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Análise e Dimensionamento de Paredes Resistentes de Betão Armado com Base em Modelos de Escoras e Tirantes Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil na Especialidade de Estruturas

Autor

Jorge Alexandre Reis Prata Galhardo Vieira

Orientador

Paulo Manuel Mendes Pinheiro da Providência e Costa Ricardo Joel Teixeira Costa

Esta dissertação é da exclusiva responsabilidade do seu autor, não tendo sofrido correcções após a defesa em provas públicas. O Departamento de Engenharia Civil da FCTUC declina qualquer responsabilidade pelo uso da informação apresentada

Coimbra, Julho, 2014

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes AGRADECIMENTOS

Jorge Prata Vieira

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AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, quero agradecer aos meus orientadores, Professor Paulo Providência e Costa e Professor Ricardo Costa, pela orientação e por sempre terem estado disponíveis para o esclarecimento de qualquer dúvida, não só no desenvolvimento desta dissertação, mas também durante esta fase da minha formação académica.

A todos os meus amigos e colegas de curso agradeço o terem feito parte destes anos e me terem apoiado em todas as situações, especialmente à Joana, por sempre me ter dado confiança.

Por último, agradeço à minha família, pela educação, carinho e suporte que sempre me deram, em especial aos meus pais e irmão, sem esquecer os meus avós, por todo o apoio nestes anos de vida académica.

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes RESUMO

Jorge Prata Vieira ii

RESUMO

Com esta dissertação pretende-se abordar a análise e o dimensionamento de paredes resistentes de betão armado, utilizando uma metodologia baseada em modelos de escoras e tirantes. Esta metodologia consiste numa forma prática, fundamentada na mecânica e extremamente intuitiva de dimensionamento de estruturas de betão armado. Este método é recomendado por várias especificações técnicas de betão armado, incluindo a EN 1992, devendo porém notar-se que não cumpre os estados limite de utilização (ELU).

Muttoni et al. (1996) fazem, na sua obra, uma apresentação muito simplista de um modelo de escoras e tirantes a aplicar numa parede resistente, não entrando em detalhes sobre os critérios utilizados para o estabelecer ou sobre bases inerentes ao modelo. Pretende-se, com esta dissertação, esclarecer esses mesmo critérios, começando pela identificação das principais características destes elementos estruturais e fazendo uma análise em função das mesmas, sejam elas as dimensões da parede, o número de pisos ou a razão entre ações horizontais e verticais. Seguidamente, será apresentada uma abordagem completa do modelo de escoras e tirantes, incluindo a concepção da “treliça”, a determinação e análise dos campos de esforços, o dimensionamento e verificação de segurança da estrutura e por fim a referência às armaduras necessárias para a solução final.

O trabalho é constituído pelas seguintes partes: (i) introdução ao tema abordado; (ii) revisão bibliográfica e do estado de arte sobre o método de escoras e tirantes e paredes resistentes; (iii) Análise do modelo proposto por Muttoni et al. (1996), e apresentação dos procedimentos para a concepção, e dimensionamento desse mesmo modelo para paredes resistentes com n pisos; (iv) apresentação de um caso prático de aplicação do modelo estudado e análise dos resultados obtidos, bem como a realização de verificações de segurança; (v) apreciação final do trabalho realizado e apresentação das conclusões, bem como de sugestões para trabalhos futuros dentro da temática.

PALAVRAS-CHAVE

Escoras e tirantes, Paredes resistentes, Estados limite últimos, Treliça, Betão Armado

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ABSTRACT

Jorge Prata Vieira

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ABSTRACT

The purpose of this dissertation is to address the analysis and design of reinforced concrete shear walls, using a methodology based on strut and tie models. This methodology is a practical, based on mechanical principles and extremely intuitive way to design reinforced concrete structures. This method is recommended by various technical specifications of reinforced concrete, including EN 1992, however it should be noted that it does not meet the Service Limit States (SLS).

Muttoni et al. (1996) do, in their work, a very simplistic presentation of a strut and tie model to design shear walls, not going into much detail on the criteria used to establish the model neither the theoretical bases inherent to the model. It is intended with this dissertation to clarify those criteria, starting with the identification of the main characteristics of the structural elements and making an analysis based on those characteristics, whichever the size of the wall, the number of floors or the ratio between horizontal and vertical actions. Subsequently, it will be presented a complete approach to the strut and tie model, including the design of the "truss", the determination and analysis of the stress field, the design and verification of safety of the structure and finally the reference to the detailing of the final solution will be provided.

The document consists of the following parts:(i) introduction to the subject; (ii) literature review on the strut and tie method and shear walls; (iii) Analysis of the model proposed by Muttoni et al. (1996), and description of procedures for the design of that model for shear walls with n floors; (iv) presentation of a practical case of application of the model and analysis of results, as well as security verifications; (v) final conclusions of the work as well as suggestions for future developments in the subject.

KEY WORDS

Strut and tie, Shear Walls, Ultimate limit states, Truss, Reinforced Concrete

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ÍNDICE

Jorge Prata Vieira

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ÍNDICE

AGRADECIMENTOS ................................................................................................................ i RESUMO .................................................................................................................................... ii ABSTRACT ............................................................................................................................. iii ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................. vi ÍNDICE DE QUADROS ........................................................................................................... ix SIMBOLOGIA ........................................................................................................................... x ABREVIATURAS .................................................................................................................... xi 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1

1.1 Considerações gerais ..................................................................................................... 1 1.2 Objectivos e motivação para a dissertação .................................................................... 2 1.3 Organização da dissertação ........................................................................................... 2

2 ESTADO DA ARTE ............................................................................................................ 3 2.1 Introdução ...................................................................................................................... 3 2.2 Enquadramento Histórico .............................................................................................. 3 2.3 Enquadramento Normativo ............................................................................................ 4 2.4 Conceitos Teóricos Inerentes ao Método de Escoras e Tirantes ................................... 4

2.4.1 Teoremas Limite da Plasticidade ............................................................................ 4 2.4.2 Campos de Tensões e Trajetórias de Carga ............................................................ 5 2.4.3 Principio de Saint-Venant ....................................................................................... 6

2.5 Tipificação genérica de modelos ................................................................................... 6 2.5.1 Escoras de Betão ..................................................................................................... 7 2.5.2 Tirantes ................................................................................................................... 9 2.5.3 Nós .......................................................................................................................... 9

2.6 Paredes Resistentes ...................................................................................................... 13 3 ANÁLISE DE PAREDES RESISTENTES ....................................................................... 14

3.1 Princípios base apresentados por Muttoni e colaboradores ......................................... 14 3.1.1 Partindo das “Deep Beams” .................................................................................. 14 3.1.2 Aproveitamento do material ................................................................................. 15 3.1.3 Formas de “Redireccionamento” das Cargas ....................................................... 16 3.1.4 Parede Resistente com n Pisos .............................................................................. 22

3.2 Desenvolvimento do Modelo ....................................................................................... 28 3.2.1 Evolução – antes do reforço ................................................................................. 28 3.2.2 Evolução – após reforço ....................................................................................... 32

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ÍNDICE

Jorge Prata Vieira v

4 ANÁLISE E RESULTADOS ............................................................................................. 35 4.1 Introdução .................................................................................................................... 35 4.2 Definição do Modelo ................................................................................................... 35

4.2.1 Dimensões e esquema de cargas de cada piso ...................................................... 35 4.2.2 Previsão da evolução da excentricidade e consequente necessidade de reforço .. 36 4.2.3 Fase Pré-Reforço .................................................................................................. 37 4.2.4 Fase pós-reforço ................................................................................................... 43

4.3 Análise dos Resultados e Verificações ........................................................................ 50 4.3.1 Cálculo dos esforços na estrutura ......................................................................... 50 4.3.2 Verificação de segurança dos nós mais condicionantes ....................................... 53 4.3.3 Nota sobre disposição da armadura ...................................................................... 56

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................. 59 5.1 Conclusões ................................................................................................................... 59 5.2 Trabalhos Futuros ........................................................................................................ 60

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 61 ANEXO A - QUADROS DA MODELAÇÃO EM ROBOT (AUTODESK) ..................... A-1 ANEXO B - VERIFICAÇÃO DA REGIÃO NODAL (CÁLCULOS) ............................... B-1 ANEXO C - DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS PELOS NÓS DO MET ............................... C-1

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ÍNDICE DE FIGURAS

Jorge Prata Vieira

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 - Modelo de escoras e tirantes, numa viga parede, construído a partir da trajetória de carga; adaptado de Meirinhos (2008) 5

Figura 2.2 - Campo de tensões axiais provocado numa peça prismática por três sistemas de forças diferentes, mas com igual resultante (Silva, 2004) 6

Figura 2.3 – Exemplos de modelos de escoras e tirantes e correspondentes campos de tensões (Schlaich et al., 1987) 7

Figura 2.4 - Campos de compressão: a) leque; b) garrafa; c) prismática (Schlaich et al., 1987) 8

Figura 2.5 - a) escora sujeita a tensões de compressão transversais b) escora sujeita a tensões de tração transversais; adaptado de EC2 (CEN, 2010) 8

Figura 2.6 - Classificação de nós (ACI-318, 2002) 10

Figura 2.7 - Exemplos de nós 1 (Schlaich et al., 1987) 10

Figura 2.8 - Exemplos de nós 2 (Schlaich et al., 1987) 11

Figura 2.9 - Nó hidrostático e não-hidrostático (Thompson, 2002) 11

Figura 2.10 - Nó hidrostático, adaptado de (ACI-318, 2002) 12

Figura 2.11 - Edifício com paredes resistentes, sujeito a forças horizontais: a) piso tipo; b) fachada; c) vista lateral, adaptado de (Nilson et al., 2010) 13

Figura 3.1 - Paredes carregadas verticalmente e os seus campos de tensões; adaptado de Muttoni et al. (1996) 14

Figura 3.2 - Cálculo de alim 15

Figura 3.3 - Estudo da largura do leque de compressão 17

Figura 3.4 - Estudo do efeito de uma força horizontal no leque de compressões – casos limite 17


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Figura 3.5 – Relação H/V e o seu efeito em a 18

Figura 3.7 - Paredes resistentes sujeitas a esforço vertical e de corte – Casos limite sem reforço vertical 20

Figura 3.8 - Paredes resistentes sujeitas apenas a esforço de corte e seus campos de tensão, a) reforço concentrado e b) reforço distribuído 21

Figura 3.9 - Efeito do reforço vertical na resultante de forças e campo de tensão 21

Figura 3.10 – Esquema do efeito do reforço vertical nas resultantes de forças 22

Figura 3.11 - Parede resistente de vários pisos, forças resultantes e campos de tensões, adaptado de Muttoni et al. (1996) 23

Figura 3.12 – Carregamento aplicado ao longo dos pisos da parede 24

Figura 3.13 – Forças existentes na face superior de cada um dos pisos 24

Figura 3.14 – Forças atuantes num piso n - genericamente 25

Figura 3.15 – Excentricidade no topo e na base de um piso n 25

Figura 3.16 – Estudo do efeito de um reforço vertical - 1 26

Figura 3.17 – Estudo do efeito de um reforço vertical - 2 26

Figura 3.18 – Forma geométrica de determinar T 27

Figura 3.19 – Barras simplesmente apoiadas sujeitas a par de forças H e V 28

Figura 3.20 – Fase pré-reforço, adaptado de Muttoni et al. (1996) 29

Figura 3.21 – Larguras de influência que permitem determinar a posição do novo ponto 30

Figura 3.22 - Larguras de influência que permitem determinar a posição do novo ponto – junção 30

Figura 3.23 – Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B - 1 31

Figura 3.24 - Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B - 2 31

Figura 3.25 Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B – 3 32


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Figura 3.26 – Fase após-reforço, adaptado de Muttoni et al. (1996) 32

Figura 3.27 – Padrão do MET – fase após reforço 33

Figura 4.1 –Esquema de cargas a aplicar a cada piso e suas dimensões 35

Figura 4.2 – Evolução da excentricidade da RFE 37

Figura 4.3 – Distribuição das forças verticais no 1º Piso 38

Figura 4.4 - Distribuição das forças verticais no 2º Piso 40



Figura 4.7 – Trajetória de cargas a descarregar nos pontos de descarga 44

Figura 4.8 – Relações geométricas para a determinação de a e b 46

Figura 4.9 – a) estrutura modelada no Robot Structural Analysis, b) Diagrama de esforços Axiais 51

Figura 4.10 – “Triângulo hidráulico” de um nó do tipo CCT – relações geométricas 53

Figura 4.11 – Esquematização do espaço ocupado pelas regiões nodais dos nós nos 61, 62 e 63 55

Figura 12 – Representação de parte de um corte transversal, feito junto ao limite esquerdo da parede, distâncias em metros 58

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ÍNDICE DE QUADROS

Jorge Prata Vieira

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ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1 - Características dos betões 16

Quadro 3.2 - Estimativas do valor de a para diferentes betões 16

Quadro 4.1 – Evolução da excentricidade e necessidade de reforço 36

Quadro 4.2 – Resultante simples – Nó A 38

Quadro 4.3 – Resultante simples – Nó B 39

Quadro 4.4 - Resultante simples – Nó C 40

Quadro 4.5 - Resultante simples – Nó D 41

Quadro 4.6 - Resultante do tipo junção – Nó E + F 41

Quadro 4.7 - Resultante simples – Nó G 42

Quadro 4.8 - Resultante do tipo junção – Nó H + I 43

Quadro 4.9 – Dados geométricos 48

Quadro 4.10 – Estimativa do valor de T e verificações 48

Quadro 4.11 – Posicionamento dos pontos K, D1,D2 e D3 e seus δ 49

Quadro 4.12 – Cargas - Robot Structural Analysis 52

Quadro 4.13 – Reacções de apoio - Robot Structural Analysis 52

Quadro 4.14 – Esforços dos elementos que convergem na região nodal 55

Quadro 4.15 – Dimensões que definem as regiões nodais 55

Quadro A-1 – Coordenadas dos pontos do modelo de escoras e tirantes - Robot A-1

Quadro A - 2 – Esforços Axiais e tipo de barra – Robot (1) A-2

Quadro B – 1 –Verificações de Segurança – Região Nodal B-1

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes SIMBOLOGIA

Jorge Prata Vieira

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SIMBOLOGIA

Letras maiúsculas latinas AC área da secção transversal de betão AS área da secção de uma armadura para betão armado F ação H componente horizontal de ação K constante M momento flector NRd esforço axial resistente QR carga de rotura QS carga aplicada a um sistema T força de reforço V componente vertical de ação Letras minúsculas latinas a,b,c distâncias geométricas alim valor limite para a distância a aprov. Valor escolhido para a fcd valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão fck valor característico da tensão de rotura do betão à compressão aos 28d de idade fyd valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço das armaduras h altura da secção transversal l largura da secção transversal n número do piso t espessura da parede Letras maiúsculas gregas σRd tensão de resistência Letras minúsculas gregas ν' Coeficiente de redução relativo à fendilhação do betão

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ABREVIATURAS

Jorge Prata Vieira

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ABREVIATURAS

ELS – Estados Limites de Serviço ELU – Estados Limites de Utilização GIE – Grau de Indeterminação Estática MET– Método de Escoras e Tirantes RFE – Resultante das Forças Externas RFI – Resultante das Forças Internas

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes 1-INTRODUÇÃO

Jorge Prata Vieira

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações gerais O papel de um engenheiro civil é o de conseguir tirar o melhor partido dos materiais que tem à sua disposição, fazendo um dimensionamento optimizado, o mais económico possível, sem desperdiçar material injustificadamente, o que levaria a um encarecimento da obra, e sem prejudicar a segurança estrutural. Além disso, tem, naturalmente de garantir que também os estados limite de utilização (ELU) são verificados.

Ao longo do tempo, tanto os métodos construtivos como os materiais utilizados foram variando e evoluindo. Data do final do século XIX o início do uso do betão armado, tirando partido da conjugação dos materiais aço e betão. Deste então tem-se assistido a uma contínua evolução dos processos de análise e de dimensionamento das estruturas de betão armado (Appleton, 2013). Hoje, o betão armado é, também em Portugal, o principal material estrutural e, como tal, é de extrema importância o conhecimento, na medida do possível, do seu comportamento, e o desenvolvimento de processos de dimensionamento seguros e práticos, apoiados em fundamentos teóricos comprovados experimentalmente e aceites pela comunidade científica. A importância do betão armado, como solução corrente, para a edificação no panorama Português, prende-se com vários factores. Nomeadamente, o baixo custo de mão-de-obra na execução, a especialização pouco exigente dessa mão-de-obra, a facilidade de acesso e negociação com fornecedores comparativamente com uma solução de estrutura metálica que apresenta uma exigência técnica e de custo associado superior, na maior parte dos casos, quando comparado com uma solução de betão armado (Santos, 2011).

As paredes resistentes têm sido, no passado, o sistema estrutural mais utilizado para garantir a estabilidade dos edifícios contra as ações horizontais, causadas pelo vento ou por ações sísmicas. Com o avanço do conhecimento do dimensionamento do betão armado, paredes resistentes têm sido usadas, por todo o mundo, para estabilizar, eficientemente, desde estruturas comuns com poucos pisos, até aos mais altos arranha céus (Council, 1995).

Muttoni et al. (1996) apresenta, pela primeira vez, um método para o dimensionamento de uma parede resistente com n pisos através de um método baseado num modelo de escoras e tirantes (MET). Os autores baseiam o desenvolvimento deste método na compreensão dos campos de tensões da estrutura, que permitem uma estimativa da trajetória de carga, tendo apenas por base as condições de equilíbrio.

A análise de MET baseia-se na Analogia da Treliça proposta por Ritter e Mörsch, em 1899, e tem por base o domínio de aplicação do teorema do limite inferior da análise plástica. Esta analogia em conjunto com a compreensão dos campos de tensões e, consequentemente, da trajetória de cargas tem como vantagens:

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes 1 INTRODUÇÃO

Jorge Prata Vieira 2

• Permitir a explicitação dos caminhos das cargas em qualquer região da estrutura;

• Ser um método baseado no limite inferior da teoria da plasticidade;

• Fornecer indicações claras sobre a forma de dispor a armadura.

1.2 Objectivos e motivação para a dissertação O objectivo principal desta dissertação é a compreensão e detalhamento do método sumariamente apresentado por Muttoni et al. (1996) para o dimensionamento de uma parede resistente com n pisos. Serão aprofundados os critérios utilizados para o estabelecimento do MET e posteriormente aplicados esses mesmos conhecimentos a um caso prático, uma parede resistente com 16 pisos, sujeita a esforços tanto verticais como de corte. Nesta dissertação não são considerados os efeitos de segunda ordem.

Será efectuada a identificação das principais características dos elementos em estudo, seguindo-se uma abordagem do MET, incluindo a concepção da “treliça”, determinação e análise dos campos de esforços, dimensionamento e verificação da segurança da estrutura e referência às armaduras necessárias para a solução final.

A motivação para a escolha deste tema surgiu após a frequência da cadeira de Estruturas de Betão, inserida na Área de Especialização em Estruturas do Mestrado Integrado em Engenharia Civil, lecionada pelo Professor Paulo Providência, onde nos foram apresentados, com maior pormenor, conceitos como os de: campos de tensões, modelos de escoras e tirantes, hipóteses base da análise e do dimensionamento de estruturas de betão armado com o auxilio de campos de tensões, entre outros.

1.3 Organização da dissertação Esta dissertação é constituída por cinco capítulos, organizados em secções e subsecções, com vista a uma melhor compreensão por parte do leitor.

Neste primeiro capítulo, é feita uma introdução geral ao tema abordado e apresentam-se os principais objectivos de estudo, bem como a organização do documento. No segundo capítulo, é apresentado o estado da arte relativo ao tema abordado, fazendo um enquadramento, tanto histórico como normativo, do mesmo, bem como a explanação de vários conceitos a ele inerentes. No terceiro capítulo, é exposto, detalhadamente, o método baseado em MET para o dimensionamento de uma parede resistente com n pisos, sugerido por Muttoni et al. (1996). No quarto capítulo é aplicado o mesmo método a um caso prático de uma parede resistente com 15 pisos e feita a análise dos resultados e as necessárias verificações de segurança. Por fim no quinto capítulo são apresentadas as conclusões finais bem como algumas propostas para trabalhos futuros, dentro deste tema.

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes 2 ESTADO DA ARTE


2 ESTADO DA ARTE

2.1 Introdução No presente capitulo é feita uma abordagem histórica e do estado da arte sobre modelos de escoras e tirantes (MET), que estão na base do modelo utilizado para o dimensionamento de paredes resistentes, desenvolvido na presente dissertação.

2.2 Enquadramento Histórico Foi na transição entre os séculos XIX e XX que Ritter e Mörsch estabeleceram, através de observações experimentais, a Analogia da Treliça. Esta analogia, que subjaz ao método de análise e dimensionamento baseado em MET, foi considerada mais tarde como sendo o método mais racional e apropriado para o dimensionamento de vigas de betão armado, quando sujeitas a esforços de flexão e corte (Schlaich et al., 1987), posteriormente foi ainda generalizada para vigas sujeitas a esforços de torção, através de “treliças” 3D (Barros, 2013).

Já perto do final do século XX, Schlaich et al. (1987) propõem a generalização da analogia da treliça aplicando-a, sob a forma de MET, ao dimensionamento de qualquer parte de uma estrutura de betão. Esta proposta foi justificada com o facto de as estruturas de betão armado transmitirem as cargas através de um campo de esforços que pode ser aproximado por um conjunto de campos unidirecionais de tensões de compressão que são distribuídos e interligados através de tirantes (varões de armadura, cabos de pré-esforço ou campos unidirecionais de tensões de tração no betão). Para um estudo analítico considera-se que os MET condensam todas as tensões em membros comprimidos ou traccionados que são ligados entre si através de nós. Com a publicação deste artigo estabeleceu-se um método rigoroso de dimensionamento, baseado na trajetória das forças dentro da própria estrutura, abandonando os procedimentos empíricos, e as chamadas “regras de ouro”, abrindo caminho para um novo método de dimensionamento mais racional e detalhado. Este método baseia-se na orientação da geometria do MET segundo o campo de tensões elásticas e num posterior dimensionamento da estrutura do modelo, seguindo a Teoria da Plasticidade (ver secção 2.4.1) (Schlaich et al., 1987).

Todas as pesquisas e estudos feitos sobre o MET levaram a que, atualmente este método esteja presente em várias especificações técnicas de betão armado, nomeadamente no Eurocódigo 2 e na norma ACI-318.



2.3 Enquadramento Normativo Um projeto de engenharia tem, naturalmente, que assegurar condições de segurança, estabilidade, funcionalidade e durabilidade à estrutura em estudo. Ao longo dos anos foram criadas disposições regulamentares que servem de referência no dimensionamento e verificação desses mesmos projetos. Estas normas pretendem não só providenciar procedimentos de cálculo devidamente testados, teórica e experimentalmente, mas também uniformizar métodos de dimensionamento e regulamentação que funcionem como uma “linguagem” comum a projetistas de todo o mundo. Destes documentos normativos será tido como referência principal o Eurocódigo 2 Parte 1-1 (CEN, 2010), versão portuguesa da norma europeia, desenvolvida pelo Comité Europeu de Normalização (CEN). Este documento é utilizado em inúmeros países, tais como: Alemanha, França, Espanha, Reino Unido entre outros. Serão ainda abordadas algumas condições presentes na norma (ACI-318, 2002), utilizada nos Estados Unidos da América.

2.4 Conceitos Teóricos Inerentes ao Método de Escoras e Tirantes

2.4.1 Teoremas Limite da Plasticidade Gvozdev apresentou, em 1938, os teoremas limite da análise plástica. Com o objectivo de definir o comportamento, na rotura, de materiais com comportamento elasto-plástico perfeito, Drucker e Prager, na década de 1950, validaram e desenvolveram mais profundamente os princípios anteriormente estabelecidos (Sousa, 2004).

Teorema do limite inferior [QS] ≤ [QR] : “A carga de um sistema [QS], à qual corresponde um campo de tensões estaticamente admissível, é igual ou inferior à carga de rotura [QR] ” (Muttoni et al., 1996).

Este teorema, também conhecido como teorema estático, estabelece que estando um conjunto de cargas externas, proporcionais a um perímetro, em equilíbrio com o estado de tensão no interior do elemento e não sendo excedido o critério de rotura do material em nenhum ponto, podemos afirmar que não é possível a ocorrência do colapso da estrutura, para um valor de carga inferior ao desse conjunto de cargas, e que a carga de colapso real é igual ou superior a esse conjunto de cargas. Isto significa que, em nenhum ponto, o critério de plastificação é superado pelo estado de tensão, ou seja, que não existe rotura. A importância deste teorema é fundamental para o MET, uma vez que se admite a hipótese de a capacidade resistente do aço das armaduras se esgotar antes da do betão (rotura dúctil). Um estado de tensão é dito estaticamente admissível se forem cumpridas as condições de equilíbrio, as condições de fronteira e as condições de cedência do material.

Teorema do limite superior [QS] ≥ [QR]: “A carga de um sistema [QS], à qual corresponde um mecanismo de rotura cinematicamente admissível, é igual ou superior à carga de rotura [QR]” (Muttoni et al., 1996).

O Teorema do Limite Superior da Plasticidade (ou teorema cinemático) determina que se existir uma taxa de forças externas que produza um trabalho igual ou superior à taxa de dissipação interna, a estrutura entra em colapso. Para que tal ocorra é necessária a existência de um conjunto de cargas externas e de um mecanismo de colapso plástico que provoque tal



padrão compatível de deformação plástica. O campo de deslocamentos é cinematicamente admissível se for compatível com o campo de deformações e com as condições de fronteira. Por sua vez, um mecanismo de rotura constitui um campo de deslocamentos cinematicamente admissível e exibe um grau de liberdade. Geralmente, os mecanismos levam a um estado de tensão que viola a condição de cedência, ou seja, em pelo menos um ponto a tensão é superior à tensão de rotura. Por este motivo, é necessário procurar, de entre os mecanismos possíveis, aquele que corresponde ao menor valor de [QS]. O mecanismo que não infringe a condição de cedência é o que corresponde à carga [QS] mínima: Mínimo [QS] à [QR]

Em casos práticos torna-se difícil encontrar os dois limites com precisão, mas os dois teoremas, descritos anteriormente, permitem obter uma boa aproximação para problemas de engenharia.

2.4.2 Campos de Tensões e Trajetórias de Carga Os campos de tensões elásticas são caracterizados pelas direções principais do estado de tensão (linhas isostáticas de compressão e de tração) (Silva, 2004). As quais podem dar uma ideia das trajetórias de cargas, desde o ponto onde é aplicada a carga até aos apoios. O Eurocódigo 2 Parte 1-1 (CEN, 2010) indica, como um dos métodos possíveis para o cálculo de um MET, o método da trajetória de cargas.

O método supracitado consiste em posicionar as escoras de acordo com as direções principais de compressão (caminhos principais das cargas) e utilizar os tirantes de modo a garantir o equilíbrio nos nós. O seu objectivo é o de obter o caminho de cargas mais curto, de maneira a conseguir-se um dimensionamento o mais económico possível. No caso de haver mais do que um caminho, o método não permite que estes caminhos se intersetem. Os campos de tensões indicam quais as zonas da estrutura sujeitas a tensões mais elevadas, ou seja, as zonas criticas da peça. Segundo Schlaich et. al. (1987) “uma estrutura adapta-se ao sistema estrutural interno escolhido”. A Figura 2.1 mostra um exemplo simples deste método.

Figura 2.1 - Modelo de escoras e tirantes, numa viga parede, construído a partir da trajetória de carga; adaptado de Meirinhos (2008)



2.4.3 Principio de Saint-Venant O princípio de Saint-Venant estabelece que, se um corpo estiver sujeito à ação de um sistema de forças atuando numa zona limitada da sua superfície, as tensões e deformações que esse sistema de forças provoca, a uma grande distância da superfície de aplicação, não dependem da maneira particular como as forças estão aplicadas, mas apenas da sua resultante. Considerando-se que uma “grande distância” é igual ou superior à maior dimensão da superfície de aplicação das cargas (Silva, 2004) - Ver Figura 2.2.

Este princípio apresenta grande utilidade, especialmente em casos de peças com grande esbelteza, na medida em que permite tratar sistemas de forças considerando apenas as suas resultantes, possibilitando assim a simplificação dos cálculos necessários para a resolução do problema.

Figura 2.2 - Campo de tensões axiais provocado numa peça prismática por três sistemas de forças diferentes, mas com igual resultante (Silva, 2004)

2.5 Tipificação genérica de modelos Foram apresentados, em 2.4, os conceitos teóricos base do MET, modelo esse que condensa o campo de tensões em barras sujeitas a esforços axiais de compressão ou tração. De uma forma genérica, os modelos são constituídos por linhas tracejadas e contínuas, representando campos de compressão (escoras) e campos de tração (tirantes), respectivamente. A união entre estes elementos é feita por nós (regiões nodais). A Figura 2.3 mostra alguns casos correntes de MET e os respectivos campos de tensões em função da distribuição da armadura.



Figura 2.3 – Exemplos de modelos de escoras e tirantes e correspondentes campos de tensões (Schlaich et al., 1987)

É importante ter em atenção que o dimensionamento de um MET não se traduz exclusivamente na determinação do tamanho a atribuir às escoras e aos tirantes que suportam as forças aplicadas, mas também em assegurar a ligação entre elas, através da verificação do espaço ocupado pelas regiões nodais (Schlaich et al., 1987).

2.5.1 Escoras de Betão Segundo Schlaich e Schafer (1991), consoante o campo de tensões que lhes esteja associado, podem existir três tipos de escoras: tipo leque, garrafa e prismática, representadas na Figura 2.4. Estes elementos podem assumir distribuições bidimensionais ou tridimensionais de tensão.



Figura 2.4 - Campos de compressão: a) leque; b) garrafa; c) prismática (Schlaich et al., 1987)

Uma das diferenças entre os três tipos de escoras é a existência, ou não, de esforços de tração a nível transversal. As escoras dos tipos prismáticas e leque não têm este tipo de esforços (sendo que, no caso das últimas, este esforço existe mas pode ser desprezado), o mesmo não acontecendo nas escoras do tipo garrafa, que desenvolvem tensões de tração transversal não desprezáveis.

Figura 2.5 - a) escora sujeita a tensões de compressão transversais b) escora sujeita a tensões de tração transversais; adaptado de EC2 (CEN, 2010)

A capacidade resistente de uma escora de betão pode ser calculada com base no ponto 6.5.2 do EC2, sendo especificado o estado de compressão na direção, ou direções, transversal, tal como esquematizado na Figura 2.5. A expressão 1 aplica-se a uma escora numa região com tensões de compressão transversal ou sem tensões transversais. O valor de cálculo da resistência das escoras deverá sofrer uma redução do seu valor para zonas comprimidas fendilhadas, a determinar através da expressão 2.

σ Rd ,max = fcd (1)

σ Rd,max = 0,6ν ' fcd (2)



O valor de ν ' deverá ser obtido no Anexo Nacional do respetivo país, embora se recomende que seja determinado pela expressão 3:

ν ' =1− fck / 250 (3)

, sendo fck o valor característico da tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias, em MPa.

2.5.2 Tirantes Os tirantes representam as resultantes das tensões de tração numa peça e são materializados através de varões de aço ou de cabos de pré-esforço com formato geralmente linear, traduzindo-se em campos de tensão unidimensionais. É importante referir que, na aplicação deste modelo, não é considerada a capacidade do betão para resistir a esforços de tração, embora esta exista, pelo facto de ser muito baixa e pela complexidade que envolve o reajustamento das tensões após fendilhação.

No dimensionamento de tirantes, o Eurocódigo 2 indica que o valor de resistência deve ser calculado segundo as regras genéricas de cálculo de armaduras de aço em betão armado, devendo estas ser devidamente amarradas em nós. Podemos utilizar a expressão 4 para determinar a área de aço necessária para um determinado esforço axial.

NRd = As * fyd (4)

,sendo Nrd o valor do esforço axial no tirante, As a área de armadura e fyd o valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço.

2.5.3 Nós Num MET os nós são, possivelmente, os pontos mais condicionantes. É essencial haver um conhecimento exato da sua geometria para assim determinar a capacidade resistente do nó ao esmagamento, bem como a verificação de que as suas dimensões se enquadram nas da estrutura onde estão inseridos. Um nó, é o local onde se intersectam duas, três ou mais escoras ou tirantes, sendo este o responsável por mudanças na direção das forças. A norma ACI-318 classifica quatro tipos de nós de três barras, utilizando uma denotação em que cada letra C representa a existência de uma escora (compressão) e cada letra T a existência de um tirante (tração), do inglês, “compression” e “tension”, respectivamente. A Figura 2.6 ilustra as diferentes situações nodais apresentadas em ACI-318 (2002).



Figura 2.6 - Classificação de nós (ACI-318, 2002)

Segundo Schlaich et al. (1987), as Figuras 2.7 e 2.8 representam bem os quatro tipos de nós anteriormente ilustrados.

Na Figura 2.7, a1) e a2) são exemplos de nós do tipo CCC. Na mesma figura, b1) a b4), são nós do tipo CCT.

Figura 2.7 - Exemplos de nós 1 (Schlaich et al., 1987)

Na Figura 2.8 podemos observar, em c1) e c2), exemplos de nós do tipo CTT e em d1) e d2), exemplos de nós TTT.



Figura 2.8 - Exemplos de nós 2 (Schlaich et al., 1987)

Figura 2.9 - Nó hidrostático e não-hidrostático (Thompson, 2002)

Thompson (2002), na sua tese de doutoramento, explica as diferenças entre nós hidrostáticos e nós não-hidrostáticos, quanto às tensões atuantes em cada face, ver Figura 2.9. Quando um nó é dimensionado de forma a que a tensão normal de compressão seja igual em todas as faces, estamos perante um nó hidrostático, caso em que não é expectável o aparecimento de fendilhação. A inexistência de esforço de corte no nó é uma das grandes vantagens do nó hidrostático. É este o tipo de nó utilizado no desenvolvimento do modelo da presente dissertação. Assim sendo, na representação bidimensional do estado de tensão de um nó, é necessário assegurar uma situação de nó hidrostático, isto é, a tensão em todas as faces deverá ser igual. Em ACI-318 (2002) é apresentada a relação de proporcionalidade existente entre os comprimentos wn1, wn2 e wn3 das faces do nó e os valores C1, C2, C3 das forças transmitidas pelos membros do MET, ver Figura 2.10.



Figura 2.10 - Nó hidrostático, adaptado de (ACI-318, 2002)

Relativamente ao dimensionamento dos nós, o Eurocódigo 2 Parte 1-1 no ponto 6.5.4, apresenta os princípios de orientação para o cálculo do valor máximo de tensão de compressão dos nós, tendo sobretudo em atenção aqueles que apresentam concentrações de esforços, como sejam: pontos de aplicação de cargas; apoios; zonas de amarração com concentração de armaduras ou armaduras de pré-esforço; partes curvas de varões e nos cantos de elementos.

São indicadas diferentes expressões de cálculo de tensões máximas (tensão resistente) conforme estejamos na presença de faces de nós comprimidos sem tirantes amarrados no nó, nós sujeitos a compressão e tração numa direção e nós sujeitos a compressão e tração em mais do que uma direção. Para cada um dos casos as expressões de cálculo são, respectivamente:

σ Rd ,max = k1ν ' fcd (5)

σ Rd ,max = k2ν ' fcd (6)

σ Rd,max = k3ν ' fcd (7)

Os valores de k1, k2 e k3 deverão ser obtidos no Anexo Nacional do respectivo país, sendo que na norma portuguesa os valores recomendados são de 1, 0,85 e 0,75, respectivamente.

O Eurocódigo 2 indica ainda que o valor de cálculo da tensão resistente pode ser sujeito a um aumento de 10% no caso de se verificar uma das seguintes condições: existir compressão tri-axial no elemento; todos os ângulos entre escoras e tirantes serem maiores ou iguais a 55º; as tensões nos apoios ou nas zonas de aplicação de cargas concentradas serem uniformes e o nó possuir cintas transversais; a armadura estar disposta em várias camadas.



2.6 Paredes Resistentes Tal como foi referido na introdução desta dissertação, as paredes resistentes têm sido, ao longo dos anos, o sistema estrutural mais utilizado para estabilizar edifícios contra forças horizontais (Council, 1995). O principal propósito de qualquer sistema estrutural é o de garantir um bom comportamento face às solicitações impostas, tanto de carregamentos verticais como de ações horizontais provocadas pelo vento, por acidentes, ou por ações sísmicas.

As forças horizontais em edifícios, devidas às ações do vento ou sísmicas, podem ser resistidas de diferentes modos. A resistência dos pórticos, aumentada pela contribuição das paredes comuns de alvenaria, pode suportar ações horizontais causadas pelo vento na maior parte dos casos. Contudo, quando essas ações são muito grandes, como é o caso daquelas a que a estrutura se encontra sujeita aquando da ocorrência de um sismo, é necessária a implementação, na estrutura, de paredes resistentes. Estas podem ser dimensionadas para resistir, unicamente, à ação de forças horizontais assumindo a forma de caixas de escadas ou caixas de elevadores, por exemplo (Nilson et al., 2010). No caso de edifícios muito altos tem, por vezes, vindo a ser utilizados outros sistemas com macro-elementos diagonais de contraventamento (Salvadori, 1990).

A Figura 2.11 mostra um edifício sujeito a forças horizontais, atuando no bordo de cada piso. As lajes funcionam como diafragmas ou vigas-parede, transmitindo o carregamento até às paredes resistentes A e B. Estas paredes resistentes, por sua vez, funcionam como vigas em consola, encastradas na base, que transmitem os esforços até às fundações. Cada uma das paredes resistentes encontra-se sujeita a esforços de corte, que aumentam, à medida que se desce, atingindo na base da estrutura o seu valor máximo; e a esforços de flexão, que provocam esforços de tração junto à face carregada, e de compressão, junto à outra face (Nilson et al., 2010).

Figura 2.11 - Edifício com paredes resistentes, sujeito a forças horizontais: a) piso tipo; b) fachada; c) vista lateral, adaptado de (Nilson et al., 2010)

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base 3 ANÁLISE DE PAREDES em modelos de escoras e tirantes RESISTENTES

Jorge Prata Vieira

14

3 ANÁLISE DE PAREDES RESISTENTES

3.1 Princípios base apresentados por Muttoni e colaboradores Na obra Muttoni et al. (1996), os autores apresentam, entre outros temas, um breve estudo sobre paredes resistentes, estruturas normalmente carregadas com forças horizontais (cargas devidas ao vento ou a ações sísmicas) e forças verticais (peso próprio e sobrecargas).

3.1.1 Partindo das “Deep Beams” Como ponto de partida são apresentados, no capítulo 2.2 da obra Muttoni et al. (1996), as vigas parede (“deep beams” em inglês), paredes simples carregadas verticalmente, das quais são apresentados alguns exemplos na Figura 3.1.

Figura 3.1 - Paredes carregadas verticalmente e os seus campos de tensões; adaptado de Muttoni et al. (1996)



Os autores partem dos conceitos de Campos de Tensão e do Método da Trajetória de Cargas, abordados no ponto 2.4.2 desta dissertação, enfatizando o desenvolvimento dos campos de tensão, e não meramente apresentando de soluções já conhecidas. Os casos estudados são, como podemos ver na figura, vigas parede simplesmente apoiadas com 2 cargas pontuais simétricas - a) e não simétricas - b); vigas parede simplesmente apoiadas com carregamento distribuído – c) e d). Outro factor de estudo é a esbelteza das peças, pelo que são obtidos resultados para diferentes alturas e espessuras de vigas parede.

3.1.2 Aproveitamento do material Como já foi referido nesta dissertação, é essencial para um engenheiro civil o conhecimento profundo dos materiais a utilizar, para que assim lhe seja possível conseguir soluções estruturais optimizadas tanto em termos de dimensionamento como de custos. É este o principio fundamental que serve de base para o desenvolvimento do modelo MET, descrito no presente capítulo.

Tendo por base a analogia com uma viga simplesmente apoiada, e utilizando o Método da Trajetória das Cargas, o aproveitamento do material, neste caso o betão, é conseguido garantindo que a resistência de compressão do betão seja totalmente utilizada nas zonas de apoio da estrutura.

Partindo da definição de tensão (Silva, 2004), força por unidade de área,

σ = FA

(8)

e considerando uma força F, apenas com componente vertical, aplicada junto ao limite de uma determinada parede, ver Figura 3.2, podemos definir a medida alim, que representa a distância a que essa força F tem que estar do bordo da parede, ou de qualquer outro campo de tensões provocado por outra qualquer força, de forma a que a resistência última de compressão do betão seja atingida, alcançando assim o aproveitamento máximo das propriedades do betão.

Figura 3.2 - Cálculo de alim



F = 2alimtfcd (9)

,sendo t a espessura da parede, e fcd o valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão.

A definição de alim é de vital importância para o desenvolvimento do modelo de escoras e tirantes (MET), e é um dos principais factores de segurança a ter em conta na definição do modelo.

alim = F2tfcd

(10)

No Quadro 3.1 podemos ver valores característicos e de cálculo da tensão de rotura de dois dos betões mais utilizados em Portugal e a título meramente exemplificativo são apresentados no Quadro 3.2 os valores de alim para os dois tipos de betão, considerando uma força F de 500kN e fazendo variar a espessura da parede

Quadro 3.1 - Características dos betões

Classe de Betão fck [MPa] fcd [MPa] C20/25 20 13,33 C25/30 35 16,66

Quadro 3.2 - Estimativas do valor de a para diferentes betões

Classe de Betão

C20/25 C25/30

F[kN] t [mm] alim [mm]

500 200 94 75 300 63 50 400 47 38

3.1.3 Formas de “Redireccionamento” das Cargas Para que o efeito descrito em 3.1.2 seja obtido é necessário que as cargas, a que o elemento está sujeito, sejam direcionadas para a zona do apoio. Para que isto seja conseguido é necessário primeiro estudar e compreender os factores que condicionam este redireccionamento e de que forma ele pode ser conseguido.



3.1.3.1 Caso Limite sem Armadura Comecemos por analisar uma situação bastante simples: uma superfície de uma parede de dimensões L × h × t , onde é aplicada, a meio do comprimento L, uma carga uniformemente distribuída com resultante apenas com componente vertical V1, de dimensão tal que, utilizando a expressão 10 se determine a distancia 2a1, que representa a largura do leque de compressão do betão para esta força. Podemos observar, na Figura 3.3, a evolução da largura desse mesmo leque de compressão. À medida que aumentamos o valor de V, gradualmente, podemos ver que o leque vai ficando cada vez mais largo, mantendo a simetria em relação à vertical do ponto de aplicação da força, até chegarmos à situação limite com o valor de Vcd onde atingimos a largura 2a3, igual à largura total da superfície em estudo.

Figura 3.3 - Estudo da largura do leque de compressão

Concluímos então que, para uma dada geometria, existe um valor máximo de V que se pode aplicar sem que o leque de compressões saia fora dos limites da parede, momento em que é atingido o valor Vcd = LTfcd , que é a resistência da parede à compressão simples, ou seja, a força necessária para esmagar o betão da parede.

Seguidamente, é necessário estudar o efeito que uma componente horizontal, H provoca no leque de compressões. Para analisar este caso vamos aplicar, na mesma secção, uma carga V, aplicando agora, separadamente, dois valores diferentes de H, sendo H1 < H2. Observemos a Figura 3.4.

Figura 3.4 - Estudo do efeito de uma força horizontal no leque de compressões – casos limite



Podemos observar que, para o primeiro destes valores, na Figura 3.4 a) o leque continua a ter o mesmo limite do lado direito, como tinha na situação Vcd da Figura 3.3, mas a componente horizontal H1 faz com que o limite esquerdo avance mais para a direita, não atingindo, ainda assim, a secção de meio da parede. Do mesmo modo, há um valor H2, H2 > H1, na Figura 3.4 b), para o qual o leque está agora todo ele na metade direita da secção, mantendo-se o seu limite direito, como anteriormente, mas tendo agora o limite esquerdo avançado até ao meio da metade direita da secção (V4<V3).

Concluímos então que quanto maior for o valor da componente H, mais o limite do leque avança, para o lado onde aponta o sentido de H.

Estas conclusões podem ser matematicamente provadas (Providência, 2014). Partindo da equação 11 que mostra a relação entre H/V, com a projeção resultante dessas duas forças e observando a Figura 3.5:

Figura 3.5 – Relação H/V e o seu efeito em a

HV

=

L2− a

h (11)

,o valor de a não pode ser inferior a alim.

a = L2− HhV

≥ alim (12)

Utilizando a expressão 10, com a qual podemos determinar alim, e fazendo Vcd = Ltfcd temos:

alim = F2tfcd

= L2VVcd

(13)



Substituindo alim na expressão 12 temos:

L2− HhV

≥ L2VVcd

(14)

HVcd

VVcd

≥L2h

1− VVcd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(15)

VVcd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− VVcd

+ 2hL

HVcd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ 0 (16)

Fazendo V = VVcd

, H = HVcd

, α = hL2

e aplicando a fórmula resolvente temos:

Vlim = 12 1± 1− 4αH( ) (17)

Para cada par (α ,H ), V tem de estar compreendido no intervalo Vliminf ,Vlim

sup( ) = 12(1−X ), 1

2(1+X )

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Esta função é pois quadrática, apresentando duas raízes, uma positiva e outra negativa. À medida que aumenta o valor de H temos como solução ½ mais um valor X, valor esse que é menor que ½ e que pode ser positivo ou negativo. Essas soluções têm o seguinte significado:

H = 0

HV

< 12

L2h

HV

= 12

L2h

L2h> HV

> 12

L2h

Figura 3.6 - Influencia de H na largura do leque de compressões



Observações:

• Se H < 12Vα

teremos a solução com raiz positiva e se aumentarmos V o cone de

compressões sai para fora da parede e terá que ser redirecionado utilizando uma armadura de reforço como será exemplificado no ponto 3.1.3.2;

• Se H > 12Vα

estamos perante a solução com raiz negativa, e o aumento de V não faz

com que o cone saia dos limites da parede, dispensando assim a introdução de armadura de reforço.

Partindo do caso supra apresentado, podemos tirar algumas conclusões:

• Se aumentar H, a distância a, até à face, reduz-se, o que, para V constante exige um reforço que impeça a resultante de sair dos limites;

• Se aumentarmos proporcionalmente H e V, a distância da resultante até ao bordo da parede mantém-se, o que também vai exigir reforço;

• Quando se chega ao estado limite ( Figura 3.3 – caso Vcd), não se pode aumentar apenas H; nem se pode aumentar proporcionalmente H e V; mas é possível aumentar-se apenas V, desde que não se exceda o valor de 1/2V/alfa – como podemos observar na Figura 3.7.

Figura 3.7 - Paredes resistentes sujeitas a esforço vertical e de corte – Casos limite sem reforço vertical



Na Figura 3.7 a) podemos ver o estado crítico atingido numa parede resistente pela aplicação de carregamento horizontal e vertical. Na Figura 3.7 b), para o mesmo esforço horizontal, foi aumentado o valor do esforço vertical e assim conseguiu-se que a resultante fosse redirecionada para o interior da parede.

3.1.3.2 Efeito da Armadura de Reforço Para compreender o efeito que um reforço vertical produz no direcionamento das cargas comecemos por observar um caso simples, de uma parede apenas sujeita a esforço de corte. O reforço vertical pode ser concentrado, Figura 3.8 a), ou distribuído, Figura 3.8 b).

Figura 3.8 - Paredes resistentes sujeitas apenas a esforço de corte e seus campos de tensão, a) reforço concentrado e b) reforço distribuído

Mesmo no caso em que é utilizado o reforço distribuído, em geral, é necessário um reforço horizontal no limite superior, para resistir às forças de corte (Muttoni et al., 1996). Isto deve-se ao facto de a componente horizontal do campo de tensões em leque não ser uniforme, contrariamente ao carregamento, decrescendo da esquerda para a direita.

Observemos agora um caso mais completo. A mesma superfície, mas desta vez com um carregamento distribuído, com componente vertical e horizontal – Figura 3.9.

Figura 3.9 - Efeito do reforço vertical na resultante de forças e campo de tensão



Podemos ver que a resultante das forças externas tem a sua projeção fora da base da parede, o que impede que possa ser resistido por uma solução apenas com betão não armado. A solução para este problema passa pela introdução de um reforço vertical para resistir a tensões de tração na extremidade traccionada da parede. Tendo este reforço, distribuído ou concentrado, apenas componente vertical, a sua resultante vai condicionar a resultante das forças internas de forma a que o objectivo pretendido seja conseguido, isto é, vai fazer com que a resultante das forças internas de compressão seja deslocada para dentro da superfície da parede, garantindo assim que a resistência de compressão do betão seja totalmente utilizada na zona do apoio, como descrito em 3.1.2, ver Figura 3.10.

Figura 3.10 – Esquema do efeito do reforço vertical nas resultantes de forças

Como vimos no ponto 3.1.3.1, a existência de um carregamento vertical pode compensar, parcial ou totalmente, o reforço vertical.

3.1.4 Parede Resistente com n Pisos Os princípios apresentados nos pontos 3.1.2 e 3.1.3, da presente dissertação, podem ser aplicadas no estudo de paredes resistentes com inúmeros pisos como será demonstrado seguidamente.

3.1.4.1 Modelo de Muttoni e coautores Na obra “Design of Concrete Structures with Stress Fields” (Muttoni et al., 1996) é apresentado um método para estabelecer o MET para uma parede resistente com vários pisos. Contudo os autores não entraram em grandes detalhes quanto aos critérios de desenvolvimento do modelo, sendo este apenas apresentado através da Figura 3.11.



Figura 3.11 - Parede resistente de vários pisos, forças resultantes e campos de tensões, adaptado de Muttoni et al. (1996)

Na Figura 3.11 a) podemos ver o desenvolvimento da “treliça”, sendo os troços a ponteado as escoras, sujeitas a esforços de compressão, e os troços a linha cheia os tirantes, sujeitos a esforços de tração. Na Figura 3.11 b) está representada a evolução das resultantes das forças, externas e internas (no aço e no betão), ao longo dos pisos, enquanto que na Figura 3.11 c) estão representados os campos de tensões resultantes.

A parede resistente está sujeita a um carregamento distribuído igual em todos os pisos, com componentes vertical e horizontal, como podemos ver na Figura 3.11 c). Este sistema de forças é traduzido pelas suas resultantes, aplicadas na secção de meio vão, em cada um dos pisos (Figura 3.11 b)). Podemos observar que até ao 4º piso a evolução da resultante de forças externas (até aqui igual à de forças internas) mantém-se dentro dos limites da parede, ao passo que no 5º piso a projeção dessa resultante deixa de estar dentro da base da parede. É neste momento necessário introduzir o reforço vertical, cuja resultante se pode ver a partir do 4º piso, reforço esse que vai influenciar a resultante das forças internas e assim redirecioná-la para a zona pretendida.



Nos próximos subcapítulos será estudado este modelo, de forma mais aprofundada, com vista à compreensão de todos os critérios inerentes à sua evolução, para que no subcapítulo 3.2 seja possível o seu desenvolvimento (Providência, 2014).

3.1.4.2 Evolução da Excentricidade Como se viu na Figura 3.11 b), a resultante das forças exteriores afasta-se cada vez mais do eixo da peça à mediana que vamos descendo o edifício. Vamos então fazer o estudo dessa evolução para que seja possível a sua quantificação.

Consideremos a seguinte parede, com os seus pisos numerados, a sua numeração é feita de cima para baixo, porque é neste sentido que se desenvolve o modelo. Cada piso tem uma altura h e cada um deles está sujeito a um carregamento com componente vertical, V, e horizontal, H, aplicadas a meio da distância L , como podemos ver na Figura 3.12.

Figura 3.12 – Carregamento aplicado ao longo dos pisos da parede

Vejamos agora as forças existentes na face superior de cada um dos pisos - Figura 3.13.

Figura 3.13 – Forças existentes na face superior de cada um dos pisos



No primeiro piso, apenas existem as duas forças iniciais. Avançando para os pisos seguintes concluímos que, para além das forças nH e nV (sendo n o número do piso em questão), temos ainda um momento provocado pelo produto entre a componente horizontal da força e a altura h de cada um dos pisos. Observando esta evolução é possível estabelecer, de forma genérica, as forças atuantes num determinado piso n - Figura 3.14.

Figura 3.14 – Forças atuantes num piso n - genericamente

A excentricidade das forças externas vai aumentando, embora a inclinação da sua resultante seja constante, porque a relação entre as forças verticais e horizontais é mantida ao longo dos vários pisos.

Para um piso genérico n a excentricidade tem a seguinte variação - Figura 3.15.

Figura 3.15 – Excentricidade no topo e na base de um piso n

Contudo, na base de cada piso existe um recuo, ou seja, a excentricidade é descontínua nas lajes, andando “um passo para a frente” no piso e “meio passo para trás” na laje, como é possível ver na Figura 3.11 b). Este recuo tem o seguinte valor:

12HVh (18)



3.1.4.3 Introdução do Reforço e o seu Efeito Analisemos o caso da Figura 3.16, onde podemos ver um determinado piso no qual a resultante das forças, F, vinda dos pisos superiores, tem a sua projeção fora da superfície da parede.

Figura 3.16 – Estudo do efeito de um reforço vertical - 1

A força F tem duas componentes, horizontal e vertical, mas, para este raciocínio, consideraremos apenas a sua componente vertical pois é esta que será a condicionante. Considerando apenas a componente vertical da força, Fv, esta tem que ser redirecionada para “dentro” da parede, de forma a que a condição estipulada pela expressão 10 seja garantida. Como vimos em 3.1.3.2 a maneira de conseguirmos este efeito passa pela introdução de um reforço vertical. Vamos agora estudar, mais detalhadamente, o que acontece com a introdução desse reforço.

Figura 3.17 – Estudo do efeito de um reforço vertical - 2



Ao passar Fv de “fora” para “dentro” dos limites da parede, estamos a criar um momento com um valor igual ao produto entre a força Fv e o braço correspondente à distância entre a localização inicial da resultante e o local onde pretendemos que esta passe a atuar, este momento tem um sentido anti-horário. Temos então de, para equilibrar a estrutura e garantir que esta situação seja estaticamente equivalente à inicial, criar um momento M, de sentido contrário (sentido horário), de igual valor ao descrito anteriormente, como podemos ver na Figura 3.17 a). Porém, como o objectivo é estabelecer um modelo de treliça, e sendo tal modelo rotulado na intersecção de todas as barras, e impedindo essas rótulas a transmissão de momentos flectores (Negrão, 2006), torna-se necessário criar este momento através de um binário definido por uma força T, aplicada junto à face esquerda da parede, com sentido contrário ao da componente Fv do carregamento e uma outra igual e de sentido oposto, no ponto onde se considera a resultante no betão, de maneira a que o momento que esta provoca tenha o sentido horário, como pretendido. A Figura 3.17 b) representa a introdução destas forças T. Este par de forças T irá garantir o equilíbrio de forças e assim assegurar que esta situação é estaticamente equivalente a cada uma das outras apresentadas nas Figuras 3.16 e 3.17 a).

Observemos agora os pormenores das zonas de compressão, representados na Figura 3.17 a) e b). Na Figura 3.17 a) temos o caso já apresentado anteriormente, onde a componente Fv tem que estar localizada a uma distância, igual ou superior a a, do limite da parede, de maneira a que a resistência última de compressão do betão não seja atingida. Neste momento, é feita uma primeira aproximação desta distância a, no entanto este valor pode ter que ser corrigido. Na Figura 3.17 b) podemos ver que o betão, na zona do apoio, tem agora que resistir não apenas à componente vertical Fv mas também à força T, que no lado direito da parede se traduz num esforço de compressão no betão. Este facto obriga-nos a fazer, se necessário, uma correção ao valor inicial a obtendo-se o valor de a’, que é, obviamente, superior ao valor inicial.

Foi demonstrada, nesta secção, a forma matemática de calcular o valor da força T, necessária para desviar a resultante de forças para o local pretendido. O mesmo valor pode ser conseguido geometricamente, como se pode ver na Figura 3.18. Este é o mesmo raciocínio apresentado por (Muttoni et al., 1996) com a Figura 3.9, anteriormente mostrada.

Figura 3.18 – Forma geométrica de determinar T



É necessário compreender que tanto a distância b, que representa o quanto é necessário “puxar” a resultante, como c, que é a distância compreendida entre a posição final da resultante e o local onde é colocado o reforço vertical, são medidos no piso n, que é o piso em estudo, mas que o valor que tem que ser garantido de a é medido na projeção das resultantes no piso adjacente, n+1.

3.2 Desenvolvimento do Modelo O objectivo de uma treliça, mesmo em casos mais complexos como o do presente modelo de uma parede resistente com vários pisos, é sempre o de transferir as forças exteriores, desde o ponto de aplicação até ao local de descarga, o apoio. O desenho de uma treliça é um processo iterativo, pois a largura das escoras de betão e a dimensão das zonas nodais dependem dos esforços calculados para cada uma das barras, seja escora ou tirante. Como tal, a projeção inicial pode ter de ser alterada aquando das verificações finais (Ramirez, 2014).

O presente modelo desenvolve-se em duas fases distintas, cada uma delas com diferentes critérios no que toca à distribuição das forças e esquema de treliça. A primeira contempla o seu desenvolvimento antes de ser necessária a introdução de um reforço vertical, ou seja, a resultante global das forças ainda se encontra dentro dos limites pretendidos da parede. A segunda fase é a fase após a introdução desse reforço vertical. Para uma melhor compreensão destas duas fases e das suas características, estas serão estudadas separadamente nas secções que se seguem.

3.2.1 Evolução – antes do reforço

3.2.1.1 Direção das escoras A determinação da inclinação a dar a cada uma das escoras assenta num princípio bastante simples. Consideremos a seguinte Figura 3.19 onde podemos ver duas barras sujeitas ao mesmo tipo de carregamento no topo, e com os mesmos apoios, apoio simples no topo e duplo na base.

Figura 3.19 – Barras simplesmente apoiadas sujeitas a par de forças H e V

No caso da Figura 3.19 a) a barra tem uma inclinação exatamente igual à da resultante das forças nela aplicadas, isto faz com que a totalidade dos esforços seja absorvida pelo apoio duplo na base, sendo a reação do apoio simples do topo nula. No caso da Figura 3.19 b) a



barra tem uma inclinação diferente da resultante de forças e podemos ver que isto vai provocar uma reação no apoio superior.

Neste modelo iremos sempre fazer a transferência total das cargas de um ponto para outro no piso adjacente, como tal iremos calcular a inclinação das escoras com base na resultante de forças existente no ponto de origem, como no exemplo da Figura 3.19 a).

3.2.1.2 Concepção da treliça e distribuição das forças em cada piso

Figura 3.20 – Fase pré-reforço, adaptado de Muttoni et al. (1996)

A Figura 3.20 mostra parte da Figura 3.11 a) e b), anteriormente apresentada, onde podemos ver a evolução do modelo de treliça antes da introdução do reforço vertical. Atendendo à numeração dos pisos e à identificação alfabética dos nós, podemos fazer as seguintes observações:

• Piso 0: A totalidade das forças é aplicada num único ponto, o nó A, que se encontra no centro geométrico do piso. A resultante destas forças define, como foi visto em 3.2.1.1, a direção da escora. A projeção desta resultante irá ainda definir outro dado importante, a posição do ponto mais à direita onde, no piso inferior (1º piso), será aplicada parte das cargas desse mesmo piso, ou seja, o nó C;

• 1º Piso: A posição do ponto da direita, nó C, já é conhecida. Sendo a a distância entre esse ponto e o bordo livre da laje do lado direito, como na figura; a força vertical a aplicar nesse ponto é proporcional a 2a e a carga a aplicar no ponto do lado esquerdo é proporcional a L − 2a , sendo L a largura de cada um dos pisos. O ponto da esquerda,

nó B, fica a uma distância de L − 2a2

do bordo esquerdo. Podemos ver na Figura 3.21

a largura de influência de cada um dos pontos;



Figura 3.21 – Larguras de influência que permitem determinar a posição do novo ponto

• 2º Piso: As posições dos nós E e F são determinadas pelas resultantes vindas dos nós B e C, respectivamente. De notar que, ao contrário da resultante vinda do nó B, a resultante do nó C corresponde ao somatório das forças aplicadas no próprio ponto C com as aplicadas no ponto A. Isto deve-se ao princípio exposto em 3.2.1.1. Para determinar a posição do novo ponto da esquerda (ponto D) deverá ser calculada a excentricidade decorrente das resultantes vindas de B e C e repetir o processo explicado no ponto anterior. A distribuição das forças verticais do 2º piso deverá ser calculada com base nas larguras de influência dos 3 pontos.

Figura 3.22 - Larguras de influência que permitem determinar a posição do novo ponto – junção

Na Figura 3.22 podemos ver, a tracejado preto, as resultantes vindas dos dois nós do piso superior e, a tracejado vermelho, a resultante conjunta dessas duas resultantes. A resultante conjunta apenas servirá para a determinação do nó mais à esquerda, tal como anteriormente feito. A posição dos dois pontos mais à direita é determinada diretamente pelas resultantes a tracejado preto.

O processo descrito para o 2º piso deverá ser repetido para os restantes pisos, até que seja necessária a introdução do reforço vertical.



De notar que em todos os pisos é adicionado um novo ponto, do lado esquerdo, e que sempre que existem dois pontos, ou mais (mesmo que tal não suceda neste exemplo), na metade direita da parede as resultantes desses pontos são juntas numa só, originando assim um único ponto no piso inferior. Na Figura 3.11 a) estas junções são representadas por chavetas. O novo ponto adicionado na metade esquerda, em cada um dos pisos, é de extrema importância. A sua função primordial é a de estabelecer o equilíbrio em relação aos pontos da metade do lado direito, para que assim a condição necessária de equilíbrio em cada piso seja conseguida, ou seja, para que a resultante das forças verticais em cada piso esteja aplicada no centro geométrico do piso. Este novo ponto permite ainda controlar outro aspecto, mas para o compreender temos de, primeiro, compreender o efeito das componentes horizontais do esforço, até aqui não mencionadas, na definição dos pontos dos pisos adjacentes.

Para isso vamos considerar o seguinte exemplo, onde temos duas forças distintas, A e B, cada uma delas com componentes horizontal e vertical – ver Figura 3.23.

Figura 3.23 – Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B - 1

Vamos calcular a resultante das duas forças e observar o efeito que cada componente tem nessa resultante.

Figura 3.24 - Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B - 2

Como podemos ver na Figura 3.24 as componentes verticais das duas forças, Va e Vb, definem a posição da resultante das duas forças, ou seja, o ponto de “partida” para a projeção da nova força. Falta definir a inclinação desta nova força e isso é determinado pelas componentes horizontais de A e B como é visível na Figura 3.25.



Figura 3.25 Efeito das componentes horizontal e vertical na resultante da soma de duas forças A e B – 3

Na definição da treliça temos de “jogar” com as cargas verticais, definidas pelas áreas de influência de cada ponto, e com as cargas horizontais, de maneira a que as projeções dos novos pontos, nos pisos adjacentes, não saiam para fora da parede, e é esta a outra função importante do “novo ponto” em cada um dos pisos. Permite controlar a carga horizontal existente nos nós mais à direita, e assim controlar a sua resultante. Se observarmos o modelo de (Muttoni et al., 1996) vemos que, a partir de certa altura, os pontos mais à direita deixam de receber cargas horizontais, isto prende-se com o facto, acima enunciado, de ao reduzir-se a componente horizontal de uma resultante, faz-se com que esta seja mais vertical e assim a projeção dos novos pontos seja feita dentro dos limites da parede.

A distribuição das forças horizontais pelos vários pontos de cada piso pode ser feita de modo totalmente arbitrário desde que sejam colocados tirantes horizontais, em cada piso que a possibilitem.

3.2.2 Evolução – após reforço Será neste subcapítulo analisada a segunda fase de evolução do MET, esta é a fase após a introdução do reforço vertical, ou seja, após o momento em que a resultante de forças sai fora dos limites pretendidos da parede. Podemos ver na Figura 3.26, a segunda metade da Figura 3.11 a) e b), anteriormente apresentada.

Figura 3.26 – Fase após-reforço, adaptado de Muttoni et al. (1996)



Ao observar esta figura podemos fazer algumas observações:

• A partir da introdução do reforço, e tal como foi já explanado, a resultante das forças internas (RFI) e a resultante das forças externas (RFE) deixam de coincidir, e à medida que a RFE continua a sua evolução, cada vez com uma excentricidade maior, a RFI tem uma evolução contrária, deslocando-se gradualmente para o lado esquerdo. Isto deve-se ao valor de alim, necessário para garantir que a resistência máxima de compressão do betão não seja atingida, que aumenta gradualmente à medida que o valor das forças transmitidas para aquela zona vai aumentando, proporcionalmente ao número de pisos;

• O valor das forças verticais de reforço, necessárias para redirecionar as resultante de forças para o local pretendido, também vai aumentando gradualmente, à medida que o desvio necessário é também ele maior.

3.2.2.1 Distribuição das forças em cada piso Ao contrário do que sucedia na primeira fase do modelo, fase pré-reforço, vemos que o modelo de treliça segue um padrão constante. Ainda observando a Figura 3.26 vamos continuar a análise piso a piso:

• 4º Piso: Este é o primeiro piso onde é necessário aplicar o reforço vertical porque a projeção da RFE no 5º piso sai para fora dos limites pretendidos. O nó mais à esquerda, nó J, é um nó que será fixo deste piso em diante, é este o nó onde será aplicada a força de reforço vertical, por meio de um tirante vertical que seguirá a mesma posição, verticalmente, até ao apoio da base. Temos mais 3 nós, os dois da direita, L e M, que provêm da projeção das resultantes do somatório de forças vindas do piso superior, e ainda um nó que parece estar a uma meia distância entre o nó da esquerda, nó J, e o nó L. A distribuição dos esforços verticais neste piso é ainda feita tenda em conta a largura de influência de cada um dos pisos. Repare-se que o ponto M, mais à direita não tem componente horizontal de esforço associado, pelas razões já enunciadas em 3.2.1.2;

• 5º Piso e adjacentes: A partir deste momento o modelo segue um padrão constante, representado na Figura 3.27. Repare-se que, de agora em diante, a totalidade das cargas verticais de cada piso é aplicada no nó N enquanto que a componente horizontal das cargas é apenas dividida entre o nó da esquerda (reforço) e o nó A. Em cada piso passam a existir sempre 3 escoras que são todas elas direcionadas para a mesma zona, para os nós D1,D2 e D3, daqui em diante denominados como pontos de descarga, pontos esses que serão analisados mais profundamente nos subcapítulos 3.2.2.2 e 4.2.4.2.

Figura 3.27 – Padrão do MET – fase após reforço



3.2.2.2 Evolução dos pontos de descarga Vimos no ponto anterior, que nesta nova fase de evolução do MET, este segue um padrão constante para todos os pisos a partir do momento em que é introduzido o reforço vertical – Figura 3.27. Vimos também que em cada piso passam a existir sempre 3 escoras, uma inicia-se no nó onde existe o reforço vertical, outra inicia-se no nó central, onde é aplicada a totalidade das cargas verticais do piso em questão, e última é a resultante de todos os nós que se encontram junto à face direita da parede. Cada uma destas escoras vai para os supracitados pontos de descarga. Respectivamente os pontos D1,D2 e D3. De cada conjunto de 3 pontos de descarga de um determinado piso vai sair uma resultante que, por sua vez, irá descarregar no ponto D3 do piso adjacente, e assim sucessivamente.

As posições destes 3 pontos de descarga vão, como podemos ver na Figura 3.11 a), deslocando-se gradualmente para a esquerda. Este facto deve-se ao aumento dos esforços em cada uma das escoras, ao longo dos pisos, e consequentemente a distância alim, definida em 3.1.2, vai aumentando para cada uma das escoras.

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Jorge Prata Vieira

35

4 ANÁLISE E RESULTADOS

4.1 Introdução Estudado o modelo esquematizado na obra Muttoni et al. (1996),a sua aplicação a um caso prático permitirá estudar a sua viabilidade e dos critérios a ele inerentes.

A evolução e a compreensão dos critérios aqui apresentados resulta de um trabalho de experimentação, erro e aperfeiçoamento, do modelo de treliça idealizado na obra supracitada. Uma vez que os seus autores não apresentam praticamente nenhuma elucidação relativamente aos critérios de posicionamento dos nós nem quanto à distribuição de cargas, os mesmos foram definidos após a realização de várias experiências com vista ao conhecimento do efeito que cada um desses factores produziria na estrutura.

Este capítulo irá dividir-se em duas partes. A primeira parte, consistirá na definição do modelo, isto é, na definição dos critérios quanto ao posicionamento dos pontos da treliça bem como à distribuição de cargas em cada um deles. A segunda parte, passará pela análise dos resultados dos esforços da estrutura, determinados com o auxilio do programa Robot Structural Analysis, da Autodesk, e a sua comparação com os valores esperados teoricamente, bem como a verificação de segurança dos nós mais condicionantes da estrutura e, por fim uma apresentação da armação necessária para esta parede resistente.

4.2 Definição do Modelo

4.2.1 Dimensões e esquema de cargas de cada piso Primeiro que tudo é necessário definir as dimensões bem como o esquema de cargas a aplicar a cada um dos pisos da estrutura. A Figura 4.1 mostra o esquema do piso tipo da parede resistente em estudo. Cada piso terá 3m de altura e 7 de largura. Ao nível de cada uma das lajes será aplicada uma carga distribuída com componentes vertical e horizontal, respectivamente de, 14,286kN/m e 5,714 kN/m, que se podem traduzir nas suas resultantes, aplicadas na secção de meio vão, com os valores de: V=100kN e H=40kN, respectivamente.

Figura 4.1 –Esquema de cargas a aplicar a cada piso e suas dimensões

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes 4 ANÁLISE E RESULTADOS


Podemos ver na Figura 4.1 que o par de forças aplicado na secção do meio da parede produz uma resultante de forças com uma excentricidade inicial de 1,2m, projetada no piso inferior.

4.2.2 Previsão da evolução da excentricidade e consequente necessidade de reforço

Aplicando os conceitos abordados em 3.1.4.2 sobre a evolução da excentricidade podemos fazer uma previsão da mesma, provocada por este esquema de carregamento, aplicado em cada piso, numa parede resistente com n pisos.

Através da expressão da Figura 3.15 podemos ver que este par de forças, aplicado na secção do meio da parede, produz uma excentricidade inicial de 1,2m, projetada no piso inferior, com a expressão 18 podemos calcular o seu recuo na laje, que neste caso é de 0,6m.

O Quadro 4.1 – mostra, com base na evolução da excentricidade, a partir de quando será necessária a introdução do reforço vertical.

Quadro 4.1 – Evolução da excentricidade e necessidade de reforço

#Piso e (topo) [m] e (base) [m] a existente [m] Σ Fv[KN] alim [m] Reforço? 0 100 Não 1 0 1,2 2,3 200 0,015 Não 2 0,6 1,8 1,7 300 0,030 Não 3 1,2 2,4 1,1 400 0,045 Não 4 1,8 3 0,5 500 0,060 Sim 5 2,4 3,6 -‐0,1 600 0,075 Sim 6 3 4,2 -‐0,7 700 0,090 Sim 7 3,6 4,8 -‐1,3 800 0,105 Sim 8 4,2 5,4 -‐1,9 900 0,120 Sim 9 4,8 6 -‐2,5 1000 0,135 Sim 10 5,4 6,6 -‐3,1 1100 0,150 Sim 11 6 7,2 -‐3,7 1200 0,165 Sim 12 6,6 7,8 -‐4,3 1300 0,180 Sim 13 7,2 8,4 -‐4,9 1400 0,195 Sim 14 7,8 9 -‐5,5 1500 0,210 Sim 15 8,4 9,6 -‐6,1 0,225 Sim

Os valores da excentricidade são apresentados com o seu valor medido, a partir da secção do meio da parede, no topo e na base de cada piso. O valor de aexistente refere-se à distância entre a projeção da resultante de forças externas e o extremo direito da parede, sendo que, quando esse valor é negativo, isso significa que essa resultante é projetada para lá do limite direito da parede. É ainda apresentado o valor de alim, que é calculado com base no somatório de cargas



verticais até determinado piso, através da expressão 10. É assim possível determinar, a partir de que piso é necessária a introdução do reforço, o que no caso do modelo em estudo é no piso nº4. Na Figura 4.2 podemos, observar a evolução da RFE ao longo dos pisos.

Figura 4.2 – Evolução da excentricidade da RFE

4.2.3 Fase Pré-Reforço Daqui para a frente será feita referência aos pisos com base na numeração já atribuída anteriormente, ver Figura 3.11, sendo também utilizada a atribuição alfabética dos nós para facilitar a sua referência. Para a determinação da posição dos nós nos pisos adjacentes, através das projeções das resultantes do piso superior, será utilizada uma folha de cálculo, desenvolvida para o efeito, que distingue duas situações. A primeira, contempla uma resultante simples, com a sua projeção baseada num único par de forças (H e V). A segunda situação, trata da resultante de uma junção de dois pares de forças (H e V), que no modelo de Muttoni et al. (1996) são representadas por chavetas, ver Figura 3.11 a),. Na criação destas duas folhas de cálculo foram aplicados os conceitos apresentados na secção 3.2.1.2 – ver Figuras 3.23 e 3.25.

4.2.3.1 Piso 0 Vamos então iniciar a determinação dos pontos da treliça a dimensionar para o caso desta parede resistente. O primeiro piso contempla o caso mais simples de todos. Na secção do meio da parede é aplicado um par de forças que projeta a sua resultante no 1º piso. O Quadro 4.2 mostra a resultante simples proveniente do carregamento do nó A.



Quadro 4.2 – Resultante simples – Nó A

Nó: A Resultante do tipo: Simples

Piso 0 Abcissa -‐ Nó A 3,500 m

Cargas V [kN] 100,000

θ [º] 21,80 H [kN] 40,000

Piso 1 Abcissa da projeção 4,700 m

4.2.3.2 1ºPiso Foi definida, no ponto anterior, a posição do ponto mais à direita do 1º piso, cuja abcissa, medida a partir do extremo esquerdo da parede é de 4,7m. Sabendo isto e aplicando a expressão da Figura 3.21 apresentada em 3.2.1.2 para a determinação do ponto do lado esquerdo, podemos determinar a sua posição:

L − 2a2

= 7− 2 × 2,32

=1,2

Temos então dois pontos no 1º piso, ponto B e C, com as abcissas de 1,2 e 4,7, respectivamente, sendo o ponto B o ponto “solto” e o nó C o que irá suportar as cargas provenientes do nó A. É agora necessário determinar a distribuição de forças verticais entre os dois nós, e como foi visto em 3.2.1.2, esta distribuição é feita pela largura de influência de cada um dos nós. Para resolver este problema foi utilizado um programa de cálculo de estruturas simples (2D) chamado “Ftool – Two Dimensional Frame Analysis Tool”. O piso foi tratado como sendo uma viga simplesmente apoiada, em que os apoios coincidem com a posição dos nós B e C. Os resultados para o 1º piso são apresentados na Figura 4.3.

Figura 4.3 – Distribuição das forças verticais no 1º Piso



Podemos ver então que será distribuída uma força vertical de 34,3kN no nó B e de 65,7kN no nó C, que perfazem, de forma estaticamente equivalente, os 100kN de força vertical aplicada em cada um dos pisos.

Relativamente à carga horizontal total de 40kN atribui-se 30kN ao nó B e 10kN ao nó C, atribuindo assim uma menor componente horizontal ao ponto do lado direito, pelas razões apresentadas em 3.2.1.2.

Estabelecida a distribuição dos esforços pelos dois nós é agora necessário determinar a direção das escoras que irão transportar as cargas até ao 2º piso e a consequente definição dos nós nesse piso. É preciso relembrar que, como enunciado em 3.2.1.1, a direção das escoras é definida pelas cargas a atuar em cada nó e, como as forças aplicadas em A foram totalmente transferidas para C, é agora necessário, para definir a escora que parte de C em direção ao 2º piso, fazer o somatório de forças aplicadas nos dois nós (forças aplicadas em A mais forças aplicadas em C).

Para um melhor acompanhamento da distribuição de cargas em cada piso é apresentado no Anexo C uma representação dessa mesma distribuição. Na Figura C-1 a) podemos ver a distribuição das cargas de cada piso pelos nós do mesmo e na Figura C-1 b) encontra-se a distribuição de cargas em cada nó, considerando o somatório das mesmas devido à transferência total de cargas de nós, de um piso para o outro.

Os Quadros 4.3 e 4.4, analogamente ao que foi feito no piso 0 para o nó A, mostram as resultantes simples provenientes dos nós B e C que irão definir dois nós (E e F) no 2º piso.

Quadro 4.3 – Resultante simples – Nó B

Nó:B Resultante do tipo: Simples

Piso 1 Abcissa -‐ Nó B 1,200 m


θ [º] 41,19 H [kN] 30,000




Quadro 4.4 - Resultante simples – Nó C

Nó:C Resultante do tipo: Simples

Piso 1 Abcissa -‐ Nó C 4,700 m


θ [º] 16,79 H [kN] 50,000


Podemos então observar que as abcissas dos novos pontos no 2º piso serão para E e F, respectivamente, 3,825m e 5,605m.

4.2.3.3 2º Piso Primeiro, é necessário determinar a abcissa do ponto independente, do lado esquerdo, neste novo piso. Para isso é preciso, como abordado em 3.2.1.2 – 2º piso, calcular a excentricidade resultante das forças vindas de B e C e repetir o processo já explanado. A resultante das forças vindas de B e C tem a sua projeção no 2º piso num ponto cuja abcissa é 5,3m. Sabendo isto, e aplicando a expressão da Figura 3.21, podemos determinar a abcissa do ponto D que será de 1,8m. Estão então definidas as posições dos três nós do 2º piso, D - 1,800m; E - 3,825m e F - 5,608m. Vamos agora, determinar a distribuição de forças verticais em cada um dos nós.

Figura 4.4 - Distribuição das forças verticais no 2º Piso

Concluímos então que, dos 100kN de força vertical do 2º piso, estes serão distribuídos da seguinte forma: nó D (53kN); nó E (4,9kN) e nó F (42,1kN). No que toca à componente horizontal optei por aplicá-la na totalidade no nó D, pelas razões já enunciadas.

Vamos agora determinar a resultante de esforços que irá definir a inclinação das escoras que transmitirão as cargas para o 3º piso e, consequentemente, a posição dos nós no novo piso. Pela primeira vez temos dois nós, E e F, cujas posições se encontram na metade direita da parede e, como visto em 3.2.1.2, as resultantes vindas destes dois nós serão combinadas,



resultando assim num único nó no 3º piso, o nó I. Os Quadros 4.5 e 4.6 mostram a definição dos novos nós, H e I, resultantes das projeções de forças vindas de D e da combinação de E e F, respectivamente. Mais uma vez é importante relembrar que as cargas consideradas no nó F incluem o somatório com as vindas de A e C; e as consideradas no nó E incluem as cargas provenientes do nó B, consultar Anexo C.

Quadro 4.5 - Resultante simples – Nó D

Nó:D Resultante do tipo: Simples

Piso 2 Abcissa -‐ Nó D 1,800 m


θ [º] 37,03 H [kN] 40,000


Quadro 4.6 - Resultante do tipo junção – Nó E + F

Nós: E+F Resultante do tipo: Junção

Piso

V [kN] H [kN] Abcissa do nó [m] 2 E 39,203 30 3,826 F 207,774 50 5,605 d 1,78

V [KN] H [KN] X [m] K R 246,977 80 5,323 1,189

d 1 1,497 m θ [º] 17,95 2 0,282 m

Piso 3 Abcissa da projecção 6,295 m

Nota: A folha de cálculo para uma resultante do tipo junção é baseada nos fundamentos explanados em 3.2.1.2, ver Figuras 3.23, 3.24 e 3.25.

Temos então as abcissas dos pontos do piso nº3, H (4,06m) e I (6,295m).



4.2.3.4 3º Piso Repetimos os mesmos processos, anteriormente descritos, para a definição do novo nó solto, o nó G, que neste caso irá ter uma abcissa de 2,03m. E com os 3 nós definidos vamos passar à distribuição das cargas verticais pelos mesmos.


Temos então a seguinte distribuição de cargas verticais: nó G (57,9kN); nó H (13,6kN) e nó I (27,6kN). Relativamente às cargas horizontais estas foram totalmente aplicadas no nó mais a esquerda, o nó G.

Podemos agora definir a inclinação das novas escoras e o consequente posicionamento dos dois nós mais à direita do 4º piso, os nós L e M.

Quadro 4.7 - Resultante simples – Nó G

Nó:G Resultante do tipo: Simples

Piso 3 Abcissa -‐ Nó G 2,030 m


θ [º] 34,65 H [kN] 40,000




Quadro 4.8 - Resultante do tipo junção – Nó H + I

Nós: H+I Resultante do tipo: Junção

Piso

V [kN] H [kN] Abcissa do nó [m] 3 H 67,626 40 4,06 I 274,493 80 6,29 d 2,23

V [kN] H [kN] X [m] K R 342,119 120 5,853 1,246

d 1 1,793 m θ [º] 19,33 2 0,442 m


As abcissas dos novos nós são para L e M, respectivamente, 4,106m e 6,905m.

4.2.4 Fase pós-reforço

4.2.4.1 4º Piso Foi previsto, no Quadro 4.1 que o 4º piso seria o primeiro a requerer a introdução de um reforço vertical pois a resultante das forças externas deste piso, projetada no 5º piso, sai fora dos limites admissíveis, ou, como se pode ver na tabela, alim < aexistente. O 4º piso será então o último em que o carregamento vertical é distribuído por diversos pontos, a partir daí, como foi visto em 3.2.2, o carregamento vertical passará a ser aplicado na totalidade num único ponto.

Neste piso, para além dos nós já conhecidos, L e M, e do nó K cuja abcissa (2,7m) é determinada da mesma maneira que até aqui, temos o nó J, de abcissa 0,2m, que representa o local onde é feito o reforço vertical, posição essa que será constante para todos os pisos daqui em diante. Optou-se pois por colocar a armadura de modo concentrado. A opção distribuída requeria um valor bem maior para esta abcissa, e seria mais interessante do ponto de vista prático. A Figura 4.6 a distribuição de forças verticais por estes 4 nós.




Temos então a seguinte distribuição de forças verticais: J (16,6kN), K (43,1kN), L (25,8kN) e M (14,5kN). Relativamente aos esforços horizontais optei por distribui-los igualmente pelos pontos J, K e L, 13,33kN, aplicados horizontalmente nos 3 nós. De qualquer modo, como se explicou, a distribuição das forças horizontais é totalmente irrelevante em virtude da presença dos tirantes horizontais.

4.2.4.2 Definição dos pontos de descarga Em 3.2.2.1 foi feita referência aos então denominados pontos de descarga. Este conjunto de pontos é constituído pelo grupo de 3 pontos, existente em todos os pisos a partir da introdução do reforço, junto à extremidade direita dos mesmos. Observemos a Figura 4.7:

Figura 4.7 – Trajetória de cargas a descarregar nos pontos de descarga



É fácil constatar que o ponto de descarga mais à direita, o ponto D3, de um determinado piso n, recebe toda a carga proveniente do piso n-2. Assim sendo, e utilizando o mesmo conceito apresentado em 3.1.2, e com base na expressão 19 determinaremos a largura 2δD3, necessária para a descarga da carga proveniente dos pisos superiores (excepto a do imediatamente superior). Não esquecer que temos que considerar não só os vários carregamentos verticais ao longo dos pisos mas também, como demonstrado em 3.1.4.3, a atuação do par da força T (do reforço) atuante no piso em questão. Assim sendo δD3 , para um determinado piso n, pode ser calculado com base na seguinte expressão:

δD3h =

FV(n−2)∑

2tfcd+ T (n)

2tfcd (19)

O ponto de descarga D2 é o ponto de descarga do esforço proveniente do nó onde, no piso anterior, é aplicada a totalidade da carga vertical de cada piso, na situação pós-reforço. O valor de δD2 é então estimado, tendo em conta a carga vertical aplicada em cada um dos pisos, que neste caso é 100kN, através de:

δD2h = FV

n

2tfcd= 1002tfcd

(20)

Por fim, o ponto de descarga D2, é o ponto mais difícil de determinar pois depende da componente vertical do esforço transmitido pela escora que parte do canto superior esquerdo de cada piso. Como tal foi fixado um valor de 0,1m para δD2, cuja admissibilidade tem de ser verificada no final da análise.

É preciso relembrar que, tal como foi referido em 3.2, o desenho de uma treliça é um processo iterativo, e a posição dos nós pode ter que ser alterada, após o cálculo dos esforços na estrutura, aquando da verificação do espaço requerido por cada um.

4.2.4.3 Estimativa da força T do reforço Como vimos, para a definição da posição do ponto de descarga D3 é necessário termos uma previsão da força T a atuar em cada piso. Em 3.1.4.3, foram apresentadas fórmulas de cálculo para o valor de T, tanto matemática, como geometricamente, mas, para o cálculo matemático, é requerido o conhecimento prévio das medidas b e c, que são o desvio horizontal necessário efetuar na resultante e a distância entre o reforço e a nova posição da resultante, respectivamente.

A Figura 4.8 representa dois pisos. O piso n onde irá ser aplicado um reforço T, a uma distância dref do extremo esquerdo da parede, e o piso n+1 onde é projetada a RFE, vinda do piso n. O valor de aexistente é já conhecido, ver Quadro 4.1, porém é agora necessário escolher um valor de aprovidenciado que é definido tendo por base o valor de alim já anteriormente calculado para cada um dos pisos em 4.2.2 e também apresentado no Quadro 4.1. O valor de aprovidenciado irá definir a posição em que pretendemos fixar a RFI. Para o cálculo do valor das medidas b e c será utilizado o conceito de semelhança de triângulos. Os triângulos em questão estão também representados na Figura 4.8.



Figura 4.8 – Relações geométricas para a determinação de a e b

Em primeiro lugar é necessário calcular o valor das distâncias X e Z:

Z = aprov. + aexist. (21)

X = L − dRe f + aexist. (22)



Para determinar o valor do ângulo α vamos utilizar o triângulo representado a cor azul. A distância Xα é igual à projeção horizontal da RFE que, tal como já foi visto, é 1,2m para o presente problema. Temos então:

α = tan−1( hXα

) (23)

Podemos agora calcular o valor de Y:

Y = X tanα (24)

O valor do ângulo β é dado por:

β = tan−1 YX − Z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (25)

Hβ, a hipotenusa do triângulo representado a verde, é dado por:

Hβ =hsinβ

(26)

Sabendo β e Hβ podemos agora calcular Xβ:

Xβ = cosβ × Hβ (27)

Podemos agora definir bdir e besq e com eles determinar a distância b:

bdir = aexist. − Xα

besq = aprov. − Xβ

(28)

b = bdir − besq (29)

Por fim, o valor da distância c é dada por:

c = L − dref − besq (30)

Seguem-se os Quadros 4.9 e 4.10 que resumem os cálculos efectuados para a determinação do valor de T a aplicar em cada um dos pisos. O Quadro 4.9 apresenta o cálculo dos dados geométricos necessários e o Quadro 4.10 mostra os resultados finais de T para cada um dos pisos.



Quadro 4.9 – Dados geométricos

#Piso Z [m] X [m] Y [m] β [º] Hβ [m] Xβ [m] besq [m] bdir [m] (piso n+1) (piso n+1) (piso n) (piso n)

0 1 2 3 4 0,200 6,900 17,250 68,774 3,218 1,165 1,265 1,100 5 0,820 7,500 18,750 70,391 3,185 1,069 1,189 0,500 6 1,440 8,100 20,250 71,795 3,158 0,987 1,127 0,100 7 2,060 8,700 21,750 73,023 3,137 0,916 1,076 0,700 8 2,700 9,300 23,250 74,152 3,119 0,852 1,052 1,300 9 3,340 9,900 24,750 75,155 3,104 0,795 1,035 1,900

10 3,980 10,500 26,250 76,051 3,091 0,745 1,025 2,500 11 4,620 11,100 27,750 76,856 3,081 0,701 1,021 3,100 12 5,260 11,700 29,250 77,583 3,072 0,661 1,021 3,700 13 5,920 12,300 30,750 78,279 3,064 0,622 1,042 4,300 14 6,560 12,900 32,250 78,878 3,057 0,590 1,050 4,900 15

Quadro 4.10 – Estimativa do valor de T e verificações

#Piso a prov [m] Verifica? b [m] c [m] T [KN] F+T [KN] a'lim [m] Verifica? 0 Verifica 1 2,30 Verifica 2 1,70 Verifica 3 1,10 Verifica 4 0,50 Verifica 0,165 5,535 14,93 514,93 5 0,10 Verifica 0,689 5,611 73,65 673,65 0,077 Verifica 6 0,12 Verifica 1,027 5,673 126,67 826,67 0,101 Verifica 7 0,14 Verifica 1,776 5,724 248,19 1048,19 0,124 Verifica 8 0,16 Verifica 2,352 5,748 368,18 1268,18 0,157 Verifica 9 0,20 Verifica 2,935 5,765 509,15 1509,15 0,190 Verifica 10 0,24 Verifica 3,525 5,775 671,47 1771,47 0,226 Verifica 11 0,28 Verifica 4,121 5,779 855,56 2055,56 0,266 Verifica 12 0,32 Verifica 4,721 5,779 1061,80 2361,80 0,308 Verifica 13 0,36 Verifica 5,342 5,758 1299,06 2699,06 0,354 Verifica 14 0,42 Verifica 5,950 5,750 1552,05 3052,05 0,405 Verifica 15 0,46 Verifica Verifica



No Quadro 4.10 é ainda feita a última verificação, calculando agora o valor de a’lim com base no esforço vertical F+T.

4.2.4.4 Resumo do posicionamento de todos os pontos Falta apenas estabelecer um critério para o ponto K, o ponto central da zona pós-reforço onde irá ser aplicada a totalidade das cargas verticais de cada piso. O critério definido para o seu posicionamento foi o de ele se encontrar a meia distância entre o ponto onde é aplicado o reforço vertical em cada piso e o ponto D desse mesmo piso.

Definidos os critérios para o posicionamento de todos os nós em cada piso na zona pós-reforço, o Quadro 4.11 seguinte apresenta a abcissa dos pontos K, D1,D2 e D3 para cada um dos pisos onde existe reforço vertical, bem como as larguras δ para os três últimos.

Quadro 4.11 – Posicionamento dos pontos K, D1,D2 e D3 e seus δ

#Piso K D1 δ (pontoD1) D2 δ (pontoD2) D3 δ (ponto3D) 0 1 2 3 4 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,047 5 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,071 6 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,094 7 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,127 8 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,160 9 3,500 6,470 0,100 6,585 0,015 6,800 0,196

10 3,482 6,399 0,100 6,514 0,015 6,764 0,236 11 3,461 6,313 0,100 6,428 0,015 6,722 0,278 12 3,438 6,221 0,100 6,336 0,015 6,676 0,324 13 3,413 6,120 0,100 6,235 0,015 6,625 0,375 14 3,386 6,014 0,100 6,129 0,015 6,572 0,428 15 5,911 6,026 6,520

No anexo D podemos ver a representação do modelo completo idealizado, bem como a evolução das RFE e RFI ao longo da parede.



4.3 Análise dos Resultados e Verificações

4.3.1 Cálculo dos esforços na estrutura Definidos todos os pontos da treliça é agora necessário calcular os seus esforços. Para isso foi utilizado o programa Robot Structural Analysis, da Autodesk, utilizando o modo “Truss 2D design”.

Porém é preciso ainda resolver um último problema. No modelo estudado, a estrutura definida na primeira fase, pré-reforço, é uma estrutura hipostática, isto é, se calcularmos o seu grau de indeterminação estática (GIE) até aos pontos L e M, o seu valor é negativo:

GIE = (b + r)− 2nGIE = (14 + 5)− 2 ×11= −3

(31)

Para resolver este problema é necessária a introdução de 3 “barras fictícias”" nesta primeira fase do modelo, as quais têm obrigatoriamente que apresentar um esforço axial nulo (Providência, 2014). As barras introduzidas irão ligar os pontos: C e E; E e H; H e L.

Na figura Figura 4.9 é apresentada, em a), a estrutura modelada no programa Robot, sendo visível a numeração das barras da estrutura (128 barras); em b) é apresentado o diagrama de esforços axiais, bem como a numeração dos nós da estrutura (67 nós), no programa Robot. No diagrama de esforços axiais os esforços de compressão estão representados a azul, enquanto que os esforços de tração se encontram a amarelo. Nesta figura apenas são apresentados os valores máximos do esforço axial, positivo e negativo, compressão e tração, respectivamente. Os esforços máximos na estrutura encontram-se na barra 122 para esforço de tração, com um valor de N=-1576,35kN e na barra 121 para o esforço de compressão, com um valor de N=2384,66kN.

NOTA: O programa Robot Structural Analysis apresenta, contrariamente à convenção normalmente utilizada, valores positivos para esforços de compressão e negativos para esforços de tração. Será esta a convenção utilizada daqui para a frente.



Figura 4.9 – a) estrutura modelada no Robot Structural Analysis, b) Diagrama de esforços Axiais

Relembremos que a estrutura se encontra sujeita a um carregamento total de 1500kN, verticalmente aplicados, e 600kN, aplicados horizontalmente. O Quadro 4.12, retirado do programa Robot, mostra o somatório de forças aplicadas, tanto horizontalmente (FX) como verticalmente (FZ), bem como o “check val.” que, ao ter valor nulo, mostra que não foram



encontrados problemas de instabilidade na estrutura. Se não tivessem sido acrescentadas as “barras fictícias” existiriam problemas de instabilidade na estrutura, pelo facto de a mesma ser hipostática. São ainda apresentados os valores de precisão dos cálculos efectuados pelo programa.

Quadro 4.12 – Cargas - Robot Structural Analysis

Case 1 Cargas

FX [kN] FZ [kN] Sum of val. -‐599,990 1500,000 Sum of reac. -‐599,990 1500,000 Sum of forc. 599,990 -‐1500,000 Check val. 0,000 0,000 Precision 1,43E-‐13 5,29E-‐25

Observemos agora as reações de apoio obtidas nos 5 apoios da estrutura com o auxílio do Quadro 4.13.

Quadro 4.13 – Reacções de apoio - Robot Structural Analysis

Node FX [kN] FZ [kN] 1 0 0 64 0,000 -‐1576,350 65 -‐481,873 253,129 66 -‐88,000 100,000 67 -‐30,117 2723,221

Os resultados obtidos foram os esperados, analisemos caso a caso:

• O apoio do nó nº1 (nó do topo da estrutura – ver Figura 4.9 b)), não apresenta qualquer reação, o que era esperado pelo exposto no ponto 3.2.1.1 desta dissertação;

• O nó nº64 é onde se encontra o apoio que suporta o reforço vertical junto ao limite esquerdo da parede. Tem uma reação apenas com componente vertical de valor 1576,35 kN (esforço de tração) que se aproxima do valor esperado, apresentado em 4.2.4.3 no Quadro 4.10, que é de T=1552 kN;

• Os nós nos 65, 66 e 67 são os pontos de descarga, junto ao limite direito da parede, do piso térreo. Todos os esforços são de compressão e, como era esperado, o nó 67, que se situa mais à direita, é o que suporta a maior parte dos esforços.



4.3.2 Verificação de segurança dos nós mais condicionantes Após a determinação dos esforços em cada uma das escoras e dos tirantes do modelo é agora necessário verificar a segurança das zonas nodais onde as escoras e os tirantes se encontram. Para fazer esta verificação irei determinar a geometria ocupada pela região nodal, tal como representado na Figura 2.10, e assim fazer a verificação do espaço ocupado pela mesma, em relação às dimensões da parede.

Consideremos a Figura 4.10 que representa um nó do tipo CCT. Na figura, o ponto O é onde, tal como visto em 2.5.3, se intersectam as escoras C1(C1X, C1Z) e C2(C2X, C2Z), definidas pelas suas componentes horizontal e vertical, e o tirante T. À escora C1 podem, ser adicionadas, se existirem, forças aplicadas no nó em causa, através das suas componentes horizontal (H) e vertical (V).

Figura 4.10 – “Triângulo hidráulico” de um nó do tipo CCT – relações geométricas

Na Figura 4.10 é visível a zona nodal definida por um “triângulo hidráulico”, representado a sombreado de cor vermelha, que delimita a região nodal formada pela intersecção dos três elementos. As três faces do “triângulo hidráulico” são definidas pelas larguras ocupadas por cada uma das escoras C1 e C2 e pela altura do tirante T. O mesmo triângulo vai definir um retângulo de dimensões b por h, que se encontra posicionado, em relação ao ponto O, pelas distâncias Z1, Z2, X1 e X2. Este retângulo representa a área de segurança que é necessário existir, em relação ao nó, e permite verificar se a parede tem as dimensões necessárias para que a zona nodal se possa formar.

Através de algumas relações geométricas é possível determinar as distâncias Z1, Z2, X1 e X2 (Providência, 2014).



Comecemos por definir ht:

ht =T

t × fcd (32)

As escoras têm uma inclinação que é definida por A1 e A2:

A1 =C1Z +VC1X + H

A1 = tanα1 =bh

(33)

A2 =C2ZC2X

A2 = tanα2 =b

h − ht (34)

Podemos agora determinar as dimensões h e b:

h = bA1

= ht1− A1

A2

(35)

b = ht1A1

− 1A2

(36)

Por fim, é possível calcular cada uma das distâncias Z1, Z2, X1 e X2:

Z1 =ht2

Z2 = h − Z1 α 2 ≠π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (37)

X2 =12b + h

A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

X1 = b − X2 α2 ≠π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (38)

Foram escolhidos, para exemplo desta verificação, os nós de descarga do piso nº 14, os nós números 61, 62, e 63, que fazem parte de uma das regiões nodais mais esforçadas da estrutura. O objectivo desta verificação é o de garantir que as distâncias definidas, aquando da definição do modelo de escoras e tirantes (MET), permitem que os nós estejam suficientemente espaçados entre eles, bem como ao limite direito da parede. Os cálculos encontram-se no Anexo B e são apenas apresentadas, no Quadro 4.15 as distâncias finais, para cada um dos nós. É preciso relembrar que o nó nº63 é onde se encontram três escoras, pelo que foi necessário, previamente, calcular a resultante das três e com as suas componentes fazer a verificação.



O Quadro 4.14 –apresenta os esforços axiais das escoras C1, C2 e do tirante T que chegam a cada um dos nós e o ângulo θ, que é o ângulo que cada escora faz com o tirante horizontal.

Quadro 4.14 – Esforços dos elementos que convergem na região nodal

Nó Abcissa [m] C1 C2 T

N [kN] Θ [°] N [kN] Θ [°] N [kN] 61 6,014 520,5 27,29 242,34 80,04 -‐529,87 62 6,129 134,9 47,84 100,9 82,2 -‐109,13 63 6,572 2387,9 88,28 2384,7 89,39 -‐32,3

O Quadro 4.15 – mostra os valores finais das distâncias Z1, Z2, X1 e X2 calculadas para os três nós em causa.

Quadro 4.15 – Dimensões que definem as regiões nodais

Nó X1 [m] X2 [m] Z1 [m] Z2 [m] 61 0,030 0,060 0,080 0,095 62 0,019 0,024 0,016 0,022 63 0,127 0,111 0,005 0,005

Para uma melhor compreensão dos resultados obtidos é apresentada, na Figura 4.11, uma esquematização que representa a área de segurança necessária para cada um dos nós. Podemos observar que tanto o espaço entre os nós como o espaço entre o nó nº63 e a extremidade direita da parede são suficientes.

Figura 4.11 – Esquematização do espaço ocupado pelas regiões nodais dos nós nos 61, 62 e 63

Analisando a Figura 4.11, em conjunto com o Quadro 4.14, podemos compreender as diferenças entre as áreas de segurança para cada um dos nós. O nó nº61 tem uma área de segurança com maior altura que as outras duas, isto deve-se ao facto de a este nó chegar uma escora cujo ângulo com a horizontal é bastante inferior (27,29º) quando comparado com o mesmo ângulo nas escoras que chegam aos outros dois nós (que é quase de 90º). O nó nº 63 apresenta a situação oposta, a sua área de segurança tem uma largura muito superior à dos



outros dois nós e uma altura muito reduzida. Isto deve-se ao facto de as escoras que se unem neste nó serem quase verticais, com valores de θ de quase 90°.

As posições escolhidas para os nós, aquando da definição da treliça, basearam-se em critérios que tentavam prever o espaço necessário para cada um deles. Observando a Figura 4.11 podemos ver que existe uma folga entre eles e que as suas posições poderiam ser mais próximas, porém o objectivo deste estudo não era o de fazer uma optimização da solução. Tal como foi explicado no ponto 3.2 desta dissertação, o desenho de uma treliça é um processo iterativo, e como tal, para obter uma solução optimizada teria que ser realizado esse processo iterativo, calculando os esforços e alterando a solução, até atingir a solução mais optimizada. Na prática essa optimização é geralmente dispensável.

4.3.3 Nota sobre disposição da armadura

4.3.3.1 Dimensionamento do tirante vertical – T Como foi visto em 4.2.4, o reforço vertical, localizado junto à face esquerda da parede, foi posicionado a uma distância de 20cm dessa mesma face. Esta distância foi arbitrada, idealizando um reforço vertical pontual porém, e como visto em 3.1.3.2, esse reforço pode ser concentrado, ou distribuído (Figura 3.8).

Este reforço vertical irá traduzir-se, quando concentrado, num tirante único. Passemos então ao seu dimensionamento, partindo do esforço axial determinado para a barra nº 122 do modelo (ver Anexo A – Quadro A2 ). Este é o esforço axial máximo de tração que o tirante terá que suportar, junto à base da parede, e tem o valor de -1576,35kN. Será utilizado aço S500.

As ≥

Nsd

fyd= 1576,35435×103

As ≥ 36,23cm2

(39)

Adopta-se uma armadura constituída por 8 varões de 25mm, com uma área correspondente de 40cm2.



4.3.3.2 Disposições Construtivas Para além dos tirantes, tanto vertical, como horizontais, previstos no MET, é necessário prever as disposições construtivas de armaduras para paredes, previstas no ponto 9.6 do Eurocódigo 2 parte 1-1. As paredes deverão dispor de duas malhas de armaduras, uma junto a cada uma das faces, com o necessário recobrimento das armaduras, e cada uma das malhas deverá ser armada nas duas direções, através de armaduras horizontais e verticais.

• Armaduras Verticais

A área das armaduras verticais, ASV, em paredes deverá estar compreendida entre os seguintes valores mínimos e máximos, em função da secção de betão da parede:

0,04AC ≥ ASV ≥ 0,002AC (40)

Para a parede em estudo temos, por metro:

0,04 ×1× 0,25 ≥ ASV ≥ 0,002 ×1× 0,25 (41)

100cm2 ≥ ASV ≥ 5cm2 (42)

A distância entre armaduras verticais não deve exceder a espessura da parede, nem 400mm.

Proponho uma armação vertical constituída por Φ16//0,25, que perfaz uma área de 8 cm2/m, respeitando os valores máximos e mínimos, bem como o espaçamento máximo que, para este caso é 0,25 m (espessura da parede).

• Armaduras Horizontais

As armaduras horizontais, ASh, deverão respeitar os seguintes requisitos:

ASh ≥ 0,25ASV (43)

ASh ≥ 0,001AC (44)

A distância entre armaduras horizontais não deverá ser superior a 400mm.

Se a área da armadura vertical de cálculo for superior a 0,02AC, essas armaduras deverão ser cintadas com os mesmos requisitos que as armaduras de pilares.

Para a parede em estudo proponho uma armadura horizontal de Φ8//0,175, que perfaz uma área de 2,86cm2, que é superior aos limites impostos pelas expressões 43 e 44, que para este



caso são de 2cm2/m e 2,5cm2/m, respectivamente. A distância máxima entre armaduras horizontais, de 40cm, também é respirada.

A parede será armada de forma simétrica porque as ações horizontais consideradas podem ter tanto o sentido considerado, da esquerda para a direita, como o sentido inverso.

Segue-se uma representação de parte de um corte transversal, feito junto ao limite esquerdo da parede:

Figura 12 – Representação de parte de um corte transversal, feito junto ao limite esquerdo da parede, distâncias em metros

A zona cotada de 40 cm é onde se localiza o tirante dimensionado em 4.3.3.1, o espaçamento entre varões, Sl tem o valor de 8,9cm, respeitando o limite máximo de espaçamento de 25cm, para este caso.


Jorge Prata Vieira

59

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1 Conclusões Nesta dissertação é efectuado o estudo da aplicação do método baseado em modelos de escoras e tirantes (MET), ao dimensionamento de paredes resistentes de betão armado. Começou-se por estudar os princípios de base, inerentes a um MET, e, seguidamente, aplicaram-se esses princípios à compreensão do método introduzido por Muttoni et al. (1996) de forma a definir um conjunto de critérios que permitam uma aplicação simples desse método.

No terceiro e quarto capítulos, são explanados princípios fundamentais para a compreensão e aplicação do modelo de Muttoni et al. (1996), princípios esses que os autores não abordam com o pormenor necessário na sua obra, tais como:

• Critérios para a definição do modelos de treliça, tanto numa fase pré-reforço, como numa fase pós-reforço;

• Método para previsão da necessidade de reforço vertical na estrutura, não só relativamente ao momento em que este tem que ser introduzido mas também o esforço que esse reforço terá que suportar;

• Verificação de segurança das regiões nodais;

• Referência à disposição de armadura necessária para a parede resistente.

O procedimento, abordado nesta dissertação, tem como principais pontos fortes a facilidade da sua utilização e a flexibilidade que confere ao projetista; é facilmente integrável com o uso de um programa de análise de estruturas planas, como é o caso do Robot Structural Analysis, da Autodesk; e permite uma leitura, muito realista, dos campos de tensões no interior da estrutura, correspondentes aos estados limite últimos, não obstante basear-se num modelo bastante simplista.

A aplicabilidade prática do modelo analisado é vasta. O caso prático estudado demostra que podemos utilizar paredes resistentes, dimensionadas com este método, em edifícios com alturas variáveis, sejam eles edifícios baixos, onde pode nem ser necessária a introdução do reforço vertical, ou edifícios de altura média, ou até edifícios com mais de duas dezenas de pisos.



5.2 Trabalhos Futuros Para o desenvolvimento futuro deste tema propõe-se o estudo do mesmo modelo, mas agora contemplando a existência de aberturas na parede resistente. Os princípios de redireccionamento de cargas mantêm-se, sendo agora necessário ter em atenção zonas de descontinuidade criadas pela existência de aberturas.

É igualmente interessante a generalização a caixas de escadas, as quais requerem uma analise 3D que inclua o efeito de torção.

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


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Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ANEXO A

Jorge Prata Vieira A-1

ANEXO A - QUADROS DA MODELAÇÃO EM ROBOT (AUTODESK)

Quadro A-1 – Coordenadas dos pontos do modelo de escoras e tirantes - Robot

Piso Nó X (m) Z (m) Apoio

Piso Nó X (m) Z (m) Apoio Piso Nó X (m) Z (m) Apoio

1 1 3,500 45

8

24 0,200 24

13

49 0,2 9

2 2 1,200 42

25 3,500 24

50 3,438 9

3 4,700 42

26 6,470 24

51 6,221 9

3 4 1,800 39

27 6,585 24

52 6,336 9

5 3,826 39

28 6,800 24

53 6,676 9 6 5,605 39

9

29 0,200 21

14

54 0,2 6

4 7 2,030 36

30 3,500 21

55 3,413 6

8 4,060 36

31 6,470 21

56 6,12 6 9 6,295 36

32 6,585 21

57 6,235 6

5

10 0,200 33

33 6,800 21

58 6,625 6 11 2,700 33

10

34 0,200 18

15

59 0,2 3 12 4,106 33

35 3,500 18

60 3,386 3

13 6,905 33

36 6,470 18

61 6,014 3

6

14 0,200 30

37 6,585 18

62 6,129 3 15 3,500 30

38 6,800 18

63 6,572 3

16 6,470 30

11

39 0,200 15

16

64 0,2 0 xx 17 6,585 30

40 3,482 15

65 5,911 0 xx

18 6,800 30

41 6,399 15

66 6,026 0 xx

7

19 0,200 27

42 6,514 15

67 6,54 0 xx 20 3,500 27

43 6,722 15

21 6,470 27

12

44 0,200 12 22 6,585 27

45 3,461 12

23 6,800 27

46 6,313 12

47 6,428 12

48 6,722 12



Quadro A - 2 – Esforços Axiais e tipo de barra – Robot (1)

Barra Nó Tipo de Barra FX (kN)

Barra Nó Tipo de Barra FX (kN) 1 [1-‐3] Escora 107,703

33 [19-‐20] Tirante -‐143,159

2 [2-‐3] Tirante -‐0,012

34 [20-‐21] Tirante -‐225,993 3 [2-‐5] Escora 45,566

35 [21-‐22] Tirante -‐103,043

4 [3-‐6] Escora 173,086

36 [22-‐23] Tirante -‐7,376 5 [4-‐5] Escora 0,056

37 [19-‐26] Escora 180,874

6 [5-‐6] Tirante -‐2,202

38 [20-‐27] Escora 143,439 7 [4-‐8] Escora 66,385

39 [21-‐28] Escora 62,470

8 [5-‐9] Escora 50,780

40 [22-‐28] Escora 100,256 9 [6-‐9] Escora 213,195

41 [23-‐28] Escora 522,404

10 [7-‐8] Tirante -‐0,054

42 [29-‐24] Tirante -‐162,567 11 [8-‐9] Tirante -‐24,242

43 [24-‐25] Tirante -‐181,403

12 [7-‐12] Escora 70,388

44 [25-‐26] Tirante -‐264,236 13 [8-‐13] Escora 93,200

45 [26-‐27] Tirante -‐109,664

14 [9-‐13] Escora 280,112

46 [27-‐28] Tirante -‐13,997 15 [10-‐11] Tirante -‐68,187

47 [24-‐31] Escora 223,269

16 [11-‐12] Tirante -‐110,617

48 [25-‐32] Escora 143,439 17 [12-‐13] Tirante -‐132,428

49 [26-‐33] Escora 78,538

18 [10-‐14] Tirante -‐22,404

50 [27-‐33] Escora 100,256 19 [10-‐16] Escora 90,367

51 [28-‐33] Escora 684,500

20 [11-‐17] Escora 70,450

52 [24-‐29] Tirante -‐258,932 21 [12-‐18] Escora 112,542

53 [29-‐30] Tirante -‐219,390

22 [13-‐18] Escora 356,826

54 [30-‐31] Tirante -‐302,223 23 [14-‐15] Tirante -‐109,780

55 [31-‐32] Tirante -‐111,421

24 [15-‐16] Tirante -‐192,614

56 [32-‐33] Tirante -‐15,754 25 [16-‐17] Tirante -‐115,387

57 [29-‐36] Escora 265,381

26 [17-‐18] Tirante -‐62,713

58 [30-‐37] Escora 143,439 27 [14-‐19] Tirante -‐84,500

59 [31-‐38] Escora 96,946

28 [14-‐21] Escora 143,871

60 [32-‐38] Escora 100,256 29 [15-‐22] Escora 143,439

61 [33-‐38] Escora 862,567

30 [16-‐23] Escora 39,239

62 [29-‐34] Tirante -‐373,472 31 [17-‐23] Escora 43,168

63 [34-‐35] Tirante -‐292,867

32 [18-‐23] Escora 440,343

64 [35-‐36] Tirante -‐373,334



Quadro A - 3 – Esforços Axiais e tipo de barra – Robot (2)



65 [36-‐37] Tirante -‐143,566

97 [49-‐56] Escora 472,961 66 [37-‐38] Tirante -‐45,299

98 [50-‐57] Escora 136,720

67 [34-‐41] Escora 347,580

99 [51-‐58] Escora 191,225 68 [35-‐42] Escora 141,752

100 [52-‐58] Escora 100,463

69 [36-‐43] Escora 114,944

101 [53-‐58] Escora 1781,475 70 [37-‐43] Escora 100,104

102 [49-‐54] Tirante -‐1084,524

71 [38-‐43] Escora 1059,290

103 [54-‐55] Tirante -‐442,595 72 [34-‐39] Tirante -‐524,884

104 [55-‐56] Tirante -‐513,128

73 [39-‐40] Tirante -‐298,555

105 [56-‐57] Tirante -‐123,457 74 [40-‐41] Tirante -‐376,755

106 [57-‐58] Tirante -‐41,457

75 [41-‐42] Tirante -‐80,189

107 [54-‐61] Escora 520,548 76 [42-‐43] Escora 13,344

108 [55-‐62] Escora 134,894

77 [39-‐46] Escora 354,848

109 [56-‐63] Escora 216,205 78 [30-‐47] Escora 140,154

110 [57-‐63] Escora 100,629

79 [41-‐48] Escora 152,287

111 [58-‐63] Escora 2071,055 80 [42-‐48] Escora 100,240

112 [54-‐59] Tirante -‐1323,221

81 [43-‐48] Escora 1273,472

113 [59-‐60] Tirante -‐461,873 82 [39-‐44] Tirante -‐681,217

114 [60-‐61] Tirante -‐529,873

83 [44-‐45] Tirante -‐360,355

115 [61-‐62] Tirante -‐109,130 84 [45-‐46] Tirante -‐436,189

116 [62-‐63] Tirante -‐32,297

85 [46-‐47] Tirante -‐136,550

117 [59-‐65] Escora 544,313 86 [47-‐48] Tirante -‐46,617

118 [60-‐66] Escora 133,207

87 [44-‐51] Escora 424,954

119 [61-‐67] Escora 242,338 88 [45-‐52] Escora 138,506

120 [62-‐67] Escora 100,934

89 [46-‐53] Escora 157,473

121 [63-‐67] Escora 2384,659 90 [47-‐53] Escora 100,341

122 [59-‐64] Tirante -‐1576,350

91 [48-‐53] Escora 1525,064

126 [3-‐5] Barra Ficticia 0,000 92 [44-‐49] Tirante -‐870,732

127 [5-‐8] Barra Ficticia 0,000

93 [49-‐50] Tirante -‐401,883

128 [8-‐12] Barra Ficticia 0,000 94 [50-‐51] Tirante -‐475,116

95 [51-‐52] Tirante -‐120,282 96 [52-‐53] Tirante -‐34,082

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ANEXO-B

Jorge Prata Vieira B-1

ANEXO B - VERIFICAÇÃO DA REGIÃO NODAL (CÁLCULOS)

Quadro B – 1 –Verificações de Segurança – Região Nodal

Nó 61 Nó 62 Nó 63 N [kN] θ [º] N [kN] θ [º] N [kN] θ [º] C1 520,5 27,29 C1 134,9 47,84 C1 2387,9 88,28 C2 242,34 80,04 C2 100,9 82,2 C2 2384,7 89,39 T 529,87 T 109,13 T 32,3 C1x 462,57 C1x 90,55 C1x 71,67 C1z 238,65 C1z 100,00 C1z 2386,82 C2x 41,92 C2x 13,69 C2x 25,39 C2z 238,69 C2z 99,97 C2z 2384,56 ht 0,1590 m ht 0,0327 m ht 0,0097 m h1 0,007 15,90 cm 3,27 cm 0,97 cm h2 0,003 A1* 0,516 A1* 1,104 A1* 33,301 α1 88,28 A2 5,69 A2 7,30 A2 93,92 α2 89,39 b 0,090 m b 0,043 m b 0,238 m d 0,008 h 0,175 m h 0,039 m h 0,010 m X1 0,030 m X1 0,019 m X1 0,127 m X2 0,060 m X2 0,024 m X2 0,111 m Z1 0,080 m Z1 0,016 m Z1 0,005 m Z2 0,095 m Z2 0,022 m Z2 0,005 m

Análise e dimensionamento de paredes de betão armado com base em modelos de escoras e tirantes ANEXO-C

Jorge Prata Vieira C-1

ANEXO C - DISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS PELOS NÓS DO MET

análiseedimensionamento(deparedes(resistentes debetão

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