SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO - SEED

Superintendência da Educação - SUED

Diretoria da Política e Programas Educacionais - DPPE

Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE

O ESTUDO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A PARTIR DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MÍDIAS TECNOLÓGICAS: UMA

APLICAÇÃO.

TURVO - PR

2008

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MARINÊS JOSEFINA SCHIMITH DA SILVEIRA

O ESTUDO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A PARTIR DA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MÍDIAS TECNOLÓGICAS: UMA APLICAÇÃO.

Unidade Didática para desenvolver no C. E. Edite Cordeiro Marques – EFM, Turvo PR, realizado pela professora Marinês Josefina Schimith da Silveira, como requisito previsto pelo programa PDE - 2008 Orientador: Márcio André Martins

TURVO-PR

2008

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I. PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU A matemática que conhecemos hoje foi desenvolvida ao longo da história

da humanidade, ela surgiu das necessidades e desafios enfrentados pelo homem.

Assim, pode-se dizer que os conhecimentos matemáticos são resultantes da

interação do ser humano com a natureza.

A matemática “nunca esta pronta, acabada; nenhuma formalização fica

estabelecida de uma vez por todos. Uma definição, um conceito serão enunciados

cada vez mais precisamente, à medida que forem necessários à resolução de

problemas mais e mais complexos” (PAVANELLO,1993)

Inúmeras são as situações do nosso dia a dia que obtemos contato com o

mundo da matemática, ou seja, são muitas as situações do nosso cotidiano em

que é possível se representar questões através de símbolos matemáticos.

Nesse sentido Paulo Freire diz: Quando a gente desperta, já caminhando para o banheiro, a

gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora de que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados. (apud D’ Ambrósio, 2004).

Ao resolver um problema prático considera-se a transformação da

linguagem corrente para linguagem matemática podendo ser modelada através de

uma Equação, visto que “o termo equação é evocado quando existe a intenção,

por parte de alguém, de se resolver certo tipo de problema” (ROGALSKI, 2001).

Nesta perspectiva a equação é considerada como um modelo matemático. Para

Bassanezi (2002), Modelo Matemático é um conjunto de símbolos e relações

matemáticas que representa de alguma forma o objeto estudado e sua

importância consiste em ser uma linguagem concisa que expressa nossas idéias

de maneira clara e sem ambigüidades: Os elementos desconhecidos uma

equação são chamados de variáveis ou incógnitas. Como exemplo de resolução de problemas utilizando equação do primeiro

grau, observe o que diz o epitáfio do sepulcro de Diofante (notável matemático

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Epitáfio“Caminhante!Aqui jazem os restos de Diofante.Os números podem mostrar, oh maravilha, a duração da sua vida, cuja sexta parte constou da encantadora infância.Tinha passado mais uma duodécima parte da sua vida quando lhe apareceu a barba.A partir daí, a sétima parte da sua existência passou-a num matrimônio sem filhos.Passou um qüinqüênio mais quando o fez feliz o nascimento do seu primogênito.Este entregou o seu corpo e a sua encantadora existência à terra, tendo vivido metade do que seu pai viveu.Quanto a Diofante desceu à sepultura com profunda mágoa, tendo sobrevivido apenas quatro anos a seu filho.Diz-me, caminhante, quantos anos viveu Diofante até que a morte lhe chegou.”

grego nascido em Alexandria) provavelmente gravado por Hipatia, primeira mulher

matemática da história

Para saber mais de Diofante acesse:

http://www.geocities.com/g10ap/matematicos/mat11.htm

Pergunta-se:

Quantos anos viveu Diofante? Com quantos anos se casou? Quantos anos tinha

quando foi pai? Quantos anos tinha quando perdeu o filho?

Resolução:

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1.1 Resolver os Problemas

São quatro as principais etapas para resolver um

problema (POLYA, 2006):

Compreender o problema;

Elaborar um plano;

Executar o plano;

Fazer o retrospecto ou verificação.

Seguindo a sugestão de resolução acima, construa em duplas a equação que

representa cada um dos problemas a seguir. Após ter construído todos os

modelos, verifique com os demais colegas suas formulações. Caso haja diferença

entre as equações utilizem o quadro de giz para exposição, argumentação e

então, validação do modelo mais adequado.

a) Karine comprou três blusas e pagou R$ 100,00. Recebeu de troco R$ 4,00.

Qual o preço de cada blusa se o preço era único?

b) Em dois anos de festa junina, foram vendidos 1980 pastéis, sabendo-se que

este ano foi vendido 1/5 a mais que no ano

passado Qual o número de pastéis vendido em

cada ano?

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c) O perímetro do um retângulo é 46 cm. Sabendo-se que a largura é 9 cm a mais

que o comprimento, quanto mede cada lado desse retângulo?

d) Três amigos foram medir as suas alturas. No total mediram 4,85 m. Sabendo

que Ricardo mede 5 cm a mais que Vítor e que Mateus mede 5

a mais que Ricardo, quanto mede cada um dos amigos?

e) Rafael iniciou exercícios físicos, através de caminhadas. Em uma semana

percorreu o equivalente a 32 km. No segundo e no terceiro dia ele percorreu 1 km

a mais que no primeiro. No quarto e no quinto dia ele percorreu dois km a mais

que no primeiro. No sexto e no sétimo dia ele percorreu um km a

Menos que no primeiro. Quantos km ele percorreu em cada dia

da semana?

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"Pense-se na vida como um imenso problema, uma

equação ou, melhor ainda, uma família de equações em parte

dependentes mas também parcialmente independentes

umas das outras... subentendendo-se que tais

equações são bastante complexas e cheias de

surpresas e que muitas vezes somos incapazes de lhes

descobrir as ‘raízes’."(Fernando Braudel)

1.2 Encontrar a raiz

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é

chamado, pela Matemática, de raiz da equação.

a) Verifique se 2 é raiz da equação: 3 (x + 4) + 6 = 24

Justifique sua resposta:

b) Verifique se 5 é raiz da equação 12x – 4(2x – 5 ) = 3x + 28

Justifique sua resposta:

c) Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da

equação: 2x - 3 = 16

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1.3 Identificar o modelo: Situação 1: Marina e Isabel foram colher maçãs. Ao todo colheram 148 kg de

maçãs, tendo a Marina colhido o triplo da quantidade de maçãs que a Isabel

colheu.

Supondo que x representa a quantidade,

em kg, de maçãs colhidas pela Marina.

Qual das seguintes equações resolve o

problema enunciado?

( ) 3x + 148 = x

( ) 3x = 148

( ) x + 148 = 3x

( ) x + 3x = 148

Quantos quilogramas de maçãs colheu cada uma das amigas?

Situação 2: Uma estudante ganha mensalmente uma quantia de dinheiro. Na

primeira semana ele gastou 2/3 da sua mesada, na

segunda e terceira semana 1/4 e ainda sobrou R$

25,00.

Supondo que x representa a

quantidade em dinheiro que a

estudante recebeu. Qual das seguintes

equações resolve o problema enunciado.

( ) 2/3x + 25,00 + x = 1/4x

( ) 1/4x + 2/3x + x = 25,00

( ) 2/3x + 1/4x + 25,00 = x

( ) 3/7x + x = 25,00

Ao todo, quanto ela recebeu de mesada?

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II. Sistemas de Equações Lineares Nesta seção serão apresentados problemas onde

existe mais de uma variável. Estes problemas podem ser

resolvidos através de Sistemas de Equações Lineares. As

soluções de um sistema de equações são os valores das

variáveis que satisfazem, em simultâneo, todas as

equações do sistema, ou seja, tornam verdadeira, ao

mesmo tempo, essas equações.

Exemplo 1

A soma de dois números é 12 e sua diferença é 2. Que números são

esses?

Traduzindo a situação apresentada para a linguagem matemática para

resolver o problema, utiliza-se o seguinte sistema de equações.

x + y =12

x - y = 2

Resolva o sistema acima pelo método de tentativa.

Verifique se:

a) (4,-2) é uma solução do sistema

2x + y = 6

2x + 3y = 2

b) ( 2,5) é uma solução do sistema

x + y = 4

2x - 3y = 3

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Escreva um sistema que corresponda á seguinte situação.

Uma saia custa o triplo de uma blusa. As duas juntas custam R$ 108,00. Qual o

valor da saia e da blusa?

Exemplo 2

Nos primeiros problemas apresentados foi fácil encontrar a solução, mas

podem ocorrer situações que a solução é um número decimal e corre-se o risco de

ficar horas tentando.

No próximo problema veremos três métodos de resolução que permitem

chegar à solução sem precisar ficar testando valores para as variáveis

A 2ª série do ensino médio do Colégio Edite Cordeiro Marques tem 40

alunos entre meninos e meninas. Eles resolveram

comprar um presente para a professora e arrecadaram

R$ 93,00. As meninas contribuíram com R$2,00 e os

meninos contribuíram com R$3,00. Qual o número de

meninas e meninos da sala?

Para resolver esse problema, vamos chamar de x a quantidade de meninas e y a

quantidade de meninos. Dessa forma, temos:

x + y = 40.

Como as meninas contribuíram com R$ 2,00 e os meninos com R$ 3,00,

temos que:

2 x + 3 y = 93 (reais)

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Esta última sentença matemática corresponde a uma equação do primeiro

grau com duas variáveis. Esse é um caso particular de um sistema de equações

do primeiro grau com várias variáveis.

Uma equação do primeiro grau nas variáveis x1, x2,..., xn é uma

expressão da forma

a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b = 0 Equação 1

onde os números a1, a2, ..., são diferentes de zero.

Dize-se que os números (r1, r2,..., rn) formam uma solução da equação,

se substituindo r1, r2, ..., rn em x1, x2, ... , xn temos que a equação acima é

satisfeita, isto é, a1 r1 + a2r2+...+anrn + b = 0.

Um sistema de equações do primeiro grau em n variáveis x1, x2,..., xn é

um conjunto de equações do primeiro grau nas variáveis x1, x2,..., xn. Dizemos

que os números (r1, r2,..., rn) formam, uma solução para o sistema de equações,

se (r1,r2,...,rn) é solução para todos as equações simultaneamente.

2.1 Resoluções de Sistemas de Equações Lineares

Para resolver o problema proposto pode-se aplicar um dos métodos de

resolução em Sistemas de Equações Lineares de ordem 2.

Existem três métodos diretos básicos, para resolver um sistema de

equações com duas incógnitas:

Adição Substituição Comparação

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x + y = 40 2x + 3 y = 93

-2x +-2 y = -80 2x + 3 y = 93

y = 13

x + y = 40 2x + 3 y = 93

-3 x - 3y = -120 2x + 3 y = 93

-x = -27 . (-1)x = 27

Método da Adição

Basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Multiplicando-se a primeira equação por (-2) e somando-se com a segunda equação, tem-se:

Multiplicando-se a primeira equação por (-3) e somando-se com a segunda

equação, tem-se:

O par ordenado de valores (x, y) = (27, 13) é a solução do sistema.

Para verificar se a solução está correta, basta substituir os valores

encontrados em ambas as equações:

27 + 13 = 40

2. 27 + 3. 13 = 93

Portanto, a solução está correta!

A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e o

número de meninos é 13.

13

Método da substituição

Consiste em eliminar uma das variáveis isolando seu valor numa das

equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra. Considerando-se a

resolução do mesmo exemplo:

x + y = 40.

2 x + 3 y = 93

Deve-se escolher uma das variáveis na primeira equação, para determinar

o seu valor:

x + y = 40 y = 40 – x

2x + 3(40-x) = 93 2x + 120 – 3x = 93

-x = -27 x=27

Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

27 + y = 40 y = 40 – 27 y = 13

Logo a solução do sistema seria: S = (27, 13)

A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e o

número de meninos é 13.

Sempre substituir a solução encontrada em todas as equações do sistema!

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40 – y = 93 - 3 y 2

80 – 2y = 93 – 3y3y – 2y = 93 – 80

y = 13

Método da comparação:

Consiste em comparar as duas equações do sistema, após o isolamento

da mesma variável (x ou y) nas duas equações:

Ex: x + y = 40z

2 x + 3 y = 93

x = 40 - y

2 x = 93 - 3 y x = 93 - 3 y

2

Comparando as duas equações:

Substituindo o valor de y encontrado:

x + 13 = 40

x = 40 - 13

x = 27

Portando S= (27, 13)

A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e

o número de meninos é 13.

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a) x + y = 2 3997x + 10y = 284

b) x + y = 284 7x + 10y = 2 399

c) x + y = 284 10x + 7y = 2 399

Resolva os Problemas

P.1. Em uma festa compareceram 284 pessoas. O preço de ingresso para os

homens era R$ 10,00 e para as mulheres era de R$

7,00. O total arrecadado foi R$ 2.399,00.

Supondo que x represente a quantidade de

mulheres e y o de homens. Qual dos seguintes

sistemas descreve o problema enunciado?

Questão: Quantos homens e quantas mulheres estavam presentes?.

P. 2. Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação: Um armário custa

o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00

P.3. Em uma partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 86 pontos.

A equipe A fez o dobro de pontos, menos 4, que a equipe B. Então, a equipe A

marcou:

16

P.4. Uma casa possui 98m2 de área construída, sendo que três quartos têm o

mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da

casa ocupam 80m2?

P.5. Uma cadeira custa um terço o preço de uma estante. Qual o preço da

estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

P.6. Duas amigas foram à feira. Em uma mesma barraca, Luana comprou 8 peras

e 5 maçãs por R$ 6,70 e Bianca comprou 6 peras e 4

maçãs por R$ 5,20. Qual era o preço de cada fruta?

P.7. Em uma indústria, o número de homens é o dobro do número de mulheres,

mais 34. O total de funcionários da

indústria é 160 pessoas. Quantos

são homens? Quantas são as

mulheres?

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III. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Segundo Iezzi (2005) equação do tipo 2x + 3y = 93 é denominada

equação linear a duas variáveis.

3.1 Equação linear a duas incógnitas

Equação linear nas incógnitas x e y é toda a equação da forma ax + by = c

em que a, b e c são números reais conhecidos, com a e b nulos

simultaneamente.

Pode-se obter vários pares ordenados que sejam as soluções para uma

equação:

Exemplo:

2x + 3y = 12 (3, 2), (0, 4), (6, 0)

Com apenas dois pares ordenados é possível representar o gráfico dessa

equação:

y

(0,4)

(4,2)

x

Figura 01: reta determinada por dois pontos

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3.2 Sistema de duas equações lineares a duas variáveis

A solução gráfica linear do sistema linear consiste na representação de

ambas as retas (cada equação) em um único plano cartesiano.

Exemplo

x + y =12 (4, 8), (7, 5),...

x - y = 2 (5, 3), (8, 6), ...

y

(4,8)

(6,6) (8,6)

(7,5)

(5,3)

x

Figura 02: Representação da Solução de um Sistema Linear Sistema de Equação Linear

Classificação de um sistema de Equação linear quanto ao número de soluções

Um sistema linear recebe o nome de:

Possível (ou compatível) e determinado, se apresenta uma única solução;

Possível (ou compatível) e indeterminado se possui mais de uma solução;

Impossível (ou incompatível), se não admite solução.

19

Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares

Um sistema linear pode ser representado geometricamente considerando-se o

gráfico de cada uma de suas equações. Como as equações apresentam

características lineares (grau 1, não há produto de variáveis ou de termos

transcendentes) as representações são dadas por retas e as soluções do sistema

pelos pontos de intersecção entre estas retas.

Possível (ou compatível) e determinado, se apresenta única solução;

y

(4,8)

(6,6) (8,6)

(7,5)

(5,3)

x

Figura 03: Retas Concorrentes

Obs.: único ponto de intersecção.

20

Possível e indeterminado se possui mais de uma solução

y

x

Figura 04: Retas Paralelas e Coincidentes

Obs.: Infinitos pontos comuns (pontos de intersecção).

Impossível (ou incompatível), se não admite solução.

y

x

Figura 05: Retas Paralelas e Disjuntas

Obs.: Não há ponto comum a ambas as retas.

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2 y – y = 1

d) x + y = 8

e) x + y = 8

2x + 2 y = 1 6

f) x + y = 8-x – y = 1 0

a) 3 x - y = 10 2 x + 5y = 1

b) x – 2 y = 5 2 x – 4y = 2

c) 2 x – 6y = 8 3 x – 9y = 12

Represente graficamente a solução de cada um dos sistemas de equações

lineares a seguir:

Sugestão: a representação gráfica da solução de um sistema de equações

lineares de duas variáveis pode ser obtida com a utilização de um software de

Geometria Dinâmica.

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Software Régua e compasso

O aplicativo “Régua e Compasso” (C.a.R.), desenvolvido pelo professor René

Grothmann da Universidade Católica de

Berlim, na Alemanha, é um software de

Geometria Dinâmica plana gratuito. Ele

está escrito na linguagem Java, tem

código aberto e roda em qualquer

plataforma (Microsoft Windows©, Linux,

Macintosh©, etc).

As construções feitas com o “Régua e

Compasso” são dinâmicas e interativas,

o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da Geometria.

Tutorial: Representação Gráfica de Equação do 1º Grau.

a) Determine dois pontos de cada reta (utilize a ferramenta “ponto” ).

b) Construa uma reta nos pontos criados (utilize a ferramenta “reta” ).

c) Marque um ponto na intersecção das retas (utilize a ferramenta “ponto” ).

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IV. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI R. C.. Ensino- aprendizagem com modelagem matemática: uma

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

D’ AMBRÓSIO, U. Por que se ensina matemática? Texto de curso a distância,

promovido pela SBEM. Disponível em: WWW.sbem.com.br. acesso em: 24

mar. 2004.

IEZZI, G.; DOLCE, O. ; MACHADO, A.; Matemática e Realidade: 7ª série. 5ª ed.

São Paulo: Atual, 2005.

LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E., MORGADO, A. C.; A Matemática do Ensino Médio. V. 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de

Janeiro: IMPA, 2001.

PAVANELLO, R. M. Matemática e educação matemática. Boletim da SBEM- SP,

n. 1, p.4-14, 1993.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método

matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro:

Interciência, 2006.

ROGALSKI, M. Carrefours entre Analyse, Algèbre et Géomètrie.

Paris:Ellipse,2001.