análise e estimativa do crescimento populacional da cidade de maceió
TRANSCRIPT
Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil
Sistemas de Abastecimento de Água
Alcyr Vergetti / Kevinn de Lima Chaves
Análise e estimativa do crescimento populacional da cidade de Maceió
Maceió, 27 de Março de 2011
Sumário
I. Introdução.......................................................................................................03.
II. Desenvolvimento teórico.................................................................................05.
II.1 Método Aritmético............................................................................................................... 05.
II.2 Método Geométrico............................................................................................................. 05.
II.3 Método Taxa Decrescente....................................................................................................06.
II.4 Método Logístico.................................................................................................................. 06.
III. Resultados e discussões...................................................................................08.
III.1 Método Aritmético............................................................................................................... 08.
III.2 Método Geométrico............................................................................................................. 09.
III.3 Taxa Decrescente................................................................................................................. 10.
III.4 Método Logístico.................................................................................................................. 10.
IV. Comparativo de dados e estimativa da população de Maceió para o ano de projeção de 2030 ....................................................................................................11.
V. Conclusão.........................................................................................................12.
2
I.4 Introdução
O crescimento populacional do Brasil se deu principalmente a partir do ano de 1960 e
vem se intensificando nestas últimas décadas. O país está ocupando hoje a quinta posição dos
mais populosos ficando atrás somente da China, índia, Estados Unidos e Indonésia. O Brasil no
ano de 2010 fecha sua população em aproximadamente 195.304.735 habitantes. Nos últimos
50 anos o País sofreu uma explosão demográfica, obtendo um crescimento de 130 milhões de
pessoas. No entanto, acompanhando uma tendência mundial, o crescimento demográfico
brasileiro, vem sofrendo reduções nos últimos anos. A população continuará crescendo, porém
com sua taxa despencando.
Maceió é a capital do estado brasileiro de Alagoas. Localizada no Nordeste do país,
tem uma população de 936.608 habitantes (2010) e um território de, aproximadamente,
503 km². Integra, com outros dez municípios, a Região Metropolitana de Maceió, totalizando
cerca de 1.160.393 milhão de habitantes (IBGE/2007).
Em um projeto de sistema de abastecimento de água deve-se levar em conta, em
qualquer região, a demanda de água que se dará numa determinada época em razão de sua
população urbana. Admitindo ser o consumo variável e crescente, é fundamental fixar a época
até a qual o sistema poderá funcionar satisfatoriamente, sem sobrecarga nas instalações ou
deficiências na distribuição. O tempo que decorre até atingir essa época define o período de
projeto.
Sendo fixado o período de projeto, é necessário conhecer-se a população de projeto,
ou seja, a população que se espera encontrar na localidade ao fim do período admitido. Com
isto, poderá ser feita uma estimativa do consumo de água na época considerada e
conseqüentemente obtenção das vazões a serem atendidas pelo projeto. São diversos os
métodos aplicáveis para o estudo do crescimento populacional. Os cálculos das populações
são feitas mediante uma equação bem definida, cujos parâmetros são obtidos a partir da
experiência passada. Os métodos mais conhecidos são: o processo de crescimento aritmético,
geométrico, taxa decrescente e logístico, os quais pressupõem que o aumento da população
em função do tempo obedeça, respectivamente, a uma progressão aritmética, a uma
progressão geométrica a uma taxa decrescente e a conhecida curva logística.
Este trabalho tem como objetivo, após demonstração do embasamento teórico,
realizar o estudo de caso da cidade de Maceió com os dados Censitários do Estado de Alagoas
de 1872 a 2000 e aplicação desses métodos matemáticos já citados, com base na curva de
melhor ajuste aos dados, para estimar a população do município para o ano de projeção de
3
2030, com o intuito de obter dados confiáveis, com os quais se possam efetuar o planejamento
de medidas preventivas de saneamento e sistemas de abastecimento de água.
4
II.4 Desenvolvimento teórico
O modelo matemático para determinação do crescimento populacional é obtido a
partir das equações diferenciais, que serão descritas logo abaixo, levando em consideração
uma população inicial (P0) e uma diferença de tempo de avaliação (∆T).
II.1 Método aritmético
Considerando a variação do número de habitantes da população como sendo um
constante, tem-se que:
dPdT =K ⇒
∫Po
P
dP=∫to
t
k⋅dt ⇒ P−Po=k⋅( t−to )
Sendo P0 uma população inicial qualquer, P a população a ser estimada, t0 um
tempo inicial qualquer e t o tempo para o qual se quer estimar o número de habitantes.
Então:
P=+¿
Onde k é uma constante que varia de acordo com a população a ser estudada.
II.2 Método Geométrico
Considera-se a variação do número de habitantes um número proporcional à
população P :
dPdT=K ⇒
∫Po
P
( 1P )dP=∫to
t
k⋅dt ⇒ [ ln (P )]Po
P=k⋅( t−to )
∴ ln (P )−ln(Po )=ln( PPo )=k⋅( t−to )
5
Sendo P0 uma população inicial qualquer, P a população a ser estimada, t0 um
tempo inicial qualquer, t o tempo para o qual se quer estimar o número de habitantes e k é
uma constante que depende da população em estudo. Dessa forma:
II.3Método da taxa decrescente
Considerando uma variação do número de habitantes proporcional à população de
saturação L subtraída desta a população P:
dPdT
=K(L-P)
⇒ ∫Po
P
( 1L−P )dP=∫
t o
t
k⋅dt ⇒
[ ln(L−P )(−1 ) ]
Po
P
=k⋅( t−t o)
(−1) [ln(L−P )−ln(L−Po )]=k⋅( t−to ) ⇒ ln ( L−PL−Po )=−k⋅( t−to )
∴ L−PL−Po
=e−k⋅(t−to)
⇒ (L−P )=(L−Po )⋅e−k⋅(t−to)
Sendo P0 uma população inicial qualquer, P a população a ser estimada, t0 é um
tempo inicial qualquer, t o tempo para o qual se quer estimar o número de habitantes e k é
uma constante que depende da população em estudo. Portanto, isolando-se a variável P:
É possível ainda obter L através da relação:
P=P1
2−P0 . P22. P1−P0−P2
II.4 Método logístico
6
Considerando-se a variação da população como sendo proporcional à multiplicação da
população a ser estimada P pela diferença entre a população de saturação e a população a ser
estimada:
dPdt
=k⋅P⋅(L−P )⇒
∫Po
P
[ 1P⋅(L−P ) ] dP=∫
t o
t
k⋅dt
⇒
1L∫Po
P
[ LP⋅(L−P ) ]dP= k⋅( t−to )
⇒
1L∫Po
P
[ 1P + 1(L−P ) ]dP= k⋅( t−to )
⇒ ( 1L )⋅[ ln(P)+
ln (L−P)(−1) ]
Po
P
=k⋅( t− to )
⇒ ( 1L ){[ ln(P)+
ln(L−P )(−1) ]−[ ln(Po )+ ln(L−Po )(−1) ]}=k⋅( t−to )
⇒ ln (P )−ln (Po )− ln (L−P )+ ln (L−Po )=k⋅L⋅( t−to )
⇒ ln ( PL−P )+ln( L−PoPo )=k⋅L⋅( t−to )
⇒ ln ( PL−P )=k⋅L⋅( t−to )−ln( LPo−1)
⇒
PL−P
=exp [k⋅L⋅( t−to )−ln( LPo−1)]=exp [k⋅L⋅( t−to )]×exp[−ln( LPo−1)]⇒
L−PP
= LP
−1=exp [−k⋅L⋅( t−to )]×exp[ ln( LPo−1)]Sendo P0 a população inicial, P a população a ser estimada, t0 é um tempo inicial
qualquer, t o tempo para o qual se quer estimar o número de habitantes e k é uma constante
que depende da população em estudo. Logo:
P= L1+m⋅exp [−k⋅L⋅(t−to ) ]
Onde:
7
m=exp [ ln( LPo−1)]= LPo
−1
III. Resultados e discussões
O primeiro recenseamento geral do Brasil foi feito no ano de 1872, e indicou que o
Brasil possuía então uma população de menos de 10 milhões de habitantes. A partir dessa data
os censos passaram a ser realizados periodicamente, em geral de 10 em 10 anos.
Os dados utilizados para estudo da população de Maceió foram extraídos do Anuário
Estatístico do Brasil – 2001, elaborado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE). Na tabela abaixo se encontram os dados censitários de Maceió:
ANO POPULAÇÃO
1872 27703
1890 31498
1900 36427
1920 74166
1940 90253
1950 120980
1960 168055
1970 263670
1980 399298
1991 629041
1996 723142
2000 796842
8
III.1 Método aritmético
Utilizou-se o software CurveExpress para o ajuste (ajuste linear) da curva e plotagem do
gráfico para os dados referentes ao período de 1872 a 2000.
S = 311510.84833396r = 0.93803661
População
Ano
1859.2 1884.8 1910.4 1936.0 1961.6 1987.2 2012.8100
893.00
595126.00
1089359.00
1583592.00
2077825.00
2572058.00
3066291.00
Sendo a reta ajustada definida como:
P = 18620,3683¿ t - 34826012,5091
Onde o coeficiente de correlação da reta ajustada é igual a 0,9388.
III.2 Método geométrico
Utilizou-se o software CurveExpress para o ajuste (ajuste linear) da curva e plotagem do
gráfico para os dados referentes ao período de 1872 a 2000.
9
S = 124214.24451775r = 0.99040706
População
Ano
1859.2 1884.8 1910.4 1936.0 1961.6 1987.2 2012.8100
893.00
595126.00
1089359.00
1583592.00
2077825.00
2572058.00
3066291.00
III.3 Método da taxa decrescente
Segue o ajuste feito para os dados referentes ao período de 1872 a 2000. Utilizou-se o
software CurveExpress para o ajuste (ajuste linear) da curva e plotagem do gráfico para os
dados referentes ao período de 1872 a 2000. Foi encontrada a seguinte função:
P = 10000000 – 623283994,0153¿ exp(-0.0022041¿ t)
Ano
População
1859.2 1884.8 1910.4 1936.0 1961.6 1987.2 2012.8100
893.00
595126.00
1089359.00
1583592.00
2077825.00
2572058.00
3066291.00
A equação encontrada para o método da taxa decrescente (P=L−(L−Po )⋅e−k⋅( t−to)
)
pode ser reescrita na forma P=a−be−cx
. Sendo a constante a igual à população de saturação (admitiu-se uma população de saturação de 10 milhões de habitantes para o Estado de Alagoas). A curva apresentou coeficiente de correlação igual a 0,9253.
10
III.4 Método Logístico
A equação encontrada para o método logístico (P= L
1+m⋅exp [−k⋅L⋅(t−to ) ] )
pode ser reescrita na forma P= a
1+b⋅e−c⋅t⋅¿ ¿
Onde a=5 ,5061657×109
, b=17354 ,798c=0 ,017020432
Foi utilizado o software CurveExpert para o ajuste logístico com os dados populacionais
referentes ao período de 1872 a 2000 para t0=1872 . A curva apresentou coeficiente de correlação igual a 0,993.
IV. Comparação de erros e estimativa da população
O objetivo dos métodos projeção populacional é fazer uma previsão do número de habitantes para um dado período ou um determinado ano. As equações encontradas através dos ajustes são utilizadas para efetuação da previsão, mas nem sempre levam a resultados satisfatórios.
Abaixo segue uma tabela comparando os dados de cada método:
Dados Coletados Dados CalculadosAno População Aritmético Geométrico Crescente Logístico1960 168055 168055 168055 168055 1680551970 263670 283677 259044 288479 2636701980 399298 399298 399298 399298 3992981991 629041 526482 642706 511017 5959331996 723142 584292 797946 558519 6983002000 796842 630541 948730 595124 7835902001 642103 990684 604086 8051652002 653665 1034493 612975 826785
11
2003 665227 1080239 621790 8484212004 676790 1128007 630532 8700442005 688352 1177889 639201 8916262006 699914 1229976 647799 9131392007 711476 1284366 656325 9345532008 723038 1341162 664782 9558422009 734600 1400469 673168 9769782010 932608 746163 1462398 681484 9979362020 861784 2254180 760956 11927152030 977406 3474652 834090 1350026
A curva encontrada pelo método logístico foi a que obteve melhores resultados (dados grifados em azul), logicamente, a estimativa do número de habitantes para Maceió foi feita a partir da equação encontrada pelo método logístico (dado grifado em vermelho).
V. Conclusão
Através de hipóteses definidas inicialmente (por exemplo: considerando variação linear da população para o método aritmético), foi possível aproximar a solução de um problema real, neste caso a estimativa de população, através de equações matemáticas. Visto que a variação da população depende de fatores complexos, torna-se inviável a definição de uma formulação capaz de definir com precisão projeções de população, daí a utilização de fórmulas simplificadas passa a ser a ferramenta disponível mais precisa.
No estudo do caso de Maceió foram utilizadas quatro formulações diferentes, e a seguir estas foram comparadas aos dados reais. Os resultados obtidos mostraram ter uma certa confiabilidade para a projeção do ano de 2030, e devem ser confiáveis para previsões não muito distantes dos dados com os quais as curvas foram ajustadas.
12