Jogos Combinatrios e Nmeros Ralph Costa Teixeira UFF-Niteri.

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  • Jogos Combinatrios e Nmeros Ralph Costa Teixeira UFF-Niteri
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  • Nim: Como Vencer?
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  • Wyt Queen: Como Vencer?
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  • 1. O que um Jogo? Conjunto de Posies e Posio Inicial; Conjunto de Jogadores (que decidem lances) Regras que determinam: Lances vlidos (movimentos entre posies) ; Posies terminais (onde o jogo acaba) ; Vencedores nas posies terminais (ou pontos atribudos a cada jogador)
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  • 1. Jogos Combinatrios So Jogos: Sequenciais (jogadores se alternam) Com Informao Completa (jogadores sabem TUDO sobre a posio corrente do jogo e os possveis lances a cada momento) No pode haver sorte/azar ou probabilidade, nem cartas escondidas!
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  • 1. Jogos Combinatrios No so jogos combinatrios: Gamo, Ludo... (sorte!); Buraco, Pquer, Truco... (inf. incompleta!); Par ou mpar, 2 ou 1... (simultneos!); Futebol, Vlei... (lances? habilidade?)
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  • 1. Jogos Combinatrios So Jogos Combinatrios: 2 Jogadores: Jogo da Velha, Damas, Xadrez, Go; 1 Jogador: Resta-Um 0 Jogadores: Life (de John Conway) Todos os movimentos so pr-determinados; No h escolha, nem fim.
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  • 1. Jogos Combinatrios so bvios! Desenhe a rvore completa do jogo; Analise-a do final para o comeo!
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  • 1. Jogos Combinatrios so bvios! Desenhe a rvore completa do jogo; Analise-a do final para o comeo!
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  • 1....ou no so bvios? Fonte: www.xkcd.com/1002 Data: 11-Jan-2012
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  • 1. Exemplo: Jogo dos 15 Cartas de 1 a 9 na mesa (abertas); Em seu turno, cada jogador retira uma carta da mesa e a coloca em sua mo; Quem (em qualquer momento) tiver 3 cartas somando exatamente 15 pontos, vence o jogo! Caso todas as cartas sejam compradas e ningum consiga vencer, empate!
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  • 1. Exemplo: Jogo dos 15 Soluo: 618 753 294
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  • 1. Exemplo: Dualidade LERARRUI DEDUALID MEUMAMIL
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  • 1. Exemplo: Chopsticks Comece com um dedo em cada mo; 5 dedos=0 dedos (mos mortas); Lances: Somar uma de suas mos vivas a uma outra mo qualquer (sua mo viva continua com o mesmo nmero), ou Redistribuir os pontos de suas mos entre si (desde que haja real redistribuio). Objetivo: matar ambas as mos do adversrio.
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  • 1. Chopsticks: Estratgia Vencedora 32 30 3122 3220 302110 32 33422011213040 3241 10 223110302110 XX 1130 10 3040314110 11 30 2141 10 11 33 43 3021 11321141 10 11 33 43 114232302110 XX 201142 114210 301120402221 32 302110 2130 10
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  • 1. Suposies Adicionais Suporemos: 2 Jogadores: L (Leitor, azuL, Left, aLuno, voc) e R (Ralph, veRmelho, Right, eu) Jogos Finitos: o jogo necessariamente termina em um nmero finito de lances. Regra Normal: quem no tiver um lance vlido a seu dispor perde; no h empates.
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  • 2. Hackenbush (Desmata-mata) Posio Inicial: grafo conectado ao solo, com arestas azuis ou vermelhas. Voc retira arestas AZUIS, eu retiro arestas VERMELHAS. Arestas desconectadas do solo somem instantaneamente.
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  • 2. Hackenbush (Desmata-mata) R ganha: Jogo NEGATIVO G= 11-14=-3
  • 2. Complicado? L ganha: Jogo POSITIVO G= 15-13=2>0
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  • 2. Tabela de Sinais Se quem comea perde, ento dizemos que G NULO (G=0); Se num jogo G, AZUL sempre ganha, dizemos que G POSITIVO (G>0); Se em G, VERMELHO sempre ganha, dizemos que G NEGATIVO (G
  • 2. Quanto vale x? L ganha: jogo POSITIVO... (x>0) Seria x=1???
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  • 2. Quanto vale x? R ganha! Ento x-1
  • 2. Quanto vale y? L ganha: jogo POSITIVO... (y>0) Seria y=1/3??
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  • 2. Quanto vale y? 2y-=0, ento y=. Em suma: {0|,1}={0|}=
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  • 2. Fraes binrias Exerccio: z+z-1/2 n-1 =0, ento z=1/2 n. {0|1/2 n-1,1/2 n-2,...,1/2,1}={0|1/2 n-1 }=1/2 n
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  • 2. Troncos L=1LR=1-1/2=1/2 LRR=1-1/2-1/4=1/4LRL=1-1/2+1/4=3/4 Regra para calcular troncos (exemplo): LLLLRRLLRL= =4-1/2-1/4+1/8+1/16-1/32+1/64= =219/64
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  • 2. Nmeros Surreais! Exerccio: mostre que LRRLRLRLRLRLR...=(.01010101...) 2 =1/3 Exerccio: mostre que =LRRRRRR... satisfaz 0

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