análise espectral · representação da série de fourier c n = amplitude n = fase 4/ 4/3 a n b n...

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Universidade Técnica de LisboaINSTRUMENTAÇÃO E AQUISIÇÃO DE SINAIS

1º Semestre 2007/2008

15

Análise Espectral

outra forma de olhar para os sinais




16

Conteúdo

• Análise Espectral: uma ferramenta indispensável

• Viagem no tempo (Canal História)

• Séries de Fourier(FS) – Fourier Series (FS)

• Sinais de Energia e Potência

• Séries de Fourier Discretas (SFD) – Discrete FourierSeries (DFS)




17

Porquê análise espectral?

• Constitui uma forma alternativa de identificar, descrever e analisar sinais que é complementar da análise no tempo.

• Permite a identificação e supressão selectiva de fontes de interferência coerentes.

• Proporciona uma forma rápida e eficiente de identificar as componentes de um sinal.

• Poderá simplificar o problema original - ex.: resolver Eq. Difer. Par. (PDE), auto e correlações cruzadas etc.

• Existem vários algoritmos numéricos que a implementam de forma extremamente eficiente (DSPs, FPGAs etc).




18

Análise Espectral – uma ferramenta

s(t), S(f ) :

Par de Transformação

tempo, t frequência, f

Fs(t) S(f ) = F[s(t)]

análise

síntese

Sinais EléctricosSaídas de sensores{ Som, Imagem, EMG, ECG, EEG etc.}

Entradas de actuadores

• Excitação de sinais

• Decomposição em frequência

(Densidade Espectral de Potência)

• Supressão de Componentes (filtros)

• Determinação de periodicidade




19

Sinal de Entrada | tempo | Período | Nome | Espectro | Coef. Espectrais

1N

0n

N

nkπ2j

es[n]N

1kc

~

Discreto

DiscretoDFSPeriódico (período T)

ContínuoDTFTAperiódico

DiscretoDFT

nfπ2je

n

s[n]S(f)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, tk

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, tk

1N

0n

N

nkπ2j

es[n]N

1kc

~

Nota: j = -1, = 2 /T, s[n] = s(tn), N = No. de amostras

dttfπj2

es(t)S(f)

dt

T

0

tωkjes(t)T

1kc

Periódico (período T) Discreto

ContínuoFTAperiódico

FSContínuo

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

time, t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12

time, t

Análise Espectral – uma ferramenta

N




20

Canal História

• Previsões de astronomia pelos Babilónios e Egípcios provavelmente recorriam a somas trigonométricas.

• 1669: Newton tropeça no espectro de luz (specter = fantasma) mas não reconhece o conceito de “frequência” (teoria corpuscular da luz).

• Século 18: dois problemas eminentes

– Órbitas dos corpos celestiais: Lagrange, Euler & Clairaut fazem uma aproximação dos dados de observação com uma combinação de funções periódicas; Clairaut, 1754(!) primeira fórmula DFT.

– Cordas vibratórias: Euler descreve o movimento de vibração da corda por sinusóides (equação da onda).




21

Canal História

• 1807: Fourier apresenta o seu trabalho na condução do calor Nasce a análise de Fourier.

– Equação da difusão Séries (infinita) de senos & cosenos. Fortes críticas por pares bloqueia publicação. Trabalho só publicado em 1822 (“Theorie Analytique de la chaleur”).

• 19th / 20th century: dois caminhos para a análise de Fourier - Continuo & Discreto.

– CONTINUO

• Fourier extende a análise para funções arbitrárias (Transformada de Fourier).

• Dirichlet, Poisson, Riemann, Lebesgue pegam no problema da convergência da série.

• Outras variantes da TF nascem de necessidades várias (ex.: Short Time FT – análise da fala).




22

Canal História

– DISCRETO: métodos de cálculo rápidos (FFT)

• 1805 - Gauss, primeira utilização da FFT (manuscrito em latim passou despercebido!!! Publicado em 1866).

• 1965 - Cooley & Tukey da IBM “redescobrem” o algoritmo da FFT (“An algorithm for the machine calculation ofcomplex Fourier series”).

• Outras variantes da DFT para outras aplicações (ex.: Warped DFT - filter design & signal compression).

• Algoritmo FFT refinado & modificado para várias plataformas computacionais.




23

Séries de Fourier

• Uma função periodica s(t) que satisfaça as condições de Dirichlet (1)

pode ser expressa como uma série de Fourier, com termos seno e coseno harmonicamente relacionados,

(1) Próximo acetato

a0, an, bn : coef. de Fourier.

n: harmónica,

T: período, = 2 /T

0 n n

n 1

s(t) a a cos (nωt) b sen (nω t)

Para todo t, exceptuando discontinuidades

síntese

Nota: {cos(nωt), sen(nωt)}nformam uma base ortogonal num espaço funcional.

0

0

1a s( )

T

t dtT

n

0

2b s( ) sen( )

T

t n t dtT

n

0

2a s( ) cos( )

T

t n t dtT

(média do sinal num período, i.e. termo DC ou componente de frequência zero.)

análise




24

Convergência da Série de Fourier

s(t) contínua por troços;

s(t) monotónica por troços;

s(t) absolutamente integrável, 0

s( )

T

t dt

(a)

(b)

(c)

Condições Dirichlet

Em qualquer

período

Exemplo:

onda quadrada

T

se s(t) não for contínua então

|an|<M/n para n grande (M>0)

Taxa de convergência

(a)

(b)

(c)

T

s(t)




25

Sinais que violam condições de Dirichlet

(c)(b)(a) (c)(b)(a)




26

Sinais que violam condições de Dirichlet

(c)(b)(a)




27

Análise da Série de Fourier

SF de função ímpar odd*: onda quadrada.

2

0

0

1( 1) 0

2a dt dt

2

0

1cos cos 0na nt dt nt dt

2

0

1 2sen sen ... 1 cosnb nt dt nt dt n

n

4ímpar

0 par

nn

n

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10t/s

s(t)

/V

2 1T

(média nula)

(função ímpar)

4 4 4s( ) sen sen 3 sen 5 ...

3 5t t t t

* Funções Pares e Ímpares

Ímpar:

s(-x) = -s(x)

x

s(x)

s(x)

x

Par:

s(-x) = s(x)




28

Representação da Série de Fourier

cn = amplitude

n = fase4/π

4/3π

an

bn f1

f1

3f1

3f1

5f1

5f1

f

f

Cartesiana

vn = ancos( nt) + bnsen( nt)

Espectro de Fourierda onda quadrada

vn = cn cos( nt + n)

Polar

-π/2

cn

θn

4/π

4/3π

f1

f1 3f1

3f1

5f1

5f1 f

f

0

1

0

1

s( ) cos sen

s cos

n n

n

n n

n

t a a n t b n t

t a c n t

DC f 2 f 3 f n ff 2 f 3 f

+ + + + + +

2 2

n n nc a b

cn

n

an

bn

arctan nn

n

b

a

,

EspectroFrequência




29


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10t/ss

(t)

/V

SF de função par: ondaquadrada com avanço de /2

0

0

0

4ímpar, 2 par 1

4- ímpar, 2 ímpar 1

par0

0

n

n

a

n nn

a n nn

n

b

(função par)

(média nula)

amplitudes não mudam, MAS

as fases avançam n /2.

π

f1 f/Hz

rn

θn

4/π

4/3π

3f1 5f1 7f1

f1 3f1 5f1 7f1 f/Hz




30


• Simplificações

– Sinais sem componente DC: a0 = c0 = 0

– Sinais com simetria par: bn = 0, cn = an

– Sinais com simetria ímpar: an = 0, cn = bn

– Sinais com simetria de ½ onda: an = bn = cn = 0,

for n = 2k, k

t

s(t)

0s s2

Tt t




31

Representação Espectral

• Os coeficientes cn constituem o espectro discreto de s(t).

• O espectro de amplitude corresponde aos valores absolutos dos coeficientes cn.

• O espectro de fase corresponde aos coeficientes Θn.

• O espectro habitualmente é representado em 2 gráficos nos quais a abcissa pode ser linear ou logarítmica.

• O eixo das ordenadas no espectro de amplitude pode ser expresso em dB ou em V.




32

Espectro de uma onda triangularA = 0,8 V f = 100 Hz

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

t /s

u (t ) /V

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

f /Hz

A n /dB

u(t

)/V

cn/d

B

2 2

8n

Ac

n

• Só tem harmónicas

ímpares – simetria de

½ onda.

• Amplitudes das

harmónicas diminui

com 1 / n2

• Por exemplo, c3=c1/32




33

Espectro de uma onda quadradaA = 0,5 V f = 100 Hz

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

t /s

u (t ) /V

-30

-20

-10

0

10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

f /Hz

A n /dB

4n

Ac

n

• Só tem harmónicas

ímpares – simetria de

½ onda.

• Amplitudes das

harmónicas decresce

com 1 / n

• Por exemplo, c5=c1/5

u(t

)/V

cn/d

B




34

Espectro de uma onda rectangular

tT

A

T

s( )t 0

0

1

TA

a dt AT

sen 2n

Aa n

n

1 cos 2n

Ab n

n

2sen 2 sincn

Ac n A n

n0n




0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

A/V

0 5 10 15 20 25 30 35 400

20

40

60

80

100

120

140

160

180

n

/º

35


0.25

40

1V

n

A

nc

sen 0 ,k

n n k

cn/V

Θn/º

n

n




36


-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

n

cn/d

Bc

n/d

B

n

10 10

1

20log 20logncn

c

/ dBnc




37

Síntese da Série de Fourier

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 1

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 3

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 5

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 7

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 9

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 11

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 13

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 17

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

t /s

u (t ) /V

N = 15

s(t)/V

t /s

1

s 0 cosN

n nn

t c n t




38

Série de Fourier – Complexos

• A formulação de Euler permite uma representação eficiente da SF que será igualmente útil para a transformada,

1 1

1cos sen

2

j t j t

n n n n n n

n n

a n t b n t a jb e a jb e

cos ; sen2 2

jn t jn t jn t jn te e e en t n t

j

1.

1

10

1 1

2 2

jn t jm t jn t

n n m m n n

n m nn

a jb e a jb e a jb e2.

;

jm t jn t

m n m n

e em n

a a b b 0 0

2

jn t jn tn nn

n nn n

a jbe c e




39


• para n≠0 temos,

• para n=0 temos,

0

1s cos sen

2 2

T

n nn

a jbc t n t j n t dt

T

0

1s s

T

jn t jn tt e dt E t eT

0 0 sc a E t




40

s2

jn t jn tn nn

n n

a jbt e c e


0

1T

jn t jn t

nc E s t e s t e dtT

Formulação por complexos da SF (Laplace 1782). Harmónicas cn distanciados por f = 1/T no eixo das frequências.




41

As componentes de Fourier {un} formam uma base ortonomal do

espaço de sinais:

Def.: Produto Interno:

(Lembre-se: (ejt)* = e-jt )

Neste caso,

i.e. (1/ T) vezes a projecção de s(t) segundo a componente un.

SF – Base Trigonométrica Ortonormada

0

1,jn t

n e nT

u

,

1

0m n m n

m n

m nu u

T

*

n m n m

0

dtu u u u

s n

n

tc

T

u




42

• Na representação complexa da SF

temos: n = -∞, ,0, ,+ ∞

•

• n > 0, amplitude complexa gira no sentido

contrário ao dos ponteiros do relógio (laranja).

• n < 0, amplitude complexa gira no sentido do ponteiro dos relógios

(verde),equivalente a tempo negativo inversão temporal.

• Cuidado: Fases são extremamente importantes quando se

combinam sinais.

SF – Frequências negativas e inversão temporal

cn

n

an

bn

nn > 0

n < 0

,n n nn t




43

Análise Espectral – Sinais não periódicos

• Estamos interessados em estender a representação espectral

a sinais não periódicos.

• Um sinal aperiódico pode ser entendido como um cenário

limite de um sinal periódico para o qual,

0Ts t

00T0

2T0

2T

0T t

0T

00T0

2T0

2T

0T t

0T

t

s t 0sT t




44

• No limite as duas funções serão idênticas,

• A expansão em SF do sinal periódico corresponde a,

• Integrar no intervalo é o mesmo que

integrar no intervalo


0sT t 0 0;

2 2

T T

s t ;

00

lim s ( ) s( )TT

t t

0

0s ( )

jn t

T n

n

t c e

02

0

0

02

0

1s ( )

T

T

jn t

n Tc t e dtT

0

0

1s

jn t

nc t e dtT




45


• É interessante analisar como evolui o espectro com o incremento do período. Com esse intuito definimos,

• Os coeficientes correspondem às amostras de

(multiplicadas pelo factor ) e uniformemente espaçadas de um

intervalo

S s j tt e dt 0

0

1Snc n

T

nc S

01 T

1

0 rads

nc

S




46


• No limite, , as componentes do espectro

têm um espaçamento nulo e a amplitude esvanece

(infinitésimal).

• Substituindo na expressão de sinal sinal periódico,

– quando , torna-se infinitésimal e podemos recorrer à

notação,

0 0, 0, 0nT c

nc

0

0

0

0

Ss

jn t

T

n

nt e

T

0T

0

2

T 0

Ss

2

jn t

T

n

nt ee

0

00 , 0, TT s t s t0

1s lim S

2

jn t

n

t n e




47


• A expressão

pode ser entendida como a área sob a função (Integral de Riemann)

0

1s lim S

2

jn t

n

t n e

S j te

S jnn e

S j te1

s S2

j tt e d




48


• Transformada de Fourier

02

02

2

0

0

1, S s

T

T

j n f t

nf n f t e dt c TT

0 0 S( ) S( )T f n f f n f f

2S s( ) j ftf t e dt




49

Transformada de Fourier - Propriedades

s t S

1. Linearidade

2. Desloc. no tempo

3. Desloc. na Frequência

4. Derivada temporal

5. Convolução (tempo)

6. Correlação (tempo)

1 2s sa t b t 1 2S Sa b

0s t t 0 Sj t

e

0 sj t

e t0S

sn

n

dt

dtS

nj

s f s ft t t d S F

s f s ft t t d*S F




50

Transformada de Fourier - Propriedades

s t S

7. Integral no Tempo

8. Inversão no Tempo

9. Conjugado

10. Simetria

s t S

*s t *S

S t 2 s

s t dtS

S 0j




51

TF de algumas ondas importantes




52

• Considerando uma função arbitrária como uma tensão aos terminais de uma resistência unitária

• Sinais de Energia são limitados no tempo.

• Como regra, transitórios (sinais esporádicos determinísticos não periódicos) são sinais de energia.

• A média da potência num longo intervalo temporal (→∞) é zero.

Energia e Potência

s t

2spotência (VA)

1

t

2s t dt Sinal de Energia

2s (J)

b

a

E t dt

Energia




53

Energia e Potência

• Um sinal de potência finita corresponde a um sinal com um período infinito e energia infinita, mas que tem uma média de potência finita,

• Como regra, sinais estocásticos e sinais periódicos determinísticos são sinais de potência.

• Sinais de potência cumprem sempre os critérios de Dirichlet para a convergência da série de Fourier.

2

0

10 lim s

T

TP t dt

T

Sinal de Potência




54

Série de Fourier - Potência

• A potência pode ser determinada a partir da descrição em frequência do sinal, como estabelecido pelo,

• Nem a potência, nem o valor eficaz, dependem das fases das harmónicas Θn !!

2

2

0 0

10 0

22 2

0

1

1 1s cos

S2

T T

s n n

n

nRMS

n

P t dt a c n t dtT T

ca

Teorema de Parseval: Um sinal periódico s(t) é um sinal de

potência, assim como cada uma das componentes da série de Fourier

correspondente. A potência P de s(t) é igual à potência da sua

descrição em série de Fourier,

Potências somam-se

algebricamente !!!




55

Séries de Fourier - Potência

2

2

0

1

1 1u cosef n n

nT T

U t dt c c n t dtT T

0

0 1

u cos cosn n n n

n n

t c n t c c n t

2

01cos cos 2

0

n

n n m m

T

cm n

c n t c m t dtT

m n

2

2

0

1

s s2

nef

n

cU c t t




56

Transf. de Fourier - Potência

• Para sinais não periódicos (Transformada de Fourier), o teorema de Parseval é expresso analiticamente por,

• A Densidade Espectral de Potência DEP (Power Spectral Density - PSD) corresponde a,

2 2*1s S S S

2E t dt d f df

2* 2 1S S S V HzPSD

Nota: Em ambas as definições, S( ) e S(f), correspondem à TF de s(t)




57

Transf. de Fourier - Correlação

• A autocorrelação de um sinal s(t) pode ser expressa

analiticamente (sinais estacionários) por,

• O teorema de Wiener-Khinchin estabelece uma importante relação entre a auto-correlação de um sinal e a sua densidade espectral de potência,

R s s s st t dt E t t

*S S R RjPSD e d




58


• Em particular, é verdadeira a seguinte identidade para sinais estocásticos estacionários,

• Uma forma particularmente eficiente de numericamente determinar a auto-correlação de um sinal consiste em determinar a transformada de Fourier inversa da DEP,

1

0R 0

tP PSD

*1R S S

2

jne d




59


• O teorema de Wiener-Khinchin é extensível à correlação cruzada,

*1R

2

jn

xy Y X e d




60

Correlação Cruzada – um Exemplo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

s

V

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

s

V

f1 f2 f3 f4 f5x(t

)y(t

)R

xy(

)

f4




61

Correlação Cruzada – um Exemplo

0 5 10 15 20 25 30 35-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

1.00 Hz2.90 Hz 5.00 Hz 7.00 Hz 15.00 Hz

Hz

dB

VX(

) /d

BV

Hz




62

Série de Fourier Discreta - DFS• Em sistemas digitais, nos quais o tempo não é contínuo, torna-

se necessário formalizar a variante de tempo discreto da Série de Fourier… Discrete Fourier Series.

• Para um sinal de largura de banda limitada s[k] com um período N, i.e., s[k] = s[k+N], a DFS é definida por,

0

1T

jn t

nc s t e dtT

Nota: cn+N = cn igual período N

Periodicidade propaga-se para as frequências

Síntese: Soma finita s[k] com larg. de banda finita

s jn t

n

n

t c e

21

0

1s

nkN jN

n

k

c k eN

21

0

nkN jN

n

n

s k c e




63

Série de Fourier Discreta - DFS

• DFS gera coeficientes cn periódicos, com o mesmo período do sinal.

• N amostras consecutivas de s[k] descrevem completamente s nos domínios do tempo ou da frequência.

• Ortogonalidade da DFS,

2 ( )1

,

0

1n m kN jN

n m

k

eN




64

Série de Fourier Discreta - Representação

• Representação DFS de uma onda quadrada com 1V de amplitude,

s[k]: período N, factor de ciclo fc/N

-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

0 dc N

1

s[k]

1

, 0, , 2 ,

sen

, caso contrário

sen

n dcj

n N

fcn N N

N

n dcc

e N

nN

N

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

1

0 2 4 5 6 7 8 9 10 n

-0.4

0.2 0.24 0.24

0.6

0.6

0.24

1

0.24

-0.2

0.4

0.2

-0.4

-0.2

0.4

0.2

0.6 |cn|

n

Sinais discretos Espectro Periódico




65

Discrete Time Fourier Transform - DTFT

• Tal como no contínuo, há uma extensão para a decomposição em frequência de sinais não periódicos, a Discrete Time Fourier Transform – DTFT.

• A DTFT é definida por,

• Derivado da DFS fazendo N ∞,

21

0

1s[ ]

nkN jN

n

k

c k eN

Domínio da frequência contínuo!!!

2

0

1[ ]

2

j ks k S f e d

2s j f k

k

S f k ek

s[k] 1 período

s[k]

k




66

Sistemas Digitais Lineares Invariantes no Tempo

• Obedecem ao princípio da sobreposição,

0 f

1

DTFT( [k])

DIGITAL LTI

SYSTEM

h[k]

x[k] y[k]

h[k] = impulse response

DIGITAL

LTI

SYSTEM 0 k

[k] 1

0 k

h[k]

DIGITAL

LTI

SYSTEM

0m

h[m]m]x[nh[n]x[n]y[n]x[n] h[n]

X(f) H(f) Y(f) = X(f) · H(f)

Convolução

Transformada de Fourier

h[k] = resposta impulsiva




67

DTFT - Amostragem & Convolução

Amostrar s(t)corresponde amultiplicar s(t)pela função depente iii(t)

s[k] = s(t) x iii(kts)

s(t) S(f)

Time Frequency

t f

t f

tsfs= 1/tsiii(t) III(f)

k f

s[k] S(f)

{}

s iii S *IIIF

t t f f




68

Discrete Fourier Transform - DFT

•A DFT é definida por

•Resolução na frequência

•Domínios do tempo e da frequência discretos.

•Forma similar à DFS mas para sinais não periódicos: algoritmicamente o sinal é tratado como periódico com período N.

21

0

1[ ]

nkN jN

n

k

c s k eN

21

0

snkN j

Nn

n

k c e

“Cestos” DFT localizados nas freq. de análise

DFT – como se existissem N filtros passabanda centrados em fm

Freq. de análise fm

, 0,1,2... 1Sm

m ff m N

N




69

Discrete Fourier Transform - Espectro

• Espectro da Transformada Discreta de Fourier

• N é o número de amostras (total) na série temporal.

• T é a duração, em segundos, da série temporal.

• fs é a freq. de amostragem em amostras/segundo (Hz) or (Aps).

• f é a resolução em frequência ou espaçamento entre “cestos”

consecutivos (Hz).

• Para um número de pontos potência de 2, existe um algoritmo extremamente eficiente que explora a simetria, a FFT.

21

0

1S s

s

nkN j tN

n

k

n c k eT

n f1 1s

s t

ff

N Nt Tskt

1s

s

tf

0,1, , 1n N,




70

Discrete Fourier Transform - Exemplos

• Exemplos da DFT: onda rectangular.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[k]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[n]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

[k]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

[n]




71

Discrete Fourier Transform - Exemplos

• Exemplos da DFT: sinc.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

1

[k]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

[n]




72

Discrete Fourier Transform - Propriedades

1. Linearidade

2. Multiplicação

3. Convolução

4. Desl. no tempo

5. Desl. na frequência

6. Correlação

1

1 2

0

s [ ] s [ ]N

m

m k m

2

S( )n m

jTe n

2

s[ ]h t

jTe k

1 2s sa k b k 1 2S Sa n b n

1 2s sk k1

1 2

0

1S S

N

h

h n hN

1 2S Sk k

s k m

S n h

1

1 2

0

s [ ] s [ ]N

m

m k m*

1 2S Sk k

s[k] S[n]




73

t 0 T/2 T 2T f

s[k] S(f)

f t

s[k] DFTIDFT

cn

DFT – DFS - DTFT

(a)

(a) Sinal discreto não periódico.

(c) Versão periódica de (a).

(e) Estimativa da DFT inversa de um único período de s[k].

(f) Estimativa da DFT de um único período de (d).

(b)

(b) DTFT transform.

(d) DFS coefficients – samples of (b)

(c)

(d)(e) (f)




74

Distorção Harmónica

• Qualquer circuito de amplificação introduz não linearidades que devem ser conhecidas e acondicionadas, de outra forma constituem erro grosseiro.

• Para uma entrada sinusoidal pura, a existência de não linearidades resultam no aparecimento de harmónicas na saída..

• Este resultado tem sido extensamente utilizado como métrica de não linearidades num sistema, nomeadamente em amplificadores comerciais.

• Distorção harmónica é o rácio entre a amplitude eficaz da fundamental e a amplitude eficaz do sinal sem a fundamental,

2

10 22 1

120 logdB n

n

THD cc




75

Bibliography

• Eric W. Weisstein, from MathWorld, A Wolfram Web Resource

– Fourier Series

• http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

– Fourier Series-Triangle Wave

• http://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesTriangleWave.html

– Fourier Transform

• http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html

• Paul Falstad, Fourier Series Simulation• http://www.falstad.com/fourier/

• eFunda, Fourier Series• http://www.efunda.com/math/fourier_series/fourier_series.cf

análise espectral · representação da série de fourier c n = amplitude n = fase 4/ 4/3 a n b n...

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