ADL194.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Resposta ao degrau do sistema de segunda ordem genérico da Eq. (4.22).Transformada da resposta, C(s):

(4.26)

Expandindo-se em frações parciais,

(4.27)

A aplicação da transformada de Laplace inversa , fornece

(4.28)

Gráfico desta resposta para diversos valores de �. traçado em função do eixo dos tempos normalizado. �nt.

Outros parâmetros associados à resposta subamortecida são:

1. Instante de pico, Tp: Tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico (máximo).2. Ultrapassagem percentual, %UP: O quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o

valor de estado estacionário, final, expresso como uma percentagem do valor de estado estacionário.

3. Tempo de assentamento, Ts: Tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de ± 2% em torno do valor de estado estacionário.

4. Tempo de subida, Tr;. Tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do valor final.

Observe que as definições de tempo de assentamento e de tempo de subida são fundamentalmente as mesmas para a resposta de primeira ordem. Todas as definições são também válidas para sistemas de ordem superior a 2.

Cálculo de Tp

O valor de Tp é encontrado derivando c(t) na Eq. (4.28) e obtendo o primeiro instante de passagem por zero depois de t =0. Esta tarefa é simplificada através da "derivação" no domínio de freqüência usando a propriedade da transformada. Supondo condições iniciais nulas e usando a Eq. (4.26), obtemos

Completando os quadrados no denominador, temos

Igualando a derivada a zero, resulta

ou

(4.34)

Cada valor de n fornece o instante da ocorrência de máximos e de mínimos locais. O primeiro ponto de pico, que ocorre no instante de pico, Tp, é encontrado fazendo n = 1 na Eq. (4.33):

(4.33)

Cálculo de %UPCom base naFig. 4.14, a ultrapassagem percentual, %UP, é dada por

(4.35)

Onde cmax é obtido calculando o valor de c(t) no instante de pico, c(Tp). Usando a Eq. (4.34) para Tp e substituindo na Eq. (4.28), vem

Pela resposta ao degrau calculada na Eq. (4.28),

Substituindo as Eqs. (4.36) e (4.37) na Eq. (4.35). obtemos finalmente

Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de amortecimento, �. O inverso é dado por

100% )1/( 2

×= −− ζζπeUP

(4.39)

(4.36)

(4.38)

(4.37)

Cálculo de TS

Usando a nossa definição, o tempo de assentamento é o tempo necessário para que a amplitude da senóide amortecida da Eq. (4.28) alcance o valor 0,02, ou seja

(4.40)

Esta equação é uma estimativa conservadora, pois estamos admitindo que

Temos então:

(4.41)

Uma aproximação para o tempo de assentamento que será usada para todos os valores de �

Cálculo de TrDevido à dificuldade de se obter um resultado analítico,Usamos um computador e a Eq. (4.28), para determinar o tempo de subida. (figura acima)

Exemplo 4.5

Obtendo Tp , %UP, Ts e Tr a partir de uma função de transferência

Problema Dada a função de transferência

Solução�n e � são calculados, respectivamente, como 10 e 0.75.

Substituindo nas relações (Eqs. (4.34), (4.38) e (4.42) obtemos Tp = 0,475 s, %UP = 2,838 e Ts = 0,533 s. Usando a tabela da Fig. acima, o tempo de subida normalizado é de aproximadamente 2,3 s. Dividindo por �n resulta Tr = 0,23 s.

(4.42)

(4.43)

O gráfico dos pólos relativo a um sistema de segunda ordem subamortecido genérico, mostrado anteriormente é reproduzido e expandido na Fig. 4.17 (acima) para maior clareza. Vemos, com base no teorema de Pitágoras, que a distância radial da origem ao pólo é a freqüência natural, �n e cos �=� .

Agora, comparando as Eqs. (4.34) e (4.42) com a localização dos pólos, calculamos o instante de pico e o tempo de assentamento em termos da localização dos pólos. Por conseguinte,

(4.44)

(4.45)

onde �d é a parte imaginária do pólo, chamada freqüência amortecida de oscilação, e �d é a magnitude da parte real do pólo, chamada freqüência exponencial amortecida.

A Eq. (4.44) mostra que Tp é inversamente proporcional à parte imaginária do pólo. Como as retas horizontais no plano s são linhas de valores imaginários constantes, elas são também linhas de instante de pico constante. De modo semelhante, a Eq. (4.45) nos diz que o tempo de assentamento éinversamente proporcional à parte real do pólo. Como as retas verticais do plano s são as linhas de valor real constante, elas são também linhas de tempo de assentamento constante. Para finalizar, como � = cos� , as linhas radiais são linhas de valores constantes de �. Como a ultrapassagem percentual é função somente de � , as linhas radiais são, por conseguinte, linhas de valores constantes de ultrapassagem percentual, %UP. Estes conceitos estão esboçados na Fig. 4.18 (abaixo), onde estão rotuladas linhas de valores constantes de Tp, Ts , e %UP no plano s.

Fig. 4.19 Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem subamortecidos à medida que os pólos se movem:a. com parte real constante;b. com parte imaginária constante;c. com relação de amortecimento constante.