Ângulos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

        Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

       Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

 

     Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

     O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

 

Ângulos

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

 As semi-retas  coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

 

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

 

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

   

MEDIDA DE UM ÂNGULO

          A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

          Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

                            1º=60'

O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

                            1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º  =  60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Ângulos

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do

ângulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

                                      15º               (lê-se "15 graus'')

                                      45º50'          (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

                                     30º48'36''     (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações

Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.

 

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

O ângulo de uma volta mede 360º.

 

Questões envolvendo medidas de ângulos

Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução       

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

              m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

                                   x + 105º = 180º

                                             x   = 180º - 105º

                                             x   = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

 

Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Ângulos

Como construir um ângulo utilizando o transferidor

Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).

Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º  são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

 

 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.

Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

                30º = 30 . 60'= 1.800

'Logo, 30º = 1.800   

Transforme 5º35' em minutos.

Solução

                5º = 5 . 60' = 300'

                300' +  35'= 335'

Logo, 5º35'= 335'.   

transforme 8º em segundos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

               8º = 8 . 60'= 480

'Sendo 1'= 60'', temos:

                480'= 480 . 60'' = 28.800''

Logo, 8º = 28.800''.   

Transforme 3º35' em segundos.

Solução

                3º = 3 . 60'= 180'

                180' +  35' = 215'

                215' .  60''  = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900''

Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução

                 2º = 2 . 60' = 120'

                 120' + 20'  = 140'

                  140'. 60''= 8.400''

                  8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''

Ângulos

Transformando uma medida de ângulo em número misto

Transforme 130' em graus e minutos.

Solução

                        

Transforme 150'' em minutos e segundos.

Solução

                             

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.

Solução

   Medidas fracionárias de um ângulo

Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução

                 0,5º  = 0,5 . 60' = 30'

                 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'

Logo, 24,5º = 24º30'.   

Transforme 45º36' em graus.

solução

                     60'   1º

                     36'   x               

                                                           x = 0,6º  (lê-se ''seis décimos de grau'')

Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.   

Transforme 5'54''  em minutos.

Solução

                   60''  1'

                   54''  x        

                                                   x = 0,9'  ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

Ângulos

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:

Adição

30º48'  +  45º10'

       

43º18'20''  +  25º20'30''

    10º36'30''  +  23º45'50''

                  

   Simplificando 33º81'80'', obtemos:

          

 Logo, a soma é 34º22'20''.

   

Subtração

Observe os exemplos:

70º25' -  30º15

38º45'50''  - 27º32'35''

   

90º  -  35º49'46''

                        

 

80º48'30''  -  70º58'55''

  Observe que:

 

  Logo, a diferença é 9º 49'35''.   

Ângulos

Multiplicação por um número natural

Observe os exemplos:

2 . ( 36º 25')

                  

4 . ( 15º 12')

                         

    5 . ( 12º36'40'')

                           

  Logo, o produto é 63º3'20''.

   

   

Divisão por um número natural

Observe os exemplos:

( 40º 20') : 2

( 45º20' ) : 4

( 50º17'30'' ) : 6

 

Ângulos

ÂNGULOS CONGRUENTES

Observe os ângulos abaixo:

   

 

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:

                                     

Assim:

                      

                          Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

 

                                              Propriedades da Congruência

 Reflexiva:

 Simétrica:

 Transitiva:       

 

Ângulos

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Observe a figura:

   Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

Os ângulos AÔC  e CÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:  

 Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:  

Os ângulos CÔB  e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

 

Os pares de ângulos AÔC  e CÔB, AÔC  e AÔB, CÔB  e AÔB são denominados ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Ângulos

ÂNGULOS ADJACENTES

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

 

 Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns

 Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns

Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns

   Verifique que os ângulos AÔC  e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.       

Assim:

     Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

                              

 Observação:

 Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Ângulos

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Observe a figura abaixo:

                 m ( AÔC )  = m (CÔB ) = 20º

 

Verifique que a semi-reta  divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta  é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

 Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

 

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

 Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas

, respectivamente.

                       

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C  a D traçamos arcos que se cruzam em E.

Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

Ângulos

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

   

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

 

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

 

RETAS PERPENDICULARES 

As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

 

Observação             

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos.

Exemplo:  

Ângulos

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB  e BÔC na figura abaixo:

                                                        

Verifique que:

                                             m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e BÔC são complementares.    Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

   Exemplo:

          Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

          Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

   Medida do ângulo     Complemento

               x        90º  - x

Exemplo:

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

 

Observação:

Os ângulos XÔY  e YÔZ  da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

                                      

Ângulos

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC  na figura abaixo:

As semi-retas formam um ângulo raso.

Verifique que:

m ( AÔB )  + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

 

Exemplo:

     Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

     Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.

     Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

                

   Medida do ângulo       Suplemento

                  X            180º - X

Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução

Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo

Medida do suplemento = 180º - 55º

Medida do suplemento = 125º

Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

 

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de

suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.

Ângulos

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Observe os ângulos AÔB  e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

               

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

    Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

 

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

                      X + Y = 180º  ( ângulos adjacentes suplementares)

                      X  + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

                    

Logo:           y = k

Assim:

                   m (AÔB) = m (CÔD) AÔB  CÔD

                   m (AÔD) = m (CÔB) AÔD  CÔB

Daí a propriedade:

 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

                                                                  

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º  e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º  = 3x - 40º  ângulos o.p.v

         x - 3x    = - 40º - 60º

          -2x       =  - 100º

              x       = 50º

Logo, o valor de x é 50º.

Professor Antonio Carlos Carneiro BarrosoHTTP://ensinodematemtica.blogspot.comTexto extraído do somatematica