técnica de projeto de filtros

Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br

Técnicas de Projeto de Filtros

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br

O projeto de um filtro tem três passos: Especificações

Determinada pela aplicação

Aproximações Projeto do filtro especificamente (H(z))

Implementações Transcrição do projeto para hardware ou software

Em diversas aplicações como processamento de voz ou som, filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência

Assim, especificações são necessárias no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro

Em geral, uma resposta em fase linear na banda de passagem é desejada

As especificações de magnitude são dadas de duas possíveis formas: Especificações absolutas

Requisitos da magnitude |H(ejw)|

Especificações relativas Requisitos definidos em decibéis (dB)

Escala dB =

Considerações:

Banda de Passagem

1 - δ1 ≤ |H(jw)| ≤ 1 + δ1, para 0 ≤ |w| ≤ wp

Banda de Corte

|H(jw)| ≤ δ2, para |w| ≥ ws

Banda de Transição

Largura finita igual a ws – wp

EspecificaçãoAbsoluta

EspecificaçãoRelativa

Exemplo: As especificações de um FPB definem as ondulações da banda de passagem em 0,25 dB e a atenuação na banda de corte em 50 dB. Determine δ1 e δ2

Rp = 0,25 = -20 log10 [(1 - δ1)/(1 + δ1)] δ1 = 0,0144

As = 50 = -20 log10 [δ2/(1 + δ1)] δ2 = 0,0032

10Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 10

Objetivo:

Projetar um filtro passa baixa (i.e., achar H(z))

que tenha banda de passagem [0, wp] com

tolerância δ1 (ou Rp em dB) e uma banda de

passagem [wp, π] com tolerância δ2 (ou As em

Vantagens de filtros FIR Resposta em fase linear

O que implica que filtros de ordem M ou M-1 têm uma ordem de M/2 operações

Fáceis de implementar Eficientes TDF pode ser usada em sua implementação

Técnicas de Projeto de Filtros FIR

Tanto a aproximação quanto a implementação podem ser realizadas de diversas maneiras diferentes, com o resultado de que não existe uma solução única para o problema de projeto de filtros com um conjunto prescrito de especificações

Todavia, podemos mencionar três diferentes abordagens para o projeto de filtros analógicos e digitais: Abordagem analógica Abordagem de analógico para digital Abordagem digital direta

Para o projeto de filtros FIR, as técnicas são

divididas nas seguintes categorias:

Projeto usando janelas

Método da amostragem em frequência

Projeto equirriple ótimo

Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

A ideia básica de um projeto por janelas é selecionar um filtro seletor de frequências ideal apropriado (que sempre é não-causal e de resposta ao impulso infinita) e então truncar sua resposta ao impulso em uma janela para obter um filtro FIR causal e de fase linear

Assim, o foco está na escolha de uma função de janelamento e um filtro ideal apropriados

Vamos considerar o FPB ideal Hd(ejw) com magnitude 1 e fase linear na banda de passagem e resposta zero na banda de corte:

onde wc é chamada de frequência de corte (cut-off) e α é o atraso da amostra (sample delay)

Hd(ejw) =1.e-jαw , |w| ≤ wc

0 , wc < |w| ≤ π

A resposta ao impulso desse filtro é infinita e dada por:

Para obter um filtro FIR a partir de hd[n], precisamos truncar hd[n] em ambos os lados.

Para obter um filtro FIR causal de fase linear h[n] de comprimento M, devemos ter:

e α = (M - 1)/2 Essa operação é chamada de janelamento

Em geral, h[n] pode ser pensado como sendo formado pelo produto de hd[n] e uma janela w[n] tal que:

h[n] = hd[n].w[n]

onde w[n] é alguma função simétrica com respeito a α no intervalo 0 ≤ n ≤ M – 1 e 0 fora desse intervalo

Dependendo de como obtivermos w[n] acima, temos diferentes projetos de filtros

Por exemplo:

é uma janela retangular

No domínio da frequência, a resposta H(ejw) dofiltro FIR causal é dada pela convolução de Hd(ejw)e a resposta da janela W(ejw):

Observações: 1. Como a janela w[n] tem comprimento finito igual a M,

sua resposta em frequência tem uma região de pico central (lóbulo principal) cuja largura é proporcional a 1/M e tem lóbulos laterais com pesos menores.

2. A convolução gera uma versão da resposta ideal Hd(ejw), mas com algumas distorções (ondulações).

3. A largura da banda de transição é proporcional a 1/M. 4. Os lóbulos laterais produzem ondulações que têm

forma similar tanto na banda de passagem quanto na de corte.

Projeto usando janelas: Para uma dada especificação de filtro, escolha um filtro de comprimento M e uma função janela w[n] para a mais estreita largura do lóbulo principal e a menor atenuação nos lóbulos laterais possível.

Da observação 4 anterior, podemos notar que a tolerância δ1 da banda de passagem e a tolerância δ2 da banda de corte não podem ser especificadas de forma independente

Geralmente, toma-se δ1 = δ2

Técnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

Janela Retangular

Resposta em frequência

Magnitude da função sen[w(M+1)/2]/sen(w/2)

A largura do lóbulo central é ∆wm = 4π/(M + 1) para uma janela retangular

Observa-se também que a magnitude do primeiro lóbulo lateral é aproximadamente em w = 3π/(M+1) e é dada por:

À medida que M cresce, a largura de cada lóbulo lateral diminui, mas a área sobre eles permanece constante Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vão

permanecer constantes e a atenuação da banda de passagem permanece em cerca de 21 dB

Isso significa que as ondulações vão sofrer um pico perto das bordas das bandas

Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs Esse fenômeno ocorre por causa da transição

brusca de 0 para 1 (e de 1 para 0) da janela retangular

Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transição mais suave para

evitar o fenômeno de Gibbs. Isso seria conseguido através de uma janela triangular da forma:

Janela de Hanning

Janela de Hamming

Janela de Blackman

Características das funções

Janela de Kaiser Esta é a melhor janela Ela e considerada ótima porque provê um

lóbulo principal largo para a dada atenuação da banda de corte, o que implica a mais brusca banda de transição

Janela de Kaiser

I0(.) é a função de Besselmodificada de ordem zero

Janela de Kaiser Variadas formas da Janela de Kaiser

Janela de Kaiser Na expressão de w[n], existem dois parâmetros:

O comprimento M O parâmetro β

Se β = 0, temos a janela retangular

Variando β e M, é possível ajustar a amplitude dos lóbulos laterais

Kaiser encontrou duas fórmulas que permitem achar M e β de modo a atender às especificações do filtro

Janela de Kaiser considerando δ1 = δ2

∆w = wS - wP

A = -20log10 δ

Janela de Kaiser O procedimento para projetar um filtro passa-baixa

digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos:

i) Estabelecer as especificações wP, wS e δ. ii) Estabelecer a frequência de corte wc do filtro passa-baixa

ideal ao qual se aplicará a janela (wc = (wP + wS)/2). iii) Calcular A = 20log10 δ e ∆w = wP - wS e usar as fórmulas de

Kaiser para encontrar os valores de M e β. iv) Encontra a resposta ao impulso do filtro através de

h[n]=hd[n]w[n], onde w[n] é a janela de Kaiser ehd[n] = ℑ-1[Hd(ejw)].

Janela de Kaiser Devido à complexidade de cálculos com

funções de Bessel, o projeto dessas janelas não é fácil

A equação de w[n] definida por Kaiser tem valores encontrados empiricamente e são definidos sem prova

Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro

passa-baixa com as seguintes especificações: wP= 0,4π, wS = 0,6π e δ = 0,001

wc = (wS + wP)/2 = 0,5π

∆w = wS - wP = 0,2π

A = -20log10 δ = 60 dBComo A > 50:

β = 0,1102(A – 8,7) ≅ 5,633M = (A - 8)/(2,285∆w) ≅ 36,219 ⇒ M = 37 (M inteiro)

Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro

passa-baixa com as seguintes especificações: wP= 0,4π, wS = 0,6π e δ = 0,001

A resposta ao impulso é

com w[n] dado pela definição da janela de Kaiser

Implementações no MatLab

O MatLab tem diversas funções para implementar janelas:

w = rectwin(M): Janela retangular w = bartlett(M): Janela de Bartlett w = hanning(M): Janela de Hanning w = hamming(M): Janela de Hamming w = blackman(M): Janela de Blackman w = kaiser(M, Beta): Janela de Kaiser

Técnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

Função 1:function hd = ideal_lp(wc, M)% Ideal low pass filter% wc = cutoff frequency% M = length of the ideal filteralpha = (M - 1)/2n = [0:(M-1)];m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m)./(pi*m);

Função 2:function [db, mag, pha, w] = freqz_m(b, a)% Versao modificada da funcao freqz[H, w] = freqz(b, a, 1000, 'whole');H = (H(1:501))';w = (w(1:501))';mag = abs(H);db = 20*log10((mag + eps)/(max(mag)));pha = angle(H);

Exemplo 1:

Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguintes especificações wP = 0,2π, RP = 0,25 dB, wS = 0,3π e AS= 50 dB.

Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provêem atenuação de mais de 50 dB

Vamos escolher a janela de Hamming que provê a menor banda de transição e assim tem a menor ordem

Exemplo 1:

wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;tr_width = ws - wp;M = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1n = [0:M-1];wc = (ws + wp)/2;hd = ideal_lp (wc, M);w_ham = (hamming(M))';h = hd.*w_ham;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);delta_w = 2*pi/1000;Rp = -(min(db(1:wp/delta_w+1)))As = -round(max(db(ws/delta_w+1:501)))

Exemplo 1:

M = 67alpha = 33Rp = 0,0394As = 52

stem(hd)stem(h)stem(mag)stem(w_ham)

Exemplo 2:

Resolver o exemplo anterior com janela de Kaiser

Exemplo 3:

A resposta em frequência de um filtro passa-faixa ideal é dada por:

Usando uma janela de Kaiser, projete um filtro passa-faixa de comprimento 45 com atenuação na banda de corte de 60 dB

Exemplo 3:

Observe que a largura da banda de transiçãonão foi dada

Ela será encontrada a partir do comprimentoM = 45 e do parâmetro β da janela de Kaiser

Das equações de projeto da janela de Kaiser,podemos determinar β a partir de As:

Exemplo 3:

Vamos agora implementar a janela de Kaiser eobservar a atenuação na banda de corte

M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7)w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);

beta = 5,6533

Exemplo 3:

Problema….Abaixo de 60 dB

Exemplo 3:

Observe que, com esse valor, a mínima atenuação dabanda de corte é menor que 60 dB (em módulo)

Assim, precisamos aumentar β para aumentar aatenuação para 60 dB.

Vamos colocar um acréscimo no valor calculado de βpara conseguir uma atenuação maior

Observamos que, assim, a atenuação fica maior que 60dB na banda de corte

Exemplo 3:

Vamos agora implementar a janela de Kaiser eobservar a atenuação na banda de corte

M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7) + 0.3w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);

beta = 5,9533

Exemplo 3:

Acima de 60dB – OK!

Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequência

Nessa técnica, usamos o fato de que a função de sistema H(z) pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequência H(ejw)

Seja h[n] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] é sua transformada discreta de Fourier com M-pontos e H(z) sua função de sistema

Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequência

Observações (da figura anterior): 1) O erro de aproximação – a diferença entre a

resposta ideal e a atual – é zero nas freqüências amostradas

2) O erro de aproximação nas outras freqüências depende da forma da resposta ideal, ou seja, quanto mais “sharp” a resposta ideal, maior o erro de aproximação

3) O erro é maior perto das fronteiras das bandas e menor dentro das bandas

Técnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple Ótimo

Os métodos de janelamento e de amostragem na frequência têm alguns problemas: 1) Não podemos especificar wP e wS precisamente nos

projetos. 2) Não podemos especificar δ1 e δ2 simultaneamente

Ou consideramos δ1 = δ2 (como no janelamento) ou otimizamos δ2 (como na amostragem).

3) O erro de aproximação não é distribuído uniformemente nas bandas

Ele é mais alto perto das fronteiras das bandas e menor quanto mais distante delas

O método equirriple ótimo evita esses problemas. No entanto ele é bastante difícil de utilizar e requer computador na sua implementação

O objetivo é minimizar o erro máximo de aproximação (minimax do erro) Otimização

Tais filtros são chamados de equirriple porque o erro é distribuído de maneira uniforme na banda de passagem e de corte o que resulta em um filtro de menor ordem

Exemplo:

Técnicas de Projeto de Filtros IIR

A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais

A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura

Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D)

No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar

transformações a filtros passa-baixa Essas transformações também estão disponíveis na literatura.

Existem duas formas de projeto de filtros IIR

Para projetar filtros IIR, vamos: 1) Projetar FPB analógicos; 2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB

digitais; 3) Aplicar transformações de frequência nas bandas

para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

O principal problema dessas técnicas é que não temos controle sobre a fase do filtro Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em

magnitude

Escala Relativa Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro

analógico Então as especificações do FPB quanto à

resposta quadrática de magnitude são dadas por:

onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a frequência de corte da banda de passagem em rad/seg, A é o parâmetro de atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte

Especificações de um filtro passa-baixa analógico

Da figura temos:

Escala Relativa Os parâmetros ε e A estão relacionados aos

parâmetros RP e AS na escala dB como:

Escala Relativa As tolerâncias δ1 e δ2 da escala absoluta são

relacionados a ε e A por:

Escala Relativa Especificações de filtros analógicos não têm

informação de fase Para calcular a função de sistema Ha(s) no

domínio-s considere :

Escala Relativa Então temos :

Observação: A transf. É apresentada no plano-s indicando o uso da

transf. de Laplace (por ser no domínio analógico) O domínio-s ou plano-s é o nome do plano complexo no

qual a transformada de Laplace é apresentada graficamente

A transf de Laplace se relaciona com a transf de Fourier, mas enquanto a transf de Fourier mapeia um sinal ou função em termos de vibrações (senóides), a transf de Laplace mapeia uma função em relação aos seus momentos

Técnicas de Projeto de Filtros IIRCaracterísticas de Protótipos Analógicos

O projeto de filtros IIR reside na existência de filtros analógicos para obter filtros digitais

Esses filtros analógicos são chamados de filtros protótipos

Três protótipos são largamente usados na prática: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico

Vamos ver as características das versões passa-baixa desses filtros.

Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é que a resposta

em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte

A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por:

onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte

Filtro de Butterworth

Filtro de Butterworth Do gráfico, podemos observar:

i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N. ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|2 = 0,5, para todo N, o que

implica 3 dB de atenuação em Ωc

iii) |Ha(jΩ)|2 é uma função monotonicamente decrescente em Ω

iv) |Ha(jΩ)|2 se aproxima de um FPB ideal em N → ∞. V) |Ha(jΩ)|2 é maximamente plano em Ω = 0

Filtro de Butterworth Sua função de sistema Ha(s) é:

Filtro de Butterworth Para projetar o filtro, precisamos encontrar as

raízes e pólos da função do sistema Os pólos são dados por:

pk = ejπ(2k + 1)/2N.ejπ/2Ωc, k = 0, 1, 2,..., 2N-1

Assim, os pólos estão em um círculo de raio Ωcnos ângulos θk = (π/N)k + (π/2N) + π/2, k = 0, ..., 2N – 1

E os zeros são sk = (-1)1/2N.j Ωc = Ωcejπ(2k+N+1)/2N, k = 0, 1, ..., 2N – 1.

Filtro de Butterworth O FPB analógico é especificado pelos

parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS

Assim, a essência do projeto no caso do filtro de Butterworth é obter a ordem N e a frequência de corte dada Ωc

Filtro de Butterworth Assim, dadas essas especificações, queremos:

Filtro de Butterworth Resolvendo as equações para N = Ωc, temos:

Filtro de Butterworth Como N deve ser inteiro, então consideramos:

Obviamente, isso irá gerar um filtro com ordem maior do que o necessário

Para satisfazer exatamente as especificações do projeto em ΩP:

Filtro de Butterworth Para satisfazer exatamente as especificações

do projeto em ΩS:

Filtro de Butterworth: Exemplo Projete um filtro Butterworth satisfazendo:

Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2π

Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3π

Ripple na banda de corte: AS = 16 dB

Filtro de Butterworth: Exemplo Solução:

Para satisfazer as especificações em ΩP

Para satisfazer as especificações em ΩS

Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por exemplo Ωc = 0,5

Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e Ωc = 0,5

Ou seja:

Como Ω = s/j, temos:

Os pólos pk da função anterior podem ser calculados no MatLab como:

>> a = [-64 0 0 0 0 0 1]; >> b = roots(a) b = -0.5000 -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i 0.5000 0.2500 + 0.4330i 0.2500 - 0.4330i

Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 92

Para termos um filtro causal e estável, usamos os pólos do semi-plano esquerdo:

Vamos ajustar o numerador para que o ganho na frequência zero seja unitário

Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos: (s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125

Logo, o denominador é multiplicado por um fator de 1/8 e temos:

Para transformar o filtro em digital, podemos usar o método de transformação bilinear

Nele, consideramos:

onde T é um parâmetro

OBS: Explicação nas notas de aula.

No nosso caso, consideramos T = 1:

Filtro de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev

O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de passagem

e o tipo II, na banda de corte

Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em ambas as bandas

Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem menor ordem

Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que um de Butterworth para as mesmas especificações

Filtro de Chebyshev

Filtro de Chebyshev A resposta quadrática de magnitude de um filtro

Chebyshev tipo I é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e TN(x) é o polinômio de Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ωc):

Filtro de Chebyshev Para um filtro Chebyshev tipo II:

Ou seja, x = (Ω/Ωc) é substituído por seu inverso e ε2TN

2(x) também

Filtro de Elíptico Esses filtros apresentam ondulações na banda

de passagem e de corte São similares em magnitude a filtros FIR

equirriple São filtros ótimos no sentido que eles alcançam

a menor ordem N para as dadas especificações São muito difíceis de projetar e analisar

Não é possível projetá-los com ferramentas simples, sendo necessário uso de tabelas e computadores

Filtro de Elíptico A resposta quadrática de magnitude é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda de passagem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N

Filtro de Elíptico Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do

filtro é simples e dado por:

Transformações em Frequência

Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros seletores de frequência como passa-alta, passa-faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um protótipo do tipo passa baixa

A partir desse protótipo, é possível aplicar uma transformação algébrica para construir o filtro desejado

Seja HPB(Z) a função do sistema de um filtro passa-baixa dado o qual se quer transformar para obter uma nova função H(z)

Observe que as variáveis complexas Z e z estão associadas ao filtro passa-baixa protótipo e ao filtro obtido pela transformação, respectivamente

O que se deseja é uma função Z = G(z) tal que:

Se HPB(Z) é a função racional de um sistema causal e estável, uma exigência natural é que a função transformada H(Z) também apresente essas características. Isso implica que: 1. G(z-1) deve ser uma função racional de z-1. 2. O interior do círculo unitário do plano Z deve

mapear o interior do círculo unitário do plano z. 3. O círculo unitário do plano Z deve mapear no

círculo unitário do plano z.

Denotando por θ e w as variáveis (ângulos) associados, respectivamente, aos planos Z e z, a transformação Z-1 = G(z-1) pode ser re-escrita como:

De forma que:

A forma mais geral da função G(z-1) que satisfaz às condições acima é:

com |αk| < 1 Dependendo da escolha de N e αk, diversos

mapeamentos podem ser obtidos O mais simples é (N = 1, α1 = α):

Agora, escolhendo uma ordem apropriada N e os coeficientes αk, podemos obter uma variedade de mapeamentos

As transformações mais comuns estão na tabela a seguir...

Comparação entre Filtros FIR e IIR

Seja M o comprimento (número de coeficientes) de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um filtro elíptico (IIR)

Se assumimos que ambos os filtros atendem exatamente às mesmas especificações, os dois filtros são equivalentes e atendem à relação:

Comparação entre Filtros FIR e IIR

Isso mostra que, para a maior parte das aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do ponto de vista computacional

As condições mais favoráveis para filtros FIR são: 1. Grandes valores de δ1; 2. Pequenos valores de δ2; 3. Grande largura da banda de transição.

Referências: Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,

J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000 Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989 Digital Signal Processing Using MatLab and

Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007 Digital Signal and Image Processing, T.Bose,

John Wiley and Sons, 2004

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