tese phd asgago
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7/24/2019 Tese PhD ASGago
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UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TCNICO
ANLISE ESTRUTURAL DE ARCOS, ABBADAS E CPULAS
Contributo para o Estudo do Patrimnio Construdo
Antnio Manuel Candeias de Sousa Gago
(Mestre)
Dissertao para obteno do grau de Doutor em Engenharia Civil
Orientador: Doutor Antnio Ressano Garcia Lamas
Jri:
Presidente: Reitor da Universidade Tcnica de Lisboa
Vogais: Doutor Antnio Ressano Garcia Lamas
Doutor Jos Manuel Car Baptista Viegas
Doutor Joo Jos Rio Tinto de Azevedo
Doutor Anbal Guimares da Costa
Doutor Artur Vieira Pinto
Doutor Jorge Manuel Vinagre Alfaiate
Engenheiro Joo Augusto da Silva Appleton
Dezembro de 2004
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memria dos meus pais
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RESUMO
O crescente interesse na recuperao do patrimnio construdo exige o domnio de meios de
previso do comportamento estrutural dos edifcios antigos. Os instrumentos correntemente
aplicados na anlise das estruturas modernas mostram-se inadequados para construes antigas
em alvenaria, particularmente para estruturas arqueadas (arcos, abbadas e cpulas), sendo
necessrio desenvolver novos modelos e ferramentas. Este o principal objectivo do presente
trabalho.
Os antigos mtodos de anlise so recuperados, corrigidos, justificados e desenvolvidos luz
da mecnica estrutural actual, de modo a obter metodologias simples que permitam avaliaes
preliminares e valores de referncia para anlises numricas.
Os modernos modelos computacionais, que possibilitam a simulao de comportamentos no
lineares, so estudados e calibrados de modo a adapt-los s estruturas das construes antigas.
Os mtodos dos elementos finitos e discretos so aplicados na modelao de estruturas
arqueadas reais, com vista a identificarem-se os parmetros mais relevantes e as suas principais
caractersticas.
Apresentam-se, tambm, resultados experimentais obtidos em ensaios de um modelo escala
real, os quais permitem a calibrao de modelos numricos.
Os modelos e metodologias desenvolvidos e aperfeioados so depois aplicados no estudo das
patologias estruturais de um edifcio monumental real - a igreja de So Francisco, em vora.
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ABSTRACT
The increasing interest in the conservation of architectural heritage requires the ability for the
simulation of the structural behaviour of old buildings. The design methods applied in the
analysis of modern structures are unsuitable for old masonry buildings, particularly for arched
structures (arcs, vaults and domes), hence the necessity to develop new methods and tools. This
is the main objective of the present work.
In order to develop simple methodologies for preliminary evaluations and reference values for
numerical analyses, old methods of analysis are recovered, corrected, justified and developed
using the concepts of modern structural mechanics.
Recent computational models are studied and calibrated in order to adapt them to old structures.
Finite and discrete elements methods are applied in the simulation of arched structures, aiming
at identifying the most important parameters and their main characteristics.
Results from experimental tests carried out on a full scale model are presented. They allow the
calibration of numerical models.
The developed models and methodologies are applied in the study of the church of So
Francisco, in vora, where structural damages are visible.
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PALAVRAS CHAVE
KEYWORDS
AbbadaAlvenaria
Arco
Cpula
Linha de Presses
Anlise Estrutural
Arch
Dome
Line of Thrust
Masonry
Structural Analysis
Vault
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AGRADECIMENTOS
A presente tese foi desenvolvida no mbito da actividade de investigao do autor no Instituto
de Engenharia de Estruturas, Territrio e Construo do Instituto Superior Tcnico.
O trabalho foi apoiado pela Fundao para a Cincia e Tecnologia atravs da bolsa de
investigao BD/18328/98, no mbito do programa PRAXIS XXI, e do projecto de investigao
Proteco do Patrimnio Construdo da Aco dos Sismos, PRAXIS I&D 3/3.1/CEG/2006/
95, actualmente designado por POCTI/CEG/2606/02.
A realizao desta tese no teria sido possvel sem a contribuio, directa ou indirecta, de
inmeras pessoas, s quais endereo os meus agradecimentos. A tarefa de mencionar nomes
algo ingrata, em virtude da impossibilidade de referir todos a quem reconheo dvida pelo apoio
prestado. No entanto, gostaria de referir alguns pela particular ateno que me dedicaram.
Ao Professor Antnio Ressano Garcia Lamas, supervisor cientfico deste trabalho e meu
orientador desde o incio da minha actividade docente no Departamento de Engenharia Civil e
Arquitectura do Instituto Superior Tcnico, desejo manifestar o meu profundo agradecimento.
Nunca ser demais realar todo o apoio e amizade que me tem prestado desde que iniciei acarreira docente. O seu acompanhamento ao longo destes mais de dez anos, os seus
ensinamentos e a sua influncia na minha opo de investigao na rea da reabilitao
estrutural de edifcios antigos, so objecto do meu especial agradecimento.
Ao Professor Joo Jos Rio Tinto de Azevedo manifesto o meu reconhecimento pelo apoio
prestado em diversas fases da minha carreira, em especial em alguns momentos difceis da
evoluo da presente tese.
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Ao Professor Jorge Manuel Vinagre Alfaiate agradeo o interesse pelo meu trabalho e o apoio
conferido na rea da anlise numrica no linear de estruturas de alvenaria.
Ao Engenheiro Artur Vieira Pinto do Centro Comum de Investigao da Comisso Europeia
(Joint Research Centre), em Ispra, Itlia, manifesto o meu agradecimento pela possibilidade de
ter integrado a equipe de investigao do projecto COSISMOe pela simpatia e apoio concedido
durante a minha estadia naquela instituio.
Ao Engenheiro Pierre Pegon do Centro Comum de Investigao da Comisso Europeia e ao
Engenheiro Jos Vieira de Lemos do Laboratrio Nacional de Engenharia Civil agradeo o
apoio nos programas de clculo CASTEM e UDEC, respectivamente, e o trabalho numrico
realizado no mbito do projecto COSISMO.
Direco Geral dos Edifcios e Monumentos Nacionais, nas pessoas do seu director geral,
Engenheiro Vasco Martins Costa, e do director regional da zona Sul, Arquitecto Jos Felipe
Ramalho, agradeo o apoio concedido ao projecto COSISMOe ao trabalho de investigao
referente igreja de So Francisco em vora.
Ao Professor Francisco Baptista Esteves Virtuoso desejo manifestar um especial agradecimento
pela inestimvel amizade e pelos preciosos conselhos e ensinamentos com que me entusiasmou
pela profisso que exero.
A todos os meus colegas da antiga seco de Mecnica Aplicada do Departamento de
Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico, em particular aos Professores Carlos de Sousa
Oliveira, Eduardo Ribeiro Pereira, Lus Coelho Guerreiro, Rita Nogueira Leite Pereira Bento,
Jorge Miguel Mascarenhas Proena e Antnio Pinto da Costa e ao Professor Lus Santos Castro
do ncleo de Anlise de Estruturas agradeo os incentivos para a realizao desta tese e o bom
ambiente de trabalho.
No posso deixar de reconhecer apoio que recebi do secretariado da antiga seco de Mecnica
Aplicada do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico ao longo da
minha carreira acadmica e em especial a boa disposio e eficincia da secretria Lurdes Piado
Farrusco que muito facilitaram a minha actividade de investigao.
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Ao Engenheiro Manuel Ritto Corra e ao Professor Nuno Guerra agradeo a disponibilidade e
as frutferas discusses que muito me auxiliaram e aos meus colegas Professor Joo Gomes
Ferreira e Engenheiro Joaquim Ramos Dias agradeo a amizade que nos une e a solidariedade
manifestada ao longo deste longo percurso de ps graduao que teve incio com o mestrado em
Engenharia de Estruturas.
Dedico este trabalho memria dos meus pais, porque tudo o que lhes devo no caberia nestas
pginas, e aos meus filhos Pedro e Joo pelo amor que lhes tenho e pela menor disponibilidade
que revelei durante a execuo deste trabalho.
O maior agradecimento no podia deixar de ser dirigido Carmo, minha mulher, pelo seu apoio
e estmulo e pelos sacrifcios que frequentemente lhe impus durante a execuo desta
dissertao.
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NDICE
Captulo 1 - Introduo
1.1 - Introduo ............................................................................................................ 1
1.2 - Objectivos ...........................................................................................................5
1.3 - Estrutura do Trabalho ..........................................................................................6
Captulo 2 - Enquadramento Histrico
2.1 - Introduo ............................................................................................................ 11
2.2 - A Construo em Alvenaria Atravs dos Tempos ...............................................11
2.3 - A Evoluo dos Mtodos de Dimensionamento ..................................................19
2.3.1 - Da Antiguidade ao Renascimento ............................................................19
2.3.2 - Do Renascimento ao Sculo XIX .............................................................22
2.3.3 - Do Sculo XIX Actualidade ..................................................................38
Captulo 3 - Metodologias Grficas e Analticas
3.1 - Introduo ............................................................................................................ 53
3.2 - Regra do Tero Central. Linha de Presses ......................................................54
3.3 - Anlise Geomtrica pelo Polgono Funicular ......................................................64
3.4 - Anlise Geomtrica pelo Mtodo de Fuller .........................................................69
3.5 - Mtodo Elstico de Pippard .................................................................................72
3.6 - Teoria da Anlise Limite Aplicada a Estruturas de Alvenaria .............................76
3.7 - Linhas de Presses. Analogia com Cabos Suspensos ..........................................85
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3.8 - Mtodos Analticos Baseados em Mecanismos ...................................................94
3.8.1 - Dimensionamento da Espessura dos Ps Direitos de Arcos ..................... 94
3.8.2 - Coeficientes de Segurana Geomtricos. Espessuras Mnimas ................106
3.8.3 - Arcos Sujeitos Aco de Cargas Concentradas. Cargas de Colapso .....136
3.9 - Estruturas Tridimensionais - Cpulas e Abbadas ..............................................148
3.9.1 - Abbadas ..................................................................................................150
3.9.1.1 - Metodologias Analticas ............................................................150
3.9.1.2 - Metodologias Grficas ..............................................................156
3.9.2 - Cpulas .....................................................................................................160
3.9.2.1 - Metodologias Analticas ............................................................160
3.9.2.2 - Metodologias Grficas .............................................................181
3.10 - Concluses .........................................................................................................182
Captulo 4 - Modelao Numrica de Estruturas em Alvenaria
4.1 - Introduo ............................................................................................................ 187
4.2 - Metodologias de Anlise Numrica em Estruturas de Alvenaria ........................188
4.2.1 - Elementos Estruturais e Macro-Elementos ............................................... 188
4.2.2 - Modelos Contnuos de Elementos Finitos ................................................189
4.2.3 - Modelos Descontnuos de Elementos Finitos ........................................... 196
4.2.4 - Modelos de Elementos Discretos ..............................................................200
4.3 - Caracterizao Experimental das Alvenarias Regulares ...................................... 202
4.4 - O Mtodo dos Elementos Finitos na Modelao da Alvenaria ............................210
4.4.1 - Estrutura do Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise No Linear ........210
4.4.2 - Algoritmos de Soluo No Linear em Problemas Estticos ...................218
4.4.2.1 - Controle de Cargas e de Deslocamentos ...................................218
4.4.2.2 - Mtodo do Comprimento do Arco ............................................218
4.4.2.3 - Procedimentos Iterativos ...........................................................223
4.4.2.4 - Algoritmo de Pesquisa em Linha ..............................................224
4.4.2.5 - Critrios de Convergncia .........................................................225
4.4.3 - Modelos No Lineares para Materiais Quase-Frgeis .............................. 227
4.4.3.1 - Modelos Descontnuos - Modelos de Fenda Discreta ...............227
4.4.3.2 - Modelos Contnuos - Modelos de Fenda Distribuda ................232
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4.5 - O Mtodo dos Elementos Discretos na Modelao da Alvenaria ........................240
4.5.1 - Deformabilidade dos Blocos Discretos ....................................................240
4.5.2 - Interaco entre Blocos .............................................................................241
4.5.2.1 - Definio do Contacto - Contacto Pontual ................................241
4.5.2.2 - Deteco de Contactos e suas Actualizaes ............................242
4.5.2.3 - Representao Geomtrica dos Vrtices - Aproximao por Arcos
Circulares ..................................................................................245
4.5.2.4 - Contacto Vrtice - Aresta ..........................................................247
4.5.2.5 - Contacto Vrtice -Vrtice ..........................................................249
4.5.2.6 - Mudana de Tipo de Contacto ...................................................250
4.5.3 - Comportamento Mecnico dos Contactos ................................................250
4.5.4 - Clculo Estrutural ..................................................................................... 253
4.5.4.1 - Algoritmo de Clculo ................................................................ 253
4.5.4.2 - Ciclo de Clculo ........................................................................254
4.5.4.3 - Equaes de Movimento ...........................................................256
4.5.4.4 - Amortecimento ..........................................................................259
4.5.4.5 - Estabilidade Numrica .............................................................. 261
4.6 - Comparao dos Mtodos ....................................................................................262
4.7 - Estudos Numricos ...............................................................................................264
4.7.1 - Arco Circular - Modelos Descontnuos de Elementos Finitos .................264
4.7.1.1 - Anlises Geometricamente Lineares .........................................266
4.7.1.2 - Anlises Geometricamente No Lineares .................................267
4.7.1.3 - Efeitos da Modelao da Resistncia Traco das Juntas ......269
4.7.1.4 - Efeitos da Modelao da Resistncia Compresso dos
Blocos ........................................................................................ 272
4.7.2 - Arco Circular - Modelos de Elementos Discretos ....................................274
4.7.3 - Arco Circular - Modelos Contnuos de Elementos Finitos .......................276
4.7.4 - Arcos Ogivais - Modelos de Elementos Discretos ...................................278
4.8 - Estudo de Pontes em Arco com Vis ...................................................................281
4.9 - Simulao Numrica de Ensaios Experimentais em Pontes Reais ...................... 288
4.9.1 - Consideraes sobre Efeitos de Escala em Modelos de Estruturas
Arqueadas ..................................................................................................288
4.9.2 - Modelao Numrica do Ensaio da Ponte de Bridgemill .........................292
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4.9.3 - Modelao Numrica do Ensaio da Ponte de Bargower ..........................298
4.9.3.1 - Descrio da Ponte e do Ensaio Experimental ..........................298
4.9.3.2 - Modelo Numrico Simplificado ................................................300
4.9.3.3 - Modelo Numrico mais Sofisticado ..........................................305
4.10 - Concluses .........................................................................................................313
Captulo 5 - Projecto COSISMO
5.1 - Introduo ............................................................................................................ 317
5.2 - A Estrutura Ensaiada ............................................................................................320
5.2.1 - O Mosteiro de So Vicente de Fora ..........................................................320
5.2.2 - Estudos Preliminares ................................................................................322
5.2.3 - Estudos Numricos para Definio do Modelo Experimental .................324
5.2.4 - A Execuo do Modelo Experimental ......................................................332
5.2.5 - Sistemas de Aplicao das Cargas e Plano de Instrumentao ................336
5.3 - Ensaios Pseudo-Dinmicos ..................................................................................340
5.3.1 - Metodologia dos Ensaios Pseudo-Dinmicos ...........................................340
5.3.2 - Caractersticas do Laboratrio ELSA .......................................................344
5.4 - Resultados dos Ensaios Experimentais ................................................................345
5.4.1 - A Primeira Campanha de Ensaios - Modelo Experimental No
Reforado ..................................................................................................345
5.4.2 - A Segunda Campanha de Ensaios - Modelo Experimental Reforado ....357
5.5 - Modelao Numrica dos Ensaios .......................................................................364
5.5.1 - Modelos de Elementos Finitos ..................................................................365
5.5.2 - Modelos de Elementos Discretos ..............................................................370
5.6 - Concluses ...........................................................................................................375
Captulo 6 - Caso de Estudo, Igreja de So Francisco
6.1 - Introduo ............................................................................................................ 379
6.2 - Descrio do Edifcio e Anomalias Estruturais ...................................................381
6.2.1 - Introduo .................................................................................................381
6.2.2 - Descrio Geral do Edifcio ...................................................................... 383
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6.2.3 - Histria das Intervenes na Construo ..................................................384
6.2.4 - Descrio dos Danos Observados .............................................................391
6.3 - Inspeco e Monitorizao ...................................................................................394
6.3.1 - Introduo .................................................................................................394
6.3.2 - Inspeco - Danos Observados .................................................................396
6.3.3 - Monitorizao da Igreja ............................................................................406
6.4 - Estudos Numricos ...............................................................................................409
6.4.1 - Modelos de Elementos Finitos Elsticos e Lineares .................................409
6.4.2 - Modelos de Elementos Finitos no Lineares ............................................414
6.5 - Diagnstico ..........................................................................................................416
6.6 - Desenvolvimentos Futuros ...................................................................................417
Captulo 7 - Concluses e Desenvolvimentos Futuros
7.1 - Introduo ............................................................................................................ 419
7.2 - Concluses ...........................................................................................................421
7.3 - Perspectivas de Desenvolvimentos Futuros .........................................................426
Bibliografia Histrica .................................................................................................429
Bibliografia ..................................................................................................................433
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NDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 - Mecanismo de colapso de um arco sob a aco de uma carga concentrada e exemplo
de colapso eminente de um arco realAdam,1995. ................................................. 4
Figura 2.1 - Produo de tijolos no antigo Egipto (tumulo de
Rekhmara - Thebes, 1500 A.C.). ...................................................................... 12
Figura 2.2 - Porta dos Lees - Micenas, Grcia (sculo XIII A.C.). ................................ 13
Figura 2.3 - Partenon - Atenas, Grcia (sculo V A.C.). ..................................................... 14
Figura 2.4 - Cpula do Panteo de Roma (sculo II D.C.). ................................................. 14
Figura 2.5 - Arcos embebidos nas paredes de alvenaria (Panteo de Roma) e parede de alvenaria
com elementos de madeira (Herculano, 62-79 D.C.)Adam,1995. ....................... 15
Figura 2.6 - Vista interiorViollet le Duc,1858e esquema estrutural de uma catedral gtica. .... 18
Figura 2.7 - Cpulas das baslicas de Santa Maria del Fiore (esq.) e de S. Pedro em
Roma (dta.). ...................................................................................................... 18
Figura 2.8 - Pgina do livro de apontamentos de Villard de Honnecourt. ........................... 20
Figura 2.9 - Regras empricas de Rodrigo Gil de Hontan para o dimensionamento da
espessura das colunas ou paredes que suportam um arco semi-circular. ......... 21
Figura 2.10 - Paralelograma de foras de Leonardo da Vinci. ............................................. 23
Figura 2.11 - Estudos sobre arcos e regra para a verificao da estabilidade de arcos de Leonardoda Vinci. ........................................................................................................... 23
Figura 2.12 - Regra de Derand para dimensionamento da espessura dos ps-direitos de
arcosMainstone,1988. ............................................................................................ 24
Figura 2.13 - Corrente suspensa de HookeHeyman,1988. ........................................................ 25
Figura 2.14 - Grficos de Philippe de la Hire: Esquerda - clculo dos pesos a suspender num
cabo para que este adquira uma dada geometria; Direita - clculo das dimenses das
aduelas para uma dada geometria do eixo do arco, desprezando o atrito e a coeso
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entre aduelas. .................................................................................................... 26
Figura 2.15 - Mecanismo tipo cunha deslizante proposto por Philippe de la Hire. ............. 27
Figura 2.16 - Diagrama de corpo livre correspondente ao mecanismo proposto por
La Hire. ............................................................................................................. 27
Figura 2.17 - Metodologia grfica proposta por La Hire para a determinao das espessuras dos
ps-direitos de arcos. ........................................................................................ 28
Figura 2.18 - Regra de Couplet para verificao da segurana de uma arco. ...................... 30
Figura 2.19 - Modelo de colapso considerado por Couplet e metodologia grfica para anlise do
equilbrio dos corpos rgidos formados pelas descontinuidade. ....................... 30
Figura 2.20 - Metodologia grfica de Couplet para anlise do arco com 120 de
abertura. ............................................................................................................ 31
Figura 2.21 - Mecanismos de colapso obtidos experimentalmente por Danyzy e publicados por
Frzier. .............................................................................................................. 32
Figura 2.22 - Modelo de Poleni para anlise da estabilidade da cpula de S. Pedro em
Roma. ............................................................................................................... 33
Figura 2.23 - Estudos de Bossut para a geometria das aduelas dum arco circular. .............. 35
Figura 2.24 - Modelo de Coulomb para anlise de arcos. .................................................... 36
Figura 2.25 - Mecanismos limites considerados por Coulomb. ........................................... 36
Figura 2.26 - Mecanismo considerado por Mascheroni no dimensionamento da espessura dos
ps-direitos dos arcos. ...................................................................................... 37
Figura 2.27 - Linhas de resistncia (a-b-c-d-e-f) e de presses (A-B-C-D-E). .................... 39
Figura 2.28 - Linha de resistncia limite correspondente ao impulso horizontal mnimo. .. 40
Figura 2.29 - Mtodo grfico de Mry. ................................................................................ 41
Figura 2.30 - Verificao da segurana de um arco e da espessura de um p direito. ......... 42
Figura 2.31 - Verificao da segurana de uma abbada e da espessura do seu p-
direitoSalinger,1942. ............................................................................................. 43
Figura 2.32 - Modelos de Barlow. ........................................................................................ 43
Figura 2.33 - Modelo de Gaud para o dimensionamento de cpulas atravs da analogia entre
arcos e correntes suspensas. ............................................................................. 45
Figura 2.34 - Modelos foto-elsticos de Robert Mark para o estudo das catedrais de Beauvais e
Bourges - aco do peso prprio da estruturaMark, 1982. .................................. 49
Figura 2.35 - Modelos de anlise limite para verificao da segurana de fachadas em alvenaria:
Esquerda - comportamento no plano; Direita - comportamento fora do
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planoGiuffr,1993. ................................................................................................ 50
Figura 2.36 - Modelao do comportamento estrutural de parede de alvenaria de tijolo atravs
de modelos de elementos finitos com interfaces no linearesLoureno,1996. ..... 51
Figura 2.37 - Modelo elstico linear da fachada completa da baslica de S. Pedro em
RomaMacchi,2001. ............................................................................................... 51
Figura 3.1 - Diferentes tipos de alvenaria de pedra (em cima: alados; em baixo: cortes
transversais). ..................................................................................................... 55
Figura 3.2 - Tenses normais e esforos actuantes na seco transversal de uma pea
linear. ................................................................................................................ 55
Figura 3.3 - Distribuio das tenses internas numa seco em funo da posio da sua
resultante. ......................................................................................................... 56
Figura 3.4 - Distribuio das tenses internas numa seco em funo da posio da sua
resultante (cont.). .............................................................................................. 57
Figura 3.5 - Diagrama de interaco M-N (seco recngular no resistente traco). .... 59
Figura 3.6 - Diagrama de interaco emax-N (seco recngular no resistente traco). 59
Figura 3.7 - Linhas de presses e de resistncia num arco, de acordo com as definies de
Timoshenko. ..................................................................................................... 60
Figura 3.8 - Regras do tero e da metade central. ................................................................ 61
Figura 3.9 - Diagrama de corpo livre de um troo de um arco. ........................................... 61
Figura 3.10 - Discretizao da carga aplicada no arco. ........................................................ 62
Figura 3.11 - Geometria do arco da ponte Teston em Kent (dimenses em metro). ........... 63
Figura 3.12 - Ponte de Teston - discretizao da carga permanente. ................................... 63
Figura 3.13 - Posio duma possvel linha de presses da ponte Teston para a aco do peso
prprio e de uma carga concentrada aplicada a 1/4 de vo e com intensidade
40 kN. ............................................................................................................... 65
Figura 3.14 - Traado de um polgono funicular. ................................................................ 65
Figura 3.15 - Linhas de presses correspondentes ao impulso mximo e ao impulso
mnimoSalinger,1942. ........................................................................................... 67
Figura 3.16 - Mtodo grfico de Mry. ................................................................................ 67
Figura 3.17 - Geometria dos polgonos funiculares em funo da localizao da resultante das
cargas. ............................................................................................................... 68
Figura 3.18 - Efeito favorvel do enchimento no extradorso do arco no perfil da linha de
presses: linhas de presses do peso prprio do arco (esq.) e dos pesos prprios do
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arco e do material de enchimento (dta). ........................................................... 69
Figura 3.19 - Mtodo de Fuller - espessura mnima admissvel de um arco circular submetido
aco do seu peso prprio - a)b) com menor discretizao do carregamento e
considerando os pontos do extradorso; c)d) com maior discretizao do
carregamento e considerando os pontos do intradorso. .................................... 70
Figura 3.20 - Mtodo de Fuller - espessura mnima admissvel para um arco circular submetido
acco do peso prprio do material de enchimento no extradorso. ............... 72
Figura 3.21 - Anlise elstica de Pippard. ............................................................................ 73
Figura 3.22 - Movimento relativo numa junta entre elementos. .......................................... 78
Figura 3.23 - Regio admissvel no espao das tenses. ...................................................... 79
Figura 3.24 - Regio admissvel real no espao das tenses. ............................................... 81
Figura 3.25 - anlise limite de um arco de perfil parablico. ............................................... 83
Figura 3.26 - Momento de "plastificao" em funo da localizao da carga
concentradaHeyman,1969. .................................................................................... 85
Figura 3.27 - Coeficiente de segurana geomtricoHeyman,1980b). ....................................... 85
Figura 3.28 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio do
arco. .................................................................................................................. 86
Figura 3.29 - Geometria da linha de presses correspondente ao arco submetido apenas aco
do seu peso prprio - catenria invertida. ......................................................... 87
Figura 3.30 - Determinao da linha de presses correspondente aco de uma carga
uniformemente distribuda na largura do arco. ................................................ 88
Figura 3.31 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio do
material de enchimento no extradorso do arco. ................................................ 89
Figura 3.32 - Famlia de linhas de presses correspondente aco do peso prprio do material
de enchimento no extradorso do arco, para um vo L = 20 m e uma altura total a +
h = 10 m. ........................................................................................................... 89
Figura 3.33 - Determinao do carregamento correspondente a uma linha de presses
circular. ............................................................................................................. 90
Figura 3.34 - Famlia de carregamentos correspondentes linha de presses circular. ...... 91
Figura 3.35 - Clculo da espessura de um arco com linha de presses coincidente com o
intardorso circular. ............................................................................................ 92
Figura 3.36 - Famlia de espessuras do arco correspondente linha de presses circular (cima)
e extradorso do arco correspondente a uma linha de presses coincidente com o
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intradorso circular (t/r = 0.125) (baixo). ........................................................... 93
Figura 3.37 - Possveis mecanismos de colapso de um arco apoiado sobre colunas ou paredes:
esq - mecanismo de escorregamento (de La Hire); dta - mecanismo rotacional (de
Coulomb-Mascheroni). ..................................................................................... 95
Figura 3.38 - Mecanismo de escorregamento de Philippe de la Hire - Diagramas de corpo
livre. .................................................................................................................. 96
Figura 3.39 - Mecanismo de escorregamento de Bernard Belidor - Diagramas de corpo
livre. .................................................................................................................. 97
Figura 3.40 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular calculadas atravs dos
modelos correspondentes s hipteses de Philippe de la Hire e Bernard
Belidor. ............................................................................................................. 99
Figura 3.41 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares para
diferentes valores do ngulo de atrito - hipteses de La Hire, de Belidor e de
Coulomb-Mascheroni. ...................................................................................... 100
Figura 3.42 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares determinadas
pelas hipteses de La Hire, Belidor e de Coulomb-Mascheroni. .................... 100
Figura 3.43 - Espessuras mnimas admissveis dos ps direitos de arcos circulares determinadas
pelas hipteses de La Hire, Belidor e de Coulomb-Mascheroni. ..................... 101
Figura 3.44 - Mecanismo rotacional de Coulomb-Mascheroni. ........................................... 101
Figura 3.45 - Diagrama de corpo livre do mecanismo rotacional. ....................................... 102
Figura 3.46 - Diagrama de corpo livre do mecanismo rotacional ........................................ 103
Figura 3.47 - Espessuras dos ps direitos em funo do ngulo de localizao da seco
fracturada. ......................................................................................................... 104
Figura 3.48 - Diagramas -e -para os mecanismos de escorregamento de La Hire e de
Belidor e para o mecanismo rotacional de Coulomb-Mascheroni. .................. 105
Figura 3.49 - Espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas aco do
seu peso prprio. ............................................................................................... 107
Figura 3.50 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco do seu peso
prprio. ............................................................................................................. 108
Figura 3.51 - Espessura mnima de um arco circular abatido. ............................................. 109
Figura 3.52 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco do seu peso
prprio. ............................................................................................................. 110
Figura 3.53 - Mecanismo de colapso correspondente espessura mnima de um arco circular
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sujeito apenas aco do seu peso prprio. ..................................................... 110
Figura 3.54 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas
aco do seu peso prprio e do impulso horizontal correspondente, em funo do
ngulo de abertura do arco. .............................................................................. 111
Figura 3.55 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular com 20 m de vo,
submetido apenas aco do seu peso prprio, em funo da sua altura f = R(1-
cos), na hiptese de inexistncia de escorregamentos relativos. ................... 112
Figura 3.56 - Espessura mnima de um arco circular sujeito apenas aco de uma carga
uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 112
Figura 3.57 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido apenas aco de uma carga
uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 113
Figura 3.58 - Espessura mnima admissvel em funo do ngulo de abertura do arco (arco
circular submetido apenas aco de uma carga uniformemente distribuda). 115
Figura 3.59 - Impulso horizontal correspondente espessura mnima admissvel em funo do
ngulo de abertura do arco (arco circular submetido apenas aco de uma carga
uniformemente distribuda). ............................................................................. 116
Figura 3.60 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido aco do seu peso prprio e
de uma carga uniformemente distribuda no seu vo. ...................................... 117
Figura 3.61 - Variao da espessura mnima admissvel em funo do valor da carga uniforme,
para um arco circular sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga
uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 118
Figura 3.62 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco sujeito aco do seu peso
prprio e de uma carga uniformemente distribuda no seu vo, em funo do seu
ngulo de abertura. ........................................................................................... 119
Figura 3.63 - Enchimento do extradorso do arco. ................................................................ 120
Figura 3.64 - Espessura mnima admissvel de um arco circular submetido apenas aco do
peso prprio do material de enchimento no seu extradorso. ............................ 120
Figura 3.65 - Diagramas de corpo livre - arco circular submetido aco do peso prprio do
material de enchimento no seu extradorso. ...................................................... 121
Figura 3.66 - Espessura mnima admissvel de um arco submetido aco do peso prprio do
material de enchimento no extradorso, em funo do ngulo de localizao da
articulao junto das impostas. ......................................................................... 123
Figura 3.67 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco submetido apenas aco
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do peso prprio do material de enchimento no seu extradorso, em funo do ngulo
de abertura do arco. .......................................................................................... 124
Figura 3.68 - Diagramas de corpo livre do arco circular submetido ao seu peso prprio e do
material de enchimento no extradorso. Em cima: mecanismo 1 - efeito do peso
prprio do arco preponderante; em baixo: mecanismo 2 - efeito do peso prprio do
enchimento no extradorso do arco preponderante. ........................................... 125
Figura 3.69 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular completo sujeito aco dos
pesos prprios do arco e do material de enchimento no extradorso, obtidas atravs
do mecanismo 1. ............................................................................................... 126
Figura 3.70 - Espessuras mnimas admissveis de um arco circular completo sujeito aco dos
pesos prprios do arco e do material de enchimento no extradorso - obtidas atravs
do mecanismo 2. ............................................................................................... 126
Figura 3.71 - Variao da espessura mnima admissvel de um arco circular completo sujeito
aco do seu peso prprio e do material de enchimento no extradorso. .......... 127
Figura 3.72 - Linhas de presses correspondentes aos impulsos horizontal mximo e mnimo
num arco circular completo. ............................................................................. 128
Figura 3.73 - Situaes limites correspondentes aos impulsos horizontais mximo e
mnimo. .............................................................................................................. 128
Figura 3.74 - Diagrama de corpo livre - situao limite de impulso horizontal mnimo, num arco
circular completo sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga
uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 129
Figura 3.75 - Variao do impulso horizontal mnimo Hmem funo do ngulo de localizao
da articulao nos rins do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R =
2.5;5.0;7.5 m). .................................................................................................. 130
Figura 3.76 - Variao de dHm/dem funo do ngulo de localizao da articulao nos rins
do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 7.5 m). ....................... 130
Figura 3.77 - Diagrama de corpo livre - situao limite de impulso horizontal mximo, de um
arco circular completo sujeito aco do seu peso prprio e de uma carga
uniformemente distribuda no seu vo. ............................................................ 131
Figura 3.78 - Variao do impulso horizontal mximo HMem funo do ngulo de localizao
da articulao nos rins do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 2.5
;5.0 ;7.5 m). ...................................................................................................... 132
Figura 3.79 - Variao de dHM/dem funo do ngulo de localizao da articulao nos rins
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do arco (q = 10 kN/m2, = 20 kN/m3, t = 1.00 m, R = 7.5 m). ....................... 133
Figura 3.80 - Variao dos impulsos horizontais mximo e mnimo em funo do ngulo de
localizao da articulao nos rins do arco, para a situao correspondente
espessura mnima admissvel (t = 0.106R) e para uma espessura superior mnima
(q = 0, = 20 kN/m3, t = 0.795 m e 1.00 m, R = 7.5 m). ................................ 133
Figura 3.81 - Variao dos impulsos horizontais mximo e mnimo correspondentes s anlises
com e sem considerao do efeito da tenso limite de compresso (q = 1000 kN/
m2, = 20 kN/m3, t = 1.50 m, R = 7.5 m, lim= 7 MPa). ............................... 136
Figura 3.82 - Mecanismo de colapso de um arco submetido aco de uma carga
concentrada. ........................................................................................................ 138
Figura 3.83 - Mecanismo cinematicamente admissvel de um arco submetido aco do peso
prprio do arco e do material de enchimento no seu extradorso, sobrecarga
uniforme e de uma carga concentrada. ............................................................. 139
Figura 3.84 - Clculo dos deslocamentos num mecanismo cinematicamente admissvel. .. 139
Figura 3.85 - Geometria do arco. ......................................................................................... 140
Figura 3.86 - Cargas de colapso em funo da localizao do ponto de aplicao e da relao
L/h - aco exclusiva do peso prprio do arco (pp = 26.8 kN/m3) - esq: valores em
kN; dta: valores normalizados. ......................................................................... 141
Figura 3.87 - Cargas de colapso em funo da localizao do ponto de aplicao e da relao L/
h - aco do peso prprio do arco (pp = 26.8 kN/m3) e do material de enchimento
no extradorso (= 20 kN/m3), que se considerou com 1.76 m de altura acima do
fecho (hsc = 1.76 m) - esq: valores em kN; dta: valores normalizados. ......... 141
Figura 3.88 - Localizao mais desfavorvel da carga concentrada - arco sujeito aco de uma
carga concentrada e do seu peso prprio. ......................................................... 142
Figura 3.89 - Arco abatido e linha de presses bi-linear correspondente aco
concentrada. ...................................................................................................... 142
Figura 3.90 - Disperso da carga concentrada atravs do material de enchimento no extradorso
do arco. ............................................................................................................. 143
Figura 3.91 - Efeito da disperso da carga concentrada atravs do material de
enchimento. ...................................................................................................... 143
Figura 3.92 - Modelo para considerao do impulso do material de enchimento no extradorso
do arco. ............................................................................................................. 144
Figura 3.93 - Efeito do impulso passivo do material de enchimento - arco circular (r = 5.18 m,
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t = 0.65 m, L/h = 2:1) sujeito aco do seu peso prprio (26.8 kN/m3), do peso
prprio do material de enchimento (20.0 kN/m3), que se considerou ter a altura
acima do fecho de 1.76 m (hsc = 1.76 m). ....................................................... 145
Figura 3.94 - Plastificao das seces do arco. .................................................................. 146
Figura 3.95 - Deslocamentos dos pontos de aplicao das foras. ...................................... 146
Figura 3.96 - Relaes fora-deslocamento do ponto de aplicao da carga concentrada num
arco circular. ..................................................................................................... 148
Figura 3.97 - Modelo simplificativo de comportamento estrutural de uma abbada de aresta e
respectiva analogia da esfera rolante proposta por Abraham em 1934Mark,1982. 150
Figura 3.98 - Troo elementar da abbada cilndrica. .......................................................... 151
Figura 3.99 - Abbada de aresta formada pela interseco de superfcis cilndricas. .......... 152
Figura 3.100 - Diagramas de corpo livre do troo da abbada de aresta. ............................ 153
Figura 3.101 - Localizao das reaces horizontais que resultam da existncia de arcos
botantes ou contrafortes, necessrias para o equilbrio da abbada de aresta. . 154
Figura 3.102 - Preenchimento dos encontros das abbadas de aresta, necessrio para a
mobilizao da reaco horizontal que equilibra a estruturaMark e Robison,1993. 154
Figura 3.103 - Corte horizontal da superfcie cilndrica da abbada de aresta. ................... 156
Figura 3.104 - Adaptao do mtodo de Mry na anlise da estabilidade de abbadas de
aresta. ................................................................................................................ 159
Figura 3.105 - Troo elementar da membrana de revoluoTimoshenko,1959. ........................ 161
Figura 3.106 - Membrana esfrica - esforos meridionais. .................................................. 162
Figura 3.107 - Resultados da soluo das equaes diferenciais de equilbrio de uma membrana
esfrica sujeita apenas aco do seu peso prprio. ........................................ 162
Figura 3.108 - Esquerda: Tenses circunferenciais na soluo da casca fina esfrica sujeita
apenas aco do seu peso prprio; Direita: Fendilhao meridional da cpula do
Prtenon em RomaMark e Robison,1993. ............................................................... 163
Figura 3.109 - Modelo de cpula esfrica com lanternim. ................................................... 163
Figura 3.110 - Resultados das solues das equaes diferenciais de equilbrio de uma
membrana esfrica com e sem lanternim, sujeita apenas aco do seu peso
prprio. ............................................................................................................. 164
Figura 3.111 - Esforos meridionais e circunferenciais para diferentes fases construtivas da
cpula esfrica sujeita apenas aco do seu peso prprio. ............................ 165
Figura 3.112 - Equilbrio do troo da cpula esfrica. ......................................................... 166
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Figura 3.113 - Esforos meridionais e circunferenciais numa membrana esfrica com
lanternim. .......................................................................................................... 167
Figura 3.114 - Troo elementar da superfcie de presses. .................................................. 169
Figura 3.115 - Superfcie de presses normalizada (aco do peso prprio da cpula). ..... 170
Figura 3.116 - Famlia de superfcies de presses. .............................................................. 171
Figura 3.117 - Geometria da cpula esfrica. ...................................................................... 172
Figura 3.118 - Diagrama de corpo livre do troo elementar da cpula. ............................... 173
Figura 3.119 - Superfcies de presses de cpulas esfricas de 40 m de raio, calculadas com base
na sua decomposio em duas partes (superior e inferior) - aco do peso prprio
da cpula. .......................................................................................................... 175
Figura 3.120 - Determinao da linha de presses correspondente aco do peso prprio de
uma lnula da cpula esfrica. ......................................................................... 176
Figura 3.121 - Famlia de linhas de presses correspondentes aco do peso prprio de uma
lnula da cpula esfrica (R = 10m). ............................................................... 177
Figura 3.122 - Decomposio da cpula em lnulas - mecanismo correspondente espessura
mnima admissvel. ........................................................................................... 177
Figura 3.123 - Diagrama de corpo livre - arco de largura varivel correspondente
decomposio de uma cpula esfrica em lnulas e submetida apenas aco do
seu peso prprio. ............................................................................................... 178
Figura 3.124 - Variao da espessura mnima admissvel de uma cpula circular submetida
apenas aco do seu peso prprio, em funo do ngulo de abertura da
cpula. .............................................................................................................. 180
Figura 3.125 - Viga em alvenaria solicitada por uma carga concentrada. ........................... 181
Figura 3.126 - Enchimento do extradorso da abbada da nave do mosteiro de Alcobaa. .. 181
Figura 3.127 - Decomposio da cpula em lnulas - Anlise grfica. ............................... 182
Figura 4.1 - Modelo de elementos estruturais (elementos de viga) do mosteiro de So Vicente
de Fora em Lisboa - configurao deformada do primeiro modo de
vibraoVaz,1997. ............................................................................................... 189
Figura 4.2 - Exemplo de discretizao de uma parede de alvenaria com aberturas atravs de uma
malha de macro-elementosBrencich e Lagomarsino,1997. ....................................... 189
Figura 4.3 - Modelos de comportamento elstico linear (Esq.: Baslica de Sta. Sofia em
IstambulCroci,1998; Centro: Torre de PisaMacchi et al.,1993;Dta.: Baslica de S.
Marcos em VenezaMola e Vitaliani,1997. .............................................................. 190
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Figura 4.4 - Esquema da tcnica de homogeneizao de painis de alvenaria regular. ....... 191
Figura 4.5 - Energia de fractura Gf, diagrama -w (tenso normal-abertura da fenda). ...... 194
Figura 4.6 - Resultados da aplicao de um modelo de dano na anlise esttica da baslica de S.
Marcos em Veneza - ndices de dano para a aplicao de um peso prprio 4 vezes
superior ao realHanganu et al.,1997. ...................................................................... 195
Figura 4.7 - Modelao descontnua de paredes de alvenaria regular com elementos finitos -
Modelao detalhada (a) e simplificada (b) das juntas entre unidades. 1 ......... 97
Figura 4.8 - Modelao detalhada da alvenaria: interaco junta em argamassa -
unidadeCUR,1997. ............................................................................................... 197
Figura 4.9 - Modelao da propagao da fractura numa parede de alvenaria atravs da alterao
contnua da topologia da malha de elementos finitosCormeau e Shire,1995. ......... 199
Figura 4.10 - Modelo tridimensional de elementos discretos de uma ponte em
alvenariaLemos,1995. ........................................................................................... 200
Figura 4.11 - Diagramas representativos dos comportamentos frgil, quasi-frgil e plstico. 204
Figura 4.12 - Comportamentos tpicos de espcimes de alvenaria submetidos a ensaios de
traco, compresso e corte - comportamento quasi-frgilLoureno,1996. ......... 205
Figura 4.13 - Curvas tenso-deslocamento obtidas em ensaios experimentais de traco uniaxial
em alvenaria: (a) com argamassa de menor resistncia; (b) com argamassa de maior
resistnciaBackes,1985. ........................................................................................ 209
Figura 4.14 - Resultados experimentais de ensaios biaxiais em painis de
alvenariaPage,1981;1983. ..................................................................................... 209
Figura 4.15 - Modos de colapso de painis de alvenaria sob estados de tenso biaxiaisDhanasekar
et al.,1985. ........................................................................................................... 210
Figura 4.16 - Procedimento puramente incremental - desequilbrio entre a aco externa e o
vector das foras internas. ................................................................................ 217
Figura 4.17 - Procedimento incremental com iteraes de equilbrio. ................................. 218
Figura 4.18 - Controle de cargas (esquerda) e de deslocamentos (direita). ......................... 219
Figura 4.19 - Reveses (snap-backs) nas curvas de resposta global. .............................. 219
Figura 4.20 - Mtodo do comprimento do arco - representao esquemtica. .................... 220
Figura 4.21 - Mtodo do comprimento do arco - mtodo esfrico (spherical path method) e
mtodo do plano normal actualizado (updated normal path method). ......... 221
Figura 4.22 - Mtodo de Newton-Raphson. ......................................................................... 223
Figura 4.23 - Mtodo de Newton-Raphson Modificado. ..................................................... 223
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Figura 4.24 - Determinao do multiplicador j+1por interpolao linear. ........................ 225
Figura 4.25 - Modelo para a formao das fendas por traco em elementos de interface. 228
Figura 4.26 - Modelo de corte de Coulomb para elementos de interface. ........................... 230
Figura 4.27 - Combinao do critrio de Coulomb com o critrio de fractura por traco. 231
Figura 4.28 - Modelos alternativos para comportamento das interfaces - em cima: critrio
parablico para traco/corte e compresso/corte; em baixo: multi-superfcie de
plasticidade com limite de compresso. ........................................................... 231
Figura 4.29 - Critrio de rotura por traco (esq.: experimental; centro e dta: modelos). ... 233
Figura 4.30 - Sistema local de eixos coordenados orientado segundo o plano da fenda. .... 235
Figura 4.31 - Arranjo em srie da deformao (normal e tangencial) do material intacto e da
fenda. ................................................................................................................ 238
Figura 4.32 - Contactos e domnios associados a dois blocos (esq. - blocos rgidos; dta. -
deformveis). .................................................................................................... 242
Figura 4.33 - Decomposio do domnio numa malha de clulas - caso
bidimensionalCundall,1988. ................................................................................. 244
Figura 4.34 - Arredondamento dos vrtices. ........................................................................ 246
Figura 4.35 - Definio da direco normal ao contacto (contacto vrtice lado e contacto vrtice-
vrtice). ............................................................................................................. 246
Figura 4.36 - Contacto do tipo vrtice-aresta. ...................................................................... 247
Figura 4.37 - Contacto do tipo vrtice-vrtice. .................................................................... 249
Figura 4.38 - Modelo de contacto com resistncia residual - comportamentos na direces
tangencial (esq.) e normal (dta.). ...................................................................... 252
Figura 4.39 - Modelo de corte - influncia da dilatnciaItasca,2000. ..................................... 253
Figura 4.40 - Ciclo de clculo no mtodo dos elementos discretosItasca,2000. ..................... 256
Figura 4.41 - Ordem de clculo no mtodo das diferenas finitas centrais. ........................ 257
Figura 4.42 - Amortecimento de Rayleigh - variao da taxa de amortecimento com a frequncia
angular. ............................................................................................................. 261
Figura 4.43 - Modelo bidimensional de elementos finitos do arco (espessura - 0.65 m; raio
interior - 5.18 m). ............................................................................................. 265
Figura 4.44 - Curvas carga-deslocamento das anlises numricas do arco isolado. ............ 266
Figura 4.45 - Mecanismo de colapso correspondente anlise do modelo MOD8. ............ 268
Figura 4.46 - Curvas carga-deslocamento das anlises do arco isolado com variao da
deformabilidade. ............................................................................................... 268
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Figura 4.47 - Curvas carga-deslocamento das anlises realizadas sem (cima) e com (baixo)
considerao dos efeitos geometricamente no lineares nos modelos do arco com
resistncia traco nas juntas. ........................................................................ 271
Figura 4.48 - Modelo de Mohr-Coulomb (esq.) e de Loureno (dta.) para modelao dos efeitos
de esmagamento por compresso. .................................................................... 272
Figura 4.49 - Curvas carga-deslocamento das anlises realizadas com considerao dos efeitos
geometricamente no lineares nos modelos do arco com limitao da resistncia
compresso. ...................................................................................................... 273
Figura 4.50 - Danos por compresso nos modelos de elementos finitos (esq. - MOD12; dta. -
MOD12a). ......................................................................................................... 274
Figura 4.51 - Malha de elementos de diferenas finitas no modelo de elementos discretos do
arco. .................................................................................................................. 275
Figura 4.52 - Sequncia do colapso do modelo de elementos discretos do arco. ................ 275
Figura 4.53 - Intensidades da carga de colapso num arco circular para diferentes localizaes da
carga concentrada (modelao pelo mtodo dos elementos discretos). ........... 276
Figura 4.54 - Modelos com elementos finitos de fenda distribuda - Danos por traco (esq. -
modelo de elementos quadrangulares; dta. - modelo de elementos triangulares;
cima - aco do peso prprio do arco; baixo - aco do peso prprio do arco, do
enchimento no extradorso e da carga concentrada a 1/3 de vo). .................... 277
Figura 4.55 - Curvas carga-deslocamento das anlises geometricamente lineares realizadas em
modelos contnuos do arco (com elementos finitos quadrangulares). .............. 278
Figura 4.56 - Geometria dos modelos dos arcos ogivais. ..................................................... 279
Figura 4.57 - Intensidades da carga de colapso num arco ogival com 5.18 m de altura, com e
sem considerao do carregamento do enchimento do extradorso do arco. .... 280
Figura 4.58 - Intensidades da carga de colapso num arco ogival com 10.36 m de vo com
considerao do carregamento do enchimento do extradorso do arco. ............ 280
Figura 4.59 - Modos de colapso do modelo de elementos discretos de um arco ogival - modelo
com 10.36 m de vo (esquerda - carga a 1/4 do vo; centro - carga a 1/3 do vo;
direita - carga a 1/2 do vo). ............................................................................. 281
Figura 4.60 - Arcos ogival e circular - geometria das linhas de presses. ........................... 281
Figura 4.61 - Esquemas de funcionamento estrutural de abbadas com vis. ..................... 282
Figura 4.62 - Ponte em arco com vis- Geometria. .............................................................. 282
Figura 4.63 - Modelos numricos tridimensionais do arco enviesado - Geometria e
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resultados. ............................................................................................................ 284
Figura 4.64 - Ensaios experimentaisAugarde e Davey,2001- Localizao das articulaes e
representao grfica das cargas ltimas. ......................................................... 285
Figura 4.65 - Cargas ltimas dos modelos tridimensionais. ................................................ 286
Figura 4.66 - Cargas ltimas dos modelos tridimensionais e planos. .................................. 287
Figura 4.67 - Variao percentual das cargas ltimas. ......................................................... 287
Figura 4.68 - Arco da ponte de BridgemillHendry et al,1985. .................................................. 292
Figura 4.69 - Esquema de aplicao da carga na ponte de BridgemillHendry et al,1985. ........ 293
Figura 4.70 - Modelo plano de elementos discretos da ponte de Bridgemill; (a) discretizao em
elementos discretos; (b) discretizao em elementos de diferenas finitas. ..... 294
Figura 4.71 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga. ................................. 297
Figura 4.72 - Modelo de elementos discretos da ponte de Bridgemill - deformada do arco. 297
Figura 4.73 - Deformada do modelo de elementos discretos do arco da ponte de Bridgemill (em
cima -deformada; em baixo - representao dos vectores dos
deslocamentos). .................................................................................................. 298
Figura 4.74 - Arco da ponte de BargowerHendry et al,1986. .................................................... 299
Figura 4.75 - Esquema de aplicao da carga na ponte de BargowerHendry et al,1986. .......... 301
Figura 4.76 - Modelo de molas para simulao do efeito de rigidificao horizontal que resulta
da existncia de enchimento. ............................................................................ 302
Figura 4.77 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da cargaGago et al,2003. ............ 303
Figura 4.78 - Configurao deformada do modelo de elementos finitos - Caso III. ........... 304
Figura 4.79 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga - anlises geometricamente
lineares. ............................................................................................................. 307
Figura 4.80 - Malha de elementos finitos - modelo mais sofisticado. ................................. 307
Figura 4.81 - Deslocamento vertical do ponto de aplicao da carga - anlises geometricamente
no lineares. ...................................................................................................... 308
Figura 4.82 - anlise limite do arco: contribuio do impulso passivo. ............................... 310
Figura 4.83 - Malha deformada. ........................................................................................... 311
Figura 4.84 - Tenses principais I(cima) II(baixo) (unidades kN/m2). .......................... 311
Figura 4.85 - Deformaes plsticas (xx- cima; yy- centro; xy- baixo). ........................ 312
Figura 5.1 - Vista do Mosteiro de So Vicente de Fora e de um dos seus claustro. 3 .......... 18
Figura 5.2 - Planta do mosteiro de So Vicente de Fora (Arquivo DGEMN). .................... 321
Figura 5.3 - Modelos tridimensionais de elementos finitos de comportamento elstico linear
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realizados no LNEC (esq.) e no JRC (dta.) - Configuraes de modos de
vibrao. ............................................................................................................. 323
Figura 5.4 - Modelo de interface no linear implementado no laboratrio ELSA. .............. 325
Figura 5.5 - Definio do modelo experimental: da fachada ao modeloPegon,1998. ............. 327
Figura 5.6 - Definio do modelo experimental: aco vertical correspondente ao peso prprio
da parede de alvenaria (interaco entre blocos e distribuies de tenso)Pegon e
Pinto,1996. ........................................................................................................... 328
Figura 5.7 - Esquema de aplicao das aces verticais e horizontais no modelo
experimental. ...................................................................................................... 329
Figura 5.8 - Aplicao incremental do peso prprio. ........................................................... 330
Figura 5.9 - Distribuies de tenso devidas ao peso prprio da parede de alvenariaPegon e
Pinto,1998. ........................................................................................................... 330
Figura 5.10 - Deslocamentos nos topos das colunas (esquerda) e distribuies de tenso (direita)
das estruturas peridicas sujeitas s aces estticas horizontais equivalentesPegon
e Pinto,1996. ......................................................................................................... 331
Figura 5.11 - Distribuies de tenso - variao do nmero de colunas nos modelosPegon e
Pinto,1998. ........................................................................................................... 333
Figura 5.12 - Modelo final do modelo com trs colunasPegon et al.,1999. .............................. 333
Figura 5.13 - Plano de execuo do modelo experimentalVaz,1996. ..................................... 334
Figura 5.14 - Fases de construo do modelo experimental. .............................................. 335
Figura 5.15 - Vistas do aspecto final do modelo experimental. ........................................... 335
Figura 5.16 - Reforo do modelo com o sistema de ancoragem CINTEC. .......................... 336
Figura 5.17 - Sistema de aplicao das cargas no modelo experimentalPinto e Gago,1999a)b). 337
Figura 5.18 - Distribuio das aces verticais aplicadas ao modelo experimental. ........... 338
Figura 5.19 - Esquema de instrumentao do modelo experimental - transdutores de
deslocamento. ................................................................................................... 339
Figura 5.20 - Instrumentao das seces das colunas e das suas bases. ............................. 340
Figura 5.21 - Implementao dos ensaios pseudo-dinmicos no laboratrio ELSA. .......... 343
Figura 5.22 - Sub-estruturao de ensaios pseudo-dinmicos. ............................................ 344
Figura 5.23 - Caractersticas da parede e plataforma de reaco do laboratrio ELSAPinto et al.,
1994. ................................................................................................................... 344
Figura 5.24 - Espectros de deslocamento para os sismos de epicentro prximo e
longnquo. ......................................................................................................... 346
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Figura 5.25 - Acelerogramas utilizados nos ensaios pseudo-dinmicos. ............................. 346
Figura 5.26 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de pequena
intensidade (sismo prximo - perodo de retorno de 174 anos). ...................... 347
Figura 5.27 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de intensidade
elevada (sismo longnquo - perodo de retorno de 975 anos). ......................... 347
Figura 5.28 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de intensidade
elevada multiplicado por 1.5 ( 1.5 x sismo longnquo - perodo de retorno de 975
anos). ................................................................................................................ 348
Figura 5.29 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de intensidade
elevada (sismo longnquo - perodo de retorno de 975 anos). ......................... 349
Figura 5.30 - Resultados do ensaio pseudo-dinmico correspondente ao sismo de intensidade
elevada multiplicado por 1.5 ( 1.5 x sismo longnquo - perodo de retorno de 975
anos). ................................................................................................................ 349
Figura 5.31 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
350 kN. ............................................................................................................. 350
Figura 5.32 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
350 kN. ............................................................................................................. 351
Figura 5.33 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
175 kN. ............................................................................................................. 351
Figura 5.34 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
175 kN. ............................................................................................................. 351
Figura 5.35 - Variao de rigidez da resposta do modelo nos ciclos do ensaio correspondente
ps-tenso dos cabos de 350 kN. ...................................................................... 353
Figura 5.36 - Rotao da seco da base da coluna central e perfil das rotaes mximas das
seces da coluna central - ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos
de 350 kN. ........................................................................................................ 354
Figura 5.37 - Danos no modelo experimental aps a primeira campanha de ensaios. ......... 356
Figura 5.38 - Danos nos arcos das estruturas dos claustros do mosteiro de So Vicente de
Fora. .................................................................................................................. 357
Figura 5.39 - Reforo do modelo com barras de ao de 20 mm de dimetro, aderentes e pr-
esforadas. ........................................................................................................ 357
Figura 5.40 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
175 kN. ............................................................................................................. 358
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Figura 5.41 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos de
45 kN. ............................................................................................................... 359
Figura 5.42 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos nula. ... 359
Figura 5.43 - Resultados do ensaio cclico correspondente ps-tenso dos cabos nula. ... 360
Figura 5.44 - Perfis das rotaes mximas das seces da coluna central nos ciclos de 30 e 60
mm (em cima); variao de comprimento da parte superior do modelo nos ensaios
cclicos (no meio); variao de comprimento da parte superior do modelo e da
abertura das juntas nos ensaios cclicos (em baixo). ........................................ 362
Figura 5.45 - Variao do comprimento da parte superior do modelo (em cima) e da abertura
das juntas coluna-alvenaria (no meio) em funo do deslocamento horizontal
imposto no topo do modelo; variao da fora aplicada no topo do modelo com o
comprimento da parte superior do modelo (em baixo). ................................... 363
Figura 5.46 - Arranjo tridimensional dos blocos de calcrio das colunas do modelo. ......... 364
Figura 5.47 - Malha de elementos finitos do modelo tridimensional do modelo. ................ 365
Figura 5.48 - Elementos de interface tridimensionais. ......................................................... 366
Figura 5.49 - Modelo de junta de Coulomb com amolecimento (esq.) e lei de amolecimento
bilinear adoptada no modelo numrico tridimensional (dta.). .......................... 367
Figura 5.50 - Configurao deformada e distribuio de tenses equivalentes de Mohr-Coulomb
correspondentes anlise do modelo numrico tridimensional - vista anterior e
posteriorPegon et al.,1999. .................................................................................... 368
Figura 5.51 - Comparao dos resultados numricos e experimentais: a) Fora aplicada no topo
do modelo; b) Fora vertical medida nas clulas de carga do lado esquerdo da base
da coluna central; c) Fora vertical medida nas clulas de carga do lado direito da
base da coluna central; d) Deslocamento medido no transdutor 1 (ver localizao
do transdutor 1 na Figura 5.47). ....................................................................... 369
Figura 5.52 - Gerao das juntas entre blocos do modelo bidimensional a partir da configurao
tridimensional das seces. .............................................................................. 369
Figura 5.53 - Resultados da modelao bidimensional do modeloPegon et al. 1999. .............. 370
Figura 5.54 - Modelo de elementos discretos do modelo experimental (esq. - blocos discretos;
dta. - malha de elementos de diferenas finitas triangulares de deformao
constante). ......................................................................................................... 371
Figura 5.55 - Curvas carga-deslocamento obtidas numericamenteLemos,1998ae
experimentalmente. .......................................................................................... 373
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Figura 5.56 - Modelo da coluna com elementos discretos tridimensionais (esq.) e modelos
planos comparativos (dta.)Lemos,1998a. ............................................................. 374
Figura 5.57 - Resultados dos modelos de elementos discretos duma coluna do modelo
experimentalLemos,1998a. ................................................................................... 375
Figura 6.1 - Vista exterior e do interior da nave da Igreja de So FranciscoEspanca,1966. .... 381
Figura 6.2 - Danos na Igreja de So Francisco - fendas na abbada da nave e na fachada
principal. ........................................................................................................... 382
Figura 6.3 - Esquema dos encontros da abbada da nave: a) parede longitudinal interior; b)
parede longitudinal exterior; c) contraforte/parede transversal; d) abbada botante;
e) muro de carga dos arcos principais; f) terrao lateral; g) muro de remate da
cumeeira; h) coruchu; i) arco principal ou mestre; j) luneta; k) capela lateral; l)
galeria sobre capelas laterais. ........................................................................... 384
Figura 6.4 - Vistas da cobertura antes de 1937 (cima); Interveno de 1937 (no meio); Vista
actual da cobertura (baixo); e vista da fachada antes de 1837 (baixo), onde so
visveis os trabalhos de demolio de edifios para abertura do largo, o prtico da
entrada (a), as fendas na fachada principal (b) e o claustro Sul em runas (c) -
Imagens a preto e branco do arquivo da DGEMN. .......................................... 387
Figura 6.5 - Vistas superiores (pelo lado da cobertura) da fenda da luneta do 3 tramo do lado
Sul. .................................................................................................................... 393
Figura 6.6 - Plataforma elevatria para inspeco e monitorizao da abbada da Igreja de So
Francisco. ......................................................................................................... 395
Figura 6.7 - Alvos para registo topogrfico da evoluo dos deslocamentos no interior da
Igreja. ................................................................................................................ 395
Figura 6.8 - Extraco de carotes nas paredes da nave e na abbada. ................................. 396
Figura 6.9 - Levantamento da fendilhao da fachada principal da Igreja de So Francisco - vista
interior. ............................................................................................................. 397
Figura 6.10 - Levantamento da fendilhao da abbada da nave da Igreja de So
Francisco. ......................................................................................................... 398
Figura 6.11 - Pormenores da luneta do 1 tramo do lado Sul. .............................................. 400
Figura 6.12 - Pormenores da luneta do 1 tramo do lado Norte. .......................................... 400
Figura 6.13 - Pormenores da luneta do 2 tramo do lado Sul. .............................................. 401
Figura 6.14 - Pormenores da luneta do 2 tramo do lado Norte. .......................................... 401
Figura 6.15 - Pormenores da luneta do 3 tramo do lado Sul. .............................................. 402
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Figura 6.16 - Pormenores da luneta do 3 tramo do lado Norte. .......................................... 402
Figura 6.17 - Pormenores da luneta do 4 tramo do lado Sul. .............................................. 402
Figura 6.18 - Pormenores da luneta do 4 tramo do lado Norte. .......................................... 402
Figura 6.19 - Pormenores da luneta do 5 tramo do lado Sul. .............................................. 403
Figura 6.20 - Pormenores da luneta do 5 tramo do lado Norte. .......................................... 403
Figura 6.21 - Pormenores da luneta do 6 tramo do lado Sul. .............................................. 403
Figura 6.22 - Pormenores da luneta do 6 tramo do lado Norte. .......................................... 403
Figura 6.23 - Pormenores das lunetas do 7 tramo: esquerda - lado Norte;
direita - lado Sul. .............................................................................................. 404
Figura 6.24 - Fendilhao dos arcos principais (Esquerda - 1 arco; Direita. - 4 arco). ..... 404
Figura 6.25 - Fendilhao na nervura longitudial no cruzeiro. ............................................ 405
Figura 6.26 - Vista das paredes Norte (esquerda) e Sul (direita) do cruzeiro (7 tramo). .... 405
Figura 6.27 - Fendilhao da abbada botante da 1 tribuna da galeria Norte. .................... 406
Figura 6.28 - Instrumentao: sensores de deslocamento - preciso 0.1 mm (em cima); sensor
para registo de temperatura ambiente e humidade relativa - preciso 0.01 C e 0.01
% (em baixo direita); sistema de aquisio de dados (em baixo esquerda). 407
Figura 6.29 - Pormenor da instalao dos instrumentos de medio. .................................. 407
Figura 6.30 - Plano de instrumentao da abbada e das paredes da nave. ......................... 408
Figura 6.31 - Primeiro modelo de elementos finitos da abbada - simulao da abbada
completa atravs de condies de fronteira de simetria. .................................. 409
Figura 6.32 - Modelo 1 - condies de fronteira. ................................................................. 410
Figura 6.33 - Modelo 1 - tenses de traco nas faces inferior (esq.) e superior (dta.) da abbada
e orientaes das fendas que lhes corresponderiam. ........................................ 410
Figura 6.34 - Modelo 2 - modelo de elementos finitos da abbada e da estrutura de apoio. 411
Figura 6.35 - Modelo 2 - tenses principais de traco na face superior e deformadaGago e
Lamas,2001. ......................................................................................................... 411
Figura 6.36 - Modelo 3 - modelo completo com condies de fronteira assimtricas. ....... 412
Figura 6.37 - Modelo 3 - tenses principais de traco na face superior. ............................ 413
Figura 6.38 - Modelo 4 - junta entre elementos finitos para simulao da fenda. ............... 413
Figura 6.39 - Resultados da anlise numrica - Em cima: malha de elementos finitos (esquerda)
e danos na face inferior da abbada para pequenas rotaes da parede lateral, com
fendilhao da ligao luneta/parede (direita); Em baixo: danos na face superior da
abbada (esquerda) e na face inferior (direita) para um deslocamento horizontal no
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topo da parede de 10 cm, a que corresponde a uma diminuio do impulso
horizontal (resultante das foras transmitidas pela luneta parede) de 46.6%. 415
Figura 6.40 - Modos de deformao das paredes-contraforte. ............................................ 417
Figura 6.41 - Modelo CAD e modelo de elementos finitos tridimensionais. ....................... 418
Figura 7.1 - Igreja de So Francisco em Montemor - fendilhao da fachada principal. .... 427
Figura 7.2 - Igreja dos Agostinhos em Vila Viosa - esmagamento do revestimento em mrmore
das paredes junto do cruzeiro. .......................................................................... 428
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NDICE DE TABELAS
Tabela 1.1 - Localizao das juntas em rotura - ngulo medido com a horizontal. ......... 41
Tabela 2.1 - Geometria do arco da ponte TestonHeyman,1980a). ............................................ 63
Tabela 2.2 - Clculo da posio da linha de presses da ponte Teston. ............................... 64
Tabela 2.3 - Mtodo MEXEBD16/84;BD21/84. ........................................................................ 77
Tabela 3.4 - Propriedades mecnicas dos blocos e juntas do arco. ...................................... 265
Tabela 3.5 - Modelos tridimensionais dos arcos enviesados - Cargas ltimas. ................... 283
Tabela 3.6 - Relaes de semelhana para modelos estticos. ............................................. 290
Tabela 3.7 - Cargas de colapso dos modelos do arco isolado. ............................................. 291
Tabela 3.8 - Cargas de colapso dos modelos do arco isolado - relaes de semelhana. .... 291
Tabela 3.9 - Dimenses da ponte de Bridgemill. ................................................................. 293
Tabela 3.10 - Propriedades dos elementos de diferenas finitas e dos contactos pontuais. . 296
Tabela 3.11 - Dimenses da ponte de Bargower. ................................................................. 300
Tabela 3.12 - Propriedades dos elementos de interface. ...................................................... 301
Tabela 3.13 - Propriedades mecnicas do modelo de elementos finitos do arco isolado
(NLMAT). ..........................................................................
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