integrais múltiplos matemática...

Integrais Múltiplos

Matemática Aplicada

José Caldeira DuarteRevisto em 2004/2005

Conteúdo

1 Introdução 2

2 Integrais Duplos 2

2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Propriedades do integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Aplicações dos integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Aplicações ao cálculo de áreas de regiões do plano . . . 142.3.2 Aplicação ao cálculo do volume de um sólido . . . . . . 162.3.3 Média, centro de massa e momentos . . . . . . . . . . . 19

2.4 Mudança de variáveis em integrais duplos . . . . . . . . . . . . 232.4.1 Um caso especial: coordenadas polares . . . . . . . . . 26

3 Integrais Triplos 31

3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Mudança de variáveis em integrais triplos . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1 1/Agosto/2005

1 Introdução

Integrais de Riemann do tipo∫b

af(x)dx já foram estudados anteriormente:

primeiro, o integral definido no qual a função f é integrável no intervalolimitado [a, b], posteriormente, os integrais impróprios de 1a e 2a espécies onderespectivamente se supõe que [a, b] é não limitado e que a função integrandaé não limitada em [a, b].

Em qualquer dos casos, o intervalo de integração considerado foi sempreum segmento de recta, uma semi-recta ou a recta real, e a função integranda,uma função real de variável real.

No que se segue pretende fazer-se uma introdução ao cálculo integral emIRn, isto é, ao estudo dos integrais cuja função integranda é uma funçãodefinida num subconjunto de IRn e com valores em IR.

Dada a profundidade deste assunto e as habituais limitações de tempo,optou-se por introduzir apenas as noções de integral duplo e de integraltriplo, dando especial enfâse aos aspectos práticos do cálculo de integrais ea algumas das suas aplicações. Contudo, não significa isto que os aspectosteóricos subjacentes devam ser descurados, pelo que se aconselha vivamentea consulta da bibliografia indicada, ficando desde já a promessa que, numapróxima edição, eles serão integrados neste texto.

2 Integrais Duplos

2.1 Definição

A noção de integral duplo pode associar-se de uma forma perfeitamente na-tural ao cálculo do volume de uma região do espaço; por isso, essa questãoserá primeiro abordada, antes de definir integral duplo.

2 1/Agosto/2005

Y

X

Z

D

( )yxfz ,=

( )xy2

ϕ=( )xy1

ϕ=

a

b

Y

X

Z

D

( )yxfz ,=

( )xy2

ϕ=( )xy1

ϕ=

a

b

Figura 1: Região espacial.

Considere-se um sólido no espaço IR3 (ver figura 1), limitado pelo gráficode uma função contínua f : D ⊂ IR2 → IR dada por z = f(x, y), pela regiãoD, e por uma superfície cilíndrica de geratriz paralela ao eixo OZ. Parasimplificar (e sem perda de generalidade) assuma-se que f(x, y) ≥ 0,∀(x, y) ∈D, isto é, a superfície S encontra-se acima do plano XOY.

Suponha-se que se pretende calcular o volume deste sólido. Divida-seentão o sólido em “fatias”, obtidas à custa de planos paralelos (veja-se afigura 2) ao plano Y OZ como mostra a figura 3:

Y

X

Z

ix

D

( )yxfz ,=

( )xy2

ϕ=( )xy1

ϕ=

a

b

Y

X

Z

ix

D

( )yxfz ,=

( )xy2

ϕ=( )xy1

ϕ=

a

b

Figura 2: Secção x = xi.

3 1/Agosto/2005

Y

X

Z

D

ix∆

Y

X

( )xy1

ϕ=

( )xy2

ϕ=

D

ix∆

( )yxfz ,=

a

b

Vi Y

Z

( )ix

2ϕ( )

ix

1ϕ

( )yxfzi,=

ix∆

Ax i Ax i

Y

X

Z

D

ix∆

Y

X

( )xy1

ϕ=

( )xy2

ϕ=

D

ix∆

( )yxfz ,=

a

b

Y

X

Z

D

ix∆

Y

X

( )xy1

ϕ=

( )xy2

ϕ=

D

ix∆

( )yxfz ,=

a

b

Vi Y

Z

( )ix

2ϕ( )

ix

1ϕ

( )yxfzi,=

ix∆

Ax i Ax i

Figura 3: Subdivisão do sólido em fatias.

Um valor aproximado do volume Vi da “fatia” do sólido entre os planosx = xi e x = xi +∆xi pode ser obtido pelo produto entre a área da secçãoA(xi) que o plano x = xi determina no sólido e a distância ∆xi entre osplanos x = xi e x = xi +∆xi, isto é,

Vi ≈ A(xi)∆xi.

Se o sólido for dividido em n regiões daquele tipo, um valor aproximado doseu volume é dado por

n∑i=1

A(xi)∆xi.

Intuitivamente, é fácil aceitar que, no caso de existir e ser finito o limite den∑

i=1

A(xi)∆xi quando n → ∞ e todas as distâncias ∆xi tendem para 0 (para

o que basta ter-se max∆xi → 0), esse limite será o volume V do sólido, istoé,

V = limn→∞

max∆xi→0

n∑i=1

A(xi)∆xi.

Repare-se agora que os planos x = xi, i = 1, . . . , n, considerados determinamuma partição do intervalo [a, b] do eixoOX. Considere-se igualmente a funçãoA(x) que, a cada x ∈ [a, b] , associa a área da secção determinada no sólidopelo plano paralelo a Y OZ que passa no ponto de abcissa x. Relembrando a

definição de soma de Riemann, torna-se claro quen∑

i=1

A(xi)∆xi é uma soma

4 1/Agosto/2005

de Riemann da função A(x) no intervalo [a, b], relativamente à partição con-

siderada. Então, no caso de existir e ser finito o limn→∞

max∆xi→0

n∑i=1

A(xi)∆xi, tem-se

V = limn→∞

max∆xi→0

n∑i=1

A(xi)∆xi =

b∫a

A(x)dx.

A questão que falta resolver é como calcular A(x). Repare-se que a região D(recorde—se a Figura 3) pode ser caracterizada pelas condições

a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x),

donde, para cada secção, a área correspondente vem dada por

A(xi) =

ϕ2(xi)∫ϕ1(xi)

f(xi, y)dy.

Conclui-se então que o volume do sólido é obtido pelo cálculo sucessivo dosseguintes integrais simples, isto é,

V =

b∫a

ϕ2(x)∫ϕ1(x)

f(x, y)dy

dx,

sendo também costume escrever estes integrais na forma

V =

b∫a

dx

ϕ2(x)∫ϕ1(x)

f(x, y)dy.

Vai agora apresentar-se um outro processo para calcular o volume V dumsólido análogo ao anterior e que irá conduzir à definição de integral duplo.Para isso decomponha-se a região D do plano XOY numa malha rectangularconstituída por n rectângulos Di (i = 1, · · · , n) tais que a sua reunião sejaigual a D e a intersecção dos conjuntos dos pontos interiores de Di dois adois, seja vazia. Observe-se a figura 4.

5 1/Agosto/2005

Y

X

Z( )

iiiyxfz ,=

iy

ix

D

Y

X

Z( )

iiiyxfz ,=

iy

ix

D

Figura 4: Malha rectângular.

Se se tomar cada uma desses rectângulos Di como base de um paralelipí-pedo limitado superiormente pela superfície definida pela função z = f(x, y),com (x, y) ∈ Di, um valor aproximado do volume Vi dessa região espacial serádado por f(xi, yi)Ai, onde (xi, yi) é um ponto arbitrário de Di e Ai = ∆xi∆yirepresenta a área de Di.

Y

X

Z ( )iiiyxfz ,=

iy

ix

D

Y

X

Z ( )iiiyxfz ,=

iy

ix

D

Figura 5: Volume elementar Vi.

Um valor aproximado do volume V do sólido será então

n∑i=1

f(xi, yi)Ai =n∑

i=1

f(xi, yi)∆xi∆yi.

6 1/Agosto/2005

Y

X

Z V ≈ ∑i=1

nfx i,yiΔx iΔyi

D

Y

X

Z V ≈ ∑i=1

nfx i,yiΔx iΔyi

D

Figura 6: Volume aproximado do sólido.

Se, quando n → ∞ e maxAi → 0, o limite da soman∑

i=1

f(xi, yi)Ai existir

e for finito e não depender da decomposição de D nem da escolha dos pontosarbitrários (xi, yi), esse limite será evidentemente o volume V pretendido.Veja-se a figura 7

Y

X

Z

D

V = ∫ ∫Dfx,ydxdy = lim∑

i=1

nfx i,yiΔx iΔyi

Y

X

Z

D

V = ∫ ∫Dfx,ydxdy = lim∑

i=1

nfx i,yiΔx iΔyi

Figura 7: Volume do sólido.

Ora, independentemente de quaisquer considerações geométricas, é o li-mite anterior que se define como o integral duplo de Riemann da funçãof(x, y) na região D, usando-se o símbolo

∫∫Df(x, y)dxdy para o representar,

isto é, ∫∫D

f(x, y)dxdy = limn→∞

maxAi→0

n∑i=1

f(xi, yi)Ai.

7 1/Agosto/2005

Nas presentes circusntâncias, existindo o limite anterior, a função f diz-se integrável na região D. Convém no entanto referir que nem todas asfunções são integráveis numa dada região. Pode mostrar-se que uma funçãof : D ⊆ IR2 → IR é integrável (à Riemann) numa região D limitada efechada se:

1. f for limitada em D,

2. contínua no interior desta região D,

3. e se a fronteira da região D for constituída por uma “colagem topo atopo” de um número finito de curvas contínuas do tipo y = ϕ (x) e/oux = ψ (y).

Tendo em atenção o que acima foi referido relativamente ao integral duplo,apresentamos as seguintes fórmulas de cálculo do integral duplo em regiõesditas elementares. Suponha-se f uma função integrável à Riemann numadada região D. Então:

1. Se a região de integração D é do tipo I, isto é, é um conjunto do tipo(ver figura 8)

D ={(x, y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)

},

com ϕ1 e ϕ2 funções contínuas em a ≤ x ≤ b, então

∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

ϕ2(x)∫ϕ1(x)

f(x, y)dy. (1)

( )xy2

ϕ=

( )xy1

ϕ=

a b X

Y

D

( )xy2

ϕ=

( )xy1

ϕ=

a b X

Y

D

Figura 8: Região do tipo I.

8 1/Agosto/2005

2. Se a região de integração D é do tipo II, isto é, é um conjunto do tipo(ver figura 9)

D ={(x, y) ∈ IR2 : c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)

},

ψ1 e ψ2 funções contínuas em c ≤ y ≤ d, então

∫∫D

f(x, y)dxdy =

d∫c

dy

ψ2(y)∫ψ1(y)

f(x, y)dx. (2)

c

d

( )yx2

ψ=( )yx1

ψ=

X

Y

D

c

d

( )yx2

ψ=( )yx1

ψ=

X

Y

D

Figura 9: Região do tipo II.

Certas regiões elementares são simultâneamente do tipo I e do tipo II. Éo caso dos rectângulos cujos lados são paralelos aos eixos principais. Nestecaso caso, isto é, quandoD = [a, b]×[c, d] , tem-se a seguinte forma elementardo Teorema de Fubinni:

∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy =

d∫c

dy

b∫a

f(x, y)dx.

Observação 1 Tenha-se em atenção que, quer a fórmula (1) quer a fórmula(2), obrigam a uma integração sucessiva por uma ordem bem determinada.Em (1) a primeira integração é feita em ordem a y e só após o cálculo desteintegral se efectua a integração em ordem a x; em (2) passa-se precisamenteo contrário.

9 1/Agosto/2005

Exemplo 1 Calcular o integral duplo∫∫S

(x+ y) dxdy

onde S é a região do 1o quadrante limitada pelas linhas de equação y = x2 ey = x.

10.80.60.40.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 X

Y

S

Figura 10: Região de integração.

Esta região pode ser definida pelas condições (veja-se a Figura 10)

0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ x.

Sendo assim, ∫∫S

(x+ y) dxdy =

1∫0

dx

x∫x2

(x+ y) dy =

1∫0

{[xy +

y2

2

]xx2

}dx =

1∫0

(3

2x2 − x3 − x4

2

)dx =

3

20.

Repare-se que a região S tambem pode ser definida pelas condições

0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ √y,

e neste caso,

∫∫S

(x+ y) dxdy =

1∫0

dy

√y∫y

(x+ y) dx =

1∫0

{[x2

2+ yx

]√y

y

}dy =

1∫0

(y

2+ y

3

2 − 3

2y2)dy =

3

20.

10 1/Agosto/2005

Exercício 1 Calcular os seguintes integrais:

1.∫ 1

−1

∫ 2

y2(x+ 2y)dxdy. [R : 19/5] .

2.∫∫

Ddxdy

x+y+1sendo D o domínio definido por

{0 < x < 10 < y < x

.[R : 3

2ln 3− 2 ln 2

].

3.∫∫

Df(x, y)dxdy sendo f(x, y) = |y − x2| e D = [−1, 1]× [0, 2].

[R : 46/15] .

2.2 Propriedades do integral duplo

Serão enunciadas seguidamente algumas propriedades dos integrais duplosque, como se verá adiante, assumem particular importância no cálculo dessesintegrais.

Proposição 1 (Linearidade) Sejam f : D ⊆ IR2 → IR, g : D ⊆ IR2 → IRfunções integráveis em D e k ∈ IR; então

1. ∫∫D

[f(x, y) + g(x, y)] dxdy =

∫∫D

f(x, y)dxdy +

∫∫D

g(x, y)dxdy.

2. ∫∫D

kf(x, y)dxdy = k

∫∫D

f(x, y)dxdy.

Proposição 2 (Aditividade) Sejam f : D ⊆ R2 → R uma função integrá-

vel em D, e D1 e D2 dois subconjuntos de D, sem pontos interiores comunse tais que D = D1 ∪D2; então∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫∫D1

f(x, y)dxdy +

∫∫D2

f(x, y)dxdy

se f for integrável em D1e D2.

Proposição 3 Sejam f : D ⊆ IR2 → IR, g : D ⊆ IR2 → IR funções integrá-veis em D com f ≥ g ∀ (x, y) ∈ D. Então∫∫

D

f(x, y)dxdy ≥∫∫

D

g(x, y)dxdy.

11 1/Agosto/2005

Proposição 4 Seja f : D ⊆ IR2 → IR uma função contínua e não negativaem D; então ∫∫

D

f(x, y)dxdy ≥ 0.

Proposição 5 (Teorema de Fubinni) Suponha-se que uma dada região deintegração D é simultâneamente do tipo I e do tipo II. Se f : D ⊆ IR2 → IRé uma função integrável em D, então, utilizando as notações introduzidas narepresentação das respectivas fronteiras,

∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

ϕ2(x)∫ϕ1(x)

f(x, y)dy =

d∫c

dy

ψ2(y)∫ψ1(y)

f(x, y)dx.

Exemplo 2 O integral duplo de uma função f, na região D é dado por

3∫0

dy

∫ √25−y2

4

3y

f(x, y)dx.

Esboçar a região D e inverter a ordem de integração.Tendo em atenção os extremos de integração, conclui-se que as variáveis

x e y devem obedecer às condições

0 ≤ y ≤ 3 e4

3y ≤ x ≤

√25− y2,

as quais conduzem à seguinte representação geométrica da região D (veja-sea Figura 11):

X54321-1

5

4

3

2

1

0

-1

Y

x y= −252

x y= 4

3

D

Figura 11: Região D.

12 1/Agosto/2005

Para inverter a ordem de integração, a região D terá que ser definida porcondições do tipo

a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x).

No entanto, D é tal que, no intervalo de variação de x, [0, 5] , a função ϕ2(x),cujo gráfico limita superiormente a região D, não pode ser dada por umaúnica expressão analítica. Deve então decompor-se a região D em duas su-bregiões D1 e D2 e aplicar a proposição 2 para inverter a ordem de integraçãono integral dado (ver a Figura 12).

X54321-1

5

4

3

2

1

0

D1D2

Y

y x= −252

y x= 3

4

Figura 12: Subregiões associadas à região D.

Ter-se-á então

3∫0

dy

√25−y2∫4

3y

f(x, y)dx =

∫∫D1

f(x, y)dxdy +

∫∫D2

f(x, y)dxdy (3)

e, portanto, uma vez que D1 é definida pelas condições

0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 3

4x,

e D2 por4 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤

√25− x2,

conclui-se que o integral (3) é dado por

3∫0

dy

√25−y2∫4

3y

f(x, y)dx =

4∫0

dx

3

4x∫0

f(x, y)dy +

5∫4

dx

√25−x2∫0

f(x, y)dy.

13 1/Agosto/2005

Exercício 2 Sendo f(x, y) uma função contínua, inverta a ordem de inte-gração:

1.∫ 1

0dx∫ √

x

x3f(x, y)dy.

[R :∫ 1

0dy∫ y1/3

y2f(x, y)dx

].

2.∫ 1

−1dx∫ 1+x2

0f(x, y)dy.[

R :∫ 2

1dy∫ −

√y−1

−1f(x, y)dx+

∫ 2

1dy∫ 1√

y−1f(x, y)dx+

∫ 1

0dy∫ 1

−1f(x, y)dx

].

3.∫ a

0dx∫ b

b+x

0 f(x, y)dy, em que a > 0 e b > 0.[R :

∫ bb+a

0

dy

∫ a

0

f(x, y)dx+

∫ 1

bb+a

dy

∫ by−b

0

f(x, y)dx

].

Exercício 3 Seja f uma função integrável em [1, 3]. Prove que∫ 3

1

dx

∫ x

1

(x− y)nf(y)dy =

∫ 3

1

(3− y)n+1

n+ 1f(y)dy.

Exercício 4 Considere o integral∫ ln b

0dy∫ b

eyx+y2dx, com b > 1. Calcule-o e

inverta a ordem de integração.[R :

1

2b(1

2b− 1) ln b+

1

4b ln2 b+−1

8b2 +

1

2b− 3

8;

∫ b

1

dx

∫ lnx

0

f(x, y)dy

].

Exercício 5 Considere o integral∫∫

Ddxdy =

∫ 1

0dy∫ 2−

√y

√y

dx.

1. Interprete-o geometricamente e represente D.

2. Calcule∫∫

Ddxdy. [R : 2/3].

2.3 Aplicações dos integrais duplos

2.3.1 Aplicações ao cálculo de áreas de regiões do plano

Seja D uma região do plano definida pelas condições

a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x).

14 1/Agosto/2005

Y

Xa b

( )xy2

ϕ=

( )xy1

ϕ=D

Y

Xa b

( )xy2

ϕ=

( )xy1

ϕ=D


Se f(x, y) = 1, para todos os pares (x, y) ∈ D, o integral duplo de f emD,∫∫D

1dxdy,pode ser obtido pelo cálculo sucessivo de integrais simples:

∫∫D

1dxdy =

b∫a

dx

ϕ2(x)∫ϕ1(x)

1dy =

∫ b

a

[ϕ2(x)− ϕ1(x)] dx.

Como já é conhecido do cálculo integral em IR, este último integral representaa área de D, tendo-se então a seguinte igualdade:

Área de D =

∫∫D

dxdy.

Exemplo 3 Calcular a área da região S do plano, limitada pelas curvas deequação y = ex, y = lnx, x = 1 e x = e.

Representando geometricamente a região S (veja-se a Figura 14)

32.521.510.5

Y

16

14

12

10

8

6

4

2

0

S

y=ex

y=Log x

X


15 1/Agosto/2005

vê-se claramente que S pode ser definida pelas condições

1 ≤ x ≤ e e lnx ≤ y ≤ ex.

Tem-se então que

Área de S =

e∫1

dx

ex∫lnx

dy =

e∫1

(ex − lnx) dx = ee − e− 1.

Exercício 6 Utilizar o integral duplo para calcular a área dos domínios doplano limitados por:

1. x = y3, x+ y = 2 e y = 0. [R : 5/4] .

2. xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x, x ≥ 0 e y ≥ 0. [R : ln 2].

2.3.2 Aplicação ao cálculo do volume de um sólido

Já foi visto que o volume V de um sólido, limitado por uma superfície z =f(x, y), (onde f(x, y) é uma função contínua e não negativa em D), umaregião D do plano XOY e uma superfície cilíndrica de geratriz paralela aoeixo OZ e cuja directriz é a fronteira de D, é dado por (veja-se a figura 7):

V =

∫∫D

f(x, y)dxdy.

No caso de o sólido ser limitado superiormente pela superfície

z = ϕ2(x, y) ≥ 0

e inferiormente pela superfície

z = ϕ1(x, y) ≥ 0,

a projecção D, destas duas superfícies sobre o plano XOY é idêntica, comomostra a figura abaixo.

16 1/Agosto/2005

x

y

z

z=ϕ2(x,y)

D

z=ϕ1(x,y)

Figura 15: Sólido limitado pelas superfícies ϕ1 e ϕ2.

Então, o volume do sólido será obtido pela diferença entre os volumes dedois sólidos: um, limitado superiormente por z = ϕ2(x, y)

x

y

z

z=ϕ2(x,y)

D

Figura 16: Sólido limitado superiormente pela superfície ϕ2.

e inferiormente por D, o outro, limitado superiormente por z = ϕ1(x, y)

17 1/Agosto/2005

x

y

z

D

z=ϕ1(x,y)

Figura 17: Sólido limitado superiormente pela superfície ϕ1.

e inferiormente por D, e ambos limitados lateralmente pela mesma su-perfície cilíndrica de geratriz paralela ao eixo OZ, isto é,

V =

∫∫D

ϕ2(x, y)dxdy −∫∫D

ϕ1(x, y)dxdy =

∫∫D

[ϕ2(x, y)− ϕ1(x, y)] dxdy.

Exemplo 4 Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x = 0,y = 0, x+ y + z = 2 e z = 1.

Em termos geométricos teremos a seguinte representação do sólido:

2

2

2

x=1

1

1

X

Y

Z

Figura 18: Representação geométrica do sólido.

A projecção do sólido sobre o plano XOY define a região D limitadapelas rectas x = 0, y = 0 e x+ y = 1:

18 1/Agosto/2005

D

1

1

X

x+y=1

Y


O volume V será calculado por

V =

∫∫D

[(2− x− y)− 1] dxdy =

1∫0

dx

1−x∫0

(1− x− y) dy =1

6.

Exercício 7 Calcular os volumes dos sólidos definidos pelas seguintes con-dições:

1. |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 e x2 + y2 ≤ z ≤ 1.[R : π

2

].

2. |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ x2 + y2.[R : π

2− 4

3

].

3. x2 + y2 ≤ 16, |z| ≤ y e y ≥ 0. [R : 256/3] .

2.3.3 Média, centro de massa e momentos

Para alem das aplicações já referidas, muitos outros conceitos, como a médiade uma função, a massa, o centro de massa e momentos de inércia podem serdefinidos e calculados com base em integrais múltiplos.

Comecemos por apresentar uma versão do teorema da média para inte-grais duplos com interessantes aplicações e cuja interpretação será útil nacompreensão de alguns conceitos que se seguirão.

Proposição 6 (Teorema da média) Suponha-se que f : D ⊆ IR2 → IRé uma função contínua numa região elementar D. Então existe um ponto(x, y) ∈ D tal que∫∫

D

f(x, y)dxdy = f (x, y)

∫∫D

dxdy = f (x, y)AD.

19 1/Agosto/2005

Exemplo 5 A parede lateral de uma piscina com 5 metros de profundidadee 20 metros de largura está sujeita à pressão p (x, y) = ρg (5− y), em cadaponto da superfície. Calcule a pressão média a que a parede está sujeitasabendo que ρ e g são constantes positivas e x e y representam as coordenadashorizontal e vertical dos pontos na parede.

A pressão média é o valor de pressão cujo produto pela área da parededetermina uma força igual, à força total exercida pela pressão variável daágua nesta, isto é, ∫∫

D

p(x, y)dxdy = p (x, y)

∫∫D

dxdy ⇒

ρg

∫ 20

0

{∫ 5

0

(5− y) dy

}dx = p (x, y)

∫ 20

0

{∫ 5

0

dy

}dx ⇒

p (x, y) =ρg∫ 20

0

{∫ 5

0(5− y) dy

}dx

100

= ρg5

2.

Observe-se que a pressão média p (x, y) se verifica à cota vertical y = 52, isto

é, precisamente à profundidade média.

Exemplo 6 A velocidade do escoamento de um fluido através da secção deum canal de grande largura e pequena profundidade é dada pela expressão

v = ky2

em que k representa uma adequada constante positiva e y a coordenadavertical. Admitindo que o canal tem largura X e profundidade Y determinea velocidade média do escoamento.

A velocidade média v (x, y) do escoamento será a velocidade dum escoa-mento cujo produto pela área da secção de passagem determina um caudalvolúmico igual ao caudal volúmico que efectivamente se verifica através damesma passagem, isto é,∫∫

D

v(x, y)dxdy = v (x, y)

∫∫D

dxdy ⇒

k

∫ X

0

{∫ Y

0

y2dy

}dx = v (x, y)XY ⇒

v (x, y) =kY 3X

3XY= k

Y 2

3.

Observe-se que a velocidade média v (x, y) = k Y 2

3se verifica à cota vertical

y = Y√3.

20 1/Agosto/2005

Considermos agora uma versão generaliza do resultado anterior: o Teo-

rema da média ponderada.

Proposição 7 (Teorema da média ponderada) Suponha-se que f : D ⊆IR2 → IR e g : D ⊆ IR2 → IR são funções contínuas numa região elementarD e g é não negativa. Então existe um ponto (x, y) ∈ D tal que∫∫

D

f(x, y)g (x, y) dxdy = f (x, y)

∫∫D

g (x, y) dxdy.

O valor f (x, y) diz-se média ponderada de f pela função g em D.Dem. Como f é contínua e não negativa na região fechada e limitada D

tem um mínimo m e um máximo M em D tais que

mg (x, y) ≤ f (x, y) g (x, y) ≤ Mg (x, y) , ∀ (x, y) ∈ D.

Então, da propriedade 3 dos integrais duplos, notando que∫∫

Dg (x, y) ≥ 0

(propriedade 3 dos integrais duplos) deduz-se

m

∫∫D

g (x, y) dxdy ≤∫∫

D

f (x, y) g (x, y) dxdy ≤ M

∫∫D

g (x, y) dxdy.

Se∫∫

Dg (x, y) dxdy = 0 o teorema verifica-se trivialmente para todos os pon-

tos (x, y) ∈ D. Se∫∫

Dg (x, y) dxdy > 0 então

m ≤∫∫

Df (x, y) g (x, y) dxdy∫∫

Dg (x, y) dxdy

≤ M.

Como f é contínua em D existe necessariamente um ponto (x, y) ∈ D talque

f (x, y) =

∫∫Df(x, y)g (x, y) dxdy∫∫Dg (x, y) dxdy

.

Observe-se que o Teorema da média corresponde ao Teorema da médiaponderada fazendo g (x, y) = 1,∀ (x, y) ∈ D. Isto é, este último resultadogeneraliza o primeiro.

O Teorema da média ponderada traduz o procedimento, nosso conhe-cido, para calcular a classificação média de um aluno que realizou diferentesdisciplinas com diferentes classificações e diferentes factores de ponderação.

Estamos agora nas condições de apresentar o conceito de centro de massade uma lâmina T . Seja T uma lâmina com a forma de uma regiãoD do plano.Se g(x, y) for a função que associa a cada ponto de D a respectiva massa por

21 1/Agosto/2005

unidade de área (massa específica), naturalmente (porquê?) a massa totalde T pode ser calculada por

M =

∫∫D

g(x, y)dxdy.

As coordenadas (x, y)do centro de massa da lâmina T definem-se da se-guinte forma

x =

∫∫D

xg(x, y)dxdy∫∫D

g(x, y)dxdy=

1

M

∫∫D

xg(x, y)dxdy,

y =

∫∫D

yg(x, y)dxdy∫∫D

g(x, y)dxdy=

1

M

∫∫D

yg(x, y)dxdy.

Ora, tendo presente o Teorema da média ponderada constatamos imediata-mente que as coordenadas do centro de massa, não são mais do que médiasponderadas das coordenadas horizontal e vertical das partículas que consti-tuem a lâmina, devidamente ponderadas pela função g que representa massapor unidade de área.

Não é difícil constatar que quando o objecto T é homogéneo, isto é, temuma massa específica constante, as coordenadas do centro de massa (x, y)coincidem com as coordenadas, do chamado, centro geométrico de T , istoé, passam a ser

x =

∫∫D

xdxdy∫∫D

dxdy=

∫∫D

xdxdy

AD,

y =

∫∫D

ydxdy∫∫D

dxdy=

∫∫D

ydxdy

AD.

Um outro conceito muito importante na física é o de momento de inér-

cia em relação a uma recta L que se define

IL =

∫∫D

d2(x, y)g(x, y)dxdy,

22 1/Agosto/2005

onde d(x, y) é a distância do ponto (x, y) à recta. Em particular, os momentosde inércia em relação aos eixos coordenados são

IX =

∫∫D

y2g(x, y)dxdy

eIY =

∫∫D

x2f(x, y)dxdy.

A menos do factor 1M

= 1∫∫D

g(x,y)dxdy

estes conceitos representam igualmente

umamédia ponderada pela massa específica da função quadrado da distância.

Exercício 8 Uma lâmina delgada tem a forma da região do plano limitadapelo arco de parábola y = 2x− x2 e pelo intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Determinar asua massa sabendo que a massa por unidade de área em cada ponto (x, y) édada por 1−y

1+x.[R : 26

3− 15

2ln 3].

2.4 Mudança de variáveis em integrais duplos

Na teoria do integral simples foi apresentado o chamado método de integraçãopor substituição, que permite calcular integrais mais ou menos complicados,transformando-os em outros mais simples. Esse método baseia-se no seguinte

Teorema 8 Sejam I e J dois intervalos de IR, f uma função integrável emI e ϕ uma função de classe C1 em J, crescente, tal que ϕ(J) ⊂ I. Então,sendo α e β tais que a = ϕ(α) e b = ϕ(β), tem-se

b∫a

f(x)dx =

β∫α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt. (4)

No caso do integral duplo existe um resultado semelhante a este, que irátransformar um integral da forma

∫∫D

f(x, y)dxdy, onde D é uma região do

plano XOY, num outro integral duplo∫∫T

F (u, v)dudv, onde T é uma nova

região no plano UOV.Há que notar que, neste caso, terão que existir duas funções ϕ1 e ϕ2,

que relacionem (x, y) com (u, v), isto é, terá que existir uma função vectorialϕ = (ϕ1, ϕ2) de IR2 em IR2 definida por

ϕ (u, v) =

{x = ϕ1(u, v)y = ϕ2(u, v)

. (5)

23 1/Agosto/2005

Estas duas equações definem portanto uma função que transforma um ponto(u, v) do plano UOV, num ponto (x, y) do plano XOY. Em certas condiçõesé possível resolver o sistema (5) em ordem a u e v, o que permite escrevê-losob a forma

ϕ−1 (x, y) =

{u = U(x, y)v = V (x, y)

.

Neste caso estas últimas equações definem uma transformação do planoXOYno plano UOV, chamada a transformação inversa de (5). Trata-se portantode uma transformação injectiva, isto é, a pontos distintos de T correspondempontos distintos de D (ver figura 20).

x

y

u

v

( )yx,( )vu,

DT

ϕ

x

y

u

v

( )yx,( )vu,

DT

ϕ

x

y

u

v

( )yx,( )vu,

DT

ϕ

Figura 20: Aplicação (ϕ1, ϕ2).

Suponha-se que as funções ϕ1 e ϕ2 são contínuas e de classe C1 em T eque a aplicação (ϕ1, ϕ2) de T em D é bijectiva. Então, se o jacobiano (istoé, o determinante da matriz jacobiana)

Jϕ =

∣∣∣∣ ∂ϕ1

∂u∂ϕ1

∂v∂ϕ2

∂u∂ϕ2

∂v

∣∣∣∣desta transformação nunca se anula no interior da região T , pode provar-seque é válida a seguinte igualdade, designada por fórmula de mudança de

variáveis em integrais duplos:∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫T

f [ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)] |Jϕ| dudv, (6)

em que |Jϕ| designa o valor absoluto do jacobiano J. (Repare-se que |Jϕ|desempenha funções análogas a ϕ′(t) na fórmula (4.)

Exemplo 7 Calcular o integral duplo∫∫D

(y − x) dxdy

24 1/Agosto/2005

onde D é a região do plano XOY limitada pelas rectas y = x+1, y = x− 3,y = −1

3x+ 7

3e y = −1

3x+ 5.

Representando geometricamente a região D

Y

X

D

Y

X

D

Figura 21: Representação da região D.

vê-se claramente que o cálculo do integral se torna bastante trabalhoso. Masuma mudança de variáveis conveniente poderá transformar esta região deintegração num rectângulo de lados paralelos aos eixos. Com efeito, fazendo{

u = y − xv = y + 1

3x

(7)

as rectas y = x+ 1 e y = x− 3 transformam-se, respectivamente, nas rectasu = 1 e u = −3 e as rectas y = −1

3x+ 7

3e y = −1

3x + 5, nas rectas v = 7

3e

v = 5. Então, o transformado D′ da região D, será geometricamente:

U10-1-2-3

V

5

4

3

2

1

D′1=u

3−=u

5=v

3

7=v

Figura 22: Região de integração após a mudança de variável.

Resolvendo (7) em ordem a x e y obtém-se{x = −3

4u+ 3

4v

y = 14u+ 3

4v

.

25 1/Agosto/2005

Como o jacobiano da transformação é dado por

J =

∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ −3

434

14

34

∣∣∣∣ = −3

4

o integral pedido pode ser calculado como segue:∫∫D

(y − x) dxdy =

∫∫D′

[(1

4u+

3

4v

)−(−3

4u+

3

4v

)] ∣∣∣∣−3

4

∣∣∣∣ dudv

=

∫∫D′

3

4ududv =

5∫7

3

dv

1∫−3

3

4udu = −8.

2.4.1 Um caso especial: coordenadas polares

Sejam (x, y) as coordenadas cartesianas de um ponto P qualquer do planoXOY. Estas coordenadas podem ser obtidas em função da distância ρ doponto P à origem do referencial e do ângulo θ que o vector de posição doponto faz com a parte positiva do eixo OX. Atendendo à figura 23,

Ox

y P

Y

X

ρθ

Figura 23: Coordenadas polares.

conclui-se então quesen θ =

y

ρe

cos θ =x

ρ

donde, {x = ρ cos θy = ρ sen θ

. (8)

26 1/Agosto/2005

As coordenadas (ρ, θ) dizem-se as coordenadas polares do ponto P de co-ordenadas cartesianas (x, y) e fornecem uma forma alternativa de representara posição desse ponto.

Uma vez que ρ representa a distância dum ponto de coordenadas (x, y)à origem, ρ será sempre um número não negativo. Se ρ > 0 e o ângulo θpertencer ao intervalo [0, 2π[, a cada ponto de coordenadas cartesianas (x, y)corresponderá um único par (ρ, θ) bem determinado e vice-versa, isto é, atransformação (8) é bijectiva. Visto que o jacobiano de (8) é

J =

∣∣∣∣∣∂x∂ρ

∂x∂θ

∂y∂ρ

∂y∂θ

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ cos θ −ρ sen θsen θ ρ cos θ

∣∣∣∣ = ρ,

a fórmula (6) escreve-se, neste caso, do seguinte modo:∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫T

f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρdθ.

Exemplo 8 Definir em coordenadas polares a região do plano XOY

D ={(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≤ 1

}.

X

Y

1

11

22 =+ yx

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

1

11

22 =+ yx


Em termos geométricos a região D representa um círculo centrado na origeme de raio 1 (ver figura acima). Para definir a mesma região em coordenadaspolares observe-se que, em D, a coordenada polar θ toma todos os valoresdo intervalo [0, 2π[. Por outro lado, para um valor fixo de θ neste intervalo, acoordenada ρ (distância à origem) varia entre 0 e a distância do correspon-dente ponto da circunferência x2+y2 = 1 à origem. Para obter esta distânciabasta escrever a equação x2+ y2 = 1 em coordenadas polares o que se faz doseguinte modo:

x2 + y2 = 1 ⇔ ρ2 cos2 θ + ρ2sen2θ = 1 ⇔ ρ2 = 1

27 1/Agosto/2005

Da última igualdade conclui-se então que a referida distância é igual a 1pois ρ é não negativo. Assim, para um valor fixo de θ ∈ [0, 2π[, tem-se0 < ρ ≤ 1 (note-se que se considera ρ > 0 de forma a garantir a bijectividadeda transformação (8)). Consequentemente, na passagem para coordenadaspolares a região D é transformada no rectângulo T definido por

T = {(θ, ρ) : 0 ≤ θ < 2π, 0 < ρ ≤ 1} ,cuja representação geométrica no sistema de eixos ρOθ é apresentada nafigura seguinte:

θ

ρ1

π2

T

1=ρ

θ

ρ1

π2

T

θ

ρ1

π2

T

1=ρ

Figura 25: Região T .

Exemplo 9 Calcular o volume V de uma esfera de raio a.O volume V pode ser obtido por

V = 2

∫∫S

√a2 − x2 − y2dxdy,

onde S é o círculo x2 + y2 ≤ a2.

X

Y

a

a222

ayx =+

X

Y

a

a222

ayx =+


28 1/Agosto/2005

Fazendo a mudança de variáveis para coordenadas polares aquele integralrepresenta-se por

V = 2

∫∫T

√a2 − ρ2ρdxdy,

onde T é a região transformada de S. Neste caso, T é definida pelas condições{0 ≤ θ < 2π0 < ρ ≤ a

.

O volume é então dado por

V = 2

2π∫0

dθ

a∫0

√a2 − ρ2ρdρ =

4

3πa3.

Tenha-se em atenção a simplificação que a passagem a coordenadas polaresprovocou no integral inicial: por um lado, a integração passou a ser feitanum rectângulo onde os extremos de integração são constantes para qualquerdas variáveis e, por outro, a função integranda passou a ter uma primitivaimediata!

Exercício 9 Calcular os seguintes integrais, fazendo uma mudança de va-riáveis conveniente:

1.∫∫D

(x + y)3(x − y)dxdy, sendo D o quadrado limitado por x + y = 1,

x− y = 1, x+ y = 3 e x− y = 0. [R : 5].

2.∫∫D

dxdy√x2+y2

, sendo D = {(x, y) : y ≤ x ∧ y ≥ x2}. [R :√2− 1

].

Exercício 10 Considere o conjunto

A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2x ≤ 0 ∧ x2 + y2 − 2y ≥ 0

}.

Efectue em∫∫A

f(x, y)dxdy uma mudança de variável para coordenadas po-

lares.

Exercício 11 Calcule as áreas dos domínios definidos por:

1. x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ −x. [R : 3π/8] .

2. (x− 1)2 + y2 ≤ 1 e y ≥ x. [R : π/4− 1/2] .

29 1/Agosto/2005

3. x2 + y2 − 2x < 0, x2 + y2 − 2y > 0 e y > − x√3.[R : 1 +

√3/4 + π/6

].

Exercício 12 Calcule em coordenadas polares∫∫D

yx2+y2

dxdy, onde

D ={(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ x

√3 ∧ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4

}.

[R : 1

2

].

Exercício 13 Considere a transformação de IR2 → IR2 definida por{x = u−

√u2−4v2

y = u+√u2−4v2

1. Mostre que ela estabelece uma bijecção entre a região∆ do planoXOYdefinida por

2 ≤ x+ y ≤ 4x ≤ yxy − 1 ≥ 0

e a região D do plano UOV definida por{2 ≤ u ≤ 4

1 ≤ v ≤ u2

4

.

2. Usando aquela transformação, calcule∫∫∆

(x2 − y2) cos(xy)dxdy.

30 1/Agosto/2005

3 Integrais Triplos

3.1 Definição

A construção do integral triplo será feita de uma forma idêntica à que foiapresentada para o integral duplo.

Seja f uma função real definida e limitada num subconjunto M ⊂ IR3.Como já é conhecido, para este tipo de funções apenas é possível representargeometricamente o seu domínio.

M

Figura 27: Domínio M de integração.

Decomponha-se a região M em n subregiões paralelipipédicas Mi (i =1, . . . , n) tais que a sua reunião seja igual a M e a intersecção dos conjuntosdos pontos interiores de Mi dois a dois, seja vazia. Seja (xi, yi, zi) um pontoarbitrário de Mi e Vi o volume de Mi.

M

•

xi

zi

yi

Mi

Figura 28: Subregiões Mi de integração.

Se, quando n → ∞ e maxVi → 0, o limite da soman∑

i=1

f(xi, yi, zi)Vi

existir e for finito e não depender da decomposição de M nem da escolha

31 1/Agosto/2005

dos pontos arbitrários (xi, yi, zi), chama-se a este limite o integral triplo dafunção f(x, y, z) na região M e usa-se o símbolo

∫∫∫M

f(x, y, z)dxdydz para o

representar, isto é,

∫∫∫M

f(x, y, z)dxdydz = limn→∞

maxVi→0

n∑i=1

f(xi, yi, zi)Vi.

No caso da função f ser constante e igual a 1 é intuitivo que o integraltriplo

∫∫∫M

1dxdydz representará o volume da região M, pois é obtido pelo

limite da soma dos volumes das regiões em que M foi decomposta.O integral triplo pode tambem ser calculado por meio de sucessivos inte-

grais tal como sucedia com os integrais duplos.Supondo que M é um subconjunto de IR3 caracterizado pelas condições

g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)f1(x) ≤ y ≤ f2(x)a ≤ x ≤ b

demonstra-se que,

∫∫∫M

f(x, y, z)dxdydz =

b∫a

dx

f2(x)∫f1(x)

dy

g2(x,y)∫g1(x,y)

f(x, y, z)dz.

Exemplo 10 Determine o volume do sólido no 1o octante limitado peloplano de equação y+ z = 4, pelo cilindro y = x2 e pelos planos coordenados.

Como a figura seguinte ilustra, o sólido é limitado superiormente peloplano de equação y + z = 4, inferiormente por uma região do plano XOY elateralmente por uma superfície cilíndrica.

32 1/Agosto/2005

y+z=4

y=x2

x

y

z

Figura 29: Representação esquemática do sólido.

Para determinar as condições que caracterizam a região de integraçãoprojecte-se o sólido sobre o plano XOY :

X21

4

3

2

1

0

y = x2

Y


Vê-se entâo que todos os pontos (x, y, z) do sólido têm coordenadas x ey que satisfazem as condições 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4. Fixado agora umponto pertencente a essa projecção, por exemplo (x, y, 0), para determinaras condições em z que caracterizam os pontos que pertencem a M e que têmas duas primeiras coordenadas iguais a esses valores, basta intersectar umarecta paralela ao eixo OZ que passe em (x, y, 0), e ver qual o menor e o maiorvalor de z dos pontos que pertencem ao segmento de recta da intersecção.

33 1/Agosto/2005

z=4-y

x

y

z

z=0

Figura 31: Integração em z.

Neste caso ter-se-á 0 ≤ z ≤ 4 − y e, portanto, o volume do sólido seráentão dado por

V =

∫∫∫M

f(x, y, z)dxdydz =

2∫0

dx

4∫x2

dy

4−y∫0

dz =

=

2∫0

dx

4∫x2

(4− y) dy = 128.

Exercício 14 Calcule os seguintes integrais triplos:

1.∫ 2

0dz∫ z2

0dx∫ z

x(x+ z)dy. [R : −27/21 + 25/5].

2.∫ 2

0dy∫ 1√ydy∫ y

z2xy2z3dx.

[R : −107

210

].

Exercício 15 Determine o volume dos sólidos limitados pelas seguintes su-perfícies

1. z = 2, z = y2, x = 0 e x = 4.[R : 32

√2/3].

2. y2 + z2 = 4x e x = 2. [R : 8π] .

3. z = 2x2 + y2 e z = 4− y2. [R : 4π] .

34 1/Agosto/2005

3.2 Mudança de variáveis em integrais triplos

A fórmula dada em (6) é facilmente adaptável para o caso dos integraistriplos. Com efeito, para realizar uma mudança de variáveis no integraltriplo

∫∫∫Mf(x, y, z)dxdydz, é necessário que existam três funções ϕ1, ϕ2 e

ϕ3 que relacionem (x, y, z) com as novas variáveis (u, v, w), isto é, terá queexistir uma função vectorial (ϕ1, ϕ2, ϕ3) de IR3 em IR3 definida por:

ϕ (u, v, w) =

x = ϕ1(u, v, w)y = ϕ2(u, v, w)z = ϕ3(u, v, w)

. (9)

Nas condições referidas na secção (2.4) (isto é, se (ϕ1, ϕ2, ϕ3) for de classeC1 em T, bijectiva e o seu jacobiano não se anular em T ) é então válida afórmula,

∫∫∫M

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫T

f [ϕ1(u, v, w), ϕ2(u, v, w), ϕ3(u, v, w)] |Jϕ| dudvdw

em que T é o transformado de M pela transformação inversa de (9) e |Jϕ| éo valor absoluto do seu jacobiano.

Nas subsecções seguintes apresentam-se com algum detalhe duas mu-danças de variáveis de grande importância prática.

3.2.1 Coordenadas cilíndricas

Considere-se a aplicação definida de IR3 em IR3 por

ϕ (ρ, θ, z) =

x = ρ cos θy = ρ sen θz = z

.

Esta transformação corresponde simplesmente a substituir x e y pelas suascoordenadas polares no plano XOY e a manter z. Na Figura ?? ilustra-sea relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto e as corres-pondentes coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z).

35 1/Agosto/2005

Y

X

θθρ cos=x

Z

θρ sin=y

z

ρ

( )zyx ,,

Y

X

θθρ cos=x

Z

θρ sin=y

z

ρ

( )zyx ,,

Figura 32: Transformação para coordenadas cilíndricas.

A figura seguinte mostra o que sucede a um paralelipípedo recto no sis-tema de eixos ρθz.

x

z

yθ

z

ρ

ρ constante

θ constante

Z constante

Figura 33: Coordenadas cilíndricas.

Naturalmente, por analogia com o que se passa com as coordenadas po-lares, em que uma circunferência centrada na origem se transforma numrectângulo, um cilindro de revolução de eixo Z e altura finita vai agoratransformar-se num paralelipípedo recto!

O jacobiano desta transformação é

Jϕ =

∣∣∣∣∣∣cos θ −ρ sen θ 0sen θ ρ cos θ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = ρ(cos2 θ + sen2θ

)= ρ.

e para garantir a bijectividade terá que ser ρ > 0 e 0 ≤ θ < 2π.

36 1/Agosto/2005

3.2.2 Coordenadas esféricas

As coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) localizam um ponto P de coordenadas car-tesianas (x, y, z) a partir da distância ρ à origem, do ângulo θ da projecçãodo segmento OP sobre o plano XOY (o ângulo polar) e do ângulo ϕ que OPfaz com o semi-eixo positivo OZ (o ângulo vertical). A transformação emcoordenadas esféricas é definida pelas equações

ϕ (ρ, θ, ϕ) =

x = ρ cos θ senϕy = ρ sen θ senϕz = ρ cosϕ

.

Y

X

θϕθρ sincos

Z

ϕθρ sinsin

ϕρ cos

ρϕ

ϕρ sin

Y

X

θϕθρ sincos

Z

ϕθρ sinsin

ϕρ cos

ρϕ

ϕρ sin

Figura 34: Transformação para coordenadas esféricas.

O jacobiano desta aplicação é

Jϕ =

∣∣∣∣∣∣cos θ senϕ −ρ sen θ senϕ ρ cos θ cosϕsen θ senϕ ρ cos θ senϕ ρ sen θ cosϕcosϕ 0 −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣ = −ρ2 senϕ,

devendo ter-se ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π e 0 < ϕ < π, para que a transformação sejabijectiva.

Exemplo 11 Aplicando a mudança de variáveis anterior à região limitada

37 1/Agosto/2005

pela esfera de equação x2 + y2 + z2 ≤ 4 obtém-se

ρ2 cos2 θ2

senϕ+ ρ22

sen θ2senϕ+ ρ2 cos2 ϕ ≤ 4 ⇔

ρ22

senϕ(cos2 θ +

2sen θ

)+ ρ2 cos2 ϕ ≤ 4 ⇔

ρ2(

2senϕ+ cos2 ϕ

)≤ 4 ⇔

ρ2 ≤ 4 ⇒0 < ρ ≤ 2.

Como no caso de uma esfera se tem 0 ≤ θ < 2π e 0 < ϕ < π, a transformaçãoem coordenadas esféricas transforma a região limitada por x2 + y2 + z2 = 4no paralelipípedo ]0, 2]× [0, 2π[× ]0, π[ que se encontra representado na figuraseguinte no sistema de eixos ρθϕ:

θ

ρ

ϕ

π

π2

2

θ

ρ

ϕ

π

π2

2

Figura 35: Representação de uma esfera centrada de raio 2.

Exemplo 12 Determinar a massa da coroa esférica situada entre as esferasde centro na origem de raios 1 e 2, sabendo que a massa específica em cadaponto é directamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto àorigem.

Repare-se que se irão generalizar aqui as definições apresentadas em (2.3.3).Com efeito, representando por µ a massa específica, tem-se

µ(x, y, z) = k(x2 + y2 + z2)

donde a massa M é dada por

M =

∫∫∫C

µ(x, y, z)dxdydz,

38 1/Agosto/2005

onde C é a coroa esférica. Como a região de integração é do tipo esférico apassagem a coordenadas esféricas irá simplificar substancialmente o cálculodo integral; de facto, como

x2 + y2 + z2 = 1 ⇒ ρ = 1

ex2 + y2 + z2 = 4 ⇒ ρ = 2;

tem-se

M =

2π∫0

dθ

π∫0

dϕ

2∫1

kρ4 senϕdρ =124

5kπ.

Exercício 16 Calcule o integral triplo∫∫∫V

zx2+y2dxdydz em que V é o sólido

limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelos planos z = 0 e z = 1. [R : π ln 5] .

Exercício 17 Através de um integral triplo, calcule o volume do sólido limi-tado superiormente pela superfície esférica x2 + y2 + z2 = 4 e inferiormentepela superfície cónica z2 = x2 + y2, sendo z > 0.

[R : 8

3

(2−√

2)π].

Exercício 18 O volume de certo sólido está expresso pelo integral

2∫0

dx

√2x−x2∫0

dy

+√

4−x2−y2∫−√

4−x2−y2

dz

1. Descreva o sólido mediante as equações das superfícies que o limitam.

2. Calcule o volume do referido sólido. [R : (24π − 32)/9].

39 1/Agosto/2005

Referências

[1] AGUDO,F.R.D., Lições de Análise Infinitesimal, vols. I e II, Escolar Edi-tora, Lisboa, 1977 e 1973.

[2] APOSTOL, T., Calculus I, II, Jonh Wiley & Sons, Inc., New York, 1967e 1969.

[3] MAGALHÃES, L. T., Integrais múltiplos, Texto Editora, Lisboa, 1993.

[4] MARSDEN, J. E. e TROMBA, A. J., Vector Calculus, Freman, 4a edição,1996.

[5] WEINHOLTZ, A. B., Integral de Riemann e de Lebesgue em IRn, Uni-versidade de Lisboa, Faculdade de Ciências,1996.

[6] STEWART, J., Calculus, Brooks/Cole, 4a edição, 1999.

[7] SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com geometria analítica, vol. II, McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1983.

40 1/Agosto/2005

Exercícios propostos

Revisões de cálculo integral em IR

1. Calcular as seguintes primitivas1:

(a) P sinx;

(b) P sec2 x;

(c) P 1x.

2. Calcular as seguintes primitivas2:

(a) P (cosx+ sec2 x) ;

(b) P[(lnx)′

];

(c)[P(ln2 x

)]′.

3. Calcule as seguintes primitivas aplicando as técnicas de primitivaçãomais adequadas:

(a) P (cos2 x) ;

(b) P (lnx) ;

(c) P (x lnx) ;

(d) P√1− x2;

(e) P√4− x2;

(f) P (2x cosx2) ;

(g) P 1x2−1

;

(h) P x2−1x2+1

;

(i) P tanx;

(j) P secx.

4. Interprete geometricamente e calcule os seguintes integrais3:

(a)∫ 5

0xdx;

(b)∫ 1

0

√1− x2dx.

1F é primitiva de f sse F ′ = f .2 i) P (af + bg) = aPf + bPg; ii) (Pf)′ = f ; iii) P (f ′) = f +K.3∫b

af (x) = F (b)− F (a) com F uma primitiva de f .

41 1/Agosto/2005

5. Utilizando uma mudança de variável apropriada calcule os seguintesintegrais definidos:

(a)∫ 1

0

√1− x2dx;

(b)∫ 4

01

1+√xdx, sugestão: x = t2;

(c)∫ ln 2

0

√ex − 1dx, sugestão: ex − 1 = z2.

Propõe-se os seguintes exercícios como trabalho para casa:

1.∫(2− x2)

√xdx;

2.∫

x2+3x+2x

dx;

3.∫

2x1+(x+1)2

dx;

4.∫xexdx;

5.∫(x2 + 1) cosxdx;

6.∫ex cosxdx;

7.∫

x+1√xdx;

8.∫

2x+1x2+1

dx;

9.∫

xx2−5x+6

dx;

10.∫

x3

x2+1dx;

11.∫

x3+1x(x−1)3

dx;

12.∫

1x3−1

dx;

13.∫cos (3x) cos (5x) dx;

14.∫sin (2x) sin (6x) dx;

15.∫sin (3x) cos (7x) dx;

16.∫sin5 xdx;

42 1/Agosto/2005

Integrais duplos

1. Calcule o valor dos integrais duplos:

(a)∫ 1

−1dy∫ 1

0yexydx.

(b)∫ 1

−1dx∫ 1

−1f (x, y) dy

com f (x, y) =

{xy,1− x− y,

x ≥ 0 ∧ y ≥ 0outros (x, y)

.

(c)∫ π/4

0dy∫ y

0sin yydx.

(d)∫ ∫

Df (x, y) dxdy em que f (x, y) = |y − x2| eD = [−1, 1]×[0, 2].

2. Considere o integral duplo:

I =

∫ ∫D

xydxdy

em que D é o domínio limitado por

y = 0, x+ y = 2 e y = x2.

(a) Represente D graficamente e calcule o valor de I.

(b) Inverta a ordem de integração que escolheu para resolver a alíneaanterior.

3. Inverta a ordem de integração dos seguintes integrais duplos:

(a)∫ 0

−2dy∫√4−y2√

1−(y+1)2f (x, y) dx.

(b)∫ 1

−1dy∫ y2+1

2y2f (x, y) dx.

4. Indique, justificando, o valor lógico das igualdades:

(a)∫ 1

0dx∫ 2x

0e−x2dy =

∫ 2

0dy∫ 1

y2

e−x2dx.

(b)∫ 1

0dx∫ √

1−x2

0dy = π.

(c) Seja f uma função integrável em [1, 3], então

∫ 3

1

dx

∫ x

1

(x− y)n f (y) dy =

∫ 3

1

(3− y)n+1

n+ 1f (y) dy.

44 1/Agosto/2005

5. Considere o integral duplo∫ 2

0

dx

∫ 2

x

x2e−y

y2dy.

(a) Represente geometricamente a região de integração.

(b) Inverta a ordem de integração e calcule o valor do integral.

6. Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies

y =√x e y = 2

√x

e também pelos planos

x+ z = 6 e z = 0.

7. Considere o sólido limitado por:

x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x+ 2y ≤ 2 ∧ z ≤ 4− x2 − y2.

(a) Represente-o geometricamente.

(b) Determine o seu volume.

8. Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóide hiperbólico z =x2 − y2 e pelos planos x = 1, y = 0 e z = 0.

9. Considere o integral:

∫ 2

−2

dx

∫ 8−x2

x2

f (x, y) dy.

(a) Represente, geometricamente, a região de integração.

(b) Calcule o integral fazendo f (x, y) = xey.

10. Represente graficamente a região D ⊂ IR2 definida pelas condiçõesx ≥ y3 ∧ x2 ≤ y3 e em seguida calcule o integral:∫ ∫

D

x

ysin

(x2

y3

)dxdy.

45 1/Agosto/2005


I =

∫ 0

−1

2

dy

∫ −√−2y

−2y−2

dx.

Represente o domínio de integração, calcule o valor de I e interprete-ogeometricamente.


I =

∫ a2

0

dx

∫ √a2−x2

0

f (x, y) dy, (a > 0).


(b) Supondo f (x, y) = x + y, calcule o valor do integral duplo einterprete-o.


I =

∫ −2

−6

dx

∫ 2−x

x2−4

4

f (x, y) dy.


(b) Supondo f (x, y) = x, calcule o valor de I.

14. Considere o integral duplo:∫ π4

0

dx

∫ cosx

sinx

f (x, y) dy.

(a) Esboce graficamente a região de integração.

(b) Considere f (x, y) = xy e calcule o valor do integral duplo.

(c) Interprete o resultado obtido na alínea anterior.

15. Considere o integral duplo∫ ∫D

f (x, y) dxdy =

∫ 3

0

dy

∫ y

2−√4−y

f (x, y) dx

+

∫ 4

3

dy

∫ 2+√4−y

2−√4−y

f (x, y) dx.

46 1/Agosto/2005

(a) Represente geometricamente a região D.

(b) Inverta a ordem de integração e determine a área da região D.


∫ a

0

dy

∫ √2ay−y2

0

f (x, y) dx, com a > 0


(b) Inverta a ordem de integração do integral dado.


∫ ∫D

f (x, y) dxdy =

∫ 1

−1

dx

∫ 1−x2

−√1−x2

f (x, y) dy.



18. Considere a região D ⊂ IR2 definida pelas condições:

0 ≤ y ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y2 ≥ x.


(b) Indique as duas ordens de integração possíveis no integral∫ ∫D

f (x, y) dxdy.

(c) Calcule o integral indicado em (b) quando f (x, y) = exy .

19. Considere o integral:∫ ∫D

f (x, y) dxdy =

∫ π2

−π2

dy

∫ sin y

−1

f (x, y) dx.


(b) Inverta a ordem de integração do integral duplo.

(c) Sendo f (x, y) = x3 sin y, calcule o integral dado.

47 1/Agosto/2005

20. Considere D uma região do plano e f (x, y) uma função definida nessedomínio tal que:

∫ ∫D

f (x, y) dxdy =

∫ 1

0

dx

∫ √x

x2

4

f (x, y) dy +

∫ 2

1

dx

∫ 1

x2

4

f (x, y) dy.


(b) Inverta a ordem de integração e calcule o valor do integral dado,supondo f (x, y) = x

y.

21. Considere a região A dada por

A ={(x, y) ∈ IR2 : −x ≤ y ≤ π − x ∧ x

2− π

4≤ y ≤ x

2

}.

Calcule o integral duplo∫ ∫A

sin (x+ y) cos (x− 2y) dxdy

usando uma mudança de coordenadas apropriada.


I =

∫ ∫D

(x− y)2 ex+ydxdy

sendoD =

{(x, y) ∈ IR2 : |x|+ |y| ≤ 1

}.

(a) Indique uma mudança de variável adequada para o cálculo de I.

(b) Represente geometricamente D e o seu transformado pela mu-dança de variável referida em (a).

(c) Calcule I e interprete em termos físicos o valor obtido.

23. Calcule o integral duplo da função g (x, y) = 1, na região definida pelasseguintes condições:

y ≥ |x| ∧ x2

4+

y2

9≤ 1

Utilize a mudança de variável (x, y) =(ρ cos θ

3, ρ sin θ

2

).

48 1/Agosto/2005

24. Considere a região D definida por:

D ={(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≥ 1 ∧ x2 + y2 − 2y ≤ 0

}.

(a) Represente D graficamente.

(b) Escreva o integral∫ ∫

Df (x, y) dxdy explicitando os limites de

integração em coordenadas cartesianas.

(c) Calcule a área da região D utilizando coordenadas polares.

25. Considere o integral duplo

∫ 2

1

dx

∫ √1−(x−2)2

−(x−1)2f (x, y) dy.


(b) Inverta a ordem de integração.

(c) Calcule o integral sabendo que f (x, y) = x2.

26. Calcule o integral ∫ ∫A

e−(x2+y2+xy)dxdy

em queA =

{(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 + xy ≤ 1

}procedendo sucessivamente como a seguir se indica:

(a) Fazendo a mudança de variáveis{

x = u cos θ − v sin θy = u sin θ + v cos θ

, esco-

lhendo θ de modo a eliminar o termo uv da função integrandaobtida.

(b) Fazendo a mudança de variáveis{

u = aρ cosϕv = bρ sinϕ

, escolhendo con-

venientemente as constantes a e b.

27. Considere a transformação de IR2 → IR2 definida por{x = u−

√u2−4v2

y = u+√u2−4v2

49 1/Agosto/2005

(a) Mostre que ela transforma a região ∆ do plano XOY definida por

2 ≤ x+ y ≤ 4x ≤ y

xy − 1 ≥ 0

na região D do plano UOV definida por{2 ≤ u ≤ 4

1 ≤ v ≤ u2

2

.

(b) Usando a transformação anterior calcule∫ ∫∆

(x2 − y2

)cos (xy) dxdy.

28. Considere a seguinte expressão:∫ 0

− a√2

dy

∫ 0

y

f (x, y) dx+

∫ − a√2

−a

dy

∫ 0

−√

a2−y2f (x, y) dx.

(a) Esboce o domínio de integração D, considerando a > 0.

(b) Inverta a ordem de integração.

(c) Considere f (x, y) = x2 e calcule o integral.

(d) Apresente uma interpretação física para o resultado obtido na alí-nea anterior.

29. Considere a região D ⊂ IR2 definida pelas condições:

x2 + y2 − 2y ≤ 0 ∧ y ≥ 2x2.


(b) Defina em coordenadas cartesianas o integral duplo que permitecalcular a massa de uma lâmina com a forma da região D, cujadensidade é 1.

(c) Defina o mesmo integral em coordenadas polares e determine amassa.

30. Calcule∫ ∫

D1

(x2+y2)3/2dxdy, sendo D a região do primeiro quadrante

definida por:

D ={(x, y) ∈ IR2 : x ≤ y ∧ y ≥ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 4

}.

50 1/Agosto/2005

31. Represente graficamente e determine a área da região caracterizadapelas condições:

(x− 1)2 + y2 ≥ 1 ∧ (x− 2)2 + y2 ≤ 4 ∧ y ≤√3

3x ∧ y ≥ 0.

32. Considere a região do plano cuja área é dada por:

∫ 1

0

dx

∫ x2

0

dy +

∫ √2

1

dx

∫ √2−x2

0

dy.

(a) Represente-a geometricamente e inverta a ordem de integração dosintegrais anteriores.

(b) Passe o integral a coordenadas polares e calcule a área dessa região.

33. Represente geometricamente e determine a área da região caracterizadapelas condições seguintes:

x2 + y2 ≤ 4 ∧ y ≥ 1.

34. Calcule, ∫ ∫S

√4− x2 − y2dxdy

sabendo que a região S é definida por: x2 + y2 ≤ 2x ∧ y ≥ 0.

35. Considere a região A definida pelas condições:

A ={(x, y) ∈ IR2 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1 ∧ (x− 1)2 + (y − 1)2 ≥ 2

}.

(a) Represente-a geometricamente.

(b) Calcule a sua área através de um integral duplo.

36. Calcule ∫ ∫A

√1− x2 − 2y2dxdy,

em queA =

{(x, y) ∈ IR2 : x2 + 2y2 ≤ 1

},

efectuando a mudança de variável{

x = ρ cos θy = ρ√

2sin θ

(com ρ ≥ 0 ∧ 0 ≤θ < 2π).

51 1/Agosto/2005

37. Considere a região espacial R limitada superiormente pelo plano deequação

x+ y + z =√2

e inferiormente pela região D, no plano z = 0, definida pelas condições

x2 + y2 ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.

(a) Represente R e D geometricamente.

(b) Calcule o volume da região R.

(c) Supondo que a massa por unidade de superfície da região D éρ = ρ (x, y) = 1, determine a posição do centro de massa.

(d) Suponha agora a massa por unidade de superfície da região Dé ρ = ρ (x, y) = 2.5, determine, justificando, a nova posição docentro de massa.

38. Considere o integral∫ ∫D

f (x, y) dxdy =

∫ 0

−4

dx

∫ x+4

−x−4

f (x, y) dy

+

∫ 2

0

dx

∫ −x+4

x

f (x, y) dy

+

∫ 2

0

dx

∫ −x

x−4

f (x, y) dy.

(a) Represente graficamente a região D.


(c) Utilizando uma mudança de variável adequada, calcule a área daregião D.

(d) Supondo que D representa uma lâmina com densidade 1, deter-mine a posição do seu centro de massa.

39. Determine a massa de um disco de raio R sabendo que a sua massapor unidade de área µ, é proporcional à distância ao seu centro e iguala µR na periferia.

40. Determine as coordenadas do centro de massa da figura limitada pelocardióide ρ = a (1 + cos θ).

52 1/Agosto/2005

41. Uma lâmina homogénea e semicircular está suspensa por um dos seuscantos. Determine o ângulo que a sua fronteira sem curvatura faz coma vertical.

42. Determine o momento de inércia de uma lâmina rectangular de massaM e lados de comprimento a e b relativamente ao lado de comprimentob.

43. Determine o momento de inércia relativamente ao seu diâmetro, deum anel homogéneo, com massa específica unitária e com raios r e R,respectivamente interno e externo.

Soluções

1a) e−e−1−2; 1b) 174; 2a) 7

24; 1c) 1−

√22; 1d) 46

15; 5b) − 1

e2+ 1

3; 6) 48

√6

5; 7b) 19

6;

8) 16; 9b) 0; 10) sin 1−cos 1

6; 11) 5

12; 12b) a3

(−

√38+ 9

16

); 13b) −112

3; 14b) π

16−

18; 15b) 9

2; 16b)

∫ a

0dx∫ a

a−√a2−x2 f (x, y) dy; 17b)

∫ 0

−1dy∫√1−y2

−√

1−y2f (x, y) dx +∫ 1

0dy∫ √

1−y

−√1−y

f (x, y) dx; 18c) 12; 19c) 0; 20b) 15

8; 21) 2

3; 22c) 1

3

(e− 1

e

); 23)

3π− 6 arctan 32; 24c) π

3+

√32; 25c) − 3

10+ 17π

16; 26b) 2π√

3

(1− 1

e

); 27b) 2 cos 4−

2 cos 1 + 6 sin 1; 28b)∫ 0

− a√2

dx∫ x

−√a2−x2 f (x, y) dy; 28c) a4(π−2)

32; 29c) 3

√3

4+ π

3;

30)√22

− π8; 31) 3

4

√3 + π

2; 32b) 3π−2

12; 33) 4

3π − √

3; 34) −169+ 4

3π; 35b) 1;

36) π√2

3; 37b)

√24π − 2

3; 37c)

(43π, 43π

); 38c) 24; 38d)

(−23, 0); 39) 2πR2µR

3; 40)(

56a, 0); 41) arctan

(43π

); 42) 1

3Ma2; 43) π

4(R4 − r4).

53 1/Agosto/2005

Integrais triplos

1. Calcule o valor dos integrais triplos:

(a)∫ 1

0dz∫ 1

−1dy∫ 2

1xdx.

(b)∫ π

2

−π2

dz∫ π

2

0dy∫ π

2

0xy sin zdx.

(c)∫ ∫ ∫

Dxdxdydz em que

D ={(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ y2 + z2 ≤ 1

}.

2. Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies

y = x2 ∧ y = 2− x2

e também pelos planos

z = 4 ∧ z = −2.

3. Calcule∫ ∫ ∫

Ddxdydz (utilizando coordenadas cilíndricas), sendo D o

sólido limitado pelas superfícies

z = 0, x2 + y2 = 1 e x+ y + z = 3.

4. Determine o volume do domínio limitado pela superfície parabólicaz = 2 + x2 + y2, pelo plano z = 0 e compreendido entre as superfíciescilíndricas x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 2.

5. Calcule∫ ∫ ∫

Mdxdydz sendo M o sólido limitado pelas superficies

z = 2− x2 − y2 ∧ z = x2 + y2.

Interprete geometricamente o resultado.

6. Recorrendo às coordenadas esféricas, calcule o volume da esfera cujaequação é dada por

E ={(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = a2

}.

7. Considere A =∫ ∫ ∫

Df (x, y, z) dxdydz, sendo D a região do espaço

limitada pelas superfícies cónicas

z2 = x2 + y2 ∧ (z − 2)2 = x2 + y2

ef (x, y, z) =

√x2 + y2

54 1/Agosto/2005

(a) Defina o domínio de integração, em coordenadas cilíndricas.

(b) Calcule o valor de A.


∫ 1

0

dx

∫ √1−x2

0

dy

∫ 2+x2+y2

4

0

dz

que representa o volume de determinado sólido.

(a) Descreva o sólido.

(b) Calcule o volume do sólido utilizando coordenadas cilíndricas.

9. Recorrendo a coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólidolimitado pelo cilindro x2+y2 = 1 e pelos planos x+y+z = 1 e z = 0.

10. Recorrendo a coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólidolimitado pela superfície cilíndrica x2 + z2 = 1 e pelos planos y = 1 ey = −1.

11. Calcule ∫ ∫ ∫A

(1 + x2 + y2

)−2xydxdydz,

em que

A ={(x, y, z) ∈ IR3 : x ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1 ∧−1 ≤ z ≤ 1

}.

12. Considere uma calote esférica M, resultante da intersecção de umaesfera de raio 3, centrada na origem, com a região z ≥ 2.

(a) Represente graficamente a região M .

(b) Apresente o transformado da região M , em coordenadas cilíndri-cas.

(c) Determine o volume de M , utilizando integrais triplos.

13. Considere uma região R limitada superiormente por uma esfera de raio2, centrada na origem e inferiormente pela superfície cónica z2 = x2+y2.

(a) Represente graficamente a região R.

(b) Apresente o transformado da região R, em coordenadas esféricas.

(c) Determine o volume de R, utilizando integrais triplos.

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14. Considere o sólido limitado pelas condições

x2 + y2 + z2 ≤ 9 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≥ 0.

(a) Represente o sólido geometricamente.

(b) Escreva o seu volume através de um integral iterado.

(c) Calcule o seu volume utilizando coordenadas esféricas.

Soluções

1a) 3; 1b) 0; 1c) π4; 2) 20; 3) 3π; 4) 7

2π; 5) π; 6) 4π

3a3; 7b) π

3; 8b) 17π

32; 13b) π;

10) 2π; 11) 13; 12c) 8π

3; 13c)

8π(−√2+2)

3; 14c) 9π.

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Exercícios diversos

1. (a) Calcule A =5∫0

dxx+4∫

(x−2)2

1√ydy.

(b) Inverta a ordem de integração no integral A.

2. Inverta a ordem de integração no integrale∫1

dxlog x∫0

ydy e utilize o resul-

tado obtido para calcular o valor do mesmo.

(a) Descreva o sólido cujo volume é dado por1∫

−1

dx

√1−x2∫

−√1−x2

dy4∫

x2+y2dz

indicando as superfícies que o limitam.

(b) Calcule o integral triplo da alínea anterior fazendo uma mudançapara coordenadas cilíndricas.

3. Considere o integral2∫1

dx

√4−x2∫0

(3− x)dy.

(a) Inverta a ordem de integração.

(b) Calcule o integral, fazendo uma mudança de variáveis para coor-denadas polares.

(c) Represente geometricamente o sólido cujo volume é dado por esteintegral.

4. Calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóides 4− z = x2 + y2

e 9− 3z = x2 + y2.

5. Considere o seguinte integral duplo2∫0

dx2∫x

x2e−y

y2dy.

(a) Represente graficamente o seu domínio de integração.

(b) Inverta a ordem de integração e calcule o valor do integral.

6. Considere o seguinte integral duplo I =∫∫D

xydxdy , em que D é o

domínio limitado pelas curvas y ≥ 0, x+ y ≤ 2 e y ≤ x2.

(a) Represente D graficamente e calcule o valor de I.

(b) Inverta a ordem de integração que escolheu para resolver a alíneaanterior).

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7. Represente graficamente e determine a área da região caracterizadapelas condições

(x− 1)2 + y2 ≥ 1 ∧ (x− 2)2 + y2 ≤ 4 ∧ y ≤√3

3x ∧ y ≥ 0.

8. Considere D uma certa região do plano e f(x, y) uma função definidanesse domínio tal que

∫∫D

f(x, y)dxdy =

1∫0

dx

√x∫

x2

4

f(x, y)dy +

2∫1

dx

1∫x2

4

f(x, y)dy

(a) Determine o domínio D e represente-o geometricamente.

(b) Inverta a ordem de integração e calcule o valor do integral dadosupondo f(x, y) = x

y.

9. Considere a região do plano cuja área é dada por1∫0

dxx∫0

dy+

√2∫

1

dx

√2−x2∫0

dy.

(a) Represente-a geometricamente e inverta a ordem de integração.

(b) Passando a coordenadas polares calcule a área da região.

Soluções

1a) 613; 2) e

2−1; 2b) 7π

2; 3b) 2π−5

√32; 4) 3π

4; 5b) 1

3− e−2; 6a) 7

24; 7) π

2+ 3

4

√3;

8b) 158; 9b) π

4.

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integrais múltiplos matemática...

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