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TRIGONOMETRIA

CICLO TRIGONOMÉTRICO

O Círculo Trigonométrico ou ciclo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam.

DEFINIÇÃO

Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

O radiano (símbolo: rad ) é a razão entre o comprimento de um arco e o seu raio. Ele é a unidade padrão de medida angular utilizada em muitas áreas da matemática Relação Principal: π rad = 180°

Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco.

Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade.Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil. A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições:

0° ≤ α < 360° ou 0 ≤ α < 2π.

Resumindo: NÃO IMPORTA QUANTAS VOLTAS SÃO DADAS,MAS SIM ONDE ELA PARA.

Exemplo

Considerando o arco α = 2100°, qual será a sua determinação principal.

Exemplo

Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:

Quando medimos o ângulo de um arco utilizamos como unidade o grau ou o radiano. Temos que 1° (um grau) possui 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) possui 60” (sessenta segundos). Uma circunferência possui 360 arcos de abertura igual a 1°.

TRANSFORMAÇÕES: RADIANOS GRAUS

Α tabela a seguir mostra algumas relações entre as unidades em graus e radianos:

TRANSFORMAÇÕES: RADIANOS GRAUS

1. Localize no ciclo trigonométrico os arcos 45°, , 210°,330°, e .

2.Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é .

3. Se um ângulo mede 40°, então sua medida em radianos vale:

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos.Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis. As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.

DEFINIÇÃO

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ , define-se senθ como sendo a razão entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Dessa mesma forma o cosseno, definido como cos θ é a razão entre o cateto adjacente a e a hipotenusa. Para completar temos a tangente, tg θ, que é a razão entre os catetos oposto e adjacente.

PRINCIPAIS RELAÇÕES

Assim:

DICA: SOH CAH TOA

PRINCIPAIS RELAÇÕES

VISUALIZAÇÃO NO CILCLOVale lembrar que -1< sen x < 1 , -1< cos x < 1 e -∞ ≤ tgx ≤ +∞

NÃO ESQUECER : sen² x + cos² x = 1 , para todo x.

VISUALIZAÇÃO NO CICLO

Além disso é importante sabermos os valores dos ângulos notáveis.

IMPORTANTE: Use Sempre Tua Cabeça!!!!!

4. Sendo sen x = e 0 < x < 2p o menor valor inteiro de m é:a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

61m2 -

5. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, a altura atingida pelo avião é.

6. Durante as comemorações da aprovação de um aluno no concurso da Secretaria de Fazenda , um foguete foi lançado sob um ângulo de 45 º. Num certo instante a altura dele é de 500 m, logo a distancia percorrida por ele , em linha reta , é de.

7. Um funcionário da Secretaria de Fazenda observa o topo do seu edifício de trabalho sob um ângulo constante de 20° com a horizontal. Se a distância desse funcionario ao prédio é de 200 metros, a altura do prédio é de aproximadamente.

(Utilize: sen 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364)a) 68,4 m.b) 72,8 mc) 128,0 md) 188,0 me) 200,0m

8. A Jeronimo Coelho e a rua Duque de Caxias, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30°. A sede da Casa do Concurseiro encontra-se na avenida Jerônimo Coelho à 900 m do citado cruzamento. Portanto, em metros, a distância da sede da Casa do Concurseiro à Duque de Caxias é de.a) 300 mb) 450 m.c) 450 m.d) 600 me) 900 m.

9. Sendo x um número real, o menor e o maior valor possíveis da expressão são, respectivamente,a) 6 e 14. b) −21 e 42/5.c) −14/5 e 42/25. d) −42 e 42.e) −14 e −6.

)(. x10sen2542

-

10.Sendo cos x = e x Î ; o valor de tg x é:23-

úûù

êëé pp ,2

ØCOTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE

As razões trigonométricas vistas anteriormente possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente. Assim:

OUTRAS RELAÇÕES

11. Sabendo-se que cotg x =1/2 e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é 2

p

REDUÇÃO de ARCOS

Reduzir um ângulo ao 1.º quadrante consiste em determinar um ângulo positivo do 1.º quadrante, cujas razões trigonométricas tenham, em valor absoluto, valores iguais às do ângulo dado.Sendo assim basta descobrir o ângulo formado com a horizontal (eixo x) que garante o valor e o sinal vira do quadrante, relembrando o “Use Sempre Tua Cabeça”.

DEFINIÇÃO

PRINCIPAIS FAMÍLIAS

PRINCIPAIS FAMÍLIAS

Assim temos :Sen 135° = + , pois é da família do 45°(garante o valor) e do 2° quadrante (garante o sinal);

Tg 300° = - , pois é da família do 60° (garante o valor) e do 4° quadrante (garante o sinal);

Cos 210° = - , pois é da família do 30° (garante o valor) e do 3° quadrante (garante o sinal).

Exemplo

Calcular:a) sen(405°)

Exemplo

Calcular:b) cos(-150°)

Exemplo

Calcular:c) tg(19π/3)

Exemplo

Calcular:d) sen²(735°) + cos²(735°)

12. A expressão é igual aa) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

0cos.72

sen.4

3cos.223sen.5tg.3

-p

p+p

-p

13. Qual das afirmações a seguir é verdadeira?a) sen 210° < cos 210° < tg 210°b) cos 210° < sen 210° < tg 210°c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210°d) tg 210° < cos 210° < sen 210°e) sen 210° < tg 210° < cos 210°

OPERAÇÕES com ARCOS

Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte propriedade :

cos (x + y) = cos x + cos y.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

Para isso temos as seguintes fórmulas:

sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa

sen(a-b) = sena.cosb – senb.cosa

cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb

cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

Exemplo

Calcular cos75°

Vamos obter a expressão que determina o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo.Considere um arco α qualquer. Segue que:

ARCOS DUPLOS

14. A expressão cos (3 /2 + x) é equivalente aa) -sen xb) -cos xc) sen x.cos xd) cos xe) sen x

p