Vetores eGeometria Analítica

São Cristóvão/SE2007

Gastão Florêncio Miranda Junior

CapaHermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoGastão Florêncio Miranda Junior

M672v Miranda Junior, Gastão Florêncio. Vetores e Geometria Analítica / Gastão Florêncio Miranda

Junior. - - São Cristóvão : Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2007.

1. Matemática. 2. Vetores. 3. Geometria analítica. I. Título.

CDU 514

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FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Vetores e Geometria Analítica

Reimpressão

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”

Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - São Cristóvão - SE

Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky

ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho

Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli

Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano

Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD

Antônio Ponciano Bezerra

Vice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos

NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO

Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire CaetanoIsabela Pinheiro EwertonLucas Barros Oliveira

Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas

Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves

Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)

Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)

Núcleo de AvaliaçãoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza

Núcleo de Serviços Gráfi cos e Audiovisuais Giselda Barros

Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição Souza

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloTadeu Santana Tartum

Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Haroldo Dorea (Química)Hassan Sherafat (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)

Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática)Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração)Priscilla da Silva Góes (História)Rafael de Jesus Santana (Química)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)

224

Organização do Espaço Mundial

R2

R3

AC − B2 = 0

A B C

A, B,C

A, B,C

A, B,C

R3

1

2

14

1

r

A B

AB

15

AB

AB BA

AB

AB AB

u

AB = BA

16

1AB CD

AB CD

AB CD

AB ∼ CD

AB CD

17

AB CD

AB//CD ABCD

AB ∼ AB

AB ∼ CD CD ∼ AB

AB ∼ CD CD ∼ EF AB ∼ EF

AB C

D AB ∼ CD

AB

AB

�v

18

1

AB−−→AB B − A

�v

−−→AB

AB

�v |�v|

−−→AB

−−→CD

AB ∼ CD

�0

�v =−−→AB

−−→BA

−−→AB

−−−→AB −�v

�v |�v| = 1

�v

�v

19

�u1 �u2

�u1

�v �u1

�v

�u �v

�w π

�u �v �w

�s = �u + �v

�u �v

�u �v

AB CD

�u,�v �w

AB CD EF

20

1

�u �v

AB BC A C

�s �u �v

�s = �u + �v.

�u = �AB �v = �BC �s = �AC

�u �v �w

�u + �v = �v + �u

(�u + �v) + �w = �u + (�v + �w)

21

�0

�v +�0 = �0 + �v = �v, ∀�v.

�v −�v

�v)

�v + (−�v) = (−�v) + �v = �0.

�d �u

�v �d = �u − �v

�d = �u + (−�v).

�u �v

AB AC ABCD

AD BC

�s �d

�s = �u + �v

�v �= �0 k �= 0

k �v �p = k�v

22

1|�p| = |k�v| = |k||�v|

�v⎧⎨⎩

�v k > 0,

�v k < 0.

• k = 0 �v = �0 �0

• k�v �v �= �0 k

R

�v

�u �v

k ∈ R

�u = k �v.

• �v �= �0 �u =1|�v| �v �u =

�v

|�v|

|�u| =∣∣∣∣

�v

|�v|∣∣∣∣ =

|�v||�v| = 1,

�v �= �0 �v = |�v| �u

�v

23

�u �v a b

a(b�v) = (ab)�v

1�v = �v;

(a + b)�v =

a�v + b�v

a(�v+�u) = a�v+

a�u

�u, �v �w

2�u − 3�v +12

�w = �s

24

1

�s =

2�u − 3�v +12

�w

�u �v

θ OA OB

0 ≤ θ ≤ π

• θ = π �u �v

• θ = 0 �u �v

25

• θ =π

2�u �v

�u⊥�v |�u + �v|2 =

|�u|2 + |�v|2

• �0

• �u �v m �u

m�v

26

1

�u = �v |�u| = |�v|

|�u| = |�v| �u = �v

�u ‖ �v �u = �v

�u = �v �u ‖ �v

|�w| = |�u| + |�v| �u �v �w

−−→AB =

−−→DC ABCD

�u �v

�u − �v

�v − �u

−�v − 2�u

2�u − 3�v

�x �u �v

27

A B C

�x

�x =−−→BA + 2

−−→BC

�x =12−→CA + 2

−−→BA

�x =−→AC +

−−→CB −−−→

AB

�u �v 30o

�u −�v −�u 2�v −�u −�v 3�u 5�v

28

1

29