anpec aula 1.preferencias e utilidade

7/25/2019 ANPEC AULA 1.Preferencias e Utilidade

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AULA 1 : PREFERENCIAS E UTILIDADE

1. Origem da Teoria Microeconmica;

2. Preferncias e os axiomas da escolha racional;

3. Axiomas Adicionais;

4. Utilidade;

5. Regies e Curvas de Indiferena;

6. Caso 2 bens. Taxa marginal de Substituio;

7. Exemplos.

8. Bibliografia e Exerccios sugeridos

1.Origem da Teoria Microeconmica

Discusses de natureza microeconmicaremontam Teoria do Valor da escola clssica,A.Smith (1723-1790) e D.Ricardo (1772-1823). Navalorao econmica de um bem, o primeiro autordistinguia seu valor de uso, do seu valor de troca. Osegundo autor tambm distinguia o valor essencial do

bem do seu preo, e desenvolveu uma teoria do valorde troca dos bens baseada no tempo de trabalhonecessrio sua produo.

O valor de uso de um bem est relacionado utilidade que o seu consumo proporciona ao agente,podendo esta utilidade ser de natureza intrnseca(funcionalidade do bem) ou de natureza extrnseca,associada s preferncias do consumidor. Se estoudisposto a pagar mais para ter um carro vermelho,este valor adicional est associado minhapreferncia, pois a utilidade intrnseca do carrovermelho a mesma que a do carro prata.

O valor de troca o que torna o bem valorvel vis vis de outros bens isto , aquele valor que pode serexpresso em uma medida monetria, comum a todosos bens. Este est diretamente associado ao preomonetrio do bem.


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Em princpio, se poderia pensar que os valores de usoe de troca devessem ser comonotnicos, isto ,aumentarem ou diminurem conjuntamente. Tal no o caso entretanto, e os clssicos usaram o famosoparadoxo da gua e do diamante para ilustrar como

os valores de uso e de troca poderiam divergir entresi. A gua, com elevado valor de uso, tinha valor detroca quase nulo, enquanto que o diamante, combaixo valor de uso, tinha elevado valor de troca nomercado.

Deixando de lado a questo filosfica do valoressencialou valor de uso, os economistas se voltampara a explicao do valor de troca, isto , do preorelativo dos bens.

Uma explicao bvia a que associa ao valor detroca de um bem o seu custo de produo. No sculoXIX, boa parte do custo total da produo eraconstitudo pelo uso do fator trabalho. Desenvolve-seassim uma teoria do valor-trabalho para explicar ovalor de troca dos bens.

Se a pesca de 1 kg de atum requer um tempo detrabalho 3 vezes maior do que a pesca de 1 kg desardinha, ento o preo do atum deveria ser o triplodo preo da sardinha. Similarmente, o diamante teria

um valor de troca elevadssimo em razo doconsidervel tempo de trabalho requerido para suaextrao e lapidao.

Se o valor-trabalho suficiente para explicar o preode um bem, como ento explicar a variao dos

preos em perodos em que no h mudanassignificativas nas tcnicas de produo ?

Smith e Ricardo reconhecem o papel dos

deslocamentos da demanda nas varia

es dos pre

os,mas eles viam a divergncia dos preos de mercadocom relao ao valor-trabalho como sendo denatureza ocasional e temporria. No longo prazo, opreo seria inteiramente determinado pelo custo dotrabalho (salrio) associado produo do bem.


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Os economistas clssicos relegaram a demanda umpapel apenas secundrio na determinao do preoporque, de fato, no desenvolveram uma teoriaadequada para o valor de uso dos bens.

A Revoluo Marginalista

Entre 1850 e 1870 crescia entre os economistas apercepo de que, para complementar a teoria dovalor-trabalho, era necessrio construir uma teoriaalternativa para o valor de uso.

A escola filosfica Utilitarista de J.Bentham (1848)j lanara anos antes os fundamentos da escolharacional dos indivduos, baseada no principio

maximizador da utilidade total.

Nos anos 1870 os economistas perceberam no entantoque no era a utilidade total do bem que determinavao seu valor de troca. Antes, a utilidade da ltimaunidade consumida era o fator determinante do preorelativo do bem.

Assim, apesar de extremamente til para a vida eabundante na natureza, a gua apresentava um valorde troca quase nulo porque o consumo de um copo

adicional de gua tinha um valor de usoextremamente baixo para as pessoas.

Deste modo, os economistas marginalistas definemo valor de uso no mais partir da utilidade total do

bem, mas partir da utilidade incremental oumarginalobtida no consumo deste bem.

O conceito de demanda por unidades adicionais dobem dos economistas marginalistas ser entoconfrontado com a anlise dos custos baseada novalor-trabalho da produo, de modo a obter umadescrio completa da determinao do valor detroca do bem.


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A Sntese Marshalliana

Foi o economista ingls Alfred Marshall (1824-1924)que formalizou por primeiro o princpio marginalista,no seu livro Principles of Economics de 1890. Nele

ele mostra que a demanda e a oferta cooperamsimultneamente para determinar o preo do produto.

Assim como no se pode determinar qual das laminasde uma tesoura efetua o corte do tecido, argumentavaMarshall, assim tambm no se poderia dizer que sa demanda ou s a oferta determinaria o valor doproduto.

Tal concluso ilustrada pela famoso diagrama dascurvas de oferta (S) e demanda (D) que se cruzam no

plano das quantidades X preos, como ilustrado naFigura 1 abaixo.

Fig.1 Formao do Preo: Oferta e Demanda

S

D

Preco

Quantidadesq*

p*


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A curva de Demanda (D) negativamente inclinadarefletindo o principio marginalista de que oconsumidor propenso a pagar cada vez menos pelaltima unidade adquirida, medida que aumentam as

quantidades previamente demandadas. O valor fixadona margem para esta ltima unidade estabelece opreo a ser pago por todas as unidades adquiridas.

A curva de Oferta (S) positivamente inclinadarefletindo o aumento dos custos de produo, medida que mais unidades so produzidas. Aconvexidade da curva indica custos marginaiscrescentes na produo.

As duas curvas intersectam no ponto (q*, p*), que o

ponto de equilbrio do mercado. Ao preo p*, asquantidades demandadas igualam as quantidadesofertadas: D*=S*=q*.

Se uma das curvas se deslocar, para cima ou parabaixo, o novo ponto de equilbrio tambm deslocar-se-correspondentemente, para cima ou para baixo.

Como vemos, o preo p* do bem ser determinadopela operao conjunta e simultnea das quantidadesofertadas e demandas.

Exemplo Numrico:

Demanda: ppD /4)( =Oferta: 222)( ppS +=Igualando a oferta e a demanda obtemos:

.1*2)1(2/4 32 =+=+= pppppO preo de equilbrio ser 1 e 4)1()1( ==DS unidades

sero demandadas e ofertadas ao preo de 1 unidademonetria por unidade transacionada.


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Na figura abaixo esto representadas a demanda eoferta inversas:

Demanda: (Vermelho)qPD /4=

Oferta: 12/ = qp S (Preto)

Fig.2 Equilibrio do mercado

2 3 4 5 60.0

0.5

1.0

1.5

2.0

q (quantidades)

p (preo)

Soluo do paradoxo: O mtodo Marshallianopermite resolver o paradoxo da gua e do diamante,uma vez os preos refletem, ao mesmo tempo, avalorao marginal feita pelos consumidores e oscustos marginais incorridos pelos produtores.

Deste modo, no h paradoxo: o preo da gua

baixo porque esta apresenta conjuntamente, baixavalorao no consumo marginal e baixo custo naproduo de uma unidade adicional.

Por outro lado, o diamante tem preo elevado porquea valorao de uma pepita adicional elevada, assimcomo o seu custo de extrao e lapidao.


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2. Preferncias e os Axiomas da EscolhaRacional

A teoria do consumidor, formulada na sua versomais geral e axiomtica, devida a G.Debreu (1959),

Na teoria do consumidor racional, as prefernciasportam sobre cestas de consumo situadas no espaodos bens disponveis no mercado.

Supondo que a economia possua n bens, uma cestadebens x definida pela n-upla: x=(x1,...,xn) onde xi

designa a quantidade do bem i=1,...,n presente nacesta x.

Vamos supor que estas quantidades sejam no

negativas, e definiremos ento o conjunto das

cestas de bens X como um subconjunto dos nmeros

reais n-dimensionais no negativos: .

0x

nRX+

Por exemplo, se a economia possui trs bens, maa

(i=1), laranja (i=2) e banana (i=3) x=(3,5,0) umacesta contendo trs maas e cinco laranjas, enquantoque a cesta y=(1,4,3) uma outra cesta contendo umamaa, quatro laranjas e trs bananas.

Relao de Preferncias

Vamos dotar o conjunto das cestas disponveis deuma relao de preferncias binria que definir,

para cada par de cestas de aquela que oconsumidor prefere:

X

X

Assim, se x e so duas cestas de , a notaoy X yx

indicar que o consumidor prefere a cesta x cesta

. Obviamente, esta relao de preferncia y


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pessoal, cada consumidor possuir a sua relao, deacordo com os seus gostos e interesses.

A relao uma relao de prefernciasfraca, nosentido de que ela no exclui a possibilidade das

duas cestas conterem todos os bens em quantidadestais que o consumidor esteja indiferente entre elas.

No exemplo acima, se o consumidor indiferenteentre 2 laranjas e 3 bananas, mas prefere quantidadescrescentes de maa, a cesta )0,2,4(=x fracamente

prefervel cesta )3,0,4(=y e escrevo yx . Na

verdade, ele indiferente entre as cestas derivadas(retirando-se as maas), e . Mas como as

cestas acima contm o mesmo nmero de maas, istoo deixa indiferente entre ambas.

)0,2,0( )3,0,0(

Por isso, a expresso yx significar que o

consumidor considera a cesta x pelo menos to boa

quanto a cesta , no excluindo, portanto, a

indiferena entre ambas.

y

A preferncia forte notada f , tambm denominada

preferncia estrita, ocorre quando a indiferena estexcluda: a cesta x estritamente prefervel cesta

, isto y yx f se e somente se yx ocorre mas xy

no ocorre.

No exemplo acima, se o consumidor prefere maismaas do que menos maas, haver prefernciaestrita entre as cestas )0,2,5(=z e )0,2,4(=y : .yz fA relao de indiferena notada ocorre quando o

consumidor indiferente entre as duas cestas: asituao yx ocorre se e somente se temos,

simultaneamente yx e xy .


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De acordo com estas definies, quando oconsumidor compara duas cestas quaisquer x e

disponveis no mercado, um dos trs eventos ocorreexclusivamente: ou

y

yx f , ou xy f ou yx . Isto , ele

prefere fortemente a primeira, ou prefere fortementea segunda, ou ento ele indiferente entre ambas.

Para que uma relao de preferncias reflita asescolhas de um consumidor racional, so estipuladosdois axiomas fundamentais:

(A1) Completude

Por este axioma, presume-se que o consumidor

saiba comparar qualquer par de cestas de X .

Formalmente, yxouxyouyxouXyx ,,, .

Assim, supe-se que o consumidor estperfeitamenteinformadosobre as caractersticas relevantes de todasas cestas disponveis no mercado e estapto a efetuarcomparaes binrias entre cada par de cestas (duasa duas).

(A2) Transitividade

Este axioma requer que o consumidor saiba dars suas escolhas binrias um encadeamento coerente,no seguinte sentido:

zxentaozyeyxseXzyx ,,,,

Em outras palavras, este axioma exige que asescolhas do consumidor sejam consistentes.

Por exemplo, se o consumidor prefere uma cesta (x)contendo duas maas uma cesta (y) contendo 4laranjas e se ele prefere esta ltima uma cesta (z)contendo uma dzia de bananas, a consistncia das

preferncias deste consumidor requerer que eleprefira a cesta com duas maas cesta com umadzia de bananas.


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OBS: A transitividade uma das propriedades maiscontestveis da teoria. Estudos experimentaisrevelam que ela freqentemente violada na prtica.Particularmente, quando o consumidor no conhece

perfeitamente as conseqncias das suas escolhas(situao de incerteza).

Por exemplo, baseado no histrico do turfe, ele podecomprar uma aposta no cavalo A em um preo com ocavalo B, apostar em B no preo com o cavalo C, eter razoes suficientes para achar que este ltimocavalo ganhara corrida contra A.

Entretanto, o axioma (A1) pressupe informaoperfeita do consumidor, de modo que a transitividade

uma hiptese inteiramente aceitvel neste contexto.

Os axiomas (A1) e (A2) definem o que seriam aspreferncias de um consumidor racional.

Antes de introduzir outras propriedades desejveispara uma construo mais completa da teoriaaxiomtica do consumidor, dada uma cesta Xx 0

definiremos abaixo os seguintes subconjuntos:

a) que o conjunto das cestas queso fracamente preferveis

}:{)( 00

xxXxx 0x ;

b) o conjunto das cestas que so

fortemente preferveis

}:{)( 00 xxXxx ff 0

x ;

c) o conjunto das cestas que o

consumidor considera indiferentes a

}:{)( 00 xxXxx 0x .

Analogamente, define-se os conjuntos )( 0

x edas cestas fracamente e fortemente menos preferidasque

)( 0

xp

0x .

Observe que, de acordo com as definies temos:

)()()( 00 xxx = =


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Isto , o conjunto das cestas que o consumidorconsidera indiferentes cesta 0x a interseo dos

conjuntos das cestas fracamente preferveis e

fracamente menos preferidas que aquela cesta.

3.Axiomas Adicionais

Dentre os 4 axiomas adicionais apresentados aseguir, o primeiro deles, axioma (A3) tem a ver arepresentao matemtica das preferncias,

requerendo das preferncias um tipo de regularidadetopolgica cujo significado ficar mais claro noexemplo frente.

(A3) Continuidade

Para toda cesta x , os conjuntos )(x e )(x , das cestas

fracamente preferveis x e menos preferveis que x ,

so ambos conjuntos fechados de X .

Lembremos que o complemento de um conjuntofechado aberto, de modo que se )(x e )(x forem

fechados, seus complementos )(xp e )(xf

respectivamente, sero ambos abertos.

Lembremos tambm que podemos caracterizar um

subconjunto fechado do pelo fato de que qualquer

seqncia convergente de cestas do subconjunto temseu limite de convergncia dentro do prpriosubconjunto, isto :

nR

+


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)(x fechado significa: se ,....2,1,)( = nxy n com

entoy=y nn lim )(xy .

A continuidade das preferncias requer que o

consumidor, nas suas escolhas, seja coerente at ofim. Isto significa que uma sbita reverso da suapreferncia estexcluda.

Exemplo: Preferncias Lexicogrficas.

O consumidor tem preferncias lexicogrficas,notada , quando ele lista os bens por ordem de

preferncia e, entre duas cestas, prefere aquela que

possui quantidades maiores do bem mais preferido.

L

Assim, se o ndice 1 indica o bem mais preferido, ondice 2 o segundo bem mais preferido etc., digoque:

yxL isto , o consumidor prefere a cesta x cesta

no sentido lexicogrfico se:

y

ou se

11 yx > 2211 yxeyx = ou se

etc.3322 yxeyxe =11 yx =

Obs: O smbolo designa aqui a desigualdade maiorou igual.

Suponha que o consumidor faa escolhas entre cestascontendo chocolate e sorvete, e que ele tenhapreferncia lexicogrfica pelo chocolate.

Considere a seqncia de cestas )0,/11( nyn += que

contm mais de um bombom e nada de sorvete e a

cesta que contm um bombom e um sorvete.)1,1(=yComo ele tem preferncias lexicogrficas, ele preferequalquer cesta cesta , isto , , de modo

que Todavia, lim

ny

,1=

y yyL

n

)0,1(,...2,)( nyyL

n=

n

ny . Ora, esta

cesta contm a mesma quantidade de chocolate que a


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cesta mas no contm sorvete. Assim, , de

modo que , o que implica

y yL

p)0,1(

).(yL)()0,1( y

Lp )0,1(

Hno limite reverso da preferncia do consumidor,

e o conjunto no fechado.)(yL

)x

Este exemplo mostra que a preferncia lexicogrficano atende o axioma (A3) da continuidade.

O axioma (A4) seguinte tem um significadoeconmico mais evidente, pois traduz o principio queos desejos do consumidor so essencialmenteilimitados, no sentido de que ele sempre pode

modificar sua cesta de consumo de modo a torn-lamais atraente.

Note a distancia entre a cesta,0x(d x e a cesta 0x .

Por exemplo, d pode ser a distancia Euclidiana:

= n

i ii xx1

20 )(= .xxd 0 ),(

Defina ento uma bola aberta centrada em 0x e de

raio 0> :

}),,0 (:{) 0( .

Em outras palavras, dada a cesta de consumo 0x

tomada em primeira escolha pelo consumidor, oaxioma estabelece que, atravs do aumento ou dareduo nas quantidades de pelo menos um dos bens


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presentes nesta cesta, ele possa compor outra cesta

x , to prxima ou parecida quanto queira da cesta

original, com a qual ele ficar melhor do que antes,com 0x .

Note que a expresso do anseio ilimitado doconsumidor est na existncia de cestas fortementepreferveis cesta inicial, mas que so to prximasdesta ou parecidas com ela, quanto ele queira.

Observe tambm que a composiao desta cesta novae melhor, pode envolver tanto aumento nasquantidades de alguns bens quanto reduo naquantidade de outros.

O axioma seguinte (A5) estabelece um principioquantitativo relacionado bondade dos benseconmicos e que faz com que o consumidor sempreprefira as cestas que contm mais quantidades do queas que contm menos quantidades dos mesmos bens.

Notemos yx >= para a situao em que a cesta x

contm, em cada bem, ao menos tantas unidadesquanto a cesta . E notamosy yx >> para a situao

em que a cesta x contm mais quantidades do que a

cesta , de cada bem.y

(A5) Monotonicidade Estrita

;,, yxentaoyxseXyx >=

.yxentaoyxse f>>

Por este axioma, o consumidor prefere fracamente acesta x cesta sempre que ela conter, de cada bem,

pelos menos tantas unidades quantas aquelaspresentes na cesta .

y

y


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Alm disso, ele preferir fortemente x sempre

que a primeira cesta conter mais quantidades de cadabem, do que a cesta .

y

y

Monotonicidade Estrita e No Saciedade Local

Observe que o axioma (A5) implica o axioma (A4),de modo que a monotonicidade estrita daspreferncias do consumidor implica em que ele sejalocalmente no sacivel.

Todavia, a implicao inversa no ocorre: uma vezposicionado diante de um plano de consumo 0x , pelo

axioma (A4) o consumidor poder melhorar suacesta, eventualmente, reduzindo as quantidades de umou mais bens presentes na sua cesta original.

E isto violar o axioma (A5), pois este excluisituaes em que melhoras no bem estar estejamassociadas redues nas quantidades consumidas.

Nas figuras Fig.3 Fig.5 ilustramos, no espao dascestas compostas por dois bens, disponveis nasquantidades , a representao das regies de

preferncia e indiferena, de acordo com os axiomas(A1)-(A5):

),( 21 xx


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Fig.3 Preferncias Racionais Descontnuas

Localmente Insaciveis, No Monotnicas

x 1

x2

x0

)( 0xf

)( 0xp

Na Figura 3 acima, a linha onde est situada a cesta0

x separa o conjunto das cestas estritamente

preferveis a esta cesta, acima da linha, do conjuntodas cestas estritamente menos preferveis que 0x ,

abaixo da linha.

Esta linha define o conjunto das cestas que oconsumidor considera equivalentes cesta 0x .

As preferncias so completas e transitivas, mas nocontnuas: o conjunto )( 0x no aberto (a linha de

indiferena tracejada embaixo direita), de modoque os conjuntos superior e inferior no

so fechados.

)( 0x )( 0x

Tambm, as preferncias representadas da Figura 3no so estritamente monotnicas, pois o conjunto deindiferena possui um trecho crescente.


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Ao tomarmos duas cestas logo esquerda de 0x , ao

longo da linha, teremos cestas com quantidadescrescentes dos dois bens, sem que haja prefernciaestrita do consumidor entre elas, pois sero ambasequivalentes 0x .

Na figura 4 abaixo representamos prefernciasracionais contnuas mas localmente saciveis.

Fig.4: Preferncias Racionais Contnuas

Localmente Saciveis, No Monotnicas

x 1

x2

x 0

)( 0xf

)( 0xp

)( 0x

A regio de indiferena cesta 0x , est representada

pelas linhas e pela regio entre as linhas, no alto esquerda.

Com uma cesta localizada no interior desta regio, oconsumidor encontra-se plenamente saciado, nosentido que ele no consegue encontrar uma outracesta, to prxima quanto queira desta, mas com aqual ele ficaria melhor do que com a cesta inicial.

Na figura 5 abaixo representamos prefernciasracionais continuas, localmente insaciveis emonotnicas.


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Aqui, o formato dos conjuntos das cestas estritamentepreferveis 0x , estritamente menos preferveis e

indiferentes 0x , no excluem a monotonicidade

estrita isto , o fato do consumidor preferir as cestas

que possuem quantidades maiores de todos os bens.

Fig.5: Preferncias Racionais Contnuas

Localmente Insaciveis e Monotnicas

x0

x1

x2

)( 0xf

)( 0xp

O ltimo axioma das preferncias (A6) queapresentaremos a seguir exclui a possibilidade deconcavidades nas linhas de indiferena. Ele implicano fato do consumidor preferir cestas balanceadas,isto , cestas que contm maior variedade de bens.

(A6) Convexidade

Dizemos que as preferncias so convexas (fracamente) se, dadas as cestas 0x e 1x tais que

01xx , ento deveremos ter: 001 )1 xxttx (xt + ,

.[ ]1,0t


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Isto , se uma cesta fracamente prefervel umasegunda, ento qualquer combinao convexa destasduas cestas tambm ser fracamente prefervel estasegunda cesta.

A convexidade estrita (ou forte) ocorre quando acesta balanceada fortemente prefervel cestaoriginal, isto , quando, para 10 xx e 01 xx , temos:

,001 )1( xxttxxt f+ )1,0(t .

Como mencionamos antes, a hiptese implcita nesteaxioma que o consumidor sempre prefere comporcestas balanceadas no sentido delas eventualmenteconterem quantidades mais equilibradas dos mesmosprodutos ou conter uma maior variedade de produtos.

Em particular, se o consumidor for indiferente entreas cestas, uma contendo 5 laranjas e outra 10bananas, entao , se suas preferncias foremestritamente convexas, ele preferir fortemente estas duas cestas, uma que contenha ambos os frutos,em qualquer proporo.

Ele preferir, por exemplo, a cesta (2 laranjas, 6bananas), obtida tomando-se 4.0=t :

)10,0(6.)0,5(4.)6,2( +=tx

Observe que a convexidade exclui que o conjunto deindiferena possua qualquer trecho cncavo, como naFig.5 anterior.

Observe tambm que, diferentemente da convexidadeforte, a convexidade fraca compatvel com trechosem linha reta na linha da indiferena.


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A figura 6 abaixo ilustra uma relao de prefernciaconvexa.

Fig.6 Preferncias Racionais contnuas, localmente

insaciveis e Convexas

x1

x2

. x 0

. x 1

x2

. x t )( 0xf

)( 0xp

Na figura acima, vemos que a cestat

x , composta deuma proporo t da cesta 0x e )1( t da cesta 1x ,

)1,0(t , estritamente prefervel 0x (e 1x tambm),

uma vez que )() 10 xxxt p(f = .

Todavia, o mesmo no ocorre com as cestasresultantes de combinaes entre as cestas 1x e 2x

sobre a linha de indiferena, na figura 6.

Estas cestas balanceadas no sero estritamentepreferveis s cestas originais, mas apenasequivalentes elas.

Por isso, a preferncia representada na figura convexa, mas no estritamente convexa.


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4.Utilidade

Uma vez definido o conjunto das cestas de bensdisponveis ao consumidor e a relao de

preferncia , definida sobre ele, a estrutura

nRX

+

),( X

forma o espao de escolhas do consumidor.

Entretanto, uma cesta de bens um vetor n-dimensional, de modo que a comparao entre duascestas diferentes envolver a comparao binria de

quantidades.nnAlm disso, a anlise das decises do consumidor noespao das cestas torna-se evidentemente complexa,em razo da questo dimensional.

Por esta razo, os economistas criaram umafuno que, a cada cesta, associa um nico nmeroreal, o qual indica o grau de preferncia relativa doconsumidor por aquela cesta.

Esta funo chamada funo de utilidade. A idia

da utilidade remonta ao filsofo J.Bentham,Introduction to the Principles of Morals andLegislation (1848).

A comparao dos valores de utilidade associados aduas cestas distintas indicar ento qual a cestaprefervel do consumidor. Aquela qual estassociado o maior valor de utilidade ser a cestaprefervel.

4.1 A funo de Utilidade

Definio: Dada a estrutura de escolhas ),( X do

consumidor dizemos que a funo: RXu : uma

funo de utilidade do consumidor se ela representasuas preferncias, isto se:


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yxyuxuXyx >= )()(,,

Assim, para representar as preferncias doconsumidor, a utilidade u tem de associar s cestas

fracamente preferidas, valores no menores queaqueles atribudos s cestas menos preferidas.

(Na definio acima, o sinal >= indica maior ouigual, enquanto que o sinal indica, como antes, arelao de preferncias fraca).

Uma vez definida a funao u , a estrutura das

escolhas ),( X do consumidor fica caracterizada

como uma estrutura de escolhas representadas,

notada ),, u(X .

Do ponto de vista formal, podemos nos perguntar seuma funo de utilidade u sempre existe ou, melhor

dizendo, quais condies a preferncia deve atenderpara que ela possa ser representada por uma funode utilidade contnua.

Existncia da funo de utilidade

G.Debreu (1954,1959) demonstrou o seguinteteorema:

Teorema 1: Se a relao de preferncias for

completa, transitiva e contnua, ento existe uma

funo real contnua que representa a

preferncia .

RRXu n

+

:

A prova deste teorema omitida, pois ser estudadano Mestrado.

Por este teorema, podemos ver que se as prefernciasdo consumidor forem racionais, ,no sentido de queatendem os axiomas (A1) e (A2), e contnuas (axioma


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A3), entao estas preferncias sero representveispor uma funo de utilidade.

Utilidade Ordinal e Cardinal

Visto que o papel da funo de utilidade o deatribuir um nmero a cada cesta de bens com ointuito de apenas ordenar cada par de cestasdistintas, nenhuma importncia deve ser atribuda magnitude absoluta do nmero )(xu em si mesmo.

Por isso, se diz que u tem um sentido ordinal e no

cardinal (grandeza numrica).

Exemplo:

Seja as cestas contendo as quantidades de

maa, laranja e bananas e e as funes de

utilidade representando as preferncias de Joo e deMaria sobre estes trs bens, respectivamente.

),,( 321 xxxx =

Ju

Mu

Se e7)4,1,3( =

Ju 5)0,3,3( =

Ju posso concluir que Joo

prefere a primeira cesta (com bananas) segunda

(sem bananas e mais laranjas), porque com a primeiraele aufere 7 unidades de utilidade, e com a segunda 5unidades, um nmero menor.

Suponha agora que, para a primeira cesta, Mariaatribui utilidade 0.6, isto : 6.0)4,1,3( =

Mu . Pelo fato

deste nmero ser menor que 7 , no posso concluirque Joo tem preferncia maior pela cesta do

que Maria.

)4,1,3(

Isto acontece porque as unidades de medida dautilidade (ou da satisfao) auferidas por diferentesconsumidores no so comparveis entre si, uma vezque a utilidade tem funo apenas ordinal, nocardinal.


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No entanto, se poderia pensar em contruir uma basecomum para avaliar a intensidade das prefernciasde duas pessoas entre duas cestas. Por exemplo,reduzindo as unidades de utilidade dos dois umamedida adimensional, como a proporao.

Assim, suponha que 5.0)0,3,3( =M

u

2.05.

. Vis vis da cesta

a preferncia de Joo pela cesta

aparece como mais intensa que a de Maria, porque

)0,3,3( )4,1,3(

0/)5.06.0(4.05/)57( =>= .

Todavia, tal comparao pode ser falaciosa, uma vezque a utilidade no tem um significado numricoprpriamente dito.

Mltipla representao das preferncias

O fato da funo de utilidade ter um papel somenteordinal na representao das preferncias doconsumidor sugere que ela no nica.

Qualquer transformao estritamente crescente de u

tambm poder representar as mesmas preferncias .

Isto o que estabelece o teorema seguinte:

Teorema 2 : Seja ),,( uX a estrutura das escolhas

representadas por de um dado consumidor. Ento,

a funo

u

)(xv tambm representa as preferncias

deste mesmo consumidor se e somente se existe uma

funo RRF :))(

estritamente crescente em u tal que

()( xuFxv = .

A prova deste teorema deixada como exerccio.

Em virtude deste teorema, dizemos que a utilidade u

fica definida univocamente a menos de umatransformao monotnica estritamente crescente.


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25

Exemplo:

Se a utilidade 6/13

3/1

2

2/1

1321 ),,( xxxxxxuJ = representa as

preferncias de Joo sobre as cestas de frutas doexemplo acima, ento 3/1

3

3/2

2

1

1

xxx321

),,( xxxvJ

= tambm

representa suas preferncias, pois 2)( JJ

uv = uma

funo estritamente crescente de .J

u

Analogamente, )ln(6/1)ln(3/1)ln(2/1),,(

321321 xxxxxxw

J ++=

tambm representa as mesmas preferncias de Joo,pois outra transformao estritamente

crescente de .

)ln( JJ

uw =

Ju

Podemos nos perguntar agora quais propriedadesda funo de utilidade ficam asseguradas pelosaxiomas (A1)-(A6) especificados para aspreferncias.

4.2 Preferncias e Propriedades da Utilidade

Vimos que o axioma (A3) da continuidade daspreferncias, assegura a continuidade da funao deutilidade.

Segundo uma tradio terica bem estabelecidaem economia, costuma-se analisar problemasmicroeconmicos usando as ferramentas do clculo.

Nesta direo, uma propriedade desejvel importanteda funo de utilidade a diferenciabilidade.

Esta uma propriedade mais forte que acontinuidade, pois exclui que os conjuntos das cestasindiferentes ou estritamente preferveis uma dadacesta apresentem irregularidades, como bordasquebradas, por exemplo.


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26

A diferenciabilidade da utilidade, como funo deduas ou mais variveis, pressupe a existncia dasderivadas parciais, uma condio importante paraviabilizar o calculo das variaes na margem.

G.Debreu(1972) estabeleceu as condies adicionaisque devem ser impostas s preferncias para garantirque a funao de utilidade que as representa sejadiferencivel. No iremos reproduzi-las aqui.

Suporemos, sempre que necessrio, adiferenciabilidade de u .

Funes Monotnicas, Cncavas e QuaseCncavas

Considere a funo multivariada .: RRu n e a cestaintermediria tx formada partir das cestas 0x e

101 )1(: xttxxx t += ; .10 t

A cesta tx uma combinao convexa de 0x e 1x .

1. A funcao real u monotnica crescente se

)()( yuxuyx >= . Ela monotnica estritamente

crescente se )(yu)(xuyx >>> ;

Obs.: se u monotnica crescente ento u

monotnica decrescente ;

2. A funo real cncavaseu nRyx , , 10 t

temos: )()1(()( 10 xutxtuxu t ) + . Ela estritamente

cncava se para 1010


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27

3. A funo real u quase cncavase nRyx , ,

10 t temos: [ ])(;)(min) 10 xuxu(xtu . Ela estritamentequase cncava se para 1010


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28

de indiferena e a escolha das cestas timas doconsumidor.

Na seo 3 apresentamos com um exemplo um tipo

de relaes de preferncias, as prefernciaslexicogrficas, que pelo fato de no serem contnuas,no so representveis por uma funao de utilidadecontnua.

Consideraremos na seqncia dois outros tiposespeciais de relaes de preferncias contnuas e queso representveis por funes de utilidade dotadasde outras propriedades matemticas ainda noexploradas.

Tratam-se das preferncias homotticas e daspreferncias quase lineares.

Como veremos adiante, os tipos de preferncias seroimportantes para particularizar a anlise das decisestimas tanto do consumidor como tambm doprodutor, na teoria da firma.

4.3 Preferncias e Utilidades Homotticas e Quase

Lineares

Definio: A relao de preferncia ditahomottica se todos os conjuntos de indiferenagerados por ela se reproduzem em propores fixas.

Formalmente:

0,,, > kkykxyxseXyx

Como veremos frente, junto com o axioma (A5) damonotonicidade estrita, as preferncias homotticasimplicaro que as superfcies de indiferena sedeslocam paralelamente para cima, medida queaumentam os nveis de utilidade.


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29

A hiptese contudo um tanto restritiva em muitassituaes concretas.

Por exemplo, posso estar indiferente entre umacesta contendo um copo de cerveja gelada e outra

contendo um copo de gua mineral.

Entretanto, como vou dirigir e no posso meembriagar, no estarei mais indiferente entre 10copos de cerveja e 10 copos de gua, preferindo,nestas quantidades, a gua...

Definio: Uma relao de preferncia monotnica dita quase linear no bem 1 (chamadobem numerrio) se este bem desejvel e se a suapresena no altera o formato das regies de

indiferena.

Formalmente:

e0,),...,,(),...,,(, 2121 >+ kxxxxxkxXx nn f

0,),...,,()...,,(,, 2121 >++ kyykyxxkxentaoyxseXyx nn

Freqentemente, a hiptese quase linear daspreferncias utilizada quando se quer considerar a

moeda (numerrio) como um dos bens cujaquantidade figura entre as escolhas do consumidor.

Antes de apresentar o teorema que explicita aspropriedades das funes de utilidade querepresentam estes dois tipos de preferncias, sernecessrio abrir mais uma janela matemtica.

Funes Homogneas e Homotticas

Considere a funao multivariada .: RRu n

1. A funo real u dita homognea de grau k sobre

X se 0, > Xx temos: )()( xuxu k = ;

Obs.: se 1= dizemos que u homognea linear;


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30

2. A funo real u dita homottica se ela uma

transformao crescente de uma funo homognealinear, isto se:

)(()( xvFxu = , onde )(xv homognea linear e F umafuno univariada crescente.

Obs.: Uma funo homottica uma transformaocrescente de uma funo homognea linear. Como afuno de utilidade tem valor apenas ordinal, semprepodemos representar as preferncias homotticasatravs de uma funo homognea linear.

Exemplos: A funo2/1

2

2/1

1

121 ),(

xxxxxu+

= homognea de

grau 2/1 , a funo21

2

1

21 ),(xx

xxxu

+= homognea linear,

a funo

21

2

1

21 1),(xx

xxxu

++= homottica,...etc.

Enunciamos agora o teorema da representao daspreferncias homotticas e quase lineares.

Teorema 4: Seja a estrutura .),,( uX

(i) Se a preferncia homottica, ento a utilidade

)(xu uma funao homottica;

(ii) Se a preferncia monotnica e quase linear

no bem 1, ento a utilidade )(xu pode ser escritacomo onde)

nx...,,()( 21 xvxxu += v uma funo

monotnica crescente dos seus argumentos.

A prova deste teorema de nvel de Mestrado.


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31

5. Regies e Curvas de Indiferena

Como vimos anteriormente, o conjunto das cestasque o consumidor considera indiferentes entre si so

aquelas que lhe proporcionam o mesmo nvel cardinalde utilidade.

Assim sendo, fixado o nvel numrico de utilidade

digamos ( , um nmero real), o conjunto de todas

as cestas que proporcionam ao consumidor

o nvel de utilidade ser chamado o conjunto de

indiferena de nvel u , notado . Formalmente:

0u

Ru 0

Xx n

R+

0u

0 )( 0uI

})(:{)( 00 uxuXxuI =

com .)(, 0 yxuIyx Matematicamente, o conjunto de indiferenacorresponde uma superfcie de nvel da funo u .0u

Como o grfico de u est num localizado no espao

real -dimensional , o grfico da regio de est

localizado no espao real -dimensional.

1+n )( 0uI

nValendo o axioma (A5) das preferncias estritamentemonotnicas, com utilidade u estritamente crescente

(conforme Teorema 3 (i))se tomarmos um outro nvelde utilidade superior, , a superfcie de nvel

conter cestas estritamente preferveis s cestas denvel :

01 uu > 1u

0u

xyuueuIyuIx f> 0110 )(,)( .

Exemplo:

Suponha que as preferncias do consumidor sobre osbens 1, 2 e 3 sejam representadas pela seguintefuno de utilidade:


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32

4/1

3

3/1

2

12/5

1321 ),,( xxxxxxu =

Esta funo estritamente crescente nas quantidadesdos trs bens. Podemos construir a regio deindiferena de nvel igualando a utilidade a e

depois expressando como funo de e e :0u

3x

0u

1x 2x 0u

3/4

2

3/5

1

4

0

30

4/1

3

3/1

2

12/5

1xx

uxuxxx == .

A figura Fig.7 abaixo representa as superfcies deindiferena de nveis 10 =u e 257.1)2/5(

4/1

1 ==u.

Fig. 7 : Superficies de Indiferena de nivel 1 e 1.257

Matematicamente:

}1

:),,{()1(3/4

2

3/5

1

3

3

321xx

xRxxxI ==+


33/47

33

}5.2

:),,{()257.1(3/4

2

3/5

1

3

3

321xx

xRxxxI ==+

Como vemos, todas as cestas de)257.1(Iproporcionam

utilidade 1.257 ao consumidor, as quais soestritamente preferveis s cestas de )1(I , que

proporcionam utilidade 1 mais baixa.

Observe na Figura 7 que as superfcies de indiferenadeclinam medida que aumentam-se as quantidadesdos bens 1 e 2.

Isto significa que o consumidor, para se manter nomesmo nvel de utilidade, est disposto a sacrificarunidades do bem 3 a fim de obter maioresquantidades dos dois outros bens.

Observe na figura tambm que as superfcies deindiferena tem formato convexo com relao aorigem.

Este formato no casual, mas uma conseqncia deuma propriedade exibida pela funo de utilidade u

especificada no exemplo: a quase concavidade.

Antes de apresentarmos os resultados gerais querelacionam o formato das regies de indiferena concavidade ou quase concavidade da funo deutilidade definiremos os conjuntos: superior einferior da funo de utilidade:)( 0uCI

})(:{)( 00 uxuXxuCS

})(:{)( 00 uxuXxuCI


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34

Assim, a regio acima do conjunto de

indiferena de nvel . Ele o locus das cestas

fracamente preferveis s cestas de .

)( 0uCS

0u

)( 0uI

Analogamente, a regio abaixo do conjuntode indiferena de nvel . o conjunto das cestas

fracamente menos preferidas que as cestas de .

)( 0uCI

0u

)( 0uIEvidentemente, o conjunto de indiferena est nainterseo dos conjuntos superior e inferior:

)()()( 000 uCIuCSuI = .

Vamos agora abrir uma nova janela matemtica.

Conjuntos Convexos:

Um conjunto nRS um conjunto convexo se ele

contem todo segmento de reta passando por dois dosseus pontos. Formalmente, S convexo se:

[ ] SyttxxtemostSyx t += )1(:1,0,,

Observemos que se todos os pontos intermedirios tx

forem interiores S, isto , pertencerem este

conjunto mas no estiverem na sua borda, para

)1,0(t , ento diremos que S estritamente convexo.

Obs.: A interseo de dois conjuntos convexos umconjunto convexo.

As figuras 8 e 9 abaixo ilustram ilustram 2 conjuntosum convexo e outro no convexo.


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35

Fig. 8 Conjunto Convexo (no estritamente)

S c o n v ex o

x t y

x

Fig. 9 Conjunto No Convexo

S nao Co nvexo

x

y

x t

Vamos agora enunciar um teorema queestabelece a relao entre a concavidade da funo deutilidade e a convexidade dos conjuntos superiores:


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36

Teorema 5: A funo real multivariada RRu n

: quase cncava se e somente se Ru 0

,

convexo.

)( 0uCS

Por este teorema, podemos identificar a quaseconcavidade da funo de utilidade com aconvexidade dos seus conjuntos superiores.

Logo, podemos associar a quase concavidade dautilidade com a convexidade das regies deindiferena.

O Teorema 5, junto com o Teorema 3 (ii), permite

tambm identificar a convexidade das regies deindiferena com a convexidade das preferncias doconsumidor.

Vamos agora estudar mais de perto as regies deindiferena no caso de 2 bens.

6. O caso de 2 bens: Taxa Marginal deSubstituio

Neste caso, a curva de indiferena de nvel

definida pela equao:0u

021 ),( uxxu = (1)

de modo que possvel expressar a regio deindiferena por uma curva do plano Cartesiano

expressando como funo de .

)( 0uI

2x 1x

Vamos supor inicialmente que a funcao u represente

preferncias racionais contnuas, estritamentemonotnicas e estritamente convexas.


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37

Neste caso, o Teorema 3 nos garante que u

estritamente crescente e estritamente quase cncava.

Alm disso, a curva de indiferena ser estritamente

convexa, pelo Teorema 5.

A figura abaixo representa esta situao:

Fig.10 Curva de indiferena Convexa

x1

x2

x1

x2

)( 0uCS

Na figura acima, o conjunto superior convexo

e o consumidor indiferente entre as cestas

)( o

uCS1

x e 2x ,

pois do consumo de ambas ele extrai as mesmas

unidades de utilidade.0u

Qualquer cesta situada acima da curva de indiferena

fortemente prefervel s cestas situadas sobre

esta curva.

)( 0uI


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38

Curvas de Indiferena no podem intersectar

Se as preferncias forem racionais e estritamentemonotnicas, impossvel que duas curvas deindiferena se intersectem.

Para vermos isto, suponha por absurdo que duascurvas de indiferena se intersectem, como na figuraabaixo:

x 0

x1

y0

y1

Curvas de Indi ferena nao se intersectam

Pela monotonicidade das preferncias temos: e

. Ora,

00xy f

11yx f

10xx

0y f

de modo que, por transitividade,

deveramos ter , o que evidentemente falso,

pois estas duas cestas esto sobre a mesma curva deindiferena.

1y

Taxa Marginal de Substituio

Se alm da continuidade, supusermos que a funode utilidade diferencivel, com derivadas parciais


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39

contnuas, podemos calcular as utilidades marginais

de cada bem: 2,1;)( =

i

xxu

i

.

Alm disso, podemos definir uma funo, chamada

Taxa Marginal de Substituio (TMS).

Esta funo define, em cada ponto sobre a curva de

indiferena, a taxa com a qual o consumidor est

disposto a substituir um dos bens para obter uma

unidade adicional do outro, de forma compensatria,

isto , de forma a permanecer sobre a mesma curva

de indiferena.

No caso da substituio do bem 2 pelo bem 1, estataxa matematicamente calculada como:

teconsudx

dxxxTMS tan

1

2

2121 |),(

A proposio 1 abaixo estabelece uma frmula quefacilita o clculo da TMS.

Proposio 1: Se a funo de utilidade

diferencivel no ponto

),( 21 xxx = , com derivada

parcial com relao ao bem 2 no nula neste ponto,

ento temos:

2

12121 )(

)(

),(

xxu

xxu

xxTMS

=

Prova:

Diferenciando totalmente a equao (1):

0))(())((0),( 22

11

021 =

+

== dx

xxu

dxx

xuduxxdu equao

esta que implica em


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40

2

1

1

2

)(

)(

xxu

xxu

dx

dx

= ao longo da curva de

indiferena de nvel .0

u

A Proposio 1 nos diz que a TMS21 pode sercalculada como a razo entre as utilidades marginaisdo bem 1 e do bem 2.

Matematicamente, a taxa marginal de substituio(TMS) o mdulo da inclinao da tangente curvade indiferena no ponto considerado.

Na figura 10, indicamos a reta tangente em duas

cestas, 1x e 2x sobre a curva de indiferena, em linhapontilhada.

Observe que na primeira cesta, que possui mais dobem 2 do que no bem 1, a inclinao da tangente mais forte do que na cesta 2x , que possui mais do bem

1 do que do bem 2.

Isto ocorre porque, no primeiro ponto, como oconsumidor possui mais do bem 2, ele est disposto a

sacrificar uma quantidade maior deste bem, paraobter uma unidade adicional do bem 1.

Ao passo que no segundo ponto, como ele possuipouco do bem 2, para obter uma unidade adicionaldo bem 1 ele est disposto a sacrificar somente umaquantidade menor daquele bem.

Vemos assim que a TMS21 diminui quando se passada cesta 1x para a cesta 2x , isto , quando se aumenta

as quantidades do bem 1 e se diminui as quantidades

do bem 2.

Na verdade, o fato da ser decrescente no

bem 1 e crescente no bem 2 uma propriedade geral

das curvas de indiferena estritamente convexas.

),( 2121 xxTMS


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41

Em virtude do Teorema 5, o decrescimento dapermite tambm identificar as funes de

utilidade que so estritamente quase cncavas.

),( 2121 xxTMS

7. Exemplos

Apresentaremos abaixo 4 exemplos estilizados defunes de utilidade definidas para dois bens, asquais sero tambm usadas para ilustrar outrosconceitos apresentados ao longo do curso.

Os trs primeiros casos representam prefernciasmonotnicas e convexas. O ltimo caso representapreferncias monotnicas e cncavas.

1.Cobb-Douglas

0,,0,),( 2121 >>= AxAxxxu

Esta uma funao estritamente cncava, gerando umacurva de indiferena estritamente convexa. Como a

funo homognea de grau + , ela representapreferncias homotticas.

A curva de indiferena de nvel dada por:0u

/

1

/1

/1

0

2xA

ux = .


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42

u 1

u 0

x1

x2

U til idade Cobb-Doug las: Curvas de Indiferena

de n ve is u 0 < u 1.

Observe que, sendo as preferncias homotticas, paranveis crescentes de utilidade, as curvas deindiferena se deslocam paralelamente para cima.

A taxa marginal de substituio dada por:

1

2

1

21

2

1

1

2121 ),(

x

x

xAx

xAxxxTMS

==

Como vemos, ela decrescente em e crescente em.

1x

2x

Alm disso, a TMS no depende do nvel deutilidade.

Ela igual uma constante k ao longo do raio de

equao12 xkx

= , partindo da origem.

O consumidor com utilidade Cobb-Douglas consideraos bens como substitutos.

Mas a substituio no perfeita: para um mesmonvel de utilidade, quanto menos ele tem de um dosbens, menos ele est disposto a renunciar deste bempara obter uma unidade adicional do outro.


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43

2.Utilidade linear

0,),(2121 >+= axaxxxu

Esta uma funo cncava, gerando uma curva deindiferena linear convexa. Como a funo homognea de grau 1, ela representa prefernciashomotticas.

A curva de indiferena de nvel dada por:

.0

u

102 axux =

u 1

u 0

x1

x 2

U ti li da d e L in e a r : C u r v a s d e In d i f e re n a d e n v e i s

u 0 < u 1 .

Aqui tambm, sendo as preferncias homotticas, asretas de indiferena se deslocam paralelamente paracima.

A taxa marginal de substituio constante:

aaxxTMS ==1

),( 2121

Isto significa que o consumidor estdisposto a trocarunidades do bem 2 por uma unidade do bem 1,

independentemente de quanto ele tenha de cada umdos bens.

a


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44

Assim como no caso Cobb-Douglas, o consumidorcom utilidade linear considera os bens comosubstitutos.

Mas neste caso a substituio perfeita, pois ele

est disposto a trocar os bens em propores fixas,quaisquer sejam as quantidades jpossudas.

3.Utilidade Leontieff

0,},min{),( 2121 >= axaxxxu

Trata-se de uma funo cncava, gerando uma curvade indiferena linear convexa. A funo homogneade grau 1. Logo, representa prefernciashomotticas.

A curva de indiferena de nvel obtida da

seguinte maneira:

0u

auxaxx

uxaxx

/0112

0212

=

=

auxxxTMS /;0),( 012121

>=

Como ele no substitui os bens neste intervalo,consideramos que, neste caso, o consumidorconsidera os bens 1 e 2 como sendo complementaresentre si.

O consumo de um, requer necessariamente o consumo

do outro.

Uma vez de posse da cesta , o consumidor

no melhora sua satisfao acrescentandounilateralmente mais unidades do bem 1 ou do bem 2.

),/( 00 uau

Como veremos na prxima aula, ele demandar osbens em proporo fixa, a unidades do bem 2 por

unidade do bem 1.

4.Utilidade Max

0,},max{),( 2121 >= axaxxxu

Trata-se de uma funo convexa, gerando uma curvade indiferena linear cncava. A funo homogneade grau 1. Ela representa preferncias homotticas.

A curva de indiferena de nvel obtida da

seguinte maneira:

0u

auxaxx

uxaxx

/0112

0212

=

=>. A figura abaixo,

ilustra estas curvas para dois nveis de indiferena.


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46

u 1

u0

x1

x2

Uti lidade Max: Curvas de Indiferena de nveis

u 0 < u1.

u0/a u1/a

u1

x2 = ax 1

Sendo as preferncias homotticas, as linhas deindiferena se deslocam paralelamente para cima.

Estas linhas apresentam um kink ao longo da reta deequao . Trata-se de uma quebra invertida,

com relao ao caso Leontieff.12 axx =

A taxa marginal de substituio TMS21 s estdefinida para . Neste intervalo ela nula:aux /01

anpec aula 1.preferencias e utilidade

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