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ANÁLISE DA CARGA MÓVEL E DA PROTENSÃO NA SUPERESTRUTURA DE
PONTES BIAPOIADAS EM VIGAS PRÉ-MOLDADAS PROTENDIDAS
João Pedro Montorfano Cruz Santos
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do Título de Engenheiro.
Orientadores:
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Ricardo Valeriano Alves
Rio de Janeiro
Setembro de 2016
ii
ANÁLISE DA CARGA MÓVEL E DA PROTENSÃO NA SUPERESTRUTURA
DE PONTES BIAPOIADAS EM VIGAS PRÉ-MOLDADAS PROTENDIDAS
João Pedro Montorfano Cruz Santos
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA DE PETRÓLEO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por :
________________________________________
Prof. Ricardo Valeriano Alves, D.Sc.
________________________________________
Prof. Mayra Soares Pereira Perlingeiro, D.Sc.
________________________________________
Prof. Flávia Moll de Souza Judice, D.Sc.
________________________________________
Prof. Francisco José Costa Reis, M.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO de 2016
iii
Santos, João Pedro Montorfano Cruz
Análise da carga móvel e da protensão na
superestrutura de pontes biapoiadas em vigas pré-moldadas
protendidas / João Pedro Montorfano Cruz Santos – Rio de
Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.
xv, 100 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Mayra
Soares Pereira Lima Perlingeiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica /
Engenharia Civil, 2016.
Referências Bibliográficas: p.95-96.
1. Pontes 2. Concreto Protendido 3. Carga-móvel
I. Alves, Ricardo Valeriano et al. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Civil. III. Análise da carga móvel e da protensão
na superestrutura de pontes biapoiadas em vigas pré-
moldadas protendidas.
iv
“es muβ sein”
(Beethoven, L. v.)
v
AGRADECIMENTOS
A Deus, por tudo.
À minha família, pelo amor incondicional, pela educação que me foi dada e,
principalmente, por saber me cobrar mais como pessoa do que como profissional.
Aos meus amigos e colegas de profissão do Ciclo Básico, por todas as horas
gastas em momentos mais que memoráveis.
Aos três melhores collocs que poderia pedir – Márcio, João e José – que me
presentearam com a melhor convivência que já tive e dividiram comigo o ano mais
enriquecedor, pessoal e profissionalmente, que eu já vivi.
À École Centrale de Nantes, Emilie e Fouad pelo acolhimento, seriedade e
excelência no ensino do que é ser engenheiro.
À coordenação do curso de engenharia civil da Escola Politécnica e à chefia do
Departamento de Estruturas, pelo esforço e dedicação em tornar o curso melhor.
Aos professores que souberam transmitir não só a técnica, mas também a
inquietude que deve estar em cada engenheiro: Flávia Moll, Marcelo Miguez, Respício
Antônio, Eduardo Batista, Alessandra Conde, Fernando Danziger, Leonardo Becker,
Marcos Barreto, José Roberto Ribas, Antônio Santana, Fabrício Nogueira e também,
Fernanda Elbert, Jair Salvador e Marcelo Netto.
À professora Elaine Garrido Vasquez, por mostrar repetidas vezes que, muito
embora o sistema seja falho, ele ainda é feito de pessoas e cada uma delas pode
fazer a diferença quando desejar.
Ao meu professor e orientador, Ricardo Valeriano Alves, pelos incontáveis
ensinamentos técnicos transmitidos e, principalmente, por encarnar o verdadeiro
espírito de professor, instigando e fascinando os alunos pela profissão de engenheiro.
À professora e orientadora, Mayra Perlingeiro, pela paciência e dedicação
devotadas à elaboração do projeto, do início até o final.
Ao todos os meus colegas de trabalho, especialmente João, André e André,
pelo convívio extremamente produtivo tecnicamente.
Ao meu chefe e colega, Rafael Costa, pelos repetidos exemplos inspiradores e
conselhos técnicos imprescindíveis.
A minha mãe Jacqueline, por provar diversas vezes que me conhece mais que
eu mesmo e por me guiar pelo caminho da honestidade e compaixão.
Ao meu pai, Paulo Anibal, pelo amor explosivo e sincero.
Aos meus irmãos, Lucca, Antonio, pelas consecutivas demonstrações de
amadurecimento, que me fazem questionar quem deve dar exemplo a quem.
vi
A minha irmã, Maria Eduarda, pela alegria e personalidade que inundam meus
dias.
Ás minhas avós, Cely e Nazareth, pelo amor infinito.
Ao meu padrasto, Antônio Henrique, e minha madrasta, Márcia, pelo carinho e
dedicação.
A minha namorada Marina, por discordar de mim e me ensinar a escutar e
pensar diferente. Não só isso, mas também pelo apoio, paciência e companheirismo,
principalmente por dividir comigo todas as aflições que marcam o final da faculdade.
Aos que conviveram comigo durante a elaboração do projeto, em especial
Paulo, Márcia, Duda e Marina, por suportarem minhas repentinas mudanças de
humor.
Por fim, a todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram ao longo dessa
caminhada e me ajudaram a ser a pessoa e o profissional que sou.
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Análise da Carga Móvel e da Protensão na Superestrutura de Pontes
Biapoiadas em Vigas Pré-Moldadas Protendidas
João Pedro Montorfano Cruz Santos
Setembro/2016
Orientadores: Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro e Ricardo Valeriano Alves
Curso: Engenharia Civil
A malha viária brasileira ainda encontra-se bastante deficitária e desatualizada
e a necessidade de expansão e manutenção passa necessariamente por
melhorias nas pontes que a compõe.
Este trabalho apresenta um estudo sobre a superestrutura de pontes
biapoiadas, contendo ou não balanços, formada por vigas múltiplas pré-
moldadas que compõe cerca de metade das pontes existentes em rodovias
federais. Sendo a maioria dessas pontes em concreto armado, o estudo se
direcionou para a análise do concreto protendido, de maneira a avaliar uma
solução de melhor performance.
Para tal, foi desenvolvida uma marcha de cálculo simples que fornece um pré-
dimensionamento confiável. Durante esse processo, estudou-se a carga-móvel
rodoviária brasileira e sua consideração por métodos tradicionais simplificados.
Foi proposta uma consideração alternativa, utilizando o trem-tipo “negativo” de
forma a levar em conta situações possíveis e mais críticas às peças.
Também, analisaram-se os desvios decorrentes das simplificações e sua
influência no trem-tipo proposto.
Por fim, estudou-se a influência de parâmetros não usuais na consideração das
perdas de protensão em vigas que compõem a superestrutura das pontes em
questão e foram elaborados gráficos que ilustram as respostas obtidas.
Palavras-chave: Pontes, Concreto Protendido, Carga-Móvel
viii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
ANALYSIS OF THE LIVE LOAD AND PRESTRESS ON THE
SUPERSTRUCTURE OF BRIDGES OF SIMPLY SUPPORTED PRECAST AND
PRESTRESSED BEAMS
João Pedro Montorfano Cruz Santos
September/2016
Advisor: Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro and Ricardo Valeriano Alves
Course: Civil Engineering
The Brazilian highway system still is quite deficient and outdated and the need
for expansion and improvement passes necessarily by improvements in the
bridges that compose it.
This paper presents a study on the superstructure of simply supported bridges,
with or without cantilevers, composed by multiple precast girders that make up
about half of the existing bridges on federal roads. Since most of these bridges
were conceived in reinforced concrete, the study is directed to the analysis of a
prestressed concrete solution, in order to assess a better performance
alternative.
For such a simple calculation spreadsheet that provides a reliable preliminary
design was developed. During this process the Brazilian road live loads
standard and its consideration by simplified traditional methods were reviewed.
It was suggested an alternative way, using the "negative" live load in order to
take into account possible and more critical situations to the girders
Also, the deviations resulting from the simplifications and their influence on the
live load proposed were assessed.
Finally, the influence of unusual parameters in the consideration of the losses of
prestressing beams that compose the superstructure of the bridges of this study
was assessed and graphs illustrating the obtained behaviors were produced.
Keywords: Bridges, Prestressed Concrete, Live Load on Bridges
ix
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1
2 REVISÃO DA LITERATURA .............................................................................. 5
2.1 VALIDADE DO ESTUDO ........................................................................................... 5
2.2 CONCRETO PROTENDIDO (C.P.) .......................................................................... 10
2.3 CARGA MÓVEL RODOVIÁRIA ................................................................................ 11
3 ESTUDO PROPOSTO ...................................................................................... 17
3.1 CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA ...................................................................... 17
3.2 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA SEÇÃO .................................................... 18
4 HIPÓTESES DE ANÁLISE ............................................................................... 34
4.1 CARACTERIZAÇÃO DOS MATERIAIS ...................................................................... 34
4.2 AÇÕES E ESFORÇOS ........................................................................................... 35
4.3 COMBINAÇÃO DE AÇÕES E ESTADOS LIMITES ...................................................... 63
4.4 TRAÇADO DOS CABOS ......................................................................................... 66
4.5 DIMENSÕES E LIMITES GEOMÉTRICOS .................................................................. 67
5 AUTOMATIZAÇÃO DOS CÁLCULOS ............................................................. 69
5.1 DADOS DE ENTRADA ........................................................................................... 69
5.2 DADOS DE SAÍDA ................................................................................................ 70
5.3 EXEMPLO ........................................................................................................... 70
6 ANÁLISES DE SENSIBILIDADE ..................................................................... 75
6.1 INFLUÊNCIA DO TREM-TIPO NEGATIVO NO MOMENTO NO MEIO DO VÃO ................... 75
6.2 INFLUÊNCIA DAS CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS NA PROTENSÃO ..................... 83
7 CONCLUSÕES ................................................................................................. 90
7.1 DESVIOS DAS HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS ........................................................ 91
x
7.2 SOLICITAÇÕES DO TREM-TIPO “NEGATIVO” ........................................................... 92
7.3 SENSIBILIDADE DAS PERDAS DE PROTENSÃO ....................................................... 92
7.4 SUGESTÕES DE CONTINUAÇÃO ............................................................................ 93
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 95
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Malha Rodoviária Federal. Fonte: Ministério dos Transportes .................................... 1
Figura 1.2 Ponte em vigas pré-moldadas. Fonte: [6] .................................................................... 3
Figura 1.3 Vigas pré-moldadas apoiadas sobre travessas Fonte: [7] ........................................... 3
Figura 1.4 Ponte em vigas pré-moldadas sobre rio. Fonte: [8] ..................................................... 3
Figura 2.1 Distribuição de pontes por sistema estrutural. Fonte: Adaptado de [2] ....................... 5
Figura 2.2 Distribuição de pontes por número de vãos. Fonte: Adaptado de [2] ......................... 6
Figura 2.3 Distribuição de pontes por faixa de extensão. Fonte: Adaptado de [2] ....................... 6
Figura 2.4 Distribuição de pontes por vão máximo. Fonte: Adaptado de [2] ................................ 7
Figura 2.5 Distribuição de pontes por faixa de largura. Fonte: Adaptado de [2] .......................... 7
Figura 2.6 Distribuição de pontes por trem-tipo. Fonte: Adaptado de [2] ..................................... 8
Figura 2.7 Sistema estrutural representativo das pontes ............................................................. 8
Figura 2.8 Malha viária da região Sudeste. Fonte: Ministério dos Transportes ........................... 9
Figura 2.9 Veículos utilizados na NB-6:1943 .............................................................................. 12
Figura 2.10 Veículos utilizados na NB-6:1960 ............................................................................ 13
Figura 2.11 Veículos na NBR-7188:1982 ................................................................................... 14
Figura 2.12 Representação geométrica do caminhão-tipo. Fonte: NBR7188:2013 ................... 15
Figura 2.13 Variação do Coeficiente de Impacto em função do vão .......................................... 17
Figura 3.1 Esquema estrutural da seção transversal.................................................................. 18
Figura 3.2 Esquema estrutural Longitudinal ............................................................................... 18
Figura 3.3 Características geométricas de um trapézio isósceles genérico ............................... 18
Figura 3.4 Seção transversal formada por trapézios .................................................................. 20
Figura 3.5 Modelo do Tabuleiro: corpo rígido sobre molas. Fonte [15] ...................................... 21
Figura 3.6 Carga unitária centrada sobre o corpo rígido. Fonte [15] .......................................... 21
Figura 3.7 Momento unitário no corpo rígido. Fonte [15] ............................................................ 21
Figura 3.8 Seção transversal com vigas igualmente espaçadas. Fonte [15] ............................. 22
Figura 3.9 Linha de influência transversal deduzida do método de Courbon ............................. 25
Figura 3.10 Comportamento dos parâmetros de Courbon. Adaptado de [15] ............................ 25
Figura 3.11 Linha de influência transversal para 2 e 10 vigas .................................................... 26
Figura 3.12 Sistema estrutural longitudinal – viga biapoiada ..................................................... 26
Figura 3.13 Viga biapoiada com liberação de rotação relativa no meio do vão ......................... 27
Figura 3.14 Ângulos na seção de meio de vão após rotação relativa ........................................ 27
Figura 3.15 Deslocamento no meio do vão para rotação unitária .............................................. 27
Figura 3.16 Aplicação de força unitária na viga com rotação unitária ........................................ 27
Figura 3.17 Linha de Influência para seção no meio do vão ...................................................... 28
Figura 3.18 Linha de influência de Momentos para a seção do apoio ....................................... 28
Figura 3.19 Distribuição de tensões em seção sob flexão composta elástica-linear ................. 29
Figura 3.20 Trecho elementar em curva do cabo ....................................................................... 30
Figura 3.21 Somatório diferencial da forças no cabo.................................................................. 31
xii
Figura 3.22 Tensões após perda por atrito ................................................................................. 32
Figura 3.23 Tensões após perdas localizadas por encunhamento ............................................ 32
Figura 3.24 Perdas em função do módulo do concreto .............................................................. 34
Figura 4.1 Representação da seção do tabuleiro com revestimento e barreiras ....................... 35
Figura 4.2 Seção típica de barreira. Fonte: [17] .......................................................................... 36
Figura 4.3 Representação do efeito do içamento na viga .......................................................... 37
Figura 4.4 Seções transversais do trem-tipo .............................................................................. 38
Figura 4.5 Parâmetros da distribuição transversal ...................................................................... 39
Figura 4.6 Posicionamento na seção AA .................................................................................... 39
Figura 4.7 Posicionamento na seção BB .................................................................................... 40
Figura 4.8 Posicionamento para a seção CC ............................................................................. 40
Figura 4.9 Posicionamento “negativo”para seção AA ................................................................. 41
Figura 4.10 Posicionamento “negativo” para seção BB .............................................................. 41
Figura 4.11 Posicionamento “negativo” para a seção CC .......................................................... 42
Figura 4.12 Esquema longitudinal do trem-tipo positivo ............................................................. 42
Figura 4.13 Esquema longitudinal do trem-tipo negativo ............................................................ 43
Figura 4.14 Geometria do trem-tipo longitudinal ......................................................................... 43
Figura 4.15 Linha de influência - seção de meio de vão ............................................................ 43
Figura 4.16 Linha de influência - seção do apoio ....................................................................... 44
Figura 4.17 Posicionamento das cargas longitudinalmente ....................................................... 44
Figura 4.18 Exemplo de posicionamento de cargas sobre o tabuleiro ....................................... 44
Figura 4.19 Posicionamento longitudinal das cargas concentradas ........................................... 45
Figura 4.20 Posicionamento longitudinal das cargas de multidão .............................................. 45
Figura 4.21 Posicionamento longitudinal das cargas interiores .................................................. 45
Figura 4.22 Posicionamento longitudinal das cargas no balanço ............................................... 46
Figura 4.23 Posicionamento longitudinal das cargas ................................................................. 46
Figura 4.24 Posicionamento das cargas no tabuleiro – forma 1 ................................................. 46
Figura 4.25 Posicionamento das cargas no tabuleiro - forma 2 ................................................. 47
Figura 4.26 Posicionamento longitudinal do trem-tipo para seção do balanço .......................... 47
Figura 4.27 Modelo unifilar de viga para análise. Fonte: Ftool ................................................... 48
Figura 4.28 Linha de Influência com ação de cargas pontuais ................................................... 48
Figura 4.29 Posicionamento e momentos fletores extremo resultantes para força interior........ 49
Figura 4.30 Momento fletor devido à carga de multidão no interior do caminhão ...................... 49
Figura 4.31 Momento fletor devido à carga de multidão em toda a extensão da viga ............... 50
Figura 4.32 Modelo 3D de uma ponte (CSI Bridge, 2016) .......................................................... 51
Figura 4.33 Superfície de influência no meio do vão .................................................................. 52
Figura 4.34 Vista 3D da superfície de influência no meio do vão ............................................... 52
Figura 4.35 Esquematização do bimomento. Fonte [15] ............................................................ 53
Figura 4.36 Efeito da torção não-uniforme em seções com vigas I. Adaptado de [19] .............. 53
Figura 4.37 Modelo Estrutural utilizado para estudo................................................................... 54
xiii
Figura 4.38 Deslocamento no meio do vão devido à carga unitária ........................................... 54
Figura 4.39 Modelo transversal de carregamento ...................................................................... 55
Figura 4.40 Reações de apoio do modelo de corpo rígido ......................................................... 55
Figura 4.41 Modelo estrutural com elementos de barra - SAP2000 ........................................... 56
Figura 4.42 Momento fletores no modelo sem rigidez (SAP2000) ............................................. 56
Figura 4.43 Momentos fletores considerando a rigidez à torção (SAP2000) ............................. 57
Figura 4.44 Momentos Torsores considerando a rigidez à torção (SAP2000) ........................... 57
Figura 4.45 Momentos Fletores considerando a torção das transversinas (SAP2000) ............. 58
Figura 4.46 Momento Fletor positivo ........................................................................................... 59
Figura 4.47 Momentos Fletores negativos .................................................................................. 59
Figura 4.48 Modelo de ponte com vigas modeladas pelo topo (SAP2000) ................................ 60
Figura 4.49 Excentricidade da força do tabuleiro ........................................................................ 60
Figura 4.50 Esquema de modelos estruturais ............................................................................ 62
Figura 4.51 Traçado padrão para viga com balanços................................................................. 67
Figura 4.52 Traçado padrão para viga sem balanços................................................................. 67
Figura 4.53 Regiões de verificação de armadura ....................................................................... 68
Figura 4.54 Esquema de posicionamento de bainhas ................................................................ 69
Figura 5.1 Dimensões da seção transversal ............................................................................... 71
Figura 5.2 Esquemas longitudinal e transversal da ponte .......................................................... 72
Figura 6.1 Modelo base de ponte................................................................................................ 76
Figura 6.2 Modelo de ponte com balanço transversal modificado .............................................. 76
Figura 6.3 Comparação do momento máximo no meio do vão .................................................. 77
Figura 6.4 Momentos mínimos no meio do vão .......................................................................... 78
Figura 6.5 Modelo de ponte com variação dos balanços transversais ....................................... 78
Figura 6.6 Diferenças entre os momentos mínimos no meio do vão – parte 2 .......................... 79
Figura 6.7 Posicionamento do caminhão-tipo no meio do vão para momento negativo ............ 80
Figura 6.8 Zonas de posicionamento do caminhão-tipo ............................................................. 81
Figura 6.9 Zonas de posicionamento do caminhão-tipo para trem-tipo reduzido ....................... 82
Figura 6.10 Modelo de ponte para análises de perdas de protensão......................................... 83
Figura 6.11 Perdas lentas em função da umidade ..................................................................... 84
Figura 6.12 Perdas por protensão sucessiva em função do dia de puxada ............................... 85
Figura 6.13 Variação das perdas por atrito e do encunhamento ................................................ 86
Figura 6.14 Perdas por protensão sucessiva .............................................................................. 87
Figura 6.15 Perdas em função do abatimento do concreto ........................................................ 88
Figura 6.16 Variação das perdas em função do módulo de elasticidade do aço ....................... 89
Figura 6.17 Perdas em função do módulo do concreto .............................................................. 90
xiv
LISTA DE QUADROS
Quadro 2.1 Principais características do Concreto Protendido .................................................. 10
Quadro 4.1 Características do concreto e do aço de protensão ................................................ 34
Quadro 4.2 Resultados comparativos entre momentos fletores ................................................. 61
Quadro 5.1 Porcentagem de armadura nas regiões-chave ........................................................ 74
xv
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Combinações de Ações. Fonte [21] .......................................................................... 63
Tabela 4.2 Espaçamentos mínimos segundo [21] ...................................................................... 68
Tabela 5.1 Propriedades geométricas da seção transversal ...................................................... 71
Tabela 5.2 Momentos fletores - Carga Móvel ............................................................................. 72
Tabela 5.3 Momentos fletores - Cargas Permanentes ............................................................... 72
Tabela 5.4 Momento fletor e esforço normal - Içamento ............................................................ 73
Tabela 5.5 Características dos materiais e do cabo médio ........................................................ 73
Tabela 5.6 Tensões atuantes ...................................................................................................... 74
Tabela 5.7 Quantitativo ............................................................................................................... 74
1
1 Introdução
Segundo dados do Ministério do Transporte [1] , o Brasil conta, hoje, com cerca
de 1,7 milhão de quilômetros de estradas, com somente 7% destes compostos por
rodovias federais. Mais de 76% das estradas não são pavimentadas. Nessa malha,
encontram-se presentes mais de 5.500 pontes [2] construídas desde a década de
1940 e que assumem diversos sistemas estruturais.
A Figura 1.1 apresenta a distribuição da malha de rodovias federais e estaduais
na qual se pode confirmar a predominância do eixo SP-MG-RJ. Entretanto, essa
predominância não garante, necessariamente, qualidade às estradas.
Figura 1.1 Malha Rodoviária Federal. Fonte: Ministério dos Transportes
O modal rodoviário é utilizado para o transporte de mercadorias e pessoas. No
caso de mercadorias, por possuir frete superior aos modais hidroviário e ferroviário,
torna-se mais adequado para transporte de produtos de alto valor ou perecíveis. Já no
caso de pessoas, é utilizado como transporte entre origem e destino ou percorrendo
rotas turísticas.
A malha rodoviária brasileira apresenta graves problemas no que se refere ao
transporte de mercadorias, e.g. o escoamento de grãos de soja do cerrado brasileiro,
gerando sobre custos de 90% em comparação com Argentina e Estados Unidos [3] .
2
Além disso, os custos de oportunidade no setor de turismo rodoviário são igualmente
importantes. Mesmo existindo rotas turísticas já consolidadas como o Circuito das
Águas, o Roteiro do Vinho e a Estrada Real, vale destacar a conclusão da ABEOC
(Associação Brasileira de Empresas de Eventos) :
“A maior parte da malha viária brasileira está em péssimas condições. Se
houvesse mais investimento em nossas rodovias, muitas vezes em completo estado
de abandono, certamente haveria um crescimento exponencial do turismo regional,
com exceção ao estado de São Paulo, cuja malha viária é excelente, ao menos nos
principais eixos” (2011).
Também, devido a fatores conjunturais como alta do câmbio entre o real e as
principais divisas – euro e dólar – e alta das passagens aéreas [4] e fatores estruturais
como melhor informação da população e interesse em viajar pelo Brasil [5], o modal
rodoviário se apresenta como futuro receptor de demandas por melhorias e
expansões.
Nesse contexto, entende-se que as pontes rodoviárias são parte fundamental
da malha de estradas e rodovias. Considerando, ao menos, as cerca de 5.500 pontes
como citado anteriormente, é possível observar uma grande participação de sistemas
em concreto armado, com vigas múltiplas, biapoiadas e vãos de até 40,0 m [2].
Um sistema estrutural semelhante é o de vigas múltiplas pré-moldadas e
protendidas, cuja eficiência estrutural é reconhecidamente melhor que o sistema em
concreto armado. Por ser mais recente, não possui quantidade muito expressiva
dentro do universo das OAE’s (Obras de Arte Especiais).
Sendo assim, torna-se interessante aprofundar o estudo sobre esse sistema,
cuja aplicabilidade é comprovada e tende a ser crescente com os ganhos de
tecnologia e necessidades de melhorias em infraestrutura.
Este estudo concentra seus interesses na superestrutura de pontes biapoiadas
em tangente e de travessia ortogonal, formada por um conjunto de vigas pré-moldadas
protendidas, como ilustrado nas Figuras Figura 1.2 a Figura 1.4.
3
Figura 1.2 Ponte em vigas pré-moldadas. Fonte: [6]
Figura 1.3 Vigas pré-moldadas apoiadas sobre travessas Fonte: [7]
Figura 1.4 Ponte em vigas pré-moldadas sobre rio. Fonte: [8]
4
Normalmente, é possível dissociar o cálculo da superestrutura das demais
partes da ponte (meso e infraestrutura), não havendo perda significativa de qualidade
nos resultados.
As estruturas pré-moldadas apresentam uma vantagem importante em
comparação com estruturas moldadas in loco no tocante à qualidade de execução.
Além disso, a protensão busca aperfeiçoar o trabalho das peças de concreto, fazendo
com que o mesmo fique sempre comprimido – estado no qual apresenta melhor
desempenho. Contudo, há grande aumento na complexidade dos cálculos,
principalmente na definição do traçado e nas perdas de protensão, o que, ao longo do
tempo, contribuiu para retardar a difusão desse sistema.
O estudo desenvolvido visa a :
elaborar uma marcha de cálculo que possibilite o pré-dimensionamento
(anteprojeto) eficiente e rápido;
estudar a variação de diversas grandezas de interesse – momento fletor
devido à carga móvel e perdas de protensão – em função da geometria
da ponte e de características dos materiais.
No capítulo 2, faz-se uma revisão da literatura, caracterizando a distribuição de
pontes no país e considerações técnicas sobre o concreto protendido e sobre a carga
móvel em pontes rodoviárias.
O capítulo 3 trata das equações-base desenvolvidas e da metodologia adotada
para estudar o comportamento da estrutura – ponte biapoiada em vigas múltiplas pré-
moldadas e protendidas.
O capítulo 4 trata de hipóteses na análise da estrutura, os tipos de ações e
suas combinações. Nesse capítulo também é encontrado um estudo da consideração
da carga móvel e é feita uma comparação com um programa comercial.
O capítulo 5 contém informações sobre a automatização dos cálculos, além de
uma aplicação numérica.
No capítulo 6 são encontrados estudos comparativos e gráficos
correspondentes.
O capítulo 7 apresenta as considerações finais e propostas de futuros estudos
complementares a este trabalho.
No capítulo 8 estão as referências bibliográficas citadas ao longo do trabalho.
5
2 Revisão da literatura
Nesse capítulo são apresentados aprofundamentos na questão da validade do
estudo. A distribuição de pontes nas rodovias federais é caracterizada. Em seguida
são apresentados conceitos fundamentais sobre o concreto protendido, bem como o
conceito de carga-móvel em pontes.
2.1 Validade do estudo
Em [2], foi estudada a distribuição das pontes em rodovias federais brasileiras.
Desse estudo, foram retirados dados de interesse que são expostos e comentados a
seguir.
O gráfico da Figura 2.1 apresenta a distribuição das pontes existentes no Brasil
de acordo com diversos sistemas estruturais. Observa-se a extensa aplicação do
sistema em vigas de concreto armado e, em menor escala mas formando 10% do
conjunto, vigas de concreto protendido.
O gráfico da Figura 2.2 mostra que cerca de 50% das pontes são formadas por
um vão, com ou sem balanços.
Figura 2.1 Distribuição de pontes por sistema estrutural. Fonte: Adaptado de [2]
82,88%
11,06%
3,45%
0,12%
0,07%
0,50%
0,05%
1,44%
0,37%
0,05%
Viga C.A.
Viga C.P.
Laje C.A.
Laje C.P.
Arco Sup. C.A.
Arco Inf. C.A.
Arco Inf. Metal
Viga Mista (Laje C.A.)
Treliça Metálica
Viga Metálica c/Placa Ortotrópica
Sistema Estrutural
Distribuição de pontes por sistema estrutural
6
Figura 2.2 Distribuição de pontes por número de vãos. Fonte: Adaptado de [2]
Os gráficos das Figuras Figura 2.3 e Figura 2.4 se referem à extensão das
pontes e seus vãos máximos. Nota-se, de imediato, a preponderância de pontes de
até 50,0 m (63%). Além disso, os vãos máximos existentes são, em sua maioria – 93%
– inferiores a 40,0 m.
Figura 2.3 Distribuição de pontes por faixa de extensão. Fonte: Adaptado de [2]
7
Figura 2.4 Distribuição de pontes por vão máximo. Fonte: Adaptado de [2]
Os gráficos das Figuras Figura 2.5 e Figura 2.6 mostram a distribuição das
pontes por faixa de largura e o trem-tipo adotado no dimensionamento.
Figura 2.5 Distribuição de pontes por faixa de largura. Fonte: Adaptado de [2]
8
Figura 2.6 Distribuição de pontes por trem-tipo. Fonte: Adaptado de [2]
Pode-se perceber que 88% das pontes possui largura menor que 13,0 metros,
ou seja, menor que o recomendado pelo DNIT para ponte com duas faixas e
acostamentos. Além disso, no que se refere ao trem-tipo adotado em projeto, é
constatada a pouca participação do TB-450, que foi introduzido no início da década de
1980 – período de pouca produtividade na engenharia brasileira em geral. Uma parte
importante das pontes já construídas data de 1955 a 1980 [2] período no qual o maior
trem-tipo era o TB-360. Disso decorre a necessidade de se verificar tais pontes para a
passagem do TB-450, considerando a carga-móvel para a qual elas foram projetadas.
Tendo sido estudadas diversas características estruturais das pontes presentes
nas rodovias federais brasileiras, destaca-se, na Figura 2.7, o sistema estrutural que
representa 50 % dos casos: pontes biapoiadas com balanços, com vão inferior a
40,0m e largura de seção transversal entre 8,0 e 12,0 m.
Figura 2.7 Sistema estrutural representativo das pontes
8,0 m<L<12,0
0m<balanço<4,0 m
6,0 m<vão<40,0 m
50 % das obras
de pontes
9
2.1.1 Situação rodoviária eixo SP-MG-RJ
A predominância das rodovias federais e estaduais se dá na região Sudeste
por razões tanto históricas como econômicas. Porém, como a Figura 2.8 ilustra, essa
predominância não garante uma malha viária de excelente qualidade, caracterizada
por poucas rodovias duplicadas (em amarelo) com exceção do estado de São Paulo.
É relevante o grande número de acidentes rodoviários no estado de Minas
Gerais que, por exemplo, até 2010 apresentava taxas de mortalidade por número de
veículos muito superiores às da região Sudeste: 6,11 mortos a cada 10.000 veículos
para MG contra 4,52 para o Sudeste [9].
Fica, assim, latente a necessidade de melhorias e ampliações da malha viária,
mesmo na região de maior desenvolvimento da mesma.
Figura 2.8 Malha viária da região Sudeste. Fonte: Ministério dos Transportes
10
2.2 Concreto Protendido (C.P.)
“A protensão é um processo pelo qual se introduz um estado prévio de tensões
em uma estrutura, com a finalidade de melhorar sua resistência ou seu
comportamento sob diversas condições de carga” [10].
Uma vez que se tenha compreendido esse conceito fundamental, é possível
passar brevemente pela história dessa tecnologia.
No final do século XIX surgiu a primeira ideia de se pré-tensionar o concreto,
em São Francisco, EUA. Em seguida, diversas patentes foram criadas, porém sem
êxito, visto que a protensão era perdida devido aos efeitos de retração e fluência,
ainda desconhecidos.
Em 1928, o engenheiro francês Eugène Freyssinet apresentou o primeiro
trabalho consistente sobre o C.P., no qual foram apresentadas pesquisas sobre as
perdas de protensão, deformação lenta do concreto, aços e concretos especiais e
métodos construtivos. Nos anos subsequentes à 2a Guerra Mundial, as primeiras
pontes em C.P. foram concebidas, tanto na Europa quanto no Brasil, ganhando
destaque a ponte do Galeão, no Rio de Janeiro, em 1948.
Desde então, diversas empresas especializadas no setor foram criadas – a
STUP (Société Technique pour l’Utilisation de la Précontrainte), sua filial no Brasil e a
DYWIDAG – normas e recomendações foram desenvolvidas, e.g. DIN, CEB/FIP e
NBR.
O Quadro 2.1 relaciona as principais características do C.P. quando
comparado ao C.A.
Quadro 2.1 Principais características do Concreto Protendido
Vantagens Desvantagens
Seções mais esbeltas e leves
(materiais mais resistentes) Controle de execução rigoroso
Maior durabilidade
(eliminação das tensões de tração e
consequentes fissuras)
Forças de grande magnitude nas
ancoragens
Menores deformações
(utilização da seção com inércia bruta) Perdas de protensão
Maior economia Corrosão sob tensão
Resistência à fadiga Mão de obra qualificada
(projeto e execução)
11
As orientações normativas referentes ao concreto protendido recomendam
verificações de tensões no concreto para os diversos estados limites em serviço. A
prática corrente é verificar as tensões obtidas no concreto ainda com comportamento
elástico-linear para os Estados Limites de Serviço e realizar ao menos uma verificação
no Estado Limite Último. As tensões limites são definidas em cada norma vigente e
representam limites de descompressão no concreto e de compressão excessiva.
2.3 Carga Móvel Rodoviária
A carga móvel rodoviária é definida com atuação sobre a superfície de
rolamento. Assim, as cargas distribuídas são definidas por unidade de área (kN/m²) e
as cargas concentradas (kN), correspondentes às rodas, são posicionadas de acordo
com as dimensões do veículo tipo em planta.
As normas brasileiras já passaram por diversas modificações ao longo das
décadas para acompanhar a evolução dos veículos destinados ao transporte de carga.
E, nessa linha, muitos trabalhos e teses foram desenvolvidos para auxiliar a
atualização dessas normas, como pode ser visto em [11].
2.3.1 Breve histórico
Em 1940 foi publicada a primeira versão da NB-1 (atualmente a NBR 6118).
Com a iminente necessidade de prever situações específicas, como o projeto de
pontes, foram publicadas, em 1941, a primeira versão da NB-2 (atualmente a NBR
7187) e, em 1943, a primeira versão da NB-6.
Por sua vez, a NB-6 de 1943 foi a primeira norma brasileira dedicada a
prescrever a consideração de cargas móveis para o projeto de estruturas de pontes.
Ela dividia as rodovias em Classes I, II e III, sendo a classe I a de maior importância e
as mesmas eram verificadas com cargas de multidão e de veículos-tipo, à época,
compressores e caminhões, como indicado na Figura 2.9.
12
Figura 2.9 Veículos utilizados na NB-6:1943
A magnitude das cargas concentradas por eixo era de 200 kN, enquanto a
carga de multidão variava entre 3,0 e 4,5 kN/m².
Como descrito em [11] a sistemática da versão de 1943 da NB-6 foi baseada
nas versões antigas da norma alemã – DIN 1072 – que considerava tanques e
compressores para simular as cargas móveis nas pontes.
A partir de 1960, a NB-6 passou a indicar as Classes 36, 24 e 12 (Figura 2.10),
respectivamente, para rodovias com as características das classes I, II e III da NB-6 de
1943. Os veículos anteriores (compressor e caminhão) foram substituídos por um
único veículo com peso total de 360 kN, 240 kN e 120 kN, respectivamente. Vale
destacar que a geometria dos veículos de 360 kN e 240 kN se manteve até as versões
mais recentes da Norma.
13
Figura 2.10 Veículos utilizados na NB-6:1960
A carga distribuída (multidão) passou a ser decomposta em duas parcelas
distintas: uma na faixa do veículo e outra no restante da pista e nos passeios, cujos
valores eram fixados em função da classe, situando-se entre 3,0 e 5,0 kN/m².
Pode-se perceber que esta versão da NB-6 também era amplamente baseada
na norma alemã DIN 1072, que considerava, na versão de 1952, a mesma sistemática
de uma faixa de projeto, geometria do veículo-tipo e a carga distribuída interrompida
na faixa do veículo. Essa geometria de distribuição está presente na organização das
consagradas tabelas de Rüsch [12] para cálculo de esforços em tabuleiros de pontes.
A partir de 1982, a NBR7188 substituiu a NB-6 e passou a indicar as classes
45, 30 e 12. Os dois veículos mais pesados (36 e 24) da NB-6/1960 foram substituídos
por veículos com peso total de 450 kN e 300 kN. O veículo de 120 kN permaneceu
inalterado. Além disso, a carga distribuída passou a ser considerada de forma
diferente: uma parcela na pista inteira – independentemente da faixa do veículo – e
outra nos passeios, cujos valores também variavam em função da classe, mas
mantiveram sua ordem de grandeza. A Figura 2.11 ilustra os veículos-tipo da NBR
7188:1982
14
Figura 2.11 Veículos na NBR-7188:1982
No consideração das lajes do tabuleiro, as tabelas de Rüsch continuaram a ser
utilizadas, mas atribuindo-se o mesmo valor para as cargas fora e dentro da faixa do
veículo.
2.3.2 A versão atual da NBR7188:2013
A mais recente versão da NBR7188 definiu unicamente como carga móvel
rodoviária padrão o TB-450. A Figura 2.12 indica os valores atuais da geometria do
trem-tipo, cuja carga de multidão (p) é de 5 kN/m² e as cargas pontuais (P) de 75 kN.
Nos passeios mantém-se o valor da carga distribuída de 3,0 kN/m², conforme
as normas anteriores, na posição mais desfavorável, concomitante com a carga móvel
rodoviária, para a análise estrutural global.
No caso de estradas vicinais municipais com uma faixa e obras particulares, a
NBR7188 indica que a carga móvel rodoviária seja, no mínimo, igual a do tipo TB-240,
com geometria semelhante ao TB-450, porém com p=4,0 kN/m² e P=40 kN.
15
Figura 2.12 Representação geométrica do caminhão-tipo. Fonte: NBR7188:2013
2.3.3 O coeficiente de impacto
De acordo com [13]:
“O efeito dinâmico das cargas móveis deve ser analisado pela teoria da
dinâmica das estruturas. É permitido, no entanto assimilar as cargas móveis a cargas
estáticas, através de sua multiplicação pelos coeficientes de impacto definidos a seguir
(...)”.
O coeficiente de impacto rodoviário, introduzido na versão da norma de 1960
era calculado da seguinte maneira:
( ) - (2.1)
onde:
A última revisão vigente da NBR7188, de 2013, define o coeficiente de impacto
para pontes rodoviárias como:
( ) (2.2)
onde:
Cada um desses fatores tem seu cálculo descrito na NBR7188:2013, como
segue:
(2.3)
16
(
) (2.4)
onde Liv é o vão, em metros, das estruturas isostáticas e, no caso de vãos contínuos,
a média aritmética dos vãos.
O coeficiente de número de faixas, indicado na Equação (2.5) não se aplica ao
dimensionamento de peças transversais à direção do tráfego, como é o caso das
transversinas.
- ( - ) (2.5)
onde n é o número (inteiro) de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre
um tabuleiro contínuo transversalmente. As faixas de segurança e acostamento não
são considerados.
De forma a se ter maior cuidado com as regiões de extremidade e com as
juntas estruturais, e.g. encontro de vigas e travessas, o coeficiente de impacto
adicional é aplicado em todas as seções dos elementos estruturais a menos de 5,0 m
dessas descontinuidades ou juntas, tal como mostra a Equação (2.6)
( ) ( ) (2.6)
De forma a estudar o comportamento do coeficiente de impacto, foi estudado o
produto entre CIV e CNF, que atuam de forma global sobre a estrutura. O resultado,
indicado no gráfico da Figura 2.13, é um comportamento inesperado, pois, para vãos
maiores que 140,0 m e número de faixas ≥4 (rodovias com 2 faixas por sentido),
obtém-se um coeficiente de impacto menor que 1. Não foram encontrados casos
similares na literatura. Visto que esse estudo não atinge vãos dessa magnitude, o
coeficiente de impacto foi adotado como sugere a NBR7187: 2013.
17
Figura 2.13 Variação do Coeficiente de Impacto em função do vão
3 Estudo proposto
O estudo, aqui apresentado, foi desenvolvido por um modelo matemático
simplificado tipo “bottom-up”, no qual equações fundamentais foram deduzidas,
combinadas e simplificadas para representar o comportamento estrutural do modelo.
Em seguida, foram efetuadas diversas análises de sensibilidade para criar
cenários com diferentes dados de entrada e, por fim, obter indicadores de
comportamento de valores de interesse. Os resultados foram tratados e apresentados
em forma de gráficos.
3.1 Características da Estrutura
A estrutura a ser analisada é de uma ponte reta e ortogonal, biapoiada com
balanços, composta por múltiplas vigas pré-moldadas e protendidas com pós-tensão
aderente. As vigas se apoiam sobre pilares por meio de aparelhos de apoio e são
interligadas por transversinas de apoio e de vão, como ilustram as Figuras Figura 1.2,
Figura 1.3 e Figura 1.4
Transversalmente, a estrutura conta com múltiplos vãos entre cada viga
longarina, além de regiões em balanço. Esse arranjo é representado na Figura 3.1.
Já longitudinalmente, a estrutura pode ser entendida como uma estrutura linear
biapoiada com um vão central principal e dois vãos secundários em balanço, como
representado na Figura 3.2.
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
5 55 105 155
CIV x CNF
Liv (m)
Comportamento do produto CIV x CNF
n=1
n=2
n=3
Antigo
n≥4
18
Figura 3.1 Esquema estrutural da seção transversal
Figura 3.2 Esquema estrutural Longitudinal
Diversas equações-base foram definidas para efetuar o estudo. Nas seções
seguintes são mostradas as deduções de cada grupo de equações.
3.2 Propriedades geométricas de uma seção
Na análise de vigas, é necessário conhecer algumas das principais
características geométricas de sua seção transversal. Para tal, apresenta-se uma
rotina de cálculo das propriedades para uma seção trapezoidal e a extrapolação dos
resultados para uma seção composta por trapézios.
A Figura 3.3 ilustra uma seção trapezoidal genérica.
Figura 3.3 Características geométricas de um trapézio isósceles genérico
As principais características do trapézio são:
A
2(B1 B2) (3.1)
( )
( ) (3.2)
…
Vão Balanço Balanço
B. sup (B1)
B. inf (B2)
C.G. Local
Altura
(H)
Coord. Z
Topo da seção
Centróide do
trapézio
Topo do trapézio
19
(3.3)
(3.4)
( ) (3.5)
- (3.6)
onde:
A é a rea
Consequentemente, as principais características da seção composta são:
∑ (3.7)
( ) ∑ (3.8)
- ( )
(3.9)
( ) ( ) ∑ - ( ) (3.10)
Para se obter o segundo momento de área da seção, é preciso determinar a
distância entre o C.G. de cada trapézio e o C.G. da seção composta. Chamando essa
distância de , obtém-se:
( ) ∑(
) (3.11)
Logo, os módulos de resistência superior e inferior são diretamente obtidos ao
se fazer:
(3.12)
-
(3.13)
O sinal negativo é adotado para representar tensão inferior oposta à superior,
para uma mesma solicitação de flexão.
Ainda nesse sentido, o módulo resistente de uma fibra, a uma distância
genérica do CG, é obtido substituindo o denominador por essa distância.
Ficam, assim, determinadas as propriedades geométricas de uma seção
qualquer composta por múltiplos trapézios como mostrado na Figura 3.4.
20
Figura 3.4 Seção transversal formada por trapézios
3.2.1 O método de Courbon
Em junho de 1940, a França assinou sua rendição à Alemanha nazista. Em
agosto do mesmo ano foi publicada uma circular – Circulaire du 29 août 1940 – na
qual ficava definido um novo trem-tipo rodoviário que deveria ser utilizado para a
reconstrução das pontes destruídas durante o confronto. Esse novo trem-tipo era
cerca de 50% mais pesado que o anterior e mais estreito, de forma a poder se
deslocar lateralmente no tabuleiro da ponte.
No final desse mesmo ano, o engenheiro francês Jean Courbon publicou um
estudo sobre pontes em vigas múltiplas, solidarizadas por transversinas, no qual são
abordados os efeitos da distribuição de cargas transversalmente em um tabuleiro de
ponte.
As hipóteses adotadas são:
A altura das transversinas possui ordem de grandeza similar a das
longarinas;
A transversina possui rigidez infinita e as longarinas são deformáveis;
A espessura das longarinas e das lajes são pequenas quando
comparadas com o vão;
O efeito da torção nas vigas é desconsiderado.
Adicionalmente, ressalta-se que o desenvolvimento inicial considera uma
repartição de cargas exatamente na seção onde há uma transversina, porém,
considerando um espaçamento máximo entre transversinas, o comportamento das
longarina em qualquer ponto pode ser bem representado pelos resultados da referida
seção [14].
Pode-se admitir um modelo de corpo rígido sobre apoios elásticos como
ilustrado na Figura 3.5Erro! Fonte de referência não encontrada., sendo k a rigidez
1
2
3
4
5
Topo da seção
21
vertical de cada uma das longarinas em uma seção qualquer, em especial nas seções
com transversinas.
Figura 3.5 Modelo do Tabuleiro: corpo rígido sobre molas. Fonte [15]
A ação da carga unitária em uma posição genérica pode, então, ser
considerada como a superposição de uma carga centrada e um momento. A ação da
carga unitária centrada ocasiona exclusivamente translação e o momento, rotação de
corpo rígido.
O efeito causado em cada longarina é a reação de apoio da respectiva mola e
é representado, no caso de uma carga centrada, por:
(3.14)
As Figuras Figura 3.6 e Figura 3.7mostram os movimentos de corpo rígido do
elemento estrutural submetido a uma carga centrada unitária e um momento, também
unitário.
Figura 3.6 Carga unitária centrada sobre o corpo rígido. Fonte [15]
Figura 3.7 Momento unitário no corpo rígido. Fonte [15]
22
As reações nas molas (Ri), decorrentes do momento aplicado, podem ser
expressas por:
(3.15)
Verificando-se o equilíbrio entre a ação do momento e as reações nas molas,
tem-se:
∑
∑ (3.16)
onde:
n é o número de longarinas
Ora, para a carga unitária em uma posição xj, tem-se que:
∑
∑
∑
(3.17)
Finalmente, sobrepondo-se os dois efeitos:
∑
(3.18)
onde,
A Figura 3.8 ilustra uma seção transversal com n vigas, igualmente espaçadas entre
si. A distância do eixo de cada viga ao centro da seção é dada por ( )
Figura 3.8 Seção transversal com vigas igualmente espaçadas. Fonte [15]
É fácil observar que, para uma viga i, sua abscissa é dada por:
( - ) -( - )
( -
) (3.19)
Desenvolvendo-se o somatório dos quadrados das abscissas, obtém-se:
∑ *( -
) +
∑ ( - )
(∑ - ∑ ∑ ) (3.20)
23
com:
O primeiro somatório não tem seu resultado imediato, deduziu-se, então a
expressão analítica. Por indução finita, é possível provar que:
∑
( )( ) (3.21)
Demonstração:
∑
( ) ( )
∑
( )( )
( )( )
( )
∑
( ) ∑
Logo:
∑[(
) ]
( )( )
( )
[
( )( )
( )
( )
]
( )( )
( )
[
( )( ) ( )( )
]
]
( )
(3.22)
Como o valor das reações nas vigas varia linearmente com suas abscissas,
basta que sejam definidas duas ordenadas. Assim, a linha de distribuição transversal
para a viga i pode ser definida pelas ordenadas de extremidade sobre a viga 1 e sobre
a viga n, expressas por:
(
) (
)
( )
(3.23)
(
) (
)
( )
(3.24)
Os segundos termos podem ser simplificados:
(
) (
)
( )
(
) (
)
( )
( )( )
( )
24
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) (3.25)
Obtendo-se:
( )
( ) (3.26)
( )
( ) (3.27)
Como há (n-1) intervalos, a variação em ordenadas entre cada viga, , em
valor absoluto, pode ser dada pela diferença de ordenadas total dividida por (n-1),
sendo, portanto:
|
( )| |
( )
( )| (3.28)
As vigas mais solicitadas são as das extremidades. Pode-se perceber isso
intuitivamente pelo modelo de rotação de corpo rígido ou verificando-se a equação
acima estabelecida. Esse indicador nos leva a concentrar o estudo na análise desses
elementos.
Para análise do problema, particulariza-se o caso de i=1 (primeira viga) e,
então, obtém-se:
( )
( ) (3.29)
( )
( ) (3.30)
| ( )
( )|
( ) (3.31)
Pode-se, ainda, definir a variação de ordenadas por metro ao se dividir pela
distância entre vigas, tal que:
( ) (3.32)
onde:
Os resultados acima permitem traçar uma linha de influência transversal para
qualquer viga de extremidade e para qualquer número de linhas de longarina. Essa
linha de influência delimita duas regiões importantes em cada seção, como é
destacado na Figura 3.9, a saber:
Região 1, na qual qualquer carga vertical para baixo causa solicitações
de mesmo sentido na viga de extremidade.
Região 2, na qual cargas verticais para baixo causam solicitações em
sentido vertical para cima, na mesma viga de extremidade.
25
Um ponto nulo, no qual qualquer carga vertical aplicada não causa
efeito algum à viga de extremidade.
Torna-se interessante estudar, a priori, a variação de , e de em
função do número de vigas. Esse estudo está disposto no gráfico da Figura 3.10, que
contém também a variação de ordenadas entra as vigas de cada extremidade,
denominada .
Figura 3.10 Comportamento dos parâmetros de Courbon. Adaptado de [15]
É possível notar um comportamento crescente da derivada, no qual, partindo-
se de duas vigas e aumentando gradativamente o seu número, observam-se maiores
ganhos – traduzidos em menores valores de R1,1 – na região à esquerda do gráfico.
Por outro lado, a variação entre vigas diminui, levando à conclusão de que as
cargas passam a ser mais homogeneamente distribuídas. Esse resultado é mais bem
visto no gráfico da Figura 3.11, onde foram expostas as linhas de influência para dois
casos de número de vigas na seção.
-0,25
-0,05
0,15
0,35
0,55
0,75
0,95
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Co
efic
ien
tes
número de vigas
Δ entre vigas extremasR1,1
ΔR
R1,n
Região 1 Região 2
Ponto nulo
R1,1
R1,n
ΔR
Figura 3.9 Linha de influência transversal deduzida do método de Courbon
26
Figura 3.11 Linha de influência transversal para 2 e 10 vigas
3.2.2 O princípio de Müller-Breslau para linha de influência
Uma vez compreendido como as vigas recebem as cargas distribuídas
transversalmente – válida para toda a extensão da ponte – é necessário estudar de
que forma as resultantes transversais geram momentos fletores quando posicionadas
ao longo do eixo longitudinal.
Para se estudar os esforços internos em uma seção de uma estrutura
reticulada, como é o caso de vigas, é bastante útil aplicar o conceito de linhas de
influência.
O princípio de Müller-Breslau pode ser deduzido para qualquer longarina da
estrutura em estudo com a ajuda do Princípio dos Trabalhos Virtuais [16] (ver Figura
3.12)
Figura 3.12 Sistema estrutural longitudinal – viga biapoiada
Ao se liberar o vínculo de momento na seção de meio de vão e aplicar uma
rotação relativa unitária virtual obtém-se a deformada da viga, ilustrada na Figura 3.13.
Figura 3.13 Viga biapoiada com liberação de rotação relativa no meio do vão
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1C
oef
icie
nte
de
dis
triib
uiç
ão
Posição relativa na seção transversal
10
2
L
balanço balanço
L
balanço balanço
27
Os ângulos na seção onde foi aplicada a rotação são mostrados na Figura
3.14.
Figura 3.14 Ângulos na seção de meio de vão após rotação relativa
Para o regime de pequenas deformações, pode-se aproximar . Logo,
o deslocamento no meio do vão é definido na Figura 3.15
Figura 3.15 Deslocamento no meio do vão para rotação unitária
E o deslocamento na ponta do balanço é, analogamente :
.
O momento no meio do vão, ao aplicarmos uma força unitária em qualquer
posição, é obtido fazendo-se o somatório dos trabalhos virtuais e igualando a 0 (zero).
Figura 3.16 Aplicação de força unitária na viga com rotação unitária
∑
(3.33)
Sendo assim, a forma da linha de influência de uma determinada solicitação
corresponde à deformada da estrutura eliminando-se o vínculo a esta solicitação na
seção em estudo e impondo-se um deslocamento unitário na direção da ação da
mesma solicitação (positiva).
Para estruturas isostáticas, essa técnica permite a determinação correta da
magnitude da linha de influência e nessa seção são deduzidas as expressões
analíticas dos parâmetros básicos da L.I. da estrutura em estudo.
A análise dos momentos solicitantes máximos é realizada em duas seções
chave:
Θ 1 rad
Θ 0,5 rad
𝐿
𝛿𝑚 𝐿
𝜃
𝐿
𝜃
𝛿𝑓 𝑀 𝑀
28
No meio do vão central, para momentos positivos e negativos
Em um dos apoios, para momento negativo
A Figura 3.17 ilustra o traçado da linha de influência da seção do meio do vão
Figura 3.17 Linha de Influência para seção no meio do vão
As ordenadas da linha do meio do vão (HL) e dos extremos (HL,INV) são dadas
por:
onde:
Para a seção do apoio, a Figura 3.18 o traçado da LI.
Observa-se que:
onde:
HL
HL,inv
ΔRmL
vão balanço balanço
1,0 m
HL,apoio
ΔRmL,apoio
balanço
1,0 m
Figura 3.18 Linha de influência de Momentos para a seção do apoio
29
3.2.3 Distribuição de tensões normais
Sendo admitido o comportamento linear-elástico em uma seção qualquer
submetida à flexão composta reta, a distribuição de tensões ao longo dessa seção
assume a seguinte forma:
Uma parcela retangular – igualmente distribuída – de magnitude ;
Uma parcela bitriangular cujos extremos superior e inferior têm
magnitudes ⁄ ⁄
A Figura 3.19 ilustra essas parcelas de forma mais clara.
Figura 3.19 Distribuição de tensões em seção sob flexão composta elástica-linear
Ficam, assim, facilmente determinadas as tensões superior e inferior em uma
seção sob flexão composta de comportamento elástico-linear:
(3.34)
(3.35)
Ainda, pode-se concluir que essas tensões representam ora as tensões
máxima e mínima, ora o contrário, dependendo do sinal do momento fletor solicitante.
3.2.4 Perdas de protensão
Como a peça estrutural estudada é uma viga protendida com pós-tensão, faz-
se necessário analisar o comportamento da peça quando submetida aos diversos
carregamentos e, principalmente, como se dão as perdas de tensão nos cabos de
protensão ao longo da viga.
3.2.4.1 Efeito da protensão
Sendo a viga isostática, o efeito de protensão em uma seção qualquer pode ser
representado pela força resultante do produto entre a tensão nos cabos e a área total
𝑃
𝐴
𝑀
𝑊𝑠𝑢𝑝
𝑀
𝑊𝑖𝑛𝑓
M
P
30
dos cabos, associada à sua excentricidade em relação ao centroide da seção. Ao se
trazer a força para o centroide e associar a ela o momento devido à excentricidade, as
tensões nas fibras de concreto ficam imediatamente definidas como descrito em 3.2.3.
3.2.4.2 Perdas imediatas por atrito
Ao se tensionar os cabos dentro das bainhas de protensão, os mesmos
atritam-se com a superfície da bainha, gerando uma perda na tensão do cabo. Essa
perda pode ser expressa por:
- (3.36)
onde:
A Figura 3.20 ilustra um trecho elementar cuja variação angular é :
Figura 3.20 Trecho elementar em curva do cabo
Fazendo o somatório de forças na direção vertical, obtém-se, como ilustrado na
Figura 3.21:
( )
(3.37)
Como , é possível eliminar a variação dupla e fazer .
Logo :
𝑃 𝑃 𝑃 𝛼
𝛼
𝛼
𝑃
𝑃 𝑃
𝑁
31
Figura 3.21 Somatório diferencial da forças no cabo
Unindo as equações e tomando limite , tem-se:
Integrando:
∫
∫
Obtém-se
( )
Por fim, rearrumando, obtém-se:
( ) - (3.38)
onde P é a força de protensão a partir de uma ancoragem ativa numa trajetória circular
de ângulo central .
Ao considerar que a trajetória real do cabo pode ser decomposta em diversos
trechos que satisfazem a trajetória circular, obtém-se:
( ) - ∑ (3.39)
onde ∑ representa a variação angular acumulada em valor absoluto até o ponto
estudado, a partir de uma ancoragem ativa, onde houve puxada dos cabos.
Também é necessário considerar que, embora por trechos seja possível dividir
a trajetória em arcos de círculo, a materialização da mesma é feita com imperfeições –
o cabo se acomoda na bainha e é fixado em alguns pontos somente. Esse
“desalinhamento” é inevitável e contribui para o atrito causado. Ele é considerado
como uma taxa extra de variação angular por unidade de comprimento. Daí, a
Equação (3.39) passa a ser representada por:
( ) -( ∑ ) (3.40)
onde k é o coeficiente de curvatura adicional introduzido por unidade de comprimento.
As perdas por atrito aumentam, necessariamente, a partir do ponto de
ancoragem, tornando-se cada vez maiores para cabos longos. Para evitar isso, é
prática protender o cabo pelas duas extremidades. Nessa situação, considera-se cada
𝛼
𝑃
𝑃 𝑃
𝑁 𝛼
𝑃 𝛼
(𝑃 𝑃) 𝛼
32
diagrama independentemente e, ao superpô-los, a força final será a maior entre os
dois. Haverá, necessariamente, um ponto de força mínima. Esse é o ponto
indeslocável, que ao sofrer protensão de ambos os lados não se deslocou. Esse
comportamento está indicado na Figura 3.22.
Figura 3.22 Tensões após perda por atrito
3.2.4.3 Perdas imediatas por encunhamento das cordoalhas
Depois que os cabos são tracionados, faz-se o corte dos mesmos e a
materialização da ancoragem. Essa ação ocasiona um recuo da ancoragem, tendo
novamente a ação do atrito.
Os diagramas de tensões ao longo da armadura, no instante da protensão e
após a cravação da ancoragem, no trecho até o ponto de recuo nulo, são simétricos
em relação à reta rk, paralela ao eixo x. A Figura 3.23 ilustra essa situação.
Figura 3.23 Tensões após perdas localizadas por encunhamento
A determinação desse ponto de recuo nulo é feita igualando-se a área entre as
curvas no diagrama σ versus x com o produto do módulo de elasticidade do aço e o
recuo dos cabos.
protensão 2
protensão 1 Ponto Indeslocável
Ponto de recuo nulo
x
σ
σp0
σanc
rk
33
3.2.4.4 Perdas imediatas por protensão sucessiva
De acordo com a NBR-6118:2014, no item 9.6.3.3.2.1:
“Nos elementos estruturais com pós-tração, a protensão sucessiva de cada um
dos n cabos provoca uma deformação imediata do concreto e, consequentemente,
afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. A perda media de protensão, por
cabo, pode ser calculada pela expressão:”
( - )
(3.41)
onde:
( )
Para se obter o módulo de elasticidade de concreto, procede-se como
recomendam os itens 8.2.8 e 12.3.3 da NBR-6118:2014.
3.2.4.5 Perdas progressivas
Tanto o aço quanto o concreto sofrem processos reológicos de relaxação e
fluência. A consideração desses efeitos leva a perdas de protensão que aumentam ao
longo do tempo e se estabilizam em tempo infinito. Para aços tipo RB (relaxação
baixa) a NBR6118:2014 sugere um processo aproximado no item 9.6.3.4.3 :
( )]
( ) ( )
onde:
( )
3.2.4.6 Resumo das perdas
O gráfico da Figura 3.24 expõe a distribuição das tensões no cabo de
protensão ao longo de uma viga, após cada uma das etapas de perda supracitadas.
34
Figura 3.24 Perdas em função do módulo do concreto
4 Hipóteses de Análise
Algumas hipóteses e considerações foram feitas de forma a balizar o escopo
da análise. Aqui são apresentadas cada uma delas.
4.1 Caracterização dos Materiais
Diversos materiais foram considerados nesse estudo. Cada material pode ser
caracterizado por certas propriedades que podem variar de acordo com o projeto e,
consequentemente, devem ser um input na análise. O Quadro 4.1 resume os materiais
e suas características correspondentes.
Quadro 4.1 Características do concreto e do aço de protensão
𝜎𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
𝜎 𝜎𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝜎𝑒𝑛𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑜 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎
𝑥𝑟𝑒𝑙
𝜎 (𝑘𝑁 𝑐𝑚²⁄ )
fck 25 a 50 MPa
γ 25 kN/m³
basalto/diabásio
granito/gnaisse
calcário
CP-I
CP-II
CP-III
CP-IV
CP-V/ARI
idade protensão > 1 dia
idade final ∞ (1E8 dias)
Umidade(%) 0 a 100 %
Slump 0 a 15 cm
E Eci ou Ecs
Concreto
agregado
Cimento
CP 190 R.B.
CP 210 R.B.
E 190 a 210 GPa
fptk (tensão de ruptura) 190 ou 210 kN/cm²
fpyk
(tensão a 0,2% alongamento permanente)
171 ou 189 kN/cm²
σ puxada 140 ou 155 kN/cm²
Φ
(diametro da cordoalha)12,7 ou 15,2 mm
Ap (seção da cordoalha) 1,009 ou 1,434 cm²
μ (coef. Atrito) 0,1 a 0,3
Aço
Tipo
35
4.2 Ações e esforços
Diversas ações, ou carregamentos, solicitam a superestrutura de uma ponte ao
longo do tempo. Nessa seção são apresentadas as ações consideradas nesse estudo
e os efeitos decorrentes nas seções de meio de vão e do apoio.
4.2.1 Ações igualmente distribuídas
Para um carregamento genérico igualmente distribuído ao longo da ponte, o
momento fletor solicitante, decorrente do carregamento, pode ser obtido pela
integração da área da curva (duas retas) deduzida pelo método de Müller-Breslau.
Logo:
( ) (
-
) (4.1)
( ) - (
) (4.2)
4.2.1.1 Peso-próprio
O carregamento de peso-próprio é obtido a partir da definição da seção
transversal da longarina e é expresso por:
(
) (4.3)
onde:
.
Ele ocorre, inicialmente, com a seção isolada da viga e depois, com a
concretagem da laje do tabuleiro.
4.2.1.2 Sobrecarga permanente
O revestimento tem espessura definida a partir de uma superfície parabólica,
como ilustrado na Figura 4.1.
Figura 4.1 Representação da seção do tabuleiro com revestimento e barreiras
…
LT
hc hL
36
Descontando-se a largura das barreiras, obtém-se a largura da pista de
rolamento, LT, e as alturas de revestimento no eixo (hc) e nos bordos (hL). Em seguida,
é possível determinar a área total de revestimento por integral simples, resultando em:
-
( - ) (4.4)
(
)
(4.5)
A barreira tipo New Jersey, cujas dimensões em milímetros são determinadas
em [17], está ilustrada na Figura 4.2.
Figura 4.2 Seção típica de barreira. Fonte: [17]
O peso linear transferido para a longarina é, então, determinado por:
(
)
4.2.2 Lançamento
As longarinas são posicionadas sobre os pilares com o auxílio de guindastes. O
efeito do içamento nas peças, devido a essa ação, também deve ser estudado.
É possível garantir que as vigas sejam içadas nas mesmas abscissas dos
futuros pontos de apoio, logo o efeito do peso-próprio é o mesmo no içamento.
Contudo, os cabos causam forças horizontais extras devidas às respectivas
inclinações.
Também, para que a viga fique transversalmente estável, o exato ponto de
ancoragem para os cabos do içamento não se encontra a meia altura da seção e, sim,
ligeiramente acima da linha do centro de gravidade. Dessa forma, evita-se a
b0 ≥380
GUIA
RAMPA
MURETA
h1 =75
h2 =225
h3 ≥480
b3 ≥150 b2 =50
b1 =180
EIX
O D
E R
EF
RE
RÊ
NC
IA
37
possibilidade de haver tombamento. Essa excentricidade faz com que a força
horizontal, acima referida, cause um momento fletor extra.
O comportamento da viga pode ser ilustrado na Figura 4.3.
Figura 4.3 Representação do efeito do içamento na viga
A força horizontal é expressa por:
( )
(4.6)
( ) (4.7)
Define-se o ângulo α igual a e a excentricidade vertical de valor igual a um
quarto da altura total da viga.
4.2.3 Carga Móvel
A carga móvel é, indiscutivelmente, a ação de maior magnitude na estrutura em
estudo e, sendo assim, a determinação dos esforços decorrentes dessa ação merece
maior detalhamento. Os cálculos são divididos em três etapas principais:
Obtenção da distribuição transversal e consequente trem-tipo longitudinal pelo
método de Courbon;
Posicionamento do trem-tipo longitudinalmente, seguindo o conceito de linhas
de influência;
Obtenção dos momentos fletores máximos solicitantes no meio do vão e no
apoio.
4.2.3.1 Análise Transversal
Transversalmente, a geometria do trem-tipo pode ser definida como:
distância entre eixos, denominada a’;
distância entre um eixo e o limite do veículo, denominada d’;
carga concentrada P;
carga de multidão q.
Vão
Apoio Meio do väo
e
α α
Bal. Bal.
C.G.
S0 S5 S10
38
Embora a NBR7188:2013 [18] permita a consideração do trem-tipo
simplificado, ao se seguir rigorosamente a geometria, existem três possibilidades de
seção transversal diferentes:
Seção AA: com eixos e carga de multidão fora da projeção do veículo;
Seção BB: com carga de multidão completamente distribuída;
Seção CC: localizada sobre o veículo, sem a carga dos eixos e com carga de
multidão somente fora da projeção do veículo.
Essas seções estão representadas na Figura 4.4.
Figura 4.4 Seções transversais do trem-tipo
Os parâmetros de interesse, representados na Figura 4.5, utilizados no
posicionamento das cargas são:
R1,1 – ordenada na viga de extremidade;
ΔR – variação da ordenada por viga;
d – distancia entre vigas;
ΔRm – variação da ordenada por metro;
D – distância da viga de bordo ao ponto de ordenada zero e igual a
;
Leff – Comprimento efetivo do triângulo de influência positiva (região 1), igual a
( )
H – Altura do mesmo triângulo igual a
P P
q
d’ a’ d’
q
AA
CC
BB
d’ d’ a’
q
a’ 2d’
q
q
39
Figura 4.5 Parâmetros da distribuição transversal
Para obtenção das forças referentes a cada seção, posicionam-se as cargas
concentradas e distribuídas da maneira mais desfavorável. O cálculo é feito impondo-
se uma abscissa a partir do bordo extremo e calculando-se as ordenadas com a
seguinte expressão:
- (4.8)
Para a carga concentrada, o resultado vem da simples multiplicação de P pela
ordenada. Para a carga de multidão, deve-se multiplicar q pela área da figura
carregada.
É necessário destacar que, mesmo o caminhão-tipo não representando
fisicamente nenhum veículo, deve ser respeitada a geometria dos eixos, que não
podem se aproximar da barreira mais que o limite d’.
Para a seção AA, o posicionamento está ilustrado na Figura 4.6.
Figura 4.6 Posicionamento na seção AA
A ação resultante na longarina é dada pela Equação (4.9)
( ) (
) (4.9)
R1,1
R1,n
ΔR
H
d
NJ
D
Leff
1,0 m
ΔRm
xi
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
Região 2
Região 1
d’
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
a’ d’ Lq
H1 H2 Hi
40
Para a seção BB, o posicionamento está ilustrado na Figura 4.7.
Figura 4.7 Posicionamento na seção BB
Carga de multidão começando na ordenada e se estendendo por
(
) (4.10)
Para a seção CC, o posicionamento está ilustrado na Figura 4.8.
Figura 4.8 Posicionamento para a seção CC
Vale somente a segunda parcela do carregamento da seção com carga
concentrada.
(
) (4.11)
Também é necessário estudar a influência de uma reação negativa (para cima)
que levanta a longarina. O estudo é feito carregando a parte negativa da linha de
influência transversal – região 2 – com a mesma divisão de seções feita anteriormente.
Para a seção AA, o posicionamento “negativo” está ilustrado na Figura
4.9Figura 4.6.
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
Leff
H
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
a’ 2d’ Lq
Hi
41
Figura 4.9 Posicionamento “negativo”para seção AA
( ) (
) (4.12)
Sendo que Lq pode ser tomado como zero no caso da carga de multidão ter
início na região 1 (positiva).
Para a seção BB, o posicionamento “negativo” está ilustrado na Figura
4.10Figura 4.6.
Figura 4.10 Posicionamento “negativo” para seção BB
(
) (4.13)
Para a seção CC, o posicionamento “negativo” está ilustrado na Figura
4.11Figura 4.6.
d’
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
a’ d’ Lq
H1 H2 Hi
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
Lq
Hinv
42
Figura 4.11 Posicionamento “negativo” para a seção CC
Vale somente a segunda parcela do carregamento da seção AA.
(
) (4.14)
Dessa forma, são definidos os seis tipos de força que compõem o trem-tipo
longitudinal, ilustrado nas Figuras Figura 4.12 e Figura 4.13, na qual cada uma das
forças pode assumir sub-índice positivo ou negativo. Essa forças estão listadas
abaixo.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Figura 4.12 Esquema longitudinal do trem-tipo positivo
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
a’ 2d’ Lq
Hi
1 1
2 2 1
3
F+ qM+ qM+
F+ F+
qi+
43
Figura 4.13 Esquema longitudinal do trem-tipo negativo
4.2.3.2 Análise Longitudinal
O trem-tipo longitudinal apresenta geometria caracterizada por:
Distância entre eixos, denominada a”;
Distância entre um eixo e o limite do veículo, denominada d”;
Forças determinadas na seção de análise transversal;
Uma melhor visão pode ser obtida observando-se a Figura 4.14.
Figura 4.14 Geometria do trem-tipo longitudinal
Os parâmetros de interesse são, como deduzido anteriormente apresentados
nas Figuras Figura 4.15 e Figura 4.16:
Figura 4.15 Linha de influência - seção de meio de vão
1 1
2 2 1
3
F- qM- qM-
F- F-
qi-
d’’ a’’ d’’ a’’
F qM qM
F F
qi
vão balanço balanço
1,0 m
44
Figura 4.16 Linha de influência - seção do apoio
Para analisar os momentos fletores de maior ou menor valor solicitante na
seção do meio do vão, são realizados três posicionamentos: um para momento fletor
positivo máximo e dois para momento fletor negativo máximo.
a-) Momento Fletor Positivo Máximo
Para se obter o momento fletor positivo máximo, deve-se carregar,
longitudinalmente, os pontos de ordenada positiva com carregamentos transversais
que geram resultantes positivas e os pontos de ordenada negativa com carregamentos
que geram resultantes negativas (levantam a viga). Isso significa aplicar no vão as
cargas
e nos balanços , definidas no item 4.2.3.1 A Figura 4.17
exemplifica a hipótese.
Figura 4.17 Posicionamento das cargas longitudinalmente
A Figura 4.18 mostra o posicionamento mais desfavorável do trem-tipo sobre a
laje para a obtenção do momento fletor máximo positivo para a seção do meio do vão.
Figura 4.18 Exemplo de posicionamento de cargas sobre o tabuleiro
balanço
1,0 m
𝐹 𝑞𝑚 𝑞𝑖
𝑞𝑚
𝑞𝑚
𝑞𝑚
𝑞𝑚
Direção longitudinal
45
A definição das ordenadas da linha de influência é função da sua ordenada
máxima. Para qualquer seção longitudinal, obtém-se a ordenada pela fórmula:
- (4.15)
Para as cargas concentradas; como indicado na Figura 4.19:
Figura 4.19 Posicionamento longitudinal das cargas concentradas
O momento fletor solicitante resultante é dado por:
( - ) (4.16)
Para as cargas concentradas; como indicado na Figura 4.20:
Figura 4.20 Posicionamento longitudinal das cargas de multidão
O momento fletor solicitante resultante é dado por:
(
- - )( - ( ))
(4.17)
Para as cargas interiores ao caminhão-tipo; como indicado na Figura 4.21:
Figura 4.21 Posicionamento longitudinal das cargas interiores
O momento fletor solicitante resultante é dado por:
a’’ a’’
HL
1m
ΔRmL
''
a’’ d’’
1m
ΔRmL
a’’ d’’
a’’ d’’
1m
ΔRmL
a’’ d’’
46
( d )( - ( a ))
(4.18)
Para as cargas de multidão nos balanços; como indicado na Figura 4.22:
Figura 4.22 Posicionamento longitudinal das cargas no balanço
O momento fletor solicitante resultante é dado por:
-
(4.19)
b-) Momento Negativo Máximo
Procede-se da mesma forma, porém invertendo as forças decorrentes da
análise transversal.
Também é investigada a hipótese do veículo-tipo estar no balanço (cargas
concentradas). O procedimento para determinação do momento máximo (mínimo) é
análogo: posicionam-se as cargas nos bordos mais desfavoráveis, com as abscissas
impostas pela geometria: obtém-se as ordenadas a partir da variação por metro.
As Figuras Figura 4.23 a Figura 4.25 ilustram o procedimento.
Figura 4.23 Posicionamento longitudinal das cargas
Figura 4.24 Posicionamento das cargas no tabuleiro – forma 1
balanço
1m
ΔRmL
HL,apoio
𝐹 𝑞𝑚 𝑞𝑖
𝑞𝑚 𝑞𝑚
Direção Longitudinal
47
Figura 4.25 Posicionamento das cargas no tabuleiro - forma 2
c-) Momento Fletor Máximo na seção do Apoio
Para a seção no apoio, o posicionamento do trem-tipo é bastante simplificado
conforme mostra o gráfico da linha de influência disposto no item 3.2.2 e descrito a
seguir:
: posiciona-se a primeira força no bordo extremo com ordenada HL,inv.,
posiciona-se a segunda força e calcula-se a ordenada, se for negativa, é
mantida, se for positiva, descartada, idem para a terceira força.
: posiciona-se o início da força e testa-se a ordenada, descarta-se se for
positiva ou estende-se até o ponto de ordenada NULA.
: posiciona-se o início da força no bordo do veículo-tipo e estende-se até o
ponto de ordenada NULA.
A Figura 4.26 ilustra esse posicionamento, nela, as linhas tracejadas representam
forças que podem ser consideradas ou não.
O momento fletor negativo máximo é resultado da soma das três parcelas.
Figura 4.26 Posicionamento longitudinal do trem-tipo para seção do balanço
𝑞𝑚
𝐹 𝑞𝑚 𝑞𝑖
𝑞𝑚
Direção Longitudinal
HL,apoio
ΔRmL,apoio
balanço
1,0 m
48
Percebe-se que é possível obter um momento positivo na seção do apoio
servindo-se de
e substituindo-as na Figura 4.26.
4.2.3.3 Validação e comparação da metodologia proposta
Para validar a rotina de cálculo proposta para obter a envoltória de momentos
fletores, carrega-se a linha de influência da seção do meio do vão. Os resultados são
comparados com os fornecidos pelo programa educacional Ftool versão 3.00.
Como exemplo, tem-se uma viga com vão central de 20,0m e balanços de
2,0m, como ilustrado na figura
Figura 4.27 Modelo unifilar de viga para análise. Fonte: Ftool
O trem-tipo longitudinal aplicado apresenta as seguintes características:
F = 136,6 kN
qM = 19,9 kN/m
qI = 6,8 kN/m
São determinados os momentos fletores, máximo e mínimo, na seção de meio
de vão, para cada uma das ações separadamente.
Para a contribuição das cargas pontuais (seção AA), obtém-se:
Figura 4.28 Linha de Influência com ação de cargas pontuais
Valores obtidos com cálculos propostos:
M+ = 1843,8 kN.m
49
M- = -170,7 kN.m
Para a contribuição das cargas na seção interior ao caminhão-tipo (seção CC),
obtém-se:
Figura 4.29 Posicionamento e momentos fletores extremo resultantes para força interior
Valores obtidos com cálculos propostos:
M+ = 174,1 kN.m
M- = -6,8 kN.m
Por fim, para a contribuição somente das cargas de multidão, visto que ela não
é uma carga contínua longitudinalmente (sendo interrompida nas seções onde atua a
força interior), é necessário simular uma carga interior de mesma magnitude e subtrair
esse valor de uma simulação com carga igualmente distribuída – isso se deve ao fato
do Ftool não posicionar a carga de multidão com um “vazio” no meio do vão – sendo
assim:
Figura 4.30 Momento fletor devido à carga de multidão no interior do caminhão
Carga interior
aplicada
50
Figura 4.31 Momento fletor devido à carga de multidão em toda a extensão da viga
Ao subtrair um do outro – para o momento positivo – e dividir por dois – para o
momento negativo, de forma a considerar um balanço carregado somente – obtém-se
os mesmos resultados no programa e seguindo os cálculos propostos:
M+ = 485,1 kN.m
M- = -19,8 kN.m
Dessa forma, é possível validar o processo de cálculo proposta e utilizá-lo para
futuras análises.
Entretanto, como já apresentado, existem outras regiões que devem ser
carregadas pelo trem-tipo para que seja gerado o momento fletor solicitante máximo.
São as regiões nas quais atua o trem-tipo “negativo” que suspende a viga localmente,
mas contribui para aumentar os momentos máximo e mínimo no meio do vão.
Embora o Ftool não possibilite obter esse resultado diretamente usando o
“trem-tipo negativo”, é possível chegar ao esforço máximo aplicando separadamente o
trem-tipo negativo – como se fosse positivo – e combinando os resultados de forma
oposta:
Momento máximo positivo do trem-tipo positivo com momento mínimo
negativo do trem-tipo negativo (em valores absolutos) e;
Momento mínimo negativo do trem-tipo positivo com momento máximo
positivo do trem-tipo negativo (em valores absolutos)
Para melhor analisar a influência dessas regiões, são analisadas geometrias
diversas com variação de vão e balanços. Os resultados estão dispostos no capítulo 6.
51
4.2.3.4 Comparações com programa comercial
4.2.3.4.1 Linha de influência de superfície
Não é usual a consideração do carregamento “invertido” posicionado nos
balanços. Para testar e validar essa hipótese, são feitas análises no programa
comercial CSI Bridge (2016).
A primeira análise baseia-se na geração de uma superfície de influência
numérica de momentos fletores para a viga de bordo em um tabuleiro de ponte como o
estudado.
A estrutura de análise foi modelada pelo Método dos Elementos Finitos e
possui, em sua superestrutura, quatro longarinas e duas transversinas de apoio
modeladas com elementos de barra além da laje do tabuleiro, modelada com
elementos de casca. A superestrutura conta com balanços longitudinais e transversais.
A meso e infraestruturas foram modeladas de maneira mais simples, também com
elementos de barra, pois considera-se que sua influência no comportamento estrutural
da superestrutura não é grande. A Figura 4.32 ilustra o modelo estrutural.
Figura 4.32 Modelo 3D de uma ponte (CSI Bridge, 2016)
Em seguida, define-se carga-móvel que trafega sobre todo o tabuleiro.
As Figuras Figura 4.33 e Figura 4.34 ilustram as superfícies de influência,
gerada numericamente, da seção do meio do vão.
52
Figura 4.33 Superfície de influência no meio do vão
Figura 4.34 Vista 3D da superfície de influência no meio do vão
Como pode ser notado nas Figuras Figura 4.33 e Figura 4.34, há uma região
nos extremos dos balanços cuja influência sobre o momento na seção de meio de vão
da viga é positiva, assim como previu o modelo proposto.
Essa influência é muito pequena quando aferida com a carga exatamente
sobre a seção, porém o comportamento sugerido pode ser validado com a
comparação.
4.2.3.4.2 Desvios da simplificação
Uma das hipóteses da metodologia de Courbon [14] é desconsiderar a
resistência à torção das vigas e do tabuleiro como um todo. A torção do tabuleiro foi
avaliada em seus estudos, mas desconsiderada pela presença das transversinas, que
enrijecem o conjunto.
A desconsideração da torção, para tabuleiros com seção aberta decorre da
pouca rigidez à torção do tabuleiro. No lugar da torção de Saint-Venant pura, o
53
fenômeno que mais se pronuncia é a torção de empenamento. A torção de
empenamento desperta, em seções compostas por perfis I, como é o caso do sistema
estrutural estudado, o bimomento, que é mais bem entendido analisando-se a Figura
4.35.
Figura 4.35 Esquematização do bimomento. Fonte [15]
Essa torção não-uniforme foi estudada em [19] e é possível identificar e
quantificar a influência desse efeito na Figura 4.36.
Figura 4.36 Efeito da torção não-uniforme em seções com vigas I. Adaptado de [19]
Percebe-se que o efeito da torção não-uniforme existe nas estruturas aqui
estudadas e chega a fazer parte de 50 % do efeito total.
Para conceitos mais aprofundados sobre a resistência ao empenamento,
sugere-se consultar [20] ou bibliografia especializada em torção de barras.
De forma a investigar a contribuição de cada consideração simplificadora,
foram concebidos modelos computacionais.
A ponte para análise apresenta as seguintes características:
Vão central – 25,0m
Balanços longitudinais – 4,0 m
Torção Mista Torção Uniforme Torção não-Uniforme
Torção concentrada
Torção distribuída
% de torção não-
uniforme
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
relação entre rigidez à torção de Saint-Venant GJ e a rigidez à torção de empenamento EIw
54
Balanços transversais – 3,0 m
Largura total da seção – 12,0 m
4 vigas tipo AASHTO-6
O modelo pode ser representado pela Figura 4.37.
Figura 4.37 Modelo Estrutural utilizado para estudo
Primeiramente, obteve-se o coeficiente de rigidez referente à seção do meio do
vão para uma única viga sem laje tipo AASHTO-6 (ver Anexo A) de 25,0 m de vão
central. Ele foi obtido com auxílio do SAP2000 ao se aplicar uma carga unitária na
seção do meio do vão. A Figura 4.38 mostra o resultado (unidades em kN e m).
Figura 4.38 Deslocamento no meio do vão devido à carga unitária
A rigidez é imediatamente obtida e igual a : 29.868 kN/m.
Em seguida, estudou-se, para uma seção transversal de 12,0 m de largura, e
balanços de 3,0 m com quatro vigas da mesma geometria, qual a influência da
hipótese de corpo rígido sobre apoios elásticos no que se refere à distribuição de
reações para cada longarina. Embora a dimensão do balanço transversal seja um
pouco maior que o comum, foi escolhido o valor para melhor ilustrar o efeito do trem-
tipo negativo.
Foram aplicadas somente as cargas pontuais de uma seção AA, respeitando-
se os limites já definidos. A transversina considerada tem seção 50x150 cm
A Figura 4.39 representa o esquema da seção transversal (valores em kN).
12,0 m
4,0 m
25,0 m
4,0 m
3,0 m
4 perfis AASHTO-6
55
Figura 4.39 Modelo transversal de carregamento
Após o processamento, obtiveram-se as reações de apoio do modelo de corpo
rígido, ilustradas na Figura 4.40 (valores em kN).
Figura 4.40 Reações de apoio do modelo de corpo rígido
As reações extremas previstas pelo modelo proposto são iguais a 129,8 kN e -
54,8 kN. É possível estimar uma diferença de 2% para a reação positiva e 4% para o a
negativa. Tal diferença é esperada pois, no caso mais realista, a transversina sofre
alguma flexão, concentrando a reação de apoio mais próxima à carga aplicada e
“amortecendo” o efeito até chegar ao outro bordo, por isso a diferença maior na reação
negativa.
Para uma transversina de rigidez infinita, os resultados obtidos são
praticamente os mesmos, com uma diferença de 0,3 kN, que corresponde a 0,2%
Confirma-se, dessa forma, que a hipóteses de distribuição de esforços
considerando a transversina como um corpo rígido é valida, com desvios da ordem de
5,0 % (2,0 % e 4,0 % no caso exemplificado). É de se esperar que os desvios
aumentem caso a razão entre a rigidez à flexão da transversina e da longarina
diminua.
Para ser possível comparar os resultados com o modelo proposto, é necessário
obter os resultados de momento fletor calculados pelo modelo simplificado no meio do
vão. Os cálculos detalhados estão dispostos no Anexo B e os resultados são:
Momento fletor máximo positivo na viga de bordo: 811 kN.m
Momento fletor máximo negativo na viga de bordo: -342 kN.m
Analisou-se o modelo, sem laje, com uma transversina no meio do vão com
rigidez infinita e sem rigidez à torção nos elementos (longarinas ou transversinas),
como representado na Figura 4.41 (valores em kN).
56
Figura 4.41 Modelo estrutural com elementos de barra - SAP2000
Observa-se que, para esse caso, os resultados, tanto de reações da
transversina quanto de momentos, são idênticos ao previsto no modelo simplificado,
como representado na Figura 4.42. Dessa forma, conclui-se, de maneira preliminar,
que o modelo de Courbon pode ser obtido em programas de computador ao se:
eliminar a rigidez à torção de cada elemento reticular;
desconsiderar a ação do tabuleiro;
considerar a rigidez das transversinas infinita.
Figura 4.42 Momento fletores no modelo sem rigidez (SAP2000)
Em seguida, considerou-se a rigidez à torção das longarinas, de forma a se
distanciar um pouco do modelo previsto de torção de empenamento pura. Os
811 kN.m
342 kN.m
57
resultados obtidos são descritos a seguir e indicados nas Figuras Figura 4.43 e Figura
4.44:
Reações máxima e mínima : 111,8 kN e -36,4 kN
Momentos fletores máximo e mínimo: 697,5 kN.m e – 227,1 kN.m
Figura 4.43 Momentos fletores considerando a rigidez à torção (SAP2000)
Figura 4.44 Momentos Torsores considerando a rigidez à torção (SAP2000)
No modelo seguinte, a rigidez das transversinas foi adotada com seu valor real,
esperando obter um resultado semelhante ao do modelo da Figura 4.39, com menor
distribuição das reações. Obtém-se:
Reações máxima e mínima : 113,2 kN e -43,6 kN
Momentos fletores máximo e mínimo: 708,5 kN.m e – 216,0 kN.m
Na etapa seguinte, foi reintroduzida a rigidez à torção das transversinas e
obtiveram-se os seguintes resultados, também indicados na Figura 4.45.
697,5 kN.m
227,1 kN.m
15,24 kN.m
58
Reações máxima e mínima : 117,4 kN e -36,8 kN
Momentos fletores máximo e mínimo: 677,8 kN.m e – 182,05 kN.m
Figura 4.45 Momentos Fletores considerando a torção das transversinas (SAP2000)
Percebe-se, para esse caso, que as transversinas, ao poderem torcer na região
do apoio, criam um engaste elástico que muda o sinal do momento fletor, reduzindo a
magnitude do mesmo no meio do vão. Para ambos os bordos, o engaste elástico
absorve um momento da ordem de 50,0 kN.m.
A influência de cada uma das simplificações pode ser melhor compreendida
nos gráficos das Figuras Figura 4.46 e Figura 4.47, obtidos com valores do programa
computacional.
45 kN.m
50 kN.m
59
Figura 4.46 Momento Fletor positivo
Figura 4.47 Momentos Fletores negativos
Por fim, partindo-se do mesmo modelo com elementos de barra, modelou-se a
laje do tabuleiro com elementos de casca, com espessura equivalente de 25,0 cm,
sobre o topo das vigas, para que as rijezas sejam devidamente representadas, como
ilustrado na Figura 4.48.
812
697709
678
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25M
om
ento
s F
leto
res (
kN
.m)
comprimento (m)
Método de Courbon (base)
+ torção das longarinas
+ rigidez real da transversina
+ rigidez torcional da transversina
-341
-227-216
-182
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
0 5 10 15 20 25
Mom
ento
s F
leto
res (
kN
.m)
comprimento (m)
Método de Courbon (base)
+ torção das longarinas
+ rigidez real da transversina
+ rigidez torcional da transversina
60
Figura 4.48 Modelo de ponte com vigas modeladas pelo topo (SAP2000)
Inicialmente, optou-se por considerar a laje sem solicitações axiais,
encontrando-se valores de momentos fletores no meio do vão de:
Momentos máximo e mínimo: 589,0 kN.m e – 94,0 kN.m
Percebe-se que a inserção da laje, mesmo que sem rigidez axial para contribuir
como me sa de compressão na flexão, transfere solicitação para os tramos em
balanço, aumentando a rigidez do conjunto e diminuindo os momentos fletores no
meio do vão.
Ao considerar o comportamento de membrana na direção longitudinal, como as
longarinas e transversinas foram modeladas pelo topo, como indicado na Figura 4.48,
devem-se somar as solicitações de membrana da laje com a respectiva excentricidade
de forma a obter o momento fletor solicitante na viga, como indicado na Figura 4.49.
Figura 4.49 Excentricidade da força do tabuleiro
Como a resultante de forças normais deve ser equilibrada, torna-se mais fácil
obter a resultante de esforços normais na laje analisando-se as forças normais
atuantes na viga, já que formam um binário.
Os resultados são:
Momentos máximo e mínimo: 651,82 kN.m e – 107,2 kN.m
Os resultados encontram-se no Quadro 4.2.
eixo do topo
da viga
laje contribuinte
eixo do
C.G.
Momento na viga
Resultante de forças
na laje contribuinte
Momento Total =
Momento na viga +
Forças na laje x
excentricidade
61
É possível extrair algumas conclusões a partir dos resultados encontrados,
ainda que preliminares, sobre a influência de cada simplificação no comportamento
geral da estrutura
Quadro 4.2 Resultados comparativos entre momentos fletores
Confirma-se a pouca influência da rigidez à flexão das transversinas: já que a
mesma é naturalmente mais importante que a rigidez à torção dos perfis I. Porém, a
consideração do modelo com rigidez real da transversina distribui os esforços mais
heterogeneamente causando um aumento da reação no lado positivo e diminuição no
lado negativo, ambas menores que 5,0 %.
A hipótese que a seção atua somente sob torção de empenamento causa um
aumento do momento positivo da ordem de 15,0 % e do negativo de 30,0 %, isso
ocorre porque a viga do bordo oposto às cargas (onde se analisa o momento negativo)
tem a contribuição devida à excentricidade da carga diminuída, se aproximando do
caso em que há distribuição homogênea de reações.
A influência da torção das transversinas, como descrito anteriormente, cria uma
mola rotacional na região dos apoios, mudando o sinal do momento e “levantando” o
diagrama. Esse efeito não reduz proporcionalmente o momento e depende
principalmente da rigidez à flexão da transversina quando a mesma é analisada como
placa. Para efeito de estimativa, a redução do momento foi de 4,0 % para o positivo e
10 % para o negativo.
Com relação às conclusões sobre a rigidez torcional dos elementos, é
necessário ressaltar que, na prática, as vigas de concreto – armado ou protendido –
não possuirão toda a resistência como previsto no modelo computacional, já que a
resistência à torção de peças de concreto é reduzida devido à fissuração e,
consequentemente, o resultado real se encontra em algum ponto entre os extremos:
com e sem torção das longarinas.
A influência do tabuleiro deve ser melhor avaliada visto que foi identificada
certa influência do mesmo quando atuando como membrana.
A Figura 4.50 ilustra os efeitos investigados com os modelos executados.
SimplificadoSem torção e
rigidez infinita
Com torção das
Longarinas
Com rigidez real
da Transversina
Com torção das
Transversinas
Tabuleiro sem
Solicitação Axial
Tabuleiro com
solicitação Axial
Mmax 810 811 697,5 708,5 677,8 589 651,82
Mmin -342 -341 -227,1 -216 -182,05 -94 -107,2
62
Figura 4.50 Esquema de modelos estruturais
+ -
MODELO BÁSICO :
CORPO RÍGIDO SOBRE APOIOS
ELÁSTICOS
REAÇÕES PROPORCIONAIS À
DISTÂNCIA AO C.G.
MODELO COM FLEXÃO DA
TRANSVERSINA : DISTRIBUIÇÃO
DE REAÇÕES MAIS PRÓXIMA À
CARGA
- -
MODELO COM TORÇÃO DA
LONGARINA : RESULTANTES
REDUZIDAS DEVIDO AO
MOMENTO
MODELO COM TORÇÃO DA
TRANSVERSINA : ENGASTE
ELÁSTICO SUSPENDE O
DIAGRAMA
DESVIO: 5 %
DESVIO: 15 A 30 %
DESVIO: 4 A 10 %
63
4.3 Combinação de Ações e Estados Limites
Segundo a Tabela 13.4 da NBR-6118:2014, as combinações de ações são
definidas, para o concreto protendido, segundo as Classes de Agressividade
Ambiental (CAA), às quais a estrutura está submetida.
Nas seções seguintes são detalhados os Estados Limites de Serviço utilizados
nas verificações e as combinações de ações.
São propostos três níveis de protensão na NBR-6118:2014. São eles:
Protensão Completa
Protensão Limitada
Protensão Parcial
Como a protensão parcial permite a abertura de fissuras no concreto, optou-se
por não incluir esse nível de protensão no estudo, já que uma das grandes vantagens
do C.P. é justamente inibir a abertura de fissuras, aumentando a durabilidade das
peças. Sendo assim, para os estados de protensão Completa e Limitada, são
verificados três estados limites de serviço:
ELS-D: Descompressão
ELS-F: Formação de fissuras
ELS-CE: Compressão excessiva
Os estados limites de serviço são verificados para diferentes tipos de
combinação:
Combinação quase-permanente
Combinação frequente
Combinação rara
A interação entre os itens acima dispostos pode ser vista no trecho da tabela
13.4 da NBR6118, ilustrada na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 Combinações de Ações. Fonte [21]
64
Uma das diferenças entre os níveis 2 (Limitado) e 3 (Completo) de protensão
está nas combinações, sendo mais rigorosa para o nível 3.
De forma abrangente, como as pontes consideradas nessa análise são
estruturas relativamente de menor porte e grande quantidade e a maioria do território
nacional está sujeito a chuvas frequentes e clima úmido, foi considerada CAA-III como
satisfatória.
Essa escolha permite que a estrutura seja projetada com protensão limitada
para os casos de pós-tensão e que sejam verificados dois Estados Limites de Serviço
distintas – de descompressão e de formação de fissuras – que implicam em
combinações diferentes: Combinação quase-permanente e frequente respectivamente.
Além disso, no item 17.2.4.3 da NBR6118:2014 é descrito o procedimento de
cálculo para verificação, no E.L.U., da peça no ato da protensão. Essa verificação se
enquadra no estado limite de compressão excessiva.
4.3.1 ELS-D
No Estado Limite de Serviço de Descompressão não há tensões de tração em
nenhuma fibra da seção de concreto, podendo haver um ou mais pontos de tensão
nula. Na prática, para tensões distribuídas linearmente, é o estado no qual as tensões
no concreto apresentam distribuição triangular.
4.3.2 ELS- F
No Estado Limite de Serviço de Formação de Fissuras admite-se que a tensão
máxima de tração na seção seja igual à resistência do concreto à tração na flexão, fct,f.
Na prática, para tensões distribuídas linearmente, é o estado no qual as tensões no
concreto apresentam distribuição bitriangular com tração máxima igual a fct,f.
Pode-se definir fct,f a partir do item 17.3.1 da NBR6118:2014, no qual é
abordado o momento de fissuração e definido o fator α, que correlaciona a resistência
à tração na flexão com a resistência direta à tração de forma aproximada:
Ainda nesse item, é indicada a utilização do fctk,inf no estado limite de formação
de fissuras. Assim:
Logo,
⁄
⁄ (4.20)
65
4.3.3 ELS-CE
Concomitante às exigências de tração já definidas, é necessário verificar as
tensões compressivas na seção de concreto.
Embora a NBR6118:2014 não explicite o limite de compressão no item 3.2.7,
em seu item 14.3.3 é indicado que, para carregamento monotônico, as tensões de
compressão no concreto não devem ultrapassar 0,5 fck. Também, no item 8.2.10.11, é
indicado que, para tensões menores que 0,5 fck, o concreto apresenta relação linear
entre tensão e deformação. Como a verificação no estado limite de serviço é realizada
ainda com o concreto apresentando diagrama de tensões lineares, conclui-se que a
adoção desse limite é coerente.
A consideração simplificada desse estado limite, descrita no item 17.2.4.3.2 da
referida norma, admite o concreto no estádio I (sem fissurar e, ainda, com
comportamento linear-elástico). Essa consideração é válida desde que:
a tensão máxima de compressão na seção não ultrapasse 70% da
resistência à compressão característica no dia da protensão, fckj;
a tensão máxima de tração do concreto não ultrapasse 1,2 vez a
resistência à tração média, fctm, correspondente ao fckj;
em havendo tensões de tração, deve haver armadura de tração
calculada no estádio II, cuja força é igual à resultante das tensões de
tração no concreto no estádio I e na qual a tensão atuante não pode
ser superior a 150 MPa para fios ou barras e 250 MPa para barras
nervuradas.
Essa consideração tem, associada a ela, os seguintes coeficientes de
ponderação:
( ) ( )
( ) ( )
No âmbito desse estudo, não foi automatizada a verificação de tensões no
instante da protensão.
4.3.4 Combinação Quase-Permanente
A combinação de ações quase-permanente é definida, em norma, como:
∑ ∑ (4.21)
onde:
66
De forma prática, como a única carga variável considerada é a carga-móvel
rodoviária, pode-se considerar ψ2 como descrito na Tabela 6 da NBR8681:2003 [22]
com valor de 0,3.
4.3.5 Combinação Frequente
Analogamente, a combinação de ações frequente é definida, em norma, como:
∑ ∑ (4.22)
onde:
De forma prática, como a única carga variável considerada é a carga-móvel
rodoviária, pode-se considerar ψ1 como descrito na Tabela 6 da NBR8681:2003 [22]
com valor 0,5.
4.3.6 Combinação Rara
Por fim, a combinação rara é definida como:
∑ ∑ (4.23)
onde:
De forma prática, como a única carga variável considerada é a carga-móvel
rodoviária, pode-se considerar, nessa combinação, a carga móvel com seu valor
característico integral.
4.4 Traçado dos cabos
A definição do traçado dos cabos de um projeto de vigas protendidas requer
experiência do projetista. Sendo o objetivo desse estudo somente o pré-
dimensionamento, foram adotadas hipóteses quanto ao traçado dos cabos. São elas:
a-) Limites de excentricidade dos cabos:
Início da viga : cabo médio no C.G. da seção
Seção do apoio: cabo médio 15,0 cm abaixo do topo da viga
67
Seção do meio do vão: cabo médio 15,0 cm acima do fundo da viga
A Figura 4.51 ilustra o traçado do cabo médio para uma viga biapoiada com
balanços, seguindo as seguintes considerações:
Parábola entre o início da viga e a seção do apoio
Curva cúbica entre a seção do apoio e um terço do vão central
Traçado reto entre um terço do vão central e o meio do vão central
Traçado simétrico a partir do eixo de simetria
A Figura 4.52 ilustra o traçado do cabo médio para uma viga biapoiada sem
balanços, seguindo as seguintes considerações:
Parábola entre o início da viga um quarto do vão
Traçado reto entre um quarto do vão e o meio do vão
Traçado simétrico a partir do eixo de simetria
Figura 4.51 Traçado padrão para viga com balanços
Figura 4.52 Traçado padrão para viga sem balanços
4.5 Dimensões e limites geométricos
Algumas dimensões também foram parametrizadas, tais como:
A laje tem espessura média de 25,0 cm;
Vãobal bal
C.G.
15 cm
15 cm
parábola
cúbica
reta
⁄ 𝑣 𝑜
Vãobal bal
parábola
reta C.G.
15 cm
⁄ 𝑣 𝑜
68
A largura da alma na seção do apoio é o dobro da largura da alma no
vão.
Embora, por vezes, seja matematicamente possível protender a viga, devem
ser respeitados os limites geométricos da seção. Esses limites na seção se traduzem
na quantidade de armadura máxima que pode ser disposta.
Três situações são verificadas:
Cabos na mesa inferior – representando a seção do meio do vão
Cabos na mesa superior – representando a seção do apoio
Cabos ao longo da altura com largura da alma - representando a região
de ancoragem.
A Figura 4.53 ilustra cada uma das situações.
Figura 4.53 Regiões de verificação de armadura
Para cada região considerada, de forma a atender o disposto em 18.6.2.3 da
NBR-6118:2014, referente aos espaçamentos mínimos (ver Tabela 4.2), foi estipulado
que a taxa máxima de armadura possível é de 15 % da área de concreto.
Tabela 4.2 Espaçamentos mínimos segundo [21]
O limite foi estabelecido, de maneira conservadora, considerando que a seção
transversal das bainhas é similar à dos cabos de protensão e que é necessário
respeitar o espaçamento livre de, ao menos, 5,0 cm na vertical e na horizontal. O
diâmetro da bainha de protensão foi tomado como sendo 6,0 cm após a enfiação dos
69
cabos, referente a uma bainha tipo Rudloff para seis cordoalhas de 12,7 mm [23]. Tal
como esquematizado na Figura 4.54.
Figura 4.54 Esquema de posicionamento de bainhas
5 Automatização dos cálculos
Para que os cálculos e verificações atendam ao objetivo inicial de pré-
dimensionar vigas de forma ágil e eficiente, foi concebida uma planilha em Excel que
agrupa os dados de entrada, os cálculos e os dados de saída. Nessa seção são
apresentados cada um deles e, ao final, um exemplo de dimensionamento.
5.1 Dados de Entrada
Os dados de entrada são classificados em três principais grupos:
Perfil da viga
Características da ponte
Características dos materiais
5.1.1 Perfis de viga
Foi construída uma base de dados com vinte e cinco diferentes perfis
mostrados no Anexo A, sendo:
3 perfis tipo PREMAG
9 perfis tipo AASHTO (American Association of State Highway and
Transportation Officials)
12 perfis tipo CalTrans (California Department of Transportation)
Uma possibilidade de perfil personalizado pelo usuário
5.1.2 Características da ponte
Os dados de entrada referentes à ponte são:
Largura total do tabuleiro
φext 6,0cm
5,0 cm + φext
5,0 cm φext
70
Comprimento do balanço – transversalmente – da laje do tabuleiro
Comprimento do vão central da ponte
Comprimento dos balanços
Trem-tipo dimensionante
5.1.3 Características dos materiais
Os dados referentes aos materiais são:
Resistência à compressão característica (fck) do concreto
Tipo de agregado
Tipo de cimento
Dia da protensão após a concretagem da viga
Utilização do módulo secante ou tangente
Umidade relativa
Slump
Tipo de Protensão
Tipo de aço
Módulo de elasticidade do aço
Diâmetro da cordoalha
Número de cordoalhas
Número de cabos
Coeficiente de atrito entre o cabo e a cordoalha
5.2 Dados de Saída
Os principais dados de saída são:
Tensões nas fibras inferior e superior da viga e na fibra superior da laje;
Porcentagem de aço nas regiões de verificação (mesas superior e
inferior e ao longo da altura para a região de ancoragem);
Quantitativos de concreto do conjunto de vigas, em m³, e de aço de
protensão, em kg.
5.3 Exemplo
A metodologia proposta, apresentada nos capítulos anteriores, foi
automatizada na forma de planilha eletrônica. O usuário deve fornecer dados iniciais
descritos a seguir e verificar o pré-dimensionamento executado. Um exemplo é
desenvolvido para mostrar a eficiência da metodologia proposta.
A Figura 5.1 mostra as dimensões da seção transversal de um perfil tipo
AASHTO-5, na seção corrente e na do apoio.
71
Figura 5.1 Dimensões da seção transversal
A Tabela 5.1 apresenta as propriedades geométricas obtidas pelo métodos dos
trapézios.
Tabela 5.1 Propriedades geométricas da seção transversal
A ponte tem um vão de 29,0 m, com dois balanços de 4,0 m cada, perfazendo
um comprimento total de 37,0 m. A seção transversal é composta por quatro
longarinas, com intereixo de vigas de 2,73 m e balanços de 2,0 m, totalizando 12,2 m.
Longarina AASHTO-5
h 160,0 cm
b_sup 106,7 cm
h_sup 12,7 cm
mis_sup 7,6 cm
b_inf 71,1 cm
h_inf 20,3 cm
mis_inf 25,4 cm
b_alma 20,3 cm
b_apoio 40,6 cm
b_laje 328,1 cm
h_laje 25,0 cm
Entradas
h
b_inf
h_laje
h_inf
b_sup
b_alma
h_sup
mis_sup
mis_inf
b_la je
b_apoio
Área 0,635 m² Área 0,839 m²
Inércia 0,21072 m4 Inércia 0,23020 m4
D (CG-sup) 80,49 cm D (CG-sup) 77,81 cm
D (CG-inf) 79,53 cm D (CG-inf) 82,21 cm
Wsup 0,26179 m³ Wsup 0,29583 m³
Winf -0,26496 m³ Winf -0,28003 m³
Área 1,456 m² Área 1,659 m²
Inércia 0,52462 m4 Inércia 0,57635 m4
D (CG-sup) 53,09 cm D (CG-sup) 58,16 cm
D (CG-inf) 131,93 cm D (CG-inf) 126,86 cm
Wsup 0,98812 m³ Wsup 0,99104 m³
Wsup-viga 1,86743 m³ Wsup-viga 1,73830 m³
Winf -0,398 m³ Winf -0,45431 m³
Perímetro 484,7 cm²
Área p/ cabos 2606,4 cm²
Área p/ cabos-sup 1838,7 cm²
Área p/ cabos-cabeça 3251,6 cm²
Vão Apoio
Propriedades sem laje
Propriedades com laje
Vão Apoio
72
A Figura 5.2 ilustra o desenho esquemático longitudinal e transversal da
estrutura em análise. O trem-tipo utilizado é o TB-450.
Figura 5.2 Esquemas longitudinal e transversal da ponte
As Tabelas Tabela 5.2, Tabela 5.3 e Tabela 5.4 mostram os momentos fletores
e esforço normal devidos à carga móvel, às cargas permanentes e ao içamento da
viga pré-moldada, respectivamente
Tabela 5.2 Momentos fletores - Carga Móvel
Tabela 5.3 Momentos fletores - Cargas Permanentes
Vãobalanço
Apoio Meio do Vão
balanço
…
vão entre vigas = 8,2balanço balanço
n. de vigas
Total
M+max 4747,3 kN.m
M-max -1262,5 kN.m
M-max -1527,6 kN.m
M+max 401,8 kN.m
Meio do Vão
Apoio
Viga Isolada 1543 Viga Isolada -127
Laje p/ viga 1851 Laje p/ viga -153
Revestimento 327 Revestimento -27
Barreiras 141 Barreiras -12
M. Apoio (kN.m)M. Meio do Vão (kN.m)
73
Tabela 5.4 Momento fletor e esforço normal - Içamento
A Tabela 5.5 mostra as características do aço de protensão e do concreto da
viga protendida. Os limites das tensões de compressão e de tração na seção são
definidos a partir da classe de agressividade ambiental e do tipo de protensão aplicada
na estrutura. Define-se, também, a unidade de protensão, o número de cabos
adotados e os parâmetros geométricos para ajuste do traçado do cabo médio.
Nessa tabela, os valores de σcc, σct e σct, f representam os limites de tensão
do concreto no ELS-CE, ELS-D e ELS-F, respectivamente. Além disso, os parâmetros
geométricos indicados representam as excentricidades adotadas como premissas de
análise para o ajuste do traçado dos cabos.
Tabela 5.5 Características dos materiais e do cabo médio
A Tabela 5.6 apresenta do valores das tensões devidas aos carregamentos
atuantes, no instante da protensão e no tempo infinito, para os estados limites em
serviço pertinentes ao nível de protensão adotado, nas seções do apoio e de meio de
vão.
Offset Long. - m
Offset Altura 40,005 cm
Ângulo 60 °
Normal 169,7 kN
Momento 67,88 kN.m
Içamento
fck 40 MPa CAA - III
Tipo CP 190 R.B. agregado granito/gnaisse Protensão Limitada
Eaço 200,000 GPa Cimento CP-II
Φ 12.7 mm idade prot. 5 dias σcc 20,0 MPa
Módulo Eci σct 0,0 MPa
idade final 10000000 dias σct,f -3,2 MPa
U(%) 50%
Slump 0-4 cm
F1 = 145,0 cm no cordoalhas 6
F2 = 15,0 cm no cabos 8
e = 80,5 cm μ (coef. Atrito) 0,2
k (coef. perda) 0,002
Limites no ConcretoCaracterísticas do Aço Características do Concreto
Características dos CabosParâmetros Geométricos
74
Tabela 5.6 Tensões atuantes
O Quadro 5.1 resume as verificações de porcentagem de armadura nas
regiões definidas no item 4.5.
Quadro 5.1 Porcentagem de armadura nas regiões-chave
A Tabela 5.7 resume o quantitativo de concreto e de aço de protensão.
Tabela 5.7 Quantitativo
Etapa σsup,0 (MPa) σinf (MPa)
E.L.S [PP+Prot] 1,0 16,1
E.L.S [PP + Lançamento + Prot] 1,6 16,1
E.L.S [PP + Laje + Prot] 8,1 9,1
E.L.S [PP + Laje + Rev. + GR + Prot] 8,4 7,9
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Positivo] 9,1 4,3
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Positivo] 9,6 1,9
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Negativo] 8,2 8,8
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Negativo] 8,0 9,5
E.L.S [PP + Laje + Rev. + GR + Prot] 9,3 3,8
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Positivo] 10,0 0,2
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Positivo] 10,5 -2,2
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Negativo] 9,1 4,8
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Negativo] 8,9 5,4
Máximos 10,5 16,1
Mínimos 1,0 -2,2
E.L.S [PP+Prot] 5,3 6,2
E.L.S [PP + Lançamento + Prot] 5,8 6,2
E.L.S [PP + Laje + Prot] 4,8 6,8
E.L.S [PP + Laje + Rev. + GR + Prot] 4,8 6,9
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Positivo] 4,9 6,6
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Positivo] 4,9 6,4
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Negativo] 4,5 7,9
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Negativo] 4,4 8,5
E.L.S [PP + Laje + Rev. + GR + Prot] 3,8 5,8
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Positivo] 3,8 5,5
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Positivo] 3,9 5,4
E.L.S. D- CQP [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,3*Carga Móvel Negativo] 3,5 6,8
E.L.S. F- CF [PP + Prot. + Laje + Rev. + GR +0,5*Carga Móvel Negativo] 3,3 7,5
Máximos 5,8 8,5
Mínimos 3,3 5,4
Meio do Vão
Apoio
T =
∞T =
0T =
0T =
∞
% As Inferior 1,9%
% As Superior 2,6%
% As Cabeça 1,5%
Verificação Ok
Total de Concreto 100,1 m³
Total de Aço 1419,5 kg
Quantitativos
75
6 Análises de sensibilidade
Foram realizadas diversas análises de sensibilidade para investigar a influência
de alguns parâmetros na análise de estruturas de pontes/viadutos compostos por um
vão, com ou sem balanços. É possível separar as análises em dois grupos principais.
O primeiro trata da influência do trem-tipo “negativo” nos esforços resultantes
devido à carga móvel. Como exposto no item 4.2.3.4.2, o método simplificado implica
um desvio, a favor da segurança, da ordem de 40%, porém muito contra a economia,
o que não é recomendado para projetos de maior porte como o de uma ponte.
Considerando o comportamento real da estrutura, é possível corrigir os resultados por
esse fator após realizar análises com o modelo simplificado.
Demonstra-se que, ao se considerar o modelo simplificado proposto por
Courbon, algumas situações de carregamento não são consideradas, o que levaria a
esforços de maior magnitude. Como a simplificação do modelo atua muito a favor da
segurança, não há inversão de momentos nos resultados, porém mantém-se
necessário o conhecimento quantitativo desses desvios.
O segundo grupo trata da sensibilidade da protensão segundo a variabilidade
de diversos parâmetros que, por muitas vezes, não são obtidos com precisão no
período de projeto, tais como: a umidade relativa, o abatimento do concreto e o
coeficiente de atrito cabo-bainha. O objetivo dessas análises é fornecer maior
conhecimento sobre cada parâmetro de projeto e, também, fornecer balizadores ao
projetista quando não se possui certeza sobre um ou outro parâmetro.
6.1 Influência do trem-tipo negativo no momento no meio do vão
6.1.1 Momento positivo máximo
A proposta de se carregar o balanço longitudinal com o trem-tipo “negativo”,
como descrito no item 4.2.3.2, acarreta um aumento do momento máximo positivo na
seção do meio do vão. As principais dimensões que influenciam o desvio são:
A extensão do balanço longitudinal, que permite uma maior área para
carregamento
A extensão do balanço transversal, para uma largura de tabuleiro
constante, que possibilita o aumento da magnitude do trem-tipo
“negativo”
Sendo assim, foi escolhido uma configuração base da estrutura, ilustrada na
Figura 6.1, e que pode ser resumido em:
76
4 longarinas
balanços transversais de 2,0 m
largura total de 12,0 m
balanços longitudinais de 4,0 m
vão central variando de 15,0 a 50,0 m
Figura 6.1 Modelo base de ponte
Ao se variar o comprimento do vão central, obtêm-se diferentes relações entre
o comprimento do balanço longitudinal e o vão central longitudinal: de 8,0 % a 26,6 %.
Dessa maneira, espera-se cobrir um número representativo de situações de projeto.
Além disso, para se confirmar a influência dos balanços transversais, foi
realizada nova rodada de análises, alterando o comprimento do balanço transversal
para 3,5 m, como ilustrado na Figura 6.2.
Figura 6.2 Modelo de ponte com balanço transversal modificado
Em seguida, aumentou-se o número de vigas de quatro para seis, buscando
avaliar o comportamento de distribuição de reações nas vigas.
Os resultados, representados no gráfico da Figura 6.3, foram extraídos a partir
da relação:
- ( )
- ( ) (6.1)
12,0 m
4,0 m
15,0 a 50,0 m
4,0 m
2,0 m
4 longarinas
12,0 m
4,0 m
15,0 a 50,0 m
4,0 m
3,5 m
4 longarinas
77
Figura 6.3 Comparação do momento máximo no meio do vão
Observa-se o aumento da variação entre propostas à medida que se
aumentam os comprimentos dos balanços, longitudinal ou transversal. Além disso, o
aumento no número de vigas resulta em uma melhor distribuição das solicitações (ver
Figura 3.11) e no aumento da variação em relação ao modelo base, mas em menor
escala que o aumento do comprimento do balanço.
Contudo, para todos os casos, a diferença entre as propostas não ultrapassou
3%, indicando aceitabilidade do método tradicional de aplicação da carga móvel sobre
a laje.
6.1.2 Momento negativo máximo tradicional
A proposta do trem-tipo negativo também influencia o cálculo do momento
negativo máximo no meio do vão, visto que é possível carregar o vão central com o
trem-tipo negativo (parcela de multidão) ao mesmo tempo em que se carregam os
balanços com o caminhão tipo e a carga de multidão (ver Figura 4.25)
Possivelmente, os fatores que mais influenciam na diferença são:
A extensão do vão central, que na análise tradicional não é carregado
com o trem-tipo negativo
A geometria transversal, que, assim como para o momento máximo no
meio do vão, influencia a magnitude do trem-tipo “negativo”
Os resultados, representados no gráfico da Figura 6.4, apresentam a diferença
entre propostas para o momento mínimo no meio do vão considerando o caminhão-
tipo no balanço e foram extraídos a partir da relação:
- ( )
- ( ) (6.2)
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
Variação
Razão balanço/vão central
> balanço transversal
+vigas
Modelo Base
78
Figura 6.4 Momentos mínimos no meio do vão
Em seguida, optou-se por analisar o cenário base com extensão do vão central
média – 25,0 m – variando-se a extensão do comprimento do balanço transversal
entre mais e menos 100,0 % do seu valor inicial – de 0 a 4,0 m – como disposto na
Figura 6.5.
Figura 6.5 Modelo de ponte com variação dos balanços transversais
Os resultados foram tomados segundo a Equação (6.2) e dispostos no gráfico
da Figura 6.6.
0%
50%
100%
150%
200%
250%
300%
350%
3 5 7 9 11 13
Variação
Razão vão/balanço
> balanço transversal
+vigas
Base
12,0 m
4,0 m
25,0 m
4,0 m
0 a 4,0 m
4 longarinas
79
Figura 6.6 Diferenças entre os momentos mínimos no meio do vão – parte 2
Confirmou-se a hipótese da influência do balanço transversal no aumento do
desvio. Contudo, verificou-se preponderância do efeito da extensão do vão central,
ressaltando que, em não havendo balanços, a metodologia tradicional não contempla
momentos fletores negativos no meio do vão, enquanto que a metodologia proposta
mostra a importância desses momentos fletores devido ao comportamento sugerido
em [14].
Esse desvio, que chega a valores duas vezes maiores que o previsto
tradicionalmente, pode ser reduzido considerando o comportamento estudado no item
4.2.3.4.2. Aplicando uma redução de 40,0 % na contribuição do trem-tipo negativo
obtém-se, ainda, valores 1,2 vezes maiores para o momento negativo no meio do vão,
o que deve ser considerado no dimensionamento das estruturas da OAE.
Além dessa redução, também deve ser levado em conta o fato do
carregamento permanente – peso-próprio e sobrecarga permanente – reduzir o
momento fletor negativo no meio do vão. A contribuição da carga móvel na obtenção
do momento fletor negativo pode ser expressa como porcentagem do momento fletor
positivo causado pelo carregamento permanente, variando consideravelmente em
função do vão analisado. Essa razão pode ser estimada com sendo da ordem de 20%,
sem a consideração do coeficiente de impacto e, aumentada para 25% tendo em vista
o uso desse coeficiente. Esse valores, em uma análise preliminar, garantem o
momento positivo no meio do vão.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
-150% -100% -50% 0% 50% 100% 150%
Variação dos balanços transversais em relação ao cenário base
80
Muito embora esse resultado aparente garantir segurança com relação ao
momento fletor negativo, para pontes mais esbeltas, nas quais o peso-próprio não é
tão relevante, é necessário investigar a possibilidade de inversão de momentos
fletores no meio do vão e, principalmente, calcular o fator de fadiga, considerando o
momento fletor mínimo proposto.
6.1.3 Momento negativo máximo com caminhão no vão
A grande influência da extensão do vão no valor do momento fletor negativo na
seção central, como visto em 6.1.2, sugere que seja possível posicionar o caminhão-
tipo no meio do vão, no lado oposto à viga de bordo considerada, de maneira a criar
uma situação de maior momento negativo solicitante, como indicado nas Figura 4.24 e
Figura 6.7.
Figura 6.7 Posicionamento do caminhão-tipo no meio do vão para momento negativo
Como existem duas possibilidades de posicionamento do caminhão-tipo, e a
metodologia tradicional adota uma delas – o caminhão nos balanços – torna-se
interessante investigar para quais dimensões, ou proporção entre dimensões, cada
uma das posições é a mais crítica.
Dessa forma, foi analisada a configuração base da estrutura descrita na Figura
6.1 e analisou-se qual posicionamento fornece o momento fletor mais elevado.
Em seguida, variou-se o comprimento dos balanços transversais, buscando
modificar a magnitude do trem-tipo negativo.
Os resultados foram organizados a partir das diferentes zonas de
posicionamento do caminhão tipo: à esquerda da reta sub-vertical o posicionamento
crítico é o tradicional, caminhão no balanço, porém, considerando o carregamento
“negativo” distribuído (ver Figura 4.25). E à direita da reta, o posicionamento com o
caminhão-tipo no meio do vão (ver Figura 4.24).
A representação pode ser melhor vista no gráfico da Figura 6.8.
… Viga de bordo
analisada
81
Figura 6.8 Zonas de posicionamento do caminhão-tipo
Percebe-se, de imediato, que, quanto maior o vão central em relação aos
balanços longitudinais, maior a probabilidade de posicionar o caminhão-tipo no vão e
não no balanço.
Também, constatou-se que aumentando o comprimento dos balanços
transversais, a magnitude do trem-tipo “negativo” cresce e, consequentemente, a
razão longitudinal mínima para se posicionar no vão reduz.
Porém, como estudado no item 4.2.3.4.2, existe um desvio de resultados ao se
considerar o modelo estrutural real. Para tentar representar essa situação, foram
efetuadas as mesmas análises, considerando uma redução de 40,0 % nas parcelas
devidas ao trem-tipo “negativo”.
Essa redução de 40,0 % é estimada levando em conta as análises realizadas
previamente, visando ilustrar o comportamento estrutural real.
Os resultados foram consolidados no gráfico da Figura 6.9.
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14
Zona de posicionamento
Razão vão/balanço longitudinal
Diferentes zonas de posicionamento do caminhão-tipo
Retas sub-verticais
82
Figura 6.9 Zonas de posicionamento do caminhão-tipo para trem-tipo reduzido
Percebe-se que a magnitude do trem-tipo, ao ser corrigida para se aproximar
do modelo real, diminui, fazendo com que a zona de posicionamento alternativa (no
meio do vão) também diminua. Esse resultado fica caracterizado pelo movimento das
retas sub-verticais, que se deslocam para a direita, indicando maiores proporções
entre vãos e balanços para que se possa considerar o posicionamento alternativo.
Destaca-se que, para o modelo sem balanços, não foi encontrado caso com
posicionamento no meio do vão.
Por fim, como orientação genérica, é possível dizer que para pontes com
comprimento do vão superior a cinco vezes o comprimento dos balanços, recomenda-
se avaliar o posicionamento do caminhão-tipo no vão, como trem-tipo “negativo”.
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14
Zona de posicionamento
Razão vão/balanço longitudinal
Diferentes zonas de posicionamento do caminhão-tipo com redução do fator "negativo"
83
6.2 Influência das características dos materiais na protensão
Existem diversos parâmetros/características dos materiais que compõem a
estrutura que influenciam a protensão, principalmente as perdas de protensão. Para
avaliar essa influência, analisou-se a estrutura ilustrada na Figura 6.10 utilizando as
planilhas de pré-dimensionamento de vigas protendidas, mostradas no item 5.3. Para
tal, verificou-se a variação das seguintes características:
Umidade relativa do ar (U%)
Dia de protensão após a concretagem da peça
Resistência à compressão característica (fck) do concreto utilizado
Coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha
Tipo de cimento adotado
Abatimento/Slump do concreto
Módulo de elasticidade do aço
Módulo de elasticidade longitudinal do concreto
Figura 6.10 Modelo de ponte para análises de perdas de protensão
12,2 m
4,0 m
29,0 m
4,0 m
2,0 m
4 perfis AASHTO-5
84
6.2.1 Influência da umidade relativa do ar
Variou-se a umidade relativa do ar de 2,5% a 100 %, estudando-se a razão
entre a perda lenta (que é afetada pela umidade) e a tensão existente em tempo zero,
ou seja, após as perdas iniciais.
Em seguida, variou-se o dia de protensão de 5 para 3, 20 ou 30 dias e, por fim,
reduziu-se o fck para 25 MPa de forma a verificar o comportamento sobre outros
aspectos.
Os resultados se encontram no gráfico da Figura 6.11.
Figura 6.11 Perdas lentas em função da umidade
Percebe-se que as perdas apresentam um comportamento linear, diminuindo à
medida que se aumenta a umidade relativa do ar. Também, percebe-se que, quanto
maior for o tempo de espera para a puxada dos cabos, menores são as perdas – o
que é de se esperar, visto que o módulo de elasticidade do concreto cresce até os 28
dias.
Vale destacar que, entre localizações com climas diferentes, como Rio de
Janeiro, onde a umidade fica em torno dos 75 %, e Brasília ou Goiânia, onde os
valores se aproximam de 30 %, as perdas podem variar mais de 5%, o que já é
considerável em se tratando de concreto protendido. Como exemplo de caso extremo,
10%
12%
14%
16%
18%
20%
22%
24%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Perdas Lentas / Tensão incial
Umidade Relativa do Ar
3 dias
5 dias
redução fck
20 dias
30 dias
Rio de Janeiro Votuparanga-SP
(mínimo histórico)
Brasília-DF
85
destaca-se o município de Votuparanga-SP, que em 2011 registrou umidades abaixo
de 20,0 % chegando ao pico de 6,0 % no dia 06 de setembro [24].
Por fim, observa-se que o fck não apresentou influência nas perdas.
6.2.2 Influência do dia de protensão e do fck
Foi estudada a influência do dia da protensão dos cabos na parcela das perdas
devido à protensão sucessiva. O módulo de elasticidade longitudinal do concreto deve
ser obtido conforme prescreve a NBR6118:2014, em seu item 8.2.8, para idades de
protensão menores inferiores a 28 dias. Embora esse item dê indicações para o
módulo de elasticidade a partir dos 7 dias, na falta de estudos mais aprofundados, foi
extrapolada a equação para períodos menores que 7 dias.
O gráfico da Figura 6.12 ilustra o comportamento das perdas por protensão
sucessiva relativa à tensão de protensão inicial no cabo médio. Optou-se por variar o
fck do concreto, buscando-se balizar os resultados dentro de uma faixa coerente.
Figura 6.12 Perdas por protensão sucessiva em função do dia de puxada
Percebe-se que, embora haja uma diminuição aguda das perdas por protensão
sucessiva dos cabos nos primeiros dias, resultado do ganho rápido de resistência
inicial, a ordem de grandeza da variação das perdas fica entre 1,0 e 2,0%, de forma
que os ganhos de produtividade por protender os cabos da estrutura mais rapidamente
0,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
6,0%
7,0%
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Porcentagem de Perdas
Dias até a protensão
Perdas em função do dia da protensão
fck-25
fck-30
fck-40
fck-50
Região de extrapolação
86
podem superar a perda de tensão nos cabos. Além disso, essa perda tem pouca
influência no valor total das perdas de protensão.
É constatado que, para concretos de resistência (fck) menores, o ganho de
tensão nos cabos por esperar mais dias é significativamente maior que para concretos
de maior fck. Por outro lado, os concretos com fck mais elevado, além de naturalmente
fornecerem maiores resistências, possibilitam a protensão mais cedo, com menores
perdas.
6.2.3 Influência do coeficiente de atrito
No item 9.6.3.3.2.2 da NBR-6118:2014 são sugeridos valores do coeficiente de
atrito a serem adotados entre o cabo e a bainha. Normalmente, adota-se 0,2. Porém,
as condições de armazenamento dos cabos na obra podem influenciar na variação
desse valor.
Sendo assim, foi estudada a variação das perdas por atrito na seção do meio
do vão ao se modificar o coeficiente de atrito de mais ou menos 50,0 % do seu valor
previsto em norma – ficando entre 0,1 e 0,3.
Também, estudou-se, para a geometria dada, a razão entre o recuo do cabo no
momento do encunhamento e o vão total da viga.
Os resultados estão resumidos no gráfico da Figura 6.13, que apresenta as
perdas e o recuo em função do coeficiente de atrito.
Figura 6.13 Variação das perdas por atrito e do encunhamento
O comportamento apresentado já é algo esperado, contudo, observa-se a
relação linear entre coeficiente de atrito e as perdas e o impacto que a má avaliação
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
-50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50%
Variação do coeficiente de atrito
Perdas e recuo em função do coeficiente de atrito
Perdas por atrito
Recuo do cabo
Bainha lubrificada fios com saliências
padrão
Porcentagem de perdas
87
do atrito pode trazer para a magnitude das perdas e, principalmente, para a área
influenciada pelo encunhamento.
6.2.4 Influência do tipo de cimento
Foi investigada a influência do tipo de cimento nas perdas de protensão. Como
o tipo de cimento influencia principalmente o módulo de elasticidade inicial do concreto
antes dos 28 dias, foi escolhido avaliar as perdas devidas à protensão sucessiva em
função do dia de protensão e do tipo de cimento. O gráfico da Figura 6.14 ilustra os
resultados.
Figura 6.14 Perdas por protensão sucessiva
Confirma-se a influência do tipo de cimento na idade do concreto no momento
da protensão. Além disso, é possível extrair uma ordem de grandeza do ganho de se
utilizar cimentos com alta resistência inicial; em torno de 2,0 %.
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
0 5 10 15 20 25 30
Dia de protensão
Perdas em função do tipo de cimento
CP-III/CP-IV
CP-I/CP-II
CP-V/ARI
Região de extrapolação
Idade da protensão
88
6.2.5 Influência do Slump
Um dos parâmetros que influencia as perdas lentas na protensão é o
abatimento, ou slump, do concreto. Optou-se por representar, no gráfico daFigura
6.15, as perdas em função da umidade relativa (eixo das abscissas) com curvas
semelhantes, cada uma para uma faixa de abatimento.
Figura 6.15 Perdas em função do abatimento do concreto
Percebe-se que o abatimento é responsável por diferenças da ordem de 5,0 %
nas perdas, e, também, que essa diferença é tanto maior quanto mais seco for o
ambiente.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
ΔP
erd
as d
e P
rote
nssão
Umidade relativa
Perdas em função do abtimento ou slump
10-15 cm
5-9 cm
0-4 cm
89
6.2.6 Influência do módulo de elasticidade do aço
O módulo de elasticidade do aço de protensão, tradicionalmente estimado em
200 GPa, pode apresentar valores ligeiramente diferentes. Dessa forma, avaliou-se o
comportamento das perdas por protensão sucessiva e das perdas lentas ao se variar o
módulo de elasticidade do aço entre 190 e 210 GPa, e a idade de protensão.
O gráfico da Figura 6.16 explicita os resultados
Figura 6.16 Variação das perdas em função do módulo de elasticidade do aço
Pode-se perceber um comportamento linear das perdas em função do módulo
de elasticidade. Logo, como a variação dos valores do módulo de elasticidade do aço
se situa a mais ou menos 10,0 %, as perdas não apresentaram grande diferenças no
resultado.
No mais, percebe-se novamente que o concreto fica mais suscetível às perdas
nos primeiros dias após a concretagem.
6.2.7 Influência do módulo de elasticidade longitudinal do concreto
Tradicionalmente se utiliza o módulo de elasticidade inicial ou tangente na
análise das perdas de protensão.
Contudo, o ato da protensão é um dos momentos, ou o principal deles, nos
quais o concreto está sendo mais solicitado. Assim sendo, foi investigada a hipótese
da utilização do módulo de elasticidade secante nas análises das perdas.
2,0%
4,0%
6,0%
8,0%
10,0%
12,0%
14,0%
185 190 195 200 205 210 215
Pe
rce
ntu
al d
e P
erd
as
E aço (GPa)
5 dias
15 dias
30 dias
Perdas Lentas
Perdas por protensão sucessiva
90
Os resultados obtidos são dispostos em função do fck, no eixo das abcissas, e
da diferença entre o percentual de perdas ao se utilizar o módulo secante ou o módulo
tangente, no eixo das ordenadas.
Figura 6.17 Perdas em função do módulo do concreto
O principal resultado que extraído do gráfico da Figura 6.17 é que a utilização
de qualquer um dos módulos influencia em cerca de 2,0 % das perdas totais.
O comportamento apresentado ao final da curva, a partir do fck igual a 45 MPa,
é devido à consideração tanto do coeficiente de fluência rápida, definido no Anexo A
da NBR6118:2014 [21], que apresenta derivada descontínua entre os fcks 45 e 50,
quanto do coeficiente de deformação lenta irreversível, que apresenta descontinuidade
para fck igual a 50 MPa.
7 Conclusões
Ao longo desse trabalho buscou-se apresentar não só os aspectos técnicos de
uma estrutura corrente – a ponte biapoiada em vigas múltiplas de concreto - mas
também sua extensa aplicabilidade no sistema de infraestrutura do país.
Foram desenvolvidas equações e métodos para se realizar um pré-
dimensionamento eficiente e, ao longo do processo, foi proposta e avaliada uma
maneira alternativa de se considerar a carga móvel rodoviária.
Além disso, a sensibilidade das perdas de protensão, fator muito importante na
análise de estruturas protendidas, com relação a parâmetros menos tradicionais, como
0,0%
0,2%
0,4%
0,6%
0,8%
1,0%
1,2%
1,4%
1,6%
1,8%
2,0%
20 25 30 35 40 45 50 55
Pecentu
al de P
erd
as
fck (MPa)
Perda Lenta
ProtensãoSucessiva
Coeficiente de
fluência rápida
Coeficiente de
deformação lenta
irreversível
91
slump e umidade relativa, foi investigada e deduziram-se gráficos representando essa
influência.
Os aspectos supracitados foram analisados na estrutura base, variando-se os
comprimentos do vão e dos balanços longitudinais, bem como a largura da seção
transversal e o comprimento dos balanços transversais. As conclusões mais
importantes estão resumidas e separadas em três grupos: desvio das hipóteses
simplificadoras, solicitações devidas ao trem-tipo “negativo” e sensibilidade das perdas
de protensão.
7.1 Desvios das hipóteses simplificadoras
O estudo das hipóteses simplificadoras buscou partir do modelo mais simples,
proposto por [14] e, com ajuda de programas de análise estrutural, representar de
forma mais realista o comportamento da estrutura, analisando as diferenças nos
resultados obtidos em cada etapa.
As hipóteses simplificadoras adotadas, que permitem análises expeditas da
ponte, mostraram ser a favor da segurança.
Se, por um lado, a consideração da rigidez real da transversina aumenta
ligeiramente o momento fletor positivo máximo na viga de bordo – em torno de 5,0 % –
a consideração da torção nas longarinas e transversinas reduz os esforços em
situações reais.
Ressalta-se que, diferentemente da prática em concreto armado, na qual,
frequentemente, adota-se a rigidez torcional das vigas igual a zero, as estruturas em
concreto protendido, nas quais as fissuras são bastante reduzidas, tem maior rigidez
torcional. Se aproximam, então, do modelo computacional com rigidez completa.
Contudo, como disposto no item 4.2.3.4.2, a rigidez à torção de perfis I de concreto
ainda necessita de maiores estudos, havendo apresentado desvios entre 15% e 30%.
O mesmo se aplica à torção das transversinas, que, ao ser considerada, passa
a existir um engaste elástico na região dos apoios. Essa consideração gerou desvios
menores, que dependem da rigidez à torção das transversinas, mas se encontraram
entre 4% e 10%.
Não foi escopo desse estudo a quantificação da influência da laje do tabuleiro,
atuando como elemento enrijecedor do conjunto, embora alguns casos tenham sido
analisados. A atuação do tabuleiro como mesa de compressão solidariza a grelha de
vigas, distribuindo melhor os esforços.
Consideradas as simplificações mostradas no item 4.2.3, observou-se uma
variação entre os resultados da análise simplificada e da análise refinada da ordem de
20 % para o trem-tipo positivo e 40 % para o trem-tipo negativo.
92
7.2 Solicitações do trem-tipo “negativo”
A metodologia proposta por [14] indica a adoção de um trem-tipo “negativo”,
que usualmente não é utilizado, mas que pode ser posicionado ora no balanço, ora no
vão, aumentando a magnitude dos momentos fletores máximos solicitantes devidos à
carga móvel. A influência desse trem-tipo foi estudada para diversas situações.
O uso do trem-tipo negativo, carregando o balanço longitudinal oposto
transversalmente à longarina analisada (ver 4.2.3.2) resultou em um aumento de
momento fletor positivo no meio do vão de 3,0 %. Verifica-se que, considerando as
hipóteses simplificadoras, essa diferença não é relevante, validando a metodologia
atual.
Por outro lado, o trem-tipo “negativo” apresentou grande influência na
consideração do momento mínimo no meio do vão. Isso fica evidente ao se posicionar
o caminhão-tipo no balanço – proposta tradicional – pois permite carregar toda a
extensão do vão central. Os valores de momento fletor no meio do vão foram três
vezes maiores para vãos de comprimento da ordem de dez vezes o comprimento dos
balanços. Nesse caso deve ser considerado que o efeito real é cerca de 40% menor
devido aos desvios oriundos das hipóteses simplificadoras. Além disso, confirmou-se
que a influência das dimensões longitudinais prepondera sobre a das dimensões
transversais, para esse tipo de carregamento.
Ainda analisando o momento mínimo no meio do vão, constatou-se que com o
caminhão-tipo no vão central, em um bordo da laje, surgem momentos fletores
negativos na longarina do bordo oposto. Esse posicionamento, que não é adotado
tradicionalmente, passa a ser crítico a partir de vãos de comprimento cinco vezes
maiores que o comprimento dos balanços – já considerando as reduções devidas aos
desvios das simplificações. Para vãos superiores a oito vezes o balanço, essa
hipótese deve ser investigada.
Uma breve análise da influência do momento fletor negativo na composição
dos momentos fletores dimensionantes da seção do meio do vão mostrou que a
inversão de momentos é um tanto rara. Entretanto, para a análise de fadiga de
armaduras, por exemplo, a consideração do momento mínimo proposto pode levar a
maiores amplitudes nos valores dos momentos fletores.
7.3 Sensibilidade das perdas de protensão
As perdas de protensão são relevantes na análise de uma estrutura protendida,
já que atuam em diversos estágios de sua vida útil. Sendo assim, várias hipóteses
foram estudadas de maneira a avaliar como se comportam as perdas com relação a
parâmetros menos tradicionais de projeto.
93
Constatou-se que:
As perdas variam linearmente com a umidade relativa do ar, sendo
tanto maiores quanto menor for a umidade. Há uma variação de cerca
de 5% no total de perdas ao se projetar estruturas em lugares úmidos,
como Manaus ou Rio de Janeiro, ou em regiões mais secas, como
Brasília.
Os cinco primeiros dias após a protensão são os que apresentam
maiores ganhos de resistência do concreto e, consequentemente, maior
taxa de redução de perdas por dia. Sendo assim, a situação ideal seria
esperar ao menos cinco dias para executar a protensão. Esse efeito é
minimizado com o aumento do fck do concreto, pois o ganho relativo de
resistência é menor.
A avaliação do coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha torna-se
importante na medida em que as perdas variam aproximadamente em
1:4 (um para quatro). Uma variação de 20%, para mais ou para menos,
do coeficiente de atrito acarreta 5% de variação das perdas.
O tipo de cimento apresenta importância nos casos em que se busca
protensão dos cabos em uma idade inferior a cinco dias após a
concretagem do elemento estrutural.
A influência do slump, ou abatimento, do concreto gira em torno de 5 %
e será tanto maior quanto menor for a umidade relativa. Observou-se
que quanto maior o abatimento, maiores são as perdas.
A variação do módulo de elasticidade do aço de protensão, em 10% do
valor característico (200 GPa), não causa variação das perdas maior
que 1%.
A adoção do módulo de elasticidade secante do concreto a despeito do
módulo tangente gera, em média, um aumento de perdas de 2,0 %. É
interessante confirmar qual das hipóteses mais se aproxima da
realidade.
7.4 Sugestões de continuação
Alguns aspectos desse estudo merecem maior aprofundamento, são eles:
A análise comparativa entre metodologia proposta – simplificada – e um
modelo tridimensional com elementos que representem o tabuleiro de
forma adequada;
94
Uma melhor maneira de automatizar a verificação das tensões nas
seções de cálculo, e mesmo uma possível expansão para diversas
seções-chave, se aproximando da prática detalhada de projeto;
A mesma verificação de tensões normais devidas à flexão aplicada às
tensões cisalhantes devidas ao esforço cortante;
Consideração de uma segunda etapa de protensão, de costura,
considerando as hipóteses necessárias;
Automatização da verificação da compressão no instante da protensão.
Melhor consideração do módulo de elasticidade do concreto entre 1 e 7
dias.
Mais importante que o já citado, é a inclusão de critérios de projeto que
considerem não só a quantidade de material consumido para cada solução, mas
também possibilitem uma comparação consistente de valores econômicos e
ambientais, de maneira a antecipar as demandas sociais por uma prática de
engenharia mais “verde”.
Todas as sugestões propostas apontam para um objetivo maior, que é a
pesquisa e obtenção de modelos estruturais otimizados para esse tipo de ponte, com
o propósito de se obter ganhos de escala, tanto econômicos quanto ambientais.
95
8 Referências Bibliográficas
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Nacional de Viação,” 2014.
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Carga Móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras
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Projeto de Estrutura de Concreto - Procedimento,” ABNT, Rio de Janeiro, 2014.
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Ações e segurança nas estruturas - Procedimento,” ABNT, Rio de Janeiro, 2004.
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http://tn.temmais.com/noticia/9/54198/votuporanga_registra_menor_umidade_do_
ar_do_pais.htm.
97
ANEXO A
Base de perfis inserida no programa de pré-dimensionamento
h
b_inf
h_inf
b_sup
b_alma
h_sup
mis_sup
mis_inf
TIPO h b_sup h_sup mis_sup b_inf h_inf mis_inf b_alma
PreMag 140/12 140,0 42,5 5,0 6,0 44,0 12,5 5,5 12,0
PreMag 85/27 85,0 44,0 0,0 23,0 44,0 12,0 0,0 27,0
PreMag 85/16 85,0 33,0 0,0 23,0 44,0 12,0 0,0 16,0
AASHTO-1 71,1 30,5 10,2 7,6 40,6 12,7 12,7 15,2
AASHTO-2 91,4 30,5 15,2 7,6 45,7 15,2 15,2 15,2
AASHTO-3 114,3 40,6 17,8 11,4 55,9 17,8 19,1 17,8
AASHTO-4 137,2 50,8 20,3 15,2 66,0 20,3 22,9 20,3
AASHTO-5 160,0 106,7 12,7 7,6 71,1 20,3 25,4 20,3
AASHTO-6 182,9 106,7 12,7 7,6 71,1 20,3 25,4 20,3
AASHTO-BT-54 137,2 106,7 8,9 5,1 66,0 15,2 11,4 15,2
AASHTO-BT-63 160,0 106,7 8,9 5,1 66,0 15,2 11,4 15,2
AASHTO-BT-72 182,9 106,7 8,9 5,1 66,0 15,2 11,4 15,2
CalTrans-914 91,4 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-1067 106,7 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-1219 121,9 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-1372 137,2 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-1524 152,4 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-1676 167,6 48,3 7,6 15,2 48,3 15,2 15,2 17,9
CalTrans-BT-1400 140,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
CalTrans-BT-1550 155,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
CalTrans-BT-1700 170,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
CalTrans-BT-1850 185,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
CalTrans-BT-2000 200,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
CalTrans-BT-2150 215,0 120,0 10,0 10,0 75,0 20,0 15,0 20,0
LONGARINA (dimensões em centímetros)
98
ANEXO B
Cálculos detalhados do modelo proposto na comparação com programas comerciais.
Resumo do modelo estrutural:
Só são consideradas duas cargas pontuais de 75 kN atuando no meio do vão.
Parâmetros de Courbon:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Posicionamento transversal:
Sabendo que:
Para reação positiva, tem-se:
Logo:
( )
E para reação negativa, tem-se:
( )
Logo:
( )
A figura a seguir relembra os parâmetro geométricos de distribuição transversal
12,0 m
4,0 m
25,0 m
4,0 m
3,0 m
4 perfis AASHTO-6
99
Posicionamento longitudinal para o meio do vão:
A figura a seguir ilustra a linha de influência para a seção do meio do vão
A ordenada da linha no meio do vão (HL) é dada por::
( )
Sendo assim, podemos obter o momento no meio do vão devido aos trens-tipo positivo
e negativo:
R1,1
R1,n
ΔR
H
d
NJ
D
Leff
1,0 m
ΔRm
xi
𝑅𝑖 𝐻 𝑥𝑖 𝑅𝑚
Região 2
HL
HL,inv
ΔRmL
25,0 m 4,0 m
1,0 m
4,0 m