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Bacharelado em Ciência e Bacharelado em Ciência e Tecnologia – BC&T Tecnologia – BC&T
Continuidade: Definições, Interpretação Continuidade: Definições, Interpretação Gráfica e Propriedades e Continuidade de Gráfica e Propriedades e Continuidade de
Funções InversasFunções Inversas
Prof. MSc. Marcos Antônio Resende MirandaProf. MSc. Marcos Antônio Resende Miranda
1 – Continuidade
De acordo com o que foi visto anteriormente neste curso, o gráfico da função f terá um “buraco” ou uma “quebra” em um ponto c se ocorrer qualquer uma das seguintes situações:
- a função y = f(x) não está definida em c.
x
yy = f(x)
c
- o limite de f(x) não existe quando x se aproxima de c.
x
y
y = f(x)
c
- o valor da função e o valor do limite em c são diferentes.
x
yy = f(x)
c
DEFINIÇÃO. Diz-se que uma função f é contínua em um ponto c se as seguintes condições forem satisfeitas:
1 – f(c) está definida (ou seja, a função está definida no ponto c)
2 – existe. )(lim xfcx
3 – = f(c). )(lim xfcx
Caso uma ou mais condições desta definição não for satisfeita, então diz-se que f tem uma descontinuidade no ponto x = c.
Se f for contínua em cada ponto do intervalo aberto (a,b), então diz-se que f é contínua em (a,b).
Esta definição se aplica para intervalos abertos infinitos da forma (a, ), ( , b) e ( , ).
No caso onde f for contínua em ( , ), diz-se que f é contínua em toda parte.
De fato, as duas primeiras condições da DEFINIÇÃO estão implícitas na terceira condição.
Na prática, necessita-se confirmar apenas que a terceira condição é válida para mostrar que a função f é contínua no ponto c.
EXEMPLO 01
Determinar se a função é contínua no ponto x = 2.2
4)(
2
x
xxf
Solução
Deve-se determinar se o limite da função em questão quandoé o mesmo que o valor da função em x = 2 (a terceira condição da DEFINIÇÃO).
2x
4)2(lim2
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxx
ATENÇÃO: a regra de utilizar apenas o maior grau do numerador e o maior grau do denominador só vale se ou e não se (ou seja, x tende a um ponto).
x xax
A função f é indefinida em x = 2 e, portanto, não é contínua naquele ponto.
x
y
2
4
2
2
4)(
2
x
xxf
Solução
EXEMPLO 02
Determinar se a função
24
22
4
)(
2
x
xx
x
xf
é contínua no ponto x = 2.
4)2(lim2
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxx
44lim2
x
O valor da função f(x) no ponto x = 2 é f(2) = 4.
Este é o mesmo valor do limite naquele ponto.
A função f é contínua no ponto x = 2.
x
y
2
4
2
24
22
4
)(
2
x
xx
x
xf
NOTA: a função f(x) poderia ser escrita de forma simplificada f(x) = x + 2 ao invés de ser definida por partes.
2 – Algumas Aplicações
Este conceito aplica-se a importantes fenômenos físicos.
A figura abaixo é um gráfico da voltagem versus tempopara um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no tempo t = t0. A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.
t
V
t0
A figura abaixo é um gráfico de unidades de estoque versus tempo para uma companhia reabastecer com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades.
As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.
t
y
t1 t2 t3t4
y1
y0
tempos de reabastecimento
3 – Continuidade dos Polinômios
O procedimento geral para mostrar que uma função é contínua em toda parte é verificar a continuidade em um ponto arbitrário.
Da definição de limite de um polinômio viu-se que:
)()(lim apxpax
(que é justamente a terceira condição da DEFINIÇÃO vista em 1!)
Logo, os polinômios são contínuos em toda parte.
4 – Algumas Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g forem contínuas em c, então:
(a) f + g é contínua em c.
(b) f – g é contínua em c.
(c) f g é contínua em c.
(d) f / g é contínua em c se g(c) for diferente de zero e tem uma descontinuidade em c se g(c)=0.
5 – Continuidade de Funções Racionais
Uma vez que os polinômios são funções contínuas, e como funções racionais são razões de polinômios, tem-se que uma função racional é contínua em toda parte, exceto nos pontos onde o denominador for zero.
EXEMPLO 03
Para quais valores de x há um “buraco” ou uma interrupção
no gráfico de ?65
9)(
2
2
xx
xxf
Solução
A função f(x) é contínua em toda parte exceto nos pontos onde o denominador é zero.
Assim, resolvendo a equação
0652 xx
obtêm-se dois pontos de descontinuidade, x = 2 e x = 3.
6 – Continuidade de Composição
Suponha que lim simbolize um dos limites
xxcxcxcxlimlimlimlimlim
Se lim g(x) = L e se a função f for contínua em L, então
)())((lim Lfxgf
Ou seja:
))((lim))((lim xgfxgf
Em palavras, este teorema afirma que um símbolo de limite pode passar pelo sinal de função (no caso, pelo sinal de f) desde que o limite da expressão dentro desse sinal exista (no caso, o limite de g(x)) e a função (no caso, a função f) seja contínua neste limite.
EXEMPLO 04
Achar2
35lim x
x
Solução
445lim5lim 2
3
2
3
xx
xx
O símbolo de limite pode ser passado pelo sinal do valor absoluto desde que o limite da expressão dentro do sinal do valor absoluto exista.
OBS.01: A função |x| é contínua em toda parte.
OBS.02: O valor absoluto de uma função contínua é contínuo.
Por exemplo: o polinômio g(x) = 5 – x2 é contínuo em toda parte; logo, conclui-se que a função h(x) = |5 – x2| também é contínua em toda parte.
DEFINIÇÃO. TEOREMA
(a) Se a função g for contínua em um ponto c e a função f for contínua no ponto g(c), então a composição f o g é contínua em c.
(b) Se a função g for contínua em toda parte e a função f for contínua em toda parte, então a composição fog é contínua em toda parte.
7 – Continuidade à Esquerda e à Direita
A definição de continuidade dada anteriormente (página 04) envolve limite bilateral.
Para resolver este problema, considera-se que uma função é contínua nos pontos extremos de um intervalo, se o valor no ponto extremo for igual ao limite lateral adequado naquele ponto.
Este conceito não se aplica geralmente aos extremos do intervalo fechado [a,b] ou aos pontos extremos de um intervalo da forma [a,b), (a,b], ( ,b] ou [a, ).
A seguir é apresentado um exemplo.
mas não é contínua no ponto extremo à esquerda porque:
)()(lim afxfax
A função cujo gráfico é apresentado abaixo é contínua noponto extremo à direita do intervalo [a,b] porque:
)()(lim bfxfbx
x
y
y=f(x)
a b
Em geral, diz-se que uma função é contínua à esquerda no ponto c se
)()(lim cfxfcx
e é contínua à direita no ponto c se
)()(lim cfxfcx
Assim, define-se continuidade em um intervalo fechado da seguinte maneira:
DEFINIÇÃO. Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a,b], se as seguintes condições são satisfeitas:
(a) f é contínua em (a,b).
(b) f é contínua à direita em a.
(c) f é contínua à esquerda em b.
EXEMPLO 05
O que pode ser dito a respeito da continuidade da função
?29)( xxf
O domínio natural desta função é oIntervalofechado [-3, 3].
Solução
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
y
29)( xxf
A função f é também contínua nos pontos extremos, uma vez
que:
)3(09lim9lim)(lim 2
3
2
33fxxxf
xxx
)3(09lim9lim)(lim 2
3
2
33
fxxxf
xxx
Logo, f é contínua no intervalo fechado [-3,3].
Necessita-se investigar a continuidade de f:(a) no intervalo aberto (-3,3)
(b) nos pontos extremos
Seja c um ponto qualquer no intervalo (-3,3). Então:
)(99lim9lim)(lim 222 cfcxxxfcxcxcx
Isto prova que f é contínua em cada ponto do intervalo (-3,3).
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b] e k é um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então há no mínimo um número x no intervalo [a,b] tal que f(x) = k.
x
y
a bx
f(a)
f(b)
k
8 – Continuidade das Funções Inversas
TEOREMA. Se a função f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = f
-1(x) são reflexões um do outro em relação à reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta.
x
y
y = f(x)
y = f -1(x)
(a,b)
(b,a)
y = x
Como os gráficos de f(x) e f -1(x) são reflexões um do outro
em relação à reta y = x, é intuitivamente óbvio que se o gráfico de f(x) for contínuo, então o mesmo acontecerá com o gráfico de f
-1(x).
TEOREMA. Se uma função f for contínua e tiver uma inversa, então f
-1 é também contínua.
9 – Alguns Tipos de Funções Contínuas
Os seguintes tipos de funções são contínuos em cada ponto de seus domínios:
(a) funções polinomiais
(b) funções racionais
(c) funções raiz
(d) funções trigonométricas
(e) funções trigonométricas inversas
(f) funções exponenciais
(g) funções logarítmicas
A função y=1/x é uma função contínua em cada ponto de seu domínio.
Entretanto, ela apresenta um ponto de descontinuidade em x=0, pois não está definida aí.
EXEMPLO 06
Comentar sobre a continuidade da função y=1/x ?
Solução
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
x
y
10 – Mais Dois Exemplos
EXEMPLO 07
Encontrar o valor de c que torna a função contínua
13
12)(
2 xx
xcxxf
Solução
A continuidade que se busca aqui é no ponto x = 1.
Para que a função seja contínua neste ponto, o deve existir
– o que, no caso, implica dizer que devem existir os limites laterais
e – e deve existir também a função no ponto, ou
seja, f(1).
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A primeira equação garante a existência de f(1), embora c ainda precise ser determinado.
Além de existirem os limites laterais e ainda
deve-se garantir que:
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim)(lim11
xfxfxx
ou seja:
)3(lim)2(lim 2
11
xcx
xx
LEMBRETE. O valor de f(x) em x = 1 não tem nada a ver com o limite quando (ou seja, o valor da função pode até não ser definido no ponto – o que não é o caso – mas ainda assim existir o limite neste ponto). Para que haja a continuidade, no entanto, deve existir f(1).
1x
Portanto:
)3(lim)2(lim 2
11
xcx
xx
3)1()1(2 2 c
42 c
2c
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