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5/20/2018 ANLISE COMBINATRIA.docx

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ANLISE COMBINATRIA

Define-se fatorial de "n", com n pertencente ao conjunto dos nmeros naturais e maior que 1,atravs da expresso:

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

#Definio:

Se um acontecimento composto de duas etapas (eventos) sucessivas, independentes umada outra, e :

a 1 etapa (evento) pode ocorrer demmodos,

para cada um desses modos, a 2 etapa (evento) pode ocorrer denmodos,

ento o nmero de possibilidadesde ocorrncia do acontecimento m.n.

Este princpio tambm denominado Princpio Multiplicativoe pode ser generalizado para mais

de duas etapas (eventos).

Exemplos:


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a)Gabi vai viajar de Santa Maria a Florianpolis, passando em PortoAlegre. De Santa Maria a Porto Alegre ela pode ir de carro, de avio ou de nibus; de PortoAlegre a Florianpolis ela pode ir de avio ou de nibus. De quantas maneiras diferentes ela

pode fazer a viagem?

Para ir da Santa Maria a Porto Alegre Gabi tem 3 possibilidades: carro (C), avio (A) e nibus(O).

Para ir de Porto Alegre a Florianpolis, ela tem 2 possibilidades: avio (A) e nibus (O).

Total de possibilidades: 3 . 2. = 6.

So elas: C - A, C - O, A - A, A - O, O - A, O - O.

Portanto, conforme apresentado no problema, Gabi tem 6 maneirasde viajar de Santa Maria aFlorianpolis, passando por Porto Alegre.

b) Pedro vai jantar num restaurante que oferece 2 tipos de saladas, 3 tiposde pratos quentes e 3 tipos de sobremesas. Pedro pretende escolher uma salada, um pratoquente e uma sobremesa. Quantas opes ele tem?

Vamos considerar S1 e S2 os dois tipos de salada; por P1, P2 e P3 os trs tipos de pratosquentes; e por M1, M2 e M3 os 3 tipos de sobremesas. Assim:


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Portanto, a quantidade de possibilidades 2 . 3. 3. = 18.


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Testes

01.(UFSM) Se

com ninteiro positivo, ento o valor de n:

a) 20

b) 16

c) 15

d) 14

e) 12

02.(UFSM) A expresso

equivalente a:

a) K3

b) K3(K - 1)!

c) [(K - 1)!]2

d) (K!)2

e) K3[(K - 1)!]

2


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03.(PUC-MG) O nmero natural que torna a igualdade abaixo verdadeira :

a) 3

b) 4

c) 5

d) 8

ARRANJOS

#Definio:

Suponhamos o nmero 134. Mudando a ordem dos algarismos, obtemos os nmeros 143, 314,341, 413 e 431, que so todos diferentes. Conclumos que neste tipo de agrupamento(nmeros), a ordem do s elementos (algar ismos) inf lu i. Denominamos este tipo deagrupamento de arranjo simples de nelementos tomados pa p.

Exemplos:

a)Quantos nmeros de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5,tendo cada nmero 3 algarismos.

H 5 possibilidades para o algarismo da centena, 4 para o da dezena e 3 para o da unidade.

No total podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 nmeros.

Dizemos que fizemos arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3, e o nmero desses arranjos 60.

Usando a frmula, temos;


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n = 5

p = 3

b)As placas dos automveis possuem trs letras seguidas de 4 algarismos. Determinar onmero de placas que comea por AMO e no tem algarismos repetidos.

Existem 10 algarismos (0, 1, 2, 3, ..., 9); logo, h 10 possibilidades no 1 dgito da placa, 9 no2 dgito, 8 no 3 e 7 no 4.

No total podemos formar 10 . 9 . 8 .7 = 5040 placas com o prefixo AMO, todas com algarIsmosdistintos.

Usando a frmula, temos:

n = 9

p = 4

PERMUTAES

#Sem repetio:o nmero de permutaes simples de nelementos distintos dado por:

Exemplos:

a)

Quantos so os anagramas da palavra GREMIO?

Veja que a palavra GREMIO no possui letras iguais. Abaixo temos alguns anagramas:

GREMOI, MIOGRE, MIOGRE, REGIMO, ....

Para saber quantos anagramas podemos formar, basta fazer P6= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720.

b)De quantos modos 4 pessoas podem ficar em fila indiana?


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Basta fazer P4= 4! = 4.3.2.1 = 24.

#Com repetio:o nmero de permutaes de nelementos, dos quais n1 de um tipo, n2de

um segundo tipo,... , nkde um k-simo tipo dado por:

Exemplo:

Determine o nmero de permutaes que podem ser feitas com as letras dapalavra MATEMATICA.

Se as letras M, T e A fossem diferentes, teramos as letras M1, M2,A1, A2, A3, T1, T2, E, I, Ce ototal de permutaes seria P10 = 10!.

No entanto, as permutaes entre as 2 letras M no produziro novo anagrama. Entoprecisamos dividir P10por P2. O mesmo acontece com as 3 letras A e as 2 letras T. Portanto, onmero de permutaes da palavra MATEMATICA :

n = 10 (total de letras)

n1= 2 (nmero de letras M)

n2= 3 (nmero de letras A)

n3= 2 (nmero de letras T)

#Circular: o nmero de permutaes circulares de n elementos dado por:

Exemplos:

a)De quantas maneiras 6 crianas podem dar as mos para brincar de roda?

Basta fazer permutaes circulares de 6, isto :

P6= ( 6 - 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

b)Pedro e Jlia so 2 crianas de um total de 8 que, de mos dadas, brincam de roda. Dequantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado?

Devemos considerar Pedro e Jlia como uma nica pessoa. Temos, portanto, 7 crianasquepodem brincar de (7 - 1)! = 6! maneiras diferentes. Como Ana e Jlia podem estar lado a ladode duas maneiras diferentes (Pedro-Jlia, Jlia-Pedro), devemos multiplicar este nmero estenmero por 2. Assim, a reposta :

2P7= 2.(7 - 1)! = 2. 6! = 2. 720 =1 440.


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COMBINAES

#Definio;

Suponhamos o conjunto {1, 3, 4}. Mudando a ordem dos elementos obtemos os conjuntos {1,4, 3}, {3, 1, 4}, {3, 4, 1}, {4, 1, 3} e {4, 3, 1} que so todos iguais. Conclumos que a ordem doselementos no influi. Um agrupamento com esta caracterstica chamado combinaosimples de nelementos dados, tomados pa p.

Exemplos:

a)Numa firma de engenharia trabalham 4 engenheiros. Dois devero ir para o exterior a fim defazer cursos de aperfeioamento. De quantos modos a escolha poder ser feita?

Representaremos por E1, E2, E3 e E4, os 4 engenheiros.

Vamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 4 elementos {E1, E2,E3, E4}.

A ordem em que os elementos aparecem nesses subconjuntos no importa, pois E1 e E2, porexemplo, a mesma que E2 e E1.

Assim, os subconjuntos de 2 elementos so:

{E1, E2}, {E1, E3}, {E1, E4}, {E2, E3}, {E2, E4}, {E3, E4}. Logo, existem 6 modos diferentes deescolher 2 engenheiros de um total de 4.

Assim, os subconjuntos chamamos de combinao simples de 4 elementos tomados 2 a 2, eescrevemos C4, 2.

Usando a frmula acima, temos:

b)Num plano so marcados 5 pontos distintos, no-alinhados. Quantos tringulos podemosformar tendo sempre 3 deles como vrtice?

O tringulo fica determinado por 3 pontos no-alinhados, no importando a ordem deles.


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Veja no desenho que o tringulo ACD determinado sem considerar a ordem deles (pode serADC, CDA, ...).

Portanto, podemos formar 10 tringulos.

EXERCCIOS

1- (UF-CE) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de nmeros inteiros formados por trsalgarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que so maiores que 200 e menores que 800.

a) 30b) 36c) 42d) 48e) 54

2- (UF-AL) Quantos nmeros pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com oselementos do conjunto A = {O, 1, 2, 3, 4}?

a) 60b) 48c) 36d) 24e) 18

3- (UMC-SP) O diretor de um pronto-socorro dispe de 5 mdicos, 4 enfermeiros e 4 atendentes paraescalar uma equipe de planto. A equipe formada por 3 mdicos, 2 enfermeiros e 1 atendente. Onmero de equipes diferentes que o diretor poder formar de:

a) 24b) 72c) 80d) 120e) 240


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4- (Unisinos-RS) No vestibular de inverno da Unisinos, Joo conheceu Maria, que lhe informou seu

telefone. Joo no anotou o nmero, mas sabe que Maria mora em So Leopoldo e que este nmerocomea por 59. Lembra ainda que o 3 algarismo 1 ou 2 e os outros quatro algarismos so O, 3, 6,8, mas no sabe sua ordem. As possibilidades de Joo descobrir o telefone de Maria so:

a) 4b) 12c) 20d) 24e) 48

5- (PUC-RS) Suponha que no Brasil existam n jogadores de vlei de praia. O nmero de duplas quepodemos formar com esses jogadores :

a)n

2

b)2n 2n

2

c)2n 2n

4

d)2n n

2

e)2n n

2

6- (U. P. Juiz de Fora-MG) Cinco amigos vo viajar utilizando um carro com cinco lugares. Sabendo-seque apenas dois deles podem dirigir, o nmero de maneiras que os cinco amigos podem se acomodarpara a viagem :

a) 12b) 24c) 48d) 120d) 210

7- (PUC-RJ) De um peloto com 10 soldados, quantas equipes de cinco soldados podem ser formadas seem cada equipe um soldado destacado como lder?

a) 1260b) 1444c) 1520d) 1840e) 1936


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8- (Uneb-BA) Trs prmios iguais vo ser sorteados entre as 45 pessoas presentes a uma festa. Se,desse total, 18 so homens e as restantes so mulheres, de quantas formas diferentes pode ser feitaessa distribuio, de forma que entre os premiados exatamente dois sejam do mesmo sexo?

a) 10449b) 8937c) 7575d) 6318e) 4131

9- (Unifor-CE) Pretende-se selecionar 4 pessoas, de um grupo constitudo de 3 professores e 5 alunos,para tirar uma fotografia. Se pelo menos 1 dos professores deve aparecer na foto, de quantos modospoder ser feita a seleo?

a) 1680b) 1560

c) 330d) 70e) 65

10- (PUC-RS) Se(n 1)! 1

(n 1)! n! 81

, ento n igual a:

a) 13b) 11c) 9d) 8e) 6

11- (Uneb-BA) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automtico, mas se esqueceu dasenha. Lembrava que no havia o algarismo O, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, oterceiro era menor que 5 e o quarto e ltimo era mpar. Qual o maior nmero de tentativas que elapode fazer, no intuito de acertar a senha?

a) 13b) 60c) 75d) 78e) 80

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