s enquanto que a altura decresce à taxa de 6,5cm/s. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 300 cm a altura é de 350 cm?

14. (ST) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são l=1 m e w = h = 2 m, l e w aumentam a uma taxa de 2m/s, ao passo que h diminui à taxa de 3m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.

a. O volume. R: 6m3/sb. A área da superficie. R: 10 m2/s

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GONÇALVES, M. B. FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Múltiplas, Integrais Curvelíneas e de Superfícies. 2 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1995. 763 p. v. 2.