anÃ¡lise combinatÃ³ria

Análise Combinatória

Rodrigo [email protected]

Instituto de InformáticaUniversidade Federal do Rio Grande do SulPorto Alegre, Brasilhttp://www.inf.ufrgs.br

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Princípios aditivo e multiplicativoPermutaçõesArranjosCombinaçõesTeorema binomialTriângulo de PascalRegra da subtraçãoRegra do quocienteDistribuição de elementos idênticosCombinações com repetiçãoArranjos com repetiçãoPermutações circularesPermutações com repetição

Teorema multinomialPrincípio da inclusão e exclusãoPermutações caóticasPrincípio dos escaninhosRevisão dos princípios de contagemFunções geradoras ordináriasF.g.o.’s e contagem de multiconjuntosFunções geradoras exponenciaisF.g.e.’s e contagem de tuplasRelações de recorrênciaRecorrências: hipótese e confirmaçãoRecorrências: funções geradorasRecorrências: fórmula para Fibonacci

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Problemas de contagem

Contagem: determinar o número de elementos de uma determinada coleçãosem precisar necessariamente enumerá-la.

Exemplos de problemas que envolvem contagem:• Quantos números inteiros pares existem entre 0 e 100? Considere os limites

na contagem.• Você precisa construir todas as funções totais f : A → A, onde

A = {1, 2, . . . , 8}. Quanto de memória você precisa alocar?

A seguir, veremos alguns princípios de contagem a partir dos quais as fórmulaspara contagem de diversos tipos de objetos matemáticos serão derivadas.

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Princípio aditivo

Sejam A e B conjuntos finitos.

Princípio aditivo: Se A ∩ B = ∅, então |A ∪ B| = |A| + |B|.

Aplicável quando escolhemos elementos do conjunto A OU do conjunto B,exclusivamente.

Exemplo: Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatroe que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento. Quantos são osprogramas que Carlos pode fazer no sábado?

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Princípio multiplicativo

Sejam A e B conjuntos finitos.

Princípio multiplicativo: |A × B| = |A| × |B|.

Aplicável quando escolhemos elementos do conjunto A E do conjunto B,simultaneamente.

Exemplo: Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças deteatro. Se Carlos tem dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro,quantos programas ele pode fazer no sábado?

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Princípio aditivo e multiplicativo: exercícios

Exercício:

1. Dados 5 livros diferentes de matemática, 7 livros diferentes de física, 10livros diferentes de química, de quantas maneiras podemos escolher 2 livrosde forma que eles não sejam da mesma matéria?

2. De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros numagaragem com 6 vagas?

3. Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10)existem?

4. De quantas maneiras podemos escolher 1 consoante e 1 vogal de umalfabeto formado por 18 consoantes e 5 vogais?

5. De quantas maneiras podemos escolher 2 consoantes diferentes dentre umconjunto de 8 consoantes?

6. Quantas diagonais possui um polígono regular de n lados?

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Permutações

Sejam a1, a2, . . . , an elementos distintos de uma coleção A.

Definição: uma permutação de elementos de A é uma n-tupla

(b1, b2, . . . , bn)

tal que exista uma bijeção f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} onde ai = bf(i)

Uma permutação representa um ordenamento de todos os elementos dacoleção A.

Nota: é importante para contagem de permutações que todos os elementos dacoleção A sejam distintos.

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Permutações: contagem

Exemplo: todas as permutações do conjunto {a,b,c}:

(a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)

Pergunta: quantas permutações distintas existem para sequências com nelementos?

Resposta: n × (n – 1) × (n – 2) × . . . × 1 = n!

Definição: Pn representa o número de permutações de um conjunto com nelementos.

Pn = n!

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Arranjos

Definição: um arranjo é uma tupla de k elementos distintos retirados de umacoleção com n elementos.

Exemplo: todos os arranjos de tamanho 2 do conjunto {1, 2, 3}.

(1,2) (2,3)(1,3) (3,1)(2,1) (3,2)

Nota: note que ordem é importante: (1,2) 6= (2,1)

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Arranjos: contagem

Definição: Akn representa o número de arranjos de tamanho k

cujos elementos são extraídos de uma coleção de tamanho n.

Akn =

k︷︸︸︷n × (n – 1) × · · · × (n – k + 1)

= n!(n – k)!

Nota: perceba que Ann = Pn = n!

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Arranjos: exercícios

Exercício:

1. Quantas são as palavras de 4 letras que não repetem letras, considerando oalfabeto convencional (de A a Z, 26 letras)?

2. Uma empresa precisa preencher 8 vagas de trabalho distintas. Houve 5pessoas interessadas em ocupar um cargo qualquer dentre os 8. De quantasformas distintas podemos alocar as pessoas interessadas para vagas nessaempresa?

3. Quantas funções injetoras existem do conjunto {a, b, c} para o conjunto{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}?

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Combinações

Definição: uma combinação é um subconjunto de k elementos tomados deuma coleção de n elementos distintos.

Exemplo: seja A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Todas as combinações de 3 elementos tirados de A:

{3,4,5} {2,4,5}{2,3,5} {2,3,4}{1,4,5} {1,3,5}{1,3,4} {1,2,5}{1,2,4} {1,2,3}

Nota: combinações não são ordenadas! {1,4,2} = {2,4,1}

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Combinações: contagem

Considere k, n ∈ {0, 1, 2, . . .}.

Definição: Ckn representa o número de combinações de tamanho k extraídas de

uma coleção de n elementos distintos.

Ckn = 0 quando k > n

Ckn = n!

(n – k)! k! quando k ≤ n

Outra notação para contagem de combinações :

Ckn =

(nk

)(lê-se “n escolhe k”)

Nota: atenção com a ordem dos índices!

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Combinações: exercícios

Exercício:

1. De quantas maneiras podemos arrumar em fila 5 sinais ‘-’ e 7 sinais ‘|’ ?2. Considere uma grade de 5 linhas e 7 colunas. Considere que estamos no

cantos superior esquerdo da grade. De quantas formas distintas podemosalcançar o canto inferior direito, supondo que somente movimentos parabaixo e para a direita são possíveis?

3. Em um jogo do tipo loteria, existem 25 números ao total, dos quais 5 sãosorteados semanalmente. Uma aposta consiste da escolha de 5 números, eo jogador ganha somente se acertar exatamente os números sorteados.Qual a chance de alguém ser sorteado se fizer quatro apostas distintas?

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Coeficientes de potências de binômios

Observe os coeficientes das seguintes potências de um binômio (a + b):

(a + b)0 = 1 × a0b0

(a + b)1 = 1 × a0b1 + 1 × a1b0

(a + b)2 = 1 × a0b2 + 2 × a1b1 + 1 × a2b0

(a + b)3 = 1 × a0b3 + 3 × a1b2 + 3 × a2b1 + 1 × a3b0

......

...

Notamos que o coeficiente de um termo aibj, na expansão de umamultiplicação (a + b)n corresponde à

(ni).

Intuição: o coeficiente na frente de aibj conta o número de formas distintasde enumerar i letras a e j letras b, pois é obtido do agrupamento de todas astuplas de tamanho (i + j) com exatos i a’s e j b’s.

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Teorema binomial

Teorema: para n ∈ N temos:

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)aibn–i

Nota: esse teorema relaciona potências de polinômios com contagem decombinações. Tal relação será melhor explorada quando estudarmos funçõesgeradoras.

Demonstração: por indução sobre n ∈ N.

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Teorema binomial: comentário sobre 00

Nota: a fim de garantir que o teorema binomial seja válido para todos os valores reaisde a e b, vamos assumir que

00 = 1Contudo, essa identidade é controversa: em outras áreas da matemática (comocálculo) 00 é considerada uma forma indefinida.

Para quem se interessar, há boas explicações e referências sobre esse tópico nos linksabaixo (em inglês)

• http:

//www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html

• http://math.stackexchange.com/questions/11150/zero-to-the-zero-power-is-00-1

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http://www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/

http://www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html

http://math.stackexchange.com/questions/11150/zero-to-the-zero-power-is-00-1

Teorema binomial: consequências

Corolário: podemos obter o resultado de(n

i)

“lendo” o coeficiente de xi naexpansão de (x + 1)n

(x + 1)n =n∑

i=0

(ni

)xi

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Teorema binomial: consequências (2)

Corolário: o resultado da expressão(n0

)–(

n1

)+(

n2

)– · · · + (–1)n

(nn

)é sempre 0 (para n ≥ 1):

n∑i=0

(ni

)(–1)i = 0

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Teorema binomial: exercícios

Exercício:

1. Calcular o quarto termo da expansão de (1 + x)8

2. Calcular o sexto termo da expansão de (x – 5y)10

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Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é uma matriz infinita onde cada elemento an,k corresponde aCk

n =(n

k)

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

......

. . .

Obs: espaços em branco contêm o valor 0.

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Propriedades de combinações

Os números construídos pela expressão(n

k)

possuem diversas identidades, quepodem ser visualizadas sobre o triângulo de Pascal.

1. Combinaçãocomplementar:

(nk

)=(

nn – k

)

n\k 0 1 2 3 4 5 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1...

......

......

......

. . .

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Propriedades de combinações (2)

2. Relação de Stifel: (n + 1k + 1

)=(

nk + 1

)+(

nk

)

n\k 0 1 2 3 4 5 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1...

......

......

......

. . .

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3. Soma horizontal:

n∑k=0

(nk

)= 2n

n\k 0 1 2 3 4 5 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1...

......

......

......

. . .

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4. Soma vertical:

k+x∑n=k

(nk

)=(

k + x + 1k + 1

)

n\k 0 1 2 3 4 5 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1...

......

......

......

. . .

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Regra da subtração

Lembre que A \ B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Regra da subtração: Sejam A e B conjuntos finitos tal que B ⊆ A. Então

|A \ B| = |A| – |B|

Demonstração:

1. (A \ B) ∩ B = ∅

2. |(A \ B) ∩ B| = |∅|

3. |A \ B| + |B| – |(A \ B) ∪ B| = 0

4. |A \ B| + |B| – |A ∪ B| = 0

5. |A \ B| + |B| – |A| = 0 (pois B ⊆ A)

6. |A \ B| = |A| – |B|

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Regra da subtração: exemplo

A regra da subtração é útil quando é mais fácil contar o complemento de umconjunto do que o conjunto em si.

Exemplo: Considere um baralho normal• quatro naipes: ♠, ♦, ♣, ♥• valores: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

Pergunta: Quantas mãos (conjuntos) de 5 cartas contém alguma figura (cartasde valor J, Q ou K)?

Resposta: A contagem direta é difícil, porém podemos calcular o número de mãossem figuras e subtrair do total de mãos existentes:(

525

)–(52 – 12

5

)= 2598960 – 658008 = 1940952

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Regra do quociente

Seja A um conjunto finito e seja R uma relação de equivalência sobre A ondecada classe de equivalência contém exatamente r elementos.

Denotemos A/R o conjunto de todas as classes de equivalência de R em A(subconjuntos maximais de elementos R-equivalentes em A).

Regra do quociente:|A/R| = |A|

r

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Regra do quociente: exemplo

A regra do quociente é útil quando é possível caracterizar o objeto de interesseda contagem como uma classe de equivalência sobre elementos de outroconjunto (mais fácil de ser contado).

Exemplo: Considere A sendo o conjunto de todos os arranjos de tamanho kcontendo elementos do conjunto N, onde |N| = n.

Defina que dois arranjos (a1, a2, . . . , ak) e (b1, b2, . . . bk) são R-equivalentessss um for uma permutação do outro.

Note que cada classe de equivalência corresponde a uma k-combinação. Como|A| = n!

(n–k)! e cada classe de equivalência possui k! elementos,

|A/R| = |A|k! ⇔

(nk

)=

n!(n–k)!

k! = n!(n – k)!k!

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Distribuição de elementos idênticos

Problema: contar de quantas formas podemos distribuir m elementos idênticos em rcaixas enumeradas x1, . . . , xr.

Variações:• cada caixa deve conter 1 ou mais elementos

• cada caixa deve conter 0 ou mais elementos

• quantidades mínimas distintas para as caixas

Equivale a contar soluções (em números naturais) da equação

x1 + . . . + xr = m

sujeito às restrições de cada caso.

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Distribuição: solução em inteiros positivos

Variação 1: conte soluções em naturais para

x1 + . . . + xr = m

que não deixem nenhuma caixa vazia (xi > 0 para todo 1 ≤ i ≤ r)

Para realizar essa contagem, podemos considerar a inserção de r – 1 separadoresidênticos | entre pontos da representação unitária de m.

Exemplo: m = 5, r = 3.

•␣ • ␣ • ␣ • ␣• =⇒x1︷︸︸︷

•␣• |x2︷︸︸︷

•␣• |x3︷︸︸︷•

Solução:

Cr–1m–1 =

(m – 1r – 1

)

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Distribuição: solução em inteiros positivos

Exercício:

Encontre o número de soluções em inteiros positivos da seguinte equação:

x1 + x2 + x3 + x4 = 11

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Distribuição: solução em inteiros não-negativos


x1 + . . . + xr = m

permitindo caixas vazias (xi ≥ 0 para todo 1 ≤ i ≤ r)

Para realizar essa contagem, podemos escolher posições para r – 1 símbolos | nastring composta de m+ (r – 1) símbolos | ou •.

Exemplo: m = 5, r = 4.

posição: 1 2 3 4 5 6 7 8símbolo • • | | • • | • ⇐⇒

{x1 = 2 x2 = 0x3 = 2 x4 = 1

Solução:

Cr–1m+r–1 =

(m+ r – 1

r – 1

)=(m+ r – 1

m

)

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Distribuição: solução em inteiros não-negativos

Exercício:

Encontre o número de soluções em inteiros não-negativos da equação

x1 + x2 + x3 = 10

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Distribuição: caixas com conteúdo mínimo


x1 + . . . + xr = m

mantendo um número mínimo de elementos em certas caixas (xi ≥ ni para todo1 ≤ i ≤ r e ni fixos)

Exemplo: de quantas formas podemos distribuir 10 elementos idênticos em 3 caixasenumeradas, cada uma contendo no mínimo 2 elementos? (n1, n2, n3 = 2)

Equivale a remover do total de elementos a quantidade obrigatória em cada caixa, edistribuir os demais (verificando soluções em inteiros não-negativos).

Solução: particionamento em inteiros não-negativos da equação

x1 + . . . + xr = m –r∑

i=1ni

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Distribuição: caixas com conteúdo mínimo

Exercício:

Encontrar o número de soluções em inteiros positivos maiores que 3 da equação

x1 + x2 + x3 = 17

Em outras palavras: determinar o número de soluções inteiras dex1 + x2 + x3 = 17, onde xi > 3 para i ∈ {1, 2, 3}.

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Combinações com repetição

Seja A um conjunto finito, onde |A| = n.

Definição: uma k-combinação com (possível) repetição de A é um multiconjuntode tamanho k onde todos os elementos pertencem a A.

A contagem de k-combinações com repetição é equivalente a contar as soluçõesnão-negativas para a seguinte equação:

x1 + x2 + · · · + xn = k

Notação: denotamos por CRkn o número de k-combinações com repetição sobre um

conjunto A de tamanho n.

CRkn = Cn–1

k+n–1 =(k + n – 1n – 1

)=(k + n – 1

k

)

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Combinações com repetição: exercícios

1. De quantos modos podemos comprar 4 refrigerantes em um bar que vende2 tipos de refrigerante?

2. De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos em4 caixas diferentes?

3. Dispondo de 4 cores diferentes, de quantas maneiras distintas podemospintar 5 objetos idênticos? (Cada objeto deve ser pintado com uma únicacor)

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Arranjos com repetição

Seja A um conjunto finito, onde |A| = n.

Definição: um k-arranjo com (possível) repetição é uma k-tupla formadacom elementos de A.

Como temos n possibilidades para cada posição, certamente teremos nk tuplasdistintas.

k︷︸︸︷n × n × · · · × n = nk

Notação: denotamos ARkn o número de k-arranjos com repetição sobre um

conjunto A de tamanho n.ARk

n = nk

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Arranjos com repetição: exercícios

1. Qual o total de placas de carro que podem ser construídas constando de 7símbolos, sendo os 3 primeiros contituídos por letras e os 4 últimos pordígitos?

2. Quantas funções totais existem entre os conjuntos A = {1, 2, 3} eB = {α, β, γ, δ}?

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Permutações circulares

Pergunta: de quantas maneiras 4 crianças podem dar as mãos para brincar deroda?

A seguinte fórmula conta o número de permutações circulares a partir de umconjunto de tamanho n.

(PC)n = n!n = (n – 1)!

Resposta: no caso de 4 crianças, temos 3! = 6 formas distintas de formar umaroda.

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Permutações com repetição

Pergunta: quantos anagramas existem para a palavra ABACATE ?

Note que há menos de 7! anagramas, pois algumas trocas de letras não gerampalavras distintas (primeira letra com a quinta, por exemplo).

Uma estratégia é distinguir as letras repetidas com índices:

A1 B A2 C A3 T E

Após, podemos definir uma relação de equivalência determinando que duas palavrassão equivalentes sss uma for obtida a partir da outra por uma permutação das letrasrepetidas.

No caso de ABACATE, há 3! formas de enumerar os A’s, o que leva a 6 palavras porclasse de equivalência. Pela regra do quociente o número de anagramas de abacate éigual a 7!

3! .

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Permutações com repetição

Note que cada permutação com repetição consiste de uma forma de enumerar ummulticonjunto de tamanho n.

A seguinte fórmula conta o número de permutações com repetição de ummulticonjunto de tamanho n,

PR(n; r1, r2, . . . , rk) =(

nr1, r2, . . . , rk

)= n!

r1! × r2! × · · · × rk!

onde r1, r2, . . . , rk correspondem às repetições de cada uma das letras da palavra.

Nota: se k1 + k2 = n, então (n

k1, k2

)=(

nk1

)=(

nk2

)

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Teorema multinomial

Considere a expansão de potências de trinômios.

Exemplo:

(a + b + c)n = ???

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Teorema multinomial (2)

O que vimos para trinômios pode ser generalizado para multinômios.

Teorema:

(x1 + · · · + xm)n =∑

r1+···+rm=n

(n

r1, . . . , rm

)xr1

1 · · · xrmm

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Princípio da inclusão e exclusão

Considere as seguintes contagens da união de conjuntos:

2 conjuntos:

|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|

3 conjuntos:

|A ∪ B ∪ C| = + |A| + |B| + |C|– |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C|+ |A ∩ B ∩ C|

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Princípio da inclusão e exclusão: exemplo

Pergunta: Quantas são as permutações das letras da palavras BRASIL em que o Bocupa o primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o A o terceiro lugar?

Podemos começar contando os seguintes conjuntos separadamente:

• PB = conjunto de permutações que mantém B na 1ł posição

• PR = conjunto de permutações que mantém R na 2ł posição

• PA = conjunto de permutações que mantém A na 3ł posição

A solução consiste de |PB ∪ PR ∪ PA|. Contudo, nesse cálculo não podemos aplicar oprincípio aditivo, pois PB, PR e PA não são disjuntos. Exemplo:

BLARSI ∈ PB e BLARSI ∈ PA

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Princípio da inclusão e exclusão: exemplo (cont.)

Portanto, necessitamos do princípio da inclusão e exclusão, que diz:

|PB ∪ PR ∪ PA| = + |PB| + |PR| + |PA|– |PB ∩ PR| – |PB ∩ PA| – |PR ∩ PA|+ |PB ∩ PR ∩ PA|

Note que:• |PB| = |PR| = |PA| = 5!

• |PB ∩ PR| = |PB ∩ PA| = |PR ∩ PA| = 4!

• |PB ∩ PR ∩ PA| = 3!

Resposta: O número de permutações de BRASIL que mantém ou B, ou R ou A naposição original é

|PB ∪ PR ∪ PA| = 3 × 5! – 3 × 4! + 3! = 294

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Princípio da inclusão e exclusão: exercícios

Exercício:

1. Quantos inteiros entre 1 e 3600, inclusive, são divisíveis por 3, 5 ou 7?2. Considere um baralho normal (quatro naipes, treze valores de Ás a K).

Quantas mãos (conjuntos) de 9 cartas contém 4 cartas do mesmo valor?

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Contagem de funções sobrejetoras

Pergunta: Quantas funções sobrejetoras existem entre dois conjuntos finitos A e B?

Consideramos dois casos:• se |A| < |B|: 0 funções sobrejetoras

• se |A| ≥ |B|: vamos contar todas as funções cuja imagem é igual aocontradomínio.

Suponha |B| = n e B = {b1, b2, . . . , bn}.

Notação: Denotamos E1 o conjunto de todas as funções do tipo A → B que nãomapeiam nenhum elemento de A para b1 (ou seja, funções que “erram” b1).Definimos da mesma forma Ei para 1 ≤ i ≤ n.

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Contagem de funções sobrejetoras (2)

As funções sobrejetoras são aquelas que não “erram” nenhum elemento docontradomínio. Portanto, pela regra da subtração:

|funções sobrejetoras| = |funções| - |funções que “erram” algum b ∈ B|

Ou seja:n|A| – |E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En|

Por inclusão e exclusão:

= n|A| –(+ |E1| + |E2| + . . . + |En|– |E1 ∩ E2| – |E1 ∩ E3| – · · · – |En–1 ∩ En|+ |E1 ∩ E2 ∩ E3| + · · · + |En–2 ∩ En–1 ∩ En|...

(–1)n–1 |E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En|)

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Absorvendo a negação:

= n|A|

– |E1| – |E2| – . . . – |En|+ |E1 ∩ E2| + |E1 ∩ E3| + · · · + |En–1 ∩ En|– |E1 ∩ E2 ∩ E3| – · · · – |En–2 ∩ En–1 ∩ En|...

(–1)n |E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En|

Cardinalidade das interseções:• |E1| = (n – 1)|A| (nro de funções do tipo A → (B – {b1}))

• |E1 ∩ E2| = (n – 2)|A| (nro de funções do tipo A → (B – {b1, b2}))

• e assim sucessivamente . . .Note também que |Eb1 | = |Eb2 | = · · · |Ebn |. O mesmo vale para as demaisinterseções, isto é os tamanhos dos conjuntos na mesma linha são iguais.

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Número de termos por linha:• Interseções de 1 conjunto:

(n1)

• Interseções de 2 conjuntos:(n

2)

...

• Interseções de n conjuntos:(n

n)

Logo (lembrando que n = |B|):

= + (–1)0(n

0)(n – 0)|A|

+ (–1)1(n

1)(n – 1)|A|

+ (–1)2(n

2)(n – 2)|A|

...+ (–1)n

(nn)(n – n)|A|

Resposta: O número de funções sobrejetoras entre A e B é:

|B|∑i=0

(–1)i(|B|i

)(|B| – i)|A|

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Função φ de Euler

Definição: A função φ de Euler associa o inteiro positivo n ao número de inteirospositivos menores que n e que são primos em relação a n.

Em outras palavras, φ(n) é a cardinalidade do conjunto{x | 1 ≤ x < n ∧ MDC(x, n) = 1}.

Teorema: (fórmula fechada para φ)

φ(m) = m(1 – 1

p1

)(1 – 1

p2

)· · ·(1 – 1

pr

)onde m = pα1

1 × pα22 × · · · × pαr

r é a decomposição de m em fatores primos.

Exercício:

1. Calcular φ(m) para m = 2100

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Permutações caóticas

Definição: Permutações caóticas (ou desarranjos) são as permutações que nãodeixam nenhuma letra na sua posição original.

Teorema: o número de permutações caóticas de uma palavra sem letras repetidas detamanho n (denotado Dn) é dado pela seguinte fórmula:

Dn = n!(1 – 1

1! +12! –

13! + . . . + (–1)n 1

n!

)=

n∑i=0

(–1)i n!i!

Teorema: para todo inteiro n > 2, temos∣∣∣Dn – n!e

∣∣∣ < 12

Exercício:

1. De quantas formas distintas podemos realizar um sorteio de amigo secreto entre10 pessoas de forma que ninguém tire o próprio nome no sorteio?

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Princípio dos escaninhos

Princípio dos escaninhos: Sejam n e k inteiros positivos onde n > k.Suponha a distribuição de n envelopes idênticos em k escaninhos.

Logo, haverá no mínimo um escaninho contendo dois ou mais envelopes.

Nota: também é conhecido como• princípio das gavetas de Dirichlet• princípio da casa dos pombos (pidgeonhole principle)

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Princípio dos escaninhos: exemplos

Exemplo:

1. Dado um conjunto de 13 pessoas (ou mais), pelo menos duas aniversariamno mesmo mês.

2. Dado um conjunto de 32 pessoas (ou mais), pelo menos duas aniversariamno mesmo dia do mês.

3. Dado um conjunto de 367 pessoas (ou mais), pelo menos duasaniversariam no mesmo dia do ano.

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Princípio dos escaninhos: caráter existencial

Pode-se notar que o princípio dos escaninhos é de natureza distinta dos demaisprincípios de contagem.

Ele essencialmente não conta elementos, nem especifica qual gavetaapresenta repetição. Ele simplemente garante a existência de tal gaveta.

Essa garantia de existência é tipicamente utilizada como fato auxiliar emprovas de propriedades mais interessantes.

Além disso, o princípio dos escaninhos ajuda a determinar quantidadesmínimas em certos parâmetros para a garantia de ocorrência de certos eventos.

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Princípio dos escaninhos: exercícios

Exercício:

1. Em uma gaveta há 12 meias brancas e 12 meias pretas. Quantas meiasdevemos retirar ao acaso para termos certeza de obter um par de meias decores diferentes? E de mesma cor?

2. Mostre que em um conjunto de n pessoas há sempre duas pessoas queconhecem exatamente o mesmo número de outras pessoas do conjunto.Suponha que a relação “conhecer” é simétrica (se a conhece b então bconhece a) e irreflexiva (a não conhece a).

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Princípio dos escaninhos: exemplo

Exemplo: Mostrar que na sequência infinita de números

a = 7, 77, 777, 7777, 77777, 777777, . . .

há ao menos um número que é múltiplo de 2003.

Demonstração: Vamos provar algo mais forte: que existe um múltiplo de 2003dentre os primeiros 2004 números de a.

Vamos chamar a1, a2, . . . , a2004 os 2004 primeiros elementos de a.

Para cada ai (1 ≤ i ≤ 2004), calculamos o resto da divisão inteirari = ai % 2003.

Note que o valor de cada ri varia de 0 a 2002, e existem 2004 restos.

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Princípio dos escaninhos: exemplo (2)

Logo, pelo princípio dos escaninhos, há dois índices distintos i e j entre 1 e2004 tal que ri = rj.

Portanto, há valores na sequência a com o mesmo resto na divisão por 2003.Vamos chamá-los ai e aj, considerando i < j.

ai = ki ∗ 2003 + riaj = kj ∗ 2003 + rj

Considere agora a subtração aj – ai:

aj – ai = (kj ∗ 2003 + rj) – (ki ∗ 2003 + ri) = (kj – ki) ∗ 2003

O que garante que aj – ai é múltiplo de 2003.

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Princípio dos escaninhos: exemplo (3)

Note que, se observarmos a forma de aj – ai, temos o seguinte:

aj =j︷︸︸︷

77 · · · 777777 · · · 7

–ai = –i︷︸︸︷

77777 · · · 7

aj – ai =aj–i︷︸︸︷

77 · · · 7 ×10i︷︸︸︷

100000 · · · 0

Portanto, sabemos que aj–i × 10i é múltiplo de 2003.

Também sabemos que 2003 é primo em relação a 10i.

Portanto, só resta que aj–i é múltiplo de 2003. Note também que1 ≤ (j – i) ≤ 2004.

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Princípio dos escaninhos generalizado

Princípio dos escaninhos generalizado: Se k escaninhos são ocupados porx × k + 1 envelopes, então ao menos um escaninho deverá conter pelo menosx + 1 envelopes.

Reformulando:

Teorema: Se colocarmos n envelopes em k escaninhos , então pelo menos umescaninho deverá conter no mínimo⌊

n – 1k

⌋+ 1

envelopes.

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Princípios de contagem: revisão

Princípio aditivo:

se A ∩ B = ∅ então|A ∪ B| = |A| + |B|

Princípio multiplicativo:

|A × B| = |A| × |B|

Regra da subtração: (derivada doprincípio aditivo)

se B ⊆ A então |A – B| = |A| – |B|

Regra do quociente: (derivada doprincípio multiplicativo)

se R é uma relação de equivalência sobreA onde toda classe de equivalência temtamanho r, então |A/R| = |A|

r

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Resumo de arranjos e combinações

Contagem de estruturas construídas a partir de um conjunto com n elementos.

sem reposição com reposição

k-tuplas Akn = n!

(n–k)! ARkn = nk

k-conjuntos Ckn =

(nk)

Ckn =

(nk)

k-multiconjuntos Ckn =

(nk)

CRkn =

(k+n–1k)

onde (nk

)= n!

(n – k)!k!

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Resumo de permutações

Permutações simples: formas distintas de enumerar um conjunto detamanho n.

Pn = n!

Permutações com repetição: formas distintas de enumerar ummulticonjunto de tamanho n, sendo r1, . . . , rn as repetições de símbolo.

PR(n; r1, r2, . . . , rn) =(

nr1, r2, . . . , rn

)= n!

r1!r2! · · · rn!

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Resumo de permutações (2)

Permutações circulares: formas de dispor circularmente os elementos de umconjunto de tamanho n.

(PC)n = (n – 1)!

Permutações caóticas: formas de embaralhar uma sequência de valoresdistintos sem que nenhum valor acabe na sua posição original.

Dn = n!(

1 – 11! + 1

2! – 13! + . . . + (–1)n 1

n!

)≈ n!

e

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Resumo de contagem de funções

Sejam A e B conjuntos finitos, onde |A| = a e |B| = b.

Número de funções f : A → B: ba

Número de funções bijetoras f : A → B (considerando a = b): b!

Número de funções injetoras f : A → B (considerando a ≤ b): b!(b–a)!

Número de funções sobrejetoras f : A → B (considerando a ≥ b):

b∑i=0

(–1)i(bi

)(b – i)a

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Sequências

Definição: uma sequência (an) é uma lista infinita de números reais.

(an) = (a0, a1, a2, . . .)

Exemplo:

(an) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .)(bn) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .)(cn) = (0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 1, . . .)

Notação: sempre consideraremos que sequências começam no índice zero(primeiro elemento é a0).

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Sequências (cont.)

Notação: usamos (an) = expressão para descrever uma sequência de númeroscom base em sua estrutura:

Exemplo:

(an) = n2 (an) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .)(bn) = 1 (bn) = (1, 1, 1, 1, 1, . . .)

(cn) ={

0 se n par(–1)bn/2c se n ímpar

(cn) = (0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, . . .)

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Séries de potências

Definição: uma série de potências é uma série infinita da forma

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . .

onde todos ai (para i ∈ N) são números reais e x é uma variável.

Nota: qualquer polinômio finito pode ser visto como uma série de potênciastendo sempre 0 como coeficiente a partir de um certo índice.

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Séries de potências: soma

Definição: a soma de duas séries de potências é realizada por componentes:

a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ b0 + b1x + b2x2 + · · ·

(a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + · · ·

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Séries de potências: multiplicação

Definição: a multiplicação de duas séries A e B é dada pela soma de todasas possíveis multiplicações de termos de A e termos de B.

a0 + a1x + a2x2 + · · ·× b0 + b1x + b2x2 + · · ·

a0b0 + (a1b0 + a0b1)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · ·

Nota: note que, para calcular o coeficiente xn de A × B precisamos calcular asoma todos os termos com potência xn.

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Funções geradoras ordinárias

Definição: dizemos que a série de potências

A = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . .

é a função geradora ordinária da sequência

(a0, a1, a2, a3, . . .)

Intuição: representar uma sequência de números através de uma única expressão.

Nota: as potências da variável x ( no caso, x0, x1, x2, . . .) servem essencialmente paraseparar os valores da sequência.

Importante: podemos recuperar o n-ésimo elementos da sequência (an) através docoeficiente da potência xn em A.

Notação: Vamos usar A ⇔ (an) para indicar que A é a função geradora da sequência(an).

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Funções geradoras ordinárias (motivação)

A principal motivação de representarmos sequências através de funçõesgeradoras ordinárias é que essa transformação permite a manipulaçãoalgébrica da informação contida na sequência.

Veremos dois usos fundamentais para funções geradoras nesta disciplina• obter fórmulas fechadas para resoluções de problemas combinatórios• resolver relações de recorrência

Contudo, antes de partirmos para as aplicações, será necessário aprender comomanipular adequadamente as funções geradoras.

A seguir, construiremos um repertório de resultados que serão essenciais naresolução de problemas usando f.g.o.

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Identidades básicas (1)

Teorema:

1 + x + x2 + x3 + · · · = 11 – x

Demonstração: assuma

1 + x + x2 + · · · = f(x)

e multiplique ambos os lados da equação por (1 – x).

Nota: normalmente no estudo de séries nos preocupamos com questões deconvergência, isto é, a faixa de valores para as quais o limite das somas parciaisé um número real. No caso acima, se x > 1 a série não converge. Nestadisciplina, contudo, não estaremos avaliando x, portanto conscientemente nãonos preocuparemos em calcular intervalos de convergência.

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Teorema:

1 + cx + c2x2 + c3x3 + · · · = 11 – cx

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Teorema:

c + cx + cx2 + cx3 + · · · = c(

11 – x

)

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Teorema:

1 + x + x2

2! + x3

3! + x4

4! + · · · = ex

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Teorema:

1 + 0x + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 1x6 + · · · = 11 – x2

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Teorema:

1 + 0x + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + · · · = 11 – x3

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Teorema:

1 + xc + x2c + x3c + · · · = 11 – xc

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Considere

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + · · · ⇔ (a0, a1, a2, a3, . . .)

Teorema:

xA(x) ⇔ (0, a0, a1, a2, a3, a4, . . .)x2A(x) ⇔ (0, 0, a0, a1, a2, a3, a4, . . .)x3A(x) ⇔ (0, 0, 0, a0, a1, a2, a3, a4 . . .)

...

Intuição: multiplicar a f.g.o por xk tem o efeito de um deslocamento à direitana sequência codificada, preenchendo as primeiras k posições com 0.

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Considere A(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · ⇔ (a0, a1, a2, . . .)

Teorema: (derivação)

ddx A(x) = 0a0 + 1a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · · =

∞∑i=1

i · aixi–1

⇔ (1a1, 2a2, 3a3, . . . )

Intuição: multiplica pelo índice, depois executa um deslocamento à esquerda.

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Teorema:

x(

ddx A(x)

)= 0a0x + 1a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + · · ·

⇔ (0a0, 1a1, 2a2, 3a3, 4a4, . . .)

Intuição: multiplica pelo índice, apaga o termo a0.

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Teorema: (integração) ∫A(x)dx = c +

∞∑i=0

aixi+1

i + 1

Intuição: deslocamento à direita (preenchendo com c a primeira posição) edivide pelo índice novo (para índice maior que 0).

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ConsidereA(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · ⇔ (a0, a1, a2, . . .)eB(x) = b0 + b1x + b2x2 + · · · ⇔ (b0, b1, b2, . . .)

Teorema:

A(x)B(x) =∞∑

j=0

j∑i=0

aibj–i

xj

⇔ ( a0b0,a0b1 + a1b0,a0b2 + a1b1 + a2b0,. . .)

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Teorema: (1

1 – x

)A(x) = a0 + (a0 + a1)x + (a0 + a1 + a2)x2 + · · ·

⇔ ( a0,a0 + a1,a0 + a1 + a2,. . .)

Intuição: soma dos valores até o índice em questão.

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Funções geradoras: exercícios I

5.1 Encontrar a função geradora ordinária f(x) na qual o coeficiente ar de xr éo número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 = r, onde{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}, 2 ≤ xi ≤ 4 para i = 1, 2, 5 ≤ x3 ≤ 7.

5.2 Achar a função geradora ordinária f(x) na qual o coeficiente ar de xr é onúmero de soluções inteiras não-negativas da equação 2x + 3y + 7z = r.

5.3 Encontrar a função geradora para a sequência (ar) = (0, 0, 1, 1, 1, 1, . . .).5.4 Encontrar a sequência cuja função geradora é dada por

g(x) = 11 – x2

5.5 Encontrar a função geradora para a sequência

(ar) =(

1, 11! , 1

2! , 13! , 1

4! , . . .

)

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Funções geradoras: exercícios II

5.6 Encontrar a sequência cuja função geradora ordinária é x2 + x3 + ex.

5.7 Encontrar a função geradora ordinária para a sequência

(ar) =(

2r

r!

)

5.8 Qual o coeficiente de x23 na expansão de (1 + x5 + x9)6?

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Potências de séries: exemplo 1

Expressão original:

(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx)

Expansão:

1 + (a + b + c)x + (ab + bc + ac)x2 + abcx3

Significado:Cálculo de todos os subconjuntos de {a, b, c}, separados por tamanho de conjunto i(coeficiente de xi).

Substituindo a, b e c por 1:

(1 + x)3 = 1 + (1 + 1 + 1)x + (1 + 1 + 1)x2 + 1x3

= 1 + 3x + 3x2 + x3

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(1 + ax + a2x2)(1 + bx)(1 + cx)

Expansão:

1 + (a + b + c)x + (a2 + ab + bc + ac)x2 + (abc + a2c + a2b)x3 + (a2bc)x4

Significado:Cálculo de todos os sub-multiconjuntos de Ha, a, b, cI, separados por tamanho demulticonjunto i (coeficiente de xi).

Note que a pode ocorrer até duas vezes, enquanto que b e c somente uma única vez.Substituindo a, b e c por 1:

(1 + x + x2)(1 + x)2 = 1 + 3x + 4x2 + 3x3 + x4

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Expressão original: (infinita)

(1 + ax + a2x2 + · · · )(1 + bx + b2x2 + · · · )(1 + cx + c2x2 + · · · )

Expansão: (infinita)

1 + (a + b + c)x + (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)x2+

(abc + a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + a3 + b3 + c3)x3 + · · ·

Significado:Cálculo de todas as combinações com reposição sobre o alfabeto {a, b, c}, separadospor tamanho de multiconjunto i (coeficiente de xi).


(1 + x + x2 + x3 + · · · )3 = 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + · · ·

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Potências de séries e contagem

Lembre que 11–x = 1 + x + x2 + x3 + · · ·

Podemos representar a contagem de combinações de tamanho k sobre um alfabetode tamanho n descobrindo o coeficiente de xk na expansão de• (1 + x)n (sem reposição)

•( 1

1–x)n (com reposição)

Note que casos intermediários entre reposição irrestrita e inexistência de reposiçãopodem ser uniformemente modelados.

Notação: escrevemos [xi]f(x) para denotar o coeficiente de xi na expansão emsérie de potências de f(x).

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Potências de séries e contagem: exemplo

Contagem de combinações simples de tamanho k sobre alfabeto de tamanho n:

[xk](1 + x)n =(nk

)(teorema binomial)

Contagem de combinações com reposição de tamanho k sobre alfabeto de tamanho n:

[xk]( 11 – x

)n=(k + n – 1

k

)(demonstração a seguir . . . )

Contagem de multiconjuntos de tamanho k sobre alfabeto {a, b, c, d} (comreposição) onde 2 ≤ a ≤ 5, 0 ≤ b ≤ 3, e qualquer número de repetições de cs e ds:

[xk]((x2 + x3 + x4 + x5)(1 + x + x2 + x3)

( 11 – x

)2)

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Funções geradoras: cálculo de coeficientes

Normalmente quando usamos funções geradoras, a parte de modelagem dasrestrições do problema é fácil.

Exemplo: obter uma expressão no formato [xk]f(x)

Contudo, efetivamente calcular uma fórmula para o coeficiente de xk na expansão def(x) pode ser um processo trabalhoso. Existem duas estratégias principais:

• Calcular a expansão de f(x) em séries de MacLaurin (envolve calcular derivadas).

• Descrever f(x) como uma combinação de funções cuja expansão em séries depotência é conhecida.

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Série de MacLaurin

A seguinte identidade permite extrair os coeficientes da sequência codificadapor uma função f(x) infinitamente diferenciável:

Definição: (Série de MacLaurin)

f(x) = f(0) + f ′(0)x + f ′′(0)x2

2! + f ′′′(0)x3

3! + f ′′′′(0)x4

4! + · · ·

Este resultado não será provado nesta disciplina. Contudo, podemos nosconvencer da sua validade derivando os dois lados da igualdade e comparandoas expressões resultantes.

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Notação binomial generalizada

Vamos utilizar a expansão em série de MacLaurin para generalizar o teoremabinomial.

Inicialmente redefinimos(u

k)para u ∈ R e k ∈ N.

Definição: (uk

)=

{u(u–1)(u–2)···(u–k+1)

k! se k > 01 se k = 0

Esta definição permite determinar(u

k)para qualquer valor real u, inclusive frações e

números negativos.

Exemplo: (–5, 53

)= –5, 5 × –6, 5 × –7, 5

3! = –268, 125

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Notação binomial generalizada (2)

A seguinte identidade é útil quando temos “alfabeto de tamanho negativo”.

Teorema: (–uk

)=(k + u – 1

k

)(–1)k

Demonstração:

(–uk

)=

k︷︸︸︷(–u)(–u – 1) . . . (–u – k + 1)

k! (definição)

=

k︷︸︸︷(u)(u + 1) . . . (u + k – 1) ·(–1)k

k! (fatorando (-1)’s)

=(u + k – 1

k

)(–1)k (definição)

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Teorema binomial generalizado

Considere u ∈ R.

Teorema:

(1 + x)u =∞∑i=0

(ui

)xi

Demonstração: calculamos a série de MacLaurin de (1 + x)u.

(1 + x)u

=

(1 + x)u∣∣∣x=0

+( ddx (1 + x)u

∣∣∣x=0

)x +

(d2

dx2 (1 + x)u∣∣∣x=0

)x2

2! + · · ·

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Teorema binomial generalizado (2)

Calculando os coeficientes da série:• (1 + x)u

∣∣∣x=0

= (1 + 0)u = 1

• ddx (1 + x)u

∣∣∣x=0

= u(1 + x)u–1|x=0 = u

• d2

dx2 (1 + x)u∣∣∣x=0

= u(u – 1)(1 + x)u–2|x=0 = u(u – 1) . . .

Portanto:

(1 + x)u

= 1 + ux + u(u – 1)x2

2! + u(u – 1)(u – 2)x3

3! + · · ·

=(u0

)+(u1

)x +(u2

)x2 + · · · =

∞∑i=0

(ui

)xi

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Exemplo de cálculo de coeficientes

Exemplo: Vamos mostrar a derivação de

[xk]( 1

1 – x

)n=(k + n – 1

k)

utilizando o teorema binomial generalizado.

Rescrevendo a expressão: ( 11 – x

)n= (1 – x)–n

Utilizando a substituição y = –x= (1 + y)–n

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Exemplo de cálculo de coeficientes (2)

(1 + y)–n

=∞∑i=0

(–ni)

yi (teorema binomial generalizado)

=∞∑i=0

(i + n – 1i)

(–1)iyi · · · (alfabeto negativo)

=∞∑i=0

(i + n – 1i)

(–1)i(–1)ixi (substituição y = –x)

=∞∑i=0

(i + n – 1i)

xi (simplificando (–1)2i = 1)

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Exemplo de cálculo de coeficientes (3)

Portanto:

[xk]( 11 – x

)n

= [xk]

( ∞∑i=0

(i + n – 1

i

)xi

)

=(k + n – 1

k

)

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Potências de séries e contagem de tuplas

Vimos que problemas envolvendo combinações podem ser representadosatravés da descoberta de coeficientes em potências de séries (consequência doteorema binomial):

(x + 1)n =n∑

i=0

(ni

)xi

Nesses problemas, assumimos que a ordem dos elementos não é relevante,isto é, contamos multiconjuntos.

Contudo, não há a mesma equivalência para problemas de contagemenvolvendo tuplas ou arranjos (tuplas sem repetição):

??? =n∑

i=0

n!(n – i)!xi

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Potências de séries e contagem de tuplas (cont.)

Considerando que a relação entre o número de combinações e o número dearranjos de tamanho k é conhecida, isto é,

k!(

nk

)= k! n!

(n – k)!k! = n!(n – k)!

poderíamos estabelecer uma correlação entre potências de séries e contagemde arranjos se mudarmos a codificação de séries.

(x + 1)n =n∑

i=0

n!(n – i)!

xi

i!

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Funções geradoras exponenciais

Definição: dada uma sequência de números

(a0, a1, a2, . . .)

a sua respectiva função geradora exponencial (f.g.e) é a série

a0x0

0! + a1x1

1! + a2x2

2! + a3x3

3! + · · ·

Nota: a designação exponencial vem do fato que

ex = (1 + x + x2

2! + x3

3! + · · · ) ⇔ (1, 1, 1, 1, . . .)

Importante: os fatos anteriormente provados valem somente para f.g.o! Épreciso desenvolver novos resultados para trabalhar com f.g.e.

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Funções geradoras exponenciais: identidades

Teorema:

ex =(

1 + x + x2

2! + x3

3! + · · ·)

⇔ (1, 1, 1, . . .)

Teorema:

eax =(

1 + ax + a2x2

2! + a3x3

3! + · · ·)

⇔ (1, a, a2, a3, . . .)

Teorema:

1ex =

(1 – x + x2

2! – x3

3! + · · ·)

⇔ (1, –1, 1, –1, . . .)

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Funções geradoras exponenciais: identidades (2)

Teorema:

ex + e–x

2 =(

1 + x2

2! + x4

4! + x6

6! + · · ·)

⇔ (1, 0, 1, 0, . . .)

Intuição: seleciona as posições pares da sequência.

Teorema:

ex – e–x

2 =(

x + x3

3! + x4

5! + · · ·)

⇔ (0, 1, 0, 1, 0, . . .)

Intuição: seleciona as posições ímpares da sequência.

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Conteúdo



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Funções geradoras exponenciais e contagem

Apesar de ser uma codificação de sequências diferente de f.g.o, a forma deresolver problemas de contagem usando f.g.e é a mesma. O que muda écodificação do problema (em f.g.e) e a leitura do resultado:• f.g.o ⇒ contagem de multiconjuntos• f.g.e ⇒ contagem de tuplas

Nota: nunca esqueça que o fatorial no denominador faz parte da construção daf.g.e, e não deve ser lido como parte do coeficiente.

Exemplo: como 2x3 = 3!3!2x3, temos[

x3

3!

](1 + 4x + 2x3 + 5x5) = 3! × 2 = 12

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Funções geradoras exponenciais: exemplo 1


(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + (a + b + c)x + (ab + bc + ac)x2 + abcx3

(o caso sem reposição possui a mesma codificação como f.g.o e f.g.e)


(1 + x)3 = 1 + (1 + 1 + 1)x + (1 + 1 + 1)x2 + 1x3

= (1 + 3x + 3x2 + x3)

Leitura: [x2

2!

](1 + 3x + 3x2 + x3) = 6

Significado: número de arranjos (tuplas construídas sem reposição) detamanho 2 sobre o alfabeto {a, b, c}.

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(1x0

0!+ a

x1

1!+ a2 x2

2!+ a3 x3

3!+ · · · ) ×

(1x0

0!+ b

x1

1!+ b2 x2

2!+ b3 x3

3!+ · · · )

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(1x0

0!+ a

x1

1!+ a2 x2

2!+ a3 x3

3!+ · · · ) ×

(1x0

0!+ b

x1

1!+ b2 x2

2!+ b3 x3

3!+ · · · )

Expandindo . . .

1+( 1b0!1!

+a1

1!0!

)x1+(

1b2

0!2!+

ab1!1!

+a212!0!

)x2+(

1b3

0!3!+

ab2

1!2!+

a2b2!1!

+a313!0!

)x3 + · · ·

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(1x0

0!+ a

x1

1!+ a2 x2

2!+ a3 x3

3!+ · · · ) ×

(1x0

0!+ b

x1

1!+ b2 x2

2!+ b3 x3

3!+ · · · )

. . . multiplicando cada linha i > 0 por 1 (na forma i!i! ) . . .

1+

1!( 1b

0!1!+

a11!0!

) x1

1!+

2!(

1b2

0!2!+

ab1!1!

+a212!0!

)x2

2!+

3!(

1b3

0!3!+

ab2

1!2!+

a2b2!1!

+a313!0!

)x3

3!+ · · ·

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(1x0

0!+ a

x1

1!+ a2 x2

2!+ a3 x3

3!+ · · · ) ×

(1x0

0!+ b

x1

1!+ b2 x2

2!+ b3 x3

3!+ · · · )

. . . e reescrevendo:

1+( 1!0!1!

b +1!

1!0!a) x1

1!+( 2!

0!2!b2 +

2!1!1!

ab +2!

2!0!a2) x2

2!+( 3!

0!3!b3 +

3!1!2!

ab2 +3!

2!1!a2b +

3!3!0!

a3) x3

3!+ · · ·

Intuição: o coeficiente de xk

k! consiste de todos os k-multiconjuntos sobre o alfabeto {a, b},cada um multiplicado pela respectiva quantidade de permutações. Substituindo a e b por 1,contamos todas as k-tuplas.

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Funções geradoras exponenciais e contagem

Contagem de arranjos de tamanho k sobre alfabeto de tamanho n:[xk

k!

](1 + x)n = k!

(nk

)= n!

(n – k)!

Contagem de tuplas (arranjos com reposição) de tamanho k sobre alfabeto detamanho n: [

xk

k!

](ex)n = nk

Contagem de tuplas de tamanho k sobre o alfabeto {a, b, c} onde 0 ≤ a ≤ 3,1 ≤ b ≤ 2 e c pode ocorrer indefinidamente:[

xk

k!

]((1 + x + x2

2! +x3

3!

)(x + x2

2!

)ex)

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Exemplo: Quantas tuplas de tamanho k existem sobre o alfabeto {a, b, c} possuindoum número par de a’s?

Codificação do problema usando f.g.e:[xk

k!

]((1 + x2

2! +x4

4! + · · ·)e2x)

Usando o fato que (1 + x2

2! +x4

4! + · · ·)

= ex + e–x

2Temos [

xk

k!

](ex + e–x

2 e2x)

=[xk

k!

]12(e

3x + ex) = (3k + 1)2

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Funções geradoras exponenciais: exemplo 4Exemplo: Derivação da fórmula de contagem de funções sobrejetoras de A para B utilizandof.g.e, onde |A| = a e |B| = b.

Equivale a contar as tuplas de tamanho a onde cada símbolo de B ocorre ao menos uma vez:[ xa

a!

](ex – 1)b

Simplificação:

((–1) + ex)b

=b∑

i=0

(bi

)(–1)ie(b–i)x [teor. binom.]

=b∑

i=0

(bi

)(–1)i

∞∑j=0

(b – i)j xj

j![expansão e(b–i)x]

=b∑

i=0

∞∑j=0

(–1)i(b

i

)(b – i)j xj

j![internaliza (–1)i

(bi

)]

=∞∑j=0

b∑i=0

(–1)i(b

i

)(b – i)j xj

j![troca ordem das somas]

Leitura:[xa

a!

](ex – 1)b

=b∑

i=0

(–1)i(b

i

)(b – i)a

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Funções geradoras: resumo do método

Resolução de problemas de contagem de multiconjuntos de tamanho k:

1. Modele o problema e suas restrições através de uma f.g.o f(x) (funçãogeradora ordinária)

2. Simplifique a f.g.o para facilitar a leitura de coeficientes (expansão emsérie, transformá-la em uma soma de f.g.o’s conhecidas, etc...)

3. Leia o coeficiente de xk (na nossa notação,[xk]

f(x))

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Funções geradoras: resumo do método (2)

Resolução de problemas de contagem de tuplas de tamanho k:

1. Modele o problema e suas restrições através de uma f.g.e f(x) (funçãogeradora exponencial)

2. Simplifique f(x) para facilitar a leitura de coeficientes (expansão em série,transformá-la em uma soma de f.g.e’s conhecidas, etc...)

3. Leia o coeficiente de xk

k! (na nossa notação,[

xk

k!

]f(x))

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Relações de recorrência

Em matemática, o mais comum é definirmos novas funções através dacomposição de funções pré-existentes. Ex:

f(x) =√

x + x3

Contudo, certas funções podem ter uma definição simples reutilizandoresultados de sua própria aplicação sobre outros valores. Ex:

0! = 1 Fib(0) = 0n! = n × (n – 1)! Fib(1) = 1

Fib(n) = Fib(n – 1) + Fib(n – 2)

neste caso, dizemos que as definições são recorrentes, i.e. estabelecem umarelação de recorrência entre as saídas da função.

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Relações de recorrência (cont.)

Apesar de Fib(n) possuir uma definição simples, precisamos calcular todos os999 valores anteriores para descobrir o valor de Fib(1000).

Nesse caso (valores grandes) seria interessante obter uma definiçãonão-recorrente para Fib(n).

Encontrar uma definição não-recorrente para uma função definida de formarecorrente é resolver a recorrência.

Nesta disciplina, veremos como• obter relações de recorrência a partir da descrição de um problema• resolver recorrências

Nota: lembre que sequências numéricas contendo elementos do conjunto Xpodem ser vistas como funções do tipo N → X.

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Relações de recorrência: exemplo 1

A Torre de HanoiNeste jogo, inventado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883, há três eixos(esquerda, centro, direita) e um número n de discos de tamanhos distintos. Oobjetivo é passar os n discos (colocados em ordem ascendente de tamanho, de cimapara baixo) do eixo à esquerda para o eixo à direita na mesma ordem, efetuando omenor número de movimentos. Somente um disco pode ser mudado de eixo a cadamovimento, e ele não pode ser colocado em cima de um disco menor. Qual o númeromínimo de passos para a resolução de uma instância do jogo contendo n discos?

Applet Java para simulação do jogo:http://www.mazeworks.com/hanoi/index.htm

Recorrência: (contagem do número mínimo de passos)

H(0) = 0H(n) = 2H(n – 1) + 1

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http://www.mazeworks.com/hanoi/index.htm


Cálculo do tamanho de uma população de saposA população de sapos de um lago quadruplica a cada ano. No primeiro dia decada ano, 100 sapos são removidos do lago e transferidos para outro local.Assumindo que inicialmente havia 50 sapos no lago, quantos sapos o lago teráem n anos? Suponha que os sapos não morrem e que não haja migração.

Recorrência:

S(0) = 50S(n) = 4 ∗ S(n – 1) – 100 para n > 0

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Cálculo do tamanho de uma população de coelhosSuponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e queeles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Umavez atingida esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outrocasal de coelhos por mês. Qual seria a população de coelhos na ilha após novemeses, supondo que nenhum dos coelhos tenha morrido e que não hajamigração neste período?

Recorrência:

F(0) =0F(1) =1 (casal)F(n) =F(n – 1) + F(n – 2) para n > 1

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Resolução de recorrências

Vimos três problemas e suas respectivas recorrências:

A Torre de Hanoi

H(0) = 0H(n) = 2H(n – 1) + 1 para n > 0

Cálculo do tamanho de uma população de sapos

S(0) = 50S(n) = 4 ∗ S(n – 1) – 100 para n > 0

Cálculo do tamanho de uma população de coelhos (Fibonacci)

Fib(0) =0Fib(1) =1Fib(n) =Fib(n – 1) + Fib(n – 2) para n > 1

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Resolução de recorrências (2)

Veremos agora como solucionar recorrências.

Nesta disciplina, dois métodos:• hipótese e confirmação• resolução através de funções geradoras ordinárias

Nota: o livro menciona outros métodos além dos vistos acima, mas não vamosfocar neles.

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Método da hipótese e confirmação

Considere a sequência de valores H(n), contada apartir de n = 0

H(0) = 0H(n) = 2H(n – 1) + 1

Para chegarmos a uma hipótese, precisamosidentificar algum padrão de formação na sequênciade números.

Observando os valores à direita, podemos detectarum padrão: aparentemente H(n) é sempre o númeroanterior a 2n.

Hipótese: H(n) = 2n – 1

n H(n)0 01 12 33 74 155 316 637 1278 255...

...

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Método da hipótese e confirmação (2)

Podemos verificar manualmente se a hipótese funcionapara os primeiros valores da tabela:

20 – 1 = 0

21 – 1 = 1

22 – 1 = 3 . . .

Contudo, para termos certeza da validade da hipótese, énecessário provar que ela é válida.

Para recorrências, o método de prova mais recomendadoé indução matemática, visto que as bases e os passos deindução estão explicitamente descritos.

H(0) = 0H(n) = 2H(n – 1) + 1

n H(n)0 01 12 33 74 155 316 637 1278 255...

...

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Teorema: H(n) = 2n – 1

Demonstração:

• Base: H(0) = 20 – 1

1. 20 – 1 = 0

• Passo indutivo:Se H(n) = 2n – 1 então H(n + 1) = 2n+1 – 1.

1. H(n + 1) = 2H(n) + 1 (Def.)2. H(n + 1) = 2(2n – 1) + 1 (H.I.)3. H(n + 1) = (2n+1 – 2) + 14. H(n + 1) = 2n+1 – 1

H(0) = 0H(n) = 2H(n – 1) + 1

n H(n)0 01 12 33 74 155 316 637 1278 255...

...

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Também é útil na identificação de padrões a expansão de H(n) para certos valorespequenos de n. O padrão pode emergir da simplificação da expressão final.

Exemplo: para n = 4

H(4) = 2H(3) + 1 (Def. Recorrente)= 2(2H(2) + 1) + 1 (Def. Recorrente)= 2(2(2H(1) + 1) + 1) + 1 (Def. Recorrente)= 2(2(2(2H(0) + 1) + 1) + 1) + 1 (Def. Recorrente)= 2(2(2(2 · 0 + 1) + 1) + 1) + 1 (Base)= 4(2(2 · 0 + 1) + 1) + 2 + 1 (Distribui 2)= 8(2 · 0 + 1) + 4 + 2 + 1 (Distribui 4)= 16 · 0 + 8 + 4 + 2 + 1 (Distribui 8)= 8 + 4 + 2 + 1 (Remove 0)

=3∑

i=0

2i = 24 – 1 = 15

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Resolução de recorrências com f.g.o

O método anterior de resolução exige que tenhamosuma hipótese correta de trabalho, o que nem semprepode ser formulada considerando o padrão dasequência de números:

Exemplo:

Fib(0) =0Fib(1) =1Fib(n) =Fib(n – 1) + Fib(n – 2) para n > 1

Nesses casos, veremos como resolver recorrênciascalculando a função geradora ordinária da sequênciade números (an) = F(n)

n Fib(n)0 01 12 13 24 35 56 87 138 21...

...

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Resolução de recorrências com f.g.o

Para ilustrar o método, vamos utilizar a recorrência já resolvida H(n).

H0 = 0Hn = 2Hn–1 + 1 para n > 0

Vamos chamar de H a f.g.o da sequência (H0, H1, H2, . . .). Estamos interessadosinicialmente em uma definição para H.

Considere as seguintes f.g.o’s:

H = H0 + H1x + H2x2 + H3x3 + · · ·2xH = 0 + 2H0x + 2H1x2 + 2H2x3 + · · ·

x( 1

1–x)

= 0 + 1x + 1x2 + 1x3 + · · ·

Por construção, a equação abaixo representa exatamente as restrições da recorrênciasobre H:

H = 2xH + x1 – x

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Resolução de recorrências com f.g.o (2)

Resolvendo:

H = 2xH +x

1 – xH – 2xH =

x1 – x

(1 – 2x)H =x

1 – xH =

x(1 – x)(1 – 2x)

Note que obtivemos uma expressão fechada para a f.g.o da sequência de números(H0, H1, H2, . . .)

H =x

(1 – x)(1 – 2x)

Portanto, descobrir uma fórmula explícita para Hn equivale a descobrir o coeficiente de xn

na expansão de H:Hn = [xn]

x(1 – x)(1 – 2x)

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Resolução de recorrências com f.g.o (3)

Habitualmente, a parte mais complexa da resolução de recorrências utilizando f.g.o éo cálculo de coeficientes.

Se pudermos transformar a f.g.o em uma soma de f.g.o’s cujos coeficientes sãoconhecidos, a resolução se torna fácil.

No nosso exemplo, através de manipulação algébrica (frações parciais) podemos fazera seguinte transformação

x(1 – x)(1 – 2x) = 1

1 – 2x – 11 – x

e, portanto,

Hn = [xn]( 11 – 2x – 1

1 – x

)= 2n – 1

Nota: a discussão sobre os detalhes da transformação algébrica utilizada acima serávista quando apresentarmos a resolução de Fibonacci.

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Resolução de recorrências com f.g.o: exercício

Exercício: resolva a seguinte recorrência utilizando o método das funçõesgeradoras ordinárias:

Cálculo do tamanho de uma população de sapos

S(0) = 50S(n) = 4 ∗ S(n – 1) – 100 para n > 0

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Resolução de recorrências com f.g.o: Fibonacci

A seguir vamos considerar a descoberta da f.g.o para Fibonacci, e falaremos sobre astécnicas de manipulação algébrica para simplificar a f.g.o obtida.

F0 = 0F1 = 1Fn = Fn–1 + Fn–2 para n > 1

Modelando a recorrência com f.g.o’s:

F = F0 + F1x + F2x2 + F3x3 + · · ·xF = 0 + F0x + F1x2 + F2x3 + · · ·x2F = 0 + 0x + F0x2 + F1x3 + · · ·

x = 0 + 1x + 0x2 + 0x3 + · · ·

Logo:F = xF + x2F + x =⇒ F = x

1 – x – x2

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Fibonacci: constantes φ e φ

As constantes φ e φ aparecem ao longo da resolução da recorrência deFibonacci.• φ = 1+

√5

2 (proporção áurea), ≈ 1.6180 . . .

• φ = 1–√

52 , ≈ –0.6180 . . .

As seguintes identidades são válidas para φ e φ:

1 – φ = φ

1 – φ = φ

φ(–1) = –φ

φ(–1) = –φ

φ2 = 1 + φ

φ2 = 1 + φ

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Resolução da recorrência de Fibonacci

Visão geral sobre as simplificações necessárias:

1. Fatoração do polinômio no denominadorx

–x2 – x + 1=⇒ x

(–1)(x + φ)(x + φ)

2. Separação por frações parciais:

–x(x + φ)(x + φ) =⇒

–φ√5

(x + φ) +φ√5

(x + φ)

3. Formatação como 11–ax :

–φ√5

(x + φ) +φ√5

(x + φ) =⇒ –1√5

1(1 – φx) +

1√5

1(1 – φx)

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1. Fatoração do polinômio no denominador

Inicialmente precisamos fatorar o polinômio no denominador. Isso pode ser feitoutilizando o seguinte resultado matemático.

Teorema fundamental da álgebra:

Seja p(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + · · · + cnxn um polinômio de grau n sobre avariável x, com coeficientes complexos c0, c1, . . . , cn.

Há exatamente n raízes complexas r1, r2, . . . , rn para p(x), sendo que p(x) podeser fatorado como

p(x) = cn(x – r1)(x – r2)(x – r3) · · · (x – rn)

Nota: as raízes r1, r2, . . . , rn não são necessariamente distintas, podendo haverrepetição.

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2. Separação em frações parciais

Objetivo: obter D e E tal quea

b × c=

Db

+Ec

onde a, b, c são polinômios lineares em x, e b 6= c.

Método:

a = cD + bE assuma igualdade e multipliqueambos os lados por b × c

a|x=rc = bE|x=rc zere c substituindo x pela raiz de ce calcule E

a|x=rb = cD|x=rb zere b substituindo x pela raiz de be calcule D

Nota: se b = c, utilizamos o teorema binomial generalizado.

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3. Formatação para leitura de coeficientes

Objetivo: transformar 1x–r numa instância de c 1

1–ax .

Método: multiplique a parte de cima e de baixo da fração por 1–r

1x – r ×

1–r1–r

=1–r

1–r x + 1

= 1–r × 1

1 – 1r x

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4. Expansão em séries

F =–1√

51

(1 – φx)+

1√

51

(1 – φx)

F =–1√

5

(∞∑i=0

φixi

)+

1√

5

(∞∑i=0

φixi

)

F =∞∑i=0

1√

5(φi – φi)xi

5. Leitura do coeficiente:[xi]F =

1√

5(φi – φi)

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anÃ¡lise combinatÃ³ria

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