universidade federal do parana programa de pós-graduação em engenharia elétrica aula04 -...
Post on 17-Apr-2015
102 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética
Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética
Jean Vianei Leite
Maio de 2010.
Jean Vianei Leite
Maio de 2010.
Obtido a partir de considerações físicas;
Baseado em equações diferenciais;
Baixo esforço computacional e fácil implementação;
Conjunto de parâmetros relativamente baixo;
Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético.
Modelo de Jiles-Atherton
Modelo de Jiles-Atherton
Laços medido e calculado
Modelo de Jiles-Atherton – Laços Menores
Laço experimental Laço Calculado
Jiles-Atherton – Laços Internos
Laços Medidos e calculados
Modelo Escalar de Preisach
Modelo proposto pelo físico alemão Frederick Preisach em 1935.
Estabelece uma relação entre a magnetização M e o campo H.
Supõe que o material é composto por um número finito de unidades elementares magnéticas biestáveis.
A magnetização total é calculada pela soma das contribuições elementares.
Modelo Escalar de Preisach• Cada unidade elementar (histeron) possui uma forma
retangular cíclica, função do campo H
Campos de chaveamentos a e b
Modelo Escalar de Preisach
Se Hsat representa o campo magnético de saturação e Msat a correspondente magnetização de saturação, quando H>Hsat, todos os histerons estão positivos e a magnetização é M=Msat.
Por outro lado, se H<Hsat, todos os histerons estão negativos e a magnetização é M = -Msat.
Das considerações anteriores temos:satHa
satHb
Plano de Preisach ou Triângulo de Preisach
• Como a histerese é energeticamente dissipativa:
• Com as condições anteriores define-se o plano de Preisach como:
ba
Cada par (a,b), caracterizando um histeron deve pertencer a este triângulo.
Plano de Preisach
• Um material ferromagnético é então determinado por uma distribuição estatística p(a,b) dos campos de chaveamento (a,b) pertencente ao triângulo.
• p(a,b) é também chamada de função de densidade de Preisach.
• A magnetização total é calculada por
dadbbapMHM basat ,),()(
Plano de Preisach
O estado desmagnetizado é representado pela linha b = - a.
O triângulo fica dividido em duas superfícies iguais S+ e S-.
S+ é a região do plano onde os pares (a,b) tais que S- é a região do plano onde os pares (a,b) tais que
1, ba1, ba
Modelo de Preisach
• Para qualquer estado magnético do sistema o triângulo é dividido entre duas superfícies S+ e S- separadas por uma linha descontínua.
A magnetização é dada pela integral sobre as duas superfícies S+ e S- .
S Ssat dadbbapdadbbapMHM ),(),()(
Modelo de Preisach
• O estado magnético do sistema é completamente caracterizado pela linha descontínua.
• A linha descontínua é chamada de vetor histórico, h, do material e contém informações sobre a divisão do triângulo e os pontos de inversão da excitação.
• O vetor histórico deve verificar as seguintes condições:
00 H
nHHHHH ,,,, 3210h
iiii
iiii
HHHH
HHHHnifor
11
11 0))((1,,1
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Considerando o material desmagnetizado, o vetor h possui somente o ponto inicial H = 0.
0h
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Com o crescimento de H, os histerons possuindo a menor do que H são chaveados para a posição +1. No plano de Preisach isso é representado pelo crescimento da linha vertical a = H1.
1,0 Hh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo continua aumentando até H2 = Hsat todos os histerons alcançam a e o triângulo de Preisach é totalmente S+.
2,0 Hh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo começa a decrescer, os histerons cujo b é maior do que H chaveiam para o seu estado negativo.
• O processo é representado pelo crescimento da linha horizontal b = H3.
32 ,,0 HHh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo atinge o valor de saturação negativo o plano de Preisach é totalmente S-.
52 ,,0 HHh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo torna a crescer, os histerons tenderão a atingir a saturação positiva novamente. A linha vertical a = H6 aparece no plano.
652 ,,,0 HHHh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se o campo decresce novamente antes de atingir a saturação, um laço menor pode ser criado. No nosso exemplo H6 varia até H7 (surgimento da linha b = H7)
7652 ,,,,0 HHHHh
Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h
• Se H retorna para H6 o laço menor é completo.
• Continuando a evolução de H, H6 desaparece de h. Esta é a maneira que o modelo de Preisach consegue representar os laços menores.
Note que somente os pontos de inversão são mantidos em h.
752 ,,,0 HHHh
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• A condição para se modelar um material usando Preisach é conhecer a função densidade do mesmo.
• Muitos métodos são propostos na literatura para a identificação da mesma através de dados experimentais.
• Esses métodos requerem integrações e derivações o que pode introduzir erros e instabilidade numérica na utilização do modelo.
2 22
0 00
0 0
2 1,
11 12c
c c c
p a ba b H a b HH arctg
H H
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Outro método de caracterização é através da função de Everett:
– A partir de um ciclo centrado medido de amplitude Hm, para o braço descendente da curva, a magnetização pode ser escrita como:
,
2m
mM H M H
E H H
Ver obtenção da eq. anterior na minha tese
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Para um conjunto de ciclos centrados, as curvas de Everret podem ser obtidas para diversos níveis de indução ou campo magnético.
• Usualmente são usadas entre 15 e 20 curvas medidas para caracterizar o material.
• É necessário determinar a função de Everett para todos os pares (H, Hm). Essa tarefa é realizada utilizando um método de interpolação entre as curvas o qual deve verificar a continuidade da função de Everett.
• Expressões para interpolação encontram-se detalhadas na literatura.
Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais
• Função de Everett para um material ferromagnético projetada sobre o triângulo de Preisach.
Modelo de Preisach
• O modelo apresentado possui como variável independente o campo magnético H. As mesmas considerações são válidas para o caso onde a indução B é a variável independente.
• Com B como variável independente , a metodologia se mantém inalterada, entretanto uma nova função de Everett deve ser obtida e o método de interpolação também é outro para evitar instabilidade numérica.
• A necessidade de funções de Everett diferentes para caracterização do material a ser modelado com Preisach é um desvantagem do mesmo em relação ao modelo de Jiles-Atherton onde um único conjunto de parâmetros caracteriza o material independente da variável independente considerada.
• Convém destacar que a função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando de maneira significativa a utilização do modelo.
Atividade
top related