FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ENVOLVENDO RISCO

ESTUDO DE CASO

DETERMINAÇÃO DO PREÇO DE IMÓVEL EM LANÇAMENTO IMOBILIÁRIO

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À CONGREGAÇÃO DA ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA (EPGE)

PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE

DOUTOR EM ECONOMIA

POR

MANUEL JEREMIAS LEITE CALDAS

199303 164

T/EPGE C145a

11111 111111 li 1111111111111111 1000058191

RIO DE JANEIRO, RJ Janeiro, 1992

roNDACAO GETOUO VARGAS

TESE DE DOUTORADO APRESENTADA À EPGE

POR : _l~.t.!::.~ .... ~~.~.:t~:!/~ .... {~-:.'6: ... ~/.~

EM: _~l. ...... É..~ __ ._~l;,.R::~.~!!?_ ... # .. L .. í.. .~l_ ~ ~: ol3 0,4 902.

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

CAI X A POSTAL' 9 .052 - CEP 22253

AIO D E ,JAN E IRO · AJ - BRASIL

C I R C U L A R N 2 O 2

Assunto: Apresentação e defesa

pública de Tese Doutoral de

Economia.

CoTt\l,micamos formal mente à Congregação da Escola que está. mar'cada

para o dia 23 de janeiro de 1992 (5~ feira). às 15:30 horas. no Auditório

Eugêni o Gudin (102 andar), a apresentação da Tese de Doutorado ~m Economla

"An.à~i.s-e de Investimentos Envolvendo Risco: Estudo de Caso-Determ.inaçã o do

Preço de I m6ve~ em Lançament o Imobiliário", do candidato ao titulo o Sr.

Manoel Jeremias Leite Caldas.

A Banca Examinadora "ad hoc" designada pela Escola ser·á composta

pelos doutores: Carlos Ivan Simonsen Leal, Luiz Guilherme Schymura da

Oliveira. Clóvis de Faro e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang (Presidente).

Com esta convocação oficial da Congregação de Professores da

Escola. estão ainda convidados a participa rem desse ato acadêmico os

'al unos da EPGE. i nteressados da FGV e de outras i nsti tui ç25es.

Rio de Janeiro, 02 de janeiro de 1992.

~ / ' ---váhf~-~'

ARIO HENR~~ÓNSEN Diretor· da EPGE

<J: ..l

°v . /M. A . R. F. ~ ~

·1

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

CAIXA POSTAL 9052 - ZC - 02

RIO DE "}AN~IRO _ R.J _ BRASIL

LAUDO SOBRE TESE DOUTORAL

' Como integrante da Banca Examinadora, designado pela EPGE

para julgar a Tese de Doutorado, intitulada "Análise de Investimen­

tos Envolvendo Risco: Estudo de Caso-Determinação do Preço de Imó­

vel em Lançamento Imobiliário", do candidato ao título, Sr. Manoel

Jeremias Leite Caldas, apresento as ' seguintes ponderações que just1.

ficam meu parecer e voto:

1) A tese é original e trata de um tópico extremamente rele-

vante, a análise de investimentos envolvendo risco.

2) A utilização da teoria de opções para dar preço em imó-

veis é bastante interessante.

3) O candidato demonstra possuir um profundo conhecimento da -teoria de opçoes.

Assim e nessas condições, sou de parecer que a referida

Tese seja aprovado e outorgado o título pretendido pelo candidato e

autor deste trabalho.

EPGE/FGV

A - i Formato Intc rnad onuJ 210 x 297 mm

Rio de Janeiro, 23 de janeiro de 1992 . .

Il\t rjV\.~cAYl\uJr Lv (IA / lhe~me Sch mur .k de Oliveira

, rofessor ~ a EPGE e M~bro da Banca Examina ora

LAUDO soaRE TESE n00iORAL

CO MO in~Egrante da Banca ExaminadGra T designado oe 1a

EPGE para Julgar a Tese de Doutorado 7 intitulada ·An~lise de Invest i­

~~n tos Envolvendo ~isco: Estudo de Caso-DeteFminaç~o do Preço de I rrd -vel em Lançamento Imobili~rio·7 do candidato ao ~ ftulo 7 Sr. Manoe l

Jeremias Leite Caldas y a~resento as seguintes ponderaç5es que Just i ­

Çicam meu ~arecer e voto:

i) o caqdidato demonstra

d0 gr~u de d outor.

os conhecl@entos , .

necess".r I o ·:; "'. h+ ,." ct o" ... ençao

2) o trabalho a?resenta~D e M sua tese ~ extremamente in -t€ressante e traz UM Fnfoque novo para o problema do financiamento da

construçio de im6veis r mostrando a natureza hrbrida do in vestimen t0

e m im6veis. o qual se situa ~u~a r~gi~o cinzenta entre o investimen~n nu m at ivo real e u~a

absorvente a~licação ?r~tica_ I

Assi m P GPssas condiç5es 7 sou de parecpr que a re~Eri­

da T~se sej a aprov~dG ~ outor Snrl o o t ítu l 0 pretE~dídG pelo can d icctt0

e auto~ deste traba l ho_

Ivan Si Monsen Le~]

P~o;2ssor da EPGt e

23 de J~n€ ir o de 1992.

FUN()AÇÃO GETÚLIO VARGAS

CAIXA POSTAL 9 .052 - CEP 22253 RIO DE JANEIRO · RJ . BRASIL

LAUDO SOBRE TESE DE DOUT ORADO

1 •

COMO I NTEGRANTE DA BANCA EXAMINADORA, DESI GNADO PELA EPGE PARA

JULGI(IP i) TES E DE DO UTDF\rIDO:. I NTI TULpID A "ANt,LISE DE INVESTIMENTOS

ENVOLVENDO RISCO: ESTUDO DE CASO-DE TERMINAC~O ' DO PREÇO DE IMOVEL EM

L.ANCAMENTO I I~i08ILIARIO", DO c{'if~DID;'íTO AO TI TULO ~;R. MANOEL. JERErlIAS

OUT ORGADO O TITUL. O PRETENDIDO PELO CA ND IDATO E AUTOR DESTE TRABALHO.

RI O DE JANEIRO, 23 DE JANEIRO DE 19 92

~ C L O ~) :r ~3 D 1::----rAR. [I

EPGE/FGV PROF ESS OR DA EPGE

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

CAIXA POSTAL 9.052 - CEP 22253

R IO OE .,JAN E IRO · RJ * BRASIL

LAUDO SOBRE TESE DOUTORAL

Como integrante da Banca Examin~dora7 designado pela

EPGE para Julgar a Tese de Doutorado r intitulatia ·An~] ise de In vesti­

mentos Envolvendo Risco: Es~tido de Caso-Determ"naçio do Preço de Im6-vel em Lançamento Imnbili~rjo·7 do candi~ato ao t ftulo r Sr. Mano21

Jerelll i as Le i te Cal d as 7 a? resent o as segu i nt es ?onderações Cllt2 j ust i ­

fica m meu parecer e voto:

i) A tese t-ata de uma a?~icaçio de duas teorias recentes aos lançamentos irnobi i~rios: a teoria do investimento corno o~çio e a

teoria das o?ç5es iteradas.

2) A observ~ç~o de que um lançamento i~obili~riQ cont~m

Fstas duas caractprrsticas ~ nDV~ p extrpmampntp intpFPssantp.

3) A descoberta que o lanç~mento imQbili~rio

]0 aluno s~gue o ~odelo 7 ~ de grande interess2 t~6ricn u m dos raros casos em que o modelo econ6mico tem grand~ realidade.

est 11d ~r' ü ?~--

'" ' € ? r- ~.: I c o. E

a:ierênc.ia a

Assim p nessas condiç5ps 7 sou d p parpcer que a re~Eri­

da Tese s2"a aprovado e outo~gado o t[t1llo pret~n~ido pelo candid~tn e autor deste trabaIho.

Rio de Jctneiro 7 de J~neiFo de '992.

/;a t;~w~ .t:-~~ ~ ~J';, 10 ." bc .. o "" Co,t o " "C .o .. g

EPGE/FGV Professor da EP G~ e ~resid~nte

da Banca Examinadora

AGRADECIMENTOS

A minha esposa, Jadir.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho contou com o suporte do Prêmio LOSANGO

de Apoio a Teses em Economia e IPEA cuja iniciativa de amparo à

produção acadêmica será sempre benvinda a esta Escola.

Gostaria de manisfestar apreço e estima pelos colegas

e professores da Escola de Pós-Graduação em Economia da

Fundação Getulio Vargas que, ao longo destes três anos, me

estimularam nesse processo de aperfeiçoamento profissional no

âmbito de uma ciência tão excitante como a Economia.

Ao professor Sergio Ribeiro da Costa Werlang, pelo

constante incentivo e orientação que me dispensou na elaboração

deste trabalho, os agradecimentos sinceros deste seu aluno.

Agradeço, ainda, aos professores Clóvis José D. L. D.

de Faro, Carlos Ivan Simonsen Leal e Luiz Guilherme Schymura de

Oliveira pelos valiosos comentários e sugestões apresentadas.

Louvo, ainda, o esforço de meus pais pela difícil

missão de empenhar-se pela educação formal de seus filhos, num

pais onde a educação ainda é um bem escasso.

Por fim, gostaria de expressar reconhecimento

especial a minha esposa, Jadir e filha, Juliana, pelo apoio,

estímulo constante e compreensão, sobretudo nas horas de lazer

furtadas, para a conclusão deste curso e Tese.

ÍNDICE

página

INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO I - RETROSPECTIVA HISTÓRICA 13

CAPÍTULO II - INVESTIMENTO É RISCO E OpçÃO 31

, CAPITULO III - OPÇAO SEQUENCIAL 51

, '" CAPITULO IV - EVIDENCIA EMPIRICA 70

APÊNDICE 77

Processo Estocástico 77

Processo Estocástico Wiener 77

Integral Estocástica 78

Processo de Difusão dos Imóveis 78

Cálculo das Integrais 79

Expansão do Modelo de Opções 83

Propriedades Estatísticas 91

Demonstração por Indução 92

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 102

I

ÍNDICE DE TABELAS E FIGURAS

Tabela 1 - Volatilidade Mensal - Imóveis

Figura 1 - Função de Densidade de probabilidade

da Normal

11

página

74

81

"\\.. \\.'" \\ .... \\ .... \\::::;;" 1\ ...... \1 ·\\····'1' 1\ \1 I\·····:';;:::;r " .. _) ... :: .. :: .......... :: ....................... :: .... :::::: .... : .. ::::: ...... :::::: ..... :::!::::...~~ ..... ~~~::~.

A avaliação tradicional de projetos de investimentos

em ativos reais, feita através do valor atual de um fluxo de

caixa, é imprecisa. Ao se descontar, simplesmente, o fluxo de

caixa a uma taxa de juros que representa o custo alternativo de

oportunidade do capital, deixa-se de levar em consideração va-

riáveis (riscos) que poderão afetar o valor do projeto e, desta

forma, a decisão de investir - ver Mc Donald e Siegel (1986).

A possibilidade de utilizar urna taxa de desconto em-

butindo um prêmio ajustado ao risco do projeto também não re-

flete a influência e ou sensibilidade do valor do projeto ao

risco, além de acrescentar elementos, que não sendo observados,

devem ser estimados. Essa metodologia aplica-se a projetos de

investimentos que nao antecipam mudanças nos estados do mundo

ao longo do tempo. Para urna melhor entendimento desta, ver Fama

(1977).

Corno ilustração das falhas abordadas na utilização do

"NPV" - Método do Valor Presente para avaliação de investimen-

tos são descritas dois casos reais, além do caso especffico a-

2

nalisado na tese.

Usa-se urna taxa de desconto para apuração do valor

presente dos investimentos a serem realizados em um prazo de 6

a 10 anos no setor elétrico brasileiro, determinando o custo

marginal de longo prazo de produção e, conseqUentemente, o va­

lor da tarifa marginal de referência de produção. Esta metodo­

logia é imprecisa ao desconsiderar urna medida de risco e arbi­

trar urna taxa fixa de recuperação do capital sem olhar para a­

locaçoes alternativas.

A avaliação de reservas petrol:í.feras, empregando o

"NPV" - Método do Valor Presente falha ao desconsiderar a natu-

reza estocástica dos preços do petróleo. O valor esperado de

preços futuros do óleo pode levar a erros de decisão de inves­

timento. A dispersão do preço do petróleo é um fator relevante

na análise de regioes petrol{feras e modificadora do seu valor

econômico. Assim, os métodos de valor atual que não embutem urna

medida de risco deste processo estocástico ficam prejudicados.

A preocupação inicial foi desenvolver um modelo que

pudesse determinar o preço de imóveis, em particular o valor do

sinal + escritura, na compra de imóveis em processo de constru-

ção. Dependendo do percentual que este sinal representasse no

preço total, a alavancagem aumentava; conseqUentemente, o risco

3

associado à posição tomada pelo comprador deste tipo de ativo

(imóveis em construção) também aumentava. À compra de imóveis

em construção ou de qualquer outro tipo de ativo que tivesse

estrutura de um fluxo de caixa a desembolsar, no futuro, asso-

ciou-se a uma opção de compra (call). Com esta associação, con-

sidera-se que cada pagamento ou desembolso do fluxo de caixa

assumido na compra do imóvel equivaleria ao exercício de uma

opção, que dá o direito a continuar pagando o restante do fluxo

de caixa até a última prestaçao, resultando na efetiva proprie-

dade sobre o imóvel.

Em geral, no lançamento de imóveis o preço deste é

representado por um fluxo de caixa.

'1:'-:1.

:!:::::i; t + 11:::::::: t + :1. +:::::: I[)! s + 11::::::" r onde ( 1 ) s=t+~;:~

Et escritura em t+l

Pt = fluxo de caixa do ativo em t (lançamento imobiliário)

St sinal no lançamento

Qs = prestações financiadas durante a construção do lançamento

imobiliário, s = t+~;:~, t+;·:~, ... , r-i

F1~ = financiamento assumido pelo comprador na entrega das

chaves.

Obs: O preço à vista na data t sera o valor presente deste flu-

4

xo de pagamentos, descontado a uma taxa de juros de 12%. Esta

taxa é a normalmente utilizada pelas construtoras. Pode-se ne-

gociar um deságio suplementar para pagamento à vista (em geral

limitado a 15%).

Desenvolve-se um modelo geral para análise de inves­

timentos com as seguinte caracter:!. sticas: i) Considera-se um

projeto de investimento em um determinado ativo real que segue

um processo estocástico conhecido; ii) A decisão de investimen-

to e o desembolso do fluxo de caixa são feitos seqUencialmente

no tempo; iii) Existe um limite de despesa congruente com o pe­

riodo de construção- leva-se tempo para construir; iv) O proje­

to só fornece efetivo retorno de caixa depois de completo, ver

Majd-Pindyck (1987). O retorno aqui seria um fluxo de renda

proveniente da utilização do mesmo e não um ganho de capital

oriundo de uma poss{vel valorização do investimento.

As caracteristicas colocadas acima permitem que se

utilize um instrumento precioso da teoria de finanças: a

"opção" - ativo financeiro que dá o direito ao detentor de, num

tempo determinado, adquirir um ativo por um preço pré-estabeci­

do. Pode-se ressaltar que a opção dá o direito e não a imposi­

ção, permitindo uma flexibilidade no ritmo de gastos previsto

no projeto.

5

o objetivo é determinar se os preços de ativos reais

(imóveis em lançamento) seguem o modelo de opções de

Black-Scholes expandido para um modelo com n datas de

cios.

Considera-se a compra de um imóvel corno uma seqüência

de opções, que devem ser exercidas, ou não, sequencialmente.

Logo o comprador tem sempre a opção de continuar pagando ou de-

sistir, perdendo, às vezes não, as parcelas já desembolsadas.

Esta decisao deve estar ligada, efetivamente, ao va-

lor dos imóveis já prontos com as mesmas características, des-

contado o fluxo de dividendos (aluguel) até a entrega das cha-

ves, ao saldo devedor restante e outras variáveis, como custo

de oportunidade, risco e tempo de exercício das opções.

o modelo pode ser estendido para análise de investi-

mento em qualquer ativo real ou financeiro que tenha a mesma

estrutura de fluxo de caixa.

Dada a semelhança com opções de compra de ações, e

considerando o modelo de Black-Scholes que fornece o prêmio de

uma opção de compra (call), associado a certas hipóteses quanto

ao comportamento do mercado acionário, adota-se tal formulação,

para modelar a compra de imóveis em construção.

A hipótese básica do modelo de Black-Scholes é que os

6

agentes econômicos sentem-se melhor com mais renda do que com

menos renda.

IF=-::t rendas futuras de um indivl. duo na data teU ( ') uma função

de utilidade.

o modelo de Black-Scholes baseia-se em possibilidades

de arbitragem entre duas carteiras montadas de forma que tenham

o mesmo valor nas possíveis realizaçóes futuras dos estados do

mundo.

Nosso problema assemelha-se a uma opção de compra de

uma ação, quando o investidor tem o direito de, numa data espe­

cificada, comprar ou não uma ação a um preço determinado, inde­

pendentemente do preço à vista da ação. Logicamente, o investi­

dor exercerá este direito caso o preço de exercício pactuado na

opção seja inferior ao preço da ação no mercado à vista de a­

çóes.

No caso da compra de um imóvel com uma estrutura de

financiamento e sinal pré-determinados, o sinal representa uma

opção de compra do imóvel, sendo que a cada amortização do fi-

nanciamento, durante a construção do imóvel, exerce-se ou não o

direito de compra. Dessa forma, o modelo terá n datas e preços

de exerc:l.cios.

A solução surgiu ao perceber-se o tratamento dado por

7

Geske (1977) em "The valuation of compound option" , onde trata

a ação de uma firma alavancada com uma dívida, vincenda numa

data determinada, como uma opção de compra de uma firma.

A avaliação de oportunidades de trocas seqUenciais

utilizada em Carr (1988) facilitou em muito o desenvolvimento

ora proposto e que já encontrava-se em andamento, a de analisar

a venda de imóveis como uma seqUência de opções.

A formulação do modelo para imóveis é feita de forma

semelhante, colocando o preço em diversas opções, caminhando da

opçao final para a opção inicial, de forma seqUencial.

Utilizando esta regra, chega-se a uma fórmula para o

sinal na compra de imóveis semelhante à fórmula encontrada por

Black-Scholes, para opções de compra "call". A diferença con­

siste na substituição da função de distribuição de probabilida­

de normal pela normal multivariada. Quanto às variáveis deter­

minantes, onde aparece o preço de exercício da opção, alocam-se

as ~ prestações do fluxo de caixa ou o valor do ativo (imóvel),

a partir do qual o investidor fica indiferente entre exercer as

n opções, nas respectivas datas de exercícios, e/ou desistir.

Desta forma, o modelo determina o prêmio, sinal na

compra de um imóvel, baseado na possibilidade de arbitragem,

caso o mercado seja eficiente e as hipóteses básicas também se-

8

jam verificadas. o modelo é geral, podendo ser utilizado para

quaisquer tipos de ativos reais, que tenham fluxos de caixa com

o mesmo tipo de estrutura.

Esta abordagem, considerando a decisão de investimen­

to como uma opção, flexibiliza e torna mais real a ação do in­

vestidor. As conseqüências desta modelagem no comportamento do

investimento agregado são expostas através de novas correntes

de pensamento. Tenta-se justificar as flutuações da função in-

vestimento agregado ao incorporar o comportamento do investidor

diante da incerteza na economia.

A seqüência nos gastos de investimentos e ou a reso-

lução de incerteza no processo econômico, para a tomada de de­

cisão de investir, devem ser ponderadas. Análise de artigos re­

centes seguem as seguintes linhas de pesquisas.

12) Projetos de investimentos com despesas seqüen­

ciais, utilizando modelos de avaliação que realçam regras de

ganho de informações. Nesta formulação, cada estágio do pro-

jeto fornece informações que podem reduzir a incerteza sobre o

valor do projeto completo, novas tecnologias por exemplo. Esta

análise é comum em projetos de Pesquisa e Desenvolvimento

(P&D), onde a regra do aprendizado é cr:( tica. Assim, desde que

projetos podem parar no meio do fluxo de caixa, pode-se também

9

pagar para ir à frente com os estágios iniciais, embora o valor

presentel:í.quido (NPV) "ex-ante" do projeto seja negativo.

2~) "Waiting Option" A análise do valor de projetos

de investimentos é realizada considerando informações que che-

gam independentes do fluxo de caixa. Neste modelo, o projeto

envolve uma despesa única e não existe tempo para construir,

contudo o gasto no investimento é irreversivel. Mostra-se que

com a incerteza sobre o projeto e, ou a economia, existe um in-

centivo (prêmio - "option value") para ganhar informações, a­

diando o investimento no projeto até obter-se a resolução da

incerteza na economia.

3H ) Os projetos de investimentos em ativos reais con­

siderados irrevers{veis, que por hip6tese seguem um processo

estocástico, também realçam um valor de opção para postergar

investimentos, mas não como meio de acumulação de informações

ou resolução de incerteza da economia. A despesa para completar

o projeto de investimento tem um valor de mercado consistente

com o equil{brio do mercado de capitais. Este valor flutua es-

tocasticamente com o tempo (independente dos gastos de

investimentos), tornando desconhecido o valor futuro do projeto

pronto. O acesso à oportunidade de investimento é análogo à re­

tenção de uma seqUência de opções, sendo o exercício de cada

la

opção equivalente a fazer um gasto (despesa) de investimento.

Em todos os termos da seqUência, simultaneamente ao crescimento

do risco aumenta-se o incentivo ao atraso das despesas de in-

vestimento. Ressalte-se ainda que o gasto só é feito quando o

valor do projeto excede os custos de um montante positivo.

Finalmente, dada a motivação inicial da análise de

investimentos envolvendo risco e seus possíveis desdobramentos,

apresenta-se o desenvolvimento da tese ao longo de 4 capítulos.

No primeiro capitulo, caracterizam-se as oportunidades (opçóes)

de investimento apresentando uma retrospectiva de artigos fun-

damentais, a partir do de Black-Scholes (1973), que utiliza ar-

bitragens para determinação do preço de opções. Em seguida, é

adicionado a idéia de avaliação de projetos de investimentos em

ativos reais, oriunda de artigos mais recentes, empregando o

conceito de opção. Esta linha abre novas fronteiras na otimiza-

ção das decisões de investimento, abordando o conceito de

"waiting option" e regras ótimas para parâmetros observáveis. A

sensibilidade ao tempo de construção, "time to building" , I e

verificada. A flexibilidade nas decisões de despesas sequen-

ciais de investimento é comentada, sendo que o projeto não tem

retorno durante a construção.

11

No capitulo seguinte, as oportunidades seqUenciais de

troca de um ativo por outro ativo, representado por um fluxo de

caixa, são avaliadas, a partir de um modelo com certo número de

hipóteses, Carr (1988), obtendo-se algumas propriedades gerais.

Incluem-se hipóteses sobre a distribuição dos preços dos ativos

envolvidos nas opções de opções (opções sequenciais). A partir

deste, extrai-se o preço da opção encontrado em Black-Scholes

(1973) e o preço de Geske (1977) para opção de opção, "compound

option" .

No terceiro capitulo, expande-se o modelo para ava­

liaçao de uma seqUência de gastos de investimentos, necessários

ao desenvolvimento do projeto/montagem/operação de um ativo.

Estuda-se a influência da variação da taxa de inflação nos va-

lores real e nominal do ativo, dos custos de transação e do im­

posto, na revenda do ativo. No caso de imóveis sensibilidade do

sinal (prêmio) a variações das diversas variáveis que determi­

nam esta opção seqUencial é analisada. Assim, estudam-se as se-

guintes variações:

- Prestações intermediárias e chaves

- Data de vencimento das prestações e chaves

- periodo de construção

- Taxa de juros

12

- Preço à vista do imóvel

- Volatilidade do preço à vista do imóvel e

indexador considerado

Por último, prova-se que no caso de inexistir risco,

a fórmula para avaliar a oportunidade de investimento (prêmio

de uma opção seqüencial) converge para o valor atual de um flu-

xo de caixa determinístico equivalente.

No capítulo final, avalia-se o sinal teórico na com­

pra de um imóvel em construção, comparando com o sinal realiza­

do em lançamento imobiliário. Dados históricos de lançamento de

imóveis (preço à vista, sinal e estrutura de financiamento) são

empregados para o teste emp:( rico da teoria de opções, veri­

ficando se esta reflete a realidade do mercado imobiliário.

iI::::~:: 1(:::,III:::::'::: .. ·I1 .... II .... ..11I1 ........ I[]I:11..

.1" RETRDSPEC7IVA HXSTDRXCA

As oportunidades ce investimento que dependem do va-

lor de um determinado tipo ce ativo em geral podem ser analisa-

das como uma opção. Os =lanos de investimentos projetos /

contratos ) especificam as ~ipóteses (condições / cláusulas)

que regem essas oportunidades, determinando implicitamente as

condições de contorno, necessárias à resolução de problemas que

envolvem a teoria de opçoes.

Muitos destes con~~atos têm uma natureza seqUencial,

onde oportunidades futuras são disponíveis somente se as opor-

tunidades presentes são efe~~vadas.

Black & Scholes (:973), em artigo profundamente ori-

ginal, deduziram uma fórmula para colocação de preço em uma op-

ção de compra de ação usa~jo a teoria de arbitragem para dois

ativos idênticos ou substitu~os perfeitos.

Black & Scholes exolicitaram ainda que a grande maio-

ria de ativos financeiros pcderiam beneficiar-se desta modela-

gem para determinação de seus preços, considerando inclusive a

possibilidade de uma ação ser vista como uma opção sobre o va-

13

14

lor da firma em relaçao a seus débitos.

Geske (1977) utiliza a teoria de opções e desenvolve

uma fórmula que dá o preço de uma opçao de uma açao, quando a

açao é vista como uma opçao do valor da firma. Dessa forma,

consideram-se os efeitos de alavancagem financeira das firmas.

o valor de face dos t:1. tulos que determinam a d:1. vida da firma

representa o preço de exerc:( cio da opçao impl:í. cita que os acio-

nistas detêm.

o modelo desenvolvido por Black & Scholes leva em

consideraçao algumas hipóteses implicitas, sendo que uma delas

nao é observada no modelo de Geske: a de que a • A • varlanCla ins-

ta~tânea da taxa de retorno do preço de uma açao seja constan-

te. Por outro lado, Geske introduz a hipótese adicional de que

o valor da firma segue um processo estocástico cuja variância

instantânea da taxa de retorno é constante. Se a alavancagem

financeira altera o nivel de risco total da firma e se o merca-

do reavalia continuamente a firma, a fórmula derivada por Geske

tem propriedades adicionais, mantendo as propriedades desejá-

veis da fórmula de Black & Scholes e convergindo para ela, caso

esses efeitos financeiros sejam desprezados.

Recentemente, Peter Carr (1988), utilizando a teoria

de opções na formulaçao mais abrangente, avaliou oportunidades

15

seqUenciais de investimento deduzindo uma fórmula que generali-

za muito resultados obtidos anteriormente.

Mac Donald e Siegel (1985) desenvolveram metodologia

para avaliar projetos de investimentos arriscados, onde existe

uma opção temporária e sem custo de paralisar no curto prazo a

produção, quando custos variáveis excedem receitas operacio­

nais. Obviamente o fluxo de caixa operacional líquido futuro

deve ser incerto, de modo a afetar a decisão de investimentos.

A incerteza no modelo é introduzida considerando-se que preços

e custos seguem um processo estocástico cont:í. nuo no tempo. Os

autores sugerem a utilizaçao de preços observados nos mercados

futuros para avaliação de projetos. O modelo explicita a opção

de paralisação e encontra um resultado que difere dos obtidos

por outros autores que estudaram a avaliação de projetos arris-

cados e o modelo de opção de ações, qual seja, o aumento da va­

riância da taxa de crescimento do preço do produto (ativo) pode

aumentar ou diminuir o valor do projeto. Um crescimento da va­

riabilidade do preço do produto aumenta o lucro futuro espera-

do, mas pode diminuir o valor presente dos direitos sobre os

lucros futuros. O efeito liquido depende da covariância do flu-

xo de caixa do projeto com outros fluxos de caixa incertos na

economia (mercado). Empreender projetos que são altamente cor-

16

relacionados com outros na economia adiciona o risco do portfo-

lio de mercado e tais projetos poderão ter um valor de opção

(prêmio) menor.

o ativo com baixa covariância positiva com o portfo-

lio de mercado pode, com o crescimento da variância, aumentar o

valor do projeto, por ser dominante o aumento dos lucros futu-

ros esperados.

Em outro artigo Mac Donald e Siegel (1986) analisam o

tempo 6timo do investimento num projeto irreversivel onde os

beneficios e custos seguem um processo estocástico. Uma regra

para investir e o valor da opção são derivadas para investido-

res avessos ao risco. Simulações mostram que o valor de opção é

significante e que, para parâmetros razoáveis, é 6timo esperar

até que os beneficios representem duas vezes os custos de in-

vestimentos. Computa-se também a perda do valor da firma ao em-

preender um projeto no tempo indevido.

o investimento é feito de uma s6 vez. A análise igno-

ra a possibilidade de o investimento ser revertido. A decisão

para construir a planta I e irreversivel, não podendo ela ser

usada para outro fim. A decisão de adiar a construção, no

entanto, é revers:l.vel. Esta assimetria, quando apropriadamente

levada em conta, produz uma regra: "O projeto é efetivado

17

quando os benef:( cios excedem os custos de um montante

positivo". O artigo determina urna regra para oportunidades de

investimentos que são infinitas. O projeto deve ser

implementado quando a relação entre o valor do projeto (V) e os

custos de implantação (F) excede um valor que depende somente

de parâmetros (taxa de retorno, variância e taxa de desconto).

O cálculo correto envolve a comparação do valor do investimento

atual com o valor presente dos investimentos em todos os

períodos possíveis no futuro ( "waiting option") . É uma

comparação de alternativas mutuamente exclusivas. A firma co-

nhece o valor presente do fluxo de caixa liquido futuro, caso

instale o projeto imediatamente. Contudo, o valor presente pode

ser diferente caso o projeto se instale no futuro.

Ambos os valores, da opção de investimento e do nível

V/F para a qual o projeto deve ocorrer, são funções crescentes

da variância da razão V/F. A razão disto é bem conhecida. Um

aumento na variância cresce a amplitude ("spread") dos valores

futuros possíveis de V/F e daí urna possibilidade maior de ga­

nho, enquanto deixa invariável a perda máxima possível. A va-

riância (cr) relevante é a da relação (V/F). Um crescimento da

variância de V (av ) e da variância de F (af), com uma queda da

correlação entre V e F (rvf)' se positiva, aumenta o valor da

18

opçao de investimento. O valor de se desfazer de um projeto

também é considerado, e o proprietário se desfaz do mesmo quan-

do o valor do projeto é menor do que o "scrap value" mais um

montante positivo. Por esperar, a firma pode beneficiar-se do

crescimento de (V-F), mas protege-se contra sua queda.

Pindyck e Majd (1987) desenvolvem um modelo onde o

investimento é caracterizado pela sequência, no tempo, das de-

cisões e gastos de investimento à taxa máxima de construção e

despesa que se pode fazer num per:( odo de tempo em que o projeto

não fornece nenhum retorno de caixa, até se completar.

A taxa sob a qual a construção se desenvolve é flexí-

vel, podendo ser ajustada com a chegada de novas informações.

Os métodos de fluxos de caixa descontados (NPV), que tratam os

padrões de investimentos como fixos, ignoram esta flexibilidade

e subestimam o valor do projeto. Utilizando instrumentos de a-

nálise de direitos condicionados, derivam-se regras de decisões

ótimas e avaliaçoes de tais investimentos. Mostra-se como o va-

lor do programa e a decisão de investimentos dependem da taxa

I •

maXlma em que os gastos podem produtivamente ser realizados.

Determina-se o efeito do tempo de construir e o custo de opor-

tunidade interagindo com a incerteza na decisão do investimen-

to, afetando os gastos, e como o efeito depressivo de cresci-

19

mento da incerteza nos gastos de investimentos é magnificado.

Para valores razoáveis de parâmetros, mostra-se como uma regra

simples de NPV pode gerar erros grosseiros.

o caminho seguido em Pindyck e Majd(1987) estabelece

que uma série de despesas deve ser feita seqüencialmente e não

pode exceder uma taxa máxima (tempo de construir), sendo o pro­

jeto visto como uma "compound option", onde cada unidade de in­

vestimento compra uma opção da próxima unidade de investimento.

O valor de mercado da fábrica completa (V) segue, du-

rante o per{odo de construção e, posteriormente, um processo

estocástico de Wiener, adicionando um termo 5 (dV = (~-5).V.dt

+ cr.V.dz), que representa o custo de oportunidade de atrasar o

término do projeto.

Considerando a fábrica pronta, o termo 5 pode repre­

sentar a taxa de investimentos futuros necessários para manter

a fábrica indefinidamente operando. O investimento é completa­

mente irrevers{vel (capital no lugar não tem uso alternativo e,

por consequinte, o "valor de recuperação" é zero).

Para ver como a restrição de tempo para construir a­

feta a decisão de investir, deve-se determinar o valor de mer­

cado do programa de investimento total. Este valor de mercado é

o que uma firma maximizadora de lucro deverá pagar para o di-

20

reito de I empreender o programa. Ele corresponde ao programa 0-

timo de despesas de investimento. Caracteriza-se esta decisão

de investimento como um problema de controle ótimo. Existem

duas variáveis de estado. O montante remanescente do investi-

mento para completar, ~ e o valor corrente de mercado da fábri-

ca, V. A variável de controle é a taxa de investimento I. O

problema é escolher a regra de controle r*(V,K) que maximiza o

valor de programa de investimento. r*(V,K) é simplesmente a re-

gra que determina a taxa de investimento ótimo, dados ~ e K.

Ela é sujeita ~ restrição O < r*(V,K) < K, onde K é a taxa I ma-

xima de investimento. Como não existem custos de ajustamentos

associados com a variação do n{vel de investimento, o problema

tem uma solução tudo ou nada (bang-bang). O nível de investi-

menta instantâneo deverá ser O (zero) ou K. Em resumo, a regra

de decisão ótima reduz-se ao valor de corte, V*(K), do programa

ótimo, devendo o investimento ocorrer ~ taxa máxima K para V ~

V*, pois não existe investimento de outra forma. Como podemos

ver, a regra de decisão ótima V*(K) é determinada simultanea-

mente com o valor corrente de mercado do programa de investi-

mentos.

Como o valor de mercado da fábrica pronta inclui o

valor subsequente de opções operacionais, o valor destas opções

21

devem ser incluídas no cálculo de V. Pode-se ter a opção de pa-

ralisação (temporária ou permanente). Então, o cálculo pode en-

volver uma análise mais complicada de fluxo de caixa desconta-

do. O enfoque de preços de opçoes fornece uma equação de ava-

liação relacionando o valor do programa de investimento r*(V,K)

e o valor da fábrica, V.

Pindyck e Majd utiliza um exemplo numérico, analisan-

do a sensibilidade de decisão de investimento com relação aos

parâmetros riscos, custo de oportunidade e taxa máxima de cons-

trução. Esta decisão é sumarizada pela influência dos A parame-

tros no valor crítico V*(K).

A única razao para investir um valor ~ em cruzeiros é

o custo de oportunidade ~, que no projeto considerado de vida

infinita representa um fluxo de caixa inevitável durante o pe-

ríodo de construção. Por não ser obrigado a exercer a opção de

investir, a incerteza maior sobre os ganhos futuros pode repre-

sentar somente um crescimento do valor dos direitos e do incen-

tivo de retê-la, ao invés de exercê-la.

A dependência do valor crítico V*(K) em rlação ao

custo de oportunidade 6 é menos 6bvio. Podemos esperar que um

alto custo de oportunidade de atrasar o projeto poderá reduzir

o valor crítico, V*(K), e crescer o incentivo a investir. Este

22

deverá realmente ser o caso de um projeto construído instanta-

neamente, corno no modelo de Mac Donald e Siegel, (1986). Mas o

fato de que leva-se tempo para construir, "time to build", o

projeto cria um efeito contrário. O ganho do projeto, V, é ob­

tido quando o projeto está completo e deve ser ajustado ao flu­

xo de caixa inevitável durante a construção. dV/V = (~-5).dt +

b.dz Portanto, o tempo para construir diminui o valor do ganho

do projeto completo e, como b cresce, ele reduz-se de um grande

montante. Isto restringe o incentivo para investir, crescendo o

valor cr:í. tico corrente, v* (K). O artigo exemplif ica o caso onde

o segundo efeito predomina para determinados níveis de riscos

(cr). V*(K) cresce quando o custo de oportunidade b cresce de

0,06 para 0,12, e o caso contrário quando b cresce de 0,03 para

0,06.

é ótil calcular o valor critico liquido do valor pre­

sente do fluxo esperado do custo de oportunidade (bV), inevitá­

vel (aluguel), durante a construção. Supondo-se que os gastos

são feitos a taxa máxima ~. Este é representado por v**, onde a

representa o custo de oportunidade

(p.ex. aluguel) do ativo ~ em operação até o instante t = (K/k)

e o termo (e-~·t) traz a valor presente.

23

.K/k

v** v* - v*.e- 5K / k

o

ou

Para investimentos com pequenos custos de oportunida­

de, 5, a taxa máxima de construção não afeta a decisão de cons-

truir. Entretanto, para projetos com altos custos de oportuni­

dade, a taxa máxima de investimento é relevante na decisão do

investidor, quando trabalhamos com V*. Todavia ao empregar V**

líquido do custo de oportunidade (valor presente), durante a

construção, o tempo de construir não é sensível. Então, tempo

para construir é mais importante para decisões de investimento

nos ativos com retorno no fluxo de dividendos do que a aprecia-

ção do preço do capital.

Pindyck e Majd concluem que os efeitos do tempo de

construir são maiores quando a incerteza é maior, quando o cus­

to de oportunidade de atrasar é maior e quando a taxa máxima de

construção é menor. Embora as hipóteses espec:í. ficas do modelo

possam não ser satisfeitas em muitas ocasiões, acredita-se que

os resultados qualitativos tendem por manter-se. Em particular,

incerteza tem um efeito que é provavelmente aumentado quando e­

xiste tempo para construir. O enfoque do artigo é a decisão de

24

investimento sob o ponto de vista da firma; entretanto o resul­

tado também tem implicações no comportamento dos gastos agrega­

dos de investimentos em função do risco da economia. Como nos

modelos de Bernanke (1985), Cukierman (1980) e Mac Donald e

Siegel (1985), nota-se que as decisões de investimentos podem

ser extremamente sens:{veis ao nlvel de risco ( que pode ser me­

dido pelo parâmetro cr ). Realmente, esta grande sensibilidade

deve-se à flexibilidade que a firma tem em fazer despesas de

investimentos sequenciais, sendo que nos modelos de Bernanke e

Cukierman isto decorre da reduçao da incerteza que resulta de

aprendizado. Por diferentes razões, o resultado reforça a visão

que as despesas de investimentos agregados são sensíveis a va­

riações do risco percebido na economia.

Baldwin (1982) analisa o problema do tempo de inves-

timento sob neutralidade ao risco, obtendo resultados semelhan-

tes aos encontrados por Mac Donald e Siegel (1985).

Bernanke (1985) adicionou um aprendizado "bayesiano" ,

em que os investidores nao aprendem somente com o valor de es-

perar ("waiting option"), mas com o aprendizado do processo es­

tocástico. Apresenta uma discussão de artigos anteriores tra-

tando a irreversibilidade e suas relações com modelo de opções

financeiras.

25

Paddock, Siegel e Smith (1986) utilizam a teoria de

opçoes para avaliação de direitos em ativos reais, estudando o

caso de reservas não exploradas de petróleo no golfo do México.

O proprietário do arrendamento de uma região não explorada de

petróleo tem três estágios bem definidos, até a extração de hi­

drocarbonetos (petróleo) do subsolo: exploração, desenvolvimen­

to e extração. O primeiro estágio, o de exploração, envolve a­

tividades sismicas e de perfuração para obter informações da

quantidade presente de reservas de hidrocarbonetos e os custos

de extração. Se os resultados da exploração são favoráveis, a

firma pode proceder ao segundo estágio, o de desenvolvimento,

que resulta na colocação dos equipamentos. Os gastos deste es-

tágio convertem reservas não desenvolvidas em reservas desen-

volvidas. O terceiro estágio é a fase final de extração.

Podemos empregar o conceito de opção para caracteri­

zação dos três estágios existentes, quando a firma decide con­

correr à compra de uma região de petróleo, que é ofertada pelo

governo americano por um prazo pré-determinado, em geral de 5

anos.

O estágio de exploração consiste na opção de fazer os

gastos de exploração e receber as reservas não desenvolvidas. O

proprietário está sujeito à obrigação de abandonar a região se

26

não a explorar nem a desenvolver até uma data determinada. A

diferença é que a incerteza primária no estágio da exploração é

a quantidade de hidrocarbonetos. Esta é resolvida ao executar a

fase da exploração. Adicionalmente, nesta fase resolve-se a de­

terminação dos custos de desenvolvimento. Assim, o estágio da

exploração é a opção de gastar o custo de exploração esperado e

receber o valor esperado das reservas não desenvolvidas.

No segundo estágio tem-se a opção de pagar (gastar)

os custos de desenvolvimento e possuir agora as reservas desen-

volvidas. Considerando o tempo para o desenvolvimento das re-

servas, a velocidade e a quantidade do desenvolvimento podem

variar com a chegada de novas informações. A incerteza é dada

pelo preço do óleo cru.

A fase final de extração é a opção de tornar as re­

servas desenvolvidas em petróleo comercializado. A avaliação

das reservas desenvolvidas requer hipóteses sobre qualidade do

óleo, taxa de extração futura, custos operacionais, impostos,

direitos de propriedade de patentes e preços dos hidrocarbone­

tos.

Uma firma pode observar o valor de mercado de reser-

vas desenvolvidas similares. Existem mercados secundários ati-

vos em propriedades contendo reservas desenvolvidas, de modo

27

que as firmas conhecem ou podem determinar, com tolerância ra­

zoável, o valor de mercado de determinadas quantidades e tipos

de reservas desenvolvidas. Adicionalmente, são os custos de ex-

ploração e os custos de desenvolvimento os parâmetros de maior

variabilidade através de regiões. Assim é o preço dos hidrocar­

bonetos que determina a variabilidade dos valores das reservas

desenvolvidas.

Caracterizado o processo de investimento em regiões

petrol{feras, os autores determinam seus valores utilizando a

técnica de avaliação de opções. Tais valores se aproximam da-

queles valores estimados pelo setor privado, usando dados geo­

lógicos e os custos esperados de exploração e desenvolvimento

fornecidos pelo governo através do "USGS" ("United States Geo­

logical Survey"). Os valores adotados pelo governo, no traba-

lho, são subestimados, tornando esta técnica (avaliação de

opção) promissora para novas avaliações de futuros campos ofer­

tados pelo governo.

Para opções "in the money" (exercíveis), que é o caso

das regiões nas plataformas petrol:í.feras do golfo do México,

que apresentam baixo custo de exploração e desenvolvimento, o

tempo de duração do contrato (tempo de abandono) e a variância

28

da taxa de crescimento do logaritmo dos preços das reservas de-

senvolvidas não apresentam efeitos substancialmente relevantes.

Entretanto, para opções não exerc:(veis ("out the money") os e-

feitos são consideráveis.

Este fato é demonstrado considerando regiões que têm

altos custos de investimento unitário de exploração e desenvol­

vimento. São apresentadas e avaliadas reservas das regiões do

Alaska e Atlântico Norte com tais características. Variações do

período do contrato e a variância afetam enormemente o valor

das reservas não exploradas de petróleo e gás.

o aumento do prazo de concessão de 5 para 10 anos é

dado para regiões de altos custos. A opção de esperar ("waiting

option") para explorar e desenvolver as reservas é bastante a­

valiada pelas companhias de arrendamento em regiões de altos

custos, especialmente durante per{odos de grande incerteza so­

bre os preços futuros dos hidrocarbonetos (óleo). Como o gover­

no aparece capturando pelo menos o valor residual econômico nas

vendas de regiões petrol{feras, a "waiting option" do setor

privado também é considerada, face à possibilidade de receber

maior oferta de prêmio dos campos futuros.

Embutido no valor da opção está a solução do tempo

ótimo do investimento. Considera-se um gráfico mostrando a re-

29

lação do valor presente esperado das reservas desenvolvidas

"versus" os custos de exploração e desenvolvimento e o tempo

ótimo. Percebe-se que, para variâncias maiores, há urna relação

Valor/Custo maior, significando a possibilidade de os preços

estarem elevados momentaneamente, obrigando, assim, a urna rela­

ção Valor/Custo maior para investimento imediato. Desta forma,

gera-se urna regra no sentido de que as regiões com baixos cus-

tos de exploração e desenvolvimento devem ser exploradas ime-

diatamente, enquanto as reservas de alto custo devem aguardar

urna elevação dos preços das reservas desenvolvidas e ou dos hi­

drocarbonetos.

Dornbusch (1989) utiliza o instrumento da "waiting

option" para explicar o problema da falta de estabilização no

repatriamento do capital para aplicação em investimentos irre-

versíveis, mesmo no setor exportador, quando o país enfrenta um

programa de estabilização inflacionária. Ele mostra que o prê­

mio de opção necessário ao investimento imediato tem que supe­

rar a diferença, no período seguinte, entre os retornos de a­

plicação externa e interna, considerando a continuação da crise

interna vezes a probabilidade de amanhã continuar a crise.

Dornbusch frisa que não existe mecanismo que dispense o valor

de opção.

30

Nos capitulos subseqUentes estuda-se a oportunidade

de investimentos em ativos reais (lançamentos imobiliários) que

tAm as características de uma opção seqUencial. Durante o pe­

ríodo de construção do ativo (imóvel), o investidor, após ad­

quirir uma opção de compra (sinal de entrada), tem periodica-

mente a obrigação de exercer ou não o direito (prestações in-

termediárias durante a construção) de continuar a se habilitar,

a num prazo determinado, exercer uma opção final (chaves), re­

cebendo o ativo (imóvel).

" ... .." ,,/I:::;"

::n: ~"'I". II,,",,~ li:=:: ~!::::3; .... 11.... ][ 11""1'1111:::::: 11"'1,,11 '"'Ir''' I[]I IE:~~ 1I:::~i:: ::11:: ~!::3 c: DI II:=': I[J F' C· A Cl •• ____ • __ ........................................ _ .......... _ •••• _ ••••• _________ ::::;.::r" __ _

Contratos financeiros asseguram a uma das partes o

direito de trocar um ativo por outro. Margrabe (1977) define

uma opção de troca como o direito de trocar um ativo por outro

em um período de tempo determinado. Se um ativo tem valor cons-

tante no tempo, então uma opção de troca degenera em uma "call"

ou "put" (opção de compra ou de venda).

Oportunidades de troca seqUencial existem sempre que

a troca de ativo cria, potencialmente, uma troca adicional. Uma

fórmula de avaliação para um ativo chamado opção de troca com-

posta ~ desenvolvida. O exercício deste instrumento envolve a

entrega de um ativo na permuta por uma opção de troca. A opção

recebida pode ser usada para realizar uma outra opção de troca

em data posterior. Peter Carr (1988) demonstra I que um numero

finito de opções de trocas podem ser avaliadas.

A oportunidade de investir em um projeto pode ser ca-

racterizada como uma opção de troca simples (call) no valor do

fluxo de caixa do projeto, com preço de exercício igual ao in-

vestimento necessário. Se o investimento no projeto possibilita

31

32

oportunidades adicionais, então o preço de opções compostas é

apropriado.

A metodologia seguirá Peter Carr (1988). A opção de

troca dá o direito de trocar um ativo por outro ativo. O ativo

recebido pelo detentor da opção é chamado de ativo opcionado. O

ativo entregue I e chamado de ativo de entrega. Quando o ativo

recebido é uma opção, chamamos a opção original de opção se-

qüencial. A fórmula de avaliação será para a opção de troca se-

qüencial Européia. Todavia, sob certas hipóteses, é também vá-

lida para opção Americana. Preços limites são determinados para

opções seqüenciais. A opção Americana permite o exercício até a

data de vencimento, enquanto na Européia a data do exercício é

determinística.

A notação é definida a seguir.

t - data da avaliação

T data de exerc{cio da opção simples (SEO), onde T ~ Ti ~ T2

Ti data de exerc{cio da primeira opção seqüencial (CEO)

T2 data de exerc{cio da segunda opção seqüencial (CEO)

T _ T-t período restante para maturação da SEO

Ti - Ti- t período restante para maturação da CEO

ci - valor da i-ésima opção seqüencial Americana (CEO)

Ci - valor da i-ésima opção seqüencial Européia (CEO)

33

s - valor da opção Americana simples (SEO)

S - valor da opção Européia simples (SEO)

V - valor do ativo sobre a qual se exerce a opção simples.

p - valor do ativo de entrega na opção SEO

qi - taxa de troca do ativo de entrega nas opções CEO (Ci,Ci)

As hipóteses para o modelo são as seguintes:

H1) O mercado é perfeito e competitivo, sem custos de

transações, com divisibilidade e impostos diferenciados; vendas

curtas são permitidas sem restrições.

Esta hipótese garante que um portfólio de ativos, com

valor (lucro) que excede o de um segundo, deve ser vendido pelo

menos um pouco mais caro. Se vendas descobertas são proibidas,

um critério de dominância deve ser adicionado.

H2) Os ativos exerc{veis são idênticos.

H3) Os termos de troca de cada opção são conhecidos.

Enquanto os , .

VarlOS exerc:í. cios devem ser realizados

com o mesmo ativo para cada opção, a quantidade requerida pode

variar através das opções de troca numa opção seqüencial. P.ex.

A compra de um imóvel em cinco prestações diferentes indexadas

à unidade real, Bônus do Tesouro Nacional ou d61ar

(10,10,20,30,50). O imóvel representa o ativo opcionado e as 5

diferentes prestações o ativo de entrega.

34

H4) Ausência de dividendos. Não ocorre nenhum paga­

mento de dividendos durante a vida da opção.

H5) Serão consideradas, inicialmente, as três últimas

trocas: O investidor pode comprar uma opção de troca seqüencial

(CEO), que dá o direito a outra opção de troca seqüencial (CEO)

escrita em uma opção de troca simples (SEO). A extensão para a

i-ésima opção de troca seqüencial é considerada no capítulo se­

guinte (ver fluxo de caixa abaixo).

As relaçoes funcionais entre o valor de uma opção de

troca simples (SEO) e as variáveis de estado relevantes podem

ser expressas como S(V,P,T). Na data de vencimento da opção

(SEO), esta relação funcional é conhecida. A relação funcional

que governa a primeira opção de troca seqüencial C j.(S,P.q1,c1)'

também é conhecida na data de seu vencimento. Similarmente, pa-

ra a segunda e a i-ésima opçoes de troca seqüencial,

S(V,K,T) = max (O,V-P) em t = T ( 1 )

em t = T j. ( 2 )

c~ (C 1 ,P~;:~ ,T~~) max (O,C:I.-P.q~:~) em t = T~

35

Fluxo de caixa representativo das 3 opções

t T,~ T:1. T D T:1. T li T ,I:'

..l. ..1.. . 1 .. .. 1 .. I.. ..1. . . .1.. ..1. . I c~:~ P ~:~ Pj, P C:1. Pj. P S P

1) Teorema da Paridade "put-call" - Carr (1988)

Relação entre a opção de compra e a opção de venda. A

opção de comprar um ativo V pagando P mais o ativo P é igual a

opção de vender o ativo V recebendo P mais o ativo V.

A opção de troca simples Européia satisfaz a relação:

S(V,P,~) = V - P + S(P,V,~) ( 3 )

A impossibilidade da opção de troca ser negativa,

junto com o Teorema da Paridade, implica um limite inferior pa-

ra o preço da opção de troca Européia, que é a diferença dos

preços dos ativos subjacentes:

S(V,P,~) ~ max (O,V-P) ~ V - P ( 4 )

s(V,P,~) ~ S(V,P,~) ~ V - P ( 5 )

2) Teorema da Equivalência - Carr (1988)

A opção de troca Americana tem o mesmo preço da opção

de troca Européia. Sob as hipóteses (1 a 5), o valor da opção

não depende da data de exercício.

S(V,P,T) = S(V,P,~) ( 6 )

36

Este teorema permite que o Teorema da Paridade apli­

que-se à opção Americana.

S(V,P,T) = V - P + S(P,V,T) (7)

Aplicando-se os Teoremas da paridade e Equivalência

para as opções de troca seqUencial temos:

C1 (S,P.q1 ,"(":1.) = c j , (S,P.q:1. ,T:I.)

c 1 (S,P·q1,T 1 ) = S - P.q1 + C 1 (P.q1,S,T 1 )

( 8 )

( 9 )

Substituindo (7) em (9) a paridade de opção de troca

seqUencial resulta:

C 1 (S,P.q1,T 1 ) = V - (P + P.ql) + S(P,V,T) + C 1 (P.ql,S,T 1 ) (10)

c 1 (S(V,P,T),P·q1,T 1 ) ~ max(O,V-(P + P.q1)) ~ V-(P + P.q1) (11)

( 12 )

Pode-se interpretar a equaçao (11) como o lucro obti­

do se as opções forem exercidas. Assim o valor da opção excede

o limite em (10). A opção é sempre menor que o ativo opcionado

(12). Quando é exercida paga-se um montante positivo para ficar

com o ativo subjacente.

Neste ponto é necessário enunciar o Lema de Itô e fa­

zer uma hipótese adicional sobre o comportamento dos agentes

econômicos. Supõe-se que os investidores acreditem nos proces­

sos estocásticos dos retornos dos ativos.

H6) Os retornos instantâneos dos preços dos ativos

37

seguem processos estocásticos respectivamente dadas pela equa-

ções diferenciais estocásticas abaixo:

dV

V = C'Io.v· dt + (J'v·dWv ( 13 ) dP

P

(14)

taxa de retorno instantâneo dos preços dos ativos

variâncias instantâneas

dWv , dWp processos estocásticos de Gauss-Wiener padrão com

coeficiente de correlação instantânea p.

Lema de Itô (ver Malliaris & Brock - 1984 - pg 85)

Seja Yt uma função ~ do tempo ! e do processo esto-

cástico x definido abaixo. A função u : [O,T] x R ~ R I e duas

vezes diferenciável.

Yt = u(t,x) e

u [O,T] x R ~ R Então dYt é dado por: (t, x) ~ u(t,X)

dYt [ i'~u ft·~ + cr::':t. Ó ::,:u ] dt + C1't :;:~ i:\U dWt + --ot i~x 2. (i::.x) ::,: i'~x

Método mnemônico para aplicar o Lema de Itô.

Expansão em série de Taylor até o termo de 22 ordem

dYt = oU dt + ou dx + bt i::. x

1

2

Agora, para uma função u

(15)

38

u(t,x:1. ,x~::~) i 1;2 j 1;2

dYt óu dt + :::lE:: [ ou dXi] + 1 :::]1:::: [ c':') :::~u dXi·dxj ] (16) i ôX

i -- ij ('~t 2 ('~Xi('~Xj

onde: (dt)~::~ = O ; dtdW = O ; (dW)~::~ = dt ; dW:I,dW~:~ = r:):l.zdt (17)

Por exemplo, aplicação para D=(V/P) ; Yt = Dt(t,V,P)

(~u = 1 óu -v Ó ~::~ U = -1 ('~V P ('~P P ~;:~ (~VÓp p~;~

Ó ~;:~ U O Ó ~;:~ u 2 .V (óV)~;:~ ( i:~ P ) ~;:~ p~':l

Empregando o Lema de Itô, fórmula (15) temos:

dDt = -v (P'(,',>(p.dt + P.(J'p.dWp ) + 1 (v.(;Xv.dt + V.C:T'v.dWv) +

1

2

dDt

P~;:~ P

v P

Substituindo (17) em (18):

((Xv - (Xp - r:) pv' (J'p' CT'v + CT'p~;:~) dt + (c:r'v' dWv - CT'p' dWp )

CXd. dt + o'd. dWd; onde

(18)

( 19)

(20)

(21)

39

(:1'd:;:~ (r :;:~ (22)

Enquanto os investidores podem divergir na taxa de

retorno esperado a v e a p ' ~ necessário que eles concordem nos

valores da matriz de covariância, crV2 , crp

2 e p. Na verdade eles

precisam concordar somente no valor da variância instantânea da

razão dos preços V/p (cr2 = crV2 + crp

2 - 2.p.crv .crp ). Esta dinâmi­

ca tem como importante propriedade que a distribuição dos re­

tornos sobre um intervalo ~ independente do nível de preços i-

nicial. Para processos com esta característica, o teorema se-

guinte pode ser provado, Carr (1988).

Teorema da Homogeneidade

A função preço da opção de troca seqüencial (CEO) e

(ceo) são linearmente homogêneas nos preços dos ativos V, P.

(23)

C i ( C i -:1. ( . . . (C:;:~ (CI. (S ( A V , A P , T ) , AP. q:1. ,T:1. ) , AP. q :;:~ , T :;:~ ) , . . . ) , AP. q i , 1:' i )

= A. C i ( C i -:1. ( . . . (C :;:~ (CI. (S ( V , P , T ) ,P . q :1. ,T:1. ) ,P . q :;:~ , 'L;:~ ) • • • ) ,P . q i , 1~ i )

Ci- i (· .. (C 2 (C i (S(AV,AP,T),AP·qi,T i ),AP·q2,T 2 )···),AP·qi-l,1:'i-1)

A.Ci- i (·· .(C 2 (C 1 (S(V,P,T),P·qi,T i ),P·q2,T 2 )···),P·qi-i,Ti-1)

Intuitivamente, dobrando os preços dos ativos V e P

dobra o preço da opção Ci e ou S.

H7) O preço da opção CEO (Ci) ~ duas vezes diferen-

ciável nas variáveis de estado V, P e Ti. Então aplicando o

40

Teorema de Euler para funções homogêneas do primeiro grau tem-

-se:

c ( S ( V , P , '\;' ) , P • q :1, ,T:1. ) V.bC + P.bC (24) bV i'~P

Onde, C pode representar qualquer opção Cio

Assim, montando um portafolio H com três componentes

C, V e P nas proporções 1, -i~C, respectivamente, este é i'~P

sem custo.

H _ C(S(V,P,T),P.q1,T 1 ) - V.bC - P.bC o (25) bV i'~P

Para um portafolio sem custo, dito auto financiável,

uma variação no valor sobre um incremento infinitesimal de tem-

po é dado por:

dH _ dC(S(V,P,T),P.q1,T 1 ) - bC dV - bC dP (26 ) i~V i~P

Sendo o valor da opção de troca seqüencial C uma fun-

ção das variáveis de estado V, P e T1 , aplicando o Lema de It&

para C temos:

dC [

Cf' ~;:~ V ~;:~ ',~ ~;:~ C 'v· ._(._ 2 i'~ V~;:~

+ i'~C dV + i~C dP i~V i'~P

+ r1 ('r' ('r' V P ~~C + , ., v., p ... _t, __

i~Vi~P

(:T'p ~;:~ • P ~;:~ . b ~;:~ C - i~ C

2 i'~P~;~ 0"[' 1 ] dt +

(27)

Substituindo (27) em (26) mostra-se que a variação no

41

valor do portfolio sobre um incremento infinitesimal de tempo é

sem risco, ou seja não tem componente estocástico.

dH + (1 ('r' ('r' V P ~2C + '.'v. 'p ... _t, __ dt bV('~P

(28)

Como o portafolio "hedge" é sem risco e sem custo,

por arbitragem, ele deve ter retorno nulo, ou seja dH = o.

cry2 . V:;:: . ('~ :;::C + r:>. (J'v. o'p. v. P. ('~ :;::C + o (29) 2 ('~ V:;:: b Vb P

Portanto, para a i-ésima opção Ci, tem-se:

CT'y:;:: • V:;:: . ('~ :;::C i + r:>. o'v. (J'p. V . P . b :;:~ C i + (J'p:;:~. p:;:: • ('~ :;::C i - bC i o ( 3 O) 2 b V:;:: b V('~ P 2 (~p:;~ b'~:' i

A equação diferencial (29) descreve parcialmente o

comportamento do preço da opção, que é linearmente homogênea

nos valores dos ativos primários considerados. Adicionando as

condições terminal e de vizinhança apropriadas, completa-se o

modelo.

S :;:~ C :1. ;::~ O

C· 1 ~;.~ C i- :1.

e C:I. (S,P.q:1. ,O) max( 0, S-P. q:I, ) ( 31)

e

As equações (29) e (31) resumem o comportamento do

preço da opção de troca sequencial (CEO). Contudo, as condições

terminal e de vizinhança é expressa como função de variável não

42

observável, a opção S. Como o objetivo é de exprimir o valor da

opção CEO em função de valores de ativos observáveis V e P, es-

sas condições devem ser reescritas nestas variáveis.

Considerando que o teorema da homogeneidade linear

aplica-se ao preço da opção de troca simples (SEO), pode-se en-

contrar o mesmo conjunto de equações (29) e (31) para a opção

de troca simples (SEO), com as devidas modificações; isto é:

+ f1 (. (. V P ~2S + , • "v· "p ..• _(.' __ i':lVi':lP

O' P :;:~ . P :;:~ . (':) :;:~ S -2 i':lP:;:~

= o (33)

e S(V,P,O) = max (O,V-P) ( 34 )

Nota-se que o valor da opção SEO depende do preço a-

leatório de 2 ativos. Resolve-se o problema tomando um dos ati-

vos como numerário (refêrencia). Dividindo pelo preço do ativo

P, consegue-se que a condição terminal dependa somente de uma

variável aleatória, que é a razão (V/P) = D.

S (V, P , O) = S (V /p , 1, O ) . P = S (D, 1, O) . P = P. máx [O, D-1 ] (35)

o preço de uma opção de compra (call) pode ser obtida

de quatro formas diferentes. Apresenta-se uma que servirá para

o desenvolvimento do modelo.

Na determinação da equação diferencial (30), que re-

solvida dá o preço da opção, não foi necessária nenhuma hipóte-

se restritiva quanto ao conjunto de preferências dos indiví-

43

duos. Desta forma, podemos considerar a solução num mundo par­

ticular, pois sabemos resolver para este caso, e desde que a

solução geral é independente desta restrição, o resultado en­

contrado neste mundo particular será idêntico ao caso geral,

qualquer que seja o tipo de preferência dos individuos. Em par-

ticular, num mundo neutro ao risco, onde todos os ativos têm a

mesma taxa de retorno esperado, igual à taxa de juros sem ris­

co, o valor corrente de uma opção é o valor esperado futuro

descontado pela taxa de juros sem risco do valor da opção na

data do exerci cio. A taxa sem risco de um empréstimo feito em

unidades do ativo P é zero em um mercado perfeito. ° empresta­

dor de uma unidade do ativo P demanda uma unidade do ativo P

como retorno do pagamento do principal. Não há incidência de

juros no empréstimo, porque a apreciação do ativo P durante o

per:!: odo do empréstimo é a compensação do investimento.

° valor da opção, pelo Teorema da Homogeneidade, é:

S(V,P,T) = P.S(V/P,l,T) (36)

Considerando um mundo neutro ao risco, o valor espe-

rado da taxa de crescimento da opção de compra simples SEO, en­

tre o periodo t e T em unidades do ativo de referência P, é 1.

'1:'(T) = ° E (S(V/P,l,O)/S(V/P,l,T)) 1 ---+ E (S(V/P,l,O)) = S(V/P,l,'t")

44

Onde, E(.) ~ valor esperado de urna variável aleat6ria

Em t o valor de S(V/P,1,T) ~ conhecido.

S(V/P,1,T) = E (S(V/P,1,O» (37)

Pela condição terminal.

S(V/P,1,O) = E (máx[O,v/p - 1])

Sendo o processo estocástico dos ativos V e P conhe-

cido e, consequentemente, o do ativo D definido pela razão V/P,

tem-se:

S(D,1,T)

+ C",'')

J ~áx [O,v/p - 1].f(V/P) .d(V/P) -c::'::)

+ C",'') r ~'~-1). f ( D) . dD , :1, ( 38)

Sendo S(V,P,T) P.S(V/P,1,T) = P.S(D,1,T) e a ex-

pressão de S(D,1,T) acima, demonstrada no apêndice.

S (V, P , '1:' ) P. (D. N :1, (d +crF) - 1. N:1. (d) )

S(V,P,'l:') = V.N:1. (d+crF) - P.N:1. (d)

d = log(D) - O,5.cr 2 .T

(:r'.) T

d = d(D,T) D = V/p

(39)

(40)

(41)

(42)

Nj,(d) - valor da função de distribuição normal univariada pa-

drão, relativa à variável aleat6ria em T do processo estocásti-

co O calculada em d no instante t.

Margrabe (1978) também mostra que a solução única de

45

(28) e (30) é dada pelo conjunto de equações (40) a (42).

Considerando o valor da opção simples SEO dado pelo

conjunto de equações (40) a (42), pode-se reescrever as equa­

ções em (30), condição terminal e de vizinhança da opção CEO.

V. N :1, (d +cr'F ) - P. N:1. ( d) :;;~ C :;':,~ ° C1 (S,P.ql,0) = maX(0,V.N 1 (d+crJ T_T i )- P.Ni(d)- P.ql)

(43)

(44)

A resolução da equação (28) que dará o valor da opção

seqüencial CEO pode ser obtida agora, com a versão das condi­

ções de vizinhança e terminal acima. A metodologia é idêntica à

aplicada para opção simples SEO.

O valor da opção CEO pelo Teorema da Homogeneidade é:

C:I.(S(V,P,T),q:I..P,T:1,) = P.C:I.(S(D,l,T),q:I,.P,'í.:I,) (45)

Considerando um mundo neutro ao risco, o valor espe-

rado da taxa de crescimento da opção de compra seqüencial CEO

entre o per{odo t e Ti' em unidades do ativo de referência P, é

1.

'1:' ( T :1,) = T-T:1. , T:1. (T :1,) = ° E [C:t.(S(D,l,'1:'(T:I.),q:I.'O) I C 1,(S(D,1,T(t»),q:I,,'1:':I.(t»)] = 1

Em (t) o valor de C1 (S(D,1,T),ql,T 1 ) é conhecido.

C j,(S(D,l,T(t»,q:I.,T:I.(t» = E [C:1,(S(D,1,T(T:1,»,q:I.'0)]

Pela condição terminal.

C j, ( S ( D, 1, '1:' ( t) ) , q :1, , '1:' :1, ( t» = E [max ( ° , S ( D, 1, '1:' ( T:1. ) ) - q :1, ) ]

(46)

46

o valor esperado (E) acima é função do processo esto-

cástico do ativo O.

+ c:'::)

= f [maX(ü,o.N1 (d+rr) T_T 1 )- N1 (d)- q1)]·f(O).dO -(::1::)

A opção de troca sequencial CEO deverá ser exercida

na data de vencimento (t=T:I.) se o valor da opção excede o seu

custo de exerci cio:

Tornando o ativo P corno numerário tem-se

o . N :1. (d +C1') T _ T :1. ) - N:1. ( d ) ;::'~ q :1. ( 47 )

o lado direito da expressão acima é a fórmula de

'Black-Scholes para o valor de urna opção simples no ativo O com

preço de exercicio igual a um (1). Desde que o preço da opção é

função crescente do preço do ativo considerado, existe um único

valor de O que mantém a expressão com a igualdade. Define-se o

1 I. d va or crltlco e O = Di'

d = 10g(0'j)_ ü,5.c1'~;:~. ('~:'_T'I)

C1'.J T_T:1.

(48)

d (49)

o valor 0:1. pode ser calculado a qualquer tempo. Desta

47

forma 01 deve ser considerado um param~tro para a solução da

opção de troca sequencial. Esse valor, deixa o investidor indi-,

ferente entre exercer ou não a opção seqtiencial C1 , na data de

vencimento t=T:I.' avaliada no instante de tempo presente '1:' (t) .

c j. ( S ( O , 1 , '1:' ( t) ) , q:1. , T :1. ( t)) =

= J+ C::'::)

+0:1.

+ C",'')

(50)

+ C",") + c::'::)

= J .. ~.Nl(d+rrJ T_T 1 )·f(0) .dO -+0:1.

J ~':1. (d) . f ( O) . dO +0:1.

J q:l.' f ( O) . dO +0:1.

onde Dl ~ dado pelas equaçôes (48) e (49)

( 51)

C:1• (S,q:l. ,T:1.) = O.N~;" (d+c1'.~,d:l.+c1'.F.,p:I.)- N~" (d,d:l. ,r:):1. )-q:l .. Ni (di)

expressão de C 1 (S(0,1,'1:'),ql,T 1 ) acima, demonstrada no ap~ndice.

C:1. ( S ( V , P , '1:' ) , P • q :1. I T:1. )

P. [O.N~;:~ (d+c1'.~,d:l.+c1'.F.,r:) :1.)- N~;:~ (d,d:l. ,r:):I.)- q:l .. N:1. (d j .)]

V • N ~;:~ ( d +<:1' . ~ , d:1. +<:1' . F. ' p :1. ) - P. N ~;:~ ( d, d :1. , r:) :1. ) - P. q:1. . N:1. ( d 1. ) ( 52 )

onde d, d:1. são

d = log(o) - 0,5.rr 2 .T

c1'. J '1:' d 1 = 109(0/O,~ - 0/5.rr 2

.T,

c1'. '1:' :1.

(53)

Nj,(d 1 ) - valor da função de distribuição normal univariada pa-

48

drão, relativa ~ variável aleat6ria em Ti do processo estocás­

tico D, calculada em di no instante t.

N2 (d 1 ,d2,r) - valor da função de distribuição normal bivariada

padrão, relativa ~s variáveis aleat6rias em T e Ti com correla­

ção rJ , do processo estocástico D, calculada respectivamente em

d e di' no instante t, onde ri = (~i/~)-C,s.

Os seguintes resultados podem ser observados:

i) Como na f6rmula de Black-Scholes, não existe de­

pendência da taxa de retorno esperado não observável a p ' avo

ii) Como em Margrabe, não existe hip6tese quanto ~

estrutura a termo da taxa de juros.

iii) Como em Geske, não depende diretamente da opção

simples S (preço da ação) e sim do valor da firma, V.

iv) Fazendo q=O, a opção seqUencial converge para

Margrabe.

C j, ( S (V, P ,~ ) ,P . 0,1:' :1.) = V. N:1. (d +0' • v~ ) - P. N :1, ( d) = S (V, P ,1:' ) ( 54)

v) Sendo q = cte e o ativo de entrega determin{stico

(rrp=O), a opção reduz-se ~ solução de Geske, para uma opção de

compra seqUencial, sob a hip6tese adicional de taxa de juros

(r) constante.

Cl(S(V,P,~),P·qi'~i) =

V. N 2 ( d +cr • ~ , d :1, +cr • ~ , r:) :1. ) - P . r - ~ . N ~;:~ ( d, d :1, ,r:) :1, ) - P . q :1, • r - ('1: :1. ) • N 1 ( d 1 )

49

onde d, d:1. são

d log(V/P.r-T )-0,5.a2 .T

c:r.J T

(55)

d:1. = 10g(V/V" .r-"C':1. )-0,5.0':':.1:'1

(:1'. J '~:':1.

vi) Sendo q = O e o ativo de entrega determinístico

((Tp = 0), a opção seqüencial reduz-se à fórmula de Black-Scholes

para opção de compra simples.

vii) Opções seqüenciais de compra podem ter preços de

exerc:í. cios estocásticos se os preços são denominados em moeda

externa ou indexados a algum indice. Titulos em moeda externa

ou indexados podem ser usados para hedge da opção seqüencial. A

fórmula de avaliação para a opção seqüencial pode ser obtida

considerando, por exemplo, a taxa de juros externa ou taxa de

juros real em relação à moeda indexada, constante, no valor r,

seguindo a taxa de câmbio entre as moedas um processo estocás-

tico Browniano.

Black Scholes ressalta que a ação de urna firma ala-

vancada (com d:í. vida) funciona corno urna opção de compra no valor

dos ativos da firma. Se a divida ~ denominada em moeda diferen-

te da dos ativos, então o preço de exerc:í. cio ~ aleatório. Adi-

cionalmente, se existe opção de compra no valor da ação, esta ~

urna opção seqüencial. Se o preço de exerc{cio ~ denominado na

50

mesma moeda da d:í. vida, então a metodologia apresentada aqui pa­

ra CEO é aplicável, com as seguintes transformações.

P = E.M.r-'1:'

M preço de exerci cio da divida

K = preço de exerci cio da opção

Obs: A opção vence antes da divida

viii) Aplicando o Teorema da Paridade para opção se­

qUencial, o valor do capital, patrim6nio liquido (PL), pode ser

escrito como:

Os dois primeiros membros refletem o valor atual do

capital (PL), se a d:í.vida é sem risco. Os outros dois componen­

tes são opções de "default" de venda, uma para cada data de pa­

gamento. Assim, o valor da d:í. vida é o valor da firma menos o

valor do capital (PL). Do Teorema da Paridade, o valor da dívi­

da é dado por:

(57)

Os dois primeiros membros representam o valor equiva­

lente de um titulo sem risco, com 2 pagamentos remanescentes. O

valor da d:í.vida é reduzido pelas 2 opções de "default" de venda

emitido pelos acionistas contra os credores.

,.1'

1[::::: I(::!II 11::::::" ::11:: "'11""11.. .... 11 11.. ...... I[]I ::::::!!;;

11' .... ·11 Ir::::" 1\" .... ,.;;::::;; 1\" .... 11 :I::::::i; 11:::::::: I[;;:!! il....:illf::::::: 11"'".111\:::::::: ][ d!~ L . ... :::::" .............. .:~!:~ .. ~ ............. :::::: ... _ ... " ................................................................................ __ . __ ._ .

• 11'

11.. ...... II!::::!II 11"'".111[::::: I(:::!II II"""IIIE::;:: 11"'".11 .... 11 .... 11::::::\1 ::11:: 11"""11 11::::::\1 :11::::;1: ::11:: 11........ ::1[ II!::::!II 1I::::;i:: ::n:: I[]I

Dando continuidade ao modelo desenvolvido no capítulo

anterior, adiciona-se a ele mais uma opção, que pode ser vista

como uma dlvida adicional da firma ou uma prestação intermediá-

ria na compra de um imóvel. No modelo para o caso de ~ dívidas

ou prestações intermediárias, com datas de vencimento diferen-

tes, a extensão para a i-ésima opção seqüencial é considerada.

Apresenta-se em apêndice uma demonstração por indução do resul-

tado.

Fluxo de caixa representativo das opções C? e Ci

t T,., .1: •

T :1. T

..1.. ..1.. ..1.. ..1..

Cz. P:;:~ P:1. P

t T· l T i -:1. T;':l T,., .. :. T:1. T

. .1.. ..1.. ..1.. ..1.. ..1.. ..1.. ..1..

C' l p.

l Pi-:1. P;:l P,., .1:. P:1. P

51

p. l

em t = T:;::

52

Aplicação dos Teoremas da paridade e Equivalência pa-

do as mesmas hipóteses (HI a H5).

Equivalência (Européia = Americana)

c.", ( C 'I , P . q ",' , T ",' ) ,...., d.. .1.,

paridade

Substituindo o valor de C1 e Ci-l acima.

Cz. (P.q~;:~ ,C:I, ,T~;:~) (58)

+ Cz.(P.qz.,C 1 ,Tz.) + Ci-l(P·qi-l,Ci-z.,Ti-l) + Ci(P·qi,Ci-l,Ti) (59)

Limite inferior para a opção Cz. e Cio

Limite superior para a opção Cz. e Cio

53

Homogeneidade

A • C ~::~ ( C j. ( S ( V, P , '1:' ( t) ) ,P. q :1. , '1:':1. (t) ) ,P . q ~::~ , '1:' ~::~ ( t) ) (60) e (61)

Intuitivamente, dobrando os preços dos ativos V e P

dobram os preços das opçôes C2 e Cio

Aplicação do Teorema de Euler para C~::~, dadas as hipó-

teses HI a H7.

C~:~(C:I.(S(V,P,'1:'),P.q:I.,'1:':I.),P.q~::~,'1:'~::~) = v.c·~C~i:: + P.c·~C? (62) c'~V c'~P

Fazendo um "hedge" H, sem custo.

V. c:-,C'i' - P. i:-,C? o ( 63)

(~V i~P

Aplicando o Lema de Itô, mostra-se que o portfolio

"hedge" é sem risco e, por arbitragem, ele deve ter retorno nu-

lo. A equação diferencial abaixo descreve parcialmente o com-

portamento do preço da opção, que é linearmente homogênea nos

valores dos ativos primários considerados. Adicionando as con-

diçôes terminal e de vizinhança apropriadas, completa-se o mo-

delo.

54

+ r:l • CT'v. O'p. V. P. ('~ :;:~C,;,~ + bV('~P

c1' p :;:~ . P :;:~ . ('~ :;:~ C 'i:: 2 ('~p:;::

- bC'i'

(~ 'l:' ~:~

= O

C:::; :;" C :1, ;:':, O e max ( O , C j, - P . q:J: )

c:1'y2 • V:;:~ . (~:;:~C i + r:l • CT'v. o'p. V. P. b :':~C i + cr'p:;:~. p:;:~ • (~:;:~Ci - (~C i O

2 bV2 bVbP 2 bP 2 b~i

C i :;,'~ C i - :1, :;':,~ O e

(64)

( 65)

As equações acima resumem o comportamento do preço da

opção de troca seqUencial C2 e Cio Segue-se a resolução para C2

o valor da opção C2 , pelo Teorema da Homogeneidade, ~

Considerando um mundo neutro ao risco, o valor espe-

rado da taxa de crescimento da opção de compra seqUencial C2 ,

entre o per{odo t e T2 em unidades do ativo de refer~ncia P, ~

1.

'1:' ( T ::::) = T-T :;;~ , '1:' :1, (T :;:~) = T:1. -T :;;~, '1;' :;:: ( T :;;: ) O

C,..,(C'I (S(D,l,'1:'(T,:,)) ,q'l ,'1:'" (T'i')) ,q'i"'O) ] = 1 C :;:~ ( C:1. ( S ( D , 1 , T ( t) ) , q:1. , '1:' :1, ( t) ) , q :;:~ , T :;;~ ( t ) )

( 66)

Em (t)

conhecido.

Pela condição terminal.

C~:;(Cj,(S(D,1,'1:'),q:I"T:I.),q:.:~,T:;::) = E [max(O, C:L (S,q:L''1:':1. (T:;;:))- q2)]

55

( 67)

o valor esperado (E) acima é função do processo esto-

cástico do ativo o.

C~:~(CI, (S(O,l,'1:') ,q:I, ,',:':1,) ,q~::~,'1:'~::~(t)) =

+ C",'')

= f ~~aX(O,0.N2(d+rro,d1+rr1,P)-N2(d,d1,P)-q1.N1(d1)-q2)].f(O).dO

(68) cr·G = O'i

A opção de troca sequencial C2 deverá ser exercida na

data de vencimento (t=T~::~) se o valor da opção excede o seu cus-

to de exerc:í. cio:

Tomando o ativo P como numerário tem-se

O.N~::~(d+(:r'o,d:l.+o':I"f:):,,)- N~:~(d,d:I"p:I,)- q:I.. N:I.(d:l.) ::':,~ q~:~

o lado direito da expressão acima é a f6rmula para o

valor de uma opção seqUencial C1 no ativo S(O,l,'1:'), com preço

de exerc;(cio igual a su.. Desde que o preço da opção I e função

crescente de O, existe um único valor de O que mantém a expres-

são como igualdade. Define-se o valor cn~ tico de O = O2 .

56

d d

109(D7/D)) - O,5.g 2• (T 1 -T 7 )

cr • '1:' :1. - T ~::~

d:1. d:1. (D~::~,T:1. ("C':;::))

o valor D~::~ pode ser calculado a qualquer tempo. Desta

forma D2 deve ser considerado um param~tro para a solução da

opção de troca seqüencial. Esse valor (preço) deixa o investi-

dor indiferente entre exercer ou não a opção seqüencial C z , na

data de vencimento t=T~:ê' avaliada no instante de tempo presente

T (t) .

P ar a D < D ~::~ C ~::~ ( C :1. ( S ( D , 1 , T ) , q:1. , T :1. ) , q ~::~ , '1:' ~::~ ( t) )

+e:'::l

f [D.N 2 (d+g c ,d1+g 1 ,P1)- N2 (d,d1 ,p 1 )- q1· N1(d1 )- qz]·f(D).dD +D~:~

+e:.:;)

= J D. N ~::~ ( d +cr c , d:1. +cr:1. , P :1. ) • f ( D) . dD J + D~ ~::~ ( d , d:1. , r:) :1. ) . f ( D) . dD +D~:ê +D" .1:.

+e:'::l

- J q:l.. N:1. (d :1. ) • f ( D) . dD +D 2

J + c:.~~::~ • f ( D) . dD

+D~::~

onde D2 ~ dado pelas equação (69).

- N 3 ( d , d:1. , d ~::~ , r:) :1. , r:) ~::~ , r:) :1. ~::~) - q :!. • N ~::~ ( d:1. , d ~::~ , r:) :1. ~::~) - q ~::~ . N:1. (d 2 ) ( 7 O )

P. c~::~ (C :1. , q~::~ , '1:' ~::~ ), pelo Teorema

57

da Homogeneidade e a expressão de C~::~(C:I.,q~:~,'l:'~::~) acima, demons-

trada no apêndice.

c z. ( C j, , p . q~:~ , '1:' ~::~ ) = P. [D. N ;':~ ( d +(1' • F ' d:1. +(1' • ~ , d Z. +C1' • F ' (:) :1, , (J ~ , r 1 2 )

- N::I(d,d:l.,d~:::,p:I.'(:)~::~'(:):I.~::~) - q:I..N~::~(d:l.,d~::~'(:):I,~::~) - q~::~.N:I.(d~~)]

C ~:~ ( C j, , P . q~:~ , '1:' 2) = v. N ;:~ ( d +(1' • F, d :1, +(1' • F. ' d~:~ +(:r • J 'í, ~::: , (J j, , r ~~ , r 1 2) -

P . N::I ( d, d:1. , dz. , (:) :1. , (:) ~::~ , (:) :1, ~::~) - P. q:1. . N ~::~ ( d:1. , d~::~ , (:) :1. ~:::) - P. q~:~ . N j, ( dz.) ( 71 )

d = log(D) - O,5.cr 2 .'1:' ('r' I '1" '.'1 '

d:1. log(D/D'I) - O,5.C:1'~';~.'1:'j

CJ'.) '1:':1.

log(D/D'j-') o 5 (T~::~ '1" , •. •. I?

C1'.)

N1 (dz.) - valor da função de distribuição normal univariada pa-

drão, relativa à variável aleat6ria em T2 do processo estocás-

tico D, calculada em d 2 no instante t.

N ~:~ ( d j, , d~::~ , (:) :1. ~::~ ) valor da função de distribuição normal biva-

riada padrão, relativa às variáveis aleat6rias em T1 ,T 2 com

correlação P12' do processo estocástico D, calculada respecti-

vamente em d 1 ,d2 no instante t, onde P12 1 -(~ '" ( '1" '1") ",," . ~;:~ ':1. •

N~:~ (d, d:I, , d~::~, (:) :1, , (:) ~::~, (:):1. ~::~) - valor da função de distribuição normal

trivariada padrão, relativa às variáveis aleat6rias em T,T 1 ,T2

com correlaçôes Pl,P2,P12' do processo estocástico D, calculada

respectivamente em d,d:1. ,d~::~ no instante t.

(J , = ('1",/'1" )-0,& :1. ~~~ . :,:~ ':1. l _C') '" = ( '1:' ",' '1:') " ,:>

,I"

58

Agora, por indução, expressa-se a fórmula para o

preço de Cn . O preço de Cn é o prêmio da enésima opção de com-

pra seqüencial na data t. Assim, Cn é o valor esperado futuro,

descontado, da opção na data do exercfcio, Tn .

Considerando um mundo neutro ao risco, o valor espe-

rado da taxa de crescimento da opção de compra seqüencial Cn ,

entre o período t e Tn , em unidades do ativo de referência P, é

1.

( 72)

( 73)

+ co=>

r [D.Nn~~i+rri;Pij]- Nn[di;Pij]-

l-Cl, ••• ,n-j, , -co=> j=i+:l, ... ,n-j,

n-:t.

:::g;::: qi.Nn-i[dk;rJkj]- qnJ f(D) .dD i=l k=i, ... ,n-j,

j=k+j" ... ,n-i

A opção de troca sequencial Cn deverá ser exercida na

data de vencimento (t=Tn ) se o valor da opção excede o seu cus-

to de exercício:

n-:1.

D.Nn[di+rrUPij] - Nn[di;r:)ij]- :::::.:- 11:::~li·Nn-i[dk;Pkj] ~ qn i=c), ... ,n-:\. i=l k=i, ... ,n-j, j=i+:l, ... ,n-:\' j=k+:t., ... ,n-j,

O lado direito da expressão acima é a fórmula para o

valor de uma opção seqüencial Cn-:t. no ativo Cn - 2 ( •• S(D,1,T) .. )

59

com preço de exerc:í. cio igual a S!n=..1.. . Desde que o preço da op-

ção é função crescente de D, existe um único valor de D que

mantém a expressão como a igualdade. Define-se o valor crítico

de D = Dn'

n-:1.

[D.Nn[di+rriiPij]- Nn[diiPij]- :::~~:::: q i . N n - i [ d k i P k j ] - qnJ f ( D) . dD i=Cl, ... ,n-:I. i=1 k=i, ... ,n-l

Dn j=i+l, ... ,n-l j=k+:I., ... ,n-l

U:::::: n = 11"",,1

1• Nn +:1. (d+(T'. F, d:l. +(T'. F, ... , dn+(T'· h,r:1 ,r:I :1. , ... ,rJn,P 1:2'

... , r:1 n -:1. , n) -11::::::" . Nn + :1. ( d , d :1. , ••• , d n , r: ' , P :1. , ... , r:1 n, r:1 :1. ~;:~ , ••• , (J n -:1. , n)

n ::2: 11::::::" i . Nn + :1. - i ( di, di +:1. , ... , d n ,r:1 i, P i + :1. , •• , (:1 n, r:1 i, i +:1. , ... , P n -1 , n)

i=1

(74)

n

1[::::: n = 11"",,1

1• N n + :1. [d i +(T' i i (:1 i j ] - 11::::::". N n +:1. [d i i r:1 i j ] - :::~~::: 11::::::" i . N n + j. - i [ d k ; P k j ]

i=o, ... ,n i=1 k=i, ••. ,n j=i+l, ... ,n j=k+i, .•. ,n

d di = lOg(D/Di~ - O,5.rr2 .Ti (T'. '1:' i

Para t = Ti

Aplicação da condição de determinação de Di, i={1,2}.

Para t = T:1. S(D,1,T)- ql = O D = D 1

d

60

log(D., )_ O,S.c:1'!"~. (T_'C1 )

C:1'.J T_T:!.

d

Para t = T!;:~

d d d(D, .. "T(T,,) ) .1.. .. ..

lOg(DZ/D)) - 0,S.rr2 .(T,-T z ) (:1' • T :!. _ '1:' !;:~

d:l.

Modelo para imóvel em construção

o fluxo abaixo representa a sa:L da de caixa na compra

de um imóvel.

t Tn Tn-:I. T;':l T,., .. :. T:!. T Tempo

1 ..1.. ..1. . ..1.. ..1. . .. 1 .. ..1. .

K Pn Pn-l P;':l p,., P:!. P Prestações .. :.

(C n ) (Cn- :1. ) (Cn-!;:~ ) ( C !;:~ ) (C:!. ) (S) Opções

K - Sinal

Pi - Prestações intermediárias, Pi

P - Chaves

Ci - Opção seqüencial correspondente

S - Opção simples correspondente à penúltima prestação

i l, ... ,n

O ativo de entrega P é o valor em moeda corrente in-

dexado a um índice oficial de inflação. O índice E~ pode refle-

tir a inflação, taxa de câmbio, etc. As variáveis estocásticas

61

ou determin:lsticas são diferenciadas pelo símbolo II ... " ..... Ii

1'''''11 o r - ( "r. lO - '~:' ) I"", l'

ii=~ = :ii~:i:. 11::::::" • r -"C' ii:::::::; • l

...... :1"::::'" -'1" • 11"",," • II::::~ i . Jr~3: • r 'l

11::::::" .11:::::11 i ii:::::::; i"'" 11::::::" i . :ii:::~í: • r -1:' i (75)

A fórmula fechada que dá o valor do sinal de um lan-

çamento imobiliário e/ou preço do ativo Cn , em equilíbrio, pode

ser obtida ao duplicar continuamente o processo utilizado no

modelo de Peter Carro A seqUência das passagens abaixo segue a

metodologia empregada no cap:{ tulo 2.

Para determinação do preço de Cn na data t, começa-se

colocando o preço na última opção a ser exercida ou prestação a

ser paga, porque nesta pode-se aplicar o modelo de

Black-Scholes diretamente. Com o preço da opção S conhecida,

retroage-se sucessivamente, determinando os preços das opções

seqUencialmente Ci, até chegar a opção Cn que corresponde ao

pagamento da primeira prestação.

S - Ao pagar P:I.' na data (T:I.) adquire-se o direito de

pagamento P pelo ativo V (imóvel) na data T.

S= S(V,~,T)= ~.S(V/~,1,T)= ~.E{S(V/~,1,O)}= ~.E{S(Ó,1,O)}=

S= ~.p.r-T.E{S(Ó,1,O)} S'= S/~ I _',.. ",I

S = P.r '.E{S(D,1,O)}

62

(76 )

C:1, - Ao pagar P~;:~, na data (T~;:~) adquire-se o direito

de pagamento P:I. pelo ativo S na data (T:I.).

- - - -T --T C j,- C:I.(S,P.q:I,,'1:':I.)= B.P.r ':I..C:I.(S/B.p.r ':I.,q:L,T:1,)

C~;:~ - Ao pagar P;':l' na data (T;':l) adquire-se o direito

de pagamento P 2 pelo ativo C i na data (T 2 ).

(78 )

Indutivamente para n-i

Cn -:I, - Ao pagar Pn, na data (Tn ) adquire-se o direito

de pagamento Pn - 1 pelo ativo Cn - 2 na data (Tn - i ).

Cn - Ao pagar K, na data (t) adquire-se o direito de

pagamento Pn pelo ativo Cn - i na data (Tn ).

( 79)

63

Desta forma, podemos enxergar a compra de um imóvel

como uma seqüência de opções que deverão ser exercidas sequen-

cialmente para a compra final do imóvel.

Em equilfbrio, devemos ter igualdade entre a opção

seqüencial Cn e o sinal K na compra de um imóvel.

Utilizando os resul tados n~,! (v e vii) do capí tulo 2,

juntamente com a expressão da enésima opção seqüencial, pode-se

exprimir o valor do sinal em um compra de imóvel em construção

com n prestações intermediárias mais as chaves.

Ci = f(V,cr,r,P,P:1. ,P~;:~, .. ,Pi-:1. ,Pi,T,T:1. ,T~;:~, .. ,'1:'i-:I, ,Ti)

IC::::: n = 11"",,1

1• Nn +:1. (d+cr. F, d:1. +cr. ~, ... ,dn+cr. Fn, f:) ,f:) :1, , ••• ,f:) n, f~ 1:;::'

• • • ,p n - :1, , n ) -11::::::" . r - T' • N n + :1, ( d , d:1. , . . . ,d n ,r) ,f:) :1, , • • • ,P n , f:) :1, ~;:~ , • • • ,f:) n - 1 , n )

n - :::i!::::: IF:::::" i . r - Ti. N n + :1, - i ( di, di +:1. , . . . ,d n , P i, . . . ,P n , f:) i , i + j, , • • • ,f:) n - 1 , n )

1=1

(80)

A fórmula acima apresenta todos os valores em termos

reais.

Estática Comparativa - Cálculo das Sensibilidades

A sensibilidade da opção em relação aos preços dos

ativos V e P é obtida diferenciando a expressão de Cn . O resul-

64

tado é de grande importância, porque dá a proporção em que se

devem combinar os ativos de forma a manter urna carteira que

renda a taxa de juros sem risco da economia.

C~;:~ (C 1 ,P. q~;:~ ,'1:' ~;:~) = v. N;,l (d+c1'. v'~' d:l, +c1'. \~, d~;~ +c1'. ~,r:' :1. ,r:l 2 ,r 1:;::) -

(':IC? = N;:l(d+c1'.F,d:l.+c1'.~,d~;:~+c1'.~,r:l:l.,r:)~:~,r:):lo~;:~) + V.ONjjl(.) -ov eV

- P. e N jjl ( d, d:1. ,d ~:~ ,r:l :1. ,r:l ~;:~ , r:) :1. ~;:~ ) 6V

- P·q:lo·ÓN'i,,(d:l.,d~:~,r:l:I.~;~) - P·q2·~~N1(d2)

d",,- +c1' ~;:~ _x~;:~

-(::1;:)

ÓV 6V

d,oo' +c1' 'o, , r:> 'I ,r:> ",' ,r:> oi '00') = .1.. .10, ,. .I" •• ,I ..

(81)

Utilizando a propriedade acima para a função de dis-

tribuição normal trivariada padrão e diferenciando Cn .

(':IN;o.; ( • )

(':IV

P.(':IN 3 ()

i'~V

_x~;:~

~;:~ • N,o, [ dJn

+c1' p -r:l ','o' (x) , ~ ":0 1-('> ~;:~ J 2Tr . ~::~

,f' 'J .

• eX eV

P. q:l • ('~N? ( )

(~V

P • q~;~ . (~N 'I ( )

('~V

P.q?e J 2'1'1'

65

d'l-r:)'I'i".dJ ) '" l-r') ,'"

\ ' :1. :;:~

• (~x

Substituindo na expressão acima o valor de d 2 (021"2)'

V. bNj"1 ( )

(~V

bX.P.[_D ] (~V D~;:~

o , !:;

.e

.e

• N~;:~ (d (D~;:~ , T ~;~ ) , d:!. (O~;:~ , T ~;:~ ) , r:) :1, )

• (q:1. • N:1. (d:"

(D~;:~, T ~;:~) ) + q~;:~)

(~c? ( )

(~V N;,,d) + :~x'P'[~J

ô V D~;:~

J 2'1'1'

J 2'1'1'

CY'~:: • '1:',~ /4 "

.e J 2'1'1'

o óltimo fator anula-se, porque determina 02 (0=02)'

(~c? () = N;':l (do +cY'C)' d:1. +cY':1. , d~;:~ +cY'~;:~ , r:! :1. , r:) ~;:~, r:) :1. ~;:~) (82) é~V

(~Cd ) (~v

(~Ci()

(~V

66

o último fator anula-se, porque determina Di (D=Di).

N i +:1. (d D + C1' D , d :1, + C1':1. , • • • ,d i + C1' i ,r:> :1, ,r:> ~;~ , • • • ,r:) :1. ~;:~ , • • • ,r:) i - j, , i ) > O (83)

Enquanto o valor da opção é monotonicamente crescen-

te, em relação ao preço do ativo opcionado (V), o inverso acon-

tece com o preço do ativo de entrega (P).

(~Cd ) (~p

+q ~;:~ . N i -:1. (d~;:~ , .. ,d i , r:) ~;:~ ;':1 , •• ) + .. +q i -:1. • N ~;:~ ( di - :1, ,d i , r:l i -:1. , i ) +q i . N j, (di) ] ( 84 )

A variância relevante para a opção é a da razão dos

são perfeitamente correlacionados positivamente (r' = 1), e têm

A. • a varlanCla se anula. Sob estas

restrições,a expressão de Ci reduz-se para

(85)

Este valor é o limite inferior para a opção Cn . Quan-

do a vâriancia da razão dos preços dos ativos se eleva, o valor

da opção aumenta, desde que Cn é estritamente crescente com a~.

67

i'~Cd ) = bCi bCi-', . bCi-"" bC"" . bC;" I" -----"'"

i'~ C:1':;': bCi-;1. bCi-:;:: bCi-;':l i'~C:1. óS

i,Ci() = Ni+:I.(·)· Ni(') Ni-"(') N l"_",,(·)

N,;-(.). P.N,; (.) .J-::i" bcr 2 N () N () i . i-:1. . .1 ..

N:I.(') 2.c1'

i'~Ci()

i'~C:1'2

i'~Ci()

i, (:1'

Ni+"(')' P.N,;(.).)""7"i > O (86)

N;I.(') 2.c1'

N i +,' (d n +C:1' n ,d" +u'" , ... ,d i +(1' i' r:) " ,r:> '? , ••• ) • P . N:: ( do ) . F > O N:!. (dC)+c:1'C))

A sensibilidade da opção \ A. •

as varlanclas individuais

não tem sinal definido, dependendo do valor de Bpv ou Bvp ser

maior ou menor que 1.

, . \/r;- . ( 1 - Bpv ) bCi ( ) Ni+'1 ( . ) P.N'I ( . ) Bpv ~

i,o'v ;;:~ N:1. ( . ) 2. C:1' o'v

, (87)

i,Cd) = Ni+'1 ~ . ~ . P.N'I ~ . ~ ·\E· (l-Bvp ) Bvp = ~ i,(:r'p ;;~ N:1. ( . ) 2. C:1' C1'p

Uma maior correlação entre as taxas de retorno dos

ativos, torna menos provável que o preço do ativo opcionado (V)

exceda o fluxo de caixa do ativo de entrega P na maturidade da

opção, diminuindo conseqüentemente o valor de Cio

i,Ci( ) i, r.)

i'~Ci()

i'~r

N i +,' ( . ). P. N ,; ( • ) • ,E. (J'vU'p < O (88)

N;I.(') 2.c1'

i V.i~Ni+'1 .bx

bx i~r

U::::::".r-T.(~Ni+'I'(:~x - :::::::::: 1I:::::;"n.r-'1:'n.bNi+'I-n.i'x + bx br n=l bx 6r

i

68

+ '1:'. IF~-:::" • r -'1:' • N i + :1. ( .) + :::~~::::: 11::::::" n . T n . r -'1:' n . N i + :1. -n ( d n , .. , p i -:1. , i) ( 89) n=l

('~Ci()

ór

i '1:' . 11:::::" • r -T • N i + :1, ( .) + :::~~::::: 11::::::" n . T n . r -T n. N i +:1. -n ( d n , .. , (:) i-i, i )

n=l

Influência de variação na taxa de inflação

A inflação pode afetar de duas formas o preço da op-

ção. A primeira, alterando o nivel da taxa de inflação, com e-

feito somente em termos nominais. A outra, modificando o preço

real, através da variação da dispersão dos preços relativos, o

que se realiza através da mudança das variâncias individuais ou

do coeficiente de correlação entre os preços dos ativos (V) e

(P) .

Análise do caso determ:1. nistico

Aplicando o Teorema da paridade para opçao seqUen-

cial, o valor do capital, patrim6nio liquido (PL), pode ser es-

crito como:

+ C2 (P·q2,C 1 ,T 2 ) + ... + Ci-l(P·qi-l,Ci-2,'1:'i-l)+ Ci(P·qi,Ci-i,Ti) ( 9 O)

Os dois primeiros membros refletem o valor atual do

capital (PL) se a d:l.vida é sem risco. Os outros (i+l) componen-

69

tes são opções de "default" de venda, uma para cada data de pa-

gamento. Assim, o valor da d:í. vida é o valor da firma menos o

valor do capital (PL). Do Teorema da Paridade, o valor da dívi-

da é dado por:

- C, .. , ( P • q, .. , , C'I ,T' "") -.1.. .1"., ,I ..

Os (i+1) primeiros membros representam o valor equi-

valente de um t:í. tulo sem risco, com (i + 1) pagamentos remanes-

centes. O valor da divida é reduzido pelas (i+1) opções de

"default" de venda emitidas pelos acionistas contra os credo-

res.

No caso dos ativos serem perfeitamente correlaciona-

dos, positivamente, e com o mesmo nivel do risco, a opção é sem

risco. Não havendo risco embutido, a opção seqüencial pode ser

vista como uma obrigação e não mais um direito, o que anula as

diversas opções de venda dos acionistas (ou mutuários) contra

credores que resultam do Teorema da Paridade "put-call".

( 91)

11:::::::: II!~::~!II 11::::::" ::ii:: .... Ir· 11.. .... 1111.. ...... I[::~ ··,ql-

.. _----_ .. _ .......................... _ ....... _ .............. _-_ .. _ ... _ .. _ .............. -._--,---

Analisa-se a eficiência no mercado de lançamentos i-

mobiliários. Existem 2 alternativas para obter o bem: a opção

de comprar o imóvel em construção com pagamento à vista, ou a

de efetivá-la através de financiamento. A maior demanda verifi-

ca-se, logicamente pela última, diante do elevado valor monetá-

rio envolvido e do correlato risco, face à inexistência do ati-

vo a priori. Como assegura a teoria de finanças, uma das fun-

ções do ativo "opção" é a de completar os mercados. Ao modelar

a compra de um imóvel financiado por uma "opção seqüencial",

entende-se porque este tipo de oferta viabiliza o mercado, ao

exercer sua função principal, completando-o ao adicionar liqui-

dez aos empreendimentos imobiliários.

o teste de eficiência do mercado resulta da compara-

ção do sinal (prêmio) praticado com o resultante do modelo, da-

do todos os outros parâmetros conhecidos e constantes. Sendo a

diferença relevante, pode-se suspeitar de ineficiência do mer-

cado na colocação de seus preços ou vice-versa, caso contrário.

70

71

Uma venda financiada de imóvel em construção divide-se em vá-

rias partes, a saber: sinal, parcela na escritura, parcelas

mensais e/ou semestrais, podendo ser fixas ou indexadas durante

a construção, a parcela das chaves e o financiamento de longo

prazo após a entrega do bem. Por simplificação, considera-se

com os quatro passos principais. O sinal como a compra da opção

. I' d" I d sequencla ; a escrltura, num prazo e 1 mes apos, como preço e

exerc:í. cio da primeira opção; as chaves, como o preço de exercí-

cio da segunda opção e o financiamento, como o preço de exercí-

cio definitivo da opção seqüencial.

Sendo conhecidos os vários preços de exercícios das

opções, prestações fixas em termos reais, o preço do imóvel à

vista, a taxa de juros livre de risco, a data de exercício para

cada opção e a volatilidade do valor do imóvel à vista, chega-

-se ao valor do sinal justo, caso as hipóteses do modelo sejam

satisfeitas. No mercado de opções de ações, trabalha-se com a

volatilidade como variável endógena, calculando-a implicitamen-

te no modelo, comparando-a posteriormente com o valor histórico

para tomada de decisão. Faz-se algumas cr{ticas para as variá-

veis preço do imóvel à vista, volatilidade , juros e preço de

I • exerCJ. C10.

72

Inicialmente, pode-se pensar que o preço à vista do

imóvel em construção será dado pelo mercado de imóveis usados

com as mesmas caracter:í. sticas do novo ativo. Entretanto, têm-se

alguns pontos a objetar. O imóvel usado é alugado ou utilizado

para moradia própria, gerando renda. Durante a construção do i­

móvel novo, este fica impedido de propiciar o valor presente do

fluxo de caixa proveniente da renda de aluguel. Adicionalmente,

na construção, existem três riscos não contabilizados pelos a-

tivos similares, que fatalmente, afetam o preço.

O atraso nos prazos de entrega do imóvel, risco mais

comum; a falência da construtora e a elevação substancial dos

custos de construção superando o valor financiado, levando à

paralização das obras, podendo ser neutralizado pela indexação

do financiamento ao :í. ndice de custo da construção civil. O pre­

ço à vista foi pesquisado com a construtora responsável pelo

lançamento específico. Este realizou-se em julho de 1988 e o

prédio encontrava-se 90% construído, faltando infra-estrutura

referente ao serviços, com promessa de entrega em março de

1989. O preço à vista seria 90% do valor atual do financiamento

total, descontado a taxa de juros de 1% ao mes. Em novembro, o

preço elevou-se para 95% do valor atual do financiamento. Os

preços foram deflacionados por um índice de preços da poupança,

73

para aplicação do modelo.

A determinação da volatilidade do preço real à vista,

é estimada a partir de série histórica, fornecida pelo Banco I­

catu, para apartamentos usados com características variadas e

de diversos bairros da zona sul e norte do Rio de Janeiro. Para

cálculo da volatilidade histórica toma-se o logaritmo natural

da variação dos preços. A volatilidade encontrada oscilou na

faixa de 0,12 a 0,21 a.m. e foi empregada no teste, dada a ine­

xistência desta para região do lançamento imobiliário utiliza­

do, Barra da Tijuca. A medida em que a obra concretiza-se, os

riscos assinalados anteriormente começam a desaparecer e o va­

lor esperado do fluxo de caixa de aluguéis não recebidos, dimi­

nui. Isto posto, a evolução dos preços em lançamentos imobiliá­

rios deve sofrer aceleração mais acentuada do que aquela dos

preços dos imóveis já existentes. Assim, sua volatilidade deve

ser inicialmente superior à do mercado de usados, e convergir

ao final da construção, no sentido do mercado. Na análise, a

reputação da construtora é considerada, desprezando-se assim os

riscos adicionais aqui abordados.

74

TABELA I - VOLATILIDADE MENSAL - IMÓVEIS

Bairros Sala + N~! de Quartos 1 2 3 4

Botafogo 0,18 0,13 0,15 ----

Copacabana 0,12 0,14 0,17 ----Flamengo 0,14 0,15 0,16 ----

Ipanema ---- 0,19 0,14 0,16 Lagoa ---- ---- 0,17 0,16 Laranjeiras ---- 0,17 0,17 ----

Leblon ---- 0,16 0,17 0,18 Tijuca 0,13 0,12 0,14 0,19

Quanto à taxa de juros sem risco adota-se 1% ao mes,

dado a inexistência atualmente desta na economia brasileira,

para os prazos compat:( veis com o per:( odo de duração da opção.

Esta taxa é normalmente aceita para os aplicadores no mercado

da construção civil.

o periodo para o exerci cio não varia nas opçôes exis-

tentes no mercado financeiro. No mercado imobiliário este pode

afetar decisivamente o valor do bem, em virtude da renda ganha

ou perdida, dado a antecipação ou atraso da entrega do bem, que

deve coincidir com o vencimento da opção seqüencial. Existem

contratos prevendo multas, para atrasos da construtora.

Ao observar os dados do empreendimento, no que tange

ao lançamento ao público das 448 unidades no per:í. odo de 6 me-

ses, percebe-se uma elevação média de 35% a 40% nos preços dos

imóveis vendidos nos três primeiros meses. Tomando-se, entre-

75

tanto, séries de preços de diversas ofertas de apartamentos em

diferentes bairros, existe uma única configuração que corrobora

a hipótese de tendência altista de mercado, que seria aquela

com os apartamentos oferecidos no bairro de Copacabana de sala,

quarto subindo 25% a 30% em média. Todo os outros bairros entre

os quais: Botafogo, Flamengo, Ipanema, Leblon, Laranjeiras, La-

goa e Tijuca tiveram compartamento indefinido, sendo que em al-

guns a tendência foi declinante. A construtora participava pela

primeira vez de lançamento imobiliário na cidade do Rio de Ja-

neiro, contratando duas empresas assessoramento nas vendas. 1s-

to posto, dado o desconhecimento à priori do preço à vista que

o mercado estaria disposto a pagar, adotou-se uma pol{tica de

vendas, com aprendizado ao longo do tempo, efetuando ajustes

reais positivos pelo excesso de demanda do mercado. O baixo

prêmio pedido e consequentemente baixo risco, elevou substan-

cialmente as vendas.

A estratégia adotada no lançamento claramente subava-

liou o valor de mercado dos ., . lmovelS. Trabalhou-se com uma vola-

tilidade impl:í.cita em torno de 0,13, aumentando o preço à vista

25% reais em três meses consecutivos com relativo sucesso e li-

quidez nas vendas. Negociou-se 204, 139 e 40 apartamentos, res-

pectivamente, de um total de 448 poss:í.veis (85,5%)). No quarto

76

mes teve continuidade o processo de aumentos do preço real o­

fertado, 8% em média, utilizando-se, entretanto, um desvio pa­

drão bem mais baixo e mesmo assim resultou em perda de liquidez

da opção, preço acima do mercado, realizando somente 3 transa­

ções em cada um dos meses subseqüentes. A elevação do sinal

(prêmio), embutindo um risco maior, compatibilizaria com uma

postura agressiva no mercado, natural para oferta de imóveis do

tipo "apart" e provavelmente não afetaria a liquidez. O lança-

mento inicialmente associa um risco impl:í.cito mais elevado e

portanto um prêmio adequado a esta situação.

A primeira etapa deve contemplar todas as volatilida­

des poss{veis para um mesma preço. O modelo sugere, que os pré-

-lançamentos devem ser feitos de forma a extrair sinais do pre­

ço h vista e volatilidade compat{veis com a estrutura de finan­

ciamento, maximizando assim o retorno global em etapa poste-

rior.

,.r

F" IFi:: C]I C: E- ~S; ~~::3; 1[::11 IE~ S T OI rc: ~!~~h S T ::[ C:: O

Seja Xt, com t • [0,=) ou t E [O,T]

Xt == Xt(W), isto é: Xt: n --+ R, ~;It, é urna variável aleatória.

tem-se Xt = X(w,t) V.A. Se fixar

--+ tem-se um caminho cont:í. nuo no tempo (t).

Onde w é um estado da natureza poss:í. vel e Çl espaço amostraI.

Processo estocástico é urna seqUência cont{nua no tempo de va-

riáveis aleatórias.

Processo de Gauss-Wiener é um processo estocástico

Wt, t m: [O, + c::.::) [, guardando as seguintes propriedades.

i) Wo = O

ii) E Wt = O, Wt ~ N(O,t), fixado t, é urna variável aleatória

normal de média zero (O) e variância t.

iii) E(Wt+:t-Wt) (Wt-Wt-j,) = O e E(W~;:~-W:L)(W:L) = O, é um processo

com incrementos independentes (passeio aleatório).

iv) Ws-Wt '\' N(O,s-t); se s:;::t.

77

78

._._----_ ........ ---_._ ...... -....... _ ... _ .. _--------_ ...... _--

I II .... II-t dll,",llt :::: .... • I I .....

n

Lim. M.Q. :::1E: 11:::JI"'t· l-j.

n~(:'::)

max·1 ti -ti-:,. I ~O i=:L

onde II,.HJl t é um processo estocástico de Wiener e IC]I"'t um processo

estocástico com determinadas propriedades. 11:::]I"'t ::::: II:::lr·(t,w)

Lim. M.Q. - Limite em média quadrática. Ver Malliaris (1984).

o preço dos imóveis em lançamento imobiliário segue

um processo estocástico de Wiener definido pela equação dife-

rencial estocástica abaixo:

dV

V

ex dt + <:1' dW

(:x - taxa de retorno instantâneo do preço do imóvel

rr - variância instantânea

dW - processo de Gauss-Wiener padrão

Calcular dlog V

( 1 )

Fazendo Xt = Vtl e ft a e aplicando o Lema de Itô; - pág.37

oU = 1 (~ ~~U = -1

oV V ê~ V~;:~ V~;~

[ ~vJ 2

dlog V = 1 dV + 1 . ( - ( dV~;:~ ) ) = dV 1 -- -V 2 V~:~ V 2

[dn dlog V =

79

2 2 2 2 = ~ dt + 2~.a.dtdW + a dW

dV _

V

1 2

~dt + adW -

dt + adW

Tomando a integral estocástica:

ft dlog V = ft [a-~2J dt + ft~dW o o o

Utilizando definição de processo estocástico de Wieneri Wo = O.

( 2 )

E(log Vt) = log Vo + (~ - O,5.a~)t = ~v ( 3 )

( 4 )

A primeira f6rmula dá o logaritmo do preço do im6vel

na data t, em função de parâmetros conhecidos e do processo es-

tocástico Wt. A segunda f6rmula dá o valor esperado do logarit-

mo do preço do im6vel e a terceira a variância ou sua volatili-

dade.

80

, - CALCULO DAS 1: NTEGRA 1: S

__ Para resolução do modelo de opções de Black & Scho-

les, precisa-se calcular duas integrais, explicita-se aqui suas

soluções. Sendo z, uma variável aleat6ria com função densidade

de probabilidade log-normal, fez), ~ a média da variável alea-

t6ria transformada (log z), a 2 sua variància.

Co:;)

f co f (z) dz

K f z.f(z)dz ;

K

onde z é lognormal.

Fazendo a transformação de variáveis X = log z.

dX = dz --z-

o:;)

I f(z)dz =

K

Co:;) I f(z)dz =

K

. X é ,

(a~

normal ----. X '" N(~,a2)

CI::>

)-'I exp [ - p og . z -" lO] dz 2a 2 z

K

dX ; X'= X-~

Padronizando a variável aleat6ria X, ou seja transformando numa

variável normal, X'. X' ,\, N(O,l).

Co:;) Co:) I f(z)dz =

K

(<T~ ) -, I exp -[ - (~. ). ]

logK-~

C1'

dX'

81

co -K Usando a igualdade f f(Y)dY = f f(Y)dY; Y ~ N(O,l).

K -co

FunçJIo densidade de probabilidade da Normal : N(O~ 1) 0.-4 r-----,---~---::_I' __ --_,...---"'"T""---...,

0.3

0.2

0.1

Co::)

I f(z)dz =

K

x

dX'

Se Vt é lognormal, então log Vt é normal

3

. _ 1 ..

= N [ logVQ+(~ - O,5.~2)t-lOgKJ (6) 1/2

~ t

Co::) I f(V)dV = N [

K

log(Vp/Kr-t ) 1/2

~ t

( 7)

Cálculo dá 29 integral, com a qual, fecha-se o modelo de opções

de Black & Scholes. Fazendo a transformação de variáveis z = eX

dz = zdX.

Co::)

J z.f(z)dz =

K

(~~ Co::)

)-lJ exp

logK

Completando os quadrados na forma, (X-(U+~2))2

. ,

82

(:1::> o:)

IZ.f(Z)dZ=(".)""2,;)-l! exp [

_ (X~;" - 2 f,lX +f,l ~;:~ - 2!:r:~:: X +0"'1- +2 f-lO"z ) -0"'1- -2 f-lO"Z] dX

2 (J""

K logK

C:1;::' C:I::;)

I

Z.f(Z)dZ=(O")""2,;)-lj' exp [- (x-(p+(r~;:~))~;"-::~,~Z(O"Z+2f..l)] 2(:1"'"

dX

K ' logK

r.'I::> (".")

I ~. f (z) dz= (".)""2,;) -' exp( "+''''/2)[ "~xP K logK

Padronizando a variável X ~ X' = X- ( f,l+(T'~'" ); X' '\' N ( 0,1) o'

J:~ f ( z ) dz = ( ,,)""2,; ) - L exp ( .. +,," / 2 ) 1'0 exp [- ( X /'] dX

K logK-p _O" (1'

dX

= ,p-logK + O"

J z.f(z)dz=(",)""2,; )-LA ex:-[-~"] dX'=A.N [U-l~9K + ".] (8)

K ' -(::'::l

Onde: A = exp(u+c1'~"~/2) = voéllt

c·::>

J Vf(V)dV=A.N [Uv-10gK +(:rv ] =N [lOgVo +«(Il-(1/2)(jZ)t-10gK +O"jt]

K crv O"J t

c·::> I Vf(V)dV

K

voe(lltN [ lOg(Vn~~~-t) (1" t

+~ 2 ]

( 9 )

(10)

83

Dada as fórmulas 2,3 e 4, define-se as variáveis normais padro-

nizadas Xi' Subtrai-se da variável aleatória (logVi) a média ~i

e divide-se pelo desvio padrão cri. Estas "' " varlavelS aparecerão

em nosso modelo, a exemplo de Xt no modelo de Black & Scholes.

(j"i= (jvG desvio padrão de logVi

'1~i= Ti-to

Xi = },li-logVi (J'i

X" 1

logVt- logVp-(a-0.5cr2 )T cr('1:') 0.1:;

= - logVi-logVÇ)-(c:(-0.5cr:;:~)'1:'i

cr('1~i) C).!5

(11)

(12)

o coeficiente de correlação (Pti) entre duas variáveis aleató-

rias normais padronizadas Xt,Xi, é J Ti/Tt , onde i<t.

VarXt = VarXi = 1

logV i -logvo - ((;1.-0. 5(j,2 ) '1~ i = crW i, fórmula n~,! 2.

] = min ( T ,1:' i )

J T.'~ i

84

Pti= E(Xt,Xi) - E(Xt)·E(Xi) (VarXt. VarXi) o .!S

(13)

No modelo de Geske e na determinação do preço do ativo A2 , PA2'

Xt(Vo,t o ) = - logVt-IogVn-(a-O.5a2)~ (j'('l:') 0.1;;

Xt(Vt1,t i )= - logVt-logVt'I-((;I.-O.5c1'~;:~)('l:'-T'I) c1' ( T -'l:' :1, ) D • u;

Somando e subtraindo Vo e colocando em evidAncia T e ou Ti'

Colocando em evidAncia J 'l7 h:' :1, no denominador do 2g termo da ex-

pressão acima;

J (T/Ti)-l =J T/~l J 1-(T 1 /T) = J 1-(pt,i)2 r:) t, :1,

Utilizando, agora a definição de Xi:

Generalizando para a variável aleatória Xi, calculada no ins-

tante j, to=tj, t=i e j<i;

X' -r~' 'X' = 1 LJ J J 1-(Pi,j)2

(14)

Definidas as novas variáveis e suas propriedades, retorna-se ao

85

processo de determinação do preço do ativo An + j , ou sinal dado

na compra de um imóvel em lançamento imobiliário. O preço do

ativo Ai na data ti representa o prêmio de uma opção de compra

O preço do ativo A~, PA2' é o prêmio da opção de compra do ati-

vo Ai na data T:l . Assim C:1. = Pk;:~ é o valor esperado futuro des-

contado pela taxa de juros sem risco do valor da opção na data

do I , exerc:1. Cl.O, Tj,' Por simplificação, divide-se em três parcelas

C:I:)

D:I, = J Vt:l..N(d+C:l"J 1:'-'~:':I, )f(Vtj,)dVt:l V:I,

(::'::)

r N(d).f(Vt:l.)dVti ; D:3 , V

j,

(::1;:)

(",';)

P1 r'" f (Vtd dVti 'V

i

J Vt1.N Ui:~;~:~pXb +crJ T-'1 ] f(Vt1 )

dVt1

V:I,

Colocando c:r~ em evidência na expressão acima.

rI J 't'-T. :1, = CT r;:- J l-(rJ ,)~;:~ V T t, ,I.

c:.;:)

( 15)

Dj, =

J Vti .N

[Xt(P)+C:l"J3" -f,)t, 'I JX~'l:(jJ-:;;~ ) ] f(Vti )dVti

( l-(p ,),.:,)tl',:I t, .I, Vi

86

Utilizando o resultado da fórmula n2 8, e explicitando a função

densidade de probabilidade da normal em forma de integral;

I,! j -logV'1 + c1' j,

D, ~ {:p [~!X~1 ). J

d +rJ' r;-j, V 1. j,

D,~V(;::h exp [-qY J -(::1;:)

A independência das • I • varl.avel.s

d+crJ-:;' -p t, j (Xtil +crJ;tj::) (1-(r:lt,1)2)c).!ii

ti exp [-! W, ;t,)"] . dW, • dXt1

-(::-::)

ti normais padronizadas Xti; Wi ,

encontra-se no final do apêndice. A expressão para Di é:

d = logVp-IogP+(a-O.5cr2)~ (j(.,:,)Cl.!ii

d:L +crF,

di = logVp-IogV,+(a-O.5cr2)~,

(:1' ( 'l:' :1, ) D • !ii

J .. C' :1, h:- )

Para o cálculo de D2, o procedimento é idêntico.

87

Dz. =Per ('i. :1. -"C' ) ( 2rr )

exp [_(X~,). ] exp [- (W" í t1 )"] dW,. to • dXto

-c:,::) -co

o valor de D3 é obtido diretamente da f6rmula ng 6. A expressão

final para o preço do ativo A2 é C2 = PA2.

o preço do ativo A;:l' PA:'~, é o prêmio da opção de compra do ati-

vo A2 na data T2. Assim C2 = PA3 é o valor esperado futuro des-

contado pela taxa de juros sem risco do valor da opção na data

do exercício, T2. - pág.56

(",':)

C3 = e-n:'t-~::~ {J "~t=~Nz (d+cr ~; d j . +crF; r:) t,:1. ) f (Vtz) dVt2-

v~~

(",")

- Pe-r("C'_"C' .. ~) J· .... N (d·d .~) )f(V )dV - 2' :1.' ,. t, :1. t 2 t =~ -Vz.

(.':1::)

- P e-r("C'.I.-"C'~) J' N(d )f(V )dV P 1 . - 1 tz. tz. - 2

'V j.

(.-:1::)

J f (Vt=d dVt2 } V~I~

Para simplificar o cálculo de C~:l = PA:':l' define-se as quatro

parcelas E1,E2,E3,E~, que resolvidas, dão o preço do ativo A~.

88

c·;:)

E i = f Vz. .Nz. (d+crJ '1:'-'t'~t idj, +crJ 'LI. -T~:~ irJt, i) f (Vtz. )dVt=:: Vz.

(::.:;)

E = pe-r('t'-'t'~) J' N (d d )f(V )dV z. ".,~::: i :I,ir:)t,:I, t~" tz. v~::~

E = j,

+ o;:) ,d:1, +CT J '1:':1. -'t' ~::~

~[ 211

exp [-(X~l )O} V:;::

-(::.::)

c:.:J

E'I'= p~.~J f (Vtz.) dVt:;:: V~;::.

,d+cr

Nos limites superiores da integral múltipla acima, as variáveis

d e di devem ser calculadas no ponto (Vz. ,T~:::). As transformações

estão explicitadas abaixo, definindo os novos limites Hi , H2 •

= H:I.

d+cr

Usando o resultado da fórmula n~,l 8, e explicitando a função

densidade de probabilidade da normal em forma de integral i

E =V e-O(T ".' j, O .,,, (2rr):I .• m

E =V e-cx·r. " 1 º .,,,

( 2'1'1' ) :1. • !,i

89

.P'j'- logV'j' + cr,., cr~

exp

.d,,+cr r;:-.1.. './1; ~;~

E j. = V. e-Cx '1: o'.' • N (d+('r' r:1" • d +('r' r:::-(,) .,,, :,l . ..; 1., :1.' ";1.:1.

d 2 = logVo-logV'j'+(a-O.5cr 2 )T'j' cr ( '1:' ~;:: ) C) • m

Para o cálculo de E~;::, o procedimento é idêntico.

t:z t:z

t:z t2 dW 1 ·dW2 • dXt2

E2 = Pe -r (To _'1:' ~;:: )

2'I'T exp [- ( ~ l" ] exp [-(~l "] dY.dX.f(Vt:z) .dVt:z

-(::.::> - (::';:)

H~:l ; H,I· .. I .. ..!..

--r-___ l_~ [d-r:) ".' X".' - rJ t '1 (Xt'l -P'I • 'j1' (Xt:;) )]

J l-(r:)t '1 )~;:: l-(r:)t , .. ,)~;:: ~ l-(rJ'1 ",):z ,,, ,.,,, V ,,'~

d,.\

E 2 =Pe -r ('~:' - >~ ) j e:p [- ( Xt 'i' ) ~;::]j':~P [- ( X ) ~;::]j':;p[- (Y) ~;~] (2rr)L., 2 2 2

. -(::.::> . -c::'::) , -(::';:>

t:z t2 dW:l.dW:z.dXt2

90

o valor de E~:l e E 'I, são obtidos diretamente da fórmula n2 6,

chegando a expressão final para o preço do ativo A3 , C2 = PA3'

d~;:: ; J 'l:'~;:~/'l:':I, )

i(:"1 i(:",'i(:1-,·) -.. .1.. \;)

Pode-se agora por indução, expressar a fórmula para o preço do

ativo An+:I.' Cn = PA( n+:I, ). O preço do ativo An +:I" é o prêmio

da opção de compra do ativo An na data T-n. Assim Cn +1 =

PA(n+1) é o valor esperado futuro descontado pela taxa de juros

sem risco do valor da opção na data do exercício, T-n. - pág.63

(:1 t, i , ••• ,(:, n +:1. ,n) - Pr --r. Nn +:1. (d, d :1, , ••• ,dn , fi t, l, , ••• ,(J n + 1 ,n) -

n

~1 Pi· r - Ti . Nn-i(di,di+:I.'··· ,dn /' i,i-:I,"") l=

di(Vo,t o ) = logVn -logVi+(a-0.5rr 2 )Ti CT('t-i)Cl.m

o ---+ V=Vi

o ---+ V=V:I,

logV,-logP+(a-0.5rr 2 ) (T-T, ) CT ( 1:' -'T,' j, ) C) • !:;

o ---+ V=V2

91

d(V2 ,T 2 ) = logVz -logp+(a-O.5a2 ) (T-T Z )

cr ( 'l:' - "r. :;:~ ) <:) . !,i

Para demonstração da independência das variáveis aleatórias que

aparecem no processo sequencial de determinação dos preços dos

ativos Aj, ,A:,~ ,A;;J ,A,!, ... ,An,An+:!" prova-se primeiro, propriedades

do coeficiente de correlação ou covariância entre duas variá-

veis normais do processo estocástico definido anteriormente

(média ::::: O e variância ::::: 1).

Xt - r:) i, j Xj (l-(rJt,j):;~)(),m

Xt-'! - r:) t-" , j Xj r' ~ (') r (1-(' _, ,)":,),,,:>

t .1" J

; Xj+" - rJj+j,j Xj ( l-(r:), ,)2)0,S

J+1,J

A covariância entre as variáveis ( Xt-Pt,jXj) e Xj é zero. ( 1- ( r:) t , j ) :.~ ) Cl , !!i

E [( Xt - Pt,j Xj )'Xj] = (l-(Pt,j):;:~)<:),!,i

O

92

A covariância entre duas variáveis aleatórias normais padroni-

zadas Xt - Pt,j Xj ( 1 - ( rJ t , j ) ~;:~ ) Cl , !,;

E [( Xt - Pt,j Xj ( 1 - ( r:) t .):;;:) Cl , !:;

, J

= r:) t ,k - r:) t , j . r:) k , j

= J ( ·t'k-·1:· j )

(T t -T j )

Xk - Pk,j Xj onde t>k>j>o ~ idAntica a ( 1 - ( r:) k, j ) :,:~ ) Cl , !,;

COV(Xt,Xk)(Tj) = (Tk-Tj) (Tt-T.·j)

= (Tk-Tj)/(TtTk)C,s =

((Tk-Tj)(Tt-Tj)/(TtTk))O,S

Da demonstração acima tira-se uma importante relação.

'11"') 11:::=" 11"""11 11"· .. ·11 11· .... 11 ,I::::::" .... 11 .... 11::::;'" :!::!: 11" .... '· :!:~: 11" .... 11 11::::::" 11" .... IIII::::;i" "11" U·', .. U '11""'11 11 1I Ir ...... "25; CJ1 ..... ........ ...... • ·, ...... 1' ',. II 11 .::11"" II II ...... ...... I. .. .. ...... ...... .::11"'" ~ .. ... _---.......... __ .. _--_ ..................... _ ..... _ ....................... _ ................................... _-_._._ ............. -

o preço do ativo A:I. ~ o prAmio da opção de compra do ativo fi-

nal V (imóvel) dado por S = PA:L • Na primeira etapa tem-se so-

mente a variável aleatória Xt.

o preço do ativo A~:~ ~ o prAmio da opção de compra do ativo Ai

93

dado por Ci = PA~' Nesta etapa com duas iterações tem-se as va-

riáveis aleatórias Xt,Xtj.' Sendo Xt avaliada em ti'

A' 1

1) E [ Xt:L

t:L W .

:1. ,

]

X t:L Xt - P t " 1 Xt 'l

A:L

E(X,X ) _ P E(X)~ = r.' t ti t,i' ti t,:L - P t , :I. = O

o preço do ativo A3 é o prêmio da opção de compra do ativo A2

dado por C2 = PA3' Nesta etapa com três iterações tem-se as va-

tz W = X _ P X

2 t t,z tz A~::~ .Aj.

[ t2

1) E X W ] t~;;~ :1.

t2 2 ) E L X w ] t2 :2

[ t~ t2

3) E W . W ] :1. ~~

t~ W .

~~ , t~:~

W . :1. ,

t~:~ P W t, '1

O

= O

= O

X t~:::

. , W t~r:

:1.

_ p X '! , 'i'" t'2

A. ,., .1. , • .:.

o preço do ativo A'f é o prêmio da opção de compra do ativo A3

dado por C3 = PA4' Nesta etapa com quatro iterações tem-se as

94

Sendo Xt avaliadas em

t"~ W

:1.

o preço do ativo As é o prêmio da opção de compra do ativo A.q.

dado por C~= PAs' Nesta etapa com cinco iterações tem-se as va-

Sendo Xt avaliadas em

t'I' t'l' t'l' t'l' Xt;Xti;Xtz;Xt3;Xt4 ---+ W . W W . W Xt"t 'I, , 3 ~;~ , i

t'l- t'l- t'l' t"t W X - (.) X p W P W P W

.q. t, t,. 'I' t,~, t, dI t. 't '( t,d iJ

A,~ ,A3 . A~::: . A:l A;;~ .Az.. A:l Az .A:L Aj,

o preço do ativo Ak+j, é o prêmio da opção de compra do ativo Ak

dado por Ck = PAk+:l' Nesta etapa com (k+l) iterações tem-se as

seqüencialmente em t j" t~::, t;", t'f' ... , tk'

;Xtk ---+ tk tk

Wk ; Wk . - j, ,

tk p W

t,. k-'I

Sendo Xti avaliadas

... ; tk

W . ~z. ,

tk W

k-? p

tk W

1 ;

t, • ;!,

tk W

k-1

95

o preço do ativo Ak+=:~ é o prêmio da opção de compra do ativo

Ak+:t dado por Ck+=:~= PAk+~::~. Nesta etapa com (k+2) iterações tem-

-se as variáveis aleat6rias Xt,Xti, .. ·,Xtk, Xtk+:t. Sendo Xti

avaliadas seqüencialmente em t:L, t~::~, t;.:~, t'I.' ... ,tk' tk+1 .

Xt· Xt·, ; Xt,·, ; , .I. .1 ..

tk+:1. ... ;Xtk;Xtk+:1. --+ Wk +:1. ; . ... ,

tk+1 W

tk+1 W

1 x ; tk+1

tk+1 tk+:I. tk+1 W X - P X r:) W r:) W

k k+:I. t t. k+j tk+'1 t.k '1, t. '1 Ak+:I .. Ak· Ak-:1. . .A:1. Ak·Ak-:I .. .A:1. A:t

Para demonstrar que a seqüência de k+i variáveis aleat6rias,

por indução que vale para z, demonstra-se que vale para Z+1, ou

seja, que a inclusão de mais um per:í.odo, gera uma nova seqüên-

cia de k+z variáveis aleat6rias, Xtk+'1 .w·1 .W,., ••••• Wk-1· Wk. Wk+1 .. , .. , ., .. , , "

que são independentes duas a duas. Para satisfazer o Axioma da

Indução, tem-se que provar que vale para 1 e 2, o que já foi

feito anteriormente.

avaliadas em tk _ t-k.

tk W = X p X

i tk-, - k.k-' tk Atk-:L, tk

tk W ~

tk W

:3

tk W

,~

96

tk = X

tk-í' - fJ Xtk

f:) ,k-'i"

W k,k-7" k-'I 'I

k-j, Atk-'" tk-'I ,I .. I '.

'r'l Atk- ~,~ ,t j j=k

tk tk = X

:tk-,'l - P X:tk f:)

, k-i"l W

k, k-iJ k-'I 'I p w k-z ,k-iJ z

k--' ,I .. k-"~ .1 .. Atk-3,tk-~ '11'''1 Atk-~:l' tj j=k

'11"11' Atk-;'l'tj j=k-:1.

tk = X

tk+~, - fJ Xtk

f:) ,k-'I'

W k,k-'I' k-'I 'I

k-~:l k-;,l '11"''11' Atk-'I' tj '11""11' Atk-'I' tj . k ' . k ' J= J= -:1,

tk p w

- k-,'l ,k-'I' i'J

Atk-'I' ,tk-;,l

tk tk = X p X r W t - t,k tk - t,k-' ,

f:) W t,k-? ?

:L

'11'''1 At, tj j=k

:1,

'I~"'II' At, tj J=k-:1.

:1.

'n"'lr A . . t,tJ J =k-~;:~

tk - r t, j Wk- 1

At't1

Considere a seguinte transformação t'=t-1 na segunda seqUAncia

de variáveis aleatórias. Esta mudança transforma as primeiras

k+1 • I • varlavels, na primeira seqUência de variáveis aleatórias,

que por hipótese de indução são independentes duas a duas. Des-

ta forma resta provar que a última variável aleatória (Wk+1) I e

independente das demais.

tk+:1. X k . W t +:1.' :1,

tk+:I, W

97

. ... . , ,

avaliadas em tk+1 _ t-(k+1).

tk+:1. W = X p X

i tk - k+j,k tk+l

tk+:1.

Atk,tk+:1.

k 'I:r Atk-:1. ,tj J =k+j,

X tk+'1

tk+:1. tk+:1. W

k-:1. W

k

(:) W - k, k-'I

tk+:I.

Atk-:I, ,tk

tk+j, W

k+:I,

tk+:I, W = X p X

tk-z - k+l,k-z tk+l (:) W

k . k-? ( tk+:1. )

tk+j,

k-:1. '~~'T Atk-:;::, t j J =k+j,

tk+:1. (:) W

- k- j ,k- 'i' ( tk ) ?

Atk- ",- tk-'I ,I .. I ..

W = X p X 'I, tk-i-l - k+'I, k-j"l tk+'1

k -",-,I ..

'n~lI' Atk-;':l,tj J=k+:I,

k-:I, '11""8' Atk-:;::, tj j=k

p W k, k-j'-l ( tk+:1. )

k -",-.1 ••

tk+:I,

tk+:I, tk+:1. (:) W

- k-j ,k-j'l (tk) 'j-'

k-z

~'1 Atk-;'l, tj J=k+:1.

................

tk+j, W

k = X p X

~tw:l.~-__ ~k~+.'I~'~'I ___ t~k~+~'1

(:) k W - k-z,k-a(t +1) a

Atk-"l tk-~ ,: , .1:.

tk+:1. W

1~"1I' At:l., t j J=k

98

tk+,. Wk = Xt p k X k +1 _ - t, +1 t +1

j.

,n At,tj ) =k+j.

tk+j. r'l W

- . t,k '1

:1. lf'1I' At t)' 'k ' )=

tk+:t. - P t,'1 Wk

At,ti

tk+j. 1) E [ Xtk+:t.· Wk +:I. ] = E(Xt .Xtk+:I.) - r:lt,k+i .E(Xtk+ 1 )2 =

= Fl - r:l = O t, k+:I. t, k+:1.

tk+1 tk+:1. 2) E [ W,.. • Wk ., +j. ] =

E X rJ X t - t,k+, tk+'1

:1. 'I~"l At, tj ) =k+j.

tk+:1. '.l W

- I' t,k+'1

:1. ·11 .... 11' A ' , t,t) )=k

tk+:I. 2

= Pt,k(tk+i) -Pt,k(tk+i)·E(W\ = O :1.

rll' At t)' 'k ' )=

tk+:l 3) E [ W~~

tk+:t Wk ] = +j.

E tk+:1.

X r:l X t - t,k+" tk+j - r:l t, k- j (tk+:1. ) . W:I~

:1

.~ At,tj ) =k+j.

Xtk+, - P k +, ,k-l Xtk+ 1

k '1!1' Atk- j. , t - j )=k+:I.

:1. 'rl' A ' , t,t) )=k-j.

tk+:I. p W

k+'I,k '1 Atk-:I. ,tk

= 1

,. n At tj j=k-:I,'

99

tk+jo

[

p r:) r:) p t,k-ol (tk+:lo) - k,k-ol' t,k - o t,k-jo (tk) .E(Wz.

Atk-:1. ,tk At,tk

= r~ t , k- :10 (tk) o

tk+t 4) E [ W~:~

tk+:1. Wk +:1. ]

E tk+:L

x r:> x tk-z - k+l ,k-z tk+l

r:) W - k, k-:io

'

k-jo °lr"lr Atk-'oo' tj j=k+:1. o."'

x _ r:) x t t, k+:lo tk+ol

:1. o~k At,tj J= +jo

tk+:lo IJ - t k-~(tk-l).E(W7 , ,I.. \;~

k-:1. 011""\1

0 Atk-'oo' tj

j=k o."'

:1. °lr-Olr A . . t,] J =k-~.:~

) 0':0 'o,] =

:10

1

n At . . k ,J J= -~::~

[I' ( tk) r:> r:) r:> ( tk ) ] t,k-'j' - k-j ,k-?' t,k-:lo - t,k-~::~ -jo =

Atk- ~:~ , tk-:1. . At , tk-:I.

tk+" 5) E [ W.~

wtk+:1. ] k+:I,

100

tk+:1. E X p X P W

tk-3 - k,k-3 tk+1 - k,k-3 1

k -", ,I .. k -"" .1"

'1~"lI' Atk-;':l, tj J=k

'I!I Atk-;õ, tj J=k-:I,

tk+1

= 1

n At . . k ,J J= -~:l

k-z

[

p

x ('l X t - 't, k+'1 tk+'1

('l W - 't, k+3 .q.

:1,

'lI"lr A . . t, J J=k+:I,

:1.

n At . 'k ,J J= -3

t,k-j'-I (tk+:I.) -

k -", ,I.,

'11'''11' Atk-"'l tJ' j=k " ,

k -"" .1 ..

'11""11'

j=k At . , J

p p (tk) - k-z,k-3' t,k-z -1-

k -,·,\ ""

'Ir1l' A . . t, J J=k-:I,

Atk-"'l tk-",,' At tk-'~ \. I ,I.. , .1 ..

tk+:1. - Pt,k-3(tk-2) ,E(W~

tk+:t. 6) E [ W. 1+',

tk+:I, Wk+:1. ] =

tk+:I, tk+1 E Xtk . - p k k' X k ±l , +" +1 t +1

r'I W - 'k, k- j 'I

P W - k-, ,k-i ...

k-i 'n Atk-i tJ' . k ' J= +:1,

k-i 'I~"~' Atk-~:l,tj J=k

k-i

~k Atk-i,tj J= -1

=

x r) x t - . t, k+j tk+'1

:1.

'n At J' . k ' J= +j.

:1.

:t. ln At j

j=k-i '

p p (tk) - k- j , k- j, t, k- '1

k-i+:t k-i+:t.

101

tk+:t - r:)k' k . (tk-1'+··,) w. -1+'1, -1 .... 1

Atk- i, tk- i +j.

tk+:I. r') W . t,k-j i+'1

:1.

'II"'I At' j=k-i ' J

k-i+t '11"'11' At ' j=k ,J

r r . - . k-i+j ,k-j·· t,k-i+1 (tk-1+:Z)

Atk-i,tk-i+1 'At,tk-i+1

n Atk- i, t j . '0,' k At, j J=k-:L J= -j.

tk+:I. :;:~J - Pt,k-i(tk-i+t).E(W4 ) Pt,k-i(tk-i+t) - P t ,k-i(tk-i+1) =

= O C.Q,D

Baldwin, C.Y. "Optimal Sequencial Investment When Capital is

not Readily Reversible" Journal of Finance, XXXVIII, pgs

763-782, 1982

Black, F. & Scholes, M. "The pricing of options and corporate

liabilities" Journal of Political Economicy, 1973 May-June

Brennan, M.J. & Schwartz, E.S. "Evaluation Natural Resource

Investments" Journal of Bsiness, LVIII, 1985

Bernanke, Ben. "Irreversible, Uncertainty and Cyclical

Investment" Quartely Journal Economics, 98, pgs 85-106, Fe-

bruary 1985.

Carr, Peter "The valuation of sequential exchange opportunities

"The Journal of Finance", vol 43, n~! 2, December 1988.

Cox,John C. & Rubinstein, Mark "Option Markets", 1985.

Cukierman, Alex. "The effect of uncertainty on investment under

risk neutrallity with endogenus information" Journal of POlyti-

cal Economics, 88, pgs 462-475, 1980.

102

103

Dixit, Avinash "Entry and Exit Decisions under Uncertainty",

Journal of Political Economy, Vol 97, n!~ 3,1989.

Dornbush, Rudiger "From Stabilization To Growth in Latin

America", MIT, preliminary, July 1989.

Fama, Eugene "Risk-Adjusted Discount Rates and Capital

Budgeting under Uncertainty", Journal of FinanciaI Economics, 5

pgs 3-24, 1977.

Geske, Robert "The valuation of compound options", Journalof

FinanciaI Economics, 7, pgs 63-81, 1979.

Geske, R. & Johnson, H.E. "The valuation of corporate

liabilities as compound options: a correction", Journal of

FinanciaI Quantitatives Analysis, vol 19, nQ 2, 1984 June.

Ingersoll, Jonathan E. "Theory of FinanciaI Decision Making",

1987.

Johnson, N.L. & Kotz, S. "Continuous Multivariate

Distribuition" John While & Sons, 1977.

Lucena, José M.P. "O Mercado Habitacional no Brasil", Tese de

Doutorado em Economia, EPGE-FGV, 1985.

104

Majd, S. & Pyndick, Robert S., "Time to Build, Option Value and

Investment Decisions", Journal of FinanciaI Economics, 18, pgs

7-27, 1987.

Malliaris A.G. & Brock W.A. "Stochastic Methods in Economics

and Finance", 1984.

McDonald, Robert L. & Spiegel, Daniel R. "Investment and the

Valuation of Firms When There Is an Option to Shut Down" , In-

ternational Economic Review, Vol 26, n9 2, June 1985.

McDonald, Robert L. & Spiegel, Daniel R. "The Value of Waiting

to Invest", Quartely Journal of Economics, pgs 707-727, Novem-

ber 1986.

Merton, R.C., "Theory of rational option pricing", Bell Journal

of Economics and Management Science, 1976 Spring.

Paddock, J.L. & Siegel,D. & Smith,J.L. , "Option Valuation on

ReaIs Assets, The Cases of Offshore petroleum Leases", Quartely

Journal of Economics, pgs 479-508 1988.

Ross, Stephen A., "Information and Volatility: The No-Arbritage

Martingale Approach to Timing and Resolution Irrelevancy", The

Journal of Finance, Vol XLIV, March, 1989.

105

Smith, CIifford W.J. "AppIications of Options Pricing anaIysis "

Texto de Handbook of FinanciaI Economics - James BicksIer 1979.

StuItz, R.M., "Option on the minimum or the the maximum of two

risky assets " Journal of FinanciaI Economics, 10, pgs 161-185

1982.