análise e síntese de circuitos combinatórios

11

© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.011 Análise e Síntese de Circuitos Combinatórios PCS 2215 - Fund. Eng. Comp. II 1

Módulo 07 – Análise e Síntese de Circuitos

Combinatórios

Marco Túlio Carvalho de AndradeProfessor Responsável

Versão: 2.0 (Agosto de 2.011)

PCS 2215Fundamentos de Engenharia de Computação II


ConteúdoAnálise e Síntese de Circuitos Combinatórios

0. Notas e Definições Preliminares.1. Formas Canônicas.

1.1 Identidades Básicas.2. Análise de Circuitos Combinatórios

2.1 Circuitos a Portas.3. Síntese de Circuitos Combinatórios.

3.1 Síntese por Método Algébrico.3.2 Síntese por Mapa de Karnaugh.

22


ConteúdoAnálise e Síntese de Circuitos Combinatórios

4. Minimização de Circuitos.4.1 Implicantes primários.

4.1.1 Tabela de Cobertura4.2 Minimização pelo Método Tabular4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os

“Zeros” das Funções.4.4 Funções Incompletamente Definidas

5. Exemplos de Aplicação. Bibliografia


Nota 1. - Uma Álgebra de Chaveamento({F.C.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, 0t, 1t) pode ser vista como um caso particular de uma estrutura algébrica genérica denominada Álgebra de Boole, onde o conjunto “S” gerador da estrutura é o conjunto de funções de chaveamento “{F.C.}”.

0. Notas e Definições Preliminares

33


Nota 2. - Álgebra Booleana (ver Complementos de Álgebra Boolena) - É uma sêxtupla:

(S, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, fronteira inferior Máxima, Fronteira Superior mínima)

Nota 3. - Outra particularização de interesse é a Álgebra Booleana constituída pelas Classes de Equivalência geradas por funções de chaveamen-to de n variáveis (x1, x2, ..., xn), onde existe uma correspondência biunívoca entre elementos de {F.C.} e de {C.E.}:

({C.E.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, Ft, Vt)

0. Notas Preliminares


Nota 4. - Todo teorema de uma Álgebra Booleana vale para uma Álgebra de Chaveamento.

Definição 1. - Literal - Representa uma variável ou uma variável complementada, tendo um sentido mais amplo que o de variável.


44


Definição 2. - Expressões Booleanas geradas sobre x1, x2, ..., xn são definidas recursivamente:1-) 0, 1, x1, x2, ..., xn são expressões Booleanas.2-) Se X1 e X2 são expressões Booleanas então,

também também são expressões Booleanas:(a) (X1) (b) ~X1 (c) X1 ∨ ∨ ∨ ∨ X2 (d) X1 ∧∧∧∧ X2

3-) Se X é uma expressão Booleana gerada sobre os símbolos x1, x2, ..., xn então podemos escrever

X = X(x1, x2, ..., xn)

onde cada símbolo xi (ou ~xi) é chamado de umLiteral.



Sejam, a Álgeb. de Chaveamento ({F.C.},∨∨∨∨,∧∧∧∧,~,0t,1t) e a Álgebra de Boole ({C.E.},∨∨∨∨,∧∧∧∧,~,Ft,Vt) das formas e Classes Booleanas geradas pelas variáveis x1, x2, ..., xn. Seja li uma metavariável que pode valer xi ou ~xi.

Definição 1.1 - Produto Canônico (ou minter-mo) é toda Expressão de Chaveamento (ou Booleana) composta pelo Produto de todas as variáveis, complementadas ou não:

1. Formas Canônicas

∏=

==n

j

jni llllPC1

21 )(,.,.,.

55



Definição 1.2 - Primeira Forma Canônica é toda Expressão de Chaveamento (ou Ex-pressão Booleana) composta pela Soma de produtos canônicos, ou de mintermos, dife-rentes entre si.

Teorema 1.1 - Toda Classe de Equivalência Cn

pode representar-se mediante sua Primeira Forma Canônica que é única para esta Classe.


Observações (I):

– Como em um produto canônico intervém todas as variáveis, sua interpretação será sempre “0” a menos de uma determinada: aquela que associe “1” a todas variáveis sem “~” e “0” a todas com “~”.

– Portanto cada um dos 2n produtos canôni-cos serve para representar um, e apenas um, dos 2n átomos (ou elementos atômi-

cos).


66


Observações (II):

– Segundo Teorema da Álgebra de Chaveamento todo elemento desta Álgebra distinto de 0 pode expressar-se, de maneira única, como uma soma de átomos. Logo qualquer classe de equivalência distinta de C0 pode expressar-se de maneira única como uma soma de átomos.

– Portanto pode-se representar de maneira única como uma Soma de Produtos Canônicos, isto é, representar na Primeira Forma Canônica(ou Soma Canônica).



Observações (III) - Existe uma notação abreviada para descrever as formas canônicas:1-) Baseia-se em associar um número decimal a

cada produto canônico;2-) Este número é aquele que resulta ao

interpretar-se como um número binário a combinação de “Zeros” e “Uns” das variáveis para a qual a interpretação do produto em questão é “1”.

3-) Por exemplo: A interpretação de ~x3.x2.x1 é “1” para x3=0, x2=1 e x1=1 e “011” em binário é “3” em decimal (“m3”).


77



Mintermos para três variáveis:x3 x2 x1

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

m0 = ~x3 ~x2 ~x1

m1 = ~x3 ~x2 x1

m2 = ~x3 x2 ~x1

m3 = ~x3 x2 x1

m4 = x3 ~x2 ~x1

m5 = x3 ~x2 x1

m6 = x3 x2 ~x1

m7 = x3 x2 x1

Mintermos



C0 = ~(C1 + C2 + C4 + C8)C1 = C1

C2 = C2

C3 = C1 + C2

C4 = C4

C5 = C1 + C4

C6 = C2 + C4

C7 = C1 + C2 + C4

C8 = C8

C9 = C1 + C8

C10 = C2 + C8

C11 = C1 + C2 + C8

C12 = C4 + C8

C13 = C1 + C4 + C8

C14 = C2 + C4 + C8

C15 = C1 + C2 + C4 + C8

x2

0

0

1

1

x1

0

1

0

1

C2

0

0

1

0

C0

0

0

0

0

C1

0

0

0

1

C3

0

0

1

1

C4

0

1

0

0

C5

0

1

0

1

C6

0

1

1

0

C7

0

1

1

1

C1

0

1

0

1

0

C8

1

0

0

0

C9

1

0

0

1

C11

1

0

1

1

C1

2

1

1

0

0

C1

3

1

1

0

1

C1

4

1

1

1

0

C15

1

1

1

1

m0

m1

m2

m3

88


Definição 1.3 - Soma Canônica (ou Maxtermo) é to-da Expressão de Chaveamento (ou Booleana) composta pela soma de todas as variáveis, comple-mentadas ou não:


∑=

=+++=n

j

jni llllSC1

21 )(...

Definição 1.4- Segunda Forma Canônica é toda Expressão

de Chaveamento (ou Booleana) composta pelo produto de somas canônicas, ou de Maxtermos, diferentes entre si.

Teorema 1.2 - Toda Classe de Equivalência Cn pode repre-sentar-se mediante sua Segunda Forma Canônica que é única para esta Classe.


Observações:� Como em uma soma canônica intervém todas as

variáveis, sua interpretação será sempre “1”, a menos de uma determinada: aquela que associe “0” a todas variáveis sem “~” e “1” a todas com “~”.

� Em resumo: Qualquer classe de equivalência pode também ser expressa de maneira única como um Produto de Somas Canônicas, isto é, pode ser representada na Segunda Forma Canônica. (ou “Produto Canônico”).


99


Observações (II) - Existe uma notação abreviada para descrever a segunda Forma Canônica:1-) Baseia-se em associar um número decimal a

cada soma canônica.2-) Este número é aquele que resulta ao

interpretar-se como um número binário a combinação de “Zeros” e “Uns” das variáveis para a qual a interpretação da soma em questão é “0”.

3-) Por exemplo: A interpretação de x3+~x2+~x1é “0” para x3=0, x2=1 e x1=1 e “011” em binário é “3” em decimal (“M3”).



1. Formas CanônicasMaxtermos para três variáveis:

x3 x2 x1

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

M0 = x3 + x2 + x1

M1 = x3 + x2 + ~x1

M2 = x3 + ~x2 + x1

M3 = x3 + ~x2 + ~x1

M4 = ~x3 + x2 + x1

M5 = ~x3 + x2 + ~x1

M6 = ~x3 + ~x2 + x1

M7 = ~x3 + ~x2 + ~x1

Maxtermos

1010



C0 = C7 . C11 . C13 . C14

C1 = C7 . C11 . C13

C2 = C7 . C11 . C14

C3 = C7 . C11

C4 = C7 . C13 . C14

C5 = C7 . C13

C6 = C7 . C14

C7 = C7

C8 = C11 . C13 . C14

C9 = C11 . C13

C10 = C11 . C14

C11 = C11

C12 = C13 . C14

C13 = C13

C14 = C14

C15 = ~(C7 . C11 . C13 . C14)

x2

0

0

1

1

x1

0

1

0

1

C2

0

0

1

0

C0

0

0

0

0

C1

0

0

0

1

C3

0

0

1

1

C4

0

1

0

0

C5

0

1

0

1

C6

0

1

1

0

C7

0

1

1

1

C1

0

1

0

1

0

C8

1

0

0

0

C9

1

0

0

1

C11

1

0

1

1

C1

2

1

1

0

0

C1

3

1

1

0

1

C1

4

1

1

1

0

C15

1

1

1

1

M0

M1

M2

M3


Mintermos e Maxtermos para três variáveis:


x3 x2 x1

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

m0 = ~x3 ~x2 ~x1 = ~M0

m1 = ~x3 ~x2 x1 = ~M1

m2 = ~x3 x2 ~x1 = ~M2

m3 = ~x3 x2 x1 = ~M3

m4 = x3 ~x2 ~x1 = ~M4

m5 = x3 ~x2 x1 = ~M5

m6 = x3 x2 ~x1 = ~M6

m7 = x3 x2 x1 = ~M7

M0 = x3 + x2 + x1 = ~m0

M1 = x3 + x2 + ~x1 = ~m1

M2 = x3 + ~x2 + x1 = ~m2

M3 = x3 + ~x2 + ~x1 = ~m3

M4 = ~x3 + x2 + x1 = ~m4

M5 = ~x3 + x2 + ~x1 = ~m5

M6 = ~x3 + ~x2 + x1 = ~m6

M7 = ~x3 + ~x2 + ~x1 = ~m7

Mintermos Maxtermos

1111


Observações adicionais: A Álgebra de Chavea-mento ({F.C.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, 0t, 1t) tem o mesmo número de Funções de Chaveamento que o de classes de equivalência da Álgebra Booleana ({C.E.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, Ft, Vt), que é:

– {F.C.} tem um número de “n-tuplas” diferentes em {0,1}n igual a k = 2n e gera 2k combinações distintas para aplicar cada uma destas k “n-tuplas” em {0,1}.


22

n =k


Observações adicionais:– {C.E.} tem um número de k = 2n produtos

canônicos com os quais pode-se escrever as 2k primeiras formas canônicas diferentes.

– Pela definição 4.3 do material adicional de Álgebra Booleana, elas são isomorfas.

– Sendo isomorfas existe uma correspondên-cia biunívoca entre cada Função de Chavea-mento de ordem “n” e cada classe de equi-valência de Expressões Booleanas de “n” variáveis.


1212


Observações (continuação): A correspondência é tal que se fi e fk estão em correspondência com Ci e Ck

então (fi+fk) e (fi.fk) estarão em correspondência com (Ci+Ck) e (Ci.Ck).

Importância na aplicação ao projeto de circuitos lógicos:– A saída de um circuito expressa como uma

Função de Chaveamento tem infinitas formas associadas a uma classe de equivalência.

– Como Engenheiros nos interessa encontrar a forma mínima!



A seguir são apresentadas identidades básicas para duas ou três variáveis:

I1 - x+0=x x.1=x

[Elemento neutro ou identidade]I2 - x+1=1 x.0=0

[Elementos máximo/mínimo ou elemento nulo]I3 - x+~x=1 x.~x=0

[Complemento]I4 - ~(~x) = x

[Involução]

1.1. Identidades Básicas

1313


Mais identidades:I5 - x + x = x x . x = x

[Idempotência]I6 - x+y=y+x x.y=y.x

[Comutativa]I7 - x+(y+z)=(x+y)+z x.(y.z)=(x.y).z

[Associativa]I8 - x.(y+z)=x.y+x.z x+(y.z)=(x+y).(x+z)

[Distributiva]I9 - x+x.y=x [I9a] x.(x+y)=x [I9b]

[Absorção ou cobertura]



Mais identidades:I10 - ~(x+y)=~x.~y ~(x.y)=~x+~y

[De Morgan]I11a-(x+y).(~x+z).(y+z)=(x+y).(~x+z)=x.z+~x.y

I11b - x.y+~x.z+y.z=x.y+~x.z

[Consenso]I12 - x . y + x . ~y = x (x + y) . (x + ~y) = x

[Combinação]I13 - (x+y).(~x+z)= x.z+~x.y

I14 - (x+~x.y)=(x+y) x.(~x+y)=x.y


1414


Exemplo 1.1: Simplificar (x+y+z).(x.~y+y.z+x.~z) == x.x.~y+x.y.z+x.x.~z+x.y.~y+y.y.z+x.y.~z+x.~y.z+y.z.z+x.z.~z== x.~y + x.y.z + x.~z + x.0 + y.z + x.y.~z + x.~y.z + y.z + x.0 == x.(~y + y.z) + x.~z + x.y.~z + y.z + x.~y.z + y.z == x.(~y + z) + x.~z(1 + y) + z.(y + x.~y) + y.z == x.~y + x.z + x.~z + z.(y + x) + y.z == x.~y + x.z + x.~z + y.z + x.z + y.z == x.~y + x.z + x.z + x.~z + y.z + y.z == x.~y + x.(z + ~z) + y.z == x.~y + x.1 + y.z == x.~y + x + y.z == x + y.z



Exemplo 1.2: Calcular (desenvolver)f = ~(x.y+~y.z+x.~z)

Exemplo 1.3: Verificar que a expressão(~y + w.x.z + ~x.z + ~w.x) . (y + w.x + x.z)

é idêntica à expressãox . (w + y) . (~w + ~y) + z . (x + y)

Exemplo 1.4: Comprovar a validade da identidade I14, [(x + ~x.y) = (x+y)], por Diagrama de Venn.


1515


Exemplo 1.4: Comprovar a validade da identidade I14, [(x + ~x.y) = (x+y)], por Diagrama de Venn.


~x

y

~x . y

x

x + ~x . y

x + y


Maxtermos/mintermos permitem a decomposiçãosistemática de Expressões de Chaveamento emsubexpressões com subconjuntos das variáveis.

Teorema da Expansão de Shannon:

Qualquer Expressão de Chaveamento do tipofn(x1, x2, x3, ..., xn)

pode ser decomposta na Expressão [I15a]x1 . fn(1, x2, x3, ..., xn) + ~ x1 . fn(0, x2, x3, ..., xn)

ou decomposta em sua Expressão dual [I15b][x1+fn(0, x2, x3, ..., xn)] . [ ~ x1+fn(1, x2, x3, ..., xn)]


1616


Exemplo da aplicação de [I15a]:

f3(x1, x2, x3) = x1.f3(1, x2, x3) + ~ x1.f3(0, x2, x3)

f3(x1, x2, x3) = x1.x2.f3(1,1, x3) + x1.~x2.f3(1,0, x3)

+ ~x1.x2.f3(0,1, x3) + ~ x1.~x2.f3(0,0, x3)

f3(x1, x2, x3)= x1.x2.x3.f3(1,1,1) + x1.x2.~x3.f3(1,1,0)

+ x1.~x2.x3.f3(1,0,1) + x1.~x2.~x3.f3(1,0,0)

+ ~x1.x2.x3.f3(0,1,1) + ~x1.x2.~x3.f3(0,1,0)

+ ~x1.~x2.x3.f3(0,0,1) + ~x1.~x2.~x3.f3(0,0,0)



Exemplo da aplicação de [I15b]:

f3(x1, x2, x3)=[x1 + f3(0, x2, x3)].[~ x1 + f3(1, x2, x3)]

f3(x1, x2, x3)=[x1+x2+f3(0,0, x3)].[x1+~x2+f3(0,1, x3)]

.[~x1+x2+f3(1,0, x3)].[~ x1+~x2+f3(1,1, x3)]

f3(x1,x2, x3)=[x1+x2+x3+f3(0,0,0)].[x1+x2+~x3+f3(0,0,1)]

. [x1+~x2+x3+f3(0,1,0)] . [x1+~x2+~x3+f3(0,1,1)]

. [~x1+x2+x3+f3(1,0,0)] . [~x1+x2+~x3+f3(1,0,1)]

. [~x1+~x2+x3+f3(1,1,0)] . [~x1+~x2+~x3+f3(1,1,1)]


1717


Mais Identidades:(fn

DUAL)DUAL = fn [I16] [fn = gn] → [fn

DUAL = gnDUAL] [I17]

fDUAL(x1, x2, ..., xn) = ~f(~x1, ~x2, ..., ~xn) [I18a]fDUAL(x, y, ..., z) = ~f(~x, ~y, ..., ~z) [I18b]

Exemplo: Dado fn = x.y + ~y.z

fnDUAL = (x+y) . (~y+z)

~fn=~(x.y+~y.z)=~(x.y).~(~y.z)= (~x+~y) . (y+~z)

Portanto: fnDUAL(x,y,z) = ~fn(~x,~y,~z)



Um Circuito Combinatório (ou circuito sem me-mória) pode ser visto como um dispositivo lógi-co cuja saída (isto é, o efeito da operação lógica que ele realiza) depende apenas das entradas no instante presente (isto é, das causas lógicas).

Em vista disto pode-se representar a saída de um circuito combinatório por uma função do tipo fn(x1, x2, ..., xn), sendo (x1, x2, ..., xn) as entradas lógicas. Ou ainda, por uma função do tipo fn(x,

y, ..., z), sendo (x, y, ..., z) as entradas lógicas.

2. Análise de Circuitos Combinatórios

1818


A forma de análise de um Circuito Combinatóriodepende do modelo utilizado para especificá-lo:


Diagrama Lógico Expressão de Chaveamento

Estrutura exposta;

comportamento escondido

(este pode ser extraído)

Comportamento exposto;

Estrutura escondida

(representa infinitas estruturas)


Tipicamente extrai-se a Expressão de Chaveamen-to do Diagrama Lógico, quando então constrói-se a Tabela da Verdade.


Diagrama Lógico

Identificação exata das opera-

ções algébricas envolvidas:

- Modelo funcional

- Interpretação de Engenharia

Expressão de Chaveamento

Tabela da Verdade

1919


Ao analisar um circuito combinatório pode-se utilizar um de três procedimentos básicos:

1-) Enumeração de todos os caminhos de propaga-ção dos sinais de entrada - Levantam-se os cami-nhos possíveis das entradas para as saídas.

2-) Aplicação da Identidade de Shanonn (I15) - Fi-xam-se os valores lógicos de uma dada variável xi

gerando-se dois subcircuitos de n-1 variáveis. 3-) Decomposição - Divide-se o circuito em blocos

e faz-se a análise no nível de blocos elementares.



Exemplo 2.1.1 - 1) Enumeração dos caminhos dos sinais de entrada:


x1

x2

~x1

~x2

~x1.~x2

x1.x2

x1.x2 + ~x1.~x2

2020


Exemplo 2.1.2-2) Aplicação da identidade de Shanonn (I15):f2(x1, x2) = x1 . f2(1, x2) + ~x1 . f2(0, x2)


[a] x1 = 0 →→→→ ~x1 = 1 →→→→ I15a →→→→ [b] x1 . f(1, x2) + ~x1 . f(0, x2)

[c] f(1, x2) = x2 e [d] f(0, x2) = ~x2

x1

x2

0

x2

1

~x2

0

~x2

~x2

x1

x2

1

x2

0

~x2

x2

0x2

Expressão final [e]: x1 . x2 + ~x1 . ~x2


Exemplo 2.1.3 - 3) Decomposição em blocos elementares:


x1

x2

~x1

~x2

x1

x2

x1.x2 + ~x1.~x2

~x1.~x2

x1.x2

~x1.~x2

x1.x2

~x1

~x2

2121


Definição 2.1.1 - Portas Lógicas:– Uma porta lógica é uma função de em .– A porta AND (E) é a função ∧∧∧∧ de em .– A porta OR (OU) é a função ∨∨∨∨ de em .– A porta NOT (NÃO) é a função ~ de em .

Definição 2.1.2 - O conjunto {p1, p2, ..., pn} de por-tas é denominado funcionalmente completo se, dado qualquer inteiro positivo n e uma função f de em , é possível construir um circuito combinatório que compute a função f utilizando apenas {p1, p2, ..., pn}.

2.1. Circuitos a Portas

nZ2 2ZnZ2 2ZnZ2 2Z

2Z 2Z

nZ2 2Z


Exemplo 2.1.4 - Os teoremas que atestam que toda classe de equivalência pode ser gerada a partir da primeira e da segunda formas canônicas (1.1 e 1.2) permitem mostrar que o conjunto de portas {AND, OR, NOT} é funcionalmente completo.

Definição 2.1.3 - Portas lógicas NAND e NOR.

Teorema 2.1.1 - Os conjuntos de portas{AND, NOT}={NAND} e {OR, NOT}={NOR}

são funcionalmente completos.

2.1. Circuitos a Portas

NAND NOR

2222


Quando o circuito aparece determinado por meio de um diagrama de portas lógicas a maneira mais eficiente de análise é a decomposição em funções intermediárias, da saída para a entrada, ou a composição de funções, da entrada para a saída.

2.1. Circuitos a Portas - Análise

x1

x2

x3

f3

f1

f2

x4

x5

f


As entradas do circuito anterior são (x1, x2, x3, x4, x5)e sua saída é o valor lógico f(x1, x2, x3, x4, x5).

Da saída para a entrada tem-se:f(x1, x2, x3, x4, x5) = f1(x1, x2) + f2(x3, x4, x5) =f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . f3(x4, x5) =f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . (x4 + x5) =

f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . x4 + x3 . x5

2.1. Circuitos a Portas - Análisex1

x2

x3

f3

f1

f2

x4

x5

f

Exemplo 2.1.5

2323


Exemplo 2.1.6 - Análise de circuitos E-OU (OU-E) a dois níveis:


x1

x2

x3

f1

f2

f3

fx4

x5

x6

x1

x2

x3

f1

f2

f3

f

x4

x5

x6


Exemplo 2.1.7 - Análise de circuitos XOR:


x1

x2

f1

x3 fx4x5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕

f2 f3

Verifica-se a associatividade da operação, de modo que f poderia ser representada por:

f⊕⊕⊕⊕

x1

x3

x2

x5

x4

2424


Exemplo 2.1.8 - Análise de circuitos NAND:


x1

x2

f1

x3 fx4x5

f2 f3

x1

x2

f1

x3 fx4x5

f2 f3

Exemplo 2.1.9 - Análise de circuitos NOR:


3. Síntese de Circuitos Combinatórios

Síntese

Diagrama

Lógico

Expressão

Algébrica

Tabela da

Verdade

Inter-

pretação

Análise

2525


� Terminologia:

� Engenheiro de Computação - No exercício da profissão:

»Envolvimento na realização de Projeto de Sistemas Digitais.

� Projeto de Sistemas Digitais - Fases:»Especificação: requisitos, escopo.

»Modelo: técnicas, métodos de implementação.

»Implementação: simulação, laboratório.



� Projeto de Sistemas Digitais - Necessidade de representação:– Linguagem.– Diagramas.

� Álgebra Booleana e Álgebra de Chaveamento - Aparecem como ferramenta aderente ao encaminhamento da solução desta classe de problemas.

� Projeto de Sistemas Digitais - Envolve a atividade do Projeto Lógico Digital.


2626


� Projeto Lógico Digital:

– Atividade na qual o projetista de um sistema eletrônico digital cria circuitos analisando um problema e elaborando sua solução no nível conceitual dos Circuitos Lógicos.

� Circuitos Lógicos -

– Circuitos que existem apenas como Abstrações Matemáticas:» Independentes do mundo físico da eletrônica digital;

» Constituídos de associações de Módulos Lógicos Funcionais.



� Módulos Lógicos Funcionais:– Associações de Portas Lógicas Fundamentais que

realizam as Operações Lógicas Primitivas definidas na Álgebra de Chaveamento adotada.

� Realização de um Projeto Lógico Digital:– É o projeto de uma Máquina Abstrata, ou

Equipamento Matemático, onde as primitivas (tijolos da construção) são operações matemáti-cas.

– O Circuito Lógico pode ser visto como uma associação (ou rede) de operadores matemáticos.


2727


Engenharia do Projeto Lógico Digital [Fregni-95]:

– Muda o enfoque do projeto - Parte do princípio de que a Finalidade de todo Circuito Lógico é ser Materializado em um Circuito Físico.

– Define: Módulos Matemáticos a serem utilizados.

– Estabelece Técnicas e Métodos de implementação.

– Define as Características Físicas do circuito final.

– Projetista usa a Intuição - A ação do Projetista deixa de ser exclusivamente mecanizada ou formal e este usa sua experiência como ferramenta.

– Projetar passa a ser uma Arte, com método científico!



� Objetivo: Obter a solução mais econômica!

� Solução mais econômica - Difícil de ser definida com precisão.

� Critérios possíveis:

– Minimização do número de literais da função de chaveamento.

– Minimização do número de interconexões entre as portas.

– Minimização do número de pinos do circuito integrado a ser eventualmente construído.


2828


O Teorema da Expansão de Shannon [I15] mostrou que pode-se decompor uma Expressão de Chavea-mento fn(x1, x2, x3, ..., xn) em duas formas canôni-cas: Soma de Produtos [“SP” - I15a] e

Produto de Somas [“PS” - I15b].

Ex. 3.1. f = x1.x2 + ~x2.x3 pode ser representada por:

f = x1.x2 .~x3 + x1.x2.x3 + x1.~x2.x3 + ~x1.~x2.x3 (SP)ou por

f=(x1+x2 +x3).(x1+~x2+x3).(x1+~x2+~x3).(~x1+x2+x3) (PS)

3.1. Síntese por Método Algébrico


Usando a definição de mintermos e maxtermos:

f = x1.x2 .~x3 + x1.x2.x3 + x1.~x2.x3 + ~x1.~x2.x3 (SP)f = m3 + m7 + m5 + m4 (SP)

f = .

ou

f=(x1+x2 +x3).(x1+~x2+x3).(x1+~x2+~x3).(~x1+x2+x3) (PS)f= M0 . M2 . M6 . M1 (PS)

f = .


∑ )7,5,4,3(m

∏ )6,2,1,0(M

2929


Teorema 3.1.1 - Uma Expressão de Chaveamento do tipo fn(x1, x2, x3, ..., xn) pode ser expressa de maneira única como uma soma de mintermos ou um produto de maxtermos.

Teorema 3.1.2 - Se a Expressão de Chaveamento fn(x1, x2, x3, ..., xn) é expressa como uma soma de p mintermos então ela também é expressa co-mo um produto de (2n - p) maxtermos.

, onde: ∀i ≠ ∀j.


∏=∑=− )2( pn

j

p

in Mmf



� Síntese por Método Algébrico – Seja um sistema e uma especificação deste:– O processo de síntese consiste na obtenção de

uma Expressão de Chaveamento do tipo fn(x1, x2, x3, ..., xn), que represente o comportamento do sistema em questão.

� A especificação pode vir:– Por meio de linguagem natural (uma descrição

de seu comportamento lógico, por exemplo).– Tabela da verdade.

3030


Exemplo 3.1.1 - Sintetizar um circuito de chaveamento para detectar os códigos BCD correspondentes aos números ímpares.


x1

x3

x2

x4

Detector y



x4 x3 x2 x1

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

~x4 . ~x3 . ~x2 . x1

y

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

~x4 . ~x3 . x2 . x1

~x4 . x3 . ~x2 . x1

~x4 . x3 . x2 . x1

x4 . ~x3 . ~x2 . x1

Soma Produtos Produto Somas

x4 + x3 + x2 + x1

x4 + x3 + ~x2 + x1

x4 + ~x3 + x2 + x1

x4 + ~x3 + ~x2 + x1

~x4 + x3 + x2 + x1

Exemplo 3.1.1

3131


Exemplo 3.1.1 - Soma de Produtos: y = ~x4.~x3.~x2.x1 + ~x4.~x3.x2.x1+~x4.x3.~x2.x1+~x4.x3.x2.x1+x4.~x3.~x2.x1


y

x1x2x3x4x1x2x3x4

x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4


Ex3.1.1-Produto de Somas: y=(x4+x3+x2+x1).(x4+x3+~x2+x1) .(x4+~x3+x2+x1).(x4+~x3+~x2+x1).(~x4+x3+x2+x1)


y

x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4

x1x2x3x4

3232


Um Mapa de Karnaugh pode ser considerado como uma representação modificada de uma Tabela da Verdade, em n dimensões. Consegue-se visualizar propriedades explícitas por meio de padrões e/ou estruturas que permitem simplificações nas fun-ções de chaveamento, com complexidade de repre-sentação proporcional ao número de variáveis.

Célula - É um mintermo ou um Maxtermo.Células Adjacentes - Duas células são adjacentes quan-

do diferem apenas no valor de uma variável.Adjacências - Grupamentos (retangulares ou quadrados)

de 2n células adjacentes.

3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh


Mapa de Karnaugh - Obtenção e interpretação para duas variáveis:


~x2

~x1 (0) (2)

(1) (3)

x2

x1

~x2

~x1

x2

x1

~x2 x2Conjunto Universal

f=~x2.~x1

x2

0 1x1

0

1

1

f=x2.~x1

x2

0 1x1

0

1

1

f=~x2.x1

x2

0 1x1

0

1 1

f=x2.x1

x2

0 1x1

0

1 1

Mintermos

3333


Mapa de Karnaugh - Interpretação das Leis de De Morgan para duas variáveis:


f=x2.x1

x2

0 1x1

0

1

x2

0 1x1

0

1 1

x2

0 1x1

0

1 11

1

f = ~(x2 . x1) = ~x2 + ~x1 = ~x2 + ~x1

1 1 1

x2

0 1x1

0

1

1

1

x2

0 1x1

0

1

11

f=x2+x1

x2

0 1x1

0

1

x2

0 1x1

0

1

x2

0 1x1

0

11

f= ~(x2 + x1) = ~x2 . ~x1 = ~x2 . ~x1

1 1

x2

0 1x1

0

1

1

1

x2

0 1x1

0

1

111

1


Mapa de Karnaugh - Representação de alguns Conectivos Lógicos para duas variáveis:


x2 x2

0 1x1

0

1

1 1

1 1

Conjunto Universal f=x2ORx1

0 1x1

0

1

1

f=x2XORx1

0 1

1

f=x2ANDx1

0 1

111

1

0 1

1 1

1 1

Conjunto Universal f=x2NORx1

0 1

f=x2NXORx1

0 1

1

f=x2NANDx1

0 1

11 1 1

1

x2

x1

0

1

x2

x1

0

1

x2

x1

0

1

x2

x1

0

1

x2

x1

0

1

x2

x1

0

1

3434


Mapa de Karnaugh - Representação:


x1

0 1

(0) (1)

Uma variável

x2

0 1x1

0

1

(0) (2)

(1) (3)

Duas variáveis

x3x2

00 01 11 10x1

0

1

(0) (2) (6) (4)

(1) (3) (7) (5)

Três variáveis




Três variáveis: x3,x2,x1

x3x2

00 01 11 10x1

0

1

(0) (2) (6) (4)

(1) (3) (7) (5)

~x1

x1

x3~x2x3x2~x3x2~x3~x2

x3~x2x3x2

~x3x2 ~x3~x2~x1

x1

3535




x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

Quatro variáveis

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

x4x3

00 01 11 10 x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

(16) (20) (28) (24)

(17) (21) (25)(29)

(19) (23) (31)

(18) (22) (30)

(27)

(26)

x5 = 0 x5 = 1

Cinco variáveis




Quatro variáveis

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

00 01 11 10

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

x3

x4

x1

x2

3636


Mapa de Karnaugh para Seis Variáveis:


x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

x4x3

00 01 11 10 x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

(16) (20) (28) (24)

(17) (21) (25)(29)

(19) (23) (31)

(18) (22) (30)

(27)

(26)

x5 = 0 x5 = 1

x4x3

00 01 11 10

00

01

11

10

x2x1

x4x3

00 01 11 10

00

01

11

10

x2x1

(32) (36) (44) (40)

(33) (37) (41)(45)

(35) (39)(47)

(34) (38) (46)

(43)

(42)

x6 = 0

x6 = 1

x6 = 0

x6 = 1

x5 = 0 x5 = 1

(48) (52) (60) (56)

(49) (57)

(51) (55) (63)

(50) (54) (62)

(59)

(58)

(53) (61)


Exercício 3.2.1 - Determinar o menor conjunto de adja-cências que cubra (ou contenha) todos os mintermos das funções de três variáveis dadas:


x3x2

00 01 11 10x1

0

1

1 1

1 1

0

0 0

0

x3x2

00 01 11 10x1

0

1

1 10

1 1

1

00

x3x2

00 01 11 10x1

0

1 1 10 0

1 10 0

3737



Exercício 3.2.2 - Determinar o menor conjunto de adja-cências que cubra (ou contenha) todos os mintermos das funções de quatro variáveis dadas:

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

1

1

1

1 1

1

1 1

0 0 0 0

0 0

0

0

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

0 0

0 0

0

0

0 0


Cubo-r (“cubo de ordem r” ou “cubo erre”) - É o elemento básico em um Mapa de Karnaugh. Sua definição pode ser gerada de maneira indutiva:

Cubo-0: Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis, uma entrada qualquer com “1” (isto é, uma célula ou um mintermo) é um Cubo-0.

Cubo-1: Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis sejam dois Cubos-0 que diferem apenas no valor de uma variável (Cubos-0 adjacentes). As n-1 va-riáveis em que dois Cubos-0 adjacentes são con-cordantes definem um Cubo-1.


3838


Cubo-r - Analogia com representações geométricas de variáveis contínuas:


x10 1

x = 2,37

0 1 2 3x1

(2,37 ; 1,2)

0 1 2 3x1

x2

1

2

x1(0,0) (0,1)

(1,0) (1,1)

x2

(x2,x1)Duas

variáveis

Uma

variável


Cubo-r (r ≥ 1): Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis sejam dois Cubos-(r-1) diferindo exa-tamente no valor de uma variável (denominados Cubos-(r-1) adjacentes). As n-r variáveis em que dois Cubos adjacentes são concordantes definem um Cubo-r.

Cubo-r - Analogia com representações geométri-cas de variáveis contínuas. Exemplo com a função:


)7,6,3,2,0(),,( 321 ∑=p

in mxxxf

3939



x1(0,0,0)

x2

(0,0,1)

(1,1,0) (1,1,1)

x3

(0,1,0) (0,1,1)

(1,0,0)

(1,0,1)

m0 m1

m2 m3

m7m6

m5

m4

(x3,x2,x1)

Cubos-0 possíveis para uma

função de três variáveisTrês variáveis

(2,37;1,2;2)

0 1 2 3x1

x2

11

22

x3



Exemplo: Cubos-0 da

função de três variáveis.

Exemplo: Cubos-1 da

função de três variáveis.

(1,1,1)m7

(0,0,0)

(0,1,1)(0,1,0)

m0

m2 m3

(x3,x2,x1)

(1,1,0)m6

0,0,0

0,1,1

1,1,1

0,1,0

0,X,0

0, 1,XX, 1,1

(x3,x2,x1)

1,1,0

X,1,01,1,X

4040



Exemplo: Cubo-2 da função de três variáveis.

Cubo-2

213321 ~~),,( xxxxxxfn +=

0,X,0

0, 1,XX, 1,1

(x3,x2,x1)

X,1,01,1,X

Cubo-1

)7,6,3,2,0(),,( 321 ∑=p

in mxxxf


No momento de simplificar-se um circuito é conve-niente determinar uma topologia (ou formato) de circuito antes de definir-se o critério para o signi-ficado de mais simples possível. Vejamos as im-plementações de três formas distintas da seguinte função:

4. Minimização de Circuitos

)14,13,10,9,6,5(∑=p

in mf

123123124124 ~~~~ xxxxxxxxxxxxfn +++=

)~~)(( 121234 xxxxxxfn ++=

4141


Qual é a forma mais simples (I)?


fn

x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4

m5

m6

m9

m10

m13

m14

(I)


Qual é a forma mais simples (II e III)?


fn

(II) (III)

fnx4

x3

x2

x1

x2

x1

x1x2x4

x1x2x4

x1x2x3

x1x2x3

4242


Implicante Primário: Um Cubo é um IP –implicante primário – se ele não estiver incluído em nenhum outro Cubo de ordem superior.

Uma função de chaveamento pode ser representada por uma soma de todos os seus implicantes primá-rios. Esta representação especial em Soma de Pro-dutos é denominada Soma Completa.

Tal representação não é necessariamente a função de chaveamento minimizada, porém é um passo importante para a minimização.

4.1. Implicantes Primários


Implicante Primário Essencial: Seja Ipj um implicante primário e seja fn uma função expressa na forma da soma de todos os seus Ipi. Ipj é um Implicante Primário Essencial(IPE) se Ipj contiver um cubo qualquer não contido na somatória dos Ipi.

Os IPEs deverão estar presentes em uma realização mínima para fn. Se estes IPEs cubrirem fn total-mente então o problema de minimização está con-cluído.

4.1. Implicantes Primários

4343


4.1.1. Tabela de Cobertura

Tabela de Cobertura: Se ocorrer o caso de que os IPE’s não cubram fn totalmen-te, então deve-se usar algum procedi-mento que permita descobrir os IP’s (dentre os não essenciais), que façam parte da expressão mínima:

Expressão Mínima = = IPE1 + IPE2 + … + IPEn + [ΣΣΣΣ(Demais Implicantes)]

Um destes procedimentos denomina-se Tabela de Cobertura.


4.1.1. Tabela de CoberturaConsidere-se o exemplo de uma função definida por

seu Mapa de Karnaugh, onde o custo (k) é igual ao número de Literais do IP. Para descobrir os demais implicantes realiza-se um processo de redução da Tabela de Cobertura:

1-) Por meio da eliminação das células já cobertas por IPE’s;

2-) Encontrando-se implicantes de menor custo (k) possível e que cobrem o maior número de células. Diz-se que estes implicantes dominam os demais.

4444


4.1.1. Tabela de CoberturaExemplo – Função dada por seu Mapa de Karnaugh:

IPE’s:IPE1 = ~x4.x1

IPE2 = x4.~x3.~x1

x4x

300 01 11 10x

2x

1

00

01

11

10

1

0

1

1

0

1

0 1

0 0

1

1

0 0

11IPE1

IPE2

*: Células não

cobertas por

nenhum outro

cubo que seja o

maior possível.

x4x

300 01 11 10x

2x

1

00

01

11

10

1

0

1*

1

0

1*

0 1

0 0

1

1*

0 0

11


4.1.1. Tabela de CoberturaTodos os IP’s:

IPE’s:IP1 = IPE1 = ~x4.x1

IP2 = IPE2 = x4.~x3.~x1

Demais IP’s:

IP3 = ~x4.~x3.~x2

IP4 = ~x3.~x2.~x1

IP5 = x3.~x2.x1

IP6 = x4.x3.~x2

IP7 = x4.~x2.~x1

IP1=IPE1 IP2=IPE2

x4x

300 01 11 10x

2x

1

00

01

11

10

1

0

1*

1

0

1*

0 1

0 0

1

1*

0 0

11

IP7

IP3 IP6

IP4

IP5

4545


4.1.1. Tabela de CoberturaTabela de Cobertura- Para aplicação do processo de redução:

Obs: Lembrar que o custo (k) é igual ao número de Literais do Implicante.

IP1=IPE1

IP2=IPE2

IP7

IP3

IP6

IP4

IP5

0Implicantes

X

1 3 5 7 8 Custo(k)10 12 13

X X X 2

3

3

3

3

3

3

X X

X X

X X

X X

X X

XX


4.1.1. Tabela de Cobertura

Tabela de Cobertura - Após processo de redução:

fmín = IP1 + IP2 + IP3 + IP6

OU

IP1 + IP2 + IP4 + IP6

(k=2+3+3+3=11)

(k=2+3+3+3=11)

IP7

IP3

IP6

IP4

IP5

0Implicantes Custo(k)12 13

3

3

3

3

3

X

X X

X

X

X

IP6

domina

IP5

e IP7

IP3 e IP4

são

indiferentes

(k e m0 iguais)

4646


Exemplo: Procedimento de extração dos Implican-tes Primários pelo método tabular. Dada a Função:

4.2 Minimização pelo Método Tabular

)15,12,10,8,7,5,4,2,0(∑=p

in mf

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

1 1 1 1

1

1

1 1

1

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)


Passo 1 -Listam-se os mintermos de fn com a nota-ção Cubo-0 correspondente (Ex:m7=~x4x3x2x1).

Agrupam-se os Cubos-0 de modo que:– No primeiro grupo todos possuam zero 1’s.– No segundo grupo todos possuam um 1, etc.

Identificam-se pares de Cubos-0 compatíveis, isto é, que exista um Cubo-1 que os contenha.

Define-se uma operação entre Cubos-0 compatíveis para gerar o Cubo-1 que os contém. Os Cubos-0 são marcados com “√” e os Cubos-1 gerados colocados em outra tabela para o passo 2.


4747


Exemplo – Método Tabular de extração dos Implicantes Primários :


Passo 1

0 0 0 0

x4 x3 x2 x1

(0)

(4)

(12)

(8)(5)

(7)

(15)

(2)

(10)

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 1 0 11 0 1 01 1 0 00 1 1 11 1 1 1

√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√


Passo 2 - Os Cubos-1 gerados pelo Passo 1 são agrupados, de maneira que os elementos do pri-meiro grupo possuem zero 1’s, os do segundo grupo um 1, etc. É utilizado o mesmo procedi-mento de operação entre Cubos-1 para gerar Cubos-2 para o passo 3.

Passo 3 - O procedimento é análogo aos anterio-res. Como não são gerados Cubos-3 para este exemplo termina-se o algoritmo de geração de Implicantes Primários.


4848


4.2 Minimização pelo Método TabularExemplo - Método Tabular de extração dos Implicantes

Primários:

Passo 2

0 0 - 0

x4 x3 x2 x1

(0,2)

(2,10)

0 - 0 0- 0 0 0- 0 1 00 1 0 -- 1 0 01 0 - 01 - 0 00 1 - 1

(7,15) - 1 1 1

(0,4)

(0,8)

(5,7)

(8,12)

(4,5)

(4,12)

(8,10)Passo 3

- 0 - 0

x4 x3 x2 x1

(0,2,8,10)

- - 0 0(0,4,8,12)

f = ~x4x3~x2 + ~x4x3x1 + x3x2x1 +

+ ~x3~x1 + ~x2~x1

√√√√√√√√√√√√√√√√

√√√√√√√√√√√√

IPE1IPE2

IPE3IP4IP5


Verificar se há necessidade dos termos (4,5) ou (5,7) dado que:– 4 ∈ (0,4,8,12) e 5 ∈ (5,7).

Ou outra maneira de ver é que:– 5 ∈ (4,5) e 7 ∈ (7,15).


f = ~x4x3~x2 + ~x4x3x1 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1

(4,5) (5,7) (7,15) (0,2,8,10) (0,4,8,12)

IPE1IPE2IPE3IP4IP5

4949



fmín = ~x4x3x1 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1

x4x

3

00 01 11 10x2x

1

00

01

11

10

0

7

5

8

10*

4 12*

15*

IPE2

(0,2*,8,10*)

2*

IPE1

(0,4,8,12*)

IPE3

(7,15*)

IP4

(5,7)

IP5

(4,5)

IPE1IPE2IPE3IP4

fmín = ~x4x3~x2 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1

OU

IPE1IPE2IPE3IP5


Até o momento identificamos Adjacências –isto é, grupamentos (retangulares ou quadra-dos) de 2n células (mintermos) adjacentes, para as quais o valor da Função é 1.

Pode-se identificar outro tipo de Adjacências– isto é, grupamentos (retangulares ou qua-drados) de 2n células (Maxtermos) adjacen-tes, para as quais o valor da Função é 0.

4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os Zeros das Funções

5050


Exemplos:


x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

0

0

1

1

0

1

1

1

0 1

1 1

1

1

1 1x2

x4

f = x2 + x4

Realmente, considerando-se os uns chega-se ao mesmo valor.

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

1

1

1

0

0

1

1

1

1 1

0 1

0

1

1 1

~x1

f = ~x1 + ~x3

~x3


Dicas: 1-) Constrói-se o Mapa de Karnaughde ~f; 2-) Escreve-se a expressão de ~f, considerando-se os uns (mintermos); 3-) Complementa-se ~f, obtendo-se f.


Na prática nem se chega a construir o Mapa de ~f, define-se o Mapa de f considerando-se os Zeros(Maxtermos); Lembrar que os Maxtermos, identificados por seus índices, estão nas mesmas posições que os mintermos.

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

(0) (4) (12) (8)

(1) (5) (9)(13)

(3) (7) (15)

(2) (6) (14)

(11)

(10)

Maxtermos

M0=x4 + x3 + x2 + x1

5151


Exercício – Considerando-se os Zeros das Funções, determinar a expressão de chaveamento das seguintes funções:


x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

0

1

0

1

1

0

1

0

1 1

1 1

1

1

1 1

x4x3

00 01 11 10x2x1

00

01

11

10

1

0

1

1

0

1

0

1

1 1

1 1

0

1

1 1


Funções Incompletamente Definidas – São aquelas que, por razões diversas, tem o do-mínio de interesse de respostas menor que o conjunto de combinações de todas suas en-tradas. São funções para as quais não impor-ta (Don’t Care - X) que, para algumas com-binações de entradas, a saída possa valer 0 ou 1 (X).

Pode-se tirar proveito deste grau de liberdade escolhendo-se o valor mais adequado de Xpara se obter a expressão mínima possível.

4.4 Funções Incompletamente Definidas

5252


Funções Incompletamente Definidas – Exemplo:� Quer-se sintetizar o Circuito2 de maneira que:


x1

⊕⊕⊕⊕

f1

fn

f2

Circuito2

x2

x3

x3

x2

)7,6,4,3,1(mfp

in ∑∑∑∑====

� Observa-se que a função f1=x3.x2 já foi fornecida, e que fn=f1+f2.

� Por meio dos Mapas de Karnaugh faz-se a análise de quais mintermos podem ser don’t care (X).


� Pode-se ver que a função f2 deverá fornecer 1’s nas posições m1, m3 e m4, e não importa seu valor lógico (1 ou 0) nas posições m6 e m7 (onde foi anotado um X). Procura-se a melhor distribuição de 0’s e 1’s para os X’s, de maneira que se obtenha a menor expressão de chaveamento.


+

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

(0) (1)

(2) (3)

(6) (7)

(4) (5)

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1

1

1 1

1

=

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1 1

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1

1

X X

1

)]}7,6(X)4,3,1(m[f{)}7,6(mf{)7,6,4,3,1(mfp

i

p

i2

p

i1

p

in ∑∑∑∑++++∑∑∑∑====++++∑∑∑∑========∑∑∑∑====

fn f1 f2

5353


� Para sintetizar a soma mínima é preciso:1. Marcar os Implicantes Primários (IP’s) considerando-

se as células X’s como se tivessem valor 1;2. Eliminar os IP’s que cubram apenas células X’s e

apagar os X’s do Mapa de Karnaugh;3. Eliminar IP’s contidos em outros deixando apenas os

IP’s Essenciais (IPE’s).


1 2 3x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1

1

X X

1

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1

1

1

x1

0 1x3x2

00

01

11

10

1

1

1

1

x1.~x3

~x1.x3


Funções Incompletamente Definidas – Exemplo:� Por meio da análise de quais mintermos podem ser

Don’t Care (X) nos Mapas de Karnaugh e a aplicação de técnicas de minimização conhecidas (identificação do Implicantes primários Essenciais – IPE’s) pode-se sintetizar o Circuito2:


x1

⊕⊕⊕⊕

f1

fn

f2

Circuito2

x2

x3

x3

x2

5454


5. Exemplos de Aplicação: 5.1. Somador1-) Análise – Fornece-se o circuito lógico e pede-se

para extrair a Expressão Algébrica e a Tabela da Verdade, interpretando-se suas Funções de Engenharia.

2-) Síntese:a.) Pela Função de Engenharia – A partir da espe-

cificação funcional vão sendo desenvolvidos os módulos constituintes dos sistema.

b.) Por Mapa de Karnaugh – O funcionamento do circuito é especificado por uma Tabela da Verdade, da qual, por Mapa de Karnaugh, são extraídas as expressões algébricas .


5. Exemplos de Aplicação: 5.2. Half Adder Full Adder

x y c s

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 0

s

c

x

y

“Half Adder” - Equivale a um circuito “meio-somador” de dois dígitos binários.

5555


5. Exemplos de Aplicação:5.2. Meio Somador - Somador Completo

xi

yi

ci

ci+1

s

Meio Somador

sint

cint

x

y

Meio Somador

sint

cint

x

y

Somador Completo


5. Exemplos de Aplicação:5.3. Soma de Dois Números

M = x3x2x1 N = y3y2y1

Meio

Somador

Somador

Completo

x1

x2

y1

y2

x3

y3

Somador

Completo

s

cs

cs

c

z1

z2

z3

z4

5656


Lição de Casa

Leitura Obrigatória:� Capítulo 4 do Livro-texto.

� Exercícios Obrigatórios:� Capítulo 4 do Livro Texto;

� Lista de Exercícios.


Bibliografia

Dias, Francisco José de Oliveira; “Introdução aos circuitos de Chaveamento”; Apostila, PEL/EPUSP, 1.989.

Ercegovac, Milos D.; Lang, Tomás; “Digital Systems and Hardware/Firmware Algorithms”; John Wiley, 1.985.

Fernández, Gregório; Saez Vacas, Fernando; “Fundamentos de Informática”, Alianza Editorial, Colección Alianza Informática, 1.987.

Fregni, Edson; Saraiva, Antônio Mauro; “Engenharia do Projeto Lógico Digital”, Editora Edgard Blucher, 1.995.

Gersting, Judith L.; “Fundamentos Matemáticos Para a Ciência da Computação”, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1.995.

5757


BibliografiaGuerra Vieira, Antônio Hélio; Dias, Francisco José de

Oliveira “Notas de Aula de PEL 213 - Circuitos de Chaveamento”, Apostila, EPUSP, 1.979.

Hill, Frederic and Peterson, Gerald; “Introduction To Switching Theory and Logical Design”, John Wiley Sons, 1.974.

Mendelson, Elliott; “Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, 1.977.

Ranzini, Edith; Fregni, Edson; “Notas de Aula de PCS 214 -Teoria da Comutação: Introdução aos Circuitos Digitais”, Apostila, EPUSP, 1.996.

Tremblay, J. P. and Monohar, R.; “Discrete Mathematical Structures With Applications to Computer Science”, McGraw-Hill, 1.975.

análise e síntese de circuitos combinatórios

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