ver para entender: a importância da matemática visual para … · 2020. 7. 13. · bafalli; noel,...

VERPARAENTENDER:Aimportânciadamatemáticavisualparaocérebroeoaprendizado.

JoBoaler,professoradeEducaçãoMatemática,comLangChen,doLaboratóriodeNeurociênciaCognitivaedeSistemasdeStanford;CathyWilliams&MontserratCordero,do

Youcubed,UniversidadedeStanford.

Introdução

Algumassemanasatrás,osilênciodemeuescritórioemStanfordfoiinterrompidoporumtelefonema.Umamãemeligouparadizerqueafilhade5anostinhavoltadodaescola chorando porque a professora não deixou ela contar com os dedos. Algumassemanasdepois,quandoconteiàminhaturmadegraduandosqueamatemáticavisualeramuitoimportante,umdelesperguntou:−Massóparaníveismaisbásicos,né?

Aprofessoraeoalunoemquestãorefletemumacrençacomumemeducação–adequeamatemáticavisualservesóaonívelelementar,paraaquelescomdificuldadesoumais jovens.Equeotrabalhocomrecursosvisuaisdevesersóuma introduçãoparaumamatemáticamaisavançadaouabstrata.DeacordocomoautorThomasWest,háuma crença secular de que as palavras e os símbolos matemáticos são “paraprofissionaissérios–enquantoasimagensediagramas”são“paracriançaseopúblicoleigo”(2004).

Essa ideiaéumexemplodeummitodanosonaeducação.Esteartigovaiapresentarevidências contundentes sobre o cérebro que ajudam a desfazê-lo. Nós tambémvamos fornecer exemplos de quando a matemática visual pode ser integrada aosmateriais curriculares, além de ideias para serem usadas nas da educação infantil àfaculdade.

Oferecer modos de ver, entender e ampliar ideias matemáticas tem sidosubdesenvolvidoou ignorado namaioria dos currículos nos EstadosUnidos, que emgrande medida continuam apresentando a matemática como uma matéria escolarquase que exclusivamente numérica e abstrata. No entanto, quando os alunosaprendempormeiodeabordagensvisuais,elespassamateracessoacompreensõesnovaseprofundas.Comisso,adisciplinamudaparaeles.

Mostraremos evidências neurológicas que nos ajudam a entender o impacto de verpara aprender matemática. Elas apontam também para a necessidade urgente demudaramaneiracomoadisciplinaéoferecidaemsaladeaula.

Bonsprofessores,emgeral,usamrecursosvisuaisemateriaisdiversosparamelhoraracompreensão de conceitos matemáticos. As próprias organizações especializadasnorte-americanas,comooConselhoNacionaldeProfessoresdeMatemática(NationalCouncilfortheTeachingofMathematics−NCTM)eaAssociaçãodeMatemáticadosEstados Unidos (Mathematical Association of America – MAA), há muito tempodefendemousodemúltiplasrepresentaçõesnoensino.

Mas,paramilhõesdealunosnassalasdeauladosEstadosUnidos,adisciplinaéquaseinteiramente apresentada como se fosse só números e símbolos. Assim, muitasoportunidades de desenvolver a compreensão visual são perdidas. Os alunos queapresentam preferência pelo raciocínio visual são geralmente taxados, nas escolas,comoportadoresdenecessidadeseducacionaisespecíficas.

Muitas crianças pequenas escondem que contam com os dedos, pois as fizeramacreditarque issoé infantil, ou atémesmoerrado.Oartigoa seguir, feitodemodocolaborativoentreumaneurocientistaeprofessoresdematemática,apresentanovase formidáveis evidências de estudos do cérebro que comprovam a necessidade e aimportânciado raciocíniovisual –e, curiosamente,das representações comdedos–paraaprendermatemáticasemtodosossegmentosdeensino.

Oquedizaciênciadocérebro?

Nos últimos anos, os cientistasadquiriram uma compreensão maiselaborada das formas como nossocérebrotrabalhaquandoestudamoseaprendemosmatemática.

O cérebro é composto de muitas‘redes distribuídas’. Quando lidamoscom o conhecimento, então, váriasáreas são ativadas e se comunicamentresi.Aoresolvermosumproblemamatemático, especificamente, aatividade cerebral está acontecendoem redes que incluem duas vias visuais: a ventral e a dorsal (veja a Figura 1). Asneuroimagensmostraramque,quandoaspessoasfazemumcálculonumérico,como12 x 25, com dígitos simbólicos (12 e 25), o raciocínio matemático baseia-se noprocessamentovisual.

Uma rede cerebral amplamente distribuída estabelece o processamento mental doconhecimentomatemático (MENON,2014). Estudos têmcomprovadoquea áreadocérebro apresentada na cor verde, parte da via visual dorsal, é ativada durante aexecução de tarefasmatemáticas tanto em crianças quanto em adultos. Essa parteespecíficadocérebroentraemaçãoquandoosalunosanalisamrepresentaçõesvisuaisou espaciais que representam quantidades, como uma linha numérica. Estudoscognitivosmostraramquearepresentaçãodeumaquantidadenumalinhanuméricaéespecialmente importante para o desenvolvimento do conhecimentomatemático, eprecursordosucessoacadêmicodascrianças(KUCIANetal.,2011;HUBBARDE.M.etal., 2005; SIEGLER & BOOTH, 2004; SCHNEIDER M.; GRABNER, R. H.; PAETSCH, J.,2009).

Os pesquisadores descobriram, inclusive, que as diferenças de conhecimento entrealunosdebaixarendaedeclassemédiaerameliminadasapósquatrosessõesde15minutos de jogo com uma linha numérica (SIEGLER; RAMANI, 2008). Eles tambémenfatizaram a importância de os alunos aprenderem o conhecimento numérico pormeioderepresentaçõeserecursosvisuais.

Essaéapenasumadasmuitaspesquisasquemostramqueproblemasdematemáticavisualinfluenciamodesempenhodosestudantes(veja,porexemplo,REIMER,2005).A

neurociência chama atenção para isso, poismostra que a via visual dorsal é amaisimportanteregiãodocérebropararepresentaroconhecimentodequantidades.

Um estudo que ainda será publicado por nossos colegas de Stanford, com criançasentre8e14anos,revelaque,duranteocrescimento,ascriançasdesenvolvemparteda via visual ventral, exibida na cor laranja na Figura 1, e o cérebro torna-se maissensível eespecializadoem representar formasvisuaisnuméricas.Háuma interaçãoimportanteecadavezmaiorentreduasviasvisuais.Issoindicaque,àmedidaqueascriançascrescemesedesenvolvem,océrebrotorna-semaisinterativo,conectandooprocessamento visual de formas numéricas simbólicas, como o número 10, com oconhecimento visual-espacial de quantidade, como um conjunto de dez pontos(BATTISTAetal.,nãopublicado).

Quando raciocinamos sobre uma questão matemática, diferentes áreas do cérebroestão envolvidas, inclusive as redes frontais nas cores vermelhas e roxas, o lobotemporalmediale,acimadetudo,ohipocampo–queapareceemformadeferradurana área vermelha. Neste artigo, desejamos enfatizar que a base neurobiológica dacognição matemática envolve uma comunicação complicada e dinâmica entre ossistemascerebraisdamemória,controleedetecção,edasregiõesdeprocessamentovisualdocérebro.

Umexemplocontundente,eumtantosurpreendente,danaturezavisualdaatividadematemática no cérebro está em uma pesquisa recente sobre as formas como océrebrousaasrepresentaçõesdosdedos,quevãomuitoalémdacontagemdotempoeda idade. Investigaçõesdo tipooferecem insights fascinantes sobreo aprendizadohumanoetrazemimplicaçõesclarasparaasaulasdematemática.

Osdedoseacompreensãodamatemática

IlariaBertelettieJamesR.Booth(2015)investigaramumaparteespecíficadocérebrodedicada à percepção e representação dos dedos, conhecida como área dos dedoscerebral somatossensorial. É importante destacar que osestudiosos do cérebro sabem que nós “vemos” umarepresentaçãodosdedosnanossacabeça,mesmoquandonãofazemosusodelesemumcálculo.

BertelettieBoothdescobriramque,quandocriançasentre8e13anos receberamproblemascomplexosde subtração,aárea somatossensorialdos dedos foi ativada, mesmo sem elas usarem as mãos para contagem. Outraconstataçãoéqueaáreaderepresentaçãodosdedosestavaaindamaisenvolvidaemproblemasbemcomplexos,comnúmerosmaiores.Penner-Wilger(2013)concluiuqueatéoconhecimentosomatossensorialdosdedosdealunosuniversitáriosindicamsuaspontuações em cálculo e também que a percepção a respeito no 1º ano do EnsinoFundamentalindicacomoseráodesempenhoemcomparaçãoeestimativanuméricasno2ºano(PENNER-WILGERetal.,2009).Ospesquisadoresavaliamseascriançastêm

Quandocalculamos,nós“vemos”umarepresentaçãodosdedosemnossocérebro

umaboaconsciênciadeseusdedos tocandoodedodeumaluno–semqueelevejaqualdedofoitocado–eentãoperguntandoqualestásendotocado.

As evidências tanto dos estudos comportamentais quanto da neurociênciamostramque, quando as pessoas praticam e aprimoramformas de perceber e representar os própriosdedos, elas conseguem um melhor desempenhoem matemática (LADDA et al., 2014; GRACIA-BAFALLI; NOEL, 2008). Os pesquisadoresdescobriram que, quando crianças de 6 anos deidade melhoravam suas representações com osdedos,elastambémavançavamnoconhecimentoemaritmética,particularmenteemtermosdesubitização1,queéuma“percepçãoinstantânea”decontagemeordenaçãode números. É interessante notar que a representação dos dedos das crianças éconsideradaumdosmelhoresindicativosdeseusucessofuturonamatemática,maisdoqueasnotasemtestesdeprocessamentocognitivo.

Uma das recomendações dos neurocientistas condutores desses estudos é que asescolasfoquemnadiscriminaçãodosdedos.Nãosóacontagemcomeleséimportanteparaodesenvolvimentodocérebroeo futurosucessonamatemática,mastambémajudarascriançasa identificarqualéqual.Essefatoremespecialésignificativoparanós,umavezque,atualmente,asescolasnãodãoqualqueratençãoaissoenenhumcurrículo conhecidoestimulaessaatividade.Emvezdisso,muitosprofessores foramlevadosaacreditarqueusarasmãosé infantil,umaetapaquedeveser superadaomais rápido possível. O Kumon, programade reforço escolar usado pormilhares defamíliasem49países,proíbeacontagemcomosdedoseorientaospaisadenunciarseusfilhosaoinstrutorcasoissoaconteça(KUMON,2014).

Osneurocientistasaindanãochegaramaumconsensosobrequaismecanismosexatosfazem com que o conhecimento sobre os dedos melhore o desempenho emmatemática,mas concordamquedesenvolver representações numéricas comeles éessencial.BrianButterworth,renomadoestudiosodocérebronessaárea,afirmaque,seosalunosnãoestãoaprendendosobreosnúmerospormeiodareflexãosobreseusdedos, os números “jamais terão uma representação normal no cérebro”(BUTTERWORTH,1999,p.249-250).

Apesardasevidências claras sobreusarasmãosparaaprendermatemática, sobramrecomendaçõesparabaniressaferramentaapaiseeducadores.Dizeraosalunosparanão usarem os dedos para contar ou representar quantidades significa interrompersuaevoluçãomatemática.Elessãonossorecursovisualmais fácileútil,essencialaodesenvolvimento cerebral que se prolonga até a idade adulta. Inclusive, talvez seja1N.doR.T.:Nooriginal,asautorasutilizamotermo“subitizing”,cujatraduçãoseria“subitização”(derivadadoespanhol“subitización”),porém,raramenteutilizadaemlínguaportuguesamesmoemartigosespecializadosquetratamdesensonumérico.Seusignificadoestárelacionadoaoprocessodeestimarpequenasquantidades,comoaté5,perceber,desúbito,aquantidadepelasuaconfiguraçãoenãoacontagem.

Arepresentaçãodosdedosemcriançasde6anoséummelhorindicativodofuturosucessonamatemáticadoqueosresultadosdetestesdeprocessamentocognitivo.

essa habilidade que explique porque pianistas, e outros músicos, em geral,demonstram uma ótima compreensão da matemática (veja em:).

A recomendação dos neurocientistas é que os dedos sejam entendidos como aconexãoentreosnúmerosesuarepresentaçãosimbólica,alémdeumsuporteexternoparaoaprendizadodeproblemasaritméticos.

Nenhum dos materiais conhecidos do currículo norte-americano contém exercíciosque ajudemos alunos a desenvolver a discriminação dos dedos; então, nós fizemosumagamadeatividadesquepodemserusadasemsaladeaulaeemcasa.A ideiaéajudarascriançaseimpulsionarotrabalhonaárea.

É importante ressaltar que os professores devem comemorar e estimular o uso dosdedoscomcriançaspequenasepermitirquealunosdequalqueridadefortaleçamsuacapacidade cerebral por meio desse tipo de contagem. Isso não significa continuarcontando assim para sempre.Mas quer dizer que que qualquer pessoa que precisecontar usando os dedos, deve fazê-lo porque isso é crucial para o desenvolvimentocerebral.Éimportantederrubaroestigmasobreautilizaçãodasmãosnahoradefazercontaseveressaatividadecomoalgoinerentementeimportanteevalioso.

Cogniçãocorporificada

Asevidênciasquesetornamcadavezmaisclaras,mostrandoaimportânciadasviaseconexões visuais entrediferentes rotasno cérebro, estãoemconsonância comumaáreadepesquisaconhecidacomo“cogniçãocorporificada”.

A maioria das pessoas acredita que mente e o corpo são totalmente separados. Aprimeiraseriafontedeabstraçõesquetransmiteconhecimentoparaocorpo,receptorpassivo e mero executor físico. No entanto, pesquisadores que estudam cogniçãocorporificadaapontamquemuitosdosnossosconceitosmatemáticossãoprocessadosemmemóriasmotorasvisuaisesensórias.

Eles observam as formas como nós nos portamos,olhamos, gesticulamos, apontamos e usamosferramentas quando expressamos ideias matemáticas.Esseconjuntodeinformaçõesfoiusadocomoevidênciade que processamos ideias matemáticas nas áreasmotoras e perceptivas do cérebro (NEMIROVSKY et al.,2012) – o que também foi comprovado por outrosestudosdocérebro.

A Ciência mostra que, quando explicamos o queestamos pensando, mesmo quando não encontramosas palavras adequadas, tendemos a desenhar formasnoar.Podemostambémusaroespaçoaonossoredorpara“espalhar”ideias.Porexemplo,decidirqueolado

Figura2:Aprofessoraestádesenhandoumcírculonoarenquantodescreveumacircunferênciaparaosalunos.

deuma tabela representauma ideia, e apontar denovopara ela quandoqueremosnosreferiraessaideia,mesmoquenãohajanadalá,sónossosmovimentosanterioresdesignandooespaço(ALIBALI;NATHAN,2012).

Os estudiosos não acreditam que haja uma separação entre mente e corpo. Elesconcluíramqueocorpoéparteintrínsecadacognição,queaspartesdonossocérebroque controlam a percepção e o movimento também estão envolvidas narepresentação do conhecimento (HALL; NEMIROVSKY, 2011). Sabe-se bem que oconhecimentodadança,oudeesportes,éprocessadonasáreasmotorassensoriaisdocérebro,masmuitosficariamsurpresosaodescobrirqueoconhecimentomatemáticotambéméprocessadoemmemóriassensório-motoras.

Algunspesquisadoresdecogniçãocorporificadaconcluíramque,umavezqueusamosgestos quando pensamos matematicamente, os professores devem usá-los parafundamentar o raciocínio matemático, juntamente com as explicações verbais(ALIBALI;NATHAN,2012).Contudo,ospesquisadoresnãodefendemquesejamdadosesquemasprontosde gestosnas aulas,masqueos alunos tenhamoportunidadededesenvolver seus próprios esquemas. Nós gesticulamos porque vemos eexperimentamos a matemática, assim como nos lembramos dela, fisicamente evisualmente. Uma ênfase maior em aspectos visuais e físicos ajudarão os alunos aentender a matemática. Nesse sentido, dar a eles gestos de outra pessoa parececontraproducente. Em vez disso, devemos disponibilizar mais experiências com amatemáticavisualefísica,ideiaqueexploraremosaseguir.

ImplicaçõesnasSalasdeAulaeemcasa

Osnovos conhecimentosmostramoprocessamento visualdas ideiasmatemáticasepodem explicar as evidências indicando que docentes que destacam a matemáticavisual e fazem uso consciente de certos materiais estimulam a melhora nodesempenhodos alunos, não só em todoo ensino fundamental (veja, por exemplo,REIMER,2005),mastambémnoensinomédioenauniversidade(SOWELL,1989).Emsintoniacomessaspesquisas,senósperguntarmosaosmelhoresprofessoressobreaimportância das representações visuais, eles muitas vezes compartilharão o ricoconhecimentoquepossuemsobreaprofundacompreensãoqueéativada tantonosprofessores que estão apresentando ideias matemáticas visualmente quanto nosalunos que estão usando os recursos visuais para pensar e entender a disciplina.VolumesinteirosdaAssociaçãoAmericanadeMatemática(MathematicalAssociationofAmerica–MAA)dedicam-seaestimularamatemáticavisualnasfaculdades(veja,porexemplo,ZIMMERMANN&CUNNINGHAM,1991).

QuandonoúltimoverãonossaequipedoYoucubed(centrodeStanfordqueofereceapaiseprofessores recursosmatemáticosbaseadosempesquisas) criouumconjuntogratuitodeaulasdematemáticavisualqueiamdo3ºao9ºano,elasforambaixadas250milvezeseutilizadasemtodooterritórionorte-americano.Entreosprofessores,80% disse que gostaria de baixar mais atividades semelhantes enquanto 83% dos

alunos relataram que as atividades visuais melhoraram seu aprendizado dematemática.

Apesardaprevalênciadaideiadequedesenhar,visualizaroutrabalharcommodeloséalgo de nível elementar, útil só para para crianças pequenas, parte da maisinteressante e complexa matemática é predominantemente visual. MaryamMirzakhani ganhou asmanchetes domundo quando se tornou a primeiramulher avenceracobiçadamedalhaFields,omaiorprêmiodaárea.Seutrabalhobaseia-seemgrandemedidanamatemáticavisual.Algunsdeseusparesdescreveramsuasteoriascomo “lindas”, “impressionantes” e apontaramque elas conectavam conhecimentosantesdesvinculados.Ascriançaspodempassarcentenasdehorascalculandoevendoapenasnúmerosesímbolos,masosmatemáticosraramente, talveznunca, resolvemum problema sem representações visuais. Segundo West (2004, p. 27): “Para ummatemático,prescindirdasimagensémasoquismo”.

Noentanto,outromotivoparaoqualamatemáticavisualdeveserusadanasescolasdeformamaisextensivaestánanaturezadoconhecimentonecessárioparaomundoaltamentetecnológicodehoje.Anosatrás,oconhecimentonosambientesdetrabalhoera baseado em palavras e números, mas o novo conhecimento do mundo é, emgrande medida, baseado em imagens, que “são ricas em conteúdo e informações”(WEST, 2004). A maioria das empresas já têm grandes quantidades de dados,conhecidos como “big data” e o trabalho do futuro com mais demanda é acompreensão de dados e a busca por padrões visuais nessa grande massa deinformações.Os cientistasda computaçãoematemáticosde Stanford, entreoutros,agoraveem padrões emdadosque jamais teriam sido identificados comas técnicasestatísticas.

Quando testamos nossas atividades de matemática visual que compartilhamos noyoucubed.org em uma escola de Ensino Fundamental, uma mãe me parou eperguntouoquehavíamosfeitoemsalanaquelasemana.Elamedissequesuafilhasemprediziaquenãogostavadematemáticaequenãoconseguiafazercálculos,mas,depoisdasnossasaulas,elavoltouparacasadizendoquetinhamudadodeideiaequeconseguia ver um futuro na disciplina. Por quê? A matemática agora era aberta,criativa, visual (paramais exemplos, ver BOALER, 2016). Essapráticanão sóofereceum engajamento mais profundo, novas compreensões e estímulos cerebrais, comotambémmostraqueamatemáticapodeserumamatériaabertaebela,emvezdefixa,fechada e impenetrável. Amatemática visual não é importante apenas para algunsalunos–aquelescomdificuldadesouoschamados“pensadoresvisuais”,tampoucoéapenasumprelúdioparaaparteabstrata–,elaéimportanteparatodos,emtodososníveis.

Nãoédesurpreenderqueosalunosachemamatemáticainacessíveledesinteressantese estão imersos em um mundo de abstração e números. Isso é particularmenteirônicoquandoháumaabordagemdiferentedeensino–deumamatemáticavisualecriativa().

AsaulasdematemáticanosEstadosUnidosnãorefletemoconhecimentoquetemosda importância das abordagens da matemática visual, assim como a maioria dospadrõescurriculareselivrosdidáticosnãosãoconvidativosaoraciocíniovisual.Muitosmateriaisoferecem imagens,maselas sãogeralmentedecorativas. EmseuspadrõesdoEnsinoInfantilatéo9ºano,oCommonCore2dedicabemmaisatençãoaotrabalhovisual do que muitos similares anteriores, mas seu conteúdo para o Ensino Médiomantêmosdocentesarraigadosaoraciocínionuméricoeabstrato.QuandooCommonCore de fato estimula o trabalho visual, ele serve apenas como introdução para odesenvolvimentodopensamentoabstrato,emvezdeserumaferramentaparavereentenderideiasmatemáticasefortalecerredescerebrais.

Alguns anos atrás Howard Gardner propôs uma teoria de inteligências múltiplas(2008/2011),sugerindoqueaspessoastinhamdiferentesabordagensaoaprendizado,comoavisual,cenestésicaoulógica.Essateoriaconseguiuexpandiraformacomoaspessoasviama inteligênciaeacompetência,masela,emgeral, foimalutilizadanasescolas.Algunsalunosforamrotuladosoutratadosdemaneiradiferente.

No entanto, aqueles cujo lado forte não é oraciocíniovisual,provavelmente,precisamdelemais do que qualquer outra pessoa. Todomundousaasviasvisuaisquandotrabalhacommatemática e todos nós precisamosdesenvolver isso em nosso cérebro. Oproblema damatemática nas escolas é que ela tem sido apresentada, por décadas,como uma matéria de números e símbolos, ignorando o potencial visual paratransformarasexperiênciasdosalunosedesenvolverimportantesviascerebrais.

Asnovaspesquisassobreocérebroquemostramaimportânciadopensamentovisualtambém incitammudanças sobre como vemos os estudantes. Amatemática escolarvalorizaquemmemorizaeérápidonocálculo,mesmoqueexemplificarconceitosemimagens seja um ponto fraco. Quando se dá o oposto: os alunos não conseguemmemorizar ou usar bem os números, mas produzem fortes ideias e representaçõesvisuais, eles geralmente são encaminhados às aulas de reforço. Esse poderia ser omotivoporquealgunsdenossosmaiorescientistas–AlbertEinsteineThomasEdison,porexemplo–foramdesprezadosporseusprofessoreseatéchamadosde“burros”.Einstein dizia que todo o seu pensamento era visual – e que ele teve muitasdificuldades,maistarde,paratransformarsuas ideiasempalavrasesímbolos(WEST,2004).

Muitos consideram amatemática visual apropriada para crianças pequenas ou paraquemtemdificuldadescomamatéria.Elaseria,também,umaintroduçãoàparteda2OCommonCore(núcleocomum)éumabasequeestabeleceoconjuntodehabilidadesqueosalunosdevemteracadasérie,dapré-escolaaoEnsinoMédio.

Todomundousaasviasvisuaisquandotrabalhacommatemáticaetodosnósprecisamosdesenvolveráreasvisuaisemnossocérebro.

matemática mais abstrata. É verdade que as ideias abstratas podem surgir damatemática visual, ou ser auxiliadas por ela, mas as ideias visuais também podemsurgir da matemática abstrata e estendê-la a níveis muito mais complexos. Elastambémpodeminspiraralunoseprofessoresaveramatemáticadeformadiferente,avercriatividadeebelezanelaeaentenderpropostasmaiscomplexas.

Colocandoasideiasdepesquisaemprática

Nosúltimosanos,tenhotrabalhadocomcolegasemcursosdereforçodematemáticaoferecidosduranteasfériasescolaresparaalunosdo7ºe8ºanos.Noverãopassado,fizemosumcursodereforçoemStanford,noqualosestudantestinham18aulasdematemática comigo, CathyWilliams, e outros professores. Ao final, eles concluíramque a experiência transformou a forma como viam amatemática e, acima de tudo,como enxergavam o próprio potencial. Quando receberam os testes distritais queprecisavamfazernofimdoanoletivo,umamédiade50%delesapresentoumelhoranos resultados entre os 81 alunos. Um vídeo do curso pode ser encontrado aqui:.

Em nossos cursos, ensinamos a álgebra visual por meio do estudo de padrões egeneralizações,explorandoosmundosdasfunçõeslinearesequadráticas.

Nas aulas de álgebra, as turmas, muitasvezes,têmdemanipularsímboloseabordarconceitos matemáticos importantes, comofunções, por meio de números e símbolos,semqualquercompreensãovisual.Emnossocuro, abordamos a álgebra com recursosvisuais,númerosesímbolos.

Por exemplo: pedimos que os estudantesolhassemrapidamenteparaabordaaoredorde um quadrado e descobrissem quantosquadrados havia nela, sem contá-los (vejatambém,BOALER;HUMPHFREYS,2005):

Elestentaramchegarnarespostaporcaminhosdiferentes,comomostramosaseguir.Primeiro,aspropostasforamdescritasnumericamentee,depois,algebricamente.

Asdiferentesmaneirasdeveroproblemaserviramcomopontodepartidaerecursoparaenvolveraturmaeestimulartodoselesadesenvolverdiferentesgeneralizaçõesalgébricas, queelesdescobriram ser equivalentes.Quando veempadrões cresceremde formas diferentes (BOALER, 2016), eles também ficam fascinados e engajados, eaprendemsobreopensamentoeastransformaçõesfuncionais,áreaimportantíssimadocurrículonorte-americano.

Num exemplomarcante de um aprendizado poderoso damatemática, pedimos aosalunos para analisarem gráficos de tempo-distância, um campo desafiador mesmopara universitários (CLEMENT, 1989). Convidamos os alunos a aprender sobredistância, tempo e velocidade “andando” literalmente sobre a linha do gráfico detempo-distância, pormeiodeum sensorque rastreava seusmovimentos. Paramaisdetalhes sobre essa atividade, acesse: .

Osalunosimpressionaramosvisitantesdodistritoquandoumagarota,quetinhaumdos piores aproveitamentos de sua série, deu uma explicação perfeita sobre aelaboraçãodo gráficode velocidade, desviandodeumerromuito comumcometidopormilhõesdealunos.Quandoexplicaramoconceito,elesgesticularamcomasmãospara expor o movimento, mostrando mais uma vez que seu entendimento eraprocessado nas memórias sensório-motoras. O ensino da velocidade por meio domovimentofoiútilparaeleseéumótimorecursoparaosprofessores.

Para engajar os alunos num raciocínio visual produtivo, deve-se perguntar, emintervalosregulares,comoveemasideiasmatemáticas,e,apartirdaí,comodesenhá-las. O desenho de como pensamos pode ser útil a qualquer nível, inclusive aosmatemáticos,paraaformulaçãodeideiaseodesenvolvimentodecompreensões.Osalunos podem receber atividades com perguntas visuais e oferecer respostasigualmente visuais (exemplos que vão desde o Ensino Infantil até o universitáriopodemserencontradosemAtividadesdeMatemáticaVisualouemnossapáginadoYoucubed).

Novos softwares, além de jogos e aplicativos de alta qualidade (veja em:) também sãoferramentas poderosas para desenvolver caminhos visuais namente dos alunos. Osprofessores também podem sugerir que os estudantes representem ideias demúltiplasformas,comopormeiodefiguras,modelos,gráficos,eatérabiscos(vejaViHart),outirinhas.EmBOALER(2016)hámaisideiasparaavisualizaçãodamatemática,etambémemyoucubed.org.

Nofinaldocursodeférias,umagarotapensouedisse:“Eununcatinhavistoumaideiamatemática”.

IssopareceumatristeacusaçãoaoensinodematemáticanosEstadosUnidos.Outroalunocomentou:

“Écomoocaminhoquenossasescolasfizeramconosco,tudomuitopretonobranco.Porém,ojeitoqueaspessoasfazemaqui(nocursodeférias)éumtipobem colorido e bem brilhante. A gente tem um monte de variedades bemdiferentes.Agentepodeolharparaeledeumamaneira,aíviraorosto,ederepentevêumcenáriobemdiferente”.

Quando as salas de aula de matemática seconcentram nos números, as diferenças destatusentreosestudantescostumamsurgir,em

Quandooconteúdoéensinadovisualmente,asdiferençasdestatuscostumamdesaparecer.

detrimentodaculturaedoaprendizado,ealgunsafirmamqueotrabalhoé“fácil”ou“difícil”, ou falam que “terminaram” depois de fazerem voando uma ficha deatividades. Mas, quando o mesmo conteúdo é ensinado visualmente, nossaexperiência nos diz que as diferenças de status, que tanto importunam as salas dematemática, desaparecem. Thomas West também ressalta o efeito equalizador dotrabalho visual, descrevendo a época em que vários especialistas de disciplinasacadêmicas se reuniram para pensar por meio de recursos visuais, demonstrandorespeitounspelosoutroseporsuasdiferentesideias,deformaqueraramenteocorrequandootrabalhoénumérico(WEST,2014).Parecepossívelqueamatemáticavisualconsigacontribuirparaaequidade,paravalorizarformasdiferentesderaciocíniodosalunos,assimcomoestimularoprofundoengajamento,poisvimosquetodosficaramanimadosaoverideiasmatemáticas,e,apartirdisso,elesdesenvolveramníveismaiscomplexosdecompreensãoedesempenho.

Em nosso trabalho de extensão com distritos escolares, também inspiramos osprofessoresausarumamatemáticavisualeaberta.Quandolhesdamosexperiênciasvisuaisdeideiasqueelessóhaviamencontradoantesdeformanuméricaeabstrata,como em fatos da multiplicação e álgebra, eles ganham conhecimentos sobreconceitosmatemáticosquenuncahaviamexperimentadoantes,ecomeçamaadquirirumoutroníveldecompreensão.Semcontarqueelessesentemempoderados.

Convidar as pessoas a pensar visualmente sobre a matemática é uma experiêncialibertadora tanto para professores quanto alunos. A matemática é uma matériamultidimensional, e os problemas podem ser resolvidos por caminhos numéricos,visuais ou abstratos. Sabemos que, da mesma forma, nossas redes cerebrais sãomultidimensionaiseprecisamserdesenvolvidaseusadas.Acreditamosqueosalunosalcançariam uma compreensão matemática mais robusta se nós os ajudássemos adesenvolver suas redes visuais, pois uma rede cerebral plenamente desenvolvidamelhorariaahabilidadedelescomamatemática.

Conclusão:Trêsrecomendaçõesparapaiseprofessores

Asimplicaçõesparaasaladeaulaeparaospaisdessaemergenteciênciadocérebromostramque o cerne do pensamento matemático envolve caminhos– e representações com osdedos–,quesãoimportantesedevemserlevadasemconsideração.

Aquiestãotrêsrecomendaçõesparapaiseprofessores:

Incentivem, celebrem e comemorem as abordagens visuais dos alunos edesmistifiquemaideiadequebonsalunosdematemáticasãoaquelesquememorizam e calculam bem. Evidências recentes do PISA3, exame queenvolve milhões de estudantes, mostram que aqueles que abordam a

3ProgramaInternacionaldeAvaliaçãodeEstudantes

matemáticapormeiodamemorizaçãotêmresultadosmaisbaixosOrganizaçãoparaaCooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE4, 2016). Também precisamosderrubaromitodequeumbomdesempenhoemmatemáticasebaseiaemcalcularrápido;váriosmatemáticosestãoempenhadosemmudaressaideia,explicandocomoelespensamvagarosaeprofundamente (veja,porexemplo,LaurentSchwartz,2001;KeithDevlin).Calcularcomvelocidadenãoésoluçãopararesolverproblemasdealtacomplexidade. Bons alunos raciocinam com profundidade, fazem conexões evisualizam. Quando apresento um problema de matemática aos meus alunos deStanford, digo: “Não ligo para a rapidez, não fico impressionada comquem terminamaisrápido;poisistomostraapenasqueoalunonãodeveestarraciocinandoafundo.Emvezdisso,queroverrepresentaçõesinteressantesecriativasdeideias”.Depoisdealgumasaulas,osestudantesampliamsuasvisõessobreamatemática,ecomeçamamedeixarimpressionadacomsuacriatividadeerepresentaçõesperspicazes,alémdasnovascompreensõesquedesenvolvem.

Foquem na discriminação, e estimulem o uso dos dedos. Pessoas que sesaem bem em matemática têm as representações de seus dedos bemdesenvolvidas no cérebro e continuam a usá-las na idade adulta. Essadiferenciação serve até como indicador do quanto umapessoa vai se sair

bem na disciplina. Quando impedimos que os alunos usem os dedos, estamosatrapalhando uma parte importante de seu desenvolvimento matemático. Osprofessoresquenãodeixamosalunosfazeremissoachamqueestãofazendoomelhoreevitandocertainfantilizaçãodoaprendizado.Masagoratemosoconhecimentoquenos habilita a mudar essa ideia, para encorajar os professores a focar no uso e nadiscriminaçãodosdedosemsaladeaulanumaescalamuitomaior.

Éimportanteressaltarqueoensinoeoaprendizadodamatemáticaprecisasermaisvisual–nãoexisteumaúnicaideiaouconceitomatemáticoquenãopossa ser ilustrado ou pensado visualmente. Em geral, o Ensino Primário(EF1) é obsessivamente numérico, por ironiamais do que nas sériesmais

avançadas.Ascriançassãoobrigadasamemorizarfatosefazerlistasdeexercícioscompoucasrepresentaçõesvisuaisecriativas.Elastambémnãosãoconvidadasatrabalharcomrepresentaçõesvisuais,geralmenteporcausadediretrizespolíticaseorientaçõescurricularesfalhas.

QuandoamaioriadosalunosdeixaroEnsinoFundamental,terádesenvolvidoaideiade que os recursos visuais e materiais manipulativos são coisas de criança, que osdedos nunca devem ser usados e que o sucesso na matemática depende damemorização de métodos numéricos. À medida que vão passando de uma série aoutra, eles continuam a trabalhar por caminhos e abordagens excessivamentenuméricasesimbólicas.

4TheOrganizationforEconomicCo-operationandDevelopment(OrganizaçãoparaaCooperaçãoeDesenvolvimentoEconômico)

Asaulasdeálgebrasãogeralmentecompostaspelamanipulaçãodesímboloseaideiade que os recursos visuais e a manipulação de materiais são só uma introdução àmatemática de verdade. Como seria a matemática se ela fosse também visual? Osanexos e nosso arquivo complementar,Atividades deMatemática Visual, mostramumagamadeexemplosparadiferentesséries.

Alguns acadêmicos destacam que os indivíduos que conseguem desenvolver oraciocínio visual estarão entre os “melhores de sua classe” num novo ambiente detrabalho,oqual recorrea técnicase tecnologiasde visualizaçãode informaçõesnoscamposdosnegócios,tecnologia,arteeciência(WEST,2004,p.17).Emnossosistemaeducacional, é importantenãopriorizar qualquer “tipode aluno” emdetrimento deoutros,oumesmopassaraideiadequetomarummétododeaprendizadoefocarsónele é algo produtivo. A neurociência sabe bem disso – trabalhar commatemáticaenvolve diferentes áreas do cérebro e nós queremos que os alunos desenvolvamhabilidades para trabalhar bem com recursos visuais, números, símbolos e palavras.Umdosobjetivos deste artigo é apontar que, atualmente,muitas escolas não estãoestimulando esse amplo desenvolvimento em matemática, e precisamos, comurgência, expandir as formas como pensamos a disciplina para ensiná-la como umamatériavisualemultidisciplinar,queoqueédefato.

Jo Boaler é professora de Educação Matemática na Universidade de Stanford,cofundadoradoYoucubed,eautoradonovolivroMathematicalMindsets:UnleashingStudentsPotentialthroughCreativeMath,InspiringMessagesandInnovativeTeaching(NovaYork:Willey,2016).

Lang Chen é aluna de pós-doutorado no Departamento de Psiquiatria e Ciência doComportamento na Universidade de Stanford. Sua pesquisa centra-se nodesenvolvimento de representações do conhecimento, atualmente com foco namatemáticaelinguagemenocérebro.

CathyWilliamsécofundadoraediretoradoYoucubed.

Montserrat Cordero é estudante de graduação do bacharelado em Matemática naUniversidade de Stanford, com enfoque interdisciplinar em Pedagogia, membro efundadoradoYoucubed.

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AnexoAquiestáumaamostradeatividadesesoluçõesvisuais.Parateracessoàpáginacompletacomoutrosexemplos,acesse:.

ArrebentandonopianoColoquepontinhoscoloridosnosdedosdecadaalunoepeçaparatocaremasteclas

correspondentesdopiano:

LabirintodosdedosDêpontinhoscoloridosparaosalunoscolocaremnosdedosepeçaquesigamaslinhasnoslabirintos:

Fonte:AdaptadodeGracia-Bafalluy,M.;NOËL,M.P.(2008).Apráticacomosdedosaumentaodesempenhonuméricodascrianças?

AnexoTrêssurpreendentessoluçõesvisuais.Paraverasatividadescompletaseoutrosexemplos,acesse:.

18x5

Oproblemacomasfatiasdepeitodeperu

Umhomemestádedietaeentranumalojaparacompraralgumasfatiasdepeitodeperu.Elerecebetrêsfatias,que,juntas,pesam1/3de1quilo,massuadietaoorientaacomerapenas1/4de1quilo.Quantoelepodecomerdas3fatiasparaseguiradietaàrisca?

DeJoBoaler.MathematicalMindsets(2016)

AnexoUber/Lyft

41%.Então,eledeveligarparaaUberprimeiro

ProblemafornecidoporGaryAntonick:.

Nasuacidade,existemduasempresasdetransporteindividualprivado:UbereLyft.Seupaiusouumdelesparavoltardoaeroporto,masesqueceuocelularnocarro!

Comissoemmente,observeosseguintesdados:

85%dostransportesindividuaisprivadosnacidadesãoUbere15%,Lyft. SeupaiachaquedeixouocelularnumcarroLyft,masnãotemcerteza.Deacordo

comsuaexperiência,eleestácorreto80%dotempoeincorretocercade20%dotempo.

Seupaiquerrecuperaroaparelho.Diantedasinformaçõesacima,paraqualempresadevetelefonarprimeiro?Ouseja,oqueémaisprovável:queeletenhadeixadootelefonenumUberounumLyft?

Correto(80%)