análise do comportamento sísmico de um viaduto · palavras-chave acção sísmica resistência...
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Avaliação do comportamento sísmico de um viaduto
Introdução ao EC8 – Análises lineares e não-lineares
João Manuel Morgadinho de Freitas Simões
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientadores: Professora Doutora Rita Nogueira Leite Pereira Bento
Professor Doutor Mário Manuel Paisana dos Santos Lopes
Vogal: Professor Doutor Pedro António Martins Mendes
Novembro de 2010
I
Resumo
Este trabalho surge como necessidade de compreender e aprender a aplicar novos
procedimentos de cálculo, presentes na nova regulamentação europeia que dentro de pouco
tempo entrará em vigor. É por isso imprescindível que os engenheiros se familiarizem com a
mesma, a fim de poderem, não só, aprender novos conceitos, mas também, compreender
melhor outros que utilizavam sem os dominar na íntegra. É disso claro exemplo, a análise
sísmica de estruturas, que apesar de conhecida, e já amplamente realizada (ainda que de
maneira por vezes superficial), é por muito poucos entendida, levando a que se dimensionem
estruturas ineficazmente, para este efeito. Tendo em conta este facto, a nova regulamentação
apelidada de Eurocódigo 8 vem tirar partido dos conhecimentos actuais nesta área, munindo os
engenheiros de ferramentas bastante evoluídas no cálculo anti-sísmico. Assim, poder-se-á
caminhar no sentido de uma menor susceptibilidade a catástrofes em caso de ocorrência de
fenómenos naturais graves. Pretende-se então, com este trabalho, fazer uma primeira
abordagem aos novos procedimentos de cálculo que o Eurocódigo apresenta, fazendo a
verificação de segurança à acção sísmica de um viaduto existente.
Abstract
This dissertation arises from the need to understand and learn to apply new analysis
procedures that are present in the new European regulations, which will be enforced soon.
Therefore, it’s vital that engineers familiarise themselves with them, so that they can not only
learn new concepts, but also get a better understanding of previously used (but not fully
grasped) ones. A clear example of that is seismic analysis of structures. Although well known,
and already widely performed (albeit in a fairly superficial manner), it is fully understood only by
few, which leads to ineffectively dimensioned structures. In light of this fact, the new regulations
(so-called Eurocode 8) take advantage of actual knowledge in this area, providing engineers
with highly evolved tools in for seismic analysis. Thus, it will be possible to progress towards a
lower susceptibility to naturally-caused catastrophes. It is, therefore, the goal of this dissertation
to make a first approach to the new analysis procedures in Eurocode 8, by way of performing
seismic action safety checks on an existing viaduct.
II
Palavras-Chave
Acção sísmica
Resistência sísmica
Eurocódigo 8
Pushover
Rótula plástica
Acelerograma
Análise sísmica não-linear
Modelação tri-dimensional
Resposta sísmica
Coeficiente de comportamento
Keywords
Seismic action
Seismic resistance
Eurocode 8
Pushover
Plastic Hinge
Accelerogram
Non-linear seismic analysis
Tri-dimensional modeling
Seismic response
Behaviour factor
III
Lista de símbolos
Φ – Diâmetro
E – Módulo de Elasticidade
– Valor máximo de tensão de
compressão no betão
γ – Peso volúmico
– Módulo de Deformação
Φ’ – Ângulo de atrito
I – Inércia
– Deslocamento do nó i
– Rotação do nó i
– Distância entre o nó i e o nó j
p – Frequência angular
[K] – Matriz de rigidez
[M] – Matriz de massa
{v}, {ϕ} – Vector de configuração modal
– Deslocamento devido à rotação
- Valor de aceleração na rocha
– Valor de aceleração no solo do tipo C
- Velocidade das ondas de corte
– Nº de pancadas no ensaio SPT
– Aceleração de projecto em solo do
tipo 1 (Rocha)
– Limite inferior do ramo espectral de
aceleração constante
– Limite inferior do ramo espectral de
aceleração constante
– Limite inferior do ramo espectral de
velocidade constante
– Limite inferior do ramo espectral de
deslocamento constante
S – Factor do terreno
ξ – Coeficiente de amortecimento
q – Coeficiente de comportamento
λ( – Função de ductilidade
- shear span ratio do pilar
Ls – Distância entre a rótula plástica e a
zona de momentos nulos
h – altura da secção
CCi – Classe de consequências
Se – Aceleração espectral
- Coeficiente de importância
– Período do modo de vibração i
- valor de combinação quase -
permanente
- Peso do eixo do veículo regulamentar
- Carga rodoviária distribuída
regulamentar
- Massa de betão equivalente à
sobrecarga
G – Aceleração da gravidade
A- Área
L – Comprimento
– Reacção no ponto i
– Momento no ponto i
- Deslocamento devido à acção sísmica
- Deslocamento elástico devido à
acção sísmica
μ – Ductilidade
- Esforço axial actuante
– Momento flector actuante
- Deslocamento objectivo
E – Acção sísmica
- Componente do vector de
configuração modal
– Massa do nó i
p – Factor incremental da carga da análise
pushover
F – Corte basal
A* - Ponto de ocorrência do mecanismo
plástico do sistema de um grau de
liberdade equivalente
- Deslocamento na cedência do
sistema de um grau de liberdade
equivalente
– Corte basal na cedência do sistema de
um grau de liberdade equivalente
- Deslocamento na formação do
mecanismo plástico
- Energia de dissipação
m – declive (de uma recta)
T* - Período do sistema de um grau de
liberdade equivalente
m* - produto dos vectores {m} e {ϕ}
- Deslocamento objectivo de
dimensionamento para o sistema de um
grau de liberdade equivalente
- Deslocamento objectivo elástico para
o sistema de um grau de liberdade
Γ – Factor de transformação
IV
Agradecimentos
Agradeço a toda a minha família, a quem dedico este trabalho, pelas possibilidades e
facilidades que me foram dadas até hoje, incluindo a carreira académica que conhece agora
uma nova etapa.
Deixo também uma palavra de apreço à Maria João, pelo apoio, companhia, e amizade
que me deu, bem como à família Teixeira a quem muito devo.
Um agradecimento muito especial a todos os professores e colegas do Instituto
Superior Técnico com que me cruzei, e que positiva ou negativamente me marcaram.
Aos meus professores e orientadores, a Senhora Professora Doutora Rita Bento e o
Senhor Professor Doutor Mário Lopes, os mais sinceros agradecimentos pela enorme
disponibilidade e incondicional apoio.
Por fim, agradeço aos meus amigos do Restelo, sem os quais não seria o que sou
hoje.
Índice
RESUMO I
ABSTRACT I
PALAVRAS-CHAVE II
KEYWORDS II
LISTA DE SÍMBOLOS III
AGRADECIMENTOS IV
1 - INTRODUÇÃO 1
2 - CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA 3
2.1 – Localização e função 3
2.2 - Geometria e envolvente 4
3 - MODELAÇÃO 7
3.1 - Materiais 7
3.2 - Tipo de elementos 9
3.2.1 - Solo 9
3.2.2 - Estrutura 9
3.2.2.1 - Tabuleiro 9
3.2.2.2 - Pilares 10
3.2.2.3 - Encontros, Maciços de Encabeçamento e Estacas 11
3.3 - Geometria do modelo (malha de elementos finitos) 14
3.3.1 - 1ª Malha 15
3.3.2 - 2ª Malha 16
II
3.3.3 - 3ª Malha 17
3.3.4 - 4ª Malha 19
3.3.4.1 – Condições de fronteira (ligações exteriores) 20
3.3.4.2 – Ligações intra-modelo (constraints) 20
3.4 – Caracterização dinâmica da estrutura 22
3.4.1 - Análise modal 22
3.4.2 – Resultados 23
4 - MODELO SIMPLIFICADO 25
4.1 - Considerações Iniciais 25
4.2 - Condições de apoio 26
4.2.1 - Maciços de encabeçamento 26
4.2.1.1 – Cálculo da rigidez de translação 26
4.2.1.2 – Influência da rotação dos maciços de encabeçamento 31
4.2.2 - Encontros 35
4.3 – Vista geral do modelo simplificado 40
4.4 – Caracterização dinâmica do modelo simplificado 41
1º Modo 41
2º Modo 41
3º - 7º Modos 42
8º Modo 42
5 – AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA SÍSMICA DA ESTRUTURA – RECURSO A
ANÁLISE DINÂMICA LINEAR 45
5.1 - Regulamentação 46
5.2 - Análise dinâmica linear por espectro de resposta 47
5.2.1 - Zona sísmica e terreno de implantação 47
5.2.2 - Coeficiente de comportamento e coeficiente de importância 50
5.2.2.1 - Coeficiente de comportamento (q) 50
5.2.2.2 - Coeficiente de importância 51
5.2.3 – Espectros de resposta 52
5.3 - Combinação da acção sísmica com outras acções 56
5.4 - Resultados obtidos 62
5.4.1 - Deformação do tabuleiro 62
5.4.2 - Esforços nos pilares 64
6 – AVALIAÇÃO SÍSMICA DA ESTRUTURA – RECURSO A ANÁLISES ESTÁTICAS
NÃO LINEARES 69
6.1 - Definição da capacidade resistente das secções condicionantes dos elementos estruturais 70
6.1.1 – Relação constitutiva do aço 72
6.1.2 – Relação constitutiva do betão 74
6.1.3 – Relação momento-rotação da rótula plástica 76
6.2 – Análise estática não linear 79
6.2.1 - Modelo de cálculo 80
6.2.1.1 – Distribuição de massa do modelo 80
6.2.1.2 – Definição dos parâmetros não-lineares dos elementos verticais 82
6.2.1.3 – Distribuição de forças laterais e determinação dos deslocamentos-objectivo 84
6.2.2 - Análise na direcção longitudinal 86
6.2.3 - Análise na direcção transversal 94
6.3 - Transformação do sistema estrutural num de um grau de liberdade equivalente 98
6.4 - Análise estática equivalente na direcção transversal para outra distribuição de forças 104
6.5 – Análise gráfica da ductilidade e do desempenho estrutural 106
6.5.1 – Direcção longitudinal 107
6.5.2 – Direcção transversal 110
7 - AVALIAÇÃO SÍSMICA DA ESTRUTURA – RECURSO A ANÁLISES DINÂMICAS
NÃO LINEARES 113
7.1 – Definição do amortecimento 113
7.2 - Geração de acelerogramas 115
7.3 - Modelo de cálculo 118
7.3.1 – Zonas de plasticidade concentrada 118
7.3.2 - Fundações 121
7.4 – Resultados 123
7.4.1 – Fundações modeladas por encastramentos 123
IV
7.4.2 – Fundações modeladas por molas de translacção (rotações impedidas) 124
7.4.3 – Fundações modeladas por elementos NLinks 125
8 - COMPARAÇÃO FINAL DE RESULTADOS E CONCLUSÕES 135
9 – BIBLIOGRAFIA 139
Índice de figuras
Figura 1 - Fotografia plana do viaduto que vence o Vale do Açude (GoogleEarth)......................3
Figura 2 - Perfil transversal do tabuleiro (sem inclinação de 2,5% transversal) ...........................4
Figura 3 - Corte esquemático na zona dos elementos verticais (sem inclinações de 2,5%) ........5
Figura 4 - Representação esquemática dos alçados do encontro................................................5
Figura 5- Exemplo da aplicação de molas em detrimento do solo ...............................................8
Figura 6 – Representação dos eixos principais de inércia secção transversal do tabuleiro .......10
Figura 7 – Simplificação dos encontros para fins de modelação................................................11
Figura 8- Secção transversal do maciço de encabeçamento (dimensões em m) ......................12
Figura 9 - Alçado das fundações dos pilares e discretização dos elementos finitos ..................13
Figura 10 - Vista 3D do conjunto maciço/grupo de estacas .......................................................13
Figura 11- Esquema do processo de elaboração do modelo .....................................................14
Figura 12 - 1ª malha de elementos finitos (22474 nós por patamar) ..........................................15
Figura 13 – 2ª malha de elementos finitos (16519 nós por patamar) .........................................16
Figura 14 - 3ª malha de elementos finitos (14052 nós por patamar) ..........................................17
Figura 15 - Alterações realizadas aos maciços de encabeçamento ...........................................18
Figura 16 - Influência dos elementos de transição .....................................................................18
Figura 17 – 4º malha de elementos finitos (8463 nós por patamar) ...........................................19
Figura 18 – Eixos do modelo ......................................................................................................20
Figura 19 - Locais de aplicação das "constraints" ......................................................................21
Figura 20 - Representação em planta do 6º modo de vibração do modelo ................................23
Figura 21 - Sub-modelo referente aos maciços de encabeçamento (faixa do modelo criado
anteriormente) ............................................................................................................................26
Figura 22 - Alinhamento de pontos sujeitos a controlo de deslocamento ..................................27
Figura 23 - Deslocamento perpendicular ao eixo definido pelos maciços (m) – direcção x .......28
Figura 24 - Deslocamento no sentido do eixo definido pelos maciços (m) – direcção y ............28
Figura 25 - Eixo de pontos sujeitos ao controlo de deslocamentos na direcção y .....................29
Figura 26 - Deslocamento perpendicular ao eixo que atravessa apenas um maciço de
encabeçamento – direcção y......................................................................................................30
Figura 27 - Deslocamento ao longo do eixo que atravessa apenas um maciço de
encabeçamento – direcção x......................................................................................................30
Figura 28 - Deformação no topo de cada pilar devido a deslocamento ou rotação do maciço de
encabeçamento ..........................................................................................................................31
Figura 29 - Comportamento aproximado do pilar (nó encastrado - maciço, nó com
encastramento deslizante - tabuleiro) (Grupo de Análise de Estruturas, 2002) .........................32
Figura 30 - Forma da matriz de rigidez das molas adoptadas para a base dos pilares .............33
Figura 31 - Matriz de flexibilidade da mola .................................................................................34
Figura 32- Matriz de rigidez da mola a aplicar no programa de cálculo .....................................34
Figura 33 - Modelo utilizado para modelar a rigidez transversal do encontro ............................36
VI
Figura 34 - Deformação transversal do solo e do encontro ........................................................36
Figura 35 - Deformação transversal dos pontos num eixo longitudinal que atravessa um
encontro .....................................................................................................................................37
Figura 36 - Pormenor da pala que confere rigidez transversal ao encontro ...............................38
Figura 37 - Exemplo de uma matriz de rigidez de estruturas dissociadas num mesmo modelo
...................................................................................................................................................40
Figura 38 - Modelo simplificado..................................................................................................40
Figura 39 - 1º modo de vibração do viaduto ...............................................................................41
Figura 40 - 2º modo de vibração do viaduto ...............................................................................41
Figura 41 - 3º modo de vibração do viaduto ...............................................................................42
Figura 42 - 4º modo de vibração do viaduto ...............................................................................42
Figura 43 - Zonamento sísmico de Portugal Continental (Zona centro e sul) - Anexo Nacional 47
Figura 44 - Esquematização da amplificação das ondas sísmicas e posterior aumento de
aceleração espectral vs. imposição de um espectro mais desfavorável; aR – aceleração das
ondas sísmicas na rocha, ac – aceleração das ondas sísmicas no solo do tipo C. ....................48
Figura 45 - Espectros de resposta de dimensionamento para os tipos de solo A e C ...............53
Figura 46 - Definição dos parâmetros da acção espectral correspondente ao sismo 1 .............55
Figura 47 - Esquema da aplicação do Modelo 1 de sobrecarga rodoviária ................................57
Figura 48 - Distribuição de cargas prescrito pelo Modelo 1 .......................................................58
Figura 49 - Modelação transversal do tabuleiro na zona dos pilares para cálculo do esforço
axial máximo nos pilares devido aos veículos ............................................................................60
Figura 50 - Pilares mais esforçados do viaduto (pilares interiores) ............................................64
Figura 51 - Curva de interacção N-M para os pilares em análise...............................................66
Figura 52 - Secção transversal dos pilares (a secção tem ainda travamentos radiais, contudo a
aplicação não permite a sua simulação) ....................................................................................70
Figura 53 - Exemplo da relação constitutiva do aço segundo o modelo de Raynor ...................72
Figura 54 - Relação constitutiva do aço obtida...........................................................................73
Figura 55 - Curvas constitutivas para o betão ............................................................................75
Figura 56 - Relação momento-rotação para a rótula plástica dos pilares ..................................76
Figura 57 - Relação momento-rotação da secção com aproximação bi-linear e estados limite .78
Figura 58 - Modelo utilizado na análise não linear .....................................................................81
Figura 59 - Definição dos esforços condicionantes para a formação da rótula plástica .............82
Figura 60 - Relação momento-rotação da rótula plástica ...........................................................83
Figura 61 - Espectros elástico e de dimensionamento do sismo 1 (mais condicionante para a
estrutura em estudo) ..................................................................................................................85
Figura 62 - Distribuição das forças laterais para a análise longitudinal ......................................86
Figura 63 - Curva de capacidade de um sistema de um grau de liberdade, respectiva bi-
linearização e legenda ...............................................................................................................87
Figura 64 - Curva de capacidade longitudinal ............................................................................88
Figura 65 - Valores de m (em ton) e Φ (longitudinal) para os diferentes nós do tabuleiro .........89
Figura 66 - Características do passo 6 da análise de “pushover” longitudinal (Diagrama de
momentos em kN.m) ..................................................................................................................90
Figura 67 - Características do passo 19 da análise de “pushover” longitudinal (Diagrama de
momentos em kN.m) ..................................................................................................................91
Figura 68 - Evolução do comportamento da rótula plástica ao longo dos passos da análise de
pushover longitudinal (passo 20)................................................................................................92
Figura 69 - Localização da rotação verificada nos pontos mais desfavoráveis na relação
momento-rotação para comparar com os estados limites ..........................................................93
Figura 70 - Distribuição das forças laterais para a análise transversal (planta) .........................94
Figura 71 - Curva de capacidade transversal .............................................................................95
Figura 72 - Modelo de viga simplesmente que simula o tabuleiro ..............................................95
Figura 73 - Curva de capacidade transversal com pontos notáveis referentes à formação de
rótulas plásticas ..........................................................................................................................97
Figura 74 - Valores de m e Φ (transversal) para os diferentes nós do tabuleiro ........................98
Figura 75 - Relação entre as curvas de capacidade para o actual factor de transformação ......98
Figura 76 – Energias de deformação até à formação do mecanismo de colapso (À esquerda,
curva não bi-linearizada – À direita, curva bi-linearizada) ..........................................................99
Figura 77 - Energia de deformação do sistema..........................................................................99
Figura 78 - Recta referente à rigidez final do sistema, onde ficará o ponto que marca a
diferença das fases (elástica e plástica) ................................................................................... 100
Figura 79 – Ponto de transição de “fases” ............................................................................... 100
Figura 80 - Evolução do comportamento da rótula plástica ao longo dos passos da análise
“pushover” transversal (passo 30) ............................................................................................ 102
Figura 81 - Rotação da secção mais desfavorável para a acção de pushover transversal ...... 103
Figura 82 - Curvas de capacidade dos vários sistemas (1 - dependente do modo de vibração,
2 - não dependente do modo de vibração) ............................................................................... 104
Figura 83 - Curva de capacidade longitudinal e espectro elástico no formato ADRS .............. 107
Figura 84 - Espectros inelásticos para aferição do coeficiente de comportamento da estrutura
................................................................................................................................................. 108
Figura 85 – Comparação entre d*et e d*t .................................................................................. 109
Figura 86 – Curva de capacidade transversal e espectro elástico no formato ADRS .............. 110
Figura 87 - Amortecimento da estrutura em função dos parâmetros de massa e rigidez ........ 114
Figura 88 - Amortecimento para as duas direcções horizontais ............................................... 115
Figura 89 - Acelerograma 1 ...................................................................................................... 116
Figura 90 - Comparação entre o espectro introduzido e o gerado ........................................... 117
Figura 91 - Direcções em que a rigidez do pilar foi alterada .................................................... 119
Figura 92 - Introdução da relação momento-curvatura característica da secção dos pilares no
NLink ........................................................................................................................................ 120
Figura 93 - Momento flector máximo ( t= 26,21 seg) na direcção longitudinal para o
acelerograma menos condicionante (anti - simétrico) .............................................................. 127
VIII
Figura 94 - Momento flector máximo ( t= 25,71 seg) na direcção transversal para um dos pilares
centrais para o acelerograma menos condicionante ................................................................ 128
Figura 95 - Evolução do deslocamento do CM do tabuleiro na direcção longitudinal para o
acelerograma mais condicionante ............................................................................................ 129
Figura 96 - Evolução do deslocamento do CM do tabuleiro na direcção transversal para o
acelerograma mais condicionante ............................................................................................ 129
Figura 97 - Evolução da rotação (θy) na cabeça de um dos pilares (NLink) condicionantes para
o acelerograma mais desfavorável a actuar na direcção longitudinal ...................................... 130
Figura 98 - Evolução da rotação (θx) na cabeça de um dos pilares (NLink) condicionantes para
o acelerograma mais desfavorável a actuar na direcção transversal ....................................... 130
Figura 99 - Evolução da rotação da cabeça do pilar (θy) mais desfavorável em função do valor
do corte basal para o acelerograma mais condicionante a actuar na direcção longitudinal ..... 131
Figura 100 - Evolução da rotação da cabeça do pilar (θx) mais desfavorável em função do valor
do corte basal para o acelerograma mais condicionante a actuar na direcção transversal ..... 131
Figura 101 - Evolução da rotação da rótula plástica do pilar mais desfavorável para o
acelerograma mais condicionante a actuar na direcção longitudinal ....................................... 132
Índice de tabelas
Tabela 1 – Quadro de materiais (betões) .....................................................................................7
Tabela 2 - Quadro de materiais (aço) ...........................................................................................7
Tabela 3 - Quadro de materiais (solos) (Anexo D (Pinto, 2006))..................................................7
Tabela 4 – Propriedades geométricas da secção transversal do tabuleiro ................................10
Tabela 5 - Tipo de "BODY" utilizados .........................................................................................20
Tabela 6 - Períodos dos 6 primeiros modos de vibração ...........................................................23
Tabela 7 - Análise ao grupo de maciços ....................................................................................27
Tabela 8 - Rotações nos maciços devidos às forças aplicadas .................................................31
Tabela 9 - Valores dos deslocamentos e rotações resultantes da aplicação de forças e
momentos de 1x106 kN (kN.m) ...................................................................................................33
Tabela 10 - Valores médios a adoptar para a matriz de flexibilidade da mola a inserir no fundo
dos pilares e respectivos termos de flexibilidade .......................................................................34
Tabela 11 - Características dinâmicas do 1º modo de vibração .................................................41
Tabela 12 - Características dinâmicas do 2º modo de vibração .................................................41
Tabela 13 - Características dinâmicas dos modos de vibração verticais ...................................42
Tabela 14 - Características dinâmicas do 8º modo de vibração .................................................42
Tabela 15- Tipos de solo a considerar na criação do espectro de resposta (CEN, 2003) ..........49
Tabela 16 - Valores dos parâmetros referentes ao solo do tipo C para as zonas 1.3 e 2.3 .......49
Tabela 17 - Classes de importância (Eurocódigo 0 (CEN, 2003)) ..............................................51
Tabela 18 - Análise modal com sobrecargas regulamentares ...................................................59
Tabela 19 - Cálculo de momentos no topo do pilar 2 .................................................................61
Tabela 20 – Parâmetros da inequação do ponto (8) ..................................................................63
Tabela 21 - Valores de µd ...........................................................................................................63
Tabela 22 - Deslocamentos reais do nó de controlo do tabuleiro segundo o Eurocódigo ..........63
Tabela 23 - Esforços no pilar mais desfavorável resultantes da combinação da acção sísmica
com o peso próprio .....................................................................................................................64
Tabela 24 - Esforços finais do pilar mais desfavorável para a análise dinâmica linear ..............65
Tabela 25 - Características da secção .......................................................................................70
Tabela 26 - Características do elemento ....................................................................................70
Tabela 27 - Armaduras de reforço ..............................................................................................70
Tabela 28 - Valor da carga axial.................................................................................................71
Tabela 29 - Modelos de cálculo dos materiais ...........................................................................71
Tabela 30 - Características dos materiais ..................................................................................71
Tabela 31 - Estados limites de deformação ...............................................................................71
Tabela 32 - Valores da extensão dos materiais correspondentes aos diferentes estados limite
...................................................................................................................................................76
Tabela 33 - Valores de momento-rotação referentes aos vários estados limite .........................77
Tabela 34 - Distribuição de massas do modelo ao longo do tabuleiro .......................................81
X
Tabela 35 - Diferenças dos períodos fundamentais do viaduto entre os modelos linear e não
linear ..........................................................................................................................................81
Tabela 36 - Deslocamento medidos no centro de massa do tabuleiro para a acção definida pelo
espectro de resposta elástico do sismo 1 ..................................................................................85
Tabela 37 - Deslocamentos objectivo para a análise “pushover” para cada uma das direcções
...................................................................................................................................................85
Tabela 38 - Forças laterais a aplicar na análise de pushover longitudinal .................................86
Tabela 39 - Forças laterais a aplicar na análise de pushover transversal ..................................94
Tabela 40 - Valores de deslocamento e corte basal referentes à formação das sucessivas
rótulas plásticas ..........................................................................................................................97
Tabela 41 - Coordenadas do ponto de transição da relação bi-linear ...................................... 101
Tabela 42 - Comparação dos valores obtidos para as duas análises de pushover empreendidas
na análise transversal para dois tipos de carregamentos ........................................................ 105
Tabela 43 - Frequências angulares (p) que serviram de base ao cálculo do amortecimento .. 114
Tabela 44 - Valores dos parâmetros α e β para as duas direcções ......................................... 114
Tabela 45 - Características dinâmicas dos 4 modelos realizados ............................................ 121
Tabela 46 – Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo encastrado)
................................................................................................................................................. 123
Tabela 47 - Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo com molas de
translação e rotações impedidas) ............................................................................................. 124
Tabela 48 - Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo com rigidezes
de rotação e translação modeladas por NLinks) ...................................................................... 125
Tabela 49 - Valores máximos das rotações medidas nas zonas de plasticidade concentrada do
pilar mais desfavorável para a acção sísmica simulada pelo acelerograma condicionante ..... 132
Tabela 50 - Parâmetros mais relevantes das várias análises efectuadas ................................ 135
1
1 - Introdução
O presente trabalho constitui a Dissertação para obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Civil, no ramo de Estruturas, e tem como objectivo explorar, aplicar e demonstrar,
de uma maneira intuitiva, novos procedimentos de análise sísmica de viadutos. Estes
procedimentos podem encontrar-se no regulamento europeu denominado Eurocódigo 8, mais
concretamente na Parte 2, cujo conteúdo se refere, essencialmente ao estudo sísmico de
pontes e viadutos. Para demonstrar alguns dos procedimentos vigentes nesta regulamentação,
utilizou-se um viaduto existente na auto-estrada portuguesa A2.
Dispondo das peças desenhadas integrantes do projecto, recriou-se da maneira mais
fiel possível, o viaduto e a sua envolvente, através do programa de cálculo automático SAP
2000. Toda a modelação sofreu várias modificações e simplificações que se explicam entre os
capítulos 1 e 4. Neste último será também feita uma descrição detalhada sobre o
comportamento dinâmico da estrutura.
Seguidamente, fazer-se-á, no capítulo 5 uma verificação de segurança no âmbito de
uma análise dinâmica linear por espectro de resposta e verificar-se-á a integridade da estrutura
quando actuada por um sismo para o qual não foi prevista, uma vez que foi dimensionada de
acordo com o RSA que, se sabe ser mais brando que o Eurocódigo, na acção sísmica
preconizada.
Finda a análise dinâmica linear, inicia-se o cálculo através de análises não lineares,
sendo que para as realizar é necessário realizar determinados passos preliminares que
incluem uma detalhada análise da secção dos elementos dúcteis da estrutura, neste caso
concreto, os elementos verticais. Podem então ser encontradas no capítulo 6 as análises
estáticas não-lineares, vulgarmente apelidadas de pushover e no capítulo 7 as análises
dinâmicas ao longo do tempo.
Ao longo de todo o trabalho, são feitas referências e citações do Eurocódigo 8, para
que se possa, de maneira mais eficaz, perceber a adopção de determinados parâmetros e
condições ao longo do trabalho. Permite-se também, desta forma, que o trabalho seja de mais
fácil aplicabilidade a outro tipo de situações a que possa servir de base, tornando-se assim um
guia, ainda que bastante rudimentar.
Concluídas todas as análises, serão então feitas as devidas conclusões a todo este
trabalho, tendo em vista os custos e benefícios das análises não lineares em relação às
lineares, vulgarmente aplicadas pela generalidade dos engenheiros em Portugal.
2
3
2 - Características da estrutura
2.1 – Localização e função
A estrutura em estudo neste trabalho é parte integrante da auto-estrada A2, que liga as
regiões Lisboa e Algarve. Naturalmente, por ser uma auto-estrada, é sujeita a rigorosos
traçados, que nem sempre coincidem com as zonas ideais para a sua implantação. Nessas
situações surge a necessidade de se implantarem obras de arte, de maneira a proporcionar
segurança e conforto aos seus utilizadores.
Um dos exemplos de necessidade de implantação de obras de arte surge entre as
regiões Marateca e Alcácer do Sal, onde existe uma depressão com cerca de 130m de
comprimento. Essa depressão tem o nome de Vale do Açude e a estrutura que faz a junção
das duas margens do vale é o objecto de estudo deste trabalho. Apresenta-se abaixo uma
fotografia com o vale e o viaduto em estudo.
Figura 1 - Fotografia plana do viaduto que vence o Vale do Açude (GoogleEarth)
4
2.2 - Geometria e envolvente
A obra possui 5 vãos de 22,80 e 28,00 metros (extremos e interiores, respectivamente)
e a solução adoptada consiste numa estrutura de betão armado pré-esforçado de laje vigada
com vazamentos.
O viaduto insere-se numa zona da auto-estrada onde existem 3 vias de tráfego para
cada sentido. Uma vez que a regulamentação portuguesa obriga também à inclusão de bermas
e separador central para este tipo de vias, optou-se por uma solução de dois viadutos distintos
em detrimento de um viaduto único. Desta forma foi possível dimensionar o tabuleiro da obra
de arte com uma altura máxima de 1,50 metros (na zona das vigas), o que contribuiu para a
sua integração estética no vale, já que a cota prevista para a parte inferior do tabuleiro se situa
a cerca de 7,5 metros do terreno. Ao longo de todo o desenvolvimento da obra de arte, os dois
viadutos encontram-se afastados de 0,05m, incluindo nos seus encontros, que são
independentes.
Figura 2 - Perfil transversal do tabuleiro (sem inclinação de 2,5% transversal)
Para sustentar cada viaduto, foram preconizados 4 grupos de elementos verticais.
Cada grupo é composto por 2 pilares de forma circular, com 1,4m de diâmetro,
monoliticamente ligados ao tabuleiro. Na base de cada pilar pode encontrar-se um maciço de
encabeçamento de forma paralelepipédica (4x4x1,8m) que realiza a transição entre os pilares e
um grupo de 4 estacas circulares de 0,80m de diâmetro e 11,40m de comprimento (Figura 3).
A ligação do viaduto às margens do vale realiza-se mediante encontros do tipo perdido
que, estando dotados de juntas de dilatação e apoios em Neoprene, possibilitam movimentos
longitudinais do tabuleiro e rotações em torno desta extremidade (Figura 4). A fundação de
cada um destes elementos é garantida por estacas de 0,80m de diâmetro.
5
Figura 3 - Corte esquemático na zona dos elementos verticais (sem inclinações de 2,5%)
Figura 4 - Representação esquemática dos alçados do encontro
As peças desenhadas referentes aos elementos apresentados nas figuras 2, 3 e 4 que
constam no projecto real, que são naturalmente, mais detalhadas, podem ser consultadas no
anexo A.
6
No que diz respeito ao terreno de implantação da obra, conhecem-se os resultados de
3 ensaios SPT e 1 ensaio CPT ao longo de todo o comprimento do vale. Estes ensaios foram
realizados ao longo do eixo que separa os dois viadutos. Foi necessário proceder a uma
extrapolação do terreno de fundação em função dos resultados dos ensaios para todo o
comprimento. No fim, concluiu-se que a sobreposição dos diversos extractos encontrados
podia ser aproximada a uma estratificação horizontal, tais eram as semelhanças em
profundidade dos diversos ensaios. No âmbito deste trabalho ambém se considerou, para
simplificar a modelação, que o desenvolvimento dos extractos na direcção ortogonal à do
desenvolvimento do viaduto era horizontal. Optou-se também por aglomerar vários extractos
devido às semelhanças que as sondagens revelaram entre as várias camadas. Desta forma
reduziu-se um número elevado de 8 extractos para apenas 3 tendo a estes últimos sido
atribuídas características mecânicas médias calculadas a partir das dos solos detectados nos
ensaios SPT.
Os critérios que levaram ao agrupamento de vários extractos num outro de
características médias serão apresentados mais à frente, no capítulo referente à modelação.
7
3 - Modelação
3.1 - Materiais
Para modelar correctamente a estrutura e a sua resposta às diferentes acções a que
pode ser sujeito, é importante que a modelação dos materiais seja adequada. No projecto,
estão preconizados para o viaduto, três tipos diferentes de betão. A tabela seguinte
esquematiza as características de cada betão a utilizar e os seus locais de utilização no
viaduto.
Tabela 1 – Quadro de materiais (betões)
Betão E (GPa) fcd (MPa) γ (kN/m3) Local de utilização
C20/25 30,0 13,3 25,0 Estacas (lajes de transição)1
C25/30 31,0 16,7 25,0 Pilares, encontros e sapatas
C30/37 33,0 20,0 25,0 Tabuleiro
O projecto contempla também, armaduras passivas de aço A400 para toda a estrutura
e, aço de alta resistência2 para as peças pré-esforçadas (tabuleiro).
Tabela 2 - Quadro de materiais (aço)
Aço E (GPa) (MPa) γ (kN/m3) Local de utilização
A400 200,0 348,0 78,5 Todas as peças de betão
Quanto ao terreno de implantação, como foi referido anteriormente, foram feitas
algumas simplificações a nível do número de extractos. Depois de aglomeradas as diversas
camadas de solo e calculados os valores médios das características mecânicas dos tipos de
solo que cada uma abrange obtiveram-se os 3 seguintes extractos:
Tabela 3 - Quadro de materiais (solos) (Anexo D (Pinto, 2006))
Solo Es (MPa) Coef. Poisson Φ’(º) γ (kN/m3) SPT (n pancadas) Profundidade
3 (m)
Solo 1 17,0 0,25 35 17 n<40 Acima de -6,80
Solo 2 34,0 0,3 40 18 40<n<60 -6,80 a -10,80
Solo 3 500,0 0,00 35 22 n>60 Abaixo de -10,80
Na modelação do solo não foi tida em conta a não-linearidade que deriva da sua
resistência nula à tracção, bem como não se contemplou, o seu comportamento não-linear à
compressão, isto é, a variação do seu módulo de deformabilidade resultante de deformações.
1 As lajes de transição aparecem entre parêntesis porque não serão contempladas na
modelação por serem componentes do projecto sem fins estruturais. 2 Não foi modelado pois apenas se analisou o desempenho do viaduto quando actuado por
acções horizontais. 3 A cota z=0 corresponde à cota onde os pilares encontram os maciços de encabeçamento.
8
Este facto, apesar de ser muito difícil de quantificar, seria também impraticável de executar
pois a extensão do modelo obrigaria a tempos muito alargados de simulações. Nas interfaces
entre solo e peças de betão, optou-se também por considerar, simplificadamente, que não
ocorrem deslizamentos entre solo e betão. Assim, excluiu-se a necessidade de simular o atrito
entre os dois materiais, o que é bastante complexo e difícil de quantificar.
Como este trabalho incide sobretudo na avaliação do desempenho da estrutura à
acção sísmica (acção horizontal), a contribuição do solo nas fundações do viaduto apenas
existe quando o movimento da fundação obriga à compressão do solo contíguo. Nestas
condições, é frequente substituir-se o solo junto à estacas por molas de compressão, como
ilustra a seguinte figura. Esta alteração simplifica bastante o modelo, pois consegue reduzir-se,
de maneira significativa, o seu número de graus de liberdade. No entanto, esta hipótese não foi
considerada neste estudo porque se considerou preferível analisar o efeito conjunto das várias
estacas dos dois viadutos.
Figura 5- Exemplo da aplicação de molas em detrimento do solo
9
3.2 - Tipo de elementos
Para realizar todo o cálculo estrutural, recorreu-se ao programa de cálculo automático
SAP2000 (CSI - Computers and Structures, 2008). Este programa baseia-se no Método de
Elementos Finitos. Assim, foi necessário escolher previamente o tipo de elementos a usar para
cada elemento estrutural do modelo. Como se verá, o tipo de elementos não foi o mesmo em
todo o modelo. Nesse sentido, tiveram de ser introduzidas algumas adaptações e restrições,
para que o comportamento global simulado fosse o mais parecido possível com o real e
expectável.
3.2.1 - Solo
Para o terreno de fundação, optou-se por utilizar elementos tridimensionais prismáticos,
sendo que o programa permite que se utilizem no máximo, octaedros de 8 nós. A malha
definida para o solo é constante em altura, variando apenas as características mecânicas dos
elementos, conforme variam também os extractos em profundidade. A ligação entre elementos
de solo apresenta apenas características de elasticidade linear, não tendo sido modelado
nenhum tipo de dissipação de energia proveniente da fricção entre elementos de solo.
3.2.2 - Estrutura
3.2.2.1 - Tabuleiro
Como se sabe, a engenharia tem vindo a evoluir no sentido de criar estruturas cada
vez mais baratas, ao mesmo tempo que se tenta prolongar a sua longevidade. Nesse sentido,
é fundamental que os engenheiros realizem um bom trabalho de dimensionamento. Por vezes,
o dimensionamento de estruturas de betão armado pode ser um processo iterativo e moroso,
pois, embora seja um material de fácil uso e de custo reduzido, apresenta limitações que os
engenheiros têm que saber contornar. Destas, pode destacar-se o elevado peso próprio que
obriga a uma maior reflexão por parte do projectista para que chegue a uma relação
resistência/peso aceitável. Por serem obras de grande porte e com vãos consideráveis, as
pontes e os viadutos obrigam frequentemente à realização deste exercício.
Como se pôde verificar no capítulo referente à geometria da obra, o tabuleiro apresenta
uma forma bastante complexa, o que complica a sua modelação exacta no programa de
cálculo automático. Desta forma, optou-se por recriar o tabuleiro de uma forma simplificada.
Este procedimento obrigou a que se desenhasse o tabuleiro no programa de desenho
AutoCAD (Autodesk, 2010) de forma exacta. Recorrendo ao comando “mass properties”
10
puderam facilmente ser calculadas as propriedades geométricas da secção do tabuleiro.
Destas propriedades fornecidas pelo programa de desenho, apenas se revelou necessário
utilizar a área da secção e os momentos de inércia em torno das duas direcções principais
(representadas na figura abaixo). Estes parâmetros são essenciais no cálculo sísmico, pois o
peso próprio é directamente proporcional à área da secção transversal e a rigidez à inércia e,
como se sabe, são estes dois parâmetros que definem a resposta de uma estrutura a acções
dinâmicas. Os valores encontrados para estas propriedades foram:
Tabela 4 – Propriedades geométricas da secção transversal do tabuleiro
Área da secção (m2) 11,422
Momento de inércia x (m4) 2,323
Momento de inércia y (m4) 288,856
Figura 6 – Representação dos eixos principais de inércia secção transversal do tabuleiro
Conhecidas estas propriedades, tornou-se possível recriar a estrutura complexa do
tabuleiro utilizando apenas “secções genéricas” que, não necessitando de dimensões fixas,
podem simplesmente ficar definidas pelos valores de área, e momento de inércia. Para facilitar
os cálculos posteriores, optou-se por incorporar neste valor de área da secção (e
consequentemente de peso próprio) os valores das restantes cargas permanentes, tais como,
guarda corpos, lancis, cornija e tapete betuminoso. Como a resistência axial do tabuleiro não é
um factor que mereça especial atenção neste trabalho, a alteração do parâmetro da área
apenas tem implicações ao nível do cálculo de pesos/massas, necessários para o cálculo
sísmico.
3.2.2.2 - Pilares
Para a modelação dos pilares não foi necessário proceder a simplificações pois a
geometria destes é regular ao longo de toda a sua altura, mantendo a sua forma circular de
diâmetro constante desde o maciço de encabeçamento até à ligação com o tabuleiro. Assim,
estes elementos ficam bem definidos por elementos finitos unidimensionais. Há que ressalvar o
facto de todos os alinhamentos de pilares terem alturas diferentes. Esta variação é, no entanto,
residual, pelo que se optou por modelar todos os pilares com a mesma altura de 7,5m, que
corresponde à altura média de todos os alinhamentos.
11
3.2.2.3 - Encontros, Maciços de Encabeçamento e Estacas
Para modelar estes elementos, teve de ser tida em consideração a sua localização na
envolvente. Como estão localizados dentro do solo, faz mais sentido que sejam modelados da
mesma maneira que o solo para evitar descontinuidades nas transições entre elementos que
levem à geração de erros difíceis de interpretar. Assim, optou-se por utilizar elementos finitos
tridimensionais para recriar toda a infra-estrutura.
Tiveram, no entanto, de ser feitas algumas simplificações e adaptações ao nível dos
encontros e dos maciços de encabeçamento. Estas deveram-se à necessidade de criar um
modelo que fosse, não só, realista, mas também, que não necessitasse de elevados intervalos
de tempo para ser corrido e devolver resultados.
A principal simplificação ao nível da infra-estrutura verificou-se ao nível dos encontros.
Sendo cada um destes constituído por uma viga de coroamento e 6 estacas, (recorda-se que
em cada margem, os encontros, embora adjacentes são independentes) que actuam
exclusivamente como “travamento” transversal do tabuleiro, foi possível chegar a uma mesma
função estrutural modelando apenas uma estaca que equivalesse ao conjunto. A imagem
seguinte ilustra o procedimento utilizado.
Como se pode verificar, em termos de rigidez transversal, a hipótese representada a
bold na figura 7 contempla a estaca 6 vezes mais rígida que as restantes, travada no topo, e
Figura 7 – Simplificação dos encontros para fins de modelação
12
actua exactamente da mesma forma que todo o conjunto. O módulo de elasticidade aumentado
em 6 vezes aumenta a rigidez transversal, enquanto os dois apoios previnem movimentos
diferenciais que se traduziriam numa rotação da “cabeça” da estaca e que, na realidade, não
acontece devido à elevada inércia da viga de coroamento. Apenas se faz um reparo a uma
possível perturbação que se pode introduzir com esta simplificação, que se prende com a real
contribuição que o solo entre estacas confere a todo o sistema e que é, de certa forma,
adulterada. Nesta modelação deixa de existir solo “solidário” com o movimento das estacas e
que aumenta a sua rigidez. Assim, perde-se o controlo da massa de solo que se movimenta
devido à necessidade de deformação do encontro.
Há que ressalvar o facto de todas as estacas da obra serem, na realidade, circulares. A
dificuldade de recriar elementos circulares no programa de cálculo levou a que se
aproximassem estas formas a outras, poligonais. A secção da estaca ficou definida como
sendo um conjunto de sectores triangulares, tendo o restante maciço de encabeçamento que
as liga aos pilares, evoluído a partir das estacas. As figuras que se seguem representam a
modelação destes elementos, de acordo com a explicação precedente.
Figura 8- Secção transversal do maciço de encabeçamento (dimensões em m)
13
Figura 9 - Alçado das fundações dos pilares e discretização dos elementos finitos (dimensões em m)
Figura 10 - Vista 3D do conjunto maciço/grupo de estacas
14
3.3 - Geometria do modelo (malha de elementos finitos)
Escolhidos todos os tipos de elementos a utilizar no modelo, procedeu-se à definição
da malha do modelo. Este processo revelou-se bastante moroso, uma vez que frequentemente
se atingiam os limites, quer do programa, quer das capacidades do computador onde se
pretendia “correr” o modelo. Desta forma, foi necessário proceder a várias alterações ao
modelo durante a sua definição.
A malha começou por ser desenhada como sendo uma superfície de elementos
bidimensionais. Optou-se por considerar uma área de influência do viaduto no solo de 100
metros para cada direcção a partir de cada extremo da envolvente dos dois viadutos.
Considera-se assim que, a uma distância de 100 metros das fundações do viaduto, a vibração
do mesmo não introduz nenhuma deformação adicional, sendo as perturbações
progressivamente dissipadas devido à capacidade de deformação do solo e às perdas devido a
fricções.
Tendo a “secção” da malha definida, (plano horizontal) restaria somente dar-lhe
dimensão segundo a direcção z. Feita a envolvente, restaria introduzir os elementos de barra
relativos à superstrutura da obra e introduzir as restrições necessárias para o bom
funcionamento do modelo. O esquema que se segue demonstra o processo empreendido.
Figura 11- Esquema do processo de elaboração do modelo
Apresentar-se-ão de seguida as várias malhas que foram criadas até chegar a uma que
fosse exequível e que permitisse trabalhar com alguma fluidez durante todo o estudo.
15
3.3.1 - 1ª Malha
A primeira tentativa foi criada com o objectivo de ter uma primeira noção de como o
programa e o computador responderiam a uma malha elaborada. A malha da Figura 12
apresenta um elevado número de nós por patamar4 pelo que não foi sequer possível extrudi-la,
isto é, dar-lhe dimensão em z.
Figura 12 - 1ª malha de elementos finitos (22474 nós por patamar)
4 Entenda-se por patamar, um plano xy do modelo com qualquer cota.
16
3.3.2 - 2ª Malha
A 2ª malha (Figura 13) foi obtida através de uma redução do detalhe da 1ª. Optou-se
por aumentar o tamanho dos elementos numa zona mais próxima à zona de estudo (perto do
viaduto), zona onde habitualmente a malha deve estar mais refinada. Apesar de uma redução
significativa do número de nós por patamar, continuou a ser impossível atingir graus de
trabalhabilidade aceitáveis devido ao “peso” do modelo.
Figura 13 – 2ª malha de elementos finitos (16519 nós por patamar)
17
3.3.3 - 3ª Malha
A 3ª abordagem (Figura 14) é resultado de uma simplificação do mesmo género da que
levou à criação da anterior. Continuou a promover-se o alargamento dos elementos mais
afastados da zona de estudo. Esta alteração viria a não ser muito frutífera pois a redução no
número de nós foi bastante pequena.
Figura 14 - 3ª malha de elementos finitos (14052 nós por patamar)
18
Optou-se, então, por proceder a uma alteração mais significativa na malha. Como ficou
provado que as alterações próximas da fronteira não representavam uma melhoria clara,
alterou-se a malha, na zona principal, ou seja, na zona das fundações, pois é a partir da
extremidade dos maciços de encabeçamento que o modelo cresce. A figura que se segue
apresenta as alterações realizadas à malha de elementos na zona dos maciços de
encabeçamento.
Figura 15 - Alterações realizadas aos maciços de encabeçamento
Com o mesmo objectivo, alterou-se a geometria dos elementos de transição de forma a
conseguir ocupar uma maior área com um menor número de elementos, tornando,
consequentemente, o modelo mais leve (Figura 16).
Figura 16 - Influência dos elementos de transição
Como se pode perceber na figura 16, tomando como unidade de referência, o
quadrado pintado, a utilização de elementos de transição trapezoidais, em detrimento dos
triangulares, traz benefícios. Neste exemplo, a alteração da geometria destes elementos fez
com que se conseguisse “varrer” uma área superior em 6 unidades usando menos 4 elementos
de área.
Estas duas alterações permitiram chegar a uma malha menos complicada, a partir da
qual foi possível obter resultados de uma maneira mais simples e menos morosa. Apresenta-se
de seguida, seguinte o último resultado deste exercício de simplificação do modelo de cálculo
.
19
3.3.4 - 4ª Malha
Feitas as alterações mencionadas anteriormente chegou-se a uma malha passível de
ser extrudida e a um modelo capaz de ser corrido (Figura 17).
Figura 17 – 4º malha de elementos finitos (8463 nós por patamar)
Introduzidos todos os elementos relativos ao solo, fundações e super-estrutura,
falta implementar as condições de fronteira adequadas e criar as ligações adequadas entre
todos os elementos para que o modelo se comporte correctamente.
20
3.3.4.1 – Condições de fronteira (ligações exteriores)
Como foi explicado anteriormente, optou-se por considerar que a partir de 100 metros
da obra o solo deixaria de ter influência na estrutura. Desta forma, impediu-se toda e qualquer
capacidade de rotação e translação nos nós da periferia do modelo (nós encastrados).
Arbitrou-se o mesmo a uma profundidade de solo afastada do fundo das estacas de 2 metros,
por se estar perante o bedrock, ou seja, material rochoso de elevado módulo de elasticidade e,
consequentemente, pouco deformável.
3.3.4.2 – Ligações intra-modelo (constraints)
A modelação escolhida para este trabalho obrigou a que se tivessem que implementar
ligações complementares no modelo. Estas ligações estão previstas para situações onde a
partilha de nós entre elementos não é possível, não é suficiente ou os graus de liberdade do nó
não são semelhantes para os dois elementos que o partilham. Estas situações foram
verificadas em diversas zonas do modelo.
O comando que permite realizar estas modificações é conhecido no SAP2000 por
“constraint”. Neste caso particular, o tipo de “constraint” utilizado tem a designação de “BODY”
e pode ser explicado por duas expressões matemáticas,
(3.1)
(3.2)
onde: - deslocamento do nó i;
- rotação do nó i;
- distância entre os nós i e j.
Estas ligações podem ser realizadas em termos de rotações e deslocamentos em
qualquer uma das direcções. A tabela que se segue esquematiza as ligações que se
implementaram nas diversas situações, sob forma da libertação (ou não) dos diversos graus de
liberdade dos nós e o motivo da sua implementação (definido na última linha da tabela). Os
eixos a que os movimentos são referidos, estão apresentados na figura 18.
Tabela 5 - Tipo de "BODY" utilizados
Zona de interface
Pilar/Tabuleiro Pilar/Maciço Tabuleiro/Encontro
Ux Fixo Fixo Livre Uy Fixo Fixo Fixo Uz Fixo Fixo Fixo θx Fixo Fixo Fixo θy Fixo Fixo Livre θz Fixo Fixo Livre
Descrição Monolitismo Mudança do tipo de elemento finito
Aparelhos de apoio
Figura 18 – Eixos do modelo
21
O diagrama seguinte complementa a tabela anterior, explicitando de forma precisa os
locais onde as ligações adicionais foram implementadas.
Figura 19 - Locais de aplicação das "constraints"
Com estas últimas imposições, fica definido o modelo tridimensional com o solo
explicitamente considerado.
Este modelo será utilizado para calcular os principais modos de vibração do viaduto e
para estimar a sua deformação durante a ocorrência de um sismo, de acordo com o
Eurocódigo 8 (CEN, 2003).
22
3.4 – Caracterização dinâmica da estrutura
Neste subcapítulo, pretende-se proceder à caracterização dinâmica do modelo
tridimensional cuja elaboração se expôs.
3.4.1 - Análise modal
A análise modal permite a caracterização dinâmica de uma estrutura. Através desta
análise podem encontrar-se as várias configurações das deformadas que a estrutura exibe sob
acções dinâmicas.
A cada uma destas configurações de deformações possíveis da estrutura dá-se o nome
de modo de vibração. Apesar de as estruturas terem um grande número de modos de vibração,
são os modos de menor frequência, aqueles que mais contribuem para a resposta estrutural,
pelo que é frequente desprezar os modos superiores.
Para se poder caracterizar o comportamento dinâmico de uma estrutura, tem que se
definir as suas matrizes de rigidez e massas. A partir das mesmas, e utilizando a equação
(4.1), podem saber-se os valores das frequências próprias da estrutura.
Através da equação,
([ ] [ ] , onde (4.1)
[K] representa a matriz de rigidez da estrutura (simétrica);
[M] representa a matriz de massa da estrutura (diagonal);
p representa o valor das várias frequências angulares.
podem encontrar-se as diferentes frequências angulares (“p”) da estrutura. Encontrado
o valor da frequência angular, o período obtém-se facilmente fazendo:
(4.2)
Para cada valor da frequência angular “pi” (ou período Ti) define-se o seu modo de
vibração correspondente “vi” de acordo com a equação seguinte.
([ ] [ ] (4.3)
Para a estrutura em estudo, é expectável que os primeiros modos se traduzam em
translações no tabuleiro nas duas direcções principais (longitudinal e transversal). Ressalva-se,
no entanto, a possibilidade de existirem modos de vibração que consistam em modos
localizados no solo e não na estrutura. Devido às fracas características mecânicas do solo do
23
extracto superior, é possível que se assista à vibração de uma pequena porção destes
elementos, antes que se atinja a gama de valores de períodos que interessam para a análise
sísmica do viaduto.
3.4.2 – Resultados
Como tinha sido conjecturado, os resultados da análise modal do modelo definido não
apresentaram valores satisfatórios. Na realidade, os 6 primeiros modos de vibração
encontrados são modos identificados por oscilações no solo e não na estrutura. Na tabela
seguinte, apresentam-se os valores dos períodos referentes a estes modos de vibração.
Tabela 6 - Períodos dos 6 primeiros modos de vibração
Nº Modo 1º 2º 3º 4º 5º 6º
Período (seg) 0,604566 0,604572 0,604978 0,604984 0,601865 0,601860
Como se pode constatar, os períodos dos diversos modos não evoluem muito desde o
1º ao 6º modo. De notar que os valores do período deveriam ser sempre decrescentes,
consoante se avança no modo, contudo, devido a erros numéricos menores, aparecem ligeiras
subidas no valor do período.
A figura 20
representa bem a situação
descrita anteriormente.
Trata-se do 6º modo de
vibração do modelo, e
como se pode verificar,
existe uma grande zona
de deformação do solo
nas extremidades do
modelo.
Figura 20 - Representação em planta do 6º modo de vibração do modelo
24
É natural que seja esta a zona do solo que consta nos primeiros modos de vibração
pois é a zona mais flexível do solo. Encontra-se no extracto mais flexível e está bastante
afastada da zona de restrição total dos nós presente na base do modelo. É também notória a
evolução da deformação da fronteira para o centro, fruto da restrição dos nós na fronteira.
Como a descida dos valores de período para os seis modos encontrados é residual, e
devido ao elevado número de graus de liberdade do modelo, é de esperar que apenas se
encontrem os modos de vibração do viaduto num modo bem mais avançado, o que se revela
impossível com os meios de que se dispõe.
Optou-se por renunciar a este modelo com o solo explicitamente considerado, optando-
-se pela criação de um outro, mais simples, onde a influência do solo possa ser introduzida
sem ter de recorrer à introdução de um elevado número de elementos.
25
4 - Modelo simplificado
4.1 - Considerações Iniciais
Devido ao facto de os resultados obtidos com o modelo anterior não serem os
desejados, teve de se proceder à criação de outro modelo, mais simples de forma a se poder
realizar a análise sísmica do viaduto. A alteração a realizar é óbvia e consiste na remoção do
solo do modelo, tentando manter a integridade e o comportamento da estrutura como se lá
estivesse. Tiveram de ser realizados ensaios numéricos para estimar a contribuição pontual do
solo nos vários elementos que garantiam a estabilidade do viaduto que em si estavam
fundados.
Assim, as únicas semelhanças entre os dois modelos apenas se podem encontrar na
super-estrutura, onde todas as características, quer do tabuleiro, quer dos pilares, foram
mantidas inalteradas, bem como as ligações (“constraints”) que apenas a estes elementos
dizem respeito. A principal diferença reside na não inclusão do solo neste novo modelo. Assim
sendo, tiveram de ser calculadas, ou admitidas, as diferentes ligações da estrutura à
envolvente nos diversos locais onde são necessárias (encontros e base dos pilares). Como
seria demasiado redutor, considerar, à partida, apoios totalmente fixos ou totalmente livres,
optou-se por realizar dois “sub-modelos” para calcular a rigidez, quer dos encontros, quer do
grupo que engloba o maciço de encabeçamento e as estacas que se encontram sob cada pilar.
A metodologia utilizada para encontrar os valores de rigidez de fundações consiste na
aplicação de forças em determinados pontos-chave dos “sub-modelos” e na medição de
deslocamentos.
O processo utilizado para calcular a rigidez destes elementos pode dar uma boa
aproximação dos valores que se procuram, embora existam as mesmas limitações
provenientes das dificuldades de modelação explicadas no capítulo da concepção do modelo
com solo.
No que diz respeito à modelação da acção sísmica, ela será diferente para o novo
modelo, pois a não existência do solo leva a que a aceleração incutida à estrutura seja
diferente de um modelo para o outro. Tanto este, como outros detalhes, referentes à acção
sísmica a considerar no modelo, serão abordados, numa fase mais avançada deste trabalho.
26
4.2 - Condições de apoio
4.2.1 - Maciços de encabeçamento
Neste subcapítulo começa-se por calcular a rigidez de translação dos maciços de
encabeçamento e por fim avalia-se a influência da rotação dos maciços na estabilidade do
viaduto.
4.2.1.1 – Cálculo da rigidez de translação
Para modelar as condições de fronteira da base dos pilares foi “recortada” uma faixa de
solo equidistante a dois alinhamentos de pilares (na direcção ortogonal ao eixo da obra) para
proceder à análise anteriormente descrita. A faixa tem 28 metros de largura, o que equivale ao
vão interior do viaduto e cerca de 200 metros de comprimento. Nessa faixa de solo, estão
embebidos quatro maciços de encabeçamento respectivos a quatro pilares (dois para cada
viaduto) e foi no ponto central dos mesmos que se aplicaram cargas para posteriormente medir
deslocamentos. Optou-se por realizar esta análise no centro dos maciços pois é nesses pontos
que os pilares estão ligados ao maciço. O aspecto do modelo pode ser observado na figura 21.
Optou-se por apenas restringir totalmente o movimento dos nós na face inferior do
“prisma de solo” pois, não faria sentido restringir o movimento dos nós do lado da maior face
pois são contíguos a outra faixa igual. Resolveu-se libertar, contudo, os nós da face menor
para observar o comportamento longe da zona de estudo, de forma a verificar a influência real
de uma imposição de deslocamento na zona dos maciços a uma certa distância do viaduto.
Relembra-se que no modelo inicial, esta “distância de segurança” foi livremente arbitrada por
excesso.
Figura 21 - Sub-modelo referente aos maciços de encabeçamento (faixa do modelo criado anteriormente)
27
Aplicaram-se então cargas nos centros dos maciços no valor de 1x106 kN nas duas
direcções principais do modelo. Os resultados obtidos apresentam-se na tabela que se segue.
Tabela 7 - Análise ao grupo de maciços
ID maciço Maciços interiores Maciços exteriores
Direcção x y x y
Força aplicada (kN) 1x106
Deslocamento (m) 6,468 6,733 5,848 5,987
Rigidez (kN/m) 154.602,52 148.517,79 171.004,48 167.036,93
O valor da rigidez foi obtido, fazendo o quociente entre o valor da força aplicada pelo
valor do deslocamento medido no ponto. Faz-se a distinção entre os maciços que se
encontram na zona exterior e interior do modelo porque como se pode observar, apesar da sua
rigidez ser igual, existe a influência das cargas de um viaduto no outro. Essa influência
acontece no maciço mais próximo do viaduto contíguo, ou seja, no maciço interior do outro
viaduto. Esta situação é também sentida durante a acção sísmica, onde as forças de inércia
originárias de cada tabuleiro se distribuem igualmente pelos pilares.
Com o intuito de verificar a influência da vibração do viaduto no solo exterior à
estrutura, mediram-se, também, os deslocamentos dos pontos do alinhamento dos maciços, tal
como demonstra a figura seguinte.
Figura 22 - Alinhamento de pontos sujeitos a controlo de
deslocamento
28
Os gráficos que se seguem representam os deslocamentos dos pontos à cota da face
superior dos maciços de encabeçamento nas duas direcções.
Figura 23 - Deslocamento perpendicular ao eixo definido pelos maciços (m) – direcção x
Figura 24 - Deslocamento no sentido do eixo definido pelos maciços (m) – direcção y
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Coordenada y dos pontos ao longo do eixo dos maciços (m)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Coordenada y dos pontos ao longo do eixo dos maciços (m)
29
Analisando os gráficos, pode perceber-se que a parcela de solo susceptível a
deformações oriundas da geração de forças de inércia desenvolvidas durante a actividade
sísmica é bastante menor que o que se considerou inicialmente.
Pode também aferir-se que a rigidez é semelhante para as duas direcções, como seria
de esperar, não obstante os valores obtidos para a direcção y serem ligeiramente mais
pequenos. Este facto deve-se à não existência de mais solo na periferia, que mobilize mais
resistência de corte. Como se pôde ver nas figuras 23 e 24, a distância de solo mobilizado por
corte é sensivelmente 25 metros desde o eixo da obra. Na direcção perpendicular, apenas se
pode contar com 14 metros, que corresponde à área de influência de cada grupo de pilares.
O gráfico da figura 26, quantifica o deslocamento de solo de um eixo ortogonal ao que
se apresentou anteriormente na figura 22. Esse eixo (Figura 25) atravessa um dos maciços de
encabeçamento interiores, pois foi aí que foram verificados os maiores deslocamentos ao longo
do eixo y.
Figura 25 - Eixo de pontos sujeitos ao controlo de deslocamentos na direcção y
30
Figura 26 - Deslocamento perpendicular ao eixo que atravessa apenas um maciço de encabeçamento – direcção y
Figura 27 - Deslocamento ao longo do eixo que atravessa apenas um maciço de encabeçamento – direcção x
Como se pode verificar a partir dos resultados apresentados nas figuras 26 e 27, o
deslocamento dos pontos da fronteira entre “fatias” são ainda consideráveis. Pode então
concluir-se que o comportamento dos maciços das diversas fatias não é independente. Esse
facto pode ser mais facilmente visível na figura 27, onde os deslocamentos da periferia estão
bastante longe de ser nulos. Convém, no entanto, ter em atenção que também que o valor da
carga aplicada (1x106 kN) é bastante superior ao valor máximo de forças de inércia que se
podem desenvolver nesta estrutura. Embora este facto não faça reduzir o rácio de
deslocamentos entre o centro e a periferia da fatia (por se estar a trabalhar em regime linear),
os deslocamentos em termos absolutos serão consideravelmente menores.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
-14,00 -7,00 0,00 7,00 14,00
Coordenada x dos pontos do eixo que cruza um maciço de encabeamento interior (m)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
-14,00 -7,00 0,00 7,00 14,00
Coordenada x dos pontos do eixo que cruza um maciço de encabeamento interior (m)
31
4.2.1.2 – Influência da rotação dos maciços de encabeçamento
Para aferir de maneira mais eficaz a influência dos maciços de encabeçamento na
estabilidade do viaduto, mediram-se as rotações dos centros dos maciços, de forma a
contabilizar a importância da rotação da base dos pilares na deformação na zona do tabuleiro.
Através da aplicação das cargas nos maciços de encabeçamento, pôde também medir--
se o valor da rotação dos pontos centrais dos maciços. A figura 28 demonstra bem a
importância que pode ter uma rotação grande do maciço de encabeçamento na deformada da
estrutura.
Apresentam-se na tabela 8, os resultados obtidos para os valores das rotações nos
pontos, referentes à base dos pilares, decorrentes da aplicação de cargas nas duas direcções.
O valor destas cargas aplicadas, voltou a ser de 1x106 kN.
Figura 28 - Deformação no topo de cada pilar devido a
deslocamento ou rotação do maciço de encabeçamento
Tabela 8 - Rotações nos maciços devidos às forças aplicadas
Maciço Interior Exterior
θy (rad) devido a Fx 0,37420 0,35846 θx (rad) devido a Fy -0,36463 -0,35302
Se se assemelhar o comportamento de cada pilar a uma barra cujas características de
apoio sejam iguais às da barra ilustrada na figura 29, pode ter-se uma noção aproximada do
deslocamento no topo do pilar devido a uma rotação na base. Tem-se uma noção aproximada
32
pois as condições de apoio dos nós de extremidade dos pilares não são exactamente as
retiradas da figura, contudo é a melhor aproximação possível, numa abordagem mais prática.
Figura 29 - Comportamento aproximado do pilar (nó encastrado - maciço, nó com encastramento deslizante - tabuleiro)
(Grupo de Análise de Estruturas, 2002)
Uma vez que o maciço é bi-simétrico, não faz sentido incutir rigidezes diferentes nas
duas direcções. Desta forma, arbitrar-se-á que o valor do deslocamento máximo verificado nos
maciços, independentemente da sua localização (interior, exterior) ou direcção de aplicação da
carga (x ou y) será o que se verificou ser mais desfavorável de entre os valores apresentados
na tabela 7. O valor escolhido corresponde ao maciço interior com a carga aplicada na direcção
y. O valor do deslocamento medido é de 6,733m e a rotação em valor absoluto de 0,36463 rad.
Tendo em conta a relação entre rotação na base e deslocamento no topo que a figura
acima indica, pode esperar-se um deslocamento adicional no topo do pilar de:
(5.1)
o que representa 16,9% do deslocamento total existente ao nível do viaduto (equação 5.2).
(5.2)
Não se pode, portanto, concluir que a contribuição de uma possível rotação do maciço
seja desprezável para uma análise de estabilidade do viaduto. Também não seria correcto
dissociar a rigidez de rotação do maciço da de translação.
Por esse motivo, as ligações dos pilares ao exterior, no modelo simplificado, foram
simuladas recorrendo a uma mola de rigidez definida por uma matriz de rigidez própria, em
detrimento de um conjunto de molas “unidireccionais”. A matriz a definir tem a forma que se
apresenta na figura 30 e é directamente aplicada no programa de cálculo automático para a
base de todos os pilares, independentemente de serem interiores ou exteriores. Fazer-se-á,
então uma média ponderada dos valores obtidos para os deslocamentos e rotações dos
maciços de forma a obter um valor razoável para a rigidez que o solo e os maciços incutem na
superstrutura.
33
As células a cinzento claro e com o valor “0” apresentadas na figura 30, representam
diversos comportamentos. Arbitrou-se que os maciços não rodam em torno do eixo do pilar e
que os maciços não se podem deslocar na direcção vertical. Estas considerações são bastante
verosímeis e traduzem-se na matriz por linhas e colunas referentes a dz e θz, com valores
nulos. Estão também previstas outras situações que se enumeram de seguida:
uma força aplicada numa dada direcção não provoca movimentos na direcção que
lhe é ortogonal (dx-dy);
um momento aplicado uma dada direcção não provoca rotações na direcção que
lhe é ortogonal (θx-θy);
uma força/momento aplicado numa dada direcção, não provoca
rotações/deslocamentos nessa mesma direcção (dx-θx, dy-θy).
dx dy dz θx θy θz
dx 0 0 0 0
dy 0 0 0
dz 0 0 0 0
θx 0 0
θy 0
θz 0
Figura 30 - Forma da matriz de rigidez das molas adoptadas para a base dos pilares
Como o processo se baseou na aplicação de forças para a medição de deslocamentos,
o que se obteve, foram os vários valores da flexibilidade que foram posteriormente
transformados em valores de rigidez. Tiveram também de ser aplicados momentos em torno
das duas direcções em planta dos maciços, para obter os valores das entradas na diagonal
principal, relativas às rotações (θx-θx e θy-θy). Apresenta-se de seguida um quadro sumário
com todos os valores obtidos para este processo.
Tabela 9 - Valores dos deslocamentos e rotações resultantes da aplicação de forças e momentos de 1x10
6 kN (kN.m)
Nó central do maciço
Força x Força y Momento y Momento x
Ux (m) Ry (rad) Uy (m) Rx (rad) Ux (m) Ry (rad) Uy (m) Rx (rad)
Exterior 5,848 0,358 5,987 -0,353 0,358 0,152 -0,353 0,149
Interior 6,468 0,374 6,733 -0,365 0,374 0,152 -0,365 0,148
Fazendo a média dos valores obtidos para maciços interiores e exteriores, e dividindo
pelo valor da força aplicada, obtêm-se os seguintes valores de flexibilidade:
34
Tabela 10 - Valores médios a adoptar para a matriz de flexibilidade da mola a inserir no fundo dos pilares e respectivos termos de flexibilidade
Nó central do maciço
Força x Força y Momento y Momento x
U1 (m) R2 (rad) U2 (m) R1 (rad) U1 (m) R2 (rad) U2 (m) R1 (rad)
Médio 6,158 0,366 6,360 -0,359 0,366 0,152 -0,359 0,149
Termo de flex. F11 F15 F22 F24 F51 F55 F42 F44
Obtidos os valores relativos aos deslocamentos dos pontos centrais dos maciços, a
obtenção dos termos de flexibilidade obtiveram-se dividindo o valor dos deslocamentos pelo
valor das forças aplicadas. Relembra-se que esse valor é constante para todas as forças
aplicadas. Deve também ter-se em atenção que o modelo utilizado está em regime linear e por
esse motivo, os valores de deslocamentos e rotações medidos são proporcionais às forças
aplicadas. Desta forma, os termos de flexibilidade e rigidez são assim, constantes.
A matriz de flexibilidade obtida tem então, a seguinte forma:
dx dy dz θx θy θz
dx 61,58 0 0 0 3,66 0
dy 63,60 0 -3,59 0 0
dz 0 0 0 0
θx 1,49 0 0
θy 1,52 0
θz 0
x 10-7
[m/kN]
Figura 31 - Matriz de flexibilidade da mola
Invertendo a matriz de flexibilidade, obtém-se a matriz de rigidez a introduzir
directamente no programa de cálculo automático (Figura 32).
dx dy dz θx θy θz
dx 1,624 0 0 0 27,30 0
dy 1,572 0 -27,87 0 0
dz 0 0 0 0
θx 67,14 0 0
θy 65,81 0
θz 0
x 105 [kN/m]
Figura 32- Matriz de rigidez da mola a aplicar no programa de cálculo
Desta forma fica concluída a modelação dos maciços de encabeçamento no modelo
simplificado.
35
4.2.2 - Encontros
A modelação dos encontros é em tudo semelhante à apresentada anteriormente para
os maciços. A principal diferença é que o encontro apenas tem de “funcionar” numa direcção
pois existe uma junta de dilatação no encontro que faz com que o deslocamento longitudinal da
ponte seja independente do movimento do encontro. Na realidade existe sempre uma pequena
parcela de atrito associado ao deslizamento entre as superfícies de teflon e metal, contudo vai-
se admitir que esse atrito é desprezável. O mesmo raciocínio é válido para a flexão do tabuleiro
na direcção da flexão originada pelas cargas permanentes. Como foi dito anteriormente, a
flexão na outra direcção é inexistente devido à elevada rigidez da viga de coroamento. A única
condição de apoio que necessita de modelação é, então, a rigidez do encontro aos
deslocamentos horizontais transversais.
A figura 33 representa o modelo de cálculo utilizado para calcular a rigidez transversal
do encontro. Relembra-se que os encontros estão modelados recorrendo a uma estaca
cilíndrica de rigidez seis vezes superior à das estacas normais. Foi no nó do centro dessas
estacas que foi aplicada a força que viria a fornecer valores de deslocamentos para aferição do
valor da rigidez destes elementos. À semelhança do que foi feito para os maciços, também
para os encontros foi retirada uma “faixa” de solo do modelo inicial. Desta faixa, apenas uma
dimensão tem de ser limitada, a longitudinal. Este limite prende-se com a existência de um
grupo de pilares e maciços do género dos apresentados no capítulo anterior. Assim, desde o
eixo dos dois encontros (um de cada viaduto) até ao limite do modelo (para a zona do viaduto)
apenas se pôde dar uma extensão de solo de 11,4 metros, que corresponde a metade do
tramo de extremidade da superstrutura.
36
Figura 33 - Modelo utilizado para modelar a rigidez transversal do encontro
Depois de aplicar forças no valor de 1x106 kN nos pontos centrais das estacas na
direcção da maior dimensão do modelo (direcção transversal do viaduto), mediram-se os
deslocamentos de todos os pontos existentes no eixo definido pelos centros das duas “estacas
equivalentes”. A evolução desses deslocamentos apresenta-se de seguida:
Figura 34 - Deformação transversal do solo e do encontro
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
-75 -50 -25 0 25 50 75
Conjunto de pontos ao longo do eixo dos encontros (coordenada y em m)
37
Como se pode verificar, à semelhança dos maciços de encabeçamento, a extensão de
solo influenciada pela deformação do encontro é bastante inferior à que se considerou
inicialmente.
É de notar o facto de a deformação transversal dos encontros ser sensivelmente o
dobro da dos maciços. Este facto deve-se ao facto da aplicação da carga estar, no modelo dos
encontros, a uma cota superior à da dos maciços em 7 metros. Desta forma, o modelo começa
a apresentar deformações semelhantes à deformação de uma consola devido à elevada altura
do modelo. Relembra-se que as únicas condições de fronteira do modelo estão na base, e que
o solo acima da cota 0 (não existente no modelo dos maciços) é o solo de piores
características mecânicas (tabela 3). Assim pode perceber-se a elevada deformação dos
encontros.
A influência desta deformação transversal no solo adjacente, foi também medida ao
longo de um eixo longitudinal, de forma a aferir a influência da deformação do encontro no
grupo de maciços mais próximo. Esta influência pode ser verificada no gráfico da figura 35.
Figura 35 - Deformação transversal dos pontos num eixo longitudinal que atravessa um encontro
Como seria de esperar, a distância até meio tramo de extremidade não é suficiente
para anular completamente a deformação transversal do encontro, como acontece na zona
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
-26 -21 -16 -11 -6 -1 4 9
Conjunto de pontos ao longo do eixo dos encontros (coordenada y em m)
38
posterior. A deformação é, no entanto, aceitável, pois a deformação que se verifica na
extremidade contígua à zona dos maciços é cerca de 8,5% da verificada na zona de controlo
(parte superior da estaca) onde a deformação verificada toma o valor máximo de 11,645 m.
Os resultados obtidos não vão de encontro ao que seria esperado, pois os valores da
deformação do encontro são muito elevados, quando deveriam ser o oposto. Há que realçar
que, por motivos de dificuldade na modelação, foram deixados de parte alguns elementos
estruturais do encontro que contribuem significativamente para a sua rigidez transversal, e que
fariam o valor da sua rigidez transversal subir para valores muito superiores ao obtido neste
modelo, que apenas contempla uma estaca de rigidez multiplicada por 6. Esses elementos são
duas “palas” ligadas à viga de coroamento das estacas que se esquematizam na figura 36.
Figura 36 - Pormenor da pala que confere rigidez transversal ao encontro
Como se pode perceber pela figura, as palas representam uma grande resistência ao
movimento transversal do encontro, devido à sua superfície, que contém uma grande secção
de solo. Por esse motivo, optou-se por considerar que o movimento transversal do encontro se
encontra fixo.
Poder-se-ia fazer uma verificação de segurança ao encontro, avaliando a resistência de
corte que a superfície de solo a tracejado azul mobilizaria ao longo da distância entre as duas
palas (aproximadamente 38m). No entanto, esta verificação seria, muito imprecisa pois não se
sabe o valor da resistência de corte do solo, e a contribuição dada pelas estacas enterradas ao
conjunto é bastante difícil de calcular. Por isso admitiu-se, simplificadamente, que o movimento
transversal do encontro é nulo. Convém referir que esta simplificação não é de todo errada
39
pois, em inspecções pós-sismo feitas a obras semelhantes à que se estuda, a rotura (ou os
maiores danos) nunca se registam nesta zona da estrutura.
Em relação às restantes condições de fronteira do encontro, o movimento longitudinal
será libertado e o movimento vertical fixo. No que diz respeito a rotações, a única rotação
impedida será a que provoca torção no tabuleiro, pois o encontro possui duas juntas de
dilatação, uma sob cada viga, que permitem deslizamentos diferenciais entre as duas vigas, o
que conduz a uma flexão em torno do eixo de maior inércia do tabuleiro. A não restrição da
flexão resultante das cargas permanentes foi já explicada anteriormente.
Com a conclusão da modelação dos encontros, fica definido todo o modelo
simplificado.
40
4.3 – Vista geral do modelo simplificado
O modelo simplificado contempla apenas um viaduto, em detrimento dos dois
existentes, pois, uma vez que não existe meio comum aos dois, não faria sentido criar um
modelo com dois viadutos iguais separados. Nestas condições, a matriz de rigidez do modelo
seria composta por dois blocos iguais como apresenta a figura abaixo:
Matriz de rigidez do viaduto 1
0
0
Matriz de rigidez do viaduto 2
Figura 37 - Exemplo de uma matriz de rigidez de estruturas dissociadas num mesmo modelo
Desta forma, não faz sentido ter duas estruturas separadas no mesmo modelo porque
os resultados vão ser idênticos para cada uma das estruturas e ter-se-á um modelo mais
pesado sem haver a necessidade. O modelo final tem, então, o aspecto apresentado na figura
38.
Figura 38 - Modelo simplificado
Na extremidade do tabuleiro e na base dos pilares, podem ver-se os apoios de
diferentes tipos e as molas cuja natureza se explicou anteriormente. Repare-se também que,
no que diz respeito à discretização dos elementos, se optou por dividir os vários tramos do
tabuleiro em dois elementos de barra iguais, para criar um ponto de massa a meio vão de cada
tramo. Esta opção prende-se com a necessidade de considerar a vibração vertical do tabuleiro.
Caso a divisão dos elementos de barra que compõem o tabuleiro fosse realizada apenas na
parte superior dos pilares, a massa vertical oscilante estaria apenas condicionada pela rigidez
axial dos pilares, ao invés de estar dependente da rigidez de flexão do tabuleiro. Os pilares,
foram divididos em 4 elementos de barra de igual comprimento..
41
4.4 – Caracterização dinâmica do modelo simplificado
Os principais modos de vibração da estrutura simplificada serão apresentados nesta
secção, assim como os correspondentes factores de participação de massa. Far-se-á, para
cada modo, um breve comentário à sua configuração, uma vez que não é possível reproduzir a
animação que o programa de cálculo automaticamente gera.
1º Modo
O primeiro modo de vibração do viaduto corresponde ao que se esperava inicialmente.
Consiste numa translação do tabuleiro na direcção longitudinal. A figura 39 representa a
deformação deste modo e a tabela 11, as características dinâmicas correspondentes. Neste
modo de vibração, a participação da massa na direcção longitudinal e de 96,9%, o que
corresponde à massa de toda a estrutura menos metade de cada pilar (associada aos nós mais
próximos da base de cada pilar).
Figura 39 - 1º modo de vibração do viaduto
Tabela 11 - Características dinâmicas do 1º modo de
vibração
Período
0,421 seg Participação de Massa Long. Transv. Rot.z
97,6% 0,0% 0,4%
2º Modo
O segundo modo (Figura 39 e Tabela 12) corresponde a uma oscilação do tabuleiro na
direcção transversal. As considerações feitas para o 1º modo continuam a ser válidas para este
modo, apenas com a diferença de se tratar agora da direcção transversal da estrutura. Repare-
se também na elevada participação de massa no que diz respeito à rotação do tabuleiro em
torno do eixo vertical (z). Esta situação acontece devido à diferença de rigidez transversal entre
os pilares e os encontros. Esta diferença dá origem a movimentos transversais diferenciais, o
que gera flexão do tabuleiro em torno do eixo vertical.
Tabela 12 - Características dinâmicas do 2º modo de
vibração
Período
0,315 seg Participação de Massa
Long. Transv. Rot.z 0,0% 86,0% 67,2%
Figura 40 - 2º modo de vibração do viaduto
42
3º - 7º Modos
O 3º modo de vibração do viaduto já não contempla movimentos no plano horizontal,
estando de acordo com a discretização efectuada e explicada anteriormente. O próximo modo
de vibração do viaduto a originar deformação do tabuleiro no plano horizontal terá de ser um
modo que provoca a rotação do tabuleiro em torno de um eixo vertical global. Esse modo está
relacionado com a maior inércia do tabuleiro que, por ser bastante elevada, conduz a valores
de frequência bastante elevados. Antes de se atingir esse modo, assistir-se-ão a outros que
assentam sobretudo na oscilação vertical dos vários tramos, como é o caso do 3º. É
apresentada uma imagem ilustrativa dessa oscilação vertical (Figura 41) e os valores relativos
à análise modal são apresentados em bloco (Tabela 13), por serem todos semelhantes uns aos
outros e serem pouco relevantes para a análise que se quer efectuar.
Figura 41 - 3º modo de vibração do viaduto
Tabela 13 - Características dinâmicas dos modos de vibração verticais
Gama de Períodos
0,253 a 0,152 seg Σ Participação de Massa
Horizontal (Long, Trans. e Rot.)
Verticais
Máx de 0,5% (Long.) 56,9%
8º Modo
Como se esperava, o 3º modo em que o tabuleiro apresenta deformações no plano
horizontal corresponde já a uma frequência elevada. A configuração do modo é coerente com o
que se esperava (Figura 42 e Tabela 14).
Tabela 14 - Características dinâmicas do 8º modo de
vibração
Período
0,147 seg Participação de Massa
Long. Transv. Rot.z 0,0% 0,0% 16,3%
Embora existam mais modos de vibração (tantos como o número de graus de liberdade
do modelo), apenas interessarão para a caracterização da resposta da estrutura os dois
primeiros, pois são os que correspondem aos movimentos mais flexíveis da estrutura, por
serem condicionados pela rigidez dos pilares, com elevados factores de participação modal.
Figura 42 - 4º modo de vibração do viaduto
43
Faz-se, no entanto, uma chamada de atenção à existência de um valor bastante
significativo de 52,0% que diz respeito à participação de massa na direcção vertical no 7º modo
de vibração. Embora o Eurocódigo 8 - Parte 2 (CEN, 2003) seja peremptório na inclusão do
efeito da oscilação vertical, devido à acção sísmica, em tabuleiros pré-esforçados, como é o
caso do viaduto em estudo, neste trabalho não se dará especial atenção a este efeito, uma vez
que o que se pretende avaliar é o comportamento do viaduto associado à flexão dos elementos
verticais. Normalmente, quando comparada com as acções variáveis regulamentares para as
pontes e viadutos (cargas de faca, veículos fictícios regulamentares) a componente vertical da
acção sísmica não é condicionante.
Este trabalho servirá assim, para avaliar a vulnerabilidade da estrutura às acções
horizontais decorrentes da acção sísmica mais rigorosa que a nova regulamentação veio
implementar. Como são essencialmente os elementos verticais que vão resistir às acções
horizontais, faz sentido que lhes seja dada uma especial importância em estudos semelhantes
ao realizado.
Serão feitas nestes elementos, e através de diversos processos, verificações no âmbito
da resistência e ductilidade, ao mesmo tempo que será avaliado o impacto que a sua
deformação tem no tabuleiro.
Como a obra foi dimensionada recorrendo-se a análises estáticas lineares, que se
sabem ser algo conservativas para a acção sísmica que se considerava na altura, é de todo o
interesse avaliar agora, a mesma estrutura a partir de análises mais complexas e considerando
a acção sísmica definida recentemente e presente no Anexo Nacional do Eurocódigo 8 (CEN,
2003).
44
45
5 – Avaliação da resistência sísmica da estrutura – recurso a
análise dinâmica linear
Dentro de vários métodos disponíveis para o dimensionamento e avaliação sísmica de
estruturas, alguns são mais utilizados para o estudo de estruturas correntes (os procedimentos
lineares) e outros são fundamentalmente utilizados para estruturas importantes ou de elevado
valor patrimonial.
A crescente insaciabilidade do homem, por vezes irracional, no que diz respeito à sua
constante superação na construção, tem levado a grandes avanços tecnológicos, incluindo na
área da resistência sísmica. A par dos ventos fortes (ciclones), que se acredita que estejam
intimamente relacionados com o aquecimento global, a sismicidade é dos factores naturais que
mais impacto têm tido no planeta ao longo dos últimos 40 anos, no que diz respeito a mortes e
desalojamentos. É, por isso, urgente que a comunidade científica desenhe mecanismos que
permitam aos seres humanos evitarem as consequências deste tipo de eventos, para que, no
futuro, não se sofram as consequências outrora verificadas.
46
5.1 - Regulamentação
Implementado em 1983, o “Regulamento de Segurança e Acções” (R.S.A, 1983) trouxe
algumas melhorias em relação à anterior regulamentação Regulamento da Segurança das
Construções Contra os Sismos (RSCCS, 1958), no que diz respeito à consideração da acção
sísmica. Foi no RSA que apareceram as primeiras referências ao cálculo dinâmico linear por
espectros de resposta e ao coeficiente de comportamento. Anteriormente, todo o cálculo
sísmico era feito através de análises estáticas lineares, mais ou menos calibradas, mas sempre
assentes no conceito de “forças de inércia” sujeitas à amplificação através coeficientes
sísmicos associados ao do mapeamento da actividade sísmica do território nacional.
Como se viria a constatar, as análises recorrendo a espectros de resposta viriam a ser
mais realistas, tendo vindo, este tipo de cálculo, a ser amplamente adoptado pelos engenheiros
no cálculo sísmico de estruturas, também devido às facilidades entretanto apresentadas pelos
programas de cálculo automático.
Mais recentemente, com a intenção de uniformizar a regulamentação europeia, têm
vindo a ser implementados regulamentos comuns a todos os países da União Europeia,
denominados Eurocódigos. Incluída numa grande diversidade de regulamentos, aparece a
nova regulamentação anti-sísmica prevista para estes países. Esta regulamentação, mais
avançada que a sua antecessora em Portugal, apresenta novas concepções de espectros de
resposta, mais sofisticados e que melhor se adequam aos diversos locais, aos tipos de terreno
e ao tipo de estrutura. Ao mesmo tempo, foi também revisto o mapeamento do território
português, contemplado no Anexo Nacional, no que diz respeito à acção sísmica.
No Eurocódigo 8, são também abordados e sugeridos novos métodos de análise
sísmica. Estes novos métodos correspondem a análises não lineares estáticas, que serão
explicados e utilizados numa fase mais avançada desta dissertação, juntamente com as
análises dinâmicas não lineares.
A obra em estudo nesta dissertação foi dimensionada de acordo com os requisitos em
vigor no RSA. Contudo, devido à existência desta nova regulamentação (Eurocódigo 8), a
acção sísmica que se considera neste estudo será a definida no Anexo Nacional do Eurocódigo
8.
47
5.2 - Análise dinâmica linear por espectro de resposta
Nesta secção, fazer-se-á uma análise dinâmica linear de acordo com o Eurocódigo 8.
O procedimento será definido passo a passo para facilitar a compreensão de todo o método.
5.2.1 - Zona sísmica e terreno de implantação
Consultando o zonamento sísmico de Portugal Continental presente no Anexo Nacional
(2007), pode saber-se em que zona se encontra a obra em estudo. Sabendo que se localiza no
distrito de Setúbal, demarcado essencialmente pela zona amarela de ambos os esquemas,
conclui-se que para a acção sísmica 1 (sismo de elevada magnitude a uma elevada distância
focal) a zona é a 3 (1.3) e para a acção sísmica 2 (sismo de fraca magnitude a uma curta
distância focal) a zona é, também a 3 (2.3). Na figura 43 apresenta-se este mesmo zonamento
e o ponto correspondente à zona de implantação da obra.
Figura 43 - Zonamento sísmico de Portugal Continental (Zona centro e sul) - Anexo Nacional
Quanto ao terreno de implantação, há que relembrar a necessidade da criação do
modelo simplificado. Enquanto que no modelo inicialmente criado, o solo era considerado
explicitamente no modelo e a ligação do modelo ao exterior se fazia a uma profundidade
suficientemente grande para se considerar que se estava perante formação rochosa, neste
modelo simplificado, o solo já não existe. Por este motivo, tem que se incluir a amplificação que
o solo retirado ao modelo incutiria nas ondas sísmicas. Desta forma, o espectro de resposta
terá de ser definido, não para um solo rochoso, mas sim para um solo de piores características
mecânicas. Esta alteração reflectir-se-á num espectro com maiores valores de aceleração
espectral e, consequentemente, mais severo. A figura que se segue ilustra a situação explicada
anteriormente.
48
Figura 44 - Esquematização da amplificação das ondas sísmicas e posterior aumento de aceleração espectral vs. imposição de um espectro mais desfavorável; aR – aceleração das ondas
sísmicas na rocha, ac – aceleração das ondas sísmicas no solo do tipo C.
De acordo com os resultados dos ensaios SPT, e consultando a tabela 3.1 “Ground
types”, retirada da parte 1 do Eurocódigo 8 e apresentada na tabela 15, pode saber-se qual o
tipo de solo mais indicado a considerar na construção do espectro para a zona em estudo.
49
Tabela 15- Tipos de solo a considerar na criação do espectro de resposta (CEN, 2003)
Recordando a tabela 3 do capítulo 3.1 pode reparar-se que grande parte do solo
apresenta um número de pancadas, nos ensaios SPT, que se encaixa nos valores
correspondentes ao solo C (15 a 50 pancadas). Os parâmetros necessários à criação do
espectro de resposta, que dependem da natureza do terreno e da zona sísmica constam no
Anexo Nacional e, para as zonas 1.3 e 2.3 são respectivamente:
Tabela 16 - Valores dos parâmetros referentes ao solo do tipo C para as zonas 1.3 e 2.3
Parâmetro Zona 1.3 Zona 2.3
agR (m/s2) – aceleração máxima de referência para a rocha (solo A) 1,50 1,70
TB (s) – limite inferior do ramo espectral de aceleração constante 0,1 0,1 TC (s) - limite superior do ramo espectral de velocidade constante 0,6 0,25 TD (s) – valor definidor do início do ramo de deslocamento constante 2,0 2,0 S – factor de terreno 1,5 1,5
50
5.2.2 - Coeficiente de comportamento e coeficiente de importância
Nesta secção determinam-se os valores dos coeficientes de comportamento e de
importância, segundo o preconizado no Eurocódigo.
5.2.2.1 - Coeficiente de comportamento (q)
No EC8 podem encontrar-se vários tipos de funções para diferentes tipos de espectros
de resposta. No caso deste trabalho, o espectro de resposta escolhido diz respeito às
componentes horizontais da acção sísmica. Dentro destes, podem encontrar-se dois tipos de
espectros distintos: elástico e de dimensionamento. A diferença entre ambos reside na inclusão
do factor q (coeficiente de comportamento) no espectro de dimensionamento que pretende
considerar indirectamente o comportamento não linear da estrutura durante a actuação da
acção sísmica. A tabela 4.1 apresentada na parte 4.1.6 da 2ª parte do Eurocódigo permite
obter o coeficiente de comportamento para vários tipos de viadutos.
O coeficiente de comportamento pode ser obtido de acordo com a expressão abaixo
apresentada, que está calibrada para estruturas de betão armado (cujo coeficiente de
amortecimento (ξ) é de 5%) com características semelhantes às que o viaduto em estudo
apresenta.
( , (6.1)
onde
⁄ , sendo que:
- distância entre a rótula plástica e o ponto de momento nulo do pilar;
h - altura da secção do pilar no plano de flexão do pilar aquando da formação
da rótula plástica.
Para o viaduto em estudo, a altura dos pilares é constante e igual a 7,5m. Para acções
horizontais, a formação das rótulas plásticas ocorre nas secções dos pilares próximas ao
tabuleiro e aos vários maciços de encabeçamento, e a zona de momentos nulos nestes
elementos, para a mesma acção, é a meia altura. Desta forma, toma o valor de 3,75m
enquanto h equivale ao diâmetro da secção dos pilares, 1,4m. Tem-se então:
O que permite calcular λ( de acordo com a equação seguinte:
Se: 1,0 < < 3,0 , λ( √
(6.2)
Obtém-se, por fim, o valor do coeficiente de comportamento
51
5.2.2.2 - Coeficiente de importância
Para salvaguardar as estruturas que desempenham um papel mais importante para a
comunidade, o EC8 prevê uma hierarquia de diversos tipos de construções mediante a sua
importância. Naturalmente, quanto maior for a necessidade da sua operacionalidade, mais
rigorosa será a acção sísmica que essa construção terá de suportar. A tabela 17 representa
algumas dessas estruturas e as suas respectivas classes de importância.
Para obras de arte, como é o caso da obra em estudo, a análise à classe de
importância é feita de acordo com o ponto 2.1 do EC8 parte 2. Nesse ponto pode ler-se o
seguinte:
“Bridges shall be classified in importance classes, depending on the consequences of their failure for human life, on their importance for maintaining communications, especially in the immediate post-earthquake period, and on the economic consequences of collapse. (…)
In general road and railway bridges are considered to belong to importance class II (average importance), with the exceptions noted below.
Importance class III comprises bridges of critical importance for maintaining communications, especially in the immediate post-earthquake period, bridges the failure of which is associated with a large number of probable fatalities and major bridges where a design life greater than normal is required. (...)
Importance classes I, II and III correspond roughly to consequences classes CC1, CC2 and CC3, respectively, defined in EN 1990:2002, B3.1.”
Embora o ponto 2.1 remeta a escolha dos coeficientes de importância ( ) para o
Anexo Nacional de cada país, estes valores não constam no Anexo Nacional Português. Está
também estipulado no ponto 2.1 que a classificação de importância para estas estruturas se
assemelha à classificação realizada de acordo com a classe de consequências presente no
Anexo B do Eurocódigo 0. A tabela que se segue representa a correspondência entre as duas
classificações e os valores de coeficiente de importância a adoptar para cada categoria.
Tabela 17 - Classes de importância (Eurocódigo 0 (CEN, 2003))
Classe de consequências
Descrição (perda de vidas humanas ou prejuízos
económicos)
Classe de importância
Valor do coeficiente
de importância ( )
CC1 Leve I 0,8 CC2 Moderado II 1,0 CC3 Grave III 1,2
- - IV5 1,4
5 A classe de importância IV apenas se aplica a edifícios de características muito especiais,
(edifícios produtores de energia ou edifícios de acção social) não tendo correspondência directa para o tipo de estruturas em estudo. A escolha do coeficiente de importância fica, contudo, sempre ao critério do projectista e do dono de obra.
52
A obra em estudo encaixa na categoria CC3 (classe de importância III). Embora o seu
colapso não significasse necessariamente uma perda significativa de vidas humanas nem seja
uma estrutura de custos extraordinários, é provável que a falha do seu normal funcionamento
viesse a corresponder a uma quebra económica considerável, pois a sua reposição poderia
levar alguns meses, o que não seria desejável, uma vez que se trata da principal via de ligação
entre o centro e o sul do país. Como não existe nenhuma referência a este tema no projecto de
execução, a escolha do coeficiente de importância de 1,2 para este estudo é meramente
académica.
5.2.3 – Espectros de resposta
Na análise dinâmica linear, a acção sísmica é definida de forma indirecta a partir de
espectros de resposta. Os espectros de resposta, tal como são apresentados no EC8 são
funções definidas por troços e representam valores de aceleração espectral em função de
valores de períodos. O cálculo sísmico da estrutura é então efectuado, recorrendo à análise
modal da estrutura, a partir da qual se ficou a conhecer o comportamento dinâmico. Só depois
de conhecer o seu comportamento dinâmico, se pode calcular o efeito dos sismos.
A função que define o espectro de resposta de dimensionamento no EC8 tem a
seguinte forma:
( *
(
)+;
(6.3)
(
;
(6.4)
(
, ( ;
(6.5)
(
, ( , (6.6)
onde: ( é o valor da aceleração espectral;
é o período de vibração de um sistema de um grau de liberdade;
, , e são parâmetros já explicados na tabela 16 e é o coeficiente de
comportamento;
é a aceleração de projecto em rocha (terreno tipo A), que se obtém fazendo o
produto .
53
Os espectros para as acções sísmicas do tipo 1 e 2 (zonas 1.3 e 2.3), e para o terreno
de fundação classificado como “C” constam no gráfico apresentado na figura 45. Apresenta-se
também o espectro relativo ao solo do tipo A (rocha) para que se possa facilmente
compreender as implicações que o tipo de solo tem na gama dos valores da aceleração
espectral e consequentemente na definição da acção sísmica. Recorda-se que o espectro do
solo A seria o espectro a utilizar caso se tivesse utilizado o modelo onde o solo estava
explicitamente considerado.
Figura 45 - Espectros de resposta de dimensionamento para os tipos de solo A e C
Visualizando o gráfico, pode perceber-se a importância da definição dos dois tipos de
acção sísmica. Contrariamente ao que se pode pensar, a acção sísmica oriunda da falha
interplacas (sismo 1), geradora de sismos de maior magnitude, nem sempre é a mais
desfavorável. Como se pode constatar, a zona de períodos inferiores a 0,3 segundos apresenta
valores de aceleração espectral consideravelmente mais elevados, para a acção sísmica
intraplaca (sismo 2). Recordando os valores de períodos dos modos de vibração mais
significativos (1º e 2º) da obra em estudo, respectivamente 0,422 e 0,316 segundos, e
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Ace
lera
ção
esp
ectr
al (
m/s
2)
T (seg)
Sismo 1 solo A
Sismo 2 solo A
Sismo 1 Solo C
Sismo 2 Solo C
54
localizando esses mesmos valores no gráfico acima, pode concluir-se que, de facto, para esta
estrutura, a acção sísmica do tipo 1 é a mais condicionante.
Calculados os valores de deformações/esforços para cada modo de vibração e
direcção, resta fazer a combinação de todos os resultados modais, de forma a obter um
resultado final destas mesmas grandezas, para que se possa partir para a fase de
dimensionamento ou verificação de segurança, como se pretende fazer com o viaduto em
estudo.
A combinação dos vários modos de vibração para a aferição do resultado final foi feita
de acordo com o que o ponto 4.2.1.3 do EC8 – Parte 2 estipula:
“ (1) In general the probable maximum value E of a seismic action effect (force,
displacement etc.) shall be taken as equal to the square root of the sum of squares of
the modal response, Ei (SRSS-rule) (…
(2) When two modes have closely spaced periods the SRSS rule is
unconservative and more accurate rules shall be applied. Two natural periods, T i, Tj,
may be considered as closely spaced natural periods if they satisfy the condition:
√
√ (6.7)
(3) For any two modes satisfying expression (6.7), the method of the
Complete Quadratic Combination may be used instead of the SRSS rule (…)”
Tendo em conta que os 2 primeiros modos são os que mais influência têm na estrutura,
será em relação a estes modos que será feita a verificação que o ponto 4.2.1.3 recomenda.
Faz-se uma chamada de atenção para a parte radical da expressão que remete para a
possibilidade de existirem coeficientes de amortecimento diferentes entre modos consecutivos.
Este facto não se verifica na estrutura em estudo ( ). A parte direita da
inequação toma então o valor de 1,5.
(6.8)
Fica então concluído que a utilização da Combinação Quadrática Completa como
método de combinação de resultados dos vários modos de vibração se adequa melhor ao caso
em estudo.
55
No que diz respeito à combinação direccional de resultados, o ponto 4.2.1.4 é também
explícito:
“The probable maximum action effect E, due to the simultaneous
occurrence of the components of the seismic action along the horizontal axes X
and Y and the vertical axis Z, may be estimated in accordance with EN 1998-1:
2004, 4.3.3.5.2(4), i.e. through application of the SRSS rule to the maximum
action effects Ex, Ey and Ez due to independent seismic action along each áxis”
Utilizar-se-á então o método SRSS (Raíz quadrada da soma dos quadrados) como
método de combinação direccional da acção sísmica.
Apresenta-se, a título de curiosidade, a janela do “SAP 2000” onde foram introduzidos
os comandos respectivos a todo o processo explicado ao longo do capítulo (Figura 46).
Figura 46 - Definição dos parâmetros da acção espectral correspondente ao sismo 1
Repare-se que no campo “Function” aparece o parâmetro Sismo 1. Este parâmetro foi
definido anteriormente no programa como sendo uma função, ou seja, um espectro de
resposta. Neste caso, o espectro de resposta que aparece traçado a azul-escuro na figura 45.
Pode também observar-se a não consideração do efeito vertical do Sismo 1 através da
utilização de um factor multiplicativo de 0 na direcção U3 (vertical).
56
5.3 - Combinação da acção sísmica com outras acções
Concluídos todos os processos necessários à correcta definição da acção sísmica e ao
cálculo dos seus efeitos, resta combinar estes efeitos com os efeitos das restantes acções. De
acordo com o ponto 5.5 de EC8 – parte 2, no dimensionamento sísmico de estruturas, o efeito
das acções é contabilizado através da seguinte combinação de acções:
, onde: (6.8)
“+” significa “combinado com”;
são as acções permanentes com os seus valores característicos;
é o valor característico do pré-esforço depois de todas as perdas;
é a acção sísmica de dimensionamento;
é o valor característico das cargas relativas ao tráfego;
é o valor de combinação quase-permanente das cargas relativas ao tráfego; e
é o valor quase permanente das acções de longa duração.
Por não serem relevantes para a análise que se pretende efectuar, algumas parcelas
foram propositadamente excluídas da combinação. São exemplo disso, as parcelas relativas ao
pré-esforço e às acções de longa duração. A parcela relativa às cargas devidas ao tráfego
regulamentar não pode ser excluída, pois, de acordo com o ponto 4.1.2(4) do Eurocódigo 8 -
Parte 2:
“The quasi-permanent values of variable actions shall be taken as equal
to where is the characteristic value of traffic load.(…) Bridges with
severe traffic (…) Road bridges (…) Road bridges with severe traffic
conditions may be considered as applying to motorways and other roads of
national importance.”
Como o viaduto em estudo é parte integrante e indispensável à correcta circulação de
tráfego de uma auto-estrada (motorway), a sobrecarga referente à passagem de veículos tem
de ser tida em conta.
57
Para majorar o efeito da deformação do tabuleiro no plano horizontal, a principal
influência da sobrecarga rodoviária é o incremento de peso que ela incute na estrutura, sob
forma de massa oscilante, aumentando o período de vibração da estrutura, tornando-a assim
mais deformável.
A definição da sobrecarga a implementar no viaduto pode ser encontrada no capítulo
4.3 do Eurocódigo 1 – Parte 2. Aí estão especificados vários “modelos de carga” para aplicar
em diversas situações, conforme o seu efeito seja mais desfavorável para determinado cenário:
Modelo 1: Cargas distribuídas e concentradas, que abragem a maioria dos
efeitos provocados pelo tráfego convencional;
Modelo 2: Carga concentrada referente a um eixo com áreas de contacto
específicas para simular o efeito dinâmico do tráfego normal em elementos
estruturais de pequenas dimensões;
Modelo 3: Um conjunto de vários eixos que representam veículos especiais
que podem circular em determinadas estradas onde a sua passagem seja
permitida;
Modelo 4: Carga distribuída que simula uma enchente de pessoas.
Como foi dito anteriormente, o principal efeito que se pretende simular, é o incremento
de peso devido ao tráfego. Dos modelos acima apresentados, o modelo que majora o efeito
pretendido é o Modelo 1, pois é o que corresponde a um tabuleiro mais carregado. Este
modelo de carga consiste na definição de 3 faixas6 distintas na via, cada uma com um veículo
de dois eixos, e na distribuição de sobrecargas de superfície (Figuras 47 e 48).
Local
Tandem system TS
UDL system
Peso do eixo (
(kN/m
2)
Faixa 1 300 9 Faixa 2 200 2,5 Faixa 3 100 2,5
Outras Faixas 0 2,5 Área restante
( ) 0 2,5
Figura 47 - Esquema da aplicação do Modelo 1 de sobrecarga rodoviária
6 A palavra “faixa” no contexto da aplicação de sobrecarga não deverá ser confundida com a
palavra “faixa” da expressão “faixa de rodagem”.
58
Figura 48 - Distribuição de cargas prescrito pelo Modelo 1
A figura 48 é ilustrativa da distribuição de cargas a aplicar no tabuleiro. Devido ao facto
de o tabuleiro estar simulado como um elemento de barra, a distribuição de cargas não pode
ser igual ao que está apresentado, o que leva à necessidade de adaptar o esquema
apresentado à situação modelada.
Atendendo aos dois primeiros modos de vibração da estrutura (os mais significativos),
pode concluir-se que a posição mais desfavorável dos 3 veículos no tabuleiro é exactamente
no centro do mesmo. Na direcção longitudinal, a presença dos veículos torna-se arbitrária pois
o tabuleiro vibra como se fosse um oscilador de apenas um grau de liberdade (corpo rígido), ao
passo que na direcção transversal, o ponto de maior deformação é o centro de massa, que
apresenta o maior deslocamento devido ao facto de ser o ponto mais afastado dos dois
encontros. Desta forma, a presença dos veículos como massa oscilante deverá fazer-se sentir
no centro do tabuleiro.
Como os resultados da análise modal variam de acordo com a massa da estrutura, as
cargas variáveis tiveram de ser transformadas, ou em pontos de massa concentrada ou em
distribuições uniformes de massa. Poder-se-ia criar dois pontos de massa, para melhor simular
os dois eixos dos veículos, contudo, para simplificar o cálculo, optou-se por reduzir todo o
sistema apenas a um ponto de massa concentrada. A transformação dos valores de carga em
termos de massa foi realizada da seguinte forma:
∑
(
(6.9)
Foi então criado um ponto com massa oscilante nas direcções longitudinal e
transversal com valor igual ao calculado acima.
59
O mesmo procedimento foi adoptado para a transformação da sobrecarga de superfície
em massa distribuída ao longo do tabuleiro:
∑
(
(6.10)
Devido a este incremento de massa no modelo, revela-se necessário averiguar de que
maneira as características dinâmicas da estrutura são influenciadas. A primeira impressão que
se pode ter é de que a influência não será significativa. Pode-se, por exemplo, calcular o
comprimento de tabuleiro a que corresponde a massa dos veículos:
(6.11)
Como se pode verificar, a imposição dos veículos apenas significa um incremento de
0,84m de tabuleiro no tramo central, o que representa cerca de 3% do comprimento do mesmo.
Já a sobrecarga distribuída pode ser analisada como um incremento na área da secção:
(6.12)
A massa distribuída pelos vários elementos de barra que constituem o tabuleiro tem um
resultado idêntico a um incremento de 0,48 m2 (4,2%) na secção do tabuleiro.
Calculada a influência relativa da existência de novas massas, pode concluir-se que as
alterações dos resultados da análise modal da estrutura não serão muito diferentes dos
apresentados num capítulo anterior. A tabela seguinte apresenta os novos valores de períodos
dos dois primeiros modos de vibração da estrutura e a diferença relativa.
Tabela 18 - Análise modal com sobrecargas regulamentares
Modo de vibração Período pré-SC (seg) Período pós-SC (seg) Incremento (%)
Longitudinal 0,421 0,431 2,33 Transversal 0,315 0,323 2,64
A influência das sobrecargas é ainda importante para estimar o valor de esforço axial
nos pilares mais condicionantes. Para um bom dimensionamento/desempenho sísmico, é
preponderante que se respeitem os limites de esforço axial dos elementos verticais, de forma a
assegurar o comportamento dúctil destes elementos. Por esse motivo é também necessário
fazer variar a posição dos veículos de forma a majorar a reacção vertical dos pilares. Contudo,
a posição do conjunto de veículos que majora a deformação transversal do tabuleiro (carga a
meio vão do tramo central) não é coincidente com a que mais solicita os pilares (carga em cima
60
de um grupo de pilares). Mesmo sendo uma situação impossível de acontecer, as duas
situações foram previstas e combinadas. Esta hipótese só foi utilizada porque na combinação
de acções que se está a utilizar, o valor das cargas relativas a tráfego são afectadas do valor
de 0,2, o que faz com que a sua importância seja bastante reduzida. Recorda-se também que o
trabalho a efectuar não é de dimensionamento mas sim de verificação de segurança, por isso,
se a mesma se verificar numa situação mais desfavorável, pode afirmar-se que se está do lado
da segurança.
A máxima solicitação que um pilar pode ter, devida ao tipo de sobrecarga utilizada,
pode ser calculada utilizando um modelo de viga simplesmente apoiada, em que a viga
representa a secção transversal do tabuleiro e os dois apoios representam os dois pilares em
que o tabuleiro assenta. Como a secção do tabuleiro na zona dos pilares é dotada de uma
carlinga, pode afirmar-se que se está perante um corpo rígido sujeito apenas a binários de
forças, como apresenta a figura seguinte:
Figura 49 - Modelação transversal do tabuleiro na zona dos pilares para cálculo do esforço axial máximo nos pilares devido aos veículos
61
O valor máximo de R1, que resulta da aplicação de um carregamento igual ao
apresentado na figura 49, pode ser obtido fazendo o somatório de momentos no apoio 2,
obtendo-se assim uma equação em função do valor que se pretende. A tabela 19 resume os
cálculos efectuados. Por questões de simplicidade, fez-se coincidir os dois eixos dos veículos
(à semelhança do que foi feito para a implementação de pontos de massa concentrada no
tabuleiro).
Tabela 19 - Cálculo de momentos no topo do pilar 2
Carga Valor Largura (m) Comprimento
7
(m) Braço
(m) Momento em 2
(kN.m)
Dist.
9 kN/m 3
28
11,63 8792,28
2,5 kN/m 2,92 -1,46 -298,42
10,13 5,07 3591,59
Pontuais
300 kN
- -
12,63 3789,00
10,63 3189,00
200 kN 9,63 1926,00
7,63 1526,00
100 kN 6,63 663,00
4,63 463,00
∑ 23641,45
O máximo valor de R1, durante a acção sísmica, é:
∑
(6.13)
Este valor da reacção relativa às cargas que simulam os 3 veículos apenas servirá
para agravar a reacção dos pilares mais desfavoráveis durante a acção sísmica regulamentar
cujos resultados da análise se apresentarão na secção seguinte.
7 O comprimento refere-se à área de influência do grupo de pilares mais carregado (na
direcção longitudinal), ou seja, um que separa dois tramos de 28 m
62
5.4 - Resultados obtidos
Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos para a combinação de acções
apresentada anteriormente, recorrendo à análise dinâmica linear para determinar os efeitos da
acção sísmica. Estes efeitos serão separados em duas direcções, a direcção longitudinal e a
transversal. Apresentar-se-ão então os valores referentes ao deslocamento do tabuleiro e aos
esforços nos pilares. Serão também feitas verificações ao nível da ductilidade destes
elementos verticais.
5.4.1 - Deformação do tabuleiro
A deformação no tabuleiro não pode ser medida directamente a partir do modelo
elaborado devido à inclusão dos efeitos não lineares no espectro de resposta. Desta forma,
revela-se necessário recorrer ao Eurocódigo 8 para estimar a real deformação do tabuleiro. De
acordo com os pontos (6) e (8) de 2.3.6.1 do Eurocódigo8 – Parte 2:
“(6)P If linear seismic analysis based on the design spectrum in
accordance with EN 1998 1:2004, 3.2.2.5 is used, the design seismic
displacements, , shall be derived from the displacements, , determined
from such an analysis as follows:
μ (…)”
“(8)P The displacement ductility factor shall be assumed as follows:
When the fundamental period T in the considered horizontal direction is
(…) then
μ ,
if , then
μ (
where q is the value of the behaviour factor assumed in the analysis that results
in the value of .”
De acordo com o ponto 6, deslocamentos resultantes de análises sísmicas com recurso
ao espectro de resposta de dimensionamento deverão ser multiplicados pelo factor de
ductilidade de deslocamento. Este, por sua vez, poderá ser igual ao coeficiente de
comportamento global (utilizado na construção da função espectral, ou pode ser sujeito a
ligeiras modificações). Verificar-se-á então, em primeiro lugar, a validade da inequação
presente no ponto 8. (Ver tabela 20)
63
Tabela 20 – Parâmetros da inequação do ponto (8)
T longitudinal T transversal 8
0,431 seg 0,323 seg 0,75 seg
Uma vez que para ambas as direcções, é necessário calcular o factor de
ductilidade de deslocamentos (μ ) para cada uma dessas direcções.
Tabela 21 - Valores de µd
Longitudinal Transversal
μ (
5,00 6,32
12,5
A partir dos valores obtidos com o programa de cálculo, os deslocamentos do nó de
controlo do tabuleiro (nó coincidente com o centro de massa) resultantes do efeito da acção
sísmica e, aplicando os respectivos valores de µd, obtêm-se os seguintes deslocamentos:
Tabela 22 - Deslocamentos reais do nó de controlo do tabuleiro segundo o Eurocódigo
Deslocamento Longitudinal Deslocamento Transversal
O ponto 2.3.6.3 do EuroCódigo8- Parte 2 estipula ainda que os deslocamentos obtidos
desta análise dinâmica linear devem ser combinados com os que resultam de outras acções,
como a temperatura, retracção e fluência. O valor dos deslocamentos devidos a essas acções
não foi, no entanto, estimado, no âmbito deste trabalho, uma vez que a ordem de grandeza dos
mesmos, quando comparados com os que resultam da acção sísmica é menos significativa.
8 O valor de em questão é o que diz respeito à acção sísmica do tipo 1 ( pois é
a mais condicionante para a estrutura em estudo.
64
5.4.2 - Esforços nos pilares
Nesta secção apresentar-se-ão os esforços nos pilares decorrentes do efeito da acção
sísmica regulamentar, combinados com os que resultam das cargas permanentes e das
sobrecargas definidas anteriormente. Foi criada, no programa, a combinação da acção sísmica
com as cargas permanentes, de forma a apresentar já os resultados finais para estas duas
componentes. O incremento de carregamento axial proveniente das sobrecargas será incluído
no pior cenário, do pilar mais desfavorável, encontrado para a combinação criada.
A partir dos resultados da combinação de acções, foi possível verificar que existem
apenas dois tipos de pilares no que diz respeito aos valores de esforços obtidos: os exteriores
e os interiores. De acordo com os vãos que cada par de pilares separa, facilmente se conclui
que os interiores estão sujeitos a valores superiores de esforços axiais pois separam dois vãos
de 28,0 m ao passo que os exteriores separam um vão de 28,0m de um de 22,8m. Por outro
lado, serão também os pilares interiores a ser mais solicitados em termos de flexão, devido ao
segundo modo de vibração do viaduto, que obriga os pilares centrais a uma deformação muito
superior na direcção transversal, ao passo que longitudinalmente, os esforços absorvidos são
quase idênticos. Assim, será num pilar central que terá de ser aplicado o incremento de
solicitação axial proveniente das sobrecargas, de forma a obter o pilar mais esforçado do
conjunto (Figura 50).
Figura 50 - Pilares mais esforçados do viaduto (pilares interiores)
Os esforços resultantes da combinação da acção sísmica com as cargas permanentes,
obtidos para este grupo de pilares apresentam-se na tabela 23:
Tabela 23 - Esforços no pilar mais desfavorável resultantes da combinação da acção sísmica com o peso próprio
Tipo de esforço Local Valor
Esforço Axial N Base (-) 4947,88 kN
Momento My Topo 4086,39 kN.m
Base 3911,33 kN.m
Momento Mx Topo 3095,31 kN.m
Base 2763,54 kN.m
Esforço Transverso Vx Topo 1051,86 kN
Base 1076,36 kN
Esforço Transverso Vy Topo 763,30 kN
Base 793,56 kN
65
Para finalizar os esforços de dimensionamento, o Eurocódigo aconselha a utilização de
métodos que contabilizem os efeitos de segunda ordem (efeitos geometricamente não
lineares). Esta recomendação pode ser encontrada no ponto 5.4 do Eurocódigo 8 – Parte 2:
“For linear analysis, approximate methods may be used for estimating the
influence of second order effects on the critical sections (plastic hinges), also taking into
account the cyclic character of the seismic action wherever it has a significant
unfavourable effect.
,
where NEd is the axial force and dEd is the relative transverse displacement of the
ends of the considered ductile member, both in the design seismic situation.”
Antes de realizar o cálculo do incremento dos efeitos de segunda ordem, é necessário
considerar o incremento de esforço axial provocado pelas cargas variáveis. Apresenta-se de
seguida o cálculo referente ao incremento no momento dos pilares devido aos efeitos de
segunda ordem e os esforços finais de dimensionamento para o pilar mais desfavorável. Para
tal, recorreu-se à equação (6.14).
(
( (6.14)
onde: - deslocamento das extremidades do pilar mais desfavorável resultantes da análise
dinâmica linear por espectro de resposta; - esforço axial resultante das cargas permanentes;
- esforço axial máximo resultante da sobrecarga rodoviária (secção 5.3).
( (
( (
Tabela 24 - Esforços finais do pilar mais desfavorável para a análise dinâmica linear
Tipo de esforço Valor
Esforço Axial N 5448,23 kN
Momento My 4192,98 kN.m
Momento Mx 3166,76 kN.m
Esforço Transverso Vx 1076,36 kN
Esforço Transverso Vy 793,56 kN
66
Os valores apresentados acima correspondem a uma envolvente de esforços registada
para a acção sísmica considerando dos efeitos de segunda ordem. Dado que a secção dos
pilares é circular, a segurança dos mesmos poderá ser, simplesmente verificada, fazendo a
verificação à flexão composta.
De notar que os valores dos esforços obtidos são referentes à totalidade da acção
sísmica a actuar em cada uma das direcções, o que na realidade não acontece. Por esse
motivo, pode-se aproximadamente adoptar o critério de que o elemento deverá resistir não aos
momentos nas duas direcções por inteiro mas a um deles por inteiro combinado com 30% do
da direcção ortogonal.
Dada a simetria radial, a combinação de esforços mais grave para o pilar será a que
inclui o maior momento devido à acção sísmica e 30% do menor. Esses dois esforços deverão
ser transformados, vectorialmente, num só e depois combinados com o esforço axial.
√( ( √ (
Para verificar a segurança da secção, é necessário definir a curva de interacção N-M.
Para a criar, foi utilizada uma aplicação de MATLAB (Mathworks, 2008) denominada CUMBIA
(CFL, 2007). Esta aplicação será descrita mais pormenorizadamente no capítulo seguinte. A
curva de interacção obtida para os pilares em questão é a seguinte:
Figura 51 - Curva de interacção N-M para os pilares em análise
-30000,00
-25000,00
-20000,00
-15000,00
-10000,00
-5000,00
0,00
5000,00
10000,00
0,00 1000,00 2000,00 3000,00 4000,00 5000,00 6000,00 7000,00
Esfo
rço
No
rmal
(kN
)
Momento Flector (kN.m)
Interacção N-M
67
A linha horizontal é referente ao esforço axial de 5448,23kN que corresponde ao pilar
mais carregado na situação de estar a ser actuado pela sobrecarga rodoviária. O valor de MRd
medido na curva de interacção para este esforço axial é de 4744,28 kN.m. A segurança é
então verificada, uma vez que MRd > MEd. Verificou-se também a segurança da mesma secção
actuada pelo mesmo momento flector mas sem a presença da sobrecarga rodoviária, pois o
incremento de compressão proporcionado por esta carga pode aumentar a resistência da
secção. Como se pode visualizar na figura 51, a curva de interacção é intersectada pela recta
de esforço axial que contempla a existência de sobrecagra rodoviária numa fase onde o
aumento de esforço axial é benéfico para a resistência da secção. Desta forma, retirando o
valor do esforço normal máximo que pode ser originado no pilar mais desfavorável, fica-se com
o valor de N que está apresentado na tabela 23. Para este valor de esforço axial, o valor do
momento flector resistente foi de 4597,33 kN.m. Continua portanto, a verificar-se a segurança,
sendo agora a margem de segurança mais ténue.
68
69
6 – Avaliação sísmica da estrutura – recurso a análises
estáticas não lineares
Obtidos, no capítulo anterior, os resultados do desempenho sísmico do viaduto para
uma análise dinâmica linear, proceder-se-á ao mesmo cálculo mas desta vez recorrendo a
análises não lineares.
Tal como nas análises lineares, também as não lineares podem ser estáticas ou
dinâmicas. Nas estáticas (CEN, 2003), também conhecidas por análises “pushover”, define-se
a capacidade resistente da estrutura a partir de carregamentos impostos, que gradualmente
aumentam de intensidade, até se atingir o mecanismo de colapso da estrutura. Neste tipo de
análise, a acção sísmica é definida a partir de espectros de resposta. A descrição detalhada
destes métodos pode ser encontrada em Bento, et al., (2004). As análises dinâmicas não
lineares definem a acção sísmica a partir de acelerogramas compatíveis com o espectro de
resposta característico da zona em estudo. Os acelerogramas são funções que definem a
aceleração no solo ao longo de um intervalo de tempo. A descrição destas análises é feita em
Denoël, (2001).
Contudo, devido à precisão que estes métodos podem oferecer, em particular as
análises dinâmicas não lineares, para obter resultados satisfatórios, é essencial conhecer bem
os conceitos teóricos que envolvem este tipo de análises, pois dependem de uma grande
quantidade de parâmetros e pormenores.
À semelhança do que foi feito para a análise dinâmica linear, também nas análises não
lineares se avaliará o desempenho sísmico do viaduto em termos da deformação do tabuleiro e
de esforços nos elementos verticais. Fazer-se-ão também, como o Eurocódigo 8 preconiza,
outros tipos de verificações, na sua maioria relacionadas com questões de não linearidade dos
elementos.
As secções que se seguem, representam um processo sequencial, similar ao que foi
utilizado na modelação, e está elaborado e organizado de forma a que possa servir como um
guia de recomendação a quem pretenda realizar um tipo de análise semelhante à que se irá
efectuar.
70
6.1 - Definição da capacidade resistente das secções
condicionantes dos elementos estruturais
Quer se trate de uma análise dinâmica ou estática não linear, o ponto de partida das
mesmas consiste na caracterização não linear dos materiais que constituem as secções dos
elementos onde é previsível a formação de rótulas plásticas. Estas zonas correspondem
normalmente às zonas mais esforçadas dos diversos elementos estruturais.
Como se pôde constatar pelos resultados obtidos na análise linear efectuada
anteriormente, mesmo nestes elementos, determinadas zonas são mais afectadas pela acção
sísmica do que outras. Estas zonas são o topo e a base dos pilares, onde o valor do momento
flector, em qualquer uma das direcções, toma os valores mais significativos de todo o
elemento. Será portanto, essencialmente, a partir da resistência e capacidade de deformação
dessas zonas dos pilares, que se poderá aferir sobre o comportamento não linear da estrutura
quando sujeita à acção sísmica.
A análise de “pushover”, que permite a definição da capacidade resistente global da
estrutura, exige que para as secções condicionantes dos pilares, seja definida a envolvente
monotónica.
Para definir a envolvente monotónica da secção, utilizou-se novamente a aplicação
CUMBIA (CFL, 2007). Esta aplicação permite a utilização de vários modelos matemáticos para
definir as relações constitutivas dos vários materiais, bem como as relações momento-
curvatura da secção em questão. Para isso, é necessário definir alguns dados de entrada9 para
que se possa depois prosseguir com o cálculo. (Tabelas 25-32 e Figura 52)
Tabela 25 - Características da secção
D 1400 mm Diâmetro da secção
Clb 30 mm Recobrimento
Tabela 26 - Características do elemento
L 7500 mm Altura livre do elemento
Flexão Ambos Extremos impedidos de rodar Ductilidade Uni-axial Uni ou bi-axial
Tabela 27 - Armaduras de reforço
Nbl 26 Nº de varões longitudinais
Dbl 25 mm Diâmetro da armadura longitudinal Dh 12 Diâmetro da armadura transversal
Tipo de armadura Estribos Estribos (elos) ou espirais s 100 mm Espaçamento dos estribos
9 As variáveis que representam os vários dados estão representadas de acordo com o que o
programa apresenta.
Figura 52 - Secção transversal dos pilares (a secção tem ainda travamentos radiais,
contudo a aplicação não permite a sua simulação)
71
Tabela 28 - Valor da carga axial
P -4800 kN Carga Axial10
Tabela 29 - Modelos de cálculo dos materiais
Modelo do betão confinado Mander confinado
Modelo do betão não confinado Mander não confinado Modelo das armaduras Raynor
Tabela 30 - Características dos materiais
fpc 16,7 Mpa Tensão de compressão
Ec 31000 Mpa Módulo de elasticidade eco 0,002 Extensão do betão não confinado para o valor de tensão de
compressão esm/esu 0,10 Extensão máxima do aço dos estribos/arm. longitudinal
esp 0,0064 Extensão máxima do betão não confinado fy 348 Mpa Tensão de cedência do aço das armaduras longitudinais
fyh 348 Mpa Tensão de cedência do aço das armaduras transversais Es 200000
Mpa Módulo de elasticidade do aço
fsu 400 Mpa Tensão normal máxima do aço esh 0,008 Extensão do aço das armaduras longitudinais aquando da ocorrência
do endurecimento Ey 0 Mpa Módulo de elasticidade do aço pós-cedência e pré-endurecimento C1 2 Factor que define a curva de endurecimento na modelação de Raynor
Tabela 31 - Estados limites de deformação
ecser 0,004 Extensão de serviço do betão
ecdam 0,012 Extensão do betão que envolve alguns danos esser 0,015 Extensão de serviço do aço esdam 0,06 Extensão do aço que envolve alguns danos
Há que referir que durante este trabalho não foi realizado nenhum tipo de ensaio a
qualquer tipo de material existente na obra, sendo que os valores dos dados utilizados no
cálculo (apresentados nas tabelas anteriores) foram idealizados para materiais em condições
de utilização nula (valores de laboratório). Um procedimento mais acertado passaria por uma
inspecção ao viaduto e uma detalhada análise à integridade dos materiais que o constituem.
Por esse motivo, todos os valores relativos a parâmetros relacionados com a elasticidade dos
materiais foram utilizados, de acordo com os valores sugeridos e pré-definidos da aplicação.
Desprezou-se também, o efeito do esforço transverso, na avaliação da deformação.
10
O valor de 4800 kN de carga axial é referente à combinação das cargas permanentes com o valor reduzido da sobrecarga, que se calculou anteriormente (≈500 kN)
72
6.1.1 – Relação constitutiva do aço
Para definir a relação constitutiva do aço, optou-se por utilizar o modelo de Raynor, et
al.,(2002) para definir a relação constitutiva do aço. Na figura 53, representa-se
esquematicamente esta relação. Todos os valores notáveis que constam neste esquema estão
apresentados na tabela referente às características dos materiais apresentada anteriormente.
Exceptua-se o parâmetro ey (εy) (extensão do aço relativa à cedência) por ser calculado
através dos valores de Es (módulo de elasticidade do aço) e fy (valor da tensão do aço
referente à cedência)
Figura 53 - Exemplo da relação constitutiva do aço segundo o modelo de Raynor
As expressões que permitem traçar uma curva de tensão extensão semelhante à
apresentada na figura 53 apresentam-se de seguida:
(7.1)
( )
(7.2)
( (
(7.3)
onde,
(7.4)
( (7.5)
73
Utilizando as expressões que se apresentaram anteriormente, definiu-se a relação
constitutiva para o aço em estudo tendo-se optado, no fim, por um valor de C1 igual a 2, para o
ramo da expressão que diz respeito à fase de endurecimento. A escolha deste valor baseou-se
somente na interpretação gráfica obtida. Foi escolhido este factor por originar uma curva de
endurecimento mais verosímil que para outros valores do factor C1.
Figura 54 - Relação constitutiva do aço obtida
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
350,0
400,0
450,0
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
Ten
são
(M
pa)
Extensão (adim.)
C1 = 2
C1 = 1
C1 = 10
C1 = 100
74
6.1.2 – Relação constitutiva do betão
A relação constitutiva do betão (tensão do betão ( ) em função da sua extensão ( ) é
um pouco mais complexa que a do aço pois depende de um maior número de parâmetros.
Para encontrar a relação constitutiva do betão utilizaram-se dois modelos, ambos assentes na
teoria de Mander (Mander, et al., 1988). Construir-se-ão duas curvas para esta relação,
correspondentes ao betão confinado e não confinado. A comparação das duas curvas servirá
para que se perceba a real importância que o efeito do confinamento garantido pelas cintas
tem na ductilidade e resistência do pilar.
Nas equações seguintes apresentam-se as operações que permitem definir a relação
constitutiva do betão.
(7.6)
(7.7)
é a extensão longitudinal do betão
* (
)+
(7.8)
é a extensão máxima longitudinal do betão não confinado
é tensão máxima no betão não confinado
(7.9)
(7.10)
(
), extensão última do betão confinado (7.11)
para secções circulares:
( √
)
(7.12)
, tensão de confinamento lateral
(7.13)
é a tensão de cedência para o aço da armadura transversal
(7.14)
é a área do varão da armadura transversal
é o diâmetro da área de betão dentro da armadura transversal (diâmetro do núcleo)
75
(
)
, para armadura do tipo do estribo (elos)
(7.15)
é o espaçamento dos estribos
é a percentagem de armadura longitudinal no núcleo
Com as expressões atrás definidas pode, então, traçar-se o andamento da curva
constitutiva do betão confinado. A curva referente ao betão não confinado pode obter-se da
mesma maneira que o betão confinado (7.6), com as seguintes diferenças:
O valor da tensão devido ao confinamento lateral toma o valor nulo;
Para tensões superiores a ( ), o ramo descendente é assumido como
sendo uma linha recta que assume o valor de para uma extensão igual a .
Apresenta-se de seguida os resultados obtidos para as relações constitutivas do betão,
confinado e não confinado.
Figura 55 - Curvas constitutivas para o betão
Como se pode verificar no gráfico acima, o contributo dado pela armadura transversal é
notório, pois não só aumenta a resistência axial de compressão, como também quase triplica a
sua extensão admissível. Este último factor é determinante para que se possam gerar zonas de
plasticidade concentrada com capacidade de deformação pós-cedência, como são as rótulas
plásticas. A principal razão que leva a este aumento de ductilidade do betão é o efeito de
confinamento fornecido pela armadura transversal que previne a desagregação do betão no
fuste do pilar, desacelerando a sua degradação durante a acção cíclica do sismo ao mesmo
tempo que impede a encurvadura dos varões longitudinais.
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018
Ten
são
(M
pa)
Extensão (adim.)
Confinado
Não confinado
76
6.1.3 – Relação momento-rotação da rótula plástica
A construção da curva que relaciona a rotação da rótula plástica (definida como o
produto da curvatura da secção pelo comprimento da rótula plástica) com o momento aplicado
é definida gradualmente, e a partir da relação momento curvatura da secção condicionante.
Incrementa-se o valor da curvatura e define-se o valor do momento correspondente recorrendo
às relações constitutivas dos materiais. Para o caso em estudo, o valor do comprimento da
rótula plástica obtido foi de cerca de 0,4m. Este Valor foi obtido de acordo com o processo
iterativo que o programa de cálculo utiliza (Priestley, Seible e Calvi, 1996).
Figura 56 - Relação momento-rotação para a rótula plástica dos pilares
Foram também introduzidos limites para a deformação dos elementos estruturais,
correspondentes a valores máximos ao nível da secção considerando vários estados limite. A
imposição destes valores de limites é de uma grande utilidade, pois permite conhecer
facilmente o estado em que se encontrará a secção após a acção sísmica, sendo possível
prever com mais precisão o tipo de reparação a utilizar.
Neste caso, os valores de extensões dos materiais utilizados para caracterizar os 3
estados limite foram os seguintes:
Tabela 32 - Valores da extensão dos materiais correspondentes aos diferentes estados limite
Extensões No betão (deformação por compressão) No aço (deformação por extensão)
Utilização Controlo de danos Colapso Utilização Controlo de danos Colapso
0,004 0,012 0,017 0,015 0,06 0,100
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
0,0000 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200
Mo
me
nto
(kN
.m)
Rotação (rad)
77
Estando definidos os valores das extensões referentes aos vários estados limite dos
dois materiais constituintes da secção, há ainda que referir que, na secção, se considera que
se atingiu o referido estado limite quando, pelo menos um dos dois materiais, o atinge também.
Os valores de momento e rotação para cada um deles constam na tabela seguinte,
bem como se discrimina qual o material que leva a que esse estado limite tenha sido atingido.
Tabela 33 - Valores de momento-rotação referentes aos vários estados limite
Estado limite Utilização Controlo de danos Colapso
Momento (kN.m) 4550,86 4559,15 4552,89 Rotação (rad) 0,0036 0,0112 0,0169
Material em causa Betão Betão Betão
O programa fornece ainda uma aproximação bi-linear da relação momento-rotação
apresentada atrás, para que mais facilmente se possa simular a mesma. O critério que define o
ponto de transição entre a fase elástica e a plástica (θy – rotação de cedência) é o definido na
equação seguinte:
, onde: (7.16)
é o momento nominal da secção e é definido por ser o momento em que ocorre
uma de duas situações: ou a extensão no betão devido à compressão é de 0,004 ou a
extensão do aço toma o valor de 0,015;
e são, respectivamente, o momento e a rotação em que ocorre a primeira
cedência, ou seja, quando se atinge o valor de tensão no aço de 348 MPa.
O ponto de transição entre as fases é então extrapolado a partir dos valores
correspondentes à primeira cedência. Substituindo na equação (7.16), os parâmetros
correspondentes aos valores aquando da cedência do aço, obtém-se:
A forma da aproximação bi-linear e os diversos estados limite podem ser observados na
figura que se segue, onde consta também a relação apresentada anteriormente, para
comparação.
78
Figura 57 - Relação momento-rotação da secção com aproximação bi-linear e estados limite
A aproximação bi-linear é bastante útil para a simulação da relação momento-rotação
pois é uma maneira mais simples de modelar o comportamento da rótula plástica uma vez que
se substitui uma grande quantidade de pontos por apenas 3, sem que os resultados sejam
muito diferentes. A aproximação bi-linear será mais tarde utilizada no programa de cálculo
automático.
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
0,0000 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200
Mo
me
nto
(kN
.m)
Rotação (rad)
Relação Momento Rotação(c/ Bi-lin.)
Utilização Colapso Controlo de danos
79
6.2 – Análise estática não linear
Dos vários tipos de análises estáticas não lineares existentes, o que se irá utilizar neste
trabalho é o proposto por Fajfar [1988], denominado Método N2, pois é o método vigente no
Eurocódigo.
Esta metodologia é semelhante a todas as outras que podem ser usadas para o
mesmo propósito (FEMA 273/356 (Fema-273, 1997), (Fema-356, 2000) e ATC 40 (ATC-40,
1996)) diferindo apenas das demais no processo de transformação da estrutura num sistema
de um grau de liberdade equivalente. Esta medida é necessária para todos os métodos, pois
em todos, a acção sísmica é definida recorrendo a um espectro de resposta (definidos para
sistemas de um grau de liberdade).
O objectivo desta análise é averiguar o comportamento da estrutura até se atingir o
ponto de deslocamento objectivo no nó de controlo. Esse nó de controlo, bem como o valor do
seu deslocamento objectivo estão bem definidos no Anexo H do EC8 – Parte 2. Ao atingir este
ponto, deverá ser averiguada o desempenho da estrutura, em termos de, por exemplo,
esforços nos elementos e rotações nas zonas das rótulas plásticas. Se os valores para estes
parâmetros forem aceitáveis, no fim da análise, poder-se-á dizer que a estrutura está bem
dimensionada e dentro da segurança regulamentar.
Os passos necessários para realizar uma análise estática não linear, de acordo com o
método N2 podem ser encontrados em Bento, et al., (2004) e apresentam-se de seguida:
1. Dados: Modelação dos materiais e elementos estruturais tendo em consideração as
suas propriedades não lineares em regime monotónico. Definição da acção sísmica por
espectro de resposta elástico (e não de dimensionamento, como se faz para as
análises dinâmicas lineares);
2. Conversão do formato espectro de período-aceleração para aceleração-deslocamento
(ADRS) (Este passo é opcional, podendo optar-se por realizar apenas os passos
numericamente);
3. Definição da curva de capacidade resistente: Definição da curva que relaciona o
deslocamento do nó de controlo da estrutura com o valor do corte basal, ao longo do
incremento das cargas laterais;
4. Definição do sistema de 1 grau de liberdade equivalente: Como a acção sísmica é
definida por espectros de resposta, deve-se transformar a estrutura num sistema de um
grau de liberdade equivalente. Calcula-se o factor de transformação (Γ);
5. Verificação do desempenho sísmico do sistema de um grau de liberdade equivalente;
6. Verificação do desempenho sísmico da estrutura. Caso o ponto 2 tenha sido realizado,
pode ver-se graficamente a relação entre as respostas elástica e inelástica da
estrutura.
80
6.2.1 - Modelo de cálculo
6.2.1.1 – Distribuição de massa do modelo
Para realizar esta análise, foram feitas algumas alterações ao modelo utilizado na
análise linear, para simular exactamente o comportamento pretendido, e para que se pudesse
manter uma noção dos resultados em todos os passos do método.
Como foi explicado anteriormente, a análise “pushover”, que permite definir a curva de
capacidade resistente da estrutura, consiste na aplicação incremental de cargas em
determinados pontos da estrutura. Como a análise é realizada com recurso ao “software” de
cálculo automático, importa compreender de que maneira a análise é por ele realizada, pois a
distribuição das forças laterais a aplicar não é aleatória, havendo várias alternativas para a sua
distribuição. De acordo com o anexo H da 2ª parte do EC 8, a distribuição das forças laterais da
análise de pushover, numa determinada direcção, pode ser:
Constante ao longo do tabuleiro e variável ao longo do fuste dos pilares,
em função da altura do ponto onde é aplicada a força;
Proporcional à configuração do modo de vibração principal dessa
direcção.
Para qualquer uma das hipóteses mencionadas acima, o valor da força a aplicar em
determinado nó da estrutura, será sempre proporcional ao valor da massa que lhe está
associada.
Como já se explicou anteriormente, devido à simetria do viaduto, quer geométrica, quer
em termos de ligações ao exterior, o seu centro de massa é o ponto sujeito a maiores
deformações de toda a estrutura, por isso, revela-se obrigatório que nele seja aplicada uma
destas forças laterais. Por motivos similares, os nós correspondentes ao topo dos pilares terão
também de ser sujeitos a estas forças, para mais correctamente aferir sobre a evolução dos
seus esforços devido à deformação do tabuleiro.
O SAP2000 define automaticamente uma distribuição de cargas laterais proporcionais
ao valor da deformação do modo de vibração mais condicionante nessa direcção, por isso, a
distribuição de nós na estrutura foi reduzida ao mínimo indispensável, para melhor controlar
todo o processo. As alterações realizadas ao modelo utilizado na análise linear consistiram na
eliminação de alguns nós intermédios de vãos e pilares, de forma a que os nós existentes na
estrutura fossem apenas os do topo dos pilares e o centro de massa do tabuleiro (Figura58).
Ao reduzir o número de nós da estrutura, aumentou-se o valor da massa afecta aos nós
existentes.
81
Figura 58 - Modelo utilizado na análise não linear
Como se pode verificar, foram suprimidas as divisões dos vários tramos a meio vão,
bem como se juntaram os pilares num único elemento de barra, anteriormente dividido em
quatro partes iguais.
A distribuição de massas dos nós obtidos apresenta-se de seguida, na tabela 35.
Tabela 34 - Distribuição de massas do modelo ao longo do tabuleiro
Localização do ponto
Descrição da massa associada Valor da massa associada (ton)
Encontros Metade de um tramo exterior 345,85 Topo dos pilares
exteriores Metade de dois pilares + metade de um tramo
interior + metade de um tramo exterior 800,02
Topo dos pilares interiores
Metade de dois pilares + metade de um tramo interior + um quarto de um tramo interior
666,53
Centro de massa Dois quartos de um tramo interior 449,22
É importante referir que, com estas pequenas alterações aos elementos finitos do
viaduto, os resultados da análise modal sofreram ligeiras alterações. Estas pequenas
diferenças não são, no entanto, relevantes, tendo-se feito sentir apenas nos valores dos
períodos associados, não tendo as configurações modais sofrido alterações. Contudo, são
apresentados os valores dos períodos dos dois primeiros modos de vibração do viaduto
(Tabela 36), pois serão referidos numa fase mais adiantada deste trabalho.
Tabela 35 - Diferenças dos períodos fundamentais do viaduto entre os modelos linear e não linear
Modo de vibração T modelo linear (s) T modelo não linear (s) Diferença relativa (%)
Longitudinal 0,421 0,432 2,61 Transversal 0,315 0,326 3,49
82
6.2.1.2 – Definição dos parâmetros não-lineares dos elementos verticais
A introdução da relação momento-rotação, obtida anteriormente para a secção
condicionante dos pilares, teve de ser introduzida no modelo manualmente, pois o cálculo da
mesma foi realizado num ambiente exterior ao programa concebido para realizar o modelo.
As figuras que se seguem definem o procedimento realizado para a inclusão das
rótulas plásticas nos elementos verticais. Há que referir que cada pilar foi dotado de 4 rótulas
plásticas, duas para cada direcção, no topo e na base. As características de todas as rótulas
plásticas são idênticas, devido à bi-simetria garantida pela sua forma circular. A única diferença
que levou à definição de dois tipos de rótulas foi a necessidade de realizar a análise de
“pushover” nas duas direcções, o que faz com que a rótula se gere, quer devido a momentos
na direcção x quer devido momentos na direcção y.
Figura 59 - Definição dos esforços condicionantes para a formação da rótula plástica
Como se pode verificar na figura 58, definiu-se que a análise de “pushover” longitudinal
originaria rótulas plásticas com o aumento do valor do momento nos pilares segundo a
direcção M3 (eixo local 3 do pilar, eixo Y global). De notar que o SAP2000 também permite a
definição de uma rótula plástica que dependa da interacção entre M3 e o esforço axial.
Contudo, a acção da compressão, maioritariamente oriunda das cargas permanentes foi já
contabilizada na definição da relação momento-rotação realizada anteriormente.
Analogamente, a análise transversal originará momentos M2 (eixo X global).
83
Definido a direcção condicionante para a formação de cada rótula plástica, falta definir
a relação não linear momento-rotação que caracteriza o comportamento das rótulas plásticas.
A figura 60 apresenta de que maneira foi definida no SAP2000 a relação não linear.
Figura 60 - Relação momento-rotação da rótula plástica
Recordando a curva definida anteriormente para esta relação e a sua aproximação bi-
linear, constata-se que existem diferenças. A principal diferença entre a relação obtida na
aplicação de MATLAB e a inserida no programa, é a parte inicial da curva, correspondente à
fase elástica da zona onde a rótula plástica é simulada. Como se pode verificar, na figura
acima, esta zona da curva é forçosamente um troço vertical, levando a que se pense que a
rótula tem um comportamento rígido-plástico, quando na verdade, existe uma parcela de
deformação elástica da peça nesta zona. O que acontece, é que a zona elástica da rótula está
implicitamente definida no programa devido à geometria da secção, comprimento do elemento
e características dos materiais modelados. Desta forma, a rótula plástica só começa o seu
processo de deformação para o momento de 4552,89 kN.m. Pode também ver-se a inclusão
dos pontos notáveis referentes ao estado de danos na relação momento-rotação cujos critérios
foram definidos numa fase anterior deste estudo.
84
6.2.1.3 – Distribuição de forças laterais e determinação dos deslocamentos-objectivo
As forças aplicadas à estrutura para definir a sua curva de capacidade resistente são
incrementadas até que se atinja o deslocamento objectivo do ponto de controlo da estrutura.
Para determinar a localização desse ponto e o deslocamento objectivo, recorreu-se ao anexo H
da parte 2 do Eurocódigo 8. No ponto H.1 pode encontrar-se:
“(1) The non-linear static analysis specified in 4.2.5 should be carried out in the following two horizontal directions:
- The longitudinal direction x, as defined by the centres of the two end-sections of the deck.
- The transverse direction y, that should be assumed to be orthogonal do the longitudinal.
(2) The reference point should be the centre of mass of the deformed deck.
(3)In each of the two horizontal directions x and y, defined in (1) above, a static non-linear analysis (…) should be carried out, until the following target displacements of the reference point are reached:
- in x-direction (longitudinal):
- in y-direction (transverse):
where:
is the displacement in the x-direction, at the centre of mass of the deformed deck resulting from equivalent linear multi-mode spectrum analysis(…) assuming q=1,0 due to Ex “+” 0,3Ey. (…)
is the displacement in the y-direction at the same point calculated similarly
to above.”
Fica então definido o ponto de controlo como sendo o centro de massa do tabuleiro.
Para determinar o valor dos deslocamentos objectivo submeteu-se o modelo a uma
acção definida pelo espectro de resposta do sismo 1, agora não afectado do coeficiente de
comportamento (espectro elástico). A figura que se segue representa graficamente os
espectros de dimensionamento e elástico do sismo 1, para que se tenha uma noção visual das
diferenças entre ambos.
85
Figura 61 - Espectros elástico e de dimensionamento do sismo 1 (mais condicionante para a estrutura em estudo)
Submeteu-se o modelo utilizado na análise dinâmica linear ao novo espectro de
resposta elástico para determinar os deslocamentos do centro de massa do viaduto.
Os deslocamentos medidos, no ponto pretendido, para esta acção foram:
Tabela 36 - Deslocamento medidos no centro de massa do tabuleiro para a acção definida pelo espectro de resposta elástico do sismo 1
Direcção Longitudinal (m) Direcção Transversal (m)
0,032 0,023
De acordo com o recomendado no ponto (3) mencionado anteriormente, o
deslocamento a atingir para a análise “pushover” nas duas direcções deverá ser uma
combinação entre os valores obtidos para os deslocamentos em cada uma das direcções,
devido ao sismo nessa mesma direcção e 30% do sismo na direcção ortogonal. Devido à bi-
simetria da estrutura, para cada direcção de actuação da acção sísmica, apenas se verificam
deslocamentos no nó de controlo na direcção em que a acção sísmica actua. Desta forma, os
limites para a análise “pushover” são os mesmos que se apresentaram na tabela 37.
Tabela 37 - Deslocamentos objectivo para a análise ―pushover‖ para cada uma das direcções
Direcção Longitudinal (m) Direcção Transversal (m)
0,032 0,023
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Sa (
m/s
2)
Período T (seg)
Espectro elástico do sismo 1 solo C
Espectro de dimensionamento do sismo 1 solo C
86
Os valores obtidos e apresentados na tabela 38 representam então, uma primeira
aproximação do que será a meta da análise de pushover, ou seja, correspondem aos valores
de deslocamento do centro de massa do tabuleiro, a partir dos quais as cargas laterais
deixarão de ser incrementadas, por se ter chegado ao termo da análise de pushover.
6.2.2 - Análise na direcção longitudinal
Definidos todos os parâmetros referentes à caracterização da curva de capacidade
resistente, procedeu-se à análise completa do viaduto na direcção longitudinal. A distribuição
de cargas laterais aplicadas no modelo pode ser visualizada na tabela 39 e na figura 62. De
notar que na zona onde os pilares encontram o tabuleiro existem, na realidade 3 nós. Contudo,
para facilitar a apresentação do esquema de forças a aplicar “condensaram-se” esses três
pontos.
Tabela 38 - Forças laterais a aplicar na análise de pushover longitudinal
Zona mi - Massa associada ao nó (normalizado)
Φi - Deformação referente à análise modal nessa direcção
(normalizado)
Valor da força a
aplicar (p)
Encontro 0,432 1,000 0,432p Pilares
exteriores 1,000 1,000 p
Pilares interiores
0,833 1,000 0,833p
Centro de massa
0,562 1,000 0,562p
Figura 62 - Distribuição das forças laterais para a análise longitudinal
De seguida, recorreu-se aos passos definidos no anexo B do EC8 – parte 1, para
determinar o valor do deslocamento objectivo para a acção sísmica condicionante considerada
neste estudo. Para este cálculo tem que se transformar a resposta de sistemas de múltiplos
graus de liberdade (MDOF, multi degree of freedom) para sistemas de apenas um grau de
liberdade (SDOF, single degree of freedom) e vice-versa. No entanto, para a análise nesta
direcção não será necessário recorrer a essa transformação pois, como já foi referidio, e como
0,432p p 0,833p 0,562p
87
se pode ver na figura 62, o sistema desloca-se, aproximadamente, ao longo do seu eixo, como
se fosse um sistema de apenas um grau de liberdade.
Assim, para calcular o deslocamento objectivo da estrutura, tem primeiro que se definir
a curva de capacidade da mesma. A curva de capacidade consiste numa relação entre o
deslocamento do nó de controlo e a força de corte basal da estrutura. Esta relação caracteriza
a capacidade resistente da estrutura, pelo que se percebe a importância da correcta definição e
aplicação das forças incrementais definidas anteriormente
Um dos passos a seguir, para determinar o deslocamento objectivo corresponde à bi-
linearização da curva de capacidade resistente do sistema de um grau de liberdade
equivalente. (Figura 63)
11 Legenda (SDOF):
F* - Valor de corte basal
d* - Deslocamento do nó de controlo
A – Ponto correspondente à definição de
formação de mecanismo plástico
d*y e F*y - Valores correspondentes à cedência do mecanismo de um grau de liberdade (real ou simulado)
d*m - Deslocamento do nó de controlo
quando se atinge o mecanismo plástico
E*m – Energia libertada durante a deformação até à formação do mecanismo plástico
Figura 63 - Curva de capacidade de um sistema de um grau de liberdade, respectiva bi-linearização e legenda
Para criar a curva de capacidade longitudinal do viaduto, foi definido um carregamento
incremental discretizado em 20 passos, onde o factor “p” foi sucessivamente incrementado, de
acordo com as proporções da tabela 39. Medidos os valores de deslocamento do nó de
controlo e corte basal para os 20 passos, obteve-se a curva de capacidade que se apresenta
na página que se segue. Ao longo dos 20 passos, foram também registados os valores
referentes ao momento flector dos elementos verticais.
11
Note-se que na figura, os diversos parâmetros aparecem com * devido ao facto de serem referentes a uma curva de capacidade de um sistema de SDOF adaptada de uma outra referente a um sistema MDOF.
88
Figura 64 - Curva de capacidade longitudinal
Como se pode verificar na figura 64, a curva de capacidade resistente do viaduto na
direcção longitudinal apresenta a forma de uma curva de um sistema de apenas um grau de
liberdade, não necessitando, por isso, de se proceder à sua bi-linearização.
Pode ver-se o ponto em que a estrutura deixa de exibir um comportamento elástico
para exibir um comportamento plástico. Para esse ponto (cedência dos elementos verticais)
obtiveram-se os seguintes valores:
deslocamento do nó de controlo (d*y) (comum a todo o tabuleiro) de 0,0112m;
Força de corte basal de 9726,21 kN.
Com o ponto de cedência bem definido, procede-se ao cálculo do período do sistema
equivalente:
√
(7.17)
onde m* corresponde à massa de um sistema de um grau de liberdade equivalente.
Este valor é dado por:
∑ (7.18)
onde mi representa o valor de massa associada aos diferentes nós (em valor absoluto)
e Φi o vector das componentes modais do modo da direcção em questão (normalizado de
maneira a que o maior parâmetro seja 1). (Figura 65)
0,0112; 9726,21 0,1000; 9726,21
0,00
2000,00
4000,00
6000,00
8000,00
10000,00
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Forç
a d
e co
rte
bas
al (
kN)
Deslocamento do nó de controlo (m)
89
Figura 65 - Valores de m (em ton) e Φ (longitudinal) para os diferentes nós do tabuleiro
O valor de m* para a direcção longitudinal é então 4074,02 ton. Substituindo em 7.20,
obtém-se:
√
Este valor de período é quase igual ao valor obtido para a análise modal (linear), o que
significa que a curva de “pushover” está bem definida. Refira-se que o valor de T* é menor que
o valor do período Tc, o que a torna uma estrutura de período incluído na “gama dos períodos
curtos”.
Para estruturas deste tipo, o valor do deslocamento objectivo é calculado recorrendo a
uma de duas expressões, consoante o valor do quociente Fy*/m* seja maior ou menor que o
valor da aceleração espectral, lida no espectro elástico (Se), associada a esse período. No
presente caso:
(
e por conseguinte, o valor do deslocamento objectivo (dt*) é definido de acordo com a
expressão seguinte:
( (
) (7.19)
onde:
( [
]
(7.20)
e: (
(7.21)
onde ( representa o valor da aceleração espectral para o período da estrutura, obtido no
espectro de aceleração elástico e , o quociente entre as acelerações da estrutura em regime
elástico e da estrutura com capacidade de carga limitada (definido por F*y/m*) .
m=345,85 Φi=1,0
m=800,02 Φi=1,0
m=666,53 Φi=1,0
m=449,22 Φi=1,0
m=666,53 Φi=1,0
m=800,02 Φi=1,0
m=345,85 Φi=1,0
90
Como T* se encontra entre (0,1s) e (0,6s), o período T* encontra-se no ramo
horizontal da função espectral, cujo valor de aceleração é 6,75 m/s2. Obtém-se então:
[
]
e por fim, o valor do deslocamento objectivo:
( (
)
Encontrado o valor de deslocamento objectivo longitudinal, procedeu-se à análise de
pushover nessa direcção até que o centro de massa do tabuleiro atingisse o deslocamento
longitudinal de 0,04m.
Apresentam-se, de seguida, os passos mais notáveis de todo o procedimento. Para
cada passo, apresentar-se-á o valor do deslocamento do nó de controlo e o diagrama de
momentos dos pilares nessa direcção. Apresenta-se apenas um diagrama de momentos pois
esse diagrama é comum a todos os pilares, uma vez que o tabuleiro se desloca como um copo
rígido na direcção longitudinal, obrigando todos os pilares à mesma deformação.
Deslocamento longitudinal do nó de controlo = 0,0136m
Figura 66 - Características do passo 6 da análise de ―pushover‖ longitudinal (Diagrama de momentos em kN.m)
O passo ilustrado na figura 66 representa o primeiro da fase plástica dos pilares. Como
se pode ver, o valor dos momentos na zonas onde foram simuladas as rótulas plásticas atinge
o valor de momento último, (Mu=4552,89 kN.m). A partir deste ponto, a secção não tem mais
capacidade de absorção de momento flector, dependendo apenas da sua capacidade de
rotação, o facto de se conseguir atingir o deslocamento objectivo em segurança.
91
Deslocamento longitudinal do nó de controlo = 0,0389m
Figura 67 - Características do passo 19 da análise de ―pushover‖ longitudinal (Diagrama de momentos em kN.m)
No passo 19, atinge-se o estado limite denominado como de utilização. Como se pode
ver, este estado limite é atingido a 0,1mm do deslocamento objectivo. O diagrama de
momentos continua, obviamente, com os mesmos valores que os apresentados no passo
anterior.
Ultrapassados os 20 passos correspondentes à discretização da análise de “pushover”
na direcção longitudinal, atinge-se finalmente o valor de 0,040m para o deslocamento do
tabuleiro. O valor das rotações medidas nas rótulas do topo e da base dos pilares para este
valor de deformação é então dado pela equação (7.22).
, onde (7.22)
- valor da rotação da rótula plástica medida no final da análise;
- valor da rotação elástica da secção no instante em que se atinge, na secção, o
valor do momento referente à cedência do aço (neste caso, passo 5);
- valor da rotação da rótula plástica no momento em que se atinge o valor do
deslocamento objectivo do nó de controlo (último passo).
A figura 68 representa a curva da relação momento-rotação na zona da rótula plástica
ao longo de todos os passos da discretização contemplados na análise.
92
Figura 68 - Evolução do comportamento da rótula plástica ao longo dos passos da análise de pushover longitudinal (passo 20)
O valor máximo de rotação plástica que as rótulas plásticas sofrem na direcção
longitudinal é de 3,928x10-3
rad. Esta rotação existe na zona onde os pilares encontram o
tabuleiro, o que faz sentido pois a extremidade inferior dos pilares não é totalmente rígida à
rotação, uma vez que as fundações estão modeladas por molas e não encastramentos,
permitindo, consequentemente, a rotação do nó, aliviando assim, a existente na secção.
Substituindo este valor na equação 7.17, obtém-se:
rad
θ θ
A rotação total a que a secção foi submetida, encontra-se então na seguinte zona da
relação momento-rotação:
93
Figura 69 - Localização da rotação verificada nos pontos mais desfavoráveis na relação momento-rotação para comparar com os estados limites
Pode então afirmar-se que para a acção sísmica considerada, o viaduto, na direcção
longitudinal, ultrapassou o regime elástico linear mas explorou pouco as suas capacidades
dúcteis (o valor da rotação máxima está anda longe do valor de rotação último).
θ=0,00477
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
Mo
men
to (
kN.m
)
Rotação (rad)
94
6.2.3 - Análise na direcção transversal
Para a direcção transversal, foi efectuado um cálculo semelhante ao anterior. Contudo,
deve ter-se em atenção que, transversalmente, o viaduto não se comporta como um sistema
de um grau de liberdade, e o tabuleiro não se deforma como um corpo rígido, devido ao facto
das suas extremidades estarem impedidas de se deslocarem nessa direcção.
Assim, o cálculo torna-se mais complexo que o anterior uma vez que terá de se ter em
atenção que o viaduto se comporta como um sistema de n graus de liberdade. A distribuição
das forças laterais e a sua representação está apresentada na tabela 40 e na figura 70,
respectivamente.
Tabela 39 - Forças laterais a aplicar na análise de pushover transversal
Zona mi - Massa associada ao nó (normalizado)
Φi - Deformação referente à análise modal nessa direcção
(normalizado)
Valor da força a
aplicar (p)
Encontro 0,432 0,000 0 Pilares
exteriores 1,000 0,509 0,509p
Pilares interiores
0,833 0,932 0,776p
Centro de massa
0,562 1,000 0,562p
Tal como para a direcção longitudinal, forçou-se o nó de controlo a deslocar-se 0,1m
para observar, inicialmente, a curva de capacidade referente a esta direcção. Se na direcção
longitudinal, os encontros não desempenhavam nenhum papel especial devido às juntas de
dilatação, na direcção transversal, os encontros desempenharão um papel fulcral na resistência
do mesmo, como se poderá verificar na figura 71.
0,509p 0,776p 0,562p
Figura 70 - Distribuição das forças laterais para a análise transversal (planta)
95
Figura 71 - Curva de capacidade transversal
A curva de capacidade da direcção transversal não tem a mesma configuração que a
da longitudinal. Enquanto que o “patamar plástico” estava bem visível na curva de capacidade
longitudinal, nesta direcção, esse patamar não existe, exibindo a estrutura, um comportamento
elástico até à rotura do tabuleiro, ou dos pilares.. Este facto é facilmente explicável, e resulta da
hipótese considerada de o tabuleiro não poder desenvolver rótulas plásticas. Desta forma, o
tabuleiro exibirá sempre um comportamento elástico, mesmo após todos pilares terem chegado
à cedência. Como se admitiu que as extremidades do tabuleiro poderiam rodar livremente em
torno do eixo vertical, pode admitir-se que, transversalmente, o tabuleiro exibe o
comportamento de uma viga simplesmente apoiada, apoiada em 4 molas de translação elasto-
plásticas, que simulam a rigidez de translação dos pilares, como a figura 72 mostra.
Figura 72 - Modelo de viga simplesmente que simula o tabuleiro
Atingida a máxima deformação elástica dos pilares interiores em primeiro lugar,
seguida da correspondente aos exteriores, pode admitir-se que as molas de translação,
representadas acima, deixam de fazer efeito, ficando a deformação do sistema apenas
condicionada pela rigidez de flexão do tabuleiro em torno da direcção de maior inércia. É nesta
0,00
5000,00
10000,00
15000,00
20000,00
25000,00
30000,00
35000,00
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Forç
a d
e co
rte
Bas
al (
kN)
Deslocamento do nó de controlo (m)
96
fase que se encontra o viaduto, no último troço da curva de capacidade apresentada na figura
71.
A razão da não adopção de rótulas plásticas para o tabuleiro é justificável com o facto
de a resistência do tabuleiro à flexão nessa direcção ser bastante elevada. Embora seja muito
difícil de saber com precisão o seu valor, pode estimar-se da seguinte forma:
onde:
- Momento elástico resistente do tabuleiro na direcção de maior inércia;
- Valor de cálculo da tensão de compressão admissível no betão;
- Inércia do tabuleiro;
– Distância horizontal entre o centro de massa do tabuleiro e a fibra mais afastada;
- Altura equivalente do tabuleiro (para uma secção rectangular com a mesma
área);
– largura do tabuleiro.
Como se pode ver, o valor do momento elástico resistente da secção do tabuleiro, ainda
que aproximado, é bastante elevado, quando comparado com o momento registado a meio
vão, no último passo da análise de “pushover” realizada anteriormente, de 564055,84 kN.m.
Recorda-se ainda que o valor de deslocamento exigido foi de 0,1m, o que representa um
cenário bastante inverosímil.
Como também é muito complicado definir valores de rotura do solo para o movimento
transversal do encontro, não se consegue atingir um mecanismo de colapso de maneira
simples. Esta situação complica a análise na medida em que se torna difícil encontrar os
valores de corte basal (Fy*) e deslocamento (dy*) referentes à rotura, necessários para calcular
o deslocamento objectivo na direcção transversal e consequente desempenho sísmico.
Assim sendo, assumiu-se que o colapso seria um estado de deformação avançado do
viaduto. A esse estado de deformação corresponde um cenário onde todos os pilares terão
plastificado em ambas as extremidades. De notar que este ponto pode não corresponder à
rotura do viaduto, sendo que a mesma se pode dar para um deslocamento superior ao
considerado.
97
Ao cenário de plastificação do topo e dos pilares explicado anteriormente corresponde
um deslocamento do centro de massa de 0,0231m. Este valor foi medido no programa de
cálculo automático.
A figura 73 representa a evolução da curva de capacidade transversal do viaduto, com
pontos que denunciam a formação das sucessivas rótulas plásticas no topo e na base dos
diversos pilares. Apresentam-se também na tabela 41, os valores referentes aos pontos em
questão.
Figura 73 - Curva de capacidade transversal com pontos notáveis referentes à formação de rótulas plásticas
Tabela 40 - Valores de deslocamento e corte basal referentes à formação das sucessivas rótulas plásticas
Zona de formação de rótulas plásticas
Deslocamento do nó de controlo (m)
Força de corte basal (kN)
Topo dos pilares interiores 0,0110 9959,65 Base dos pilares interiores 0,0132 11061,72 Topo dos pilares exteriores 0,0198 13642,74 Base dos pilares exteriores 0,0231 14631,95
Os valores de Fm e dm referentes à formação do mecanismo plástico ficam identificados
pelos mesmos valores referentes à última formação de rótulas plásticas, pois a partir de todos
os pilares terem plastificado, o que confere rigidez ao sistema é apenas a inércia do tabuleiro,
como se pôde confirmar através recta de declive constante que define a fase final da primeira
curva de capacidade definida para a direcção transversal.
Como é fácil de perceber, transversalmente, o sistema não responde como um sistema
de um grau de liberdade (Φi não é constante ao longo dos nós do tabuleiro), pelo que deve ser
“transformado” num equivalente para prosseguir com a análise.
0,0
5000,0
10000,0
15000,0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025
Forç
a d
e co
rte
bas
al
Deslocamento do nó de controlo (m)
Curva de capacidade
Formação de rótulas plásticas
98
6.3 - Transformação do sistema estrutural num de um grau de
liberdade equivalente
Em primeiro lugar, para proceder à transformação do sistema, é necessário calcular o
seu “factor de transformação” (Γ). Este coeficiente pode ser entendido como um factor de
verosimilhança entre o sistema real e um que apenas tenha um grau de liberdade. Este
parâmetro calcula-se através da seguinte expressão:
∑
∑
∑ (7.23)
e é utilizado como factor de escala na curva de capacidade resistente, sendo por ele dividido
os valores de força de corte basal e de deslocamento do nó de controlo referentes à curva de
capacidade inicialmente obtida.
(7.24)
(7.25)
À semelhança do que se fez para a direcção longitudinal, apresentam-se os valores de
m e Φ para os diferentes nós do tabuleiro.
Figura 74 - Valores de m e Φ (transversal) para os diferentes nós do tabuleiro
Substituídos em (7.23) os diversos valores apresentados, obtém-se um factor de
transformação ( de 1,240.
Figura 75 - Relação entre as curvas de capacidade para o actual factor de transformação
0,0
5000,0
10000,0
15000,0
20000,0
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400
Forç
a d
e co
rte
bas
al (
kN)
Deslocamento do nó de controlo (m)
MDOF
SDOF
m=345,85 Φi=0
m=800,02 Φi=0,509
m=666,53 Φi=0,932
m=449,22 Φi=1,000
m=666,53 Φi=0,932
m=800,02 Φi=0,509
m=345,85 Φi=0
99
Seguidamente, procede-se à bi-linearização da curva de capacidade do sistema de um
grau de liberdade equivalente definida por dois segmentos de recta, cuja intersecção possa ser
definida como o ponto de passagem da fase elástica para a fase plástica. Neste caso, como
não existe fase plástica pelos motivos já mencionados, o ponto marcará a passagem em que a
resistência do viaduto deixa de ser assegurada pelo conjunto do tabuleiro e elementos
verticais, para ser apenas dependente da rigidez do tabuleiro.
Esta transformação consiste em considerar que a “energia dissipada” pelas duas
curvas (bi-linearizada e não bi-linearizada) é igual. Esta pode ser medida através da área
definida sob a curva de capacidade até que se atinja o ponto de transição, como mostra a
figura 76.
Figura 76 – Energias de deformação até à formação do mecanismo de colapso (À esquerda, curva não bi-linearizada – À direita, curva bi-linearizada)
Para obter a localização do ponto de transição transportou-se a curva de capacidade
referente ao sistema SDOF para o AutoCAD e criou-se uma linha fechada à semelhança da
que delimita a área apresentada na figura 76 à esquerda.
0,0
2000,0
4000,0
6000,0
8000,0
10000,0
12000,0
14000,0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
F* (
kN)
d* (m)
Figura 77 - Energia de deformação do sistema
100
Prolongou-se a recta referente à parte final da curva de “pushover” até à origem, de
forma a poder definir o ponto que marca a diferença entre as fases pré e pós plásticas de todos
os pilares.
Figura 78 - Recta referente à rigidez final do sistema, onde ficará o ponto que marca a diferença das fases (elástica e plástica)
Traçou-se, por fim, outra linha fechada, à semelhança da apresentada anteriormente
na parte direita da figura 76. A posição do ponto situado na recta introduzida atrás foi várias
vezes modificada até que as áreas fossem iguais. Atingida esta igualdade, tiraram-se os
valores de dy* e Fy* do mesmo. (ver tabela 42)
Figura 79 – Ponto de transição de ―fases‖
0,0
2000,0
4000,0
6000,0
8000,0
10000,0
12000,0
14000,0
16000,0
18000,0
20000,0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
F (m
)*
d* (m)
0,0
2000,0
4000,0
6000,0
8000,0
10000,0
12000,0
14000,0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
F* (
kN)
d* (m)
101
Tabela 41 - Coordenadas do ponto de transição da relação bi-linear
dy* (kN) Fy* (kN)
0,0116 9988,8
Descoberto este ponto, o restante procedimento é idêntico ao realizado para a análise
na direcção longitudinal. Assim:
√
, (0,326 s na análise elástica)
(
(
[
]
( (resposta não-linear)
( ((
)
Para calcular o valor do deslocamento objectivo (dt) na estrutura real, é necessário, por
fim, multiplicar o valor do deslocamento objectivo no sistema de um grau de liberdade pelo
factor de transformação calculado no início:
(7.26)
O deslocamento objectivo para a análise transversal fica então definido em 0,032m.
Mais uma vez, o deslocamento objectivo calculado com base na análise elástica deu
excelentes resultados, com a diferença de apenas 9mm para a abordagem feita inicialmente.
Como se mencionou anteriormente, o ponto de cedência admitido correspondia à
situação onde a base e o topo de todos os pilares apresentavam um momento flector que
conduzia à plastificação das secções nessas zonas. Esse cenário era atingido para um
deslocamento do centro de massa de 0,0231m. Como o deslocamento objectivo é de 0,032m,
fica-se a saber que essa situação foi atingida. Restará, por isso, avaliar a rotação máxima das
secções onde se formaram as rótulas plásticas.
102
Como é fácil de prever, a situação mais gravosa encontrar-se-á no topo dos pilares
centrais, por serem os que mais se deformam, por estarem mais próximos do nó de controlo.
O estado dessas secções apresenta-se na figura seguinte:
Figura 80 - Evolução do comportamento da rótula plástica ao longo dos passos da análise ―pushover‖ transversal (passo 30)
Como se pode verificar, o momento flector instalado na secção do topo dos pilares
centrais é o que corresponde à plastificação da secção, 4552,89 kN.m. A rotação plástica
medida no final da análise é de 2,829x10-3
rad, a qual, somada à rotação máxima elástica
8,4x10-4
perfaz uma rotação total de:
rad,
o que significa que na direcção transversal também se ultrapassou o estado limite designado
como de utilização, ainda que por um valor muito pequeno9 (0,00006 rad).
103
Figura 81 - Rotação da secção mais desfavorável para a acção de pushover transversal
Conclui-se, portanto, que também na direcção transversal, o viaduto se encontra bem
dimensionado, no sentido em que se encontra onge do colapso. No entanto, nesta direcção,
para a acção sísmica considerada, o viaduto ultrapassa pouco a fase elástica, explorando
pouco as suas capacidades dúcteis.
Faz-se também uma chamada de atenção para o facto de os pilares exteriores, durante
a acção de “pushover” transversal, serem obrigados a flectir também na direcção longitudinal,
devido à rotação em torno do eixo vertical que os nós do tabuleiro são obrigados a efectuar.
Este incremento de esforços não é, no entanto, suficiente para que se considere que os
mesmos terão uma importância relevante na análise efectuada.
θ=0,00361
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
0,0000 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200
Mo
men
to (
kN.m
)
Rotação (rad)
104
6.4 - Análise estática equivalente na direcção transversal para outra
distribuição de forças
O Eurocódigo recomenda, quer para edifícios quer para obras de arte, que se faça a
análise “pushover” para mais do que uma configuração de carregamento lateral. Como foi já
realizada a análise para um carregamento que depende da deformação do viaduto nessa
direcção, (através da consideração do modo de vibração mais condicionante, normalizado)
realizar-se-á uma análise “pushover” que apenas depende da massa associada aos diversos
nós do modelo. Poder-se-ia também realizar um carregamento constante ao longo do tabuleiro,
ou calcular um tipo de carregamento ponderado, tendo em conta as participações de passa de
mais modos de vibração transversais. Os resultados obtidos para o carregamento apenas
dependente da massa apresentam-se de seguida.
Figura 82 - Curvas de capacidade dos vários sistemas (1 - dependente do modo de vibração, 2 - não dependente do modo de vibração)
Como se pode verificar, se não se admitir que o centro do viaduto é mais susceptível,
como demonstra a configuração do modo de vibração, o incremento de carga que se vai
aplicando à estrutura é absorvido pelos vários pilares de maneira mais uniforme, sendo que os
exteriores passam a desempenhar um papel mais importante na estabilidade global, levando a
que o corte basal para um mesmo deslocamento do centro de massa seja forçosamente maior.
A curva de capacidade agora obtida corresponde a uma envolvente da definida a partir de uma
distribuição de forças modal.
105
Os parâmetros calculados para encontrar o valor do deslocamento objectivo
apresentam-se na tabela 43.
É conveniente referir que o critério de definição do ponto de transição entre a fase
elástica e a fase pós-cedência, foi igual ao admitido anteriormente para a análise de pushover
transversal que dependia da configuração do modo de vibração (critério de que a cedência
ocorria quando todos os pilares plastificassem em ambas as extremidades).
Tabela 42 - Comparação dos valores obtidos para as duas análises de pushover empreendidas na análise transversal para dois tipos de carregamentos
Tipo de análise POtrans Baseada na configuração
do modo de vibração Não baseada na configuração
do modo de vibração Parâmetros
T* (s) 0,339 0,287
Se(T*) (m/s2) 6,75
d*et (m) 0,0196 0,0140
Fy*/m* (m/s2) 3,985 5,335
qu (coef. Comp.) 1,694 1,265
dt* (m) 0,026 0,017
Γ12
1,2392
dt (m) 0,032 0,021
Como foi possível verificar, chegou-se a um valor de deslocamento objectivo
francamente menor para um carregamento que não depende da configuração do principal
modo de vibração. Era previsível que tal acontecesse pois obteve-se uma curva de capacidade
resistente da estrutura envolvente à obtida com a distribuição de forças modal.
Consequentemente, uma estrutura mais resistente sujeita à mesma acção sísmica (definida,
neste método, pelo espectro de resposta) ficaria certamente sujeita a menores deslocamentos
(esforços). Desta forma, com os valores obtidos, não se estava do lado da segurança.
12
De notar que, embora a configuração do carregamento não varie com a configuração do
modo de vibração, (ϕi) os parâmetros referentes ao factor de escala têm de ter essa configuração em conta, sob pena de assumir o sistema como sendo um de um grau de liberdade, quando na verdade tem de se proceder à trasnformação, tal como foi feita.
106
6.5 – Análise gráfica da ductilidade e do desempenho estrutural
A partir dos resultados obtidos a partir das análises estáticas não lineares conclui-se
que o viaduto em estudo, para a acção sísmica definida no Anexo Nacional do EC8 está longe
de atingir o colapso. É, no entanto, também interessante fazer uma análise dos valores de
ductilidade do viaduto nas duas direcções, e determinar o valor do coeficiente de
comportamento da estrutura em cada uma das direcções a partir dos resultados determinados.
Recorda-se que o valor deste parâmetro introduzido inicialmente para definir o espectro de
resposta de dimensionamento que serviu de base à análise dinâmica linear, foi de 3,3.
Recordando o significado físico do coeficiente de comportamento, relação entre os
esforços, admitindo comportamento linear e não-linear da estrutura, pode perceber-se
facilmente, que, de acordo com a forma das curvas de capacidade obtidas anteriormente, a
direcção longitudinal, por apresentar uma fase de plasticidade constante, proporcionada
apenas pela capacidade de rotação dos pilares, explora a sua resistência pós-cedência de
maneira mais eficiente que na direcção transversal, onde grande parte da sua rigidez é
fornecida pela elevada inércia do tabuleiro. Assim, torna-se expectável que o valor do
coeficiente de comportamento na direcção longitudinal seja bastante mais elevado que na
direcção transversal.
Para proceder então à análise gráfica de ductilidade, coeficiente de comportamento e
desempenho da estrutura, começa-se por transformar o espectro de resposta usual (Período
vs. Aceleração) para o formato ADRS (Acceleration vs. Displacement Response Spectrum),
recorrendo-se à equação (7.30), válida para sistemas de 1 grau de liberdade e comportamento
elástico:
(7.27)
A curva de capacidade teve também de ser adaptada, uma vez que representa uma
relação entre o valor da força de corte basal e o deslocamento do nó de controlo. Recorrendo
ao valor de m* obtido e apresentado anteriormente para cada direcção, facilmente pode obter-
se o valor da aceleração imposta à estrutura pelas forças de inércia desenvolvidas.
107
6.5.1 – Direcção longitudinal
Efectuando o procedimento explicado anteriormente obtém-se para a direcção
longitudinal:
Figura 83 - Curva de capacidade longitudinal e espectro elástico no formato ADRS
O procedimento consiste então na definição do espectro inelástico, reduzindo o
espectro elástico, e na determinação do ponto de intersecção entre a curva de capacidade e o
espectro não linear.
A construção dos espectros inelásticos vai depender do valor de ductilidade (µ) e do
valor do coeficiente de comportamento (qu) da estrutura e foi feita de acordo com o
procedimento apresentado em (Bento, et al., 2004), onde constam as seguintes expressões:
(7.28)
μ
(7.29)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Deslocamento (m)
Espectro elástico ADRS
Curva de capacidade
108
onde S significa Spectral e os sufixos a e d representam aceleração e deslocamento,
respectivamente.
Os espectros inelásticos podem ser representados para valores constantes de
ductilidade (ou alternativamente de coeficiente de comportamento). Sendo o objectivo deste
procedimento, verificar a diferença na resposta da estrutura nos dois regimes (linear e não
linear) e sendo o coeficiente de comportamento, o parâmetro que se utiliza directamente na
definição dos espectros de resposta de dimensionamento, fez-se variar a forma do espectro em
função do valor do coeficiente de comportamento. A relação entre µ e qu está definida na
equação (7.30)
μ {(
(7.30)
Após realizada uma iteração à redução do espectro, considerando um coeficiente de
comportamento de 1,5, procedeu-se à repetição do procedimento e atingiu-se o ponto que
origina a fase plástica da estrutura, para um valor de qu de 2,827 (Figura 84), tal como havia
sido calculado no método numérico para encontrar o deslocamento objectivo para a análise
“pushover” na direcção longitudinal. Embora não tenha coincidido exactamente com o valor de
3,3 utilizado na análise linear, é um valor que se encontra bastante próximo e que torna
bastante aceitável o valor adoptado na análise dinâmica linear.
Figura 84 - Espectros inelásticos para aferição do coeficiente de comportamento da estrutura
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Deslocamento (m)
Espectro elástico ADRS
Curva de capacidade
Espectro inelástico
Iteração (q=1,5)
109
A figura abaixo 85 representa o valor do período encontrado para a estrutura T* e
mostra também o valor do deslocamento que a estrutura teria em regime “infinitamente” linear,
para se poder comparar com o valor do deslocamento objectivo.
Figura 85 – Comparação entre d*et e d*t
Fazendo a tangente à curva de capacidade na sua fase elástica, obtém-se o período
elástico da estrutura. Prolongando essa recta, tem-se a evolução do comportamento da
estrutura em regime “infinitamente” elástico. Deste prolongamento, resulta uma intersecção
com o espectro elástico, o que representa o valor do deslocamento elástico da estrutura (d*et).
Calculados os valores do período elástico da estrutura, deslocamento elástico e
coeficiente de comportamento, está-se em condições de calcular o deslocamento objetivo
através da expressão utilizada anteriormente no método analítico. (Equação 7.19)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Deslocamento (m)
Espectro elásticoADRS
T=0,431 seg
d*t = 0,0398m
d*et = 0,0318m
110
6.5.2 – Direcção transversal
Tal como foi feito para a direcção longitudinal, apresenta-se a curva de capacidade da
direcção transversal do sistema de um grau de liberdade equivalente, juntamente com o
espectro de resposta elástico no formato ADRS. (Figura 86)
Figura 86 – Curva de capacidade transversal e espectro elástico no formato ADRS
Como se pode verificar, a ausência de fase plástica na curva de capacidade
transversal, faz com que a rigidez do tabuleiro existente no final se faça sempre sentir ao longo
de toda a análise, pois apresenta um declive (rigidez) muito parecido ao longo de toda a
análise. Este facto contribui para o não aproveitamento das potencialidades dúcteis da
estrutura. Refira-se que, transversalmente, a estrutura também não necessita de tirar partido
da sua capacidade de deformação pois devido ao seu curto comprimento e grande capacidade
de absorção de reacção transversal por parte dos encontros, a sua deformação é bastante
reduzida.
Da intersecção do espectro inelástico com a curva de capacidade resistente
transversal, para valores constantes de coeficiente de comportamento, atingiu-se ao valor de
1,694, muito aquém do valor de 3,3. O que significa que grande parte da resposta transversal
do viaduto acontece no domínio linear, como se esperava.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Ace
lera
ção
(m
/s)
Deslocamento (m)
Espectro de resposta ADRS
Espectro inelástico (q=1,694)
T*=0,339 seg
Bi-linear
d*et = 0,0196m
d*t = 0,0266m
111
Contudo, há um aspecto importante que convém referir para a direcção transversal.
Para definir a curva de capacidade bi-linearizada, correspondente ao sistema de apenas um
grau de liberdade é necessário arbitrar um ponto que se identifique com o mecanismo plástico
da estrutura, o que pode ser definido por várias situações, conforme o projectista. Neste caso,
o mecanismo foi identificado como sendo o viaduto com todos os pilares plastificados quer no
topo, quer na base. Contudo, o mecanismo a adoptar poderia ser outro, podendo mesmo ser
um estado de deformação arbitrário, o que traria diferenças à curva bi-linearizada adaptada, e,
consequentemente conduziria a valores diferentes do coeficiente de comportamento.
Imagine-se, por exemplo, que o mecanismo era assumido como sendo a fase em que
apenas os pilares centrais estavam plastificados. Essa assumpção, puramente especulativa,
iria conduzir a uma outra aproximação para o sistema de um grau de liberdade equivalente,
onde o ponto entre fases (puramente elástica / apenas resistência do tabuleiro), estaria
identificado por um deslocamento d*y menor, o que originaria as seguintes consequências:
Menor fase elástica;
Aumento do declive da fase elástica e menor valor de T*;
Intersecção da recta de T* com o espectro elástico num valor menor de d e
consequente redução do valor de d*et;
Aumento do valor do coeficiente de comportamento, devido ao menor valor de
F*y ponto de mecanismo de colapso, agora admitido.
Todas as situações listadas acima fariam variar o valor do deslocamento objectivo. Por
isso, é preferível admitir que a formação do mecanismo ocorre mais tarde, pois assim
considera-se a plastificação dos pilares na sua totalidade, e é-se conduzido a valores de
ductilidade menores, o que origina dimensionamentos mais rigorosos.
112
113
7 - Avaliação sísmica da estrutura – recurso a análises
dinâmicas não lineares
Para além das análises já realizadas, existem ainda as análises dinâmicas não lineares
ao longo do tempo (non-linear time-history analysis). Estas análises, à semelhança das
estáticas não lineares, recorrem às propriedades não lineares dos materiais. É, por isso,
essencial que as mesmas fiquem correctamente definidas, de modo a que a análise possa dar
resultados adequados.
O princípio geral deste tipo de análises baseia-se na integração das equações de
equilíbrio dinâmico ao longo do tempo, tendo em conta propriedades da estrutura, tais como a
massa, a rigidez e o amortecimento.
7.1 – Definição do amortecimento
O amortecimento pode ser expresso pela equação seguinte:
(7.1)
onde C, M e K representam as matrizes de amortecimento, massa e rigidez,
respectivamente, e, α e β os factores de amortecimento respectivos a cada uma das matrizes
que lhes estão associadas.
Para calcular os parâmetros e é necessário atender à definição seguinte de C:
(7.2)
– coeficiente de amortecimento (em estruturas de betão 5%); - factor de amortecimento crítico.
Igualando as expressões (7.1) e (7.2) e ficando a igualdade em função do factor de
amortecimento ξ, fica-se com:
(7.3)
A relação apresentada acima pode ser expressa graficamente, como se mostra na
figura que se segue.
114
Figura 87 - Amortecimento da estrutura em função dos parâmetros de massa e rigidez
Admite-se que em regime não linear, o valor médio da rigidez k de uma estrutura
corresponde a cerca de 40% do valor da mesma em regime linear. Desta forma, calcularam-se
os parâmetros α e β em função dos modos de vibração mais relevantes para a resposta
estrutural, cujos períodos de vibração foram mostrados numa fase anterior deste trabalho. Para
esses modos de vibração, foi arbitrado um valor de amortecimento de 5% no âmbito do
programa de cálculo. Recorda-se que a análise do viaduto é feita nas duas direcções
horizontais e como tal, é necessário ter em conta as características dinâmicas do viaduto em
ambas as direcções, para poder definir o amortecimento em cada uma dessas direcções.
Apresentam-se na tabela 44 os valores das frequências angulares em regime linear e não
linear dos modos de vibração principais do viaduto.
Tabela 43 - Frequências angulares (p) que serviram de base ao cálculo do amortecimento
Modo de vibração p (regime linear) (rad) 60% p (regime não linear) (rad)
Longitudinal 14,54 8,73 Transversal 19,27 11,56
Fica-se com o seguinte sistema de equações definidas a partir de 7.3:
{
(7.4)
de onde se retiram os seguintes valores de α e β:
Tabela 44 - Valores dos parâmetros α e β para as duas direcções
Direcção α β
Longitudinal 0,546 0,004 Transversal 0,826 0,003
Com os valores apresentados na tabela 45 foi possível criar duas curvas semelhantes
à apresentada na figura 87, uma para cada direcção.
115
Figura 88 - Amortecimento para as duas direcções horizontais
7.2 - Geração de acelerogramas
Nas análises dinâmicas não lineares a acção sísmica é definida a partir de
acelerogramas. Para gerar os acelerogramas, recorreu-se a uma aplicação chamada Gosca
(Denoël, 2001). Os processos utilizados pelo programa para criar os acelerogramas são
bastante complexos e podem ser consultados em (Denoël, 2001). Esta aplicação gera o
número de acelerogramas pretendido, sendo estes compatíveis com um espectro de resposta,
que tanto pode ser gerado no seu âmbito ou introduzido pelo utilizador. Neste estudo, o
espectro de resposta foi introduzido e coincidia com o espectro elástico do sismo tipo 1
apresentado atrás.
No essencial, o processo de génese do acelerograma passa pela criação de uma
função de pontos esparsos ao longo de um intervalo de tempo que se quiser, e que vai,
sequencialmente, sendo filtrada mediante o produto com outras funções, que lhe conferem
determinadas características, que aproximam o seu conteúdo ao do espectro de que
inicialmente se partiu. Da criação aleatória inicial de pontos, advêm diferentes acelerogramas
que com ele devem ser compatíveis. Contudo a cada acelerograma corresponde apenas um
espectro de resposta, daí que a sua modelação não possa simplesmente ser feita mediante a
simples utilização de uma função periódica, como por exemplo, as sinusoidais.
116
Para gerar os acelerogramas, têm de se percorrer determinados passos, que se listam
de seguida:
1) Importar ou criar o espectro de referência;
2) Definir a duração pretendida do acelerograma – utilizou-se a duração de 30
segundos, recomendada para sismos a grandes distâncias, como é o caso do
representado pelo espectro introduzido;
3) Definir a máxima aceleração do solo em função de g (aceleração da
gravidade) – neste caso, =1,80 m/s2, logo o valor a introduzir será 0,184 (g);
4) Percentagem de amortecimento crítico ( ) – 5%;
5) Definir a precisão pretendida na análise do espectro fornecido para gerar os
acelerogramas (valor entre 20 e 40) – 35;
6) Definir a precisão pretendida para a compatibilização entre o espectro fornecido
e os gerados pelos diferentes acelerogramas (valor entre 3% e 5%) – 5%;
7) Número de acelerogramas a criar – 10;
Fornecidos os dados de input apresentados anteriormente, são criados os
acelerogramas pretendidos e os espectros de resposta respectivos. Um dos acelerogramas
gerados é apresentado na figura 89, estando os restantes apresentados no anexo I.
Figura 89 - Acelerograma 1
Apesar se apresentar vários picos, na sua maioria, o acelerograma apresenta uma
amplitude regular de 1,8 m/s2, tal como foi introduzido.
Apresenta-se também o espectro de resposta correspondente ao acelerograma
apresentado na figura 89, sobreposto ao espectro elástico que serviu de base.
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0 5 10 15 20 25 30
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Tempo (seg)
117
Figura 90 - Comparação entre o espectro introduzido e o gerado
Como se pode ver, o espectro gerado pelo acelerograma 1 e apresentado na figura 90
aproxima-se bastante do espectro elástico inicial. Pode então dizer-se que o acelerograma é
aceitável para a acção sísmica que se quer simular nesta análise.
No ponto 3.2.3 do EC8 podem encontrar-se disposições gerais relativas à simulação da
acção sísmica recorrendo a acelerogramas. Nesse mesmo ponto pode ver-se que a acção
sísmica deve ser definida por um par de acelerogramas diferentes a actuarem
simultaneamente em ambas as direcções principais horizontais e ainda um terceiro a actuar na
direcção vertical da estrutura.
À semelhança do que foi feito para a análise “pushover”, optou-se por analisar a estrutura
nas duas direcções principais, de forma separada, pois assim, seria mais simples comparar os
resultados obtidos, com os que resultaram da análise “pushover”.
Não foram aplicados à estrutura, acelerogramas na direcção vertical, pelo mesmo motivo
que não se estudou o comportamento da estrutura nesta direcção, quando actuada pela acção
sísmica simulada por espectros de resposta, na acção dinâmica linear.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Ace
lera
ção
(g'
s)
Período (s)
Espectro elástico (introduzido)
Espectro do acelerograma (gerado)
118
7.3 - Modelo de cálculo
7.3.1 – Zonas de plasticidade concentrada
Ao contrário do que foi feito para as análises pushover, nas análises dinâmicas não
lineares, as zonas de plasticidade concentrada não devem ser apenas modeladas recorrendo a
uma curva que defina a relação monotónica momento vs. curvatura. Como se sabe, durante a
acção sísmica, as estruturas descrevem um movimento oscilante, o que faz com que as
secções mais propícias à formação de rótulas plásticas sofram um desgaste adicional,
fomentado pela sucessiva compressão e descompressão das várias zonas da secção. As
consequências destes fenómenos traduzem-se numa degradação da secção, o que leva a que
a sua rigidez vá diminuindo durante os vários ciclos do movimento oscilatório.
A situação descrita anteriormente pode ser modelada no âmbito do programa de
cálculo recorrendo a elementos parecidos aos elementos de barra, mas com possibilidades de
simulação de rigidez muito mais abrangentes. Esses elementos têm o nome de NLinks. Estes
podem ser referentes a apenas uma secção (1 point) (utilizados para simular uma junta ou
qualquer outro tipo de ligação entre duas barras) ou podem ser utilizados ao longo de um
comprimento (2 point) (para quando existem zonas de plasticidade distribuída ao longo de um
comprimento, como é o caso das rótulas plásticas que se pretendem simular neste trabalho).
Em (Bhatt, 2007) pode ser consultada a metodologia mais conveniente para a correcta
utilização deste tipo de elementos. À semelhança das análises estáticas não lineares, apenas
se modelou a rigidez de flexão dos pilares. Apresentam-se de seguida os passos que se
percorreram para a definição dos NLinks no modelo.
119
Figura 91 - Direcções em que a rigidez do pilar foi alterada
Como se pode verificar na figura 91, todos os deslocamentos e a rotação por torção
estão impedidos, sendo que apenas se alteraram os parâmetros de rigidez do elemento
quando sujeito a rotação por flexão. A figura 92 apresenta a modelação da rigidez na zona de
plasticidade concentrada.
À semelhança do realizado para a análise pushover, a modelação da rigidez na zona
de plasticidade concentrada fez-se de acordo com a relação momento-curvatura obtida no
CUMBIA. Para simular histórias de carga cíclicas na secção, utilizou-se o tipo de histerese de
“Takeda”, que contempla uma perda de rigidez ao longo dos vários ciclos de carga e descarga,
nas zonas afectas aos fenómenos de plasticidade.
120
Figura 92 - Introdução da relação momento-curvatura característica da secção dos pilares no NLink
Os elementos foram colocados no topo e na base dos pilares e fazem a ligação entre
os diversos pilares e respectivas fundações e o tabuleiro. O comprimento dos elementos
NLinks é de 0,383m o que corresponde ao comprimento da rótula plástica, calculado durante
as análises estáticas não lineares.
.
121
7.3.2 - Fundações
Alterados os parâmetros de rigidez dos pilares de acordo com o ponto 7.2.1, procedeu-
se à primeira “corrida” dos 10 acelerogramas no modelo. Os resultados não foram favoráveis,
uma vez que não foi conseguida a convergência durante os passos de integração realizados
pelo programa, tendo a mesma sido automaticamente abortada antes que se chegasse ao fim
da análise, o que corresponderia aos 30 segundos do acelerograma.
O motivo desta incompatibilidade é desconhecido mas foi possível identificá-la devido
a resultados completamente sem sentido, evidenciados por grandes deslocamentos verificados
nas fundações. Deslocamento esses na ordem das centenas de milhares de metros.
Por esse motivo, foram elaborados três modelos alternativos para “balizar” os
resultados que seriam obtidos para o modelo inicialmente utilizado. Esses modelos apenas
foram alterados ao nível das fundações e explicam-se de seguida:
1. Deslocamentos e rotações na base dos pilares totalmente fixos (encastramentos);
2. NLinks do tipo 1 joint com rigidez constante ao longo do tempo (em regime linear, tal
como as molas) e igual à calculada no ponto 4.2.1 para simular tanto os deslocamentos
como as rotações;
3. Deslocamentos restringidos por molas de translação com valores de rigidez iguais às
dos termos que constam na diagonal principal das matrizes obtidas anteriormente para
estes deslocamentos e rotações impedidas.
Embora todos estes modelos tenham características dinâmicas diferentes entre si e do
modelo inicial, o amortecimento tal como foi descrito no ponto 7.1 foi igual para todos estes
modelos e dependente das características dinâmicas do modelo inicial ao invés de depender
das características de cada modelo.
Apresentam-se de seguida, na tabela 46 os períodos dos modos de vibração principais
para as duas direcções horizontais dos diversos modelos, para comparação com o modelo
inicial onde as fundações estão modeladas por uma matriz de rigidez.
Tabela 45 - Características dinâmicas dos 4 modelos realizados
Períodos (seg) dos dois primeiros modos de vibração para as várias modelações das fundações
Direcção Encastramentos Molas definidas por uma matriz (inicial)
Molas lineares de translação e rotações
impedidas NLinks
Longitudinal 0,384 0,430 0,522 0,561 Transversal 0,297 0,324 0,380 0,396
122
Como se pode verificar de análise da tabela 46, existem diferenças significativas entre
os vários modelos a nível da análise modal. Os resultados estão apresentados
sequencialmente do mais rígido (encastramentos) para o mais flexível (NLinks).
Aparentemente, o modelo que mais se adequa ao real é aquele em que as fundações
estão completamente fixas. É também de realçar, o facto de a estrutura ter ficado mais flexível
ao restringir completamente as rotações da base. Esse facto pode ser explicado pela influência
que os termos não diagonais da matriz tinham e que passaram a ser nulos, pois embora a
rotação esteja agora completamente impedida, já não existe interacção entre os dois
movimentos, originando assim maiores deslocamentos ao nível da base da estrutura.
Na tentativa de encontrar o modelo que mais se adequa às características do modelo
inicial, observaram-se resultados relativos à deformação da base dos pilares para as análise
realizadas anteriormente. Tanto para a análise linear como para a análise pushover, os
deslocamentos e rotações máximos medidos nesses pontos situavam-se na ordem das
décimas de milímetro, ou seja, praticamente desprezáveis. Esse facto remete para a mesma
conclusão de que será o modelo encastrado que produzirá os resultados mais parecidos aos
que se obteriam para o modelo inicialmente realizado.
No ponto que se segue apresentam-se os valores obtidos para o deslocamento do
centro de gravidade do tabuleiro para os três modelos distintos.
123
7.4 – Resultados
Apresentam-se então os vários resultados das análises dinâmicas não lineares
realizadas para as 3 modelações apresentadas no ponto anterior. Os resultados que se vão
apresentar correspondem apenas aos deslocamentos máximos medidos em ambas as
direcções para cada acelerograma. Uma vez que o tabuleiro é bi-simétrico, é feita uma média
dos valores absolutos da amplitude máxima dos deslocamentos do centro de massa da
estrutura, correspondentes à oscilação do tabuleiro, obtidos para cada direcção e para cada
cada acelerograma.
7.4.1 – Fundações modeladas por encastramentos
Tabela 46 – Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo encastrado)
dx dy Máximo dx Máximo dy Média dx Média dy
0,026 0,018 0,052 0,027
0,038 0,024
-0,052 -0,027
0,024 0,024 0,039 0,024
-0,039 -0,019
0,042 0,024 0,042 0,024
-0,024 -0,022
0,039 0,020 0,039 0,022
-0,027 -0,022
0,029 0,024 0,030 0,024
-0,030 -0,018
0,036 0,020 0,036 0,026
-0,026 -0,026
0,020 0,026 0,036 0,026
-0,036 -0,022
0,027 0,023 0,030 0,023
-0,030 -0,022
0,045 0,025 0,045 0,025
-0,024 -0,021
0,029 0,021 0,035 0,022
-0,035 -0,022
Os resultados obtidos para este modelo foram bastante satisfatórios uma vez que se
aproximam bastante dos valores para os quais foi verificada a segurança na análise pushover.
124
Ainda assim, deve verificar-se o desenvolvimento da deformação ao nível das rótulas plásticas
para esta análise, uma vez que foram modeladas de uma forma diferente.
7.4.2 – Fundações modeladas por molas de translacção (rotações impedidas)
Tendo em consideração os valores apresentados na tabela 46 e referentes às
características dinâmicas dos vários modelos, é de esperar que os resultados referentes à
deformação do tabuleiro sejam superiores aos obtidos para o modelo encastrado. Os valores
obtidos para este modelo apresentam-se de seguida.
Tabela 47 - Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo com molas de translação e rotações impedidas)
dx dy Máximo dx Máximo dy Média dx Média dy
0,024 0,020 0,053 0,030
0,039 0,025
-0,053 -0,030
0,026 0,024 0,038 0,024
-0,038 -0,020
0,042 0,025 0,042 0,025
-0,024 -0,023
0,041 0,022 0,041 0,024
-0,026 -0,024
0,028 0,026 0,030 0,026
-0,030 -0,019
0,037 0,021 0,037 0,026
-0,026 -0,026
0,021 0,027 0,036 0,027
-0,036 -0,023
0,026 0,023 0,031 0,024
-0,031 -0,024
0,044 0,024 0,044 0,024
-0,025 -0,023
0,028 0,022 0,035 0,023
-0,035 -0,023
Como se pode verificar de comparação entre as tabelas 47 e 48, a diferença entre os
valores obtidos para a deformação do tabuleiro é bastante pequena, tendo-se registado
diferenças de apenas 1 mm para ambas as direcções. Pode assim concluir-se que se está
bastante perto da solução que se iria encontrar para o modelo inicialmente concebido.
125
Apesar das conclusões terem sido bastante satisfatórias para os dois modelos que se
julgam mais próximos do real, apresenta-se também, a título de curiosidade os resultados
obtidos para o modelo em que as fundações estão modeladas por elementos Nlink.
7.4.3 – Fundações modeladas por elementos NLinks
Tabela 48 - Deslocamentos (em metros) obtidos para o CM do tabuleiro (modelo com rigidezes de rotação e translação modeladas por NLinks)
dx dy Máximo dx Máximo dy Média dx Média dy
0,026 0,023 0,071 0,040
0,053 0,034
-0,071 -0,040
0,040 0,038 0,042 0,038
-0,042 -0,030
0,053 0,032 0,053 0,034
-0,032 -0,034
0,043 0,034 0,043 0,034
-0,034 -0,034
0,051 0,034 0,055 0,034
-0,055 -0,030
0,033 0,033 0,049 0,033
-0,049 -0,031
0,025 0,031 0,055 0,035
-0,055 -0,035
0,028 0,030 0,048 0,030
-0,048 -0,030
0,058 0,033 0,058 0,033
-0,029 -0,033
0,052 0,034 0,052 0,034
-0,035 -0,033
Como se esperava, o modelo dos Nlinks confirmou o que se esperava, tendo
apresentado os valores mais elevados para a deformação do tabuleiro, de acordo com o que a
análise modal evidenciava.
Saliente-se que os resultados obtidos para este modelo se afastam bastante dos
resultados obtidos para os dois modelos apresentados anteriormente, ao passo que a análise
modal apresentou resultados mais equilibrados.
Pelos motivos mencionados anteriormente, será o modelo encastrado a ser analisado
mais em pormenor, no que diz respeito às verificações de segurança que para este tipo de
análises são recomendadas.
126
No ponto 4.2.4 do EuroCódigo8 – Parte 2, podem encontrar-se todas as verificações de
segurança necessárias para este tipo de análise, bem como alguns procedimentos que devem
ser seguidos para as efectuar.
À semelhança do que foi feito para as análises pushover, também para as análises
dinâmicas não lineares, a verificação de segurança mais importante é a avaliação da
deformação nas zonas de plasticidade concentrada, para o caso de se ultrapassar o limite de
rigidez elástica das secções. É também necessário garantir que não ocorre encurvadura das
armaduras dos elementos verticais e que, durante toda a análise, não se formam rótulas
plásticas no tabuleiro. A primeira fica garantida, na medida em que a relação momento-
curvatura, posteriormente adaptada a momento-rotação, obtida através do “CUMBIA” apenas é
condicionada pela resistência axial dos materiais que constituem a secção, não sendo o estado
limite de encurvadura relevante para a secção em questão. A não formação de rótulas plásticas
no tabuleiro é garantida devido à verificação dos esforços no tabuleiro durante as diferentes
análises. À semelhança do que sucedeu nas análises pushover, os valores de momento flector
verificados no tabuleiro estão bastante além do que é expectável que seja o valor do seu
momento flector resistente.
A verificação de segurança fica assim, apenas dependente da medição da rotação das
zonas mais desfavoráveis dos elementos verticais, ou seja, a zona das rótulas plásticas. Na
secção (2) do ponto referido anteriormente, pode encontrar-se a seguinte equação:
(7.4)
– rotação medida na zona da rótula plástica devido à acção do acelerograma;
– rotação máxima de cálculo permitida pela rótula plástica.
O valor de pode ser obtido de acordo com a equação (4.21) do ponto mencionado
anteriormente que estipula que:
(7.5)
– rotação última estimada para a rótula plástica;
– factor de segurança relativo a defeitos pontuais da estrutura, incertezas no
modelo e/ou nas acções (presente no anexo E).
No anexo E pode ler-se:
“In the absence of specific justification based on actual data, the reduction factor γR,p
of expression (4.21) may be assumed as γR,p = 1,40.”
127
O valor ultimo de rotação admitido para as rótulas plásticas modeladas neste trabalho
foi já apresentado na parte 6.1.3 referente à modelação das curvas momento-rotação das
rótulas plásticas e vale 0,0169 rad (tabela 34). Afectando o valor da rotação última das rótulas
plásticas modeladas para os pilares do viaduto, obtém-se o valor de rotação máxima de cálculo
de:
= 0,0121 rad (7.6)
Observando a tabela 49, pode verificar-se que tanto para a direcção transversal como
para a direcção longitudinal, a acção sísmica modelada com recurso ao acelerograma 1 é a
acção mais gravosa do conjunto dos 10 acelerogramas artificialmente gerados, na medida em
que é a que provoca as maiores deformações horizontais do tabuleiro. Assim, torna-se
evidente que ao verificar a inequação (7.6) para esta acção, a segurança fica automaticamente
garantida para todas as outras acções.
Em primeiro lugar, há que verificar se a ductilidade da estrutura está a ser
correctamente explorada. Para isso, deve constatar-se que os esforços dos elementos verticais
da estrutura ultrapassam os valores resistentes (em regime elástico) para as duas direcções.
Mediram-se os esforços para o acelerograma menos condicionante e constatou-se que mesmo
nesse os esforços ultrapassam os resistentes, como mostram as figuras 93 e 94.
Figura 93 - Momento flector máximo ( t= 26,21 seg) na direcção longitudinal para o acelerograma menos condicionante (anti - simétrico)
128
Figura 94 - Momento flector máximo ( t= 25,71 seg) na direcção transversal para um dos pilares centrais para o acelerograma menos condicionante
Consultando as propriedades da secção na parte 6.1.3 deste trabalho, pode ser
recordado o valor do momento resistente da secção dos pilares em regime não linear. O valor
calculado para esse parâmetro foi de 4550,89 kN.m o que leva à conclusão de que os pilares
se encontram em regime pós-cedência para todos os acelerogramas a que se sujeitou o
modelo. Resta então medir as rotações das secções condicionantes para a acção mais
gravosa, ou seja, o acelerograma 1.
A evolução das rotações em questão pode ser representada em função do tempo ou
em função do valor do corte basal, como foi feito para as análises pushover. As figuras que se
seguem representam a evolução do deslocamento absoluto do nó de controlo (centro de
massa do tabuleiro) e a evolução da rotação medida para a cabeça de um dos pilares mais
desfavoráveis do viaduto (um dos 4 interiores, pelos motivos já explicados anteriormente) em
função do tempo e do valor de corte basal, para cada uma das direcções.
129
Figura 95 - Evolução do deslocamento do CM do tabuleiro na direcção longitudinal para o acelerograma mais condicionante
Figura 96 - Evolução do deslocamento do CM do tabuleiro na direcção transversal para o acelerograma mais condicionante
130
Figura 97 - Evolução da rotação (θy) na cabeça de um dos pilares (NLink) condicionantes para o acelerograma mais desfavorável a actuar na direcção longitudinal
Figura 98 - Evolução da rotação (θx) na cabeça de um dos pilares (NLink) condicionantes para o acelerograma mais desfavorável a actuar na direcção transversal
131
Figura 99 - Evolução da rotação da cabeça do pilar (θy) mais desfavorável em função do valor do corte basal para o acelerograma mais condicionante a actuar na direcção longitudinal
Figura 100 - Evolução da rotação da cabeça do pilar (θx) mais desfavorável em função do valor do corte basal para o acelerograma mais condicionante a actuar na direcção transversal
132
De acordo com as figuras 97 a 100, pôde verificar-se que os valores máximos de
rotação para a acção sísmica mais condicionante são:
Tabela 49 - Valores máximos das rotações medidas nas zonas de plasticidade concentrada do pilar mais desfavorável para a acção sísmica simulada pelo
acelerograma condicionante
(rad) (rad)
Máximo negativo -0,0024 -0,0025 Máximo positivo 0,0060 0,0013
Conclui-se portanto que a segurança está garantida, uma vez que as rotações obtidas
estão muito abaixo do valor do limite de cálculo ( ) de 0,0121 rad. Note-se que os valores
apresentados na tabela 50 são referentes ao acelerograma mais condicionante, sendo que o
valor de referência devia ser a média dos máximos. Pode-se portanto concluir que, embora a
segurança seja verificada as potencialidades dúcteis do viaduto não estão a ser correctamente
exploradas, tal como se concluiu para as análises pushover.
Para melhor perceber o comportamento da secção durante a actuação da acção
sísmica simulada por um acelerograma, discretizou-se o gráfico da figura 99 durante 3
intervalos de tempo, cada um com 10 segundos. Os resultados apresentam-se na figura 101.
Figura 101 - Evolução da rotação da rótula plástica do pilar mais desfavorável para o acelerograma mais condicionante a actuar na direcção longitudinal
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06
Co
rte
bas
al n
a d
ire
cção
x (
kN)
Rotação (rad)
0-10 segundos
0-20 segundos
20-30 segundos
133
Como se pode constatar observando a figura 101, é durante o intervalo de tempo entre
os instantes t=10seg e t=20 seg que a rótula plástica sofre a maior deformação. Pode também
observar-se o efeito de perda de rigidez da secção durante todo o processo, representada pela
inclinação dos segmentos que representam a evolução da rotação da secção em todas as
oscilações.
134
135
8 - Comparação final de resultados e conclusões
Concluídas todas as análises, está-se agora em condições de poder comparar
convenientemente os vários resultados obtidos, de forma a aferir as principais diferenças entre
elas.
Em primeiro lugar deve referir-se que a segurança foi verificada para todas as análises
que se efectuaram. Deve também ter-se em atenção que a comparação dos resultados entre
as diferentes análises pode não ser viável, uma vez que para chegar a resultados finais, os
procedimentos e cálculos utilizados foram muito diferentes. Deve ter-se em mente que as
análises lineares se baseiam na obtenção de esforços de cálculo e posterior dimensionamento
se elementos resistentes e as análises não lineares, assentam num controlo de deformações
da estrutura, sendo que um dimensionamento ideal da estrutura contempla a entrada dos
elementos resistentes em regime não linear, tirando assim partido das sua resistência em
regime pós cedência, o que permite criar estruturas mais esbeltas e baratas.
O quadro apresentado abaixo representa uma síntese dos resultados obtidos, em todas
as análises, que permitem identificar a análise como bem-sucedida no que diz respeito à
verificação de segurança. Apresenta-se também o valor dos deslocamentos nas duas
direcções horizontais obtidos para o tabuleiro em todas as análises. Embora o deslocamento
não tenha sido um parâmetro de importância crucial em nenhuma das análises, é interessante
ver os resultados deste parâmetro a que cada análise conduziu.
Tabela 50 - Parâmetros mais relevantes das várias análises efectuadas
Parâmetro Análise dinâmica
linear (regime elástico)
Análise estática não-linear (pushover)
Análise dinâmica não-linear
Esforços nos pilares
4299 kN.m 4553 kN.m 4553 kN.m
4744 kN.m
4553 kN.m 4553 kN.m 4597 kN.m
Deslocamento do centro de massa
13
Longitudinal 0,049 m 0,039 m “Deslocamentos objectivo”
0,038 m
Transversal 0,044 m 0,033 m 0,024 m
Rotação das zonas mais esforçadas
(acção long.) 0,0012 rad 0,0048 rad 0,0041 rad
(acção transv.) 0,0001 rad 0,0036 rad 0,0021 rad - 0,0169 rad 0,0121 rad
Verificação de segurança
13
Os valores relativos aos deslocamentos e rotações resultantes da análise dinâmica linear encontram-se multiplicados pelos respectivos coeficientes de ductilidade (apresentados no ponto 5.4.1)
136
Como se pode verificar, os valores referentes às análises não lineares são bastante
próximos, sendo os obtidos da análise dinâmica, valores “reais” e os resultantes das análises
pushover metas de deformação para medir a rotação. A proximidade deles revela a precisão da
calibração dos métodos presentes no Eurocódigo. Note-se a maior divergência nos parâmetros
relativos à direcção transversal, para a qual era mais complexa a definição da fase elástica e
plástica.
Apesar da diferença dos valores de rotação das secções mais solicitadas não diferir
muito entre as duas análises não-lineares, são bastante diferentes dos homólogos da análise
linear. Este facto deve-se à detalhada modelação das rótulas plásticas nos modelos não
lineares que levaram a um elevado “enfraquecimento” desta zona. No modelo linear, a rotação
do nó depende em grande parte da rotação do tabuleiro que tem uma elevada inércia, daí o
valor da rotação, nesta modelação ser bastante reduzido. O mesmo não se verificou para os
deslocamentos, pois os factores de ductilidade estimados contribuíram para aproximar os
deslocamentos obtidos em regime linear com os que se obtiveram posteriormente nos modelos
não-lineares.
A ideia retida, após comparados os custos e os benefícios de cada uma das análises, é
de que, numa perspectiva mais corrente da prática da engenharia em Portugal, as análises
não-lineares não se justificam, para a grande maioria de obras de arte que se realizam, por
dois motivos. Em primeiro lugar, o cálculo sísmico através de espectro de resposta está já
suficientemente enraizado e compreendido e é suficientemente preciso e rápido. É, no entanto,
de todo o interesse, que os espectros de resposta, utilizados em projecto, sejam actualizados
para os que o Eurocódigo recomenda, em detrimento dos que o RSA contempla, pois estão
muito desactualizados, não só em termos numéricos (para solos do mesmo tipo os espectros
do RSA originam forças de inércia menores) como também tem erros de índole conceptual. É
exemplo disso, o facto de um espectro de resposta do RSA, para um solo de qualidade inferior,
provocar menores acelerações que o espectro de resposta de um solo rochoso. Hoje em dia
sabe-se que não ocorre uma dissipação da vibração mas sim uma amplificação. É por isso,
estritamente necessário que se sensibilizem os engenheiros a adoptar, no mínimo, os
conceitos referentes às análises dinâmicas lineares.
Por outro lado, as análises não-lineares dependem muito de uma apertada fiscalização
durante a concepção das estruturas, caso contrário, todos os resultados previstos serão
deturpados. Muitas vezes, e na maioria das obras de arte correntes, este grau de fiscalização
não é cumprido, o que faz com que seja inglório todo o procedimento de dimensionamento com
metas no campo da deformação, que é bastante moroso. Recorde-se que, neste trabalho foi
feita uma verificação a uma estrutura existente, sendo que, um dimensionamento com vista a
uma deformação pretendida é um processo bastante mais complexo porque pode envolver
demasiadas iterações para que se convirja para o resultado que se pretende e que se julga ser
o mais adequado.
137
Parece então óbvia a conclusão que se retira de todo este estudo. Por envolver
demasiadas variáveis, as análises não lineares não devem ser a base do dimensionamento
estrutural de obras de arte corrente, mas deverão sim, ser utilizadas, como ferramentas fiáveis
de medição de desempenhos de estruturas dimensionadas através de análises dinâmicas
lineares através de espectro de resposta.
138
139
9 – Bibliografia
ATC-40. 1996. Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. 1996, 1996, Vol. 1 & 2.
Autodesk. 2010. AutoCAD 2010. 2010.
Bento, R. and Rodrigues, F. 2004. Análises Estáticas não Lineares (Ênfase no método N2).
Lisboa : ICIST, 2004.
Bhatt, Carlos. 2007. Bhatt, C.A.F.; ”Análise sísmica de Edifícios de Betão Armado segundo o
Eurocódigo 8 – Análises Lineares e Não Lineares”, Dissertação para a obtenção do Grau de
Mestre em Engenharia Civil, IST,2007. 2007.
CEN, European Comitee for Standardization. 2003. Eurocode 0 - "Basis of structural design".
2003.
—. 2003. Eurocode 2 - "Design of concrete structures". 2003.
—. 2003. Eurocode 8 - Design of structures for earthquake resistance - Part 1 : General rules,
seismic actions and rules for buildings. 2003.
—. 2003. Eurocode 8 - Design of structures for earthquake resistance - Part 2: Bridges. 2003.
CFL, Constructed Facilities Laboratory. 2007. CUMBIA. 2007.
CSI - Computers and Structures, Inc. 2008. SAP 2000 v12.0.0. 2008.
Denoël, V. 2001. "Generation of Spectrum Compatible Accelerograms (GOSCA)”. Université de
Liège, Belgique : s.n., 2001.
Fema-273. 1997. NEHRP - "Guidelines for the seismic rehabilitation of buildings". 1997.
Fema-356. 2000. NEHRP - "Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of
buildings". 2000.
Grupo de Análise de Estruturas, IST. 2002. Análise de Estruturas I - Tabelas de análise de
esturturas. Lisboa : s.n., 2002.
Lopes, M. 2008. Sismos e Edifícios. Lisboa : Orion, 2008.
Mander, J.B., Priestley, M.J.N. and Park, R. 1988. Theroetical stress-strain model for confined
concrete. ASCE Journal of Structural Engineering. 1988, Vol. 114.
Mathworks. 2008. MATLAB. 2008.
140
Montejo, Luis A. and Kowalsky, Mervyn J. 2007. CUMBIA - Set of Codes for the Analysis of
Reinforced Concrete Members. Raleigh, North Carolina : Constructed Facilities Laboratory,
2007.
Pinto, Alexandre. 2006. Slides da disciplina de dimensionamento e fundações. Lisboa : s.n.,
2006.
R.S.A. 1983. Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes.
Lisboa : Casa da Moeda, 1983.
Raynor, D.J., Lehman, D.L. and Stanton, J.F. 2002. Bond Slip Responde of Reinforced bars
grouted in ducts. ACI Structural Journal. 5, 2002, Vol. 99.
Anexos
Anexo A – Peças Desenhadas do Projecto
Anexo B - Características mecânicas dos solos
(slides da disciplina de Dimensionamento de Fundações)
Anexo C – Valores da curva M-θ das rótulas plásticas
Extensão dos materiais
Betão Aço
Recob. Núcleo Momento (kN.m) Rotação (rad)
0,0000 0,0000 0,0000 0,00 0,00000
0,0002 0,0002 0,0000 763,75 0,00005
0,0003 0,0003 -0,0001 1390,18 0,00011
0,0004 0,0004 -0,0002 1787,42 0,00017
0,0005 0,0005 -0,0004 2090,77 0,00025
0,0006 0,0006 -0,0005 2353,70 0,00032
0,0007 0,0007 -0,0007 2577,28 0,00040
0,0008 0,0008 -0,0009 2794,91 0,00049
0,0009 0,0009 -0,0011 3017,40 0,00057
0,0010 0,0010 -0,0013 3232,41 0,00065
0,0011 0,0011 -0,0015 3421,35 0,00073
0,0012 0,0012 -0,0017 3619,50 0,00082
0,0013 0,0012 -0,0019 3772,47 0,00090
0,0014 0,0013 -0,0021 3908,14 0,00099
0,0015 0,0014 -0,0023 3987,73 0,00108
0,0016 0,0015 -0,0026 4061,62 0,00118
0,0018 0,0017 -0,0031 4190,68 0,00137
0,0020 0,0019 -0,0036 4302,28 0,00157
0,0025 0,0024 -0,0048 4428,13 0,00207
0,0030 0,0028 -0,0062 4470,67 0,00259
0,0035 0,0033 -0,0074 4539,84 0,00309
0,0040 0,0038 -0,0088 4550,86 0,00361
0,0045 0,0042 -0,0101 4569,85 0,00412
0,0050 0,0047 -0,0114 4563,16 0,00462
0,0060 0,0057 -0,0138 4569,45 0,00559
0,0070 0,0066 -0,0162 4531,58 0,00655
0,0080 0,0075 -0,0186 4541,14 0,00751
0,0090 0,0085 -0,0210 4532,82 0,00847
0,0100 0,0094 -0,0233 4526,16 0,00941
0,0120 0,0113 -0,0279 4559,15 0,01124
0,0140 0,0132 -0,0325 4559,05 0,01312
0,0160 0,0151 -0,0372 4550,14 0,01499
0,0180 0,0169 -0,0417 4552,89 0,01685
Anexo D – Valores da curva de pushover longitudinal
Step
Displacement Base Shear
m kN
0 0,0000 0,00
1 0,0020 1687,99
2 0,0039 3375,97
3 0,0059 5063,96
4 0,0078 6751,94
5 0,0112 9726,21
6 0,0135 9726,21
7 0,0155 9726,21
8 0,0174 9726,21
9 0,0194 9726,21
10 0,0213 9726,21
11 0,0233 9726,21
12 0,0252 9726,21
13 0,0272 9726,21
14 0,0291 9726,21
15 0,0311 9726,21
16 0,0330 9726,21
17 0,0350 9726,22
18 0,0369 9726,22
19 0,0389 9726,22
20 0,0390 9726,22
Anexo E – Valores da curva de pushover transversal dependente do modo
de vibração
Sistema MDOF (SAP 2000) Sistema SDOF
Passo Deslocamento (m) F basal (kN) d* (m) F* (kN)) Critérios de rotura
1 0,0011 1028,14 0,0009 829,68 Zonas de rótulas plásticas
2 0,0022 2056,28 0,0018 1659,35 P centrais topo
3 0,0033 3084,42 0,0027 2489,03 P extremidade -
4 0,0044 4112,56 0,0036 3318,70 STEP 10
5 0,0055 5140,70 0,0044 4148,38 d* = 0,0089
6 0,0066 6168,84 0,0053 4978,05 F* = 8037,10
7 0,0077 7196,99 0,0062 5807,73 P centrais topo e base
8 0,0088 8225,13 0,0071 6637,40 P extremidade -
9 0,0099 9253,27 0,0080 7467,08 STEP 12
10 0,0110 9959,65 0,0089 8037,10 d* = 0,0107
11 0,0121 10576,41 0,0098 8534,81 F* = 8926,44
12 0,0132 11061,72 0,0107 8926,44 P centrais topo e base
13 0,0143 11508,79 0,0115 9287,21 P extremidade topo
14 0,0154 11955,87 0,0124 9647,98 STEP 18
15 0,0165 12402,94 0,0133 10008,76 d* = 0,0160
16 0,0176 12850,01 0,0142 10369,53 F* = 11009,23
17 0,0187 13297,09 0,0151 10730,31 P centrais topo e base
18 0,0198 13642,74 0,0160 11009,23 P extremidade topo e base
19 0,0209 13976,51 0,0169 11278,58 STEP 21
20 0,0220 14310,28 0,0178 11547,92 d* = 0,0195
21 0,0231 14631,95 0,0186 11807,50 F* = 12036,85
22 0,0242 14916,17 0,0195 12036,85
23 0,0253 15200,38 0,0204 12266,20
24 0,0264 15484,60 0,0213 12495,55
25 0,0275 15768,81 0,0222 12724,90
26 0,0286 16053,03 0,0231 12954,26
27 0,0297 16337,24 0,0240 13183,61
28 0,0308 16621,46 0,0249 13412,96
29 0,0319 16905,67 0,0257 13642,31
30 0,0320 17189,89 0,0266 13871,66
31 0,0333 17276,50 0,0269 13941,56 Equação da recta de rigidez final prolongada até à origem
32 0,0367 18137,76 0,0296 14636,56
33 0,0400 18999,01 0,0323 15331,57
34 0,0433 19860,27 0,0350 16026,57 m = 258375,7
35 0,0467 20721,53 0,0377 16721,58 b = 6991,6
36 0,0500 21582,78 0,0403 17416,58 F* d*
37 0,0533 22444,04 0,0430 18111,59 6991,61 0,0000
38 0,0567 23305,30 0,0457 18806,59 9285,12 0,0089
39 0,0600 24166,55 0,0484 19501,60 9743,82 0,0107
40 0,0633 25027,81 0,0511 20196,61 11119,92 0,0160
41 0,0667 25889,06 0,0538 20891,61 12037,32 0,0195
42 0,0700 26750,32 0,0565 21586,62
43 0,0733 27611,58 0,0592 22281,62
44 0,0767 28472,83 0,0619 22976,63
45 0,0800 29334,09 0,0646 23671,63
46 0,0833 30195,35 0,0672 24366,64
47 0,0867 31056,60 0,0699 25061,64
48 0,0900 31917,86 0,0726 25756,65
49 0,0933 32779,12 0,0753 26451,65
50 0,0967 33640,37 0,0780 27146,66
51 0,1000 34501,63 0,0807 27841,66
Anexo F – Valores da curva de pushover transversal não dependente do
modo de vibração
Sistema MDOF (SAP 2000) Sistema SDOF
Passo Deslocamento (m) F basal (kN) d* (m) F* (kN) Critérios de rotura
1 0,0011 1368,184 0,0009 1104,08 Zonas de rótulas plásticas
2 0,0021 2736,367 0,0017 2208,16 P centrais topo
3 0,0032 4104,551 0,0026 3312,24 P extremidade -
4 0,0043 5472,734 0,0034 4416,31 STEP 10
5 0,0053 6840,918 0,0043 5520,39 d* = 0,0086
6 0,0064 8209,101 0,0052 6624,47 F* = 10786,22
7 0,0075 9577,285 0,0060 7728,55 P centrais topo e base
8 0,0085 10945,468 0,0069 8832,63 P extremidade -
9 0,0096 12313,652 0,0077 9936,71 STEP 12
10 0,0107 13366,373 0,0086 10786,22 d* = 0,0103
11 0,0117 14184,376 0,0095 11446,32 F* = 12034,64
12 0,0128 14913,428 0,0103 12034,64 P centrais topo e base
13 0,0139 15506,637 0,0112 12513,34 P extremidade topo
14 0,0149 16099,846 0,0121 12992,04 STEP 17
15 0,0160 16693,055 0,0129 13470,74 d* = 0,0146
16 0,0171 17286,264 0,0138 13949,44 F* = 14406,35
17 0,0181 17852,474 0,0146 14406,35 P centrais topo e base
18 0,0192 18292,312 0,0155 14761,28 P extremidade topo e base
19 0,0203 18732,150 0,0164 15116,22 STEP 21
20 0,0213 19171,988 0,0172 15471,15 d* = 0,0172
21 0,0224 19599,346 0,0181 15816,02 F* = 15471,15
22 0,0235 19973,128 0,0189 16117,65
23 0,0245 20346,910 0,0198 16419,28
24 0,0256 20720,692 0,0207 16720,91
25 0,0267 21094,474 0,0215 17022,54
26 0,0277 21468,256 0,0224 17324,17
27 0,0288 21842,038 0,0232 17625,80
28 0,0299 22215,819 0,0241 17927,42
29 0,0309 22589,601 0,0250 18229,05
30 0,0320 22963,383 0,0258 18530,68
31 0,0333 23430,564 0,0269 18907,68 Equação da recta de rigidez final
prolongada até à origem 32 0,0367 24598,633 0,0296 19850,28
33 0,0400 25766,702 0,0323 20792,87
34 0,0433 26934,770 0,0350 21735,46 m = 350386,9
35 0,0467 28102,839 0,0377 22678,05 b = 9482,8
36 0,0500 29270,907 0,0403 23620,64 F* d*
37 0,0533 30438,976 0,0430 24563,24 9482,76 0,0000
38 0,0567 31607,044 0,0457 25505,83 12498,86 0,0086
39 0,0600 32775,113 0,0484 26448,42 13101,97 0,0103
40 0,0633 33943,181 0,0511 27391,01 14609,87 0,0146
41 0,0667 35111,250 0,0538 28333,61 15514,68 0,0172
42 0,0700 36279,318 0,0565 29276,20
43 0,0733 37447,387 0,0592 30218,79
44 0,0767 38615,455 0,0619 31161,38
45 0,0800 39783,524 0,0646 32103,98
46 0,0833 40951,592 0,0672 33046,57
47 0,0867 42119,661 0,0699 33989,16
48 0,0900 43287,729 0,0726 34931,75
49 0,0933 44455,798 0,0753 35874,34
50 0,0967 45623,867 0,0780 36816,94
51 0,1000 46789,810 0,0807 37757,81
Anexo G – Acelerogramas artificiais e espectros correspondentes
