Após o teste ANOVA (2 fatores) com Efeito Interação Significante: - O que fazer?

Referências.

1) Huck, Schuyler W; Reading statistics and research. 5th ed Schuyler W. Huck; Boston Pearson/Allyn & Bacon c2008;2) http://www2.gsu.edu/~epstco/aeraMain.pdf: T. Cris Oshima and Frances McCarty. How Should We teach Follow-Up Tests After Significant Interaction in Factorial Analysis of Variance. American Educational Research Association, New Orleans, April 2000; 3) http://www2.gsu.edu/~epstco/aeraStudent.pdf: Factorial Analysis of Variance. Statistically Significant Interactions: What’s the next step? T.C. Oshima and F. McCarty. Georgia State University.

Nos livros de estatística, nível introdutório, básico ou intermediário, não se encontra uma

explicação clara, convincente, completa, do que fazer, como proceder, após o teste ANOVA

fatorial, indicar efeito interação estatisticamente significante. Embora a maioria dos livros textos

inclua esse tópico de análise fatorial da análise de variância, o procedimento de, como

prosseguir após o efeito interação significante, de como efetuar um teste “follow-up tests” é

rápido, superficial.

Segundo Huck, há três estratégias, para ganharmos compreensão do efeito interação

significante, após o teste ANOVA (2 fatores):

Estratégia 1 (Graph): Investigar o gráfico de médias (graph of cell means). Estratégia 2 (APC): Efetuar uma comparação estatística das médias (all comparison of cell

means).Estratégia 3 (SME): Conduzir testes “simple main effects”.

Exemplo

Suponha um delineamento tipo CRD: (completely randomized design) com dois fatores: Medicamento (3 níveis) e Gênero (masculino e feminino).

Primeira estratégia (Graph). Vamos observar o gráfico de médias e avaliar as linhas não paralelas. A estatística F na interação significante sugere que essas linhas, provavelmente, não vêem de linhas que são paralelas na população. Essa estratégia é útil e podemos até considerá-la etapa necessária para investigar a natureza da interação, porém, não é uma estratégia completa. Enfim, as médias das linhas, se visualmente diferem, pertencem a uma abordagem descritiva.

Segunda estratégia (APC). As médias são comparadas simultaneamente mediante um teste post-hoc, o teste de comparação múltipla de Tukey, por exemplo. Essa estratégia é direta e de fácil entendimento. Porém, essa estratégia é muito conservadora e apresenta muitas comparações que não são de interesse para o pesquisador. Voltando ao exemplo do CRD, com

Huck, Schuyler W; Reading statistics and research ( 3ª ed.), New York: Harper Collins.

Medicamentos e Gênero, seria útil uma comparação do medicamento tipo 1 em relação ao medicamento tipo 2 para os pacientes do sexo masculino; mas, não seria interessante uma comparação entre o medicamento tipo 1 para homens em relação ao medicamento 2 para mulheres. Porque o pesquisador não quer saber qual medicamento administrar uma vez estabelecido o sexo do paciente.

Terceira estratégia (SME). Conhecida como “simple-main effects”, é a estratégia mais difícil de ser ensinada aos estudantes. Nesta estratégia, após a interação se apresentar como significante, os dados são separadas para cada nível de um fator e, a seguir, é efetuada o teste ANOVA 1 fator. Voltando ao exemplo do CRD, com Medicamentos e Gênero, uma ANOVA (1 fator) é conduzida para homens para descobrir qual o melhor medicamento e, um outro teste ANOVA (1 fator) é efetuado para as mulheres a fim de descobrir qual o melhor medicamento. Assim, como em qualquer outra aplicação do teste ANOVA (1 fator), após o efeito apresentar-se como significante, qualquer teste post-hoc, o teste de comparação múltipla de Tukey, por exemplo, pode ser aplicado. Porém, para a aplicação do teste post-hoc, é aconselhável considerar a variância residual (MSE: mean square error, do CRD fatorial, ou seja, da tabela ANOVA (2 fatores).

Após conhecermos essas três estratégias, vamos a um exemplo prático. Mas, antes de

apresentá-lo, convém considerar o significado do efeito interação na estatística, que nada tem a

ver com o efeito interação da farmacologia. Nessa ciência biológica, o efeito combinado de dois

medicamentos pode ou não conduzir a efeitos sinérgicos; enquanto, na estatística, o efeito

interação do modelo ANOVA pode ser entendido como “diferença das diferenças”.

Interpretação do Efeito Interação ( diferença das diferenças ).

Quando existe uma interação significante, o efeito de uma variável independente (VI) sobre a variável resposta ou dependente (VD) depende do valor (nível) de alguma outra VI incluída no delineamento experimental. Em outras palavras, o teste de interação dá ênfase (focus) na questão de se o efeito de um fator é o mesmo para cada nível do outro fator, ou se o efeito de um fator não é o mesmo para cada nível do outro fator. Em qualquer um desses dois casos, o nosso interesse vai para as médias das condições experimentais estabelecidas palas variáveis em estudo (VIs). Então, estamos, agora, considerando essas médias das células (cell means) e não as médias marginais (das linhas e das colunas). Para recordar, os testes de efeitos principais, consideram (focus) nas médias marginais.

Quando existe uma interação significante, evitamos interpretar os efeitos principais e interpretamos, apenas, o efeito interação. Porque interpretar os efeitos principais na presença de uma interação significante pode conduzir-nos a conclusões errôneas.

Ainda, antes de apresentarmos um exemplo prático, vamos apresentar dois termos propostos por JACCARD em 1998, que facilita o entendimento, quando se opta pela estratégia 3, referente simple-effects means. Esse autor propõe uma distinção entre variável independente focal e variável independente moderadora. Assim, a VI focal é a variável que o pesquisador está mais interessado em comparar e é comumente manipulada (tal como tratamento A versus

JACCARD, J. Interactions effects in factorial analysis of variance, SAGE University Papers Series on Quantitative Applications in Social Sciences, 07-118. Thousand Oaks, CA: SAGE.

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tratamento B). Uma VI moderadora é a variável na qual o pesquisador acredita que o efeito da variável focal na variável dependente é “moderada” (tal como o gênero). Então, a VI moderadora pode ser julgada como a variável que interessa devido ao seu efeito potencial na VI focal, que é a de interesse principal. De outra forma, pode-se considerar como variável moderadora aquela referente às características intrínsecas do sujeito; enquanto a VI focal é aquela determinada de forma ativa pelo pesquisador, ou seja, características extrínsecas que foram determinadas pelo pesquisador.

Exemplo 1. (SME). Simple Main effects.

Um pesquisador está interessado em avaliar o efeito de três métodos de redução de esgotamento físico e mental, stress (yoga, meditação, e exercício). Com fundamento em pesquisas anteriores, o pesquisador sente que o gênero pode ter algum impacto nos efeitos de redução de tensão. Com isso em mente, o pesquisador delineia um estudo onde noventa participantes (45 homens e 45 mulheres) são designados, aleatoriamente, a um dos três métodos de redução de stress. No final do estudo, cada participante preencheu um questionário (menor escore indica menor stress). Os dados foram analisados via ANOVA fatorial.

A variável dependente (resposta) foi a quantidade de stress medida pelo questionário.As variáveis independentes foram duas. A saber, o método de redução de stress, com três

níveis (yoga, meditação, e exercício), e o gênero, com dois níveis (masculino e feminino).

A tabela ANOVA (2 fatores) aplicada aos dados de redução de stress, é apresentada:Efeito gl SQ QM F p-valor

Método 2 1361,22 680,61 28,30 0,0001Gênero 1 220,00 220,00 9,15 0,003

Interação 2 1120,23 560,11 23,29 0,0001*Resíduo 84 2020,05 24,05

Total 89 4721,50*p<0,05

Pode-se verificar, tabela acima, que o efeito interação foi significante e a nossa atenção

está sobre esse efeito.

Estratégia 1 (Graph): Investigar o gráfico de médias (graph of cell means).

3

Método

esc

ore

médio

3: Exercício2: Meditaçao1: Yoga

50

45

40

35

30

20

10

0

Gênerofemininomasculino

Redução de Stress

Quanto menor o valor de escore menor é o nível de stress.

Figura 1. Gráfico de médias referente às seis condições experimentais.

As médias obtidas são apresentadas na Tabela 1, mostrada a seguir.

Tabela 1. Médias dos escores de redução de stress, das seis condições experimentais estabelecidas pelas variáveis: Método e Gênero.

Gênero Método

1: yoga 2: meditação 3: exercício

masculino 44,66* 40,95 38,11

feminino 35,22 47,67 31,47

*n = 15 pacientes

A variável focal é o método de redução de stress: característica extrínseca, criada pelo

pesquisador.

A variável moderadora é o gênero: característica intrínseca, não criada pelo pesquisador.

Essa distinção nos ajudará a estabelecer os nossos testes de simple effects.

Terceira estratégia (SME).

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ANOVA (1 fator) para os dados de escore obtidos para o sexo masculino.

ANOVA (1 fator) para os dados de escore obtidos para o sexo feminino.

Sexo masculino

Efeito gl SQ QM F p-valor

Entre Métodos 2 325,019 162,510 7,222 0,002*

Resíduo 42 945,135 22,503

Total 44 1270,154

F recalculado para masculino: 162,510 /24,05 = 6,757

Sexo feminino

Efeito gl SQ QM F p-valor

Entre Métodos 2 2156,429 1078,214 42,129 0,0001*

Resíduo 42 1074,916 25,593

Total 44 3231,345

F recalculado para feminino: 1078,214 /24,05 = 44,832

A tabela ANOVA (2 fatores) aplicada aos dados de redução de stress, é apresentada:Efeito gl SQ QM F p-valor

Método 2 1361,22 680,61 28,30 0,0001Gênero 1 220,00 220,00 9,15 0,003

Interação 2 1120,23 560,11 23,29 0,0001*Resíduo 84 2020,05 24,05

Total 89 4721,50*p<0,05

F recalculado para masculino: 162,510 /24,05 = 6,757 > Fgl(2; 84) 5% = 3,15F recalculado para feminino: 1078,214 /24,05 = 44,832 > Fgl(2; 84) 5%= 3,15

IC (95%) do teste de Tukey (5%): ( i- j) = q,gl(k grupos; resíduo)(QMresíduo/n)

n = 15 ... tamanho comum do grupoq .... valor tabelado (estatística faixa de Student) = 3,399( i- j) .... médias dos métodos em comparaçãogl resíduo = 84gl k = 3 ... três métodos em comparaçãoQMErro (ou resíduo) = 23,29 associado com gl resíduo = 84

( i- j) = q,gl(k grupos; resíduo)(QMresíduo/n) = dms = 3,399)(23,29/15) = 4,304

dms = 3,399)(23,29/15) = 4,304 para masculinodms = 3,399)(23,29/15) = 4,304 para feminino

MASCULINO

5

dms = 3,399(23,29/15) = 4,304 para masculino

Comparação diferença IC (95%) do teste de TukeyYoga – Meditação 44,68-40,95 = 3,73 <dms -0,574 a 8,034Yoga – Exercício 44,68-38,11 = 6,57* >dms 2,266 a 10,874Meditação – Exercício 40,95-38,11 = 2,84 <dms -1,464 a 7,144

Yoga – Meditação µdifª = 3,734,304 = -0,574 a 8,034etc...

FEMININOdms = 3,399)(23,29/15) = 4,304 para feminino

Comparação diferença calculada vs dms IC (95%) do teste de Tukey Yoga – Meditação 35,22-47,67 = 12,45* >dms 8,146 a 16,754 Yoga – Exercício 35,22-31,47 = 3,75 <dms -0,554 a 8,054 Meditação – Exercício 47,67-31,47 = 16,2* >dms 11,896 a 20,504

Yoga – Meditação µdifª = 12,454,304 = 8,146 a 16,754 etc...

Conclusão:

Por meio da tabela ANOVA(2 fatores) verificamos que o Método depende do Gênero.

Uma análise de simple effects indica que as médias foram diferentes para os homens (Fgl(2;84) =

6,757; p<0,05) e para as mulheres (F gl(2;84) = 44,832; p<0,05). Para os homens, o teste de Tukey

(5%) indica que o método Yoga difere apenas do Exercício. Para as mulheres, o teste de Tukey

(5%) indica que o método difere do Exercício e da Meditação.

O método de Exercícios para os homens pode trazer um maior alívio, quando comparado com Yoga.

Os métodos de Exercícios e de Yoga para as mulheres podem trazer um maior alívio,

quando comparado com a Meditação.

Exemplo 2. Segunda estratégia (APC).

introdução

6

Essa abordagem pode ser útil quando o pesquisador está interessado em descobrir qual

combinação de fatores produzirá resultados mais desejáveis; neste contexto, uma consideração

importante é saber se (ou não), os grupos criados pelas variáveis independentes proporcionam

comparações de interesse, do ponto de vista de significado clínico.

Essa abordagem é comumente empregada quando ambas as VIs são ativas, isto é,

pesquisador tem controle sobre elas (foram manipuladas, criadas por ele).

Essa abordagem é mais direta do que a SME (simple effects). Compara todas as possíveis

médias das condições experimentais. Por exemplo, num delineamento tipo 2 x 2 teremos 4

médias a serem comparadas entre si (C4,2 = total de 6 comparações).

Enunciado da Pesquisa

Um pesquisador está interessado em avaliar o efeito de Exercícios para casa (EPC) e da

Duração do curso (DC) sobre o aprendizado. Assim, ele delineou um estudo onde 28 estudantes

foram distribuídos, ao acaso, às condições de: (i) alunos que receberam EPC num curso com

duração de 8 semanas; (ii) alunos que receberam EPC num curso com duração de 16 semanas;

(iii) alunos que não receberam o EPC num curso com duração de 8 semanas; (iv) alunos que não

receberam o EPC num curso com duração de 16 semanas. Nesse experimento 7 alunos

participaram em cada uma das quatro condições experimentais. No final de cada curso, foram

submetidos a uma avaliação (exame). As notas foram analisadas por meio do teste ANOVA

fatorial (2 fatores).

A variável dependente (resposta) foram as notas obtidas pelos alunos no exame.As variáveis independentes foram duas. A saber, a tarefa de exercícios para casa, com dois

níveis (alunos que receberam e alunos que não receberam), e o tempo de duração do curso, com dois níveis (8 semanas e 16 semanas).

A tabela ANOVA (2 fatores) aplicada às notas obtidasEfeito gl SQ QM F p-valor

Exercício em casa 1 276,901 276,901 13,973 0,0001Tempo 1 173,507 173,507 8,756 0,007

Interação 1 555,111 555,111 28,013 0,0001*Resíduo 24 475,591 19,816

Total 27*p<0,05

Pode-se verificar, tabela acima, que o efeito interação foi significante e a nossa atenção

está sobre esse efeito.

7

Tempo(s)

média

168

100959085807570

60

50

40

30

20

10

0

Exercícionãosim

Notas

As médias obtidas são apresentadas na Tabela 1, mostrada a seguir.

Tabela 1. Médias (dp) obtidas pelos alunos, nas quatro condições experimentais estabelecidas pelas variáveis: tempo de duração do curso e Exercícios para casa

Tempo Exercício para casa

1: não receberam 2: receberam linha

8 semanas 76,864(4,69)* 92,058(2,76) 84,461

16 semanas 90,747(4,50) 88,132(5,42) 89,439

coluna 83,805 90,095

*n = 7 pacientes

A tabela ANOVA (2 fatores) aplicada às notas obtidasEfeito gl SQ QM F p-valor

Exercício em casa 1 276,901 276,901 13,973 0,0001Tempo 1 173,507 173,507 8,756 0,007

Interação 1 555,111 555,111 28,013 0,0001*Resíduo 24 475,591 19,816

Total 27*p<0,05

Para aplicar o teste de Tukey (5%):q ... valor tabelado para k = 4 médias e gl = 24 é igual a 3,90( i- j) = q,gl(k grupos; resíduo)(QMresíduo/n) = dms = 3,90(19,816/7) = dms = 3,90(19,816/7) = 3,90 (1,683) = 6,562

8

Tempo Exercício para casa

1: não receberam 2: receberam linha

8 semanas 76,864(4,69)* 92,058(2,76) 84,461

16 semanas 90,747(4,50) 88,132(5,42) 89,439

coluna 83,805 90,095

Teste de Tukey (5%) aplicado aos quatro grupos

Comparações diferença média dms* Interpretação

8s / sem EPC(76,86)

8s / EPC (92,06) 15,19*

6,562

difere

16s / sem EPC(90,75)

13,88* difere

16s / EPC(88,13) 11,27* difere

8s / EPC(92,06)

16s / sem

EPC(90,75)

1,31 não difere

16s / EPC (88,13) 3,93 não difere

16s / sem EPC(90,75)

16s / EPC(88,13) 1,32 não difere

*dms = 3,90(19,816/7) = 3,90 (1,683) = 6,562

Tempo(s)

média

168

100959085807570

60

50

40

30

20

10

0

Exercícionãosim

Notas

Conclusão:

A condição: 8 semanas/ Sem Exercício para casa (EPC) difere das outras três condições

experimentais. Essa condição apresentou o pior desempenho (média igual a 76,86). A

recomendação é, portanto, impedir a existência de cursos de pequena duração e que não passam

exercícios para casa aos alunos.

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Considerações adicionais: Efeito Interação Tripla estatisticamente significante.

No caso de ANOVA fatorial com três fatores, tipo 2 x 2 x 2, por exemplo, o raciocínio é

análogo ao que já vimos. Se encontrarmos um efeito interação tripla estatisticamente

significante, então, uma abordagem seria efetuar duas ANOVA (2 fatores), separadamente, uma

para cada nível do terceiro fator e usar o termo erro (resíduo) da original ANOVA três fatores.

E, caso uma interação dupla seja significante, então, podemos seguir as estratégias (gráfica e

simple effects ou gráfica e todas as comparações possíveis, APC) aqui apresentadas.

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