análise de investimentos em volume 2 ativos reais ……convencional de análise de investimentos...

Análise de Investimentos em

Ativos ReaisVolum

e 2 - Análise de Risco e IncertezaEduardo Sá e SilvaM

ário Queirós

Eduardo Sá e SilvaMário Queirós

www.vidaeconomica.pt

Visite-nos emlivraria.vidaeconomica.pt

ISBN: 978-972-788-820-7


ATIVOS REAIS

Eduardo Sá e SilvaEduardo Manuel Lopes de Sá e Silva é doutorado em Ciências Económi-cas e Empresariais pela Universidade da Corunha, Espanha, e licenciado e mestre pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto.

Exerce funções de docente no Ensi-no Superior, sendo orientador de di-versas dissertações de teses de Mes-trado e Doutoramento, nas áreas de Contabilidade e Gestão Financeira.

Obras do autor publicadas pela Vida Económica:- Classe 1: Meios Financeiros

Líquidos

- Classe 2: Contas a Pagar e a Receber

- Classe 3: Inventários e Ativos Biológicos

- Custo Amortizado e Imparidade

- Dicionário de Finanças e Negócios Internacionais

- Dicionário de Gestão

- Gestão Financeira: Análise de Fluxos Financeiros

- Gestão Financeira: Análise de Investimentos

- Gestão Financeira: Exercícios Resolvidos

- Gestão Financeira: Opções Reais

- Modelos para a Determinação do Risco da Taxa de Juro

- Normas Internacionais de Contabilidade: da Teoria à Prática

Mário QueirósMário Queirós é licenciado em Eco-nomia e pós-graduado em Estudos Europeus e em Ensino da Economia. Possui experiência na elaboração, análise, acompanhamento e controlo de cerca de uma centena de projetos de investimento, contando também com uma vasta experiência letiva em análise de investimentos no ensino superior e em formação porfissional.

Desde 1993 exerce funções de do-cente do Ensino Superior, na área da Economia e Gestão.

Volume 2ANÁLISE DE RISCO

E INCERTEZA


ATIVOS REAISVolume 2ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

“Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva, em parceria com o Dr. Mário Queirós, aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, o impacto que os investimentos podem ter na sua vida financeira.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contrabalance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, constituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.”

António Domingues Azevedo, bastonário da OTOC

Neste volume são tratados os aspetos relacionados com a análise do risco, com particular destaque para as opções reais. Este volume é sequência do volume 1, em que são tratados os aspetos básicos da análise de projetos de investimento, nomeadamente, os critérios tradicionais do VAL (Valor Atual Líquido) e TIR (Taxa Interna de Rendibilidade).

9 789727 888207

ISBN 978-972-788-820-7

9

Organização da obra

A obra presente tem por objetivo contribuir para o estudo da análise de investimentos em ativos reais. Foi desenvolvida, tendo em conta as necessidades académicas de professores e alunos que pretendam investigar esta temática numa vertente técnica. Por isso, contam-se 75 casos de exemplificação dos conceitos ao longo do texto, mais 53 casos para análise localizados no final de cada capítulo, um capítulo com 11 casos globais e ainda 1 caso que inicia o enunciado no segundo capítulo e vai acompanhando o leitor até ao sétimo capítulo, acompanhando toda a matéria. No total, são analisados 140 casos de investimentos em ativos reais, todos com particularidades diferentes.

Apesar deste cuidado com a vertente prática da análise de investimentos, o desen-volvimento teórico das temáticas abordadas tenta ser tão exaustivo quanto possível, por forma a preparar também a capacidade de investigação por parte do leitor.

O livro, composto por dois volumes, está dividido em nove capítulos, cinco no primeiro volume e quatro no segundo. O primeiro volume dedica-se à abordagem convencional de análise de investimentos em ativos reais, nomeadamente à aplica-ção dos métodos dos fluxos de caixa descontados. O segundo volume dedica-se à abordagem de análise de risco e incerteza, finalizando com a introdução às opções reais. Os capítulos quinto e nono (que rematam cada um dos volumes) incluem onze casos globais que obrigam o leitor a dominar a matéria abordada em alguns dos capítulos anteriores.

Vejamos, resumidamente, o conteúdo de cada um dos referidos capítulos.

VOLUME 1

Capítulo um – Enquadramento e conceitos básicos

O primeiro capítulo faz uma abordagem a conceitos introdutórios que, apesar de próprios da análise de investimentos, são comuns a outras áreas das finanças e da

10

gestão. São definidos os conceitos principais necessários à análise de investimentos e é realizada uma revisão sobre cálculo financeiro.

Capítulo dois – Previsão de fluxos e necessidades de capital

O segundo capítulo dedica-se à previsão de fluxos financeiros associados ao projeto de investimento e à determinação das necessidades financeiras exigidas para man-ter o seu desenvolvimento sustentado. Em termos da sua organização, a primeira secção define o cash-flow, evidenciando as perspetivas do cash-flow global, do cash-flow de exploração e do cash-flow de investimento, e diferencia-se a análise pela ótica do investimento e pela ótica do empresário. Também apresenta as noções de free cash-flow e de cash-flow incremental. A segunda secção salienta as rubricas fundamentais do investimento, entre ativos fixos e capitais circulantes. A terceira secção distingue a abordagem do projeto de investimento a preços constantes e a preços correntes. Por último, são analisados diversos casos práticos relacionados com o conteúdo deste capítulo.

Capítulo três – O custo do capital

Este capítulo debruça-se sobre a metodologia usual para estimação da taxa de atua-lização dos fluxos financeiros associados aos projetos de investimento, e organiza--se de acordo com as seguintes secções: a primeira secção tem como objetivo a apresentação geral do conceito, com relevo para a estrutura e para o custo dos capitais utilizados no financiamento dos projetos; a segunda secção apresenta o custo médio ponderado dos capitais, com recurso ao modelo de avaliação dos ativos financeiros; o capítulo remata com a análise de diversos exercícios de aplicação prática sobre a matéria abordada.

Capítulo quatro – Critérios de avaliação e decisão de investimentos

Após conhecermos como obter e avaliar a matéria¬ prima destinada a realizar a avaliação de investimentos (noções de valor, fluxo de tesouraria e custo de capital), entramos na estimação dos critérios clássicos de atualização dos fluxos de caixa, que permitem avaliar os investimentos. Os critérios abordados são:

1. Taxa média de rendibilidade (TMR)

2. Valor atual líquido (VAL)

3. Índice de rendibilidade (rácio custo¬ benefício) (IR)

4. Período de recuperação do investimento (PRI)

11

5. Taxa interna de rendibilidade (TIR)

6. Benefício e custo equivalente anual (BEA/CEA)

7. Medidas de desempenho e criação de valor (EVA, CVA e CFROI)

Para além disso, são ainda analisadas as relações entre eles, bem como variantes de alguns dos indicadores. São abordadas também as temáticas de: seleção de projetos mutuamente exclusivos, independentes, com vidas úteis distintas, com dimensões distintas, a incompatibilidade entre critérios, a relação entre VAL e TIR, a ausência de TIR e a existência de múltiplas TIR.

Como não podia deixar de ser, no final do capítulo encontra-se a análise de vários casos práticos, elaborados com o cuidado de proporcionar uma perspetiva diferente de todas as temáticas abordadas.

VOLUME 2

Capítulo um – Introdução à análise de risco e incerteza

Marcando o início da análise de investimentos em contexto de incerteza, este capítulo tem por objetivo introduzir os principais conceitos que permitirão a aná-lise de risco e incerteza de investimentos. As temáticas abordadas são a teoria da incerteza, a teoria da carteira (de Harry Markowitz) e dois modelos de equilíbrio do mercado de capitais (CAPM e APT).

Inclui ainda um apêndice com conceitos básicos de estatística, finalizando com a análise de alguns casos pertinentes para ajudar na consolidação das matérias abordadas.

Capítulo dois – Técnicas tradicionais de análise de risco e incerteza

As técnicas abordadas neste capítulo consistem em realizar simulações várias de um projeto de investimento e ainda numa primeira tentativa de análise de decisões sequenciais. Inicia com a análise de sensibilidade e pontos críticos, passa para a análise de cenários, análise de risco e técnicas de otimização. Posteriormente é desenvolvida a técnica de simulação de Monte Carlo e aborda-se a técnica das árvores de decisão.

Tal como acontece com os capítulos anteriores, são analisados alguns casos de aplicação prática dos conceitos desenvolvidos.

12

Capítulo três – Introdução às opções reais

A abordagem da análise às opções reais é feita com o objetivo de introduzir esta temática. Desen¬vol¬vi¬mentos mais aprofundados deverão ser procurados em obras especializadas nesta matéria. Começa-se por abordar o assunto ao leitor com o objetivo de o sensibilizar para o tipo de análise que as opções reais proporcionam. De seguida, são apresentadas as definições necessárias ao estudo da matéria e é realizada uma comparação desta abordagem com as técnicas tradicionais, incluindo as árvores de decisão. Finalmente são analisadas várias opções reais simples, com o recurso à técnica das árvores binomiais:

1. Opção de diferimento (sem e com perda de cash-flow)

2. Opção de abandono

3. Opção de contração

4. Opção de expansão

5. Carteiras de opções mutuamente exclusivas

Para concluir, apresenta-se uma proposta de aplicação da técnica a um projeto de investimentos, seguindo-se a análise de vários casos onde se pode experimentar a estimação da volatilidade da rendibilidade dos capitais investidos.

Análise de caso – Padatex

“Padatex” é a designação fictícia de uma empresa que foi criada por outra com as carac¬te¬rís-ticas apresentadas no projeto de investimento. A descrição dos objetivos, dos produtos e mercados, de preços de venda e compra e de outras variáveis, é uma cópia quase integral de um projeto de investimento real, tendo apenas sofrido adaptações ligeiras de forma a tornar se academicamente mais rico.

Este projeto de investimento acompanha as temáticas desenvolvidas no final de cada um dos capítulos 2, 3, e 4, do primeiro volume e 2 e 3 do segundo volume, colocando em prática os conhecimentos adquiridos. A folha de cálculo foi desenvol-vida pelos autores para estar apta à avaliação de qualquer projeto de investimento, e é reproduzida quase na íntegra1 à medida que os cálculos vão sendo realizados. Assim, é possível ao leitor ir desenvolvendo a sua própria folha de cálculo, de forma a replicar a avaliação do projeto de investimento, tendo a hipótese de comparar e corrigir (se for o caso) os valores por si obtidos.

1. Ficam apenas de fora apenas alguns quadros que se apresentam como redundantes.

13

A folha de cálculo apresenta-se adaptável a qualquer caso de análise de investi-mentos em ativos reais. Dada a especificidade do caso em apreço, não é possível replicar a avaliação do projeto de investimento na folha de cálculo proporcionada pelo IAPMEI, pois alguns dos pressupostos não são aceites pela mesma.

Análise de caso – Coolchips

À semelhança da Padatex, “Coolchips” também é o nome fictício de um projeto de investimento realizado nos termos em que é apresentado neste manual2. Para além de se apresentar como um caso mais simples que o projeto Padatex, o projeto Coolchips tem como objetivo permitir que o utilizador deste manual possa aplicar a folha de cálculo disponibilizada pelo IAPMEI. Um outro objetivo para a sua in-clusão, é o de demonstrar a utilização do programa Crystal Ball para a realização das simulações de Monte Carlo e, posteriormente, a análise de opções reais.

2. Merecendo também algumas adaptações (académicas) pontuais.

15

Nota do Bastonário da OTOC

As empresas, com toda a sua complexidade, são hoje elementos de grande im-portância na estrutura das sociedades, pois elas, para além do interesse específico dos seus investidores, na medida em que se constituem como fonte de rendimento através das relações laborais de famílias e cidadãos, desempenham um importante papel de estabilidade social, revestindo-se de importância acrescida no normal funcionamento da sociedade.

Daí também o interesse que a sociedade em geral deve ter nos resultados das empresas, pois a empresas economicamente sólidas corresponde uma expectativa melhor sustentada de continuidade de estabilidade social.

A gestão, isto é a forma como gerimos as empresas e os elementos de que nos ser-vimos para as tomadas de decisão, acabam por ter um papel fundamental naquela solidez financeira.

Uma decisão tomada muitas vezes com o coração sem ser sustentada na razão, pode colocar em sério risco a continuidade da vida das empresas, colocando também em crise a continuidade da sua função não apenas nos objetivos que estatutariamente lhe foram consignados, mas também nas restantes envolventes que ela desempenha.

Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva em parceria com o Dr. Mário Queirós aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, pelo impacto que pode ter na sua vida financeira, os investimentos.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contraba-lance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

16

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, cons-tituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.

Para o evitar, são-nos apresentados diversos exemplos de forma a nos possibilitar o conhecimento atempado e sustentado da tendência e potencialidades que a em-presa tem de suportar os encargos necessários para os investimentos, bem como a libertação dos meios financeiros necessários para fazer face àqueles encargos.

A Ordem dos Técnicos Oficiais de Contas tem vindo a alertar os seus profissionais para a necessidade deles acompanharem a vida das empresas e apoiarem os seus clientes empresários nas suas tomadas de decisão, sendo o investimento um fator da maior importância nesse aconselhamento, a presente obra pode constituir-se também como um importante auxiliar na análise de investimentos para os Técnicos Oficiais de Contas.

Com efeito, daquele aconselhamento pode muitas vezes resultar tomadas de decisão sustentadas e devidamente suportadas em elementos credíveis, ou serem autênticas aventuras que ninguém depois consegue controlar, com consequências que ninguém deseja.

Também nesse domínio a presente obra pretende, não só criar a necessidade de mudança comportamental das empresas, mas também constituir um ato pedagógico em prol de uma vida económica mais sã e sustentada das empresas portuguesas.

Bem hajam pelo esforço. Que todos o saibamos aproveitar.

Lisboa 14 de janeiro de 2010A. Domingues Azevedo

17

Nota de abertura

É consensual a ideia de que o desenvolvimento económico depende, essencial-mente, do processo de renovação das pessoas, das empresas e das instituições e da existência de um setor empresarial concorrencialmente equilibrado, capaz de promover uma evolução tecnológica ao serviço de um crescimento quantitativo, qualitativo e diversificado da oferta de bens e serviços à sociedade e de contribuir para uma contínua geração de oportunidades de valorização individual e coletiva dos cidadãos.

É, sem dúvida, neste contexto que se insere a crescente atenção dedicada à ge-neralização de uma “cultura empreendedora” na sociedade portuguesa, na me-dida em que se assume tratar-se de uma dinâmica de deteção e aproveitamento económico de oportunidades, por parte de indivíduos que exibem determinadas características e atitudes particularmente favoráveis à inovação e à concretização de ideias de negócio.

Neste contexto, importa dotar empreendedores e empresários de capacidades e competências suscetíveis de ultrapassar o quadro de carências identificadas, disponibilizando ferramentas específicas, de que é exemplo o presente manual.

A criação de novas empresas, enquanto instrumento privilegiado de equilíbrio da estrutura empresarial e fator de desenvolvimento, constitui um importante fenóme-no de dinamização dos sistemas empresariais, uma vez que apresenta um duplo impacto com reflexos nítidos na vertente empresarial e na vertente emprego.

No entanto, a criação de novas empresas assenta com frequência em estratégias de improviso, afastando o interesse de potenciais investidores e com as inevitá-veis consequências de elevado risco de insucesso ou mesmo de desaparecimento prematuro.

18

Uma das vias geralmente apontadas como suscetíveis de reduzir a componente de risco calculável da atividade empresarial e, concomitantemente, a taxa de insucesso das empresas nascentes é a disponibilização de apoio qualificado, traduzido quer na formação estruturante dos futuros empresários, quer no acompanhamento e assistência técnica durante o processo de gestação dos novos empreendimentos e de consolidação e desenvolvimento das empresas nascentes.

Nesta perspetiva, estimular a capacidade empreendedora passa por induzir com-portamentos favoráveis à inovação sistemática, mas também por criar dinâmicas de capacitação de base e de aperfeiçoamento contínuo capazes de acelerar o processo de modernização e de crescimento económico.

Outubro de 2009

Dr. Luis Filipe CostaPresidente do IAPMEI

CAPÍTULO I

Introdução à análise de risco e incerteza

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2 21

Capítulo IIntrodução à análise de risco e incerteza

1. Introdução à análise de risco e incerteza

Numa obra que aborda a temática de investimentos em ativos reais, aparece agora um capítulo cujos temas se enquadram sobretudo no âmbito da análise de investimentos financeiros. Justifica-se, porque serão abordados temas que pretendem contribuir para a melhor compreensão de algumas ferramentas de análise de investimentos em ativos reais. O desenvolvimento dado aos assuntos será orientado de acordo com esse objetivo.

1.1 Teoria da incerteza

Até agora não tivemos em conta o comportamento do investidor face ao risco e à incerteza; já nos preocupámos em encontrar formas de incluir o risco na tomada de decisões, mas não avançámos explicações sobre o comportamento do investidor.

O comportamento do investidor vai depender do seu gosto pelo risco, para o que necessitamos de realizar uma incursão em alguns conceitos da microeconomia. Vamos começar por ver algumas definições, para depois podermos utilizá-las no desenvolvimento do modelo que pretende explicar o comportamento do investidor.

1.1.1 Lotaria / jogo

1.1.1.1 Definição de lotaria / jogo

Consideremos que Li é a variável lotaria ou o jogo, podemos definir

Finanças Empresariais Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

2/52

5.1.1 Lotaria / jogo

5.1.1.1 Definição de lotaria / jogo

Consideremos que Li é a variável lotaria ou o jogo, podemos definir

ypxpLi 1

em que:

x e y são dois resultados possíveis;

o resultado x acontece com a probabilidade p e o resultado y acontece com a probabi-

lidade 1–p (o que não é limitativo, pois tanto x como y poderão ser desagregados em outros

dois resultados possíveis, e assim sucessivamente).

Assim, se p = 1 ou p = 0, significa que não existe incerteza.

5.1.1.2 Definição de espaço de lotarias / jogos disponíveis

Agregando todas as lotarias / jogos disponíveis, obtemos o seguinte conjunto:

L = {L1, L2, ..., Ln}

5.1.2 Utilidade

É sabido que o jogo nos casinos, nas lotarias do Estado e na grande maioria das situações,

tem um valor esperado negativo, ou seja, a soma dos prémios obtidos é inferior à soma total

das apostas efectuadas. Nestes casos, se um indivíduo repetir o jogo um número

tendencialmente infinito de vezes, ficará sempre a perder. Em algumas situações, a diferença

é tão grande que a riqueza o valor esperado do jogo é menos de metade do valor da aposta.

No entanto, os indivíduos mesmo sabendo disso, optam por jogar. Porque é que isso

acontece? É o que poderemos responder se considerarmos que o jogo, por si só, dá

satisfação ao indivíduo.

22

Capítulo I Análise de risco e incerteza

em que:

- x e y são dois resultados possíveis;

- o resultado x acontece com a probabilidade p e o resultado y acontece com a probabilidade 1–p (o que não é limitativo, pois tanto x como y poderão ser desagregados em outros dois resultados possíveis, e assim sucessivamente).

Assim, se p = 1 ou p = 0, significa que não existe incerteza.

1.1.1.2 Definição de espaço de lotarias / jogos disponíveis

Agregando todas as lotarias / jogos disponíveis, obtemos o seguinte conjunto:

L = {L1, L2, ..., Ln}

1.1.2 Utilidade

É sabido que o jogo nos casinos, nas lotarias do Estado e na grande maioria das situações, tem um valor esperado negativo, ou seja, a soma dos prémios obtidos é inferior à soma total das apostas efetuadas. Nestes casos, se um indivíduo repetir o jogo um número tendencialmente infinito de vezes, ficará sempre a perder. Em algumas situações, a diferença é tão grande que o valor esperado do jogo é menos de metade do valor da aposta. No entanto, os indivíduos mesmo sabendo disso, optam por jogar. Porque é que isso acontece? É o que poderemos responder se considerarmos que o jogo, por si só, dá satisfação ao indivíduo.

Podemos também considerar que há uma função Utilidade que representa as preferências dos investidores neste ambiente de incerteza, embora diferente das funções utilidade estudadas perante um ambiente de certeza.



1.1.2.1 Função Utilidade von-Neumann–Morgenstern (VNM)

Seja


3/52

Podemos também considerar que há uma função Utilidade que representa as preferências

dos investidores neste ambiente de incerteza, embora diferente das funções utilidade

estudadas perante um ambiente de certeza.


Seja ypxpU 1 a função utilidade VNM:

ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)

A utilidade que alguém consegue retirar de uma lotaria é exactamente igual à utilidade dos

próprios prémios, multiplicada pelas suas probabilidades.

Generalizando:

m

jjji xUpLU

1

5.1.2.2 Teorema: função utilidade

Sob as necessárias hipóteses, existe uma função utilidade U definida em L, tal que:

ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)

EXEMPLO V.1. Situação de indiferença numa lotaria

Considere que existe uma lotaria que oferece o seguinte conjunto de

prémios: {10; 4; –2}. Parece que o lucro 10 é o melhor e o custo 2 o pior.

Então, qual deverá ser a resposta do investidor para uma situação de

indiferença em cada um dos seguintes casos?

10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0

Nota: “~” considera-se o sinal de “indiferença”.

a função utilidade VNM:


3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0


= pU(x) + (1 – p)U(y)

A utilidade que alguém consegue retirar de uma lotaria é exatamente igual à utilidade dos próprios prémios, multiplicada pelas suas probabilidades.

Generalizando:


3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0





3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0


= pU(x) + (1 – p)U(y)

EXEMPLO I.1 Situação de indiferença numa lotaria

Considere que existe uma lotaria que oferece o seguinte conjunto de prémios: {10; 4; –2}. Parece que o lucro 10 é o melhor e o custo 2 o pior. Então, qual deverá ser a resposta do investidor para uma situação de indiferença em cada um dos seguintes casos?

10 ~


3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0


<= p = 1

4 ~


3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0


<= p’ = 0,6

-2 ~


3/52






ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)



Generalizando:

m

jjji xUpLU

1



ypxpU 1 = pU(x) + (1 – p)U(y)






10 ~ 2110 pp <= p = 1

4 ~ 2'110' pp <= p' = 0,6

-2 ~ 2''110'' pp <= p'' = 0


<= p’’ = 0


Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 10 e –2 que coloca o indivíduo numa situação indiferente a ter 4? O

24


indivíduo pode responder que o valor é 0,6 pois é ele quem o define apesar de, eventualmente, poder parecer-nos um pouco desajustado.

Podemos então comparar os valores 10, 4 e –2 da seguinte forma:

U(10) = 1 <= prémio máximo

U(4) = 0,6 <= prémio intermédio

U(-2) = 0 <= prémio mínimo

Assim, por exemplo, se tivermos as seguintes lotarias, já podemos calcular os valores das suas utilidades:

L1 =


4/52

Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 10 e –2 que coloca o

indivíduo numa situação indiferente a ter 4? O indivíduo pode responder que o valor é 0,6

pois é ele quem o define apesar de, eventualmente, poder parecer-nos um pouco

desajustado.





Assim, por exemplo, se tivermos as seguintes lotarias, já podemos calcular os valores das

suas utilidades:

L1 = 108,042,0

L2 = 109,0403,0207,0

U(L1) = 0,2 U(4) + 0,8 U(10) = 0,2X0,6 + 0,8X1 = 0,92

U(L2) = 0,07 U(–2) + 0,03 U(4) + 0,9 U(10) =

= 0,07X0 + 0,03X0,6 + 0,9X1 = 0,918

Podemos concluir que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem uma utilidade superior.

No entanto, o valor esperado de L1 é 0,2X4 + 0,8X10 = 8,8 superior ao valor esperado de L2

é 0,07X(–2) + 0,03X4 + 0,9X10 = 8,98.

5.1.3 Preferências em relação ao risco

A aparente incongruência dos cálculos anteriores justifica-se pelo facto de este consumidor

ser avesso ao risco: em L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1, não.

Relativamente a um investidor, podemos deparar-nos com três situações distintas perante o

risco.

L2 =


4/52

Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 10 e –2 que coloca o

indivíduo numa situação indiferente a ter 4? O indivíduo pode responder que o valor é 0,6

pois é ele quem o define apesar de, eventualmente, poder parecer-nos um pouco

desajustado.





Assim, por exemplo, se tivermos as seguintes lotarias, já podemos calcular os valores das

suas utilidades:

L1 = 108,042,0

L2 = 109,0403,0207,0

U(L1) = 0,2 U(4) + 0,8 U(10) = 0,2X0,6 + 0,8X1 = 0,92

U(L2) = 0,07 U(–2) + 0,03 U(4) + 0,9 U(10) =

= 0,07X0 + 0,03X0,6 + 0,9X1 = 0,918

Podemos concluir que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem uma utilidade superior.

No entanto, o valor esperado de L1 é 0,2X4 + 0,8X10 = 8,8 superior ao valor esperado de L2

é 0,07X(–2) + 0,03X4 + 0,9X10 = 8,98.


A aparente incongruência dos cálculos anteriores justifica-se pelo facto de este consumidor

ser avesso ao risco: em L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1, não.

Relativamente a um investidor, podemos deparar-nos com três situações distintas perante o

risco.

U(L1) = 0,2 U(4) + 0,8 U(10) = 0,2 X 0,6 + 0,8 X 1 = 0,92

U(L2) = 0,07 U(–2) + 0,03 U(4) + 0,9 U(10) =

= 0,07 X 0 + 0,03 X 0,6 + 0,9 X 1 = 0,918

Podemos concluir que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem uma utilidade superior. No entanto, o valor esperado de L1 é 0,2 X 4 + 0,8 X 10 = 8,8 superior ao valor esperado de L2 é 0,07 X (–2) + 0,03 X 4 + 0,9 X 10 = 8,98.


A aparente incongruência dos cálculos anteriores justifica-se pelo facto de este consumidor ser avesso ao risco: em L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1, não. Relativamente a um investidor, podemos deparar-nos com três situações distintas perante o risco.



1.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco

1. Indiferença perante o risco: a rendibilidade exigida a um ativo não varia quando varia o seu risco. O que não é habitual, pois se o risco de um ativo aumenta, o investidor tende a exigir uma remuneração maior.

2. Aversão face ao risco: esta é a situação mais comum, pois traduz a situação de um investidor que exige maior rendibilidade a um ativo à medida que o seu risco vai aumentando.

3. Propensão para o risco: entre dois ativos com a mesma rendi-bilidade, um investidor propenso ao risco vai escolher aquele que apresenta maior risco. É uma situação que não é habitual encontrar-se.

Estes comportamentos podem ser explicados com recurso à utilidade que um jogo apresenta para um investidor:


5/52

5.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco

1. Indiferença perante o risco: a rendibilidade exigida a um activo não varia quando varia o

seu risco. O que não é habitual, pois se o risco de um activo aumenta, o investidor tende

a exigir uma remuneração maior.

2. Aversão face ao risco: esta é a situação mais comum, pois traduz a situação de um

investidor que exige maior rendibilidade a um activo à medida que o seu risco vai

aumentando.

3. Propensão para o risco: entre dois activos com a mesma rendibilidade, um investidor

propenso ao risco vai escolher aquele que apresenta maior risco. É uma situação que não

é habitual encontrar-se.

Estes comportamentos podem ser explicados com recurso à utilidade que um jogo apresenta

para um investidor:

ypxpU 1 : : U[px (1–p)y]

Utilidade do Jogo U(jogo)

: : Utilidade do Valor Esperado do Jogo

U[E(jogo)]

1. “=” : Se a Utilidade do Jogo é igual à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o

investidor é indiferente ao risco;

2. “<” : Se a Utilidade do Jogo é inferior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o

investidor tem aversão ao risco;

3. “>” : Se a Utilidade do Jogo é superior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o

investidor tem gosto pelo risco.

: : U[px + (1–p)y]

Utilidade do JogoU(jogo)

: :Utilidade do Valor Esperado do Jogo

U[E(jogo)]

1. “=” : Se a Utilidade do Jogo é igual à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o investidor é indiferente ao risco;

2. “<” : Se a Utilidade do Jogo é inferior à Utilidade do valor Es-perado do Jogo, então o investidor tem aversão ao risco;

3. “>” : Se a Utilidade do Jogo é superior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o investidor tem gosto pelo risco.

26


FIGURA I.1 Comportamento do investidor face ao risco


6/52

FIGURA V.1 Comportamento do investidor face ao risco

O comportamento habitual dos investidores é apresentarem aversão ao risco, ou seja,

exigirem rendibilidades maiores aos activos que apresentam maior risco.

5.1.3.2 Graus de aversão ao risco

Podemos definir o grau de aversão ao risco, de forma absoluta, com a seguinte equação:

ARA1 (jogo) WUWU

'''

em que U’’'(W) e U''(W) são, respectivamente, a segunda e primeira derivadas da Utilidade

de um jogo em relação ao rendimento.

1 ARA: absolute risk aversion.

Utilidade (U)

Rendimento (W)

•

• • • •

U(Y)

U[E(jogo)] = U(½X + ½Y)

U(jogo) = ½U(X) + ½U(Y)

U(X)

X Y

½X + ½Y

U(jogo) < U[E(jogo)]

U(jogo) > U[E(jogo)]

U(jogo) = U[E(jogo)]

gosto pelo risco indiferença ao risco

aversão ao risco

investidor avesso ao risco

O comportamento habitual dos investidores é apresentarem aversão ao risco, ou seja, exigirem rendibilidades maiores aos ativos que apresentam maior risco.



ARA1 (jogo)


6/52

FIGURA V.1 Comportamento do investidor face ao risco

O comportamento habitual dos investidores é apresentarem aversão ao risco, ou seja,

exigirem rendibilidades maiores aos activos que apresentam maior risco.



ARA1 (jogo) WUWU

'''

em que U’’'(W) e U''(W) são, respectivamente, a segunda e primeira derivadas da Utilidade

de um jogo em relação ao rendimento.

1 ARA: absolute risk aversion.

Utilidade (U)

Rendimento (W)

•

• • • •

U(Y)

U[E(jogo)] = U(½X + ½Y)

U(jogo) = ½U(X) + ½U(Y)

U(X)

X Y

½X + ½Y

U(jogo) < U[E(jogo)]

U(jogo) > U[E(jogo)]

U(jogo) = U[E(jogo)]

gosto pelo risco indiferença ao risco

aversão ao risco

investidor avesso ao risco

em que U’’’(W) e U’’(W) são, respetivamente, a segunda e primeira derivadas da Utilidade de um jogo em relação ao rendimento.

Por aqui podemos ver que quanto mais côncava a Utilidade, mais aversão existirá ao risco, e vice versa:

1. ARA (jogo) > 0 : U’’’(W) é negativa, logo U’ (W) é côncava, por isso o sujeito é avesso ao risco.

2. ARA (jogo) < 0 : U’’’(W) é positiva, logo U’ (W) é convexa, por isso o sujeito é amante do risco.

1. ARA: absolute risk aversion.



3. ARA (jogo) = 0 : U’’’(W) é nula, logo U’ (W) é linear, por isso o sujeito é indiferente ao risco.

Também podemos definir o grau de aversão ao risco de forma relativa:

RRA2 (jogo)


7/52

Por aqui podemos ver que quanto mais côncava a Utilidade, mais aversão existirá ao risco, e

vice-versa:

1. ARA (jogo) > 0 : U'’'(W) é negativa, logo U’ (W) é côncava, por isso o sujeito é avesso

ao risco.

2. ARA (jogo) < 0 : U'’'(W) é positiva, logo U’ (W) é convexa, por isso o sujeito é amante

do risco.

3. ARA (jogo) = 0 : U''’(W) é nula, logo U’ (W) é linear, por isso o sujeito é indiferente

ao risco.

Também podemos definir o grau de aversão ao risco de forma relativa:

RRA2 (jogo) WUWUW

'''

RRA mede o impacto de uma variação relativa da riqueza na aversão ao risco.

5.1.4 Investimentos em activos financeiros

Seja W o património de um indivíduo, consideremos a hipótese de investir X W, cuja taxa

de remuneração pode variar entre duas alternativas:

rb (com probabilidade p)

rw (com probabilidade 1–p)

Se se verificar o primeiro caso, o indivíduo atingirá um património W – X + X + rb X = W+ rb

X; se se verificar o segundo, o património do indivíduo será de W – X + X + rw X = W + rw X.

Assim, teremos:

2 RRA: relative risk aversion.

RRA mede o impacto de uma variação relativa da riqueza na aversão ao risco.

1.1.4 Investimentos em ativos financeiros

Seja W o património de um indivíduo, consideremos a hipótese de investir X ≤ W, cuja taxa de remuneração pode variar entre duas alternativas:

- rb (com probabilidade p)

- rw (com probabilidade 1–p)

Se se verificar o primeiro caso, o indivíduo atingirá um património W – X + X + rb X = W+ rb X; se se verificar o segundo, o património do indivíduo será de W – X + X + rw X = W + rw X.

Assim, teremos:

U(riqueza) = pU(W + rbX) + (1–p)U(W + rwX)

Sendo objetivo do indivíduo maximizar a sua riqueza, teremos de verificar as seguintes condições:

- Condição de primeira ordem:


8/52


Sendo objectivo do indivíduo maximizar a sua riqueza, teremos de verificar as seguintes

condições:

Condição de primeira ordem: WWU

d)(d = 0 pU'(W + rbX)rb+(1–p)U(W + rwX)rw = 0

Condição de segunda ordem: 2

2

d

)(d

WWU

< 0 pU''(W + rbX)rb2+(1–p)U''(W + rwX)rw2 < 0

Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento aumenta, o

que pode ser explicado por duas vias: por um lado, para atingir o máximo torna-se

necessário investir mais, e por outro, a incerteza também diminui.

Também se prova que o agente para poder optar entre activos financeiros deve calcular o

valor esperado e a variância da taxa de aplicação, consoante os cenários económicos

possíveis.

Consideremos quatro activos com diferentes comportamentos em termos de rendimento e

risco (medido pela variância).

FIGURA V.2 Rendibilidade e risco

• •

E(rendimento)

VAR(rendimento)

•

•

A

B

C

D

= 0 ⇒ pU’(W + rbX)

rb+(1–p)U(W + rwX)rw = 0

- Condição de segunda ordem:


8/52



condições:




2

d

)(d

WWU







possíveis.




• •

E(rendimento)

VAR(rendimento)

•

•

A

B

C

D

< 0 ⇒ pU’’(W + rbX)

rb2+(1–p)U’’(W + rwX)rw

2 < 0

2. RRA: relative risk aversion.

28


Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento aumenta, o que pode ser explicado por duas vias: por um lado, para atingir o máximo torna-se necessário investir mais, e por outro, a incerteza também diminui.

Também se prova que o agente para poder optar entre ativos financeiros deve calcular o valor esperado e a variância da taxa de aplicação, consoante os cenários económicos possíveis.

Consideremos quatro ativos com diferentes comportamentos em termos de rendimento e risco (medido pela variância).

FIGURA I.2 Rendibilidade e risco


8/52



condições:




2

d

)(d

WWU







possíveis.




• •

E(rendimento)

VAR(rendimento)

•

•

A

B

C

D

Por exemplo, se for avesso ao risco, o investidor não escolherá os ativos C ou D. Eventualmente, poderá escolher C em vez de A, caso não seja avesso ao risco e se a taxa máxima de remuneração de C for superior à de A.

Suponhamos que o investidor pretende constituir uma carteira que é uma combinação linear de dois ativos financeiros com as seguintes características:



X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2

A constituição da carteira (P) vai ter:


9/52

Por exemplo, se for avesso ao risco, o investidor não escolherá os activos C ou D.

Eventualmente, poderá escolher C em vez de A, caso não seja avesso ao risco e se a taxa

máxima de remuneração de C for superior à de A.

Suponhamos que o investidor pretende constituir uma carteira que é uma combinação linear

de dois activos financeiros com as seguintes características:

X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X

= percentagem de investimento em X1

21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)

5.1.5 Dominância estocástica

Após o estudo da teoria da incerteza, podemos provar que as funções utilidade só são

necessárias se os mercados não forem completos. Vamos ver como.

Condição de primeira ordem: Um activo (ou carteira de activos) domina estocastica-

mente outro(s) se um indivíduo recebe maior riqueza para todos os estados da

natureza.



9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.


E(P) =


9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.

E1 +


9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.

E2

VAR(P)=


9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.

VAR1+


9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.

VAR2+2


9/52






X1 : E1, VAR1

X2 : E2, VAR2


21

1XX

X


21

2XX

X


E(P) = 21

1XX

X

E1 + 21

2XX

X

E2

VAR(P) = 2

21

1

XXX

VAR1+2

21

2

XX

XVAR2+2

21

1XX

X 21

2XX

X

COV(X1,X2)






natureza.

COV(X1,X2)


Após o estudo da teoria da incerteza, podemos provar que as funções utilidade só são necessárias se os mercados não forem completos. Vamos ver como.

- Condição de primeira ordem: Um ativo (ou carteira de ativos) domina estocasticamente outro(s) se um indivíduo recebe maior riqueza para todos os estados da natureza.

Esta condição aplica-se a todas as funções utilidade crescentes. Vejamos a explicação através da utilização de um gráfico onde conjugamos as probabilidades de ocorrência de um determinado rendimento (W) com o valor desse rendimento.

30


FIGURA I.3 Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (1)


10/52

Esta condição aplica-se a todas as funções utilidade crescentes. Vejamos a explicação

através da utilização de um gráfico onde conjugamos as probabilidades de ocorrência de

um determinado rendimento (W) com o valor desse rendimento.

FIGURA V.3 Rendimento de dois activos: dominância estocástica (1)

Legenda:

f(W): função distribuição de probabilidade de W;

F(W): função de probabilidade acumulada de W.

O activo X é preferível ao activo Y, pois é sempre mais provável queX proporcione maior

riqueza que Y (note-se que Gy e Fx nunca se cruzam): W é sempre maior para X do que para

Y, para uma mesma probabilidade acumulada.

f (W)

W

F (W) 1,0

0,5

W

gy (W)

fx (W)

Gy (W) Fx (W)

Legenda:

f(W): função distribuição de probabilidade de W;

F(W): função de probabilidade acumulada de W.

O ativo X é preferível ao ativo Y, pois é sempre mais provável queX proporcione maior riqueza que Y (note-se que Gy e Fx nunca se cruzam): W é sempre maior para X do que para Y, para uma mesma probabilidade acumulada.

- Condição de segunda ordem: As funções utilidade marginal [U’(W)] são positivas e a função utilidade total [U(W)] é crescente a taxas decrescentes. Ou seja, são não decrescentes e côncavas.



Esta condição permite demonstrar que um indivíduo avesso ao risco, ao escolher entre dois ativos com o mesmo valor esperado, prefere o ativo com menor risco.

Graficamente, esta condição pode ser analisada da seguinte forma.

FIGURA I.4 Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (2)


11/52

Condição de segunda ordem: As funções utilidade marginal [U’(W)] são positivas e a

função utilidade total [U(W)] é crescente a taxas decrescentes. Ou seja, são não

decrescentes e côncavas.

Esta condição permite demonstrar que um indivíduo avesso ao risco, ao escolher entre dois

activos com o mesmo valor esperado, prefere o activo com menor risco.

Graficamente, esta condição pode ser analisada da seguinte forma.

FIGURA V.4 Rendimento de dois activos: dominância estocástica (2)

Para avaliarmos qual o activo dominante, podemos calcular a soma das diferenças das

probabilidades acumuladas: f[Gy(W) – Fx(W)]dW. Graficamente, a sua representação é a

seguinte.

f (W)

W

F (W) 1,0

0,5

W

fx (W)

gy (W)

Fx (W)

Gy (W)

Para avaliarmos qual o ativo dominante, podemos calcular a soma das diferenças das probabilidades acumuladas: f[Gy(W) – Fx(W)]dW. Graficamente, a sua representação é a seguinte.

32


FIGURA I.5 Dominância estocástica (2): soma das diferenças das probabilidades acumuladas


12/52

FIGURA V.5 Dominância estocástica (2): soma das diferenças das probabilidades

acumuladas

Esta segunda condição diz-nos que para o activo x dominar o activo y para qualquer

investidor avesso ao risco, a área acumulada abaixo da distribuição de probabilidade

acumulada de y deverá ser superior à área acumulada de x, para qualquer nível de riqueza.

No nosso caso, até à média, Gy(W) é sempre maior que Fx(W), acontecendo o contrário a

partir desse ponto. No entanto, podemos reparar que a soma das diferenças entre as duas

funções densidade acumuladas é sempre positiva (ou nula), pelo que podemos concluir que

x domina y.

A dominância estocástica baseia-se na maximização da utilidade esperada e aplica-se a

qualquer distribuição de probabilidade: qualquer que seja o seu tipo de função, é possível

fazer uma escolha independente das funções utilidade.

5.1.6 Média e variância como critérios de escolha

Se a distribuição de probabilidade for normal, a escolha entre dois activos pode ser feita

com recurso ao critério da média (rendibilidade) e da variância (risco). É mais simples que a

dominância estocástica, mas só funciona quando estamos em presença de distribuições

normais, caso contrário poderemos encontrar uma solução errada.

Um indivíduo avesso ao risco, deverá apresentar um comportamento traduzido por curvas

de indiferença semelhantes às que podem ser observadas no seguinte mapa.

f [Gy(W) – Fx(W)]dW

W x = y

Esta segunda condição diz-nos que para o ativo x dominar o ativo y para qualquer investidor avesso ao risco, a área acumulada abaixo da distribuição de probabilidade acumulada de y deverá ser superior à área acumulada de x, para qualquer nível de riqueza. No nosso caso, até à média, Gy(W) é sempre maior que Fx(W), acontecendo o contrário a partir desse ponto. No entanto, podemos reparar que a soma das diferenças entre as duas funções densidade acumuladas é sempre positiva (ou nula), pelo que podemos concluir que x domina y.

A dominância estocástica baseia-se na maximização da utilidade esperada e aplica-se a qualquer distribuição de probabilidade: qualquer que seja o seu tipo de função, é possível fazer uma escolha independente das funções utilidade.

1.1.6 Média e variância como critérios de escolha

Se a distribuição de probabilidade for normal, a escolha entre dois ativos pode ser feita com recurso ao critério da média (rendibilidade) e da variância (risco). É mais simples que a dominância estocástica, mas só funciona quando estamos em presença de distribuições normais, caso contrário poderemos encontrar uma solução errada.

Um indivíduo avesso ao risco, deverá apresentar um comportamento traduzido por curvas de indiferença semelhantes às que podem ser observadas no seguinte mapa.

ÍNDICES

294

Índices

Índice Sistemático

1. Introdução à análise de risco e incerteza 1.1 Teoria da incerteza ............................................................. 21 1.1.1 Lotaria / jogo ................................................................ 21 1.1.1.1 Definição de lotaria / jogo .................................... 21 1.1.1.2 Definição de espaço de lotarias / jogos disponíveis .. 22 1.1.2 Utilidade ...................................................................... 22 1.1.2.1 Função Utilidade von-Neumann–Morgenstern

(VNM) .................................................................. 23 1.1.2.2 Teorema: função utilidade ..................................... 23 1.1.3 Preferências em relação ao risco.................................. 24 1.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco .25 1.1.3.2 Graus de aversão ao risco ..................................... 26 1.1.4 Investimentos em ativos financeiros ............................. 27 1.1.5 Dominância estocástica ............................................... 29 1.1.6 Média e variância como critérios de escolha ............... 32 1.2 Teoria da carteira (de Harry Markowitz) ............................. 33 1.2.1 Média e variância de uma carteira ............................... 34 1.2.2 A escolha do indivíduo ................................................ 41 1.3 Modelos de equilíbrio do mercado de capitais ................... 45 1.3.1 Modelo de avaliação de ativos financeiros

(MAAF – CAPM) .......................................................... 46 1.3.2 Teoria da arbitragem de preços (TAP – APT) ................ 50 1.4 Apêndice: conceitos básicos de estatística .......................... 56 1.4.1 Medidas de tendência central ...................................... 57 1.4.2 Medidas de dispersão .................................................. 57 1.4.3 Coeficiente de correlação ............................................ 59 1.5 Análise de Casos ................................................................. 59 CASO 1 - Tuga Financial ....................................................... 59 RESOLUÇÃO .................................................................... 60 CASO 2 - Sr. Francisco .......................................................... 61 RESOLUÇÃO .................................................................... 61

295

Índices

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

CASO 3 - Sr. Policarpo .......................................................... 62 RESOLUÇÃO .................................................................... 63 CASO 4 - Três ativos e a função utilidade ............................. 65 RESOLUÇÃO .................................................................... 65 CASO 5 - Xantos & Associados ............................................. 66 RESOLUÇÃO .................................................................... 67 CASO 6 - Sr. Barros e o seguro contra roubo ........................ 68 RESOLUÇÃO .................................................................... 69

2. Técnicas tradicionais de análise de risco e incerteza 2.1 Análise de sensibilidade ..................................................... 73 2.1.1 Técnica ........................................................................ 73 2.1.2 Aplicação a uma variável ............................................ 74 2.1.3 Análise multivariada .................................................... 75 2.1.3.1 Pontos críticos ....................................................... 76 2.1.3.2 Limitações da análise de sensibilidade .................. 77 2.1.4 Análise de cenários ...................................................... 77 2.1.4.1 Técnica ................................................................. 78 2.1.4.2 Limitações ............................................................. 78 2.1.5 Análise de risco ........................................................... 79 2.1.5.1 Esperança matemática .......................................... 80 2.1.5.2 Desvio-padrão ...................................................... 80 2.1.6 Técnicas de otimização ............................................... 82 2.1.6.1 Critério MaxiMin ................................................... 83 2.1.6.2 Critério MaxiMax .................................................. 84 2.1.6.3 Critério MiniMax Regret ........................................ 84 2.2 Técnica de simulação de Monte Carlo ............................... 86 2.2.1 Forma de cálculo ......................................................... 88 2.2.2 Apreciação .................................................................. 95 2.3 Técnica das Árvores de Decisão ......................................... 96 2.3.1 Elementos .................................................................... 96 2.3.2 Construção .................................................................. 97 2.3.3 Resolução .................................................................... 97 2.3.4 Apreciação ................................................................100

296

Índices

2.4 Análise de casos ...............................................................101 CASO 1 - D. CONSTANÇA .................................................101 RESOLUÇÃO ..................................................................102 CASO 2 - FLEXITRADE .......................................................103 RESOLUÇÃO ..................................................................103 CASO 3 - STECKPAN ..........................................................104 RESOLUÇÃO ..................................................................104 CASO 4 - JATOFORCE ........................................................105 RESOLUÇÃO ..................................................................105 CASO 5 - GIRDANIAS ........................................................106 RESOLUÇÃO ..................................................................107 CASO 6 - CERAMARTE .......................................................108 RESOLUÇÃO ..................................................................109 CASO 7 - SR. CORREIA E A UNIDADE FABRIL .................. 112 RESOLUÇÃO .................................................................. 113 CASO 8 - RUDAMAS .......................................................... 113 RESOLUÇÃO .................................................................. 115 CASO 9 - SR. MANUEL MARQUES E A ESCOLA

DE CONDUÇÃO ................................................ 116 RESOLUÇÃO .................................................................. 117 CASO 10 - OVOS DO CAMPO .......................................... 118 2.5 Estudo de caso: Padatex ................................................... 119

3. Introdução às opções reais 3.1 Introdução ........................................................................129 3.2 Características das opções reais ........................................132 3.2.1 Condições necessárias ...............................................132 3.2.1.1 Irreversibilidade ..................................................133 3.2.1.2 Incerteza .............................................................134 3.2.1.3 Flexibilidade .......................................................134 3.3 Terminologia e definições .................................................136 3.3.1 Definição de opção e tipos de opções .......................137 3.3.2 Terminologia ..............................................................139 3.4 O que determina o valor da opção real ............................140

297

Índices


3.5 Tipos de opções reais .......................................................143 3.6 Exemplo de opção: opção de diferimento ........................146 3.6.1 Diferimento por um período (dois momentos) ...........146 3.6.1.1 Alteração da volatilidade ....................................148 3.6.1.2 Alteração do valor do investimento ....................149 3.6.1.3 Alteração do valor dos cash-flows ......................150 3.6.1.4 Alteração das probabilidades dos cenários .........151 3.6.1.5 O papel da neutralidade relativamente ao risco ..152 3.6.2 Diferimento por dois períodos (três momentos) .........153 3.7 Comparação das opções reais com a abordagem tradicional ..155 3.7.1 Estimação do valor atual líquido ................................155 3.7.1.1 Abordagem pelo Modelo de Avaliação

de Ativos Financeiros (CAPM) ............................155 3.7.1.2 Abordagem pela Teoria da Arbitragem (APT) ......157 3.7.2 Análise através de árvores de decisão ........................157 3.7.3 Avaliação da opção real ............................................158 3.7.3.1 Abordagem pela Teoria da Arbitragem (APT) ......159 3.7.3.2 Abordagem pelo método de Neutralidade

face ao Risco ......................................................162 3.7.3.3 Exemplo de cálculo ............................................165 3.8 Opções reais simples ........................................................167 3.8.1 Técnica das árvores binomiais ...................................167 3.8.2 Opção de diferimento ................................................170 3.8.2.1 Opção de diferimento sem perda de cash-flows .170 3.8.2.2 Opção de diferimento com perda de cash-flows ...174 3.8.3 Opção de abandono ..................................................178 3.8.4 Opção de contração ..................................................180 3.8.5 Opção de expansão ...................................................182 3.8.6 Carteiras de opções mutuamente exclusivas ..............184 3.9 Avaliação de um projeto de investimento através

das opções reais ...............................................................185 3.10 Análise de Casos .............................................................192 CASO 1 - Galeria de salões ................................................192 RESOLUÇÃO ..................................................................193

298

Índices

CASO 1 - Calciforma ..........................................................194 RESOLUÇÃO ..................................................................194 Caso 3 - Anabius .................................................................196 RESOLUÇÃO ..................................................................196 Caso 4 - O Tal Canal ...........................................................199 RESOLUÇÃO ..................................................................200 Caso 5 - Viatodos ................................................................205 RESOLUÇÃO ..................................................................205 3.11 Estudo de caso: Padatex .................................................. 211

4. Casos Práticos Globais CASO 1 - Um projeto individual: instalação de painéis

fotovoltaicos ...........................................................217 RESOLUÇÃO ......................................................................220 CASO 2 - O Aviário do Campo ...............................................230 RESOLUÇÃO ......................................................................232 CASO 3 - Os irmãos Vitorinos ................................................235 RESOLUÇÃO ......................................................................240 CASO 4 - Taccuini & Companhia ...........................................250 RESOLUÇÃO ......................................................................253 CASO 5 - Coolchips ...............................................................261 RESOLUÇÃO ......................................................................264 CASO 6 - A Boa Pinta .............................................................273 RESOLUÇÃO ......................................................................278

299

Índices


Índice de Figuras

FIGURA I.1 - Comportamento do investidor face ao risco ............. 26FIGURA I.2 - Rendibilidade e risco ............................................... 28FIGURA I.3 - Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (1) . 30FIGURA I.4 - Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (2) . 31FIGURA I.5 - Dominância estocástica (2): soma das diferenças

das probabilidades acumuladas ............................... 32FIGURA I.6 - Curvas de indiferença de um indivíduo avesso ao risco 33FIGURA I.7 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira 37FIGURA I.8 - Carteiras eficientes e não eficientes ......................... 38FIGURA I.9 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados

(correlação positiva) ................................................ 39FIGURA I.10 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados

(correlação negativa) ............................................. 40FIGURA I.11 - A escolha de um indivíduo avesso ao risco ............ 41FIGURA I.12 - Relação entre rendibilidade e risco de uma

carteira com um ativo sem risco ............................ 42FIGURA I.13 - Relação entre rendibilidade e risco de uma

carteira com um ativo sem risco ............................ 43FIGURA I.14 - Relação entre risco e diversificação de uma carteira . 45FIGURA I.15 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira

com um ativo sem risco ......................................... 55

FIGURA II.1 - Processo do Método de Monte Carlo ...................... 91FIGURA II.2 - Exemplo de uma Árvore de Decisão ....................... 97FIGURA II.3 - Árvore de Decisão: Fábrica de Curtumes do Norte ... 99

FIGURA III.1 - Farmacêutica Resarchis ........................................136FIGURA III.2 - Possibilidade de ganho total com uma opção

de compra ...........................................................138FIGURA III.3 - Possibilidade de ganho total com uma opção

de venda ..............................................................139

300

Índices

FIGURA III.4 - A opção de diferir um período ..............................147FIGURA III.5 - Impacto de alteração do investimento ..................150FIGURA III.6 - Impacto de alteração dos cash-flows ....................151FIGURA III.7 - A opção de diferir dois períodos ...........................154FIGURA III.8 - Árvore binomial e seus parâmetros ......................169FIGURA III.9 - Árvore binomial em três períodos ........................171FIGURA III.10 - A solução da árvore binomial em três períodos .174FIGURA III.11 - Árvore binomial com perda de cash-flows .........175FIGURA III.12 - Árvore binomial com perda de um cash-flow ....177FIGURA III.13 - Árvore binomial em três períodos (novamente) ..179FIGURA III.14 - A solução da árvore binomial em três períodos

com opção de abandono ...................................180FIGURA III.15 - A solução da árvore binomial em três períodos

com opção de contração ...................................181FIGURA III.16 - A solução da árvore binomial em três períodos

com opção de expansão ....................................183FIGURA III.17 - A solução da árvore binomial para uma carteira

de opções ..........................................................185FIGURA III.18 - Avaliação de um projeto em quatro etapas ........186

301

Índices


Índice de Exemplos

EXEMPLO I.1 - Situação de indiferença numa lotaria .................... 23EXEMPLO I.2 - Carteira com dois ativos ........................................ 35EXEMPLO I.3 - Carteira com ativos perfeitamente

correlacionados (correlação positiva) ................... 38EXEMPLO I.4 - Carteira com ativos perfeitamente

correlacionados (correlação positiva) ................... 40EXEMPLO I.5 - Beta da Belforma .................................................. 48EXEMPLO I.6 - Beta de uma carteira de ativos .............................. 49EXEMPLO I.7 - Possibilidades de arbitragem com uma carteira .... 51EXEMPLO I.8 - Cálculo do prémio de risco de mercado

em equilíbrio ........................................................ 52

EXEMPLO II.1 - Análise de sensibilidade na implantaçãode um ginásio ...................................................... 75

EXEMPLO II.2 - Análise de cenários no ginásio ............................. 78EXEMPLO II.3 - Duas alternativas de investimento ........................ 79EXEMPLO II.4 - Valor esperado dos cash -flows e do VAL .............. 80EXEMPLO II.5 - Desvio -padrão do VAL ......................................... 81EXEMPLO II.6 - Três variantes de investimento e três estados

da natureza .......................................................... 83EXEMPLO II.7 - Monte Carlo e o lançamento de dados ................ 86EXEMPLO II.8 - Ovos do Campo ................................................... 92EXEMPLO II.9 - Técnica das Árvores de Decisão ......................... 98

EXEMPLO III.1 - Um dia bem planeado ......................................130EXEMPLO III.2 - Farmacêutica Resarchis .....................................135EXEMPLO III.3 - Avanço já, ou espero um pouco para ver? ........146EXEMPLO III.4 - Possibilidade de diferimento por dois períodos .153EXEMPLO III.5 - A taxa de avaliação e as árvores binomiais .......155EXEMPLO III.6 Valorizando uma opção de compra ....................159EXEMPLO III.7 - Árvore binomial em três períodos .....................167

302

Índices

EXEMPLO III.8 - Árvore binomial com perda de cash-flows ........174EXEMPLO III.9 - Uma opção de abandono .................................178EXEMPLO III.10 - Uma opção de contração ...............................181EXEMPLO III.11 - Uma opção de expansão.................................183EXEMPLO III.12 - Carteira de opções mutuamente exclusivas ....184EXEMPLO III.13 - Ovos do Campo ..............................................188

303

Índices


Índice de Tabelas

TABELA I.1 - Média e desvio-padrão de uma carteira .................... 36TABELA I.2 - Cálculo do Beta ........................................................ 49

TABELA III.1 - Correspondências entre opções reais e financeiras ..141TABELA III.2 - Fluxos de caixa de um projeto e respetivo

ativo gémeo ..........................................................156TABELA III.3 - Fluxos de caixa de um projeto considerando

flexibilidade ..........................................................158TABELA III.4 - Recordando os fluxos de caixa de um projeto

com flexibilidade ..................................................163


Ativos ReaisVolum

e 2 - Análise de Risco e IncertezaEduardo Sá e SilvaM

ário Queirós

Eduardo Sá e SilvaMário Queirós

www.vidaeconomica.pt

Visite-nos emlivraria.vidaeconomica.pt

ISBN: 978-972-788-820-7


ATIVOS REAIS

Eduardo Sá e SilvaEduardo Manuel Lopes de Sá e Silva é doutorado em Ciências Económi-cas e Empresariais pela Universidade da Corunha, Espanha, e licenciado e mestre pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto.

Exerce funções de docente no Ensi-no Superior, sendo orientador de di-versas dissertações de teses de Mes-trado e Doutoramento, nas áreas de Contabilidade e Gestão Financeira.

Obras do autor publicadas pela Vida Económica:- Classe 1: Meios Financeiros

Líquidos

- Classe 2: Contas a Pagar e a Receber

- Classe 3: Inventários e Ativos Biológicos

- Custo Amortizado e Imparidade

- Dicionário de Finanças e Negócios Internacionais

- Dicionário de Gestão

- Gestão Financeira: Análise de Fluxos Financeiros

- Gestão Financeira: Análise de Investimentos

- Gestão Financeira: Exercícios Resolvidos

- Gestão Financeira: Opções Reais

- Modelos para a Determinação do Risco da Taxa de Juro

- Normas Internacionais de Contabilidade: da Teoria à Prática

Mário QueirósMário Queirós é licenciado em Eco-nomia e pós-graduado em Estudos Europeus e em Ensino da Economia. Possui experiência na elaboração, análise, acompanhamento e controlo de cerca de uma centena de projetos de investimento, contando também com uma vasta experiência letiva em análise de investimentos no ensino superior e em formação porfissional.

Desde 1993 exerce funções de do-cente do Ensino Superior, na área da Economia e Gestão.

Volume 2ANÁLISE DE RISCO

E INCERTEZA


ATIVOS REAISVolume 2ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

“Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva, em parceria com o Dr. Mário Queirós, aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, o impacto que os investimentos podem ter na sua vida financeira.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contrabalance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, constituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.”

António Domingues Azevedo, bastonário da OTOC

Neste volume são tratados os aspetos relacionados com a análise do risco, com particular destaque para as opções reais. Este volume é sequência do volume 1, em que são tratados os aspetos básicos da análise de projetos de investimento, nomeadamente, os critérios tradicionais do VAL (Valor Atual Líquido) e TIR (Taxa Interna de Rendibilidade).

9 789727 888207

ISBN 978-972-788-820-7

análise de investimentos em volume 2 ativos reais ……convencional de análise de investimentos...

Documents