BARRAGEM DE ITAIPUREAVALIAcAO DOS CRITERIOS DE SUBPRESSAO

NO CONTATO CONCRETO-ROCHA

MIGUEL ANGEL TORALES - engenheiro, Itaipu BinacionalOSCAR A. VILLALON A. - engenheiro, Itaipu BinacionalFREDDY S. CARDOZO - engenheiro, Itaipu BinacionalADOLFO SZPILMAN - engenheiro, Itaipu BinacionalJOSE ANTONIO ROSSO - engenheiro, Itaipu BinacionalCORRADO PIASENTIN-engenheiro, Ieco-Elc(Enerconsult Engenharia Ltda)ADEMAR S. FIORINI-engenheiro,Ieco-Elc(Enerconsult Engenharia Ltda)

RESUMO: 0 novo criterio de subpressao adotado para a inter-face concreto-rocha, na regiao das cabegas e misulas dosblocos de contrafortes e de gravidade aliviada em ITAIPU ea interpretacao fisica do fenomeno sao confirmados pelasobservacoes de subpressao efetuadas durante cerca de 12anos, desde o enchimento do Reservatorio e pelo estudo deelementos finitos em modelos matemdticos.

INTRODUgAO

Neste trabalho serao enfocadas as subpressoes medidas aolongo do contato concreto-rocha na barragem de ITAIPU, especifica-mente na regiao das cabecas e misulas dos blocos de contraforte ede gravidade aliviada, apos cerca de doze anos de operacao doReservatorio. Sera feita uma analise do fenomeno de variacaosazonal da subpressao que ocorre nesses tipos de blocos, suainterpretacao fisica com base numa extensa serie de resultados dainstrumentaCao e nos recentes estudos em modelo matemdtico deretro-analise, chegando-se como conclusao a uma reavaliagao doscriterios iniciais da subpressao.

CRITERIOS INICIAIS DE PROJETO

Os criterios de projeto de ITAIPU contemplavam inicialmenteos seguintes diagramas de subpressao (Figura 1):

a) Blocos de gravidade aliviada (Barragem Principal-Trecho F)

As subpressoes no contato concreto-rocha, na cabeca de mon-tante, foram previstas admitindo-se queda linear entre o pe demontante (pressao correspondente ao N.A. do Reservatorio) e oponto medio da misula (pressao zero, diagrama triangular). Estecriterio se baseou, portanto, em um contato concreto-rocha unifor-me, com o mesmo coeficiente de permeabilidade ao longo de toda a

Tema II 159

sua extensao.

b) Blocos de contraforte (Trechos D, E e I)

0 criterio adotado foi similar aquele dos blocos de gravidadealiviada, ou seja, queda linear entre o pe de montante da barragem

e o ponto medio da misula.

HISTORICO DO REGISTRO DAS SUBPRESSOES

Desde o inicio do pre-enchimento do Reservatorio, passou-se aobservar que em alguns blocos da Barragem Principal as subpressoesno contato concreto-rocha se apresentavam significativamentesuperiores aquelas previstas nos criterios de projeto.

Foram perfurados entao alguns drenos, atraves do contatoconcreto-rocha, verificando-se que houve um significativo aliviode subpressoes, inclusive em blocos adjacentes. A vazao, porem,bastante reduzida.

Com a conclusao do enchimento do Reservatorio e a manutencaode seus niveis ao redor da El. 220, foi possivel verificar aocorrencia de oscilacoes sazonais de subpressoes na interfaceconcreto-rocha, sob a cabega de montante ate o.inicio da misula,na grande maioria dos blocos de contrafortes e de gravidade ali-viada. As amplitudes entre verso e inverno foram da ordem dedezenas de metros, ultrapassando na estacao fria, sistematicamen-te, os valores admitidos nos diagramas de subpressao das hipoteses

originais de projeto.

Foi verificado tambem que as variagoes sazonais afetavamalguns piezometros instalados no interior do macico de fundacao,embora de forma atenuada.

Uma analise de estabilidade ao deslizamento efetuada nestaepoca com diagramas de subpressoes majorados, revelou que o fatorde seguranca seria pouco diminuido, devido as caracteristicasfavoriveis deste tipo de barragem.

ANALISE DAS SUBPRESSOES E SUA INTERPRETAQAO

Na Figura 2 sao ilustradas as subpressoes registradas emalguns piezometros de contato concreto-rocha, escolhidos entre osmais representativos do comportamento; a este respeito podem serfeitas as seguintes observacoes:

- os valores maximos dos niveis piezometricos ocorrem nos meses deagosto a outubro, com uma defasagem media de cerca de 2 meses comrespeito ao mes mais frio;

- os valores minimos ocorrem nos meses de abril-maio, com umadefasagem media da ordem de 2 a 3 meses com respeito ao rues mais

Tema 11 160

quente;

- essas defasagens coincidem com as observacoes de deformacoes edeslocamentos dos blocos das estruturas, fazendo com que o "inver-no" e "verso" do corpo dos blocos sofram translacoes no tempo, comreferencia aos periodos de maxima e minima da temperatura ambien-te, conforme a mostrado na Figura 2.

- as curvas piezometricas mostram uma trajetoria assimetrica deacrescimo/decrescimo, sendo o ramo ascendente mais ingreme, comduracao da ordem de 4 meses, enquanto o ramo descendente duracerca de 6 meses, com variacoes mais suaves.

- Blocos de ContrafortesAlguns piezometros posicionados mais para montante atingiram nivelpiezometrico proximo a carga hidraulica do Reservatorio e permane-ceram constantes por alguns anos, configurando a abertura docontato.

Na regiao da misula dos blocos, entretanto, a situagao a de norma-lidade, nao havendo tendencia de abertura permanente: apenas noinverno se observam pequenos marejamentos em alguns.pontos locali-zados.

- Blocos de Gravidade AliviadaOs piezometros indicam um comportamento de ciclos mais irregularese uma tendencia decrescente, devido talvez a estabilizacao dasdeformacoes, ao entupimento dos caminhos de percolacao, em funcaodos fenomenos de assoreamento nessa regiao mais profunda, e a suamaior inercia termica.

Na Figura 3 sao mostradas as deformacoes detectadas pelosextensometros instalados na regiao de montante dos blocos selecio-nados entre os mais representativos da variacao sazonal, sobre asquais podemos efetuar os seguintes comentarios:

- os valores miximos de abertura ou descompressao correspondem aosmeses mais frios de julho-agosto para os blocos de contrafortes,enquanto que para os blocos de gravidade aliviada ha um retardo daordem de 2 a 3 meses;

- os valores minimos de fechamento ou compressao ocorrem nos mesesde janeiro-fevereiro, e tern defasagens similares as do item ante-rior;

- os ciclos de abertura/fechamento dos blocos de contrafortes serepetem sem grandes variacoes, indicando um comportamento elisti-co;

- os ciclos de abertura/fechamento dos blocos de gravidade alivia-da indicam uma abertura residual ao termino de cada ciclo, com umatendencia a estabilidade nos ultimos anos.

Com base nessa analise explica-se o comportamento sazonal dassubpressoes no contato concreto-rocha dos blocos de contrafortes egravidade aliviada, atraves das seguintes hipoteses:

- o aumento das subpressoes no inverno devido a descompressao/a-

Tema 11 161

bertura do contato, com consequente aumento da permeabilidadeatraves de diaclases, juntas, fraturas da rocha e fissuras, juntase eventuais defeitos do concreto dessa regiao, propiciando um ca-minho mais franco de percolacao para as aquas procedentes do

Reservat6rio;

- a diminuicao das subpressoes no verso pela compressio/fechamentodo contato, com consequente diminuicao da permeabilidade atravesdos caminhos de percolacao;

- o carater assimetrico da curva de piezometria pode indicar que amajoracao de pressoes de percolacao, instaladas em decorrencia daabertura das descontinuidades na estacao fria, representa umelemento de resistencia, ainda que passiva, ao novo fechamentodessas descontinuidades, com a sobrevinda da estacao quente;

- a defasagem de 2 a 3 meses nos niveis piezometricos , com respei-to as deformagoes indicadas pelos extensometros , mostra a baixapermeabilidade existente no contato.

As variagoes das subpressoes no contato concreto-rocha dacabega de montante dos blocos de contrafortes e dos blocos degravidade aliviada, sao, portanto, um reflexo das variacoes termi-cas sazonais no corpo inteiro do bloco. No final do verso, oparamento de jusante atinge sua dilatagao termica maxima, defor-mando a crista para montante e, consequentemente, comprimindo afundacao naquela regiao. Esse comportamento a atestado pelosresultados dos deslocamentos sazonais da estrutura de concreto,aferidos pelas medicoes dos pendulos nela instalados (Figura 4).No fim do inverno ocorre o processo inverso, quando o paramento dejusante retrai devido a temperatura minima, provocando um movimen-to da crista para jusante e uma descompressao ou tracao na regiaodo pe de montante.

A porcao da barragem situada a montante, isolada termicamentepelo Reservat6rio, mantido a nivel praticamente constante, naointervem nesse processo, pois suas variacoes de temperatura saodespreziveis devido a grande inercia termica da aqua, funcionandosomente como transmissora dos esforcos.

Por outro lado, ha uma defasagem de alguns meses entre atemperatura do ar e os fenomenos descritos, pois a absorcao oudissipacao do calor no corpo da barragem se processa com relativalentidao.

Um estudo estatistico efetuado para avaliar este efeito desazonalidade dos piezometros evidencia este fenomeno de alivio-compressao a partir do pe de montante dos blocos, indicando grandevariacao na amplitude das medidas piezometricas, variando desdevalores da ordem de 40 m na grande maioria (80%) dos piezometrosinstalados a 3,5 m do pe de montante do bloco, para valores meno-res, da ordem de 1 a 2 m nos piezometros afastados 10,5 m.

MODELO MATEMATICO

Um estudo recente de retro-anilise, efetuado pelo metodo doselementos finitos para um bloco tipo contrafortes, de 65 m de

Tema II 162

altura, com carga hidriulica constante e submetido'a ciclos anuaisde temperatura ambiente, indica os seguintes fatos relevantes, noque se refere ao fenomeno das subpressoes no contato concreto-rocha (Figura 5):

- os alivios de tensoes que ocorrem no contato, nos periodos deinverno, estao claramente caracterizados, revelando a passagem deuma situagao de compressao (no verso) para uma outra de tracao (noinverno), sob a cabeca de montante dos blocos tipo contraforte.Esse alivio a mais intenso junto ao pe de montante, reduzindo-serapidamente para jusante, conforme indicacao dos piezometros aiinstalados;

- na regiao da misula, as tensoes de origem termica entre verso einverno provocam alivio, a montante, e incremento das compressoes,a jusante. As tensoes finais, entretanto, sao sempre de compres-sao, o que esta coerente com as baixas infiltragoes medidas pelosdrenos rasos, na regiao;

- na regiao mais para montante da misula, entretanto, verificou-seque o nivel final da tensao e muito baixo, podendo, eventualmentecair a zero, o que viria explicar as pequenas surgencias d'aguaque sao observadas na regiao do contato concreto/rocha, em algunsblocos, durante os periodos de inverno.

NOVO CRITERIO

Na Figura 1, foram plotados os pontos correspondentes aosniveis piezometricos maximos e minimos sazonais observados, osquais definem claramente um diagrama de subpressao trapezoidal,caracterizado por subpressao total entre o pe de montante e oinicio da misula, variando linearmente ate anular-se em seu pontomedio.

Deve-se ressaltar que este novo criterio pode ser aplicadotambem a eventuais feicoes ou descontinuidades mais permeiveis efracas existentes no macico de fundacao, a pequenas profundidades,com o cuidado de que seu ponto zero corresponda a linha de drenosou ao seu afloramento na superficie.

CONCLUSOES

A variacao sazonal de subpressoes nao foi considerada quandoda fixacao dos criterios de projeto, nem sua possivel ocorrenciafoi previamente admitida.

De fato, dentro das priticas nacionais do Brasil e do Para-guai de projetos e construcao de aproveitamentos hidraulicos, ondehaja uma instrumentacao instalada, de modo a aferir o desempenhodo conjunto superestrutura-fundacao, um comportamento deste tiponao havia sido observado anteriormente, pois a quase totalidadedas obras constituidas por estruturas de concreto de gravidade

Tema 11 163

macica , nao possibilitava a deteccao nitida de oscilacoes •piezome-tricas que pudessem ser atribuldas a influencias termicas de

cariter sazonal . Por outro lado , as proprias variacoes sazonaisdos niveis d'agua do Reservatorio , contribuem , tambem , para masca-

rar este fenomeno.

Os valores mais significativos das subpressoes registradaspara os blocos de contraforte e gravidade aliviada durante asestacoes fria e quente , foram plotados em graficos adimensionais,para mostrar os diagramas de subpressao em termos gerais ( Figura1).

Para os dois tipos de blocos , a envoltoria das subpressoesmedidas a representada por um diagrama trapezoidal , com subpressaototal compreendida entre o pe de montante e o inicio da misula,variando linearmente ate anular -se em seu ponto medio . Este tipode comportamento ciclico a caracteristico de blocos esbeltos, ondeas variagoes sazonais de temperatura afetam o bloco todo, ou aomenos grande parte dele. Observacoes feitas em blocos do tipogravidade macica nao mostram esses ciclos pronunciados , devido a

menor influencia da temperatura e maior rigidez da estrutura.

Finalizando, confirma-se que apos doze anos de bem sucedidaoperagao do Reservatorio , as observagoes das variacoes de subpres-sao na base dos blocos de concreto da maior barragem do mundodeste tipo , revelaram duas realidades desconhecidas : uma do dia-grams trapezoidal de subpressoes em lugar do triangular , e outradas conspicuas variacoes sazonais.

REFERENCIAS

TORALES, Miguel Angel; et-alii, Uplift Pressure on the Concrete -Rock Contact. 14th Annual USCOLD Lecture - Arizona (USA) - 1994.

SZPILMAN , Adolfo; et-alii, Barragem de Itaipu - Subpressoes noContato Concreto -Rocha - Tema I: "Subpressoes em Estruturas eeConcreto ". XVII Seminario Nacional de Grandes Barragens - JoaoPessoa - Margo 1987.

SEIFART , L.A. S.; et -allii , Itaipu Structures - Evaluation oftheir Performance . XV Congress on Large Dams - Lausanne ( Suica) -

1985.

SZPILMAN , Adolfo ; et-allii , Itaipu - Auscultacao e Inspecao dasEstruturas e Fundacoes durante o enchimento parcial e total doReservatorio . Tema III. XV Seminario Nacional de Grandes Barragens- Rio de Janeiro - Novembro 1983.

15,81m

8,32m , E3,745m

Piez3metro de contato

Cortina de injegoo

Extensbmetro inclinodo poro montante

'16,64%1,1 m

30, 89 m

0 4 8 12

Envoltoria dessubpressiesobservados

Envoltoria dossubpressOesobservadas

Criterio de projeto w sod • V^, Criterio de projetooriginal

• Inverno(m) + Verao

0 4 8 12162024(m) + Ver6o

BLOCOS DE CONTRAFORTES BLOCOS DE GRAVIDADE ALIVIADA

FIG. 1- SUBPRESSOES NO CONTATO CONCRETO-ROCHA

Tema 11 166

I

TEMPERATURA MEDIA SEMANAL DO AR

°C40

30

20

10

0

215E

195W

0 175U

155'W2 1350NW 115aJ 95W

z

225

215

205

195

185

175

165

155

NO PIEZOMETRO BLOCO INCL . C/VERT.*

1 PSF-08 F-5/6 40°

2 PSF-09 F-5/6 600

3 PSF - 2 1 F-11/12 600

4 PSF - 22 F-11/12 500

5 PSF-33 F-13/14 70°

6 PSF - 60 D-22 67 °

7 PSD-87 D-38 65°

8 PSD - 112 D-52 73°9 PSD - 135 D -57 780

10 PS0 - 137 D-57 740

40°C

30

20

10

0

215

195

175

155

135

115

95

225

215

205

195

185

175

165

155

Angulo inclinadopara montante

FIG. 2 - PIEZOMETROS NO CONTATO CONCRETO -ROCHA(ANDAMENTO SAZONAL)

+ JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

EI.220 Nivel d'opua moximonormal do reservoto ► io

%r S 3

BLOCOS DEGRAVIDAD ALIV DA

V JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

El.220 Nivel d'oguo maximo normal do rwservotorio

6 8 •^

1 1 I 1

\V Z-iBLOCOS DE CONTRAFORTES

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN M1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 St

Tema II 166

TEMPERATURA MEDIA SEMANAL DO AR°C40

30

20

100

OV JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN0+ 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

40°C30

20

10

0

+6.00 +6.00

E +5.00E

+4.00.a

+3.00

cr +2D00W +1.00a

0.00

+ 0.60

+0.40

E +0.20

E 0.000a - 0.2 0U

-0.40

¢ -0.600LL -0.80a

- 1.00

-1.20

-1.40

-1,60

1 2 3

' ...^ti... ....

.v.-• ./ Z•

4 5

BLOCOS DE GRAVIDADE ALI VIADA

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN M1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Ch

BLOCOSOE CONTRAFORTE 6 7

9 ^, n rll n 8 r'A

ge- f,

kwo10

V JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN Ma2+ 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 0

No EXTENSOMETRO BLOCO INCL.C/ VERT isI EM-F-01 F-5/6 6002 EM-F - 04 F-1/2 60°

3 EM-F-06 F-13/14 600

4 EM -F - 21 F-19/20 6005 EM-F-26 F-27/28 60°

6 EM -0 - 02 D-7 0°7 EM-D - 10 D-20 50°8 EM-D-21 D-54 0°

9 EM - D - 22 D-54 4500 EM-D - 25 D-57 0-

45.00

+4.00

+3.00

+2-00

+1.00

0.00

+0.60

+0.40

+0.20

0.00

-0.20

-0.40

-0.60

-0.80

-1-00

-1.20

- 1 .40

-1.60

Anqulo indinodoparo montante

a

crwcoa

FIG. 3- EXTENSOMETROS NOCONTATO CONCRETO- ROCHA(ANDAMENTO SAZONAL)

0

U.

Envoltorio dos deslocamentos no veroo

Eixo do 8orrogem

Envoltdrio dos deslocamentos no inverno

EI.190

,. - E1.115

El.65

Blocos decontrofortes

1.165

Blocos de grovidademociCa

SEQAO NO EIXO DA BARRAGEM0 500 m

ESCALA GRAFICA

0N

0

0 5 10 15 20mm

ESCALA DOS DESLOCAMENTOS

00 In

N

: E1.225q,j ^ to M Q1

cc w u. u. LL

El 160

E1.140

EI.95

Blocos de contrafortes Blocos de

h

ti z

\_E1.40

grovidade oliviodo

FIG.4 - DESLOCAMENTOS DA CRISTA DA BARRAGEM(BLOCOS-CHAVE)

Tema II 168

CABECA • MISULA CONTRAFORTE

04001 'Q

200-

0-

-200-

-^ -400--400-0

-600--600-zw -800--800-

-1000--1000-

-1200--1200-

-1400-14001

-1600

VERAO

INVERNO

FIG. 5 - MODELO MATEMATICO - TENSOES VERTICALSNO CONTATO CONCRETO/ROCHA

H

Piezimetro de tomatoCortina de injecdo

PiezSmetro de contato

Cortina de injecao

Extensbmetro inclinado paro montante

1 15,81m

8,32 T 3,745m

to

1000

Envoltoria dossubpressi esobservadas

Envoltoria dossubpressoesobservadas

Criterio de projeto w '^ Criterio de projetooriginal a: *+ I original

amD o

0 4 8 12(m)

• Inverno cn 0 4 8 12162024 • Invemo+ Verso (m) + verso

BLOCOS DE CONTRAFORTES BLOCOS DE GRAVIDADE ALIVIADA

FIG. 1 - SUBPRESSOES NO CONTATO CONCRETO-ROCHA

Tema II 170

TEMPERATURA MEDIA SEMANAL DO AR

°C4 030

20

10

0

215

195

175

155

135

115

95

225

215

205

195

185

175

165

155

V JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN in4' 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 0

1--El.220 Nivel d'oqua moximonormal do reservotorio

1 5 3

I --^

BLOC*0S DEGRAVIDAD ALIV ADA

a JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN MCh 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

El.220 Nivel d'ogua moximo normal do reservatorio

_ 6 8 •^

I' •a . ^ I F I •,.,.

,1 l 1 I 1

BLOCOS DE CON TRA FOR TES

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

N° PIEZONETRO BLOCO INCL . C/VERT.*

1 PSF-08 F - 5/6 40°

2 PSF - 09 F-5/6 60°

3 PSF - 2 1 F-11/12 60°

4 PSF - 22 F-11/12 500

5 PSF - 33 F -13/14 700

6 PSF - 60 D-22 6707 PSD - 87 D -38 650

8 PSD - 112 D-52 73 °9 PSD - 135 D-57 78°

10 PSD - 137 D-57 74°

40°C30

20

10

0

215

195

175

155

135

115

225

215

205

195

185

175

165

155

Angulo inclinadopars montante

FIG. 2 - PIEZOMETROS NO CONTATO CONCRETO -ROCHA(ANDAMENTO SAZONAL)

Tema 11 171

TEMPERATURA MEDIA SEMANAL DO AR°C40

30

20

10

0

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 o+

+6.00

E +5 -00E

00+4.

+300

+200

+1.000LLW0

40°C3020

10

0

+6.00

.+5.00

ti+4.00

+3.00

+2.004 5

--+I.00

0.00

12

3 . /

BLOCOS DEGRAVIDADE ALIVIADA

cl JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN M9+ 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 of

+0.60 +0.60BLOCOSDE CONTRAFORTE 6 7

+0.40 +O.40

+0.20 + 0.2 0

0 00

-0.20

-0.40

-0.60

-0.80

-1.00

-1.20

-1.40

0.00

- 0.20

- 0.40

- 0.6 0^ ^ N ^ r 1 J

-0.80

- 1.00

-1.2010

- 1,40

- 1.60 - 1.60

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

No EXTENSOMETRO BLOCO INCL.C/VERT ;fEI E M - F - 0 1 F-5/6 600

2 EM-F-04 F-1/2 60°

3 EM-F-06 F-13/14 600

4 EM -F - 21 F-19/20 6005 EM-F-26 F-27/28 600

6 EM-0 -02 0-7 0°7 EM-D-10 D-20 50°8 EM-D -21 D-54 00

9 EM-D -22 D-54 45°0 EM-D -25 D-57 0 °

A Angulo inclinodoporo montonte

FIG.3- EXTENSOMETROS NO CONTATO CONCRETO- ROCHA(ANDAMENTO SAZONAL)

0

U.

Envoltorio dos deslocomentos no verso

Envoltorio dos deslocomentos no inverno

0 5 10 15 20mm

ESCALA DOS DESLOCAMENTOS

EI.190

Blocos de controfortes

E 14 0

Blocos de

1.165

grovidode oliviodoBlocos de grovidodemociCo

SEGAO NO EIXO DA BARRAGEM0 500M

ESCALA GRAFICA

CD

Q

0N

0Q1IT t O N to

0 0 W U. U- U.

CDM

U

0 M

-• E1.225

E1.160 E1.V4E1.140

E1.95

FIG.4 - DESLOCAMENTOS DA CRISTA DA BARRAGEM(BLOCOS-CHAVE)

115

E1.65

Blocos decontrofortes

Tema II 173

400-

200-

0-

a -200-

-400-0'< -600,z

-800-

-1000-

-1200 -

-1400 -

-1600-

CABEGA MISULA CONTRAFORTE

VERAO

INVERNO

FIG. 5 - MODELO MATEMATICO - TENSOES VERTICALSNO CONTATO CONCRETO/ROCHA