teoria de planck para a radiação de cavidade
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Teoria de Planckpara a Radiação de Cavidade
Radiação de Corpo Negro
Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeCálculo de Rayleigh-Jeans
Cavidade Radiante (V=a3) com ondas estacionárias: E(x,t)= E0sen(2 x/)sen(2 t)
onde c/
contando ondas no intervalo e d:
N()d (8 a3/c3)2d (1)
De acordo com a lei de equipartição de energia,
por onda <Etotal>= kT (2) onde k é a cte. de Boltzmann
Densidade de Energia T()d= (<Etotal> N()d)/V energia por unidade de volume,
contida em uma cavidade, no intervalo e d.
Ou em termos da radiância RT():
Resultado que ficou conhecido como a Catástrofe do ultravioleta!
kTdc
dT 3
28
kTdc
dc
dR TT 2
22
4)(
Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeResultado Clássico X Experiência
Espectro em frequências Espectro em comp. onda
Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeOrigem da Lei de Equipartição de Energia
Distribuição de Boltzmann
tal que P(E)dE seja probabilidade de se encontrar um elemento do sistema, em equilíbrio à temperatura T, com energia entre E e EdE
Calculando a Energia média:
kT
eP
kT/
)(
kTdP
dP
0
0
)(
)(
Teoria de Planck para Radiação de CavidadeA proposta de Planck
Para baixas frequências A teoria clássica prevê resultados
coerentes, e podemos esperar que:
<E> kT ( 0)
Para altas frequências A discrepância poderia ser removida
se, por hipótese:
<E> 0 ( )Planck imaginou que, para as circunstâncias que
prevalecem no caso da radiação de corpo negro, a energia média das ondas estacionárias fosse função da frequência: <E>= f () .
Isto viola a lei de equipartição de energia?
Teoria de Planck para Radiação de CavidadeEnergia: variável contínua X discreta
Sendo E uma variável discreta Assume apenas valores discretos
igualmente distribuídos, ou seja:
E= 0, E, 2E, 3E, 4E ...Como consequência, o cálculo da energia
média passa ser feito por somas ao contrário de integrais, como apresentado anteriormente!
Comparação qualitativa com E << kT E kT com E kT E < kT com E >> kT E << kT
Observa-se que o resultado satisfaz as condições esperadas para os mesmos limites de frequência! E a Lei não é
violada.
Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeHipótese e resultados
Definindo a relação entre E e Função proporcionalidade simples: E h. (sendo h uma cte.)
Satisfaz as exigências da proposta nos limites:
(0) E 0 E kT (clássico)
() E E 0
Recalculando a energia média: para E n h. (n= 0, 1, 2, 3 ...)
Ver a dedução completa no exemplo 1.4
0
0
)(
)(.
n
n
P
P
Resultado de Planck para <E>
E tomando o resultado já conhecido para a contagem N()d , temos:
Resultado de Planck para a radiação do corpo negro, em função das frequências.
Ou, para: RT(ν)dν = (c/4).ρT(ν)dν
1
.
kTh
e
h
de
h
cd
kThT
1
8)(
3
2
de
h
cdR
kThT
1
2)(
2
2
Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeO resultado da teoria comparado à experiência
Calculando em função de : T() é definida de forma que:
T()d = - T() d
Ver demonstração no exemplo 1.5.
Resultados experimentais em completa concordância com a previsão da teoria
para o espectro de corpo negro em qualquer T.
Planck não alterou a distribuição de Boltzmann. Apenas tratou a energia
das ondas eletromagnéticas estacionárias na cavidade radiante
como uma variável discreta.
1
85
kThcT
e
dhcd
Teoria de Planck para Radiação de CavidadeCálculo da constante de Planck
Demonstração das leis empíricas Lei de Stefan-Boltzman RT= T4, = 5,6710-8 W/m2.K4
Lei de Wien maxT= CW , CW= 2,89810-3 m.K
Resultados de Planck (1901)1
h= 6,5510-27 erg.s k= 1,34610-16 erg/grau
Valores atualmente aceitos: h= 6,62610-34 J.s k= 1,38110-23 J/K
1M. Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553
Teoria de Planck para Radiação de CavidadeO Postulado de Planck
Toda entidade física com apenas um grau de liberdade, cuja
“coordenada” seja uma função senoidal do tempo (tipo OHS),
tem a energia total quantizada. Ou seja, a energia total (E) deve
satisfazer a relação: E= n.h n= 0, 1, 2, 3 ...
sendo a frequência de oscilação, e h a constante de Planck.
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