anÁlises e mediÇÕes espectrais usando a fft

UnB - FT – ENE

Lúcio Martins da Silva 2014-2

ANÁLISES E MEDIÇÕES ESPECTRAIS USANDO A FFT

Sumário

Fundamentos do uso da DFT no cálculo da transformada de Fourier

Efeitos do janelamento no espectro calculado com a FFT

Efeitos da amostragem do sinal no espectro calculado com FFT

Espectro de potência de um sinal

Cálculo do espectro de potência de um sinal usando a DFT

Referências bibliográficas

Fundamentos do uso da DFT no cálculo da transformada de Fourier

A transformada de Fourier de um sinal de tempo contínuo ( )x t é dada por 2( ) [ ( )] ( )F j f tX f x t x t e dtπ

∞−

−∞= = ∫ (1)

Dependendo do sinal ( )x t , a resolução analítica dessa integral pode ser muito difícil ou mesmo impossível. O sinal

( )x t pode não ter nem mesmo uma representação analítica, como geralmente ocorre com os sinais do mundo real.

Nesse caso, é preciso calcular numericamente )( fX , o que é feito usando-se apenas amostras de um segmento

)(tx . Além disso, é possível determinar )( fX somente para um número finito de frequências: ou seja, é possível

determinar somente um número finito de amostras de )( fX . A seguir serão discutidos os significados e as

consequências dessas restrições.

Uma forma teórica de tomar amostras de um sinal é a amostragem impulsional ilustrada na Figura 1. Essa

amostragem fornece um sinal amostrado )(txs que é obtido multiplicando-se o sinal original )(tx por um trem de

impulsos periódico )(tsTδ . O período, sT , desse trem de impulsos é o intervalo de amostragem1: é o

espaçamento entre amostras consecutivas tomadas de )(tx . A grandeza 1s sf T= é denominada taxa de

amostragem2, ou seja, é a quantidade de amostras que são tomadas por segundo — sua unidade de medida é

amostras por segundo (a/s)3 ou Hz. O sinal amostrado )(txs é dado matematicamente pela seguinte equação:

∑∞

−∞=

−=n

sss nTtnTxtx )()()( δ (2)

Note que )(txs preserva de )(tx somente as amostras ,2,1,0:)( K±±=nnTx s . A transformada de

Fourier de )(txs , )( fX s , pode ser obtida da seguinte forma:

[ ] ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=−∗=∆∗==k

ss

k

ssTTs fkfXffkfffXffXttxfXss

)()()()()()()()( δδF (3)

1 Em inglês, sampling period ou sampling interval. 2 Em inglês, sampling rate.

3 Em inglês, samples per second – Sa/s

Análises e medições espectrais usando a FFT 2

Laboratório de Princípios de Comunicação – 2014-2 Lúcio Martins da Silva

Figura 1 – Ilustração da amostragem impulsional de sinais: formas de onda e espectros.

Uma ilustração estilizada de )( fX s é mostrada na Figura 1. Note que )( fX s é periódico com período sf hertz.

A Figura 1 ilustra a situação em que 0)( =fX para 2|| sff ≥ — isto é, 2sfB ≤ ou, equivalentemente,

Bf s 2≥ , em que B é a largura espectral do sinal )(tx , significando que1 0)( =fX , para Bf ≥|| (4)

Com base na Figura 1 e na equação (3), pode-se escrever que )()( fXTfX ss= , para 2|| sff < , se Bf s 2≥ (5)

Ou seja, se Bf s 2≥ , é possível reconstruir )( fX a partir de )( fX s e, consequentemente, é possível também

reconstruir )(tx a partir de )(txs . Esse resultado é conhecido como teorema da amostragem2.

Alternativamente, o espectro )( fX s pode ser obtido calculando-se diretamente a transformada de Fourier

de )(txs . Usando-se as equações (1) e (2), pode-se mostrar que

∑∫∞

−∞=

−∞

∞−

− ==n

nTfjs

tfjss

senTxdtetxfXππ 22

)()()( (6)

Substituindo esse resultado na equação (5), tem-se que

∑∞

−∞=

−=

n

nTfjss

senTxTfXπ2

)()( , para 2|| sff < , se Bf s 2≥ (7)

Note que essa equação poder ser usada como base para o cálculo numérico de )( fX 3. Contudo, em geral, não é

possível se calcular um somatório infinito. Portanto, é preciso truncar o somatório na equação (7). Porém, antes de

discutir essa questão, é importante destacar dois problemas práticos relacionados com o cálculo numérico de

)( fX , decorrentes da amostragem do sinal. 1 Note que 0)( =BX . Especialmente, o sinal )(tx não pode ter um componente cossenoidal de frequência B hertz.

2 A taxa de amostragem mínima Bf s 2= requerida para se reconstruir )(tx a partir de suas amostras )(txs é denominada

taxa de Nyquist. 3 A expressão dada em (7) para )( fX é a mesma que se obtém utilizando a regra do trapézio para solucionar numericamente

(1), contudo com essa abordagem é mais difícil visualizar com clareza aspectos importantes e limitações desse cálculo numérico.

)(txs

)(tsTδ

)(tx

Instantes de amostragem

sT

t

t

t f

)( fX s

0

2sf sf

2

3 sf

2sf

−sf−

f

)( fsT∆

0 sfsf−

sf

f

)( fX

B− B0

F

)(txs

)(tsTδ

)(tx


sT

t

t

t

)(txs

)(tsTδ

)(tx


sT

tt

tt

tt f

)( fX s

0

2sf sf

2

3 sf

2sf

−sf− ff

)( fX s

0

2sf sf

2

3 sf

2sf

−sf−

f

)( fsT∆

0 sfsf−

sf

ff

)( fsT∆

0 sfsf−

sf

f

)( fX

B− B0 ff

)( fX

B− B0

FF



Figura 2 – Ilustração do fenômeno denominado aliasing ou dobramento espectral.

A equação (7) permite calcular )( fX apenas para 2|| sff < . Naturalmente, se verdadeiramente

0)( =fX para 2|| sff ≥ , então, essa limitação não é relevante. O problema maior é causado pelo fato de que,

geralmente, não se consegue que )( fX seja igual a zero para 2|| sff ≥ . A Figura 2 ilustra essa situação. Note

que, se Bf s 2< , é como se a parte de )( fX em 2sff > fosse dobrada sobre a parte em 20 sff <≤ .

Esse fenômeno é denominado aliasing ou dobramento espectral. Quando ele ocorre, a equação (5) não é mais verdadeira. Na prática, procura-se fazer com que )( fX seja relativamente muito pequeno para 2sff > , de

modo que se tenha )()( fXTfX ss≅ , para 2|| sff < . Isso pode ser conseguido aumentando-se o valor de

sf e/ou passando-se )(tx por um filtro passa-baixos, denominado filtro anti-aliasing, com uma frequência de corte

menor que 2sf e seletividade adequada.

Como mencionado anteriormente, outra questão acerca da equação (7) é o fato de ela conter um somatório

infinito, que, em geral, não será possível de ser calculado. Portanto, esse somatório precisa ser truncado e,

consequentemente, não se terá mais a igualdade da equação (7), mesmo que 0)( =fX para 2|| sff ≥ . Um

truncamento possível é considerar somente os termos correspondentes a ]1,0[ −∈ Nn . A aproximação assim

obtida para )( fX será denotada por )(ˆ fX . Portanto,

∑−

=

−=

1

0

2)()(ˆ

N

n

nTfjss

senTxTfXπ , para 2|| sff < (8)

Naturalmente, quanto maior for N mais próximo )(ˆ fX ficará do verdadeiro valor )( fX .

Uma forma conveniente de tratar o truncamento do somatório na equação (7) que originou a equação (8), é

considerá-lo como resultante do truncamento do sinal )(tx , realizado por meio da multiplicação desse sinal com

um sinal )(tw de duração finita: por exemplo, um sinal )(tw que seja igual a zero para ),0[ wTt ∉ . A escolha

aparentemente natural seria

<≤

=

−=

c.c.,0

0,12rect)(

w

w

wTt

T

Tttw (9)

Nesse contexto, o sinal )(tw é denominado sinal-janela ou, simplesmente, janela e aquele definido na equação (9)

é denominado janela retangular. Assim, seja )(txw o sinal assim definido: )()()( txtwtxw = , (10)

que será denominado sinal janelado. Escolhendo

ff

)( fX s

2sf−

0

ff

)( fX

0

sf−

2sf sfsf2−

2sf−sf−

2sf sf

Parte do espectroque será medida

Análises e medições espectrais usando a FFT

Laboratório de Princípios de Comunicação

tem-se que 0)( =sw nTx para ∉n

)(txw , será obtida uma aproximação

)(ˆ fX

Se )(tw é a janela retangular da equação

aproximação )(ˆ fX fornecida pela

)(tx definido na equação (10) é denominado janelamento e seu efeito no espectro calculado como

aproximação para )( fX será mais bem

tipos de janela diferentes da retangular.

O uso da equação (8) ou da

somatório nessas equações, embora finito,

qualquer 2|| sff < . Isto é, para cada valor de

calcular o referido somatório. Uma situação que resulta interessante é o

espaçados de

ou seja, para fkf ∆= , ∈k . Assim, usando a equação

( ) ∑−

=

=∆1

0

(ˆN

n

ws xTfkX

Definindo a sequência (ou sinal de tempo discreto)

( ) =∆ˆ fkX

O somatório nessa equação é a transformada de Fourier discreta

sequência ][nxw1. Ou seja,

( )ˆ TfkX s=∆

A importância desse resultado está no fato de que existe um

rápida (em inglês, fast Fourier transform

para calcular a DFT para certos valores de

2sffkf <∆= e Nff s=∆

1 A DFT de uma sequência ][nxw é definida como

[ ] DFT [ ] [ ]w w wX k x n x n e= =

A partir de ][kX w é possível reconstruir

[ ] [ ] , 0,1, , 1w wx n X k e n N

A rigor, se considera que a DFT fornece

][][ kNXkX ww −=− e, portanto, X

Análises e medições espectrais usando a FFT

Laboratório de Princípios de Comunicação – 2014-2

sw TNT = ,

]1,0[ −∉ N . Assim, se, na equação (7), o sinal original

ida uma aproximação )(ˆ fX dada por

∑−

=

−=

1

0

2)()

N

n

nTfjsws

senTxTπ , para 2|| sff <

equação (9), então )()( ssw nTxnTx = , para 0[∈n

fornecida pela equação (12) é idêntica aquela fornecida pela equação

é denominado janelamento e seu efeito no espectro calculado como

mais bem discutido posteriormente, inclusive com a consideração do uso de outros

tipos de janela diferentes da retangular.

ou da (12) apresenta, ainda, uma última questão a ser discutida. Geralmente, o

somatório nessas equações, embora finito, não poderá ser transformado em uma expressão analítica válida para

. Isto é, para cada valor de f , para o qual se deseje determinar

Uma situação que resulta interessante é o cálculo de X

N

ff s=∆ ,

. Assim, usando a equação (12), tem-se que

∑−

=

−−=

1

0

22)()(

N

n

nkN

j

sws

nTN

fkj

s enTxTenTs

s ππ, para

sequência (ou sinal de tempo discreto) )(][ sww nTxnx = , a equação (14) pode ser reescrita como

∑−

=

−=

1

0

2

][N

n

nkN

j

ws enxTπ

, para 2

|| Nk < , N

ff s=∆

transformada de Fourier discreta (em inglês, discrete Fourier transform

][DFT][ nxTkX wsw = , para

2|| Nk < , f =∆

A importância desse resultado está no fato de que existe um algoritmo denominado

fast Fourier transform – FFT) que reduz significativamente o esforço computacional despendido

lores de N , especialmente quando mN 2= . Consequentemente,

, pode ser calculado eficientemente utilizando-se a FFT

é definida como

1 2

0

[ ] DFT [ ] [ ]N

j k nN

w w wn

X k x n x n eπ−

−

=

= = ∑ , 1,,1,0 −= Nk K

é possível reconstruir ][nxw utilizando a DFT inversa dada por

1 2

0

1[ ] [ ] , 0,1, , 1N

j k nN

w wk

x n X k e n NN

π−

=

= = −∑ K

A rigor, se considera que a DFT fornece ][kX w para 1,,1,0 −= Nk K . Contudo, pode

]1[]1[ −=− NXX ww, ]2[]2[ −=− NXX ww

, ..., [− NX w

4

Lúcio Martins da Silva

(11)

sinal original )(tx for substituído por

(12)

]1,0 −N , e, nesse caso, a

a equação (8). O truncamento de

é denominado janelamento e seu efeito no espectro calculado como uma

discutido posteriormente, inclusive com a consideração do uso de outros

a, uma última questão a ser discutida. Geralmente, o

transformado em uma expressão analítica válida para

l se deseje determinar )(ˆ fX , será preciso

)(ˆ fX para valores de f

(13)

, para 2|| Nk < . (14)

pode ser reescrita como

. (15)

discrete Fourier transform – DFT) da

N

f s= . (16)

algoritmo denominado transformada de Fourier

FFT) que reduz significativamente o esforço computacional despendido

onsequentemente, )(ˆ fX , para

se a FFT.

1

. Contudo, pode-se verificar que

]12[]12 +=+ NXN w.



Figura 3 – Diagrama de bloco do procedimento de cálculo do espectro de um sinal usando a DFT.

Figura 4 – (a) Versão truncada e amostrada do sinal; (b) espectro calculado usando a DFT.

O diagrama de blocos conceitual mostrado na Figura 3 sintetiza como o espectro de um sinal pode ser

calculado usando-se a DFT (ou a FFT). A Figura 4 mostra ilustrações relacionadas com esse procedimento. A

qualidade de )(ˆ fkX ∆ como aproximação para )( fkX ∆ depende de alguns fatores já mencionados.

Basicamente, as imperfeições em )(ˆ fkX ∆ são causadas pelas operações de amostragem e de janelamento (ou

truncamento) do sinal original )(tx . A seguir, essas imperfeições serão discutidas e formas de minimizá-las serão

indicadas.

Na prática, o janelamento e a amostragem do sinal são realizados na ordem inversa daquela mostrada na

Figura 3. Primeiro, o sinal é amostrado e digitalizado. O janelamento é realizado no sinal digitalizado e, portanto, é

realizado por meio de software, em vez de hardware. Contudo, para fins de análise conceitual, a ordem mostrada na

Figura 3 é mais conveniente. Note que a ordem dessas duas operações não afeta o resultado final.

Efeitos do janelamento no espectro calculado com a FFT

Utilizando o esquema mostrado na Figura 3, o que se calcula (ou se mede), na realidade, são amostras da

transformada de Fourier do sinal janelado )()()( txtwtxw = — ou, mais precisamente, da versão amostrada

desse sinal, )(txws . Aplicando-se a transformada de Fourier em ambos os lados dessa igualdade, tem-se que )()()( fXfWfX w ∗= . (17)

Portanto, o espectro que se deseja medir, )( fX , será modificado pelo espectro )( fW da janela utilizada. A

Figura 5 ilustra o janelamento de um sinal senoidal e o efeito desse janelamento no domínio da frequência. A janela

)(tw mostrada é a janela de Hanning — veja Figura 6 —, mas outras janelas terão efeito similar.

Figura 5 – Ilustração do procedimento de truncamento do sinal para o cálculo do seu espectro usando a DFT.

× Amostrador)(tx )(txw

)(tw

Cálculo da FFT)(][ sww nTxnx = ][kX w

×

sT

)(ˆ fkX ∆

N

ff s=∆

2,,1,0 Nk K=

× Amostrador)(tx )(txw

)(tw

Cálculo da FFT)(][ sww nTxnx = ][kX w

×

sT

)(ˆ fkX ∆

N

ff s=∆

2,,1,0 Nk K=

f...

2sf0

amostras2N

N

ff s=∆

)( fX ws

f...

2sf0

amostras2N

N

ff s=∆

)( fX ws

(a) (b)

...

( )wx t

t

1s

s

Tf

=

amostras)(NTNT sw =

...

( )wx t

t

1s

s

Tf

=

amostras)(NTNT sw =

)(tx

t

f0

)( fW

f0

)( fX w

0f− 0ff0

)( fX

0f− 0f

× =

∗ =

)(tw

twT0

)(txw

twT0



Figura 6 – Forma de onda das janelas retangular, de Hanning, de Hamming e de Blackman.

Figura 7 – Espectro de amplitude das janelas retangular, de Hanning, de Hamming e de Blackman.

O principal efeito espectral do janelamento é o alastramento ou vazamento espectral (em inglês, spectral leakage):

cada componente espectral de )(tx se alastra afetando a medida em todas as frequências. Existe um alastramento

nas proximidades do componente devido ao lóbulo principal de )( fW e um alastramento para frequências mais

distantes devido aos lóbulos secundários de )( fW . Para frequências muito “próximas”, o alastramento causado

pelo lóbulo principal é o que mais afeta e para frequências “distantes”, o alastramento causado pelos lóbulos

secundários é que mais afeta.

A Figura 6 mostra a forma de onda de algumas janelas comumente utilizadas: retangular, Hanning,

Hamming e Blackman. Os espectros de amplitude dessas janelas são mostrados na Figura 7. As formas de onda de

um sinal senoidal de frequência igual a 6 kHz truncado por janelas com duração de 4,1 ms são mostradas na Figura

8 e os espectros de amplitude dessas formas de ondas janeladas são mostrados na Figura 9. Note que os espectros

das janelas (Figura 7) possuem um lóbulo principal que é ladeado por lóbulos secundários. Quanto maior a largura

do lóbulo principal menor será a resolução frequencial das medidas. Por outro lado, quanto maiores forem as

amplitudes dos lóbulos secundários maior será a interferência entre componentes do sinal afastados

frequencialmente. Assim, para o cálculo ou medição de espectro, quanto mais estreito for o lóbulo principal de

)( fW melhor será, bem como quanto menores forem as amplitudes dos lóbulos espectrais secundários. Contudo,

essas duas características desejáveis são conflitantes, como se pode ver na Figura 7. A janela retangular é a que

possui lóbulo espectral principal mais estreito, mas, em compensação, é a que possui lóbulos secundários mais

proeminentes. Por outro lado, entre as janelas mostradas na Figura 6, a janela de Blackman é a que possui lóbulos

espectrais secundários mais atenuados, mas é a que tem o lóbulo espectral principal mais largo. Isso torna a

escolha de uma janela para ser usada na medição do espectro de um sinal uma tarefa nada simples. De fato, não

2wT wT0 t

recthannhammblack

2wT wT0 t

recthannhammblack

wT20

wT4

wT6

wT8

wT10

wT10−

wT8−

wT6−

wT4−

wT2−

Frequência (Hz)

70−

60−

50−

40−

30−

20−

10−

0

dB

filipe

Realce



há um procedimento universal para se fazer essa escolha. Em geral, a janela de Hanning é satisfatória na maioria

dos casos. Como se pode ver na Figura 7, ela propicia uma solução de meio termo: no quesito resolução

frequencial, ela é melhor que a janela de Blackman, mas é pior que a janela retangular; no quesito vazamento

espectral, ela é pior que a janela de Blackman e melhor que a janela retangular. Assim, se a natureza do sinal é

desconhecida, uma boa estratégia é começar as medidas com a janela de Hanning.

A intensidade dos efeitos indesejáveis anteriormente citados depende da duração (ou comprimento) wT da

janela ( )w t : aumentando-se wT haverá uma compressão de )( fW — veja Figura 7 — e, portanto, mais estreito

será o lóbulo espectral principal e menor será o vazamento espectral em geral. Como ssw fNTNT == , para

Figura 8 – Formas de onda de um sinal senoidal de frequência igual a 6 kHz truncado pelas janelas retangular, de Hanning, de Hamming e de Blackman, com duração de 4,1 ms.

Figura 9 – Espectros de amplitude de um sinal senoidal de frequência igual a 6 kHz truncado

pelas janelas retangular, de Hanning, de Hamming e de Blackman, com duração de 4,1 ms.



Tabela 1 – Características das janelas.

Janela Características Aplicação

Retangular Oferece a melhor resolução de frequência, mas a pior resolução de amplitude.

Sinais transientes com duração menor que o comprimento da janela; para distinguir sinais senoidais com frequências muito próximas, mas com amplitudes quase iguais; ruído aleatório de banda larga.

Hanning Em comparação com a janela retangular, oferece pior resolução de frequência e melhor precisão nas medições de amplitude.

Uso genérico, especialmente quando não se conhece as características do sinal.

Hamming Características semelhantes às da janela de Hanning, contudo a sua taxa de decaimento dos lóbulos espectrais secundários é muito menor que a da janela de Hanning.

Blackman Oferece melhor precisão nas medições de amplitude, mas pior resolução de frequência.

Medição de amplitude de componentes senoidais isolados.

aumentar wT é necessário aumentar N e/ou diminuir sf . A primeira opção tem o inconveniente de aumentar o

número de pontos da FFT e, portanto, de aumentar o esforço computacional dos cálculos necessários. A segunda

opção tem o inconveniente de poder causar o surgimento ou a intensificação do aliasing.

Efeitos da amostragem do sinal no espectro calculado com FFT

A amostragem do sinal, requerida para se poder utilizar a FFT, causa dois inconvenientes:

restringe a medição à faixa 20 sff <≤ ;

produz o fenômeno denominado aliasing ou dobramento espectral, se o sinal não for limitado

espectralmente a faixa 20 sff <≤ .

A Figura 2 mostra uma ilustração do aliasing: quando as réplicas de )( fX 1 que formam )( fX s — veja equação

(3) — se sobrepõem parcialmente. Note que a porção do espectro de )(tx que está acima da frequência 2sf

degrada a porção contida na faixa de medição 20 sff <≤ . Uma forma prática de se obter o espectro resultante

na faixa 20 sff <≤ , é fazendo-se um dobramento do espaço espectral conforme ilustração mostrada na Figura

10. Note que componentes com frequência superior a 2sf aparecem disfarçados em outras frequências dentro

da faixa de medição 20 sff <≤ . Portanto, quando ocorre aliasing, as medições poderão indicar a presença no

sinal de componentes espectrais que realmente não existem: ou, melhor dizendo, existem, mas não têm as

frequências indicadas.

Uma forma de evitar ou minimizar o aliasing é aumentando-se a taxa de amostragem sf . Contudo, isso

gera inconvenientes, caso o número de pontos N da FFT não possa ser aumentado também. O comprimento da

janela ssw fNTNT == será reduzido, o que causará a expansão do espectro )( fW da janela e,

consequentemente, degradação das medidas (menor resolução frequencial e maior alastramento espectral). Além

disso, o espaçamento Nff s=∆ , entre amostras calculadas do espectro, aumentará.

Uma segunda forma de evitar ou minimizar o aliasing é passando o sinal por um filtro anti-aliasing: um

filtro passa-baixos com frequência de corte menor que 2sf . Essa estratégia tem a vantagem de permitir o uso de

taxas de amostragem menores e, consequentemente, medidas mais precisas, embora limitadas a uma faixa de

frequência menor.

1 Na realidade, serão réplicas de )( fX w

, a transformada de Fourier de )(txw, que é a versão janelada de )(tx .



Figura 10 – Ilustração do dobramento espectral que reproduz o efeito do aliasing na faixa de 0 Hz a 2sf .

Espectro de potência de um sinal

Para um sinal de potência )(tx , é usual definir uma grandeza )( fSx , denominada densidade espectral

de potência (DEP) de )(tx , que tem as seguintes propriedades [2]:

1. ∫∫∞

∞−−∞→== dffSdttx

TP x

T

TTx )()(

21lim

2

2. )()( fSfS xx =−

3. 0)( ≥fSx para f∀

A unidade de medida de )( fSx é W/Hz1 e )( fSx representa a quantidade de potência por unidade de largura de

banda que o sinal possui em torno da frequência f : ou seja, )( fSx descreve a distribuição da potência do sinal

ao longo da dimensão frequência.

A segunda propriedade de )( fSx , apresentada acima, permite que a potência normalizada xP de )(tx

seja calculada da seguinte forma: ∫∫∫∫

∞∞

+

+

−+

+

−

+=+=0

0

00

0

0)(2)()(2)( dffSdffSdffSdffSP xxxxx . (18)

Portanto, a grandeza assim definida

1 ∫−∞→

=T

TTx dttx

TP )(

21lim

2 é a potência média normalizada de )(tx : isto é, é a potência média que )(tx entregaria a

carga se o valor dessa carga fosse de 1 Ω. Sob essa assunção, a unidade de medida de xP é watt (W). Contudo,

considerando apenas a expressão anterior, a unidade de medida de xP é V2, se )(tx é uma tensão, ou A2, se )(tx é uma

corrente. Sob essa abordagem, a unidade de medida de )( fS x é V2/Hz ou A2/Hz.

2sf sf

2

3 sf01f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f

12

34

5 68

9

2sf sf

2

3 sf01f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f

12

34

5 68

9

2sf0

1f 2f

1

2

3

45

68

9 ++

2sf0

1f 2f

1

2

3

45

68

9 ++

2sf

sf2

3 sf0

12

3

4 56 8 9

2sf

sf2

3 sf0

12

3

4 56 8 9

Espectro

original

Dobramento

espectral

20 sf

f <≤

faixanaresultanteEspectro



>

=

<

=

0),(2

0),0(

0,0

)(~

ffS

fS

f

fS

x

xx , (19)

é a densidade espectral de potência unilateral1 do sinal )(tx , a partir da qual se pode calcular xP da seguinte

forma: ∫

∞=

0)(

~dffSP xx . (20)

Um outro tipo de espectro que se constrói para um sinal é o espectro de potência unilateral )( fxP ,

assim definido: ∫

∆+

∆−=

2

2)(

~)(

r

r

ff

ffxx dSf λλP . (21)

em que rf∆ é denominada largura de banda de resolução (em inglês, resolution bandwidth – RBW). A unidade de

medida de )( fxP é watt (W). É importante notar que não existe um único espectro de potência para um sinal:

diferentes valores de rf∆ levam a diferentes espectros de potência. Assim, é imprescindível que um espectro de

potência seja acompanhado do valor de rf∆ utilizado para obtê-lo.

A partir das equações (20) e (21), conclui-se que

∑∞

=

∆=0

)(k

xx fkP rP . (22)

Além disso, se rf∆ é pequena pode-se considerar que rfffS xx ∆≅ )()(~

P e que

∫∞

∆≅

0

)(df

f

fP x

x

r

P. (23)

O espectro de potência unilateral )( fxP é o tipo de espectro normalmente medido por um analisador de

espectro. Nesse caso, rf∆ corresponde à largura da banda passante do filtro passa-faixa usado na medição.

Quanto à potência medida, ela é, nesse caso, a potência real que o sinal entrega a impedância de entrada do

instrumento — 50 Ω é o valor mais comum dessa impedância. E, por conveniência, normalmente a unidade de

medida utilizada é o dBm.

A Figura 11 mostra espectros de potência medidos de um sinal AM com uma portadora de 980 kHz, emitido

por uma emissora de rádio. O espectro na Figura 11(a) foi medido com uma RBW de 300 Hz e aquele na Figura

11(b), com uma RBW de 10 kHz — em ambos, a escala horizontal é de 5 kHz por divisão e a frequência central é

igual a 980 kHz. Naturalmente, a primeira medição propicia uma resolução frequencial melhor. O sinal AM em

questão ocupa uma faixa espectral com largura igual, aproximadamente, a 10 kHz — veja Figura 11(a). Assim,

como o espectro mostrado na Figura 11(b) foi medido com RBW = 10 kHz, o valor de – 8,542 dBm, indicado para a

frequência de 980 kHz (frequência central), corresponde à potência total do sinal AM.

Para sinais que são compostos por uma soma de componentes senoidais, pode-se fazer 0→∆ rf e,

assim, se construir um espectro de potência de linhas ou raias. Naturalmente, trata-se de um espectro teórico, uma

vez que em nenhum instrumento de medição é possível se fazer 0→∆ rf . Por exemplo, seja )(tx o seguinte

sinal: )4200cos(25)2600sen(22)2000sen(24)1000cos(23)( tttttx ππππ −+−= (24)

1 Pode-se considerar que )(

~fS x

não é definida para 0<f , em vez de considerá-la igual a zero.



(a) (b)

Figura 11 – Espectro de potência de um sinal AM medido com diferentes RBW: (a) RBW de 300 Hz e (b) RBW de 10 kHz.

Figura 12 – Espectro de potência unilateral de linhas de um sinal composto de ondas senoidais.

Figura 13 – Espectro de amplitude RMS de um sinal composto de ondas senoidais: (a) amplitude em V; (b) amplitude em dBV.

Esse sinal é composto de quatro componentes senoidais de frequência 500 Hz, 1000 Hz, 1300 Hz e 2100 Hz, que

têm, respectivamente, as seguintes potências normalizadas: 9 V2, 16 V2, 4 V2 e 25 V2 (note que poderia ter-se usado

também a unidade W, em vez de V2). O espectro de potência unilateral de linhas desse sinal é mostrado na Figura

12. Note que esse espectro equivale a )( fxP calculado com 0→∆ rf .

Uma vez que a amplitude RMS de um sinal é igual à raiz quadrada da sua potência normalizada, pode-se

definir também um espectro de amplitude RMS unilateral como )( fxP . Naturalmente, essa definição é mais

Hz

V2

Hz

V2

dBV

HzHz

V

(a) (b)

dBV

Hz

dBV

HzHz

V

Hz

V

(a) (b)



apropriada para sinais compostos de componentes senoidais discretos. A Figura 13 mostra o espectro de amplitude

RMS unilateral para o sinal )(tx definido na equação (24).

A transformada de Fourier do sinal )(tx é dada por

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ])2100()2100(2

25)1300()1300(2

)1000()1000(22)500()500(2

23

)()(

++−−+−−−

+−−+++−=

=

ffffj

ffjff

txfX

δδδδ

δδδδ

F

(25)

O módulo dessa transformada é denominado espectro de amplitude de )(tx e é dado por

[ ] [ ]

[ ] [ ])2100()2100(2

25)1300()1300(2

)1000()1000(22)500()500(2

23|)(|

++−+++−+

++−+++−=

ffff

fffffX

δδδδ

δδδδ (26)

A Figura 14 mostra o gráfico desse espectro. Compare a Figura 13(a) e a Figura 14 e observe as diferenças entre o

espectro de amplitude |)(| fX e o espectro de amplitude RMS unilateral; a saber:

o espectro de amplitude |)(| fX é bilateral — isto é, é definido para ∞<<∞− f —, enquanto que o

espectro de amplitude RMS é unilateral — isto é, é definido somente para 0≥f ;

o espectro de amplitude |)(| fX é constituído de impulsos, enquanto que o espectro de amplitude RMS é

constituído de raias ou linhas com comprimento igual à amplitude RMS do componente correspondente;

A unidade de medida do espectro de amplitude RMS unilateral é V, enquanto que a unidade de medida do

espectro de amplitude |)(| fX é V/Hz, pois se trata, a rigor, de uma densidade espectral.

Utilizando a transformada de Fourier discreta (DFT – discrete Fourier transform) é possível se calcular

numericamente uma estimativa para o espectro de potência )( fxP — veja próxima seção. Nesse caso, é possível

se fazer rf∆ muito pequena e, assim, se estimar o espectro de potência de linhas de um sinal formado por

componentes senoidais discretos. Alguns osciloscópios digitais oferecem esse recurso de medição.

Figura 14 – Espectro de amplitude (módulo da transformada de Fourier) de um sinal composto de ondas senoidais.

-500-1000-1500-2000-2500 5000 1500 2000 2500 f (Hz)

|X( f )|(V/Hz)

2

4

-500-1000-1500-2000-2500 5000 1500 2000 2500 f (Hz)

|X( f )|(V/Hz)

2

4



Cálculo do espectro de potência de um sinal usando a DFT

Seja

−=

=..,0

1,,1,0),(][

cc

NnnTxnx

sw

K

(27)

e seja ][DFT][ nxkX ww = . Pode-se mostrar que ][nxw e ][kX w possuem a seguinte propriedade:

∑∑−

=

−

=

=1

0

21

0

2][1][

N

k

w

N

n

w kXN

nx (28)

Essa igualdade é conhecida como relação de Parseval para a DFT. Por outro lado, seja xP a grandeza assim

definida: ∫∫ ==

ww T

ww

T

wx dttx

Tdttx

TP

0

2

0

2)(1)(1ˆ (29)

em que sw TNT = , )()()( txtwtxw = e )(tw é uma janela retangular. Considerando que )(tx é um sinal

estacionário, xP pode ser uma boa estimativa da potência média normalizada de )(tx 1. Usando o interpolador

ideal [2], é possível mostrar que

∑∑−

=

−

=

=≅1

0

21

0

2][1)(1ˆ

N

n

w

N

n

sx nxN

nTxN

P (30)

Portanto, substituindo a equação (28) na equação (30), tem-se que

∑−

=

≅1

0

2

2][1ˆ

N

k

wx kXN

P (31)

ou

∑−

=

≅1

02

2][

ˆN

k

wx

N

kXP . (32)

Se se definir ][ˆ kxP como

=

−=

=

=

2,

]2[

12

,,2,1,][

2

0,]0[

][ˆ

2

2

2

2

2

2

NkN

NX

NkN

kX

kN

X

k

w

w

w

x KP . (33)

então, lembrando que2 ][][ kXkNX ww =− , para 121 −≤≤ Nk , pode-se reescrever a equação (32) como

∑=

≅2

0

][ˆˆN

k

xx kP P . (34)

1 A potência media normalizada de )(tx é definida como ∫−∞→

=2

2

2)(1lim

T

TTx dttx

TP .

2 ][kX w, para 112 −≤≤+ NkN , corresponde à faixa de frequência

ss fff <<2 e, em razão da periodicidade do

espectro de um sinal amostrado, corresponde também à faixa de frequência 02 <<− ff s — veja Figura 1.



Comparando as equações (22) e (34) pode-se considerar que

2,,1,0],[ˆ)( Nkkfk xx K=≅∆ PP r , (35)

se Nfff s=∆=∆ r . Ou seja, ][ˆ kxP pode ser considerada uma estimativa para )( fkx ∆P : em outras palavras,

a DFT (ou a FFT) pode ser utilizada no cálculo ou medição do espectro de potência de um sinal. Embasado nessa

abordagem, podemos pensar a DFT como um conjunto (ou banco) de filtros paralelos passa-faixas, com bandas

passantes de largura f∆ e centradas nas frequências fk∆ : 2,,1,0 Nk K= . A grandeza ][ˆ kxP , definida na

equação (33), é a potência na saída do k-ésimo filtro. Ou, ainda, podemos considerar que ][ˆ kxP é uma estimativa

da fração da potência do sinal )(tx contida em uma faixa de frequência de largura f∆ e centrada na frequência

fk∆ .

No desenvolvimento aqui feito considerou-se que )(tw é uma janela retangular. Para outras janelas (por

exemplo, janelas de Hanning, de Hamming e de Blackman) é preciso aplicar alguns fatores de correção a ][ˆ kxP

para que a aproximação indicada na equação (35) seja realmente uma boa aproximação [1]. Além disso, em razão

do vazamento espectral (spectral leakage) causado pelo janelamento, é necessário se fazer processamentos

adicionais para que ][ˆ kxP seja uma boa estimativa para )( fkx ∆P — inclusive quando se usa a janela retangular

[1].

Referências bibliográficas

[1] The Fundamentals of FFT-Based Signal Analysis and Measurement in LabVIEW and LabWindows/CVI, National Instruments, disponível em http://zone.ni.com/devzone/cda/tut/p/id/4278, consultado em março de 2011.

[2] B.P. Lathi, Modern Digital and Analog Communication Systems, 3a ed., Oxford University Press, 1998.

anÁlises e mediÇÕes espectrais usando a fft

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