unidade 3 1 modelo de markowitz fronteira eficiente 2. determinação da fronteira eficiente

Unidade 3

1 Modelo de Markowitz

Fronteira eficiente

2. Determinação da Fronteira eficiente

Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira

Unidade teórica 3

. Relação entre o risco e a rentabilidade esperada

. O que é a fronteira de eficiência num conjunto de portefólios?

. Como modelizar a eficiência ?

. Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?

. Como determinar a fronteira de eficiência?

. A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe)

Rentabilidades e distribuição de probabilidades

• Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção:

• R = (div + P1 – P0) / Po

• R é uma variável aleatória R~ N (r,G)

MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959)

• HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:

- HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS

H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.

H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros.

Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores

• H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos)

• H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas.

• H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período.

ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ

• Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular.

• Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros

FRONTEIRA EFICIENTE

• 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes)

• 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor.

PRIMEIRA FASE

• Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).

• Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco.

• Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente , que é independente das preferências individuais dos investidores.

Segunda Fase

• Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença)

• A fronteira de eficiência (dado objectivo)

• Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença.

Fronteira eficiente

• E(p)

• σ (p)

Diversificação eficiente

• O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado.

• Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.

• O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio.

• Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.

Diversificação – exemplo com dois activos financeiros

• Activo A E (RA) = 5% σ (RA) = 20%

• Activo B E (RB) = 15% σ (RB) = 40%

• Que proporções de A e de B?

• Três situações:• ρ AB = 1

• ρ AB = - 1

•-1<ρ AB<1

Diversificação – exemplo com dois activos financeiros

5% 10% 20% 40% σ( R)

DiversificaçãoCarlos ArriagaEconomia bancária e Financeira

Medida de risco de um activo

• A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefólio

• σip = Σ xj σij• A variância do portefólio é igual à média ponderada das

co-variâncias dos activos com o portefólio.• Σ σ 2p = Σ xj σiP

Teoremas dos portefólios eficientes

• Proposição 1• Considerado c uma constante e R-c o vector• R-c = [E (r1) –c• E (r2)- c• E(rn) – c]• O vector Z resolve as equações R-c = Sz• Z = S-1[R-c]• X = {x1, x2….xn}

Teoremas dos portfefólios eficientes

• Proposição 1

• Xi = zi / ΣZj

• Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma

• • c xi porfolio de tangência dado c

Teoremas dos portefólios eficientes

• Proposição 2

• Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante

• ax + (1-a)y

• Também se encontra na fronteira de eficiência

Teoremas dos portfolios eficientes

Proposição 3

Se um portfolio se encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência

E (rx) = c + β x [E(ry) – c] β x = Cov (x,y) / σ2

c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0

c = E(rz) Cov (y,z) = 0

Portefólio eficiente e não

eficiente

• E(Rp)

• portfolio eficiente

• E(rm)

• x y porfolios possiveis e não eficientes

• • σ (p)

Cálculo da fronteira eficiente

• Suponha que um portefólio e constituido pela proporção a do portefolio x e (1-a) do portfolio y

• E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry)

• σp= √ a2 σ2x + (1-a) 2 σ2

y +2a(1-a) cov(x,y)

Fronteira eficiente - construção

• Data /table : Considerar o calculo para um portfolio w

• Proporção de X 0.3

• Retorno : 8.66%

• σ do portfolio :43,5%

SigmaSigma ReturnReturn

=Formula=Formula =Formula=Formula

-0.3-0.3 0.72740.7274 0.10140.1014

00 0.5780.578 0.09400.0940

0.40.4 0.38740.3874 0.08410.0841

0.30.3 0.43350.4335 0.08660.0866

0.50.5 0.34290.3429 0.08170.0817

11 0.19170.1917 0.06930.0693

1.51.5 0.30240.3024 0.0570.057

1.61.6 0.34450.3445 0.05450.0545

Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira 22

CML Capital market Line

• R-rf = Sz

• Mi = Zi / ∑Zi• E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line• σp= √ a2 σ2

rf + (1-a) σ2M +2a(1-a) cov(rf,M)=

• = (1-a) σM

Capital market line

• E(Rp)

• Portfolio de mercado

• E(rm)

• x y porfolios possiveis e não eficientes

• rf

• • σ (p)

Modelo simplificado de Sharpe

• Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)

• Conhecimento da matriz das co-varâncias• Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos

diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:

• Ři = αi + βi Ĩ + ũi

• Ĩ = αn+1+ vn+1

Escolha de portefólio mercado completo

• • Posição curta em acções e investe tudo em obriigações•

• • declive =- (vib/vim)

• Pedir emprestado e investir tudo em acções• Rendimentos• Má conj • (W0/a)*divm

• q (W0/a)*div b Rendimentos em boa conjuntura

Lending portfolio

Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco.

Condições : - Existe ao menos alguem que não apresenta risco

de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo)

- O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo

- Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra

Borrowing Portfolio

• Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais:

• E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb

• rb é a taxa de empréstimo

Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.

Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.

CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line.

APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor

Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro

1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz.

2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição.

3. Expetativas homogéneas: todos os investidores detêm a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada título

4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte económico

Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro

• 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos.

• 6. Não existem custos de transacção.

• 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras.

• 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro.

Condições de estimação do modelo de mercado O índice de mercado deverá responder às condições

seguintes:

1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos)

2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros).

3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples.

CAPM e SML com activo sem risco

• (E (rx) – rf ) / βx = [E(rm)-rf]

• E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf]

• Βx = Cov (x, M) / σ2M

Security Market Line

• E(Rp)

• E(rm)

• rf

• Zero Beta Portfolio

• 1 σ (p) e Beta

CONCLUSÃO

• Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado.

• Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólio

• Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação.

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