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ANÁLISE ESTRUTURAL DE CASCAS COM O ELEMENTO

FINITO CST-DKT

Fábio Teller Alves

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Civil, Escola Politécnica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro Civil.

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger

José Luis Drummond Alves

Rio de Janeiro

Setembro de 2017

ANÁLISE ESTRUTURAL DE CASCAS COM O ELEMENTO FINITO CST-

DKT

Fábio Teller Alves

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

___________________________________________

Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.

___________________________________________

Prof. José Luis Drummond Alves, D.Sc.

___________________________________________

Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida, D.Sc.

___________________________________________

Prof. Claudio Marcio Silva Dantas, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL.

SETEMBRO DE 2017

iii

Alves, Fábio Teller

Análise Estrutural de Cascas com o Elemento Finito CST-DKT / Fábio Teller Alves. - Rio de Janeiro: UFRJ / ESCOLA POLITÉCNICA, 2017.

VIII, 60 p.: il.; 29,7 cm

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e José Luis Drummond Alves

Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Engenharia Civil, 2017.

Referencias Bibliográficas: p.59 -60.

1. Análise estrutural de cascas. 2. Modelagem Numérica. I. Ellwanger, Gilberto Bruno et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Implementação de Programa de Análise Estrutural de Cascas.

iv

Agradecimentos

Aos meus pais, pela paciência e carinho.

À Stella, por não esquecer.

Aos meus amigos, passados, presentes e futuros, pelo apoio e diversão.

A todos os professores da minha vida, formais e informais, por todo o aprendizado, proposital ou não.

Aos meus orientadores, por me ajudarem a finalmente começar outro capítulo da minha vida.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

ANÁLISE ESTRUTURAL DE CASCAS COM O ELEMENTO FINITO CST-DKT

Fábio Teller Alves

Setembro/2017

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e José Luis Drummond Alves

Curso: Engenharia Civil

RESUMO

Este trabalho se propõe a implementar um código de análise estrutural de cascas

através do uso de elementos finitos, utilizando a formulação dos elementos triangulares

de deformação constante (CST) e Kirchhoff discreto (DKT). Os modelos físicos e

matemáticos por traz desses elementos foram estudados e suas implementações

numéricas concebidas. O trabalho apresenta a organização interna do programa, incluindo

a metodologia de solução do sistema linear de equações resultante. Exemplos de análises

estruturais foram utilizados para verificar a confiabilidade do código em casos

particulares para se testar o CST, o DKT e a junção dos dois. Foi possível averiguar que

a implementação apresenta bons resultados primários.

Palavras-chave: Teoria de Kirchhof, Método dos Elementos Finitos, Comportamento de

Cascas

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Civil Engineer.

STRUCTURAL SHELL ANALYSIS WITH THE CST-DKT FINITE ELEMENT

Fábio Teller Alves

September/2017

Advisors: Gilberto Bruno Ellwanger and José Luis Drummond Alves

Graduation: Civil Engineering

ABSTRACT

This project proposes to implement a finite element structural shell analysis

program, with the use of the Constant Strain Triangle (CST) and Discrete Kirchhoff

Triangle (DKT) formulations. The physical and mathematical modelling of these

elements were studied and their numerical implementation conceived. This work presents

the internal organization of the program, including the methodology behind the linear

equation system solver. Structural analysis examples are presented in order to verify the

program’s reliability in particular cases to test the CST model, the DKT model and the

union of the two. The implementation presents good primary results.

Keywords: Kirchhoff Plate Theory, Finite Elements Method, Behavior of Shells

vii

SUMÁRIO

1 Introdução .......................................................................................................... 1

1.1 Motivação ................................................................................................... 1

1.2 Objetivo ...................................................................................................... 1

1.3 Revisão da Literatura .................................................................................. 2

1.4 Exemplos de estruturas representáveis por cascas ..................................... 2

1.5 Organização do Trabalho............................................................................ 3

2 Formulação Matemática..................................................................................... 4

2.1 Formulação do Elemento de Placa ............................................................. 4

2.2 Equação do Elemento de Placa ................................................................... 7

2.2.1 Forma Variacional ................................................................................ 7

2.2.2 Sistema de Coordenadas Isoparamétricas............................................. 8

2.2.3 Funções de Forma ............................................................................... 10

2.2.4 Integração Numérica........................................................................... 10

2.3 Formulação Teórica de EPT ..................................................................... 11

2.4 equação do elemento de membrana .......................................................... 12

2.4.1 Forma Variacional. ............................................................................. 12

2.4.2 Sistema de Coordenadas Isoparamétricas........................................... 13

2.4.3 Funções de Forma. .............................................................................. 14

2.5 Montagem do Elemento de Casca ............................................................ 15

2.6 Sistema Local/Global de Rigidez ............................................................. 16

2.6.1 Aplicação ............................................................................................ 16

2.6.2 Formulação ......................................................................................... 17

2.7 Avaliação das tensões no elemento de casca ............................................ 18

2.7.1 deformações de membrana ................................................................. 19

2.7.2 Deformações de placa ......................................................................... 19

2.7.3 Estado de Tensões .............................................................................. 20

3 Implementação ................................................................................................. 21

3.1 Organização dos Dados ............................................................................ 21

3.1.1 Pontos Nodais e Elementos ................................................................ 21

3.1.2 Propriedades dos Elementos ............................................................... 22

3.1.3 Numeração das Equações e Carregamentos ....................................... 22

3.1.4 Armazenamento ‘Skyline’ da Matriz de Rigidez ............................... 24

3.1.5 Deslocamentos, Rotações e Tensões .................................................. 26

viii

3.1.6 Glossário de Armazenamento de Dados ............................................. 27

3.2 Entrada de Dados ...................................................................................... 27

3.2.1 Arquivo GEO ...................................................................................... 28

3.2.2 Arquivo CNTR ................................................................................... 28

3.2.3 Arquivo RHSV ................................................................................... 29

3.3 Saída de Dados ......................................................................................... 30

3.3.1 Arquivo CASE .................................................................................... 30

3.4 Matriz de Rigidez ..................................................................................... 30

3.5 Solução do Sistema de Equações.............................................................. 31

3.5.1 Eliminação Gaussiana ........................................................................ 31

3.5.2 Método LDLT ..................................................................................... 32

3.5.3 Solução da Coluna Ativa .................................................................... 33

4 Testes de Verificação ....................................................................................... 37

4.1 Comportamento de Membrana ................................................................. 37

4.1.1 Concentração de Tensão ..................................................................... 37

4.1.2 Caso Teste .......................................................................................... 38

4.1.3 Resultados ........................................................................................... 41

4.2 Comportamento de Placa .......................................................................... 47

4.2.1 Caso Teste .......................................................................................... 47

4.2.2 Resultados ........................................................................................... 50

4.3 Comportamento de Casca ......................................................................... 54

4.3.1 Caso Teste .......................................................................................... 54

4.3.2 Resultados ........................................................................................... 55

5 Conclusão ......................................................................................................... 58

5.1 Resultados ................................................................................................. 58

5.2 Trabalhos Futuros ..................................................................................... 58

5.2.1 Estudo de Desvios .............................................................................. 58

5.2.2 Implementação Própria para Matrizes Esparsas ................................. 58

5.2.3 Implementação de Elementos de Maior Ordem ................................. 58

6 Referências bibliográficas ................................................................................ 59

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

Atualmente, um dos ramos de engenharia que mais cresce é a engenharia computacional. Com o progressivo aumento na potência e capacidade dos computadores, aliado às décadas de estudo de métodos numéricos, as simulações numéricas são cada vez mais as principais responsáveis pelo avanço científico e industrial no mundo inteiro.

Isso se deve ao fato de que, através da engenharia computacional, é possível prever e analisar uma gama de eventos em escalas anteriormente impossíveis, como a simulação gravitacional dinâmica de uma galáxia inteira ou a dispersão de poluentes no oceano. Programas de simulação numérica são amplamente usados virtualmente em todas as áreas da engenharia para análise de estruturas, sólidos em geral e fluidos.

Devido ao grande avanço na ciência dos materiais, encontrando e desenvolvendo materiais cada vez mais resistentes, há uma crescente demanda por estruturas extremamente delgadas, de modo a reduzir custos. Com isso em mente, o estudo de ferramentas matemáticas que permitem a predição do comportamento de estruturas laminares ganha uma grande importância.

É importante, porém, entender as limitações e peculiaridades dessas ferramentas. Embora estejam cada mais difundidas nas empresas, a capacitação correta e entendimento dos processos e premissas básicas dos programas de análise numérica são imprescindíveis para que seu uso permita grandes avanços na engenharia moderna.

1.2 OBJETIVO

O principal objetivo do trabalho foi desenvolver uma ferramenta de análise numérica com o intuito de estudar o Método de Elementos Finitos (MEF). Os elementos de placa e casca foram escolhidos pela sua abrangência de aplicações e complexidade razoável frente aos outros elementos estudados, além de sua crescente importância. Escolhidos os tipos de elementos, focou-se em elementos triangulares de três nós de continuidade C¹. A implementação realizada buscou facilitar a expansão do programa, assim como o entendimento do código. Os elementos se destinam à simulação de estruturas laminares sujeitos apenas a pequenos deslocamentos e rotações, sem levar em consideração efeitos não-lineares, sejam materiais ou plásticos.

O programa produzido foi testado com alguns casos padrão e suas soluções comparadas a soluções analíticas, outros trabalhos acadêmicos e o programa comercial ANSYS Mechanical.

2

1.3 REVISÃO DA LITERATURA

Placas e cascas são casos particulares de sólidos tridimensionais, porém com uma das dimensões significativamente menor do que as outras duas, de modo que não apresentam nenhuma dificuldade teórica sob o ponto de vista da elasticidade (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000).

Para sua formulação, inclusive, os elementos de placas e cascas apresentam diversas simplificações teóricas baseadas nessa característica. Tais elementos podem ser formulados a partir de duas teorias: a teoria de Kirchhoff, conhecida como teoria clássica de placas, e a teoria de Reissner-Mindlin. A abordagem escolhida para o trabalho foi a teoria de Kirchhoff, cuja hipótese principal é que as seções transversais permanecem retas e normais à superfície média do elemento. Resultados experimentais confirmam que as hipóteses de Kirchhoff representam de modo aceitável estruturas laminares delgadas (DA SILVA, 2005).

Embora seja possível encontrar soluções analíticas para a flexão de placas de Kirchhoff, sua obtenção é trabalhosa e só é possível para casos muito particulares de carregamento e geometria. Para a obtenção de soluções generalizadas de modo prático, é necessário uso de ferramentas numéricas, como, por exemplo, o MEF, cujo estudo profundo na comunidade acadêmica lhe rendeu bom grau de confiabilidade (CARRIJO, 1995).

Para a formulação do elemento de casca, utilizou-se a abordagem de Carrijo (1995), que soma o elemento “Discrete Kirchhoff Theory” (DKT), responsável pela parcela de flexão do elemento, com o elemento “Constant Strain Triangle” (CST), responsável pelos efeitos de membrana do elemento. O enfoque principal do trabalho foi o estudo do MEF e a implementação do elemento de casca.

O algoritmo em si foi baseado no STAP (BATHE, 1996), com algumas modificações para flexibilizar o código para futuras amplificações de escopo.

1.4 EXEMPLOS DE ESTRUTURAS REPRESENTÁVEIS POR CASCAS

Engenharia Civil e Arquitetura: lajes, tabuleiros de pontes, vigas-parede, silos

Engenharia Naval: estrutura de navios, submarinos

Engenharia Petroquímica e Nuclear: vasos de pressão, risers, dutos em geral

Engenharia Automotiva: carroceria e estrutura do automóvel

Engenharia Aeronáutica: fuselagem do avião, estrutura dos assentos

3

1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O Capítulo 1 apresenta a motivação do trabalho, assim como seu objetivo. As principais referências bibliográficas são discutidas.

O Capítulo 2 apresenta a base teórica do elemento de casca. São apresentadas as formulações dos elementos CST e DKT e como formam o elemento de casca implementado.

O Capítulo 3 apresenta a implementação do programa FEMSIMULATION. A organização dos dados de entrada e saída são discutidos. O armazenamento interno das variáveis mais importantes para os cálculos apresentados no Capítulo 2 é explicitado e exemplificado. Ao final da apresentação dos armazenamentos, há um glossário das variáveis escalares e arranjos mais importantes usados no programa. O algoritmo responsável pela solução do sistema linear de equações é apresentado e exemplificado, assim como sua base teórica.

O Capítulo 4 apresenta análises de verificação de resultado. Cada análise é explicada individualmente e seus resultados são discutidos, comparando com a literatura e o ANSYS Mechanical.

O Capítulo 5 apresenta as conclusões do trabalho. Também são apresentados possíveis desdobramentos futuros para o programa.

O Capítulo 6 apresenta as referências bibliográficas.

4

2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

2.1 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DE PLACA

As premissas adotadas tanto para a formulação da teoria de placas finas quanto da teoria de placas grossas são as seguintes (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000):

As seções normais ao plano médio da placa permanecem planas

Deformações e tensões normais ao eixo z são desprezadas

Em adição a essas hipóteses temos aquela que conclui a definição das placas finas de Kirchhoff (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000):

A deformação cisalhante é negligenciada

O módulo de elasticidade transversal é considerado infinito ( ∞)

A seguir são apresentadas as formulações em uma direção, o que corresponderia à teoria de Bernoulli-Euler:

(1)

(2)

(3)

sendo

(4)

(5)

sendo u e w os deslocamentos do plano médio 0 nos eixos e , respectivamente. A Figura 2.1 ilustra um corte da flexão considerada.

Figura 2.1 - Ilustração da flexão

5

Com isso temos as deformações correspondentes aos deslocamentos apresentados:

(6)

0 (7)

(8)

bem como as ações na seção transversal:

12

(9)

(10)

(11)

Equações de Equilíbrio:

0 (12)

0 (13)

0 (14)

A partir da Equação 11, temos a equação que representa o esforço cisalhante. Como uma das hipóteses de placas finas é que a deformação cisalhante é negligenciada, temos:

0 (15)

As formulações podem ser adotadas diretamente para placas. Assumiremos 0 e 0.

Deformações:

0

0 ≡ (16)

6

≡ (17)

Momentos:

≡ (18)

sendo:

M τ zdz (19)

Assumindo um estado plano de tensões, temos como rigidez à flexão:

1 01 0

0 0 (20)

Forças Cortantes:

≡ (21)

Sendo um fator de correção da distribuição de tensão cisalhante.

Equações de Equilíbrio:

0

0 ≡ 0 (22)

≡ 0 (23)

Forma matricial da terceira premissa da placa de Kirchhoff:

0 (24)

O que torna as deformações na Equação 16:

7

w

2

(25)

Com a Equação 22 e a Equação 23 podemos escrever:

0 (26)

Com a Equação 26 e a Equação 18 temos:

0 (27)

E finalmente com a Equação 27 e a Equação 24, temos a equação escalar:

0 (28)

Para o caso em que o material apresente isotropia e rigidez à flexão D constante, obtemos a equação bi-harmônica de flexão de placas:

2 0 (29)

2.2 EQUAÇÃO DO ELEMENTO DE PLACA

2.2.1 FORMA VARIACIONAL

A solução para a Equação 29 pode ser obtida tanto através do método dos resíduos ponderados quanto pela aplicação do método da mínima energia potencial (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000).

dΩ dΩ ∑ (30)

O primeiro termo no lado direito da equação está relacionado à carga distribuída na placa enquanto a segunda se refere às cargas nodais. Utilizando a abordagem de Galerkin, os campos variacionais são discretizados usando as mesmas funções de interpolação (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000). Com isso temos:

, (31)

(32)

Onde:

8

dΩ (33)

0

0

∂∂x∂∂y∂

∂x ∂y

(34)

dΩ (35)

2.2.2 SISTEMA DE COORDENADAS ISOPARAMÉTRICAS

O elemento implementado é um triângulo trinodal com três graus de liberdade como apresentado na Figura 2.2.2

Figura 2.2.2 - Elemento de placa trinodal com 9 graus de liberdade

A fim de podermos utilizar elementos de diferentes dimensões, devemos definir um sistema de coordenadas isoparamétricas. As equações a seguir apresentam as coordenadas cartesianas em função das coordenadas paramétricas , e :

(36)

(37)

9

1 (38)

Seguem as coordenadas isoparamétricas em função de e :

∆ (39)

Sendo

(40)

(41)

(42)

∆ á â12

(43)

Para 1,2,3 e , , sendo uma permutação cíclica positiva. As derivadas de primeira ordem em função das coordenadas isoparamétricas são feitas da seguinte forma:

12∆

(44)

Enquanto as derivadas de segunda ordem são assim resolvidas:

14∆

(45)

10

2.2.3 FUNÇÕES DE FORMA

As funções de forma de quarta ordem adotadas no elemento foram propostas por Specht (1988).

2 (46)

sendo

, , , , , ,

3 1 1 3 1 3 ,

3 1 1 3 1 3 ,

3 1 1 3 1 3

(47)

Onde

(48)

Sendo o comprimento do lado do triângulo oposto ao nó .

2.2.4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Para resolver a integral da Equação 33, faz-se necessário o uso de integração numérica de quarta ordem.

≃ , , , , (49)

Sendo o contador de pontos de integração de Gauss e seus respectivos pesos. A Tabela 2.1 apresenta as fórmulas para os pontos de Gauss e seus respectivos pesos. É necessário fazer todas as permutações possíveis para obter os seis pontos de integração (HUGHES, 2007).

Tabela 2.1 - Pontos de Integração de quarta ordem para elementos triangulares

0.109951743655322 0.816847572980459 0.091576213509771 0.091576213509771

0.223381589678011 0.108103018168070 0.445948490915965 0.445948490915965

11

2.3 FORMULAÇÃO TEÓRICA DE EPT

O Estado Plano de Tensões (EPT) é um caso particular de elasticidade no qual as tensões só existem em um único plano. Seja uma membrana um corte de espessura dz de um corpo chato de espessura t, como mostra a Figura 2.2.3, muita pequena em relação às outras dimensões. Se não houverem forças externas atuando sobre as faces maiores da chapa, não haverá tensão no eixo Z. O mesmo se dará com as tensões tangenciais em Z ( e ). Se isto ocorrer em todos os planos paralelos às faces maiores da chapa, tem-

se definido um EPT.

(a) (b)

Figura 2.2.3 - Membrana de espessura t: (a) Carregamentos no plano XY; (b) Seção transversal

De acordo com Carrijo (1995), para uma chapa plana qualquer carregada apenas no seu plano, o erro da suposição do EPT é tanto menor quanto for a espessura do mesmo.

Com isso, entrando com 0 na lei de Hooke, tem-se:

1 (50)

1 (51)

1 (52)

Em notação matricial:

(53)

σσ (54)

12

(55)

1

1 01 0

0 012

(56)

Sendo E o módulo de Young; o coeficiente de Poisson; e G o módulo de cisalhamento, cujo valor é E/[2(1+ )].

2.4 EQUAÇÃO DO ELEMENTO DE MEMBRANA

2.4.1 FORMA VARIACIONAL

Relações cinemáticas:

0

0 ≡ (57)

Equações de equilíbrio:

∂∂

0 (58)

dz/

/ (59)

dz/

/ (60)

onde é o tensor de tensões.

A solução para a eq. 58 pode ser obtida através do método dos resíduos ponderados ou pela aplicação do método da mínima energia potencial (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000).

dΩ dΓ (61)

13

O primeiro termo no lado direito da equação está relacionado à carga distribuída no contorno enquanto a segunda se refere às cargas nodais. Utilizando a abordagem de Galerkin, os campos variacionais são discretizados usando as mesmas funções de interpolação (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000). Com isso temos:

, (62)

(63)

onde:

dΩ (64)

0

0 (65)

dΩ (66)

2.4.2 SISTEMA DE COORDENADAS ISOPARAMÉTRICAS

O elemento implementado é um triângulo trinodal com 6 graus de liberdade como apresentado na Figura 2.2.4.

Figura 2.2.4 - Elemento de membrana trinodal com 6 graus de liberdade

14

A fim de podermos utilizar elementos de diferentes dimensões, devemos definir um sistema de coordenadas isoparamétricas. As equações a seguir apresentam as coordenadas cartesianas em função das coordenadas paramétricas , e :

(67)

(68)

1 (69)

Seguem as coordenadas isoparamétricas em função de e :

2∆ (70)

Sendo:

(71)

(72)

(73)

∆ á â12

(74)

Para 1,2,3 e , , sendo uma permutação cíclica positiva. As derivadas de primeira ordem em função das coordenadas isoparamétricas são feitas da seguinte forma:

12∆

(75)

2.4.3 FUNÇÕES DE FORMA

O elemento escolhido (Constant Strain Triangle) apresenta as seguintes funções de forma:

N (76)

15

Podemos notar que as derivadas das funções de forma apresentam valores constantes por todo o elemento, ou seja, as componentes de deformação são constantes por todo o elemento, como indica sua nomenclatura.

2.5 MONTAGEM DO ELEMENTO DE CASCA

O elemento de casca plano final parte do princípio que não há interferências entre os efeitos de flexão e membrana e vice-versa, de modo que o elemento apresenta menor erro conceitual quanto menores forem os deslocamentos do mesmo (ZIENKIEWICZ, 1977).

O elemento implementado é um triângulo trinodal com 18 graus de liberdade, como apresentado na Fig. 2.2.5

Figura 2.2.5 - Elemento de membrana trinodal com 18 graus de liberdade

A matriz final de rigidez local, por nó, tem, portanto, com a seguinte forma:

0 00 0

0 00 0

0 00 0

00

0 00 0 0 0

00

(77)

Onde é a matriz de rigidez do elemento de membrana, do elemento de placa

e é a rigidez imaginária à rotação transversal ao plano do elemento (drilling). Esta existe para evitar o surgimento de valores nulos na diagonal principal da matriz, o que representa uma matriz singular, impossibilitando a solução única da equação .

A princípio, a rigidez de drilling não interfere na solução em um modelo plano, mas devido à implementação de modelos que apresentam curvatura, foi usada a rigidez à

16

flexão da placa multiplicado por um fator fracional muito pequeno, de modo causar uma interferência o mais desprezível possível na rigidez à flexão dos elementos vizinhos.

2.6 SISTEMA LOCAL/GLOBAL DE RIGIDEZ

Fora da Engenharia Civil, a grande maioria das aplicações de cascas se dá com estruturas curvas, ao invés de planas. Como o elemento deste estudo é um elemento plano, a curvatura é obtida através de deflexões relativas entre um elemento e outro na malha. Tal prática, porém, adiciona um grau de complexidade à solução, pois as formulações anteriores se dão apenas para o sistema de coordenadas local do elemento. É imperativo, portanto, transformar as matrizes de rigidez anteriormente construídas para um sistema único, a fim de se obter uma única matriz de rigidez global, o que possibilita a montagem do sistema matricial final.

2.6.1 APLICAÇÃO

A transformação necessária se resume a uma rotação no espaço. Partindo-se do pressuposto que haja uma matriz de rotação R, tal que:

(78)

(79)

onde o subscrito G denota o sistema de coordenadas global e L o local, então:

≡ (80)

logo:

(81)

ou seja:

(82)

Como R se trata de uma matriz de rotação, é uma matriz ortogonal, logo sua inversa é simplesmente sua transposta.

17

2.6.2 FORMULAÇÃO

Para o elemento escolhido, é possível encontrar seu sistema local de coordenadas ao se definir seus cossenos diretores. Dados três nós numerados distribuídos aleatoriamente em um espaço cartesiano, há 6 conjuntos distintos de cossenos diretores do plano formado (2 orientações de plano e 3 ordenações de nós para cada orientação). A dedução do conjunto escolhido é demonstrada conforme a Figura 2.2.6, onde:

Figura 2.2.6 - Esquema ilustrativo dos cossenos diretores de um elemento triangular

(83)

(84)

(85)

(86)

| |

(87)

18

| |

(88)

| |

(89)

(90)

de modo que:

(91)

logo:

(92)

Como a matriz de rigidez do elemento de casca estudado tem dimensão 18x18, é necessário expandir a matriz R. Zienkiewicz (1977) afirma que a matriz final deve assumir a seguinte forma:

0

0

(93)

de modo que:

(94)

2.7 AVALIAÇÃO DAS TENSÕES NO ELEMENTO DE CASCA

Deformações são definidas como a derivada espacial dos deslocamentos. Os deslocamentos em qualquer ponto de um elemento finito podem se definidos por

x, y x, y ∙ 95

onde Ni(x,y) são os valores das funções de forma do nó i no ponto avaliado e ui os deslocamentos nodais do mesmo nó.

19

2.7.1 DEFORMAÇÕES DE MEMBRANA

Os graus de liberdade de membrana são diretamente relacionados com as deformações de EPT e, portanto, estas podem ser expressas pela equação

x, y

0

0 ∙ ∙ 96

onde

0

0 ∙ x, y0

0 97

Podemos notar que a deformação é constante dentro do elemento, independente do ponto avaliado, como foi proposto em sua formulação.

2.7.2 DEFORMAÇÕES DE PLACA

Os graus de liberdade de placa estão relacionados com a flexão da mesma e, portanto, não são diretamente deriváveis nas deformações de EPT. Porém são deriváveis nas rotações pontuais do elemento. Como sua formulação supõe que as seções normais ao plano médio da placa permanecem planas e que as deformações são pequenas, pode-se relacioná-las com as deformações de EPT ao multiplicá-las pela distância do ponto avaliado ao plano médio da placa, conforme a Equação 25. Portanto

onde

x, y ∙ x, y ∙ x, y ∙ x, y ∙ 98

x, y

∂∂x∂∂y∂²

∂x ∂y

x, y 99

20

Neste caso, podemos notar que a deformação depende, na maioria dos casos, do ponto avaliado, mesmo dentro de um mesmo elemento. É recomendado se avaliar tais valores nos mesmos pontos usados para a integração numérica da rigidez.

2.7.3 ESTADO DE TENSÃO

Definidas as deformações, os estados de tensão de membrana e placa podem ser avaliados pelas seguintes expressões, respectivamente

onde D são as matrizes materiais dos elementos conforme calculadas nas Equações 60 e 20, respectivamente.

∙ 100

∙ 101

21

3 IMPLEMENTAÇÃO

Em uma parceria conjunta dos alunos do LAMCE, foi desenvolvido o código FEMSIMULATION. A linguagem de programação escolhida foi Fortran devido à familiaridade com a mesma e às referências usadas. A solução do sistema de equações Ku = f através de técnicas de álgebra linear é encontrada pela sub-rotina COLSOL extraída diretamente de Bathe (1996).

3.1 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS

3.1.1 PONTOS NODAIS E ELEMENTOS

As três coordenadas nodais cartesianas (X, Y e Z) são armazenadas em três arranjos unidimensionais (ou listas) homônimas onde os índices das listas correspondem aos pontos nodais. A dimensão dessas listas é igual ao número total de pontos nodais.

Os elementos triangulares são armazenados através de seus três pontos nodais, onde a ordem indica a orientação da face. Para isso, as conectividades são armazenadas em um arranjo bidimensional (ou tabela) nomeado INCID, de comprimento igual ao número total de elementos e largura três, para cada nó do elemento.

Exemplo 3.1.1

A Figura 3.1 apresenta um exemplo de malha composta de 6 nós e 4 elementos. Os arranjos X, Y, Z e INCID são exemplificados.

Figura 3.1 - Exemplo de uma malha e seus arranjos X, Y, Z e INCID

22

3.1.2 PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS

O programa prevê o uso de elementos de diferentes propriedades materiais e espessuras. Para isso, utiliza a conceito de conjuntos materiais de elemento que são designados a vários elementos, ao invés de ser necessário repetir as propriedades para cada elemento similar.

As propriedades em si são armazenadas no arranjo bidimensional PROP, de comprimento igual ao número total de conjuntos materiais diferentes e largura igual a 15. A largura é exagerada para caso haja alguma expansão futura de complexidade de análise, como não-linearidade material. As propriedades armazenadas são o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson, a espessura do elemento e propriedades auxiliares auto-calculadas pelo programa para facilitar a montagem da matriz de rigidez.

As designações dos conjuntos materiais são armazenadas no arranjo unidimensional MTYPE, de comprimento igual ao número de elementos (NUME), onde o índice representa o elemento e o valor da lista qual conjunto material o elemento possui.

3.1.3 NUMERAÇÃO DAS EQUAÇÕES E CARREGAMENTOS

Como será explicado na seção 3.5.3, é vantajoso numerar as equações onde o grau de liberdade não está restrito, ou seja, onde o deslocamento será calculado, ao invés de imposto por apoios. Para isso, o arranjo bidimensional chamado ID é utilizado. Como cada nó possui até 6 graus de liberdade, ID tem comprimento igual a 6 e largura igual ao número total de pontos nodais. Seguindo primeiro o comprimento e depois a largura, o valor de ID(i,j) é zero se o grau de liberdade i do nó j for restrito por apoio ou um número incremental, começando de 1.

Semelhante a ID, há um arranjo bidimensional chamado LM que mapeia a numeração das equações relativas aos elementos. Seu comprimento é o número total de elementos e a largura 18, o número de graus de liberdade por nó vezes o número de nós por elemento.

Os carregamentos são armazenados em um arranjo unidimensional chamado F, de comprimento igual ao número total de equações numeradas em ID.

Exemplo 3.1.2

A Figura 3.2 mostra a estrutura do Exemplo 3.1.1, composta de 4 elementos, com 6 pontos nodais ao total, submetida a condições de contorno. Os nós 1 e 4 têm todos os graus de liberdade translacionais restritos por apoios. O nó 3 tem os graus de translação em Y e Z restritos. O nó 6 tem todos os seus graus de rotação restritos. O nó 2 está carregado por uma força em Z de valor igual a 12.5 e o nó 5 está carregado por um momento em Y de valor igual a 7.0.

A Tabela 3.1 apresenta o arranjo ID do modelo, a Tabela 3.2 o arranjo INCID e a Tabela 3.3 o arranjo F.

23

Figura 3.2 - Exemplo de um modelo com condições de contorno

Tabela 3.1 - Arranjo ID do Exemplo

Tabela 3.2 - Arranjo INCID do Exemplo

Nó ux uy uz rx ry rz

1 0 0 0 1 2 3

2 4 5 6 7 8 9

3 10 0 0 11 12 13

4 0 0 0 14 15 16

5 17 18 19 20 21 22

6 23 24 25 0 0 0

Nó i Nó j Nó k

Elemento ux uy uz rx ry rz ux uy uz rx ry rz ux uy uz rx ry rz

1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 14 15 16

2 0 0 0 14 15 16 4 5 6 7 8 9 17 18 19 20 21 22

3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 11 12 13 23 24 25 0 0 0

4 23 24 25 0 0 0 17 18 19 20 21 22 4 5 6 7 8 9

24

Tabela 3.3 - Arranjo F do Exemplo

3.1.4 ARMAZENAMENTO ‘SKYLINE’ DA MATRIZ DE RIGIDEZ

O objetivo de Bathe (1995) em sua implementação numérica foi atingir tempos rápidos de solução. Além da minimização de passos no algoritmo, também foi buscado manter o tamanho em memória pequeno, de modo a manter o acesso a memórias de baixa velocidade mais raro.

Para esta última meta, aproveita-se de propriedades inerentes às matrizes do Método dos Elementos Finitos, como serem positivas definidas, simétricas e se organizarem em bandas, ou seja, kij = 0 para qualquer j > i + mk, onde i e j são coordenadas da matriz de rigidez e mk a meia-largura de banda da matriz. Grande parte dos termos não-nulos da matriz de rigidez de uma malha de elementos finitos tende a se concentrar perto da diagonal da mesma, porém o quão concentrado depende da ordenação dos nós da malha. Embora existam algoritmos auxiliares para temporariamente reorganizar a numeração dos nós de modo a reduzir a banda do sistema durante a fase de solução (CUTHILL; MCKEE, 1969), a implementação dos mesmos foge do escopo do trabalho.

A escolha mais intuitiva de armazenamento de uma matriz utilizando a linguagem Fortran seria através do uso de arranjos bidimensionais, contendo um valor para cada índice da matriz. Porém, como as matrizes são simétricas, quase metade destes valores são redundantes. Pelas dimensões das matrizes, o número de valores redundantes cresce quadraticamente com a quantidade de graus de liberdade do sistema, logo armazenar apenas uma fração dos valores traz um enorme benefício. Para isso, é possível o uso de um arranjo unidimensional para armazenar os valores e alguma regra auxiliar para definir como os valores se organizam dentro do arranjo.

Aproveitando o fato de que os termos não-nulos tendem a se concentrar perto da diagonal principal da matriz, Bathe apresenta o esquema “skyline” como solução. Resumidamente, o esquema consiste em preencher o arranjo unidimensional STIFF de coluna em coluna da matriz a partir da diagonal principal e parando no último valor não-nulo da coluna. É importante ressaltar que podem haver termos nulos dentro do esquema “skyline”, como exemplificado na Figura (12.2), desde que hajam termos não-nulos mais distantes da diagonal principal na mesma coluna.

Um segundo arranjo unidimensional MAXA, de comprimento igual ao número de equações mapeadas em ID mais um (e, portanto, o número de colunas na diagonal da matriz de rigidez acrescido de uma unidade), é usado para armazenar os índices de STIFF

Eq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F 0 0 0 0 0 12.5 0 0 0

Eq 10 11 12 13 14 15 16 17 18 F 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq 19 20 21 22 23 24 25 F 0 0 7.0 0 0 0 0

25

que pertencem à diagonal principal, indicando indiretamente o comprimento armazenado de cada coluna. O termo extra de MAXA é utilizado apenas para facilitar a montagem e leitura de STIFF.

Exemplo 3.1.3

No exemplo da Figura 3.3, a matriz de rigidez 8x8 possui 64 termos, 30 dos quais são não-nulos. Aproveitando-se apenas da simetria da matriz, podemos isolar 36 termos, o que já seria um ganho significativo. Entretanto, utilizando o esquema “skyline”, é possível armazená-la em um arranjo unidimensional A de comprimento 21, com um arranjo unidimensional auxiliar MAXA de comprimento 9. É importante ressaltar que dois termos nulos ainda foram armazenados no arranjo, nos índices 8 e 20, pois estão abaixo do último termo não-nulo de suas respectivas colunas, porém a grande maioria dos termos nulos foram descartados, diminuindo o número total de multiplicações por zero na solução.

Figura 3.3 - Matriz de rigidez armazenada no arranjo "skyline" (adaptado de BATHE, 1996)

26

3.1.5 DESLOCAMENTOS, ROTAÇÕES E TENSÕES

Os deslocamentos e rotações resultantes da solução do sistema de equações são armazenados no arranjo unidimensional U, de comprimento igual ao número total de equações numeradas em ID. Os graus de liberdades restritos por apoios, portanto, não entram neste arranjo.

As tensões são calculadas por elemento e interpoladas para os nós. Como se trata de um elemento com flexão, é necessário diferenciar as tensões do plano médio das tensões das faces extremas. Além disso, o estado de tensões é definido pelo tensor de tensões simétrico 3x3, logo apenas 6 valores únicos existem. Portanto, as tensões de elemento são armazenadas em 3 arranjos bidimensionais de comprimento 6 e largura igual ao número de total de elementos. Esses arranjos são denominados STRESSELEMTOP, STRESSELEMMID e STRESSELEMBOTTOM, representando, respectivamente, os estados de tensão da face positiva, plano médio e face negativa do elemento.

Similarmente, 3 arranjos bidimensionais de comprimento 6 e largura igual ao número total de pontos nodais são utilizados para armazenar os estados de tensão interpolados nos nós Esses arranjos são denominados STRESSNODETOP, STRESSNODEMID e STRESSNODEBOTTOM representando, respectivamente, os estados de tensão da face positiva, plano médio e face negativa dos elementos ao entorno do nó. Para que a interpolação funcione corretamente, é necessário construir a malha com a orientação dos elementos em mente, de modo que as faces sejam consistentes.

27

3.1.6 GLOSSÁRIO DE ARMAZENAMENTO DE DADOS

VARIÁVEL DIMENSÃO DESCRIÇÃONUMNP Escalar Número de pontos nodais NUME Escalar Número de elementos

NEQ Escalar Número de equações com deslocamento incógnito

NUMMAT Escalar Número de conjuntos materiais NWK Escalar Comprimento do arranjo “skyline”

X [NUMNP] Coordenadas cartesianas X dos pontos nodais

Y [NUMNP] Coordenadas cartesianas Y dos pontos nodais

Z [NUMNP] Coordenadas cartesianas Z dos pontos nodais

INCID [NUME,3] Conectividades dos elementos MTYPE [NUME] Conjuntos materiais de cada elementoPROP [NUMMAT,15] Propriedades dos conjuntos materiais

ID [6,NUMNP] Mapeamento das equações por grau de liberdade dos pontos nodais

LM [NUME,18] Mapeamento das equações por grau de liberdade dos elementos

F [NEQ] Carregamentos nodais das equações

STIFF [NWK] Matriz de rigidez global armazenada no esquema “skyline”

MAXA [NEQ+1] Arranjo auxiliar ao esquema “skyline”

U [NEQ] Deslocamentos e rotações nodais das equações

STRESSELEMTOP [6,NUME] Estado de tensão dos elementos na face positiva

STRESSELEMMID [6,NUME] Estado de tensão dos elementos no plano médio

STRESSELEMBOTTOM [6,NUME] Estado de tensão dos elementos na face negativa

STRESSNODETOP [6,NUMNP] Estado de tensão dos nós na face positiva

STRESSNODEMID [6, NUMNP] Estado de tensão dos nós no plano médio

STRESSNODEBOTTOM [6, NUMNP] Estado de tensão dos nós na face negativa

3.2 ENTRADA DE DADOS

São utilizados ao todo 3 arquivos para a entrada de dados. O arquivo GEO contém os dados geométricos da malha. O arquivo RHSV contém as condições de contorno, como apoios e forças. O arquivo CNTR contém os dados de controle da análise, incluindo as propriedades materiais da malha.

28

3.2.1 ARQUIVO GEO

O arquivo GEO contém as coordenadas cartesianas dos pontos nodais e as conectividades dos elementos. Essas duas informações são separadas por cabeçalhos identificadores, sendo que vários blocos de elementos são utilizados para indicar os conjuntos materiais de cada. O formato do arquivo GEO foi criado para o programa de visualização científica EnSight, usado para visualizar os resultados de forma mais intuitiva.

Os cabeçalhos consistem em informações auxiliares ao programa EnSight e a quantidade de pontos nodais no primeiro cabeçalho e elementos de cada bloco nos cabeçalhos seguintes.

Exemplo 3.2.1

Na Figura 3.4, o arquivo GEO representa a malha do Exemplo 3.1.1. Os elementos 1 e 2 possuem um conjunto material e os elementos 3 e 4 possuem outro.

Figura 3.4 - Arquivo GEO do Exemplo 3.2.1

3.2.2 ARQUIVO CNTR

O arquivo CNTR contém informações auxiliares ao programa implementado, incluindo informações planejadas para futuras expansões do código, como parâmetros de análise e tipos de elementos. As informações utilizadas são a quantidade de pontos nodais,

29

elementos e conjuntos materiais na no início do arquivo e as propriedades de cada conjunto material ao final.

Exemplo 3.2.2

No exemplo abaixo, o arquivo CNTR do exemplo anterior. O exemplo possui 6 pontos nodais, 4 elementos e 2 conjuntos materiais. O primeiro conjunto material consiste em chapas de alumínio 6061 de 6 centímetros de espessura e o segundo conjunto material em chapas de aço A36 de 10 centímetros de espessura.

Na primeira linha de dados temos o título do caso tratado. Na segunda linha de dados, respectivamente, temos o número total de pontos nodais, o número total de elementos, o número total de conjuntos materiais, o número de nós por elemento e o número de graus de liberdade por nó. Na terceira linha de dados, temos variáveis referentes a análises transientes, não aplicável na análise de cascas do presente trabalho. Na quarta linha de dados, temos a chave que determina para o programa o tipo de análise a ser realizada. Na quinta e sexta linha de dados, temos os conjuntos matérias, apresentando, respectivamente, o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e a espessura do elemento. Os demais dados na linha não são aplicáveis para a análise de cascas no presente trabalho.

Figura 3.5 - Arquivo CNTR do Exemplo 3.2.2

3.2.3 ARQUIVO RHSV

O arquivo RHSV contém as condições de contorno nodais. Os apoios são informados primeiro com o uso da tag BC1, por nó e grau de liberdade do nó em ordem crescente. Apenas os graus de liberdade que possuem apoios são entrados no arquivo. Em seguida, são informados os carregamentos nodais com o uso da tag BC2, seguindo a mesma regra, acrescido do sinal e valor do carregamento.

Exemplo 3.2.3

Na Figura 3.6, o arquivo RHSV representa as condições de contorno do Exemplo 3.1.2. Os nós 1 e 4 têm todos os graus de liberdade translacional restritos por apoio. O nó 3 tem os graus de translação em Y e Z restritos. O nó 6 tem todos os seus graus de rotação restritos. O nó 2 está carregado por uma força em Z de valor igual a 12.5 e o nó 5 está carregado por um momento em Y de valor igual a 7.0.

30

Figura 3.6 - Arquivo RHSV do Exemplo 3.2.3

3.3 SAÍDA DE DADOS

São utilizados 9 arquivos de saída principais e 36 secundários. Os arquivos principais consistem em um arquivo com as translações de cada ponto nodal, um arquivo com as rotações de cada nó, 3 arquivos para os estados de tensão de cada elemento e 3 para os estados de tensão de ponto nodal (para a face positiva, plano médio e face negativa) e o arquivo CASE. Os arquivos secundários contêm, cada um, um dos 6 termos individuais de cada estado de tensão nos arquivos principais.

Os arquivos com o estado de tensão completos permitem a visualização das direções principais de tensão.

3.3.1 ARQUIVO CASE

O arquivo CASE indica para o programa EnSight como os outros arquivos de saída se relacionam com a geometria de entrada, fornecida pelo arquivo GEO. Ele indica quais são os arquivos que devem ser carregados e o nome que será dado a cada variável lida. O arquivo CASE foi criado para o programa EnSight, mas também pode ser lido pelo programa de visualização “open-source” ParaView.

3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ

Utilizando a metodologia apresentada no Capítulo 2, o programa calcula as matrizes de rigidez globais de cada elemento da malha, individualmente. Com o uso de LM, os termos de rigidez relativos em seus respectivos índices de STIFF, sendo somados com os termos pré-existentes do mesmo.

31

3.5 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

3.5.1 ELIMINAÇÃO GAUSSIANA

Um dos métodos mais eficientes de solução direta de um sistema de equações é a eliminação gaussiana, também conhecido como escalonamento. Consiste em manipulações algébricas do sistema de equações de modo a triangularizá-lo, isolando uma das incógnitas, permitindo uma retroalimentação e solução sucessiva de todas as outras. Se o sistema for simétrico e positivo definido, é possível seguir o algoritmo simples exemplificado abaixo para solucioná-lo.

Exemplo 3.5.1

Considerando um sistema Ku = f tal que:

Para começar a triangulizá-lo, podemos zerar os termos abaixo da diagonal principal na primeira coluna com duas operações: subtraindo da segunda linha 4/5 da primeira e somando à terceira linha 1/5 da primeira. Realizando essas operações, obtemos:

Para zerar os termos abaixo na diagonal principal da segunda coluna podemos: somar à terceira linha 16/14 da segunda e subtrair da quarta linha 5/14 da segunda. Realizando essas operações, obtemos:

Para zerar os termos abaixo da diagonal principal na terceira coluna podemos: somar à quarta linha 20/15 da terceira. Realizando essa operação, obtemos:

32

Com essa configuração do sistema, podemos averiguar por retro-alimentação que:

76

56

75

87

207

157

125

1 16514

5

135

0 4 05

85

3.5.2 MÉTODO LDLT

Para escalonar o sistema linear de equações, podemos notar que estamos realizando sucessivas multiplicações matriciais do tipo Li

-1Si = Si+1 e Li-1vi = vi+1, cada matriz Li

-1 responsável por anular uma meia coluna da matriz K, onde S1 = K, v1 = f e:

onde kij são os termos da matriz K, de modo que Ln-1-1 ... L2

-1 L1-1 K = L-1 K = Sn, onde

Sn é a matriz totalmente escalonada. Podemos verificar também que:

∴

onde I é a matriz identidade, D é a matriz diagonal formada pelos pivôs de Sn e v é o vetor de forças após o escalonamento.

33

Exemplo 3.5.2

No Exemplo 3.5.1, podemos observar que:

3.5.3 SOLUÇÃO DA COLUNA ATIVA

A solução da coluna ativa é a implementação computacional do método LDLT que Bathe (1996) propõe. Dado uma matriz de rigidez K armazenada no esquema “skyline” com o comprimento de suas colunas devidamente calculados, podemos obter L, D e v através do seguinte algoritmo:

onde Vi são os termos do vetor v, Ri do vetor f, kij da matriz K, djj da matriz D, lij da matriz LT e mj é o índice da primeira linha da matriz na coluna j a possuir um termo

34

não-nulo, ou seja j-mj é o comprimento da coluna. Os termos gij são apenas termos intermediário. Os termos djj e lij são armazenados no mesmo arranjo onde K estava armazenado, sem penalidade, com o intuito de salvar espaço na memória do computador, já que os termos na diagonal de LT são sempre 1.

Em seguida, a retro-substituição de u é realizada com os seguintes passos:

onde um vetor auxiliar é armazenado para cada i de modo a alimentar a próxima iteração. O vetor auxiliar é indicado pelo superescrito.

Exemplo 3.5.3

Considerando a seguinte matriz de rigidez K e o vetor de carregamentos v:

temos m1 = 1, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 3, m5 = 1.

Seguindo o algoritmo, temos d11 = 2 e V1 = 0.

Para j = 2, temos:

Para j = 3, temos:

Para j = 4, temos:

35

Para j = 5, temos:

Os termos finais do arranjo que agora contém D e LT e do vetor v são, portanto:

Para iniciar a retro-alimentação, dividimos os termos de V pelos termos correspondentes de D, obtendo:

Portanto

Para i = 5

36

Para i = 4

Para i = 3

Para i = 2

37

4 TESTES DE VERIFICAÇÃO

Foram realizados alguns testes de verificação da implementação dos elementos ao longo da mesma. Notavelmente, destacam-se os testes extraídos da literatura a seguir, cada um com um foco específico, de modo a comprovar a acurácia do programa e explicitar suas limitações.

Além de se comparar com resultados analíticos dos testes, o programa FEMSIMULATION foi comparado com o programa comercial ANSYS Mechanical APDL. O elemento usado neste foi o SHELL181, elemento de casca de formulação similar ao implementado. Todos os resultados numéricos apresentados foram extraídos dos resultados nodais de seus respectivos programas.

4.1 COMPORTAMENTO DE MEMBRANA

Para exemplificar e verificar o comportamento de membrana, foi escolhido um caso clássico de Estado Plano de Tensão: uma chapa finita delgada tracionada com um furo circular central. Por causa do furo, os esforços internos deixam de ser unidimensionais e passa a ser bidimensionais, de modo a compensar a ausência de rigidez do furo.

4.1.1 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO

Perto da face carregada, os esforços tendem a ser unidimensionais, equilibrando diretamente o carregamento distribuído. Podemos trivialmente determinar que a tensões longitudinais imediatamente nas faces carregadas da chapa são

∙∙

onde q é a carga linear distribuída na face, t a espessura da chapa e b a largura da chapa.

Já na seção transversal ao carregamento que corta o furo diametralmente, seria de se esperar que a tensão longitudinal fosse

∙∙

onde D é o diâmetro do furo. Chamaremos de tensão nominal.

Figura 4.1 - Distribuição de tensão na região do furo (adaptado de GERE, GOODNO, 2013)

38

Entretanto, a distribuição real na região do furo é indicada Figura 4.1. Embora a média ainda seja a tensão nominal, podemos observar uma grande concentração de tensão ao se aproximar do mesmo. Seu valor máximo é dado por Young, Budynas e Roark (2002) como

∙

3 3.13 ∙ 3.66 ∙ 1.53 ∙

4.1.2 CASO TESTE

O caso teste consiste em uma chapa de aço quadrada de 0.1m de aresta com 0.01m de espessura com um furo circular centrado de 0.02m de diâmetro. Uma das arestas está sendo tracionada por uma força de 10kN uniformemente distribuída, ou seja, 100kN/m. O módulo de elasticidade é de 200 GPa e o coeficiente de Poisson 0.3.

Figura 4.2 - Modelo físico completo

Como se trata de um caso com um gradiente grande de tensões, é importante ter em mente que a formulação CST do efeito membrana atrapalha a solução. Portanto, é necessário um bom refinamento de malha, principalmente na região ao entorno do furo. Para evidenciar este problema, o caso teste foi analisado com 4 diferentes níveis de refinamento (Figura 4.4). Os resultados de cada malha serão apresentados individualmente seguidos de uma análise de convergência.

Para economizar tempo de processamento, o modelo foi dividido em seus dois eixos de simetria. As condições de contorno foram aplicadas de modo a refletir tal simplificação de modelo, conforme a Figura 4.3. As tensões extraídas são na face carregada e no corte de simetria transversal ao carregamento.

39

Figura 4.3 - Modelo físico simplificado

A Tabela 4 apresenta os valores esperados de acordo com as equações apresentadas na seção anterior.

Tabela 4 - Valores esperados

(MPa) 10.00

(MPa) 12.50

2.51

(MPa) 31.35

40

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.4 - Malhas de: (a) 46; (b) 176; (c) 632; e (d) 2488 elementos

41

4.1.3 RESULTADOS

Primeiramente, são apresentadas as tensões na direção do carregamento nos nós da face carregada e da face de simetria, ao longo das mesmas. É possível notar o aumento não apenas do valor da tensão no limite do furo como também o aumento de sua concentração quando a malha é refinada. Isso se deve à melhor representação da distribuição de tensões ao se usar mais elementos CST em uma região de grande gradiente de tensões.

Em seguida, são apresentadas imagens colorizadas com glifos representando as direções principais de tensão em cada nó da malha (vermelho para compressão e azul para tração) e o espectro de cores representando a distribuição de tensões no eixo Y, paralelo ao carregamento. É possível observar que na malha menos refinada não há tração neste eixo, porém nas malhas mais refinadas há. Isso se deve à mesma razão apresentada anteriormente.

Por último, são apresentados os gráficos de convergência do valor de para os

diferentes níveis de refinamento. Nesses gráficos, o programa FEMSIMULATION é comparado com o ANSYS, de modo a verificar sua acurácia. É possível observar que o comportamento dos dois programas é muito similar, ambos convergindo para um valor um pouco acima do valor teórico com aproximadamente a mesma taxa de convergência.

42

Malha com 46 elementos

Figura 4.5 – σy ao longo das faces carregada e de simetria

Figura 4.6 - Distribuição de σy e direções principais de tensão (tensões em Pa)

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Syy (M

Pa)

X (m)

Corte Face

43


Figura 4.7 – σy ao longo das faces carregada e de simetria


0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Syy (M

Pa)

X (m)

Corte Face

44


Figura 4.9 - σy ao longo das faces carregada e de simetria


0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Syy (M

Pa)

X (m)

Corte Face

45


Figura 4.11 - σy ao longo das faces carregada e de simetria


0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Syy (M

Pa)

X (m)

Corte Face

46

Convergência

Figura 4.13 – Convergência absoluta de σy

max

Figura 4.14 – Erro relativo de σy

max

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0 500 1000 1500 2000 2500

Syy (M

Pa)

Número de elementos

Syy FORTRAN Syy ANSYS Valor Esperado

‐40%

‐35%

‐30%

‐25%

‐20%

‐15%

‐10%

‐5%

0%

5%

0 500 1000 1500 2000 2500

Erro relativo

Número de Elementos

Erro Relativo FORTRAN Erro Relativo ANSYS

47

4.2 COMPORTAMENTO DE PLACA

Para exemplificar e verificar o comportamento de placa, foi escolhido um caso elaborado por Bernardino (2016): uma laje finita delgada simplesmente apoiada em todos os bordos, submetida a uma carga transversal uniforme.

4.2.1 CASO TESTE

A Figura 4.15 apresenta o modelo físico. Consiste em uma placa de aço retangular de 2m de comprimento, 1m de largura e 30mm de espessura. Todas as arestas têm seus graus de liberdade de translação restritos e a placa está sujeita a um carregamento uniforme de 10kN/m² no sentido negativo de Z. O módulo de elasticidade é de 200GPa e o coeficiente de Poisson 0.3.

Figura 4.15 – Modelo físico

A Figura 4.16 apresenta a malha utilizada na análise. A origem do modelo se encontra no centro geométrico da placa. O problema foi analisado pelo programa FEMSIMULATION e comparado com o ANSYS.

Bernardino (2016) utilizou 3 metodologias numéricas (Navier, Rayleigh-Ritz e o programa comercial SAP2000) para analisar o problema. Os resultados obtidos por ele são apresentados a seguir. A origem de seu modelo se encontra em um dos vértices, conforme a Figura 4.15.

48

Figura 4.16 - Malha de 1600 elementos

Figura 4.17 - Flecha ao longo de Y no centro do vão (BERNARDINO, 2016)

49

Figura 4.18 - Sxx ao longo de Y no centro do vão (BERNARDINO, 2016)

Figura 4.19 - Txy ao longo de X no bordo Y+ (BERNARDINO, 2016)

50

4.2.2 RESULTADOS

Primeiramente são apresentadas as flechas no centro do vão ao longo das direções X e Y. Os resultados são muito similares aos de Bernadino (2016) e ao ANSYS.

Em seguida são apresentadas as tensões normais na face superior da placa ao longo da direções X e Y, assim como as tensões cisalhantes na face superior da placa ao longo do bordo Y+. É possível observar uma discrepância nos resultados ao longo dos comprimentos, com uma descontinuidade no centro do vão. A descontinuidade torna suspeita a escolha de metodologia de interpolação das tensões.

Figura 4.20 - Flecha ao longo de X no centro do vão

Figura 4.21 - Flecha ao longo de Y no centro do vão

‐2.50E‐04

‐2.00E‐04

‐1.50E‐04

‐1.00E‐04

‐5.00E‐05

0.00E+00

‐0.5 ‐0.4 ‐0.3 ‐0.2 ‐0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

UZ (m

)

X (m)

ANSYS Fortran

‐2.50E‐04

‐2.00E‐04

‐1.50E‐04

‐1.00E‐04

‐5.00E‐05

0.00E+00

‐1 ‐0.8 ‐0.6 ‐0.4 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

UZ (m

)

Y (m)

ANSYS Fortran

51

Figura 4.22 - Sxx ao longo de X no centro do vão (face superior)

Figura 4.23 - Syy ao longo de X no centro do vão (face superior)

‐8.00E+03

‐7.00E+03

‐6.00E+03

‐5.00E+03

‐4.00E+03

‐3.00E+03

‐2.00E+03

‐1.00E+03

0.00E+00

‐0.5 ‐0.4 ‐0.3 ‐0.2 ‐0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Sxx (kPa)

X (m)

ANSYS Fortran

‐4.00E+03

‐3.50E+03

‐3.00E+03

‐2.50E+03

‐2.00E+03

‐1.50E+03

‐1.00E+03

‐5.00E+02

0.00E+00

‐0.5 ‐0.4 ‐0.3 ‐0.2 ‐0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Syy (kPa)

X (m)

ANSYS Fortran

52

Figura 4.24 - Sxx ao longo de Y no centro do vão (face superior)

Figura 4.25 - Syy ao longo de Y no centro do vão (face superior)

‐8.00E+03

‐7.00E+03

‐6.00E+03

‐5.00E+03

‐4.00E+03

‐3.00E+03

‐2.00E+03

‐1.00E+03

0.00E+00

‐1 ‐0.8 ‐0.6 ‐0.4 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sxx (kPa)

Y (m)

ANSYS Fortran

‐4.00E+03

‐3.50E+03

‐3.00E+03

‐2.50E+03

‐2.00E+03

‐1.50E+03

‐1.00E+03

‐5.00E+02

0.00E+00

‐1 ‐0.8 ‐0.6 ‐0.4 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Syy (kPa)

Y (m)

ANSYS Fortran

53

Figura 4.26 – Txy ao longo de X na borda Y+ (face superior)

‐4.00E+03

‐3.00E+03

‐2.00E+03

‐1.00E+03

0.00E+00

1.00E+03

2.00E+03

3.00E+03

4.00E+03

‐0.5 ‐0.4 ‐0.3 ‐0.2 ‐0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Txy (kPa)

X (m)

ANSYS Fortran

54

4.3 COMPORTAMENTO DE CASCA

Para exemplificar e verificar o comportamento de casca, foi escolhido o caso clássico do telhado de Scordelis-Lo (Figura 4.27): um arco cilíndrico sustentado por membranas rígidas submetido a peso próprio. Por causa da curvatura, parte do peso é sustentado pela rigidez de membrana e parte pela rigidez à flexão. (Zienkiewicz, 1977)

Figura 4.27 - Telhado de Scordelis-Lo

4.3.1 CASO TESTE

O modelo consiste em um arco cilíndrico de abertura de 80º, raio de 25ft, comprimento de 50ft (no eixo Y) e espessura de 0.25ft. A densidade do material é 300 pcf, o módulo de elasticidade é de 4.32 Mlbf/ft² e o coeficiente de Poisson 0. Todos os nós nas extremidades curvas apresentam restrições nas translações em X e Z, além de restrição na rotação em Y. As extremidades retas são livres.

O caso teste foi analisado com 4 diferentes níveis de refinamento para uma análise de convergência, como apresentado na Figura 4.28.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.28 - Malhas com: (a) 400; (b) 2500; (c) 10000; e (d) 40000 elementos

55

4.3.2 RESULTADOS

Primeiramente, são apresentadas imagens colorizadas dos deslocamentos no eixo Z. É possível notar que o maior deslocamento se dá na aba livre. Também é possível verificar que a linha central longitudinal sobe contra a gravidade, indicando dominância da flexão na região.

Em seguida, são apresentados os gráficos de convergência do valor de para os diferentes níveis de refinamento. Nesses gráficos, o programa FEMSIMULATION é comparado com o ANSYS, de modo a verificar sua acurácia. É possível observar que o comportamento dos dois programas é muito similar, ambos convergindo para um valor um pouco acima do valor teórico com aproximadamente a mesma taxa de convergência.

56

Deslocamento em Z

Figura 4.29 - Deslocamento no eixo Z em ft

Figura 4.30 - Deslocamento no eixo Z em ft (corte transversal)

57

Convergência

Figura 4.31 - Deslocamento máximo no eixo Z (em ft)

Figura 4.32 - Erro relativo do deslocamento máximo no eixo Z (%)

-2,569E-04

-2,906E-04

-2,979E-04 -2,999E-04

-2,366E-04

-2,901E-04

-2,983E-04 -3,006E-04-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0100 1000 10000 100000

uz máximo (ft)


Solução Analítica FEMSIMULATION ANSYS Mechanical 13.0

16.75

5.833.47 2.82

23.33

6.00

3.33 2.590.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

100 1000 10000 100000

%


FEMSIMULATION ANSYS Mechanical 13.0

58

5 CONCLUSÃO

5.1 RESULTADOS

O trabalho foi extremamente proveitoso. Muito foi aprendido sobre elasticidade geral e estudo de cascas. Um programa de elementos finitos com elemento de casca foi implementado com resultados primários próximos da literatura e muito próximos do programa comercial ANSYS.

A avaliação de tensões de flexão apresentou pequeno desvio comparado ao ANSYS, porém as tensões de membrana se apresentaram muito próximas. Por se tratar de um resultado de pós-processamento de dados, é possível que a escolha da interpolação de tensões dos pontos de integração para os pontos nodais tenha sido equivocada.

5.2 TRABALHOS FUTUROS

5.2.1 ESTUDO DE DESVIOS

Visando analisar os desvios observados nos resultados de tensão de flexão, um estudo mais rigoroso é recomendado. Podem ser derivados tanto de erros no algoritmo em si quanto nas escolhas tomadas na implementação do mesmo.

5.2.2 IMPLEMENTAÇÃO PRÓPRIA PARA MATRIZES ESPARSAS

O tempo de execução do código ainda pode ser diminuído com a implementação de certas otimizações. A redução da banda da matriz através de algoritmos de reordenação de nós, como comentado no Capítulo 3, reduzirá a número total de contas realizadas na eliminação gaussiana. Isso se dá devido ao grande número de termos nulos presentes dentro do esquema “skyline” quando a numeração de nós não é otimizada.

5.2.3 IMPLEMENTAÇÃO DE ELEMENTOS DE MAIOR ORDEM

O elemento CST se demonstrou muito limitado em problemas com grandes gradientes de tensão de membrana. A implementação de elementos com mais pontos de integração certamente aliviaria tal limitação. A modularidade do código permite a implementação de outros elementos sem reprogramar a leitura dos dados de entrada, a eliminação gaussiana ou a escrita dos dados de saída, facilitando o processo.

59

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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