anotaçõe sobre somatórios

Anotacoes sobre somatorios

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

Sumario

1 Somatorios 3

1.1 Operador diferenca ∆ e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Potencia fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Definicao de somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Somatorio no conjunto dos inteiros estendidos . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Somatorio com limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Notacao compacta versus reticencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Numeros de Stirling do segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Primeiras tecnicas de Somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1 Soma telescopica ou soma da diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2 Soma da k-esima diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.3 Compatibilidade da soma telescopica com definicao de somatorio . . 36

1.6.4 Definicao por meio de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.5 Diferenca do somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.6 Teorema de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7 Primitiva finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8 Numeros de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.1 Deduzindo uma formula para soma de potencias usando numeros de Bernoulli 44

1.9 Formula de soma de Euler-Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10 Numeros Eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11 Formula de Interpolacao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

Capıtulo 1

Somatorios

Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, cons-

tituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes da

parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected].

1.1 Operador diferenca ∆ e E

O operador diferenca e de fundamental importancia no tratamento de somatorios, com

ele expressamos a propriedade que veremos ainda nesse texto que e chamada de soma

telescopica, com a qual e possıvel descobrir formulas fechadas para alguns somatorios.

Definicao 1 (Operador diferenca). Dada uma funcao f : R → R definimos o operador

∆ que leva uma funcao f : R → R em uma funcao ∆f : R → R dada por

∆f(x) := f(x+ 1)− f(x).

Definicao 2 (Potencias de ∆). Definimos

∆0f(x) = f(x)

∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆nf(x)

3

CAPITULO 1. SOMATORIOS 4

para n natural.

Definicao 3 (Operador E.). Dado h ∈ R definimos o operador Eh que leva funcoes

f : R → R em uma funcao EhfR → R, dada por

Ehf(x) = f(x+ h).

Observe que ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x) entao escrevemos ∆ = E − 1.

1.1.1 Delta de Kronecker

Definicao 4 (Delta de Kronecker). Dados a, b em um conjunto qualquer A nao vazio,

definimos a funcao δA× A → R como

δ(a,b) = 0

se a = b.

δ(a,b) = 1

se a = b.

1.2 Potencia fatorial

Definicao 5 (Potencia fatorial ). Definimos a potencia fatorial de passo h e expoente n

e base x como

x(n,h) =n−1∏k=0

(x− kh)

com n ∈ Z, x, h ∈ R (desde que nao haja divisao por zero) .

Com n = 0 usamos o produto vazio

x(0,h) =−1∏k=0

(x− kh) = 1.

Usaremos em especial o caso de h = 1

x(n,1) =n−1∏k=0

(x− k).


Propriedade 1. Vale a propriedade

∆(ax+ b)(p+1, a) = a(p+ 1)(ax+ b)(p, a)

para p inteiro.

1.3 Definicao de somatorio

Vamos comecar definindo somatorio recursivamente.

Definicao 6 (Somatorio). Condicao inicial:a∑

k=a

f(k) =a∑

k=a

f(k) = f(a)

Recorrencia (Propriedade de abertura):

b∑k=a

f(k) =

p∑k=a

f(k) +b∑

k=p+1

f(k)

onde b, p, a ∈ Z arbitrarios .

A funcao f deve ser uma funcao definida num conjunto que contenha Z em geral

nesse texto vamos considerar f definida em Z ou em R tomando valores num conjunto A

munido de uma adicao +, que possua as propriedades comutativa

a+ b = b+ a

, associativa

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

, existencia de elemento neutro 0

a+ 0 = 0

e existencia de inverso aditivo para cada elemento do conjunto

a− a = 0

onde a, b e c sao elementos arbitrarios do conjunto A. Tais propriedades dizem que (A,+)

e um grupo abeliano. A poderia ser , por exemplo , o conjunto dos numeros complexos C ,

dos numeros reais R ou dos inteiros Z. Na maioria dos casos iremos considerar f : Z → R.


Emb∑

k=a

f(k) chamamos o numero a de limite inferior do somatorio o numero b de

limite superior, f(k) e chamado termo do somatorio ou somando e k de argumento, ındice

ou variavel, nesse caso diremos que estamos aplicando o somatorio de f(k) com k variando

de a ate b. Podemos escrever tambemb∑a

f(k) para simbolizarb∑

k=a

f(k), quando ficar claro

que estamos aplicando com k variando.

O somatorio definido acima representa formalmente a soma

f(a) + f(a+ 1) + ...+ f(b− 1) + f(b)

quando b ≥ a. Essa notacao para somatorios e chamada de notacao sigma, a letra∑

e

a uma letra grega maiuscula que e corresponde a nossa letra S , tal notacao foi introduzida

por Joseph Fourier ( 1768 -1830) em 1829 .

Alguns autores usam o ındice i no somatoriob∑

i=a

f(i), normalmente nao usaremos

ındice i, deixando essa letra reservada para o numeros complexos, tambem nao usaremos

ındice n, pois deixaremos essa letra para o limite superior da soma.

Corolario 1 (Soma vazia). Da definicao

b∑k=a

f(k) =

p∑k=a

f(k) +b∑

k=p+1

f(k),

tomando p = a− 1

b∑k=a

f(k) =a−1∑k=a

f(k) +b∑

k=a

f(k)

concluımos quea−1∑k=a

f(k) = 0, essa soma e chamada de soma vazia.

Corolario 2 (Abrindo o limite superior). Tomando p+1 = b na propriedade de abertura

tem-se

b∑k=a

f(k) =b−1∑k=a

f(k) +b∑

k=b

f(k) =b−1∑k=a

f(k) + f(b)

b∑k=a

f(k) =b−1∑k=a

f(k) + f(b).


Corolario 3 (Soma com limite superior menor que limite inferior). Na propriedade

p∑k=a

f(k) =b∑

k=a

f(k) +

p∑k=b+1

f(k),

tomamos p = a− 1, daı

a−1∑k=a

f(k) = 0 =b∑

k=a

f(k) +a−1∑

k=b+1

f(k)

logob∑

k=a

f(k) = −a−1∑

k=b+1

f(k).

A definicao de somatorio usando a recorrencia

b∑k=a

f(k) =

p∑k=a

f(k) +b∑

k=p+1

f(k)

e similar a propriedade de integral∫ c

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ c

b

f(x)dx.

Nesta propriedade de integral se tomamos, b = a, ficamos com∫ c

a

f(x)dx =

∫ a

a

f(x)dx+

∫ c

a

f(x)dx

entao devemos ter

∫ a

a

f(x)dx = 0 cuja propriedade similar para somatorio ea−1∑k=a

f(k) = 0.

Tomando c = a na primeira identidade de integral tem-se∫ a

a

f(x)dx = 0 =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ a

b

f(x)dx

logo

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx que temos propriedade similar no somatoriob∑

k=a

f(k) =

−a−1∑

k=b+1

f(k).

Vejamos alguns exemplos de somatorios.

Exemplo 1.a+1∑k=a

f(k) =a∑

k=a

f(k) + f(a+ 1) = f(a) + f(a+ 1)


a+2∑k=a

f(k) =a+1∑k=a

f(k) + f(a+ 2) = f(a) + f(a+ 1) + f(a+ 2)

Um exemplo com numeros

Exemplo 2.

3∑k=−2

f(k) =2∑

k=−2

f(k) + f(3) =1∑

k=−2

f(k) + f(2) + f(3) =0∑

k=−2

f(k) + f(1) + f(2) + f(3)

=−1∑

k=−2

f(k)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =−2∑

k=−2

f(k)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =

= f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3).

Propriedades do somatorio.

As propriedades nesta secao sao as propriedades basicas para manipulacao de somas,

sendo que a maioria - se nao todas - as outras propriedades neste texto sao decorrentes

delas. Faremos tambem analogias entre somas e integrais, mostrando que as propriedades

sao similares.

Vamos entao enunciar e demonstrar as propriedades basicas de somatorio que serao

usadas nesse texto!As demonstracoes mais basicas serao feitas usando inducao, iremos

sempre manipular os somatorios a partir da definicao por recorrencia, nao usaremos re-

ticencias para simbolizar os somatorios.

Propriedade 2 (Variavel muda).

b∑k=a

f(k) =b∑

y=a

f(y)

Se os somatorios estao sendo tomados em limite iguais e com a mesma funcao, nao importa

o sımbolo usado para a variacao, as somas sao iguais. No calculo temos que a integral

tem variavel muda ∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(y)dy

Iremos demonstrar as propriedades para b ≥ a primeiro, por inducao e depois usar

esse resultado para provar com b < a, usando a identidadeb∑

k=a

f(k) = −a−1∑

k=b+1

f(k).


Propriedade 3 (Mudanca de variavel).

b∑k=a

f(k) =b+t∑

k=a+t

f(k − t)

sendo t um numero inteiro.

Demonstracao.

Demonstracao por inducao. para b = a temos

a∑k=a

f(k) = f(a) =a+t∑

k=a+t

f(k − t) = f(a+ t− t) = f(a)

vamos tomar por hipotese a validade para b = a+ p

a+p∑k=a

f(k) =

a+p+t∑k=a+t

f(k − t)

e provar para b = a+ p+ 1

a+p+1∑k=a

f(k) =

a+p+1+t∑k=a+t

f(k − t)

pela definicao temos

a+p+1∑k=a

f(k) =

a+p∑k=a

f(k) + f(a+ p+ 1) =

a+p+t∑k=a+t

f(k − t) + f(a+ p+ 1 + t− t)

=

a+p+t+1∑k=a+t

f(k − t).

Se algum numero inteiro e somado aos limites do somatorio o mesmo numero deve ser

subtraıdo na funcao que e somada, por exemplo, se esta tomando somatorio sobre uma

funcao f(k) com k variando de a ate b, se somar um numero t ficando com somatorio de

a + t ate b + t deve-se subtrair esse numero t da funcao que esta sendo somada, ficando

f(k − t) para que o somatorio continue igual.

b∑k=a

f(k) =b+t∑

k=a+t

f(k − t).

Provamos agora essa propriedade no caso b < a

b∑k=a

f(k) = −a−1∑

k=b+1

f(k) = −a−1+t∑

k=b+1+t

f(k − t) =b+t∑

k=a+t

f(k − t)


logo valeb∑

k=a

f(k) =b+t∑

k=a+t

f(k − t).

No caso vazio essa propriedade tambem se verifica pois

a−1∑k=a

f(k) = 0 =a−1+t∑k=a+t

f(k − t).

Com integrais essa propriedade se verifica∫ b

a

f(x)dx =

∫ b+p

a+p

f(x− p)dx.

Que pode ser demonstrada por mudanca de variavel na integral. Tome y = x− p, temos

dy = dx e com x = b+ p fica y = b, com x = a+ p fica y = a, escrevemos∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(y)dy.

Como a variavel de integracao e muda temos a mesma integral.

Definicao 7. Seja x um numero real qualquer e n um numero inteiro, definimos

x+n∑k=x

f(k)

por meio da mudanca de variavel de subtrair x dos limites

x+n∑k=x

f(k) :=n∑

k=0

f(k + x)︸︷︷︸g(k)

=n∑

k=0

g(k).

No caso de termos um somatoriob∑

k=a

f(k), podemos subtrair a dos limites e chamar

b− a = nb−a∑k=0

f(k + a)︸︷︷︸g(k)

=n∑

k=0

g(k)

entao sempre podemos fazer essa transformacao, simplificando um pouco os ındices do

somatorio, iremos demonstrar as propriedades para a soma na forman∑

k=0

g(k), por inducao

sobre n.


Linearidade

Um operador T e linear quando faz

T [af(x) + bg(x)] = aTf(x) + b.Tg(x)

vamos mostrar que o somatorio e linear

No calculo temos que a integral e linear∫ c

d

af(x) + bg(x)dx = a

∫ c

d

f(x)dx+ b

∫ c

d

g(x)dx.

Sendo f(x) e g(x) integraveis em [d, c] e a e b constantes.

Propriedade 4 (Linearidade do somatorio).

n∑k=0

[af(x) + bg(x)] = an∑

k=0

[f(x)] + bn∑

k=0

[g(x)].

Demonstracao.

Por inducao sobre n. Para n = 0 temos

0∑k=0

[af(k) + bg(k)] = a

0∑k=0

[f(k)] + b

0∑k=0

[g(x)] =

= af(0) + bg(0)

onde foi aplicada a definicao aos dois termos.

Hipotese da inducao, para n− 1

n−1∑k=0

[af(k) + bg(k)] = a

n−1∑k=0

[f(k)] + b

n−1∑k=0

[g(k)].

Vamos provar para p = n

n∑k=0

[af(k) + bg(k)] =

[ n−1∑k=0

[af(k) + bg(k)]

]+ af(n) + bg(n) =

pela hipotese de inducao segue

= an−1∑k=0

[f(k)] + bn−1∑k=0

[g(k)] + af(n) + bg(n) =


=

[a

n−1∑k=0

[f(k)] + af(n)

]+

[bn−1∑k=0

[g(k)] + bg(n)

]=

= a

[ n−1∑k=0

[f(k)] + f(n)

]+ b

[ n−1∑(k=0)

[g(k)] + g(n)

]=

= a

[ n∑k=0

f(k)

]+ b

[ n∑k=0

g(k)

].

Agora para n < 0 temos

n∑k=0

[af(k)+bg(k)] = −−1∑

k=n+1

[af(k)+bg(k)] = −a

−1∑k=n+1

f(k)−b

−1∑k=n+1

g(k) = a

n∑k=0

f(k)+b

n∑k=0

g(k).

No caso vazio

−1∑k=0

[af(k) + bg(k)] = 0 = a−1∑k=0

f(k) + b−1∑k=0

g(k).

Corolario 4. Vale queb∑

k=a

0 = 0

para todos b, a ∈ Z, pois pela linearidade

b∑k=a

0 =b∑

k=a

0.0 = 0.b∑

k=a

0 = 0.

Propriedade 5 (Comutatividade-Soma de linhas e colunas). Os somatorios comutam,

nao importa a ordem em que se aplica dois somatorios o resultado e sempre o mesmo.

b∑k=a

[d∑

p=c

f(k, p)] =d∑

p=c

[b∑

k=a

f(k, p)]

Demonstracao. Vamos provar por inducao, tomando d = c + t e induzindo sobre t.

Para t = 0 temos

b∑k=a

[c∑

p=c

f(k, p)] =b∑

k=a

[f(k, c)] =c∑

p=c

[b∑

k=a

f(k, p)] =b∑

k=a

[f(k, c)]

tomando a validade para t, vamos mostrar valida para t+ 1

b∑k=a

[c+t∑p=c

f(k, p)] =c+t∑p=c

[b∑

k=a

f(k, p)]


temos que mostrarb∑

k=a

[c+t+1∑p=c

f(k, p)] =c+t+1∑p=c

[b∑

k=a

f(k, p)]

Aplicando a definicao de somatorio

c+t+1∑p=c

[b∑

k=a

f(k, p)] =c+t∑p=c

[b∑

k=a

f(k, p)] +b∑

k=a

f(k, t+ 1)]

aplicando a comutatividade da hipotese

=b∑

k=a

[c+t∑p=c

f(k, p)] +b∑

k=a

f(k, t+ 1)]

agora pela linearidade do somatorio

b∑k=a

[c+t∑p=c

f(k, p)] + f(k, t+ 1)] =b∑

k=a

[c+t+1∑p=c

f(k, p)].

Para valores d < c a identidade tambem vale pois

b∑k=a

d∑p=c

f(k, p) =b∑

k=a

(−c−1∑

p=d+1

f(k, p)) = −c−1∑

p=d+1

b∑k=a

f(k, p) =d∑

p=c

b∑k=a

f(k, p).

Se a soma e vazia a propriedade tambem e verdadeira pois

b∑k=a

d∑p=c

f(k, p) =b∑

k=a

0 = 0 =d∑

p=c

b∑k=a

f(k, p).

No calculo temos o analogo , Teorema de Fubini

Seja f(x, y) integravel no retangulo R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Supondo

que

b∫a

f(x, y)dx exista, para todo y ∈ [c, d], e que

d∫c

f(x, y)dy exista para todo x ∈ [a, b].

Entao

∫ ∫R

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

[ ∫ b

a

f(x, y)dx

]dy =

∫ b

a

[ ∫ d

c

f(x, y)dy

]dx.

Com essas condicoes as integrais comutam.

A propriedade de comutatividade de somatorios garante que a soma dos elementos

percorrendo todas as linhas de uma matriz n×m tem o mesmo resultado que a soma dos

elementos percorrendo todas as colunas.


f(1, 1) f(1, 2) f(1, 3) · · · f(1,m)

f(2, 1) f(2, 2) f(2, 3) · · · f(2,m)...

...... · · · ...

f(n, 1) f(n, 2) f(n, 3) · · · f(n,m)

n∑

k=1

m∑p=1

f(k, p) =m∑p=1

n∑k=1

f(k, p)

m∑p=1

f(1, p) +m∑p=1

f(2, p) + · · ·+m∑p=1

f(n, p) =n∑

k=1

f(k, 1) +n∑

k=1

f(k, 2) + · · ·n∑

k=1

f(k,m)

em cada parcela da primeira soma a linha esta fixa e a coluna varia, na segunda soma a

coluna esta fixa e a linha varia.

Propriedade 6 (produto por −1). Essa propriedade diz que podemos multiplicar os

limites do somatorio por −1, ficando entao com limites trocados , simetricos e o somando

multiplicado por −1b∑

k=a

f(k) =−a∑

k=−b

f(−k)

Demonstracao. Por inducao, para b = a temos

a∑k=a

f(k) = f(a) =−a∑

k=−a

f(−k) = f(a)

tomando como hipotese a validade para b

b∑k=a

f(k) =−a∑

k=−b

f(−k)

vamos provar para b+ 1b+1∑k=a

f(k) =−a∑

k=−b−1

f(−k).

Pela definicao e pela propriedade de abertura temos

b+1∑k=a

f(k) =b∑

k=a

f(k)+f(b+1) = f(b+1)+−a∑

k=−b

f(−k) =−b−1∑

k=−b−1

f(−k)+−a∑

k=−b

f(−k) =−a∑

k=−b−1

f(−k).


Agora para b < a, com b = a− 1 vale a propriedade

a−1∑k=a

f(k) = 0 =−a∑

k=−a+1

f(−k)

e com b < a− 1

b∑k=a

f(k) = −a−1∑

k=b+1

f(k) =−b+1∑

k=−a+1

f(−k) =−a∑

k=−b

f(−k).

Com integrais temos a mesma propriedade∫ b

a

f(x)dx =

∫ −a

−b

f(−x)dx

Sendo a funcao f(x) integravel no intervalo [a, b]. Demonstracao por mudanca de variavel:

Tome y = −x, com isso temos que quando x = −a ,y = a e quando x = −b, y = b e

temos aindady

dx= −1, dx = −dy, ficamos entao com a integral∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(y)dy.

Que por definicao e verdadeira (do calculo).

Corolario 5 (Troca de ordem).

b∑k=a

f(k) =b∑

k=a

f(a+ b− k)

Demonstracao. Essa propriedade decorre das propriedades de mudanca de ordem e

produto por (−1),entao vamos a demonstracao. Temos que

b∑k=a

f(k) =−a∑

k=−b

f(−k)

fazendo uma mudanca de variavel no segundo somatorio , somando a + b aos limites,

ficamos comb∑

k=a

f(k) =b∑

k=a

f(−(k − a− b)) =b∑

k=a

f(a+ b− k)

logob∑

k=a

f(k) =b∑

k=a

f(a+ b− k)

eb∑

k=a

f(a+ b− k)− f(k) = 0 =b∑

k=a

f(k)− f(a+ b− k) .


A troca de ordem, diz que podemos somar de ’frente para tras’ e de tras para frente,

que o resultado e o mesmo

a1 + a2 + · · ·+ an = an + an−1 + · · ·+ a1.

Troca de ordem em integrais

E uma propriedade que tambem e corolario do produto por −1 nos limites e da mu-

danca de variavel por soma nos limites. Vejamos, temos∫ b

a

f(x)dx =

∫ −a

−b

f(−x)dx

somando a+ b aos limites ficamos com∫ b

a

f(x)dx =

∫ −a+a+b

−b+a+b

f(a+ b− x)dx =

∫ b

a

f(a+ b− x)dx.

Propriedade 7 (Revertendo a ordem -Soma de elementos de uma matriz triangular

superior). Vale a propriedade

n∑k=a

k∑j=a

f(k, j) =n∑

j=a

n∑k=j

f(k, j).

Demonstracao. Definimos g(k, j) = 0 se j > k e g(k, j) = f(k, j) caso contrario, daı

completamos a soma

n∑k=a

k∑j=a

f(k, j) =n∑

k=a

(k∑

j=a

g(k, j) +n∑

j=k+1

g(k, j)) =n∑

k=a

n∑j=a

g(k, j) =

trocando a ordem da soma

=n∑

j=a

n∑k=a

g(k, j) =n∑

j=a

(

j−1∑k=a

g(k, j)︸︷︷︸0

+n∑

k=j

g(k, j)) =

=n∑

j=a

n∑k=j

g(k, j)︸︷︷︸f(k,j)

.

Caso especial se a = 0

n∑k=0

k∑j=0

f(k, j) =n∑

j=0

n∑k=j

f(k, j).


A identidaden∑

k=1

k∑j=1

a(k, j) =n∑

j=1

n∑k=j

a(k, j)

pode ser interpretada como a soma dos elementos de uma matriz triangular superior

a(1,1) a(2,1) a(3,1) · · · a(n,1)

0 a(2,2) a(3,2) · · · a(n,2)

0 0 a(3,3) · · · a(n,3)...

...... · · · ...

0 0 0 0 a(n,n)

na primeira soma fixamos a linha e somamos os elementos das colunas, na segunda fixamos

a coluna e somamos os elementos da linha.

No calculo de integrais temos resultado similar∫ n

a

∫ x

a

f(x, y)dydx =

∫ n

a

∫ n

y

f(x, y)dxdy.

1.3.1 Exercıcios

1. Calcule as somas numericamente pela definicao de somatorio:

(a)5∑

k=1

(−1)k

(b)7∑

k=4

1

k

(c)3∑

k=−7

1

(d)3∑

k=−3

k, para n ≥ 0, inteiro.

(e) Todo numero real pertence a um e somente um intervalo do tipo [n, n + 1),

onde n e inteiro, a cada real nesse intervalo associamos o numero n pela funcao

⌊x⌋ = n, que e chamada de funcao piso. Calcule a soma4∑

k=1

⌊√k⌋.

(f) Calcule100∑k=1

k. O matematico Gauss teria calculado essa soma com 10 anos de

idade sem nenhum calculo.


2. Demonstre as propriedades usando a definicao recursiva de somatorio.

(a) Linearidadeb∑

k=a

(cg(k) + df(k)) = c

b∑k=a

g(k) + d

b∑k=a

f(k)

(b) Comutatividadeb∑

k=a

d∑p=c

f(k, p) =d∑

p=c

b∑k=a

f(k, p)

(c) Aberturac∑

k=a

f(k) =b∑

k=a

f(k) +c∑

k=b+1

f(k)

(d) Mudanca de variavelb∑

k=a

f(k) =b+t∑

k=a+t

f(k − t)

(e) Produto por −1b∑

k=a

f(k) =−a∑

k=−b

f(−k)

(f) Troca de ordemb∑

k=a

f(k) =b∑

k=a

f(a+ b− k)

(g) Reverter ordem da soman∑

k=a

k∑j=a

f(k, j) =n∑

j=a

n∑k=j

f(k, j).

3. Demonstre usando as propriedades anteriores

(a) Demonstreb∑

k=a

f(k + 1)− f(k) = f(b+ 1)− f(a).

Essa propriedade e chamada de soma telescopica e f(k + 1) − f(k) pode ser

denotado como ∆f(k) = f(k+1)−f(k), f(b+1)−f(a) pode ser escrito como

f(k)|b+1a , entao a propriedade pode ser escrita

b∑k=a

∆f(k) = f(k)|b+1a .

(b)b∑

k=a

f(k) =1

2

b∑k=a

[f(a+ b− k) + f(k)].

(c) Se f e uma funcao ımpar entaon∑

k=−n

f(k) = 0

(d) Se f e uma funcao par entaon∑

k=−n

f(k) = f(0) + 2n∑

k=1

f(k).


(e) A funcao delta de kronecker e definida como

δ(n,k) =

{0 se n = k

1 se n = k

Demonstre que se n e um numero tal que a ≤ n ≤ b, n ∈ Z entao

b∑k=a

f(k)δ(n,k) = f(n).

1.4 Somatorio no conjunto dos inteiros estendidos

b∑k=a

f(x) =s∑

k=a

f(k) +b∑

k=s+1

f(k).

Com s ≥ a, b ≥ s+ 1, b, a, s ∈ Z e com condicao inicial

c∑k=c

f(k) = limk−→c

f(k).

Podemos ver agora somatorios com limites no infinito.

1.4.1 Somatorio com limites no infinito

Somatorio com limite superior no infinito

Vamos tomar o somatorio com limite superior infinito e limite inferior inteiro.

∞∑k=a

f(k) =s∑

k=a

f(k) +∞∑

k=s+1

f(k).

Para todo s ≥ a, pois temos ∞ ≥ s+ 1 para todo s+ 1 ∈ Z , logo podemos tomar s tao

grande quanto quisermos, que o somatorio ”nao se esgota”, podendo continuar abrindo

em quantidades de termos cada vez maiores.

Dizemos que o somatorio converge para uma valor u real qualquer quando

limn−→∞

n∑k=a

f(k) = u

e escrevemos∞∑k=a

f(k) = u


Agora se temos s = ∞, s + 1 = ∞, pelas regras nos inteiros estendidos, escrevemos

entao o somatorio aberto como

∞∑k=a

f(k) =∞∑k=a

f(k) +∞∑

k=∞

f(k).

Usando a definicao de que∞∑

k=∞

f(k) = limk−→∞

f(k)

Chegamos ao resultado∞∑k=a

f(k) =∞∑k=a

f(k) + limk−→∞

f(k).

Se o somatorio infinito converge a um numero real qualquer u, ficamos com

∞∑k=a

f(k) =∞∑k=a


f(k) =⇒

u = u+ limk−→∞

f(k). =⇒

limk−→∞

f(k) = 0.

Entao temos uma condicao necessaria (mas nao suficiente ) para o somatorio convergir.

Somatorio com limite inferior no infinito

b∑k=−∞

f(k) =s∑

k=−∞

f(k) +b∑

k=s+1

f(k)

Para todo b ≥ s+ 1 pois temos s, s > −∞ para qualquer inteiro s.

Dizemos que o somatorio converge para uma valor u real qualquer quando

limn−→−∞

b∑k=n

f(k) = u

e escrevemosb∑

k=−∞

f(k) = u

Se s = −∞ temos s+ 1 = −∞ por propriedade dos inteiros estendidos, temos

b∑k=−∞

f(k) =−∞∑

k=−∞

f(k) +b∑

k=−∞

f(k)


se o somatorio converge para u e usando a definicao de somatorio temos

u = limk−→−∞

f(k) + u =⇒

limk−→−∞

f(k) = 0.

Somatorio com limite inferior e superior no infinito

∞∑k=−∞

f(k) =s∑

k=−∞

f(k) +∞∑

k=s+1

f(k)

Para todo inteiro s pois ∞ > s+1 e s > −∞. Se o somatorio com limite em −∞ converge

para u e o somatorio com limite em ∞ converge para v, dizemos que o somatorio acima

converge para u+ v, temos

∞∑k=−∞

f(k) =s∑

k=−∞

f(k) +∞∑

k=s+1

f(k) =l∑

k=−∞

f(k) +s∑

k=l+1

f(k) +

p∑k=s+1

f(k) +∞∑

k=p+1

f(k)

Tomando l = −∞ temos l + 1 = −∞ e s > −∞ e tomando p+ 1 = ∞ temos p− 1 = ∞e ∞ > s+ 1, ficamos com

∞∑k=−∞

f(k) =−∞∑

k=−∞

f(k) +s∑

k=−∞

f(k) +∞∑

k=s+1

f(k) +∞∑

k=∞

f(k)

usando a definicao e a convergencia

u+ v = limk−→−∞

f(k) + u+ v + limk−→∞

f(k) =⇒ limk−→−∞


f(k) = 0.

limk−→∞

f(k) = − limk−→−∞

f(k).

Mudanca de variavel em somatorio com limite no infinito

Temos a seguinte propriedade para somatorios com limites nos inteiros

n∑k=a

f(k) =

n+p∑k=a+p

f(k − p)

Queremos mostrar que continua valida para somatorio com limites no infinito

Teorema 1 (Mudanca de variavel).

∞∑k=a

f(k) =∞∑

k=a+p

f(k − p)

Se o somatorio converge∞∑k=a

f(k) para u e p e um numero inteiro.


Demonstracao. Se o somatorio∞∑k=a

f(k) converge para u, escrevemos

∞∑k=a

f(k) = limn−→∞

n∑k=a

f(k) = u

Se o somatorio∞∑

k=a+p

f(k − p) converge para v, escrevemos

∞∑k=a+p

f(k − p) = limn−→∞

n+p∑k=a+p

f(k − p) = v

Porem as sequencias

n+p∑k=a+p

f(k−p) en∑

k=a

f(k) sao a mesma sequencia (sao iguais), logo

seus limites sao iguais, entao temos

∞∑k=a

f(k) =∞∑

k=a+p

f(k − p).

Definicao 8. Somatorio sobre funcao constante. Se temos uma funcao constante f(k) =

c, escrevemos o somatoriob∑

k=a

f(k) =b∑

k=a

c

Propriedade 8.n∑

k=1

1 = n

para todo n natural, demonstramos por inducao, para n = 0, temos a igualdade, pois

temos somatorio sobre conjunto vazio sendo 0, seja agora valida para n, vamos demonstrar

para n+ 1n+1∑k=1

1 =n∑

k=1

1 + 1 = n+ 1.

1.4.2 Notacao compacta versus reticencias

Neste texto decidimos usar a notacao compacta de somatorio∑

, quase sempre, ao

inves de usar reticencias (pontinhos) · · · ao manipular os somatorios. Na secao anterior

demonstramos propriedades basicas para manipular somas usando a notacao compacta.

Usando elas seremos capazes de calcular todas ( ou quase todas) somas que aparecem


neste texto. A notacao compacta pode ser util para economizar espaco, nao precisando

escrever pontinhos e varios termos somados

n∑k=1

k = 1 + · · ·+ n.

Ao usar pontinho, deve-se escrever o termo geral do que se esta somando, para evitar

ambiguidades, por exemplo

1 + · · ·+ n

seria uma maneira valida para escrever a soman∑

k=1

k, porem

1 + 2 + · · ·

Figura 1.1: Proibido uso de pontinhos

nao seria uma maneira valida para expressar a soma finita, tanto pelo motivo de

parecer expressar uma soma de infinitos termos, quanto pelo fato de que nao sabemos a

expressao geral do termo que esta sendo somado, poderia ser soma de uma sequencia (xn)

tal que x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 300, por exemplo. Se o termo geral nao e dado, a sequencia

poderia ser de varios tipos distintos . Uma soma infinita deveria ser expressa da forma

1 + · · ·+ n+ · · ·

onde n simboliza o tipo de termo que esta sendo somado, nesse caso a soma e infinita, na

notacao compacta seria∞∑k=1

k.

1.5 Numeros de Stirling do segundo tipo

Os numeros de Stirling tem esse nome por causa do matematico Escoces James Stirling

(1692-1770). Com eles e possıvel expressar uma potencia xn em somas de potencias


fatoriais e tambem expressar potencias fatoriais como potencias. Eles sao definidos por

recorrencia da seguinte maneira. Eles serao importantes na teoria de somatorios, pois com

eles podemos descobrir formulas fechadas para somas do tipob∑

k=a

kp, onde p e natural.

Numeros de Stirling do segundo tipo

n

{n

0

} {n

1

} {n

2

} {n

3

} {n

4

} {n

5

} {n

6

}0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

2 0 1 1 0 0 0 0

3 0 1 3 1 0 0 0

4 0 1 7 6 1 0 0

5 0 1 15 25 10 1 0

6 0 1 31 90 65 15 1

Sao numeros que satisfazem a recorrencia:{n+1

k

}= k.

{n

k

}+

{ n

k−1

}Se n ∈ N e k > 0 . Com condicoes iniciais{0

0

}= 1.

{n

k

}= 0

se k > n. {n+1

0

}= 0

para todo n natural.

Propriedade 9. {n

n

}= 1



Demonstracao. Por inducao sobre n temos para n = 0{0

0

}= 1

pela condicao inicial. Agora seja valida para n{n

n

}= 1

e vamos provar para n+ 1 temos pela recorrencia{n+1

n+1

}= (n+ 1).

{ n

n+1

}+

{n

n

}= 1.

Propriedade 10. {n+1

1

}= 1


Demonstracao. Para n = 0 e verdade pela propriedade anterior, considere agora a

hipotese para n e vamos provar para n+ 1{n+2

1

}= 1

{n+1

1

}+

{n+1

0

}= 1.

Propriedade 11 (Os numeros de Stirling sao inteiros).

Demonstracao. Para n = 0 {0

k

}= 1

ou {0

k

}= 0

logo inteiro. Considere a hipotese de ser inteiro para n e vamos provar para n+ 1{n+1

k

}= k

{n

k

}+

{ n

k−1

}por ser soma de dois inteiros, segue que e inteiro.

Teorema 2 (Teorema geral de numeros de Stirling). Seja uma funcao g : R → R e uma

funcao g(k, x) : A×R → R onde N ⊂ A . Um operador T com as seguinte definicao

Condicoes do operador T .


1. Potencias de T .

T 0g(x) = g(x)

T [T ng(x)] = T (n+1)g(x) ∀n ∈ N.

2. Linearidade

Propriedade de comutar com somatorio

Tn∑

k=0

akf(k, x) =n∑

k=0

akTf(k, x)

Condicao do operador P .

1. Potencias de P . Seja um operador P com propriedade de

P 0g(x) = g(x)

P [P ng(x)] = P (n+1)g(x) ∀n ∈ N.

2. Comutatividade de P .

P comutando com numeros

Pkg(x) = kPg(x)

Relacao entre T e P

1. Comutatividade de T e P

TP ng(x) = P nTg(x)

Relacao entre funcoes

Se temos as funcoes relacionadas por

1. g(x) = g(0, x)

2. T [g(k, x)] = k.Pg(k, x) + g(k + 1, x)

entao


T n[g(x)] =n∑

k=0

{n

k

}P (n−k)g(k, x).

Demonstracao.

Por inducao, para n = 0 temos

T 0[g(x)] = g(x) =n∑

k=0

{0

k

}P (0−k)g(k, x) =

{0

0

}P (0−0)g(0, x) = g(x).

Pela definicao de numeros de Stirling, operadores P, T , somatorio e funcao g(k, x).

Tomando como hipotese para n

T n[g(x)] =n∑

k=0

{n

k

}P (n−k)g(k, x).

Vamos provar para n+ 1.

T (n+1)[g(x)] =n+1∑k=0

{n+1

k

}P (n+1−k)g(k, x).

Por propriedade do operador temos

T (n+1)[g(x)] =n∑

k=0

{n

k

}P (n−k)T [g(k, x)] =

n∑k=0

{n

k

}P (n−k)[kPg(k, x) + g(k + 1, x)] =

Pois T comuta com o somatorio e com P .

n∑k=1

{n

k

}kP (n+1−k)g(k, x) +

n∑k=0

{n

k

}P (n−k)g(k + 1, x)

Usando que P comuta com numero, linearidade do somatorio , propriedade de abertura,

pois, quando k = 0 o termo com k como fator se anula. Fazendo agora uma mudanca

de variavel no primeiro somatorio subtraindo 1 dos limites e abrindo o ultimo termo do

segundo somatorio.

n−1∑k=0

{ n

k+1

}(k + 1)P (n−k)g(k + 1, x) +

n−1∑k=0

{n

k

}P (n−k)g(k + 1, x) +

{n

n

}P (0)g(n+ 1, x)

Juntando agora os dois somatorios e usando a definicao de numeros de Stirling, ficamos

comn−1∑k=0

[{ n

k+1

}(k + 1) +

{n

k

}]P (n−k)g(k + 1, x) +

{n

n

}P (0)g(n+ 1, x) =


=n−1∑k=0

[{n+1

k+1

}]P (n−k)g(k + 1, x) +

{n

n

}P (0)g(n+ 1, x)

Agora usando que

{n+1

0

}= 0, pois seria igual a 1 apenas se n+ 1 = 0, n = −1, que nao

e natural e fazendo uma mudanca de variavel somando +1 aos limites do somatorio.

=n∑

k=1

[{n+1

k

}]P (n−k)g(k, x) +

{n

n

}P (0)g(n+ 1, x) =

=

{n+1

0

}P (n+1−0)g(0, x) +

n∑k=1

[{n+1

k

}]g(k, x) +

{n+1

n+1

}P (0)g(n+ 1, x)

=n+1∑k=0

[{n+1

k

}]g(k, x).

Corolario 6. Toda potencia pode ser escrita como soma de potencias fatoriais

xn =n∑

k=0

{n

k

}.h(n−k).x(k,h)

Para n ∈ N .

Precisamos da seguintes propriedade

x.x(k,h) = k.h.x(k,h) + x(k+1,h)

que sai direto da definicao , pois

x(k+1,h) = x(k,h)[x− hk] = x.x(k,h) − k.h.x(k,h)

somando k.h.x(k,h) em ambos os lados

x.x(k,h) = x(k+1,h) + k.h.x(k,h)

Nesse caso tomamos g(k, x) = x(k,h), T = x e g(x) = 1 h = P e as condicoes sao satisfeitas

pois (condicoes de T )

x0 = 1

x.xn = xn+1

xn∑

k=0

akg(k, x) =n∑

k=0

akx.g(k, x) =


(condicoes de P )

h0 = 1

h.hn = hn+1

(Relacao entre P e T )

x.hn = hn.x

(Relacao entre as funcoes)

1 = x(0,h)

Entao o teorema e valido para potencias fatoriais.

O caso especial que nos interessa nesse texto e quando h = 1, temos

Corolario 7.

xn =n∑

k=0

{n

k

}.x(k,1)

Corolario 8 (Potencia escrita como soma de coeficientes binomiais).

xn =n∑

k=0

k!

{n

k

}.x(k,1)

k!=

n∑k=0

k!

{n

k

}.

(x

k

)Podemos agora deduzir o resultado do operador ∆p aplicado em xn

Corolario 9.

xn =n∑

k=1

{n

k

}.x(k,1) =⇒ ∆pxn = ∆p

n∑k=1

{n

k

}.x(k,1) =

n∑k=1

{n

k

}.∆px(k,1) =

n∑k=1

{n

k

}.k(p,1).x(k−p,1)

∆pxn =n∑

k=1

{n

k

}.k(p,1).x(k−p,1)

Se p = n temos

∆nxn =n∑

k=1

{n

k

}.k(n,1).x(k−n,1)

abrindo o somatorio

∆nxn =n−1∑k=1

{n

k

}.k(n,1).x(k−n,1) +

{n

n

}n(n,1).x(n−n,1)


No primeiro somatorio temos que max k = n− 1 entao n > k, levando a potencia k(n,1) a

zero e tornando o somatorio zero. Temos

{n

n

}= 1, por definicao de numeros de Stirling,

n(n,1) = n!, por propriedade de potencia fatorial e x(0,1) = 1, por definicao de potencia

fatorial, entao

∆nxn = n!

O mesmo nos mostra que ∆pxn = 0 se p > n, pois se p > n existe t > 0 natural tal que

n+ t = p, logo temos

∆pxn = ∆n+txn = ∆t∆nxn = ∆tn! = ∆t−1∆n! = 0.

O mesmo pode ser feito para polinomios

n∑k=0

akxk =

n∑k=0

ak

k∑j=1

{k

j

}.x(j,1)

Aplicando ∆p

∆p

n∑k=0

akxk = ∆p

n∑k=0

ak

k∑j=1

{k

j

}.x(j,1) =

n∑k=0

ak

k∑j=1

{k

j

}.∆px(j,1) =

n∑k=0

ak

k∑j=1

{k

j

}.j(p,1)x(j−p,1) =

=n∑

k=0

k∑j=1

ak

{k

j

}.j(p,1)x(j−p,1).

Se n ≥ p temos entao um polinomio de grau n− p. Aplicando ∆n no polinomio de grau

n temos

∆n

n∑k=0

akxk = ∆n

n−1∑k=0

akxk +∆nan.xn = an∆

nxn = an.n!

como o maximo grau do polinomio dentro do somatorio e n − 1, pelo resultado anterior

todos os termos sao iguais a zero restando apenas o termo fora do somatorio, como ∆n

aplicado no polinomio e uma constante, se aplicarmos mais uma vez o ∆, temos o resultado

nulo

∆n+1

n∑k=0

akxk = ∆an.n! = 0


o mesmo para qualquer numero p > n (p = n+ t com t ∈ N , t > 0)

∆p

n∑k=0

akxk = ∆t∆n

n∑k=0

akxk = ∆tan.n! = ∆t−1∆an.n! = 0

Exemplo 3. Alguns exemplos de potencias escritas como soma de potencias fatoriais

x0 = 1.x(0,1)

x1 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1)

x2 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 1.x(2,1)

x3 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 3.x(2,1) + 1.x(3,1)

x4 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 7.x(2,1) + 6.x(3,1) + 1.x(4,1)

x5 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 15.x(2,1) + 25.x(3,1) + 10.x(4,1) + 1.x(5,1)

x6 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 31.x(2,1) + 90.x(3,1) + 65.x(4,1) + 15.x(5,1) + 1.x(6,1)

E facil descobrir a representacao por soma de potencias fatoriais de uma potencia xn se

temos a representacao de x(n−1), os casos x0 e x1 sao triviais, o caso x2 sai diretamente da

definicao de numeros de Stirling sem necessidade de usar sua recorrencia, pela definicao

de numeros de Stirling sabemos os coeficientes de x(1,1) e x(3,1) na representacao de x3,

falta saber o coeficiente de x(2,1) que se obtem multiplicando o grau da potencia (2)

pelo coeficiente de x(2,1) na representacao de x2 e somando 1 (coeficiente de x(1,1) na

representacao de x2), esse processo pode ser feito para todas outras potencias.

Ao trabalhar com somatorios e diferencas pode ser mais simples para manipulacoes ter

a potencia transformada em potencia fatorial, pois as potencias fatoriais tem diferencas e

somatorios podendo ser resolvidos de maneira imediata( por causa de suas propriedades)

enquanto que a expressao fatorada ou na forma canonica de polinomios nao a tao simples

de ser manipulada.

Exemplo 4. Os numeros de Stirling tambem aparecem nos coeficientes da n-esima deri-

vada de f(ex), para isso tome g(k, x) = ekxf (k)(ex), com isso temos g(0, x) = e0xf 0(ex) =

f(ex)1, e temos,

Dg(k, x) = Dekxf (k)(ex) = k.ekxf (k)(ex) + e(k+1)xf (k+1)(ex) = kg(k, x) + g(k + 1, x)

1onde f (k)(ex) e a k-esima derivada da funcao f(x) aplicada em ex


, como a derivada comuta com o somatorio e tem propriedade de Dn+1g(x) = DDng(x),

temos entao como corolario

Dnf(ex) =n∑

k=0

{n

k

}ekxf (k)(ex)

1.6 Primeiras tecnicas de Somatorio

1.6.1 Soma telescopica ou soma da diferenca

Propriedade 12 (Teorema fundamental do calculo de diferencas finitas, parte I -Soma

telescopica.).b∑

x=a

∆f(x) = f(x)

]b+1

a

ondef(x)

]b+1

a

= f(b+ 1)− f(a) e ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x).

Deducao

f(a+1)− f(a)

f(a+ 2)− f(a+1)

f(a+ 3)− f(a+ 2)

...

f(b)− f(b− 1)

f(b+ 1)− f(b)

somando esses termos ficamos com

f(b+ 1)− f(a)

Demonstracao.

b∑x=a

∆f(x) =b∑

x=a

f(x+ 1)−b∑

x=a

f(x) =b−1∑x=a

f(x+ 1) + f(b+ 1)−b∑

x=a+1

f(x)− f(a) =

fazendo uma mudanca de variavel no segundo somatorio

=b−1∑x=a

f(x+ 1) + f(b+ 1)−b−1∑x=a

f(x+ 1)− f(a) = f(b+ 1)− f(a).


No calculo temos Se f e derivavel em (a, b) e integravel em [a, b] entao

∫ b

a

f ′(t)dt = f(b)− f(a).

∫ b

a

f ′(t)dt = f(b)− f(a).

Podemos demonstrar a propriedade telescopica usando integral. Vale que

b∑k=a

∫ k+1

k

f(x)dx =

∫ b+1

a

f(x)dx

substituindo f(x) por f ′(x)

∫ b+1

a

f ′(x)dx = f(b+ 1)− f(a) =b∑

k=a

∫ k+1

k

f ′(x)dx =b∑

k=a

[f(k + 1)− f(k)]

daıb∑

k=a

[f(k + 1)− f(k)] = f(b+ 1)− f(a).

Podemos tambem demonstrar a identidadeb∑

k=a

∫ k+1

k

f(x)dx =

∫ b+1

a

f(x)dx por meio

de soma telescopica

b∑k=a

∫ k+1

k

f(x)dx =b∑

k=a

[

∫ k+1

0

f(x)dx−∫ k

0

f(x)dx] =

∫ b+1

0

f(x)dx−∫ a

0

f(x)dx =

∫ b+1

a

f(x)dx.

Demonstracao.[2-Perturbacao] O metodo de prova que usaremos a seguir e chamado

de perturbacao .

Tomamos a somab+1∑k=a

f(k) e escrevemos de duas maneiras, abrindo o limite inferior e

abrindo o limite superior

b∑k=a

f(k) + f(b+ 1) = f(a) +b+1∑

k=a+1

f(k) = f(a) +b∑

k=a

f(k + 1)

passando a soma para o mesmo lado da igualdade tem-se

f(b+ 1)− f(a) =b∑

k=a

f(k + 1)− f(k) =b∑

k=a

∆f(k) = f(b+ 1)− f(a).


O metodo da perturbacao consiste entao em tomar a diferenca da funcao que esta sendo

tomada f .

Propriedade 13 (Generalizacao da soma telescopica). Vale que

b∑k=a

g(k + t)− g(k) =b+t∑

k=b+1

g(k)−a+t−1∑k=a

g(k).

Demonstracao.

b∑k=a

g(k + t)− g(k) =b∑

k=a

g(k + t)−b∑

k=a

g(k) =b+t∑

k=a+t

g(k)−b∑

k=a

g(k) =

= (b∑

k=a+t

g(k) +b+t∑

k=b+1

g(k))− (a+t−1∑k=a

g(k) +b∑

k=a+t

g(k)) =

=b+t∑

k=b+1

g(k)−a+t−1∑k=a

g(k)

Corolario 10. Em especial

n∑k=1

g(k + t)− g(k) =n+t∑

k=n+1

g(k)−t∑

k=1

g(k) =t∑

k=1

g(k + n)−t∑

k=1

g(k)

n∑k=1

g(k + t)− g(k) =t∑

k=1

g(k + n)− g(k)

n∑k=1

(Et − 1)g(k) =t∑

k=1

(En − 1)g(k)

esse resultado diz que podemos comutar t por n e o resultado continua verdadeiro .

se lim g(n) = 0 entao lim g(k + n) = 0 = limt∑

k=1

g(k + n) portanto

∞∑k=1

(g(k + t)− g(k)) = −t∑

k=1

g(k).

Propriedade 14 (Generalizacao da soma telescopica 2). Vale que

n∑k=1

p∑t=0

b(t)f(k + t) =

p∑k=1

f(k + n)

p∑t=k

b(t) +

p∑k=1

b(k − 1)

p∑t=k

f(t)

onde

p∑t=0

b(t) = 0.


Demonstracao.

n∑k=1

p∑t=0

b(t)f(k + t) =

p∑t=0

n∑k=1

b(t)f(k + t) =

p∑t=0

b(t)n+t∑

k=1+t

f(k) =

=

p∑t=0

b(t)(

p∑k=1+t

f(k) +n∑

k=1+p

f(k) +n+t∑

k=1+n

f(k)) =

o termo do meio se anula pois

p∑t=0

b(t) = 0 ao aplicarmos a propriedade distributiva

=

p∑t=0

b(t)

p∑k=1+t

f(k) +

p∑t=0

b(t)n+t∑

k=1+n

f(k) =

p∑t=0

b(t)

p∑k=1+t

f(k) +

p∑t=0

b(t)t∑

k=1

f(k + n) =

=

p−1∑t=0

b(t)

p∑k=1+t

f(k) +

p∑t=1

b(t)t∑

k=1

f(k + n)

tiramos os termos p−1 do primeiro somatorio que e nulo e t = 0 do primeiro, que tambem

e nulo e agora iremos aplicar a reversao da soma

=

p∑t=1

b(t− 1)

p∑k=1

f(k) +

p∑k=1

b(t)

p∑t=k

f(k + n) .

Corolario 11. Se lim f(n) = 0 entao

∞∑k=1

p∑t=0

b(t)f(k + t) =

p∑k=1

p∑t=k

f(t)b(k − 1).

Lema 1.b∑

x=a

h(x) = 0 ∀ a, b ∈ Z ⇐⇒ h(x) = 0 ∀ x ∈ Z

Demonstracao. Se h(x) = 0 para todo x inteiro vale que

b∑x=a

h(x) =b∑

x=a

0.0 = 0b∑

x=a

0 = 0.

Agora vamos provar que seb∑

x=a

h(x) = 0 ∀ a, b ∈ Z entao h(x) = 0 ∀ x ∈ Z. Tome b = a,

assim temosa∑a

h(x) = h(a) = 0

Como essa igualdade vale para todo a inteiro, entao a funcao e igual a zero para todo

inteiro.


1.6.2 Soma da k-esima diferenca

Corolario 12. Vale que

b∑k=a

∆t+1f(k) = ∆tf(k)

∣∣∣∣b+1

a

poisb∑

k=a

∆t+1f(k) =b∑

k=a

∆[∆tf(k)︸︷︷︸g(k)

] = g(k)

∣∣∣∣b+1

a

= ∆tf(k)

∣∣∣∣b+1

a

se a propriedade e valida para t = −1 segue que

b∑k=a

f(k) = ∆−1f(k)

∣∣∣∣b+1

a

entao ∆−1f(k) =∑k

f(k).

1.6.3 Compatibilidade da soma telescopica com definicao de so-

matorio

Iremos mostrar agora que uma expressao deduzida por meio de soma telescopica e

sempre compatıvel com essa definicao de somatorio com limite superior menor que com

limite inferior. Supondo que existam g(k) e f(k) definidas em Z tais que ∆g(k) = f(k)

para todo k ∈ Z, no somatoriob∑

k=a

f(k) nao temos nada a fazer se b ≥ a, agora se b = a−1

a expressao dada e

b∑k=a

f(k) = g(b+ 1)− g(a) = g(a)− g(a) = 0

se b < ao sentido que damos ao somatorio e

b∑k=a

f(k) = −a−1∑

k=b+1

f(k) = −(g(a)− g(b+ 1)) = g(b+ 1)− g(a)

que e equivalente a tomar a soma telescopica emb∑

k=a

f(k) = g(b+ 1)− g(a).


1.6.4 Definicao por meio de integral

Definicao 9. Podemos definir o somatoriob∑

k=a

, para a e b inteiros, pela relacao

b∑k=a

∫ k+1

k

f(x)dx︸︷︷︸g(k)

=

∫ b+1

a

f(x)dx.

Vamos demonstrar algumas propriedades com essa definicao.

Corolario 13.a∑

k=a

g(k) = g(a), pois

a∑k=a

∫ k+1

k

f(x)dx︸︷︷︸g(k)

=

∫ a+1

a

f(x)dx.

Corolario 14.b∑

k=a

g(k) =

p∑k=a

g(k) +b∑

k=p+1

g(k) pois

b∑k=a

g(k) =

∫ b+1

a

f(x)dx =

∫ p+1

a

f(x)dx+

∫ b+1

p+1

f(x)dx =

p∑k=a

g(k) +b∑

k=p+1

g(k).

Corolario 15.a−1∑k=a

g(k) = 0 pois

a−1∑k=a

g(k) =

∫ a

a

f(x)dx = 0.

Corolario 16.b∑

k=a

g(k) = −a−1∑

k=b+1

g(k).

b∑k=a

g(k) =

∫ b+1

a

f(x)dx = −∫ a

b+1

f(x)dx = −a−1∑

k=b+1

g(k).

Teorema 3 (Teorema fundamental do calculo de diferencas finitas , parte II). Se

b∑a

g(x) = f(x)

∣∣∣∣b+1

a

∀ a, b ∈ Z =⇒ ∆f(x) = g(x) ∀ x ∈ Z


Demonstracao. Considere g(x) = ∆f(x), entao g(x) = ∆f(x) + h(x) tomando o

somatorio temos

b∑a

g(x) =b∑a

∆f(x) +b∑a

h(x) = f(x)

∣∣∣∣b+1

a

+b∑a

h(x)

que e diferente de

f(x)

∣∣∣∣b+1

a

pois se fosse igual, o termob∑a

h(x)

seria igual a zero para todo a e b inteiros, e pelo lema implicaria h(x) = 0 para todo

inteiro x assim terıamos a igualdade g(x) = ∆f(x).

1.6.5 Diferenca do somatorio

Vamos aplicar o operador ∆ ao limite superior do somatorio, chamando o somatorio

com limite superior x de f(x)

∆f(x) = ∆x∑

k=a

d(k) =x+1∑k=a

d(k)−x∑

k=a

d(k) =x∑

k=a

d(k)+d(x+1)−x∑

k=a

d(k) = d(x+1) = Ed(x).

aplicando ∆n+1 no limite superior, temos

∆n+1f(x) = ∆n+1

x∑k=a

d(k) = ∆n[∆x∑

k=a

d(k)] = ∆n[d(x+ 1)].

Entao temos que o operador ∆ aplicado no limite superior do somatorio devolve a

funcao somada aplicada no limite superior. Porem se a funcao que estiver sendo somada

tenha alguma dependencia com o limite superior ficamos com

∆f(x) = ∆x∑

k=a

d(k, x) =x+1∑k=a

d(k, x+1)−x∑

k=a

d(k, x) =x∑

k=a

d(k, x+1)+d(x+1, x+1)−x∑

k=a

d(k, x) = .

x∑k=a

∆d(k, x) + d(x+ 1, x+ 1).

Agora vamos aplica ∆ ao limite inferior do somatorio.

∆x∑

k=a

f(k) =x∑

k=a+1

f(k)−x∑

k=a

f(k) =x∑

k=a+1

f(k)− f(a)−x∑

k=a+1

f(k) = −f(a).


Entao vale

∆n∑

k=a

f(k) = f(n+ 1) = Ef(n)

o operador delta ”destroi”somatorios.

No calculo temos o teorema fundamental do calculo .Seja f : [a, b] → R integravel .

Se f e contınua no ponto x ∈ [a, b] entao a funcao g : [a, b] → R definida como

g(x) =

∫ x

a

f(t)dt

e derivavel em x e vale g′(x) = f(x).

Lemma 1.

∆h(x) = 0 ⇐⇒ h(x) = c ∀x ∈ Z

Demonstracao. Se h(x) = c ∀x ∈ Z temos ∆h(x) = h(x + 1) − h(x) = c − c = 0.

Agora, se temos ∆h(x) = 0 ∀x ∈ Z isso implica h(x + 1) − h(x) = 0 =⇒ h(x + 1) =

h(x) ∀x ∈ Z, chamando esse valor de c, temos que h(x) = c ∀x ∈ Z.

Teorema 4.

∆f(x) = ∆g(x) ∀x ∈ Z =⇒ f(x) = g(x) + c

Demonstracao. Se f(x) = g(x)+c entao f(x) = g(x)+c+h(x), com h(x) uma funcao

nao constante, aplicando o operador ∆ em ambos os lados temos ∆f(x) = ∆g(x)+∆h(x),

pelo lema anterior, como h(x) nao e constante ∆h(x) = 0 para algum x, logo ∆f(x) =∆g(x).

Demonstracao.[2] Seja a funcao h(x) = f(x) − g(x) aplique o operador Delta de

ambos os lados, ∆h(x) = ∆f(x) − ∆g(x) = 0, pois ∆f(x) = ∆g(x) com isso pelo lema

temos que h(x) = c = f(x)− g(x), logo f(x) = g(x) + c.

Demonstracao.[3]

∆f(x) = ∆g(x)

aplicando o somatorio em ambos lados com x variando de 0 ate n− 1, temos

n−1∑x=0

∆f(x) = f(n)− f(0) =n−1∑x=0

∆g(x) = g(n)− g(0)

sse

f(n) = g(n) + f(0)− g(0) = g(n) + c


logo

f(x) = g(x) + c

onde c = f(0)− g(0).

1.6.6 Teorema de Cantor

Propriedade 15.p∑

k=1

a(n+k) − 1k∏

s=1

a(n+s)

=

Demonstracao.

p∑k=1

a(n+k) − 1

a(n+k)

k−1∏s=1

a(n+s)

=

p∑k=1

1k−1∏s=1

a(n+s)

− 1k∏

s=1

a(n+s)

sendo g(k) =1

k∏s=1

a(n+s)

, temos g(0) = 1 (produto vazio) a soma e

−p∑

k=1

∆g(k − 1) = −g(k − 1)

∣∣∣∣p+1

k=1

= −g(p) + 1 = 1− 1p∏

s=1

a(n+s)

se lim g(p) = 0 entao temos a serie

∞∑k=1

a(n+k) − 1

a(n+k)

k−1∏s=1

a(n+s)

= 1.

1.7 Primitiva finita

Definicao 10. Uma primitiva finita de uma funcao f(x) e uma funcao g(x) tal que

∆g(x) = f(x)

Exemplo 5. g(x) = x e uma primitiva finita de f(x) = 1 pois, ∆g(x) = 1 = f(x), para

toda constante c, x+ c tambem e primitiva finita de f(x) = 1.


Definicao 11. Sendo g(x) uma primitiva finita de f(x), para toda constante c, g(x) + c,

tambem e primitiva de f(x), pois ∆[g(x) + c] = ∆g(x) = f(x) a famılia de primitivas

finitas de f(x) sera representada por

∑f(x) = g(x) + c

usaremos a notacao ∑x

f(x)

para representar que o somatorio indefinido e em relacao a variavel x. Uma primitiva

finita de f(x) sera denominada somatorio indefinido de f(x),∑

f(x) sera chamado de

somatorio indefinido de f(x) e o somatorio

b∑a

f(x)

chamado de somatorio definido. Observe que se temos uma primitiva finita de f(x),

podemos resolver o somatorio em qualquer intervalo inteiro, pois temos g(x) tal que

∆g(x) = f(x), aplicamos o somatorio em ambos lados

b∑k=a

∆g(k) = g(k)

∣∣∣∣b+1

a

=b∑

k=a

f(k).

Isto e se temos o somatorio indefinido de f(x)∑f(x) = g(x)

passamos para o somatorio definido da seguinte maneira

b∑x=a

f(x) = g(x)

∣∣∣∣b+1

a

= g(b+ 1)− g(a)

Temos∑

f(x) = g(x) + c e ∆g(x) = f(x) substituindo, temos∑∆g(x) = g(x) + c

para calcular o somatorio definido atraves do indefinido, podemos tomar c = 0 pois

qualquer outro valor se anula quando se toma limites no somatorio.


Da igualdade ∑f(x) = g(x) + c

, aplicando ∆ em ambos lados temos

∆∑

f(x) = ∆[g(x) + c] = ∆g(x) = f(x)

logo

∆∑

f(x) = f(x).

Propriedade 16 (O somatorio indefinido e linear).

∑af(x) + bg(x) = a

∑f(x) + b

∑g(x)

Demonstracao. Aplicando delta em ambos termos temos

∆∑

af(x) + bg(x) = af(x) + bg(x)

∆(a∑

f(x) + b∑

g(x)) = a∆∑

f(x) + b∆∑

g(x) = af(x) + bg(x)

logo vale a propriedade.

Propriedade 17 (Comutatividade com derivada).

D∑

g(x) =∑

Dg(x)

Demonstracao. Aplicando ∆ em ambos termos segue

∆D∑

g(x) = D∆∑

g(x) = Dg(x)

pela comutatividade com derivada e

∆∑

Dg(x) = Dg(x) .

1.8 Numeros de Bernoulli

B0 B1 B2 B4 B6 B8 B10 B12 B14 B16 B18 B20 B22

1 −1

2

1

6

−1

30

1

42

−1

30

5

66

−691

2730

7

6

−3617

510

43867

798

−174611

330

854513

138


Definicao 12 (Numeros de Bernoulli). Sao numeros definidos pela funcao geradora

x

ex − 1=

∞∑n=0

Bnxn

n!

,isto e, sao os numeros que aparecem como coeficiente dexn

n!na expansao em serie formal

da funcaox

ex − 1.

Propriedade 18 (Recorrencia dos numeros de Bernoulli). Os numeros de Bernoulli sa-

tisfazem a recorrencian∑

p=0

Bp

(n+ 1

p

)= δ(0, n).

Demonstracao. Tem-se que a serie de ex e

ex =∞∑n=0

xn

n!

ex − 1 =∞∑n=0

xn

n!− 1 =

∞∑n=1

xn

n!

que escreveremos como

ex − 1 =∞∑n=0

anxn

n!

sendo que an = 0 quando n = 0 e an = 1 se n = 0, n ∈ N . Temos entao

x =

(ex − 1

) ∞∑n=0

Bnxn

n!=

( ∞∑n=0

anxn

n!

)( ∞∑n=0

Bnxn

n!

)=

∞∑n=0

cnxn

onde cn e dado por (pelo produto de Cauchy)

cn =n∑

p=0

(an−p

(n− p)!

).Bp

p!

de

x =∞∑n=0

cnxn

derivando em ambos lados em relacao a x temos

1 =∞∑n=0

cnnxn−1 =

∞∑n=1

cnnxn−1 =

∞∑n=0

cn+1(n+ 1)xn


temos entao que cn+1(n+ 1) = 1 quando n = 0 e quando n > 0, cn+1(n+ 1) = 0, temos a

igualdade para cn+1(n+ 1)

cn+1(n+ 1) =n+1∑p=0

(an+1−p

(n+ 1− p)!

).Bp

(p)!(n+ 1)

como(n+ 1)

p!(n+ 1− p)!=

(n+ 1

p

)escrevemos

cn+1(n+ 1) =n+1∑p=0

(an+1−p

).Bp

(n+ 1

p

)temos que analisar o termo an+1−p que e zero quando o ındice e igual a zero, logo n+1−p =

0 ⇐⇒ n+1 = p, abrimos entao o ultimo termo do somatorio que e igual a zero e ficamos

com

cn+1(n+ 1) =n+1∑p=0

(an+1−p

).Bp

(n+ 1

p

)=

n∑p=0

Bp

(n+ 1

p

)pois os outros termos an+1−p = 1 pois os ındices serao diferente de zero. Temos entao

n∑p=0

Bp

(n+ 1

p

)= 1

se n = 0 en∑

p=0

Bp

(n+ 1

p

)= 0

se n > 0, n ∈ N que e uma recorrencia para calcular os numeros de Bernoulli. Podemos

escrever essa recorrencia de forma compacta usando o delta de Kroneckern∑

p=0

Bp

(n+ 1

p

)= δ(0, n) .

1.8.1 Deduzindo uma formula para soma de potencias usando

numeros de Bernoulli

Definimos a funcao

fn(x) =x(enx − 1)

ex − 1.

Como valen−1∑k=0

xk =xn − 1

x− 1, tomando x = ex segue que

n−1∑k=0

exk =ex.n − 1

ex − 1, entao

fn(x) = xn−1∑k=0

exk


usando a serie ez =∞∑t=0

zt

t!tomando z = xk segue

ex.k =∞∑t=0

xt.kt

t!

substituindo em fn(x) tem-se

fn(x) = xn−1∑k=0

∞∑t=0

xt.kt

t!=

∞∑t=0

(n−1∑k=0

kt

t!)xt+1

logo o coeficiente de xp+1 en−1∑k=0

kp

p!. De outra maneira, temos que

fn(x) =x(enx − 1)

ex − 1= (

∞∑k=0

Bkxk

k!)(

∞∑k=1

xknk

k!) = x(

∞∑k=0

Bkxk

k!)(

∞∑k=0

xknk+1

(k + 1)!)

o produto das duas ultimas series e∞∑k=0

ckxk, onde

cp =

p∑k=0

Bk.np−k+1

k!(p− k + 1)!

e o coeficiente de xp+1, por causa do fator x fora do produto das series. Igualamos com o

coeficiente da outra serien−1∑k=0

kp

p!=

p∑k=0

Bk.np−k+1

k!(p− k + 1)!

que implica

n−1∑k=0

kp =1

(p+ 1)

p∑k=0

Bk.np−k+1p!(p+ 1)

k!(p− k + 1)!=

1

(p+ 1)

p∑k=0

(p+ 1

k

)Bk.n

p−k+1.

Chegamos entao no resultado

n−1∑k=0

kp =1

(p+ 1)

p∑k=0

(p+ 1

k

)Bk.n

p−k+1.

1.9 Formula de soma de Euler-Maclaurin.

Faremos uma deducao informal de uma formula que expressa somatorios com derivadas

e integrais usando numeros de Bernoulli, chamada formula de soma de Euler-Maclaurin.


Com ela seremos capazes de deduzir uma expressao fechada para soman∑

k=0

kp com p

natural.

Vamos tomar a serie de Taylor da funcao f(x+y), C∞, tomando derivadas em relacao

a y, no ponto y0 = 0

f(x+ y) =∞∑k=0

Dkf(x).yk

k!

Tomando y = 1 temos

f(x+ 1) =∞∑k=0

Dkf(x)

k!

Simbolicamente expressamos

Ef(x) =∞∑k=0

Dkf(x)

k!

Ou tomando y = h um passo qualquer complexo ou real

Ehf(x) = f(x+ h) =∞∑k=0

Dkf(x).hk

k!

Corolario 17.

E =∞∑k=0

Dk

k!= eD

Corolario 18. Como ∆ = E − 1, temos

∆ = eD − 1 =∞∑k=1

Dk

k!=

∞∑k=0

Dk+1

(k + 1)!

Corolario 19.

Eh =∞∑k=0

(Dh)k

k!= ehD

Teorema 5 (Formula de Euler-Maclaurin ).

∑f(x) = B0

∫f(x) +

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!f(x) + c

Onde Bk sao numeros de Bernoulli.

Demonstracao. Tomando o somatorio∑

= ∆−1 temos

∑=

1

eD − 1


Usando a relacaot

et − 1=

∞∑k=0

Bk.tk

k!

1

et − 1=

1

t

∞∑k=0

Bk.tk

k!

Onde Bk sao numeros de Bernoulli. Temos

∑=

1

eD − 1=

1

D

∞∑k=0

Bk.Dk

k!

∑=

∞∑k=0

Bk.Dk−1

k!= B0.

D−1

0!+

∞∑k=1

Bk.Dk−1

k!= B0

∫+

∞∑k=1

Bk.Dk−1

k!=

= B0

∫+

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!.

Logo ∑= B0

∫+

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!

∑f(x) = B0

∫f(x) +

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!f(x) + c

Abrindo alguns termos∑f(x) = c+

∫f(x)− f(x)

2+

Df(x)

12− D3f(x)

720+ ...+

Podemos depois tomar os limite do somatorio

b∑x=a

f(x) =

[B0

∫f(x) +

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!f(x) + c

]b+1

a

Exemplo 6. Ache uma expressao para

∑x

∑x = B0

∫x+

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!x+ c = B0

x2

2+B1.

D0

(1)!x+B2.

D1

(2)!x+ c =

=x2

2− x

2+ c1


Exemplo 7. Ache uma expressao para

∑x4

∑x4 = B0

∫x4 +

∞∑k=0

Bk+1.Dk

(k + 1)!x4 + c =

= B0x5

5+B1.

D0

(1)!x4 +B2.

D1

(2)!x4 +B3.

D2

(3)!x4 +B4.

D3

(4)!x4 +B5.

D4

(5)!x4 + c =

= B0x5

5+B1.

D0

(1)!x4 +B2.

D1

(2)!x4 +B4.

D3

(4)!x4 + c =

=x5

5+

−x4

2+

4x3

2.6− 1

30.4.3.2

4.3.2x+ c =

=x5

5− x4

2+

x3

3− x

30+ c

1.10 Numeros Eulerianos

Com eles seremos capazes de dar mais uma formula para a soman∑

k=1

kp para p natural.

Sao numeros definidos pela recorrencia⟨n+1

k+1

⟩= (k + 2)

⟨ n

k+1

⟩+ (n− k)

⟨n

k

⟩Com condicoes iniciais ⟨p+1

p+1

⟩= 0

⟨p

0

⟩= 1⟨p+1

p

⟩= 1

para p natural.


Numeros Eulerianos

n

⟨n

0

⟩ ⟨n

1

⟩ ⟨n

2

⟩ ⟨n

3

⟩ ⟨n

4

⟩ ⟨n

5

⟩ ⟨n

6

⟩0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 1 0 0 0 0 0

3 1 4 1 0 0 0 0

4 1 11 11 1 0 0 0

5 1 26 66 26 1 0 0

6 1 57 302 302 57 1 0

Teorema 6 (Identidade de Worpitzky). Vale a identidade

xn =n∑

k=0

⟨n

k

⟩(x+ k

n

).

Para todo x real(complexo?) e n natural.

Demonstracao. Vamos demonstrar por inducao, so que precisamos de uma proprie-

dade de coeficientes binomiais que vamos deduzir a partir das potencias fatoriais

(x+ k)(n+1,1) = (x+ k)(n,1)(x+ k − n) = x(x+ k)(n,1) − (n− k)(x+ k)(n,1)

logo

x(x+ k)(n,1) = (x+ k)(n+1,1) + (n− k)(x+ k)(n,1)

dividindo por n!

x

(x+ k

n

)= (n+ 1)

(x+ k

n+ 1

)+ (n− k)

(x+ k

n

).

Para n = 0 a identidade se verifica, pois

x0 =0∑

k=0

⟨0

k

⟩(x+ k

0

)=

⟨0

0

⟩(x+ 0

0

)= 1.

Suponho a validade para n, vamos provar para n+ 1 temos

xn+1 =n∑

k=0

⟨n

k

⟩(x+ k

n

)x =

n∑k=0

⟨n

k

⟩(n+ 1)

(x+ k

n+ 1

)+

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k

n

)=

escrevendo n+ 1 = (n− k) + (1 + k)


=n∑

k=0

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k

n+ 1

)+

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k

n

)+

⟨n

k

⟩(k + 1)

(x+ k

n+ 1

)=

agrupando os termos semelhantes e usando propriedade de coeficiente binomial

=n∑

k=0

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k + 1

n+ 1

)+

⟨n

k

⟩(k + 1)

(x+ k

n+ 1

)=

=n∑

k=0

⟨n

k

⟩(k + 1)

(x+ k

n+ 1

)+

n∑k=0

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k + 1

n+ 1

)=

abrindo o primeiro termo do primeiro somatorio e mudando variavel e percebendo que no

segundo somatorio podemos tomar o limite superior como n− 1 pois para k = n o termo

n− k e zero

=

(x

n+ 1

)+

n−1∑k=0

⟨ n

k+1

⟩(k + 2)

(x+ k + 1

n+ 1

)+

⟨n

k

⟩(n− k)

(x+ k + 1

n+ 1

)=

usando a recorrencia dos numeros eulerianos, temos

=

(x

n+ 1

)+

n−1∑k=0

⟨n+1

k+1

⟩(x+ k + 1

n+ 1

)=

(x

n+ 1

)+

n∑k=1

⟨n+1

k

⟩(x+ k

n+ 1

)=

n∑k=0

⟨n+1

k

⟩(x+ k

n+ 1

)

o termo

⟨n+1

0

⟩= 0 por condicao inicial, logo temos

xn+1 =n+1∑k=0

⟨n+1

k

⟩(x+ k

n+ 1

).

Vamos ver alguns exemplos de casos da identidade de Worpitzky

x0 =

(x

0

)= 1.

x =

(x

1

)= x

x2 =

(x

2

)+

(x+ 1

2

)x3 =

(x

3

)+ 4

(x+ 1

3

)+

(x+ 2

3

)


x4 =

(x

4

)+ 11

(x+ 1

4

)+ 11

(x+ 2

4

)+

(x+ 3

4

)

x5 =

(x

5

)+ 26

(x+ 1

5

)+ 66

(x+ 2

5

)+ 26

(x+ 3

5

)+

(x+ 4

5

)

x6 =

(x

6

)+ 57

(x+ 1

6

)+ 302

(x+ 2

6

)+ 302

(x+ 3

6

)+ 57

(x+ 4

6

)+

(x+ 5

6

)

1.11 Formula de Interpolacao de Newton

Vamos deduzir informalmente a formula de interpolacao de Newton, que permite es-

creve uma sequencia como soma das suas diferencas.

De ∆ = E − 1 tem-se ∆ + 1 = E, elevando a n, tem-se

En = (∆ + 1)n =n∑

k=0

(n

k

)∆k

aplicando em f(0) tem-se

Enf(0) = f(n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(0).

anotaçõe sobre somatórios

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