1. ELEMENTOS DEMECNICA DOS FLUIDOS Equaes Fundamentais. Conservaode Massa, Quantidade de Movimento eEnergia Antnio Cardoso Neto

2. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOSNDICE1. INTRODUO E GENERALIDADES 22. CONCEITOS BSICOS32.1. Regimes Laminar e Turbulento 32.2. Grandezas Instantneas e Mdias42.3. Nomenclatura Elementar 43. EQUAES GERAIS DO ESCOAMENTO53.1. Conservao de Massa 53.2. A Equao de Euler 63.3. A Equao Complementar 84. CINEMTICA DOS FLUIDOS 85. FORMULAES DECORRENTES DA EQUAO DE EULER 105.1. A Equao de Lagrange 105.2. A Equao de Bernoulli116. CONDIES INICIAIS E DE CONTORNO127. DISTRIBUIO DAS PRESSES 128. APLICAES DA EQUAO DE BERNOULLI148.1. Extenso do Teorema de Bernoulli aos Lquidos Reais 15 8.1.1. O coeficiente de Coriolis15 8.1.2. Perda de carga 169. INTERCMBIO DE IMPULSO179.1. O Teorema de Euler179.2. Aplicaes do Teorema de Euler1810. ESCOAMENTO DOS FLUIDOS VISCOSOS1910.1. Viscosidade1910.2. Viscosidade dos Fluidos Reais2010.3. O Teorema do Tetraedro dos Esforos2211. TENSES E DEFORMAES DE ORIGEM VISCOSA NOS FLUIDOSNEWTONIANOS2211.1. Tenses Normais2311.2. Tenses Tangenciais2411.3. Hipteses de Stokes2411.4. Equilbrio Dinmico2412. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 25-1- 3. Antnio Cardoso NetoELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOSEquaes Fundamentais. Conservao de Massa, Quantidade de Movimento e Energia.1. INTRODUO E GENERALIDADES Antes de qualquer coisa, necessrio que se diga de uma vez por todas que, na lnguaportuguesa, as vogais i e u no recebem acento quando constiturem slaba tnica seguida denh, i ou u, como o caso do substantivo fluido, cujos fundamentos de sua mecnica nospropomos a estudar nesta apostila. Fludo o particpio passado do verbo fluir, e seria o objetode nosso presente estudo, caso falssemos castelhano e nossa apostila se chamasse Elementosde Mecnica de los Fluidos. A finalidade principal da hidrodinmica o estabelecimento das leis que regem omovimento dos fluidos. A condio fsica de um fluido totalmente determinada se foremconhecidas as componentes u, v e w da velocidade (relativas aos eixos cartesianos x, y e z,respectivamente), assim como os valores da densidade e da presso p, para qualquer tempo te todos os pontos ocupados pelo fluido. H, portanto, cinco incgnitas (u, v, w, p e ) e quatrovariveis independentes (x, y, z e t) no problema relativo ao escoamento dos fluidos. As cincoequaes necessrias para que haja possibilidade de resoluo do sistema so: Uma equao de conservao de massa. Uma expresso que se baseie na continuidade espacial e temporal da matria. Trs equaes gerais do movimento. Relaes de causa-efeito que exprimam as leis que regem o movimento nas direes dos trs eixos ortogonais cartesianos. Freqentemente, so utilizadas as equaes resultantes da projeo de dAlambert1. Uma equao complementar. Uma equao que traduza a dependncia entre duas ou mais variveis dependentes, levando em conta a natureza do fluido. Tambm chamada de equao de estado. H dois mtodos de abordagem do problema:O mtodo de Lagrange.2 Consiste no acompanhamento das partculas individuais em seu movimento ao longo de suas trajetrias. Segundo este critrio, resolve-se o seguinte problema:"Conhecida a posio (x1,y1,z1), a presso p1 e a densidade 1 deuma partcula lquida, no instante t1 , determinar sua presso p, suadensidade e sua posio (x,y,z) no instante t." PIMENTA, C. F. (1977). O mtodo de Euler.3 Estuda as grandezas fsicas do fluido no decorrer do tempo, em umdeterminado volume de controle, fixo no espao. No mtodo de Euler, o problema enunciado da seguinte forma:1 Jean le Rond dAlambert (1717-1783). Matemtico e enciclopedista francs. Foi quem esclareceu o conceito delimite. Publicou Trait de Dynamique em 1743, onde consta seu princpio de projeo, deduzido a partir daterceira lei de Newton. Trata-se de um mtodo geral de reduo dos problemas dinmicos a problemas estticos,por meio da superposio de foras adicionais correspondentes s aceleraes.2J. L. Lagrange (1736-1813). Matemtico naturalizado francs, nascido em Turim (Itlia). Um dos fundadores dacole Polytechnique, onde trabalhou em Teoria dos Nmeros e na soluo sistemtica de equaes diferenciais.Seu maior trabalho foi Mcanique Analytique. -2 4. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS"Conhecida a velocidade (u1 , v1 , w1 ), a presso p1 e a massaespecfica 1 no instante t1 , em um dado ponto (x,y,z), determinara presso p, a densidade e a velocidade (u,v,w) nesse mesmoponto, no tempo t." PIMENTA, C. F. (1977)Sempre que possvel, adota-se o mtodo de Euler, por sua comodidade e simplicidade.2. CONCEITOS BSICOS2.1. Regimes Laminar e TurbulentoEm experincias independentes e simultneas, efetuadas por Hagen e por Poiseuille em1839 sobre o movimento dos lquidos em tubos de pequeno dimetro, foi observado que apresso diminui com o valor da velocidade de forma linear, quando a velocidade baixa.Tambm observaram que essa lei de variao no vlida para altas velocidades. Notaramainda a dependncia do dimetro do tubo e datemperatura do lquido nesse fenmeno.Em 1883,procurando observar ocomportamento do escoamento dos lquidos,Osborne Reynolds empregou um dispositivo como oesquematizado na figura 1, que consiste de um tubotransparente inserido em um recipiente com paredesde vidro. Um corante introduzido na entrada dotubo. Ao abrir gradualmente o obturador T, observa-se a formao de um filete retilneo. Neste tipo demovimento, definido como laminar, as partculasapresentam trajetrias bem definidas que no secruzam. Ao abrir mais a torneira, a velocidadeFigura 1- Dispositivo de Reynolds.aumenta e o filamento se difunde no lquido, comoconseqncia do movimento desordenado das partculas. Este regime denomina-se turbulento.Ao reverter o processo, o filamento regular se reestabelece a partir de uma certa velocidade, aqual recebe a denominao de velocidade crtica inferior.Aps investigaes experimentais e tericas, Reynolds concluiu que o critrio maisapropriado para se determinar o tipo de escoamento em uma canalizao no se atmexclusivamente ao valor da velocidade, mas a uma expresso adimensional na qual aviscosidade do lquido tambm levada em considerao. Este adimensional, que passou a serconhecido como Nmero de Reynolds, expresso da seguinte maneira: VDRe =(1)onde V a velocidade, D o dimetro do conduto e a chamada viscosidade cinemtica. Oregime laminar ocorre e estvel, nos casos prticos, para Reynolds inferior a 2000. Entre2000 e 4000 h uma zona crtica, na qual no se pode determinar a perda de carga com muitasegurana4.3 Leonhard Euler (1707-1783). Matemtico suo. Discutiu Mecnica, Clculo, lgebra, Teoria dos Nmeros e amaioria dos tpicos matemticos de seu tempo. Foi aluno de Johann Bernoulli, na juventude. Morreu cego naAlemanha.4 Embora j se tenha observado, em condies de laboratrio, regime laminar com valores de Reynolds superioresa 40.000, o escoamento sempre turbulento para Reynolds superior a 4.000 em tubos comerciais. Para um-3- 5. Antnio Cardoso NetoAlm da velocidade e da viscosidade cinemtica do lquido, o nmero de Reynoldstambm leva em conta uma dimenso linear caracterstica. No caso de tubos de seo circular,esta dimenso o dimetro D da tubulao, como visto na equao 1. Para sees no-circulares, toma-se esta dimenso como sendo o qudruplo do raio hidrulico5.2.2. Grandezas Instantneas e Mdias Durante o escoamento, uma determinada partcula, que se encontra em um ponto P no rtempo t, dotada de uma velocidade instantnea v . Devido tridimensionalidade doescoamento, essa velocidade varia tanto temporal como espacialmente, tanto em intensidadecomo em direo e sentido. O escoamento dito permanente quando os parmetros envolvidosso temporalmente invariantes em todo e qualquer ponto do escoamento. Um conceitoimportante o da velocidade mdia, quando se pretende conceituar o movimento permanenteem mdia:r t + tr 1Vm = t Vdt(2)tonde t o intervalo de tempo considerado6. Analogamente, pode-se definir valores mdios einstantneos para as outras grandezas que intervm no escoamento, como a presso e adensidade. Em alguns mtodos de simulao numrica de escoamentos no permanentes,utiliza-se este conceito de escoamento permanente em mdia, durante pequenos intervalos detempo.2.3. Nomenclatura Elementar Chama-se campo de velocidades aoconjunto constitudo pelas velocidadesinstantneas das partculas, que em determinadotempo t ocupam um volume V no espao. Acurva tangente s velocidades instantneas deuma partcula individualizada chamada linhade corrente (figura 2), cuja equao :Figura 2- Definio de linha de corrente.dx dy dz= =(3)u v wSe o campo de velocidades, de densidade e de presso for temporalmente invarivel, ouseja, se o movimento for permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajetrias daspartculas. No entanto, se o escoamento no for permanente, o campo de velocidades varia como tempo provocando variao temporal das linhas de corrente, o que de se esperar que ocorra. Tubo de corrente uma superfcie fechada que contm linhas de corrente. Quando seanalisa um tubo de corrente de seo transversal infinitesimal, geralmente se refere a ele comoum filete de corrente.A vazo Q atravs da seo S de um tubo de corrente, mostrado na figura 3, definida como:escoamento a uma velocidade de 0,90 m/s, a 20 C (=0,000001 m2/s) em uma canalizao de 50 mm dedimetro, tem-se um valor de aproximadamente 45.000 para o nmero de Reynolds.5 Raio hidrulico a razo entre a seo ocupada pelo fluido, transversal direo do escoamento, e o permetroda fronteira desta seo com o conduto que a limita.6 Em certos problemas de aerodinmica t da ordem de minutos, ao passo que na simulao de algunsescoamentos esse intervalo pode ser da ordem de centsimo de segundo. -4 6. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS rr Q = v.n ds (4) S ronde n o versor normal cada ponto da seo S, em um determinado tempo t. Portanto, avazo mdia : t + t t + t 1 1 rr r rQm = t tQ.dt = t t S v.n ds = v m .n ds S (5)Logo, a velocidade mdia de uma corrente lquida pode ser expressa por:r rQ v m .n ds(6)v= =SSSO valor do produto da vazo pela densidade7 sedenomina descarga ou vazo mssica.3. EQUAES GERAIS DO ESCOAMENTONa deduo das equaes fundamentais doescoamento de um fluido ideal, ser usada a abordagemde Euler, atravs de um volume de controle dedimenses infinitesimais. Figura 3- Tubo de corrente.3.1. Conservao de Massa Nas velocidades de valoresprticos,a conservao da massa um princpio bvio e intuitivo8. Sejao paraleleppedo invarivel e fixo no espao (figura 4), de arestas dx, dy e dzde dimenses infinitesimais, com seu interior totalmente ocupado por um fluido de densidade transitria . Durante um intervalo infinitesimal de tempo dt, a Figura 4- Volume de controle elementar. massa especfica passa de para + dt . Portanto, a tvariao de massa do volume do paraleleppedo :7 Tambm denominada massa especfica.8 Em Hidrulica Relativstica, ramo da cincia que se ocupa do estudo de exploso de supernovas e doescoamento da matria inter-galctica, no se considera a conservao da matria, devido transformao dematria em energia (E=mc2) e ao aumento de massa com a velocidade segundo Einstein.-5- 7. Antnio Cardoso Neto dm = + dx dy dz dt =dx dy dz dt(7)t t A massa que entra no volume infinitesimal, durante o intervalo dt : mentra = ( u dy dz + v dx dz + w dx dy) dt(8) E a massa que sai do volume durante o mesmo intervalo : ( u) ( v) ( w ) msai = ( u dy dz + v dx dz + w dx dy) dt + ++dx dy dz dt(9) x y z Portanto, o balano de massa fornece: ( u) ( v) ( w )dm = m entra m sai + ++=0 (10) t x y zNo caso dos lquidos, considerados incompressveis ( espacialmente uniforme etemporalmente constante), a equao da continuidade fica simplesmente: r r.V = 0(11)Ou seja: O divergente do vetor velocidade sempre nulo para os fluidosincompressveis.3.2. A Equao de Euler As foras externas que atuam sobre um fluido em movimento podem ser classificadas emduas categorias distintas, a saber:Foras relacionadas superfcie. Foras decorrentes da presso externa sobre as seis faces do paraleleppedo infinitesimal.Foras dependentes do volume.O peso. Ocasionado pelagravidade, no sentido verticaldescendente.Foras dependentes da massa.Foras dependentes da massado fluido, cujas componentescartesianas por unidade demassa so designadas aqui porX, Y e Z que tm, portanto,dimenses de acelerao [ LT-2 ]. As fora causadas pela pressoexterna nas faces do volume de Figura 5- Foras exercidas pela presso externa nas faces docontrole esto esquematizadas na volume de controle.figura 5. Logo, a fora resultante dapresso externa :r p p p Fp = ; ; dx dy dz(12) x y z A resultante das foras externas dependentes da massa : -6 8. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS rFext = ( X; Y; Z ) dx dy dz (13)A fora peso simplesmente: r Fg = dx dy dz ( 0;0;g) (14)onde g a acelerao da gravidade. Finalmente, a fora devida inrcia do escoamento pode ser descrita pela seguinteexpresso: r d2 x d2 y d2 z Fin = dx dy dz 2 ; 2 ; 2 (15) dt dt dt r rEntretanto, como V. V = f ( x, y, z, t) , pode-se escrever: d2 x du u u dx u dy u dz u uuu 2 = =+ ++=+u + v + w dt dt t x dt y dt z dt txyz d2 y dv v v dx v dy v dz v vvv 2 == + + + =+u + v + w (16) 2 dtdt t x dt y dt z dt txyz d z dw w w dx w dy w dz w ww w dt 2 = dt = t + x dt + y dt + z dt = t + u x + v y + w zIgualando as foras inerciais s foras externas, tem-se a equao de Euler: p u u u u x x y z t 1 p X v v v u v = Y v (17) y x y z t p Z g w w w w w t z x y z Ou, de forma mais compacta,r 1r r DV r p = R + eg(18)r Dt ronde R o vetor da resultante das foras externas por unidade de massa e eg o vetor daacelerao da gravidade.Alguns casos particulares interessantes so:u v wMovimento permanente. = == 0 . Multiplicando a equao 17 (escrita t t tem termos das derivadas totais), e multiplicando ambos os membros pelo vetor linha (dx dydz),se obtm: 1 p pp du dvdw dx +dy +dz = Xdx + Ydy + ( Z g)dz dx + dy +dz (19) x yz dt dtdt ou seja:1dp = Xdx + Ydy + ( Z g)dz (u du + v dv + w dw) (20)ou ainda; r1 V2 dp = Xdx + Ydy + ( Z g)dz d (21) 2 -7- 9. Antnio Cardoso Neto A expresso 21 a equao de Euler para escoamento permanente. Fluido em repouso. Para V=0, a equao 21 fica:1dp = Xdx + Ydy + ( Z g)dz(22)que nada mais que a equao fundamental da hidrosttica. Uma decorrncia da aplicao da equao de Euler a lquidos pesados, em regimepermanente e sujeitos ao da gravidade, cujas condies so X=Y=Z=0, : 1 V2 p V2dp + dz + d = 0 + z+= constante(23) g 2g g2gque o teorema de Bernoulli, que ser visto adiante.3.3. A Equao Complementar Essa equao extra obtida, considerando-se uma caracterstica particular do fluido, como,por exemplo, as seguintes:Fluidos homogneos e incompressveis. = constante.Gases perfeitos. p=gRT, onde R a constante universal dos gases perfeitos e T a temperatura. No entanto uma nova incgnita (a temperatura) introduzida aqui. Pode-se admitir que a temperatura seja constante, em alguns casos.4. CINEMTICA DOS FLUIDOS Independente da anlise das causas eefeitos do movimento dos fluidos, deve-secompreender seu comportamento cinemtico. Sejam os pontos P1 e P2, dotados develocidades V1 e V2, respectivamente, comomostrados na figura 6.A continuidade do meio permite escrever:uuu u2 = u1 + x x + y y + z zvvv v 2 = v1 +x +y +zxyz(24) w = w + w x + w y + w z 21 x yz Figura 6- Movimento relativo entre dois pontosprximos, de uma mesma partcula. Rearranjando as expresses acima, seobtm: 1 u w v u u1 v u u w u2 = u1 + z y + x + + y + + z 2 z x x y x2 x y z x (25) 144444 2444444 14444444 2444444444343ur ud1 v u w v v 1 v u w v v 2 = v1 + x z + y + + x + + z (26)2 x y y z y 2 x y y z 144444 2444444 14444444 244444444 43 43vr vd -8 10. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS 1 w v u w w 1 u w w v w 2 = w 1 + y x + z + +x + + y 2 y z z x z 2 z x y z (27) 144444 2444444 144444444 44444444 43 2 3 wrwd Ou seja:rr r r V2 = V1 + Vr + Vd(28)Portanto, pode-se considerar que o movimento do ponto P2, situado no interior dapartcula, resultante da composio de trs movimentos.Translao. Neste caso, se a velocidade (tanto em intensidade como em direo esentido) em P2 a mesma de P1, a partcula sofre uma translao, sem movimento relativoentre os dois pontos. Rotao. Pode-se observar que: rr v r1 r ( ) Vr = ( P2 P1 ) = V ( P2 P1 ) = rot. V ( P2 P1 ) 2 (29) vo que representa uma rotao. Ao vetor , d-se a denominao vetor turbilho, cujascomponentes dependem exclusivamente da velocidade em P1. Nota-se que o vetor turbilho,que passa por P1, tem dimenso de freqncia [T-1]. Cabe aqui, introduzir o conceito de escoamento a potencial de velocidades. Seu.dx+v.dy+w.dz for uma diferencial exata, existe uma funo9 (x,y,z) tal que: u=; v=; w=(30) xyz Portanto, o vetor turbilho, neste caso, fica: rrr i j kr 1 rr r == 0 i + 0 j + 0k (31) 2 x y z x y zo que significa que o movimento irrotacional, e a equao 10 (da continuidade) fica: r r + ( )( ) + ( 2) = 0(32)t r Logo, no caso de fluidos incompressveis ( =0) e homogneos ( =0), escoando atpotencial de velocidades, a equao de Laplace10 ( 2 =0) satisfeita. Deformao. Neste caso, a distncia infinitesimal S, entre P1 e P2 temcomponentes x, y e z, cujos valores so:9 A funao (x,y,z) chamada funo potencial.10 Marqus de Laplace (1749-1827). Matemtico e astrnomo francs. Mostrou que as rbitas planetrias, comocalculadas por Newton, so dinamicamente estveis e desenvolveu toda uma teoria sobre a ao das mars.Tambm formulou a chamada Hiptese da Nebulosa, segundo a qual o sistema solar se condensou a partir de umanuvem de gs e publicou trabalhos importantes sobre a Teoria das Probabilidades. -9- 11. Antnio Cardoso Neto x = ud. dtx y z( S) y = v d. dt === u2 + v 2 + w 2 z = w . dtudvd w d t d d d(33) d Considere-se a expresso seguinte: u u u x y z V r x v v v ( x, y, z) = ( S) ( S) = ( x y z) y T(34) ( x, y, z) x y z w w w z x y z Pode-se verificar que: = ud;= v d;= wd (35) ( x) ( y)( z) Por ser um escoamento a potencial de velocidades, o movimento irrotacional. Noentanto, a velocidade relativa entre os dois pontos no necessariamente nula, o que produzuma deformao na partcula em torno do ponto P1.5. FORMULAES DECORRENTES DA EQUAO DE EULERH duas equaes importantes, que surgem como conseqncia da equao de Euler: aEquao de Lagrange, e a de Bernoulli, sendo que a forma geral desta ltima j foi apresentadaaqui.5.1. A Equao de Lagrange Seja um escoamento a potencial de foras (x,y,z), tal que X x Y = y (36) Z z onde X, Y e Z so as foras externas (por unidade de massa) da equao 17, e seja o potencialde velocidades (x,y,z), como foi definido na equao 30. Ento, a equao de Euler fica: p 2 2 22 x x x2 y 2 z2 x xt 2 0 1 p 2 2 2 ++2 + = 0 (37) y y x2 y2 z y yt 0 p g 2 222 z z x2 y 2 z2 z zt Mas, pode-se facilmente perceber que: - 10 12. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS 2 2 2 + + x y z 2 2 2 x ( V ) 2 x2 y 2 z2 2 2 2 2 x + + x 2 x y z 1 ( V ) = 1 2 2(38) x 2 y 2z y 22 y = 2 y 2 2 2 ( V ) 2 2 2 2 2 x y 2 z2 z x + y + z z z Ento, a equao 37 se reduz a: p ( V ) 2 2 x x x 2 xt 0 1 p 1 ( V ) 2 +++ = 0 (39) y y 2 y yt p g ( V ) 2 2 0 z z z zt Sob a suposio de que a densidade apenas funo da presso p, ou seja: dp dp dp 1 p 1 p 1 p = ; = ;= (40) x x yy z z permitido que se escreva: dpV 2 dpV 2 dp V 2 + + + + + + + ++ 2 t 2t 2 t = ==0 (41) x yzdpV 2 Portanto, a expresso + ++independe do ponto (x,y,z) considerado, 2tsendo dependncia exclusiva do tempo t. Finalmente, se o movimento for permanente, conclui-se que: dp V2 + + 2 = Constante (espacial e temporalmente ).(42)A expresso acima demonstra que a integrao pode ser feita entre dois pontosquaisquer (no necessariamente pertencentes mesma trajetria ), se as foras e as velocidadesforem oriundas de um potencial.5.2. A Equao de BernoulliA equao 23, de Bernoulli, tambm pode ser deduzida a partir do conceito de potencialde fora. Observando que dx=u.dt, dy=v.dt e dz=w.dt e pr-multiplicando a equao 17 pelovetor linha (dx dy dz), obtm-se: - 11 - 13. Antnio Cardoso Neto p u u u u x X x y z u t 1 p v v v v ( dx dy dz) y Y + dt( u v w ) x y z v + t = 0 (43) Z g p w w w w w z x y z t ou seja: 1 p pp du dv dw dx + dy +dz X. dx Y. dy ( Z g)dz + u +v +wdt = 0 (44) x yz dt dt dt Notando que p p p pdx + dy + dz = dp dt (45)xy zte que, do conceito de velocidade mdia local (resultante no filete), du dvdw u+v+w dt = V. dV (46) dt dt dt A equao 44 fica: 1 p dp dt X. dx Y. dy ( Z g)dz + V. dV = 0 (47) t Porm, essa equao no integrvel em qualquer ponto do escoamento, pois dx, dy edz no so independentes como na equao de Lagrange. Se houver uma funo potencial deforas (x,y,z), pode-se escrever: X = ; Y = ; Zg= d = X. dx Y. dy ( Z g)dz(48)x yzLogo; 1p dp dt + d + V. dV = 0(49) t que, no caso de escoamento permanente, se reduz a: p dpdp 1+ d + V. dV = 0 + ( o ) + ( V 2 Vo2 ) = 0(50) po 2Esta equao de importncia crucial no estudo dos escoamentos e foi estabelecida porBernoulli11, passando a ser conhecida por Equao de Bernoulli. Nunca se deve esquecer queesta equao s aplicvel ao longo de uma trajetria, e no a todos os pontos do escoamento.Sua maior aplicao se verifica para fluidos incompressveis, quando X=Y=Z=0, ou seja,quando a nica fora externa qual o escoamento est submetido o peso da massa lquida.Neste caso, =gz, o que implica que: p dp zVp poV 2 Vo2 p V2 + g. dz + V. dV = + g( z zo ) + 2 = 0 z + g + 2g = Constante. (51) p ozoVo11 Daniel Bernoulli. Hidrulico suo, filho do matemtico Johann Bernoulli (1676-1748) que resolveu oproblema da braquistcrona, e sobrinho do famoso matemtico Jakob Bernoulli (1654-1705) que introduziu otermo integral no Clculo. Daniel publicou seu teorema pela primeira vez em 1738, em seu livro Hydrodynamica. - 12 14. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS6. CONDIES INICIAIS E DE CONTORNO As cinco equaes que compem o sistemahidrodinmico podem ou no ser passveis de seremresolvidas12. Em todo caso, se houver soluo (tantoanaltica quanto numrica) factvel, estas conteroconstantes de integrao, originrias das condies iniciaise de contorno (em um sentido lato, ambas costumam serchamadas condies de fronteira ). Nos problemasprticos relativos Hidrulica, envolvendo lquidos ideais,as condies de contorno so normalmente definidas pelassuperfcies livres e/ou pelas paredes slidas que limitamespacialmente o escoamento.Limites slidos. A figura 7 mostra uma paredefixa que confina o espao ocupado pelo lquido emescoamento. Seja F(x,y,z), a equao dessa parede, eFigura 7- Escoamento e parede V = u, v, w a velocidade do lquido no ponto P. O versorconfinante. F F F onde um fator de escala, n , normal superfcie da parede no ponto P n = ,, , x y z cuja funo tornar unitrio o mdulo do vetor. O confinamento imposto pela parede impeque a componente da velocidade na direo normal a ela seja nula, ou seja: FF FV. n = 0 u +v +w=0(52) xy zSuperfcies livres. A condio de contorno, nesse caso, simplesmente a imposiode que a presso na superfcie seja constante. Essa imposio tem como conseqncia o fato(anlogo ao caso anterior) de que u p + v p + w p = 0 , o que fcil de ser verificado. xyz7. DISTRIBUIO DAS PRESSES Por ser uma igualdade vetorial, a expresso m A = F vlida ao ser projetada emqualquer direo; por exemplo, nos eixos coordenados intrnsecos ligados trajetria de umapartcula P, como ilustra a figura 8, na qual a tangente t trajetria orientada segundo a regrada mo direita, n a normal ao plano osculadore b se encontra no eixo binormal. Na figura, C o centro do raio de curvatura R instantneo datrajetria.As equaes de Euler, ento ficam:Eixo tangente trajetria (x). Ficapraticamente inalterada: 1 pdV= X(53) xdt Figura 8- Orientao intrnseca de uma trajetria.12 H tambm casos nos quais o sistema dinmico permite a existncia de mltiplas solues.- 13 - 15. Antnio Cardoso NetoEixo normal trajetria (y). O termo da acelerao simplesmente substitudo pelaacelerao centrpeta13:1 p V2= Y+(54) y REixo ortogonal ao plano instantneo da trajetria, ou eixo binormal (z). Como noh projeo das aceleraes da velocidade no eixo z, exceto a gravitacional, a equao fica,simplesmente: 1 p= Zg(55) t A partir dessas equaes, pode-se tirar as seguintes concluses relativas distribuio daspresses nos escoamentos, concluses essas conhecidas como regras de Bresse: A variao vertical das presses obedece a lei hidrosttica, em escoamentos cujas trajetrias so confinadas a planos horizontais, poispz 1 p 1 = g dp = g dz p po = g( zo z)(56) z pozo As presses se distribuem segundo a lei hidrosttica nos escoamentos retilneos e uniformes, devido ao fato de que as aceleraes so nulas, resultando em p X x p F Y = = p (57) x m Z g p z que so condies de equilbrio hidrosttico. Se o escoamento de um lquido ideal causar, nas partculas, movimentos idnticos aos que estas teriam se estivessem sob a ao exclusiva das foras externas, a presso ser constante em toda a massa lquida, em um instante qualquer, porque du p X dx x dv 0 1 p Y = dy y = 0 p(x, y, z) = Constante. (58) Z g dw 0 p dz z Se o escoamento de um lquido natural for dotado de movimentos lentos, a distribuio das presses praticamente hidrosttica, pois V 0, o que faz com que as foras inerciais possam ser desprezadas, recaindo no caso . A distribuio das presses em uma seo transversal ao escoamento seguir a lei hidrosttica, se as trajetrias das partculas atravessarem normalmente essa seo, e se as13 O termo da acelerao fica em sentido contrrio, pois deve sempre ser lembrado que a acelerao centrpetaocorre no sentido de atrair a partcula para o centro do raio de curvatura da trajetria, embora haja uma reaocentrfuga sobre a partcula, orientada no sentido de escapar da trajetria.- 14 16. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS curvaturas14 dessas trajetrias forem muito pequenas nas cercanias da seo, pois isso tambm faz que se recaia no caso .8. APLICAES DA EQUAO DE BERNOULLIO teorema de Bernoulli, que afirma que a soma das alturas (geomtrica, piezomtrica ecintica) constante ao longo de qualquer linha de corrente, nada mais que o princpio deconservao de energia, sendo que cada uma dessas alturas (tambm denominadas cargas) nopassam de formas de energia (potencial, de presso e cintica) por unidade de peso, o que tornaa equao de Bernoulli uma ferramenta utilssima na resoluo de problemas relativos engenharia hidrulica.Duas experincias interessantesque ilustram este importante teorema,idealizadas e realizadas por Froude em1875, so mostradas a seguir.A primeira demonstrao utilizapiezmetros instalados em uma tubulaolisa, horizontal e de dimetro varivel,que parte de um reservatrio no qual onvel foi mantido constante, como ilustraa figura 9. Pode-se observar que a gua Figura 9- Conservao da energia total.dos piezmetros sobe mais nas sees dedimetro maior, pois nelas a velocidade menor, resultando menor carga cintica e, portanto, maior carga piezomtrica. A constncia dacarga total pode ser verificada pela equao de Bernoulli, uma vez que as sees soconhecidas. Pode-se tambm calcular a vazo desta forma.No segundo experimento, so utilizados vasos providos de bocais, chamados vasos deFroude, em sua homenagem. Os bocais so justapostos, com a gua passando de um para ooutro, como est esquematizado na figura 10.a. A presso exercida pelo lquido na seo S2 gh2, ao passo que se admite uma presso igual a gh1 na seo S1. Tomando como refernciao eixo dos bocais e aplicando o teorema de Bernoulli, obtm-se:V12 V22 H=+ h1 = + h2 (59)2g2gA seo S1 do bocal construda de tal forma que reduz toda a carga H energiacintica, ou seja: V12 =H(60) 2gque a conhecida equao cinemtica de Torricelli15. Portanto, resulta que h1 = 0, o queimplica que a presso no bocal a atmosfrica. Desta forma, pode-se separar os vasos (figura14 Curvatura da funo f no ponto x=a definida como o inverso do raio de curvatura, ou seja:d2 [ f ( a)] = x23/2 df ( a) 2 1+ dx 15 Torricelli (1608-1647). Matemtico italiano. Conhecido como sendo o inventor do barmetro de mercrio. Seuteorema se aplica a bocais e orifcios nos quais V = 2 gh . - 15 - 17. Antnio Cardoso Neto10.b) que a gua continuar para o outro bocal por meio de um jato, sem que haja guaescapando para o exterior dos bocais.8.1. Extenso do Teorema deBernoulli aos Lquidos Reais8.1.1. O coeficiente de CoriolisSeja uma corrente lquida queatravessa perpendicularmente umaseo S, na qual o escoamento seapresenta com uma distribuio Figura 10- A experincia dos vasos de Froude.qualquer de velocidades transversais aela, como mostrado na figura 11.Sendo dQ = v.dS a vazo que um filete elementar, dotado de velocidade mdia local v no pontoem que o filete atravessa a seo, a potncia16 total do filete neste ponto :p v2 P = z + + g. dQ (61)g 2g Portanto, se o fluido for incompressvel, a presso for uniformemente distribuda em S ez for a cota do centro geomtrico da seo em relao a um plano horizontal de referncia, apotncia total de toda a corrente lquida : p v2 v2 Pt = g z + + v. dS Pt = ( p + gz) Q + gv. dS = ( p + gz) Q + v 3 dS (62) Sg 2g S 2g 2SEnto, a energia total por unidade de peso17 fica: P p1 E = t = z+gQ + g 2gQ S v3 ds (63)Como pode ser visto na figura 11, v mx = V + . Alguns escoamentos em tubos de seocircular, como ser visto mais adiante, apresentam um perfil de velocidades parablico, onde r2 v = ( V + )1 2 , onde V a velocidade mdia na seo e R o raio da mesma, suposta R circular. Logo, v.dS 2(V + ) R r 2 V+ V= SS = R2 1 R 2 r.dr = 2 V = 0 (64)Portanto,r2 v = 2V1 2 (65) R o que conduz a: 3R r2 v dS = 16V 1 R2 r.dr = 2R2 V 3 = 2QV 23 3(66)S 0 que substituda na equao 63 fornece:16 Potncia a taxa de dissipao de energia, ou seja, a razo da energia pelo tempo.17 Tambm chamada de energia especfica.- 16 18. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS p V2 E=z+ 2g ; = 2 para sees circulares. + (67)gO valor de , chamado coeficiente de Coriolisdepende, portanto, da distribuio das velocidades, entreoutras coisas. Nos escoamentos turbulentos em condutosforados, seu valor varia normalmente entre 1,05 e 1,10.Como nesses casos a velocidade mdia raramenteultrapassa 4 m/s, o erro cometido no clculo da cargatotal, ao se adotar =1, quase nunca ultrapassa 8 cm.Porm, nos escoamentos superfcie livre, o valor de mais alto que nos escoamentos forados, devido distribuio mais complexa das velocidades na seo,Figura 11- Distribuio de velocidades alm de ser dotado de velocidades muito mais altas. Noem uma seo. raro uma velocidade mdia de 10 m/s e coeficiente decoriolis igual a 1,5 em canais, o que pode ocasionar umerro de 2,50 metros no clculo da carga total, o que inadmissvel.Portanto, o coeficiente de Coriolis : S 2 v 3 ds= S3 (68) v.ds S Ao se fazer as medies de velocidades emuma determinada seo transversal de um canal,obtm-se as istacas18, que delimitam as reashachuradas da figura 12. O coeficiente de Coriolis Figura 12- Istacas de uma seo de canal.pode, ento, ser calculado atravs de qualquer mtodo de integrao numrica, como oseguinte: 3 n 1 v i +1 + v i n 1 v i +1 + v i 3 n 1 = S i S i S i (69) i =1 i =1 2 i =1 2 na qual v i+1 + v i a velocidade mdia da seo Si . 28.1.2. Perda de cargaMesmo ao se levar em conta a distribuio de velocidades e, a partir da, adotar-se umvalor criterioso do coeficiente de Coriolis, observa-se que os escoamentos reais no obedecemrigorosamente a equao de Bernoulli, devido aos efeitos da viscosidade e da turbulncia,resultando em dissipao de energia em forma de calor. Nos escoamentos reais, a carga totaldimunui na direo do escoamento, como mostrado na figura 13.Portanto, para escoamentos reais, a equao de Bernoulli fica: p V2pV2zA + A + A A = zB + B + B B + h(70)2g 2g18Istaca = (igual) + (velocidade). So as curvas que representam as regies de uma seo, dotadasde velocidades iguais. - 17 - 19. Antnio Cardoso NetoO termo h recebe a denominao de perda de carga.9. INTERCMBIO DE IMPULSO Cabe aqui, esclarecer alguns aspectos terminolgicos de dois conceitos importantes noentendimento do fenmeno do escoamento. Impulso ou impulso. O impulso de uma fora pontual F o produto da mesma pelo intervalo de tempo que dura sua ao. Quantidade de movimento. A quantidade de movimento da massa m o produto dessa massa por sua velocidade. Newton19 denominou-a quantity of motion, embora o termo preferido pelos autores atuais de lngua inglesa seja o termo latino momentum. Algumas tradues mal-feitas trazem este termo ingls como momento, mas o que corresponde ao nosso momento momentFigura 13- Representao da perda de carga. (Ex.: moment of inertia, ou seja momento de inrcia). Alguns autores anglfonos costumam denomin-lo linear momentum, para diferenci-lo de angular momentum (sinnimo de moment of momentum) que corresponde ao nosso momento cintico. Esta deplorvel confuso entre momentum e moment criou, entre ns, a locuo imprpria de momento angular, traduo errnea de angular momentum, quando o correto seria momentum angular, quantidade de movimento angular, momento de quantidade de movimento ou momento de momentum.9.1. O Teorema de Euler Pode-se expressar o princpio fundamental da mecnica clssica, aplicado massapontual m, como:"A derivada em relao ao tempo, da quantidade de movimento deuma massa m dotada de velocidade V equivale resultante detodas as foras externas aplicadas a essa massa."Tal lei pode ser verificada da seguinte maneira: dm V impulso = quantidade de movimento F ext dt = m V Fext = (71) dt No caso em que m constante, a expresso acima nada mais que a lei bsica deNewton que afirma que a somatria das foras igual ao produto da massa pela acelerao.Este teorema pode ser aplicado ao filete lquido incompressvel mostrado na figura 14, na qualo volume elementar dVol transportado da posio A para B, durante o intervalo de tempo dt,em movimento permanente.19Isaac Newton (1642-1727). Matemtico ingls cujas contribuies tanto em Matemtica como em Fsicamudaram decisivamente a concepo e direo dessas cincias. Descobriu o mtodo analtico que forma a base doClculo e formulou importantes leis sobre o estudo da Mecnica. Aps trs sculos, sua teoria gravitacionalcontinua vlida, embora seja hoje compreendida como um caso particular no qual a distncia entre os corpos relativamente grande e a massa de um desses corpos comparativamente pequena, como no movimento detranslao da Terra em torno do Sol. - 18 20. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS A conservao da quantidade de movimentoimplica que a diferena entre a quantidade demovimento que entra pela seo dS1 e a que sai pordS2 igual variao da quantidade de movimento dovolume envolto pela superfcie (1) (2) (4) (3)(1). Como a equao da conservao de massa fornecedm = . dVol = dSA . VA dt = dS B . VBdt = dQ. dt , deduz-seque: dm V = . dQ VB V A dt Fext= VB VA dQ (72) Esta equao, conhecida como Equao deEuler, no leva em considerao as foras internas,uma vez que o sistema formado por elas tem resultante Figura 14- Transporte de quantidade demovimento de A para B.nula. No campo gravitacional, essas foras so: o peso da massa lquida d Fg ;as foras de presso d Fp sobre as paredes laterais do filete e sobre as sees de entrada e de sada do volume; eas foras de atrito d Fr sobre as paredeslaterais do filete.Portanto, a equao de Euler fica: dFg + dFp + dFr = V V. n. dsS(73)onde n o versor da direo e sentido do escoamento. Atravs deste teorema, possveldeterminar a resultante das foras externas, conhecendo-se a distribuio de velocidades sobrea superfcie fechada que envolve o lquido (independente se ideal ou real), sem se preocuparcom o que ocorre em seu interior.9.2. Aplicaes do Teorema de EulerSeja um certo volume envolto por uma superfcieS fechada e fixa, atravs da qual um fluido se movimentaem regime permanente, como ilustra o esquema da figura15.A quantidade de movimento que sai pelasuperfcie elementar ds, por unidade de tempo : dm v = v . dQ = v ( v. dS) = v v. n dS (74) dtFigura 15- Lquido contido em uma Ento, a variao da quantidade de movimentosuperfcie fechada.do fluido contido em S, durante o intervalo de tempo dt, dado por: dm v = dt v v. n dS = dt vn dS v Fext = vn dS v SSS (75)A equao de Euler foi apenas deduzida a partir do escoamento ao longo de um filetede seo transversal infinitesimal. Torna-se, portanto, imperativo que se defina a aplicao doteorema s correntes lquidas. Pode-se imaginar a corrente como sendo composta de filetes queno se cruzam, sendo nula a velocidade em toda a superfcie lateral da corrente, como pode serobservado na figura 16. Chega-se, portanto, seguinte expresso: - 19 - 21. Antnio Cardoso Neto Fext = v n v ds v n v ds(76) S2S1 Se o fluido for incompressvel e a seo transversal for normal direo geral dacorrente, o valor de vn igual ao mdulo de v. Neste caso, a variao da quantidade de S2movimento no volume delimitado por S1, S2 e as paredes laterais, fica v 2 ds . Entretanto, S1prefervel que se utilize a velocidade mdia V, para efeitos de aplicao prtica. Portanto, v ds S v 2 ds2V 2 S = v 2 ds =S2 = S 2 (77) SV S vds S sendo que o coeficiente de quantidade de movimento. deixado como exerccio, a aplicao desta relao ao perfil parablico (equao 65), que resulta em = 4/3. Portanto, a quantidade de movimento real maior que a quantidade de movimento do escoamento fictcio mdio, resultando que a frmula de Euler aplicada s correntes lquidas fica: Fext= Q( 2 V2 1V1)(78) Figura 16- Distribuio develocidades em uma corrente.10. ESCOAMENTO DOS FLUIDOS VISCOSOS At aqui, no se preocupou com o que ocorre no interior dos fluidos em movimento.Entretanto no apenas o atrito entre o fluido e as paredes dos condutos so relevantes, comotambm o atrito entre os filetes que compem a corrente.10.1. ViscosidadeViscosidade o atrito que seobserva no interior de um fluido real emescoamento, causando uma fora dearrasto entre duas camadas adjacentes. devido a este efeito que os escoamentos defluidos naturais se apresentam com umadistribuio no-uniforme de velocidades.Para se compreender este fenmeno, se fazuma analogia com o movimento relativo Figura 17- Exemplificao da viscosidade.de duas placas planas separadas por umadistncia infinitesimal n, como as da figura 17. Enquanto a placa inferior est em repouso, asuperior se move horizontalmente em movimento uniforme, arrastando as partculas lquidasque esto em contato com ela, em conseqncia do atrito; ao passo que as partculas que esto- 20 22. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOSem contato com a placa inferior permanecem imveis, pelo mesmo motivo, admitindo que olquido se movimenta laminarmente. Tem-se observado experimentalmente, que a velocidadevaria linearmente de zero at v. A fora de resistncia ao deslocamento da placa proporcional velocidade relativa e rea da placa, e inversamente proporcional distnciaentre as placas, ou seja: vdF dv dv F = S = =(79)ndS dn dn O coeficiente [ML-1T-1] chamado coeficiente de viscosidade absoluta, quedepende da temperatura, presso e da natureza do lquido, e a tenso de cisalhamento. Comfreqncia se emprega o coeficiente de viscosidade cinemtica =/ [ L3T-1].Pode-se notar que d v uma medida da deformao do lquido, uma vez quedn d d d d dv dt dn d( tg)1 d= === (80) dn dn dtdt cos 2 dtque para pequenas deformaes (cos2 1) se reduz ad v d =(81)dn dt10.2. Viscosidade dos Fluidos ReaisOs fluidos que se comportam da forma descrita so chamados de newtonianos. H,porm, alguns outros que no tm comportamento similar. Os chamados fluidos no-newtonianos podem ser classificados em trs grupos:Fluidos que apresentam caractersticas simultneas de slidos e lquidos. Umexemplo caracterstico dos fluidos deste grupo o piche que, quando em escoamento temperatura ambiente, apresenta caractersticas de um fluido de grande viscosidade, porm severifica que surge uma ruptura no piche, ao sofrer o impacto de uma batida brusca, como sefosse um slido. O piche se enquadra no grupo dos fluidos viscoelsticos. Fluidos nos quais a relao entre a taxa de deformao e a tenso de cisalhamentodepende das condies iniciais do escoamento. A viscosidade aparente desses fluidos no podeser descrita analiticamente atravs de uma relao entre e , pois depende tambm da histriaprvia do escoamento. Fluidos nos quais a taxa de deformao apenas funo da tenso de cisalhamento.Aqui ser feita apenas uma abordagem sumria dos fluidos do terceiro grupo, poisapresentam uma viscosidade aparente, com um significado anlogo ao da viscosidadepropriamente dita. Pode-se, portanto, abordar conjuntamente os fluidos newtonianos e os doterceiro grupo que, por este motivo, chamado de grupo dos fluidos no-newtonianos viscosos.J o tratamento analtico do escoamento de fluidos pertencentes aos dois primeiros gruposconstitui um captulo especial da Mecnica dos Fluidos, chamada Reologia20.A figura 18 mostra o comportamento da taxa de deformao com a tenso decisalhamento, para diferentes tipos de fluidos, a saber:20Reologia = (escorrimento) + (discurso).- 21 - 23. Antnio Cardoso Neto Fluidos newtonianos. Seu comportamento mostrado na figura 18-a, e pode serdescrito como: = (82)A gua um fluido newtoniano. Plsticos de Bingham. O escoamento (figura 18-b) de fluidos como lama, pastasdentifrcias e tintas a leo, entre outros, somente se inicia quando a tenso de cisalhamentoatinge um valor mnimo chamado tenso de escoamento (o), quando passa a ter umcomportamento linear, ou seja: = o + o (83)equao na qual o chamada deviscosidade plstica. Fluidos pseudo-plsticos. Se comportam damaneira ilustrada na figura 18-c.So representados,principalmente, pelos derivadosde celulose,soluesdepolmeros elevados e suspensesde partculas assimtricas.Embora no apresentem tensode escoamento, a relao entre aFigura 18- Comportamento viscoso de diferentes tipos de fluidos.taxa de deformao e a tensono linear, apresentando-se da seguinte forma:n = (84) com n < 1, e constantes que dependem da natureza do fluido. Define-se como viscosidadeaparente o, a expresso:n1 ap = = (85) Fluidos dilatantes (figura 18-d). So fluidos menos comuns que os pseudoplsticos,apresentando comportamento anlogo a estes, porm com n > 1. O comportamento dos fluidos viscosos pode, ento, ser resumido na seguinte frmula:n = a + b(86) com os valores de k e n da tabela 1. Fluidoa b n Newtoniano0 1 Plstico de Binghamo o1 Pseudoplstico 01Tabela 1- Parmetros de alguns tipos de fluidos viscosos. - 22 24. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOSLevando em conta as foras viscosas, a equao de Euler (18), pode ser assim escrita:F ext dV (87) = p + Fdt em que F o conjunto das foras de origem viscosa.10.3. O Teorema do Tetraedro dos Esforos Seja o tetraedro de arestas infinitesimais dafigura 19, onde o plano ABC definido pelos cossenos diretores de seu versor normal n :cos n x , cos n y e cos n z . Sejam O a origem dos eixos$ $ $coordenados e dS a rea da face ABC. Logo as reasdas outras trs faces so: OBC = dS cos n x $ OAC = dS cos n y $ OAB = dS cos n(88) $zPara que o tetraedro esteja em equilbrio, Figura 19- O tetraedro dos esforos.necessrio que:dF = dF x + dF y + dF z(89)ou seja: T = T x cos n x + T y cos n y + T z cos n z $ $ $ (90)sendo que T, Tx, Ty e Tz so as tenses especficas21 nas faces ABC, OBC, OAC e OABrespectivamente. Cada uma dessas tenses especficas tem uma componente segundo cada eixodo triedro cartesiano. Como o meio fluido considerado homogneo e isotrpico22,considerando o equilbrio dos momentos, tem-se: xz cos n x $ x xy$ = xy y yz cos n y (91) $ xz yz z cos n z em que os sigmas e taus representam as tenses normais e de cisalhamento, respectivamente.Portanto, a tenso oriunda das foras viscosas em um elemento de fluido pode ser representadada forma acima.11. TENSES E DEFORMAES DE ORIGEM VISCOSA NOS FLUIDOSNEWTONIANOS Como a gua um fluido newtoniano, aqui ser estudado apenas este tipo de relaotenso-deformao. Um corpo rgido pode sofrer movimentos de translao e rotao.Cinematicamente, o que o diferencia de um corpo fluido sua incapacidade de se deformar.21tenses por unidade de superfcie.22 Homogneo = (semelhante) + (origem, natureza). Se diz dos materiais cujas propriedades fsicasso uniformemente distribudas.Isotrpico = (igual) + (direo). Se diz de um material cujas propriedades fsicas so independentesda direo.- 23 - 25. Antnio Cardoso NetoLogo, as foras viscosas conduzem apenas deformao da massa fluida. Ser feita umaanalogia com os corpos slidos deformveis, para se atingir uma expresso geral doescoamento dos fluidos newtonianos.Observando as equaes 25, 26 e 27, verifica-se que a velocidade de deformao podeser decomposta em dois tipos:Velocidade de deformao linear ou de dilatao. Altera apenas o comprimento doseixos, sendo representada pelo seguinte vetor: u v w ;; (92) x y z Velocidade de deformao angular. Altera o ngulo dos eixos, segundo o vetor: w v u w v u + ;+; + (93) y z z xx y 11.1. Tenses NormaisSabe-se, pela lei de Hooke, que a relao entre as tenses normais e as deformaeslineares de um corpo homogneo e isotrpico leva em conta o efeito da deformao transversalnos dois sentidos ortogonais ao sentido da deformao longitudinal, por uma questo decontinuidade e coeso, ou seja: 111 x x x + + 1 1 1 1 + 1 xx yz y = = y 1 y =y x + y + z (94) E E E z 1 1z z x + y + z 1 z na qual , e so as componentes do deslocamento ao longo das direes x, y e z,respectivamente; E o Mdulo de Elasticidade e o Coeficiente de Poisson23. Mas, atravsda Teoria da Elasticidade, sabe-se que:2( + 1)E=G (95)em que G o mdulo de toro. Fazendo = x + y + z (96)1 ( = 3 x + y + z)obtm-se: 3( 2 ) 2( + 1)G 2 G + 6 = = = (97) 2( + 1)G 3( 2 )3 2GSubstituindo as equaes 93, 94 e 95 na equao 92, obtm-se:23S. D. Poisson (1781-1840). Gemetra e fsico francs. Escreveu grande quantidade de tpicos em Magnetismo,Astronomia, nos estudos de Escoamentos Viscosos, Elasticidade, Potencial Gravitacional e na Teoria dasProbabilidades. - 24 26. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOS 3 2G 2x = 2Gx + 1+ x = 2Gx +2 x = + 2Gx 3 G 3 2 G2y = 2Gy + y = 2Gy + y = + 2Gy G(98)1+ 2 3 = 2 G + 3 = 2 G +2G = + 2G G2 z z 1+ z z 2 zz3ou seja: 2 x = + 2G G ++ x 3 x y z 2 y = + 2G G + + (99) y 3 x y z 2 z = + 2G z 3 G x + y + z 11.2. Tenses Tangenciais As tenses de cisalhamento so conseqncias diretas dos momentos torores, portanto: yz = G + y z xz = G + (100) x z xy = G x + y 11.3. Hipteses de Stokes Stokes24 formulou as seguintes hipteses:O mdulo de toro de um corpo slido equivale viscosidade de um corpo fluido.A tenso normal mdia deve ser substituda pela presso -p do escoamento. Como as tenses so proporcionais s derivadas temporais das deformaes, isso corresponde a substituir d por u, d por v e d por w.dt dtdt Portanto, estas hipteses resultam em: u v u 2 xy = + x = p + 2 x 3 . V y x v 2 w v y = p + 2 . Ve yz = + (101)y 3 y z w 2 w u z = p + 2 z 3 . V xz = + x z 24 George Stokes (1819-1903). Matemtico ingls. Trabalhou a vida toda na Universidade de Cambridge, ondefez grandes contribuies Hidrodinmica e Teoria Eletromagntica da Luz. - 25 - 27. Antnio Cardoso Neto11.4. Equilbrio Dinmico A figura 20 mostra as foras de superfcieem um elemento de volume de um fluido emmovimento. Aplicando a segunda lei de Newton a essevolume, se obtm: Fx dx X x DV Fy dm= g.dm Y + dy Dt Z y (102) Fz dz Figura 20- Equilbrio dinmico de foras. z Mas, como Fx x xy xz =+ +dydz x x y z Fy xy x yz = ++dxdz (103) y x y z Fz xz yz z z = x + y + z dxdy a equao 100 fica: du xy xz = gX + x + + dt x yz dv xy x yz (104)= gY + ++ dt x yz dw yz z dt= gZ + xz + + xy z Portanto, sob a forma vetorial, a equao 104 pode ser escrita como: DV geg+p . V V = 02(105) Dt3 A expresso acima a equao mais importante da dinmica dos fluidos newtonianos efoi obtida sucessivamente por Navier (1827), Poisson (1831), Saint-Venant (1843) e Stokes(1845), recebendo a denominao atual de Equao de Navier-Stokes12. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADAAZEVEDO NETO, J. M. (1973) - Manual de Hidrulica. Editora Edgar Blcher, So Paulo (SP).GARCEZ, L. N. (1960)- Elementos de Mecnica dos Fluidos - Hidrulica Geral. Editora Edgar Blcher, So Paulo (SP).PIMENTA, C. F. (1977)- Curso de Hidrulica Geral. Vol. 1, Centro Tecnolgico de Hidrulica, So Paulo (SP). - 26 28. ELEMENTOS DE MECNICA DOS FLUIDOSSILVESTRE, P. (1964)- Hidrulica Geral. Livros Tcnicos e Cientficos. Rio de Janeiro, RJ.VIEIRA, R. C. C. (1971)- Atlas de Mecnica dos Fluidos - Fluidodinmica. Editora EdgarBlcher, So Paulo (SP). Antnio Cardoso Neto Engenheiro Civil (Universidade de So Paulo, 1977) Mestre em Hidrulica e Saneamento (Universidade de So Paulo, 1983)PhD em Engenharia Civil (University of Southampton, 1994)Especialista em Recursos Hdricos da Superintendncia de Informaes Hidrolgicas da Agncia Nacional de guas - 27 -