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Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao

Fabrıcio Simoes

IFBA

27 de outubro de 2015

Fabrıcio Simoes (IFBA) Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao 27 de outubro de 2015 1 / 69

1 Filtragem Digital

2 Filtros de Primeira Ordem

3 Filtros de Segunda Ordem

4 Metodos de Projeto de Filtros IIRInvariancia do Impulso

5 Filtros Analogicos: Uma Breve Abordagem

6 Exemplo

7 Filtro FIR

8 Projeto de um Filtro FIRMetodo de Projeto Usando JanelasJanela de KaiserProjeto de Filtros FIR com Banda de Transicao Especificada


Filtragem Digital

Dado um cojunto de especificacoes, o projeto do filtro consiste emencontrar um sistema discreto cuja resposta em frequencia atendas asespecificacoes desejadas.

ωωp ωs

|Hd(ω)|

∆ω

Banda de Rejeicao

Banda de Passagem

Banda de Transicaao

π

Dois tipos de filtros podem ser usados :1 IIR - Encontrar uma funcao racional na variavel z;2 FIR - Encontrar um polinomio


Filtro Passa-Baixas

Ha(z) =1

z − a,Hda(ω) =

1

e jω − a=

1

pe−jφ

Hb(z) =z + 1

z − a,Hdb(ω) =

e jω + 1

e jω − a=

q

pe−jφ

Re

Im

Re

Im

a

e jω1

e jω2

p

a

e jω1

e jω2

p

(a) (b)

|Hd (ω)|

π

11−aq

|Hda(ω)|

|Hdb(ω)|


Filtro Passa-Altas

Ha(z) =1

z + a,Hda(ω) =

1

e jω − (−a)=

1

pe−jφ

Hb(z) =z − 1

z + a,Hdb(ω) =

e jω − (−1)

e jω − (−a)=

q

pe−jφ

Re

Im

Re

Im

−a

e jω1

e jω2

p

−a

e jω1

e jω2 p

(a) (b)

|Hd (ω)|

π

11−a

q |Hda(ω)|

|Hdb(ω)|


Normalizacao da Resposta em Frequencia do FiltroPassa-Baixas

H(z) = kz + 1

z − a

A variavel k e escolhido para |Hd(ω = 0)| = 1, portanto:

H(z) =

(1− a

2

)z + 1

z − a


Frequencia de Corte do Filtro Passa-Baixas

Para encontrar a frequencia de corte: |Hd(ωc)|2 = 0, 5.

|Hd(ωc)|2 = Hd(ωc)H∗d(ωc)

|Hd(ωc)|2 =

(1− a

2

)e jωp + 1

e jωp − a.

(1− a

2

)e−jωp + 1

e−jωp − a=

1

2

ωc = arccos

(2a

1 + a2

)Para um polo muito proximo de 1 (cırculo unitario),

ωc∼= 1− a


Filtros Otimos de Primeira Ordem

1 Filtro Passa-Baixa

H(z) =1− a

2

(z + 1

z − a

)2 Filtro Passa-Alta

H(z) =1 + a

2

(z − 1

z + a

)3 Frequencia de Corte

ωc = arccos

(2a

1 + a2

)ωc∼= 1− a


Exercıcio

Dado o sinal

x(t) = sen(7t) + sen(500t),

com sinal intereferente de frequencia igual a 500Hz.

fmax = 500rad/s ⇒ fa ≥ 1000rad/s

T = 2π/2000 = 3, 14ms

sinal discreto: x(nT ) = sen(7nT ) + sen(500nT )


Procedimento de Projeto

Projeto do Filtro: E necessario normalizar as informacoes de frequencia,multiplicando-as por T .

freq. 7 rad/s → 21, 98× 10−3

freq. 500 rad/s → 1, 57

Formula aproximada da frequencia de corte

ωp∼= 1− a


Projeto - Continuacao

ωπ

|Xd (ω)|

1,57

0,022

−π -1,57

|Hd (ω)|

ωc = 0,2 a = 0,8

1 Calculo de H(z)

H(z) = kz + 1

z − a

2 Determinando a Equacao de Diferencas.

kx(n) + kx(n − 1) = y(n)− ay(n − 1)


Filtro de Segunda Ordem

Funcao de Transferencia H(z)

H(z) =(z − b1e

jb2)(z − b1e−jb2)

(z − a1e ja2)(z − a1e−ja2)

Re

Im

a1b1

a2


Filtro Notch

H(z) =(z − e jωo )(z − e−jωo )

(z − ae jωo )(z − ae−jωo )

Re

Im

ωo

a

|Hd (ω)|

ωωo

1

π

1 Zeros na frequencia ωo ;

2 Polos proximos dos zeros;


Filtro Passa-Faixa

H(z) =k(z + 1)(z − 1)

(z − ae jωo )(z − ae−jωo )

Re

Im

ωo

a

|Hd (ω)|

ωωo

1

π

1/√

2

BW ∼= 2(1-a)


Exercıcios

Projete um filtro passa-faixa para eliminar as componentes defrequencia de 100 rad/s e 1000 rad/s do sinal abaixo :

x(t) = sen(100t) + sen500t + sen(1000t)

Determine a equacao de diferencas do filtro.

Projete um filtro que elimine a componente de frequencia de 500rad/s. Determine a equacao de diferencas.


Filtros IIR : Metodos de Projeto

Invariancia do Impulso;

h(nT ) = Thc(t)|t=nT

Transformacao Bilinear.

H(z) = Hc(s)|s= 2

T

(1−z−1

1+z−1

)


Invariancia do Impulso

O metodo consiste em discretizar um projeto de um filtro analogicosegundo a equacao abaixo

h(nT ) = Thc(t)|t=nT

Nesse metodo, estamos interessados na relacao entre a resposta emfrequencia do sistema contınuo e a resposta em frequencia do sistemadiscreto.

Hd(ω) =∞∑

k=−∞Hc(ω − kωa)


Resposta em Frequencia do Filtro Contınuo

��

��

ω

|Hc (ω)|

ω

|Hd (ω)|

......ωa−ωa

sobreposicao = aliasing

Digitalizacao do Filtro AnalogicoDiferencas entre o Filtro Analogico e Digital

Devido ao Aliasing


Procedimento

As especificacoes de projeto de um filtro digital sao usadas no projetode filtro anlogico com funcao de transferencia Hc(s);

A resposta Hc(s) e transformada em H(z) segundo o procedimento aseguir :

1 Considere Hc(s) representada por uma soma de fracoes parciais

Hc(s) =N∑

k=1

Ak

s − sk

2 Aplicando Transformada Inversa de Laplace sobre Hc(s), obtem-se:

hc(t) =N∑

k=1

Akesk t


Procedimento - Continuacao

3 Usando a relacao h(nT ) = Thc(nT ), obtem-se

h(nT ) =N∑

k=1

TAkesknTu(nT )

4 Aplicando a Transformada Z sobre h[n]

H(z) =N∑

k=1

TAk1

1− eskT z−1

5 O sistema obtido e causal e estavel ?


Filtro Analogico

1 Objetivo do Projeto : Encontrar uma funcao |H(ω)| que atenda asespecificacoes desejadas.

��

��

ωωp ωs

|Hc(ω)|

∆ω

Banda de Rejeicao

Banda de Passagem

Banda de Transicao

0 dB

Amax

Amin


Aproximacoes para |H(ω)|Tipos de resposta em frequencia de filtros ordem ≥ 2.

Butterworth Chebyshev

Eliptico


Comparacao

Butterworth: Resposta plana nabanda de passagem;

Chebyshev: Ondulacoes nabanda de passagem

Taxa de atenuacao : Eliptico,Chebyshev e Butterworth.

Atraso de Grupo τ(ω):Butterworth, Chebyshev,Eliptico


|H(ω)|2

|H(ω)|2 = 11+F (ω2)

Nome da Funcao F (ω2)

Butterworth ω2n

Chebyschev ε2C 2n (ω)

Eliptico ε2R2n(ω),

em que Rn(ω) =(ω2

1−ω2)(ω22−ω2)...(ω2

N−ω2)

(1−ω21ω

2)(1−ω22ω

2)...(1−ω2Nω

2)

��

��

��

��

estabilidade estabilidade

ωp = 1 σ

jω

H(s)H(−s)

σ

jω

H(s)H(−s)

Butterworth Chebyshev, Eliptico


Exemplo de Projeto 1

Filtro Digital de Butterworth de ordem 2;

Tempo de Amostragem T = 0,02 s;

ωp = 10 rad/s.


Passos de Projeto

1 Normalizando as especificacoes de frequencia;

ω′p = ωpT

2 Determinando o filtro analogico prototipo H(s).

H(s) =k

(s − p1)(s − p2)...(s − pN)

Para encontrar p1, p2, ..., pN , use o comando buttap :

[z,p,k] = buttap(N)


Passos de Projeto 2

3 Fazer a transformacao de frequencia. O filtro prototipo temfrequencia de corte igual 1 rad/s. E necessario adaptar a funcao H(s)a frequencia de corte desejada.

s =

(s

ω′p

)

H(s) =1

(s/ω′p)2 + 1, 41(s/ω′p) + 1

H(s) =1/25

s2 + 0, 282s + 1/25

Para avaliar o filtro analogico obtido, use freqs(b,a)


Passo de Projeto

4 Discretizando o filtro analogico

H(s) =N∑

k=1

Ak

s − sk

H(z) =N∑

k=1

Ak1

1− esk z−1

Para obter H(s), use o comando [r,p,k] = residue(b,a)

H(s) =−0, 14j

s + 0, 14− j0, 14+

0, 14j

s + 0, 14 + j0, 14


Passos de Projeto

5 Determinar H(z)

H(z) =0, 033z−1

1− 1, 72z−1 + 0, 755z−2

6 Equacao de Diferencas

y [n]− 1, 72y [n − 1] + 0, 755y [n − 2] = 0, 033x [n − 1]


Exemplo de Projeto 2

Filtro Digital de Chebyshev de ordem 2;

Tempo de Amostragem T = 0,02 s;

rp = 0,89;

ωp = 10 rad/s.


Passos de Projeto

1 Normalizar as especificacoes de frequencia;

ω′p = ωpT = 0, 2rad

2 Determinar o filtro analogico prototipo H(s) usando [z,p,k] =cheb1ap(N,Rp), no qual Rp = −20log(rp)

H(s) =0, 977

s2 + 1, 09s + 1, 097


Passos de Projeto

3 Transformacao da Frequencia;

H(s) =0, 039

s2 + 0, 218s + 0, 0438

4 Decomposicao em fracoes parciais - [r,p,k] = residue(b,a)

H(s) =−j0, 109

s + 0, 109− j0, 178+

j0, 109

s + 0, 109 + j0, 178

5 Transformada H(z)

H(z) =


Filtro Digital FIR


Filtro FIR - Caracterısticas

1 Filtro FIR e sempre estavel. Os polos do filtro FIR estao localizadosem z=0;

2 Filtros FIR sao empregados em problemas de filtragem onde exigemresposta de fase linear;

3 E possıvel projetar filtro FIR causal com fase linear se sua resposta aoimpulso satisfaz a condicao h(n) = ±h(N − n) paran = 0, 1, 2, . . . ,N, ou seja, h[n] e simetrico ou antisimetrico

4 Comparando ao filtro IIR, a ordem do filtro FIR para atender asespecificacoes desejadas e maior.


Tipos de Filtro FIR - Resposta ao Impulso


Tipos de Filtro FIR

Resposta em Frequencia Desejada:

H(ω) = D(ω)e−jMω,

onde D(ω) e magnitude e −Mω, a fase. M = N/2 para N par e ımpar

A depender da ordem N do filtro (par ou ımpar) e dos coeficientes bm(simetrico e anti-simetrico), os filtros FIR podem ser classificados como:

Filtro Tipo I: N e par e os coeficientes bm sao simetricos.

h[n] = h[N − n]


Tipos de Filtro FIR - Continuacao

Filtro Tipo II: N e ımpar, o atraso M = N/2 nao e inteiro e oscoeficientes bm sao simetricos.

h[n] = h[N − n]

Zeros: z=-1. Qual a influencia desse zero na resposta em frequenciaH(ω)?

Filtro Tipo III: N e par e os coeficientes bm sao anti-simetricos.

h[n] = −h[N − n]

zeros: z=± 1. Qual a influencia desse zero na resposta em frequenciaH(ω)?


Tipos de Filtro FIR - Continuacao

Filtro Tipo IV: N e impar, M = N/2 nao e inteiro e os coeficientesbm sao anti-simetricos.

h[n] = −h[N − n]

zeros: z=1.Qual a influencia desse zero na resposta em frequencia H(ω)?


Projeto de um Filtro FIR : Consideracoes

Sao baseados em uma aproximacao direta da resposta em frequenciadesejada

O metodo mais simples e chamado de window method. Esse metodogeralmente comeca com uma resposta em frequencia ideal desejada,Hd(ω).


Resposta em Frequencia Desejada.

1 Considere as respostas em frequencia IDEAIS a seguir:

ωc ωπ ωc ωπ

Hlp(ω) Hhp(ω)

1 1

hlp [n] = sen(n−M)ωcπ(n−M)

hhp [n] = δ(n −M)− sen(n−M)ωcπ(n−M)

2 hd [n] e a resposta ao impulso de um sistema IIR e nao-causal.


Como Obter um Filtro FIR Causal ?

1 Podemos obter um filtro FIR e causal h[n] de ordem N, usando umaversao truncada da resposta hd [n]

h[n] =

{hd [n], n = 0, 1, . . . ,N0, n < 0 e n > N

(1)

2 O truncamento pode ser matematicamente escrito por

h[n] = hd [n]wr [n], (2)

em que wr [n] e uma janela retangular.


Qual o Efeito do Truncamento ?

1 Considere a resposta em frequencia desejada.

Hd(ω) =∞∑

n=−∞hd [n]e−jωn (3)

2 Como Hd(ω) e uma funcao periodica e contınua de ω, entao

∞∑n=−∞

hd [n]e−jωn

E uma representacao em Serie de Fourier de Hd(ω)


Fenomeno de Gibbs

Problema de convergencia nao-uniforme da Serie de Fourier.

A Serie de Fourier nao converge uniformemente para funcoes comdescontinuidade.

Figura : Ilustracao do Fenomeno de Gibbs (OPPENHEIM, 1998)


Resposta em Frequencia do Filtro FIR e Causal

H(ω) =N∑

n=0

hd [n]e−jωn, (4)

em que h[n] = hd [n] para n = 0, 1, 2, . . .N.

ωπ

Hlp(ω)

1

ωc

N1

N2

N2 > N1

Figura : Efeito do truncamento sobre a resposta em frequencia do filtro


Observando o Efeito do Truncamento a partir daConvolucao

|Wr (ω)| = sen(ω(N+1)/2)sen(ω/2)

H(ω) = Hd (ω)⊗Wr (ω)2π

Efeito da largura do lobulo principal

Figura : Efeito do truncamento sobre a resposta em frequencia do filtro.


Como Reduzir o Efeito do Truncamento ?

Para reduzir o efeito do fenomeno de Gibbs, deve-se usar janelas comtruncamento menos abrupto.

Tabela : Janelas : Equacoes

Tipo de Janela Equacao

Triangular w2[n] = 1− 2|n−N/2|N

Hamming w3[n] = 0, 54− 0, 46 cos(2πn/N)

Blackman w4[n] = 0, 42− 0, 5 cos(2πn/N) + 0, 08 cos(4πn/N)


Caracterısticas Desejadas

Lobulo principal estreito: A largura do lobulo principal afeta a largurada banda de transicao;

Intensidade dos lobulos laterais: Quanto maior, maior e a intensidadedos ripples na bandas de passagem e de rejeicao.


Comparacao entre as Janelas

Tabela : Janelas : Comparacao

Tipo de Janela Amplitude (dB) Largura Aproximada

(lobulo lateral) (lobulo principal)

Retangular -13 4π/(M + 1)

Triangular -25 8π/M

Hamming -41 8π/M

Blackman -57 12π/M


Exemplo de Projeto

Considere o sinal x(t) = cos(2π1000t) + cos(2π1500t). Projete umfiltro passa-baixa de ordem N=4 para eliminar a frequencia de1,5kHz.

Considerando a frequencia maxima igual a 1500Hz, adotou-sefa = 3kHz (tempo de amostragem T = 0, 33ms).

As frequencias devem ser normalizadas no intervalo ω ∼ [−π, π].


Exemplo de Projeto

1 Frequencias normalizadas:

2π1000 =⇒ 2, 09 rad2π1500 =⇒ π radωc = 2, 61 rad

2 Resposta ao impulso do filtro

h[n] = hd [n] =sen((n − 2)2, 61)

π(n − 2)para n = 0, 1, 2, . . . , 4

3 Equacao de Diferencas :

y [n] = −0, 14(x [n] + x [n − 4]) + 0, 16(x [n − 1] (5)

+ x [n − 3]) + 0, 83x [n − 2]


Usando o Fdatool - Matlab


Usando a Janela de Hamming

Aplicando a janela de Hamming.

wh[n] = 0, 54− 0, 46 cos(2πn/4)

hh[n] = h[n]wh[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4

Equacao de Diferencas

y(n) = −0, 011(x [n] + x [n − 4]) + 0, 087(x [n − 1] (6)

+ x [n − 3]) + 0, 83x [n − 2]


Resposta em Frequencia dos Filtros

Figura : Resposta em frequencia usando janelas retangular e de Hammimg.


Janela de Kaiser

Diferentemente dos metodos anteriorer, usando a janela kaiser epossıvel especificar os parametros do filtro. Nao existe tentativa eerro;

A equacao da janela para n = 0, 1, 2, . . . ,N e dada por

w5[n] =J0(0, 5Nβ

√(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)

J0(0, 5Nβ)

em que β controla a relacao entre a largura do lobulo principal e aintensidade dos lobulos laterais.

β =

0, 1102(Rs − 8, 7), 50 < Rs

0, 5842(Rs − 21)0,4 + 0.07886(Rs − 21), 21 ≤ Rs ≤ 500, Rs < 21


Exemplo de Projeto de um Filtro Passa-Baixa

1 Exemplo 7.8 - Oppenheim. Projeto de um filtro FIR passa-baixa comas especificacoes a seguir :

ωp = 0, 4π;ωs = 0, 6πδs = 0, 001

2 Definicao dos parametros da janela de Kaiser.

∆ω = ωs − ωp = 0, 2π

Rs = −20log(δs) = 60

3 Frequencia de corte do filtro passa-baixa ideal.

ωc =ωp + ωs

2= 0, 5π


Exemplo de Projeto : Continuacao

4 Parametros β e N da janela de Kaiser.

β = 5, 653 N = 37

5 Determinando h[n].

h[n] =sen((n −M)0, 5π)

π(n −M)

J0(0, 5Nβ√

(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)

J0(0, 5Nβ)


A Janela de Kaiser e o RESTO

Tabela : Obtendo outras janelas usando a de Kaiser

Tipo de Janela Rs = −20log(δs)(dB) β ∆ω

Retangular -21 0 1,81 π/M

Triangular -25 1,33 2,37 π/M

Hamming -53 4,86 6,27 π/M

Blackman -74 7,04 9,19 π/M


Projeto de um Filtro Passa-Alta Usando Janela de Kaiser

1 Exemplo 7.9 - Oppenheim. Resposta em frequencia do filtropassa-alta ideal

H(jω) =

{0, |ω| < ωc

e−jωN/2, ωc < |ω| ≤ π2 Resposta ao impulso de um filtro passa-alta ideal

hhp[n] =sen(π(n −M/2))

π(n −M/2)− sen(ωc(n −M/2))

π(n −M/2)


Continuacao

1 Especificacoes do Filtro:

|H(jω)| ≤ δ2 para |ω| ≤ ωs

1− δs ≤ |H(ω)| ≤ 1 + δs ,

em que δs = 0, 021

2 Parametros da Janela :

Rs = −20 log δs = 33, 56

N =33, 56− 8

2, 2850, 15π= 23, 73 ∼= 24


Continuacao

1 Como 21 ≥ Rs ≤ 50, entao

β = 0, 5842(33, 56− 21)0,4 + 0, 07886(33, 56− 21) = 2, 5980 ∼= 2, 6

2 Resposta ao impulso do filtro

h[n] = hhp[n]J0(0, 5Nβ

√(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)

J0(0, 5Nβ),

para ωc =ωp+ωs

2


Porque o Filtro FIR tem Fase Linear ?

1 Note que as janelas sao simetricas em torno de n = N/2, ou seja,

w [n] =

{w [N − n], 0 ≤ n ≤ N0, cc

2 Como a janela e simetrica, a sua transformada de Fourier pode serrepresentada por

W (jω) = We(jω)e−jωN/2,

em que We(jω) e a transformada de Fourier de uma janela deduracao N e simetrica em torno de n = 0


Porque o Filtro FIR tem Fase Linear ?

1 A resposta ao impulso desejada hd [n] pode ser simetrica ouantisimetrica, portanto

Hd(ω) =

Hd(ω) =

2 Resposta em frequencia do filtro obtido

H(ω) =W (jω)⊗ Hd(jω)

2π

H(jω) =

∫ π−π He(jθ)e−jθN/2We(j(ω − θ))e−j(ω−θ)N/2dθ

2π


Porque o Filtro tem Fase Linear ?

1 Resposta em frequencia do filtro

H(jω) =1

2π

D(jω)︷︸︸︷∫ π

−πHe(jθ)We(j(ω − θ))dθ

Fase Linear︷︸︸︷e−j(ωN/2)

2 Reescrevendo

H(jω) = D(jω)e−jωN/2

3 Usando hd [n] simetrico (tipos I e II) ou anti-simetrico (tipos III e IV)e janelas simetricas e possıvel obter um filtro FIR com fase linear.


Banda de Transicao Especificada

1 Eliminacao do fenomeno de Gibbs. Considere a resposta en frequencia

H(jω) = D(jω)e−jN/2ω,

em que D(jω) e dado por

D(jω) =

1, 0 ≤ ω ≤ ωp(ωs−ωp)ωs−ωp

, ωp < ω < ωs

0, ωs ≤ ω ≤ π


Determinacao de h[n]

ωp ωs ω

|Hd(ω)|

1 ∆ = ωs − ωp

ωc =ωp+ωs

2

Figura : Resposta em frequencia desejada com banda de transicao

Resposta ao Impulso Desejada;

hd [n] = 2π(senωcn

πn

)(sen0.5∆n

∆πn

),

A resposta hd [n] e IIR e nao-causal.


Exemplo

Uma janela retangular trunca a resposta hd [n] para obter um filtro FIR eCausal. Para ilustrar o metodo, considere o exemplo abaixo:

ω

|Hd(ω)|

1 ∆ = ωs − ωp = 0, 5

ωc =ωp+ωs

2= 1, 25

1 1, 5

Figura : Resposta desejada.

1 Considere uma resposta emn frequencia desejada com ωp = 1 eωs = 1.5.


Resposta em Frequencia: Resultado.


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