ap. de geometria analtica e vetores - machado

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Geometria Analítica para os cursos de

Engenharia e Licenciatura Eurípedes MACHADO Rodrigues

Geometria Analítica - Vetores

Aluno(a):_________________________________RA:___________

Prof. Eurípedes Machado Rodrigues

AGO/11

1



SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL*

1. Coordenadas cartesianas ortogonais Seja αααα o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que interceptarão Ox e Oy respectivamente em P1 e P2. Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota-se a seguinte nomenclatura:

a) Abscissa de P é o número real xP = OP1 ; b) Ordenada de P é o número real yP = OP2 ; c) Coordenadas de P são os números reais xP e yP indicados na forma de um par

ordenado (xP ; yP);

d) O eixo dos x ou Ox será chamado eixo das abscissas;

e) O eixo dos y ou Oy será chamado eixo das ordenadas;

f) O plano formado pelo par de eixos Oy e Ox será chamado plano cartesiano;

g) O sistema de eixos formados por Oy e Ox é chamado sistema cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular);

h) O ponto O é chamado de origem do sistema cartesiano ortogonal. y xP (abscissa de P) P(x ; y) P2 yP (ordenada de P) O P1 x

αααα

NOTA: Os eixos coordenados Oy e Ox dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares que são denominadas quadrantes:

y 2º quadrante 1º quadrante (− ; +) (+ ; +) O x 3º quadrante 4º quadrante (− ; −) (+ ; −)

•

* A palavra “cartesiano” refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obras

escrevendo seu nome em latim: Cartesius.

A palavra “ortogonal” é utilizada aqui pelo fato de os eixos OX e OY formarem ângulo reto.

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Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A(4 ; 3) , B(−1; 3) , C(−3 ; −4) , D(4 ; −2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4) y

2. Ponto Simétrico

A) Em relação ao eixo das abscissas (eixo x): y P(x, y) x P’ é o ponto simétrico de P em relação ao eixo x. P’(x, −−−−y) B) Em relação ao eixo das ordenadas (eixo y): y P’(−−−−x, y) P(x, y) P’ é o ponto simétrico de P em relação ao eixo y. x C) Em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal: y P(x, y) P’ é o ponto simétrico de P em relação à x origem do sistema. P’(−−−−x, −−−−y)

Exercícios 1) Dar as coordenadas dos pontos simétricos de A(3; 2), B(−2; 5), C(−2; −3), D( 5, −2)

e E(5; 0) em relação ao eixo das ordenadas. 2) Dado o ponto P(x; y), determine a condição par que: a) P pertença ao eixo x; b) P pertença ao eixo y; c) P pertença ao 2º quadrante (excluídos os eixos); d) P pertença à bissetriz dos quadrantes impares. 3) Num quadrado ABCD contido no 1º quadrante temos: A(1; 1) e B(4; 1). Determinar as coordenadas dos vértices C e D.

x

⊡

⊡

3



SÍMBOLOS USADOS NA TEORIA DOS CONJUNTOS:

∃ : existe (quantificador existencial)

∃І : existe um único

∄ : não existe

∀ : qualquer que seja ou “para todo” (quantificador universal) | : tal que

∈ : pertence ou “é elemento de” (elemento pertence a conjunto)

∉ : não pertence ou “não é elemento de”

⊂ : está contido (conjunto contido em outro conjunto)

⊃ : contém (conjunto contém outro conjunto)

⊄ : não está contido (“tal conjunto não está contido em tal conjunto”)

⊅ : não contém (“tal conjunto não contém tal conjunto”)

∪ : união ou reunião de conjuntos

∩ : intersecção de conjuntos

⇨ ou ⇒ : implica, acarreta, tem por conseqüência (se, então)

⇔ : dupla implicação ou bi-implicador, equivalente (se, e somente se)

⇏ : não implica, não acarreta ℜ : conjunto dos números reais

ℜ2 ou ℰ2 : conjunto dos pontos do espaço bidimensional

ℜ3 ou ℰ3 : conjunto dos pontos do espaço tridimensional

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Reta Orientada - Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.

Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.

Segmento Nulo

Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.

Segmentos Opostos

Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA = (−AB) é oposto de AB.

Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por . .

Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:

= 5 u.c.

Observações:

a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

b. = (medida do segmento AB é igual à medida do segmento BA)

⊕

A é a origem do segmento e B é a extremidade do mesmo.

A

B

• comprimento : 5 unidades

• direção : a da reta suporte r.

• sentido : de A para B

B

r A

reta suporte

r

• A ≡≡≡≡ B

r

A

B

A

B

5



Direção e Sentido

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:

ou coincidentes:

Observações:

a. Só se podem comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Segmentos Eqüipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta, como na segunda figura abaixo, para que AB seja eqüipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

mesmo direção e mesmo sentido. mesma direção e sentidos opostos.

mesma direção e mesmo sentido. mesma direção e sentidos opostos.

r

r ≡ s r ≡ s

A

B

r

C

D

s // r

A

BC

D

AB ~ CD

AB e CD são equipolentes

r

s//r s//r

6



Observações:

a. Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes.

b. A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Eqüipolência

I. AB ~ AB (reflexiva).

II. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).

III. Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (transitiva).

IV. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que

AB ~ CD (transporte).

Vetor

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY/XY ~ AB}

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B −−−− A ou :

Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes

A

B A + = B ou = B – A = AB

ABCD é um paralelogrmo.

7



determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por | | . Obs.: | | ≥ 0 e | | = 0 ⇔ =

Vetores iguais

Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.

Vetor Nulo

Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por .

Vetores Opostos

Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por − ou por .

Vetor Unitário

Um vetor é unitário se | | = 1 ou || || = 1 (lê-se: norma de ν igual a 1)

Versor

Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de

Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No

entanto, apenas tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

8



O versor de um vetor é dado por: vers = | |

ν

ν

Vetores Colineares

Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

Vetores Coplanares

Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares.

Dois vetores e quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar

um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e

pertencendo a um plano π que passa por este ponto.

Três vetores poderão ou não ser coplanares:

, e são coplanares.

, e não são coplanares.

δ

9



→

→ →

→

→

→

→ →

Vetores Paralelos

Dois vetores u e v são paralelos quando possuem a mesma direção (isto é, têm representantes ou na mesma reta ou em retas paralelas) ou se um deles é nulo. u b v w a u // v a // b w // 0

Vetores Ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais quando suas direções são perpendiculares ou se um deles é nulo. Denotamos por: u ⊥v.

Soma (ou adição) de vetores

Dados no espaço os vetores u e v e o ponto A . Se fizermos B = A + u e em seguida

C = B + v , obteremos o ponto C e o vetor w = AC. Esse vetor w é a soma de u com v e

indica-se: w = u + v.

Observações:

• O vetor soma ou resultante não depende da posição do ponto A e sim apenas dos

vetores u e v.

• O vetor nulo é elemento neutro na adição de vetores, isto é, u + o = u

• A adição de dois vetores opostos resulta no vetor nulo, isto é, u + (−u ) = o.

→

→

→

→

→

→→

a

v

u u ⊥ v

a ⊥ O

A + u = B B + v = C u + v = C − A = AC = w O vetor w é chamado de vetor soma ou resultante de u e v .

u v u

v

w

B

A

C

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Podemos também obter um representante da soma com a chamada “regra do

paralelogramo” (já conhecida no ensino médio para a determinação da resultante de

duas forças oblíquas). Desenhamos representantes com a mesma origem, conforme

figura, e completamos o paralelogramo (quadrilátero com lados opostos congruentes e

paralelos) ABCD. O segmento orientado AC representa a soma.

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v do ℜ2:

u + v = v + u

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w do ℜ2:

u + (v + w) = (u + v) + w

III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em ℜ2 tal que para todo vetor u do ℜ2,

tem-se: O + u = u

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v do ℜ2, existe um vetor −v em ℜ2 tal que:

v + (−−−−v) = O

Diferença de vetores

Dados no espaço os vetores u e v, define-se a diferença u – v como a soma de u com o oposto de v, ou seja:

u – v = u + (−v)

Podemos representar em um mesmo paralelogramo a soma e a diferença de 2 vetores:

v

A B

C D

u

u + v Esta operação tem propriedades análogos às da adição de números, daí ter o mesmo nome e símbolo:

“ + “

u

v

−v

u – v

u – v

u + v

u − v u

v

11



→

→

Regra do transporte para adição e subtração de vetores: Para representar a soma de vários vetores, basta dispor os representantes “em cadeia”, isto é, a extremidade de um na origem do seguinte. O segmento orientado (vetor) que tem origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do último será o vetor soma:

Observações: • O vetor resultante v = PO, não depende da posição do ponto O inicial, portanto pode-

se tomá-lo em qualquer lugar.

• Se a extremidade final de P coincidir com o ponto inicial O, o vetor resultante será

nulo ( 0 ), como se vê na figura abaixo:

REVISÃO DE GEOMETRIA Para podermos calcular o módulo do vetor resultante da soma ou diferença de dois vetores, temos que recordar dois conceitos importantes da geometria: a) Teorema de Pitágoras : válido apenas nos triângulos retângulos.

→→

→

→

→

→

→a

b

-c

a

c

b

v

P

AO

B

→

→→

→

→

→

→

→→ →

a

cbb

aO ≡ P

-c

a + b – c = 0

a : medida da hipotenusa b, c: medidas dos catetos a

b

“O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

c a2 = b2 + c2

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b) Lei dos co-senos: válida para qualquer tipo de triângulo. c) Principais valores dos co-senos: procure memorizar estes valores.

θ 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

cos θ 1 23

22

21 0

21

− 22

− 23

− −1

d) Alguns exemplos de aplicação: x é a medida do lado desconhecido

a

θ

c

b Lei dos co-senos :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos θθθθ

120

º

x

5

3

x2 = 5

2 + 3

2 – 2.5.3.cos 120º

x2 = 25 + 9 – 2.5.3.

−

2

1

x2 = 25 + 9 + 15

x2 = 49

x = 7

x 3

4

x 2 = 3

2 + 4

2

x 2 = 9 + 16

x 2 = 25

x = 5

13

12

x

13 2 = x

2 + 12

2

169 = x 2 + 144

169 – 144 = x 2

x 2 = 25

x= 5

4

6

x

60º

x 2 = 4

2 + 6

2 – 2.4.6.cos 60º

x 2 = 16 + 36 – 2.4.6.

2

1

x 2 = 16 + 36 – 24

x 2 = 28

x = 28 ≅ 5,29

13



→ →

→

→ →

→

→

CÁLCULO DO MÓDULO DO VETOR RESULTANTE NA ADIÇÃO DE VETORES. a) Vetores de mesma direção e mesmo sentido: o módulo do vetor resultante r é a

soma dos módulos dos vetores u e v.

P P | u | = 3 v u | v | = 2 v A r | r | = 5 u 0 0 | r | = |u| + |v|

b) Vetores de mesma direção e sentidos opostos: o módulo do vetor resultante r é a

diferença dos módulos dos vetores u e v.

c) Vetores ortogonais: o módulo do vetor resultante r é calculado pelo Teorema de Pitágoras.

1

uv

uvP

P

OO

A

r

r = u + v = | u | - | v | = 3 - 2 =1

u = 3

v = 2

r = 1→ →

→

→ →→

→

→

→

→→→→

→

→

→

→

→

→ → →

→ → →

u v

r

A

P O

| u | = 4

| v | = 3

| r | = 5 u

v

Teorema de Pitágoras : | r | 2 = | u | 2 + | v | 2

| u | = 3 | v | = 2 | r | = 1

→

→

→

14



d) Vetores de direções oblíquas: utiliza-se a lei dos co-senos.

EXEMPLOS

Encontre a soma (vetor soma) dos vetores representados:

1. No hexágono regular:

Podemos resolver por outros caminhos, como por exemplo:

A

B C

D

E F

O

B C

A D

E F

O (CD = BO e FE = OD) AB + CD + FE = AB + BO + OD = AO + OD = AD

B C

A D

E F

O CD = AF e AB = ED , então: AB + CD + FE = ED + AF + FE = AF + FE + ED = AD

Veja: | r |2 = 52 + 32 - 2. 5 . 3 .

−

2

1

| r |2 = 25 + 9 + 2. 5 .3 . 2

1 ⇒ | r |2 = 49 ⇒ | r | = 7

θθθθ =

120º

→

→

→

→

→

→

→

→

→ → → → →

60º

v

u

v

u

r

O

| u | = 5

| v | = 3

| r | = 7

Lei dos co-senos

| r | = | u | + | v | - 2. | u | . | v | . cos θ

P

A

2 2 2

120º

θθθθ = 120º

| r |2 = | u |2 + | v |2 – 2.| u |.| v |.cos θ

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→

→ → →

→

→

→→

→ →

2. No cubo:

Por um outro caminho, temos:

DC = −GH, DC + GH = 0 e BC = EH, então:

AE + DC + BC + GH = AE + EH + HG + GH = AE + EH + HG – HG = AH

3. No paralelepípedo:

4. No tetraedro:

Produto de um escalar (um número real) por um vetor

Seja v um vetor não nulo e α um número real não nulo. O produto do número real α

pelo vetor v resulta num outro vetor w = α . v, cujas características são:

Módulo de w : | w | = | α | . | v | Direção de w : a mesma direção de v , portanto w e v são paralelos. Sentido de w : o mesmo sentido de v , se α for positivo (α > 0) e sentido contrário de v, se for α negativo (α < 0).

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H

DC = EF e BC = FG, então: AE + DC + BC + GH = AE + EF + FG + GH = AH

A B

C D E F

G H AD = BC e AE = CG, então: AB + AD +AE = AB + BC + CG = AG

C

G

A B

D E F

H

A

B

C

D

A

B

C

D

Neste caso, a soma é direta: AD + DB + BC = AC

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→ →

→

→

→→

→

→→

→ →

Exemplos: Observações: • Se v = 0 ou α = 0, então w = α . v será o vetor nulo (w = 0 )

• Se α = −1 , então w = α . v será o vetor oposto de v ( w = −v )

Propriedades do produto de escalar por vetor

Sendo u e v vetores quaisquer e αααα e ββββ números reais, temos:

EXERCÍCIOS 1. No quadriculado abaixo, suponha que o lado de cada quadradinho mede 1.

a) Desenhe e calcule o comprimento dos segmentos orientados abaixo:

I) Identidade: 1 u = u

II) Associativa: (α . β) u = α (β . u ) = β (α . u )

III) Cancelamento: α . u = β . u, implica α = β, se u for não nulo (u ≠ 0 )

IV) Distributiva em relação à adição de vetores: α (u + v) = α u + α v

V) Distributiva em relação à adição de escalares: (α + β) u = α u + β u

→

→

→

→

→

→→

→

→ →

→ → →

→Dado:

v

| v | = 3 w

w

w

α = 2

α =2

1

α = -3

2

w = 2. v e | w | = 6

w =2

1 . v e | w | = 1,5

w = 3

2− . v e | w | = 2

A B C D

E F

G

L

K M

I

N

J

H

17



→

→

→→

→

AB = ______ DC = _______ EF = ________ EG = _________ DH = __________

IJ = _______ KL = _______ MN = ________

b) Quais são os segmentos eqüipolentes representados na figura acima ?

______________________________________________________________________

c) Quantos vetores não nulos foram representados na figura acima ? _______________

2. Na figura abaixo, determine o comprimento de cada segmento orientado:

3. Na figura abaixo, determine os pontos pedidos:

4. Dados os vetores u e v abaixo e o ponto O, efetue o que se pede:

OU

V

a) O + u = A b) A + v = P c) O que representa o vetor OP ? _________________________

_________________________

_________________________

_________________________

A

C

B

D

1

1

AB = _______________

AC = _______________

AD = _______________

BC = _______________

BD = _______________

CD = _______________

→

→

→

→

→

→

→

→

A

v

u

a) B = A + u

b) C = A – u

c) D = A + v

d) E = A – v

e) F = A + o

f) G = B – v

g) H = E – (C – A)

18



d) O + v = A e) A + u = P f) O que representa o vetor OP ? ________________________

________________________

________________________

_______________

→

→

→

→

→

→→→→

→

→→

→

→

→

→ →

→

→ →

5. Determine o vetor resultante OP = u + v nos seguintes casos:

6. Nas figuras abaixo, determine o vetor resultante OP = u + v.

OU

V

u

v

O

u

v

O

u v

O

u v

O

19



a) AD + DC = ______________________________________________

b) AE – ED = ______________________________________________

c) AE + BE = ______________________________________________

d) AB + ED – EC = _________________________________________

e) AB – 2. DE – CD = _______________________________________

→

→

→

→

→

7. Nas figuras abaixo, determine o vetor OP, resultante das operações:

8. No retângulo abaixo, indique um representante para o vetor resultante de cada

operação pedida:

O

u

v

O

u

vOP = v − u → → →

OP = u − v → → →

E

A B

C D

20



→

→

→

ESPAÇOS VETORIAIS 1. COMBINAÇÃO LINEAR

a) Definição: Dados n vetores v1, v2, v3, ..., vn e n números reais α1, α2, α3, ... , αn com n ≥ 1, dizemos que o vetor v é uma combinação linear dos n vetores dados quando é escrito na forma :

b) Exemplos:

2. DEPENDÊNCIA LINEAR a) Definição 1: Dois ou mais vetores são linearmente dependentes (LD) se pelo menos um deles é combinação linear dos restantes; b) Definição 2: Dois ou mais vetores são linearmente independentes (LI) se eles não são linearmente dependentes, ou seja, nenhum deles é combinação linear dos restantes. Obs.: LI é a negação de LD e vice-versa. 3. CONCLUSÕES IMPORTANTES SOBRE DEPENDÊNCIA LINEAR

a) Se num conjunto de n vetores, um deles for combinação linear dos outros, então todos os vetores desse conjunto são linearmente dependentes (LD).

b) Se num conjunto de n vetores, alguns deles forem LD, então todos os vetores

desse conjunto serão LD.

→V2

V1

V2

V3

V1 →

2α

V = 2

1 v1 + 3 v2 4

3− v3

1α 2α

α 3α

nnvvvvv ⋅++⋅+⋅+⋅= αααα ...332211

V 3. v2 →

→

2 V1

P

A O

v = 2.v1 + 3. v2

1α

2

1 .V1

3. v2

4

3− .V3

→

→

→

O

P

B V

A

21



c) Um único vetor é LD se, e somente se ele é nulo.

d) Para que dois vetores u e v sejam LD, basta que eles sejam paralelos, ou seja, u = α . v ou v = β . u , ∀α,β∈ℜ.

e) Para que três vetores sejam LD, basta que eles sejam coplanares.

4. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

a) Definição: base de um espaço vetorial é um conjunto mínimo de vetores LI que geram todos os vetores desse espaço.

Exemplos: 1) Um único vetor não nulo (e1) de uma reta gera todos os vetores dessa reta (espaço unidimensional ou ℜℜℜℜ).

2) Dois vetores LI (e1, e2) de um plano geram todos os vetores desse plano (espaço bidimensional ou ℜℜℜℜ2). base B = { e1 , e2} 3) Três vetores LI ( e1 , e2 , e3 ) do espaço geram todos os vetores desse espaço (espaço tridimensional ou ℜℜℜℜ3)

2 vetores LD 2 vetores LI 3 vetores LD 3 vetores LI

ℜ

v = 2 . e1 u = −3 . e1 w = 1,5 . e1 e1

w = −2.e1 + 3.e2 e1

e2

2.e1

1.e2

v = 2.e1 + 1. e2

−2.e1

3.e2

u = 0.e1 + 2.e2 α

base B = { e1 }

22



→

→

b) Componentes ou coordenadas de um vetor: Como foi visto, todo vetor de um espaço vetorial (ℜ,ℜ2 ou ℜ3) é escrito como uma combinação linear dos vetores de uma base desse espaço. Os coeficientes reais ααααi dessa combinação linear são chamados de componentes ou coordenadas do vetor. Exemplo: 1) v = 7. e1 – 4 . e2 é um vetor do espaço R2, ou seja, v = x e1 + y e2. As coordenadas

são 7 e – 4. Podemos representar o vetor v por v = (7; −4).

2) v = 2. e1 + 3⋅⋅⋅⋅ e2 – 5⋅⋅⋅⋅ e3 é um vetor do espaço R3 e suas coordenadas são 2, 3 e −5. Podemos representar o veto v por v = (2; 3; −5). Em resumo: v = x e1 + y e2 = (x ; y) e v = x e1 + y e2 + z e3 = (x; y; z) c) Bases Ortonormais: Uma base de um espaço vetorial é chamada ortonormal se os vetores que a compõem são unitários e ortogonais entre si. Em geral, indicamos por {e1, e2} uma base ortonormal do espaço R2, com e1⊥e2 e por {e1, e2, e3} uma base ortonormal do espaço R3, com e1⊥e2, e1⊥e3, e2⊥e3 e | e1 | = | e2 | = | e3 | = 1. NOTA: As bases formadas por vetores representados por segmentos orientados com origem em O e extremidade nos pontos: (1; 0) e (0; 1) do espaço R2 e (1; 0; 0), (0; 1; 0) e (0; 0; 1) do espaço R3 são chamadas canônicas. Esses vetores são simbolizados com i e j e as bases por { i , j } no R2 e { i , j , k } no R3

Base de espaço ℜ2

Exemplo

v = 3 i + 2 j → → →

2 j

3 i v

e1 e2

e3

base: B = {e1, e2, e3 }

2.e1 3.e2

2.e3

v

v = 2.e1 + 3.e2 + 2.e3

α

⊡ i

j

(1; 0)

(0; 1)

x

y

j =1

i =1

23



OBS.: “Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.” d) Notação simplificada de um vetor: Uma vez especificada a base ortonormal de um espaço vetorial, podemos escrever seus vetores indicando apenas seus componentes ou coordenadas. Por exemplo Vetores do espaço ℜ2: Vetores do espaço ℜ3:

v = 2 i + 3 j ou v = (2; 3) v = 2 i + j – 3 k ou v = (2; 1; −3) v = 3 i + 2 j ou v = (3; 2) v = 2 i + 5 k ou v = (2; 0; 5)

v = 2 i ou v = (2; 0) v = 3 j – 2 k ou v = (0; 3; −2) v = −3 j ou v = (0; −3) v = 3 j ou v = (0; 3; 0)

OPERAÇÕES COM VETORES dados por suas coordenadas.

Considerando os vetores dados na mesma base, temos:

a) ADIÇÃO NO ℜℜℜℜ2: Dados os vetores u = ( x1 ; y1) e v = ( x2 ; y2) , temos:

u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )

ex.: u = (2 ; 0) e v = (3 ; −5)

u + v = (2 + 3 ; 0 − 5) = (5 ; −5)

b) ADIÇÃO NO ℜℜℜℜ3:

Sejam u = ( x1 ; y1 ; z1) e v = ( x2 ; y2 ; z2) , então:

u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2)

ex.: u = ( 2 ; 0; −1) e v = (0 ; 3 ; −5)

u + v = ( 2 + 0 ; 0 + 3 ; −1 − 5) = ( 2 ; 3 ; −6)

c) MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR:

α . u = (α . x ; α . y ; α . z ; ...) , α∈IR

ex.: Dado o vetor u = ( 2 ; 0 −3) , determine:

Base de espaço ℜ3

Exemplo

x

⊡ · ·

i j

k (1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

y

z

⊡ · ·

2 i

v

y

z

4 j

3 k

x v = 2 i + 4 j + 3 k

24



−2 . u = −2 . ( 2 ; 0 ; −3) = (−4 ; 0 ; 6)

3 . u = 3 . (2 ; 0 ; −3) = (6 ; 0 ; −9)

2

1 . u =

2

1 . (2 ; 0 ; -3) =

−

2

3 ; 0 ; 1

EXERCÍCIOS

1. Seja B = { e1 , e2 } base do ℜ2, u = (2;−3) e v = (3 ; 1), determine:

a) u + v =

b) 2 u + v =

2. Seja B = { e1 , e2 , e3} base do ℜ3, u = (2; −1; 3) , v = (0; 1; 2) e w = (3; 0; −2).

Determine:

a) u + 2 v =

b) 2 u + v + w =

c) u + 0 =

d) u – v =

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR (LD E LI)

utilizando as coordenadas dos vetores dados:

a) PARA DOIS VETORES:

Dois vetores u = ( x1 ; y1 ; z1 ; ...) e v = ( x2 ; y2 ; z2 ; ...) são LD se, e

somente se, suas coordenadas são proporcionais, ou seja:

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x== = ... = k ,

Caso contrário, u e v são LI.

Lembrete: se u e v são LD , então u e v são paralelos, logo, são

proporcionais, ou seja, podemos obter o vetor como: v = α . u

Ex.: u = (1 ; 2 ; 3) e v = (2 ; 4 ; 6)

Temos: 6

3

4

2

2

1== u e v são LD

Veja que: v = (2 ; 4 ; 6) = 2 . (1 ; 2 ; 3) = 2 . u u // v

k = constante de proporcionalidade (nº real).

25



b) PARA TRÊS VETORES:

Três vetores u = ( x1 ; y1 ; z1) , v = ( x2 ; y2 ; z2) e w = ( x3 ; y3 ; z3) são LD

quando o determinante (∆) formado por eles é NULO, ou seja:

∆ =

zyx

zyx

zyx

333

222

111

= 0

Se o determinante ∆ ≠ 0, então os vetores dados são LI.

Ex.: verificar se os vetores são LD ou LI nos seguintes casos:

(1) u = (1 ; 1 ; 2) , v = (0 ; 2 ; 2) e w = (3 ; 1 ; 4)

1 3

2 0

1 1

4 1 3

2 2 0

2 1 1

=∆ = 8 + 6 + 0 – 12 – 2 – 0 = 0

Como ∆ = 0 , concluímos que u , v e w são LD .

(2) u = (1 ; 4 ; 3) , v = (2 ; -1 ; -1) e w = (0 ; 1 ; 2)

1 0

1 2

4 1

2 1 0

1- 1- 2

3 4 1

−=∆ = -2 + 0 + 6 - 0 + 1 - 16 = −11

Como ∆ ≠ 0 , concluímos que os vetores u , v e w são LI.

PRODUTOS DE VETORES

1. PRODUTO ESCALAR

Chama-se produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u = x1 i + y1 j + z1 k e

v = x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por u . v, ao número real:

u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2

O produto escalar de u por v também é indicado por < u , v > e se lê: “ u escalar v “.

OBS.: A notação u . v é devida ao físico norte-americano Josiah W. Gibbs (1839 – 1903).

Exemplo:

1) Se u = 3 i – 5 j + 8 k e v = 4 i – 2 j – k , temos que:

< u , v > = u . v = 3 . 4 + (–5) . (–2) + 8 . (–1) = 12 + 10 – 8 = 14

26



2) Dados os vetores u = (4; α; –1) e v = (α; 2; 3) e os pontos A(4; –1; 2) e B(3; 2; –1),

determinar o valor de α de modo que u . ( v + BA ) = 5

Solução:

I) BA = A – B = (4; –1; 2) – (3; 2; –1) = (4 – 3; –1 – 2; 2 + 1) = (1; –3; 3)

II) v + BA = (α; 2; 3) + (1; –3; 3) = (α + 1; 2 – 3; 3 + 3) = (α + 1; –1; 6)

III) u . ( v + BA ) = 5 (4; α; –1) . (α + 1; –1; 6) = 5

4 . (α + 1) + α . (–1) + (–1) . 6 = 5 4α + 4 −α – 6 = 5 3α = 7 αααα = 37

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar, temos:

2. MÓDULO DE UM VETOR

O módulo ou comprimento do vetor v é um número real não negativo, definido por:

A) Se v ∈ R2, ou seja, v = (x ; y), temos:

| v | = v . v = y) (x, . y) ,x( = y. . yxx + | v | = 22 yx +

B) Se v ∈ R3, ou seja, v = (x; y; z), temos:

| v | = . v . v = z) y, (x, . z) y, ,x( = zzyyxx . . . ++ | v | = 222 zyx ++

Exemplo:

Determine o módulo do vetor:

a) v = ( 3; −4)

| v | = 22 yx + | v | = 22 )4( 3 −+ = 16 9 + = 25 | v | = 5

b) u = (2; 1; −2)

| u | = 222 zyx ++ = 222 212 )(−++ = 414 ++ = 9 | u | = 3

I) v . w = w . v II) v . v = | v | . | v | = | v |2

III) u . ( v + w ) = u . v + u . w IV) ( k . v ) . w = v. ( k . w ) = k . ( v . w ) V) | k. v | = | k |.| v | VI) | u . v | ≤≤≤≤ | u | . | v | (desigualdade de Schwarz) VII) | u + v | ≤≤≤≤ | u | + | v | (desigualdade triangular)

produto escalar

produto escalar

27



Vetor unitário

Vetor unitário é todo vetor que tem o módulo igual a 1, ou seja, | u | = 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço ℜ2, que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Exemplo:

Determine o valor real de αααα para que o vetor v = (αααα; 1/3; −2/3) seja unitário.

22

2

32

31

−+

+α = 1

94

912 ++α = 1

952 +α = 1

22

95

+α = 12

952 +α = 1 2α = 1 −

95 2α =

94

32

±=α

Versor de um vetor

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

. Neste caso, u será o versor de ν

Exemplo:

Determine o versor do vetor v = (2; 1; −2).

| v | = 222 zyx ++ = 222 )2(12 −++ = 414 ++ = 9 | v | = 3.

Seja u o versor de v , então:

u = | v |v

= 322 ) 1; ;( −

= 31 . (2; 1; −2) u =

−

32

32

;3

1 ; é o versor de v

3. ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u|.|v|.cos(θθθθ), onde 0º ≤ θ ≤ 180º é o ângulo formado entre suas direções, levando-se em consideração os sentidos de u e v.

Exemplos:

v

θ u

0º < θ < 90º (θ é ∢ agudo)

90º < θ < 180º (θ é ∢ obtuso)

θ

u

v ⊡ θ

θ = 90º (θ é ∢ reto) u e v são ortogonais

u

v

28



NOTA: A operação de multiplicação escalar foi criada por Hermann GRASSMANN.

SINAL DO PRODUTO ESCALAR:

1. Se u . v > 0, então cosθ > 0 0º ≤ θ < 90º (θ é ∢ agudo)

2. Se u . v < 0, então, cosθ < 0 90º < θ ≤ 180º (θ é ∢ obtuso) 3. Se u . v = 0, então: I) Um dos vetores é nulo ou II) Os dois vetores são ortogonais, ou seja, se cosθ = 0 θ = 90º e u . v = 0

OBS.: Condição de ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES:

“Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, u . v = 0”.

Exemplo: Dados os vetores u = (−2; −3; −2) e v = (−1; −2; 4), temos:

u . v = (−2).( −1) + (−3).( −2) + (−2). 4 = 2 + 6 – 8 = 0 u . v = 0

Portanto, u é ortogonal à v.

CÁLCULO DO ÂNGULO DE DOIS VETORES

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo θ entre dois vetores genéricos u e v, não nulos, isolando o cosθ, ou seja:

u.v = |u|.|v|.cos(θ) cosθ = | v | . | u |

v . u, 0 ≤ θ ≤ π

u v

θ = 0º u e v são equiversos

θ

u v θ = 180º

u e v são contraversos

θ u

v

0º < θ < 90º

v

θ u

θ

u

v

⊡ θ

u

v u . v = 0 (θ é ∢ reto)

29



Exemplo:

1) Calcular o ângulo entre os vetores u = (1; 1; 4) e v = (−1; 2; 2).

Solução:

I) u . v = 1 . (−1) + 1 . 2 + 4 . 2 = −1 + 2 + 8 = 9

II) | u | = 222 411 ++ = 1611 ++ = 18 = 2 . 9 = 3 2

III) | v | = ( ) 222 221 ++− = 441 ++ = 9 = 3

IV) cosθ = | v | . | u |

v . u =

3 . 23

9 =

29

9 =

2

1 =

22 cosθ =

22

Portanto, θ = arc cos

22

, ou seja, θθθθ = 45º ou θθθθ = 4π

2) Sabendo que o vetor u = (2; 1; −1) forma um ângulo de 60º com o vetor v = (1; −1; m), calcule o valor de m.

Solução:

I) u . v = 2 . 1 + 1 . (−1) + (−1) . m = 2 − 1 – m = 1 – m

II) | u | = 222 )1(12 −++ = 114 ++ = 6

III) | v | = 222 m)1(1 +−+ = 2m11 ++ = 2m2 +

IV) cos60º = | v | . | u |

v . u

21 =

2m2 . +

−

6

m1

2

21

=

2

6

m1

+

−2m2 .

41 =

)m(2 . 2+

+−

6

mm21 2 12 + 6m2 = 4 – 8m + 4m2 2m2 + 8m + 8 = 0

m2 + 4m + 4 = 0

=−= 4P4S

−=−= 2m 2m

2

1 m = −−−−2

30



PROJEÇÃO ORTOGONAL

Sejam os vetores u ≠ 0 e v ≠ 0 e θ o ângulo formado por eles, nos seguintes casos: u u v v A A u u

B θ O w A’ v B

A’ w O v w é a projeção ortogonal do vetor u na direção de v ou sobre v

e denotado por OA' proj u v ========w .

Como e têm a mesma direção, temos: = α . mas, AA’ ⊥⊥⊥⊥ AA’ . = 0 (I) Por outro lado: AA’ = A0 + 0A’ = − + = − + α . (II) Substituindo (II) em (I), temos: (− + α . ) . = 0 − . + α . ( )2 = 0

α . | |2 = . α = 2| v |

v . u

Portanto: proj w u v

==== = v . | v |

v . u2

•.

•.

θ

w v

w v v v

u w u v

u v v u v v

v u v

31



OBSERVAÇÕES: 1) Se o ângulo θ entre os vetores e for agudo, a medida algébrica da projeção será positiva;

2) Se esse ângulo θ for obtuso, então, essa medida será negativa.

3) Na interpretação geométrica do produto escalar (ou produto interno) a medida algébrica do vetor projeção de sobre é obtida (de um modo mais simplificado) por:

| u |

v . u | w | =

EXEMPLOS: 1) Dados | | = 3 , | | = 2 e u , v = 60o , achar a medida da projeção do vetor na direção do vetor v w u u 2) Determinar o vetor projeção ortogonal de = (2 ; 3 ; 4) na direção do vetor = (1 ; −1 ; 0) Solução:

Sabemos que: proj v . | v |

v . u

2 u v

=

I) . = (2 ; 3 ; 4) . (1 ; -1 ; 0) = 2 + (-3) + 0 = -1

II) | | = 2 0)1(1 222 =+−+ | |2 = ( ) 2 2 = 2

∴ proj v . | v |

v . u

2 u v

= =

2

1 −. (1 ; -1; 0) =

− 0 ;

2

1 ;

2

1

u v

u v v u

•.

60o

I) 3 2

1 . 2 . 3 cos . | v| . | u | v . u ==θ=

II) 1 3

3

| u |

v . u ==

u v

u v

v v

∧∧∧∧

(medida algébrica do vetor projeção)

v u

32



•.

60o •.

•.

•.

RESUMINDO:

proj u . | u |

v . u

2 v u

= proj v .

| v |

v . u

2 u v

=

(vetor projeção de v na (vetor projeção de u na

direção de u ou sobre u ) direção de v ou sobre v )

NOTAS: 1) Obtido o vetor w1 , na necessidade de calcular-se o vetor w2 ⊥ w1 : w1 + w2 = v w2 = v – w1 onde w2 v w2 representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u .

w1 u 2) A medida algébrica do vetor projeção é dada por:

a) | u |

v . u (para projeção do vetor v sobre u );

b) | v |

v . u (para projeção do vetor u sobre v )

Exemplo: Dados os vetores u = i - j e v = 2 i – j + 2 k , calcular: a) o vetor projeção de v sobre u . Temos: w2 v u = (1 ; -1; 0) e v = (2 ; -1 ; 2) w1 u

I) u . v = (1 ; -1 ; 0) . (2 ; -1 ; 2) = 2 + 1 + 0 = 3

II) 222 0 )1(1 | u| +−+= 2 | u| =

III) w1 = proj u . | u |

v . u

2 v u

= = 0) 1;- ; (1 .

2

3

=

− 0 ;

2

3 ;

2

3

b) o vetor w2 projeção de v sobre a direção ortogonal a u será:

w2 = v – w1 = (2; -1; 2) -

− 0 ;

2

3 ;

2

3 =

2 ;2

1 ;

2

1

33



c) a medida algébrica da projeção de v sobre u é :

22 3

2

3

| u |

v . u == unidades

PRODUTO VETORIAL 1. ORIENTAÇÃO DO ESPAÇO VETORIAL ℜℜℜℜ3 (OU V3)

Adotando todas as bases B = { w ; v ; u } do espaço ℜ3 como Bases de orientação positiva na qual, todos os vetores estão referidos a uma base ortonormal

positiva B = { k ; j ; i } (regra da mão esquerda):

k j mão esquerda i 2. PRODUTO VETORIAL Dados os vetores u = x1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z2 k chama-se produto vetorial de u por v, e se representa por u x v ou u ∧∧∧∧ v (que se lê: “ u vetorial v” ), o produto:

u x v = k yxyx

j zxzx

i zyzy

22

11

22

11

22

11 +−

Um modo mais fácil de memorizar esta fórmula é a utilização de um único

determinante de ordem 3 dado por:

zyxzyx

k j i

v x u

222

111=

OBSERVAÇÕES: 1) Se u e v são LD, então u x v = 0 ou u ∧ v = 0;

2) Se u e v são LI, então u ∧ v tem :

•

(Teorema de Laplace)

34



a) mesma direção de (u ∧ v ) ⊥ u e ( u ∧ v ) ⊥ v ; b) mesmo sentido da base { u , v , u ∧ v } ;

c) comprimento :| u ∧ v | = | u | . | v | . senθ , θ = âng.( u , v ) e ( 0o ≤ θ ≤ 180o )

3. PROPRIEDADES:

1) u ∧∧∧∧ v = − (v ∧∧∧∧ u) , ∀ u , v ∈ ℜ3 (anti-comutativa);

2) α . u ∧∧∧∧ β . v = α . β . ( u ∧ v ); ∀ u , v ∈ ℜ3 ;

3) u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w

e ∀ u , v , w ∈ ℜ3

( u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w (distributiva)

Exemplo:

Determinar um vetor unitário (versor) simultaneamente ortogonal aos

vetores u = (2 ; -6 ; 3) e v = (4 ; 3 ; 1) .

Solução:

Na observação (2-a) vimos que o produto vetorial u ∧ v e também v ∧ u, é

simultaneamente ortogonal a u e v . Logo, os versores de u ∧ v e de v ∧ u

constituem a solução do problema.

I) 3 6-

j

4 2

i

13436-2

k j i

v x u =

u x v = −6 i + 12 j + 6 k + 24 k – 9 i – 2 j

u x v = −15 i + 10 j + 30 k = (−15 ; 10 ; 30)

II) Tendo em vista que u x v = −v x u , vem:

v x u = ( 15 ; −10 ; −30 )

III) Os versores são:

a)

==

++

−=

76 ;

72 ;

73- 30) ; 10 ; (-15 .

351

3010(-15)

) 30 ; 10 ; 15(

| v x u |

v x u 222

0 • θ

z y

x z’

u

v u ∧ v

v ∧ u

35



b)

−−=−=

76 ;

72 ;

73

| v x u |

v x u

| u x v |

u x v

4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO

VETORIAL DE DOIS VETORES.

Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede

a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC

da figura abaixo:

I) No triângulo ACE, temos: sen θ = | v|

h h = | v | . sen θ

II) Área do paralelogramo: A▱ABCD = | u | . h

Substituindo (I) em (II) , temos: A▱ = | u | . | v | . sen θ (III)

IV) Sabamos que: | u ∧∧∧∧ v | = | u | . | v | . sen θ

De (III) e (IV), concluímos que: A▱ = | u ∧∧∧∧ v |

Nota: Como todo triângulo é metade de um paralelogramo, podemos obter

sua área pela fórmula:

A∆ = 21 . | u ∧∧∧∧ v |

Cuidado !!!

1) u . v = | u | . | v | . cos θ

u ≠ 0 , v ≠ 0 , θ =ang( u , v )

| u x v | = | u | . | v | . sen θ 0o ≤ θ ≤ 180o

2) u . v é um número real e u x v ou u ∧∧∧∧ v é um vetor

3) É um absurdo escrever (ou comparar):

u x v = | u | . | v | . sen θ

4) | u x v | ≠ u x v

•.

C D

A E B

θ h

u

v

vetor ≠ número real

36



EXERCÍCIOS

1) Dados os vetores u = (1 ; 2 ; -1) e v = (0 ; -1 ; 3), calcular a área do

paralelogramo determinado pelos vetores 3 u e ( v – u )

Resp.: 3 35 unid.área

2) Sejam os vetores u = (3 ; 1 ; -1) e v = (a ; 0 ; 2). Calcular o valor de a

para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a

2 6 . Resp.: a = - 4 ou a = - 2

3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1 ; -2 ; 1), B(2; -1; 4) e

C(-1 ; -3 ; 3). Resp.: 10 23

u.a.

4) Calcule o comprimento hC , altura relativa ao vértice C do triângulo da

questão anterior (3). Resp.: 3 11 / 10 u.a.

C

hC

A B

5) Calcular os vetores projeção de v = 3 i – 2 j – 3 k sobre os eixos x, y e z.

Resolução dos Exercícios

Ex.1 – Temos: u = (1 ; 2 ; -1), v = (0 ; -1 ; 3)

I) 3 u = 3 . (1, 2, -1) = (3, 6, -3)

II) v – u = (0, -1, 3) – (1, 2, -1) = (-1, -3, 4)

III) x =

3 1

6 3

j i

4 31

36 3

k j i

−−−−− = 15 i – 9 j – 3 k = (15, −9, −3)

IV) A▱ =|3 u x ( v – u )| = 222 )3()9(15 −+−+ = 315 = 35 . 9 = 3 35 u.a.

Ex.2 – Temos: u = (3 ; 1 ; -1) , v = (a ; 0 ; 2) e A▱ = 2 6 u.a.

I) A▱ = | u ∧ v | |u ∧ v | = 2 6

II) u ∧ v =

0

1

j

0 a

1 3

k j

a

3i

2

1i

− = 2 i – a j – a k – 6 j

u ∧ v = 2 i + (−a – 6) j – a k = (2, −a – 6, −a)

•.

3 u

v – u

3 u ( v – u )

37



• •

III) |u ∧ v | = 2 6 222 )a()6a(2 −+−−+ = 2 6

2

22 a )6a(4

+−−+ = ( )262 4 + a2 + 12a + 36 + a2 = 24

2a2 + 12a + 16 = 0 ou a2 + 6a + 8 = 0

=−= 8P

6S

−=−=2a

4 a

2

1

Resp.: a = −−−− 4 ou a = −−−− 2

Ex.3 – Temos: A(1 ; -2 ; 1), B(2; -1; 4) e C(-1 ; -3 ; 3)

Sejam:

I) u = AB = B – A = (2, -1, 4) – (1, -2, 1)

u = (1, 1, 3)

II) v = AC = C – A = (-1, -3, 3) – (1, -2, 1) v = (-2, -1, 2)

III) u ∧ v =

1 2

1 1

j i

2 1 2

3 1 1

k j i

−−−− = 5 i – 8 j + k = (5, - 8, 1)

IV) A△ = 2

1.| u ∧ v | =

2

1. 222 1 )8(5 +−+ =

2

1. 90 =

2

1. 10 . 9

A△ = △ = △ = △ = 10 2

3 u.a.

Ex. 4 – Temos: u = (1, 1, 3) e v = (-2, -1, 2)

Sabamos que:

A△ = 2

1. base . altura

Então:

2

3. 10 =

2

1. |u| . hC 3. 10 = 222 311 ++ . hC 3. 10 = 11 . hC

hC = 11

10.3 unidades

Ex.5 – Temos: v = 3 i – 2 j – 3 k

No eixo x, temos: 3 i

No eixo y, temos: −2 j

No eixo z, temos: −3 k

A B

C D v

u

•.

B

C

A

hC v

u

•

x

y

z

3 i −2 j

−3 k

x

y

z

v

38



Ex.6 – Dados os vetores u = 2 i – 3 j e v = – i + 2 j, pede-se:

a) Determine o vetor w = 2 u + v ;

b) Calcule o módulo do vetor w ;

c) Determine o versor vw do vetor w ;

d) Determine um vetor z , com sentido contrário ao de w e com módulo

igual a 15.

Solução:

a) w = 2 . (2 i – 3 j) + 1 . (− i + 2 j) = 4 i – 6 j – i + 2 j w = 3 i – 4 j

b) |w| = 22 )4(3 −+ = 169 + = 25 |w| = 5 unidades

c) vw = |w|

1. w =

5

1 . (3 i – 4 j) vw =

5

3 i –

5

4 j

d) |z| = 15 e z = −15 . vw z = (−15).(5

3i –

5

4j) z = −−−−9 i + 12 j

5. PRODUTO MISTO

Dados os vetores u = x1 i + y1 j + z1 k, v = x2 i + y2 j + z2 k e

W = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, chama-se produto misto

dos vetores u, v e w ao número real u . ( v x w ) ou u ∧ v . w . Indica-se o

produto misto por ( u, v, w ) ou [ u, v, w ].

Para o cálculo, do produto misto, temos:

( u, v, w ) = u ∧ v . w = [ u, v, w ] =

333

222

111

zyxzyx

zyx

Exemplo:

Calcular o produto misto dos vetores: u = 2 i + 3 j + 5 k, v = −i + 3 j + 3 k

e w = 4 i – 3 j + 2k.

u ∧ v . w =

3 4

3 1

3 2

2 34

3 3 1

5 3 2

−−

−− = 12 + 36 + 15 – 60 + 18 + 6 = 27

Exercícios

1. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

u = ( 3, –1, 4) , v = ( 1, 0, –1) e w = ( 2, –1, 0)

Solução:

Os três vetores são coplanares se [ u, v, w ] = 0

Verificação:

39



u ∧ v . w =

1 2

0 1

1 3

0 12

1 0 1

4 1 3

−

−

−−

− = 0 + 2 – 4 – 0 – 3 – 0 = −5 ≠ 0

Como u ∧ v . w ≠ 0 , os vetores não são coplanares.

2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores a = (m; 2; −1),

b = (1; -1; 3) e c = (0; −2; 4) sejam coplanares?

Solução:

Os vetores a , b , e c serão coplanares se a ∧ b . c = 0, ou seja:

2 0

1 1

2 m

4 20

3 11

1 2 m

−−

−−

− = 0 − 4m + 2 + 6m – 8 = 0

5.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO.

Geometricamente, o produto misto u ∧ v . w é igual, em módulo, ao

volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u = AB,

v = AD e W = AE na figura:

I) Sabemos que o volume V de um paralelepípedo é dado por:

V = (área da base) x (altura) = Ab . h;

II) Vimos que a área de um paralelegramo (base da figura) é Ab = |u ∧ v|

III) Da figura, temos que: h = | w | . |cos θ|

Portanto, teremos que:

V = |u ∧ v| . |w|.|cos θ| = |u ∧ v . w| ou V = |[ u, v, w ]|

NOTA: Do paralelepípedo podemos obter:

1. Volume de um Prisma triangular:

2m = 6 m = 3

w

v

u

u ∧ v

⊡

θ

E

H G

D C

B A

F

h base

w v

u

VPrisma Triangular = 2

1 . |[ u, v, w ]|

40



2. Volume de um Tetraedro:

Exercícios

1. Dados os vetores u = ( x, 5, 0), v = (3, -2, 1) e w = (1, 1, -1), calcular

o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w

seja 24 unidade de volume (u.v.)

Solução:

V = |[ u, v, w ]| e V = 24

1 1

2 3

5 x

1 1 1

1 2 3

0 5 x

−−

− = 24

|2x + 5 – x + 15| = 24 |x + 20| = 24

−=+=+

2420x

2420x

2. Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A(1; 2; 1), B(7; 4; 3),

C(4; 6; 2) e D(3; 3; 3).

Solução:

V = 6

1. |[AB, AC, AD]|

I) AB = B – A = (7; 4; 3) – (1; 2; 1) = (7 -1; 4 -2; 3 -1) = (6; 2; 2)

II) AC = C – A = (4; 6; 2) – (1; 2; 1) = (4 -1; 6 -2; 2 -1) = ( 3; 4; 1)

III) AD = D – A = (3; 3; 3) – (1; 2; 1) = (3 -1; 3 -2; 3 -1) = (2; 1; 2)

IV) [AB, AC, AD] =

1 2

4 3

2 6

2 1 2

1 4 3

2 2 6

= 48 + 4 + 6 – 16 – 6 – 12 = 24

V = 6

1. |24| =

6

1. 24 V = 4 u.v.

3. Calcular o volume do tetraedro de vértices: A(0, 0, 1) , B(0, 1, 0),

C(1, 0, 0) e D(1, 1, 1).

w v

u

VTetraedro = 3

1 . VPrisma

VTetraedro =3

1. 2

1 . |[ u, v, w ]|

VTetraedro =6

1. |[ u, v, w ]|

x = 4 x = −−−−44

41



Solução:

Sejam: u = AB = B – A = (0, 1, 0) – (0, 0, 1) = (0, 1, −1)

v = AC = C – A = (1, 0, 0) – (0, 0, 1) = (1, 0, −1)

w = AD = D – A = (1, 1, 1) – (0, 0, 1) = (1, 1, 0)

Então: [ u, v, w ] =

1 1

0 1

1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

−−

= −1 –1 = −2

V =6

1. 2 V =

3

1 u.v.

4. Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i , j e k. :

Temos: u = 1 i + 0 j + 0 k = (1, 0, 0)

v = 0 i + 1 j + 0 k = (0, 1, 0)

w = 0 i + 0 j + 1 k= (0, 0, 1)

Então: [ u, v, w ] =

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= 1 V = |[ u, v, w]| = |1|

V = 1 u. v.

5. Dados os vetores u = 3 i – 2 j + 6 k , v = −3 i – 5 j + 8 k e w = i + k ,

calcular:

a) a área do paralelogramo construído sobre u e v;

b) o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w;

c) o volume do tetraedro construído sobre u, v e w.

Solução:

a)

AParalelogramo = | u ∧ v|

u ∧ v =

53

23

j i

853

623

k j i

−−−

−−− = −16 i – 18 j – 15 k – 6 k + 30 i – 24 j

u ∧ v = 14 i – 42 j – 21 k

AP = |u ∧ v| = 222 )21()42(14 −+−+ = 4411764196 ++ = 2401 = 49 u.a.

b) Temos: u = (3; -2; 6) , v = (-3; -5; 8) e w = (1; 0 1)

VTetraedro =6

1. |[ u, v, w ]| =

6

1 . |−−−−2|

u

v

42



[ u, v, w ] =

0 1

53

23

1 0 1

8 53

6 23

−−−

−−−

= −15 – 16 + 30 – 6 = − 7

Vp = | [ u , v, w ]| = | −7 | VP = 7 u.v.

c) O volume do tetraedro é dado por: VT = 6

1 . |[ u, v, w ]|

VT = 6

1 . | − 7 | =

6

1 . 7 VT =

6

7 u.v.

ap. de geometria analtica e vetores - machado

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