Estatstica Geral Estatstica Geral(Somatrios e Produtrios) (Somatrios e Produtrios)ICET/CUA/UFMT ICET/CUA/UFMTProf Prof: Glauco Vieira de Oliveira : Glauco Vieira de OliveiraCap VII Princpios de estatsticaSomatrioMuitos processos estatsticos exigem clculo as soma. Para simplificar a operao de adio nas expresses algbricas, utiliza-se a notao (letra grega sigma maiscula) Partes e smbolos dos somatriosltimo elemento a in1 ix=1 elemento dos termos a serem somadosInstruo para somarltimo elemento a ser somadoTermos a serem somadosObservao individual da srie (indexador)SomatrioExemplo 1: L-se: a soma de X ao i variar de 1 at 8Exemplo 2: L-se: a soma de i ao i variar de 2 at 7Exerccios Resolvidos (onde a varivel o prprio indexador i):iX81 i=i72 =i= =231iia) = 12+22+ 32= 1 + 4 + 9 = 14= =ii452b) = 4 . 2 +4 . 3 + 4 . 4 +4 . 5 = 8 + 12 + 16 + 20 = 56= =4) - 2 (83iic) = (2 . 3 4) + (2 . 4 4) + (2 . 5 4) + (2 . 6 4) ++ (2 . 7 4) + (2 . 8 4)= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42SomatrioExemplo 2:Considere as variveis x e y que representam respectivamente, as notas de duas disciplinas para um grupo de 6 alunosX = {90, 95, 97, 98, 100, 60} e Y= {60, 70, 80, 60, 90, 75}Calcule os somatrios abaixo:n inix x x x + + + = =...2 11a) Soma simples= 540n n i iniy x y x y x y x y x + + + + = =....3 3 2 2 1 112 2 2 21....2 1 nx x x xini+ + + = =( )22 121....n inix x x x + + + ==) .... ).( .... (2 1 2 11 1m n jmjiniy y y x x x y x + + + + + + = = =b) Soma de quadrados (SQ)c) Quadrado da Somad) Soma de Produtos (SP)e) Produto das somas= 49.738= 291.600= 39.190= 234.900SomatrioPropriedades dos somatriosnc cn1 i= =1- somatrio de uma constante2- somatrio do produto de uma constante por uma varivelConstatao das propriedadesX1=5; X2=3; X3=-2; X4= 0Y1 = 2 ;Y2=3; Y3=-3; Y4=1 Observaes:a) Qdono houver possibilidade de duvidas, pode-se eliminar os in1 iin1 ix c cx= = = in1 iin1 ii in1 iy x ) y (x= = = = constante por uma varivel3- Somatrio de uma soma ou subtrao de variveisde duvidas, pode-se eliminar os ndicesb) x2 ( (( (x) x) x) x)2 22 2c) A operaes em frente de um so realizadas 1 para depois aplicar suas propriedades.Ex: (3x + 2)2 (9x2+ 12x + 4) 9x2+ 12x + 4 9 x2+ 12x + n4 SomatrioSomatrio Duplo- Muito utilizado em tabelas de dupla entrada (ex: estado civil e sexo, escolaridade x faixas de renda)- Notao: xij um elemento pertencente i-sima linha e j-sima coluna da tabela abaixoAssim:Somatrio DuploExemplo: Dado a tabela acima calcule:ij4 3x a) a) xij = x11+ x12+ x13+ ...+ x34=2ij3ij43 j32 ii431 i3j41 jij1 j 1 i1) (x e)x d)x c)x b)x a) = ==== ==5 + (-2) + 0 + 1 .....+3 = 15b) x3j= x31+ x32+ x33+ x34= 1 + 2 + 4 + 3 = 10c) xi4= x14+ x24+ x34= 1 + (-2) + 3 = 2d) = (x23)3+ (x24)3+ (x33)3+(x34)3= 03+ (-2)3+ 43+ 33= 83e)SomatrioExercciosLivro: Princpios de EstatsticaCaptulo 7 Srie 1SomatrioExercciosLivro: Princpios de EstatsticaCaptulo 7 Srie 1Exerccio adicionalSeja uma varivel X, assumindo os seguintes valores:X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8}Calcule:10= ====== = = 101 ii2i101 i2i101 ii101 i2i101 i2i101 i2i101 i2i101 ii101 ixh)1 104) (xg) 4) (x f) 4) (x e)1 1010xxd) x c) x b) x a)ProdutrioA notao (letra grega pi maiscula) utilizada para representao dos produtos de um conjunto de variveis. Partes e smbolos dos somatriosltimo elemento a in1 ix=1 elemento dos termos a serem multiplicadosInstruo para multiplicarltimo elemento a ser multiplicadoTermos a serem multiplicadosObservao individual da srie (indexador)ProdutriosPropriedades dos produtrios== = = = = =nnnnniiniX c cX cX cX cX cXb b b b bb bn b b bfatos113 2 1.... . . 3. . 2..... . . ) 1))==== === == + + + = = = == = = = nii n ininiiniinin n n n i iniiinn iiX X X X Xn n iY XY Y Y X X X Y X Y X Y X Y XX c cX cX cX cX cX12 1111 12 1 2 1 2 2 1 1113 2 11log log ... log log log ) 6! ... . 3 . 2 . 1 5) ... . ).( ... . ( ..... . 4.... . . 3)))ProdutriosExemplo numricoinininiX c cX1 1 = = = 1 Propriedade: Uma constante K em um produtrio (considerando k=3)2 Propriedade: Produtrio de um produto = = = =iniinii iniY X Y X1 1 1