UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II

Módulo III

FASORES E IMPEDÂNCIA

22UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Forma Retangular:

33UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Operações com o j:

44UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

z = x+jy sendo j=(-1)1/2

Para:

z1=x1+jy1 e z2=x2+jy2

Adição e Subtração:

z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)

z1-z2=(x1-x2)+j(y1-y2)

Multiplicação:

Forma Retangular:

55UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Divisão:

Complexo conjugado:

z=x+jy z*=x-jy

66UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Forma Polar:

77UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Formas Exponencial e Polar: Fórmulas de Euler:

Corolários:

88UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Sendo:

Multiplicação nas Formas Exponencial e Polar:

Divisão nas Formas Exponencial e Polar:

Multiplicação pelo Conjugado:

99UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Conversão entre formas:

1010UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Representação Retangular: Representação Polar:

1111UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Números Complexos

Subtração:Adição:

1212UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Função de Circuito

Para a entrada:

A resposta forçada é:

Equação diferencial relacionando entrada e saída de um circuito:

Substituindo x(t) e yp(t):

Resultando a Função de Circuito:

1313UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Teorema

Se yp(t) for a resposta forçada à entrada complexa x(t), a resposta forçada à parte real de x(t) será a parte real de yp(t).O mesmo acontece em relação às partes imaginárias.

Substituindo x(t) e yp(t) na equação seguinte:

1414UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Teorema

Separando os termos das componentes real e imaginária:

Comprova-se que y1(t) é a resposta forçada de x1(t) e y2(t) é a resposta forçada de x2(t).

1515UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Considerando-se a Função:

Sendo:

uma função complexa;

e o seu conjugado.

1616UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Fasores Girantes em Sentidos Contrários

1717UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

A Resposta Forçada ao Fasor Girante

Tem a forma

Se: e

Tem-se as projeções dos fasores girantes no eixo real:

e

1818UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Fasor é o valor do Fasor Girante em sentido anti-horário no instante t =0.

Há uma correspondência entre o Fasor

E a função senoidal

A resposta forçada a é

Com e Função de Circuito

1919UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Se

Sendo e

De modo semelhante, a resposta forçada a

é

Assim, para a entrada:

Por superposição, têm-se a resposta forçada:

2020UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Adição de duas tensões senoidais:

2121UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Adição de duas tensões senoidais:

2222UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

O Fasor

Adição de duas correntes senoidais:

2323UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Exemplo

Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .

Sendo s=jω

2424UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Exemplo

Como:

A corrente fasorial é:

E a corrente no domínio do tempo:

2525UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

Considerando-se o circuito com a notação fasorial:

2626UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

Para o Resistor:

Impedância: Admitância:

Condutância:

2727UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

Para o Capacitor:

Impedância: Admitância:

(Ω)

(

Reatância Capacitiva:

XC=1/(ωC) (Ω)

Susceptância Capacitiva:

i = C dv/dt

2828UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

Para o Indutor:

Impedância: Admitância:

(Ω)(

Reatância Indutiva:

XL=ωL (Ω)

(Susceptância Indutiva:

v = L di/dt

2929UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

3030UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância

Diagrama de Impedâncias

3131UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância

Variação da Impedância com a Frequência Angular

3232UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedância e Admitância

3333UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Lei das Tensões

A soma algébrica dos fasores de tensão em um circuito fechado é igual a zero.

3434UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Lei das Correntes

A soma algébrica dos fasores de corrente em um nó é igual a zero.

3535UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedâncias em Série

3636UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Impedâncias em Paralelo

Y1 = I1/V Y2 = I2/V Y3 = I3/V Y = I/V

3737UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Exemplo

Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .

3838UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Diagramas Fasoriais

Circuito RLC Série :

3939UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Diagramas Fasoriais

Circuito RLC Paralelo :

4040UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Diagramas Fasoriais

Lugar Geométrico do Fasor I variando-se R ou L de 0 a ∞

Sendo: e

4141UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Diagramas Fasoriais

Resultando nos seguintes gráficos:

Variação de R:Semicircunferência de raio Vm/(2ωL)

Variação de L:Semicircunferência de raio Vm/(2R)

4242UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Variação da Impedância com a Frequência

Para o circuito série RLC:

Tem-se as frequências angular e cíclica de ressonância:

Que ocorrem quando XL=XC, resultando: VL=-VC

4343UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Gráficos e diagramas das tensões no circuito série RLC em ressonância:

No circuito ressonante, a corrente está em fase com a tensão.

4444UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Com a frequência de ressonância, o circuito série RLC torna-se puramente resistivo, com impedância mínima e corrente máxima.

Frequência menor que a de ressonância torna o circuito série RLC capacitivo e maior que a de ressonância torna o circuito indutivo.

4545UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Fator de Qualidade – Circuito Série RLC

Variação da corrente com Q:

Largura da banda de frequência:

4646UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Com a frequência de ressonância, o circuito paralelo RLC torna-se puramente resistivo, com impedância máxima e corrente mínima.

Frequência menor que a de ressonância torna o circuito paralelo RLC indutivo e maior que a de ressonância torna o circuito capacitivo.

4747UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Ressonância

Fator de Qualidade – Circuito Paralelo RLC

Variação da impedância com Q: Largura da banda de frequência:

4848UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Teorema de Thévenin

Aplica-se o Teorema de Thévenin aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.

Zth é a impedância equivalente da rede linear, a partir dos terminais A e B, com as fontes independentes desativadas.

Circuito equivalente de Thévenin:

4949UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira

Teorema de Norton

Aplica-se o Teorema de Norton aos circuitos de corrente alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.

Circuito equivalente de Norton: