Séries Numéricas

Ana Matos

18 de Outubro de 2000

Conteúdo

1 Séries Numéricas 21.1 Noção de Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Séries Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Séries Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Séries Redutíveis ou de Mengoli . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Propriedades gerais das Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Séries de Termos Não Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Séries de Termos sem Sinal Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Séries Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Exercícios Propostos 18

3 Exercícios Complementares 22

1 18/Outubro/2000

1 Séries Numéricas

1.1 Noção de Série

Com a noção de série pretende-se estender a noção de soma a uma in�nidadede parcelas.Consideremos a seguinte situação: um corredor desloca-se, a uma veloci-

dade constante, entre dois pontos que se encontram em linha recta, A e B; noque gasta um certo tempo T:Para atingir o ponto B terá primeiro que efectuar o percurso até ao ponto

médio entre A e B; o que lhe demorará o tempo T2; terá depois que chegar

ao ponto médio entre este ponto e B, ou seja percorrer metade da distânciarestante, no que gastará o tempo T

4e assim sucessiva e inde�nidamente.

O tempo total que lhe demorará o trajecto entre A e B é, assim, dadopela expressão

T

2+T

4+ � � �+ T

2n+ � � � :

Temos, então, uma �soma�com uma in�nidade de parcelas, todas positi-vas, o que nos pode levar a pensar que o seu resultado é in�nito. No entanto,o valor desta �soma�tem que ser T , pois este é o tempo que o corredor gastano percurso.A situação aqui exposta está directamente relacionada com um dos mais

conhecidos Paradoxos de Zenão, �lósofo grego que formulou algumasquestões, relacionadas com aparentes contradições, que levaram a uma pro-funda crise na Matemática grega.A Teoria das Séries permite resolver1 este problema, dando uma de�nição

rigorosa da noção de �soma�in�nita e mostrando que existem �somas� in-�nitas, com os termos todos positivos, cujo resultado é �nito.Consideremos novamente a �soma�

T

2+T

4+ � � �+ T

2n+ � � � :

Naturalmente, não podemos somar um número in�nito de parcelas, maspodemos somar cada vez mais parcelas, calculando as chamadas somas par-ciais

S1 =T

2; S2 =

T

2+T

4; : : : ; Sn =

T

2+T

4+ � � � T

2n

e estudar o comportamento destas somas, quando n tende para +1:1A Teoria das Séries permite também resolver outro dos Paradoxos de Zenão, o Para-

doxo de Aquiles e da tartaruga.

2 18/Outubro/2000

O valor da �soma�in�nita será, caso exista, o limite desta sucessão.Neste caso, a soma parcial Sn é a soma dos n primeiros termos de uma

progressão geométrica de razão 12e 1o termo T

2; pelo que

Sn =T

2�1� 1

2n�1

1� 12

= T

�1� 1

2n�1

�:

Quando n tende para +1, Sn tende para T , que é o tempo efectivamentegasto pelo corredor a efectuar o percurso.

De�nição 1 Chama-se série numérica a uma expressão do tipou1 + u2 + � � �+ un + � � � , representada em geral por

+1Xn=1

un ,Xn�1

un ou somente porX

un ,

em que os números reais u1; u2; � � � ; un; � � � se dizem os termos da série econstituem a sucessão de termo geral un, dito o termo geral da série. Assomas

S1 = u1 ,S2 = u1 + u2 ,S3 = u1 + u2 + u3 ,...Sn = u1 + u2 + � � �+ un ,...

designam-se por somas parciais da série e a sucessão S1; S2; S3; : : : ; Sn; : : :é conhecida por sucessão das somas parciais da série. A Sn chama-sea soma parcial de ordem n.

De�nição 2 (Natureza de uma série) Uma sérieP+1

n=1 un diz-se con-vergente se a sucessão das somas parciais, Sn = u1+u2+ � � �+un, convergepara um número real S. Neste caso, o número S diz-se a soma da série, eescreve-se2

+1Xn=1

un = S .

Uma série que não é convergente diz-se divergente.Duas séries dizem-se da mesma natureza se forem ambas convergentes

ou ambas divergentes.2Embora esta seja a convenção usual, convém ter presente o facto de estarmos a usar

a mesma notação para representar duas entidades diferentes - a série e, caso esta sejaconvergente, a sua soma. Pelo contexto deve ser claro qual o sentido em que estamos ausar a notação; onde não o seja, tal deve ser explicitamente dito.

3 18/Outubro/2000

É importante �car claro qual o papel de cada uma das duas sucessões quese encontram presentes ao considerarmos uma série

P+1n=1 un:

Temos a sucessão (un) ; a partir da qual de�nimos a série, e a sucessão(Sn), das suas somas parciais. A natureza da série é determinada pela con-vergência ou não da sucessão das suas somas parciais. Como iremos ver, emmuitos casos podem-se tirar conclusões quanto à natureza da série, a partirdo seu termo geral, aplicando certos resultados; no entanto, o facto do termogeral da série ser convergente não garante, de modo nenhum, que esta sejaconvergente.Considere-se, por exemplo, a série

P+1n=1 1:

O seu termo geral, un = 1; é, obviamente, convergente. No entanto asérie

P+1n=1 1 é divergente, visto que a soma dos seus n primeiros termos é n,

pelo que Sn ! +1:Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplo 1

1. Consideremos a sérieP+1

n=1 n: O seu termo geral é n e a sua somaparcial de ordem n é Sn = 1 + 2 + � � �+ n = n:1+n2 :Como limSn = +1; a série é divergente.

2. Consideremos a sérieP+1

n=1 (�1)n : O seu termo geral é (�1)n e a

sucessão das somas parciais é �1; 0;�1; 0; : : : ; ou seja

Sn =

��1 se n é ímpar0 se n é par

:

Como (Sn) é oscilante; a série é divergente.

3. Consideremos, agora, a série+1Xn=1

1

2n�1:

O seu termo geral é�12

�n�1e a sua soma parcial de ordem n é

Sn =1�( 12)

n

1� 12

; que converge para 2:

A série é convergente e a sua soma é 2.

De�nimos série numérica indexada em N, mas podemos também consi-derar o conjunto dos índices como sendo N0 ou Np , com p 2 N; �xo3: Asde�nições e propriedades são perfeitamente análogas às das séries indexadasem N:

3Por de�nição, Np = fn 2 N : n � pg :

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1.2 Séries Importantes

Os dois últimos exemplos apresentados enquadram-se na situação que sesegue (o primeiro com r = �1 e o segundo com r = 1

2).

1.2.1 Séries Geométricas

Chama-se série geométrica de razão r à série

+1Xn=1

rn�1 = 1 + r + r2 + r3 + � � �+ rn�1 + � � � ,

em que r é um número real.A soma parcial de ordem n desta série é a soma dos n primeiros termos

da progressão geométrica de razão r e 1o termo 1, pelo que

Sn =

8<:1�rn1�r ; se r 6= 1

n ; se r = 1;

donde se conclui que:- se jrj < 1 então limSn = 1

1�r ;- se r � 1 então limSn = +1;- se r < �1 então limSn =1;- se r = �1 então Sn não tem limite.Assim:

� se jrj < 1; a série geométrica é convergente e a sua soma é S = 11�r ;

� se jrj � 1; a série geométrica é divergente.

Exemplo 2

1. Considere-se a sérieP+1

n=1

�14

�n�1.

Trata-se de uma série geométrica de razão r = 14, cujo valor abso-

luto é inferior a 1, donde se conclui que a série é convergente tendo-seP+1n=1

�14

�n�1= 1

1� 14

= 43.

2. A série geométricaP+1

n=1 (�2)n�1 ; de razão r = �2, é divergente uma

vez que jrj � 1.

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1.2.2 Séries Redutíveis ou de Mengoli

As séries da forma+1Xn=1

(un � un+k) ;

em que k é um número natural �xo, chamam-se séries redutíveis, sériesde Mengoli ou ainda séries telescópicas.Em particular, quando k = 1, a série é da forma

+1Xn=1

(un � un+1) = (u1 � u2) + (u2 � u3) + (u3 � u4) + � � �

sendo a sua sucessão das somas parciais

Sn = u1 � un+1:

Assim, tendo presente que limun+1 = limun; conclui-se que:

� se un é convergente, a sérieP+1

n=1 (un � un+1) é convergente e a suasoma é S = u1 � limun;

� se un é divergente; a sérieP+1

n=1 (un � un+1) é divergente.

Exemplo 3

1. A série+1Xn=1

1

n (n+ 1)

é uma série de Mengoli pois é da formaP+1

n=1 (un � un+1), com un = 1n.

Como un = 1n! 0, a série é convergente e a sua soma é

S = 1� lim 1

n= 1:

2. A série de Mengoli+1Xn=1

�pn�

pn+ 1

�é divergente, uma vez que limun = lim

pn = +1.

6 18/Outubro/2000

1.2.3 Séries de Dirichlet

As séries da forma+1Xn=1

1

n�

com � um número real �xo, chamam-se séries de Dirichlet.Chama-se série harmónica, à série de Dirichlet para � = 1;

+1Xn=1

1

n= 1 +

1

2+1

3+ � � �+ 1

n+ � � �

Esta série é divergente pois, como será justi�cado adiante, tem-se que:

� se � > 1;P+1

n=11n�é convergente;

� se � � 1;P+1

n=11n�é divergente.

Considerem-se as séries de Dirichelet

+1Xn=1

1

n3e

+1Xn=1

1pn:

A primeira é convergente (� = 3) e a segunda é divergente (� = 12).

1.3 Propriedades gerais das Séries

Das propriedades operatórias dos limites de sucessões, concluem-se imediata-mente os resultados que se seguem.

Proposição 1 Se a partir de certa ordem un = vn, entãoPun e

Pvn são

da mesma natureza.

Portanto, a natureza de uma série não se altera modi�cando um número�nito dos seus termos. No entanto a soma das séries é, em geral, alterada.De igual modo, duas séries cujos termos gerais estejam apenas desfasados

de um certo p 2 N, têm a mesma natureza, isto é:

Proposição 2 Se existe p 2 N tal que, a partir de certa ordem, un = vn+p,então as séries têm a mesma natureza.

Assim, as sériesP+1

n=11n,P+1

n=11n+1

eP+1

n=31n�2 têm a mesma natureza.

7 18/Outubro/2000

De�nição 3 (Resto de uma série) SejaPun uma série convergente com

soma S. Chamamos resto de ordem p; com p 2 N; à soma da série queresulta de suprimir os termos de ordem menor ou igual a p, isto é

Rp = up+1 + � � �+ un + � � � =Xn>p

un = S � Sp .

Note-se que, pelo resultado anterior, temos a garantia que esta série éconvergente. A sua soma é precisamente o erro que se comete quando setoma para soma da série

Pun o valor da soma parcial Sp.

Exemplo 4 Consideremos a sérieP+1

n=1

�12

�n�1; que já vimos ser conver-

gente com soma 2: O seu resto de ordem p é

Rp = S � Sp = 2�1�

�12

�p1� 1

2

=1

2p�1:

Exemplo 5 No caso da série de MengoliP+1

n=11

n(n+1); que vimos ser conver-

gente com soma 1, o resto de ordem p é

Rp = S � Sp = 1��1� 1

p+ 1

�=

1

p+ 1:

Nos dois exemplos anteriores, conseguimos determinar o valor exacto doresto de ordem p das séries, visto que conseguimos também determinar ovalor exacto da soma. No entanto, o estudo dos restos é particularmenteimportante nos casos em que não conseguimos determinar o valor exacto dasoma da série, interessando então conhecer majorantes do valor absoluto doresto. Podemos, assim, garantir que ao tomar para aproximação da somada série o valor de uma certa soma parcial, o erro cometido não excede umdeterminado valor.

Proposição 3 (Operações com séries)

1. SePun e

Pvn são duas séries convergentes, então a série

P(un + vn)

é convergente eP(un + vn) =

Pun +

Pvn.

2. SePun é uma série convergente, então a série

Pcun; com c 2 R; é

convergente ePcun = c

Pun.

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Dem.

1. Sejam (Un) e (Vn) as sucessões das somas parciais das sériesPun eP

vn, respectivamente, isto é:

Un = u1 + � � �+ un e Vn = v1 + � � �+ vn:

Como as séries são convergentes, existem reais U e V tais quelimUn = U e limVn = V .

Consideremos agora (Sn) ; a sucessão das somas parciais deP(un + vn).

Como

Sn = (u1 + v1) + � � �+ (un + vn) = Un + Vn ! U + V;

a sucessão (Sn) é convergente e o seu limite é U + V .

Conclui-se assim que a sérieP(un + vn) é convergente e a sua soma éP

un +Pvn.

2. Seja Un a sucessão das somas parciais da sériePun: Como esta série

é convergente, existe um número real U tal que limUn = U .

Consideremos agora (Sn) a sucessão das somas parciais da sériePcun.

ComoSn = cu1 + � � �+ cun = cUn ! cU;

a sériePcun é convergente e a sua soma é c

Pun.

Observação 1 Da alínea 2 do resultado anterior resulta que não se altera anatureza de uma série multiplicando o termo geral por uma constante dife-rente de zero.

Exemplo 6 Consideremos a série

+1Xn=1

�1

2n+5

3n

�:

Como as sériesP+1

n=1

�12

�n�1eP+1

n=1

�13

�n�1são convergentes, com somas 2 e

32, respectivamente, a série dada é convergente e a sua soma é

+1Xn=1

�1

2n+5

3n

�=1

2

+1Xn=1

�1

2

�n�1+5

3

+1Xn=1

�1

3

�n�1=7

2:

9 18/Outubro/2000

Proposição 4 (Condição necessária de convergência) SePun é uma

série convergente então un ! 0:

Dem. SendoPun uma série convergente, a sucessão das suas somas parciais,

Sn = u1 + � � �+ un; tende para um certo real S:A sucessão Sn+1 = u1 + � � �+ un + un+1 tende para o mesmo limite, pois

é uma subsucessão da anterior.Como Sn+1 = Sn + un+1, tem-se que un+1 = Sn+1 � Sn: Uma vez que

limSn+1 = limSn; conclui-se que limun+1 = 0 e, portanto, que limun = 0:

Na prática este resultado é muitas vezes usado na forma contra-recíproca:

Se (un) não tende para zero, entãoX

un é divergente.

Note-se que (un) não tender para zero engloba duas situações - o caso de (un)não ter limite e o caso de (un) ter limite diferente de zero. Por exemplo, asséries

+1Xn=1

n

n+ 1e

+1Xn=1

(�1)n n

n+ 1

são ambas divergentes (no primeiro caso o termo geral tende para 1 e nosegundo caso não tem limite).Note-se ainda que a recíproca desta a�rmação é falsa, isto é,

un ! 0não implica queX

un seja convergente.

Por exemplo, a sérieP+1

n=11pn, série de Dirichlet com � = 1

2, é divergente

embora 1pn! 0 .

1.4 Séries de Termos Não Negativos

De�nição 4 Uma sériePun diz-se de termos não negativos se un > 0, para

qualquer n 2 N:

A sucessão das somas parciais de uma série de termos não negativos écrescente. Tendo presente que uma sucessão monótona é convergente sse élimitada (para o que, no caso de uma sucessão crescente, basta veri�car queé majorada pois todos os seus termos são maiores ou iguais ao primeiro),conclui-se imediatamente o seguinte resultado:

Proposição 5 (Condição necessária e su�ciente de convergência)Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sucessão dassuas somas parciais é majorada.

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Proposição 6 (1o Critério de comparação) SejamPun e

Pvn duas

séries de termos não negativos tais que, para qualquer n 2 N, un � vn:Tem-se que:

� sePvn é convergente, então

Pun é convergente;

� sePun é divergente, então

Pvn é divergente.

Dem. SejamPun e

Pvn duas séries de termos não negativos tais que, para

qualquer n 2 N, un � vn:Considerem-se (Sn) e (Tn) as sucessões das suas somas parciais, isto é

Sn = u1 + � � �+ un e Tn = v1 + � � �+ vn:

Como para qualquer n 2 N, un � vn; tem-se também que, para qualquern 2 N; Sn � Tn:Sendo

Pvn uma série convergente, pela condição necessária e su�ciente

de convergência, a sucessão das suas somas parciais, (Tn) ; é majorada eportanto a sucessão (Sn) também o é. Novamente pela condição necessáriae su�ciente de convergência, conclui-se que a série

Pvn é convergente.

A segunda a�rmação é equivalente à primeira (é a sua forma contra-re-cíproca).

Observação 2 Da demontração anterior resulta imediatamente que, nascondições do 1o critério da comparação, sendo

Pvn uma série convergente,

para além de concluirmos quePun é uma série convergente, concluímos

ainda que a sua soma é menor ou igual à soma da sériePvn.

Exemplo 7

1. A série de termos não negativos

+1Xn=1

1

n2 + n

é convergente pois 1n2+n

� 1n2e a série

P+1n=1

1n2é convergente.

2. A série de termos não negativos

+1Xn=1

1pn+ 3

pn

é divergente pois 1pn+ 3pn �

12pne a série

P+1n=1

12pné divergente.

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Proposição 7 (2o Critério de comparação) SejaPun uma série de ter-

mos não negativos ePvn uma série de termos positivos tais que un

vn! L:

Tem-se que:

� se L 6= 0;+1, então as séries são da mesma natureza;

� se L = 0 ePvn é convergente, então

Pun também é convergente;

� se L = +1 ePvn é divergente, então

Pun também é divergente.

Dem. Vamos começar por provar os casos L = 0 e L = +1:

� Se unvn! 0; existe uma ordem a partir da qual un

vn� 1; pelo que un � vn:

Pelo 1o critério da comparação (que é aplicável, pois as séries são determos não negativos), conclui-se que, sendo

Pvn convergente,

Pun

também o é.

� Analogamente, se unvn! +1; existe uma ordem a partir da qual un

vn� 1;

e portanto un � vn:Pelo 1o critério da comparação, conclui-se que, sendo

Pvn é divergente,P

un também o é.

� Consideremos agora o caso em que unvn! L, com L 6= 0;+1 (ou seja

L é um real positivo, pois as séries são de termos não negativos).

Por de�nição de limite de uma sucessão, para qualquer real � > 0,existe uma ordem a partir da qual se tem L� � < un

vn< L+ �:

Tomando � su�cientemente pequeno, de modo a que L�� > 0, podemosgarantir que existem dois números reais positivos, a e b (que são, respec-tivamente, L�� e L+�); tais que, a partir de certa ordem, a < un

vn< b:

Então, a partir dessa ordem, tem-se que avn < un e un < bvn:

O resultado decorre agora do 1o critério da comparação e das pro-priedades operatórias das séries.

De facto:

- sePun é uma série convergente,

Pbvn é convergente e, como b 6= 0,P

vn também o é;

- sePun é uma série divergente,

Pavn é divergente e, consequente-

mente,Pvn também o é.

Portanto, neste caso, as séries são ambas convergentes ou ambas diver-gentes, pelo que têm a mesma natureza.

12 18/Outubro/2000

Exemplo 8

1. A sérieP+1

n=1 sin�1n

�é divergente visto que lim

sin( 1n)1n

= 1 e a série

harmónica é divergente (note-se que sin 1n� 0, 8n2N).

2. Consideremos a série de termos positivosP+1

n=1 e�n:

Como lim1en1n

= lim nen= 0 e

P+1n=1

1né divergente, nada se pode con-

cluir.

Como lim1en1n2= lim n2

en= 0 e

P+1n=1

1n2é convergente, conclui-se que a

sérieP+1

n=1 e�n é convergente.

Proposição 8 (Critério do integral) Seja f : [1;+1[ ! R uma funçãocontínua, positiva e decrescente. Considerando a sucessão de termo geralun = f (n) ; tem-se que:X

un é convergente sse o integral impróprioZ +1

1

f (x) dx é convergente.

Corolário 9 A série de DirichletP+1

n=11n�; com � 2 R; é convergente se

� > 1 e divergente se � � 1:

Dem. Se � � 0 a sérieP+1

n=11n�é divergente (repare-se que o termo geral

não tende para zero).Se � > 0, considerando f (x) = 1

x�estamos nas condições do critério do

integral, pelo que a sérieP+1

n=11n�é convergente se e só se o integral impróprioR +1

11x�dx é convergente, o que se veri�ca apenas para � > 1:

Proposição 10 (Critério de Cauchy) SePun é uma série de termos não

negativos tal que limn!+1

npun = L (com L �nito ou in�nito), então:

� se L < 1;Pun é convergente;

� se L > 1;Pun é divergente;

� se L = 1; nada se pode concluir.

Dem. SejaPun uma série de termos não negativos tal que

limn!+1

npun = L:

13 18/Outubro/2000

� Se limn!+1

npun = L < 1; considerando um número real r tal que

L < r < 1; existe uma ordem a partir da qual se tem npun < r (se assim

não fosse, existiriam in�nitos termos para os quais se tinha npun � r,

pelo que o limite superior de npun seria maior ou igual a r, o que não

se pode veri�car pois o seu valor é L e estamos a supor que r > L).

Então, a partir dessa ordem, tem-se que un < rn:

A sériePrn é uma série geométrica de razão r, com r < 1, pelo

que é convergente e, portanto, pelo 1o critério da comparação,Pun é

convergente.

� Se limn!+1

npun = L > 1; a sucessão n

pun tem uma subsucessão que

tende para L > 1, pelo que existem in�nitos valores de n para os quaisnpun > 1. Para esses valores de n, un > 1; pelo que un não tende para

zero e, consequentemente, a sériePun é divergente.

Exemplo 9 Consideremos a série de termos não negativosP+1

n=1

�2n3n+5

�2n:

Como

n

s�2n

3n+ 5

�2n=

�2n

3n+ 5

�2! 4

9< 1;

conclui-se que a série é convergente.

O critério que se segue, devido a D�Alembert, é uma consequência imedi-ata do anterior e da seguinte propriedade das sucessões de termos positivos:

seun+1un

! a (com a �nito ou in�nito) então npun ! a:

Note-se, no entanto, que o resultado anterior é mais geral, isto é, hásituações em que podemos aplicar o critério de Cauchy mas não podemosaplicar ocritério que se segue (por não existir o limite de un+1

un).

Proposição 11 (Critério de D�Alembert) SePun é uma série de ter-

mos positivos tal que limn!+1

un+1un

= L (com L �nito ou in�nito), então:

� se L < 1;Pun é convergente;

� se L > 1;Pun é divergente;

� se L = 1; nada se pode concluir.

Exemplo 10

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1. Considere-se a série de termos positivosP+1

n=13n

n!:

Comolim

n!+1

un+1un

= limn!+1

3

n+ 1= 0 < 1;

conclui-se que a série é convergente.

2. Apliquemos este mesmo critério à série de termos positivosP+1

n=14nn!nn:

Comolim

n!+1

un+1un

=4

e> 1;

concluimos que esta série é divergente.

1.5 Séries de Termos sem Sinal Fixo

De�nição 5 Uma série diz-se de termos sem sinal �xo se possui in�ni-tos termos positivos e in�nitos termos negativos. Em particular, uma sérieda forma

+1Xn=1

(�1)n+1 un = u1 � u2 + u3 � :::+ (�1)n+1 un + ::::

em que un > 0; 8n 2 N;diz-se uma série alternada.

Exemplo 11 A sérieP+1

n=1 (�1)n+1 1

né uma série alternada. A esta série

chama-se série harmónica alternada.

Proposição 12 (Critério de Dirichlet) Se a sucessão das somas parciaisda série

Pvn é limitada e se (un) é uma sucessão decrescente com limite

nulo, então a sériePunvn é convergente.

Corolário 13 (Critério de Leibniz) Se (un) é uma sucessão decrescentee com limite nulo, então a série

P+1n=1 (�1)

n+1 un é convergente.

O Critério de Leibniz resulta imediatamente do Critério de Dirichlet, vistoque (un) é uma sucessão decrescente, com limite nulo, e a série

P+1n=1 (�1)

n+1

tem as somas parciais limitadas.

Exemplo 12 A série harmónica alternada,P+1

n=1 (�1)n+1 1

n, é convergente

visto que�1n

�é uma sucessão decrescente que tende para zero.

15 18/Outubro/2000

Observação 3 No caso de uma série alternada nas condições do critério deLeibniz, mesmo não conseguindo determinar o valor exacto do resto de umacerta ordem, temos uma majoração para o seu valor absoluto. De facto,em valor absoluto, o resto destas séries não excede o primeiro termo que sedespreza, isto é: se

P+1n=1 (�1)

n+1 un é uma série alternada nas condições docritério de Leibniz, então jRpj � up+1:

1.6 Séries Absolutamente Convergentes

De�nição 6 Uma sériePun diz-se absolutamente convergente se a

série dos módulos Xjunj = ju1j+ ju2j+ � � �+ junj+ � � �

é convergente. Uma série convergente que não seja absolutamente conver-gente diz-se simplesmente convergente.

Exemplo 13 A sérieP+1

n=1 (�1)n+1 1

né simplesmente convergente visto que

é convergente mas a série dos módulos, que é a série harmónica, é divergente.A série

P+1n=1 (�1)

n+1 1n2é absolutamente convergente, visto que a série

dos módulos,P+1

n=11n2; é convergente.

Proposição 14 Toda a série absolutamente convergente é convergente.

Dem. SejaPun uma série absolutamente convergente, isto é, tal que

Pjunj

é convergente.Por de�nição

junj =�

un se un � 0�un se un � 0

pelo que

un + junj =�2un = 2 junj se un � 00 se un � 0

e, portanto, 0 � un + junj � 2 junj :O resultado é, agora, consequência do 1o critério da comparação e das

propriedades operatórias das séries.De facto, sendo

Pjunj uma série convergente,

P2 junj é convergente e,

pelo 1o critério da comparação,P(un + junj) também o é.

ComoPun =

P[(un + junj)� junj], sendo as séries

P(un + junj) eP

junj convergentes, conclui-se quePun é convergente.

Exemplo 14 A sérieP+1

n=1 (�1)n+1 1

n2é convergente, visto que é absoluta-

mente convergente.

16 18/Outubro/2000

Referências

[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;

[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;

[3] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais de Matemática,Gradiva, 1998;

[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;

[5] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;

17 18/Outubro/2000

2 Exercícios Propostos

Exercício 1 Utilizando a de�nição de convergência de uma série, determinea natureza das séries seguintes e sempre que possível calcule a sua soma:

1. 2 + 4 + 6 + 8 + � � �

2. 2� 2 + 2� 2 + 2� � � �

3. 7 + 710+ 7

102+ 7

103+ � � �

4. 1� 12+ 1

4� 1

8+ � � �+

��12

�n+ � � �

5.+1Pn=2

65n�2

6.+1Pn=1

2n+3n

4n

7.+1Pn=1

2n+1n2(n+1)2

8.+1Pn=1

log�1 + 1

n

�9. 1

1�3 +12�4 +

13�5 +

14�6 + � � �

10.+1Pn=1

pn+2�

pnp

n(n+2)

11.+1Pn=3

24n2�1

Exercício 2 Seja+1Pn=1

un uma série convergente de soma S. Indique, justi-

�cando, os limites das sucessões de termos gerais Uk =2kPn=1

un e Vk =2kP

n=k+1

un:

Exercício 3 Diga qual a natureza e determine o termo geral de uma sériecuja sucessão das somas parciais é Sn = n

n+1:

Exercício 4

1. Represente, como quociente de dois inteiros, os números racionais cor-respondentes às seguintes dízimas in�nitas periódicas:

18 18/Outubro/2000

(a) 3; 333 � � � ;(b) 1; 125125125 � � � ;(c) 2; 04125125125 � � � ;

2. Mostre que o número racional associado à dízima 0; 125000 � � � tambémpode ser representado por 0; 124999 � � � :

Exercício 5 Calcule a expressão geral do resto de ordem p da sériePn�1

2n�1

5n�2 :

Exercício 6

1. Calcule o resto de ordem 100 da sériePn�1

1n2+n

:

2. Determine uma ordem a partir da qual o erro que se comete ao tomarpara valor da soma da série

Pn�1

1(n+1)2

a sua soma parcial, não exceda

0; 1.

Exercício 7 Diga, justi�cando, quais das seguintes a�rmações são verdadeirae quais são falsas:

1. A soma de duas séries divergentes é uma série divergente.

2. A soma de uma série convergente com uma série divergente é uma sériedivergente.

3. Se an ! 0 então a sériePan é convergente.

4. As sériesPn�1

1pn+1

ePn�100

1pn+1

são da mesma natureza.

Exercício 8 Determine a natureza das séries de termos não negativos cujostermos gerais são:

1. 1 + (�1)n 12n

2. jsen njn2

3. cos 1n

4. n+1n3�n+2

5. 1pn(n+2)

19 18/Outubro/2000

6. log nn

7. 1n log n

8. 1�3�5�����(2n+1)3�6�9�����(3n+3)

9. (n+1n )

n2

4n

10.�(�1)n+1n�1

3n+1

�n11. 2nn!

nn

Exercício 9 Determine, em função de � 2 R, a natureza da série de termogeral log

�1 + 1

n�

�:

Exercício 10 SejamPan e

Pbn duas séries de termos positivos conver-

gentes. Que pode a�rmar acerca da natureza das sériesPa2n;

Pan:bn;

Ppanbn

eP�

1an+ 1

bn

�?

Exercício 11 Seja (an) uma sucessão de termos positivos com limite +1:

1. Indique a natureza das sériesP

an1+an

eP

13n+an

:

2. Mostre que a série+1Pn=1

(an+1 � an) é divergente e que+1Pn=1

�1

an+1� 1

an

�é

convergente.

Exercício 12 Indique quais das seguintes séries são absolutamente conver-gentes, simplesmente convergentes ou divergentes:

1.+1Pn=1

(�1)npn

2.+1Pn=1

(�1)n n2n3+1

3.+1Pn=1

(�1)n n4

n4+1

4.+1Pn=1

cos(n�)logn(n+1)

20 18/Outubro/2000

5.+1Pn=1

��3n

�n6.

+1Pn=1

(1 + sen x)n

Exercício 13 Determine, justi�cando, aproximações à soma das séries seguintescom um erro inferior a 0; 001 :

1.+1Pn=1

(�1)n+12n3�1

2.+1Pn=0

(�1)nn!

3.+1Pn=0

(�1)n2nn!

Exercício 14 Prove que sePjanj converge então

Pa2n é convergente. Mostre

que a proposição recíproca é falsa.

Exercício 15 Mostre que sePa2n e

Pb2n são convergentes, a série

Panbn

é absolutamente convergente.

21 18/Outubro/2000

3 Exercícios Complementares

Exercício 16 Mostre que:

1.Pn�2

1(n�1)n(n+1) =

14;

2.+1Pn=1

2n+n2+n2n+1n(n+1)

= 1:

Exercício 17 Estude, quanto à convergência, as seguintes séries:

1.+1Pn=1

pnp

n+1+1;

2.+1Pn=1

lnnn2pn+1;

3.+1Pn=1

pn3+2n+1n5+3

;

4.+1Pn=1

1+p2+���+

pn

n2+1;

5.+1Pn=1

1[3+(�1)n]2n ;

6.+1Pn=1

n e�(2n+1);

7.+1Pn=1

�n sin 1

n� (n+ 2) sin 1

n+2

�:

Exercício 18 Indique quais das seguintes séries são absolutamente conver-gentes, simplesmente convergentes ou divergentes:

1.+1Pn=1

sin(n�)n2

, com � 2 R;

2.+1Pn=1

(�1)n n2

1+n2;

3.+1Pn=1

�3

3+sin(n�2 )

�n;

22 18/Outubro/2000

4.+1Pn=1

(�1)n 1n+pn:

Exercício 19 Calcule a soma da série+1Pn=1

(�1)n n�2 com um erro inferior a

0; 1.

Exercício 20 Determine os valores de p 2 R, para os quais as seguintesséries são convergentes:

1.+1Pn=1

np�pn+ 1�

pn� 1

�;

2.+1Pn=1

�sin 1

n

�p:

Exercício 21 Seja (an)n2N uma sucessão convergente para a 2 R. Sendop 2 N, mostre que a série

Pn�1

(an � an+p) é convergente e calcule a sua soma.

Exercício 22 Determine os valores do número real �; para os quais a série:Pn�0

(�1)n (n+ 1)�� é

1. simplesmente convergente;

2. absolutamente convergente.

23 18/Outubro/2000

Soluções

1.1: divergente;1.2: divergente; 1.3: convergente, 709; 1.4: convergente, 2

3;

1.5: convergente, 152; 1.6: convergente, 4; 1.7: convergente, 1; 1.8: diver-

gente; 1.9: convergente, 34; 1.10: convergente, 2+

p2

2; 1.11: convergente, 1

5

2: S, 03: convergente, 1

n(n+1)

4.1a: 103; 4.1b: 1124

999; 4.1c: 203921

99900; 4.2: -

5: 253

�25

�p6.1: 1

101; 6.2: 9

7.1: falsa; 7.2: verdadeira; 7.3: falsa; 7.4: verdadeira8.1: divergente; 8.2: convergente; 8.3: divergente; 8.4: convergente; 8.5:divergente; 8.6: divergente; 8.7: divergente; 8.8: convergente; 8.9: conver-gente; 8.10: convergente; 8.11: convergente9: convergente se � > 1, divergente se � � 110: convergente, convergente, convergente e divergente, respectivamente11.1: divergente, convergente; 11.2 -12.1: simplesmente convergente; 12.2: absolutamente convergente; 12.3:divergente; 12.4: absolutamente convergente; 12.5: absolutamente conver-gente; 12.6: absolutamente convergente se x 2 ](2k � 1)�; 2k�[ ; com k 2 Z;divergente caso contrário13.1: S7 ' 0:947478; 13.2: S6 ' 0:368055; 13.3: S4 ' 0:60677014: -15: -16: -17.1: divergente; 17.2: convergente; 17.3: convergente; 17.4: divergente;17.5: convergente; 17.6: convergente; 17.7: convergente18.1: absolutamente convergente; 18.2: divergente; 18.3: divergente; 18.4:simplesmente convergente19: S3 = �31

36

20.1: p < �12; 20.2: p > 1

21: S = a1 + a2 + � � �+ ap � a� p;22.1: 0 < � � 1; 22.2: � > 1;

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