cÁlculo diferencial e integral e agora?‡Ões de...o a b r r 1 rad raio rad 2 90º s 360º 2srad...

1

PARTE I: MEDIDAS NA CIRCUNFERÊNCIA

NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA

A Trigonometria foi descoberta entre os gregos (300 a.C.), para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorreram só com Ptolomeu (150 d.C.), o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia (400 d.C.), onde era usada nos cálculos astrológicos (ainda eram problemas de Astronomia). Em aproximadamente 800 d.C. ela chegou ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1100 d.C. a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolomeu, à Europa Cristã. Com os portugueses da Escola de Sagres a Trigonometria encontrou uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.

As aplicações da Trigonometria até. 1 600 d.C. :

- Astronomia

- Cartografia

- Navegação Oceânica

Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada

tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante

observar que até 1600 d.C. a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido,

em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no segundo grau.

ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

A circunferência abaixo está dividida em duas partes, sendo cada uma denominada arco de

circunferência, ou simplesmente, arco.

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL E AGORA?

Conforme nosso Plano de Ensino e

Aprendizagem, vamos manipular algumas

noções envolvendo as funções

trigonométricas, sendo este um conteúdo

já estudado por muitos no Ensino

Fundamental e trabalhado de forma mais

complexa no Ensino Médio.

2

Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos.

Para representar um arco e poder diferencia-lo do outro procedemos da

seguinte maneira:

Arco AQB: BQA

Arco ARB: BRA

A figura ao lado representa o ângulo central BOA ˆ , sendo a medida do arco ,

neste material iremos expressar a medida utilizando o grau(º) já estudado no Ensino

Fundamental e o radiano(rad), que iremos estudar.

arco de 90º arco de 180º arco de 270º arco de 360º

Os submúltiplos do grau (º) são:

O minuto (‘);

O segundo (‘’)

A

B

O

A

B

A

B

Q

R

Um arco que coincidir com o diâmetro será

denominado semicircunferência, caso o ponto A

coincida com o ponto B, vamos chamá-lo de arco

nulo ou arco de uma volta.

Se dividirmos a circunferência acima, em 360

partes, cada uma dessas partes é um arco de 1º (lê-

se: um grau), isso significa que a circunferência tem

360 graus.

3

arco de rad2

arco de rad arco de rad2

3 arco de rad2

Assim podemos comparar as medidas em grau e em radianos.

O A

B

r

r

1 rad

raio

rad2

º90

rad2º360

rad2

3º270

radº180

Podemos também medir o ângulo utilizando

radiano, que é um arco cujo comprimento é igual

à medida do raio da circunferência que o

contém. Indicamos, abreviamente por (rad).

4

EXEMPLO 1: Vamos expressar 120º em radianos.

Podemos estabelecer:

grau radiano

180 _______________

.rad

120 _______________ x

Assim temos:

EXEMPLO 2: Vamos expressar rad3

1 em graus

Podemos estabelecer:

grau radiano

180º _______________

x _______________

3

1

Assim temos:

EXERCÍCIO:

1) Expresse em radianos as medidas dos ângulos abaixo: a. 20º b. 30º c. 45º d. 60º e. 135º f. 300º g. 330º h. 245º

2) Expresse em graus.

a. rad3

2

b. rad3

4

c. rad2

2

d. rad5

4

radradx

radx

.3

2.

180

120

.120180

º60º.60

3

1º.180.

x

x

Você vai resolver

utilizando a regra

de três simples.

5

COMPRIMENTO DA CIRUICNFERÊNCIA E DO ARCO.

EXEMPLO1: Determine o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 4cm.

C = 2..r C = 2. . 4 = 8..cm

Para determinar o comprimento m do arco acima devemos proceder utilizando a seguinte regra de três:

Ângulo Comprimento

360º _______________

2..r

_______________ m

EXEMPLO 2: Numa circunferência de raio r=30cm, qual é o comprimento de um arco que subtende um ângulo

central de 60º? Considere =3,14.

Ângulo Comprimento

360º _______________

2..r=2.3,14.30=188,4

60º _______________ m

r

O

m

A

B

r

r

cmm

m

4,31360

11304

60.4,188360

A medida C do comprimento da

circunferência é dada por: C=2..r

6

EXERCICIO

3) Determine o comprimento do arco de uma circunferência de raio r=60cm para o ângulo dê: a. 30º b. 45º c. 90º d. 120º e. 150º

4) Determine o comprimento dos arcos abaixo:

CICLO TRIGONOMÉTRICO

O

A

B

C

E

D F

p

n

m

2cm 3cm 4cm

rad4

x

y

A(1, 0)

(+)

(-)

r =1

(II) (I)

(III) (IV)

Vamos fixar no centro da circunferência um

sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, como mostra a representação

abaixo.

7

O raio da circunferência orientada acima é chamado de raio unitário, pois seu valor é igual a 1 unidade,

cujo sentido anti-horário é o positivo, ela também fica dividida em quadrantes conforme separado acima ( I, II,

III e IV). Apresentando as seguintes extremidades:

Assim se um arco mede graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:

º360.k , com k Z

Em radianos temos:

..2 k , com k Z

EXEMPLO: Um móvel, partindo de um ponto fixo percorre um arco de 1735º na circunferência trigonométrica.

Quantas voltas completas deu e em que quadrante parou?

1735º 360º

-1440º 4

295º

O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e percorreu mais 295º, como 270º<295º<360º, o

móvel parou no 4º quadrante.

EXERCÍCIO

5) Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:

a. 1540º b. 980º c. 800º d. 2130º

rad2

º90

rad2º360

rad2

3º270

radº180

Podemos perceber que em uma circunferência existe

uma infinidade de arcos congruentes, pois se tivermos um

arco de 60º e somarmos um arco de uma volta, ou seja,

360º obteremos um arco de 420º, que dizemos ser

congruente ao arco de 60º, já que na circunferência ele cai

no mesmo ponto.

8

e. rad

3

12

f. rad

4

25

g. rad

6

31

h. rad

8

17

PARTE II: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO E GRÁFICOS

SENO E COSSENO DE UM ARCO

Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo e o ponto M, que é imagem do argumento da razão

trigonométrica. (Argumento: ângulo da razão trigonométrica).

Desta circunferência podemos visualizar o triângulo OM’M, e determinar as razões já estudadas:

''sen''1

'''sen OMOM

OM

OM

MM

Ox (cosseno)

y (seno)

M

r = 1

M''

M'

As razões seno, o cosseno e a tangente no triângulo

retângulo segundo seus ângulos agudos, já são

conhecidas por muitos. Agora vamos começar a trabalhar

com essas razões e outras que derivam desta, mas com

ângulos superiores a 90º.

9

'cos'1

''cos OMOM

OM

OM

OM

Vamos analisar o ciclo trigonométrico abaixo:

Podemos verificar que a razão seno no 1º e 2º quadrante é positiva e no 3º e 4º quadrante negativa, já a

razão cosseno no 1º e 4ºquadrante é positiva e no 2º e 3º negativa.

y (seno)

x (cosseno)

0

+1

y (seno)

x (cosseno)-1

+1

-1

30º

45º

60º

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

10

EXEMPLO 1: Calcule o valor de sen 810º.

Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 360º:

810º 360º

-720º 2

90º

Obtermos:

810º=90º+2.360º

Então: sen 450º =sen 90º =1

EXEMPLO 2: Calcule o valor de cos 13.

Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 2:

13 2

-12 6

Agora você poderá utilizar a tabela acima para

efetuar o cálculo de várias atividades que serão

propostas na sequência inclusive no seu PLT de

cálculo. Vamos lá?

11

1

Obtermos:

13=1+6.2

Então: cos 13 = cos 1 = -1 (1 se encontra na fronteira entre o II e III quadrante)

EXERCÍCIO

6) Determine o valor de:

a) sen 900º b) sen 1620º c) sen (-900º) d) sen 765º e) sen (-2130º) f) sen 3600º g) cos 450º h) cos 1620º

i) cos 11 j) cos (-900º)

k) cos 3,5

REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE

Analisando o ciclo trigonométrico acima, dois arcos suplementares ( e 180º-) têm senos iguais e cossenos simétricos. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 120º.

Como 120º está no 2º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º-:

180º- = 120º - = 120º - 180º - = -60º = 60º

Como os senos do 2º quadrante são iguais aos do 1º quadrante: sen120º = sen60º =

2

3

cos

sen

180-

Para relacionar as razões trigonométricas do arco de qualquer quadrante para o primeiro quadrante, podemos

utilizar a simetria, conforme articulado abaixo. Perceba que a nossa tabela é composta principalmente pelos valores presentes no primeiro quadrante, assim tal procedimento

ajudará enormemente os nossos trabalhos.

12

Como os cossenos do 2º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: cos120º = -cos60º = -

2

1

EXERCÍCIO

7) Determine o valor do seno e cosseno dos ângulos abaixo a. 510º b. 150º c. 135º d. 1200º

e. rad4

3

f. rad3

8

Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 180º+) têm senos e cossenos simétricos. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 210º.

Como 210º está no 3º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º+:

180º+ = 210º = 210º - 180º = 30º = 30º

Como os senos do 3º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: sen210º = -sen30º = -

2

1

Como os cossenos do 3º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: cos210º = -cos30º = -

2

3

EXERCÍCIO


e. rad3

4

cos

sen

180º+

cos

sen

360-

13

Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 360º-) têm senos simétricos e cossenos iguais. EXEMPLO: Determine o seno e cosseno de 300º.


360º- = 300º - = 300º - 360º - =-60º = 60º

Como os senos do 4º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: sen300º = -sen60º = -

2

3

Como os cossenos do 4º quadrante são iguais aos do 1º quadrante: cos300º = cos60º =

2

1

EXERCÍCIO


e. rad3

5

10) Calcule seno e cosseno dê:

a. 150º b. 240º

c. rad6

5

d. rad4

19

Você percebeu que as noções trigonométricas são

conteúdos importante e também extenso, assim não

é possível resgatar ou ensinar em apenas algumas

aulas, assim descrevo alguns endereços que serão

importantes para o desencadeamento de algumas

dúvidas:

http://www.youtube.com/user/matusalemmartins

http://www.youtube.com/user/matusalemmartins

14

-1

1

x

y

-1

1

x

y

0

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO

y = senx

O gráfico da função seno é chamado de senóide e a partir deste gráfico podemos concluir:

O domínio da função y = senx é o conjunto dos números reais, isto é, D = R.

A imagem da função y = senx é o intervalo [-1; +1].

A partir de 2 a função assume o mesmo valor, assim o período da função é p = 2;

y = cosx

O gráfico da função cosseno é chamado de cosssenóide e a partir deste gráfico podemos concluir:

O domínio da função y = cosx é o conjunto dos números reais, isto é, D = R.

A imagem da função y = cosx é o intervalo [-1; +1].

O período da função é p = 2;

2

2

3 2

2

2

3 20

Vamos estudar a função seno (y=senx) e cosseno (y=cosx), no

intervalo [0, 2], como segue:

15

0

y

x

2

-2

EXEMPLO: Vamos construir o gráfico da função y = 2.senx, dando o domínio, a imagem e o período.

Vamos tabelar alguns valores:

x senx 2.senx y

0

0 2.0=0 0

2

1 2.1=2 2

0 2.0=0 0

2

3

-1 2.(-1)=-2 -2

2

0 2.0=0 0

Observando temos: D = R, Im=[-2, 2] e p = 2 EXERCÍCIO: 11) Construa o gráfico da função y=2+senx, dando o domínio, a imagem e o período.

12) Construa o gráfico da função y=cos

2

x , dando o domínio, a imagem e o período.

13) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o período. a. y=3.senx b. y=2-senx

c. y=sen(x-

2

)

d. y=2.sen

4

x

14) Esboce em um período, o gráfico das seguintes funções:

a. y=-cosx

b. y=3.cos

2

x

c. y=5+cosx d. y=2.cosx

2

2

3 2

16

O A cos

sen

TM

M'

M''

eixo das tangentes

O A cos

sen

-1

+1

eixo das tangentes

TANGENTE DE UM ARCO E GRÁFICO DA FUNÇÃO

Observe a circunferência abaixo e o arco AM.

Definimos como tangente do arco AM a ordenada do ponto T.

Assim o eixo paralelo ao eixo das ordenadas, orientado para cima e com origem A é chamado eixo das

tangentes.

tgAT

cos

sen

Agora vamos analisar o ciclo trigonométrico segundo a razão tangente.

ATtg

17

Podemos verificar analisando o ciclo trigonométrico acima que a tangente no 1º e 3º quadrante são

negativas, já a razão tangente no 2º e 4º quadrante é negativa.

EXEMPLO 1: Calcule o valor de tg 810º.


810º 360º

-720º 2

90º

Obtemos:

810º=90º+2.360º

Então: tg 810º =tg 90º =Não existe

EXEMPLO 2: Calcule o valor de tg 13.

Primeiro devemos dividir o argumento da razão por 2:

13 2

-12 6

1

Obtermos:

13=1+6.2

Então: tg 13 = tg 1 = 0 (1 se encontra no 2º quad. onde a tg é nula)

18

O A cos

sen

-1

+1

eixo das tangentes

180-

EXERCÍCIO

15) Determine o valor de:

a) tg 900º b) tg 1620º c) tg (-900º) d) tg 765º e) tg (-2130º) f) tg 3600º g) tg 450º

REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE

Analisando o ciclo trigonométrico acima, dois arcos suplementares ( e 180º-) tangentes simétricas. EXEMPLO: Determine a tangente de 120º.


180º- = 120º - = 120º - 180º - = -60º = 60º

Como a tangente do 2º quadrante é simétrica a do 1º quadrante: tg120º = - tg 60º = - 3

Para relacionar as razões trigonométricas

(tangente) do arco de qualquer quadrante

para o primeiro quadrante, podemos utilizar

a simetria, conforme segue:

19

EXERCÍCIO

16) Determine o valor da tangente dos ângulos abaixo a. 510º b. 150º c. 135º d. 1200º

e. rad4

3

f. rad3

8

Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 180º+) temos a tangente do 3º quadrante igual ao do 1º quadrante.

EXEMPLO: Determine a tangente de 210º.

Como 210º está no 3º quadrante, para reduzir ao primeiro quadrante podemos igualar a 180º+:

180º+ = 210º = 210º - 180º = 30º = 30º

Como a tangente do 3º quadrante é igual ao do 1º quadrante: tg 210º = tg 30º =

3

3

EXERCÍCIO

17) Determine o valor da tangente dos ângulos abaixo a. 600º b. 240º c. 225º d. 1290º

e. rad3

4

O A cos

sen

-1

+1

eixo das tangentes

180º+

20

O A cos

sen

-1

+1

eixo das tangentes

360º-

Analisando o ciclo trigonométrico acima, os arcos ( e 360º-) temos que a tangente do 4º quadrante é simétrico a tangente do 1º quadrante. EXEMPLO: Determine a tangente de 300º.


360º- = 300º - = 300º - 360º - =-60º = 60º

Como os senos do 4º quadrante são simétricos aos do 1º quadrante: tg 300º = -tg 60º = - 3

EXERCÍCIO

18) Determine o valor tangente dos ângulos abaixo a. 690º b. 330º c. 315º d. 1380º

e. rad3

5

19) Calcule tangente dê: a. 150º b. 240º

c. rad6

5

d. rad4

19

21

0 x

y

GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE

Vamos estudar a função tangente (y=tg x), no intervalo [0, 2], como segue:

y = tg x

O gráfico da função tangente é chamado de tangenóide e a partir deste gráfico podemos concluir:

O domínio da função y = tg x é o conjunto dos números reais, isto é,

D ={x I x

k2

, k }

A imagem da função y = tg x é o intervalo [-∞; +∞].

O período da função y = tg x é p =

EXEMPLO: Vamos construir o gráfico da função y = 2.tgx, dando o domínio, a imagem e o período.

Vamos tabelar alguns valores:

x tg x 2.senx y

0

0 2.0=0 0

6

3

3

3

3.2 =

3

32

3

32

4

1 2.1=2 2

3

3 2. 3 =2 3 2 3

2

NÃO EXISTE

- -

0 2.0=0 0

2

3

NÃO EXISTE

- -

2

0 2.0=0 0

2

2

3

22

Observando temos: D ={x I x

k2

, k }, Im=[-∞; +∞]. e p =

EXERCÍCIO: 20) Construa o gráfico da função y=2+ tg x.

21) Construa o gráfico da função y=tg

2

x .

22) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções.. a. y=3.tg x b. y=2-tg x

c. y=tg(x-

2

)

d. y=2.tg

4

x

23) Esboce em um período, o gráfico das seguintes funções:

a. y=-tg x

b. y=3.tg

2

x

c. y=5+tg x d. y=2.tg x

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Quando encontramos função trigonométrica da

incógnita ou função trigonométrica de alguma função da

incógnita em pelo menos um dos membros de uma

equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.

23

sen

Equações do tipo:

sen x = m e cos x = m

EXEMPLOS: Vamos resolver sen x =

2

3 no intervalor de 0 a 2.

Para determinar o valor do argumento (x) primeiro marcamos no eixo das ordenadas o valor 2

3 , depois

podemos traçar pelo ponto do valor acima uma reta paralela ao eixo das abscissas, podemos então perceber

que os valores de x, que é solução da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos

de intersecção da reta paralela ao eixo das abscissas com a circunferência. Obtemos esses valores verificando

a tabela já trabalhada, na linha do seno e na coluna onde temos o valor 2

3 . Portanto temos dois valores 60º

( rad3

) para o primeiro quadrante ou 120º ( rad

3

2) para o segundo quadrante, já que estamos estudando

o intervalo de 0 a 2.

sen x =

2

3 é S = {

3

,

3

2}

EXERCÍCIOS

24) Resolva as equações trigonométricas abaixo no intervalo 0 x 2

a) sen x = -2

1

b) cos x = 2

3

c) cos x = -2

1

d) tg x = 3

e) tg x = -

3

3

f) sen x = 2

2

2

3

24

g) cos x = -2

2

h) tg x = 1

25) Resolva as equações:

a) cos 5x = 1 b) sen 3x = -1

c) sen (3x-) = 2

1

d) 2sen2x-5senx+3=0

e) tg 3x = 1

f) tg (x-3

)=1

g) tg 2x =

3

3

h) tg 3x = - 3

COTANGENTE DE UM ARCO

O A

M

y (seno)

x (cosseno)M'

M''

B eixo dascotangentes

C

Analisando o ciclo trigonométrico e o arco AM

de ângulo , assim o ponto C, que é intersecção

de OM com o eixo das tangentes, definimos

então cotangente do arco AM de ângulo a

medida algébrica do segmento BC como mostra

abaixo:

25

Indicamos: cotg = BC.

Podemos escrever também:

2,

1cot

k

tgg

Vejamos os sinais de cotg em cada quadrante:

1º QUADRANTE

2º QUADRANTE

y (seno)

x (cosseno)

eixo dascotangentes

C

(+)

y (seno)

x (cosseno)

eixo dascotangentes

C

(-)

26

3º QUADRANTE

4º QUADRANTE

EXEMPLOS:

Calcule o valor de cotg 1620º.


1620º 360º

-1440º 4

180º

Obtemos:

16200º =180º + 4.360º

y (seno)

x (cosseno)

eixo dascotangentes

C(+)

y (seno)

x (cosseno)

eixo dascotangentes

C (-)

27

O A

M

y (seno)

x (cosseno)S

D

M'

M''

Então: cotg 180º =

º180

1

tg =Não existe

EXERCÍCIOS

26) Calcule: a. cotg 60º b. cotg 135º c. cotg 210º d. cotg 990º e. cotg 1440º

f. cotg 12

g. cotg 7 h. cotg (-1410º)

SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO E GRÁFICO DA FUNÇÃO

Considere o ciclo trigonométrico

da figura abaixo:

28

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M, interceptando o eixo das

abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

Da figura, definimos sec = OS e cossec = OD.

Podemos obter também:

com cos 0 e

seccossen

1OD com sen 0 e

EXERCÍCIOS

27) Calcule a secante e cossecante dos seguintes ângulos: a. 60º b. 135º c. 210º d. 990º e. 1440º

f. 12

g. 7 h. -1410º

RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS

1)

a)

9

1 rad

b)

6

1 rad

c)

4

1 rad

d)

3

1 rad

e)

20

15 rad

f)

3

5 rad

g)

6

11 rad

h)

36

49 rad

2)

a) 120º b) 240º

seccos

1OS

29

c) 180º d) 144º

3)

a) 31,4 cm b) 47,1 cm c) 94,2 cm d) 125,6 cm e) 157cm

4)

m = 1,57 cm

n = 2,355 cm

p = 3,14 cm

5)

a) 4 voltas e 2º quadrante b) 2 voltas e 3º quadrante c) 2 voltas e 1º quadrante d) 5 voltas e 4 quadrante e) 2 voltas f) 3 voltas e 1º quadrantes g) 2 voltas e 3º quadrantes h) 1 volta e 1º quadrante

6)

a) 0 b) 0 c) 0

d) 2

2

e) 0,5 f) 0 g) 0 h) –1 i) –1 j) –1 k) 0

7)

sen cos

a) 21 23

b) 21 23

c) 22 22

d) 23 21

e) 22 22

f) 23 21

30

8)

sen cos

a) 23 21

b) 23 21

c) 22 22

d) 21 23

e) 23 21

9)

sen cos

a) 21 23

b) 21 23

c) 22 22

d) 23 21

e) 23 21

10)

sen cos

a) 21 23

b) 23 21

c) 21 23

d) 22 22

31

11)

D = R, Im = [1; 3] e p = 2

12)

D = R, Im = [-1; 1] e p = 4

13)

a)

D = R, Im = [-3; 3] e p = 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

32

b)

D = R, Im = [1; 3] e p = 2

c)

D = R, Im = [-1; 1] e p = 2

d)

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

33

D = R, Im = [-2; 2] e p = 4

14)

a)

D = R, Im = [-1; 1] e p = 2

b)

D = R, Im = [-3; 3] e p = 2

c)

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

34

D = R, Im = [4; 6] e p = 2

d)

D = R, Im = [-2; 2] e p = 2

15)

a) 0 b) 0 c) 0 d) 1

e) 33

f) 0 g) não existe h) 0 i) 0 j) 0 k) não existe

16)

a) 33

b) 33

a) –1

b) 3

c) –1

d) 3

17)

a) 3

b) 3

c) 1

d) 33

e) 3

x

y

-3

-2

-1

1

2

3

1,5 2

35

18)

a) 3

b) 3

c) -1

d) 3

e) 3

19)

a) 33

b) 3

c) 33

f) –1

20)

21)

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

36

22)

a)

b)

c)

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

37

d)

23

a)

b)

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

38

c)

d)

24)

a)

6

7 rad ou

6

11 rad

b)

6

1 rad ou

6

5 rad

c)

3

4 rad ou

3

2 rad

d)

3

4 rad ou

3

1 rad

e)

6

11rad ou

6

5 rad

f)

4

1 rad ou

4

3 rad

x

y

-2

-1

1

2

3

1,5 2

39

g)

4

3 rad ou

36

45 rad

h)

4

1 rad ou

36

45 rad

25)

a) 0 rad ou

5

2 rad

b)

2

1 rad

c)

18

7 rad ou

18

11 rad

d)

2

1 rad

e)

12

1 rad ou

36

15 rad

f)

12

7 rad ou

12

19 rad

g)

12

1 rad ou

12

7 rad

h)

9

2 rad ou

9

5 rad

26)

a) 33

b) –1

c) 3

d) 0 e) não existe f) não existe g) não existe

h) 3

27)

sec cossec

a) 2 332

b) 2 2

c) 332

-2

d) Não existe -1

e) 1 Não existe

f) 1 Não existe

g) -1 Não existe

h) 332

2

cÁlculo diferencial e integral e agora?‡Ões de...o a b r r 1 rad raio rad 2 90º s 360º 2srad...

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