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UnB/CESPE – INMETRO

Cargo 38: Pesquisador-Tecnologista em Metrologia e Qualidade - Área: Teoria aplicada à Nanometrologia – 1 –

CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS

Texto para as questões de 41 a 43

A figura acima representa a densidade espectral de energia D(T) de

uma cavidade de corpo negro em função da frequência da radiação,

para temperaturas de 2.000 K, 3.000 K e 4.000 K. É observado que

a frequência na qual a densidade máxima ocorre (linha vertical

indicando o máximo de cada curva) aumenta linearmente com a

temperatura. Também se observa discrepância entre a previsão

clássica de Rayleigh-Jeans (linha tracejada) à temperatura de 4.000

K e os resultados experimentais à mesma temperatura (linha sólida)

para a densidade de energia de uma cavidade de corpo negro.

QUESTÃO 41

A partir da figura, considerando a densidade espectral de energia

para um corpo negro de área dada e a temperatura de T = 3.000 K,

assinale a opção correta.

A Há potência excessivamente alta irradiada em um intervalo de

frequência fixa dω, se esse intervalo estiver em uma frequência

ω muito pequena quando comparada a 1014 Hz.

B Apesar de a densidade ser máxima para um valor de

ω – 1,8 × 1014 Hz, a potência irradiada é menos intensa nessa

frequência.

C Acima de ω – 1,8 × 1014 Hz, a potência irradiada cresce

lentamente à medida que T cresce.

D Comparando a curva experimental de densidade à temperatura

de 3.000 K com as de 2.000 K e 4.000 K, conclui-se que a

potência total irradiada cresce com o aumento da temperatura

e de forma não linear.

E Quando se compara as curvas de D(T) às temperaturas

2.000 K, 3.000 K e 4.000 K, a frequência na qual a potência

irradiada é mais intensa decresce com o aumento da

temperatura.×

QUESTÃO 42

Com base na figura, e considerando as teorias clássica de Rayleigh-Jeans e quântica de Planck para a radiação de corpo negro àtemperatura de T = 4.000 K, assinale a opção correta.

A No limite de baixas frequências, o espectro clássico seaproxima dos resultados experimentais. Entretanto, à medidaque a frequência cresce, a previsão de Rayleigh-Jeans seaproxima da previsão de Planck.

B A teoria de Planck mostra que, nas circunstâncias em quepredomina o caso da radiação de corpo negro, a energia médiadas ondas estacionárias é uma função da frequência. Issocontradiz a lei da equipartição da energia, que associa àenergia média um valor independente da frequência.

C Os resultados experimentais mostram que a densidade deenergia é sempre finita. Dessa forma, a densidade convergepara um valor finito, não nulo, para altas frequências(ω o 6 × 1014 Hz).

D O comportamento não realista da previsão clássica para baixasfrequências é conhecido como “catástrofe do ultravioleta”, oqual denota a não validade da teoria clássica nessa região.

E Diferentemente da abordagem clássica de Rayleigh-Jeans, ateoria da radiação de cavidade de Planck trata a energia dasondas estacionárias eletromagnéticas como grandeza contínua.

QUESTÃO 43

Em termos da densidade espectral de energia D(T), pode-seescrever a Lei de Planck para radiação de corpo negro à

temperatura T e frequência ω como sendo D(T) = em,

1

ωω8

ω3

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

kT

h

e

h

c

π

que h é a constante de Planck, k é a constante de Boltzmann e c éa velocidade da luz. A densidade espectral no limite de baixasfrequências reduz-se ao espectro de Rayleigh-Jeans.Equivalentemente, esse resultado emerge da aplicação do Princípioda Equivalência aplicado à equação acima. Considerando o limitede baixas frequências, D(T) é aproximadamente igual a

A .3

2ω8

c

kTπ

B .3

3ω8

c

kTπ

C .3

3ω8

c

kπ

D .( )332

ω8

kTc

Thπ

E .3

3ω

8

c

eh kT

h−

ωπ



QUESTÃO 44

A emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, devidoà incidência de radiação eletromagnética (como a luz) sobre essematerial é conhecida como efeito fotoelétrico. Os elétrons emitidospodem ser detectados sob a forma de uma corrente, se atraídos porum coletor metálico através de uma diferença de potencial V.Contudo, se essa diferença de potencial torna-se suficientementegrande, um valor V

0, chamado potencial limite, é atingido e a

corrente fotoelétrica cai a zero.

diferença depotencial aplicada V

A figura acima mostra as medidas de Millikan do potencial V0 no

sódio em função da frequência da radiação incidente, sendo ω0 o

limiar de frequência, ou o limiar fotoelétrico. O gráfico suplementarmostra a corrente i em função da voltagem V. A diferença depotencial aplicada é dita positiva quando o coletor está a umpotencial maior que o da superfície fotoelétrica. Na curva b, aintensidade da luz emitida foi reduzida à metade daquela da curvaa. Acerca desse assunto, assinale a opção correta.

A Se a energia do fóton incidente (hT) não é maior que a função

trabalho (N = hω0), um valor máximo de elétron é emitido.

B A teoria ondulatória requer que a amplitude do campo elétricooscilante da onda luminosa cresça se a intensidade da luzaumenta, o que sugere que a energia cinética dos fotoelétronstambém cresça. O gráfico suplementar corrobora essa teoria,uma vez que a energia cinética do mais rápido fotoelétronemitido (K

max = eV

0, onde e é a carga do elétron) também

depende da intensidade da luz.

C As medidas de Millikan mostram que existe, para cada

superfície, um valor de ω0 característico. Para frequências

menores que ω0, o efeito fotoelétrico não ocorre, qualquer que

seja a intensidade luminosa incidente.

D Tanto o potencial limite V0 quanto as correntes de saturação I

a

e Ib (gráfico suplementar) são independentes da intensidade da

radiação eletromagnética.

E De acordo com a teoria ondulatória, o efeito fotoelétricodeveria ocorrer para qualquer frequência da luz incidente,desde que essa fosse intensa o bastante para prover a energiarequerida à ejeção dos elétrons. As medidas de Millikancorroboram essa teoria.

RASCUNHO



QUESTÃO 45

λ λλ' λ λ' λ'λ

Os gráficos acima representam os dados experimentais de

espalhamento de raios-X sobre elétrons. Os resultados são

mostrados para quatro ângulos de espalhamento θ diferentes.

Experimentalmente, para cada θ, apenas um valor do deslocamento

Compton, Δλ = λ’ ! λ, é encontrado, independentemente da

intensidade de radiação e do tempo de exposição. O experimento de

Compton verificou a equação de Compton, Δλ = λc (1 ! cos θ), em

que é o comprimento de onda Compton do elétron.cm

h

0

λ ≡

Acerca desse assunto, assinale a opção correta.

A Na abordagem de Compton, ocorre a conservação de energia

e o momento linear na colisão. A conservação do momento

requer que p0 = p

1 sen θ + N sen ϕ.

B O efeito Compton fornece uma evidência conclusiva favorável

à característica ondulatória da radiação eletromagnética.

C A partir da equação de Compton, é correto afirmar que a

frequência do fóton espalhado é sempre maior que a do fóton

incidente.

D Se a radiação que for espalhada está na parte visível, de micro-

ondas ou de ondas de rádio do espectro eletromagnético, ela

sempre terá um comprimento de onda igual ao comprimento de

onda da radiação incidente. Assim, à medida que λ 6 0, os

resultados quânticos se confundem com os resultados clássicos.

E O deslocamento Compton aumenta com o ângulo θ. Essa

característica é qualitativamente consistente com a teoria

corpuscular. Além disso, os resultados de Compton indicam

que o processo de transferência de energia e o momento linear

são não contínuos, como previsto pela teoria clássica, mas

discreto e indivisível, como sugerido pela teoria quântica.

QUESTÃO 46

O primeiro postulado da mecânica quântica não-relativística predizque: associado com qualquer sistema físico isolado em um instantefixo t

0, o estado desse sistema é definido especificando-se um ket,

⎜ψ (t0),, pertencente ao espaço dos estados ε. A respeito desse

assunto, assinale a opção correta.

A Considerando dois kets |R, e |R',, ainda que sejamproporcionais entre si, eles não representam o mesmo estadofísico.

B Desde que ε seja um espaço vetorial, esse postulado implicaum princípio de superposição.

C A medida de uma grandeza física A sempre gera um valor

real, desde que o observável correspondente A seja não

Hermitiano.

D Se o espectro de A for discreto, os resultados que podem ser

obtidos pela medida de A são quantizados.

E O fato de se conhecer o vetor de estado do sistema emdeterminado instante de tempo, ⎜R (t

0),, não é suficiente para

que se possa calcular o vetor de estado do sistema em uminstante de tempo infinitesimalmente diferente.

RASCUNHO



QUESTÃO 47

Considerando um vetor tridimensional

|R, = |N1, + |N

2 , + |N

3,

3

3

3

2

3

2

em termos das bases ortonormais |N1,, |N

2 , e |N

3 ,, assinale a opção

correta.

A A expressão de |R, não está normalizada.

B A probabilidade de se encontrar o sistema no estado |N1, é

igual a .3

3

C A probabilidade de se encontrar o sistema nos estados |N1, e

|N2, é igual a .

9

5

D Considere um ensemble de 900 sistemas idênticos, cada um

deles no estado |R,. É correto concluir que, se forem realizadas

medidas sobre todos eles, devem ser encontrados 200 sistemas

no estado |N3,.

E Suponha um ensemble de 810 sistemas idênticos, cada um

deles no estado |R,. Efetuando-se medidas sobre todos eles,

deve ser encontrado um total de 630 sistemas nos estados

|N1, e |N

2,.

QUESTÃO 48

A equação de Schrödinger pode ser escrita como:

i |R(t), = H(t)|R(t),, em que H(t) representa o operadorhdt

d

Hamiltoniano correspondente à energia total do sistema. Acerca das

propriedades e implicações da equação de Schrödinger, assinale a

opção correta.

A Dado o estado inicial |R (t0),, o estado |R (t), em um instante

t só pode ser determinado se H(t) for constante.

B Entre duas medidas consecutivas, o vetor de estado evolui de

acordo com a equação de Schrödinger de modo

não-determinístico.

C Indeterminações na evolução temporal de um sistema quântico

aparecem quando a grandeza física é mensurada. Desse modo,

o vetor de estado sofre alterações imprevisíveis.

D A equação de Schrödinger é linear e homogênea. Em

consequência disso, suas soluções não podem ser superpostas

linearmente.

E Devido a H(t) ser hermitiano, seu valor médio é um número

complexo.

RASCUNHO



QUESTÃO 49

Considere uma partícula de massa m sujeita a um potencial

unidimensional V(x). Suponha que em alguma região o potencial

V(x) seja constante (não nulo), ou seja, V(x) = V0. Assumindo estado

estacionário da partícula, que E é um valor constante, e que

i = , assinale a opção correta.1−

A Se E < V0, a solução para o estado estacionário pode ser escrita

como , em que A1 e sãoxkxk

eAeAx 11

111)(

−

′+=ϕ1A′

constantes complexas arbitrárias e , com k12

0

1

)(2

h

VEmk

−

=

real.

B Se E < V0, a solução para o estado estacionário pode ser escrita

como n2 (x) = A

2x + , em que A

2 e são constantes reais2

A′2

A′

arbitrárias.

C Se E = V0, a solução para o estado estacionário pode ser escrita

como n3(x) = , em que A

3 e sãoxikxik

eAeA 33

33

−

′+ 3A′

constantes reais arbitrárias e .23

2

h

mEk =

D Se E > V0, a solução para o estado estacionário pode ser escrita

como n4(x) = , em que A

4 e sãoxikxik

eAeA 44

44

−

′+4

A′

constantes complexas arbitrárias e .24

2

h

mEk =

E Se E > V0, a solução para o estado estacionário pode ser escrita

como em que A5 e são constantes,

55

555

xikxikeAeA−

′+=ϕ5

A′

complexas arbitrárias e .2

0

5

)(2

h

VEmk

−

=

Texto para as questões 50 e 51

Considere na figura abaixo um degrau de potencial com amplitude

V0. Considere, ainda, que ocorra um fluxo de partículas de massa m

e energia E > V0 da esquerda para a direita, iniciando-se em x = !4.

⎩⎨⎧

<

>=

0,0

0,)(

0

x

xVxV

QUESTÃO 50

Acerca dessas informações e das soluções da equação de

Schrödinger, independentemente do tempo aplicadas ao potencial

degrau, e considerando-se i = e a constante de Planck1− h

dividida por 2B, assinale a opção correta.

A Como E > V0 , na mecânica quântica, assim como na mecânica

clássica, a probabilidade de uma partícula que estivesse

inicialmente na região x < 0, se movendo para x = 0, passar

para x > 0 é igual a um. Nesse caso, ocorre, portanto, uma

mudança descontínua em seu comprimento de onda de de

Broglie.

B A solução estacionária geral para a região I pode ser escrita

como nI(x) = . Assim, n

I(x) éxikxik

eAeA II

II′+

−

formada pela superposição de duas ondas: uma devido à

propagação da partícula incidente (de x = !4, para a direita),

com amplitude , e outra devido à partícula refletida (daI

A

direita para a esquerda), com amplitude .IA′

C A solução estacionária geral para a região II pode ser escrita

como nII(x) = , onde A

II e sãoxikxik

eAeA IIII

IIII

−+

′+ IIA′

constantes complexas arbitrárias e .2II

2

h

mEk =

D A solução estacionária para a região II pode ser escrita como

, em que A é uma constante arbitrária,)(

2)(

III

I

II

II

kk

kAex

xik

+=ϕ

e .2I

2

h

mEk =

2

0

II

)(2

h

VEmk

−

=

E A solução estacionária nII(x) deve representar o fluxo de

partículas refletidas, na forma , com AII sendoxik

eAx II

IIII)( =ϕ

a amplitude da onda correspondente.



QUESTÃO 51

De modo geral, a descrição do estado estacionário mostrado no

texto se dá em três partes: onda incidente, onda refletida e onda

transmitida. A razão entre a intensidade da onda refletida e da onda

incidente dá a probabilidade de que a partícula seja refletida pelo

degrau de potencial de volta à região I. Esta probabilidade é

conhecida como coeficiente de reflexão R. Considere a função de

onda formada por ondas se propagando com comprimento de onda

de de Broglie , na região I, e com comprimento deII

I

π2

kp

h==λ

onda de de Broglie , na região II. Então, R é igual a:IIII

II

π2

kp

h==λ

A .)(

41

2

III

III

kk

kk

−

−

B.

)(

42

III

III

kk

kk

+

C .)(

21

III

I

kk

k

+

−

D.

)(III

III

kk

kk

+

−

E .)(

2

III

I

kk

k

+

QUESTÃO 52

Considere os operadores .O x x x O x xd

dxx

1

3

2ψ ψ ψ ψ( ) ( ) ( ) ( )= =e

Suponha, ainda, que i = . Então, a relação de comutação1−

[O1, O

2] será

A [O1, O

2]R(x) = !3x3R(x).

B [O1, O

2]R(x) = !2x3R(x).

C [O1, O

2]R(x) = !3x2R(x).

D [O1, O

2]R(x) = !3ix2R(x).

E [O1, O

2]R(x) = 0.

RASCUNHO




2

a

+

2

a

+

2

a

−

2

a

−

R1

R2

R3

Figura I Figura II

Um dos potenciais mais simples, que apresentam apropriedade de penetração de barreira, é o poço de potencialquadrado, que é frequentemente utilizado na física quântica pararepresentar uma situação na qual uma partícula se move em umaregião limitada do espaço sob influências de forças deconfinamento.

A figura I acima mostra um poço de potencial quadrado eseus três autovalores dos estados ligados. Não é mostrado ocontínuo de autovalores da energia E > V

0. Na figura II, são

mostradas as três autofunções correspondentes do poço depotencial.

QUESTÃO 53

Acerca da região x dentro do poço de potencial quadrado,

! # x # , e do número de onda angular kI, presente na solução

2

a

2

a

da equação de Schrödinger, independentemente do tempo, nessaregião, assinale a opção correta.

A A parte senoidal da autofunção decresce à medida que aenergia do autovalor correspondente aumenta.

B As oscilações da autofunção ficam mais numerosas à medidaque a energia diminui.

C Quanto menor for a energia do autovalor correspondente, maisrapidamente as autofunções tendem a zero.

D Com o aumento da energia, o número de onda angular kI

diminui, fazendo com que o comprimento de onda de deBroglie também diminua.

E O poço de potencial quadrado não tem um quarto estado ligadodevido ao valor associado ao número de onda angular k

I ser

muito grande para satisfazer a condição de ligação E < V0.

QUESTÃO 54

Considere as regiões em que as autofunções se estendem para fora

do poço x < ! e x > . De acordo com a mecânica clássica,2

a

2

a

desde que a energia cinética seja = E ! V(x), em que p é op

m

2

2momento linear de uma partícula de massa m, essa partícula jamaispoderia ser encontrada nessa região, uma vez que E < V(x). Acercadas regiões classicamente proibidas, assinale a opção correta.

A Quanto maior for a energia do autovalor correspondente, maisrapidamente as autofunções tendem a zero.

B Quanto mais intensa for a violação da restrição clássica, isto é,a energia total deve ser ao menos do mesmo valor que aenergia potencial V(x), mais facilmente as autofunçõespenetram nas regiões classicamente proibidas.

C Para a região x < ! , a solução da equação de Schrödinger2

a

pode ser escrita na forma: nII(x) = C + . Para quee

k xII

xkDe II

−

a autofunção seja aceitável, deve-se assumir que D…0.D À medida que as paredes do potencial quadrado são

aumentadas, isto é, o potencial V0 cresce até V

0 = +4, E

1

também cresce. Contudo, E1 aumenta de forma lenta quando

comparada ao crescimento de V0.

E Com o aumento da energia do autovalor, o número deoscilações das autofunções nessa região também aumenta.

QUESTÃO 55

Considerando uma partícula de massa m confinada em um poçofinito de potencial quadrático de comprimento a e profundidade V

0,

a solução das autofunções e autovalores do estado ligado (isto é, E< V

0) envolve a resolução da equação transcendental:

,paresestadospara,tan

ímparesestadospara,cot22

⎩⎨⎧−

=−nn

nn

n

a a

a aaR

em que e .2

2

2

2h

n

n

Emaa =

2

0

2

2

2h

VmaR =

B 2B 3B

n=0

n=0

0

an

n=1

n=2

n=3

a tanan n

a cotan n

A figura acima mostra as soluções gráficas para a referida equaçãotranscendental. As soluções são dadas pelas intersecções entre

com an tan a

n e !a

n cot a

n. Além disso, o número deR a

n

2 2−

soluções depende do valor de R. Assinale a opção correta relativaao número de estados ligados na situação em que R = 2.

A 1B 2C 3D 4E 5

QUESTÃO 56

Considere que um elétron está se movendo livremente dentro de umpoço de potencial de barreira infinita com paredes localizadas emx = 0 e em x = a. Considere, ainda, que esse elétronesteja inicialmente no estado fundamental (n = 1), com energia

E1 = e função de onda correspondente .

)2( 2

22

ma

hπ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π=ϕa

x

a

x sen2

)(1

Repentinamente, o tamanho do poço é quadruplicado, isto é, o ladodireito da parede é movido instantaneamente de x = a para x = 4a.Acerca desse assunto, a probabilidade de se encontrar o elétron noestado fundamental na nova configuração é igual a

A .128

15 2( )π

B .16

3 2( )π

C .1

4

D .2

2

E 1.



QUESTÃO 57

Muitos sistemas complexos podem ser representados

aproximadamente por osciladores harmônicos. A energia potencial

V(r) de dois átomos em função da distância de separação r entre

eles se comporta usualmente conforme a curva da figura abaixo.

Geralmente, existe uma distância, r = rm, na qual o potencial possui

um valor mínimo, que corresponde ao ponto de equilíbrio estável.

Em cristais moleculares formados por gases nobres, a interação

entre os íons pode ser aproximada pelo potencial de Leonnard-

Jonnes: V(r) = 4V0

, em que V0 e F dependem do tipo

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ612

rr

de íon. Próximo do mínimo, o potencial pode ser escrito na forma

polinomial V(r) . Vm + k(r ! r

m)2/2, onde V

m = V(r

m), assumindo a

forma do potencial do oscilador harmônico. Considerando o

potencial aproximado para oscilador harmônico, a energia do

estado fundamental E0 de um íon simples de massa m em tal cristal

será

A3 2

0h

σ

V

m.

B3

2

0

0

h

σ

V

mV− .

C 2 3

1

3

0

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

h

σ

V

mV .

D 2 3

1

3 0

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+hV

mV .

E3

20

0

h

σ

m

VV+ .

RASCUNHO



QUESTÃO 58

Para um sistema unidimensional de osciladores harmônicos, os

níveis de energia são igualmente espaçados e não-degenerados.

Então, o número de estados quânticos no intervalo éΔE

proporcional a , desde que seja muito maior que oΔE ΔE

espaçamento entre os níveis. Acerca desse assunto, assinale a opção

correta.

A O sistema unidimensional de osciladores harmônicos pode ser

explicado pelo modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, uma

vez que esse modelo prevê que os níveis de energia são

igualmente espaçados.

B A quantidade deve ser entendida como um elementoΔE

diferencial infinitesimal para que haja pelo menos um estado

permitido.

C A partir de uma determinada função de energia potencial,

pode-se resolver a equação de Schrödinger a fim de encontrar

os estados com energia definida de um dado sistema. O átomo

de hidrogênio pelo modelo de Bohr e o oscilador harmônico

possuem a mesma função de energia potencial, portanto,

possuem os mesmo níveis de energia.

D O estado de um oscilador harmônico unidimensional é definido

apenas pelo número quântico principal n, de modo que não há

degenerescência. Além disso, os níveis de energia crescem

linearmente com n, de modo que, para >> T, deveΔE h

existir pelo menos um estado permitido.

E Os resultados provenientes da equação de Schrödinger e do

postulado de Planck para o oscilador harmônico

unidimensional assumem que os níveis de energia, além de

serem deslocados acima de , são não-degenerados, isto é,2

ωh

diferentes estados quânticos podem assumir a mesma energia

total. Em consequência, a energia total mínima possível para

uma partícula ligada no potencial é E0 = .

2

ωh


No problema do oscilador harmônico unidimensional, uma

partícula de massa m está sujeita a um potencial V(x) = mT2x2/2, em

que T é a frequência clássica do oscilador. Classicamente, a

constante de mola é dada por k = mT2.

Operadores tipo escada permitem obter os autovalores de

energia sem que haja a necessidade de resolver diretamente a

equação de Schrödinger. Nesse sentido, os operadores a (operador

de aniquilação) e a^ (operador de criação) são essenciais na

representação dos operadores posição, x = (a^ + a), eh / 2mω

momento linear, p = (a^ ! a).hmω / 2

Considerando inicialmente o autoestado do hamiltoniano Hψn

correspondente ao autovalor En = (n + 1/2) T, a aplicação doh

operador a produz um autovetor associado com autovalor

En!1

= (n + 1/2) T ! T, e a aplicação de a^ produz a energiah h

En + 1

= (n + ) T + T. Além disso, sejam e 1

2h h ψ

nψ

n±1

normalizadas, a^ = a = ψn

nn

++

11

ψ , ψn

nn

ψ−1

,

a^a e aa^| Rn , = (n + 1)| R

n,.ψ

n= n

nψ

QUESTÃO 59

Para um oscilador harmônico unidimensional, a e a^ estão

relacionados entre si por meio das relações de comutação [a, a^] =

1 e [a^, a] = !1. Além disso, [a, a] = [a^, a^] = 0. Definindo um

operador N como sendo N = a^a, assinale a opção correta sobre as

relações de comutação [N, a] e [N, a^].

A [N, a] = !a e [N, a^] = a^

B [N, a] = a e [N, a^] = a^

C [N, a] = a e [N, a^] = !a^

D [N, a] = !a e [N, a^] = !a^

E [N, a] = 0 e [N, a^] = 0



QUESTÃO 60

Acerca do oscilador harmônico unidimensional, o valor esperado da

energia potencial +V, no n-ésimo estado será

A

hω

2.

B hω.

C .22

1 ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

hn

D .ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ h2

1n

E .ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ h2

32n

QUESTÃO 61

Considere uma partícula de massa m no estado fundamental de um

oscilador harmônico com frequência clássica T e constante de mola

k. Subitamente, o valor da constante de mola é amplificado em 25

vezes, = 25k, tal que a nova frequência T' = 5T. Inicialmente, ak '

função de onda permanece inalterada. Uma vez que o hamiltoniano

foi alterado, a função de onda então evoluirá diferentemente da

configuração antes da mudança da constante de mola. Por

conseguinte, é correto concluir que a probabilidade de que uma

medida da energia ainda retorne o valor éhω

A 0.

B .4

1

C .2

1

D .4

3

E 1.

RASCUNHO




Considere um poço duplo de potencial quadrático, conformemostrado na figura abaixo.

A profundidade !V0 e a largura a dos poços de potencial são fixas

e largas o suficiente para que haja vários estados ligados. Abarreira, de largura b, entretanto, é variável.

QUESTÃO 62

1Considere as seguintes representações de funções de onda.

R(x) R(x)

R(x) R(x) R(x)

R(x)

-a a a- a(b/2+ ) -b/2

- a(b/2+ ) -b/2

b/2 b/2+a -(b/2+ )a

-b/2 b/2

-b/2

b/2

b/2+a

-(b/2+ )a

b/2+a

b/2 b/2+ax x x

x x x

-a

C1C1 C2 C3

C6C5C4

Acerca do poço duplo de potencial quadrático, levando em conta asfunções de ondas do estado fundamental, R0(x), e do primeiroestado excitado, R1(x), além das configurações acima (C1, C2, C3,C4, C5 e C6), assinale a opção correta.

A Se b = 0, comumente um poço simples e finito de potencialquadrático, a função de onda seria nula na parte externa esenoidal dentro do poço, sendo R0(x) conforme C1, e R1(x)conforme C2.

B Se b . a, então R0(x) é uma função par, conforme C3. Nessecaso, a função de onda decai exponencialmente fora do poço,com comportamento senoidal dentro dos poços e tipo cossenohiperbólico na barreira. A função R1(x) é ímpar, conforme C4.Assumindo um comportamento tipo seno hiperbólico nabarreira.

C Se b . a, então R0(x) é uma função par, conforme C5. Afunção R1(x) também é par, conforme C3. Em ambos os casos,isto é, estado fundamental e primeiro estado excitado, a funçãode onda decai exponencialmente fora do poço e possui umcomportamento quadrático na barreira.

D Se b >> a, os dois poços estão praticamente isolados. Asfunções de ondas R0(x), conforme C5, e R1(x), conforme C6,são semelhantes às suas correspondentes no caso em queb . a, contudo são bastante atenuadas na região da barreira. Asfunções de ondas R0(x) e R1(x) são não degeneradas, nãopodendo ser produtos, por exemplo, de combinações linearesdos estados fundamentais de dois poços distintos.

E Se b >> a, as funções de ondas R0(x) e R1(x) apresentam umcomportamento do tipo decaimento exponencial na parteexterna e senoidal dentro do poço; sendo do tipo seno paraR0(x), conforme C1, e cosseno para R1(x), conforme C2.Entretanto, elas são degeneradas, podendo ser descritas comocombinações lineares pares e ímpares dos estadosfundamentais de dois poços distintos.

QUESTÃO 63

O poço duplo de potencial é um modelo unidimensional bastanterudimentar para o potencial exercido sobre um elétron em umamolécula diatômica. Nesse sentido, os dois poços representam aforça atrativa dos núcleos. Se os núcleos são livres para se mover,eles irão adotar uma configuração de mínimo de energia.

χ

χ

4

A figura acima mostra o comportamento da energia no estadofundamental, E0, e no primeiro estado excitado, E1, à medida que a

largura da barreira, b, cresce. O valor é igual a . Tendoχ

)2( 2

22

ma

hπ

como base o enunciado acima desprezando os efeitos de repulsãointernucleares, assinale a opção correta.

A O mínimo de energia ocorre quando b 6 4. Assim, tanto noestado fundamental quanto no primeiro estado excitado, oelétron propicia a atração dos núcleos, de modo a promover aligação dos átomos.

B Independentemente do valor assumido por b, tanto no estadofundamental quanto no primeiro estado excitado, o elétron atraios núcleos; favorecendo, portanto, a ligação entre os átomos.

C Independentemente do valor assumido por b, tanto no estadofundamental quanto no primeiro estado excitado, o elétronpropicia o distanciamento entre os núcleos.

D Independentemente do valor assumido por b, o elétron noestado fundamental faz com que a distância entre os núcleosaumente. Entretanto, no primeiro estado excitado, o elétrontende a atrair os núcleos, promovendo a ligação dos átomos, àmedida em que b 6 0.

E No estado fundamental, a energia assume um mínimo à medidaque b 6 0. Assim, o elétron tende a atrair os núcleos,promovendo a ligação dos átomos. No primeiro estadoexcitado, entretanto, o elétron propicia um distanciamentomaior entre os núcleos.

QUESTÃO 64

Considere as relações de comutação

,[ ] [ ] [ ] [ ]r p p r i r r p pi j i j ij i j i j, , , , ,= − = = =hδ 0

em que os índices correspondem a x, y e z, com rx = x, ry = y erz = z, e pi = !i . Seja L o operador momento angular total,h∂ ∂/ r

i

tal que L2/ + + , com Lx = ypz ! zpy, Ly = zpx ! xpz eLx

2L

y

2L

z

2

Lz = xpy ! ypx. Com base nesse assunto, assinale a opção queapresenta uma relação de comutação correta.

A [L2, Lx] = 1

B [Lz, x] = 0

C [Lz, r2] = 2i xy, em que r 2 = x 2 + y 2 + z 2h

D [Lx, Ly] = !i Lzh

E [Lz, py] = !i pxh



QUESTÃO 65

O rotor rígido é um modelo mecânico usualmente utilizado para

explicar os sistemas rotativos. Ele consiste de duas partículas de

massa m mantidas a uma distância fixa a uma da outra. O sistema

é livre para girar em três dimensões em torno do centro de massa

(mas o ponto central em si é fixo). O modelo do rotor rígido pode

ser utilizado na mecânica quântica para avaliar a energia rotacional

de uma molécula diatômica, por exemplo. Em um espaço livre de

interações externas, o operador de energia H corresponde à energia

cinética do sistema, o qual pode ser escrito em termos do momento

angular total, L. Sejam En (com n = 0, 1, 2, ...) as energias

permitidas para o rotor rígido e l(l + 1) os autovalores de L2,h2

com l inteiro não negativo. Então, o valor de En é

A n(n + 1) /(4ma2).h2

B n(n + 1) /(2ma2).h2

C n(n + 1) /(ma2).h2

D 2n(n + 1) /(ma2).h2

E 4n(n + 1) /(ma2).h2

QUESTÃO 66

Considere uma partícula de massa m que está limitada a mover-se

sobre uma superfície esférica de raio r, mas livre da influência de

qualquer outro potencial. Desse modo, a energia dessa partícula é

puramente cinética, e o hamiltoniano pode ser escrito em termos do

momento angular total, L. Suponha que En (com n = 0, 1, 2, ...)

sejam as energias permitidas para essa partícula e l(l + 1) , osh2

autovalores de L2, com l inteiro não-negativo. Nessa situação, o

valor de En é

A n(n + 1) /(4ma2).h2

B n(n + 1) /(2ma2).h2

C n(n + 1) /(ma2).h2

D 2n(n + 1) /(ma2).h2

E 4n(n + 1) /(ma2).h2

RASCUNHO




Considere um sistema inicialmente no estado

ψ = − + +1

51 1

51 0

1

51 1, , , ,

3

em que +2, n| l, m, = (2, n) são harmônicos esféricos. AlémYl

m

disso, .l m m' , ' | ,', ',

ll l m m

= δ δ

QUESTÃO 67

Considere que os operadores tipo escada referentes ao momento

angular podem ser escritos como L± = .ml, h m( )( ) ,l m l m l m± + ±1 1

Então, o valor de +R|L+|R, é igual a

A 0.

B .5

)32( +

C

2 3

5

h.

D .2 6

5

h

E .2 3

5

h

QUESTÃO 68

Sejam Lz = m e os valores esperados para Lz, lz,ml, h ml,

restritos a um conjunto de valores discretos. Considerando o estado

do sistema descrito, caso Lz seja medido, os valores esperados que

lz pode assumir e suas probabilidades são respectivamentePlz

iguais a

A com probabilidade .h, 1=hP

B 0 e com probabilidades P0 = e = .h,5

3Ph

2

5

C ! e com probabilidades = e = .h h, P−h

−

1

2Ph

1

2

D ! 0 e com probabilidadeste = , P0 = e =h, h, P−h

1

5

2

5Ph

.2

5

E ! 0 e com probabilidades = , P0 = e = .h, h, P−h

1

5

3

5Ph

1

5


Considere o modelo de rotor simétrico, com momentos de

inércia Ix, Iy e Iz, em que Ix = Iy, todos no sistema de coordenadas do

próprio rotor, sendo descrito pelo hamiltoniano

H = ( + )/(2Ix) + /(2Iz). Suponha que Lx, Ly e Lz sejam osLx

2Ly

2Lz

2

operadores de momento angular, também definidos no sistema de

coordenadas do rotor.

Os autoestados do Hamiltoniano são os harmônicos

esféricos (2, n) = +2, n | l, m, com as autoenergias El, m, dadasYlm

por El, m = l(l + 1) + . Além disso,1

2Ix

h2 1

2

1

2

2

I Ix z

m−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ h

Lz|l, m, = m |l, m,, L+ = Lx + iLy e L!

= Lx ! iLy, comh

L± |l, m, = ,.h m( )( ) | ,l m l m l m± + ±1 1

QUESTÃO 69

Para qualquer estado do rotor, o valor esperado para uma medida

de (Lx + Ly + Lz) deve ser igual a

A 0.

B .h

2

C2

hm

D .mh

E .2

3 hm

QUESTÃO 70

Suponha que o estado do rotor no instante t = 0 seja (2, n).Y3

0

Então, é correto concluir que a probabilidade para que, em um

instante , se obtenha o autovalor de Lx com valor deveh

xI

tπ

=

4h

ser igual a

A 0.

B .5

1

C .3

1

D .3

2

E 1.



QUESTÃO 71

Considerando o átomo de hidrogênio dentro da aproximação

não-relativística e com partículas sem spin, assinale a opção correta.

A A função radial RnR(r) se anula n vezes entre r = 0 e .∞→r

A densidade de probabilidade é nula para esses valores de r e

também para os zeros da função associada de Legendre

.( )θm

lP

B Como a equação radial depende do número quântico R, a

energia do átomo de hidrogênio depende dos números

quânticos R e n.

C A cada nível existe um estado de simetria esférica, com

número quântico de momento angular R igual a 1. Nesses

estados, o momento angular do elétron é nulo, ou seja, o

quadrado do momento angular e sua projeção sobre o eixo z

são nulos.

D Um estado ligado do átomo de hidrogênio é definido por três

números quânticos, n, R e m. Conhecendo esses números,

determina-se o valor da energia En do átomo, o quadrado do

momento angular e a projeção do momento2)1( hll +

angular sobre o eixo z, .hm

E Os níveis energéticos discretos do átomo de hidrogênio são

exclusivamente uma consequência da anulação no infinito da

solução radial da equação de Schrödinger e são os únicos

valores de energia (E) possíveis correspondentes a soluções

finitas, contínuas e quadraticamente somáveis.

QUESTÃO 72

O número de autoestados degenerados correspondentes ao nível

energético E5 do átomo de hidrogênio não relativístico e sem spin

é igual a

A 0.

B 1.

C 5.

D 15.

E 25.

RASCUNHO



QUESTÃO 73

Na solução do átomo de hidrogênio não relativístico e sem spin,

substitui-se os sistemas de coordenadas referentes ao elétron e ao

próton pelas coordenadas de movimento relativo do elétron e

próton e as coordenadas do movimento do centro de massa do

átomo. Considerar a partícula de massa reduzida como sendo o

elétron em um potencial central corresponde a desprezar um termo

de ordem

A .p

e

m

m

B .p

e

m

m2

C .pe

e

mm

m

+

D .pm

E .2

em

QUESTÃO 74

Com a função de onda do estado fundamental do átomo de

hidrogênio dada por e!r/a, a distância da origem na2

1

3

1)(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=Ψ

a

r

π

qual a probabilidade de encontrar o elétron será máxima é

A 0.

B a.

C .2

1

3

1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

aπ

D .⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3

1

aπ

E 4.

QUESTÃO 75

As autofunções eletrônicas do átomo de hidrogênio, ,)θ,,( ϕrnlmΨ

são usualmente expressas em termos de

A funções delta de Dirac.

B polinômios de Legendre e funções de Bessel.

C funções associadas de Legendre de primeira espécie e funções

de Bessel.

D séries de Fourier e funções de Heaviside.

E harmônicos esféricos e polinômios associados de Laguerre.

QUESTÃO 76

Para uma partícula sem spin sujeita a um potencial central e em um

estado ligado, com o quadrado de seu momento angular igual a,

, a projeção do seu momento angular na direção z poderá2

2h

assumir os valores

A e .2

h−

2

h

B 0 e .2

2h

C e .h2− h2

D , 0 e .h− h

E , 0 e .h2− h2

QUESTÃO 77

Caso se use amônia, NH3, para a geração de radiação MASER

(microwave amplification by stimulated emission of radiation),

A a MASER será gerada pelas moléculas de amônia, cujo

operador dipolo elétrico fica proporcional ao operador posição

do átomo de nitrogênio, caso se submeta as moléculas a um

campo magnético dependente do tempo.

B as moléculas de amônia sujeitas à radiação de micro-ondas

poderão ser consideradas como sistemas de dois níveis sujeitos

a uma perturbação independente do tempo.

C caso a amônia seja tratada como um sistema de dois níveis

sujeito a perturbações dependentes do tempo, oscilatória e

senoidal, a frequência da radiação incidente necessária para a

ressonância e a emissão de radiação estimulada será: ,h

12EE −

em que E1 e E

2 são as energias correspondentes aos estados

com o átomo de nitrogênio acima e abaixo, respectivamente,

do plano dos átomos de hidrogênio da molécula de NH3.

D a frequência de micro-ondas necessária para a geração do

MASER via ressonância é a mesma com que a molécula de

amônia gira em torno de seu próprio eixo, que passa pelo

átomo de nitrogênio e é perpendicular ao plano formado pelos

três átomos de hidrogênio.

E é importante fazer com que o tempo em que as moléculas de

amônia ficam sujeitas à radiação de micro-ondas ressonante

seja igual a , sendo ( proporcional ao elemento de matrizγ

π h

2

do momento de dipolo elétrico da molécula.



QUESTÃO 78

Com relação à ressonância magnética de spin, que considera um

sistema de spin sujeito a dois campos magnéticos2

1

perpendiculares, um uniforme e independente do tempo na direção

de z, B0, e o outro dependente do tempo e oscilatório, B

1(t), assinale

a opção correta.

A Esse sistema pode ser tratado como um problema de dois

níveis com perturbação dependente do tempo, cujos

hamiltoniano não perturbado H0 e potencial perturbativo

podem ser convenientemente expressos em termos dos

operadores Sx, S

y e S

z do momento angular de spin.

B Esse sistema pode ser tratado como um problema de dois

níveis com perturbação dependente do tempo, cuja equação

diferencial acoplada fornece os coeficientes da expansão linear

de um dado estado dependente do tempo e deve ser resolvida

por uma série perturbativa.

C Esse sistema pode ser tratado como um problema de dois

níveis com perturbação dependente do tempo, cuja

representação matricial do potencial dependente do tempo é

diagonal em termos dos autoestados do operador de momento

angular Sz.

D Esse sistema pode ser tratado como um problema de dois

níveis com perturbação dependente do tempo, em que a

frequência de B1(t) para a qual o sistema passa a alternar entre

os estados de spin up e down não depende do módulo de B0.

E Esse sistema pode ser tratado como um problema de dois

níveis com perturbação dependente do tempo, cujo potencial

dependente do tempo somente fornece energia ao sistema, mas

não a absorve.

QUESTÃO 79

Com relação às expansões perturbativas para potenciais

dependentes do tempo, assinale a opção correta.

A São utilizáveis apenas para pequenas perturbações cujos

termos de ordem superior são desprezáveis.

B Não se utilizam para potenciais de longo alcance.

C São utilizáveis caso seja possível somar classes de termos da

série com infinitos elementos e desprezar as outras classes.

D As séries perturbativas precisam ser truncadas a partir de uma

dada ordem em termos do potencial perturbativo.

E Como o potencial perturbativo depende do tempo, todos os

termos da expansão também dependerão dele.

QUESTÃO 80

Considerando o efeito fotoelétrico, no qual elétrons são emitidos

por átomos de uma placa metálica quando esta é submetida à

radiação, assinale a opção correta.

A Esse efeito poder ser descrito pela transição de estados

atômicos ligados para estados com energia positiva.

B Esse efeito não pode ser descrito sem a o uso da teoria quântica

de campos.

C A aproximação de dipolo elétrico é fundamental para a

descrição apropriada desse efeito.

D A expressão da seção de choque diferencial para o efeito

fotoelétrico depende do cálculo dos elementos de matriz entre

os estados atômicos 1s e 2s.

E Esse efeito deve ser tratado com a teoria da perturbação

dependente do tempo, pois os campos de radiação dependem

explicitamente do tempo.

QUESTÃO 81

Em átomos hidrogenoides,

A o potencial eletrostático ao qual o elétron mais energético está

sujeito tem a forma de um potencial coulombiano puro.

B a chamada estrutura fina do espectro não se deve à interação

spin-órbita.

C estados eletrônicos com menor número quântico azimutal são

mais suscetíveis à repulsão da nuvem eletrônica das camadas

internas.

D o espaçamento típico entre raias de estrutura fina é relacionado

ao espaçamento entre as raias de Balmer na proporção de 137

1

para 1.

E a degenerescência dos estados associados ao elétron mais

energético pode ser levantada devido à interação com estados

eletrônicos das camadas internas.

QUESTÃO 82

Considerando o efeito Zeeman de átomos hidrogenoides, colocados

em um campo magnético uniforme, tratados mediante a teoria da

perturbação, assinale a opção correta.

A A degenerescência dos estados deve ser considerada.

B O termo de interação spin-órbita não precisa ser considerado.

C O termo de interação do momento magnético orbital com o

campo magnético uniforme não precisa ser considerado.

D O termo de interação do momento magnético de spin com o

campo magnético uniforme não precisa ser considerado.

E A perturbação deve ser tratada como uma pequena perturbação

mesmo para grandes valores do campo magnético.



QUESTÃO 83

A interação de Van Der Waals poder ser tratada como uma

perturbação independente do tempo. Se a distância entre dois

átomos de hidrogênio for tomada como um parâmetro R, o

potencia l per turba t ivo te rá a seguin te forma:

, em que e ( )212121

2 zzyy+xxR³

e²=V −

( )111z,y,x ( )

222z,y,x

são as coordenadas dos dois elétrons. Tomando a energia do

sistema e sua dependência com R como a parte atrativa do potencial

de Van Der Waals, assinale a opção correta.

A O potencial atrativo independe da distância entre os átomos.

B O potencial atrativo é proporcional a e representa umR³

1

potencial atrativo de longo alcance.

C O potencial atrativo é proporcional a e representa um1

6R


D O potencial atrativo é proporcional a e representa um12

1

R


E O potencial atrativo é proporcional a e representa um

2

3

1

Rpotencial atrativo de longo alcance.

QUESTÃO 84

Considerando o hamiltoniano , em( ) ( ) pxAxφ2

p2

⋅− t,mc

et,e+

m=H

que x e p representam os operadores posição e momento linear,

respectivamente; e considerando, ainda, que o potencial escalar,

n(x, t), e o potencial vetor, A(x, t), são os geradores do campo de

radiação clássico, assinale a opção correta.

A Se n(x, t) e A(x, t) forem independentes do tempo, n(x, t) for

o potencial gerado por uma carga pontual positiva e A(x, t) for

um campo vetorial uniforme no espaço, o hamiltoniano

fornecerá uma boa descrição para o átomo de hidrogênio, com

m sendo, aproximadamente, a massa do elétron.

B Se n(x, t) for nulo, o hamiltoniano representará uma partícula

livre sujeita à ação de um campo magnético e o sistema poderá

ser tratado com o formalismo da teoria da perturbação

dependente do tempo.

C Se A(x, t) for nulo, o hamiltoniano representará uma partícula

livre sujeita a um campo elétrico constante.

D Se n(x, t) for nulo, o hamiltoniano não poderá representar uma

partícula sujeita a um campo elétrico.

E Com a escolha conveniente de n(x, t) e A(x, t), o hamiltoniano

poderá representar o átomo de hidrogênio com interação spin-

órbita.

RASCUNHO



QUESTÃO 85

Partículas de spin semi-inteiro são chamadas de férmions e

partículas de spin inteiro são chamadas de bósons. A respeito desse

assunto, assinale a opção correta.

A Uma partícula pode ser convertida de férmion em bóson pela

aplicação de campos magnéticos apropriados.

B A transição de férmions para bósons só é possível com

radiação de alta frequência, como raios X e raios gama.

C Dois elétrons ligados formam necessariamente uma nova

partícula fermiônica.

D Spins semi-inteiros estão associados a funções de onda

simétricas em sistemas de partículas idênticas.

E Núcleos atômicos podem ser férmions ou bósons.

QUESTÃO 86

Considerando-se a molécula de H2, aproximadamente, como um

sistema de dois níveis degenerados, em que o hamiltoniano não

perturbado, H0, é a soma dos hamiltonianos de dois átomos de

hidrogênio isolados um do outro, e a perturbação, V, é tomada

como os potenciais eletrostáticos entre partículas de diferentes

átomos, se os elementos de matriz da perturbação forem dados por

e , então as correções de primeiraA=V=V2211 BV=V =

*

2112

ordem nos níveis de energia dentro da teoria da perturbação para

estados degenerados serão

A , .( ) | |²1

1B+A²=E

( ) | |²1

2B+A²=E −

B , .( ) | |²1

1B+A²=E

( ) | |²1

2BA²=E −−

C , .( ) | |B+A=E1

1

( ) | |BA=E −

1

2

D , .( ) | |B+A=E −

1

1

( ) | |BA=E −−

1

2

E , ( ) | |B=E1

1

( ) | |B=E −

1

2

QUESTÃO 87

Com relação ao método variacional, assinale a opção correta.

A O método variacional é muito útil para estimar a energia do

estado fundamental, E0, quando uma solução exata de um

problema semelhante estiver disponível.

B O método variacional se baseia no teorema que afirma que

, em que é o valor esperado do hamiltoniano com0

EE ≥ E

relação à função tentativa ; dividido pela integral do móduloψ

ao quadrado de , em que E0 é a energia do estadoψ

fundamental.

C Uma função tentativa relativamente pobre não pode dar uma

boa estimativa para a energia do estado fundamental.

D O método variacional não pode ser usado para calcular

autoenergias além da energia do estado fundamental.

E Uma maneira de enunciar o teorema base do método

variacional é afirmar que o valor esperado de H, com relação

à função tentativa , dividido pela integral do módulo aoψ

quadrado de , não é estacionário com respeito a mudançasψ

infinitesimais em .ψ

QUESTÃO 88

Usando-se o método variacional, determina-se a energia do estado

fundamental do átomo de hidrogênio com a função

tentativa , em que A é a constante de normalização e aψα( )r Aer

=

−

é o parâmetro variacional. Expressando-se o resultado em termos

do raio de Bohr, , a energia éme²

=a²

0

h

A 0.

B .0

4a

e²−

C .0

2a

e²−

D .

0a

e²−

E .0

²2

a

e

−

QUESTÃO 89

Considerando-se o problema de uma partícula livre em uma caixa

unidimensional definida de x = !a até x = a, em que a partícula

experimenta um potencial V = 0 dentro da caixa e V = 4 fora dela,

e usando-se a função tentativa , o método22)( xax −=ψ

variacional fornecerá para a energia do estado fundamental o valor

A 0.

B .ma²

²

2

1 h

C .ma²

π ²

8

² h

D .ma²

²

4

5 h

E .ma²

²

2

5 h

QUESTÃO 90

O cálculo da energia do estado fundamental do oscilador harmônico

simples, , com o método variacional, usando-sex²²mω2

1+

m2

p²=H

a função tentativa , que corresponde à forma2

xAxe)x( α

ψ−

=

funcional do primeiro estado excitado, mas com o parâmetro

variacional a e constante de normalização A, resulta em

A 0.

B .4

ωh

C .2

ωh

D .ωh

E .ωh2

3



QUESTÃO 91

Considerando a teoria da perturbação independente do tempo para

estados não degenerados, em que o hamiltoniano perturbado é

expresso por , sendo que , e V éVHH +=0

)0()0()0(

0 nnnEH Ψ=Ψ

o potencial perturbativo, assinale a opção correta.

A Para se obter a correção de primeira ordem na energia, não é

suficiente calcular o valor esperado de V com respeito aos

estados não perturbados.

B A correção de segunda ordem na energia do estado

fundamental é sempre negativa. O estado mais baixo tende a

ficar ainda mais baixo como resultado da mistura de estados.

C A correção de segunda ordem nos níveis de energia tende a

atrair os níveis conectados por Vij. O de maior energia se

desloca para baixo e o de menor energia para cima, com

modificações de mesmo módulo.

D A autofunção é proporcional à autofunção não perturbadaΨn

, ou seja, a perturbação V não mistura autofunções nãoΨn

( )0

perturbadas de energias diferentes.

E O método só desperta interesse prático se a aproximação gerar

uma série convergente.

QUESTÃO 92

Considerando H0 um hamiltoniano com autofunções e autovalores

conhecidos, , e considerando, ainda, que o)0()0()0(

0 nnnEH Ψ=Ψ

sistema descrito por H0 sofra uma pequena perturbação devido a um

potencial V, de modo que o novo hamiltoniano se torne H = H0 + V,

assinale a opção que apresenta, respectivamente, as correções de

primeira ordem na energia e nas autofunções, de acordo com a

teoria da perturbação independente do tempo para estados não

degenerados.

A e nn

V)0(

)0()0( k

nk kn

kn

EE

VΨ

−∑≠

B e )0(

nE

)0(

nΨ

C e ∑≠

−nk kn

kn

EE

V

)0()0(

2

)0(

)0()0( k

nk kn

kn

EE

VΨ

−∑≠

D e nn

V)0(

nΨ

E e )0(

nE

)0(

)0()0( k

nk kn

kn

EE

VΨ

−∑≠

RASCUNHO



QUESTÃO 93

Considerando que um oscilador harmônico simples seja descrito

p e l o o p e r a d o r h a m i l t o n i a n o n ã o p e r t u r b a d o

, e que a função de onda do estadox²mω+p²

=H ²2

1

2m0

fundamental seja obtida como ,ax

eax2/4/1)0(

0

2

)()(−−

=Ψ π

, se o sistema sofrer uma perturbação que modifique aωm

a

h=

constante de mola K = mT2 para um valor ligeiramente diferente

, com g << 1, a correção de primeira ordem na2

ωε mKK +=′

energia do oscilador harmônico, considerando-se a perturbação

, será22

2

1xmV ωε=

A .ωε h2

3

B .ωε h

C .ωε h2

1

D .ωε h4

1

E 0.

QUESTÃO 94

O efeito Stark é obtido quando se submete um sistema atômico a

um campo elétrico uniforme. Nesse sentido, considerando-se apenas

o estado fundamental não degenerado do átomo de hidrogênio e a

perturbação devida a um campo elétrico na direção z dada por

, se a função de onda do estado fundamental 1s forzEeV −=

, em que a0 é o raio de Bohr, ,0

/2/13

0

)0(

0 )()(ar

ea−−

=Ψ πx2

2

0

me

a

h=

a correção de primeira ordem na energia do estado fundamental será

A 0.

B .Eea0

−

C .Eea0

1

π

−

D .Eea0

2−

E .Eea0

3−

QUESTÃO 95

Com relação à perturbação de estados degenerados, assinale a

opção correta.

A Em caso de degenerescência, para se usar a teoria da

perturbação, a especificação apenas do autovalor de energia

não será suficiente. Alguma outra observável será necessária

para completar a descrição, ou seja, pode-se tomar como base

estados que não são simultaneamente autoestados de H0 e

alguma outra observável A.

B Diagonalizando-se a matriz construída com a representação

matricial da perturbação no subespaço gerado pelos estados

degenerados, obtém-se como resultado a correção de ordem

zero dos autovetores e da energia.

C Sempre que houver degenerescência, pode-se escolher o

conjunto base de estados não perturbados. Deve-se escolher o

conjunto base de modo que a perturbação não tenha elementos

fora da diagonal no subespaço varrido pelos estados

degenerados, evitando-se, assim, as divergências nos termos da

expansão perturbativa.

D Se o operador perturbação V não for diagonal na representação

dos estados base que se esteja usando, pode-se imediatamente

escrever a correção de primeira ordem tomando-se o valor

esperado de V, exatamente como no caso não degenerado.

E As correções de ordem superiores podem ser obtidas com as

mesmas fórmulas da teoria da perturbação não degenerada,

desde que se incluam todas as contribuições dos autoestados

não perturbados dos subespaços degenerados.

QUESTÃO 96

Considerando-se o efeito Stark resultante da aplicação de um

campo elétrico constante ( ), no segundo nível energéticoEezV −=

do átomo de hidrogênio, usando a teoria da perturbação para

estados degenerados, e sabendo que os únicos elementos de matriz

de V não nulos são dados por , asEeasVppVszz 0

32222 >=>=<<

correções de primeira ordem na energia dos quatro estados

degenerados serão

A 0, 0, 0, 0.

B 0, 0, , .Eea0

2

3− Eea

0

2

3

C 0, 0, , .Eea0

3− Eea0

3

D , , , .Eea0

3− Eea0

2

3− Eea

0

2

3Eea

03

E , , , .Eea0

3− Eea0

− Eea0

Eea0

3



QUESTÃO 97

O operador de levantamento de spin S+ é definido como

S+ = S

x + iS

y, e o operador de abaixamento, S

!

, é o seu adjunto.

O comutador desses dois operadores, [S+, S

!

], é igual a

A 0.

B i£.

C 2£Sz.

D !2i£.

E 2£2.

QUESTÃO 98

Considerando que um feixe de partículas de spin deixe um forno2

3

e atravesse um campo magnético não uniforme, a interação do

momento magnético de spin das partículas com o campo magnético

A não dividirá o feixe inicial.

B dividirá o feixe em dois feixes separados.

C dividirá o feixe em três feixes separados.

D dividirá o feixe em quatro feixes separados.

E dividirá o feixe em seis feixes separados.

QUESTÃO 99

Com relação ao spin, assinale a opção correta.

A O elétron possui um momento angular próprio, dependente de

seus movimentos de translação, chamado de spin. Um

momento magnético, o momento magnético próprio ou de spin,

é associado a esse momento angular.

B Os operadores de spin, Sx, S

y e S

z são obtidos pela quantização

do momento angular S = r × p do elétron, ou seja,

, da qual seguem as relações de comutação( )∇×−= rhiS

entre Sx, S

y e S

z.

C A constante de proporcionalidade entre o momento angular de

spin e o momento magnético de spin é a metade da constante

de proporcionalidade entre o momento angular orbital e o

momento magnético orbital.

D O operador momento angular total, J, de um elétron é dado

pela soma do operador de spin, S, e o operador de momento

angular orbital, L, ou seja, J = L + S, e as autofunções de J são

obtidas mediante a combinação linear do produto das

autofunções de L e S.

E O deslocamento do elétron em torno de um núcleo produz um

campo magnético proporcional ao momento magnético angular

que age sobre o momento magnético próprio do elétron,

criando a interação spin-órbita, que sempre levanta a

degenerescência dos níveis energéticos.

QUESTÃO 100

Aplicando-se uma rotação de 2B em torno de um eixo qualquer

sobre uma partícula de spin em um estado Q, o estado dessa2

1

partícula

A voltará a ser Q.

B passará a ser !Q.

C não se alterará se Q estiver na direção do eixo de rotação.

D será multiplicado por um fator de fase que dependerá do estado

inicial.

E será um novo estado decorrente de uma combinação linear de

outros estados, dependendo do ângulo entre o eixo de rotação

e o momento angular de spin.

RASCUNHO



PROVA DISCURSIVA

• Nesta prova, faça o que se pede, usando os espaços para rascunho indicados no presente caderno. Em seguida, transcreva os textos

para o CADERNO DE TEXTOS DEFINITIVOS DA PROVA DISCURSIVA, nos locais apropriados, pois não serão avaliados

fragmentos de texto escritos em locais indevidos.

• Em cada questão, qualquer fragmento de texto além da extensão máxima de trinta linhas será desconsiderado. Será desconsiderado

também o texto que não for escrito na folha de texto definitivo correspondente.

• No caderno de textos definitivos, identifique-se apenas no cabeçalho da primeira página, pois não será avaliado texto que tenha

qualquer assinatura ou marca identificadora fora do local apropriado.

QUESTÃO 1

A nanometrologia desempenha um papel crucial na produção de nanomateriais e dispositivos com

um alto grau de precisão e confiabilidade. Isso se deve, em grande parte, ao desenvolvimento de estudos

teóricos sobre materiais e sistemas nanoestruturados, além do desafio em desenvolver novas técnicas de

medição e padrões para atender às necessidades da produção em nanoescala.

Em sistemas complexos, como nanopartículas, nanotubos, poços quânticos, fios quânticos etc.,

estudos têm sido desenvolvidos com base em procedimentos quânticos bem estabelecidos, os quais se

utilizam de métodos de primeiros princípios. Em situações envolvendo sistemas eletrônicos com mais de um

elétron, entretanto, a solução de equações diferenciais (como a equação de Schrödinger) é extremamente

laboriosa e não permite soluções analíticas. Nesse contexto, como abordagem alternativa e complementar

aos experimentos, o advento de simulações de alto desempenho têm atuado de forma indispensável à

produção de materiais com propriedades estruturais e eletrônicas desejáveis.

Considerando que o texto acima tem caráter unicamente motivador, redija um texto dissertativo que aborde, necessariamente, de forma

objetiva e devidamente fundamentada, os seguintes tópicos:

< método de Hartree-Fock;

< teoria do funcional da densidade;

< aproximação de pseudopotencial.



RASCUNHO – QUESTÃO 1

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QUESTÃO 2

A aproximação de Hartree-Fock ocupa um papel fundamental no cálculo das propriedades de sistemas

físicos, seja mediante o cálculo direto das propriedades, seja como ponto de partida para tratamentos mais

elaborados. Essa aproximação está presente em física nuclear, teoria quântica de campos, estado sólido e

física atômica e molecular, ocupando uma posição de destaque nessa última. Partindo da física atômica e

molecular, essa aproximação se espraiou pela química, biologia e farmacologia. Programas de computador

comerciais, com base nessa aproximação e em suas extensões, calculam propriedades de fármacos,

moléculas biológicas e uma enorme gama de sistemas físico-químicos.

Considerando que o texto tem caráter unicamente motivador, redija um texto dissertativo acerca dos aspectos formais da aproximação de

Hartree-Fock. Ao elaborar seu texto, aborde, necessariamente, os seguintes aspectos:

< determinante de Slater;

< método variacional;

< combinação linear de orbitais atômicos;

< campo autoconsistente.



RASCUNHO – QUESTÃO 2

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unb/cespe – inmetro · a figura acima representa a densidade espectral de energia d(t) de uma...

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