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Teorema da Energia Cinéticae do Trabalho

Energia Cinética

• É a energia associada ao movimento da partícula

• [K] = kg.m2/s2 = Joule

• De onde vem isso? Porque o fator ½? Qual a utilidade?

Teorema da Energia Cinética e do Trabalho (KW)

• O trabalho dW da força total se manifesta na alteração da energiacinética da partícula

• Se há várias forças, 𝑑𝑊 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑑𝑊1 + 𝑑𝑊2 + 𝑑𝑊3

dK dW

𝐾1

𝐅𝑡𝑜𝑡

𝐾2𝑑𝐫

𝐾1 < 𝐾2

𝐾1

𝐅𝑡𝑜𝑡

𝐾2𝑑𝐫

𝐾1 = 𝐾2

𝐾1

𝐅𝑡𝑜𝑡

𝐾2𝑑𝐫

𝐾1 > 𝐾2

Somando os dW´s …

Teorema KW

𝐅 𝑡𝑜𝑡𝐴

𝐵

𝑑𝐫

𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝐴

𝐵

𝐅𝑡𝑜𝑡(𝐫) ∙ 𝑑𝐫

Forças Conservativas

Definição de Força Conservativa

Quando 𝑊𝐴→𝐵 tem o mesmo valor para qualquercaminho que vai de A até B, a força é conservativa

Forças constantes são conservativas:

Forças de atrito não são conservativas:

𝐴

𝐵

𝐅

𝐅

𝐅

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐅 ∙ (𝐫𝐵 − 𝐫𝐴)

𝑊𝐴→𝐵 = −𝜇𝑘𝑚𝑔(𝑑1 + 𝑑2)

𝑊𝐴→𝐵 = −𝜇𝑘𝑚𝑔𝑑

𝐝1 𝐝2𝐟𝑘

𝐟𝑘

𝐝𝐟𝑘𝐴 𝐵

Energia Potencial da Força Conservativa

No caso da força constante:

[K] = [W] = [U] = Joule

Energia Potencial Gravitacional (próximo à superfície da Terra)

Obs: Quanto mais alto um objeto, maior sua energia potencial gravitacional.

𝑈 𝐫 = −𝑚𝐠 ∙ 𝐫 = 𝑚𝑔𝑧

𝐠 = −𝑔 𝐤 𝐤

𝐣

𝐢

Conservação de Energia

Só acontece quando apenas forças conservativas trabalham

𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑊𝐴→𝐵𝑐 + 𝑊𝐴→𝐵

𝑛𝑐 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵

0

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

A Força Gravitacional é conservativa

𝐴

𝐵

𝑟

𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴

𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟2 𝑑𝑟

𝐴

𝐵

𝑟

𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴

𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟2 𝑑𝑟

Energia Potencial Gravitacional (a qualquer distância da Terra)

𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴

𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟2 𝑑𝑟

=𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟𝐵−

𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟𝐴

𝑈 𝑟 = −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟

Obs: Quanto mais afastado um objeto, maior sua energia potencial gravitacional.

Perto do nível do mar....

𝑈 𝑧 = −𝐺𝑀𝑇𝑚

(𝑅𝑇 + 𝑧) 𝑧

= −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇

1

(1 + 𝑧 𝑅𝑇) 1

(1 + 𝜖)= 1 − 𝜖 + 𝜖2 − ⋯

= 𝐶 +𝐺𝑀𝑇𝑚𝑧

𝑅𝑇2 = 𝐶 + 𝑚𝑔𝑧

Sistemas de 2 Corpos

𝐅𝑇

𝐅𝐿

𝐟

−𝐟

Equações de Newton – versão 1

𝑚𝑇𝐚𝑇 = 𝐅𝑇 + 𝐟

𝑚𝐿𝐚𝐿 = 𝐅𝐿 − 𝐟

|𝐅𝑇| =𝐺𝑀𝑆𝑚𝑇

𝑟𝑇2

𝐅𝐿 =𝐺𝑀𝑆𝑚𝐿

𝑟𝐿2

𝐟 =𝐺𝑚𝑇𝑚𝐿

𝐫𝐿 − 𝐫𝑇2

𝐫𝐿

𝐫𝑇

𝐫𝐿 − 𝐫𝑇

𝐫𝐿

𝐫𝑇

𝐫𝐑

𝐫 = 𝐫𝐿 − 𝐫𝑇𝐑 =𝑚𝑇𝐫𝑇 + 𝑚𝐿𝐫𝐿

𝑀

𝐫𝑇 = 𝐑 −𝑚𝐿

𝑀𝐫

𝐫𝐿 = 𝐑 +𝑚𝑇

𝑀𝐫

𝑀𝐀 = 𝐅𝑇 + 𝐅𝐿

𝑚𝑇𝑚𝐿

𝑀𝐚 = 𝐟

Equações de Newton – versão 2

CM orbita o Sol como uma partícula de massa 𝑀 = 𝑚𝑇 + 𝑚𝐿 o faria se estivesse sob ação da força externa total

Lua orbita a Terra como uma partícula de massa 𝜇 = 𝑚𝑇𝑚𝐿/𝑀 o faria se estivesse sob ação de 𝐟

Applet: Gravity and Orbits (selecionar Path)

Conservação de Energia

𝜇𝐚 = 𝐟1

2𝜇𝐯2 −

𝐺𝑚𝐿𝑚𝑇

𝑟= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜇 =𝑚𝐿𝑚𝑇

𝑚𝐿 + 𝑚𝑇= 0,988 𝑚𝐿

Para dois corpos de massas bem diferentes, a conservação de energia não envolve a energia cinética do corpo mais pesado.

1

2𝑚𝑣0

2 −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇 + 200 km= 𝐾 −

𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇 + 1000 km

1

2𝑚𝑣0

2 −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇 + 200 km= 0 −

𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇 + ℎ

𝜇 =𝑚𝑚

(𝑚 + 𝑚)=

𝑚

2

0 −𝐺𝑚𝑚

𝐷=

1

2𝜇𝑣2 −

𝐺𝑚𝑚

(𝐷/2)=

1

2𝜇𝑣′2 −

𝐺𝑚𝑚

2𝑅

No referencial do CM...

𝐶𝑀

−𝐯/2 𝐯/2

No referencial de uma das estrelas

𝐶𝑀

𝐯/2 𝐯

Velocidade de Escape

𝐯𝑒𝑠𝑐

1

2𝑚𝐯𝑒𝑠𝑐

2 −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑅𝑇= 0

𝑣𝑒𝑠𝑐 =2𝐺𝑀𝑇

𝑅𝑇

Terra: 1,1 × 104 m/s

Lua: 2,4 × 103 m/s

Sol: 6,2 × 105 m/s

Estrela de Nêutrons: 1,6 × 108 m/s(𝑅 ~ 10 km, 𝑀 ~ 2 × 1030 kg)

E se 𝐯 não for puramente radial?