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  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    Captulo 14Derivadas Parciais

  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    14.3Derivadas Parciais

    Nesta

    seo, ns

    aprenderemos

    sobre:Os vrios

    aspectos

    de derivadas

    parciais.

    DERIVADAS PARCIAIS

  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    INTRODUO

    Em

    um dia

    quente, a umidade

    muito

    alta

    aumenta

    a sensao

    de calor, ao

    passo

    que,

    se o ar

    est

    muito

    seco, temos

    a sensao

    de temperatura

    mais

    baixa

    do que

    a indicada

    no termmetro.

  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    O Servio

    Meteorolgico

    do Canad

    introduziu

    o humidex

    (ou

    ndice

    de

    temperatura-umidade) para

    descrever

    os

    efeitos

    combinados

    da

    temperatura

    e

    umidade.

    HUMIDEX

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    O humidex

    I

    a temperatura

    aparente

    do ar

    quando

    a temperatura

    real for T e a umidade

    relativa

    for H.

    Deste modo, I uma funo de T e H.

    Podemos escrever I = f(T, H).

    HUMIDEX

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    A tabela

    de valores

    de I a seguir

    a parte de uma

    tabela

    compilada

    pelo

    Servio

    Meteorolgico.

    HUMIDEX

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    Vamos

    nos

    concentrar

    na

    coluna

    assinalada.

    Ela corresponde umidade relativa de H = 60%.

    Ento, estaremos considerando o humidex como umafuno de uma nica varivel T para um valor fixado de H.

    HUMIDEX

  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    Vamos

    escrever

    g(T) = f(T, 60).

    Ento, g(T) descreve:

    como o humidex I aumenta medida que a

    temperatura real T aumenta quando a umidade

    relativa 60%.

    HUMIDEX

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    A derivada

    de g

    quando

    T 30 C

    a taxa

    de

    variao

    de I com relao

    a T quando

    T =

    30 C:

    HUMIDEX

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    Podemos

    aproximar

    seu

    valor usando

    a

    tabela

    e tomando

    h

    = 2 e 2.

    HUMIDEX

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    Tomando

    a mdia

    desses

    valores,

    podemos

    dizer

    que

    a derivada

    g(30)

    aproximadamente

    1,75.

    Isso significa que, quando a temperatura real de 30 C e a umidade relativa de 60%, a temperatura aparente (humidex) aumenta cercade 1,75 C para cada grau que a temperatura real aumenta.

    HUMIDEX

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    Olhemos

    agora para

    a linha

    sombreada

    da tabela.

    Ela corresponde temperatura fixa de T = 30C.

    HUMIDEX

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    Os nmeros

    da

    linha

    correspondem

    aos

    valores

    da

    funo

    G(H) = f (30, H).

    Eles descrevem como o humidex cresce com o aumento de umidade relativa H quando a temperatura real de T = 30C.

    HUMIDEX

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    A derivada

    dessa

    funo

    quando

    H =

    60%

    a taxa

    de variao

    de I com relao

    a H

    quando

    H =

    60%:

    HUMIDEX

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    Tomando

    h =

    5 and 5, aproximamos

    o

    valor de G(60) usando

    os

    valores

    tabelados:

    HUMIDEX

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    Tomando

    a mdia

    desses

    valores, obtemos

    a estimativa

    G(60)

    0,3

    Isso nos diz que, quando a temperatura de 30 C e a umidade relativa de 60%, o humidexaumenta em cerca de 0,3 C para cada pontoporcentual que a umidade relativa aumenta.

    HUMIDEX

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    DERIVADAS PARCIAIS

    Em

    geral, se f

    uma

    funo

    de duas variveis

    x e y, suponha

    que

    deixemos

    somente

    x variar

    enquanto

    mantemos

    fixo

    o valor de y, por

    exemplo, fazendo

    y =

    b, onde

    b

    uma

    constante.

    Estaremos ento considerando, realmente, umafuno de uma nica varivel x, a saber g(x) = f(x, b).

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    Se g

    tem derivada

    em

    a, ns

    a chamaremos

    derivada parcial de f em relao a x em (a, b).

    E a denotaremos

    por

    fx

    (a, b).

    Assim, fx

    (a, b) = g(a)

    onde

    g(x) = f(x, b).

    DERIVADAS PARCIAIS Equao 1

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    Pela

    definio

    de derivada, temos

    e assim

    a Equao

    1 fica

    DERIVADAS PARCIAIS Equao 2

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    Da

    mesma

    forma, a derivada parcial de f

    em relao a y em (a, b), denotada

    por

    fy

    (a, b),

    obtida

    mantendo-se x fixo (x = a)

    determinando-se a derivada em b da funoG(y) = f(a, y)

    DERIVADAS PARCIAIS

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    Ento,

    DERIVADAS PARCIAIS Equao 3

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    Com essa

    notao

    para

    as derivadas

    parciais, podemos

    escrever

    as taxas

    de

    variao

    do ndice

    de calor

    I com relao

    temperatura

    real T e umidade

    relativa

    H

    quando

    T =

    30 C e H =

    60% como

    segue:

    fT

    (30, 60)

    1,75 fH

    (30, 60)

    0,3

    DERIVADAS PARCIAIS

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    Se agora deixamos

    o ponto

    (a, b) variar

    nas

    Equaes

    2 e 3, fx

    e fy

    se tornam

    funes

    de duas

    variveis.

    DERIVADAS PARCIAIS

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    Se f

    uma

    funo

    de duas

    variveis, suas

    derivadas

    parciais

    so

    as funes

    fx

    e fy

    e

    definidas

    por:

    DERIVADAS PARCIAIS Equao 4

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    Existem

    diversas

    notaes

    alternativas

    para

    as derivadas

    parciais.

    Por exemplo, em vez de fx, podemos escrever f1ou D1f (para indicar a derivao em relao primeira varivel) ou f/x.

    Mas aqui f/x no pode ser interpretada comouma razo de diferenciais.

    NOTAES

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    Se z

    = f(x, y), escrevemos

    NOTAO PARA AS DERIVADAS PARCIAIS

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    Para calcular

    as derivadas

    parciais, tudo

    o que

    temos

    a fazer

    :

    Nos lembrarmos, a partir da Equao 1, que a derivada parcial com relao a x a derivadaordinria da funo g de uma nica varivel obtidamantendo-se fixo o valor de y.

    DERIVADAS PARCIAIS

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    REGRA PARA DETERMINAR A DERIVADA PARCIAL DE z = f(x, y)

    Ento, temos

    a seguinte

    regra.

    1.

    Para encontrar

    fx

    , trate

    y como

    uma constante

    e derive f (x, y) com relao

    a x.

    2.

    Para encontrar

    fy

    , trate

    x como

    uma constante

    e derive f (x, y) com relao

    a y.

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    Se f(x, y) = x3 + x2y3

    2y2

    determine fx

    (2, 1) e fy

    (2, 1).

    DERIVADAS PARCIAIS EXEMPLO 1

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    Mantendo

    y constante

    e derivando

    em relao

    a x, obtemos

    fx

    (x, y) = 3x2

    + 2xy3

    E assim,

    fx

    (2, 1) = 3 . 22

    + 2 . 2 . 13

    = 16

    DERIVADAS PARCIAIS EXEMPLO 1

  • 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

    Mantendo

    x constante

    e derivando

    em relao

    a y, obtemos

    fy

    (x, y) = 3x2y2

    4y

    E assim,

    fy

    (2, 1) = 3 . 22 . 12

    4 . 1 = 8

    DERIVADAS PARCIAIS EXEMPLO 1

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    INTERPRETAO GEOMTRICAPara dar

    uma

    interpretao

    geomtrica

    para

    as derivadas

    parciais, lembremo-nos

    de que a equao

    z

    = f(x, y) representa

    uma

    superfcie

    S (o grfico

    de f ).

    Se f(a, b) = c, entoo ponto P(a, b, c)

    pertence a S.

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    Fixando

    y

    = b, restringimos

    nossa

    ateno

    curva C1

    na

    qual

    o plano

    vertical y = b

    intercepta

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