ANDRÉ LUIS TREVISAN

PROVA EM FASES E UM REPENSAR DA PRÁTICA

AVALIATIVA EM MATEMÁTICA

Londrina

2013

ANDRÉ LUIS TREVISAN

PROVA EM FASES E UM REPENSAR DA PRÁTICA

AVALIATIVA EM MATEMÁTICA

Tese apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina, como requisito para obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Regina Luzia Corio de Buriasco

Londrina 2013

Catalogação elaborada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central da Universidade Estadual de Londrina

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)

T814p Trevisan, André Luis.

Prova em fases e um repensar da prática avaliativa em

matemática / André Luis Trevisan. – Londrina, 2013.

168 f. : il.

Orientador: Regina Luzia Corio de Buriasco.

Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade

Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2013.

Inclui bibliografia.

1. Matemática – Estudo e ensino – Teses. 2. Estudantes – Testes e medidas

educacionais – Teses. 3. Educação matemática – Teses. 4. Aprendizagem – Avaliação

– Teses. I. Buriasco, Regina Luzia Corio de. II. Universidade Estadual de Londrina.

Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e

Educação Matemática. III. Título.

CDU 51:37.02

AGRADECIMENTOS

A Deus, por mais esta conquista.

À minha orientadora Regina, não apenas pela oportunidade de

realizar este trabalho, mas pela constante acolhida e pela experiência

compartilhada.

Aos meus pais, que jamais mediram esforços para que eu pudesse

chegar aonde cheguei.

À Ana Carolina, esposa e companheira, pelo apoio e incentivo

incondicionais.

Aos companheiros do GEPEMA, pela convivência, pelos

ensinamentos e pela amizade construída.

À UTFPR câmpus Apucarana (aqui representada por todos os

profissionais e colegas presentes ao longo dos últimos quatro anos) pela

oportunidade de realização deste trabalho.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências e Educação Matemática, por seus ensinamentos.

Às professoras da banca Maria Isabel, Maria Tereza, Angela Marta e

Márcia Cristina, pelas contribuições na construção deste trabalho.

A todos os professores que “passaram” pela minha vida e que, direta

ou indiretamente, foram “fontes de inspiração”.

Aos estudantes que fazem parte do estudo (“sala linda”, como se

autodenominavam): mais que minhas “cobaias” (como eles mesmos diziam),

pessoas maravilhosas com as quais tive o prazer de conviver ao longo dos últimos

quatro anos e que, ao final de mais uma jornada, presentearam-me com o título de

“padrinho” da turma.

A todos que, de alguma forma, contribuíram para que este trabalho

fosse realizado.

Instruir-te-ei, e ensinar-te-ei o caminho que deves seguir; guiar-te-ei com os meus olhos.

Salmo 32:8

TREVISAN, André Luis. Prova em fases e um repensar da prática avaliativa em Matemática. 2013. 168f. Tese de doutorado (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2013.

RESUMO

Este texto tem por objetivo apresentar reflexões oriundas da utilização da prova em fases como instrumento de avaliação em aulas de Matemática, em uma turma de Educação Profissional de Nível Médio. Para isso, apresentamos inicialmente uma descrição pormenorizada da experiência, tomada inicialmente como um “fracasso”, mas aos poucos percebida como fundamental na modificação na própria prática pedagógica. Nesse processo, a atitude passiva frente a uma avaliação em que se busca medir o quanto de uma técnica ou algoritmo é reproduzida pelo estudante foi aos poucos “caindo por terra”. A apresentação das percepções dos estudantes frente a um instrumento diferenciado de avaliação, bem como uma análise de sua produção escrita em questões da prova trouxeram elementos que permitiram analisá-lo criticamente. Partindo de considerações a respeito de algumas “falhas” na sua elaboração e implementação, analisamos as questões que compuseram a prova, à luz da abordagem conhecida como Educação Matemática Realística, buscando refletir também a respeito do conteúdo matemático subjacente às questões (a Trigonometria). Esse repensar aparece segundo três focos: os itens que compuseram a prova, o conteúdo matemático subjacente a esses itens e as próprias atitudes enquanto professor de Matemática. Ao longo de todo o texto, organizado segundo uma estrutura que busca preservar, em essência, o modo como a pesquisa foi sendo “tecida”, procuramos sempre contrapor criticamente o que “foi feito” com aquilo que “poderia ter sido feito”, numa tentativa constante de repensar a própria prática avaliativa. Palavras-chave: Educação Matemática, Educação Matemática Realística, Avaliação da Aprendizagem, Prova em Fases, Prática Reflexiva.

TREVISAN, André Luis. Stage test and a rethinking of assessment practice in Mathematics. 2013. 168f. Doctorate thesis (Post-Graduation Program on the Teaching of Sciences and Mathematics Education) – State University of Londrina, Londrina, 2013.

ABSTRACT

This text aims to present reflections arising out of the use of stage test as an assessment instrument in mathematics lessons, in a Middle Level Professional Education class. For this, we first present a detailed description of the experiment, taken initially as a "failure”, but gradually perceived as fundamental in the change in our own pedagogical practice. In this process, my passive attitude against assessment that tries to measure how much of a technique or algorithm is reproduced by a student was, gradually, "falling apart". Presenting the perceptions of students facing a differentiated assessment instrument, as well as an analysis of their written production in answering the questions, brought elements that made possible to examine the stage test critically. Starting from considerations about some "flaws" in its preparation and implementation, we analyze the questions of the examination using the approach known as Realistic Mathematics Education, also seeking for reflections about the underlying mathematical content issues (Trigonometry). This rethink appears according to three foci: the items that composed the test, the underlying mathematical content to these items and the own attitudes as teacher of Mathematics. Throughout the text, organized according to a structure that seeks to preserve, in essence, the way the research was being done, we always tried to oppose critically what was done with what could have been done in a constant attempt to rethink our own assessment practice. Key words: Mathematics Education, Realistic Mathematics Education, Learning Assessment, Stage test, Reflexive Practice.

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 9

1. DAS MOTIVAÇÕES À QUESTÃO DE PESQUISA ........................................ 12

1.1 COMEÇANDO... PELO COMEÇO? MINHA TRAJETÓRIA ENQUANTO PROFESSOR .... 12

1.2 A PROPOSTA “INDECENTE” ............................................................................. 17

1.3 NOSSO PROBLEMA DE PESQUISA .................................................................... 23

2. UM PRIMEIRO OLHAR PARA A PROVA EM FASES ................................... 31

2.1 O CONTEXTO DA PESQUISA ........................................................................... 31

2.1.1 A UTFPR ............................................................................................. 31

2.1.2 A Disciplina de Matemática ................................................................. 33

2.1.3 Os Estudantes ..................................................................................... 35

2.2 A PROVA EM FASES ...................................................................................... 35

2.2.1 A Elaboração da Prova ........................................................................ 35

2.2.2 A Aplicação da Prova .......................................................................... 38

2.2.2.1 A primeira fase ............................................................................. 38

2.2.2.2 A segunda fase ............................................................................. 40

2.2.2.3 A terceira fase .............................................................................. 40

2.2.2.4 A quarta fase ................................................................................ 41

2.2.2.5 A quinta fase ................................................................................. 43

2.2.2.6 A sexta fase .................................................................................. 44

2.2.3 A Correção das Provas ........................................................................ 44

2.3 AS PRIMEIRAS “INQUIETAÇÕES” ..................................................................... 47

3. A BUSCA POR INTERLOCUTORES ............................................................. 52

3.1 O ATO DE AVALIAR E A AVALIAÇÃO ESCOLAR ................................................... 52

3.2 AVALIAÇÃO COMO UMA PRÁTICA DE INVESTIGAÇÃO: CONTRIBUIÇÕES DO GEPEMA

.......................................................................................................................... 62

3.3 A ABORDAGEM ADOTADA PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................... 64

3.3.1 As Tarefas de Avaliação ...................................................................... 69

3.3.2 Das Intenções aos Instrumentos ......................................................... 79

4. E OS ESTUDANTES, O QUE TÊM A NOS DIZER? ....................................... 81

4.1 AS PERCEPÇÕES DOS ESTUDANTES ................................................................ 81

4.2 PRODUÇÃO ESCRITA DOS ESTUDANTES EM ALGUMAS QUESTÕES DA PROVA ..... 87

4.3 E NÓS, O QUE TEMOS A DIZER? .................................................................. 108

5. OUTRO OLHAR PARA A EXPERIÊNCIA COM A PROVA EM FASES ....... 111

5.1 AS QUESTÕES DA PROVA ............................................................................. 111

5.2 AVALIAÇÃO E CURRÍCULO: ALGUNS APONTAMENTOS ...................................... 128

5.3 UM REPENSAR DA PRÁTICA AVALIATIVA ........................................................ 135

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 140

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 144

APÊNDICES ........................................................................................................... 150

APÊNDICE A - PLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA .............................. 151

APÊNDICE B - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ............................. 154

APÊNDICE C - PROVA APLICADA .............................................................................. 156

APÊNDICE D - GRADE DE CORREÇÃO DAS QUESTÕES DA PROVA ................................ 163

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APRESENTAÇÃO

Este trabalho de tese retrata o caminho trilhado na busca de

compreender um pouco mais o processo de constituir-me1 professor (pesquisador)

de (Educação) Matemática. É resultado de um processo de reflexão, em que me

tornei protagonista da minha própria pesquisa, na qual propus-me a investigar minha

prática pedagógica na busca de compreender minha atuação em sala de aula e em

especial minha prática avaliativa, a partir das relações com os vários contextos nos

quais encontro-me inserido.

No início do ano de 2010, ingressei como estudante regular de

Doutorado no programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação

Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL). Desde então, não estive

em momento algum afastado de minhas atividades na Universidade Tecnológica

Federal do Paraná (UTFPR), instituição na qual atuo desde 2009. Na verdade, nem

mesmo faria sentido se estivesse, uma vez que pesquisar minha própria prática

docente tornou-se parte central deste trabalho.

Assim, passei a dividir-me entre as obrigações enquanto estudante

de Doutorado (disciplinas, grupo de pesquisa, encontros de orientação, participação

em eventos) e como professor da Educação Básica e do Ensino Superior. Ou

melhor, passei a dividir-me entre o lado professor e o desejo de me tornar

pesquisador.

Por diversas vezes, intrigou-me (e, por que não dizer, incomodou-

me) o fato de não conseguir separar essas duas realidades. Seria possível essa

separação? Seria necessária? Seria desejável? Por diversas vezes, questionei-me

se “daria conta”2 de desenvolver uma pesquisa estando, ao mesmo tempo, tão

envolvido com minha própria prática. O fato de estar em sala de aula atrapalharia a

elaboração de uma reflexão teórica esperada em nível de doutorado? Seria possível

refletir academicamente, “mergulhar nas leituras”, como dizia minha orientadora?

1 Tomo a liberdade de utilizar em alguns momentos a primeira pessoa do singular e em outros a

primeira pessoa do plural para descrever, respectivamente, situações que dizem respeito unicamente a mim e reflexões conjuntas com minha orientadora. 2 Expressão “emprestada” da colega Marcele, membro do GEPEMA, referindo-se à capacidade física e psicológica de resolver alguma tarefa com sucesso.

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Certamente minhas (pré-)concepções acerca da Matemática, de

ensinar Matemática e, principalmente, de avaliar em Matemática provêm da minha

própria formação enquanto estudante e professor em formação. “Desenhar” essas

experiências vivenciadas foi o ponto de partida numa tentativa de interpretar quem

sou, o que penso, como penso e por que assim penso. Essa primeira narrativa abre

o Capítulo 1 deste texto.

Em meios às minhas inquietações, apresento ainda nesse capítulo

alguns episódios que retratam o modo como a pesquisa foi sendo constituida.

Finalizo-o explicitando a questão de pesquisa e trazendo alguns aspectos

metodológicos do trabalho.

O Capítulo 2 é reservado à apresentação do contexto no qual se

desenvolveu a pesquisa: a utilização do instrumento de avaliação prova em fases

junto a uma turma do Curso de Educação Profissional Técnica de Nível Médio

Integrado em Vestuário da UTFPR câmpus Apucarana. Ao longo do capítulo,

descrevo o processo de elaboração da prova, a implementação de suas várias fases

e o processo de correção. Não se trata de uma simples descrição, uma vez que sua

elaboração possibilitou-me “olhar com outros olhos” uma experiência que

inicialmente eu havia interpretado como um “fracasso”. Ao colocar no papel de forma

pormenorizada o modo como as coisas aconteceram, fui “dando-me conta” de como

minha prática avaliativa estava sendo modificada.

Minha atitude passiva frente a uma avaliação em que se busca

medir o quanto de uma técnica ou algoritmo é reproduzida pelo estudante foi aos

poucos “caindo por terra”. Para incluir-me de forma consistente e comprometida

(GARNICA, 2001) em uma pesquisa a respeito da minha própria prática avaliativa,

buscando ir além de um olhar enquanto professor, na direção de um olhar como

pesquisador, fez-se necessária a busca por interlocutores.

O Capítulo 3 é então dedicado a apresentar alguma discussão com

base em autores que tratam do papel da avaliação no contexto da aprendizagem

escolar. São feitos apontamentos dos trabalhos que vêm sendo desenvolvidos no

GEPEMA3, Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação, na

direção da avaliação como prática de investigação e como oportunidade de

aprendizagem. Discuto, por fim, características da abordagem conhecida como

3 http://www.uel.br/grupo-estudo/gepema/index.html.

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Educação Matemática Realística - RME (do inglês Realistic Mathematics Education),

inspiração inicial para a proposta de utilização da prova em fases.

No Capítulo 4 apresento algumas das percepções dos estudantes

frente a esse instrumento diferenciado de avaliação, bem como uma análise de sua

produção escrita em questões da prova. Além de possibilitar compreender os

próprios estudantes como sujeitos do processo de avaliação e inferir algo acerca de

seu conhecimento matemático, essa etapa do processo de pesquisa trouxe

elementos que permitiram analisar criticamente o próprio instrumento, a prova em

fases. Afinal, conforme lembra-nos Van Den Heuvel Panhuizen (1996), repensar a

avaliação implica repensar os instrumentos e as tarefas de avaliação.

Tal análise é feita no Capítulo 5. Partindo de algumas “falhas” na

elaboração e a implementação da prova em fases, apresento uma discussão que

tange ao repensar da minha própria prática avaliativa, na direção de contrapor

criticamente o que fiz com aquilo que poderia ter feito.

Finalizo este trabalho buscando de algum modo explicitar, no

Capítulo 6, como respondemos nossa questão de pesquisa, e destacando algumas

perspectivas para pesquisas futuras.

O modo como a pesquisa foi sendo “tecida”, atrelado à opção em

entrelaçar a descrição da experiência utilizando o instrumento prova em fases com

nossas análises e com a literatura que lhe dá suporte, faz como que este texto esteja

organizado segundo uma estrutura pouco usual. Tal opção justifica-se pela

preocupação em preservar, em essência, a estrutura como o trabalho foi sendo

elaborado.

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1. DAS MOTIVAÇÕES À QUESTÃO DE PESQUISA

1.1 COMEÇANDO... PELO COMEÇO? MINHA TRAJETÓRIA ENQUANTO PROFESSOR

Apesar dos constantes questionamentos se eu estava certo da

minha decisão, sempre manifestei a vontade de ser professor. Não apenas

professor, mas um bom professor. Enquanto estudante, seja da Educação Básica e

mesmo no Ensino Superior, entendia que ser “bom professor” era sinônimo de não

“enrolar” a aula, planejá-la, conduzi-la de forma a cumprir o que havia planejado,

cumprir o programa, ter autoridade frente aos estudantes, organizar uma prova

coerente com as aulas e que contemplasse os pontos importantes da disciplina. Não

que isso tudo não seja importante. Mas no mínimo não é tão fundamental quanto eu

imaginava naquele momento.

Pois bem, frente à escolha em ser professor, muitos dos meus

professores diziam que eu tinha potencial para mais, que seria um “desperdício”

(como se, para ser um bom professor, não precisasse muita coisa). Apesar disso,

houve também aqueles que me apoiaram em minha decisão, alguns deles tornando-

se mais tarde colegas de profissão.

Em 2002, ingressei no chamado “cursão” da Universidade Estadual

de Campinas (Unicamp), o básico integrado em Matemática, Física e Matemática

Aplicada e Computacional. Ainda hoje é assim: os ingressantes permanecem três

semestres neste curso básico, antes de optarem pela modalidade na qual se

formarão. “Neste período, eles têm contato com os conceitos fundamentais que

alicerçam o conhecimento em Matemática e Física” (UNIVERSIDADE ESTADUAL

DE CAMPINAS, 2011). A opção pelo curso a ser seguido nos semestres

subsequentes é livre, não envolvendo qualquer processo seletivo, de modo que

qualquer um dos três cursos pode ter desde nenhum até 140 novos estudantes.

Ao final de três semestres deveria fazer uma escolha. Optei pelo

Bacharelado em Matemática Aplicada e Computacional, mas cursei em

concomitância a Licenciatura em Matemática. Certamente essa escolha teve forte

influência da “paixão” desenvolvida pela disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.

Embora não reconhecesse naquele momento o potencial pedagógico de

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instrumentos como mapas conceituais, diário de aulas, projetos de ensino e

softwares de visualização, hoje vejo em minha própria prática reflexos dessas

metodologias “inovadoras” propostas pelas professoras responsáveis pelas aulas da

disciplina. Ainda no primeiro semestre de graduação, encantava-me a ideia de um

dia poder atuar como professor de Cálculo e organizar minhas próprias aulas

utilizando todos esses recursos.

Muitos colegas bacharéis em Matemática Aplicada e Computacional

cursavam esporadicamente disciplinas da Licenciatura, em geral, como

enriquecimento curricular, sem necessariamente ter a pretensão de concluir essa

habilitação. Em conversas informais, constatava que a prioridade deles seria atuar

em empresas, longe da sala de aula. A Licenciatura seria apenas um “quebra-galho”:

se nada desse certo haveria a opção pela sala de aula.

No meu caso, sempre foi o contrário: optei pela Matemática Aplicada

não porque desejasse atuar como bacharel na área, mas porque enxergava nesse

curso mais possibilidades de compreender a que serve e em que se aplica, afinal, a

Matemática. Isso me possibilitaria ser um “melhor” professor. Além disso, a cada

semestre, a prática pedagógica dos meus professores “bacharéis matemáticos” mais

me desmotivava a optar pelo bacharelado em Matemática. Eram exaustivas aulas

copiando as demonstrações que escreviam na lousa, e que posteriormente eram

memorizadas e reproduzidas nas provas. As disciplinas do curso também não

atendiam minha necessidade de enxergar “em que se aplica” a Matemática.

Embora sempre participasse de oficinas, eventos, simpósios que

aconteciam na Faculdade de Educação, habitat dos professores das disciplinas

pedagógicas, acreditava que a opção “só” pela Licenciatura não daria conta da

Matemática que ansiava por aprender. Embora essa fosse minha visão como

estudante de graduação, arrisco-me a dizer que minha opinião não mudou muito.

Enfim, ambas as habilitações foram finalizadas em quatro anos. Era

chegado o fim da graduação, e o mestrado era condição sine qua non na busca da

carreira como professor universitário. Mas em qual área? Afinal eu não poderia ficar

nessa dúvida eterna entre a Matemática Aplicada e a Educação Matemática.

Naquele momento, optar pela Educação Matemática implicaria deixar para trás a

possibilidade de atuar em disciplinas matemáticas, para vislumbrar um futuro como

professor de Didática e Metodologia de Ensino. Afinal, eram assim que se

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apresentavam os editais para concursos públicos na carreira universitária naquele

momento. Por outro lado, na escolha pela Matemática Aplicada não caberiam

discussões acerca da prática pedagógica, nem mesmo a respeito daquelas “práticas

inovadoras” das minhas professoras de Cálculo.

Optei pelo mestrado em Matemática Aplicada. Por quê? Mais uma

vez, de certo modo, meu pragmatismo falou mais alto: não era admissível para mim,

na época, falar em Educação Matemática, sem antes ter posto o pé em uma sala de

aula. Para mim, o estágio obrigatório da graduação e os três anos atuando em

cursinho não eram suficientes; afinal, tratava-se de uma realidade recortada, uma

prática em momentos pontuais. Sentia necessidade de alguma experiência em uma

sala de aula “de verdade”, senão correria o risco de tornar-me algum tipo de

professor como aqueles que eu criticava. Já dizia Sácristan (1998, p. 136): “Se se

quer saber o que é verdadeiramente a educação, conviria muito mais analisar as

práticas nas aulas do que se deter muito no discurso embelezado”. No fundo, apesar

da opção pela Matemática Aplicada, estar em sala de aula sempre foi meu maior

desejo. Mesmo hoje, terminando o Doutorado, (felizmente) esse desejo permanece.

Talvez o fato de ter sido classificado “tão lá embaixo” na seleção do

mestrado tenha me desmotivado antes mesmo de ingressar no mestrado. Afinal,

modéstia a parte, eu era um dos melhores estudantes da graduação. Talvez o fato

de ter que encontrar os mesmos “não tão bons” professores da graduação tenha me

desmotivado no início. Talvez porque não estava mais entre os “melhores” tenha me

desmotivado no durante. Talvez o lado professor e a necessidade da sala de aula

“de verdade” tenham me feito voltar para minha cidade natal, ao fim do primeiro ano

de mestrado, para aceitar uma proposta de trabalho como professor da Educação

Básica. Sim, são muitos “talvezes”, mas possivelmente cada um deles tenha me

influenciado com algum peso naquele momento.

Não abandonei o mestrado, porém distanciei-me fisicamente da

Unicamp. Já havia concluído as disciplinas e a meu ver, para escrever a dissertação,

não necessitava estar presente na Instituição. Mal sabia o quanto estar longe do

ambiente universitário dificultaria as coisas. Ainda assim, algumas idas esporádicas

a Campinas ao longo do segundo ano do mestrado possibilitaram-me concluí-lo,

mas distanciaram-me da pesquisa e do envolvimento com a Matemática Aplicada.

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Estava iniciando (ou apenas tomando mais espaço) meu lado

professor. Iniciei o ano de 2007 trabalhando com um quinto ano e um sexto ano do

Ensino Fundamental em uma escola particular. Logo veio o sétimo ano, e em

seguida o Ensino Médio. Seis meses mais tarde, iniciava também a tão almejada

carreira enquanto professor do Ensino Superior, em contrato temporário na UEL

(Universidade Estadual de Londrina).

No ano seguinte, algumas outras aulas, monitorias, outra Instituição

de Ensino Superior. Pois é, com tantas aulas e em níveis de escolaridade tão

variados, senti na pele como era ser um professor “de verdade”. Em momento algum

me arrependo, pois aprendi muito nesse período. Além disso, a atuação na

Educação Básica muitas vezes mostrou-se mais gratificante que no Ensino Superior.

Apesar de o lado professor ocupar-me quase por completo, ainda assim consegui

cursar como estudante especial uma disciplina no programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Educação Matemática da UEL em 2008.

No início de 2009, assumi como professor efetivo da UTFPR

(Universidade Tecnológica Federal do Paraná), câmpus Apucarana. Ao trabalhar

nessa instituição, foi possível manter por mais alguns anos aquela que se mostrou

ser uma “paixão”: atuar com as turmas de Ensino Médio, existentes na Instituição

por conta dos cursos técnicos4. Além disso, o lado pesquisador começava a “aflorar”

novamente. Com a carga de aulas bem mais reduzida, sobrava mais tempo para

preparar melhor as aulas e voltar a estudar. Nesse ano, cursei várias disciplinas,

como estudante especial do programa. Dentre elas, “Tópicos de Educação

Matemática”, ministrada pela professora Dra. Regina Luzia Corio de Buriasco, que

propiciou um ambiente de leituras e estudos na área de Educação Matemática.

Naquele momento, algumas das minhas reflexões eram um tanto

limitadas, baseadas apenas em leituras que haviam sido feitas durante a graduação.

Penso que cursar a disciplina ampliou minha capacidade de análise crítica, e as

discussões realizadas motivaram-me a frequentar, ainda em 2009, os encontros do

GEPEMA, Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação,

4 No fim do ano de 2012 fui transferido, a pedido, do câmpus Apucarana para o câmpus Londrina da UTFPR. Desde então, tenho atuado exclusivamente com disciplinas matemáticas em cursos superiores.

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coordenado pela professora Regina. Motivaram-me também a preparar-me para o

ingresso como estudante regular no programa, o que aconteceu no início de 2010.

Ao mesmo tempo em que cursava disciplinas da Pós-Graduação,

incluindo uma chamada “Avaliação da Aprendizagem Escolar”, semanalmente

participava dos encontros do GEPEMA, que acontecem às segundas-feiras, no

período da manhã (em caráter de estudo, aberto a estudantes de graduação e pós-

graduação e professores da Educação Básica) e no período da tarde (em caráter de

pesquisa, com os orientandos de Pós-Graduação). É nesse espaço que

inquietações, dilemas e dúvidas vinham à tona, mas também novos aprendizados.

Enquanto isso, na UTFPR, algumas ações ainda modestas têm sido

desenvolvidas na tentativa de fomentar pesquisas no âmbito educacional . Durante

os anos de 2011 e 2012, ocupei na Universidade a função de Responsável pelo

Departamento de Educação, formado por uma equipe bastante eclética composta

por pedagogas, psicólogas, assistentes sociais e enfermeira, e juntos buscamos

delinear ações visando, entre outros, “propor melhorias no desenvolvimento do

processo ensino-aprendizagem por meio do acompanhamento de desempenho de

docentes e discentes” (Art 46, UTFPR, 2009).

Dessas, destaco duas. No segundo semestre de 2011,

organizamos5 um projeto intitulado “Oficina de Avaliação - A difícil tarefa de avaliar

com qualidade”. Por meio dele, propusemos organizar, em oito encontros quinzenais

de uma hora e meia, um espaço de reflexão a respeito dos instrumentos de

avaliação utilizados por professores das diversas áreas do conhecimento da

instituição (BARBOZA; TREVISAN; AMARAL, 2012).

Uma segunda “ação” foi a aprovação, em edital de pesquisa da

Fundação Araucária, do projeto “Avaliação da aprendizagem em ensino de ciências

da natureza e matemática”. A partir do segundo semestre de 2012 temos6 nos

reunido semanalmente em um grupo de discussão e reflexão no qual buscamos

realizar uma leitura da avaliação das aprendizagens no âmbito do ensino de

Ciências da Natureza e da Matemática, ampliando a compreensão dessa temática a

5 Refiro-me, especificamente nesse trecho, ao trabalho desenvolvido em conjunto com as pedagogas da UTFPR, Wierly Barboza e Roseli Gall do Amaral. 6 Acrescento aqui, além das pedagogas já mencionadas, a participação da professora Alessandra Baron, doutora em Química, e da técnica em assuntos educacionais Alessandra Soato, bióloga e mestre em Ensino de Ciências.

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partir da concepção de vários autores, como também, fazer um estudo dos

instrumentos disponíveis visando ações de formação.

Certamente minhas crenças a respeito de ensino e aprendizagem

mudaram, depois de novas leituras e novas experiências. Não sou capaz de

explicitar quais eram, mas certamente provinham da minha própria experiência

enquanto estudante. Hoje entendo o conhecimento como algo que não seja

simplesmente transmitido ou descoberto, mas construído por meio de e nas

interações sociais, a partir de situações que possibilitem aos estudantes produzir

algum significado àquilo que lhes é proposto. E, como não poderia deixar de ser,

modificaram-se também minhas crenças a respeito de avaliação, como será

discutido mais a frente.

1.2 A PROPOSTA “INDECENTE”

Ao cursar a disciplina “Tópicos em Educação Matemática” no

primeiro semestre de 2009, ainda como estudante especial, deparei-me com o texto

“A avaliação como Prática de Investigação e Análise da Produção Escrita em

Matemática” (VIOLA DOS SANTOS; BURIASCO; CIANI, 2008, p. 36). Ao referir-se

à avaliação praticada em sala de aula, os autores apresentavam-na tomada muitas

vezes como “instrumento de punição que provoca medo, angústia, rejeição” e como

“filtro de classificação em um processo de exclusão”. Incomodava-me naquele

momento o caráter tão pessimista presente nas palavras dos autores. Afinal, que

tanto mal poderia causar na vida do estudante uma simples “provinha”? Uma boa

nota seria consequência do empenho daquele estudante: ele havia prestado atenção

às aulas, desenvolvido as tarefas que o professor havia solicitado, havia se

preparado para a prova. Que mal poderia haver nisso? Em contrapartida, uma nota

baixa indicava que, de algum modo, aquele estudante era relapso, não prestava

atenção às aulas, não desenvolvia as tarefas propostas, não estudava para as

provas. Simples, não?

Participar de um grupo de pesquisa em que se discute avaliação

certamente mostrou-se (e ainda tem se mostrado) um grande desafio. Hoje entendo

que tratar dessa temática não é uma tarefa simples. Talvez eu tenha espelhado

muito em mim mesmo. Afinal, em toda minha trajetória escolar sempre fiz provas; e

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sempre fui bem, pois sempre estudava. Por que as coisas deveriam mudar? Se

havia funcionado comigo, por que não haveria de funcionar com os outros?

Segundo Barlow (2006, p.161), “na recepção intelectual dos mesmos

conhecimentos, a reação afetiva às mesmas situações varia infinitamente de um

indivíduo a outro”. De fato, minha reação afetiva à avaliação naquele momento,

restrita a minha própria experiência escolar enquanto receptor de conhecimentos,

era bastante limitada.

“Mergulhar” nas leituras a respeito dessa temática tão complexa

exigiu (e continua exigindo) um esforço constante para desprender-me de alguns

preconceitos. Não é nada fácil, principalmente quando se está, no seu dia a dia, em

círculos de conversas entre professores nos quais o discurso enfatiza, como

justificativa do baixo rendimento, a falta de comprometimento e a falta de “base”

observada em estudantes tanto da Educação Básica quanto em ingressantes nos

cursos superiores. É comum encontrarmos entre os professores aqueles que

oferecem aulas de revisão nas primeiras semanas de aula, ou até mesmo cursos de

nivelamento, nos quais são “retomados” conteúdos matemáticos oriundos dos níveis

anteriores de escolaridade (como se os estudantes, anteriormente, já houvessem

tido alguma oportunidade para aprendê-los!), como forma de buscar uma solução

para essa situação. Entretanto, mesmo depois destes “esforços”, é visível a

decepção e a frustração dos professores, já que parte considerável dos estudantes

apresenta, ainda, desempenho insuficiente nas provas. Crentes que nada mais

possa ser feito, os professores, muitas vezes, não reorganizam suas práticas

pedagógicas e, em consequência, não oportunizam aos seus estudantes meios para

a compreensão e superação das dificuldades.

Afinal, para muitos, cabe ao professor

‘ensinar o conteúdo’ já previsto em um programa, ao aluno, ‘prestar atenção’ e, em seguida, fazer uma série de exercícios para ‘treinar’ o que ‘aprendeu’, mesmo que, muitas vezes, não reconheça a importância do conteúdo; ao final do bimestre, o aluno faz uma prova, a qual, quase sempre, contém exercícios análogos aos já resolvidos em suas tarefas e, então, o professor atribui alguma nota a essa prova (FERREIRA, 2009, p.14).

Nesse trecho, Ferreira (2009) elenca um emaranhado de ritos

presentes no cotidiano escolar: é preciso cumprir o programa; fazer exercícios para

19

aprender o conteúdo; é preciso fazer uma prova ao final do bimestre; é preciso

atribuir alguma nota a essa prova. Podemos extrapolar: primeiro o professor ensina

o conteúdo, e depois aplica a prova; a prova precisa ser feita individualmente; as

questões da prova devem ser guardadas “a sete chaves”, quem presta atenção às

aulas apresenta boas notas, mas quem não presta...

Enfim, nessa visão conservadora de avaliação, se algo “dá errado”,

a culpa é, ou do professor, ou do aluno. Embora essa visão de culpabilidade esteja

muito presente no contexto escolar, esse fenômeno de insucesso “raramente é visto

enquanto relação, do ponto de vista interno da adequação ou inadequação do modo

de ensinar aos modos de aprender dos alunos” (ROLDÃO, 2001, p. 130). Para essa

autora, é necessária uma reapreciação das práticas que circunscrevem todo o

contexto escolar:

Como se ensina? Que faz o professor para ensinar – Fazer aprender – Aqueles alunos? Como organiza o ensino e não apenas os conteúdos de um programa? Que sabe ou que estuda sobre a construção e apropriação do conhecimento? Que decisões toma, com quem e com que análise prévia de cada situação? (ROLDÃO, 2001, p. 130).

A autora fala da necessidade de uma ruptura nos pressupostos, nos

princípios e nas práticas da escola enquanto organização curricular. Entendemos

que essa dinâmica de reconceitualização da escola perpassa um profundo repensar

da avaliação que hoje se pratica na escola, na busca de tomá-la como um projeto

intencional e planejado no cotidiano das aulas.

Mas como fazer? Como tornar a avaliação uma prática de

investigação, que possibilite ao professor interpretar, incluir, regular e mediar os

processos de ensino e de aprendizagem? Barlow (2006, p.165) nos dá uma pista: é

necessário matar o imaginário avaliador, pondo em questão e rejeitando os mitos e

os ritos vetores de falsas aparências; mas, também, é preciso saber ressuscitá-lo,

conservando ou recriando “aquilo que é portador de sentido e rico de eficácia

potencial”.

Por que não me tornar, então, “cobaia de mim mesmo”, matar meu

próprio imaginário avaliador? Quais seriam os mitos que eu trazia “nas minhas

20

tripas”7 e os ritos que eu praticava enquanto professor-avaliador? “O mito nos faz

considerar uma coisa como verdadeira, porque ela é dita desde sempre [...] e o rito

nos faz considerar como bom aquilo que é feito desde sempre” (BARLOW, 2006, p.

vii). Que mitos e ritos circunscreviam meu ato de avaliar? Que “coisas” eram

consideradas verdadeiras para mim nesse contexto?

Pois bem, naquele momento minha concepção de avaliação

resumia-se em “fazer prova”. Portanto, reconceitualizar a avaliação implicaria,

basicamente, modificar o instrumento de avaliação (a prova). Mas não muito... afinal,

nas aulas de Matemática, a prova escrita é vista como algo “sacrossanto” e

recoberto por uma “aura de glória”.

A ideia de “experimentar” a prova escrita como instrumento de

avaliação em minhas aulas, em moldes parecidos com a prova em duas fases,

surgiu no início do ano de 2010, quando ingressei no doutorado. Trata-se de uma

prova escrita realizada em dois momentos: uma primeira etapa na sala de aula, com

tempo limitado, e uma segunda fase, num tempo maior, em geral, a ser feita em

casa. Para De Lange (1987), a prova em duas fases oportuniza aos estudantes

refletir a respeito de seu próprio trabalho: depois de resolvida pela primeira vez na

escola, a prova é corrigida e comentada pelo professor e, posteriormente, devolvida

ao estudante para o trabalho adicional em casa.

Entretanto, diferentemente dela, a proposta feita pela professora

Regina Buriasco foi elaborar uma prova que contemplasse todo o conteúdo anual de

uma das disciplinas a ser ministrada naquele ano, e com todas as fases sendo feitas

em sala de aula. Achei a proposta “indecente”. Como assim, uma prova envolvendo

todo o conteúdo? E que, ainda por cima, os estudantes teriam acesso no primeiro

dia de aula? Aquilo ia contra meus princípios. Quem iria prestar atenção às minhas

aulas, já que todos conheceriam a prova logo no início? Sem a prova, qual seria

minha moeda de troca (ameaça) com as turmas?

Mas, nas palavras de Barlow (2006), era necessário matar meu

imaginário avaliador. Aceitei o desafio, com uma condição: elaborei a prova

contemplando apenas conteúdos programados para o primeiro semestre. Naquele

momento, parecia muito arriscado envolver o conteúdo anual. Além disso, caso não

7 Expressão utilizada pela professora Regina Buriasco ao se referir às preconcepções que temos a respeito de alguma temática, e das quais, muitas vezes, não conseguimos nos desprender.

21

desse certo, teria ainda o segundo semestre para “pôr as coisas nos eixos”. Como

forma de diferenciar esse instrumento da prova em duas fases, referiremo-nos a ele

simplesmente como prova em fases.

Em princípio, pensamos essa proposta apenas como um “piloto”. A

partir da leitura de alguns relatos que descreviam experiências similares àquela que

pretendia desenvolver e sem muito (ou sem nenhum!) embasamento teórico,

selecionei um rol de questões típicas, provenientes de livros didáticos e provas

aplicadas em anos anteriores, e “parti para o campo”.

Utilizei esse instrumento na disciplina de Matemática das três turmas

com as quais atuei no ano de 2010: segundo, terceiro e quarto anos do Curso de

Educação Profissional Técnica de Nível Médio Integrado em Vestuário, da UTFPR

câmpus Apucarana. Embora fosse um “piloto”, algumas opções foram necessárias,

dentre elas, a escolha da turma que seria observada; optei pelo segundo ano, por

possuir maior afinidade com a turma.

Para essa turma, a prova foi organizada para ser resolvida em seis

fases8, sendo composta por questões que contemplavam todo o conteúdo

programado para o semestre. Não havia indicação de quais questões deveriam ser

resolvidas a cada etapa, de modo que os próprios estudantes deveriam ser capazes

de saber qual resolver, podendo alterar as resoluções, nas etapas subsequentes,

sempre que julgassem necessário. Os estudantes receberam a prova logo no

primeiro dia de aula e tiveram um tempo de 25 minutos para trabalhar com ela.

Nossa intenção não necessariamente era que os estudantes resolvessem as

questões nesse primeiro momento, mas apenas “tomassem nota” do que seria prova

naquele bimestre (mesmo porque as questões contemplavam conteúdos que ainda

seriam explorados em aula). Ao final desse tempo, devolveram-na, e assim se

sucedeu nas outras cinco fases, porém num tempo maior (100 minutos). Assim, à

medida que o semestre passava e os conteúdos eram trabalhados na aula, os

alunos teriam “condições” de resolver as questões da prova. Essas seriam apenas

“pontuadas” ao final da terceira e da sexta fases, para atribuição das notas do

primeiro e segundo bimestres, respectivamente. Embora soubessem de sua nota

parcial, os estudantes não tiveram acesso aos critérios de correção antes do final da

sexta fase. 8 Apresentaremos mais adiante a razão pelo qual optamos por “seis” fases.

22

Além disso, ao final da terceira fase, ao lado de cada resolução,

apresentei um questionamento, independentemente de estar correta ou incorreta,

buscando instigar os estudantes a refletirem acerca das resoluções que haviam

apresentado até aquele momento. Este foi o único feedback que tiveram de sua

prova.

Ao longo daquele semestre, organizei um diário de campo9 que

incluía a descrição de cada uma das fases da prova, bem como minhas observações

e percepções10 ao longo do processo. A fim de acompanhar as resoluções, fiz cópia

das provas de todos os estudantes, a partir da segunda fase da prova.

À medida que o semestre passava e passavam também as fases da

prova, inquietava-me a sensação das coisas estarem “dando errado”. Na condição

de professor, minha expectativa era que, ao possibilitar aos estudantes alterar suas

resoluções, nas várias fases da prova, esta de fato se efetivaria. Também imaginava

que, de algum modo, os estudantes “comprariam a ideia”, dedicando-se com afinco

à resolução das questões. Sentia-me extremamente frustrado, pois, ao contrário

daquilo que esperava, mostravam-se descontentes com a proposta, e não “davam o

retorno” que eu havia idealizado. Passavam-se as fases da prova, muitas questões

em muitas provas permaneciam em branco, mesmo eu tendo trabalhado com a

turma o conteúdo necessário para sua resolução. Chegar ao final da sexta fase da

prova foi um alívio! Poderia, enfim, voltar a aplicar provas como fazia até então. Mal

sabia eu que (felizmente!) isso nunca mais aconteceria.

Apesar da minha resistência em tomar a prova em fases como

objeto de estudo para uma pesquisa, mostrou-se bastante prazeroso organizar o

relato dessa proposta “piloto”, o que deu origem a um artigo intitulado “Algumas

reflexões a respeito da utilização de um instrumento de avaliação” (TREVISAN;

BURIASCO, 2011).

Apresentar esse relato e compartilhar a experiência com outros

9 Denomino “diário de campo” o conjunto de anotações tomadas ao longo das aulas em que os estudantes resolviam a prova em fases. Não serão transcritas neste texto, mas utilizadas como embasamento para as descrições e análises apresentadas. 10 A expressão “observações” remete às anotações presentes no diário de campo de caráter descritivo (Por exemplo, “dois estudantes entregaram a prova antes do fim da primeira aula”), enquanto “percepções” caracterizam impressões de caráter pessoal (Por exemplo, “ao fim da prova, sinto-me frustrado com o fato de muitos estudantes entregarem a prova muito antes do tempo previsto para seu término”).

23

pesquisadores no I SIPERE11 causou-me “novos ânimos” e deu novos rumos ao

trabalho; esse evento pode ser considerado como um “divisor de águas” para o

delineamento de uma pesquisa que deu origem a essa tese de doutorado.

Hoje enxergo nesse episódio aquilo que Garnica (2001, p. 8)

denomina “maturidade vivencial”, necessária a uma incursão mais plena na pesquisa

qualitativa

é o contato com os pares, o conhecimento das articulações das e nas instituições, o tráfego pelo mundo acadêmico em suas múltiplas perspectivas, as concepções que se formam com a compreensão de textos, contextos e teorias, o experienciar de perspectivas que não são, em princípio, “nossas”, mas que a nós se oferecem como símbolos ávidos por serem interpretados. [...] Essa gama de diferentes fatores subsidiam e enriquecem a pesquisa realizada na vertente qualitativa, dado, principalmente, estar nas mãos do pesquisador – e não de um método pré-definido – a responsabilidade pela apreensão dos conhecimentos que – espera-se – possam ser compartilhados, tornados públicos.

Para esse autor, incluir-se consciente e comprometidamente numa

linha de pesquisa (no caso, qualitativa) é “abrir-se ao fato de que essa inclusão, ela

própria, já é, por si, elemento essencial para essa maturação em ação” (GARNICA,

2001, p. 8). Assim, a maturidade do pesquisador e da pesquisa são fatores que se

retroalimentam, e a pesquisa acaba por constituir-se ao longo dela própria.

Compartilhar com outros pesquisadores minhas angústias e frustrações foi

fundamental para “olhar com outros olhos” a experiência.

1.3 NOSSO PROBLEMA DE PESQUISA

Após ter passado algum tempo no campo, [o investigador] encontra-se em muito melhor situação para discutir quais os seus planos e o que poderá tirar de seus dados. Pode, então, discutir alguns temas emergentes. Evidentemente que não terá certeza sobre a evolução do estudo, nem acerca da forma como irá efectuá-lo (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 106).

11 I Simpósio sobre os impactos das políticas educacionais nas redes escolares, http://www.ppgecm.ufpr.br/Site_SIPERE/index.html.

24

Segundo esses autores, os investigadores qualitativos recolhem

dados “ricos em pormenores descritivos relativamente a pessoas, locais e conversas

[...] em função de um contacto aprofundado com indivíduos, nos seus contextos

ecológicos naturais”. Além disso, ainda que venham a “seleccionar questões

específicas à medida que recolhem dados, a abordagem à investigação não é feita

com o objectivo de responder a questões prévias ou de testar hipóteses” (BOGDAN;

BIKLEN, 1994, p. 16).

Para eles, num universo qualitativo é preferível realizar algum

trabalho de campo antes de escrever qualquer proposta de pesquisa. Alguns

investigadores qualitativos experientes inclusive “aconselham os principiantes a não

efectuar revisões substanciais de literatura antes da recolha de dados, mesmo que

estejam certos da relevância da literatura”. Afinal, a “revisão de literatura pode

influenciar, demasiadamente, a escolha de temas e, assim, limitar a análise indutiva

– uma vantagem importante da abordagem qualitativa” (BOGDAN; BIKLEN, p. 105).

Assim, o

investigador qualitativo evita iniciar um estudo com hipóteses previamente formuladas para testar questões específicas para ‘responder, defendendo que a formulação das questões deve ser resultante da recolha de dados e não efectuada a priori. É o próprio estudo que estrutura a investigação, não idéias preconcebidas ou um plano prévio detalhado (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 106).

Ao encontro dessas ideias, Garnica (2001, p.6) aponta que é

o cotidiano que faz aflorarem as perplexidades que levam às perguntas sobre o mundo que, por sua vez, pedem por modos de ação que permitam a compreensão que, finalmente, são carregadas de volta à cotidianidade, num ciclo contínuo e interminável.

Ora, entendemos que no cotidiano da sala de aula usual, na qual

vivenciamos a experiência com a utilização da prova em fases, foi possível identificar

um contexto propício à realização de uma investigação de caráter qualitativo, a partir

da análise sistemática dos dados já recolhidos. A abordagem à investigação não foi

feita com o objetivo de responder a questões prévias ou testar hipóteses. Ao

contrário disso, o olhar enquanto investigador, explicitado por meio da formulação e

reformulação da questão de investigação, resultou da recolha de dados obtidos a

25

partir da experiência com a utilização da prova em fases como instrumento de

avaliação e também numa perspectiva de refletir a respeito da avaliação como uma

prática de investigação. Na condição de pesquisador numa busca constante em

incorporar a perspectiva qualitativa, tornei-me mais reflexivo e passei a “ter menos

certezas” das coisas (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 285).

Borba e Araújo (2004, p.27) lembram-nos que o processo de

construção da pesquisa é, “na maioria das vezes, um longo caminho, cheio de idas e

vindas, mudanças de rumos, retrocessos”. Esse design da pesquisa foi sendo

construído à medida que a própria pesquisa desenvolveu-se.

Não podemos dizer que existiam hipóteses claramente definidas

enquanto recolhíamos informações a partir da experiência com a prova em fases,

mas ao mesmo tempo não podemos ignorar que, enquanto professor, tinha como

expectativa que a experiência “desse certo”.

Ao elaborar a prova em fases, propiciando aos estudantes resolvê-

las ao longo de um semestre, alterando suas resoluções sempre que julgassem

necessário, imaginava que estava tornando a avaliação uma prática de investigação.

Porém, ao debruçar-me sobre a literatura e buscar um referencial que sustentasse

essa minha prática, pude perceber uma série de “falhas” tanto na elaboração quanto

na implementação do instrumento. Embora tivesse modificado o instrumento, as

questões que o compuseram e, mais do que isso, minha própria atitude frente a ele

continuavam “tradicionais”. Aquela que seria então uma experiência “piloto” tornou-

se o objeto central da pesquisa, pois se mostrou um meio para repensar minha

própria prática pedagógica.

Em meios às “idas e vindas” e às minhas inquietações, percebi que

não teria “pernas” para analisar a experiência em todos os aspectos referentes à

minha prática pedagógica (entendida aqui como o conjunto das minhas ações em

sala de aula). Assim, optei por focar a avaliação e investigar o modo como a

experiência com a prova em fases possibilitou repensar minha prática avaliativa, em

especial no que diz ao modo como “encarava” e como hoje “encaro” a avaliação.

Tomamos então como questão de pesquisa: como a experiência

com a utilização da prova em várias fases possibilitou um repensar da minha

prática avaliativa?

26

Mais especificamente, propusemo-nos investigar:

• a utilização da prova em fases como instrumento de avaliação

em uma turma do Ensino Médio;

• as percepções dos estudantes frente ao instrumento;

• a produção escrita dos estudantes em questões da prova, antes

e depois de um momento de intervenção;

• a prova em fases como meio para repensar a prática avaliativa;

• a avaliação como oportunidade de aprendizagem.

1.4 Caracterização da pesquisa

Não cabe dedicarmos um capítulo específico para a apresentação

dos “procedimentos metodológicos”, visto que estes se encontram entremeados ao

longo de todo o texto. Ainda assim, julgamos pertinente dedicar esta sessão a uma

discussão um pouco mais focada na caracterização da pesquisa. Tomando como

referência o problema de investigação formulado e os objetivos deste estudo,

optamos por usar em nosso trabalho uma abordagem de investigação qualitativa12

de cunho interpretativo.

Embora os fundamentos da investigação qualitativa em Educação

remetam-nos ao século XIX, é apenas no início dos anos 70 do século XX que

agências de financiamento manifestaram interesse por propostas que fizessem uso

das abordagens qualitativas (BOGDAN, BIKLEN, 1994, p. 39). Atreladas a uma

longa e rica tradição histórica, porém um reconhecimento recente, investigações

designadas como qualitativas englobam uma diversidade de abordagens e métodos.

Em especial no que diz respeito às investigações em Educação

Matemática, Borba e Araújo (2004, p.01) apontam que há uma “imensa diversidade

de formas de fazer pesquisa e de questões sobre o fazer pesquisa que estão em

permanente modificação”. Para esses autores, pesquisa qualitativa refere-se a uma

forma de conhecer o mundo que se materializa fundamentalmente através dos procedimentos conhecidos como qualitativos, que

12

Não queremos dizer aqui que investigadores quantitativos não se interessem pelo processo. Entendemos, porém, que este seja o foco do pesquisador qualitativo.

27

entende que o conhecimento não é isento de valores, de intenção e da história de vida do pesquisador, e muito menos das condições sócio-políticas do momento (BORBA; ARAÚJO, 2004, p. 3).

Apesar das diferenças, todas as investigações ditas qualitativas

apresentam algumas características comuns (BOGDAN; BIKLEN, 1994), que

reconhecemos em nosso estudo.

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente

natural, constituindo o investigador o instrumento principal.

Entendemos que os dados recolhidos em uma situação de

avaliação, na qual se utiliza como instrumento a prova escrita, com questões

usualmente presentes em uma prova escrita, caracteriza o “ambiente natural” de

ocorrência: o cotidiano de uma sala de aula de Matemática do Ensino Médio em uma

Instituição pública.

2. A investigação qualitativa é descritiva.

A descrição minuciosa do contexto da pesquisa, dos sujeitos

envolvidos, da elaboração e formatação da prova e de cada uma das fases

evidencia o método de recolha de informação que possibilitará uma compreensão do

objeto de pesquisa.

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo

do que simplesmente pelos produtos.

Além da utilização da prova em fases como instrumento de

avaliação em uma turma “usual” do Ensino Médio, da produção escrita dos

estudantes em questões da prova e da percepção desses estudantes, a utilização

desse instrumento como meio para repensar a prática avaliativa enquanto professor-

pesquisador tornou-se objeto de investigação.

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados

de forma indutiva.

28

A elaboração do objeto de estudo começa a se estabelecer após a

recolha de informações. Não há o intuito de confirmar ou informar hipóteses

construídas previamente. Pretende-se aqui tomar uma experiência vivenciada,

envolvendo a utilização diferenciada de um instrumento de avaliação – a prova

escrita, como o objeto de análise e reflexão.

5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.

Além da percepção do professor-pesquisador em “constante

construção”, houve também a preocupação em buscar caracterizar a percepção dos

participantes (os estudantes) a respeito desse processo.

Por se tratar de uma investigação acerca da própria prática

profissional, a componente reflexiva teve um papel decisivo em todas as etapas do

trabalho. Segundo Ponte (2002, p.6), a investigação acerca da própria prática é

um processo fundamental de construção do conhecimento sobre essa mesma prática e, portanto, uma actividade de grande valor para o desenvolvimento profissional dos professores que nela se envolvem activamente. E, para além dos professores envolvidos, também as instituições educativas a que eles pertencem podem beneficiar fortemente pelo facto dos seus membros se envolverem neste tipo de actividade, reformulando as suas formas de trabalho, a sua cultura institucional, o seu relacionamento com o exterior e até os seus próprios objectivos.

Constituem-se como procedimentos metodológicos (ALVES-

MAZZOTTI, 2004) da nossa pesquisa a indicação das motivações, do problema de

pesquisa e das etapas de desenvolvimento, apresentados no Capítulo 1; a descrição

detalhada do contexto, dos participantes e do cronograma, apresentada no Capítulo

2; e o instrumental para análise de dados (no caso, seguindo as orientações da

Análise de Conteúdo descritas na sequência deste Capítulo).

Como forma de aumentar a credibilidade em nossa pesquisa,

utilizamo-nos de vários e distintos instrumentos para coleta de dados, incluindo: um

diário de campo com a descrição de cada uma das fases da prova, e minhas

observações e percepções ao longo do processo, os diários de aulas dos

estudantes, as informações oriundas de um questionário respondido pelos

29

estudantes ao final da prova e as resoluções de todos os estudantes às questões da

prova em cada uma das fases.

No que diz respeito às resoluções das questões da prova, estas

foram analisadas à luz da Análise de Conteúdo (BARDIN, 1977, p.42), entendida

como um

conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos, sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens.

As diferentes etapas da Análise de Conteúdo organizam-se em torno

de três polos cronológicos: (a) a pré-análise, (b) a exploração do material e o

tratamento dos resultados e (c) a inferência e a interpretação.

A pré-análise é a etapa de organização propriamente dita, e possui

três missões: a escolha dos documentos a serem submetidos à análise, a

formulação das hipóteses e dos objetivos e a elaboração de indicadores que

fundamentem a interpretação final.

Constituiu-se como corpus dessa parte do estudo o conjunto das

resoluções de cada estudante a cada uma das questões da prova, a partir da

segunda fase. A constituição desse corpus atende às regras de seleção apontadas

por Bardin (1977): todos os documentos retidos para análise constituem-se em

diferentes resoluções (representatividade) de uma mesma prova (homogeneidade),

resolvida por diferentes estudantes, todos de uma mesma turma (exaustividade),

mostrando-se adequados enquanto fonte de informação para a pesquisa

(pertinência).

Caracteriza-se como hipótese a afirmação provisória que nos

propomos a verificar (confirmar ou infirmar), recorrendo aos procedimentos de

análise, e como objetivo a finalidade geral a que nos propomos investigar (BARDIN,

1977, p.98). Conforme mencionamos anteriormente, não existiam hipóteses bem

definidas ao se propor a análise das produções escritas, porém algumas

expectativas. Esperava-se que os estudantes alterassem suas resoluções ao longo

das fases da prova, aprimorando-as e as tornando mais completas, e que os

30

questionamentos apresentados ao lado de cada questão, sem qualquer indicação de

estar ou não correta, contribuíssem nessa direção.

Nesse sentido, a etapa de análise propriamente dita teve como

objetivo investigar possíveis mudanças nas resoluções das questões da prova entre

a terceira e a quarta fases, momento em que os estudantes depararam-se com

questionamentos ao lado das resoluções apresentadas até aquele momento. Com

vistas a codificar e categorizar a produção escrita dos estudantes, utilizamos o

código de identificação formado pela letra E (estudante) seguido de uma numeração

com dois dígitos (01, 02, ..., 25) segundo a ordem com que seus nomes apareciam

no diário de classe da disciplina. Quando nos remetermos às suas provas, utilizamos

o código P (prova) seguido dessa mesma numeração de dois dígitos.

Os dados brutos foram tratados de maneira a serem “falantes” e

válidos, para que assim se pudessem propor inferências e interpretações. O

resultado desse processo e a descrição detalhada desses procedimentos serão

apresentados no Capítulo 4.

31

2. UM PRIMEIRO OLHAR PARA A PROVA EM FASES

2.1 O CONTEXTO DA PESQUISA

2.1.1 A UTFPR

A prova em fases foi utilizada como instrumento de avaliação junto

às turmas do Curso de Educação Profissional Técnica de Nível Médio Integrado em

Vestuário, da UTFPR câmpus Apucarana. Essa Instituição é a primeira no Brasil a

receber a denominação “Tecnológica”, e tem uma história um pouco diferente das

outras universidades. A Instituição não foi criada, mas transformada a partir do

Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET – PR). Como a origem

deste Centro é a Escola de Aprendizes Artífices, fundada em 1909, a UTFPR herdou

uma longa e expressiva trajetória na Educação Profissional. Com ampla abrangência

no estado, a UTFPR tem hoje doze câmpus e pretende ampliar essa atuação. Cada

câmpus mantém cursos planejados de acordo com a necessidade da região onde

está situado e grande parte deles oferta cursos Técnicos, de Engenharia e de

Tecnologia, a maioria reconhecida pelo Ministério da Educação com conceito A

(UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ, 2011).

O câmpus Apucarana da UTFPR iniciou suas atividades em janeiro

de 2007 ofertando o Curso Técnico em Vestuário, destinado aos egressos do Ensino

Fundamental. Gradativamente, os cursos de Graduação passaram a ser ofertados:

Tecnologia em Design de Moda, Tecnologia em Processos Químicos, Engenharia

Têxtil e Licenciatura em Química, respectivamente. Além destes, há também o

Curso de Formação Pedagógica e cursos de Qualificação Profissional destinados

aos estudantes e também à comunidade externa (UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA

FEDERAL DO PARANÁ, 2011).

O Curso Técnico em Vestuário é desenvolvido em regime anual,

tendo ofertado vagas para novas turmas entre os anos de 2007 e 2011. A partir daí,

passou por reestruturação, passando a chamar Curso Técnico em Modelagem do

Vestuário, tendo sua primeira turma iniciado as atividades em 2012.

32

Apresentaremos uma breve descrição das características do curso

em sua versão mais antiga, pois dele são oriundos nossos sujeitos de pesquisa. Em

linhas gerais, o curso visava à formação e qualificação de profissionais com visão

técnica para atuarem na área de vestuário, aptos a executar e se adequar às

tendências mercadológicas oferecidas pelo setor. O currículo era estruturado

integrando a formação geral e a formação técnica, e estava organizado por unidades

curriculares (disciplinas): Língua Portuguesa e Literatura, Língua Estrangeira

Moderna, Matemática, Física, Química, Biologia, História, Geografia, Filosofia,

Sociologia, Educação Física, Artes e Informática, além das disciplinas da área

profissional de Vestuário.

A matriz curricular do curso era distribuída ao longo de quatro anos,

com aulas de segunda-feira a sábado em um único período (manhã ou tarde). Era

desenvolvido em regime anual com o mínimo de 200 dias letivos e 800 horas (Art.

14, UTFPR, 2007). A admissão acontecia mediante exame de seleção, destinado

aos egressos do Ensino Fundamental, e dava direito ao ingresso apenas no primeiro

período do curso (Art. 16, UTFPR, 2007).

A matrícula era feita por disciplinas do período para o qual o

estudante havia sido promovido, bem como nas disciplinas em dependência,

totalizando no máximo quarenta e uma horas-aula semanais. O estudante não podia

matricular-se em disciplinas dos períodos subsequentes ao seu caso, se não fosse

aprovado em disciplinas que integralizassem doze horas-aula semanais ou mais

(Art. 17, UTFPR, 2007), caracterizando retenção no respectivo período.

Nos três primeiros anos, a grade horária era composta por 28 aulas

semanais de 50 minutos cada; no quarto ano esse número passava a 27. Cada

turno (manhã e tarde) era dividido em cinco aulas. A disciplina de Matemática fazia

parte da grade dos quatro anos do curso, tendo três horas-aulas no primeiro e no

segundo anos e duas horas-aula no terceiro e quarto ano e era ministrada por um

único professor em cada ano.

Os resultados das avaliações eram computados em quatro notas

bimestrais, cada uma delas variando de zero a dez pontos. Considerava-se nota final

como a resultante da média aritmética das quatro notas bimestrais obtidas pelo

estudante. Era considerado aprovado em uma disciplina o estudante que tivesse

33

frequência igual ou superior a 75% do número de aulas estabelecidas no período

letivo e alcançasse nota final igual ou superior a sete pontos.

2.1.2 A Disciplina de Matemática

Conforme mencionado anteriormente, a turma escolhida para a

realização da pesquisa foi o segundo ano do Curso de Educação Profissional

Técnica de Nível Médio Integrado em Vestuário. O plano de ensino organizado para

disciplina de Matemática naquele ano encontra-se no Apêndice A e contém a

ementa, as estratégias de ensino utilizadas, a bibliografia e os critérios de avaliação

(o primeiro desses itens é fixo, e os demais são elaborados pelo próprio professor).

A ementa contemplava os seguintes tópicos: Sequências – Progressão Aritmética e

Progressão Geométrica; Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares; Relações

Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Relações Trigonométricas Fundamentais

– Arcos Trigonométricos – Equações Trigonométricas – Funções Circulares, ficando

a critério do professor a distribuição desses conteúdos ao longo do ano. O Quadro 1

mostra como essa distribuição foi planejada, mês a mês, naquele ano.

Quadro 1 – Distribuição mensal dos conteúdos da disciplina.

Meses Conteúdos previstos Março Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Abril Relações Trigonométricas Fundamentais – Arcos Trigonométricos. Maio Equações Trigonométricas. Junho Funções Circulares. Agosto Sequências: Progressão Aritmética. Setembro Sequências: Progressão Geométrica. Outubro Sistemas Lineares e Determinantes. Novembro Determinantes e Matrizes.

Fonte: Autor.

As aulas com o segundo ano aconteceram às terças-feiras, nos dois

últimos horários, e às quartas-feiras, no terceiro horário. Em minha prática

pedagógica naquele momento, costumava alternar momentos expositivos com

tarefas de resolução e discussão de exercícios, tanto do livro-texto13 quanto

selecionados de outros materiais, bem como a proposição de tarefas no laboratório

de Informática, com a utilização do software Geogebra.

13 PAIVA, Manoel. Matemática. Volume Único. 2a Edição. São Paulo: Moderna, 2004.

34

No que diz respeito à avaliação do rendimento, acordei com a turma

que a nota bimestral era composta por 7,0 pontos oriundos da resolução de

questões da prova em fases e 3,0 pontos destinados a um conjunto de tarefas que

incluíam a resolução de listas de exercícios tanto em sala de aula quanto em horário

extraclasse e apresentações de trabalhos de pesquisa.

Propus também a elaboração de um diário de aulas, organizado no

ambiente virtual de gestão de aprendizagem e de trabalho colaborativo – o Moodle

(Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment)14. O objetivo desta

atividade era que cada estudante construísse um veículo para dialogar com ele

mesmo e também comigo a respeito de Matemática, auxiliando-os na sistematização

por escrito dos conceitos discutidos em aula. O diário foi feito por meio de relatos

semanais, que contemplavam, além de aspectos emocionais e afetivos, exemplos

ilustrando os conceitos trabalhados em sala de aula, acompanhados de explicações,

com as próprias palavras dos estudantes. Essa foi uma tarefa optativa, que

acrescentaria até 1,0 ponto à média bimestral, e sua avaliação foi baseada na

frequência da produção e no aspecto reflexivo do conteúdo.

A ideia de agregar às aulas esse instrumento foi motivada a partir de

uma experiência similar vivenciada enquanto estudante de Cálculo Diferencial e

Integral I, no primeiro semestre da graduação. Parte das orientações que entreguei

aos estudantes para elaboração do diário baseou-se em material impresso que

recebi na primeira aula daquela disciplina. Acerca desse tipo de registro escrito,

Santos, S. (2005, p.128) aponta que pode ser visto tanto como um instrumento para

“atribuir significados e permitir a apropriação de conceitos” quanto como ferramenta

alternativa para o diálogo, de modo que o processo de avaliação e reflexão a

respeito de aprendizagem seja continuamente mobilizado.

Enquanto ferramenta de diálogo, o diário de aulas foi fundamental

como registro das diversas percepções/reações dos estudantes a respeito da prova

em fases. Vários deles registravam no diário suas opiniões, suas dúvidas, seus

avanços e mesmo suas angústias acerca do instrumento de avaliação.

14 http://www.moodle.org.br/

35

2.1.3 Os Estudantes

No início do ano de 2010, estavam matriculados na disciplina de

Matemática 28 estudantes. Deste total, um deles foi transferido e dois trancaram a

disciplina, antes mesmo da segunda fase da prova. Consideramos então como

sujeitos dessa pesquisa 25 estudantes, sendo cinco do sexo masculino e 20 do sexo

feminino, com idades entre 15 e 18 anos. Dois deles estavam retidos e cursavam a

disciplina pela segunda vez.

Como forma de autorizar o uso de suas produções escritas para o

desenvolvimento do trabalho, todos foram convidados a assinar (ou pedir assinatura

ao responsável, no caso de menores de 18 anos) um Termo de consentimento livre

e esclarecido (Apêndice B).

2.2 A PROVA EM FASES

2.2.1 A Elaboração da Prova

No ano de 2009, quando ministrei a disciplina de Matemática no

primeiro e segundo anos do curso Técnico em Vestuário, utilizei como instrumento

de avaliação duas provas escritas realizadas a cada bimestre, acontecendo sempre

ao fim de cada mês de aula, e mais uma prova escrita denominada “de

recuperação”. Cada uma delas tinha valor 3,5 pontos, e em geral era composta de

sete questões com valor de 0,5 pontos cada. A cada bimestre, três encontros com

duas aulas geminadas eram destinados à realização dessas provas, o que totalizava

seis encontros ao fim de cada semestre de aula.

Fazendo analogia a esse modelo, selecionei, para elaboração da

prova em fases, 28 questões provenientes de livros didáticos, listas de exercícios e

provas aplicadas em anos anteriores. Tomei o cuidado de incluir, segundo minha

percepção naquele momento, questões com diversos níveis de complexidade e

também que contemplassem todos os conteúdos previstos para os meses de março

a junho (primeiro e segundo bimestres), apresentados no Quadro 1. Atribuí para

cada questão o valor de 0,5 pontos, de modo que a prova valia 14,0 pontos (7,0

pontos para cada bimestre).

36

Organizei a prova para que fosse resolvida, em princípio, em cinco

encontros (similar ao que acontecia no ano anterior: dois encontros no primeiro

bimestre, dois no segundo, e um único encontro para “recuperação” – a meu ver

naquele momento, mais que suficiente, uma vez que os estudantes já conheceriam

de antemão todas as questões da prova). Optei, porém, por incluir também uma fase

adicional, realizada logo no primeiro dia de aula, para que os estudantes

realizassem a leitura da prova, tivessem contato com as questões e eventualmente

resolvessem algumas delas. Dentre as questões da prova, quatro contemplavam

conteúdos de anos anteriores, uma delas logo dentre as primeiras, como uma

possível forma de motivação para alguma resolução já na primeira fase. Nesse dia,

dispuseram de 25 minutos e nas demais fases, um tempo de 100 minutos (duas

aulas).

A cada fase, a resolução das questões era desenvolvida de forma

individual em sala de aula; ao final, a prova era recolhida, e os estudantes só tinham

acesso a ela novamente nas fases subsequentes. Não havia indicação de quais

questões deveriam ser resolvidas, de modo que eles próprios deveriam ser capazes

de saber qual resolver a partir, por exemplo, do reconhecimento dos conteúdos já

trabalhados, e podendo alterar as resoluções, nas fases subsequentes, sempre que

julgassem necessário.

As datas para cada uma das fases foram definidas previamente com

base no calendário acadêmico para os cursos técnicos da UTFPR. Aconteceram

sempre às terças-feiras, dia em que as aulas eram geminadas. O ano letivo de 2010

iniciou em 01/03, sendo 30/04 o prazo para entrega das notas do primeiro bimestre,

e 06/07 para as notas do segundo bimestre. A primeira fase foi na primeira aula da

disciplina, e as demais datas foram escolhidas de modo que existisse pelo menos

uma fase a cada mês, e também que as não distassem entre si mais de 40 dias. Ao

fim da segunda fase, foram necessárias algumas alterações neste calendário, por

conta de motivos diversos: “andamento” das aulas e eventuais dispensas para

participação de palestras e realização de visitas técnicas, além da minha percepção

da impossibilidade em corrigir as provas e fechar as notas caso a sexta fase da

prova permanecesse na data limite de fechamento do segundo bimestre. O

calendário original e o reestruturado são mostrados na Figura 1.

37

Figura 1 – Calendários da prova (original e reestruturado, respectivamente).

FASE DATA 1ª 02/03/2010 2ª 23/03/2010 3ª 13/04/2010 4ª 04/05/2010 5ª 08/06/2010 6ª 06/07/2010

FASE DATA 1ª 02/03/2010 2ª 23/03/2010 3ª 20/04/2010 4ª 11/05/2010 5ª 08/06/2010 6ª 29/06/2010

Fonte: Autor.

Como forma de atender ao “rito” da entrega dos boletins aos pais ao

final de cada bimestre, era necessário atribuir uma nota parcial à prova ao final da

terceira fase. Assim, tomei o cuidado de selecionar questões para que metade delas

envolvesse conteúdos do primeiro bimestre, e o restante envolvesse conteúdos do

segundo bimestre. Essa situação causava-me angústia à medida que aconteciam as

aulas, pois temia não conseguir trabalhar todo o conteúdo necessário à resolução de

pelo menos metade da prova até o fim do segundo bimestre, o que poderia

prejudicar a nota dos estudantes.

Quanto à formatação, a prova continha uma folha de rosto contendo

o nome da disciplina, do professor, um espaço para o nome e instruções de como

seria desenvolvida. Nas dez páginas que a compunham, foi deixado espaço entre

cada questão, de modo que o estudante pudesse fazer a sua resolução logo após o

enunciado, e, o espaço ao lado, na página seguinte, foi destinado às correções ou

modificações em etapas posteriores à apresentação da primeira resolução. A prova

aplicada, juntamente com a folha de rosto, encontra-se no Apêndice C.

Apenas na quarta fase é que os estudantes receberam um retorno

das questões resolvidas até então. Ao lado de cada resolução, apresentei um

questionamento, sem indicação de estar ou não correta, para que pudessem refletir

a respeito das resoluções que haviam apresentado. Ao questioná-los, pretendia

provocar um “desequilíbrio na sua estrutura cognitiva, fazendo-a avançar no sentido

de uma nova e mais elaborada reestruturação” (MOYSÉS, 1997, p. 37).

38

2.2.2 A Aplicação da Prova

Apresento a seguir um relato das seis fases da prova, construído

com base nas anotações de um diário de campo, incluindo minhas observações e

percepções ao longo do processo.

2.2.2.1 A primeira fase

A primeira fase aconteceu na primeira aula da disciplina; apresentei

aos estudantes o plano de ensino da disciplina e em seguida entreguei a cada um a

prova, a princípio com a folha de rosto virada para baixo.

Houve questionamentos se aquele calhamaço de papel seria um

conjunto de listas de exercícios, algum tipo de apostila da disciplina ou mesmo uma

proposta de Atividade Prática Supervisionada15. Quando disse tratar-se da prova,

houve uma inquietação geral; algumas de suas falas podem ser interpretadas como

manifestações de: susto (“O quê?”), dúvida (“Como assim”?), medo (“Estamos

‘ferrados’”), entusiasmo (“Nossa, que legal”), e mesmo apatia perante a proposta.

Alguns imaginaram que a prova seria realizada em casa.

Pedi que, antes de qualquer coisa, lessem silenciosamente as

instruções que constavam na capa da prova. Em seguida, a partir de seus

questionamentos, esclareci pontos que naquele momento não estavam claros nem

mesmo para mim, porém que exigiam uma tomada de decisão, e desse modo

passavam a ser combinados com a turma.

“Como saber qual questão resolver a cada fase?”. Esclareci que

essa era uma decisão que cada um deveria tomar: conforme os conteúdos fossem

estudados, deveriam ser capazes de reconhecer qual questão era possível resolver.

Outra dúvida dizia respeito à correção: informei que só iria “corrigir”

as questões que estivessem feitas a tinta após a terceira fase, para atribuição da

15 As Atividades Práticas Supervisionadas (APS) são atividades acadêmicas desenvolvidas na UTFPR a partir do ano de 2009 visando à integralização da carga horária mínima do curso. São realizadas pelos discentes em horários diferentes daqueles destinados às atividades presenciais. Em diversas disciplinas tem-se utilizado as “listas de exercícios” como modalidade de APS. Por isso a “suspeita” inicial de alguns estudantes.

39

nota do primeiro bimestre. Porém, não os informei como seria feita essa correção, já

que, naquele momento, isso também não estava claro nem mesmo para mim. Essa

falta de esclarecimento gerou reclamações ao receberem a prova na quarta etapa,

pois, ao invés do frequente “certo ou errado”, os estudantes depararam com

questionamentos ao lado de cada questão, sem qualquer indicação se estava

correta ou incorreta.

Esclareci que cada questão correta tinha valor de 0,5 pontos, e a

nota do primeiro bimestre foi computada pela soma dos pontos obtidos até a terceira

etapa. Além disso, como tinham a oportunidade, nas etapas subsequentes, de

alterar resoluções e resolver as questões faltantes, os pontos eventualmente obtidos

fariam parte da nota do segundo bimestre. Além disso, caso alguém obtivesse até a

terceira fase pontos que ultrapassassem 10,0 pontos, o excedente seria atribuído no

segundo bimestre. Caso isso acontecesse após a terceira fase, seria lançado

retroativamente ao primeiro bimestre. Ficou combinado que poderiam manter as

resoluções a lápis tanto na primeira quanto na segunda fase, porém deveriam

apresentá-las a tinta ao fim da terceira fase, quando seria feita uma “correção”

parcial. Nada foi mencionado das fases posteriores.

Um dos estudantes questionou se seria possível, naquele momento,

resolver alguma questão. Respondi que “não sabia”, insistindo no fato que cada um

deveria decidir qual questão era capaz de resolver. Informei que havia questões

contemplando assuntos já discutidos em anos anteriores. “Deve ser de função”,

disse um deles. Alguns estudantes mostraram-se bastante inquietos, pois

desejavam saber quais questões já se poderia resolver, quais poderiam ser

resolvidas em cada fase, o que era preciso saber para resolver cada questão.

Questionaram então se não haveria “prova de recuperação”.

Esclareci que essa prova em si já era uma oportunidade constante de recuperação.

Não havia necessidade de uma nova prova ao fim do bimestre. Muitos explicitaram

grande preocupação com isso.

Alertei-os da importância de ler com atenção cada questão, para ter

alguma ideia do que tratava cada uma delas. Alguns estudantes entregaram a prova

antes dos 25 minutos de que dispunham naquela primeira fase. Terminado o tempo

combinado, recolhi as provas.

40

2.2.2.2 A segunda fase

Diante de questionamentos levantados no momento em que os

estudantes receberam as provas nessa fase (tais como “onde resolver mesmo?”, “é

a lápis ou a caneta?”), retomei alguns combinados, como o de apresentar as

resoluções no espaço em branco logo abaixo de cada questão e a necessidade de

estar à tinta apenas ao fim da terceira fase. Alguns questionavam a possibilidade de

resolver ou não questões específicas (“já dá pra fazer a questão X?”, “o que preciso

saber para resolver a questão Y?”). Novamente, insistia dizendo que deveriam ser

capazes de identificar quais questões “dariam conta” de resolver e, caso não

fossem, que se preparassem para resolvê-las na fase seguinte. À medida que

entendiam ter terminado, devolviam as provas.

2.2.2.3 A terceira fase

Ao retomar o combinado de que a resolução das questões a serem

“corrigidas” deveria ser à tinta, fiquei preocupado diante das reclamações de alguns

dos estudantes do tempo que seria gasto para “passar caneta” em suas resoluções.

Optei por manter o combinado, mesmo tendo percebido que vários deles não

tiveram tempo de “mexer” em outras questões, senão naquelas que haviam

resolvido a lápis até aquele momento.

Surgiram novamente dúvidas do cômputo da nota: quantas questões

fazer para obter nota máxima, ou mesmo para não ficar com “nota vermelha”.

Mesmo com a possibilidade de refazer questões nas fases seguintes, muitos

estudantes mostraram-se bastante preocupados, pois não haviam conseguido

resolver muitas questões até aquele momento, estariam sujeitos a algum tipo de

represália dos pais/responsáveis, por conta de uma possível “nota vermelha”.

Achei prudente ser direto em algumas respostas: “para que se

obtenha nota máxima será necessário acertar pelo menos 14 questões” e “quem

obtiver os 3,0 pontos em tarefas diversificadas deverá acertar pelo menos oito

questões para alcançar a média”. Informei também que pelo menos metade das

questões da prova envolvia conteúdos que já haviam sido discutidos em aula.

41

Os estudantes passaram a se ocupar com as questões e, ao final do

tempo combinado, devolveram as provas.

2.2.2.4 A quarta fase

Foi no início dessa fase que os estudantes receberam, pela primeira

vez, um retorno das questões resolvidas até então. Antes de distribuir as provas,

escrevi no quadro-negro a questão: “Quanto é o resultado de 12+29?” e, ao lado,

duas possíveis resoluções:

14

92

21

1

+

13

92

21

1

+

Questionei o que havia de diferente, e a resposta foi que a primeira

estava certa e a segunda estava errada. Perguntei o que poderia ter acontecido no

segundo caso, e alguém disse que a pessoa “esqueceu-se de somar o 1”. Ao lado

daquele “1”, aparecendo em ambos os casos, escrevi: “Por que existe esse 1 aqui?”,

e utilizei esse exemplo para esclarecer que receberiam questionamentos como esse

ao lado de suas resoluções, sem indicação de estar ou não correta. No exemplo, o

questionamento corrobora a estratégia utilizada na primeira resolução, indicando

uma adição com reserva efetuada corretamente, enquanto na segunda resolução

indica um equívoco cometido ao efetuar a operação em questão. Assim, os

questionamentos tinham por intuito possibilitar que os estudantes refletissem a

respeito de suas resoluções, podendo validá-las, complementá-las, ou mesmo

alterá-las.

Como, até então, eu não havia informado à turma a adoção desse

procedimento, a decepção de muitos ao receber suas provas foi evidente.

Esperavam que na prova estivesse indicado o que estava correto e o que estava

incorreto, para que assim pudessem corrigir. Ao folhear suas provas e perceber que

de fato não havia marcas de certo ou errado, muitos estudantes ficaram inquietos.

Diziam que meus questionamentos iriam confundi-los, pois não saberiam se

precisavam refazer ou não as questões.

42

Retomei o combinado de fazer alterações apenas no espaço ao lado

da questão e não rasurar ou acrescentar coisas novas nas soluções apresentadas

até então, cabendo a cada um a decisão de alterar ou não sua resolução. Alguns

explicitaram, em tom de voz alto, suas dúvidas quanto aos questionamentos feitos.

A um questionamento do tipo “Por que....”, alguém respondeu ironicamente “Porque

sim, ué!”.

Um dos estudantes disse que na sua prova havia perguntas

engraçadas e bobas, já que o professor não tinha nada a questionar e, portanto,

inventava esse tipo de coisa. De fato, ele não estava de todo errado!

Por conta da readequação no calendário, a quarta fase foi realizada

duas semanas após a terceira, sendo que entre elas nenhum conteúdo havia sido

discutido em aula, por conta de feriados e realização de palestra e gincana. Poucos

estudantes mostraram-se motivados a rever e refletir a respeito das questões

resolvidas, ou mesmo trabalhar com questões novas. Vários estudantes

responderam aos meus questionamentos, porém, a meu ver, naquele momento, sem

refletir se aquela resposta serviria para rever a estratégia ou o procedimento adotado

na resolução. Um exemplo disso ocorreu com a questão 25, que solicitava a medida

em radianos de alguns arcos de circunferência. Alguns estudantes haviam

apresentado uma resposta em graus, o que me fez apresentar o questionamento:

Arcos de circunferência podem ser medidos em quais unidades?16. Embora este tenha

sido respondido da maneira esperada (Podem ser medidos em graus e radianos),

muitos estudantes mantinham ainda suas respostas em uma unidade diferente

daquela pedida no enunciado.

Praticamente metade da turma entregou a prova antes do fim de

uma aula, apesar de vários colegas sugerirem que utilizassem o tempo restante para

a leitura das questões nas quais não se havia ainda “mexido”. De fato, poucos

“mexeram” em questões novas.

Minha frustração ao final dessa etapa era evidente. Senti que meus

questionamentos tinham mais atrapalhado do que ajudado. Incomodavam-me muitas

16 Ao referirmo-nos aos questionamentos apresentados por escrito aos estudantes, utilizaremos o seguinte código de identificação: fonte Calibri para destacar questionamentos que eu havia escrito ao lado das resoluções, e fonte Bradley Hand nos casos das respostas que os estudantes eventualmente apresentaram.

43

das questões presentes na prova, e a cada fase sentia que não as havia escolhido

com o devido cuidado. No momento de elaboração da prova, imaginava que aquelas

questões haviam sido bem escolhidas, uma vez que contemplavam todo o conteúdo

previsto para o semestre, eram similares àquelas que eu utilizava em minhas aulas e

permitiram “ver” o que de fato o estudante havia “aprendido” daquele conteúdo.

Além disso, eram questões que eu estava habituado a utilizar em minhas provas, e

que certamente outros professores utilizam.

Entretanto, grande parte dessas questões apresentava poucas

(senão uma única) estratégias possíveis para resolução. Assim, ao longo do

semestre sentia-me obrigado a trabalhar em aula questões similares às da prova

antes de cada fase, para que os estudantes tivessem pelo menos alguma

oportunidade para resolvê-las. Isso me angustiava e, a meu ver, tornava minhas

aulas maçantes; não havia tempo para trabalhar algo muito diferente daquilo que

havia “engessado” nas questões da prova.

2.2.2.5 A quinta fase

Ao receber as provas nessa fase, foi marcante a preocupação de

vários estudantes a respeito do tempo restante para o término das questões. Vários

reclamaram ter se passado muito tempo desde a quarta fase (pouco mais de um

mês), e não recordavam conceitos vistos no primeiro bimestre. Pediram também

para que eu escrevesse no quadro-negro “as fórmulas” (definição das razões

trigonométricas recíprocas e a fórmula resolutiva das equações do segundo grau),

embora já houvesse combinado que isso não seria feito, o que os deixou ainda mais

apreensivos.

Nesse momento, o conteúdo envolvido em praticamente todas as

questões já havia sido abordado em aula. Apesar da preocupação inicial que

demonstravam com o tempo, pelo menos metade da turma entregou a prova antes

do fim da primeira aula.

44

2.2.2.6 A sexta fase

Ao iniciar a prova, percebia o semblante de enfado e cansaço de

vários estudantes, talvez por ser fim do semestre, ou por receberem novamente a

mesma prova. Muitos deles mantêm o hábito de resolver primeiro a lápis as

questões para depois “passar a caneta”. Temendo prejudicar aqueles que tinham

muitas questões para resolver, combinei que poderiam deixar a lápis as questões

que ainda estavam faltando. Mesmo havendo estudantes que tinham muitas

questões para resolver, muitos as deixaram em branco, entregando a prova antes do

tempo disponível.

2.2.3 A Correção das Provas

A correção das provas foi feita seguindo os princípios descritos no

“Manual para correção das provas com questões abertas de matemática”

(BURIASCO; CYRINO; SOARES, 2003). Segundo as autoras, seu intuito não é que

as questões sejam corrigidas apenas como corretas ou incorretas, mas o de

verificar, por meio da produção escrita do estudante, seu conhecimento matemático.

Buscam, assim, levar em consideração o grau de compreensão

demonstrado pelo estudante na interpretação da questão, sempre em busca do que

ele já sabe e do que está a caminho de saber. Além disso, se a resposta dada a

uma questão estiver incorreta, recomendam examinar a produção do estudante para

considerar possíveis créditos parciais.

Num primeiro momento, fizemos um levantamento de possíveis

estratégias de resolução para cada uma das questões da prova. A partir disso,

criamos, para cada uma delas, uma grade com critérios de correção e pontuação.

Além disso, ao final de cada fase da prova, tabulamos as questões em que cada

estudante havia trabalhado, buscando identificar possíveis estratégias e

procedimentos diferentes daqueles que havíamos previsto, readequando os critérios

de correção, quando necessário.

Nesse trabalho, consideramos “estratégia como a maneira pela qual

o estudante abordou o problema, [...] já o procedimento relaciona-se ao processo de

desenvolvimento da estratégia” (DALTO, 2007, p.28). Por exemplo, para a resolução

45

esperada da Questão 1 da prova, mostrada na Figura 2, entendemos como

estratégia a identificação das relações trigonométricas que permitiam o cálculo das

medidas solicitadas, e como procedimento a montagem e resolução de uma regra de

três simples17 envolvendo essas razões trigonométricas. Nesta figura apresentamos

também a resolução esperada para cada item dessa questão.

Figura 2 – Questão 1 e resolução esperada.

Questão 1: Usando as razões trigonométricas, pode-se calcular distâncias e a altura de edifícios sem precisar subir neles. Para isso, uma pessoa de 1,62 m de altura posiciona-se a certa distância do prédio e vê o seu topo a um ângulo de 28°.

28°

24 m

1,62 m

a) Usando as medidas que constam no desenho, qual é a altura aproximada do edifício? b) A que distância essa pessoa encontra-se do prédio? Resolução esperada:

a) Indicando por d a altura vertical acima dos olhos da pessoa temos:

2428

dsen

o =

2447,0

d=

28,11=d

A altura h procurada será então dada por mh 9,1262,128,11 =+=

R. A altura é 12,9m. b) Indicando por x a distância da pessoa ao prédio temos:

2428cos

xo =

2488,0

x=

12,21=x

R. Essa pessoa encontra-se a 21,12m do prédio.

Fonte: do autor.

17 Entendemos por regra de três simples o procedimento para resolver problemas de proporcionalidade que envolvem quatro valores, dos quais três são conhecidos. A opção pelo uso dessa expressão justifica-se por ela ser bastante frequente nas aulas.

46

Utilizamos uma escala de 0 a 10 pontos para atribuição das notas de

cada questão18: parte dos pontos seria atribuída à identificação da estratégia que

resolvia corretamente a questão, parte ao procedimento que resolvia aquela

estratégia e parte à resposta, com as respectivas unidades, quando fosse o caso.

Figura 3 – Grade de correção e pontuação da Questão 1.

Valor F2 F3 F4 F5 F6

1

a

Reconheceu a razão seno 2

Utilizou corretamente a razão seno 1

Acrescentou a altura da pessoa 2

Apresentou resposta com unidades 1

b

Reconheceu a razão cosseno 2

Utilizou corretamente a razão cosseno 1

Apresentou resposta com unidades 1

Fonte: do autor.

A Figura 3 mostra a grade de correção elaborada para a questão 1,

contendo os critérios de correção e pontuação. A sigla F219 na segunda coluna

indica a pontuação atribuída na segunda fase, F3, a nota na terceira fase e assim

por diante, lembrando que essa tabulação foi feita a partir da segunda fase da prova.

A grade de correção utilizada para a correção de todas as questões da prova

encontra-se no Apêndice D.

A título de exemplo, mostramos na Figura 4 a grade de correção já

preenchida para a Questão 1 da prova P03. Neste caso, o estudante identificou na

segunda fase as estratégias que resolviam os itens a e b da questão

(reconhecimento das razões seno e cosseno, respectivamente), obtendo 2 pontos

em cada um desses itens. Essa pontuação é mantida nas fases seguintes, pois o

estudante não apresentou modificação em sua estratégia. Os itens “Utilizou

corretamente a razão seno”, “Acrescentou a altura da pessoa” e “Utilizou

corretamente a razão cosseno” são entendidos aqui como procedimentos de

18

Embora, para efeito de cômputo da nota dos estudantes cada questão valha 0,5 pontos, a grade de correção foi pensada numa escala de 0 a 10 pontos. Tal grade foi utilizada apenas para efeito da pesquisa, sendo apresentada aos estudantes apenas suas notas parcial (ao final da terceira fase) e final (ao final da sexta fase). 19 Justificamos a tabela de pontuação ter sido iniciada na 2ª fase (F2) pelo fato que apenas nessa etapa optamos por sua elaboração como recurso para o acompanhamento das resoluções. Não houve registro das questões que eventualmente foram “mexidas” na primeira fase (F1).

47

resolução. Obteve 1 ponto no primeiro e no terceiro deles, na segunda fase da

prova, e não os alterou nas fases seguintes.

Figura 4 – Grade de pontuação da Questão 1 em P03.

Valor F2 F3 F4 F5 F6

1

a

Reconheceu a razão seno 2 2 2 2 2 2

Utilizou corretamente a razão seno 1 1 1 1 1 1

Acrescentou a altura da pessoa 2 2 2 2

Apresentou resposta com unidades 1 1 1 1

b

Reconheceu a razão cosseno 2 2 2 2 2 2

Utilizou corretamente a razão cosseno 1 1 1 1 1 1

Apresentou resposta com unidades 1 1 1 1

Fonte: Autor.

Entretanto, como até a quarta fase o estudante não acrescentou a

altura da pessoa ao valor obtido por meio da regra de três simples, deixamos em

branco até essa fase o espaço reservado à pontuação desse item. Além disso, é

partir da quarta fase que o estudante apresenta uma resposta ao problema com as

unidades adequadas, recebendo então a pontuação referente a esse item.

2.3 AS PRIMEIRAS “INQUIETAÇÕES”

O preenchimento das grades de correção nas várias fases da prova

pode ser entendido como o início de processo de tratamento dos dados brutos (no

caso, das resoluções que cada estudante apresentou a cada uma das questões, em

cada uma das fases da prova) proposto pela Análise de Conteúdo.

Uma leitura horizontal das grades de correção (cada questão da

prova de cada estudante), seguida de uma leitura vertical (todas as questões da

prova de um único estudante), possibilitaram-nos traçar um esquema de quais

questões da prova haviam sido “mexidas” até a terceira fase, apresentado no

Quadro 3. Nesse esquema, os números na horizontal referem-se às questões da

prova, no caso, da questão 1 até a questão 28; os números na vertical referem-se

aos estudantes: E1, E2, ... E25. Posições assinaladas com “X” indicam que aquele

estudante apresentou algum tipo de produção escrita na referida questão.

48

Quadro 3 – Questões da prova “mexidas” até a terceira fase.

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20 Q21 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q27 Q28

E1 X

X X X

X X X

X X

X

X X X X

X X X X

E2 X X X X X X X X X X X X X X E3 X X X X X X X X X X X X X X X

E4 X X X X X X X X X X

E5 X

X X X

X X X

X X X X

X

X X X X

X X

X

E6 X X X X X X X X X X X X E7 X X X X X X X X X

E8 X X X X X X X X X E9 X

X

X

X X X

X X

X X

X X X X

X X X X

E10 X X X X X X X X X X X X X X X E11 X X X X X X X X X X X X X X X X X E12 X X X X X X X X X X X X X X X E13 X

X

X

X X X

X X

X X

X X X X

X X X

E14 X X X X X X X X X X X X X X X X

E15 X X X X X X X X X X X X X E16 X X X X X X X X X X X

E17 X

X X X

X X X

X X

X X

X

X X X X

E18 X X X X X X X X X X X X E19 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

E20 X X X X X X X X X X X X X X X X X X

E21 X

X

X

X

X

X

X X

X

X X

E22 X X X X X X X E23 X X X X X X X X X X X X X

E24 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

E25 X

X

X

X X X

X X

X X

X

X

X

X

Fonte: Autor.

49

Percebe-se que, das 28 questões da prova, 24 delas foram

“mexidas” até a terceira fase por pelo menos um estudante. Dessas, nove (no caso,

as questões 1, 3, 5, 11, 12, 20, 22, 25 e 28) questões apresentam produção escrita

por pelo menos 20 estudantes. Entre elas, estão aquelas que contemplam conceitos

de trigonometria no triângulo retângulo, arcos no ciclo trigonométrico, conversão

graus/radianos, e também tópicos vistos em anos anteriores, como conceito de

função. Isso mostra que uma boa parte dos estudantes consegue reconhecer

naquelas questões conceitos que haviam sido vistos em aula.

Oito questões (7, 8, 9, 15, 19, 21, 26 e 27) apresentam produção de

14 a 19 estudantes; sete questões (4, 13, 14, 16, 17, 23 e 24) foram “mexidas” por

menos de 14 estudantes. Por fim, quatro questões (2, 6, 10 e 18) não apresentam

produção escrita alguma até a terceira fase; estes últimas envolviam conteúdos que,

até a terceira fase da prova, não haviam sido abordados em aula (no caso,

equações trigonométricas)

Outro ponto interessante a considerar diz respeito ao número de

questões que foram “mexidas” quando olhamos para a prova de cada estudante.

Dos 25 estudantes, 14 apresentaram produção escrita em pelo menos 14 questões

da prova até a terceira fase.

Mais uma vez, enxergamos aqui um número significativo de

estudantes (mais de 50%) que, de algum modo, identificou alguma similaridade entre

as questões da prova e os tópicos que haviam sido tratados em aula. Dez

estudantes haviam “mexido” em um número de questões entre oito e 13 (de 25% a

50% da prova). Apenas um estudante (E22) apresentou produção escrita em apenas

25% das questões da prova.

Vista por outro ângulo, a grade de correção das questões

possibilitou-nos esboçar um “mapa” das possíveis mudanças na resolução das

questões da prova entre a terceira e a quarta fases, momento em que os estudantes

depararam-se com questionamentos ao lado das resoluções apresentadas até

aquele momento. Como já relatado anteriormente, tais questionamentos não

indicavam se a resposta estava correta ou não, mas apenas serviam para que os

estudantes refletissem a respeito de suas respostas. Desse modo, não

necessariamente precisava existir uma resposta escrita a cada um deles. Além

50

disso, poucos foram os estudantes que fizeram algum tipo de alteração em suas

resoluções.

Na posição de professor da turma, minha expectativa era que, ao

possibilitar aos estudantes alterar suas resoluções nas várias fases da prova, isso de

fato se efetivaria. Esperava que os questionamentos apresentados ao lado das

resoluções contribuíssem para que essas resoluções fossem aprimoradas, ou

mesmo alteradas. Mais do que isso, esperava que essa proposta de utilização de um

instrumento “diferenciado” de avaliação fosse “abraçada” e “comprada” por todos os

estudantes. As inferências que apresentamos com base em seus diários de aula e

no questionário apontam não exatamente nessa direção.

Ao fim daquele semestre, a sensação que tudo tinha “dado errado”

era latente. Inquietava-me com o fato de que, num universo de 25 provas, cada uma

com 28 questões, a quantidade em que se percebia algum tipo de modificação nas

resoluções, depois de feitos os questionamentos, era mínima.

Nas palavras da professora Regina Buriasco, era chegado o

momento da retirada dos “óculos20”, para que pudessem buscar outros “óculos”. E

estes seriam construídos na perspectiva de “olhar com outros olhos” para os fatos

que eram postos:

• quais seriam as razões do “fracasso” com a utilização da prova

em fases como instrumento de avaliação?

• por que razões os estudantes não “compraram” a ideia?

• por que meus questionamentos haviam “falhado”?

Assim, não bastava olhar para aquela experiência com “olhos de

fracasso”, nem sucumbir frente ao “imobilismo gerado pelo sentimento de um

conhecimento insuficiente” (HADJI, 1994, p. 129). A reflexão a partir da experiência

com a prova em fases mostrou-se como um meio para fazer da avaliação uma

prática de investigação. Borba e Araújo (2004) lembram-nos que a revisão de

literatura é um procedimento primordial na busca de respostas ao problema de

20 O termo “óculos” é utilizado na busca de caracterizar a “bagagem teórica” da qual se dispõe no momento em que se faz a exploração dos dados de uma pesquisa e o posterior tratamento dos resultados obtidos.

51

pesquisa, e é por meio dela que situamos nosso trabalho no processo de produção

de conhecimento da comunidade científica.

Nas palavras de Castro (2004), era necessário ampliar os

horizontes, ir além e, assim como ela, “ir até a biblioteca” foi fundamental.

52

3. A BUSCA POR INTERLOCUTORES

Ao contrário daquilo que usualmente encontramos em relatórios de pesquisa,

optamos por apresentar nossa “fundamentação teórica” após o relato da experiência

vivenciada. Nem mesmo adotaremos a expressão “fundamentação teórica”, uma vez

que não partimos de fundamentos presentes em alguma literatura para realizar

nosso experimento. Este surge naturalmente de uma prática de sala de aula que

buscava ser “melhorada”. Foi na busca de compreender e refletir a respeito dela que

elencamos nossos interlocutores.

3.1 O ATO DE AVALIAR E A AVALIAÇÃO ESCOLAR

A avaliação em todos os níveis de ensino – da Educação Básica ao

Ensino Superior – é uma questão complexa e em permanente discussão. Trata-se

de um elemento inerente a toda prática pedagógica e, além da regulação, assume

ao mesmo tempo a função de certificação de aprendizagem.

Mas em que consiste afinal, o ato de avaliar?

Primeiramente, é imprescindível tomarmos a pluralidade de verbos

que podem designar esse ato, conforme aponta-nos Hadji (1994): verificar, julgar,

estimar, representar, determinar, dar um conselho. Barlow (2006), num primeiro

momento, mostra-se mais específico frente a essa diversidade, apresentando a

avaliação como o ato de emitir um julgamento. Entretanto, amplia essa possibilidade

ao apontar que esse julgamento, emitido em relação a uma realidade que pode ou

não ser quantificável, depois de se ter ou não efetuado uma medição, pode ser ou

não preciso.

Essa aparente sensação de “vale-tudo” em avaliação pode ser

“amenizada" se lembrarmos que, para ambos os autores, Hadji (1994) e Barlow

(2006), avaliar implica estabelecer uma comparação. Comparação esta que reside

na constituição daquilo que se espera (um referente, um ideal) em relação a qual se

compara aquilo que de fato existe, que se constata na realidade (o referido), e no

estabelecimento de critérios que ao mesmo tempo indicam “as expectativas do

julgamento avaliador (é satisfatório porque...) e suas finalidades (eu avalio para...)”

53

(HADJI, 1994, p. 17).

Esse confronto entre o campo da realidade concreta e das

expectativas, “o que foi estabelecido entre o professor concreto e o modelo ideal

previamente desenhado” (HADJI, 1994, p. 31) torna o avaliador um comparador que

mede a distância do que é e do que se espera que fosse. Mas medir essa distância

implica interpretar uma realidade com a qual se depara, confrontar essa realidade

concreta com as expectativas, para então se atribuir um valor àquilo que se deseja

avaliar.

Pode-se falar então de um juízo de avaliação, e mais do que isso,

um juízo de valor: “avaliar é mesmo tomar posição sobre o ‘valor’ de qualquer coisa

que existe” (HADJI, 1994, p. 35). Como todo juízo, não exprime uma certeza. Trata-

se de uma percepção do real, que, confrontada com um critério e tendo sido julgada

pelo avaliador, traduzir-se-á em ato e/ou palavras, em uma comunicação a outro do

julgamento assim realizado.

Segundo Barlow (2006, p.16), avaliação significa, ao mesmo tempo,

ato de comunicação e espelho da ação. Com esse jogo de palavras, o autor

apresenta-nos a avaliação como algo que se revela mais claramente em sua função:

“estímulo a completar, a modificar, a aperfeiçoar a tarefa em andamento”.

Entendamos espelho como qualquer superfície lisa, que reflete a

imagem dos objetos. Um reflexo (ABBAGNANO, 2007) é a contração da pupila

quando o olho é estimulado pela luz ou a salivação pelo gosto ou pela vista de um

alimento. Fala-se de reflexo sempre que se pode determinar, em face de certo

estímulo, um campo de reações suficientemente uniformes para serem previstas

com alto grau de probabilidade.

A chamada ação reflexa constitui uma classe de reação, previsível a

partir do estímulo. Ora, tomar a avaliação como espelho (refletor) implica em aceitá-

la como inerente e inseparável de uma ação, neste caso, humana. No âmbito da

palavra “ação” (ABBAGNANO, 2007), distingue-se a chamada ação transitiva, que

passa de quem opera sobre a matéria externa, e a ação imanente, que permanece

no próprio agente. Em princípio, a ação/o ato de avaliar é imanente, uma vez que se

consuma no interior do próprio sujeito operante, no caso o avaliador (avaliação

enquanto processo). Entretanto, ao produzir uma mensagem de retorno (avaliação

54

enquanto produto – o reflexo), torna-se uma ação transitiva. Essa exteriorização

pode acontecer tanto de forma verbal, utilizando o código das palavras escritas ou

pronunciadas, como não verbal, por meio de gestos, mímicas, olhares. Em qualquer

um dos casos, fica sujeita a todos os imprevistos da comunicação.

Para Barlow (2006, p.54), a avaliação escolar não é uma

comunicação como as outras. Essa comunicação se materializa em processos

verbais nos quais se evocam palavras em sentido único (do avaliador para o

avaliado), que transformam o ato de avaliar “quase sempre em ato judiciário,

testemunho juramentado e estabelecido sem réplica ‘em nome da lei’!”.

Entretanto, “em seu sentido mais nobre, a avaliação deveria ser de

fato um encontro com o aluno visando melhorar seu trabalho” (BARLOW, 2006,

p.54). Em linhas gerais, podemos dizer que essa frase resume em poucas palavras

aquilo que entendemos ser a função essencial da avaliação no âmbito escolar,

perspectiva essa apresentada por diversos outros autores21 e da qual

compartilhamos.

Em linhas gerais,

a avaliação pode ter funções muito diferentes: testar o nível de conhecimentos ou de habilidades do aluno, identificar suas capacidades ou suas dificuldades, controlar seus progressos, dar nota a seus trabalhos e aos de seus colegas e classificá-los, conceder um diploma, prever a sequência de formação... (BARLOW, 2006, p.112, grifos do autor).

Nessa mesma direção, Buriasco (2000, p. 156) aponta que

a avaliação tem sido chamada a participar da realização de uma grande variedade de objetivos, tais como: subsidiar o processo de ensino e aprendizagem, fornecer informações a respeito dos alunos, professores e escolas, atuar como um respaldo de certificação e da seleção, orientar na elaboração de política educacionais.

No que diz respeito às funções que a avaliação desempenha na

sequência das ações de formação, Hadji (1994) organiza-as segundos três

agrupamentos:

21 De Lange (1987, 1999), Hadji (1994), Van Den Heuvel-Panhuizen (1996), Ponte et al. (1997), Buriasco (1999, 2000), Viola dos Santos, Buriasco e Ciani (2008), Esteban (2001, 2009), Santos L. (2010).

55

• orientar: analisar as aptidões, as capacidades e competências e

os interesses necessários às futuras aquisições do estudante;

• certificar: a partir de um inventário dos conhecimentos e

aprendizados do estudante, busca-se verificar se ele domina bem as

competências e capacidades que faziam parte do objeto de ensino

e, eventualmente, outorgar-lhe um diploma;

• regular: guiar constantemente o estudante no seu processo de

aprendizagem para diagnosticar as suas lacunas e as suas

dificuldades em relação aos saberes a serem adquiridos.

Em torno de cada uma dessas funções principais, desdobram-se

aquelas que Hadji (1994, p.66) denomina funções anexas, que implicam em

múltiplos cruzamentos e interseções. Afinal, o uso de um mesmo instrumento de

avaliação pode ter várias finalidades e qualquer tentativa de classificação

dependeria de um conhecimento acurado a respeito das intenções do professor.

Afinal, não “convém conceber a função da avaliação como qualquer coisa de

unidimensional em que se encerraria todo o sentido de uma prática” (HADJI, 1994,

p. 66).

Para esse autor, é essencial determinar o “espaço de ‘liberdade’” no

qual se operam as escolhas das funções. Assim, no espaço de apreciação social,

faz-se um juízo a respeito do estudante em função das expectativas quanto às

competências requeridas, à futura utilização social da competência escolar adquirida

ou do interesse social de aptidões individuais. Já no espaço da gestão pedagógica,

o juízo formulado tem por função essencial contribuir para que o desenrolar, da

melhor maneira possível, das atividades que circunscrevem o ambiente escolar.

Nesta mesma direção, Barlow (2006, p. 74) apresenta a avaliação

como não tendo outra finalidade senão ajudar a aperfeiçoar os trabalhos do

estudante, de modo que “não terá utilidade se não for assimilada, se não servir de

ferramenta para que ele próprio construa seu saber”. Este mesmo autor nos alerta

que não é possível, quando a intenção é a de gerar aprendizagens, tratar

separadamente problemas de avaliação e problemas de gestão didática. Assim,

durante o desenvolvimento da atividade proposta, o professor verifica e regula, se necessário, a motivação dos alunos, sua interpretação dos enunciados, sua percepção da meta, seu método de trabalho,

56

sua produção, sua progressão no sentido da meta visada ou, ao contrário, a origem de suas dificuldades (BARLOW, 2006, p. 95)

Reconhecemos na fala de Santos L. (2010) dois possíveis “espaços

de liberdade” da avaliação escolar, a dimensão certificativa e a dimensão

reguladora. Para essa autora, nas atuais orientações curriculares da Matemática,

de uma dimensão essencialmente certificativa, que responde às exigências decorrentes do modo como estão organizados os sistemas educativos, junta-se-lhe uma outra, a dimensão reguladora da avaliação, que tem por objectivo primeiro contribuir para a aprendizagem (SANTOS L., 2010, p.1).

Entretanto, Buriasco (2000, p. 157) alerta-nos que as práticas nas

aulas de Matemática desviam a avaliação de sua dimensão diagnóstica para uma

dimensão seletiva.

A avaliação se desvia de sua função diagnóstica e volta-se, quase que exclusivamente, para a função classificatória, que é incentivada no modo de vida de uma sociedade que valoriza a competição. (...) Apesar de ter como objetivo fornecer dados para a verificação da ocorrência ou não da aprendizagem (com os fins de diagnóstico, para uma retomada do trabalho pedagógico), a avaliação tem servido como mecanismo para eliminação do aluno da escola (BURIASCO, 2000, p. 158).

Acrescenta ainda que,

para cumprir a principal função da avaliação (ajudar o aluno por intermédio da inter-relação aluno/professor ao longo do processo de ensino e aprendizagem), é preciso que o professor avalie, não o aluno, mas o desenvolvimento do seu trabalho pedagógico (BURIASCO, 2000, p. 158).

Tornar a avaliação parte dos processos de ensino e de

aprendizagem implica exercê-la ao longo de toda ação de formação, torná-la

permanente, passar da meta de identificar se os estudantes adquiriram

conhecimentos que lhes foram propostos para a meta de preparar, orientar,

aperfeiçoar a ação do estudante e do próprio professor. Torná-la, portanto,

formativa.

Seu objetivo é

57

contribuir para melhorar a aprendizagem em curso, informando o professor sobre as condições em que está a decorrer essa aprendizagem, e instruindo o aprendente sobre o seu próprio percurso, os seus êxitos e as suas dificuldades (HADJI, 1994, p. 63).

Segundo esse autor, a função geral de ajuda à aprendizagem

envolve outras funções anexas, tais como: segurança – consolidar a confiança do

estudante nele mesmo; assistência – fornecer um “ponto de apoio” para o progresso

do estudante; feedback – fornecer informações úteis das etapas vencidas e as

dificuldades encontradas; existência de diálogo entre professor e estudante.

O autor aponta ainda que, para ser formativa, a avaliação deve ter

uma função reforçadora, ou seja, implica reforço positivo de qualquer competência

que esteja de acordo com o objetivo proposto. Além disso, o próprio estudante deve

poder reconhecer e corrigir seus erros, atingindo uma função corretiva. Deve

também ser reguladora, permitindo ao estudante ajustar suas estratégias e ao

docente adaptar seu dispositivo pedagógico22.

Para Hadji (1994), a noção de avaliação formativa assenta-se em

três conceitos-chave: critério, diagnóstico e regulação. Em primeiro lugar, realizar

uma avaliação criterial implica numa formulação detalhada daquilo que o estudante

deve ser capaz de fazer, após uma sequência de formação, para que este saiba o

que dele se espera e saiba se situar em função disso.

Para preparar eficazmente um meio de avaliação formativa, será necessário [...] possuir um modelo da progressão cognitiva, e um quadro de correspondência desempenho/competência que permita apreciar a evolução da competência através das melhorias do desempenho (HADJI, 1994, p. 120).

Em segundo lugar, ao adotar uma perspectiva formativa da

avaliação, o professor deve esforçar-se por fazer um diagnóstico preciso das

dificuldades do estudante, de modo a compreender seus erros e permitir-lhe que os

ultrapasse. Para nos pronunciarmos de forma segura, é necessário recolhermos

22 De acordo com Burochovich (2001), alguns teóricos contemporâneos têm apontado a importância de promover nos estudantes a consciência dos processos pelos quais se aprende. Segundo ela, as estratégias de aprendizagem podem estar mais voltadas para ajudar o aprendiz a organizar, elaborar e integrar a informação (estratégias cognitivas ou primárias) ou para o planejamento, monitoramento e regulação do próprio pensamento (estratégias metacognitivas ou de apoio). Embora não seja foco deste trabalho, reconhecemos alguma proximidade entre a função reguladora da avaliação, presente nos autores por nós visitados, e estratégias metacognitivas de monitoramento apontadas pela autora.

58

observações no processo de desenvolvimento da tarefa proposta, não nos

contentando apenas com o produto final.

Essa gestão do erro não é, pois, uma tarefa fácil. Ao mesmo tempo

em que o avaliador deve voltar-se a um objeto concreto, ao observável (as ações do

sujeito; os testemunhos que podem fornecer sob a forma de respostas verbais,

esquemas, desenhos; as formas de se comportar, como contar nos dedos ou

manipular um dado num jogo), deve reportar-se ao objeto analisado inferindo

processos que são inobserváveis (o que se passa na “cabeça” do estudante, por

exemplo).

Se queremos “gerir” o erro, para lá do desempenho registrado, é preciso tentar determinar as razões que lhe deram origem, e dizer o que ele revela dos conhecimentos adquiridos ou das falhas dos alunos (HADJI, 1994, p. 125).

Por fim, abordemos o conceito de regulação. Hadji (1994) sintetiza-o

como a operação de condução de uma ação que se apoia em informações de

retorno (feedback) para ajustar a ação realizada ao fim desejado. Tornar a avaliação

reguladora implica “ajustar o tratamento didáctico à natureza das dificuldades

constatadas e à realidade dos progressos registrados” (HADJI, 1994, p. 125).

Para Hadji (1994, p. 126), a regulação é “uma atividade pedagógica

e a avaliação é apenas o seu suporte, ou um dos seus momentos, que corresponde

ao processo de feedback, no qual assenta o mecanismo de orientação”.

Acrescenta ainda que,

para regular eficazmente, é preciso poder diagnosticar, quer dizer, dispor de um modelo de funcionamento em relação ao qual só poderemos assinalar disfunções. [...] E mesmo quando dispomos de modelos pertinentes de funcionamento do objecto de aprendizagem e do sujeito que aprende, o sucesso pedagógico nunca está, por isso, assegurado. A descrição, mesmo que científica, do sujeito aprendente e das condições de aprendizagem nunca permite, em caso algum, que se prescreva de forma segura um tratamento susceptível de garantir a aprendizagem (HADJI, 1994, p. 127).

Em Barlow (2006), reconhecemos a constituição de conceito de

avaliação formativa perpassando discussões ao longo de toda sua obra. O autor

inicialmente refere-se à avaliação como algo que, além da função de controle dos

59

conhecimentos, pode tornar-se um instrumento de formação (embora as duas

atividades possam parecer, num primeiro momento, exclusivas uma em relação à

outra). Entretanto, informa-nos ser necessário definir outras condições para que uma

avaliação seja realmente formativa.

Ao questionar-nos “Quem avalia?”, Barlow aponta que é dever do

professor informar os estudantes da qualidade de seus trabalhos, além de lhe

proporcionar os meios para aperfeiçoá-los. Acrescenta que, em alguns casos, a

coavaliação pelos colegas, ou mesmo a autoavaliação, podem se revelar mais

eficazes.

Além disso, de acordo com o autor, o

professor deixa de ser professor para ser apenas avaliador unicamente quando ele pratica uma avaliação normativa (em função de critérios predeterminados) e somativa (uma vez concluída a atividade). [...] Em compensação, o professor não deixa de ser um professor quando põe em prática uma avaliação formativa, observando a atividade do aluno de forma quase que permanente e, ao mesmo tempo, aconselhando-o e encorajando-o, mas também ajudando-o a analisar seus trabalhos em formas de diagnóstico (avaliação “diagnóstica”) (BARLOW, 2006, p. 73, grifos do autor).

A nosso ver, esse trecho explicita a forma como Barlow (2006)

entende a avaliação formativa, aproximando essa da ideia de diagnóstico, um dos

conceitos-chave tomados por Hadji. Esse conceito é ampliado quando o autor trata

do “lugar” da avaliação na estratégia de formação. Assim, a ideia de avaliação

formativa remete à necessidade de informações de retorno antes e durante o

trabalho do estudante, visando “diagnosticar e suprir pontos não-resolvidos, [...]

saber se já é possível passar a uma nova etapa de aprendizagem ou, ao contrário,

se convém não avançar ainda, ou mesmo voltar atrás” (BARLOW, 2006, p. 95). A

avaliação tem assim função pedagógica, como o papel de preparar, orientar,

aperfeiçoar a ação do estudante e, eventualmente, a do professor.

Opondo-se à avaliação certificadora, a avaliação formativa implica

em trocas entre professor e um estudante ou um grupo de estudantes, que ocorrem

não no término da formação, mas durante seu processo. Trata-se,

para o avaliador, de ajudar seus interlocutores a resolver melhor sua tarefa, fazendo um diagnóstico das dificuldades ou das estratégias em questão. [...] Tais ações de avaliação têm como meta,

60

visivelmente, ajudar e encorajar, e desenvolvem-se em clima caloroso. A tal ponto que alguns hesitam em falar em avaliação nesse caso. Porém, não se pode duvidar que essas trocas tenham uma incidência sobre os progressos das aprendizagens, que é exatamente o papel da avaliação, quaisquer que sejam suas modalidades. Uma última característica desse tipo de intervenção é sua dimensão pedagógica. Cabe qualificá-la de avaliação formativa (BARLOW, 2006, p. 111, grifo do autor).

Finalizando essa caracterização, Barlow (2006) lembra-nos que a

avaliação transmite uma mensagem, e questiona-nos, afinal, a quem ela se dirige.

Sem pretender esgotar essa discussão, o autor apresenta-nos alguns possíveis

destinatários da avaliação: o professor, a instituição, a sociedade, o estudante, os

pais.

Ao falarmos em avaliação formativa, devemos focar nossas

atenções a dois desses destinatários: o professor e o estudante. Se essa não tem

outro objetivo senão a de ajudar os estudantes a otimizar suas aptidões, de fato a

avaliação “dirige-se fundamentalmente ao aluno, de forma direta ou indireta, e

apenas nesta condição ela é formativa, isto é, coloca-se a serviço de seu

desenvolvimento intelectual” (BARLOW, 2006, p. 151, grifo do autor).

Na mesma direção apontada por Hadji e Barlow, outros autores

apresentam elementos que nos permitem ampliar nossa caracterização de avaliação

formativa. Ao discutir as diferentes funções e os diferentes propósitos a que serve a

avaliação, Ponte et al. (1997, p.97) destacam duas delas: “fornecer informação a

diversos intervenientes ou interessados no processo de ensino-aprendizagem [...] e

constituir uma base para decisões e medidas a tomar”. Assim, além de informar o

próprio estudante, o professor, os pais, a escola, a comunidade, a respeito do seu

progresso nos diferentes domínios de aprendizagem (função de controle), os

resultados de uma avaliação fornecem dados para ajudar o professor a avaliar seu

próprio ensino (função pedagógica). Esse papel informativo pode auxiliar a tomada

de decisões, em especial por parte do estudante e do professor, que envolverá tanto

o ajustamento do modo de estudar, por parte do estudante, como o modo de

organizar o ensino, por parte do professor.

Assim,

a avaliação formativa (que ocorre em diversos momentos do processo de ensino-aprendizagem) tem o propósito de fazer pontos

61

de situação relativamente ao progresso face aos vários tipos de objectivos do currículo, permitindo ao professor introduzir as necessárias correcções ou inflexões na sua estratégia de ensino (PONTE et al., 1997, p. 99).

Para esses autores, as tarefas de avaliação devem constituir fontes

de informação essenciais tanto ao professor quanto aos estudantes. Ao primeiro,

devem fornecer dados significativos que dizem respeito às aptidões, preferências e

dificuldades de cada estudante, constituindo uma base para orientar futuras

atividades. Ao estudante, devem fornecer informações que o ajude na reflexão e

autorregulação relativamente ao seu próprio processo de aprendizagem, bem como

gerar novas oportunidades para este aprender.

De acordo com Santos L. (2010, p. 2), para que o estudante possa

assumir um papel de regulação de sua própria aprendizagem é fundamental que os

processos avaliativos sejam transparentes, ou seja, ele deve “saber o que se espera

dele, compreender quais os critérios de qualidade de um trabalho e aceitar o erro

como um fenômeno natural a todo aquele que aprende”.

Para essa autora, em uma avaliação em serviço à aprendizagem, a

comunicação assume um papel fundamental, sendo o questionamento um processo

poderoso para o professor ajudar o estudante a regular sua aprendizagem enquanto

desenvolve seu trabalho em sala de aula. A “interacção professor-aluno,

desenvolvida pelo professor com a intencionalidade de contribuir para a

aprendizagem do aluno, é uma forma de levar à prática a avaliação formativa”

(SANTOS L., 2010, p.2).

A título de ilustração, a autora apresenta um episódio23 no qual a

intervenção do professor, além de dar pistas para a aluna se autocorrigir, apresenta

um questionamento com vistas a desenvolver aprendizagem com significado. Esse

“momento de avaliação formativa que decorre de uma intervenção pensada da

acção do professor” (SANTOS L., 2010, p.3) procura levar a aluna a raciocinar sobre

o que ela fez e como o fez. Além disso, o questionamento apresentado pode

também ajudá-la a progressivamente ir desenvolvendo sua própria capacidade de se

autoquestionar. 23 Frente ao erro de uma aluna em uma tarefa que envolvia o preenchimento de uma tabela, o professor, ao invés de apontá-lo, questiona a aluna quanto à existência ou não de alguma regularidade que os valores por ela encontrados parecem apontar.

62

É importante lembrar que, para que essa prática ocorra num

ambiente de aprendizagem, é essencial que os diferentes intervenientes tenham

uma “postura positiva face ao erro” (SANTOS L., 2010, p.4). Este deve ser visto

como algo “que é natural a acontecer a todo aquele que percorre caminhos de

aprendizagem”.

3.2 AVALIAÇÃO COMO UMA PRÁTICA DE INVESTIGAÇÃO: CONTRIBUIÇÕES DO GEPEMA

Ao encontro de uma perspectiva de avaliação formativa, os trabalhos

desenvolvidos no interior do GEPEMA apontam a avaliação como instrumento de

formação presente no processo educativo tanto como meio de diagnóstico dos

processos de ensino e de aprendizagem quanto como instrumento de investigação

da prática pedagógica. As análises desenvolvidas envolvendo a produção escrita de

estudantes são realizadas sob a perspectiva da avaliação como prática de

investigação e oportunidade de aprendizagem.

Em sua tese de doutorado, a coordenadora do grupo procurou

evidenciar como estudantes e professores lidaram com as questões da prova de

matemática da 8ª série do Programa de Avaliação do Sistema Educacional do

Paraná relativo a 1997 (BURIASCO, 1999). A partir das respostas que esses

estudantes e professores deram às questões, da expressão da importância e

adequação dos conteúdos da prova dada por esses mesmos professores e da

expressão da importância dos conteúdos da prova dada por um grupo de docentes

universitários, a autora apresentou uma análise de conteúdo dessa prova.

Nas primeiras dissertações de mestrado do grupo (NAGY-SILVA,

2005; PEREGO, 2005; SEGURA, 2005; ALVES, 2006; NEGRÃO DE LIMA, 2006;

PEREGO, 2006; DALTO, 2007; VIOLA DOS SANTOS, 2007), os autores dedicaram-

se a analisar produções escritas de estudantes e professores em questões

discursivas rotineiras de Matemática da aferição da AVA/2002 (Avaliação do

Rendimento Escolar do Estado do Paraná).

Na sequência, foram desenvolvidos estudos (CELESTE, 2008;

SANTOS E., 2008; ALMEIDA, 2009; FERREIRA, 2009; LOPEZ, 2010; BEZERRA,

2010) acerca da produção escrita de estudantes e professores em questões

63

discursivas não-rotineiras de Matemática do PISA (Programa Internacional de

Avaliação dos Estudantes).

Em sua dissertação de mestrado, Pedrochi Junior (2012) apresenta

algumas das ações consideradas importantes para que uma avaliação se constitua

como oportunidade de aprendizagem: a autoavaliação, o feedback, a avaliação

como prática de investigação e a utilização da análise da produção escrita.

A tese de doutorado de Ciani (2012), primeira a ser defendida no

grupo, apresenta duas propostas de intervenção como subsídio operacional para a

constituição de oportunidade de aprendizagem, por meio da análise da produção

escrita, como prática de investigação. Segundo a autora, a construção das duas

propostas de intervenção gerou indícios de que, por meio da análise da produção

escrita, pode-se praticar a avaliação da aprendizagem em sala de aula como

oportunidade de aprendizagem.

Esses trabalhos apontam na direção da análise da produção escrita

em questões abertas como uma ferramenta de investigação que possibilita obter

informações do processo de aprendizagem de conteúdos matemáticos. Por se

tratarem de questões “... que não são de múltipla escolha, que são subjetivas e

podem ser chamadas de discursivas” (NAGY-SILVA, 2005, p.11), as questões

abertas possibilitam a investigação dos caminhos percorridos pelos estudantes em

suas resoluções e para chegar às soluções.

Por meio da análise da produção escrita, pode-se

conhecer as estratégias que [os estudantes] elaboram, os procedimentos que utilizam, os modos de interpretação que fazem do enunciado, as características dos problemas que constroem a partir de sua interpretação do enunciado original, ao resolverem uma questão (VIOLA DOS SANTOS; BURIASCO; CIANI, 2008, p.37).

Atrelado a isso, para uma leitura cuidadosa da atividade matemática

dos estudantes, torna-se oportuno o abandono da ideia de erro e a adoção de uma

atitude mais abrangente, pautada nas chamadas maneiras de lidar (VIOLA DOS

SANTOS; BURIASCO, 2008), que caracterizam os estudantes pelo que de fato

fazem em suas produções.

[...] substituindo ‘erro’, que em muitos casos acreditamos estar ainda caracterizando os alunos pela falta, por ‘maneiras de lidar’, expressão que consideramos mais adequada para os processos de

64

resolução de uma questão, com o qual acreditamos estar caracterizando os alunos pelo que eles já têm num determinado momento (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p.23, grifos do autor).

Esse autor aponta ainda que:

uma das formas (...) de buscar conhecer mais detalhadamente como os alunos lidam com os problemas matemáticos, como se configuram seus processos de aprendizagem, quais dificuldades encontram, tomando as maneiras de lidar dos alunos, diferentes da correta, como constituintes dos processos de aprendizagem, é a análise da produção escrita de alunos e professores (VIOLA DOS SANTOS, 2007, p.28).

Na mesma perspectiva de analisar a produção escrita sob a ótica

das maneiras de lidar, Ferreira (2009, p.22) indica que com esta prática não se limita

“a classificar as respostas enquanto certas ou erradas, mas antes, interroga os

meios, as trajetórias, os caminhos percorridos que as originaram”.

E acrescenta que “a análise da produção escrita, sob o olhar das

maneiras de lidar, pode permitir interrogar-se sobre os processos nos quais os

alunos se envolvem ao resolver um problema, independentemente das respostas

apresentadas” (FERREIRA, 2009, p.26, grifo da autora).

Para Ciani (2012, p. 43), além de se apresentar como uma

estratégia para implementação da avaliação como prática de investigação, a análise

da produção escrita mostra-se “como um caminho para conhecer múltiplos aspectos

da atividade matemática dos alunos e, também, como uma possibilidade para

capacitar o professor e reorientar sua prática pedagógica”.

Assim, a compreensão das maneiras de lidar, propiciada por meio

de análise da produção escrita do estudante, pode possibilitar a constituição de

ações de intervenção e interação por parte do professor, bem como repensar a

própria prática avaliativa.

3.3 A ABORDAGEM ADOTADA PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Tomar a avaliação como prática de investigação e oportunidade de

aprendizagem implica repensar o próprio conceito de educação. No que diz respeito

65

à matemática, implica tomá-la como atividade própria do estudante, que mobiliza

suas próprias estratégias e procedimentos para explorar um determinado problema,

de modo que o foco principal do trabalho em sala de aula não deve estar nos

resultados, mas nos procedimentos de solução em si. Identificamos o movimento

conhecido como Educação Matemática Realística, que tem como seu precursor o

matemático holandês Hans Freudenthal, como uma abordagem para a Educação

Matemática que vai ao encontro dessa perspectiva.

Segundo Freudenthal (1979, p. 317), no fim dos anos 50, “a agitação

criada pelo Sputnik deu origem a uma discussão a respeito do ensino da Matemática

e das Ciências tal como era praticado”, o que culminou com a formulação de

inúmeras propostas que foram concretizadas em novos materiais escolares, e

“baptizou-se este conjunto de ‘Matemática Moderna’”.

Entretanto, a euforia dos anos 60 deu origem ao desencantamento

dos anos 70. Afinal,

pobres professores, incapazes de acompanhar o movimento, eram obrigados a aprender e, em seguida, ensinar aos outros a ‘nova Matemática’, que, na maior parte das vezes, não era mais que uma nova extravagância, tão impossível de ensinar como de aprender e que, de ‘Matemática’, só tinha o nome. (FREUDENTHAL, 1979, p. 321)

Para Freudenthal, o principal equívoco dos partidários da

Matemática Moderna consistia em efetuar “encurtamentos”, com conceitos mais

adiantados sendo ensinados na escola infantil. Assim, certos sistemas colocados a

serviço de abstrações matemáticas, “desligados de seu sentido e do seu contexto

matemáticos, considerados temas de estudo, concretizados de maneira absurda,

eram ensinados a crianças de qualquer idade” (FREUDENTHAL, 1979, p. 318).

Em oposição à concepção de Matemática como “disciplina erudita

cujo ensino é dispensado a todas as idades”, Freudenthal (1979, p. 318) entende

matemática como uma atividade natural e social cuja evolução acompanha a do

indivíduo e a das necessidades num mundo em expansão.

Para ele, a

Matemática é uma actividade humana simultaneamente natural e social, tal como a palavra, o desenho e a escrita. Figura entre as primeiras actividades cognitivas conhecidas e foi a primeira disciplina a ser ensinada, mas evoluiu e transformou-se sob a influência das

66

modificações sociais, bem como a sua Filosofia e a maneira de ser ensinada (FREUDENTHAL, 1979, p. 321).

Freudenthal foi fundador e diretor do IOWO (Institut Ontwikkeling

Wiskunde Onderwijs: Instituto para o Desenvolvimento do Ensino da Matemática,

Utrecht, Holanda), entre 1971, ano da fundação, até dezembro de 1980, quando o

Instituto cessa suas atividades, por razões políticas (DE LANGE, 1987, p. 11).

Entretanto, parte das atividades continuou por meio do OW&OC (Research Group on

Mathematics Education and Educacional Computer Centre), sediado na

Universidade de Ultrech, a partir de janeiro de 1981.

Van Den Heuvel-Panhuizen (1996, p. 9) lembra-nos que o IOWO

ofereceu as condições necessárias para o desenvolvimento do Wiskobas, projeto do

CMLW (Mathematics Curriculum Modernization Committee), estabelecido pelo

governo holandês, em 1961, para modernizar a educação matemática nas escolas

secundárias. Com o início do projeto Wiskobas, atenções também se voltaram ao

ensino primário por meio de outros projetos.

Embora os fundamentos do projeto Wiskobas já houvessem sido

iniciados por Wijdeveld e Goffree, foi Freudenthal, por sua resistência ao movimento

da Matemática Moderna e aversão aos manuais escolares que estavam sendo

exportados para a Holanda, quem deu o impulso inicial para o movimento de reforma

da Educação Matemática, que ficou conhecido como Educação Matemática

Realística (RME, do inglês Realistic Mathematics Education). A razão pela qual a

reforma foi chamada de "realística" diz respeito não apenas pela conexão com o

mundo real, mas principalmente à ideia de oportunizar aos estudantes situações que

eles possam imaginar. Van Den Heuvel-Panhuizen (2005, p. 3) lembra-nos que a

tradução do verbo holandês “zichREALISEren” é “imaginar”. É a ênfase dada em

tornar algo “real” na mente dos estudantes que dá à RME esse nome.

Freudenthal (1979, p. 323) resume os conceitos fundamentais do

IOWO, por meio de alguns slogans, dos quais destacamos:

• atividade humana ao invés de disciplina preestabelecida;

• matematização da realidade, ao invés de realidade já

matematizada;

• reinvenção ao invés de transmissão de conceitos;

67

• apresentação da realidade como fonte, a priori, da matemática,

ao invés de domínio de aplicação;

• articulação da matemática com outros domínios, ao invés de

apresentação isolada;

• contextos ricos de significado, ao invés de reunião de problemas

de palavras;

• compreensão ao invés de mera reprodução de mecanismos.

Para Freudenthal, a Matemática nunca deve ser apresentada aos

estudantes como um produto pronto e acabado. Ao invés de uma matemática

“desumanizada”, essa precisa ser conectada à realidade, próxima aos estudantes e

relevante para a sociedade, a fim de tornar-se um valor humano (VAN DEN

HEUVEL-PANHUIZEN, 1996).

Nessa perspectiva, os estudantes devem ser tomados como

participantes ativos do processo educacional. A eles devem-se propor situações que

demandam de organização matemática, da qual emergirão os conceitos

matemáticos; deve ser dada a oportunidade de reinventar a matemática, por meio de

um processo de matematização da realidade.

Em linhas gerais, toma-se matematização como o processo de

organização da realidade usando ideias e conceitos matemáticos. Conforme

aponta-nos De Lange (1987, p. 37, tradução nossa), num primeiro momento uma

situação ou problema do mundo real é explorada intuitivamente, o que significa

“organizar e estruturar o problema, tentando identificar os aspectos matemáticos do

problema, descobrir regularidades”. Esta exploração inicial com um forte

componente intuitivo pode levar ao desenvolvimento, descoberta ou (re)invenção de

conceitos matemáticos.

Figueiredo (2000) aponta que, para Freudenthal, matematização é o

processo-chave da atividade matemática por duas razões. Em primeiro lugar,

porque, além de ser a atividade principal dos matemáticos, a matematização

possibilita aos estudantes aproximar os conceitos matemáticos das situações de sua

vida diária. Em segundo lugar, porque a Educação Matemática deve ser organizada

como um processo de reinvenção guiada, em que a matematização oportuniza aos

68

estudantes experimentar algo similar ao processo de desenvolvimento da própria

matemática.

Na Educação Matemática tradicional, toma-se o resultado das

atividades (formalização por meio da axiomatização) como ponto de partida para o

ensino. Para Freudenthal, trata-se de uma inversão antididática. A matemática

deveria ser ensinada com a finalidade de ser útil. Porém, isso não “poderia ser

realizado simplesmente ensinando uma ‘matemática útil’; isso inevitavelmente

resultaria em um tipo de matemática que é útil apenas em um conjunto limitado de

contextos” (GRAVEMEIJER; TERWEL, 2000, p. 780, tradução nossa). Por isso, a

matemática deveria ser ensinada como matematizar.

Para Gravemeijer (2008, p. 285, tradução nossa),

a orientação tanto de professores quanto de livros didáticos não só é necessária para garantir que a matemática que os alunos inventam tenha correspondência com a matemática convencional, mas também para que reduza substancialmente o processo de invenção. Os estudantes não podem simplesmente reinventar a matemática que os mais brilhantes matemáticos demoraram muito tempo para desenvolver. Os professores precisam ajudar os estudantes constantemente, enquanto tentam se certificar que os estudantes experienciem seu aprendizado como um processo de ‘invenção’ matemática.

Um importante papel é assumido pelo professor nesse processo, já

que é ele quem conduz diariamente as observações, aplica testes, diagnostica e

intervém. A fim de apoiar este processo de reinvenção guiada, as tarefas propostas

devem proporcionar ao professor o máximo de informação do conhecimento, dos

insights e das habilidades do seu estudante.

Como um ponto especial de atenção, podemos notar que a reinvenção apresenta tanto aspectos individuais quanto coletivos, e é a interação entre alunos, em particular, que funciona como um catalisador. O professor precisa desenvolver tarefas que possibilitem uma variedade de respostas pelos estudantes (GRAVEMEIJER, 2008, p. 289, tradução nossa).

Assim, um dos pontos de partida é apresentar aos estudantes

problemas em contextos que sejam realísticos. O professor deve identificar

situações que podem ser utilizadas para explorar estratégias informais dos

estudantes e, portanto, como pontos de partida para o processo de reinvenção.

69

Freudenthal sugere olhar para aplicações em que se possam encontrar fenômenos a

serem organizados por conceitos, procedimentos e ferramentas matemáticas

(fenomenologia didática). Assumindo “que a matemática emerge como resultado da

resolução de problemas práticos, podemos presumir que as aplicações diárias

englobam um fenômeno, que originalmente tem que ser organizado”

(GRAVEMEIJER, 2008, p. 290). Consequentemente, devem ser analisadas

aplicações diárias objetivando encontrar pontos de partida para elaborar uma

proposta de rota de reinvenção.

Para Gravemeijer (2008), em contraste com a cultura tradicional de

sala de aula, a proposta de reinvenção demanda uma cultura de sala de aula

inquisitiva-orientada. A classe tem que trabalhar como uma comunidade de

aprendizes, e os estudantes têm que adotar como normas sociais a obrigação de

explicar e justificar suas soluções. Espera-se que eles tentem entender os

raciocínios dos outros estudantes, e façam perguntas, se não entenderem; e

argumentem, se não concordarem.

3.3.1 As Tarefas de Avaliação

Em RME, a avaliação é tomada como parte integrante e

indissociável do processo de ensino e a própria educação deve ser vista como um

processo permanente de avaliação, de modo que as atividades de ensino e de

avaliação devem “andar de mãos dadas”.

Uma avaliação condizente com a RME deve, como a educação,

tomar a matemática como atividade humana, focando-se em aplicações

significativas. Deve levar em conta que, em seu processo de desenvolvimento, os

estudantes passam por diversos níveis de matematização e “criam” sua própria

matemática.

O trabalho de De Lange (1987) descreve a introdução na Holanda,

em 1985, de um novo currículo para o nível secundário, a Matemática A, voltado

para estudantes que se preparavam para cursos superiores de humanidades e

ciências sociais e econômicas. Esse currículo, considerado por muitos como uma

revolução por romper com aspectos da educação tradicional, foi desenvolvido entre

70

1981 e 1985 como resultado do Projeto Hewet (conduzido por pesquisadores do

OW&OC).

O autor apresenta os principais aspectos do currículo Matemática A

operacionalizados no desenvolvimento de materiais didáticos experimentais, e um

dos pontos destacados é o importante papel atribuído aos contextos. Além de

possibilitar que qualquer tópico do currículo seja iniciado por meio de situações

realísticas, não restritas ao mundo físico ou social, mas incluindo situações

“imagináveis” que possam servir ao desenvolvimento de conceitos matemáticos. Um

dos objetivos mais importantes diz respeito à preocupação com desenvolvimento,

junto aos estudantes, da habilidade de matematizar.

Ao apresentar os resultados da pesquisa feita junto aos estudantes e

professores das primeiras escolas onde se implementou a Matemática A, o autor

aponta que um dos problemas observados diz respeito ao modo como a avaliação

vinha sendo feita. O uso de provas escritas com tempo limitado não possibilitava

avaliar, de forma satisfatória, objetivos da Matemática A como matematização,

reflexão, inventividade e criatividade. Tornou-se necessário pensar novas formas de

avaliação.

Em seu trabalho Framework for classroom assessment in

mathematics (DE LANGE, 1999), o autor apresenta-nos um “esboço” para avaliação

em matemática, resultado de cerca de 20 anos de pesquisa no desenvolvimento de

práticas de avaliação escolar. Foi construído com o intuito de conciliar os objetivos

tanto da Avaliação Escolar quanto da Educação Matemática, tomando uma série de

princípios norteadores e discutindo um conjunto de formatos e instrumentos

disponíveis para avaliação em sala de aula.

Para ele, enquanto ensinam, os professores precisam saber a

respeito dos problemas de aprendizagem de seus estudantes, seus progressos e o

nível de formalidade com que estão operando. Eles podem encontrar esta

informação por uma variedade de modos, incluindo, por exemplo, observações e

discussões das tarefas e projetos propostos, lições de casa, autoavaliação e

apresentações orais.

Quando os resultados dessas atividades são utilizados para adaptar

os processos de ensino, fala-se em avaliação didática ou formativa. Além disso,

71

avaliação formativa e avaliação somativa não são mutuamente excludentes, desde

que seja oferecido aos estudantes feedback das tarefas realizadas.

Em linhas gerais, a avaliação é didática quando “tem por intenção

respaldar os processos de ensino e de aprendizagem” (VAN DEN HEUVEL-

PANHUIZEN, 1996, p.2, tradução nossa24), o que nos leva a considerar suas

finalidades, seu conteúdo, seus métodos e os instrumentos utilizados tendo natureza

didática.

Sua finalidade é coletar dados dos estudantes e de seus processos

de aprendizagem, a fim de tomar decisões educacionais, que podem envolver

decisões mais simples a respeito de atividades de ensino ou decisões mais amplas,

como, por exemplo, se os estudantes precisam de assistência suplementar, se se

deve ou não introduzir algo novo, como abordar um determinado componente do

programa, e ainda, questões relativas à aprovação ou reprovação. O caráter didático

é expresso com mais clareza quando se tem como foco a melhoria educacional.

Mesmo quando o objetivo da avaliação envolve uma decisão a respeito de

aprovação ou reprovação, tanto o processo educacional como o estudante devem

ser avaliados.

Assim, os conteúdos de avaliação não podem estar restritos a

habilidades isoladas, mas, ao contrário, toda uma gama de metas deve ser coberta,

tanto em extensão (todos os componentes curriculares e as ligações entre eles)

como em profundidade (todos os níveis de competências).

A natureza didática dos métodos de avaliação envolve a integração

entre ensino e avaliação, o que significa que a avaliação deve desempenhar algum

papel em cada fase dos processos de ensino e de aprendizagem, tanto “olhando

para a frente” quanto “para trás”. “Olhar para trás” refere-se a determinar o que os

estudantes aprenderam, observar os resultados educacionais. “Olhar para a frente”

implica produzir informações para ações futuras.

Por fim, quando almejamos obter um panorama o mais completo

possível dos processos de matematização dos estudantes, a avaliação deve

envolver o uso de uma extensa variedade de instrumentos para recolha das

informações. Exceto pela finalidade específica de servir à avaliação, os

24 “This is assessment that is intended as a support to the teaching and learning process”.

72

instrumentos de avaliação são muitas vezes indistinguíveis dos instrumentos usados

pelo professor para iniciar certos processos de aprendizagem. O importante é que os

instrumentos possibilitem, na medida do possível, expor os processos de

aprendizagem e forneçam um repertório das habilidades, conhecimentos e insights

dos estudantes em um dado momento.

De Lange (1999) apresenta uma lista com nove princípios que

devem nortear o trabalho do professor que “leva a sério” a avaliação:

1. o objetivo principal da avaliação escolar deve ser a

aprendizagem;

2. a matemática deve estar imersa em problemas que sejam

realísticos e “valham a pena”;

3. os métodos de avaliação devem permitir que os estudantes

revelem mais aquilo que sabem ao invés do que não sabem;

4. a avaliação deve ser balanceada e incluir múltiplas e variadas

oportunidades para os estudantes mostrarem e documentarem suas

realizações;

5. as tarefas de avaliação devem operacionalizar todas as metas

do currículo;

6. os critérios de classificação devem ser públicos e

consistentemente aplicados;

7. o processo de avaliação, incluindo os critérios de pontuação e

classificação, deve ser acessível aos estudantes;

8. os estudantes devem ter oportunidade de receber feedback do

seu trabalho;

9. a qualidade de uma tarefa deve ser definida por características

como autenticidade e equidade.

Essa lista de princípios toma como meta para Educação Matemática

capacitar os estudantes a lidar com a matemática envolvida em problemas do

mundo real, representar, formular e resolver problemas intra e extramatemáticos,

presentes em uma variedade de domínios e configurações. Em outras palavras,

contribuir para que os estudantes tornem-se matematicamente letrados.

Letramento matemático é uma capacidade do indivíduo em identificar e compreender o papel que a matemática desempenha no mundo,

73

de fazer julgamentos bem fundamentados, e de usar a matemática de modo a atender as suas necessidades presentes e futuras enquanto cidadão construtivo, interessado e reflexivo (DE LANGE, 2003, p.76, tradução nossa).

Assim, o letramento matemático não pode ser reduzido ao

conhecimento de terminologias matemáticas, fatos e procedimentos, nem mesmo na

aquisição de habilidades para realização de operações ou aplicação de certos

métodos. Ao contrário disso, deve ser pensado como um “espectro contínuo”, em

que o conhecimento matemático seja colocado em uso funcionalmente, em uma

multiplicidade de contextos.

Para fazer matemática, é necessário recorrer simultaneamente a

muitas habilidades, que não podem ser avaliadas independentemente. O autor

organiza as competências a serem mobilizadas nas tarefas matemáticas em três

níveis.

Os itens de tarefas de Nível 1 envolvem conhecimentos de fatos e

representações, reconhecimento de equivalências, recordação de objetos

matemáticos e propriedades, realização de procedimentos de rotina, aplicação de

algoritmos padrão e desenvolvimento de habilidades técnicas.

As tarefas de Nível 2 exigem que o estudante comece a fazer

conexões entre diferentes vertentes e domínios da Matemática e a integrar

informações para resolver problemas simples em que se deve fazer escolha de

estratégias e se utilizar ferramentas matemáticas. Espera-se também que os

estudantes lidem com diferentes formas de representação, e que sejam capazes de

distinguir e relacionar diferentes elementos matemáticos (definições, exemplos,

provas).

Por fim, no Nível 3, os estudantes devem matematizar situações,

analisando, interpretando, desenvolvendo seus próprios modelos e estratégias e

apresentando argumentos matemáticos, incluindo provas e generalizações. Esse

último nível incorpora habilidades e competências, normalmente, associadas com os

outros dois níveis, mais difíceis de serem avaliadas.

Os três níveis de competências mobilizadas em tarefas matemáticas

podem ser visualmente representados em uma pirâmide, mostrada na Figura 5

74

(versão traduzida25 do original apresentado por De Lange (1999)). Além dos três

níveis, outros dois aspectos são mostrados no esquema: os quatro “grandes

domínios” da matemática (álgebra, geometria, aritmética e probabilidade e

estatística), e o nível de dificuldade das questões (que vão, continuamente, do

simples ao complexo, ou do informal para o formal).

Figura 5 – Pirâmide de avaliação proposta por De Lange (1999).

Fonte: Ferreira (2012).

Todas as tarefas de avaliação podem ser localizadas na pirâmide.

Além disso, dado

que a avaliação deve medir e descrever o crescimento do aluno em todos os domínios da matemática e em todos os três níveis de pensamento, as questões em um programa de avaliação completo devem preencher a pirâmide. Devem existir questões em todos os níveis de pensamento, de diferentes graus de dificuldade e em todos os domínios de conteúdo (DE LANGE, 1999, p.17).

Na mesma direção apontada por De Lange (1999), Shannon (1999)

fala em três categorias segundo o conhecimento matemático envolvido nas tarefas

25 Tradução proposta pelos membros do GEPEMA e sistematizada em Ferreira (2012).

75

de avaliação: habilidades matemáticas, entendimento conceitual e resolução de

problemas matemáticos. A primeira categoria contempla questões que objetivam

avaliar o conhecimento de fatos e algoritmos, demandando pouco ou nenhum

conhecimento conceitual dos estudantes. Tarefas que requeiram que o estudante

use, represente ou mesmo explique certo conceito são classificadas na segunda

categoria.

Para a autora, “boas tarefas de entendimento conceitual não podem

ser resolvíveis por meio de uma matemática inerentemente frágil e composta por

‘lascas’ descontextualizadas e fragmentadas do conhecimento matemático”

(SHANNON, 1999, p.16, tradução nossa). Lembra-nos também que a resolução de

uma tarefa desse tipo não é totalmente isenta do uso de procedimentos, porém as

representações simbólicas requeridas superam “de longe” a simples manipulação

algorítmica. Na última categoria temos tarefas que requeiram dos estudantes:

selecionar uma abordagem adequada para a situação (que deve ser apresentada de

forma pouco estruturada e sem instruções diretas); selecionar procedimentos,

conceitos e estratégias necessários, e adotá-los na busca de uma solução; e por fim

esboçar algum tipo de conclusão. Segundo a autora, uma avaliação balanceada

deve conter questões que contemplem esses três aspectos do conhecimento

matemático. Lembra-nos também que esse tipo de classificação, embora baseado

em propriedades da tarefa, apresenta fronteiras pouco definidas entre as categorias

e nem mesmo se tratam de conceitos mutuamente excludentes.

Apesar das diferentes nomenclaturas, reconhecemos uma relação

direta entre os níveis propostos por De Lange (1999) e as categorias apresentadas

por Shannon (1999). Questões no Nível 1 avaliam habilidades matemáticas de

reprodução, questões no Nível 2 focam em compreensão conceitual e questões do

Nível 3 envolvem a resolução daquilo que Shannon (1999) caracteriza como

problemas matemáticos.

Segundo Van Den Heuvel-Panhuizen (1996), além da natureza

didática da avaliação, é crucial o papel desempenhado pelas tarefas ou problemas

escolhidos para avaliação. Em oposição às preocupações puramente psicométricas,

“o que” está sendo perguntado é, para a autora, mais importante do que o formato

da tarefa ou o instrumento utilizado.

76

Assim, repensar a avaliação implica repensar os problemas de

avaliação. Estes devem ser vistos como situações que requerem uma solução, que

podem ser organizadas e esquematizadas (em suma, situações que possam ser

matematizadas). Dois critérios gerais apontados pela autora é que os problemas

sejam significativos e informativos.

Como a RME baseia-se na ideia de matemática enquanto atividade

humana, as situações propostas devem ser bastante familiares para os estudantes e

oferecer-lhes uma oportunidade para a matematização. Os estudantes devem

aprender a analisar, organizar e aplicar matemática de forma flexível em situações

que sejam significativas para eles e os problemas acessíveis, convidativos, e que

“valham a pena” serem resolvidos26. Os problemas também devem ser desafiadores,

e deve ser claro para os estudantes por que algo está sendo perguntado. Outro

aspecto significativo dos problemas é que eles permitam aos estudantes “moldar”

uma situação-problema, compreendendo-a, mas ao mesmo tempo propondo suas

próprias questões.

Assim, a resolução de problemas na RME não significa

simplesmente realizar um procedimento fixo, mas propor problemas que possam ser

resolvidos de formas diferentes.

Os estudantes deverão desempenhar um papel ativo na construção

de seu próprio conhecimento matemático. O ensino deve ser planejado de modo que

o professor possa chegar o mais próximo possível do conhecimento informal dos

estudantes, para que então possa ajudá-los a alcançar um maior nível de

compreensão guiado pela reinvenção.

A fim de apoiar este processo de reinvenção guiada, os problemas

de avaliação devem proporcionar ao professor o máximo de informação do

conhecimento, dos insights e das habilidades de seus estudantes. Deve também

haver espaço para as construções dos próprios estudantes, o que significa que os

problemas devem poder ser resolvidos por diferentes estratégias e em diferentes

níveis. Desta forma, os problemas devem ser capazes de tornar o processo de

aprendizagem transparente para ambos: os professores e os estudantes.

26 “[…] the problems must therefore be accessible, inviting, and worthwhile solving”.

77

Os estudantes são participantes ativos e, como tal, devem também

receber feedback de seu progresso de aprendizagem. Além disso, os problemas

deveriam possibilitar aos estudantes demonstrar o que sabem mais do que

simplesmente revelar o que ainda não sabem. Para a autora, “bons problemas de

avaliação em RME têm muito em comum com bons problemas de ensino” (VAN

DEN HEUVEL PANHUIZEN, 1996, p. 91, tradução nossa).

Outra característica marcante em RME é o importante papel

desempenhado pelos contextos nos problemas de avaliação. Seja referindo-se às

situações da vida cotidiana, às situações fantasiosas, ou mesmo aos chamados

problemas “nus”27, o importante é que os contextos apresentem situações

apropriadas para a matematização, na qual os estudantes sejam capazes de

imaginar algo e fazer uso de suas próprias experiências e conhecimento.

A autora apresenta algumas das principais funções dos contextos

em problemas de avaliação:

• potencializar a acessibilidade: além de tornar as situações

“reconhecíveis” e facilmente imagináveis, os contextos podem

propiciar um ambiente agradável e convidativo, potencializando a

acessibilidade ao problema;

• ampliar o alcance e transparência dos problemas: comparados à

maioria dos problemas “nus”, os problemas de contexto oferecem

aos estudantes mais oportunidade para demonstrar suas

habilidades. Se o problema puder ser resolvido em diferentes níveis,

sua elasticidade é aumentada, reduzindo o caráter "tudo ou nada" da

avaliação;

• incitar estratégias: o aspecto mais importante dos contextos em

problemas de avaliação de contextos é que eles podem incitar

estratégias. Este papel de provedor de estratégias viabiliza o

objetivo fundamental da RME: a capacidade de resolver um

problema por meios matemáticos próprios e insights.

27 Expressão usada para caracterizar problemas em cuja formulação utiliza-se de uma linguagem puramente matemática.

78

Baseando-se em uma vasta literatura, Van Den Heuvel-Panhuizen

(1996), apresenta uma visão geral das características de “bons” problemas de

avaliação. Dentre elas, destacamos algumas:

• os problemas precisam ser significativos e “valer a pena”:

precisam ser matematicamente interessantes e cativantes. Para

alguns autores, um problema é uma situação em que nenhum

método de solução pronto está disponível, enquanto outros pensam

que o estudante precisa ter uma razão para resolver o problema.

Além disso, problemas significativos não precisam necessariamente

ser diretamente relevantes ou práticos, mas precisam ser atraentes

e estimulantes para os estudantes.

• problemas matematicamente interessantes são principalmente

aqueles em que mais de uma resposta correta é possível, além de

ter certo grau de complexidade. Além disso, bons problemas devem

exigir mais do que lembrar de um fato ou a reprodução de uma

habilidade, ter componente educativa (tanto estudantes quanto

professores vão aprender com a tentativa de respondê-los), e devem

ser abertos (o que significa que várias respostas podem ser

possíveis).

• os problemas devem elucidar o conhecimento a ser avaliado: os

problemas de avaliação devem envolver o que se pretende avaliar,

fornecer informações do conhecimento que os estudantes possuem,

e expressar o máximo possível o quanto os estudantes assimilaram

desse conhecimento e o quanto podem aplicá-lo em novas

situações.

• os problemas devem revelar algo dos processos de

aprendizagem dos estudantes: é importante que os problemas

incitem certas estratégias, exponham as técnicas de solução

adotadas pelos estudantes e revelem algo subjacente ao processo

de resolução.

79

3.3.2 Das Intenções aos Instrumentos28

O termo instrumento remete a “todos meios capazes de obter um

resultado em qualquer campo da atividade humana, prático ou teórico”

(INSTRUMENTO, 2007). Quando tratamos do campo da avaliação, mais

especificamente da avaliação escolar, esta dispõe de instrumentos, de meios, de

ferramentas para “recolher informações sobre os trabalhos dos alunos ou comunicar-

lhes indicações a esse respeito” (BARLOW, 2006, p. 134).

De acordo com Hadji (1994), o “avaliador não dispõe de

instrumentos que lhe pertençam, e cuja utilização lhe garanta sucesso na sua

tarefa”. Assim, há “apenas instrumentos que podem servir para a avaliação, seja

para produzir observações, seja para analisá-la e interpretá-la, seja para comunicar

o juízo formulado” (HADJI, 1994, p. 162, grifos do autor).

Além disso, não há instrumento algum que pertença especificamente

à avaliação formativa. Assim,

a “virtude” formativa não está no instrumento, mas sim, se assim, se pode dizer, no uso que dele fazemos, na utilização das informações produzidas graças a ele. O que é formativo é a decisão de pôr a avaliação ao serviço de uma progressão do aluno e de procurar todos os meios susceptíveis de agir nesse sentido (BARLOW, 2006, p. 165).

Se olharmos para o instrumento prova escrita, este pode ser

interpretado e visto tanto como um instrumento de certificação quanto como um

instrumento de orientação, dependendo do uso que o professor faça dele. Apesar de

suas potencialidades, Van Den Heuvel-Panhuizen (1996, p. 133) aponta que, na

maioria dos casos, as questões propostas nas provas escritas de Matemática

concentram-se unicamente em habilidades simples, ignorando situações que exigem

o estabelecimento de conexões ou mesmo oportunizem a matematização, não

fornecendo informações completas das estruturas de conhecimento dos estudantes.

Para essa autora, é fundamental explorar as potencialidades desse

instrumento, e a título de exemplo discorre acerca de alternativas às tradicionais

provas escritas. Além da escolha de questões que contemplam características que

discutimos na sessão anterior, outros formatos são possíveis para a prova escrita.

28 Expressão “emprestada” do subtítulo do livro de Hadji (1994), que remete a uma mudança do foco da discussão do sentido da operação de avaliar para as formas efetivas de pôr em prática esse ato.

80

Um deles é a chamada prova em duas fases. Segundo De Lange

(1987), a primeira metade da prova contém questões abertas, e na segunda metade

há questões do tipo “ensaio”29. A primeira fase é encaminhada como uma prova

escrita tradicional: os estudantes devem responder tantas questões quanto possível

num espaço de tempo limitado. Espera-se que respondam principalmente as

questões abertas da primeira parte. Depois de corrigida pelo professor, a prova é

devolvida aos estudantes com indicação da nota parcial e apontamento dos erros

mais graves. Numa segunda fase, e em posse dessas informações, o estudante

repete o trabalho em casa, podendo responder as questões da maneira que

escolher: independente uma das outras, ou na forma de um ensaio. Após o tempo

combinado (algumas semanas, por exemplo), a prova é devolvida e novamente

corrigida pelo professor.

Para o autor, a correção e pontuação na primeira fase é

relativamente objetiva, pois em geral envolve respostas curtas de construção

fechada. A segunda fase, por sua vez, é considerada mais trabalhosa, uma vez que

questões do tipo “ensaio” dão ao estudante a oportunidade de mostrar aquilo que

sabem, gerando uma variedade de produções, desde respostas diretas até

verdadeiros “livros”.

Na proposta do uso desse instrumento, a segunda fase não é vista

como uma segunda chance, mas como um meio para “forçar o estudante a refletir a

respeito da sua primeira fase” (DE LANGE, 1987, p.207, grifo do autor, tradução

nossa).

29 “Essay question” corresponde a um item ou uma tarefa em que se propõe ao estudante discorrer a respeito de um tema, como, por exemplo (Van de Heuvel-Panhuizen, 1996), escrever uma resposta para um artigo de jornal ou emitir um parecer acerca de um problema da vida quotidiana.

81

4. E OS ESTUDANTES, O QUE TÊM A NOS DIZER?

Pensar a avaliação para além de sua função certificadora implica

torná-la permanente, preparando, orientando e aperfeiçoando a ação do estudante e

do professor. Nas palavras dos autores visitados, fala-se em tornar a avaliação

formativa, “observando a atividade do aluno [...], aconselhando-o e encorajando-o,

mas também ajudando a analisar seus trabalhos de forma de diagnóstico”

(BARLOW, 2006, p. 73).

O papel informativo presente numa avaliação formativa é

fundamental na tomada de decisões tanto do estudante, por meio de um

“ajustamento” do seu modo de estudar, quanto do professor, no modo como

organiza suas práticas pedagógicas.

Enquanto sujeitos participantes da experiência vivenciada com a

prova em fases, o que os estudantes têm a nos “dizer”? Em que medida esse

instrumento possibilitou que assumissem um papel de regulação da sua própria

aprendizagem? Neste capítulo discutimos tanto suas percepções a respeito do

instrumento (explicitadas por meio de um questionário e dos diários de aula) quanto

algumas inferências a respeito de seus processos de aprendizagem e seu

conhecimento matemático, explicitadas por meio na análise de sua produção escrita

em algumas das questões da prova antes e depois de um momento de intervenção

escrita.

4.1 AS PERCEPÇÕES DOS ESTUDANTES

O relato das percepções dos estudantes ao longo do processo de

resolução da prova foi constituído com base em minhas anotações no diário de

campo, em trechos extraídos do diário de aulas e no questionário respondido por

eles após a entrega da prova na sexta e última fase.

Denominamos questionário ao instrumento de investigação que foi

composto com quatro perguntas (questões abertas) elaboradas no intuito de

fornecer ao professor elementos para avaliar a proposta de trabalho que estava

sendo adotada junto à turma ao longo do semestre. Antes de ser aplicado, foi

82

apresentado aos membros do GEPEMA, que indicaram sugestões para que as

questões se mostrassem claras e a linguagem adequada. Entendemos que, frente a

esse procedimento, o questionário pode ser considerado validado pelos pares. Foi

respondido de forma escrita por 24 dos 25 estudantes30, tendo sido mantido seu

anonimato.

Tais perguntas objetivaram saber como os estudantes se

preparavam para a prova, se buscavam questões similares àquelas da prova, se os

questionamentos levantados pelo professor interferiram em seus processos de

resolução das questões e qual era sua opinião acerca dos pontos positivos e

negativos em relação ao modelo de prova adotado.

No que diz respeito à primeira pergunta do questionário, “Como você

se preparava para cada uma das etapas da prova?”, cinco deles disseram revisar

tarefas feitas em aula, ou buscar resolver outras. Cinco estudantes disseram

procurar questões parecidas com aquelas da prova, no livro didático usado em aula,

em outros livros didáticos e na internet; um deles disse, entretanto, não saber como

resolvê-las (“procurava, mas sem saber o que fazer”). Dez estudantes disseram

preparar-se para prova “revisando o conteúdo”, a maioria sem explicitar como essa

revisão era feita. Desses, dois informaram revisar apenas o último assunto visto

após cada fase da prova. Três estudantes disseram prestar atenção às aulas, e um

deles enfatizou que, por esse motivo, não precisava estudar em casa. Um estudante

informou que “achava estranho estudar para uma prova que já conhecia”, mas

mesmo assim tentava se preparar.

A segunda pergunta foi elaborada com o objetivo de evidenciar se,

em sua rotina de estudos, buscavam temas ou questões similares àquelas que

estavam na prova: “Em seus estudos, você buscava temas ou questões similares às

da prova?”. Três deles disseram que não buscavam, e um deles informou que não o

fazia porque esquecia as questões. Quatro deles disseram que “às vezes”

procuravam questões similares, e entre eles dois completaram que, quando faziam

essa busca, era entre as questões discutidas em aula ou propostas nas tarefas que

o professor passava. Os demais disseram que não.

30 Não tive o cuidado de registrar, naquele momento, a razão pela qual um dos estudantes não respondeu ao questionário. Uma hipótese é que tenha faltado à aula naquele dia.

83

Na terceira pergunta, “Os questionamentos levantados pelo

professor ao lado de suas resoluções contribuíram para o processo de resolução da

prova? Por quê?”, os estudantes mostraram-se bastante divididos. Dez deles

disseram que não, apresentando diversos motivos: perdiam muito tempo buscando

identificar se havia algo errado em suas resoluções, ou mesmo tentando responder

aos questionamentos; alguns questionamentos eram “sem nexo”; não conseguiam

identificar os erros por meio dos questionamentos; ficavam com mais dúvidas se sua

resposta estava certa ou errada (e preferiam deixar a resolução como estava). Um

dos estudantes informou que “foi horrível, não deu certo” e, para outro, “é raro um

aluno ter certeza do que fez em uma prova de matemática. Fica pior ainda quando

nem um certo nem um errado está ao lado, e ainda tem perguntas”. Para nove

estudantes, os questionamentos feitos foram positivos, pois possibilitaram “perceber

algumas coisas que estavam erradas”, ou porque se “dava a chance de resolver de

novo corrigindo o erro”. Um dos estudantes disse que, apesar dos questionamentos

o terem ajudado, alguns deles fizeram-no “de bobo”, já que a resolução

originalmente apresentada estava correta. Por fim, para quatro estudantes, alguns

questionamentos ajudavam, e outros não.

Na quarta pergunta, era pedido que apontassem pontos positivos e

pontos negativos em relação ao modelo de prova que havia sido adotado ao longo

daquele semestre. A partir das respostas apresentadas, organizamos quatro

agrupamentos referentes aos pontos considerados positivos, e cinco referentes aos

negativos.

Foram considerados pontos positivos a possibilidade oferecida por

esse formato de prova do estudante:

• corrigir, nas etapas subsequentes, as resoluções apresentadas;

• buscar questões similares enquanto preparava-se para a prova;

• preparar-se para prova estudando exatamente o que cai na

prova;

• reconhecer similaridade entre as questões da prova e aquelas

que eram trabalhadas ao longo das aulas e também propostas

nas tarefas.

Foram considerados pontos negativos nesse formato de prova:

84

• o acúmulo de conteúdos cobrados numa mesma prova;

• o pouco tempo para resolução dos exercícios;

• a dificuldade em identificar questões que já estariam aptos a

resolver a cada fase;

• a ausência de indicação de certo ou errado nas questões;

• a dificuldade em recordar tópicos que já tinham sido estudados

havia algum tempo;

Recordemos que, ao longo do semestre, foi proposta aos

estudantes, em caráter optativo, a elaboração de um diário de aulas, que se tornou

uma ferramenta de diálogo entre eles e eu (professor), possibilitando registrar suas

opiniões, dúvidas, avanços e mesmo angústias do instrumento de avaliação com o

qual estavam trabalhando.

Destacamos desses diários alguns trechos que, de algum modo,

remetem-nos ao processo de avaliação. Ao contrário do questionário, nos diários

havia identificação. Organizamos esses trechos no Quadro 2, no qual mantivemos

as grafias originais utilizadas pelos estudantes. Entendemos que alguns termos

utilizados, embora estejam gramaticalmente incorretos, podem fornecer informações

“implícitas” da opinião dos estudantes. Isso ocorre, por exemplo, quando um

estudante diz que, com essa proposta de prova, seria “muita coisa pra lembraaa...”,

em que a repetição da letra “a” enfatiza a quantidade de conteúdos envolvidos, na

percepção daquele estudante.

Analisemos os dados apresentados. Suas falas evidenciam reações

de superstição (“espero que da próxima vez dê mais certo”, “dá uns resultados muito

estranhos e não da pra saber se tá certo ou não”), desafio (“não gostei. Mas vamos

experimentar”) e mesmo fatalismo (“no final fica aquele monte de coisa, e eu sem sei

qual é o certo”, “foi horrível, não deu certo”).

85

Quadro 2 – Trechos dos diários de aula que remetem ao processo de avaliação.

Estudante Data Trecho

E1

24/03 bom ao início desta semana logo na terça feira tivemos prova de matematica, esta muito melhor do geito que o professor esta fazendo agora,esse novo sistema de prova nos ajuda mais....

26/03

bom esse sistema de prova ajuda mais pois são para os dois bimestres..alem do mais apos a 1° correção se tem algum exercício errado podemos refazer e isso ajuda para não ficarmos de recuperação. e também podemos mesmo antes da correção refazer as questões!

01/06 ah ja ia me esquecendo muitas pessoas não gostaram do sistemas de provas....

25/06

Professor muitos não gostaram pois disseram que preferem o outro sistema de provas pois as questões que o senhor lançou após a primeira correção e eu também falo que confundiu e ajudou a um certo ponto pois ao mesmo tempo da para corrigirmos as questões errada.

E3 07/06

ah professor essas coisas sao muito complicadas de agora, tipo dá uns resultados muito estranhos e nao da pra saber se ta certo ou nao , e nao adianta ver se ta tudo certinho ou nao pra nao dá erro porq pra mim ta sempre certinho , mas sempre tem erros =/

E8 Sem data

Adorei essa idéia do diário...mto criativo! Mais não gostei do que jeito que a prova será aplicadaaa... Aparenta ser mais complicado...será muita coisa pra lembraaa...

E15

16/03

Então... no 1° dia de aula, eu não estava presente, mas fiz a prova em um outro dia. Ainda não sei se é uma boa ideia fazer a mesma prova durante o bimestre. Por um lado é bom, pois já da pra sabe o que tem que estuda para a próxima prova. Por outro lado é ruim... pois quando eu fico muito tempo pensando em alguma coisa, nunca da certo! Começo a refaze, a tenta fazer de outra forma., a imagina coisas.. e no final fica aquele monte de coisa, e eu sem sabe qual é o certo! E isso em matemática é muito ruim.. =/

10/06

Estou quase terminando a prova.. acho que falta apenas um 5 exercicios, mas tbm acho q tem bastante incompleto, pq eu não mechi nos exercicios que eu ja tinha resolvido! Isso não é bom.. mas como temos apenas mais um dia de prova, provavelmente não vai da pra conferi e vê o que falta. Tomare que eu esteje indo bem.. apesar que eu acho que não! A prova, na minha opiniao não esta dando certo! Ninguem gostou!

E20 27/03 a na prova tinha muitas coisas q a genet nao aprendeu ainda, mais o resto eu consegui fzr..

E22

16/03 O novo sistema se avaliação achei meio esquisito, não gostei. Mas vamos experimentar.

23/03

A prova, tava meio misturado demais da conta, por isso perdi mnto tempo até achar os exercícios. Resolvi três, talvez seja uma média não ruim, mas péssima. Tive um pouco de dificuldade de interpretar alguns problemas, mas espero que da próxima vez dê mais certo, mas tomara que as três que fiz tenha acertado.

23/04

Qd entreguei a prova, vc me perguntou se havia progredido. Essa progressão foi meio stranha. De no mínimo 8 questões que vc disse pra com a outra somatória atingir os 70, fiz 7 questões e metade de outra. Acho e tenho certeza que vou ficar com nota vermelha, e isso me assusta, e dá um medo. (aff)

17/06

Oi professor, voltei!! Queria ser bem sincera quanto ao meu desempenho esse semestre, um zero à esquerda. Aprendo as coisas na sala, chega na hora da prova não consigo fazer nada. Tem coisas que não aprendi de jeito nenhum. Por favor professor, se tiver como no próximo semestre volte para o sistema de antes, era mnto melhor. Se possível, e se não for pedir mnto, dê um trabalho pra quem ficar com nota vermelha nos dois bimestres para recuperar pelo menos um pouco

E25 05/04 A prova foi de boa na lagoa, tirando um exercício de trigonometria que eu sabia que dava pra resolver e não resolvi porque não sabia por onde começar.

Fonte: Autor.

O motivo da insatisfação de alguns estudantes com este modelo de

prova não estava claro para muitos deles: “a prova confunde muito”, ou “o negativo

eu não sei, mas prefiro provas comuns”. Esta última fala explicita que, perante os

estudantes, esse instrumento de avaliação é bastante “incomum”: o “natural” seriam

várias provas ocorrendo ao fim de curtos períodos de tempo, com lista de conteúdos

delimitada, e com questões similares àquelas propostas em aula. De fato, este é o

86

modelo de prova que eu havia adotado no ano de 2009, e que a quase totalidade

dos professores utilizou em outras disciplinas.

Ao dizer que “achava estranho estudar para uma prova que já

conhecia”, esse estudante estaria, implicitamente, nos levando a pensar que uma

prova deveria ser “imprevisível para ser eficaz”, como acredita o professor Roger

Ikor (BARLOW, 2006, p. 68)? O rito do controle escolar cai por terra quando

propomos que o estudante conheça de antemão a prova. É inesquecível a imagem

dos seus semblantes ao recebê-la no primeiro dia de aula. Os próprios estudantes

mostram-se perdidos: como agir frente a essa “facilitação” propiciada pelo

professor? Como se poderia “trapacear” o professor; afinal “elaboram-se no

imaginário escolar ritos e mitos que glorificam a trapaça” (BARLOW, 2006, p. 113)?

Afinal, “o ritual do controle escolar (...) parece fundamentar-se no princípio de que

todos os alunos são trapaceiros em potencial”.

Um fato que chamou bastante a atenção (e me deixou um tanto

incomodado) diz respeito aos questionamentos feitos acerca da recuperação. O que

seria “recuperação” senão propor um instrumento que possibilitasse ao estudante

repensar as questões, voltar atrás, superar suas dificuldades, enfim, autorregular

sua aprendizagem (HADJI, 1994)? Isso era o que eu pensava, não eles. O rito das

duas provas bimestrais, mais uma “prova de recuperação” na última semana de aula

do bimestre era o que eles conheciam e esperavam. Para eles, recuperação é

sinônimo de resolver outra prova (prova de recuperação), composta por questões

“parecidas” com aquelas que compuseram provas aplicadas ao longo do bimestre.

Afinal, eu mesmo havia utilizado essa estratégia de avaliação em ano anterior.

Para que ficar “inventando moda” então, como diziam (e

continuaram dizendo, pois foram também meus alunos em 2011 e em 2012)? “O que

você vai inventar agora?” foi o questionamento do primeiro dia de aula nos anos

seguintes.

A manifestação de rejeição à proposta de utilização de um

instrumento diferenciado de avaliação ficou ainda mais evidente em suas

“reclamações” no momento de receber a prova nas fases seguintes, nas anotações

presentes em vários diários de aula, e mesmo no semestre seguinte, em conversas

informais com a turma.

87

Para vários estudantes, porém, a proposta de utilização de um

instrumento diferenciado de avaliação foi avaliada positivamente: “esse novo sistema

de prova nos ajuda mais”, “pra saber o que tem que estudar para a próxima prova”,

“a prova foi de boa na lagoa31”.

Enfim, não se consegue agradar a gregos e a troianos.

4.2 PRODUÇÃO ESCRITA DOS ESTUDANTES EM ALGUMAS QUESTÕES DA PROVA

Enquanto investigadores, interessava-nos buscar, na produção

escrita dos estudantes, indícios que permitissem compreender se a intervenção

adotada aproximava-se de uma proposta corretiva (na medida em que possibilitou

ao estudante reconhecer e corrigir seus próprios erros) e reguladora (possibilitando

ao estudante ajustar suas estratégias de resolução), características estas inerentes

a uma avaliação formativa.

Conhecer o modo como os estudantes lidaram com as questões, as

estratégias que elaboraram e os procedimentos que utilizaram em suas resoluções,

atrelado as suas percepções enquanto “resolvedores” da prova e participantes da

pesquisa, possibilitar-nos-á interpretar em que medida a prova em fases

desenvolvida com essa turma apresenta indícios de uma avaliação formativa. Trata-

se aqui da etapa de codificação e categorização de dados, proposta pela Análise de

Conteúdo.

Não existe o pronto-a-vestir em análise de conteúdo, mas somente algumas regras de base, por vezes dificilmente transponíveis. A técnica de análise de conteúdo adequada ao domínio e ao objectivo pretendidos tem que ser reinventada a cada momento (BARDIN, 1977, p. 31).

Embora não exista esse modelo “predeterminado”, inspiramo-nos

em trabalhos já desenvolvidos no interior do GEPEMA, e descritos no Capítulo 3,

para a análise da produção escrita dos estudantes nas questões da prova.

Nesse sentido, retornei às provas, fazendo novamente uma leitura

das resoluções na terceira e quarta fases (antes e depois de apresentar os

questionamentos) nas questões que mais foram “mexidas” (a constar, 1, 3, 5, 11, 12,

31

Expressão que remete à ideia de uma prova “tranquila”, “sossegada”.

88

20, 22, 25 e 28). Dentre elas, percebi uma maior variedade de alteração nas

resoluções, nas questões 1 (item a), 20 (item a), 25 e 28, tomando-as, portanto,

como nosso objeto de análise. Conforme apontado por Santos L. (2010), numa

avaliação que busca ser formativa, a comunicação entre o professor e os estudantes

assume papel fundamental e espera-se que os questionamentos possam ajudar o

estudante a regular sua aprendizagem. Assim, ao analisar a produção escrita nas

questões apontadas, em que um maior número de estudantes foi mobilizado a

refletir a respeito das suas resoluções, pretendemos inferir indícios do modo como

se deu essa comunicação.

A partir das resoluções apresentadas pelos estudantes em cada

uma delas, organizamos agrupamentos, indicados por G1, G2, e assim por diante,

tomando como ponto de corte o procedimento adotado pelo estudante para resolver

aquela questão, uma vez que eu havia feito questionamentos similares (ou mesmo

iguais) para estudantes que utilizaram o mesmo tipo de procedimento.

Para cada questão, organizamos um quadro, indicando os

procedimentos adotados nas resoluções, as provas nas quais identificamos aquele

tipo de procedimento, os questionamentos32 apresentados ao fim da terceira fase da

prova e os encaminhamentos dados pelos estudantes nas fases subsequentes.

Provas não referenciadas nos quadros indicam que, até aquela fase, nenhuma

resolução havia sido apresentada.

Apresentamos a seguir o estudo realizado para cada uma das

questões selecionadas.

32 Mantemos aqui o código de identificação já mencionado: fonte Calibri para destacar questionamentos que eu havia escrito ao lado das resoluções, e fonte Bradley Hand nos casos das respostas que os estudantes eventualmente apresentaram.

89

Questão 1(a):

Figura 6 – Questão 1.

Questão 1(a): Usando as razões trigonométricas, pode-se calcular distâncias e a altura de edifícios sem precisar subir neles. Para isso, uma pessoa de 1,62 m de altura se posiciona a certa distância do prédio e vê o seu topo a um ângulo de 28°.

28°

24 m

1,62 m

a) Usando as medidas que constam no desenho, qual é a altura aproximada do edifício?

Fonte: Autor.

Neste item, era necessário identificar qual razão trigonométrica

possibilita calcular a altura do edifício, sendo conhecida a medida do segmento que

“liga” a pessoa ao topo do edifício (24 metros). Toma-se como pressuposto que o

ângulo formado por esse segmento e o segmento horizontal que “liga” os olhos da

pessoa ao prédio mede o28 , e deseja-se obter a medida d do cateto oposto a esse

ângulo. Assim, 24

28d

seno = ou seja md 28,11= . A essa medida adiciona-se a altura

da pessoa, mh 90,1262,128,11 =+= , obtendo assim que a altura do edifício,

aproximada por duas casas decimais, é md 90,12= .

Dentre os quatro itens analisados, este foi o que apresentou maior

variabilidade quanto às soluções apresentadas. Os agrupamentos definidos são

mostrados no Quadro 4.

90

Quadro 4 – Agrupamentos construídos para a Questão 1(a).

Grupo Prova Até a 3ª fase Questionamento Após a 3ª fase

G1

P6, P8, P11, P14, P15, P16, P20, P24,

P25.

Identifica corretamente a razão trigonométrica que resolve a questão, resolve corretamente a regra de três

2428

dsen

o = , adiciona ao

valor obtido a altura da pessoa e apresenta como resposta 12,90m.

Todos os dados do

problema foram

utilizados em sua

resolução?

Todos mantêm suas resoluções. P15 responde ao questionamento dizendo aparentemente sim. P20 refaz os cálculos, mas mantém a resposta.

G2

P1, P3, P4, P5,

P9, P10, P13, P17,

P19.

Identifica corretamente a razão trigonométrica que resolve a questão, resolve corretamente a regra de três

2428

dsen

o = e apresenta

como resposta 11,28m.

P1, P4, P5, P9, P10, P17 mantêm suas resoluções. P9 responde sim ao questionamento.

P3, P13 e P19 adicionaram ao valor 11,28m a altura da pessoa, apresentando 12,90m como resposta

G3 P23

Identifica corretamente a razão trigonométrica que resolve a questão, resolve corretamente a regra de três

2428

dsen

o = e apresenta

como resposta 11,28 sem unidades.

Responde sim e mantém a resolução.

G4 P2

Ao resolver 24

28d

seno = ,

efetua 47,0

24=d , obtendo

51,06. A seguir, adiciona a esse valor 1,62m, apresentando a resposta 52,27m.

Pelos seus cálculos,

d=51,06. Isso

significa que 51,06

dividido por 24

resulta em 0,47?

Mantém a resolução.

G5 P21

Ao resolver

2447,0

2428

ddsen

o =→= ,

efetua 24

47,0=d , obtendo

0,025. Não explicita nenhuma resposta.

Seus cálculos

mostram que

d=0,025. Então

0,025 dividido por

24 é 0,46?

Mantém a resolução.

G6 P12

Indica

xhip

opcatsen

2446,0

.=→= ,

e obtém x=52,17. A seguir, adiciona a esse valor 1,62m, apresentando a resposta 53,79m.

24 é a medida do

cateto oposto a qual

ângulo?

Mantém a resolução.

G7 P18 Indica

2428cos

COo = , e

obtém 6,21=CO .

O que é o cosseno

de um ângulo? E o

seno?

Mantém a resolução.

Fonte: Autor.

91

O G1 é formado pelas produções dos estudantes que resolveram

corretamente a questão, ou seja, forneceram a resposta com a unidade adequada.

Em G2 temos as produções nas quais se identifica corretamente a razão

trigonométrica que resolve a questão, resolve corretamente a regra de três

2428

dsen

o = e apresenta-se o resultado 11,28 como resposta à questão, com a

unidade adequada. O G3 é formado por uma única produção, na qual se efetua o

mesmo procedimento de G2, porém apresenta-se a resposta sem unidade. Foram

poucos (apenas três) os estudantes desses três grupos que fizeram algum tipo de

modificação em suas respostas. A Figura 7 mostra as resoluções em P3, antes e

após o questionamento.

Para esses três grupos, apresentou-se um questionamento – Todos

os dados do problema foram utilizados em sua resolução? – buscando, por exemplo,

instigá-los a: no caso de G1, reler para refletir a respeito da resolução apresentada;

para G2, levá-los a perceber que haviam se esquecido de adicionar a altura da

pessoa; no caso de G3, perceber que havia uma unidade de medida especificada no

enunciado (metros).

Figura 7 – Resolução da questão 1(a) em P3, na terceira e quarta fases da prova,

respectivamente.

Fonte: Autor.

Em G4 e G5, ambos formados por uma única produção, a estratégia

desenvolvida pelos estudantes consistiu na identificação da razão trigonométrica

adequada à obtenção da medida desconhecida. O procedimento de resolução

adotado consistiu, primeiramente, na montagem de uma regra de três substituindo o

valor do seno de 28 graus, com aproximação de duas casas decimais. Na

sequência, o estudante cuja produção faz parte de G4 realiza, equivocadamente, o

92

produto dos meios da proporção, igualando esse valor ao quociente dos extremos.

Em seguida, adiciona ao valor encontrado a altura da pessoa, fornecendo esse

resultado como resposta ao problema, com a unidade adequada. Em G5,

observamos o desenvolvimento de procedimento similar no cálculo da regra de três,

porém também equivocado. Além disso, não explicita alguma resposta. A Figura 8

mostra as resoluções em P2 e P21 apresentadas até a terceira fase, e mantidas

mesmo após os questionamentos.

Figura 8 – Resoluções da questão 1(a) em P2 e P21, respectivamente.

Fonte: Autor.

Para os estudantes desses grupos, buscamos confrontá-los com

suas próprias respostas, fazendo-os refletirem acerca do resultado que haviam

encontrado na regra de três. No caso de G4, apresentamos um questionamento –

Pelos seus cálculos, d=51,06. Isso significa que 51,06 dividido por 24 resulta em 0,47? – e

outro para G5 – Seus cálculos mostram que d=0,025. Então 0,025 dividido por 24 é 0,46?

Nosso intuito era que percebessem o equívoco e o corrigissem. Ao analisar a

produção desses estudantes nas etapas subsequentes, percebemos que no trabalho

com esses estudantes nossa expectativa não foi alcançada. Nenhum deles

apresentou algum tipo de alteração em suas resoluções, para essa questão.

Entretanto, no caso do estudante P2, que compõe o grupo G4,

constatamos que o mesmo tipo de equívoco foi cometido em outras cinco questões

da prova (Q5, Q9(a), Q11, Q19 e Q21), todas elas tendo sido reelaboradas após a

apresentação de questionamentos similares ao apresentado na questão 1 (Pelos seus

cálculos, ...então...). Portanto, há indícios de que o questionamento apresentado ao

lado da resolução desse estudante contribuiu para a reelaboração do procedimento

93

desenvolvido anteriormente. A Figura 9 mostra as resoluções da Questão 5 de P2

antes e depois do questionamento.

Figura 9 – Resoluções da Questão 5 em P2 antes e depois do questionamento,

respectivamente.

Fonte: Autor.

O G6 é também formado por uma única produção. Ao escrever

hip

opcatsen

.= , o estudante mostra saber que o seno de um ângulo é a razão do cateto

oposto a ele pela hipotenusa do triângulo retângulo ao qual pertence esse ângulo, e

reconhece que essa razão trigonométrica é adequada à obtenção da medida

desconhecida. Entretanto, ao montar uma regra de três, atribui equivocadamente o

valor 24 como medida do cateto oposto, quando na verdade trata-se da medida da

hipotenusa. Na sequência, resolve corretamente a regra de três, e adiciona ao valor

encontrado a altura da pessoa, fornecendo esse resultado como resposta ao

problema, com a unidade adequada. Para ele, o questionamento – 24 é a medida do

cateto oposto a qual ângulo? – buscava levar a perceber o equívoco, revendo essa

etapa de sua resolução. Entretanto, isso não ocorreu. A Figura 10 mostra a

resolução desse estudante, mantida após o questionamento.

94

Figura 10 – Resolução da Questão 1(a) em P12.

Fonte: Autor.

Por fim, constitui o grupo G7 a produção de um estudante que

resolveu a questão tomando como pressuposto que é o cosseno a razão entre o

cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo ao qual pertence

esse ângulo. Ao montar uma regra de três, toma como incógnita a medida do cateto

oposto (indicado por CO), e atribui o valor 24 à medida da hipotenusa. Na

sequência, resolve corretamente a regra de três, obtendo que CO=21,6, mas não

explicita algum tipo de resposta. Buscando levá-lo a perceber seu equívoco,

apresentamos um questionamento – O que é o cosseno de um ângulo? E o seno? A

Figura 11 mostra a resolução desse estudante, mantida após o questionamento.

Figura 11 – Resolução da Questão 1(a) em P18.

Fonte: Autor.

Na verdade, equívocos como esse foram recorrentes em diversas

outras questões do mesmo estudante. Ainda no item (b) da questão 1, toma o seno

como a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e o cateto oposto a esse mesmo

ângulo. Já em Q5, toma o seno como a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a

95

hipotenusa do triângulo retângulo ao qual pertence esse ângulo, porém em lugar de

tomar a medida do cateto oposto, toma a medida do cateto adjacente ao montar

uma regra de três. Em Q8, toma a medida da hipotenusa em lugar do cateto oposto.

Já em Q11 chega a utilizar, na mesma questão, tanto o seno quanto o cosseno

como sendo a razão entre cateto adjacente e cateto oposto. Mesmo sendo

questionado – Seno e cosseno de um ângulo são a mesma coisa? –, não modificou

nenhuma de suas resoluções.

Questão 20(a):

Figura 12 – Questão 20(a) da prova em fases.

Questão 20: Se um arco mede 3780 graus, qual é:

a) Sua 1ª determinação positiva?

Fonte: Autor.

Entendemos como primeira determinação positiva de um arco α o

menor arco β que seja côngruo a ele (que tenha a mesma imagem no ciclo

trigonométrico). Tem-se então ko ⋅=− 360βα , para algum Zk ∈ . Usualmente divide-se

a medida do arco α por 360 graus, e toma-se a medida de β como o resto dessa

divisão; o quociente indica o número de voltas completas no ciclo trigonométrico.

Percebemos que todos os estudantes haviam utilizado essa

estratégia em suas resoluções: dividir 3780 por 360. Porém, instigava-nos saber se

compreendiam o significado do algoritmo, interpretando o significado do quociente e

do resto dessa divisão. Apresentamos ao lado da maioria das resoluções o

questionamento: O que representa o resultado dessa divisão? Os agrupamentos

encontrados são mostrados no Quadro 5, apresentado a seguir.

96

Quadro 5 – Agrupamentos construídos para a Questão 20(a).

Grupo Prova Até a 3ª fase Questionamento Após a 3ª fase

G1

P1, P2, P6, P10,

P13, P14, P17, P19,

P20

Indica a “conta armada” 3780 dividido por 360, obtendo quociente 10 e resto 180. Fornece 180 graus como resposta.

O que representa o

resultado dessa

divisão?

P19 refaz o algoritmo, obtém os mesmos resultados, mas apresenta como resposta 0. P1 e P2 respondem que o resultado da divisão representa o número de voltas completas. P6 e P17 respondem que o resultado representa a 1ª determinação positiva do arco. Os demais mantêm suas resoluções.

G2 P9

Indica a “conta armada” 3780 dividido por 360, obtendo quociente 10 e resto 180. Fornece “10” como resposta.

Mantém sua resolução.

G3 P3

Indica a “conta armada” 3780 dividido por 360, obtendo quociente 10 e resto 180. Não fornece resposta alguma.

Responde que o resultado representa a 1ª determinação positiva do arco.

G4 P11, P12, P15, P16,

Indica 10 como resultado da divisão de 3780 por 360. Em seguida, efetua a multiplicação 360x10 e subtrai esse resultado de 3780, obtendo 180. Fornece 180 como resposta

Mantém a resolução. P11 e P15 respondem que o resultado da divisão representa o número de voltas completas.

G5 P22, P23,

P25.

Indica 10,5 como resultado da divisão de 3780 por 360. Em seguida, efetua a multiplicação 360x10 e subtrai esse resultado de 3780, obtendo 180. Fornece 180 graus como resposta

Mantém a resolução.

G6 P18

Indica 10,5 como resultado da divisão de 3780 por 360. Apresenta como resposta: “Não, é neutra”.

O que significa um

arco ser “neutro”?

Responde ao questionamento dizendo “estar nos pontos 0 graus, 90 graus, 180 graus, 270 graus, 360 graus”.

G7 P24

Indica o algoritmo da divisão de 3780 por 360, “cortando” os zeros e obtendo quociente 1 e resto 18. Fornece 18 graus como resposta.

O que significa esse

“cancelamento” que

você fez?

Mantém a resolução.

Fonte: Autor.

97

O G1 representa produções de estudantes que utilizaram a “conta

armada” como procedimento para efetuar a divisão de 3780 por 360, obtendo

quociente 10 e resto 180. Após, reconhecem o arco com medida 180 graus como 1ª

determinação positiva do arco de 3780 graus. Entretanto, ao questionarmos qual

seria o significado do quociente 10, apenas dois deles indicam tratar-se do número

de voltas completas em uma circunferência que correspondem ao arco de 3780

graus. Outros dois dizem ser a 1ª determinação positiva do arco. A Figura 13 mostra

a resolução em P2, e também a resposta dada ao questionamento.

Figura 13 – Resolução da Questão 20(a) em P2, e a resposta dada ao

questionamento.

Fonte: Autor.

Tanto G2 quanto G3 são formados por um único estudante, ambos

utilizando os mesmos procedimentos de G1. Porém, no caso de G2, fornece o valor

10 como resposta, e, mesmo ao ser questionado do significado do resultado daquela

divisão, mantém sua resposta original. Já no caso de G3, talvez possa ter

considerado que, apresentados os algoritmos das operações realizadas, estaria

respondendo à questão. Ao ser questionado, responde que o resultado da divisão

representa a primeira determinação positiva do arco. Porém, não sabemos se o

resultado refere-se ao quociente ou ao resto da divisão.

Já G4 e G5 diferem entre si pelo fato de que, no primeiro, apresenta-

se 10 como quociente da divisão de 3780 por 360, enquanto no segundo apresenta-

se 10,5. Em ambos, adota-se a estratégia de “recuperar” o resto da divisão

efetuando a multiplicação de 360 por 10, e subtraindo-se de 3780 esse resultado.

Em ambos, a medida 180 graus é fornecida como resposta à questão. Ao serem

98

questionados do significado do resultado daquela divisão, os dois estudantes dizem

ser o número de volta completas do arco de medida 3780 graus. A Figura 14 mostra

a resolução em P11, e também a resposta dada ao questionamento.

Figura 14 – Resolução da Questão 20(a) em P11, e a resposta dada ao

questionamento.

Fonte: Autor.

Em G6, encontramos a produção de um único estudante que, após

efetuar a divisão de 3780 por 360, obtendo quociente 10,5, conclui que a primeira

determinação positiva é neutra. Ao ser questionado do significado de “neutro”, o

estudante informa que estão “nos pontos 0 graus, 90 graus, 180 graus, 270 graus,

360 graus”, referindo-se aos arcos cujas extremidades encontram-se sobre algum

dos eixos do sistema cartesiano ortogonal. A Figura 15 mostra a resolução desse

estudante, e também a resposta dada ao questionamento.

Figura 15 – Resolução da Questão 20(a) em P18, e a resposta dada ao

questionamento.

Fonte: Autor.

99

Embora não encontre na literatura esse termo, como professor,

recordo de um episódio de aula na qual esse mesmo estudante questionou a qual

dos quadrantes pertencia o arco com medida 90 graus, se ao primeiro ou ao

segundo quadrante. Prontamente respondi que seria “neutro”, pois não pertence a

nenhum dos quadrantes. Inferimos que ele esteja remetendo-se a esse episódio, ao

apresentar sua resposta à questão.

Por fim, G7 corresponde a uma produção em que, ao utilizar a

“conta armada” como procedimento para efetuar 3780 dividido por 360, o estudante

efetua um cancelamento “cortando” o zero da ordem das unidades tanto do

dividendo quanto do divisor. Equivocadamente, apresenta 1 como quociente da

divisão de 378 por 36, e 18 como resto, esquecendo-se que o zero cancelado na

divisão implicaria em multiplicar por 10 esse resto e tomando o valor 18 graus como

resposta. A Figura 16 mostra a resolução desse estudante, mantida mesmo depois

do questionamento.

Figura 16 – Resolução da Questão 20(a) em P24.

Fonte: Autor.

Questão 25:

Figura 17 – Questão 25 da prova em fases Questão 25: Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado inscrito em um círculo. Se a medida

do arco AM é 4

π rad, determine as medidas dos arcos AN, AP e AQ, em radianos.

A

MN

P Q

Fonte: Autor.

100

Nessa questão, deveria ser utilizado o conceito de simetria no ciclo

trigonométrico, evidenciado pelo fato do ponto M ser vértice de um quadrado inscrito

no ciclo. Desse modo, tomando-se 4

π rad como medida do arco AM , tem-se que

AN mede 4

3π rad, AP mede 4

5π rad e AQ mede 4

7π rad. O Quadro 6 mostra os

agrupamentos construídos para as respostas dadas a essa questão.

Quadro 6 – Agrupamentos construídos para a Questão 25.

Grupo Prova Até a 3ª fase Questionamento Após a 3ª fase

G1 P10, P11, P15, P19

Apresenta corretamente, em graus e radianos, as medidas dos arcos solicitados.

Como obteve suas

respostas?

P15 justifica que os ângulos são simétricos.

G2 P16, P20, P22

Apresenta corretamente, em graus e radianos, as medidas dos arcos solicitados. Porém, nem todas as medidas em radianos estão na forma irredutível.

Como saber quando

parar?

P20 responde que quando não tiver mais como dividir. Nenhuma alteração é feita.

G3 P6

Apresenta corretamente, em graus, as medidas dos arcos solicitados, tomando como referência que

oradAM 45

4

180

4===

π.

Porém, ao transformar essas medidas em radianos, associa π radianos a 360 graus.

Em quais situações

eu uso 180 graus e

em quais uso 360

graus?

Nenhuma alteração é feita.

G5

P1, P4, P5, P8,

P9, P12, P17, P21,

P24

Apresenta corretamente, em graus, as medidas dos arcos solicitados.

Arcos de

circunferência

podem ser medidos

em quais unidades?

P4, P5, P8 e P24 não alteram suas resoluções. P21 responde em graus e radianos, e P12 responde π radianos, mas ambos mantêm suas respostas em graus. P1, P9 e P17 complementam suas respostas, convertendo as medidas dos arcos para radianos.

G6 P7, P18 Marca na própria figura os arcos de 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315 e 360 graus.

Qual é a resposta? Nenhuma alteração é feita.

101

Fonte: Autor.

Em G1 temos as produções de estudantes que indicaram

corretamente, tanto em graus quanto em radianos, as medidas dos arcos. Ao serem

questionados como obtiveram suas respostas, um deles justifica que os ângulos

(arcos) são simétricos.

O G2 contempla as produções de estudantes que indicaram

corretamente, tanto em graus quanto em radianos, as medidas dos arcos, porém

nem todas as medidas em radianos estão escritas na forma irredutível. Um

questionamento – Como saber quando parar? – foi apresentado na expectativa que

esses estudantes efetuassem a simplificação, quando fosse ainda possível. Um

deles mostrou compreender que se deve “parar” quando não tiver mais como dividir,

mas ainda assim não percebeu isso em parte da sua resolução. A Figura 18 mostra

a resolução (P20) desse estudante, e também a resposta dada ao questionamento.

Figura 18 – Resolução da Questão 25 em P20, e a resposta dada ao

questionamento.

102

Fonte: Autor.

Em G3 temos as produções de um estudante que indicou

corretamente as medidas em graus. A Figura 19 mostra a resolução desse

estudante, e mostra que ele compreende perfeitamente as relações de simetria no

ciclo trigonométrico. Porém, ao transformar as medidas em radianos, estabelece

equivocadamente uma relação de proporcionalidade tomando π radianos

equivalentes a 0360 .

Figura 19 – Resolução da Questão 25 em P6.

Fonte: Autor.

O G4 compreende as produções de estudantes que obtiveram

corretamente as medidas, em graus, para os arcos solicitados. Porém, uma vez que

o enunciado da questão pedia essas medidas em radianos, apresentamos ao lado

de suas resoluções um questionamento – Arcos de circunferência podem ser medidos

em quais unidades? Seis dos nove estudantes que têm suas produções nesse grupo

mantiveram suas respostas, mesmo um deles (P21) tendo respondido ao

103

questionamento dizendo que arcos de circunferência podem ser medidos em graus e

radianos. Possivelmente, este estudante tenha respondido de forma mecânica,

porém sem refletir se aquela resposta serviria para que alguma etapa da resolução

fosse revista. A resolução desse estudante e sua resposta ao questionamento são

mostradas na Figura 20.

Figura 20 – Resolução da Questão 25 em P21, e resposta dada ao questionamento.

Fonte: Autor.

Os demais estudantes de G4 converteram as medidas de graus para

radianos, complementando suas respostas. No caso de P17, com resolução antes e

depois mostrada na Figura 21, além de responder ao questionamento (Podem ser

medidas em graus e radianos), o estudante apresentou uma nova resposta,

consistindo na conversão dos valores anteriormente indicados para unidade

solicitada no enunciado, no caso radianos. Inferimos que certamente esse

questionamento possibilitou a esse estudante uma reflexão acerca da resolução que

havia sido apresentada, uma vez que a reelaborou, tornando-a mais estruturada e

completa.

Por fim, G6 contém as produções dos estudantes que marcaram no

ciclo trigonométrico, além das medidas, em graus, dos arcos simétricos de 045 ,

também as extremidades dos quadrantes. Não havia uma indicação explícita de qual

era a resposta à questão, e essa resolução foi mantida nas fases subsequentes.

104

Figura 21 – Resolução da Questão 25 em P17 antes e depois do questionamento,

respectivamente.

Fonte: Autor.

Questão 28:

Figura 22 – Questão 28 da prova em fases.

Questão 28: Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de raio 8 cm por um ângulo central AÔB de 120°.

Fonte: Autor.

105

A resolução dessa questão envolvia o conceito de comprimento de

um arco definido em uma circunferência de raio r conhecido. Nesse caso, o

comprimento dessa circunferência será 82 ⋅⋅= πC cm, ou seja, 24,54=C cm, tomando-

se para π uma aproximação até a 2ª casa decimal, conforme informação na capa da

prova. Utilizando-se uma relação de proporcionalidade (regra de três), na qual se

associa esse comprimento 24,54=C cm ao arco de 360 graus, e um comprimento

desconhecido ao arco de 120 graus, obtém que esse último será 16,75cm. Os

agrupamentos construídos para essa questão são mostrados no Quadro 7.

Quadro 7 – Agrupamentos construídos para a Questão 28.

Grupo Prova Até a 3ª fase Questionamento Após a 3ª fase

G1

P9, P14, P19, P20,

Calcula o comprimento da circunferência obtendo o valor

24,50=C cm. Por meio de uma regra de três, chega ao valor

75,16 cm.

Para P14 e P20: Qual é a

resposta? Para P9 e P19: Por que

usou este valor [360]?

P14 circula o valor 75,16 cm.

P20 indica “R. 75,16 cm”.

P9 responde que é porque o círculo tem 360 graus.

G2 P13

Calcula o comprimento da circunferência obtendo o valor

24,50=C cm. Por meio de uma regra de três, chega ao valor

75,16 (sem unidades).

Qual é a resposta? Nenhuma alteração é feita.

G3 P16

Calcula o comprimento da circunferência obtendo o valor

24,50=C cm. Por meio de uma

regra de três, chega ao valor o16 .

O comprimento de um arco é

medido em qual unidade? A

resposta é um número

inteiro?

Nenhuma alteração é feita.

G4 P23

Na relação RC π2= , substitui R por 10, obtendo o valor

8,62=C . Por meio de uma regra de três, chega ao valor 9,20 cm.

O que representa este

número [10]?

Refaz seus cálculos substituindo R por 8 e chega ao valor

8,16 cm.

G5 P1, P3, P4, P5,

P17,

Calcula o comprimento da circunferência obtendo o valor

24,50=C cm.

Todos os dados do problema

foram utilizados?

Nenhuma alteração é feita.

G6 P24 Utiliza a relação RC π= , substitui R por 8 e π por 120, obtendo o valor 960=C cm.

O que significa este “ C ” da

sua fórmula?

π vale 120?

Indica C=comprimento, seguido de

8180 ⋅= oC , chegando a

4,1=C cm.

G7 P7 Efetua 120 dividido por 8, obtendo 15 cm.

O que representa este valor

[15 cm]?

Nenhuma alteração é feita.

Fonte: Autor.

106

Em G1 e G2 temos as produções dos estudantes que chegaram ao

valor 16,75, sendo que, apenas no primeiro grupo, indica-se que esse valor é uma

medida em cm. Para dois deles em G1 questiona-se qual seria a resposta à questão,

já que talvez tenham considerado que, apresentados os algoritmos das operações

realizadas, estariam respondendo à questão. Um deles circula o valor 16,75cm e o

outro escreve “R. 16,75cm”, explicitando ser esse o comprimento solicitado. O

mesmo questionamento é feito em G2, pois esperávamos que, ao explicitar a

resposta, o estudante incluísse a unidade em que esse comprimento é medido.

Porém, nada foi apresentado nas fases seguintes. Para os outros dois estudantes de

G1 questionamos por que foi utilizado o valor 360 na montagem da regra de três. A

resposta não poderia ser mais óbvia: porque o círculo tem 360 graus.

Em G3 temos a produção de um estudante que chega, por

truncamento, ao valor 16, apresentando sua resposta em graus. Para ele,

questionamos em qual unidade seria medido o comprimento de um arco, grifando

inclusive a palavra “comprimento”. Questionamos também se a resposta seria um

número inteiro. Porém, nenhuma alteração foi feita nas fases subsequentes.

O G4 contém a produção de um estudante que, possivelmente por

equívoco, tomou o valor 10 como medida do raio da circunferência. Após ter sido

questionado o que representaria esse número, refaz seus cálculos tomando o valor

8 em lugar de 10. Na Figura 23 temos essa produção, antes e após o

questionamento.

Figura 23 – Resolução da Questão 28 em P23 antes e depois do questionamento,

respectivamente.

107

Fonte: Autor.

O G5 é formado pelas resoluções de cinco estudantes que, em suas

resoluções, apresentaram como resposta a medida do comprimento da

circunferência. A esses estudantes apresentamos um questionamento – Todos os

dados do problema foram utilizados? – buscando instigá-los a perceber que a questão

pedia o comprimento de arco, e não da circunferência. Entretanto, nenhum

estudante alterou sua resolução nas fases subsequentes.

Em G6 temos a produção de um estudante que tomou RC π=

possivelmente como medida para “algum” comprimento (da circunferência ou de um

arco). Apresentamos então um questionamento buscando compreender que

significado esse estudante atribuía àquele C . Além disso, em seu procedimento de

resolução, tomou equivocadamente para π o valor 120, o que nos levou a

questioná-lo se π vale 120?

A Figura 24 mostra a produção desse estudante, e também as

alterações apresentadas após nossos questionamentos, uma delas consistindo na

substituição de π agora por 0180 (possivelmente referindo-se, equivocadamente, à

relação π radianos = 0180 ), chegando ao valor 1,4 cm (aparentemente incoerente

com o procedimento adotado).

Figura 24 – Resolução da Questão 28 em P24 antes e depois do questionamento,

respectivamente.

Fonte: Autor.

Por fim, G7 compreende a produção de um estudante que toma o

valor 120 (medida do ângulo central que define o arco) e divide por 8 (medida do

raio da circunferência), chegando ao valor 15 e a unidade centímetros. Ao ser

108

questionado do significado desse valor, nada é modificado nas demais fases.

4.3 E NÓS, O QUE TEMOS A DIZER?

Ao analisar a produção escrita dos estudantes, buscávamos

elementos que nos permitissem interpretar em que medida a experiência com

utilização da prova em fases, enquanto formato diferenciado para a prova escrita

tradicional, apontava para uma avaliação de caráter formativo.

Embora não enxergasse minha prática pedagógica naquele

momento como tradicional, algumas das minhas atitudes enquanto professor

apontavam nessa direção. Sem essa falta de clareza, não era possível formular

claramente o que esperava que meu aluno fosse capaz de fazer, e muito menos

explicitar o que dele esperava e situá-lo em função disso. Ao analisar sua produção

escrita, deparamo-nos com situações que evidenciam como foram dúbios os

questionamentos que apresentei ao lado de suas resoluções.

Embora saibamos que não seja possível prescrever “de forma

segura um tratamento susceptível de garantir a aprendizagem” (HADJI, 1994, p.

127), claramente percebemos divergências entre a resposta ou o encaminhamento

dado pelo estudante e aquilo que eu imaginava que faria ao formular o

questionamento. Isso nos leva a concluir que, ou os questionamentos estavam mal

formulados, ou mesmo a própria questão da prova (voltaremos nesse último ponto

mais adiante). Ao discutir a dificuldade de compreensão dos processos reais de

aprendizagem e a inadequação do instrumento de avaliação escolhido aos objetivos

que o professor pretende atingir, Oliveira e Pacheco (2008, p. 128) fazem a seguinte

analogia:

“Tem gente que não sabe pedir” dizia o simpático gênio da propaganda do Guaraná Antarctica ao receber pedidos que traziam apenas indícios do que se estava pedindo sem explicitar a solicitação com clareza. Muitas vezes, nos instrumentos de avaliação que produzimos, agimos como os felizardos que acharam o gênio da Antarctica. Ou seja, supomos que nossos alunos irão compreender nossa linguagem e nosso objetivo sem dar-lhes as condições necessárias para a compreensão plena do que estamos pedindo que façam.

109

Os estudantes não entendiam o que eu esperava com os

questionamentos; eu mesmo não tinha muita clareza disso. Seria hilária, se não

fosse trágica, a proximidade entre tal situação e a constatação feita ao analisar a

produção escrita dos estudantes. “Ia por terra” o caráter criterial da avaliação

formativa, um dos pilares apontados por Hadji (1994).

As próprias questões que compuseram a prova traziam problemas

em sua formulação. Na maioria delas, a resolução priorizava mecanismos, ao invés

da compreensão dos conceitos matemáticos, e refletiam minha preocupação

excessiva em “cumprir o programa”; não havia para mim uma clareza dos objetivos

que pretendia atingir ao explorar os diferentes tópicos que compunham a ementa da

disciplina. Eram apresentados simplesmente porque estavam lá, e porque eu os

havia “engessado” nas questões da prova.

Esses conteúdos

já se naturalizaram como parte do processo de escolarização [...] não são questionados por nós, professores, que os habituamos a vê-los onde estão, nem tampouco os objetivos que pretendemos atingir ao trabalhá-los com nossos alunos estão claros. Como, então avaliá-los? Acabamos repetindo esquemas de avaliação, apesar de saber que, muitas vezes, esses mecanismos clássicos são inadequados ao que tentamos inovar em nosso trabalho cotidiano (OLIVEIRA; PACHECO, 2008, p. 130).

Mais do que não me questionar a respeito do conteúdo, minha

prática em sala de aula muitas vezes ignorou a própria motivação dos estudantes,

sua compreensão e suas dificuldades frente ao que era apresentado. Apesar de

recolher observações do processo de desenvolvimento das questões da prova, por

meio do preenchimento das grades de correção (o que, de algum modo,

possibilitaria “apreciar a evolução das competências através da melhoria do

desempenho” (HADJI, 1994, p. 120) dos estudantes nas questões da prova), em

pouco essas percepções refletiram-se na minha prática de sala de aula. Esse

“diagnóstico”, segundo critério apontado por Hadji (1994) como pilar da avaliação

formativa, foi relegado a um segundo plano ao longo de todo aquele semestre.

Apenas quando dispus-me a analisar sua produção escrita, passei a interrogar-me a

respeito das maneiras como os estudantes de fato lidaram (VIOLA DOS SANTOS,

BURIASCO, 2008) com as questões que lhes foram propostas.

110

Em função disso, não se pode dizer que o questionamento

apresentado ao lado das resoluções possa ser caracterizado como um feedback de

sua produção, uma vez que, em se tratando de uma ação pontual, não possibilitou

orientar os processo de ensino e aprendizagem subjacentes. As “trocas” entre

professor e estudantes, apontadas por Barlow (2006) como fundamentais a um

processo de avaliação formativa, não se efetivaram. Não se pode assim reconhecer

o caráter de regulação nesse processo.

O instrumento prova escrita havia sido modificado, porém sua

própria “estrutura” carregava uma visão tradicional de avaliação. Se, por um lado, a

experiência pontual de utilização da prova em fases na turma em tela não pode ser

tomada como uma prática de avaliação formativa (na perspectiva de ser formativa

para os estudantes), é inegável seu potencial formativo para mim, enquanto

professor.

Além de repensar33 o instrumento, fica evidente a necessidade de

repensar a própria prática avaliativa, numa busca constante de completá-la,

modificá-la e aperfeiçoá-la (BARLOW, 2006). Ao trazer para mim essa tarefa, numa

busca de melhorar meu próprio trabalho enquanto avaliador, reconheço-me não

apenas como um investigador da própria prática (segundo Ponte (2002), aquele que

estuda não um objeto qualquer, mas certo aspecto da sua prática profissional), mas

como alguém que investiga a própria prática avaliativa.

Esse caráter de investigação está presente ao longo de todo o texto,

na medida em que estamos a todo tempo confrontando o campo da realidade

concreta (a descrição de como “as coisas” aconteceram na experiência com a prova

em fases) com nossas expectativas (o modo como gostaríamos que “as coisas”

tivessem ocorrido), o que nos permite interpretar a realidade com a qual nos

deparamos (HADJI, 1994), ou, se assim pudermos dizer, estamos “avaliando nossa

avaliação”. Ao realizarmos essa tarefa, essa avaliação, buscamos em essência

completar, modificar, aperfeiçoar nossas ações enquanto avaliadores (BARLOW,

2006). No Capítulo 5 explicitamos esse nosso “outro olhar” para a prova em fases.

33

Embora o verbo “pensar” remeta à ideia de refletir sobre algo, optamos por incluir o prefixo “re” com o objetivo de enfatizar o sentido de retrocesso. Assim, embora estivesse já pensando sobre a prova em fases ao vivenciar a experiência com a sua utilização, as percepções sobre ela foram constantemente modificadas e reformuladas.

111

5. OUTRO OLHAR PARA A EXPERIÊNCIA COM A PROVA EM FASES

Para Barlow (2006), o caráter formativo da avaliação está em

possibilitar a preparação, orientação e aperfeiçoamento da ação não apenas do

estudante, mas também do professor. Enquanto sujeito do processo de avaliação,

coloco-me nesse momento como professor em busca de refletir acerca dos meus

próprios “erros” num processo de tomar a avaliação como uma prática de

investigação.

Como lembra-nos Hadji (1994), é preciso tentar buscar as razões

que deram origem a esses “erros”. Não que haja uma “receita” ou um modo “correto”

de avaliar. Entretanto, entendo ser necessário confrontar a realidade concreta (aqui

representada pela experiência com a prova em fases - o que de fato aconteceu) com

as minhas expectativas enquanto professor em busca de avaliar “formativamente” (o

que poderia ter sido feito).

Afinal, a própria educação deve ser vista como um processo

permanente de avaliação (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996), de modo que o

ensino e a avaliação tornam-se elementos indissociáveis. Para Ponte (2002, p.1), “o

ensino é mais do que uma actividade rotineira onde se aplicam simplesmente

metodologias pré-determinadas [...] Torna-se necessária a exploração constante da

prática e a sua permanente avaliação e reformulação”.

Essa “avaliação da própria prática avaliativa” será o objeto deste

capítulo. Inicialmente, propomo-nos analisar as questões que compuseram a prova

em fases, à luz do referencial teórico constituído. Em seguida, na busca de

aproximar da discussão de avaliação a uma discussão curricular, propomo-nos

refletir acerca do conteúdo matemático subjacente às questões, a Trigonometria. Por

fim, buscamos de algum modo sistematizar nosso objeto central deste trabalho: o

repensar a respeito da prática avaliativa.

5.1 AS QUESTÕES DA PROVA

Para elaboração da prova em fases, selecionei questões

provenientes de livros didáticos, listas de exercícios e provas aplicadas em anos

112

anteriores. De fato, questões “usuais”, que possivelmente muitos outros professores

escolheriam para compor uma prova. As questões contemplavam todos os

conteúdos previstos para o primeiro semestre de aulas, e a meu ver, naquele

momento, incluíam diversos níveis de complexidade (fácil, médio, difícil).

À luz do referencial teórico constituído, propusemos então reavaliar

as questões que compuseram a prova. Nosso olhar voltou-se aos três níveis

propostos por De Lange (1999) e à presença (ou não) de características apontadas

por Van Den Heuvel-Panhuizen (1996) para bons problemas de avaliação. Ao longo

dessa sessão, discutimos também possibilidades de reformulação de algumas das

questões.

No Quadro 8, apresentamos o modo como categorizamos cada uma

das questões da prova, juntamente com a descrição dos procedimentos de

resolução que justificam essas escolhas. Tal classificação está fortemente baseada

na análise da produção escrita dos estudantes ao longo das fases da prova e no

modo como minhas aulas foram encaminhadas ao longo daquele semestre (naquilo

que entendemos aqui como minha prática pedagógica).

A nosso ver, nenhuma das 28 questões que compuseram a prova

pode ser categorizada como pertencente ao Nível 3, uma vez que não ofereceram

aos estudantes a possibilidade de matematizar situações. Em nenhuma delas foi

possível que desenvolvessem seus próprios modelos.

Reconhecemos em apenas quatro das questões (14%) a

possibilidade de os estudantes apresentarem diferentes abordagens de resolução,

integrando informações fornecidas no enunciado, escolhendo uma estratégia e, em

seguida, identificando e utilizando as ferramentas matemáticas mais adequadas.

Foram categorizadas como pertencentes ao Nível 2 as questões 9, 16, 21 e 26. As

questões 9 e 16 envolviam mais diretamente conceitos de trigonometria, conteúdo

que permeava a prova como um todo. Suas resoluções envolviam possibilidades de

escolha de estratégias bastante similares.

113

Quadro 8 – Categorização das questões da prova, segundo De Lange (1999).

Questão Nível de

competência Procedimentos de resolução

1 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

2 Nível 1 Envolve a aplicação da relação fundamental da trigonometria e o reconhecimento de propriedades de simetria no ciclo.

3 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão e a recordação do conceito de função.

4 Nível 1 Envolve o conhecimento dos valores da função cosseno em alguns arcos e do formato do seu gráfico.

5 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

6 Nível 1 Envolve o conhecimento da definição de funções trigonométricas recíprocas (secante, cossecante e cotangente).

7 Nível 1 Envolve a aplicação de uma fórmula dada.

8 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

9 Nível 2 Envolve a escolha de uma estratégia que possibilite obter a medida do segmento

CD por meio do cálculo da medida do ângulo CBA ˆ ou do segmento AC .

10 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para resolução de uma equação trigonométrica.

11 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

12 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para converter uma medida de graus para radianos e vice-versa.

13 Nível 1 Envolve a aplicação da fórmula do seno de um arco duplo.

14 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para resolução de equações trigonométricas.

15 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão na obtenção dos valores do seno e do cosseno de arcos da primeira volta.

16 Nível 2 Envolve a escolha de uma estratégia que possibilite obter a idade pedida no enunciado, por meio da construção de tabela, teste de valores ou inequação.

17 Nível 1 Envolve a obtenção dos valores máximo e mínimo de uma função trigonométrica.

18 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para resolução de equações trigonométricas.

19 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

20 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmo para obter a 1ª determinação positiva de um arco e converter uma medida em graus para radianos.

21 Nível 2

Envolve a escolha de estratégia que possibilite obter as medidas dos segmentos

AC , AD e BD e do ângulo DAB ˆ , fazendo uso de relações métricas ou trigonométricas nos triângulos retângulos.

22 Nível 1 Envolve o reconhecimento das razões trigonométricas e a aplicação de regra de três simples.

23 Nível 1 Envolve a aplicação da relação fundamental da trigonometria, o reconhecimento de propriedades de simetria no ciclo e a definição de cotangente de um arco.

24 Nível 1 Envolve a determinação do valor de uma função trigonométrica em um arco dado. 25 Nível 1 Envolve o reconhecimento dos simétricos de um arco da primeira volta.

26 Nível 2 Envolve a integração de informações para resolver um problema utilizando operações com números racionais positivos.

27 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para determinar os valores do seno e do cosseno de arcos.

28 Nível 1 Envolve a aplicação de algoritmos padrão para determinar o comprimento de arco de circunferência.

Fonte: Autor.

.

114

Tomemos, a título de exemplo, a primeira delas, mostrada na Figura

25, cuja resolução envolvia o cálculo da medida do segmento CD e do ângulo CAB ˆ .

Algumas estratégias possíveis para resolução seriam:

• calcular a medida do segmento AC e de um dos ângulos

agudos do triângulo ACD ;

• calcular a medida do ângulo CBA ˆ e do segmento DB ;

• calcular os ângulos CAB ˆ e CDA ˆ ;

Escolhida a estratégia, o procedimento de resolução poderia

contemplar diferentes ferramentas matemáticas: razões trigonométricas no triângulo

retângulo, relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras, relações

de proporcionalidade e relações entre as medidas dos ângulos internos de um

triângulo.

Figura 25 – Questão 9 da prova.

9. Determine:

a) a medida do segmento CD

b) o valor de cos CAB

Fonte: Autor.

Já as questões 16 e 26 correspondem a duas (dentre as quatro da

prova) que contemplavam conteúdos de anos anteriores. A primeira delas (Figura

26) provém de aferição do PISA (Programa Internacional de Avaliação dos

Estudantes, cujas questões públicas são divulgadas pelo INEP – Instituto Nacional

de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) e envolve a determinação de

ponto de intersecção de duas funções lineares, num contexto de cálculo da

frequência cardíaca como função da idade da pessoa. A segunda refere-se à

determinação do número de sacas de farinha que deve ser comprada para formar o

estoque em uma padaria.

A

BDC 4

8

115

Figura 26 – Questão 16 da prova.

16. Por motivos de saúde, as pessoas deveriam limitar seus esforços, por exemplo, durante as atividades esportivas, a fim de não excederem uma determinada frequência de batimentos cardíacos. Durante anos, a relação entre a frequência cardíaca máxima recomendada e a idade da pessoa foi descrita pela seguinte fórmula:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 220 – idade

Pesquisas recentes mostraram que esta fórmula deveria ser um pouco modificada. A nova fórmula é a seguinte:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 208 – (0,7 × idade)

Um artigo extraído de um jornal afirmou: “Um dos resultados decorrentes da utilização da nova fórmula em vez da antiga é que o número máximo recomendado de batimentos cardíacos por minuto para as pessoas jovens diminui um pouco e para as pessoas idosas aumenta um pouco”.

Com a introdução da nova fórmula, a partir de que idade a frequência cardíaca máxima aumenta em relação à fórmula antiga? Mostre como você resolveu.

Fonte: PISA.

Ambos são problemas que requerem alguma tomada de decisão

matemática na escolha da estratégia e das ferramentas a serem utilizadas. Podem

ser classificados como problemas não-rotineiros, ou seja, “que muito pouco ou

quase nunca aparecem na sala de aula ou no livro didático” (BURIASCO, 1999, p.

95). O contexto presente nesses dois problemas torna as situações “reconhecíveis”

e facilmente imagináveis, possibilitando que os estudantes resolvam-nos por meios

matemáticos próprios e insights.

Por outro lado, as demais questões da prova (82%) pertencem ao

Nível 1, e envolvem procedimentos de rotina, sendo bastante similares àquelas

propostas nas aulas. Nas palavras de Buriasco (1999), são “exercícios tipo”, ou seja,

rotineiramente apresentados pelo professor para serem resolvidos sempre da

mesma maneira, seguindo o mesmo procedimento passo a passo.

Para Van Den Heuvel-Panhuizen (1996, p.112, tradução nossa), são

questões do tipo “tudo ou nada”, em que “as respostas só podem estar certas ou

116

erradas, e diferentes níveis de solução - se houver - não podem ser vistos,

resultando em uma ausência de pontos de apoio para instrução posterior”.

Em seis questões (1, 5, 8, 11, 19 e 22) os estudantes deveriam

determinar uma ou mais medidas de um ou mais lados de triângulos, sendo

conhecidas algumas das medidas de lados e ângulos. Sua resolução envolvia

basicamente a mesma estratégia: o reconhecimento da razão trigonométrica

adequada e a aplicação de uma ou mais regras de três simples.

Questões desse tipo são bastante convencionais e frequentes no

início do estudo da trigonometria, em geral restritas ao estudo do triângulo retângulo.

Apresentam uma única resposta correta (resposta de construção fechada), e sua

resolução envolve a aplicação de algoritmos padrão. Envolvem, portanto, apenas

habilidades de reprodução. Dois deles (5 e 19) são aquilo que Van Den Heuvel-

Panhuizen (2005) denomina “problema de números” ou de contexto puramente

matemático. Para a autora, não há nenhum inconveniente em utilizar esse tipo de

problema, desde que os estudantes possam imaginar a situação e fazer uso de suas

experiências e conhecimento. Uma forma de reformular os problemas em tela nessa

direção é apresentá-los na forma “descubra tudo o que for possível” (VAN DEN

HEUVEL-PANHUIZEN, 1996, p.107). Essa proposta de reformulação juntamente

com a questão original é mostrada na Figura 27.

Figura 27 – Questão 5 da prova e proposta de reformulação.

1. Determine as medidas de x e y indicadas na figura.

Determine todas as medidas possíveis dos triângulos representados na figura abaixo.

Fonte: do autor.

Além das convencionais medidas de lados e ângulos, a questão

oferece ao estudante a oportunidade para cálculo de outros elementos do triângulo,

24º

56º

5

y

x

117

como, por exemplo, a altura, a mediana, a mediatriz, e também oferece ao professor

pontos de apoio para a elaboração de questionamentos nas diversas fases da prova.

Já as questões 1, 8, 11 e 22 apresentam algum tipo de contexto,

porém em essência esse contexto mostra-se artificial e desprezível ao seu

entendimento. São chamados problemas de números “vestidos” ou “problemas de

palavras” (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996, 2005). À luz das ideias dessa

autora, Ferreira (2009, p.33) apresenta como exemplo de problema desse tipo:

“Mamãe foi à feira e comprou 35 laranjas a R$ 0,75 cada uma. Quanto mamãe

pagou?”. A partir dessa situação, questiona qual seria a “realidade” mostrada nesse

problema, apontando que, quase sempre os estudantes multiplicam 35 por 0,75 sem

levar em conta possíveis situações realísticas desse enunciado, tais como:

‘que mamãe é essa? A minha ou do Joãozinho?’; ‘pra que tantas laranjas?’; ‘será que a mãe da professora fará uma laranjada? Pra quantas pessoas? Mas como sabe que vai usar 35 laranjas?’; ‘que horror, R$0,75 é muito caro para uma laranja, ou será que ela vai pagar R$0,75 nas 35 laranjas?’; ‘vai ficar muito caro essa laranjada, compensa tomar suco numa lanchonete’ (FERREIRA, 2009, p. 33).

Nessa direção, uma possível reformulação para a Questão 1, que

pode aumentar sua acessibilidade e ainda incitar alguma reflexão nos estudantes

deve considerar dados reais para a situação proposta. Não faz muito sentido que o

problema forneça a medida do segmento que “liga” os olhos da pessoa ao topo do

prédio, inacessível na prática, mas, sim, a distância horizontal que a pessoa

posiciona-se em relação ao prédio. A partir desse valor, e da medida do ângulo em

tela, o estudante deve buscar a estratégia mais adequada, o que incluía o uso de

uma razão trigonométrica, mas também permitia incluir considerações da altura da

pessoa. A análise da produção escrita no que concerne a essa questão mostrou que

muitos estudantes desconsideraram esse fato.

Assim, se desejamos avaliar explicitamente se o estudante

reconhece a interferência da altura da pessoa na estimativa obtida para a altura do

prédio, é pertinente incluirmos um item a respeito desse fato. A questão

reformulada, juntamente com a original, é mostrada na Figura 28.

118

Figura 28 – Questão 1 da prova e proposta de reformulação.

1. Usando as razões trigonométricas pode-se calcular distâncias e a altura de edifícios sem precisar subir neles. Para isso, uma pessoa de 1,62 m de altura se posiciona a certa distância do prédio e vê o seu topo a um ângulo de 28°.

28°

24 m

1,62 m

a) Usando as medidas que constam no desenho, qual é a altura aproximada do edifício?

b) A que distância essa pessoa encontra-se do prédio?

Uma pessoa deseja estimar a medida da altura de um prédio, e para isso posiciona-se a

20 metros de distância do mesmo.

a) A partir dos dados, que estimativa essa pessoa encontrará?

b) É possível que outra pessoa dispondo do mesmo equipamento e posicionando-se à

mesma distância do prédio obtenha uma estimativa diferente? Explique.

Fonte: Autor.

Merece destaque o fato de que a própria apresentação dos dados do

problema por meio de uma figura faz com que os estudantes sejam “direcionados” a

utilizar relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo em sua resolução.

Caso tivéssemos a intenção de avaliar a capacidade dos estudantes em representar

os dados do problema, essa mesma figura poderia ser “limpada”, excluindo o

segmento pontilhado que “liga” os olhos da pessoa ao topo do prédio, e também

“ampliando” a largura da rua (deixando a cargo do estudante identificar o segmento

horizontal que “liga” a pessoa ao prédio). Nesse caso, o enunciado deveria ser

119

reformulado com vistas a apresentar de forma descritiva o ângulo de medida igual a

28 graus.

Van Den Heuvel Panhuizen (1996) relatou uma situação similar a

essa, na qual a experiência que se ganhou a partir das respostas dos estudantes

possibilitou a reformulação de questões de avaliação, tornando-as mais condizentes

com o objetivo inicial. Uma segunda versão dessas questões incluía, além da

pergunta original já reformulada, um item adicional denominado “rede de

segurança”34.

A resolução de seis questões (4, 6, 15, 24, 25 e 27) exigia que o

estudante recordasse alguns conceitos de simetria no ciclo trigonométrico e a

definição das chamadas razões trigonométricas recíprocas (secante, cossecante e

cotangente). Todas são exemplos de “problemas de números” e, apesar de algumas

diferenças em sua formulação, em essência permitem avaliar uma mesma

habilidade: calcular os valores de funções trigonométricas para arcos notáveis e

seus simétricos, medidos em graus e radianos. Com vistas a torná-los bons

problemas de avaliações, poderiam ser reformulados para, por exemplo, incluir itens

que tenham mais de uma resposta e envolvam habilidades presentes nos três níveis

da pirâmide de De Lange (1999).

A título de exemplo, apresentamos na Figura 29 uma proposta para

reformulação da Questão 15 (juntamente com a questão original), buscando atender

essas características.

Figura 29 – Questão 15 da prova e proposta de reformulação.

15. Use os valores notáveis do seno e cosseno para calcular:

a) 6

5cos

π b) 3

2cos

π c) °240cos

d) 4

5cos

π e) °315cos f) °330cos

Nessa questão, considere os arcos notáveis e seus simétricos. Sempre que possível, forneça o que for pedido. Caso contrário, apresente argumentos que justifiquem a impossibilidade.

a) Um par de arcos, medidos em graus, localizados em quadrantes pares e cujo seno seja o

34 Safety-net question.

120

mesmo.

b) Um par de arcos, medidos em graus, localizados em quadrantes vizinhos e cujo seno seja o mesmo.

c) Um par de arcos, medidos em radianos, localizados em quadrantes ímpares e cujo valor do cosseno seja o mesmo.

d) Um par de arcos, medidos em radianos, localizados em quadrantes vizinhos e cujos cossenos tenham o mesmo valor em módulo, mas sinais opostos.

Fonte: Autor.

Duas questões (12 e 20) envolviam a aplicação de algoritmos

padrão para obtenção da primeira determinação positiva de um arco fora da primeira

volta, e para conversão de medidas de graus para radianos e vice-versa. No caso de

se obter a primeira determinação positiva, grande parte dos estudantes havia

utilizado a mesma estratégia em suas resoluções: dividir a medida do arco por 360

graus e tomar como resposta o resto dessa divisão.

Figura 30 – Proposta em substituição às questões 12 e 20.

Num concurso há um círculo dividido em seis setores geometricamente iguais. Em torno do centro do círculo roda um ponteiro que, após o movimento, indica a quantia em reais que o jogador recebe ou tem de pagar.

Regras do jogo:

• O ponteiro inicia o movimento no 0, no sentido positivo ou no sentido negativo.

• A jogada só é válida no caso de o ponteiro dar no mínimo duas voltas completas. Caso contrário, a jogada é repetida.

• Sempre que, no final da jogada, a seta apontar para a divisão de dois setores, a jogada é repetida.

a) João fez uma jogada. Em cada caso, determine o resultado da jogada, dada a amplitude do arco descrito pela extremidade do ponteiro, justificando sua resposta:

i) 3780 graus

ii) – 1043 graus

121

iii) rad6

35π

iv) rad3

11π

b) Luísa apenas fez uma jogada no sentido positivo e ganhou 80 reais. Escreva uma expressão para as amplitudes possíveis do arco descrito pelo ponteiro, sabendo que deu menos de seis voltas.

Fonte: Autor.

Entretanto, ao questioná-los do significado do quociente dessa

divisão, muitos não souberam interpretá-lo. No caso da conversão de medidas de

arcos de graus para radianos, usualmente aplicam uma regra de três baseada na

relação de proporcionalidade grausradianos 180=π , muitas vezes

sem atribuir significado ao algoritmo. Nesse caso, sugerimos uma reformulação

incluindo um contexto realístico, de modo que o problema exija mais do que lembrar

um fato ou reproduzir uma técnica, mas mostre-se atraente e estimulante. Na Figura

30 apresentamos uma proposta em substituição às questões35.

Na resolução das questões 10, 14 e 18, os estudantes deveriam

fazer uso de algoritmos padrão para resolução de equações trigonométricas. A

questão 18, embora mais trabalhosa, por envolver a etapa adicional de substituição

de variáveis e a posterior resolução de uma equação do segundo grau completa,

pode ainda ser classificada de Nível 1, uma vez que estes foram algoritmos padrão

ao longo das aulas. Ciani (2012) lembra-nos que o fato do problema ser desse nível

não implica que seja mais fácil que os demais, mas que pode ser resolvido

recorrendo apenas a habilidades rotineiras e memorizáveis.

Também as questões 2 e 23, embora envolvam uma resolução mais

trabalhosa, podem ser classificadas no Nível 1. Trata-se de um modelo de tarefa

bastante frequente em livros didáticos: dado o valor do seno ou do cosseno de um

arco não notável, e alguma informação (explícita ou implícita) do quadrante em que

está esse arco, pede-se o valor de sua tangente, ou de uma ou mais razões

trigonométricas recíprocas. Uma resolução esperada para esse tipo de questão faz

uso da relação Fundamental da Trigonometria, como mostrado na Figura 31

(Questão 2). 35

Proposta adaptada de http://www.esaas.com/grupos/matematica/estagios/exerciciossite/FichasTrabalho/FichaTrabalho2_MatA.pdf.

122

Figura 31 – Questão 2 da prova e resolução esperada.

2. Dado 13

12=senx , com ππ ≤≤ x

2, determine o valor da tgx .

1cos22 =+ xxsen

1cos13

12 2

2

=+

x

169

25cos2 =x

13

5cos ±=x

Como x está no segundo quadrante, 0cos <x , portanto 13

5cos −=x .

Então 4,25

12

5

13

13

12

13

513

12

cos−=−=

−⋅=

−

==x

senxtgx

R. O valor de tgx é -2,4.

Fonte: Autor.

Muitos estudantes, ao buscar uma solução para a equação

169

25cos2 =x , ignoravam a existência de uma raiz negativa e, portanto, o fato do arco

em questão ser do segundo quadrante. Apesar de fundamental, entendemos que

estabelecer esse tipo de relação é ainda considerado um procedimento de rotina.

Por outro lado, por disporem de calculadora científica durante a

realização das fases da prova, vários deles utilizaram a tecla “arco-seno”, obtendo o

arco do primeiro quadrante cujo seno vale 13

12 (no caso, 38,67=x graus). Entretanto,

seria necessário integrar essa informação àquela dada no enunciado ( ππ ≤≤ x2

)

para concluir que o arco em questão não está no primeiro, mas no segundo

quadrante e, portanto, vale 62,10238,67180 =−=x graus. Enfim, ainda com auxílio

da calculadora, tomar a tangente desse arco, chegando ao valor 4,2− .

123

Nesse caso, não se pode falar em uma aplicação de algoritmos

padrão, mas no estabelecimento de conexões entre a informação fornecida pela

calculadora e as relações de simetria no ciclo trigonométrico.

Ao reformular essa questão, podemos incluir um pedido explícito

dessa diferença de procedimentos, como mostrado na Figura 32. Sob esse ponto de

vista, as questões 2 e 23 poderiam ser tomadas como sendo do Nível 2.

Figura 32 – Proposta de reformulação para a Questão 2.

É dado um arco ππ ≤≤ x2

tal que13

12=senx . Explique o modo mais eficiente para o cálculo

da tgx em duas situações: dispondo e não dispondo de uma calculadora científica.

Fonte: Autor.

Situação similar ocorre com a questão 13, cujo enunciado e a

resolução usual são mostrados na Figura 33.

Figura 33 – Questão 13 da prova e resolução usual.

13. Dados 3

2xsen = e

3

5xcos

−= calcule 2xsen .

99,09

54

3

5

3

22cos22 −=−=

−⋅⋅=⋅⋅= xsenxxsen

Fonte: Autor.

Em princípio, essa questão pode ser classificada no Nível 1, uma

vez que pode ser resolvida pela aplicação da fórmula do seno de um arco duplo

( )cos()(2)2( xxsenxsen = ), usualmente apresentada em qualquer livro didático do

Ensino Médio.

Entretanto, essa fórmula não foi apresentada ao longo das aulas, e

alguns estudantes, novamente com auxílio da calculadora científica, apresentaram

em sua produção escrita indícios de desenvolvimento da seguinte estratégia: por

meio da tecla “arco-seno”, obtiveram o arco do primeiro quadrante cujo seno vale 3

2

(no caso, 081,41=x ). Tendo em vista que o cosseno do arco em questão é negativo,

124

concluíram que o arco não está no primeiro, mas no segundo quadrante, e, portanto,

vale 000 19,13881,41180 =−=x . Desse modo, o arco x2 vale e 038,276 , portanto,

99,02 −=xsen . Mais uma vez, essa possibilidade de resolução, que envolve a

escolha de uma estratégia e estabelecimento de diversas conexões, implica que

essa questão pode ser tomada como do Nível 2.

Mas se, além disso, levarmos em conta que na folha de rosto da

prova era apresentada a fórmula para o cálculo do seno da soma de dois arcos

( cos(x)sen(y)cos(y)sen(x)y)sen(x +=+ ), seria possível resolver por meio dela a

questão 13. Nesse caso, a estratégia de resolução envolveria um tipo de raciocínio

similar àquele apresentado em livros didáticos que deduzem fórmulas para o seno, o

cosseno e a tangente de arcos duplos, a partir das fórmulas de seno e diferença de

arcos. No caso, tomando yx = na fórmula em questão, obteríamos

cos(x))sen()cos(sen(x))sen(x xxx +=+ , o que nos leva a )cos()(2)2sen( xxsenx = . A

partir daí, a substituição de valores do seno e do cosseno dados no enunciado

levaria à resposta solicitada. Nenhum estudante desenvolveu alguma estratégia

nessa direção, porém, se o tivesse feito, poderíamos falar aqui na existência de

indícios de matematização, expressa por meio do desenvolvimento de um modelo

“próprio” e de uma generalização. Essa possibilidade permite classificar a questão

no Nível 3 de De Lange (1999).

Desta análise, levantamos algumas possibilidades de reorganização

da questão num formato que Van Den Heuvel-Panhuizen (1996, p. 112, tradução

nossa) denomina super item, que consiste em “uma informação introdutória e uma

série de itens, cada uma deles indicando certo nível de raciocínio”. Nesse caso, a

informação introdutória consistiria na apresentação da fórmula para a soma de dois

arcos e, na sequência, itens que “conduziriam” o estudante a “reinventar” a fórmula

para o seno de um arco duplo. Essa proposta é mostrada na Figura 34.

125

Figura 34 – Proposta para reformulação da Questão 13 da prova.

Pode-se obter valores das funções trigonométricas a partir da medida de arcos cujos valores trigonométricos são conhecidos. Uma dessas fórmulas é

cos(x))sen()cos(sen(x))sen(x yyy +=+ .

a) A partir da tabela de valores trigonométricos dos arcos notáveis, determine o valor de o75sen .

b) Além da fórmula acima, dispondo do valor 34,020 =osen e utilizando relações trigonométricas vistas em aula, encontre, sem auxílio da calculadora, outros valores de funções trigonométricas.

c) Explique como encontrar o valor de 2xsen , dispondo dos valores de xsen e xcos .

Fonte: Autor.

Nesse caso, os estudantes teriam a oportunidade de se envolver

com o contexto do problema respondendo itens abertos de complexidade crescente

(DE LANGE, 1999). Ao primeiro item deve-se fornecer uma resposta de construção

fechada, proveniente da aplicação da fórmula dada. Nesse caso, cabe ao estudante

tomar ox 45= e oy 30= (ou vice-versa) e, a partir dos valores do seno e do cosseno

desses arcos (dados na capa da prova), fazer as devidas substituições da

expressão. Trata-se de uma tarefa do Nível 1.

No segundo item (inspirado no exemplo 3.6 de Van Den Heuvel-

Panhuizen (1996) é esperado que os estudantes lidem com diferentes relações da

trigonometria e relacionem esses elementos. No caso, a partir dos valores do seno e

do cosseno de um arco de o20 , pode-se, por exemplo:

• fazendo uso da relação fundamental da trigonometria

( 1cos22 =+ xxsen ), obter o valor de o20cos ;

• utilizando a relação x

senxtgx

cos= e a definição das razões

trigonométricas recíprocas, calcular o valor de otg20 , o20sec ,

o20seccos e og20cot ;

• tomando oyx 20== na fórmula dada do enunciado, obter o

valor de osen40 ;

• de modo análogo ao que foi feito com o arco de o20 , calcular os

valores de o40cos , otg40 , o40sec , o40seccos e og40cot ;

126

• sucessivamente, pode-se obter valores de todas as funções

trigonométricas para arcos da sequência L,60,40,20 ooo ;

• utilizando relações de simetria, é possível obter os valores das

funções trigonométricas para os simétricos dos arcos em tela;

• utilizando redução à primeira volta, é possível obter valores das

funções trigonométricas para arcos de outras voltas, simétricos dos

arcos em tela;

Diferentemente do item anterior, não podemos dizer que este esteja

ligado a um nível fixo, podendo ser respondido em diferentes níveis de competência.

Assim, ao contrário de grande parte das questões da prova, que remetiam a

respostas do tipo “tudo ou nada”, essa proposta reformulada oferece muitos pontos

de apoio para a elaboração de questionamentos ao longo das fases da prova.

Assim, mesmo que o estudante tenha obtido alguns valores de funções

trigonométricas, sempre é possível confrontá-lo com alguma outra relação já vista

em aula na busca de outras possibilidades de resposta.

O terceiro item, por sua vez, oferece ao estudante a oportunidade de

desenvolver seu próprio modelo para o cálculo do seno de um arco duplo,

apresentando os argumentos matemáticos pertinentes. Novamente, não é possível

dizer que este item esteja ligado a um item fixo. Se, em sala de aula, o professor

tiver apresentado aos estudantes tal fórmula, esse item resume-se a uma simples

tarefa de recordação de objeto matemático (Nível 1). Por outro lado, se, por meios

de questionamentos no item anterior, o professor levar o estudante ao cálculo de o

sen40 , tomando oyx 20== na fórmula dada no enunciado, a resolução do terceiro

item possivelmente envolverá um “replicar” desse procedimento, porém em um nível

mais elevado (Nível 2). Por fim, se por “mérito próprio” o estudante generalizar essa

relação por meio de uma fórmula, sua resolução oferecerá indícios de

matematização, e o item poderá ser classificado no Nível 3. Neste modelo de

reformulação, cada resposta sucessiva correta exige do estudante um uso mais

sofisticado das informações dadas no item anterior.

As questões 3 e 7 envolvem o conceito de função, já estudado em

ano anterior. A primeira delas é frequentemente encontrada nos livros didáticos ao

tratarem de funções do primeiro grau, envolvendo o valor de aluguel de carros em

127

uma locadora que cobra uma taxa fixa mais um valor por quilômetro rodado. A

segunda, assim como a questão 16, provém de aferição do PISA e por meio dela

verifica-se a capacidade do estudante aplicar uma fórmula dada. Entendemos que,

embora apresentados em contextos interessantes, os problemas são de Nível 1,

uma vez que eram bastante rotineiros nas aulas do primeiro ano do Ensino Médio, e

sua resolução envolve o desenvolvimento de habilidades técnicas.

Por fim, a resolução da questão 28 remete à aplicação de algoritmo

padrão para determinar o comprimento de arco de uma circunferência. A análise da

produção escrita dos estudantes mostrou que muitos deles forneceram como

resposta a medida do comprimento da circunferência, obtida por meio da fórmula

RC π2= , e não do arco de o120 . Tal “confusão” possivelmente seria evitada

apresentando a questão em um contexto realístico e que incitasse nos estudantes

algum tipo de estratégia. Uma proposta de reformulação, juntamente com a questão

original, é apresentada na Figura 35.

Figura 35 – Questão 28 da prova e proposta de reformulação.

28. Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de raio 8 cm por um ângulo central AÔB de 120°.

Determine a distância aproximada percorrida por cada uma das cadeiras de uma roda-gigante de 8 metros de raio, se ela efetuar:

a) uma volta completa. b) parte de uma volta, correspondendo a

120 graus. Fonte: Autor.

Em suma, a escolha das questões limitou bastante as possibilidades

de questionamentos a serem formulados a partir das respostas dos estudantes, com

vistas a oportunizar reflexões e reformulações em direção a elaborações mais

completas e mais estruturadas. Uma análise crítica torna-se uma tarefa fundamental

para o professor que investiga sua própria prática e busca tornar a avaliação uma

oportunidade de aprendizagem tanto para seus estudantes quanto para ele mesmo.

Ao encontro dessa perspectiva, FERREIRA (2012) apresenta em

seu trabalho um referencial para “leitura” de tarefas de matemática presentes em um

livro didático, com vistas a obter um panorama da tipologia dessas tarefas, bem

como analisar suas potencialidades e limitações. Concordamos com a autora

quando esta aponta que “uma tarefa por si só ‘não tem vida própria’”, uma vez que

128

“ela depende também do ‘contexto prático’ em que é empregada, do tratamento e

situação em que o professor trabalha com ela” (FERREIRA, 2012, p.84).

5.2 AVALIAÇÃO E CURRÍCULO: ALGUNS APONTAMENTOS

Para Van Den Heuvel-Panhuizen (1996), há um consenso mundial

de que os currículos tradicionais deixaram de cumprir as exigências de hoje e que,

juntamente com a avaliação, precisam mudar. Esses novos pontos de vista acerca

dos objetivos da Educação Matemática, na perspectiva de contribuir para que os

estudantes tornem-se matematicamente letrados, tornam necessária uma discussão

tanto em relação a métodos diferentes de avaliação quanto aos

conteúdos considerados básicos ou mínimos para cada uma das séries ou ciclos e que se encontram presentes nos inúmeros programas das secretarias dos ensinos municipal e estadual [...] ou, ainda aqueles presentes nos inúmeros planos de curso de professores e professoras das redes pública e privada de todo o país que, não esporadicamente, orientam suas práticas educativas priorizando e avaliando os conteúdos sugeridos no livro didático adotado (OLIVEIRA; PACHECO, 2008, p. 124).

Segundo esses autores, faz-se necessário que caminhem juntos

uma reflexão em torno das questões curriculares e também em relação às

tendências de mudanças dos mecanismos e instrumentos clássicos de avaliação.

Nesse sentido, entendemos ser imprescindível atrelar à discussão acerca de

avaliação uma discussão a respeito do próprio currículo escolar.

Em sua etimologia, a palavra currículo remete à ideia de “curso”, o

que, no contexto educacional, pode ser entendido como o conteúdo apresentado

para o estudo (COSTA, 2011). Essa noção mais geral de currículo, associada a

uma lista de conteúdos e objetivos ou questões relativas a procedimentos, técnicas e

métodos, tem sido bastante contestada, uma vez que a própria definição de currículo

varia segundo a perspectiva na qual é formulada.

Para ele, enquanto as chamadas teorias tradicionais aceitam o

status quo acerca dos conhecimentos e saberes (escola como reprodutora dos

valores da classe dominante), dando por respondida a questão “o que ensinar?”, as

teorias críticas (que concebem o currículo como uma construção social, cuja

129

finalidade se dá a partir da ideia de universalização) e pós-críticas (baseadas numa

discussão a respeito do multiculturalismo) focam primordialmente na questão “por

que ensinar?”.

Conforme aponta Sacristán (1998, p. 138), enquanto processo

social, o currículo “cria-se” a partir de múltiplos contextos que interagem entre si: os

documentos curriculares (currículo previsto e regulado); os livros-textos, os guias-

didáticos e materiais diversos (currículo para ser consumido); as programações ou

planos que as escolas fazem (currículo no contexto das práticas organizativas); as

tarefas de aprendizagem que os estudantes realizam, “das quais extraem a

experiência educativa real” e “que podem ser analisadas nos cadernos e na

interação da aula e que são, em parte, reguladas pelos planos ou programação dos

professores/as” (currículo em ação); e, por fim, o que os professores exigem em

seus exames ou avaliações, como exigem e como o valorizam.

Para o autor, são os dois últimos níveis de análise (o currículo em

ação e a avaliação posta em prática pelo professor) que caracterizam o “conteúdo

real da prática educativa, porque é onde o saber e a cultura adquirem sentido na

interação e no trabalho cotidianos” (SACRISTÁN, 1998, p. 138).

Um retrato mais real do que é a prática nos darão os planos que as equipes de professores/as elaboram numa escola ou os que estes professores/as fazem em suas aulas para seus alunos/as. Os trabalhos acadêmicos que estes realizam, os exames que o professor/a impõe, nos quais se valorizam certos conhecimentos adquiridos e reproduzidos de forma singular, ou os que se valorizam em provas externas, serão um indicador muito decisivo para saber o que se sugere e obriga a aprender e como fazê-lo (SACRISTÁN, 1998, p. 139, grifos nossos).

Nessa mesma direção, para Oliveira e Pacheco (2008, p. 125), as

aulas reais, aquelas que estão acontecendo nas escolas, com seus acasos, incertezas e inevitáveis diálogos com o cotidiano fornecem material sobre o qual os professores podem debruçar-se no desenvolvimento e na promoção de alterações na proposta curricular e nos mecanismos de avaliação da aprendizagem.

Para eles, um desafio que se coloca hoje para as escolas é superar

a restrição do trabalho pedagógico àquilo que será avaliado pelas provas e mesmo

pelos sistemas de avaliação unificados. Afinal, o que se observa no Brasil

130

atualmente é a “implementação de processos de avaliação generalizados para todos

os níveis de escolarização, bem como o uso desses processos como mais uma

forma de controle do trabalho pedagógico”. Isso tem “levado professores, escolas e

alunos a se preocuparem buscando adaptação às exigências dos exames nacionais

para evitar o fracasso e as inúmeras consequências dele sobre todos” (OLIVEIRA;

PACHECO, 2008, p. 123).

É por meio da incorporação de outros conteúdos, de tarefas mais

abrangentes para além dos conteúdos mínimos e, “sobretudo, o desenvolvimento de

processos de aprendizagem não restrita aos ‘mínimos’ pode evitar que conteúdos

clássicos tornem-se não um mínimo, mas os únicos a serem trabalhados”

(OLIVEIRA; PACHECO, 2008, p. 124-125).

Ao investigar o trajeto histórico dos processos de avaliação no

ensino de Matemática, Valente (2008) oferece-nos subsídios que permitem

compreender como esses processos influenciam na própria organização dos

sistemas escolares e como contribuem para que esse conteúdo “mínimo” acabe por

se tornar o único trabalhado nas salas de aula “reais”.

Recuando a 1827, ano da criação dos Cursos Jurídicos no Brasil,

vemos o surgimento dos ditos cursos preparatórios e com eles os “pontos do

exame”, editados pelo Colégio Pedro II em 1828. Foram esses pontos dos exames

parcelados que organizaram toda a Matemática escolar e seu ensino, tornando-se

referência para a elaboração da própria literatura escolar.

Nesse sistema, essa preparação se dava por meio de apostilas

elaboradas a partir das listas de pontos, e “saber de cor” cada um deles era o modo

de ser bem-sucedido no ingresso aos cursos superiores. Assim, “o trabalho

pedagógico do professor de matemática consistia, então, em fazer com que seus

alunos fixassem os pontos”. O professor de matemática assim “permaneceu e

sedimentou sua prática por mais de cem anos!” (VALENTE, 2008, p. 16), prática

essa que se arrasta até os dias atuais.

Ao apresentar uma discussão quanto às tendências do ensino de

trigonometria no Brasil, Nacarato et al (2007, p. 90) apontam para uma manutenção

desse caráter propedêutico no Ensino Médio. Para as autoras, tal fato é evidenciado

principalmente no ensino privado brasileiro, que “parece desconsiderar todas as

131

orientações curriculares oficiais e centra sua atenção nos vestibulares”. Ao produzir

seu próprio material, desvinculam-se das orientações oficiais e acabam priorizando

procedimentos, em detrimento de conceitos trigonométricos.

Por meio da análise de documentos curriculares e livros didáticos de

diferentes décadas do século XX, Nacarato et al (2008) identificaram três tendências

presentes no ensino de trigonometria no Brasil segundo diferentes enfoques

(geométrico, da geometria vetorial e de funções circulares), e de acordo com o

momento histórico em que são privilegiados.

Sempre presente em todos os programas editados pelo Colégio

Pedro II (editados do fim do século XIX até meados da década de 30), a

trigonometria era sempre precedida pelo ensino de geometria plana e espacial.

Revela-se a integração entre essas áreas por meio de um modelo dedutivo com

teoremas trigonométricos sendo demonstrados com subsídios da geometria. Até por

volta da primeira metade do século XX, constata-se também forte influência de

aspectos da gênese da trigonometria, com ênfase em questões históricas,

principalmente com referência às obras de Hiparco e Ptolomeu. Seu estudo previa o

estudo de “definições das linhas trigonométricas; uso de tábuas trigonométricas;

redução ao primeiro quadrante; resolução de triângulos retângulos e resolução de

triângulos quaisquer” (NACARATO et al, 2008, p. 75).

Em 1929, é editado o último programa publicado pelo Colégio Pedro

II, apresentando características diferenciadas em relação às anteriores no que se

refere ao ensino da trigonometria. Possivelmente influenciada por ideias a respeito

da necessidade de um ensino experimental e de uma Matemática aplicada, a

tendência a relacionar a Matemática com o campo das ciências físicas e naturais

resulta na inclusão do ensino de vetores na escola secundária. “Os livros didáticos

do período incorporam essas orientações para o ensino de trigonometria, ou seja,

este deveria ser precedido do ensino de vetores e todas as definições básicas da

trigonometria são exploradas por meio de vetores” (NACARATO et al, 2008, p. 84).

Embora o foco na introdução da trigonometria fosse a geometria vetorial, permanece

ainda nos livros didáticos das décadas de 30 a 50 de elementos históricos.

A incorporação das ideias da Matemática Moderna a partir da

década de 60 apresenta um ensino de trigonometria

132

impregnado das noções de funções e conjuntos e passa a ter uma abordagem mais voltada à realização de exercícios, excessiva preocupação com a linguagem matemática e com técnicas de resolução, em detrimento da elaboração conceitual. Todos os livros didáticos do período retratam essas influências e [...] tornaram-se os maiores divulgadores das ideias renovadoras (NACARATO, 2008, p. 87-88)

A chegada da década de 80, e com ela o fracasso da Matemática

Moderna, provoca uma mudança nos livros didáticos, e a parte relativa à

trigonometria deixa de ser designada como funções circulares e aparece precedida

pelo estudo de triângulos. Essa

característica faz com que interpretemos que, nas décadas de 1980 e 1990, a trigonometria voltou a ter um enfoque geométrico. No entanto, esse enfoque é diferente daquele do início do século, pois este pode ser considerado geométrico a partir do momento em que todo conteúdo trigonométrico é desenvolvido com base no triângulo retângulo. No entanto, tal enfoque se faz presente apenas na introdução do tema, pois, a partir da exploração do círculo trigonométrico, não há preocupação em buscar subsídios na Geometria para demonstrar/provar as propriedades trigonométricas. No entanto, continua existindo uma mescla de princípios das atuais tendências com princípios do Movimento da Matemática Moderna (NACARATO, 2008, p. 90).

Enquanto alguns autores de livros didáticos buscam uma abordagem

mais voltada à resolução de problemas, e outros resgatam elementos

epistemológicos do desenvolvimento da trigonometria, para Nacarato et al (2008, p.

90), a grande maioria “parece não ter um eixo norteador para as abordagens

pedagógicas” e “vem se pautando pelo excesso de transformismos algébricos,

destituídos de significado para o aluno”.

Embora não tivesse sido capaz de fazê-lo no momento de aplicação

da prova em fases, hoje reconheço nas questões que compuseram a prova em fases

essa falta de um “eixo norteador”. Por um lado, questões como as de números 1, 5,

8, 9, 11, 19, 21 e 22, que remetem à trigonometria no triângulo retângulo, refletem

tentativas de “contextualização” por meio de (pseudo) aplicações (algumas delas

frustradas, como já discutido). Por outro, as questões 2, 6, 14, 15, 18, 23 e 27, que

exploram o ciclo trigonométrico, mobilizam habilidades isoladas e procedimentos de

rotina e que, no fundo, deixam de ter qualquer significado quando dispomos de uma

133

calculadora e uma tabela trigonométrica. Livros didáticos estão “recheados” de

questões desse tipo.

Enquanto um grande sistema de medidas, a trigonometria pode

oferecer ao professor subsídios para a proposição de tarefas que oportunizem de

fato a matematização de situações, incluindo o desenvolvimento de modelos e

estratégias. Uma possibilidade é resgatar a história da trigonometria por meio da

proposição de problemas acessíveis e convidativos, e que possibilitem ao estudante

reinventá-la (FREUDENTHAL, 1979). Também se podem apresentar situações que

envolvam a determinação de distâncias inacessíveis objetivando encontrar pontos

de partida para elaboração de rotas de reinvenção (GRAVEMEIJER; TERWEL,

2008). Conforme apontam Trotta el al (1979), a própria palavra trigonometria refere-

se à ideia de calcular distâncias inacessíveis por meio da semelhanças de triângulos

imaginários. Por exemplo, a tarefa de determinar uma distância inacessível ou de

difícil acesso (como a altura de um poste ou de largura de um rio, por exemplo) pode

ser bastante convidativa e estimulante aos estudantes. Além de incitar diferentes

estratégias, pode possibilitar a eles mostrar o que sabem, mais do que simplesmente

revelar o que ainda não sabem (VAN DEN HEUVEL PANHUIZEN, 1996). A

reformulação da Questão 1 (Figura 28) é um exemplo disso.

Com auxílio de duas ripinhas de madeira articuladas por um

parafuso e de um transferidor, Trotta et al (1979) sugerem a construção de um

modelo que permite estimar, grosseiramente, a altura de um poste. Da necessidade

de se aprimorar a técnica e de “encurtar” o processo para diferentes ângulos,

sugere-se a criação de uma tabela que apresente diversos ângulos seguidos dos

valores de “constantes” características (na verdade, a tangente do ângulo). As

imprecisões oriundas dessa técnica remetem ao trabalho do matemático grego

Hiparco na construção da primeira tabela trigonométrica. Tais situações podem

servir como “inspiração” para professores elaborarem rotas de reinvenção para o

estudo de conceitos trigonométricos.

É fundamental destacar que os conceitos de trigonometria não se

resumem apenas às suas aplicações diárias mais imediatas. Lima et al (1997)

lembram-nos que as funções trigonométricas constituem um tema importante tanto

por suas aplicações como pelo papel central que desempenham na Análise. Embora

seu objeto inicial fosse o tradicional problema de resolução de triângulos,

134

posteriormente (com a criação do Cálculo Infinitesimal, e do seu prolongamento, a

Análise Matemática), surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno e

suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante o status de função real

de uma variável real. Assim, por exemplo, ao lado de Asen ˆ , o seno do ângulo A ,

tem-se também αsen , o seno do número real α .

Esses autores lembram-nos também que a importância das funções

trigonométricas foi grandemente reforçada com a descoberta de que toda função

periódica é uma soma (finita ou infinita) de funções do tipo )()cos( nxBsennxA + , o

que deu origem à Análise de Fourier. Tais fatos justificam a necessidade de se

propor ao estudante do Ensino Médio situações que demandam matematização

dentro da própria Matemática. Um exemplo disso é a “descoberta” de relações

trigonométricas dos senos e cossenos da soma e da diferença (por exemplo, como

proposto em Trota el al (1979)), ao invés de sua mera “apresentação” desprovida de

qualquer significado, seguida dos tradicionais problemas de “aplicação”, como em

geral encontramos na maioria dos livros didáticos. A reformulação da Questão 13

(Figura 34) é um exemplo de tarefa desse tipo.

Uma concepção de trabalho pautada na reinvenção dos conceitos

trigonométricos vai ao encontro das orientações curriculares nacionais, expressa por

meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 1999),

segundo o qual, o estudo da trigonometria deve estar ligado às aplicações, evitando-

se o investimento excessivo no cálculo das identidades e equações para enfatizar

aspectos importantes das funções trigonométricas e seus gráficos. Aponta ainda que

deve-se pautar o trabalho na resolução de problemas que envolvam medições (em

especial cálculo de distâncias inacessíveis e na construção de modelos para

fenômenos periódicos).

Salientamos que, embora não seja nosso objeto de investigação,

essas reflexões buscam aproximar a temática avaliação com as discussões acerca

de currículo e, em especial, essa breve sistematização do conteúdo trigonometria

pode fornecer subsídios para que professores em formação inicial e continuada

possam avaliar criticamente as tarefas que propõem aos estudantes tanto em

momentos de aula quanto em situações de avaliação. Mais do que isso, reconhecer

em nossas próprias práticas avaliativas elementos que remetam a fazer com que

135

nossos alunos “fixem os pontos” para a prova. Repensar nossas práticas avaliativas

pode ser um primeiro passo na busca de romper com uma cultura escolar de ensino

da Matemática que prioriza o “cumprir o programa” e “dar todo o conteúdo” (cultura

essa extremamente arraigada na minha própria formação enquanto professor) para

uma cultura de aprender matemática com compreensão.

5.3 UM REPENSAR DA PRÁTICA AVALIATIVA

No cotidiano escolar, a avaliação é parte do trabalho dos

professores e tem por objetivo proporcionar-lhes subsídios para as decisões a serem

tomadas a respeito do processo educativo. Entendemos que, mais que um

instrumento de medida e de classificação que, ao término de uma etapa, “informa”

aos estudantes um resultado, a avaliação deve tornar-se um instrumento de

formação tanto para o estudante quanto para o professor. Ao invés de uma simples

verificação do rendimento escolar, quantificada e traduzida na nota final do

estudante, a avaliação deve se fazer presente no processo educativo, entre outros,

tanto como meio de diagnóstico dos processos de ensino e de aprendizagem quanto

como instrumento de investigação da prática pedagógica, sempre com uma

dimensão formativa.

Nesse contexto, refletimos a respeito de uma experiência na qual

buscou-se tornar a avaliação parte dos processos de ensino e de aprendizagem,

exercendo-a ao longo de toda ação de formação, tornando-a contínua, passando da

meta de identificar se os estudantes “adquiriam” conhecimentos que lhes foram

propostos para a meta de preparar, orientar, aperfeiçoar a ação do estudante e do

próprio professor.

Adotar essa perspectiva formativa da avaliação levou-nos a encará-

la como integrada à ação de formação, incorporada ao próprio ato de ensino. Nas

palavras de Hadji (1994, p. 63), buscamos repensar formas da avaliação visando

contribuir para melhorar a aprendizagem em curso, informando o professor sobre as condições em que está a decorrer essa aprendizagem, e instruindo o aprendente sobre o seu próprio percurso, os seus êxitos e as suas dificuldades.

Nesse sentido, compreender a avaliação e executá-la como um

136

projeto intencional e planejado no cotidiano das aulas implicou, entre outras coisas,

pensar os instrumentos de avaliação, em especial a prova em fases, e redefini-la

de acordo com as possibilidades teórico metodológicas que oferece para avaliar.

A atitude de pesquisador “em constituição” levou-me a tomar a

própria experiência como pano de fundo para reflexões da minha prática avaliativa,

exigindo um posicionamento crítico diante daquilo que havia sido experienciado.

Apresentei assim uma análise da prática vivenciada enquanto “professor”, porém

com olhos de “pesquisador”.

Esse repensar da prática avaliativa aparece ao longo de todo

processo de organizar as tramas que culmiram com a elaboração desse texto. Meu

descrédito inicial com a utilização da prova em fases revela mais que um

“descontentamento” com o instrumento por si só, mas uma perspectiva de avaliação

limitada a uma vertente puramente “de rendimento”. O aparente fracasso com a

prova em fases e a busca por razões que justificassem tal fracasso levou-me a

repensar o modo como eu estava avaliando os estudantes.

O “apostar todas as fichas” na prova em fases enquanto instrumento

que promoveria a “salvação” da avaliação esbarrou na minha própria concepção de

avaliação. Para mim, “caem como uma luva” as palavras de Barlow (2006, p. 165):

“a ‘virtude’ formativa não está no instrumento, mas sim, se assim se pode dizer, no

uso que dele fazemos, na utilização das informações produzidas graças a ele”.

Efetivamente, não posso dizer que fiz o “melhor” uso possível da prova em fases

naquele momento, porém enxergo um enorme aprendizado graças às informações a

partir dela produzidas.

Por que os estudantes não “compraram a ideia”? Ora, a própria

resistência ao novo pode ter sido uma das razões. Num modelo de escola calcado

numa função certificadora de avaliação, os estudantes naturalmente acabam por

“ajustar-se” àquela que se mostra como a sequência “natural” das coisas: ao fim de

uma sequência de ensino, o professor aplica uma prova que lhe permite verificar

quais competências foram atingidas, informação essa quantificada por meio de uma

nota, informada e selada como fim de uma etapa de trabalho.

A utilização da prova em fases colocou “em xeque” esse modelo de

avaliação na qual os estudantes já estavam moldados. Em primeiro lugar, porque a

137

prova já era conhecida. Assim como eles sentiam-se desconfortáveis com esse fato,

pois não sabiam bem como estudar para uma prova que já conheciam, eu acabava

por orientar minhas aulas com vistas a “prepará-los” para resolver a prova.

A possibilidade de fazer e refazer as questões da prova quantas

vezes fossem necessárias, oportunidade genuína quando se fala em feedback num

contexto de avaliação formativa, mostrou-se bastante limitada naquele momento.

Por um lado, a “releitura” das questões da prova, propiciada por meio da análise da

produção escrita dos estudantes, mostrou que os questionamentos que eu havia

apresentado ao lado de suas resoluções eram bastante limitados, e em pouco

contribuíram na direção de possibilitar aos estudantes reconhecer e corrigir seus

erros. O aprimoramento dessa “arte de fazer perguntas” deve ser um exercício

constante na prática do professor que busca tornar a avaliação uma oportunidade de

aprendizagem aos seus estudantes.

Por outro lado, a escolha das questões que compuseram a prova

dificultou a elaboração de questionamentos que levassem os estudantes a refletir a

respeito de suas resoluções. Um olhar mais cuidadoso mostrou que uma minoria

delas apresenta características de “bons” problemas de avaliação. Desse modo,

muitas vezes dificultavam, ou mesmo limitavam, as possibilidades de intervenção

por meio de questionamentos. Praticamente envolviam estratégias e procedimentos

limitados à memorização e reprodução de algoritmos vistos em aula, tolhendo

qualquer possibilidade dos estudantes mostrarem-se como sujeitos ativos de seus

processos de aprendizagem.

Além disso, a própria imposição de um contrato de trabalho no que

concerne à utilização do instrumento de avaliação contribuiu para o sentimento de

“fracasso”. Não houve nenhum tipo de negociação com os estudantes no sentido de

combinar procedimentos para a realização da prova em fases. As regras vieram

prontas e, enquanto professor, não me permiti alterá-las mesmo tendo percebido

que as coisas não estavam “andando bem”.

O estabelecimento de um contrato de avaliação não significa que o

professor ficará simplesmente à mercê da vontade dos estudantes. Implica, sim, em

explicitar as “regras do jogo”, nas palavras de Hadji (1994). A simples informação de

que as questões não seriam corrigidas ao fim da terceira etapa (no sentido de

apontar quais estavam “certas” e quais estavam “erradas”) possivelmente teria

138

evitado uma série de momentos de “stress” sentidos ao longo da prova. As próprias

dificuldades que senti para corrigir as provas poderiam ter sido amenizadas, se os

estudantes tivessem clareza da importância de não alterar suas resoluções fora do

espaço em branco da prova, como havia sido “informado” na primeira fase da prova.

Além disso, a clareza dos critérios de avaliação adotados poderia ser uma “dose” de

motivação para que os estudantes buscassem refletir a respeito dos

questionamentos ao longo de suas resoluções.

Afinal, o que eu teria feito diferente? Bem, não só teria, como já o fiz

(inclusive por mais de uma vez). Passada a “frustração” com a proposta

implementada junto ao segundo ano do curso Técnico, “aventurei-me” a uma vez

mais utilizar a prova em fases no primeiro semestre de 2011, agora em uma turma

de Cálculo Diferencial e Integral I do curso de Tecnologia em Processos Químicos

da UTFPR, e outra vez mais com turma da mesma disciplina no segundo semestre

de 2011, no curso de Licenciatura em Química.

Em relação à proposta “piloto” descrita e analisada, algumas opções

mostraram-se bastante “frutíferas” nas novas experiências:

• a organização da prova, no sentido de incluir questões que

mobilizem diferentes níveis de competências propostos por De

Lange (1999) e Shannon (1999), que possibilitem aos estudantes

demonstrar aquilo que sabem, que possam ser resolvidas por meio

de diferentes estratégias, e que atendam às características

apontadas por Van Den Heuvel-Panhuizen (1996) para “bons”

problemas de avaliação;

• a apresentação de questionamentos ao lado das resoluções ao

final de cada uma das fases da prova, no sentido de oportunizar ao

estudante um feedback mais frequente de sua produção nas

questões;

• o informe da nota parcial atingida pelo estudante ao final de

cada fase da prova. Embora se trate ainda de uma informação

quantificada, é essa nota que ainda “motiva” o estudante no contexto

escolar;

• uma efetiva utlização das informações provenientes de cada

fase da prova no sentido de repensar e adaptar o encaminhamento

139

das minhas aulas;

• uma busca constante em “gerir” os erros encontrados nas

resoluções, no sentido de elencar possíveis razões que lhe deram

origem, e buscando explorá-las ao longo das aulas, mas também

procurando inferir aquilo que revelavam dos conhecimentos dos

estudantes.

Não se pode ignorar, porém, que a experiência “piloto” vivenciada

tenha certa “pureza”, na medida em que a prova foi constituída por questões usuais,

possivelmente que muitos outros professores escolheriam para compor uma prova, e

foi utilizada em uma sala de aula usual, a partir do encaminhamento usual das aulas

de muitos professores: exposição dos conteúdos, seguida da resolução de

exercícios e de uma prova. Desse modo, expõe uma experiência que facilmente

pode ser reconhecida por qualquer professor “usual” e certamente instigar pelo

menos alguns deles a refletir acerca de suas próprias práticas avaliativas.

Ao discutir as várias dimensões da avaliação escolar, Barlow (2006,

p. 126) aponta que as inúmeras características parecem dilacerá-la (a avaliação) em

apelos muitas vezes contraditórios, chegando muitas vezes a serem paradoxais.

Lembra-nos, porém, que a busca pelo equilíbrio entre os diferentes eixos de tensão

é que assegura o dinamismo no sistema. Conclui dizendo que, aquele que “imagina

ter descoberto o modo de emprego definitivo, deixa de ser criativo”.

Na busca desse “equilíbrio” entre a avaliação “ideal” e a avaliação

“real”, percebo que cada nova experiência de utilização da prova em fases mostra-se

um novo aprendizado, e novos elementos surgem no sentido de aprimorar não só o

instrumento, mas também minhas próprias práticas pedagógicas. E mostram

também a inexistência de um modo único de avaliar, e muito menos a existência de

um modelo “perfeito” para fazê-lo.

140

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao contrário daquilo que vivenciei ao longo da graduação e mesmo

do meu projeto de mestrado, ao iniciar a investigação que deu origem a esta tese de

doutorado, parti sem um caminho objetivamente delineado, porém com a expectativa

de que, de algum modo, ao final dela considerar-me-ia mais próximo de ser um

“educador matemático”. Pois bem, o trajeto foi longo e permeado por inquietações,

dúvidas, questionamentos, decepções, mas também por muitos aprendizados.

O ato de avaliar passou a ter para mim outros sentidos, além

daquele com o qual minhas experiências estavam habituadas. Pensar a avaliação

não só em sua função certificadora, mas também em suas perspectivas orientadora

e reguladora requereu ir além de “verificar” se os estudantes dominavam certo

conhecimento para buscar alternativas com vistas a guiá-los constantemente em

seus processos de aprendizagem.

Como membro do GEPEMA, senti-me a cada encontro desafiado a

“quebrar tabus” e levar para minha prática pedagógica as ideias que eram debatidas.

Repensar a avaliação numa perspectiva de prática de investigação e oportunidade

de aprendizagem dependeu de uma mudança na própria concepção da matemática

como ciência pronta e acabada para uma matemática dinâmica que reflete

processos de organização da realidade.

Acredito ser hoje um “melhor” professor, que entende o

conhecimento como algo elaborado por meio de interações sociais e das relações

que os estudantes estabelecem entre os objetos da Matemática e seus cotidianos,

entre eles e outras disciplinas e diferentes contextos. Vejo-me como um professor

que deixou

de se pautar na ideia de avaliação como um conjunto formado por provas e/ou trabalhos, usados apenas para medir os resultados do rendimento escolar, para transformá-los em instrumentos em favor da aprendizagem, que fornecem pistas sobre o processo de matematizar dos estudantes e as intervenções necessárias (MENDES; TREVISAN; BURIASCO, 2012, p. 9).

Ao longo das aulas, tenho buscado aproximar-me de uma

perspectiva de trabalho que busca integrar as atividades de ensino e de avaliação, e

141

na qual os estudantes são tomados como participantes ativos do processo

educacional.

A respeito da prova escrita... bem, não atingi um “estado de espírito”

que permita libertar-me desse instrumento o suficiente para que possa dispensá-lo

de minhas aulas. Ao contrário, por estar consciente de suas limitações, tenho me

empenhado em buscar suas potencialidades que os estudos em avaliação

permitiram-me enxergar. Sem a pretensão de esgotá-las, listo algumas das práticas

avaliativas que hoje tenho adotado em minhas aulas nas diferentes disciplinas que

tenho ministrado nos cursos técnicos e superiores da UTFPR nesses últimos

semestres, e que refletem uma “nova” concepção de avaliação:

• reelaboração de propostas para utilização da prova em fases,

conforme já descrito anteriormente;

• substituição das consagradas “listas de exercícios”,

frequentemente presentes em disciplinas matemáticas dos cursos

superiores, por tarefas de investigação que envolvam problemas

flexíveis, elásticos e que possam ser resolvidas por diferentes

caminhos. A proposição de tarefas individualizadas tem contribuído

para inviabilizar o “rito” de cópia de resoluções de listas de

exercícios tão impregnada no mundo universitário;

• eliminação das tradicionais “provas de recuperação” e “exames

finais” por propostas de tarefas individualizadas e pulverizadas ao

longo do curso, em função das dificuldades apresentadas nas

provas escritas. Algumas vezes essas tarefas funcionam como uma

segunda, terceira, quarta,... fase da prova escrita inicial, na qual, por

meio de questionamentos, os estudantes são instigados a refazer e

aprimorar suas soluções anteriores;

• busca constante por oferecer aos estudantes um genuíno

feedback dos seus trabalhos, instigando-os a adotarem uma postura

positiva frente aos seus erros, questionando-os e apresentando

pistas de orientação;

• explicitação dos critérios de avaliação de uma dada tarefa antes

do seu início, buscando constantemente corresponsabilizar os

estudantes em seu processo avaliativo;

142

• utilização de outros instrumentos de avaliação que, combinados

com a prova escrita, possibilitam-me “recolher” informações dos

processos de aprendizagem dos estudantes, com vistas a preparar,

orientar, aperfeiçoar suas ações, e ao mesmo tempo repensar minha

própria prática pedagógica. Incluem-se aqui: diários de aula, projetos

computacionais, mapas conceituais, tarefas de investigação, tarefas

de modelagem matemática, seminários.

A adoção de outras práticas avaliativas foi (e continua ainda) um

grande desafio para mim, assim como tem sido para meus estudantes, já que muitas

vezes entram em conflito com tradições pedagógicas já instituídas, chegando

mesmo a ser vista como “ameaça” aos modelos de universidade, de aula, de

professor e de estudante tradicionalmente produzidos.

Por mais simples que possam parecer essas ações elencadas, a

cada dia percebo o quão distante delas estão muitos professores com os quais

convivo no meu dia a dia. Os “mitos” e “ritos” escancarados por Barlow (2006)

mostram-se com frequência presentes no contexto educacional, e impedem que

esses professores vislumbrem essas ações como possibilidades efetivas de

reorientar sua própria prática pedagógica.

No que diz respeito às possíveis influências dessas mudanças nos

processos de aprendizagem dos estudantes, alguns resultados observados são

ainda bastante “empíricos” e indicam a necessidade de novas pesquisas. Em

especial, experiências que envolvam a efetiva utilização de diferentes instrumentos

de avaliação no contexto do Ensino Superior nas disciplinas da área de Matemática

são bastante escassas, o que torna essa uma área bastante promissora para

pesquisas futuras.

Atrelado a isso, apontamos nosso interesse em aprofundar os

estudos buscando na literatura autores que tratam da investigação a respeito da

própria prática. Destacamos que essa necessidade surge a partir do

desenvolvimento do próprio trabalho, não sendo uma meta tomada inicialmente a

ele.

Não foi possível explorar neste texto tudo que a experiência com a

prova em fases possibilitaria interpretar. Cada novo leitor atento elencaria pelo

menos um outro olhar segundo seus próprios “óculos”, e certamente muitas outras

143

questões de pesquisa podem dela emergir. Arrisco-me (sinto estar arriscando-me

demais desde o início deste texto...) a antecipar que não tenho pretensões em

utilizar como objeto de novas pesquisas os protocolos oriundos dessa experiência.

Correria o risco, numa ânsia por buscar novas interpretações, chegar a conclusões

deslocadas de uma efetiva “realidade educacional” (afinal, quase três anos

passaram-se entre a aplicação do instrumento e o “amadurecimento” necessário à

conclusão desta tese). Ao contrário disso, entendo que as ações em andamento na

UTFPR oportunizarão a definição de “novos” objetos e a constituição de “novos” e

mais “robustos” protocolos de pesquisa.

Sinto-me satisfeito por ter interpretado tudo o que se mostrou

possível até esse momento e estar constituindo-me um professor investigador da

própria prática, possibilitando assim partir em busca de novos horizontes.

144

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150

APÊNDICES

151

APÊNDICE A - Plano de ensino da disciplina de Matemática

152

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Apucarana

Departamento de Ensino e Pesquisa COTEM - Coordenação Curso Técnico Médio

Curso de Educação Profissional de Nível Médio-Integrado: Técnico em Vestuário

Código da Unidade

Curricular:

MA22A

Plano de Ensino Válido a partir de: 1º semestre 2010 Revisão:

Unidade Curricular Matemática II

Curso de Educação Profissional Técnica de Nível Médio-Integrado: Técnico em Vestuário

Ano 2º

Carga horária

Carga horária da Unidade Curricular prevista no projeto do curso 96 Horas

Número de horas/aula de 50 minutos equivalente = (x horas x 1,2) 116 H/A

Unidades Curriculares relacionadas

Química II, Física II

Competências gerais pretendidas com a Unidade Curricular

Aprofundar os saberes Matemáticos, com procedimentos científicos pertinentes aos seus objetos de estudo, com metas formativas particulares, até mesmo com tratamentos didáticos específicos, aos processos de Design de Moda.

Bases Tecnológicas

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Arcos Trigonométricos – Funções Circulares – Relações Trigonométricas Fundamentais – Equações Trigonométricas – Sequências: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Fundamentação Legal Lei nº 9394, de 20/12/1996; Portaria do MEC nº 1005, de 10/09/1997. - Parecer CNE/CEB nº 17/97, de 03/12/1997. - Decreto nº 5154, de 23/07/2004. - Resolução CNE/CEB nº 04/99, de 22/12/1999. - Parecer nº 16, de 05/12/1999. - Parecer CNE/CEB nº 39/04, de 08/12/2004. - Resolução CNE/CEB nº 1, de 03/02/2005. - Resolução CEB nº 3, de 26/06/1998. - Parecer CNE/CEB 15/98 de junho de 1998. - Resolução COEPP nº 65/06, de 22/09/2006, aprova a Abertura do Curso de Educação Profissional Técnica de Nível Médio-Integrado: Técnico em Industrialização do Vestuário – Câmpus Apucarana.

153

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Apucarana Departamento de Ensino e Pesquisa

COTEM - Coordenação Curso Técnico Médio Curso de Educação Profissional de Nível Médio-Integrado: Técnico

em Vestuário

Código da Unidade Curricular:

MA21A

Plano de Ensino Válido a partir de: 1º semestre 2010 Revisão:

Competências Habilidades Bases Tecnológicas Metodologia

NA TE RD FA

Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões, etc.). Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos, baseado na trigonometria.

Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades. Selecionar estratégias de resolução de problemas. Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho. Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades. Interpretar e utilizar os conceitos de trigonometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes para situações do cotidiano. Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento.

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Arcos Trigonométricos.

30 1, 4, 5, 7,10,

14

4, 6, 7, 8, 9 1,2,6,7,8,9

Relações Trigonométricas Fundamentais. Equações Trigonométricas.

20 1, 4, 5, 7, 10,

14

4, 6, 7, 8, 9 1,2,6,7,8,9

Funções Circulares. 30 1, 4, 5, 7,

10, 14

4, 6, 7, 8, 9 1,2,6,7,8,9

Sequências: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

26 1, 4, 5, 7,

10, 14

4, 6, 7, 8, 9 1,2,6,7,8,9

Legenda (apresentar todas as siglas e abreviaturas utilizadas no Plano de Ensino)

NA – Número de Aulas TE – Técnicas de Ensino RD – Recursos Didáticos FA – Formas de Avaliação

TE – Técnicas de Ensino

1. Expositiva-dialogada / 2. Técnica de laboratório / 3. Técnica do estudo dirigido / 4. Técnica de trabalho em pequenos grupos / 5. Pesquisa / 6. Dramatização / 7. Projeto / 8. Debate / 9. Estudo de caso / 10. Seminário / 11. Painel integrado / 12. Visitas técnicas / 13. Brainstorming / 14. Outros: APS – Atividade Prática Supervisionada.

RD – Recursos Didáticos

1. Transparências / 2. Slides / 3. Videocassete / 4. Computador / 5. Mapas/catálogos / 6. Laboratório/oficina / 7. Impressos (apostila) / 8. Quadro de giz / 9. Outros: Diário de aula

FA – Formas de Avaliação

1. Prova objetiva / 2. Prova discursiva / 3. Prova oral / 4. Prova prática / 5. Palestra / 6. Projeto / 7. Relatório / 8. Seminário / 9. Outros: Diário de aula.

Referências Básicas (de acordo com a NBR-6023) PAIVA, Manoel. Matemática. Volume Único. 2a Edição. São Paulo, Moderna. 2004.

GENTIL, N. et al. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo, Ática, 1998.

MATEMÁTICA: construção e significado. Volume 1. São Paulo: Moderna, 2008.

Referências Complementares (de acordo com a NBR-6023) FACCHINI, Walter. Matemática: para a escola de hoje. Volume Único. São Paulo, FTD, 2006.

IEZZI, Gelson. et al. Fundamentos da Matemática Elementar. Volumes 3 e 4. São Paulo, Atual, 2003.

PACCOLA, H. e BIANCHINI, E. Curso de Matemática. Volume Único. 3a Edição. São Paulo, Moderna. 2003.

154

APÊNDICE B - Termo de consentimento livre e esclarecido

155

T E R M O D E

CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Tendo em vista a necessidade de coleta de informações para o desenvolvimento da tese

de doutorado no programa em Ensino de Ciências e Educação Matemática da

Universidade Estadual de Londrina, Londrina/PR, sob responsabilidade do Prof. André

Luis Trevisan, declaro que consinto que o mesmo utilize parcial ou integralmente os

registros escritos de meu(minha) filho(a)

........................................................................................................................

que constam nas provas de matemática, para fins de pesquisa, podendo divulgá-las em

publicações, congressos e eventos da área com a condição de que ele(a) seja citado(a)

apenas como participante da pesquisa, garantido o anonimato.

Além disso, comunico que possuo o direito legal de conferir tal permissão.

Declaro ainda que fui devidamente informado(a) e esclarecido(a) quanto à

investigação que será desenvolvida.

, /05/2010.

Nome:...............................................................................................................

Identidade no.: ............................................

ASS.:___________________________________________

156

APÊNDICE C - Prova aplicada

(retirados espaços em branco para resolução)

157

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Apucarana

Departamento de Ensino e Pesquisa COTEM - Coordenação Curso Técnico Médio

Curso de Educação Profissional de Nível Médio-Integrado: Técnico em Vestuário

Código da Unidade

Curricular:

MA22A Matemática II

Aluno(a):

Professor: André Luis Trevisan

PROVA SEMESTRAL – Assunto: Trigonometria

Instruções:

Esta prova é composta por 28 questões que contemplam todo o conteúdo a ser trabalhado ao longo do 1º semestre desta disciplina. Será desenvolvida em SEIS etapas. VOCÊ é quem decide quais questões está apto a resolver em cada etapa, podendo refazê-las quantas vezes for necessário. Ao final deste período, todo conteúdo necessário à resolução das questões já terá sido trabalhado em sala. Para cada questão resolvida corretamente, você tem um acréscimo de 0,5 pontos à sua nota de prova. A primeira correção acontecerá ao fim da TERCEIRA etapa, e será atribuída uma nota, que corresponderá a sua nota de provas no 1º bimestre. Os pontos acrescentados da QUARTA até a SEXTA etapa corresponderão à nota do 2º bimestre. Se ocorrer de sua nota final exceder 10,0 pontos em algum dos bimestres, os pontos excedentes serão computados no outro.

Esta é uma prova individual e SEM consulta, sendo permitido o uso de calculadora. Caso necessite de rascunho, o mesmo será fornecido pelo professor e deverá ser entregue junto com a prova. É proibido fazer qualquer tipo de anotação a respeito das questões existentes nesta prova. Todas as questões DEVEM ser resolvidas À TINTA, acompanhadas de cálculos que justifiquem as respostas a cada uma delas. Bom trabalho!!!

Observação: Em casos de aproximação, utilize DUAS casas decimais.

Formulário:

Relação fundamental: 1xcosxsen 22 =+

Soma e subtração de arcos:

cos(x)sen(y)cos(y)sen(x)y)sen(x ±=±

sen(y)sen(x)cos(y)cos(x)y)cos(x m=±

tg(y)tg(x)1

tg(y)tg(x)y)tg(x

m

±=±

30° 45° 60° sen

2

1

2

2

2

3

cos

2

3

2

2

2

1

tg

3

3

1 3

158

1. Usando as razões trigonométricas pode-se

calcular distâncias e a altura de edifícios sem precisar

subir neles. Para isso, uma pessoa de 1,62 m de altura

se posiciona a certa distância do prédio e vê o seu topo

a um ângulo de 28°.

a) Usando as medidas que constam no desenho, qual é

a altura aproximada do edifício?

b) A que distância essa pessoa encontra-se do prédio?

2. Dado 13

12=senx , com ππ ≤≤ x

2, determine o valor da tgx .

3. Uma loja aluga carros a R$ 80,00 de taxa fixa mais R$ 2,00 para cada quilômetro rodado.

a) Calcule o aluguel do carro para uma rodagem de 67 km.

b) Quantos quilômetros foram rodados, se o cliente pagou R$ 190,00?

c) O valor do aluguel é em função da quantidade de horas em que o cliente permanece com o

carro? Se sim, escreva a função.

d) O valor do aluguel é em função da quantidade de quilômetros rodados pelo cliente? Se sim,

escreva a função.

4. Considere a função 1cos3)( += xxf .

a) Calcule o valor da função para os seguintes arcos: 0, 4

π,

2

π, π ,

2

3π, π2 e π3 .

b) Esboce seu gráfico

c) Determine seu conjunto-imagem.

5. Determine as medidas de x e y indicadas na figura.

6. Determine quanto vale:

a) sec 30°, cotg 60° e cossec 0º.

b) sec4

17π, cotg

4

5π e cossec 60°.

7. Como resultado do aquecimento da Terra algumas geleiras estão derretendo. Doze anos

depois do desaparecimento das geleiras, pequenas plantas chamadas líquens começam a crescer

nas pedras. Cada líquen cresce em forma mais ou menos circular. A relação entre o diâmetro deste

círculo e a idade do líquen pode ser calculada, aproximadamente, através da fórmula:

28°

24 m

1,62 m

24º

56º

5

y

x

159

127 −×= td para 12≥t , onde d representa o diâmetro do líquen em milímetros, e t

representa o número de anos passados depois do desaparecimento das geleiras.

a) Aplicando a fórmula, calcule o diâmetro do líquen 16 anos depois do derretimento do gelo.

b) Ana mediu o diâmetro de alguns líquens e encontrou 42 milímetros. Há quantos anos o gelo

desapareceu nessa área? Mostre os seus cálculos.

8. Uma antena de 15 m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo formado por

cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de cabo de aço foram usados,

aproximadamente, para prender essa antena?

9. Determine:

c) a medida do segmento CD

d) b) o valor de cos CAB

10. Obtenha a(s) solução(ões) da equação trigonométrica 017cos6 2 =−− senxx para

ox 3600 <≤ .

11. Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um

aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos

ângulos, indicadas na figura, e a medida do segmento BC = 5 m. Apresente

como resposta o valor que indica, a altura da torre, em metros.

12. Expresse:

a) rad3

π em graus. b) rad

4

3π em graus.

c) 120° em radianos d) 150° em radianos

13. Dados 3

2xsen = e

3

5xcos

−= calcule 2xsen .

A

BDC 4

8

160

14. Determine o(s) valor(es) de x tal(is) que:

a) 2

13600 −=°<≤° senxex b)

2

2cos20 −=<≤ xeπx

15. Use os valores notáveis do seno e cosseno para calcular:

a) 6

5cos

π b) 3

2cos

π c) °240cos

d) 4

5cos

π e) °315cos f) °330cos

16. Por motivos de saúde, as pessoas deveriam limitar seus esforços, por exemplo, durante as

atividades esportivas, a fim de não excederem uma determinada frequência de batimentos cardíacos.

Durante anos, a relação entre a frequência cardíaca máxima recomendada e a idade da pessoa foi

descrita pela seguinte fórmula:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 220 – idade

Pesquisas recentes mostraram que esta fórmula deveria ser um pouco modificada. A nova fórmula é

a seguinte:

Frequência cardíaca máxima recomendada = 208 – (0,7 × idade)

Um artigo extraído de um jornal afirmou: “Um dos resultados decorrentes da utilização da nova

fórmula em vez da antiga é que o número máximo recomendado de batimentos cardíacos por minuto

para as pessoas jovens diminui um pouco e para as pessoas idosas aumenta um pouco”.

Com a introdução da nova fórmula, a partir de que idade a frequência cardíaca máxima aumenta em

relação à fórmula antiga? Mostre como você resolveu.

17. Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica. Esses produtos

apresentam épocas de safra e épocas de entressafra. Suponhamos que o preço médio de venda da

saca de feijão do produtor ao atacadista, numa determinada região, possa ser representado função

⋅⋅+=

61030)(

πxsenxp , sendo p o preço médio da saca de 60 kg (reais), e x o mês do ano.

a) Qual o valor máximo obtido com a venda de uma saca de feijão?

b) Em que mês foi obtido esse valor?

c) Qual foi o pior valor da saca de feijão?

d) Qual é o conjunto-imagem desta função?

161

18. Determine o conjunto verdade das equações, para ox 3600 <≤ :

a) cos x = 2 b) 33

xtg = c) tg x + 1 = 0 d) 03x2tg =−

19. Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na

figura ao lado, sabe-se que CD = 2BC e que a distância de D a E

é 12 m. Calcule a distância de A a C, em metros.

20. Se um arco mede 3780º, qual é:

a) Sua 1ª determinação positiva?

b) Sua medida em radianos?

21. Na figura ao lado, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a

distância AB é de 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, ao

norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir desses dados,

julgue as afirmativas a seguir, dizendo se são verdadeiras ou falsas,

justificando cada resposta:

a) AC = 10 km. b) AD = 2,5 km.

c) BD = 35 km. d) O ângulo BÂD mede 60o.

e) a velocidade média do barco é de 15 km/h.

22. Uma pessoa, na margem de um rio, vê o topo de uma

árvore na outra margem sob um ângulo de 40° com a

horizontal, a uma distância de 3,8 m da árvore. Quando

recua, vê o topo da mesma árvore sob um ângulo de 20°.

Desprezando a altura do observador, responda:

a) Qual é a altura da árvore ?

b) Quantos metros o observador recuou?

23. Dado 2

1xsen −= , com x ∈ 3.° quadrante, determine o valor de sec x.

60o

30

E

DC

B

A o

30

D

C

BA

o

162

24. Seja a expressão ( ) ( ) ( )x gcotx2 senxf −= , no conjunto dos reais. Encontre o valor de

6

5πf .

25. A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é 4π rad,

determine as medidas dos arcos AN, AP e AQ, em radianos.

26. Uma padaria vende em média 200 baguetes por dia. A receita que o padeiro segue usa 0,45

kg de farinha de trigo por baguete. Para formar um estoque de farinha que dure 15 dias, quantas

sacas de 60 kg devem ser compradas?

27. Forneça o valor de:

a) π3cos

b) 2

3cos

4cos3

π−

π⋅

c) 2

9sen

49

sen2π

−π

⋅

28. Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de raio 8 cm por um

ângulo central AÔB de 120°.

A

MN

P Q

163

APÊNDICE D - Grade de correção das questões da prova

164

Questão Critérios para correção Valor

1

A

Reconheceu a razão seno 2

Utilizou corretamente a razão seno 1

Acrescentou a altura da pessoa 2

Apresentou resposta com unidades 1

B Reconheceu a razão cosseno 2

Utilizou corretamente a razão cosseno 1

Apresentou resposta com unidades 1

2

Identificou a relação fundamental 3

Aplicou corretamente a relação fundamental 3

Identificou corretamente o sinal do cosseno do arco 1

Identificou a tangente como razão entre seno e cosseno 2

Aplicou corretamente a razão para obter a tangente 1

3

A Identificou a relação funcional entre as variáveis 2

Efetuou os cálculos corretamente (x e +) 1

Apresentou resposta com unidades 1

B Identificou a relação funcional entre as variáveis 1

Efetuou os cálculos corretamente (- e :) 1

Apresentou resposta com unidades 1 C Respondeu a pergunta 1

D Identificou a existência da função 1

Expressou corretamente a função 1

4

A Identificou os cossenos dos arcos 3

Obteve o valor correto da função 3

B Marcou corretamente os pontos 1

Ligou os pontos corretamente 1

C Identificou os pontos máximo e mínimo do intervalo 1

Usou a notação correta para expressar a imagem 1

5

Reconheceu a razão seno 3

Utilizou corretamente a razão seno 1

Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente 1

Reconheceu a razão cosseno 2

Utilizou corretamente a razão cosseno 1

6

Sabe o significado de secante 1

Sabe o significado de cossecante 1

Sabe o significado de cotangente 1

Efetuou corretamente o cálculo de sec30 1

Efetuou corretamente o cálculo de cotg60 1

Concluiu que não existe cossec0 1

Reduz os arcos ao primeiro quadrante 1

Efetuou corretamente o cálculo de sec(17pi/4) 1

Efetuou corretamente o cálculo de cotg(5pi/4) 1 Efetuou corretamente o cálculo de cossec60 1

165

7

A Reconhece o valor 16 como tempo 2

Efetua os cálculos necessários corretamente 2

Apresentou resposta com unidades 1

B Reconhece o valor 42 como diâmetro 2

Efetua os cálculos necessários corretamente 2

Apresentou resposta com unidades 1

8

Reconheceu a razão cosseno 3

Utilizou corretamente a razão cosseno 3

Multiplicou o valor encontrado por 4 3

Apresentou resposta com unidades 1

9

Identificou as medidas dos ângulos 2

Estratégia correta para encontrar AC 2

Medida correta de AC 1

Estratégia correta para encontrar DC 2

Obteve a medida DC 1

Calculou corretamente o valor de cosBAC 2

10

Identificou a necessidade de utilizar a relação fundamental 2

Efetuou corretamente a substituição pela rel. fundamental 2

Buscou resolver a equação do 2º grau 2

Apresentou solução da eq do 2º grau 2

Identificou os arcos 1

Apresentou o conjunto solução corretamente 1

11

Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente obtendo a medida de AB 2

Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente obtendo a medida de DB 2

Acrescentou DB com BC 1

Apresentou resposta com unidades 1

12 A

Apresenta conhecimento da relação (pi) rad - 180 graus 4

Converteu corretamente as unidades no item A 1

Converteu corretamente as unidades no item B 1

Converteu corretamente as unidades no item C 1

Converteu corretamente as unidades no item D 1

Apresentou a resposta na forma irredutível no item C 1

Apresentou a resposta na forma irredutível no item D 1

13 Obteve o arco cujo seno e cosseno tem o valor dado 5

Usou informação do quadrante para calcular o arco correto 3

Obteve o sen2x 2

14

A

Efetuou corretamente redução ao 1º quadrante 1

Reconheceu corretamente os quadrantes 1

Identificou os arcos 2

Apresentou o conjunto solução da equação 1

B Efetuou corretamente redução ao 1º quadrante 1

Reconheceu corretamente os quadrantes 1

166

Identificou os arcos 2

Apresentou o conjunto solução da equação 1

15 Converteu arcos de radianos para graus, nos itens A e B 1

Identificou os simétricos 6

Apresentou os sinais corretos 3

16

Reconhece que se deve obter um valor tal que as expressões sejam iguais 3

Sabe aplicar a fórmula 1 2

Sabe aplicar a fórmula 2 2

Identifica o valor solicitado 2

Apresentou resposta com unidades 1

17

A Reconhece que no valor máximo o seno vale 1 1

Calcula corretamente o valor máximo 1

Apresentou resposta com unidades 1

B Reconhece que o argumento da função é tal que seu seno vale 1 1

Obtém o valor correto de x 1

Apresentou resposta com unidades 1

C Reconhece que no valor mínimo o seno vale -1 1

Calcula corretamente o valor mínimo 1

Apresentou resposta com unidades 1 D Usou a notação correta para expressar a imagem 1

18

Apresentou conjunto solução vazio no item A 2

Efetuou corretamente redução ao 1º quadrante nos itens B,C,D 3

Transformou as equações C e D em equações imediatas 2

Identificou os arcos e apresentou conjunto solução nos itens B,C e D 3

19

Reconheceu a razão cosseno 2

Utilizou corretamente a razão cosseno 2

Obteve o valor de BC usando a informação CD=2BC 1

Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente 2

Apresentou resposta com unidades 1

20

A Identificou o número de voltas completas 2

Obteve o resto 2

Identificou o resto como arco da 1ª determinação positiva 2

B Converteu corretamente as unidades 2

Apresentou a resposta na forma irredutível 2

21

Obteve os ângulos 1

Reconheceu e utilizou corretamente a razão para calcular AC 1

Reconheceu e utilizou corretamente a razão para calcular AD 1

Reconheceu e utilizou corretamente a razão para calcular BD 1

Identificou a necessidade de obter CD para calcular a velocidade 1

Julgou corretamente o item A 1

Julgou corretamente o item B 1

Julgou corretamente o item C 1

Julgou corretamente o item D 1

167

Julgou corretamente o item E 1

22

A Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente 1

Apresentou resposta com unidades 1

B

Reconheceu a razão tangente 2

Utilizou corretamente a razão tangente 1

Subtraiu as distâncias 2

Apresentou resposta com unidades 1

23

Identificou a relação fundamental 3

Aplicou corretamente a relação fundamental 3

Identificou corretamente o sinal do cosseno do arco 1

Demonstrou conhecimento do conceito de secante 2

Aplicou corretamente a razão para obter a secante 1

24

Substituindo o arco em lugar de x 2

Reconhece o conceito de cotangente 1

Obtém o simétrico de 300 graus 2

Obtém o simétrico de 150 graus 2

Calcula o seno de 300 graus 1

Calcula a cotangente de 150 graus 1

Obtem o valor para a função 1

25 Identifica o arco AN 4

Identifica o arco AP 3

Identifica o arco AQ 3

26

Obtém o total de farinha em um dia 3

Obtém o total de farinha para 15 dias 3

Obtém o total de sacas para 15 dias 2

Apresentou resposta com unidades 2

27

A Reconhece o simétrico de 3pi 1

Calcula o valor correto do cosseno 1

B Conhece os cossenos dos arcos 2

Efetua corretamente a expressão 1

C Reconhece os simétricos dos arcos 2

Conhece os cossenos dos arcos 2

Efetua corretamente a expressão 1

28

Conhece a fórmula do comprimento da circunferência 3

Calcula o comprimento da circunferência 2

Reconhece 120 graus como parte da circunferência 3

Obtém a medida do arco de 120 graus 2