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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO
MARIA FERNANDA DEGENRING OLIVEIRA
PAULO VITOR MAGALHÃES VELLOZO LOURES
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DO FLUIDO ESCOANDO ATRAVÉS DE
DUTOS CURVOS EM FORMATO S COM DIFERENTES GEOMETRIAS
Niterói, RJ
2016
MARIA FERNANDA DEGENRING OLIVEIRA
PAULO VITOR MAGALHÃES VELLOZO LOURES
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DO FLUIDO ESCOANDO ATRAVÉS DE
DUTOS CURVOS EM FORMATO S COM DIFERENTES GEOMETRIAS
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso de Engenharia
de Petróleo da Universidade Federal
Fluminense, como requisito parcial
para a obtenção do grau de Bacharel
em Engenharia de Petróleo.
Orientador:
Prof. Dr. Roger Matsumoto Moreira
MARIA FERNANDA DEGENRING OLIVEIRA
PAULO VITOR MAGALHÃES VELLOZO LOURES
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DO FLUIDO ESCOANDO ATRAVÉS DE
DUTOS CURVOS EM FORMATO S COM DIFERENTES GEOMETRIAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Graduação em Engenharia de Petróleo
da Escola de Engenharia da Universidade Federal
Fluminense, como requisito parcial para obtenção
do Grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo
Aprovado em 24 de novembro de 2016.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
Prof. Dr. Roger Matsumoto Moreira
Orientador
__________________________________________________
Prof. Dr. Alfredo Moisés Vallejos Carrasco
__________________________________________________
Prof. João Crisósthomo de Queiroz Neto
NITERÓI, RJ - BRASIL
NOVEMBRO DE 2016
AGRADECIMENTOS
A Deus, que nos deu saúde e a oportunidade de trabalharmos juntos.
Ao Dr. Orlando Ayala, querido professor que idealizou todo esse estudo, nos
orientou e nos ensinou a fazer pesquisa científica na Old Dominion University,
e cujos ensinamentos foram fundamentais para a execução desse projeto.
Aos nossos pais, Liane, Ivan, Terezinha e Flávio pelo amor, carinho e apoio
incondicional de todos os dias.
Aos nossos irmãos, Lucas, Ana Clara, João Felipi, Iasmin e Maria, que nos
servem de exemplos ao mesmo tempo em que se espelham na gente.
A nossa familía como um todo, a ASSOFAFAU, a Lara, a Izabela, tia Janine, tia
Lenilde e em especial aos nossos avós, Itabajara, Anna, José, Neucineia, Elza,
Antônio, Hylda e Murillo.
Aos nossos namorados, Jéssica e Edson, cujo amor, paciência e apoio foram
fundamentais para a elaboração e conclusão desse trabalho.
Aos nossos amigos, em especial, Bruna, Gil, Laís, Lydia, Deborah, Elisa,
Camilla, Lara, Lucas e Ana que sempre estiveram ao nosso lado.
A todos os professores da UFF, em especial ao nosso orientador Roger.
A equipe ODU, Gustavo, Pedro, Igor, Luís, Manuel, Zack e Matt, que
estudaram diferentes geometrias conosco compartilhando métodos e
resultados, e muitos momentos inesquecíveis.
A Capes, que por meio do programa Ciência sem Fronteiras, financiou essa
pesquisa científica realizada nos Estados Unidos.
RESUMO
O mundo é extremamente dependente do transporte de fluidos, seja para escoar
água para as casas, transferir calor ou mesmo para circular o nosso sangue. A
forma mais comum de escoá-los nos processos industriais é por meio de dutos, que
inúmeras vezes possuem curvas, seja por necessidade de dimensionamento
espacial ou mesmo estrategicamente para otimizar transferência de calor. No
entanto, nas indústrias de óleo&gás e energia estima-se que bilhões de dólares são
gastos anualmente quando o fluido conduzido no interior dos dutos curvos possui
partículas sólidas, devido aos efeitos negativos de corrosão e erosão. Esses gastos
são acentuados porque o fluido sofre efeitos de forças centrífugas que geram um
escoamento perpendicular ao escoamento principal, o que leva algumas partículas à
parede do duto, intensificando os efeitos de erosão. O objetivo principal desse
trabalho é entender a formação e o desenvolvimento desses escoamentos
secundários no interior de dutos com formato S para auxiliar em futuros estudos do
escoamento em artérias com formato S e à redução de erosão nos tubos utilizados
na indústria de petróleo devido a produção oleosa de arenitos. As simulações foram
realizadas no software COMSOL Multiphysics 5.1 usando módulo CFD para analisar
a velocidade axial, os fluxos secundários e as vorticidades ao longo das curvas. Os
parâmetros variados foram número de Reynolds, raio de curvatura e ângulo de
curvatura. A validação foi executada no simulador a partir da reprodução do
experimento realizado por Niazmand e Jaghargh (2010), em um duto de três
dimensões em formato S, com ângulo de curvatura de 90°, raio de curvatura de 6,5D
e número de Reynolds de 960. Uma atenção especial foi dada à escolha da malha e
aos comprimentos de dos tubos de entrada e de saída da curvatura S a fim de
minimizar os erros numéricos no domínio de interesse. Os resultados mostram que
os efeitos do escoamento secundário são mais intensos quanto maiores os números
de Reynolds e o ângulo de curvatura. Também é possível concluir que a intensidade
é inversamente proporcional ao raio de curvatura.
Palavras chaves: Escoamento secundário, joelho, formato S, configuração S,
vorticidade, vórtices.
ABSTRACT
The world is extremely dependent on the fluids transportation, whether to flow water
into homes, transfer heat, or even circulate our blood. The most common way to
make them flow in industrial processes is through pipes, which are often curved,
either by spatial dimensioning or even strategically to optimize heat transfer.
However, in the oil & gas and energy industries it is estimated that billions of dollars
are spent annually when the fluid has solid particles and flows through curved pipes,
due to the negative effects of corrosion and erosion. These expenses are
accentuated because the fluid experience centrifugal forces effects, that generate a
flow perpendicular to the main flow, which takes some particles to the wall of the
duct, intensifying the effects of erosion. The main objective of this work is to
understand the formation and development of these secondary flows inside S-
shaped ducts to assist in future studies of the flow in S-shaped arteries and the
reduction of erosion in the tubes used in the oil industry due to oily production of
sandstones. The simulations were performed in the COMSOL Multiphysics 5.1
software using CFD module to analyze the axial velocity, secondary flows and
vorticity along the bends. The parameters analyzed were Reynolds number, radius of
curvature and angle of curvature. The validation was performed in the simulator from
the reproduction of the experiment realized by Niazmand and Jaghargh (2010), in a
duct of three dimensions in format S, with angle of curvature of 90°, radius of
curvature of 6.5D and Reynolds number of 960. Close attention was given to the
mesh and lengths of the inlet and outlet pipes of the bends to minimize numerical
errors in the domain of interest. The results show that the effects of the secondary
flow are more intense the greater the Reynolds numbers and the angle of curvature.
It is also possible to conclude that the intensity is inversely proportional to the radius
of curvature.
Keywords: Secondary flow, bends, S bend, S configuration, vorticity, vortices.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Duto em formato S no COMPERJ, RJ. ..................................................... 12
Figura 2 - Desenvolvimento do perfil de velocidade axial no interior do tubo ............ 19
Figura 3 - Escoamento secundário ocorrido devido a curva ..................................... 22
Figura 4 - Composição geométrica estudada ............................................................ 26
Figura 5 - Diferentes configurações geométricas estudadas para raios de curvatura
de: ............................................................................................................................. 26
Figura 6 - Comparação com os resultados de Taylor et al. ....................................... 33
Figura 7 - Comparação entre os resultados obtidos por Niazmand & Rajabi Jaghargh
e nossa validação. ..................................................................................................... 35
Figura 8 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final da primeira
curvatura. .................................................................................................................. 36
Figura 9 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final da segunda
curvatura. .................................................................................................................. 37
Figura 10 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final do tubo de
saída. ........................................................................................................................ 37
Figura 11 - Divisão de elementos na malha normal .................................................. 38
Figura 12 - Diferença da Resolução da parede após ajustes. ................................... 39
Figura 13 - Divisão dos elementos da malha com resolução da parede de 11.06. ... 39
Figura 14 - Orientação do corte. ................................................................................ 40
Figura 15 - Tipos de Análise - (A) Velocidade Axial e (B) Vorticidade ....................... 41
Figura 16 - Comparação de diferentes números de Reynolds na primeira curva...... 44
Figura 17 - Comparação de diferentes números de Reynolds na segunda curva. .... 45
Figura 18 - Desaparecimento do primeiro par de vorticidades na segunda curva..... 46
Figura 19 - Comparação entre as seções transversais da primeira curvatura para um
fluido escoando com número de Reynolds de 10,000, em uma geometria com raio
de curvatura de 1,5 D e diferentes ângulos de curvatura. ......................................... 47
Figura 20 - Comparação das seções transversais para tempos de residência iguais,
em diferente ângulos de curvatura. ........................................................................... 48
Figura 21 - Comparação entre as seções transversais para número de Reynolds
igual a 2000, raio de curvatura de 1,5D para diferentes ângulos de curvatura no
interior na segunda curvatura e no tubo de saída. ................................................... 49
Figura 22 - Comparação entre os efeitos de vorticidade e escoamento secundário
para número de Reynolds e ângulo de curvatura constantes para diferentes raios de
curvatura. .................................................................................................................. 51
Figura 23 - Velocidade axial para diferentes raios de curvatura. ............................... 52
Figura 24 - Refluxo na parede externa da segunda curvatura. ................................. 53
Figura 25 - Visualização dos dois pares de vórtices no tubo de saída. ..................... 54
LISTA DE TABELA
Tabela 1 - Fatores de normalização. .................................................................................... 31
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................. 12
1.1 MOTIVAÇÃO.................................................................................................... 12
1.2 OBJETIVO ....................................................................................................... 13
1.3 METODOLOGIA ADOTADA ............................................................................ 14
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................. 15
2.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS .......................................................................... 15
2.1.1 Fluidos e suas propriedades ...................................................................... 15
2.1.2 número de Reynolds .................................................................................. 17
2.1.3 Regimes de escoamento ........................................................................... 18
3.1.4 Vortices e Vorticidade ................................................................................ 21
2.1.5 Escoamento Secundário ............................................................................ 21
2.2 TRABALHOS ANTERIORES ........................................................................... 22
CAPÍTULO 3 - METODOLOGÍA ................................................................................ 25
3.1 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................. 25
3.1.1 Geometria do tubo ..................................................................................... 25
3.1.2 Equações governantes para escoamento monofásico .............................. 27
3.1.3 Condições de Contorno ............................................................................. 28
3.2 MODELO NUMÉRICO ..................................................................................... 29
3.2.1 Computational Fluid Dynamics (CFD) ........................................................ 29
3.2.2 COMSOL ................................................................................................... 30
3.2.3 Malha/Grid ................................................................................................. 30
3.3 NORMALIZAÇÃO ........................................................................................... 30
CAPÍTULO 4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................... 32
4.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO ......................................................... 32
4.1.1 Taylor et al. (1984) ..................................................................................... 32
4.1.2 Niazmand & Rajabi Jaghargh (2010) ......................................................... 34
4.2 SENSIBILIDADE DA MALHA ........................................................................... 36
4.3 RESULTADOS ................................................................................................. 40
4.3.1 Exibição dos resultados ............................................................................. 40
4.3.2 Considerações gerais ................................................................................ 41
4.3.3 Efeitos devido à variação do número de Reynolds. ................................... 43
4.3.4 Variação do Ângulo de Curvatura .............................................................. 46
4.3.5 Variação do Raio de Curvatura .................................................................. 50
4.4 NOVOS VÓRTICES NO TUBO DE SAÍDA ...................................................... 53
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ....................................................... 55
CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 57
12
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
Um dos principais focos na indústria é a redução de gastos e otimização de
tempo. O escoamento através de dutos está presente em todos níveis da indústria
do petróleo, seja na explotação, no transporte ou no refino. É fácil reconhecer o
motivo, pois esta é a maneira mais rápida e econômica de se transportar os fluidos.
Dutos com seção circular são os mais comuns em refinarias e até mesmo nas
plataformas que possuem unidades de processamento, e devido à limitação
espacial, as tubulações precisam de conexões, sendo comum o uso de curvas a 45º
e 90º para a mudança de direção. Denomina-se duto em formato S quando duas
curvas se encontram sucessivamente posicionadas, mas com direções oposta (vide
Figura 1).
Figura 1 - Duto em formato S no COMPERJ, RJ.
Fonte: Revista Fator
13
Como algumas artérias humanas possuem formato S, existem estudos
relacionados ao escoamento de sangue nesse tipo de geometria voltados também
para a área médica. Além disso, esse tipo de configuração é utilizado na indústria
automobilística, em usinas nucleares, em otimização de trocas térmica, entre outras.
Apesar da configuração ser bastante empregada, quando há presença de sólidos, o
escoamento contínuo de fluido causa o desgaste da parede interna da tubulação.
Este problema é agravado em tubulações com mudança de direção por dois
motivos. Primeiro, devido à força inercial que age sobre as partículas, há a colisão
destas com a parede interna na curva. Além disso, ocorre a formação de um
escoamento secundário, perpendicular à direção do escoamento principal,
provocado pela ação da força centrífuga. Este fenômeno carrega algumas partículas
para perto da parede interna da curva, o que acarreta em erosão na conexão,
aumentando, assim, o risco de vazamento. Anualmente, bilhões de dólares são
gastos devido à corrosão e erosão.
Os principais parâmetros que influenciam um escoamento monofásico em
dutos curvos são o número de Reynolds, o ângulo e o raio de curvatura. Sabemos
que em tubulações com baixo número de Reynolds, o escoamento é
predominantemente governado por forças viscosas, enquanto que para geometrias
com número de Reynolds elevado, o escoamento sofrerá mais influência das forças
inerciais.
1.2 OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é estudar os efeitos do raio (curto, médio e longo) e
ângulo de curvatura (22.5º, 45º e 90º) em curvas presentes em sistemas de
tubulações que conduzem escoamentos monofásicos em diferentes números de
Reynolds, utilizando técnicas de Fluidodinâmica Computacional (CFD). Além disso,
compreender melhor a relação entre esses parâmetros, o escoamento secundário e
a vorticidade em tubulações com formato S. O conhecimento adquirido neste estudo
servirá para desenvolver uma geometria otimizada para tubulação, a fim de diminuir
14
os gastos com a troca de conexões devido à erosão, além de reduzir a perda de
carga dessas linhas.
1.3 METODOLOGIA ADOTADA
Para o desenvolvimento do presente trabalho foram realizadas simulações
computacionais utilizando o software COMSOL 5.1 Multiphysics. Diferentes
configurações de geometria foram criadas, cada uma possuindo múltiplos cortes ao
longo da curva, a fim de oferecer mais informações para análise. Foram feitas três
diferentes análises, considerando-se as mudanças no comportamento do fluido em
relação à variação do número de Reynolds, ângulo de curvatura e raio de curvatura.
15
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
O escoamento de fluidos está presente de maneira vasta no nosso cotidiano,
seja na água que sai nas torneiras, no sangue que circula em nosso corpo, no ar
utilizado no acionamento de válvulas pneumáticas ou no petróleo e seus derivados
em uma refinaria. É importante ressaltar que as propriedades dos fluidos que
influenciam em seu comportamento durante o escoamento são agrupados em uma
variável denominada número de Reynolds (Livi, 2004).
2.1.1 Fluidos e suas propriedades
Um fluido é uma substância que não possui forma própria, assume o formato
do recipiente que o contém. É reconhecido por se deformar continuamente quando
submetido a uma tensão de cisalhamento em equilíbrio estático. Além disso, quando
é submetido a uma força tangencial constante, não atinge uma nova configuração de
equilíbrio estático. As principais propriedades que caracterizam um fluido - ao se
tratar de um escoamento monofásico - são a massa específica (ρ) e a viscosidade
(μ) (Livi, 2004).
A massa específica é definida como o quociente entre a massa de uma
determinada substância e o volume por ela ocupado. Sua representação é dada por:
ρ = m/V (1)
Onde:
m = massa (kg)
V = volume (m³)
16
ρ = massa específica (kg/m³)
A viscosidade é a medida da resistência de um fluido ao escoamento, em
uma dada temperatura. Há duas representações para essa propriedade: a
viscosidade dinâmica (μ) e a viscosidade cinemática (ᵥ) (Brunetti, 2008).
A viscosidade dinâmica, ou absoluta como também é conhecida, é definida
como a força tangencial por unidade de área (tensão de cisalhamento) requerida
para mover um plano horizontal em relação a outro plano - a uma unidade de
velocidade - mantendo uma unidade de distância do fluido. No sistema CGS, sua
unidade é dada em poise (P) ou mais comumente em centiPoise (cP). Sua
representação é dada pela expressão:
T = μ dc/dy (2)
Onde em unidades do Sistema Internacional de Unidades:
Τ = tensão de cisalhamento (N/m² = Pa)
μ = viscosidade dinâmica (Pa.s)
dc = unidade de velocidade (m/s)
dy = unidade de distância entre as camadas (m)
A viscosidade cinemática é determinada pelo quociente entre a viscosidade
dinâmica e sua massa específica. Sua unidade é representada no sistema CGS em
Stokes.
𝑣 = 𝜇
𝜌 (3)
Onde em unidades do Sistema Internacional de Unidades:
v = viscosidade cinemática (m²/s)
17
μ = viscosidade dinâmica (Pa.s)
ρ = massa específica (kg/m³)
2.1.2 número de Reynolds
O número de Reynolds (Re) é uma grandeza adimensional que representa a
relação entre as forças inerciais e as forças viscosas atuantes em um fluido, e é
representado por:
𝑅𝑒 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠=
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 ⋅ 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 ⋅ (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
) ⋅ Á𝑟𝑒𝑎
𝑅𝑒 =(⍴𝐿3) ⋅ (𝑣2/𝐿)
𝜇 ⋅ (𝑣/𝐿) ⋅ 𝐿2=
⍴ ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐿
𝜇
𝑅𝑒 = ⍴ ⋅𝑣⋅𝐷
𝜇 (4)
Onde no Sistema Internacional de Unidades:
ρ = massa específica (kg/m³)
v = velocidade média do fluido (m/s),
μ = viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s)
D = diâmetro interno da tubo (m)
18
2.1.3 Regimes de escoamento
O número de Reynolds determina o regime de escoamento de determinado
fluido dentro de um tubo ou sob uma superfície. Fluidos com mesmo número de
Reynolds apresentam o mesmo comportamento durante o escoamento. Por isso,
diferentes fluidos com diferentes velocidades escoando através de tubos com
diferentes diâmetros podem possuir o mesmo perfil de fluxo.
2.1.3.1 Escoamento Laminar
O escoamento laminar ocorre quando o fluido é governado pelas forças
viscosas e suas partículas seguem uma trajetória ordenada e bem definida, como se
fosse formada por camadas sobrepostas que deslizam sobre as camadas adjacente,
onde as partículas de uma camada não migram para outra. Nesse tipo de
escoamento, não há troca de matéria entre as camadas, apenas há troca de
movimento molecular. Esse tipo de comportamento ocorre quando o número de
Reynolds é menor que 2000 (Re < 2000). As forças viscosas de cisalhamento
amortecem a tendência de surgimento da turbulência (Livi, 2004).
Uma camada limite se forma ao longo da parede interna do duto. Uma força
cisalhante exercida pelo tubo age sobre o escoamento retardando a velocidade do
fluido próximo da parede. O efeito da superfície é sentido até o centro do tubo, e o
escoamento passa a ser totalmente viscoso. A partir deste ponto, a forma do perfil
de velocidades não se altera e o escoamento se encontra completamente
desenvolvido. A distância entre a entrada e o local onde o escoamento se torna
completamente desenvolvido é chamada comprimento de entrada, conforme
ilustrado na figura 2.
19
Figura 2 - Desenvolvimento do perfil de velocidade axial no interior do tubo
Fonte: Livi (2004)
O comprimento de entrada é uma função do número de Reynolds para
escoamentos laminares:
𝐿
𝐷= 0.06
⍴ ⋅𝑣⋅𝐿
𝜇= 0.06×𝑅𝑒 (5)
Onde:
L = comprimento interno (m)
ρ = massa específica (kg/m³)
v = velocidade média do fluido (m/s),
μ = viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s)
D = diâmetro interno da tubo (m)
O escoamento laminar completamente desenvolvido apresenta perfil
parabólico e segue a equação:
𝑣 (𝑟) = 2×𝑣𝑚× (1 − (𝑟
𝑅)
2
) (6)
Onde:
20
v = velocidade axial
Vm = velocidade média
R = Raio interno do tubo
r = distância do centro do tubo
2.1.3.2 Escoamento Turbulento
O escoamento turbulento ocorre quando o escoamento do fluido é altamente
governado pelas forças inerciais e suas partículas seguem uma trajetória irregular,
com movimento das partículas não apenas no sentido do escoamento como também
aleatoriamente em outras direções. Esse regime de escoamento ocorre quando o
número de Reynolds é maior que 4000 (LabTermo).
Para escoamentos turbulentos, a camada limite cresce mais rapidamente,
devido a intensa turbulência entre as camadas do fluido. Diversos experimentos
mostram que o comprimento de entrada para o escoamento turbulento se encontra
entre 25 e 40 vezes o diâmetros do tubo.
2.1.3.3 Escoamento de Transição
A mudança de regime do laminar para o turbulento não ocorre de maneira
instantânea e previsível. Para número de Reynolds entre 2000 e 4000, o
escoamento é considerado em transição, não sendo considerados nem regime
laminar ou turbulento. Nesse sentido, introduz-se um novo conceito, o número de
Reynolds crítico, variável que define o exato número o qual valores acima
representam regime turbulento e abaixo, regime laminar. O valor mais utilizado para
Reynolds crítico é 2300, porém outros valores para essa variável também são
utilizados (LabTermo).
21
3.1.4 Vortices e Vorticidade
Vórtice é um escoamento giratório com padrão circular ou espiral ao redor de
um centro, que surge devido a diferença de pressões de regiões adjacentes.
Vorticidade representa a tendência das partículas de um fluido rotacionarem
próximo a uma região. É um campo pseudo vetorial definido como o produto vetorial
do operador ∇ (nabla) e o campo vetorial de velocidade, indicando assim a rotação
existente no escoamento. A vorticidade pode ser duas vezes a velocidade de
rotação:
(7)
(8)
Onde representa medidas de rotação em um escoamento com eixos de
rotação tridimensional.
A vorticidade é orientada seguindo a regra da mão direita, onde o sentido anti
horário representa valores positivos e o sentido horário, valores negativos.
2.1.5 Escoamento Secundário
Nos casos onde há o escoamento através de dutos, o escoamento
secundário, ou fluxo secundário, surge perpendicular ao escoamento principal e é
relativamente menor. Este fenômeno ocorre devido ao efeito de arrasto na camada
limite. Na presença de conexões, a mudança na direção do fluxo provoca o
surgimento do escoamento secundário, como ilustrado pela figura 3.
Durante a curva, existe um gradiente de pressão transversal atuando no
fluido. Este gradiente fornece força centrípeta ao fluido para que ele possa mudar de
22
direção. No entanto, a parte do fluido que se encontra próximo ao centro do tudo, em
maior velocidade, requer mais força para seguir a curva, do que a parcela próxima
às paredes do tubo. Com isso, o fluido que se encontra no centro tende a migrar em
direção da parede externa do tubo, enquanto que a parte próxima a parede se move
em direção ao centro.
Figura 3 - Escoamento secundário ocorrido devido a curva
2.2 TRABALHOS ANTERIORES
Uma extensa busca por artigos que estudam o comportamento de fluidos em
dutos com geometria em formato S foi realizada de forma a fornecer fundamentos
teóricos, entender o fenômeno dos vórtices e comparar os nossos resultados com os
obtidos por outros autores.
O estudo mais antigo que aborda o escoamento em tubulações em formato S
é datado de 1984, onde TAYLOR ET. AL. divulgaram seu trabalho “Developing Flow
in S-shaped duct - II circular Cross-Section Duct”. Taylor formou sua geometria em S
com duas curvas de 22.5° e 336mm de raio de curvatura e analisou o fluxo para
números de Reynolds igual a 790 e 48000.
Em 1996, HOOGSTRATEN ET. AL. publicou “Numerical Simulation of Blood
Flow in an Artery With Two Successive Bends”, onde analisou o escoamento laminar
23
em geometria S, ambos os joelhos de 35° e com raio de curvatura igual a 13 vezes o
raio do tubo (artéria), para Reynolds de 120, 240, 480 e 960.
Mais tarde, em 2007, JOHNSTON & JOHNSTON publicaram sua pesquisa
“Blood flow in S-shaped in-plane and out-of-plane coronary arteries” cujo o objetivo
era analisar a influência da geometria na tensão de cisalhamento da parede, fluxo
secundário e o índice de cisalhamento oscilatório. Nesse mesmo ano, HONG ET.
AL. escreveu seu artigo “Blood Flow and Macromolecular Transport in Complex
Blood Vessels”. Seu objetivo era, a partir de simulação numérica, estudar - para
números de Reynolds de 280 e 700 - a velocidade axial e escoamento secundário
para fluxo pulsante de sangue com fins medicinais.
Em 2008, dois trabalhos relacionados foram publicados “The spectral hp
element modelling of steady flow in non-planar double bends” por K. E. LEE ET. AL.
e “Experimental Investigation of Solid Particle Erosion in S-Bend” por MAZUMDER
ET. AL. O primeiro trabalho estudou o efeito da não planagem nos tubos em formato
S para os casos laminares com números de Reynolds iguais a 125 e 500. O
segundo citado, estudou o lugar de máxima erosão na geometria com formato S
para diferentes velocidades de ar.
Dois anos depois, 2010, H. NIAZMAND & E. RAJABI JAGHARGH
desenvolveram um estudo chamado “Bend Sweep Angle and Reynolds Number
Effects on Hemodynamics of S-Shaped Arteries” onde analisou-se o efeito da
variação do número de Reynolds (Re= 125, 500 e 960) em tubos com geometria S
com ângulos de 45°, 90° e 135° e raio de curvatura de 6.5 vezes o diâmetro com fins
de aplicação dos resultados na área médica. Nesse mesmo ano, KAZUHISA YUKI
ET. AL. escreveu o artigo “Matched refractive-index PIV visualization of complex flow
structure in a three-dimentionally connected dual elbow”, onde também estudou
geometria com formato S, porém a estrutura difere do nosso trabalho pois os dois
tubos que se conectam encontram-se em planos diferentes.
Em 2013, BILLY C. N. NG ET. AL. escreveu e publicou “Experimental and
CFD Study of a Rectangular S-bend Passage With and Without Pressure Recovery
Effects”, estudo experimental e numérico no interior de um tubo com formato S
24
considerando efeitos de pressão. Vale ressaltar que essa geometria difere um pouco
da nossa, por ser quadrangular.
Em 2014, H. MAZHAR ET. AL. publicou “Mass Transfer in Dual Pipe Bends
Arranged in an S-configuration”onde seu foco era estudar a transferência de massa
em geometria S. No mesmo ano, DEBNATH ET. AL. publicou “Numerical Analysis of
Turbulent Fluid Flow and Heat Transfer in a Rectangular Elbow”. Um estudo
numérico foi estudado para o regime de fluxo turbulento, onde o objetivo era analisar
a transferência de calor em uma geometria similar era formada por dois tubos em
formato S, porém o formato dos tubos diferem dos que estudamos por serem
retangulares.
25
CAPÍTULO 3 - METODOLOGÍA
3.1 MODELO MATEMÁTICO
“Modelo matemático é uma estrutura Matemática que descreve
aproximadamente as características de um fenômeno em questão.” (SWETZ, 1992,
p.65). É composto pelas equações governantes do fenômeno, as condições de
contorno existentes e a geometria onde este fenômeno acontece.
3.1.1 Geometria do tubo
Com objetivo de entender melhor os efeitos da geometria sobre o
comportamento do fluido, nove diferentes configurações foram projetadas. Para isso,
foram escolhidos três diferentes ângulos de curvatura (22.5º, 45º e 90º) e três
diferentes raios de curvatura (1.5D, 6.5D e 10D), onde D o diâmetro interno do tubo,
D = 0.00127m.
Para cada uma destas geometrias, o fluxo da água no regime estacionário foi
estudado para quatro números de Reynolds, dois casos laminares, 100 e 1.000, e
dois casos turbulentos, 10.000 e 100.000. O comprimento de entrada do tubo
simulado foi de seis vezes o tamanho do diâmetro (6D). Tanto para os casos
laminares quanto para os casos turbulentos, o comprimento e a velocidade da água
no tubo de entrada foram projetados para garantir fluxo totalmente desenvolvido de
forma que os efeitos do tubo de entrada pudessem ser considerados desprezíveis.
Após as duas curvas, cada geometria contou com um tubo longo de saída,
com comprimento de 25D para os casos laminares e 60D para os casos turbulentos.
O tubo de saída possui duas finalidades: garantir um fluxo desenvolvido e analisar o
comportamento do fluido após as curvas. Vale ressaltar que a força gravitacional
não foi considerada neste modelo.
26
Figura 4 - Composição geométrica estudada
Para os casos laminares, o perfil de velocidade no tubo de entrada foi
determinado a partir da equação 6. Para os casos turbulentos, foi simulado o
escoamento de água através de um tubo com comprimento 39D, com o mesmo
diâmetro e condições de regime permanente para cada número de Reynolds (10.000
e 100.000). A figura 5 mostra as geometrias estudadas para diferentes raios de
curvatura (RC).
Figura 5 - Diferentes configurações geométricas estudadas para raios de curvatura de:
(a) 1.5D (b) 6.5D e (c) 10D.
27
O escoamento é considerado em regime permanente e o fluido (água) como
homogêneo, de fase única, incompressível e Newtoniano (densidade do fluido igual
a 10³ kg/m³ e viscosidade dinâmica de 10-3 Pa.s) em todas as seções (entrada,
joelho e saída).
3.1.2 Equações governantes para escoamento monofásico
A equação de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis foi utilizada para
descrever o fluxo de água nas geometrias estudadas.
● Equação da continuidade (conservação da massa):
(7)
● Equação de Navier-Stokes para fluido incompressível:
(8)
Por ser um fluido incompressível, a equação de conservação de massa se
reduz para:
(9)
Onde:
v = vetor tridimensional de velocidade
P = pressão modificada
⍴ = massa específica do fluido (103 kg/m3)
μ = viscosidade dinâmica (10-3 Pa.s)
28
Para os modelos turbulentos foi utilizado o modelo RANS (Reynolds-averaged
Navier-Stokes), mais especificamente o modelo κ-ε.
3.1.3 Condições de Contorno
● Na entrada do tubo:
Um perfil de velocidades foi usado como dado de entrada para cada
simulação. Para os casos laminares, foi considerada aceleração nula, com condição
de fluxo estável e plenamente desenvolvido. A equação 6 definiu a curva do perfil de
entrada para esses casos.
Por não existir equação que represente o perfil de velocidade axial
desenvolvido para os casos turbulentos, foi obtido um perfil de entrada proveniente
de outra simulação, onde um tubo suficientemente longo (39D), com o mesmo
diâmetro e propriedades de fluxo e fluido foi utilizado para gerar um perfil de fluxo
completamente desenvolvido. As informações obtidas desta simulação foram usadas
para gerar uma curva parabólica cuja equação foi utilizada como perfil de velocidade
de entrada.
● Na saída do tubo:
Uma vez que o fluido se comporta como um elemento contínuo, os efeitos
sofridos pelo fluido no final do tubo poderiam afetar os resultados das simulações no
interior dos joelhos. Por isso, uma análise de sensibilidade foi feita para garantir que
o fluxo estava completamente desenvolvido na saída do tubo, após percorrer os dois
joelhos. Por fim, a pressão na saída do tubo foi definida como zero.
29
● Na parede:
A velocidade foi considerada desprezível devido à condição de não
escorregamento na direção tangencial ao fluxo e ao comportamento laminar na
parede rígida.
3.2 MODELO NUMÉRICO
Modelo numérico ou modelo computacional, utiliza-se do uso de programas
específicos para análise e solução de modelos matemáticos utilizando diferentes
métodos, como: Métodos dos Elementos Finitos, Método dos Volumes Finitos,
Métodos das Diferenças Finitas e Métodos dos Elementos de Contorno.
3.2.1 Computational Fluid Dynamics (CFD)
A maneira escolhida para estudar os efeitos da geometria sobre o
escoamento em dutos em formato S foi utilizando fluidodinâmica computacional,
através do software COMSOL 5.1 Multiphysics®.
Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) é o
termo dado ao grupo de técnicas matemáticas, numéricas e computacionais usadas
para obter, visualizar e interpretar soluções computacionais para as equações de
conservação de grandezas físicas de interesse em um dado escoamento. A origem
destas equações de conservação é a teoria de Fenômenos de Transporte. Assim,
pode-se resumir CFD como o conjunto das técnicas de simulação computacional
usadas para predizer os fenômenos físicos ou físico-químicos que ocorrem em
escoamentos. (Fontes et al., 2005)
30
3.2.2 COMSOL
O COMSOL é um software de engenharia que determina uma solução
aproximada para modelagem multifísica por meio do Método dos Elementos Finitos
(MEF). Com os parâmetros bem definidos e a malha bem construída é possível
alcançar resultados com excelente precisão. Existem diversos módulos dentro do
programa, sendo os principais, escoamentos de fluidos e transferência de calor.
Estes estudos podem ser realizados para cenários estacionários ou transientes
Primeiramente, a geometria a ser estudada é reproduzida no software e as
condições de contorno aplicadas. Após isso, a malha é escolhida e o programa
calcula a solução. Para os casos turbulentos, foi utilizado o modelo de turbulência k-
epsilon (k-ε).
3.2.3 Malha/Grid
Para solucionar simulações multifísicas, o COMSOL utiliza o Método dos
Elementos Finitos, cuja precisão está diretamente relacionada com o grid utilizado.
Sabe-se que quanto menor o tamanho do grid (mais refinado), mais a solução da
simulação se aproxima da solução real. Contudo, há fatores limitantes tais como os
recursos computacionais, capacidade de processamento de dados do computador e
tempo. Dessa forma, a malha é escolhida de forma a assegurar a convergência da
solução da equação para a modelagem multifísica, com os recursos computacionais
e de tempo disponíveis. A ideia é refinar a malha até que que a diferença entre a
solução dada pelo programa e a solução real assuma um valor arbitrário
considerado desprezível. Neste trabalho o valor considerado foi de 5%.
3.3 NORMALIZAÇÃO
Com o objetivo de melhor comparar os efeitos da geometria e do número de
Reynolds sobre o fluido, foi escolhido um padrão para transformar os resultados em
31
valores adimensionais. Com isso, também é possível usar uma mesma escala para
todos os casos. As velocidades e as vorticidades foram normalizados por Vm e
Vm*/D, respectivamente. Para os casos laminares, Vm* é definido como a
velocidade média de entrada, possuindo o mesmo valor de Vm usada na equação
de Reynolds. Para os casos turbulentos, Vm* é a metade da magnitude de
velocidade máxima no sistema. Os valores de Vm* para diferentes números de
Reynolds (Re), ângulos de curvatura (AC) e raios de curvatura (RC) se encontram
na tabela 1.
Tabela 1 - Fatores de normalização.
32
CAPÍTULO 4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO
Com o objetivo de garantir que o modelo numérico criado representa com boa
precisão o caso a ser estudado, foram criados dois modelos similares, usando
informações obtidas por Taylor et al. (1984) e Niazmand & Rajabi Jaghargh (2010).
4.1.1 Taylor et al. (1984)
Um dos primeiros, e o mais famoso, estudo realizado em um tubo em formato
S com seção circular é o estudo experimental "Developing Flow in S-shaped ducts: II
- Circular Cross-Section Duct" conduzido por Taylor et al. em 1984. Este estudo
serviu como referência para diversos trabalhos sobre este assunto e consiste de um
estudo experimental com um tubo em formato S, com diâmetro interno 48 mm, raio
de curvatura de 336 mm e duas curvaturas com ângulo de curvatura 22.5º. O
comprimento de entrada foi de 210 mm e o comprimento de saída 1820 mm. O
estudo foi realizado para dois valores de número de Reynolds, um laminar igual a
790 e um turbulento igual a 48.000.
Na figura 6, podemos ver a comparação entre os resultados obtidos no
estudo experimental e nas nossas simulações em três áreas diferentes: em 20.25º
da primeira curvatura, 9º e 20.25º da segunda curvatura, respectivamente.
33
Figura 6 - Comparação com os resultados de Taylor et al.
Foi observado que quanto mais refinada a malha, mais os valores e o formato
da curva se aproximavam dos valores experimentais. Foi utilizada a malha
Sequence type: Physics-controlled e Element size: Extra Finer, uma vez que essa foi
a malha mais refinada que convergia em uma solução.
34
4.1.2 Niazmand & Rajabi Jaghargh (2010)
O estudo conduzido por Niazmand & Rajabi Jaghargh, consiste em um tubo
com dupla curvatura em 90º e um fluxo com número de Reynolds igual à 960. Para
essa configuração, o comprimento do raio de curvatura é igual 6.5D, enquanto que o
tubo de entrada e de saída possuem, respectivamente, 4D e 40D, onde D é o
diâmetro interno do tubo, D=0.006m. Um perfil de entrada parabólico foi utilizado na
entrada do tubo, seguindo a equação 6, onde Vm = 0.46829268 m/s. Além disso,
também foi definida condição de não deslizamento nas paredes do tubo e a pressão
na saída do tubo igual a zero em todas as direções.
Os resultados obtidos foram comparados com os dados presentes no estudo
de Niazmand & Rajabi Jaghargh. Na figura 7, podemos observar a comparação dos
resultados referentes à velocidade axial. Os valores foram normalizados por Vm, de
modo que os resultados obtidos se encontrem entre 0 e 2.
35
Figura 7 - Comparação entre os resultados obtidos por Niazmand & Rajabi Jaghargh e nossa validação.
As diferenças de contorno observadas entre as simulações podem ser
justificadas tanto pela diferença do método numérico de resolução utilizado (não são
os mesmos simuladores) quanto pela malha utilizada em nossa validação. A malha
utilizada foi Sequence type: Physics-controlled e Element size: Finer, uma vez que o
tempo de simulação necessário para malhas mais refinadas convergirem, não eram
viáveis.
36
4.2 SENSIBILIDADE DA MALHA
Uma ferramenta importantíssima para atingir bons resultados em uma
simulação é a construção e escolha da malha. Por esse motivo, definimos o “pior”
caso entre as configurações a serem estudadas. Assim, uma malha que apresentar
bons resultados neste cenário, será boa para os demais casos. Durante esta
análise, foram considerados os tamanhos dos elementos da malha e a resolução da
parede. O caso escolhido foi: Reynolds Number = 100.000; Raio de Curvatura =
1.5D; e Ângulo de Curvatura = 90º.
Inicialmente foi simulado o escoamento pela malha predefinida coarse e a
seguir foram simulados o mesmo caso escoando através de malhas mais refinadas,
até a malha predefinida extra fine, que após 20 horas de simulação, não convergiu.
A sensibilidade da malha foi feita comparando os resultados da velocidade axial
obtidos em cada simulação. Para isso, dois pontos foram os escolhidos para a
análise: no saída da primeira curvatura e na saída da segunda curvatura. As figuras
8, 9 e 10, apresentam três diferentes locais onde foram feitas as comparações dos
valores de velocidade axial entre as diferentes malhas e o resultado mais refinado
(finer).
Figura 8 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final da primeira curvatura.
37
Figura 9 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final da segunda curvatura.
Figura 10 - Velocidade Axial para diferentes malhas, analisada no final do tubo de saída.
38
Após a análise, a malha normal foi considerada a melhor escolha para as
simulações. Os resultados obtidos apresentaram uma diferença média inferior a 5%
ao ser comparada com a melhor malha, em um tempo de simulação muito inferior.
Figura 11 - Divisão de elementos na malha normal
Nos casos turbulentos, foi usado o modelo k-ε. Este modelo é altamente
dependente da malha e por isso foram necessários ajustes nas camadas próximas à
parede, para redução dos valores lift-off. A espessura das camadas próximas à
parede foram reduzidas até que o valor da resolução da parede (“Well Resolution”)
chegasse à 11.06 (unidades de viscosidade).
Em verdade, o escoamento turbulento em um duto com parede plana pode
ser dividido em até quatro regimes: na parede com velocidade nula, em regiões finas
e próximas da parede, uma região de transição e uma região de regime turbulento.
O modelo de Navier-Stokes serve para descrever o escoamento de fluido nessas
quatro regiões. No entanto, o escoamento nas finas camadas coladas à parede, cuja
velocidade varia linearmente com a distância, pode ser calculado por meio de uma
solução analítica através das funções de parede (“wall functions”). Fazer essa
aproximação possui a vantagem de reduzir significativamente os requerimentos
computacionais e diminuir assim o tempo de simulação. Essa é uma uma
abordagem muito útil para aplicações práticas de engenharia. (Fonte: Comsol).
39
A resolução de parede quando muito baixa indica que o simulador está
calculando áreas desnecessariamente, o que eleva o tempo de simulação. Em
contrapartida, valores muito altos indicam que algumas áreas não estão sendo
consideradas, o que compromete a precisão da solução encontrada. A figura 12
apresenta a resolução da parede antes e depois dos ajustes e a figura 13 mostra a
divisão dos elementos após a redução da espessura das camadas próximas à
parede. Percebe-se que após as modificações nas funções de parede a resolução
foi de 11.06 em toda a geometria.
Figura 12 - Diferença da Resolução da parede após ajustes.
Figura 13 - Divisão dos elementos da malha com resolução da parede de 11.06.
40
4.3 RESULTADOS
4.3.1 Exibição dos resultados
● Posicionamento dos cortes
Para facilitar a visualização da evolução do escoamento dentro do tubo, foram
escolhidos 8 pontos de corte: No início, meio e fim da primeira curva; no meio e no
fim da segunda curva; e em distâncias iguais a 2D e 4D após a saída da segunda
curva, onde D é o diâmetro interno do tubo. Assim, nos joelhos, a metade superior
do corte mostra a parte externa da primeira curva ou a seção interna da segunda
curva enquanto a metade inferior ilustra a parte interna da primeira curva ou a seção
externa da segunda curva.
● Posição de referência à geometria
A posição do observador em relação ao fluxo foi feita de maneira com que a
parede externa da primeira curva e a parede interna da segunda curva fiquem na
parte superior do corte, como ilustrado na figura 14.
Figura 14 - Orientação do corte.
41
● Tipos de Corte
Em cada corte, foram feitas duas diferentes análises, uma com a velocidade
axial, representada pelo fundo de cores e a outra, com vorticidade e o escoamento
secundário, onde o fundo colorido representa a vorticidade, onde azul representa a
vorticidade no sentido oposto ao fluxo, enquanto que vermelho simboliza uma
vorticidade no mesmo sentido do fluxo. Em ambos os casos, as setas representam o
escoamento secundário, porém o tamanho das setas não possuem valor
quantitativo, são representadas apenas para visualização do sentido do escoamento
secundário.
Figura 15 - Tipos de Análise - (A) Velocidade Axial e (B) Vorticidade
4.3.2 Considerações gerais
Ao todo foram simulados 36 diferentes casos para 4 diferentes números de
Reynolds e 9 configurações geométricas. Os resultados foram organizados em
figuras-tabelas a exemplo do modo de apresentação utilizado por Niazmand et al.
Pode-se observar comportamento do fluido nas imagens, com maiores ou menores
intensidades, em diferentes pontos.
42
Como o estudo do perfil de velocidade axial no interior de dutos não
demonstrou resultados inovadores, um estudo mais aprofundado e detalhado foi
feito apenas para a vorticidade e o escoamento secundário perpendicular ao
escoamento principal, ou seja, o escoamento no plano de corte analizado. As
figuras-tabelas foram montadas para todos os casos estudados. Nelas, as cores
representam a vorticidades enquanto as setas indicam o sentido do escoamento
secundário.
Nos casos turbulentos foi possível perceber que na entrada da primeira curva
o primeiro par de vorticidade começa a crescer rente à parede, representado pela
fina camada vermelha e azul na periferia do tubo. Como há ausência de forças
centrífugas atuando naquela área, uma vez que aparece anteriormente à curva, a
explicação encontrada que justifique a presença daquela vorticidade é a
continuidade do fluido, isto é, como o fluido é contínuo, as partículas presentes na
área anterior a entrada da primeira curva “sentem” o que está por vir. Essa teoria
pode ser comprovada pelo fato de não haver um padrão de vorticidade em um tubo
reto com as mesmas características de tubo (material, diâmetro, raio e ângulo de
curvatura) e fluido (número de Reynolds).
Quando o fluido entra no primeiro joelho, a força centrífuga começa a atuar
sobre ele, levando à formação do escoamento secundário, representado pelas
setas, que demonstra a translação das partículas. Ao mesmo tempo, a vorticidade,
representada pelas cores, ilustra a rotação das partículas, onde a cor vermelha
indica que as partículas percorrem o sentido horário, enquanto a azul, o sentido anti-
horário. No primeiro joelho, as partículas transladam na mesma direção que
rotacionam.
Ao entrar no segundo joelho, uma força centrífuga no sentido contrário
começa a atuar nas partículas, mudando assim, o sentido do escoamento
secundário. A mudança do sentido da força centrífuga também é responsável pelo
movimento da primeira estrutura de vorticidade para o centro e parte externa da
segunda curva. Ao mesmo tempo, o primeiro par de vorticidade perde força
enquanto o segundo par gerado começa a se afastar da parede e a fortalecer,
envolvendo assim, o primeiro par.
43
Ao sair da segunda curva, as partículas vão para o tubo reto de saída, onde
não há força centrífuga. No entanto, o fluido continua transladando devido à inércia,
o que leva, em alguns casos, à formação de um novo par de vórtices no tubo de
saída.
4.3.3 Efeitos devido à variação do número de Reynolds.
No início da primeira curvatura, para qualquer número de Reynolds, o fluxo no
plano ainda se encontra disperso e não possui nenhum significado físico. Acredita-
se que o intensidade do primeiro par de vorticidades ocorre em função do número de
Reynolds, uma vez que observa-se nos casos turbulentos, esse par mais rente à
parede e com um padrão mais definido, enquanto nos casos laminares, encontra-se
mais disperso ou mesmo inexistente.
A figura 16 apresenta os efeitos de vorticidade e escoamento secundário para
a primeira curva do caso com 1.5D de raio de curvatura e 90 graus de ângulo de
curvatura para diferentes números de Reynolds.
44
Figura 16 - Comparação de diferentes números de Reynolds na primeira curva.
Conforme o fluido percorre a primeira curva, o primeiro par de vorticidades se
intensifica. Para um determinado raio de curvatura e ângulo de curvatura constantes,
ao comparar os resultados das simulações na mesma área dentro do duto (início,
meio ou fim da primeira curva, segunda curva ou outlet) para os diferentes números
de Reynolds, percebe-se que as principais diferenças são: a espessura da camada
entre a vorticidade primária e a parede; e o afastamento das vorticidades do centro
do tubo.
Pode-se observar que quanto maior o número de Reynolds, mais fina será a
camada entre a vorticidade primária e a parede, e maior será a intensidade da
vorticidade primária. Sabe-se que esses efeitos são função do número de Reynolds,
uma vez que ele é diretamente proporcional às forças inerciais, isto é, quanto maior
o número de Reynolds, maior o tempo levará para a vorticidade se afastar da parede
e afetar todas as partículas, que por inércia, tendem a permanecer como antes.
Seguindo para a segunda curvatura, o fluido começa a sofrer os efeitos da
curva no sentido oposto. Isso altera o posicionamento do ponto de maior velocidade
45
do escoamento principal, assim como inverte a direção do escoamento secundário.
Devido a essa maior velocidade, a força centrífuga será maior nos casos com maior
número de Reynolds, e consequentemente, levará mais tempo para a inversão do
sentido do escoamento secundário nestes casos. Além disso, há um
enfraquecimento das vorticidades primárias e um crescimento da camada entre elas
e a parede, criando, assim, um segundo par de vorticidades que gradativamente
envolve o primeiro par e o desloca para a parte externa da curvatura, na mesma
direção do escoamento secundário. A figura 17 mostra o comportamento do fluido
na segunda curvatura para diferentes números de Reynolds.
Figura 17 - Comparação de diferentes números de Reynolds na segunda curva.
46
Quanto menor o número de Reynolds, mais rápido será o crescimento da
vorticidade secundária e o decrescimento da vorticidade primária. Assim, nos casos
de número de Reynolds muito baixos, inferior à 240, a vorticidade secundária anula
a vorticidade primária completamente, e nenhum traço da vorticidade primária é
observado na saída da segunda curvatura. (HOOGSTRATEN ET AL., 1996).
Na segunda curva, ainda podemos observar que para a mesma seção
transversal, quanto maior o número de Reynolds, menor será a espessura do novo
par de vorticidades, e isto ocorre porque a força do primeiro par de vorticidades é
proporcional ao número de Reynolds, sendo assim, leva mais tempo para o segundo
par crescer e expandir.
Para o caso de número de Reynolds igual a 100, o primeiro par de vorticidade
desaparece antes do primeiro quarto da segunda curva, como mostra a figura 18.
Nos demais casos, a vorticidade secundária não consegue extinguir completamente
a primária. Vale a pena ressaltar que o fenômeno descrito ocorre em de forma muito
mais rápida e com muito menos intensidade do que nos casos com maiores
números de Reynolds.
Figura 18 - Desaparecimento do primeiro par de vorticidades na segunda curva.
4.3.4 Variação do Ângulo de Curvatura
Ao analisarmos a influência do ângulo de curvatura sobre o comportamento
do fluido, podemos encontrar algumas semelhanças com a influência do número de
Reynolds. A figura 19 mostra a evolução da vorticidade e do escoamento secundário
47
através do tudo para geometrias com 1,5D de raio de curvatura e número de
Reynolds igual à 10.000.
Na primeira curvatura podemos observar que o escoamento secundário se
comporta de maneira similar em todos os casos. Por outro lado, a vorticidade
apresenta diferenças. A análise pode ser feita sob duas óticas:
1. Análise da mesma seção transversal para diferentes ângulos
2. Análise pelo ângulo percorrido pelo fluido
Figura 19 - Comparação entre as seções transversais da primeira curvatura para um fluido escoando com número de Reynolds de 10,000, em uma geometria com raio de curvatura de
1,5 D e diferentes ângulos de curvatura.
Sob a primeira ótica, a partir da figura 19, percebe-se na seção mediana da
primeira curva um volume e influência muito maiores do primeiro par de vorticidade
48
quanto maior o ângulo de curvatura. Essa análise é feita para todas as seções no
interior do tubo, onde chega-se a essa mesma conclusão. Acredita-se que a
intensidade do primeiro par de vorticidade esteja relacionado ao tempo de residência
no duto, uma vez que o fluido é submetido aos efeitos da força centrífuga por um
tempo maior. Por isso, acredita-se que o primeiro par de vorticidades teve mais
tempo para se intensificar, nos maiores ângulos.
Sob a segunda ótica, podemos comparar a intensidade da vorticidade
baseado no ângulo percorrido pelo fluido, isso é, comparar as seções baseado no
tempo de residência no interior do tubo, como exemplificado na figura 20. Na
primeira curvatura, podemos perceber resultados bastante semelhantes entre a
seção média do caso de 90º com seção de saída do caso de 45º, como também a
seção média do caso de 45º com seção de saída do caso de 22.5º. Porém as
intensidades são maiores e ocupam uma área maior nos pontos de saída de dos
casos com ângulo de curvatura de 22.5º e 45º.
Figura 20 - Comparação das seções transversais para tempos de residência iguais, em diferente ângulos de curvatura.
49
Na segunda curvatura, as diferenças são mais visíveis. A figura 21 mostra a
evolução da vorticidade e do escoamento secundário na segunda curvatura.
Figura 21 - Comparação entre as seções transversais para número de Reynolds igual a 2000, raio de curvatura de 1,5D para diferentes ângulos de curvatura no interior na segunda
curvatura e no tubo de saída.
Em todos os casos, ainda é possível visualizar o primeiro par de vorticidades
no ponto médio da segunda curva, sendo mais intenso e influente quanto maior o
ângulo de curvatura. Isso ocorre porque a vorticidade possui maior intensidade para
este caso. Como a vorticidade gerada na geometria com ângulo de curvatura de
50
22.5º possui baixa intensidade, ela é rapidamente aniquilada pelo segundo par de
vorticidades formado. Assim, no ponto de saída da segunda curvatura não é mais
possível visualizar o primeiro par de vorticidades. Conclui-se que quanto maior o
ângulo de curvatura, mais forte será o primeiro par de vorticidade gerada e por mais
tempo os efeitos da primeira curvatura atuarão no escoamento.
4.3.5 Variação do Raio de Curvatura
A figura 22 mostra a evolução do comportamento do fluido para diferentes
raios de curvatura, com 90º de ângulo de curvatura e 10.000 de número de
Reynolds. Podemos observar que há uma grande diferença na intensidade da
vorticidade para o caso de menor raio de curvatura. Isso ocorre porque a intensidade
da força centrífuga é inversamente proporcional ao raio de curvatura. Portanto,
podemos concluir que quanto menor o raio de curvatura, maior é a intensidade da
vorticidade e mais tempo levará para o escoamento secundário mudar de sentido.
51
Figura 22 - Comparação entre os efeitos de vorticidade e escoamento secundário para número de Reynolds e ângulo de curvatura constantes para diferentes raios de curvatura.
A velocidade máxima dentro do tubo é inversamente proporcional ao raio de
curvatura. Para a simulação com 1,5D de raio de curvatura, temos uma velocidade
máxima 1,6 vezes a velocidade média de entrada. Porém, para o caso 10D, a
52
velocidade máxima encontrada foi 1,1 vezes a velocidade média de entrada. A figura
23 apresenta as linha de contorno para diferentes intensidades da velocidade axial.
Podemos observar que a velocidade tende a se deslocar para a parte interna da
curvatura, e que há uma concentração muito mais elevada na parte interior da
segunda curvatura para o caso com 1.5D de raio de curvatura.
Figura 23 - Velocidade axial para diferentes raios de curvatura.
Nestes casos, ocorre um destacamento do fluido da parede externa da
segunda curva. Para os casos com número de Reynolds igual a 1.000, Raio de
curvatura de 1,5D e ângulo de curvatura iguais a 45º e 90º, ocorre um refluxo nessa
região com baixíssimas velocidades, de módulos iguais a 2,6% e 2,1%,
respectivamente. A figura 24 mostra o perfil de velocidades para o segundo caso
53
mencionado. Para os casos com raios de curvatura mais elevados, o descolamento
da parede externa da segunda curva é mais sutil e não há refluxo.
Figura 24 - Refluxo na parede externa da segunda curvatura.
4.4 NOVOS VÓRTICES NO TUBO DE SAÍDA
Para os casos turbulentos, um novo par de vórtices surgem no tubo de saída
para as geometrias com 1.5D de raio de curvatura e 90º de ângulo de curvatura,
totalizando quatro vórtices. Para o caso de número de Reynolds igual a 100.000,
esses dois vórtices adicionais foram visualizados no tubo de saída a 2D de distância
da saída da curvatura, enquanto para número de Reynolds igual a 10.000 esses
segundo par foi visualizado no tubo de saída a 0,7D de distância da saída da
segunda curvatura, e são mais fracos quando comparados com o primeiro par. Não
há indícios do aparecimento dessas estruturas nos casos laminares, após a saída da
segunda curva. Acredita-se que esse novo par de vorticidades surge devido ao
efeito da vorticidade proveniente e remanescente da primeira curvatura, por isso,
são mais fracos quando comparados ao outro par. A figura 25 mostra os dois pares
de vórtices no corte 2D após o final da segunda curvatura, onde (1) é o par que
54
surge devido a força centrífuga durante a segunda curvatura e (2) é o par que surge
devido à vorticidade remanescente da primeira curvatura.
Figura 25 - Visualização dos dois pares de vórtices no tubo de saída.
55
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES
As simulações e estudos da literatura nos permitiram concluir que o
comportamento do fluido é fortemente influenciado pelo número de Reynolds, ângulo
de curvatura e raio de curvatura da geometria em que ele escoa. Ao passar por um
duto curvo, o fluido é submetido a forças centrífugas, que geram um escoamento
perpendicular ao escoamento principal. O escoamento gera vorticidades, que
representam a rotação das partículas do fluido.
O comportamento do fluido no interior do duto com formato S pode ser
resumido da seguinte forma: Em algum ponto da segunda curvatura, o primeiro par
de vorticidades cede lugar a um novo par de vorticidades que se intensifica,
envolvendo o primeiro par, que enfraquece sua intensidade, se afastando da parede
e se movimentando no sentido do escoamento secundário.
Constituíram portanto, objeto de estudo do presente trabalho, as influências
do (i) número de Reynolds; (ii) ângulo de curvatura; e (iii) raio de curvatura, além da
(iv) formação dos vórtices após as curvas.
(i) número de Reynolds: há uma relação proporcional entre o número de
Reynolds e o comportamento da vorticidade e do tempo para mudança do sentido
do escoamento secundário. Na primeira curvatura, quanto maior o número de
Reynolds, maior o tempo que o primeiro par de vorticidades levará para se afastar
da parede e maior a sua intensidade. Na segunda curvatura, quanto maior o número
de Reynolds, mais tempo levará para mudar o sentido do escoamento secundário.
Isso ocorre porque o primeiro par de vórtices se mantém de modo mais prolongado
e intenso na segunda curvatura quanto maior o número de Reynolds. Além disso, foi
possível perceber nos cortes do interior da segunda curvatura que para os números
de Reynolds igual a 100, o primeiro par de vorticidade é completamente aniquilado
pelo segundo par. Nos demais casos, a vorticidade secundária não consegue
extinguir completamente a primária.
56
(ii) Ângulo de curvatura: A análise das seções transversais ao longo do duto
permite constatar a relação entre o ângulo de curvatura e os efeitos de vorticidade e
escoamento secundário. Percebe-se que quanto maior o ângulo de curvatura, mais
intensos esses efeitos são, uma vez que o tempo de residência no interior do tubo é
maior, e consequentemente, por mais tempo o fluido é submetido a forças
centrífugas.
(iii) Raio de curvatura: O efeito e intensidade das vorticidade e do escoamento
secundário foram estudados para tubos com diferentes raios de curvatura. O
resultado encontrado foi que quanto menor o raio de curvatura, mais intensos os
efeitos de vorticidade e maior será o tempo de residência necessário para que o
sentido do escoamento secundário mude completamente de direção.
(iv) Vórtices: A ideia principal era estudar as condições de formação dos
vórtices. Foi possível constatar em todos os casos, a existência de pelo menos um
par de vórtices gerados pelo escoamento secundário. No entanto, para alguns casos
turbulentos, há a presença de quatro vórtices no tubo de saída. O primeiro par
gerado foi causado por inércia, enquanto o segundo par foi gerado devido à
translação e rotação em sentidos contrários do primeiro par de vorticidade. Portanto,
é necessário estudos adicionais para rastrear esses vórtices e poder aplicar os
resultados encontrados para a indústria.
Para trabalhos futuros: Recomendamos o estudo da localização do ponto de
máxima vorticidade e do centro dos vórtices formados pelo escoamento secundário
no interior do duto, com o objetivo de determinar uma equação que represente estas
localizações. Ademais, recomendamos o estudo da combinação de curvaturas com
diferentes geometrias, variando raio de curvatura e ângulo de curvatura,
simultaneamente.
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CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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