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1CURSO DE LICENCIATURA EM ECONOMIA1 ANOFACULDADE DE ECONOMIADA UNIVERSIDADE DO ALGARVECLCULO FINANCEIROAno lectivo 2009/2010Docente: Cristina ViegasFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 2I INTRODUO: CONCEITOS BSICOS Conceitos de Clculo Financeiro esto presentes em operaes de: - Investimento Depsitos a prazo Obrigaes ...- Financiamento Emprstimos bancrios ...2FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 3I INTRODUO: CONCEITOS BSICOS Valor temporal do dinheiroPara comparar capitais necessrio que eles estejamreportados a um mesmo momento.Receber 100 euros hoje diferente de receber 100 euros daqui a 1 ano.Pagar 100 euros hoje diferente de pagar 100 euros daqui a 1 ano. O que prefervel? Porqu?FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 4I INTRODUO: CONCEITOS BSICOS Importncia do factor tempo factor tempo em qualquer anlise que envolva capitais. Qual o valor do factor tempo valor do factor tempo? JURO JUROO juro a remunerao de um certo capital, durante um certo prazo. Normalmente o juro expresso em percentagem, falando-se, ento, de taxa de juro. Trs variveis fundamentais em Clculo Financeiro:- Capital - Tempo- Juro3FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 5II CAPITALIZAOCapitalizao em regime de juro simples - ExemploExemplo 2.1:Considerequeaplicouumcapitalde1.000eurosnuma instituiofinanceiraduranteoprazodedoisanos.Ataxade jurodaoperaofoide6%.Determineovalordocapital, decorridos os dois anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano no produz juro no segundo ano, isto , o juro do primeiro ano igual ao juro do segundo ano.Trata-sededeterminarovaloracumuladooucapitalizadode um capital em regime de juro simples.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 6Capitalizao em regime de juro simples - ExemploI I CAPITALIZAO0 1 2Tempo em anosCapitais2? C =2C Capital acumulado decorridos 2 anos01.000 C =0C Capital inicial2 juro vencido durante os 2 anos J 21.000 0, 06 2 J = ( )2 21.000 1.000 0, 06 2 1.000 1 0, 06 2 C C = + = + 2 0 2C C J = + com21.120 C =4FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 7Capitalizao em regime de juro simples Frmulas geraisI I CAPITALIZAO0CnC0 1 23nCapitaisTempo...nJ Juro relativo a n perodos de temponC Capital acumulado aps n perodos de tempo0 n nC C J = +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 8Capitalizao em regime de juro simples Frmulas geraisI I CAPITALIZAO0 nJ C in =Juro relativo a n perodos de tempo, em r.j.s.( )01nC C in = +Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.s.,relativo a n perodos de tempo. corresponde taxa de juro do perodo iEmregimedejurosimples (r.j.s.),ojuroproduzidoemcada perodonoproduzjuronosperodosseguintes.Logo,o capitalquevaigerarjurosemcadaperodosempreo mesmo.0 0 nC C C in = + O que, aps simplificao, corresponde a:5FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 9I I CAPITALIZAOCapitalizao em regime de juro simples - Breves notas e tm que estar expressos na mesma unidade de tempo n i ( )00 Atravs da frmula geral de capitalizao,1 , tambm possvel determinar,conhecidos, e nnC C ini C C n= + ( )00 Atravs da frmula geral de capitalizao,1 , tambm possvel determinar,conhecidos, e nnC C inn C C i= + FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 10I I CAPITALIZAOCapitalizao em regime de juro composto - ExemploExemplo 2.2Considerequeaplicouumcapitalde5.000 eurosnuma instituio financeira durante o prazo de trs anos. A taxa de juroanualdaoperaofoide6%. Determineovalordo capital,decorridosostrs anos,pressupondoqueojuro produzidonoprimeiroanoproduzjuronosegundoano,e, por sua vez, o juro produzido no primeiro e no segundo ano produz juro no terceiro ano.Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro composto.6FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 11Capitalizao em regime de juro composto - ExemploI I CAPITALIZAO013Tempo em anosCapitais3? C =1 2 3,eC C C Capital acumulado decorridos 1, 2 e 3 anos, respectivamente05.000 C =0C Capital inicial2( )1 0 11 15.000 5.000 0, 06 5.000 1 0, 06C C jC C= += + = +1 2 3,ej j j Juro relativo ao 1, 2 e 3 ano, respectivamenteFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 12Capitalizao em regime de juro composto - ExemploI I CAPITALIZAO( ) ( ) ( )2 1 222 25.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 5.000 1 0, 06C C jC C= += + + + = +( ) ( ) ( )3 2 32 2 33 35.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 5.000 1 0, 06C C jC C= += + + + = +35.955, 08 C =Qual o valor dos juros produzidos durante os trs anos?3 05.955, 08 5.000 955, 08 C C = =7FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 13Capitalizao em regime de juro composto Frmulas geraisI I CAPITALIZAO0CnC0 1 23nCapitaisTempo... juro relativo ao perodo de tempo, com1, 2,...,tj t t n = capital acumulado aps perodos de tempo, com1, 2,...,tC tt n=1 t t tC C j= +1com= para1, 2,...,t tj Ci t n=FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 14Capitalizao em regime de juro composto Frmulas geraisI I CAPITALIZAOEm regime de juro composto (r.j.c.), o juro produzido em cada perodonoconstante,sendocrescentedeperodopara perodo.Nesteregime,ojurovencidoemcadaunidadede tempo adicionado ao capital inicial, passando imediatamente a vencer juros nas unidades de tempo posteriores.( )01nnC C i = +Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.c.,relativo a n perodos de tempo.0 n nJ C C = Juro relativo a n perodos de tempo, em r.j.c. corresponde taxa de juro do perodo i8FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 15I I CAPITALIZAOCapitalizao em regime de juro composto - Breves notas e tm que estar expressos na mesma unidade de tempo e o perodo da taxa dever sempre coincidir com o perodo da capitalizao dos juros.n ii( )n00 Atravs da frmula geral de capitalizao,1 , tambm possvel determinar (aplicando a regra das potncias/razes),conhecidos, e nnC C iiC C n= + ( )00 Atravs da frmula geral de capitalizao,1 , tambm possvel determinar (aplicando a regra dos logaritmos),conhecidos, e nnnC C inC C i = +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 16Actualizao - ExemploIII ACTUALIZAOExemplo3.1:Considereumcapitalde500euroscom vencimentodaquia5meses.Determineocapitalquelhe equivalentehoje,taxadejuroanualde8%.Trata-sede determinar o valor actual de um capital.0 5Tempo em meses5000? C =00 valor actual de 500 euros500juro ou desconto relativo a 5 mesesCC = Capitais9FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 17III ACTUALIZAOComo determinar o valor dos juros ou do desconto?Trshiptesesdedeterminarovaloractual:regimede juro simplescomdescontopordentro;regimedejurosimples com desconto por fora e regime de juro composto3.1. Juro Simples 3.1. Juro SimplesJuro simples com desconto por dentro: Juro simples com desconto por dentro: Os juros decorrentes da aplicao do capital so calculados com basenocapital inicial.Vamos voltar ao exemplo 3.1:51205500;8%;; ?;Desconto=1?2C C i n = = = =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 18III ACTUALIZAO( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 05 5500 0, 08 0, 08 50012 12r r r rC C C C = + =Actualizao em regime de juro simples com desconto por dentro( ) ( ) ( ) 0 0 05 5001 0, 08 500 483, 875121 0, 0812r r rC C C| |+ = = = |\ + ( ) 01nrCCin=+Valoractualemregimedejuro simplescomdescontopordentro (ValorActualRacional),relativoan perodos de tempo10FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 19III ACTUALIZAOActualizao em regime de juro simples com desconto por dentro5483, 87 0, 08 16,1312d dD D = =Por sua vez, o juro ou o desconto por dentro do exemplo : Desconto por dentrodD 1ndCD inin=+Valor do juro ou do desconto em regime dejurosimplescomdescontopor dentro, relativo a n perodos de tempoEm termos gerais, vem:FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 20III ACTUALIZAOActualizao em regime de juro simples com desconto por foraJurosimplescomdescontoporfora: Jurosimplescomdescontoporfora: Osjurosdecorrentesda aplicaodocapitalsocalculadoscombasenocapital acumulado.Vamos voltar ao exemplo 3.1:( ) 0Valor actual comercialDesconto por foracfCD( ) ( ) 0 05500 500 500 0, 0812f c cC D C = = ( ) ( ) 0 05500 1 0, 08 483, 3312c cC C| |= = |\ 11FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 21III ACTUALIZAOActualizao em regime de juro simples com desconto por fora( )( )01n cC C in = Valoractualemregimedejuro simplescomdescontoporfora (Valor Actual Comercial), relativo a n perodos de tempoPor sua vez, o juro ou o desconto por fora do exemplo :5500 0, 08 16, 6712f fD D = =Em termos gerais, vem:Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por fora, relativo a n perodos de tempof nD C in =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 22III ACTUALIZAOActualizao em regime de juro composto3.2. Juro composto 3.2. Juro compostoVamos voltar ao exemplo 3.1:0Valor actual em regime de juro composto (r.j.c.) C ( )( )( )5 512 120 0 0 0500 1 0, 08 1 0, 08 500 C C C C = + + =( )5120 0500484, 221 0, 08C C = =+( )01nnCCi=+Valor actual em regime de juro composto, relativo a n perodos de tempo12FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 23III ACTUALIZAOActualizao Breves notasOvaloractualracionalaplicadonodescontode Bilhetes do Tesouro, por exemplo.Ovaloractualcomercialaplicadonodescontode letras, por exemplo.Aaplicao do desconto por fora s vivel para prazos curtos e / ou taxas de juro baixas.Nodescontoporforaataxarealmentesuportadapelo muturio superior taxa enunciada.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 244.1 Taxas equivalentesIV TAXAS DE JURODuastaxasdizem-seequivalentes,referidasaperodos detempodiferentes,seaplicadasaummesmocapital, duranteigualextensodetempo,produzemomesmo valor acumulado.Comoomontantedejurosdependedoregimedejuros queseconsidera(jurosimplesoujurocomposto),torna-senecessrioespecificaremqualregimedejurosas taxas so equivalentes.13FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 25Taxas equivalentesIV TAXAS DE JUROExemplo 4.1:Considere um capital inicial de 100 euros aplicado taxa de juro anual de 10% durante um ano. Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro simples?( )1 1100 1 0,10 1 110 C C = + = Qualataxaequivalentesemestralqueaplicadaao mesmocapitalduranteomesmoprazo(umano), produz o mesmo valor acumulado?() ' iaFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 26Taxas equivalentesIV TAXAS DE JURO2 0110; 100 '( ) ? ;i C C sem = = =( ) 110 100 1 ' 2 i = + bDa comparao deacomb , vem:( )0,101 ' 2 1 0,10 ' ' 0, 05 5%2i i i + = + = = =Em termos gerais, vem:perodo da taxa 'com perodo da taxa'i ii mm i= = Taxa de juro proporcional14FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 27Taxas equivalentesIV TAXAS DE JUROExemplo 4.2:Considere os mesmos dados do exemplo 4.1. Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondoregime de juro composto?( )11 1100 1 0,10 110 C C = + = Qualataxaequivalentesemestralqueaplicadaao mesmocapital(100)duranteomesmoprazo(dois semestres),produzomesmovaloracumulado(110), com capitalizao de juros semestral?() ' icFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 28Taxas equivalentesIV TAXAS DE JURO2 0110; 100 '( ) ? ;i C C sem = = =( )2110 100 1 ' i = + dDa comparao deccomd , vem:( ) ( ) ( )1 12 21 ' 1 0,10 ' 1 0,10 1 ' 4, 88% i i i + = + = + =Em termos gerais, vem:( )1mperodo da taxa ' 1 -1 com perodo da taxa'ii i mi= + =Taxa de juro equivalente( )21 ' 1 0,10 i + = + 15FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 29IV TAXAS DE JURO uma taxa de juro que no reflecte o efeito das capitalizaes,ousejaumataxadejuroquenolevaemconsideraoo facto de haver juros de juros. O que uma taxa nominal?4.2 Taxas nominais e efectivas: Exemplo taxa nominalExemplo 4.3:Considereumcapitalde800eurosaplicadotaxaanualtaxaanual nominal nominal de 10%. Pressupondoregimedejurocomposto,comcapitalizaode jurossemestral,determineosjurosvencidoseocapital acumulado decorrido o primeiro ano.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 30Taxa nominal - ExemploIV TAXAS DE JURO Primeiro,calcularosjurosproduzidosduranteoprimeiro semestre: 1 11800 0,10 402j j = = Segundo,calcularosjurosproduzidosduranteosegundo semestre:( )2 21800 40 0,10 422j j = + =Juros totais 82Capital acumulado 840 482800 82 2= + == + =1 Processo de resoluo:16FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 31Taxa nominal - ExemploIV TAXAS DE JURO2 Processo de resoluo (mais rpido): Aplicar a frmula geral de capitalizao em regime de juro composto: ( )22800 1 ( )n semC i sem== +Quandoataxadejurodadanominal,operodoaqueest reportada a taxa deve coincidir com a periodicidade a que so efectuadas as capitalizaes.No exemplo: capitalizao de juros semestral a taxa de juroa aplicar nas frmulas dever ser semestral,( ) i semFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 32Taxa nominal para diferentes perodos de tempoIV TAXAS DE JUROComo alterar a periodicidade da taxa de juro nominal?Taxas nominais e taxas proporcionais tm em comum o facto de no reflectirem o efeito de sucessivas capitalizaes.Ento, para alterar o perodo da taxa de juro nominal, aplica-se a frmula:perodo da taxa 'com perodo da taxa'i ii mm i= =17FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 33Taxa nominal - ExemploIV TAXAS DE JURO( )( )perodo da ( ) 2 semestres( )com2perodo da1 semestrei anuali anuali sem mm i sem= = = =Ento:0,10( ) 0, 052i sem = =Logo:( )2 22800 1 0, 05 882n n s s em emC C = == + =( ) ( ) ( )Noexemplo,pretende-secalcularataxadejurosemestralnominal( ) , dada a taxa de juro anual nominal.Aplicando a frmula, vem:i sem i anualFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 34IV TAXAS DE JUROumataxadejuroqueconsideraoefeitodesucessivas capitalizaes,ousejaumataxadejuroquelevaem considerao o facto de haver juros de juros. O que uma taxa efectiva?Taxa efectiva - ExemploExemplo 4.4:Considereumcapitalde800eurosaplicadotaxaanualtaxaanual efectiva efectiva de 10,25%. Pressupondoregimedejurocomposto,determineosjuros vencidos e o capital acumulado decorrido um ano. 18FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 35Taxa efectiva - ExemploIV TAXAS DE JURONeste exemplo, a taxa de 10,25%% efectiva, pelo que no importante saber qual a periodicidade das capitalizaes. Seja qual for o perodo de capitalizao dos juros, o juro vencido nofinaldoprimeiroanoser10,25%docapitalinicialmente investido.Valor acumulado decorrido um ano:( )1 11800 1 0,1025 882n ano n anoC C= == = + vencidos durante o 1 ano: 800 0,10 Juros 8 25 2 =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 36Taxa efectiva para diferentes perodos de tempoIV TAXAS DE JUROComo alterar a periodicidade da taxa de juro efectiva?Taxasefectivasetaxasequivalentesemregimedejuro compostotmemcomumofactodereflectiremoefeitode sucessivas capitalizaes.Ento, para alterar o perodo da taxa de juro efectiva, aplica-se a frmula:( )1mperodo da taxa ' 1 -1 com perodo da taxa'ii i mi= + =19FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 37Taxa efectiva - ExemploIV TAXAS DE JURO( ) ( )( ) ( )No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva,a taxade juro semestral efectiva calculada atravs da frmula:efefi anuali sem( ) ( ) ( )( )( )1mperodo da 2 sem1 -1 com perodo da1 semefef efefi anuali sem i anual mi sem= + = =( ) ( ) ( )12Ento,1 0,1025 1 0, 05ef efi sem i sem = + =Pode-se, tambm, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa semestral:( )2 22800 1 0, 05 882n n s s em emC C = == + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 38Taxa efectiva - ExemploIV TAXAS DE JURO( ) ( )( ) ( )No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva,a taxade juro mensal efectiva calculada atravs da frmula:efefi anuali mensal( ) ( ) ( )( )( )1mperodo da 12 meses1 -1 com perodo da1 msefef efefi anuali mensal i anual mi mensal= + = =( ) ( ) ( )112Ento,1 0,1025 1 0, 008165ef efi mensal i mensal = + =Pode-se, tambm, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa mensal:( )112212800 1 0, 0081 882 65n n m mes eses esC C = == = + 20FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 39Relao entre taxas nominais e taxas efectivasIV TAXAS DE JUROComo converter uma taxa nominal numa taxa efectiva?Exemplo 4.5:Qual a taxa anual efectiva subjacente taxa anual nominal de 10%, pressupondo capitalizao de juros semestral?Emprimeirolugar,deve-secalcularataxadejuronominal cujoperododetempocoincidecomoperododa capitalizaodosjuros,utilizandoafrmuladataxa proporcional.Quandooperododataxacoincidecomo perododacapitalizaodosjurosataxasimultaneamente nominal e efectiva.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 40IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasAssim,parataxasnominais,arelaodeequivalncia corresponde a:10%( ) 10% ( ) 5%2i anual i sem = = =Ataxasemestralnominalde5%tambmtaxasemestral efectiva,porqueoperododecapitalizaodosjuros semestral.Emsegundolugar,deve-secalcularataxadejuroefectiva paraoperodopretendido,utilizandoafrmulade equivalncia em regime de juro composto.21FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 41IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasConhece-seataxasemestralefectiva(5%)epretende-se determinarataxaanualefectiva.Parataxasefectivas,a relao de equivalncia corresponde a:( )1( ) 1 ( ) 1 perodo da( )1 sem 1com perodo da( ) 2 sem 2mef efefefi anual i semi semmi anual= + = = =( )( ) ( )1212Logo:(1 0, 05) 110, 25% (1 0, 05) 1efef efi anuaili anual anual= + = = + FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 42Relao entre taxas nominais e taxas efectivasIV TAXAS DE JUROComo converter uma taxa efectiva numa taxa nominal?Exemplo 4.6:Qual a taxa anual nominal subjacente taxa anual efectiva de 4,0605%, pressupondo capitalizao de juros trimestral?Emprimeirolugar,deve-secalcularataxadejuroefectiva cujoperododetempocoincidecomoperododa capitalizaodosjuros,utilizandoafrmuladeequivalncia emregimedejurocomposto.Quandooperododataxa coincidecomoperododacapitalizaodosjurosataxa simultaneamente efectiva e nominal.22FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 43IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasAssim,parataxasefectivas,arelaodeequivalncia corresponde a:( )1( ) 4, 0605% ( ) 1 0, 040605 1mef efi anual i trim = = + Ataxatrimestralefectivade1%tambmtaxatrimestral nominal,porqueoperododecapitalizaodosjuros trimestral.( )( )perodo da 4 trim4perodo da1 trimefefi anualmi trim= = =( )14( ) 1 0, 040605 1 ( ) 1%ef efi trim i trim = + =Com:Ento:FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 44IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasEmsegundolugar,deve-secalcularataxadejuronominal paraoperodopretendido,utilizandoafrmuladataxa proporcional.Conhece-seataxatrimestralnominal(1%)epretende-se determinarataxaanualnominal.Parataxasnominais,a relao de equivalncia corresponde a:( ) perodo da( ) 1 trim 1( )com perodo da( ) 4 trim 4i trim i trimi anual mm i anual= = = =14( ) 40, 01( ) ( % ) 0, 01 4 i anual i anua i anual l = = = Ento:23FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 45IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas Outro processo de converter uma taxa nominal numa taxa efectiva e vice-versa Deduo da frmula Exemplo 4.7:Considere um capital de 1000 euros aplicado durante um ano, taxadejuroanualnominalde6%,comcapitalizaode juros mensal. a) Determinar o valor acumulado.Ataxadejurodadanominaleacapitalizaodejuros mensal,logoataxadejuroaaplicarnafrmulageralde capitalizao dever ser mensal.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 46IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas( )1122120, 06 0, 061000 112 121061, 678n mese e s n mes si men al C C s= =| |= = + |\=b)Qualataxadejuroanualefectivaqueaplicadaaum capitalde1000euros,duranteumano,produzumvalor acumulado igual ao encontrado atravs da utilizao da taxa proporcional mensal, isto um valor de 1061,678. ( )( )( )12O que se pretende determinar a, tal que:1000 1061, 678 1000,ou:0, 061000 1000 1 100012efefefi anuali anuali anual = | | = + |\ 24FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 47IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas( ) ( )12Aps simplificao, vem: 0, 061 1 6,1678%12ef efi anual i anual| |= + = |\ Significa que o juro vencido no final do primeiro ano corresponde a 6,1678%docapitalinicialmenteinvestido(1000euros).Ento,aumataxadejuroanualnominalde6%,comcapitalizaodejurosmensal, corresponde uma taxa anual efectiva de 6,1678%.Em termos gerais, a frmula que permite determinar a taxa efectiva dada a taxa nominal e vice-versa, corresponde a:1 1 mefiim| |= + |\ m = n de capitalizaes que ocorrem durante o perodo da taxa i (taxa nominal)FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 48IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasExemplo 4.8:Aplicaodeumcapitalde2000euros,durante2anos,taxa dejuroanualnominalde8%,comcapitalizaodejuros trimestral.a) Determinar o valor acumulado no fim do prazo.( )88 80, 08( ) ( ) 0, 0242000 1 0, 02 2343, 32n trim n trimi trim i trimC C= == == + =25FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 49IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasb) Determinar a taxa de juro anual efectiva.Dois processos alternativos de resoluo:1 Processo: Aplicar as regras de equivalncia entre taxas0, 08( ) ( ) 0, 024i trim i trim = = Clculo da taxa trimestral nominal (tambm efectiva): Clculo da taxa anual efectiva:( ) ( ) ( )4) 1 0, 02 1 ) 8, 243%ef efi anual i anual = + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 50IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas2 Processo: Aplicar a frmula geral1 1 mefiim| |= + |\ 4 (n de capitalizaes trimestrais que ocorrem durante um ano) m =40, 08( ) 1 1 ( ) 8, 243%4ef efi anual i anual| |= + = |\ O resultado obtido nos dois processos o mesmo.Nota:Aaplicaodafrmulageralpressupequeataxa efectiva e a taxa nominal esto reportadas ao mesmo perodo de tempo.26FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 51IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivasc) Determinar a taxa de juro semestral efectivaDois processos alternativos de resoluo:1 Processo: Aplicar as regras de equivalncia entre taxas Apsoclculodataxatrimestralnominaleefectiva(j determinadonaalneab),1processo),determina-seataxa semestralefectivaaplicandoafrmuladeequivalnciade taxas em r.j.c.( ) ( ) ( )2) 1 0, 02 1 ) 4, 04%ef efi sem i sem = + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 52IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas2 Processo: Apscalcularataxaanualefectiva,atravsdafrmula geral (j determinado na alnea b), 2 processo) determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a frmula de equivalncia de taxas em r.j.c.( ) ( ) ( )12) 1 0, 08243 1 ) 4, 04%ef efi sem i sem = + =27FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 53IV TAXAS DE JURORelao entre taxas nominais e taxas efectivas Paracalcularataxatrimestralefectiva,pode-seutilizaro resultadoobtidonaalneab),paraataxaanualefectiva. Aplica-se, ento, a equivalncia de taxas em r.j.c.: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1141 11 0, 08243 1 2%mef efef efi trim i anuali trim i trim= + = + =d) Determinar a taxa de juro trimestral efectiva e a taxa de juro trimestral nominal.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 54IV TAXAS DE JURO Paracalcularataxatrimestralnominal,recorre-se frmuladeequivalnciaentretaxasnominais,umavezque no enunciado inicial dada a taxa anual nominal: ( ) ( ) ( )( ) 0, 082%4i anuali trim i trim i trimm= = =Relao entre taxas nominais e taxas efectivasNeste caso, a taxa trimestral nominal igual taxa trimestral efectiva porque a capitalizao dos juros trimestral.Em termos gerais, quando o perodo da taxa coincide com o perododacapitalizaodosjuros,a taxanominaligual taxa efectiva.28FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 55V EQUIVALNCIA DE CAPITAIS5.1 Equaes de equivalnciaComo estabelecer equivalncia entre vrios capitais? Como estabelecer equivalncia entre vrios capitais?Todososcapitaisdevemestarreportadosaummesmo momento,designadocomodatafocaldaoperaode equivalncia.Assim,paradeterminadaoperaodeequivalncia, necessriorecorrersfrmulasgeraisdeactualizaoe/ou de capitalizao, definidas anteriormente.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 56V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro simplesExemplo 5.1:Considere que a empresa XYZ tem o seguinte conjunto de dvidas: 1 Julho 2009 8.0001 Abril 2009 12.0001 Fevereiro 2009 5.000Data de vencimento Montantea) Calcular o valor do capital nico a vencer no dia 1 de Junho de2009,pressupondoregimedejurosimplescomdesconto pordentro,taxadejuroanualde6%edatafocalodia1de Novembro de 2008. Aempresapretende substituiresteconjunto dedvidasporuma nicaaserpaganodia 1 de Junho de 2009.29FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 57V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro simplesElaborao da equao de equivalncia: Composio de um membro da equao: Astrsdvidasoriginais,actualizadasparaodia1de Novembro de 2008; Composio do outro membro da equao: Ocapitalnico,quesepretendedeterminar,tambm actualizado para o dia 1 de Novembro de 2008.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 58V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro simples1/11/08 1/2/09 1/4/09 1/6/09 1/7/095.000 12.000 8.000 C=?Data focal5.000 12.000 8.0003 5 81 0, 06 1 0, 06 1 0, 0612 171 0, 062 12 12C= + ++ + + +25.177,1338 C =30FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 59V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro simplesContinuao do ex. 5.1:b)Calcularovalordocapitalnicoavencernodia1deJunho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro,taxadejuroanualde6%edatafocalodia1de Fevereiro de 2009. Neste caso, todos os capitais devem estar reportados ao dia 1 deFevereiro de 2009:12.000 8.0005.0002 51 0, 06 1 0,25.179, 78741 0, 0 0612 12612CC = + +++ + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 60V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro compostoc) Calcular o valor do capital nico a vencer no dia 1 de Junho de2009,pressupondoregimedejurocomposto,taxadejuro anual nominal de 6% com capitalizao de juros mensal e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.( ) ( ) ( )2 4 512.000 8.00050001 0, 005 1 0, 005 1 0, 005C+ += + ++25.181, 2515 C =Continuao do ex. 5.1:31FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 61V EQUIVALNCIA DE CAPITAISExemplo Equivalncia de capitais em regime de juro compostod) Calcular o valor do capital nico a vencer no dia 1 de Junho de2009,pressupondoregimedejurocomposto,taxadejuro anual nominal de 6% com capitalizao de juros mensal e data focal o dia 1 de Maio de 2009.( ) ( )( ) ( )13 128.0005000 1 0, 005 12.000 1 0, 0051 0, 005 1 0, 005C=++ + + ++25.181, 2515 C =Continuao do ex. 5.1:FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 62V EQUIVALNCIA DE CAPITAISDiferenas entre regime de juro simples e regime de juro compostoComparao dos resultados obtidos em regime de juro simplesComparao dos resultados obtidos em regime de juro simples - - alneas a) e b): alneas a) e b):Repare-sequeovalordocapitalnicoobtidonaalneab) diferente do obtido na alnea a). Alterandoadatafocal,deixadehaverequivalncia relativamente data focal anterior. No regime de juro simples a data focal fundamental.32FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 63V EQUIVALNCIA DE CAPITAISDiferenas entre regime de juro simples e regime de juro compostoComparao dos resultados obtidos em regime de juroComparao dos resultados obtidos em regime de juro compostocomposto - - alneas c) e d): alneas c) e d): Repare-se que o valor do capital nico obtido na alnea c) igual ao obtido na alnea d). Uma vez estabelecida a equivalncia para uma data focal, ela permanece vlida, mesmo que se altere a data focalNoregimedejurocompostoadatafocalnotemqualquer relevncia.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 64VI RENDAS6.1 Conceitos genricosExemplo 6.1AempresaABCcontraiuumemprstimonodia30deOutubrode 2008eacordouqueopagamentodomesmoseriaefectuadoatravs de 24 prestaes mensais, consecutivas e constantes. O valor de cada prestaode450euroseaprimeiraprestaotemvencimentono dia30deNovembrode2008.Asprestaesincluemjuroscomi mensal igual a 1%. A este conjunto de capitais (prestaes) d-se o nome de renda renda.Emtermosgerais,umarenda renda correspondeaumconjuntode capitais,espaadosperiodicamente,ondeointervalodetempo quedecorreentreovencimentodequaisquerdoiscapitais consecutivos constante.33FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 65termosperodosVI RENDAS6.1 Conceitos genricos30/10/0830/11/0830/12/2008... 30/09/1030/10/10450450 ...450 450Data da contraco do emprstimoTermo da renda Termo da renda: cada um dos capitais. Perododarenda Perododarenda:intervalodetempoquedecorreentreo vencimento de dois termos consecutivos.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 66VI RENDAS6.2 Classificao das rendasQuanto ao perodo da renda: Inteiras: perodo da renda coincide com o perodo da taxa de juro. Fraccionadas: perodo da renda diferente do perodo da taxa de juro.Quanto ao valor dos termos: Termos constantes: todos os termos da renda tm o mesmo valor. Termosvariveis:ostermosdarendavariam,nosoconstantesao longo da vida da renda.34FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 67VI RENDAS6.2 Classificao das rendasQuanto ao prazo de vigncia: Temporrias: nmero limitado de termos. Perptuas: nmero ilimitado de termos.Quanto ao vencimento dos termos: Termosnormaisoupostecipados:ovencimentodostermosocorreno fim da cada perodo. Termos antecipados: o vencimento dos termos ocorre no incio de cada perodo.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 68VI RENDAS6.2 Classificao das rendasQuanto ao momento de referncia: Imediatas:adatadecontracodoemprstimocoincidecomoincio do primeiro perodo da renda. Diferidas:existe um perodo de diferimento entre adatada contraco do emprstimo e a data de vencimento do primeiro termo.No exemplo 6.1 a renda descrita :Temporria, inteira, imediata, de termos constantes e normais.35FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 69termosperodosVI RENDAS30/10/0830/11/0830/12/2008... 30/09/1030/10/10450450 ...450 4506.3 Rendas temporrias inteirasContinuao do exemplo 6.1a) Qual o valor do emprstimo, no dia 30 de Outubro de 2008?30/10/ 2008?FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 70VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasTrata-se de resolver uma equao de equivalncia de capitais, utilizandoafrmulageraldeactualizaoemregimedejuro composto.Ento, o valor do emprstimo a 30/10/2008, tambm designado como o valor actual da renda, igual a:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 23 241 2 23 24450 450 450 450...1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 011 1 1 1450 ...1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01+ + + + =+ + + +| | | = + + + + |+ + + +\ 36FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 710 ... 21 ... 2 1 + + t t t1 1 + + + + n t n t n t1 1 1 1termosperodosVI RENDASEste mtodo revela-se demasiado moroso Imagine-se uma renda com 480 termos. Seria necessrio aplicar a frmula geral de actualizao 480 vezes Entoopassoseguinteconsisteemdeduzirumafrmulageralquepermitecalcularovalordarenda,isto,ovalordetodosostermos unitrios, reportados a um determinado momento, neste caso, t. Considereumarendacomntermosnormais eunitrios,imediata, temporria e inteira incio do primeiro perodo da renda corresponde ao momento t.6.3 Rendas temporrias inteirasFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 72VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasOclculodovalordosntermosunitriosnomomentot(um perodoantesdadatadevencimentodoprimeirotermo) designa-seporvaloractualdumarendatemporria,inteira, imediata com n termos normais e unitrios. O smbolo utilizado : na( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 1 1...1 1 1 1n n nai i i i= + + + ++ + + +37FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 73VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteiras( )11 111111 11 111 11 1nnn niiia aii i+| | |+++\ = = + + +( ) ( )111 1 11 1n nn ni ia ai i+ + = =+ FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 74VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasNoexemplo,ovalordarendaaplicandoafrmuladeduzida anteriormente dado por:( )2424 1% 24 1% 24 1%24 1%1 1 0, 01450 4500, 019.559, 524A a AA += = =Valor do emprstimo em 30/10/2008Paraocasomaisgeral,ondeostermossoiguaisaumcerto valor constante, designado por c, vem:( ) 1 1com =nn n niA c a ai +=38FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 75VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasExemplo 6.2A empresa guas Turvas deposita mensalmente uma quantia constantenovalorde450euros.Oprimeirodepsitoocorre no dia 30 de Novembro de 2008 e o ltimo ocorrer no dia 30 deOutubrode2010.Sabe-sequeosdepsitosso efectuados em regime de juro composto com capitalizao de jurosmensalequeataxadejuromensaldaoperaode 1%.Determineomontantequeaempresaterdisponvel imediatamente aps efectuar o ltimo depsito. pedido para determinar o valor de um capital nico a vencer nodia30deOutubrode2010,equivalenteaoconjuntode24 capitais a vencerem mensalmente.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 76termosperodosVI RENDAS30/10/0830/11/0830/12/2008... 30/09/1030/10/10450450 ...450 4506.3 Rendas temporrias inteiras30/10/ 2010?Trata-sededeterminarovalordarendanadatade vencimento do ltimo termo. Em esquema, vem:39FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 77VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasnecessrioresolverumaequaodeequivalnciade capitais,utilizandoafrmulageraldecapitalizaoemregime de juro composto.Ento, o valor do emprstimo a 30/10/2010, tambm designado como o valor acumulado da renda, igual a:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )23 22 123 22 1450 1 0, 01 450 1 0, 01 ... 450 1 0, 01 450450 1 0, 01 1 0, 01 ... 1 0, 01 1+ + + + + + + == + + + + + + +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 780 ... 21... 2 1 + + t t t 1 1 + + + + n t n t n t1 1 1 1termosperodosVI RENDASMais uma vez, este mtodo revela-se demasiado morosoEntoopassoseguinteconsisteemdeduzirumafrmulageralquepermitecalcularovalordarenda,isto,ovalordetodosostermos unitrios, reportados a um determinado momento, neste caso o momento t+n. Considereumarendacomntermosnormais eunitrios,imediata, temporriaeinteira fimdoltimoperododarendacorrespondeao momento t+n.6.3 Rendas temporrias inteiras40FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 79VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasO clculo do valor dos n termos unitrios no momento t+n (data de vencimento do ltimo termo) designa-se por valor acumulado duma renda temporria, inteira, imediata com n termos normais e unitrios. O smbolo utilizado : ns( ) ( ) ( )1 2 11 1 ... 1 1n nns i i i = + + + + + + +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 80VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteiras( )( )( )( ) ( )( )1 111 11 1 1 111 1 1 1n nnn ni i is i si i + + += + = + +( ) ( ) 1 1 1 11 1n nn ni is si i+ + = =+ 41FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 81VI RENDAS6.3 Rendas temporrias inteirasNoexemplo6.2,ovalordarendaaplicandoafrmuladeduzida anteriormente dado por:( )2424 1% 24 1% 24 1%24 1%1 0, 01 1450 4500, 0112.138, 059S s SS+ = = =Valor do emprstimo em 30/10/2010Paraocasomaisgeral,ondeostermossoiguaisaumcerto valor constante, designado por c, vem:( ) 1 1com =nn n niS c s si+ =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 82VI RENDASExemplo 6.3A empresa ABC comprou um equipamento industrial no valor de 4.500 euros nas seguintes condies:Pagamentode500eurosnoactodacompraedorestanteem 12prestaesmensaisiguais,incluindojurostaxaanual nominal de 6%.Calculeovalordecadaprestao,nocasodaprimeira prestao vencer 1 ms aps o acto da compra.6.4 Rendas fraccionadasAteno: ataxadejurodadaanualeasprestaesso mensais.42FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 83VI RENDASTrata-se de uma renda fraccionada porque o perodo da renda diferente do perodo da taxa de juro.6.3 Rendas fraccionadasAs frmulas deduzidas anteriormente, e, s podem ser utilizadasquando o perodo da taxa de juro igual ao perodo da renda.n na sO que fazer quando a renda fraccionada? O que fazer quando a renda fraccionada?R: Transformar a renda fraccionada numa renda inteira.Como? Como?FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 84VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasUma vez que no possvel alterar o valor dos termos nem o perododarenda,asoluopassaporalterarataxadejuro, tal que o perodo desta coincida com o perodo da renda.No exemplo 6.3, como ostermosda rendasomensalidades e a taxa de juro dada anual, calcula-se a taxa de juro mensal (transformando, por isso, a renda em inteira). Paraumataxadejuronominal,comoconverteroperodo da taxa?R:Atravsdeumarelaodeproporcionalidade,isto aplicando a frmula:43FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 85VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasperodo da taxa ' comperodo da taxa'i ii mm i= = Paraumataxadejuroefectiva,comoconverteroperodo da taxa?R:Atravsdeumarelaodeequivalncia(emr.j.c.),isto aplicando a frmula:( )1mperodo da taxa ' 1 -1comperodo da taxa'ii i mi= + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 86VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasVoltar ao exemplo 6.3:Converter a taxa anual nominal numa taxa de juro mensal, transformando a renda em inteira. anual nominal 6% mensalmensalmensal 0, 5%12 12ii i i = = =A renda do ex. tem a seguinte representao:Perodoem mesesTermos0 1 2 3 1112c c ccc 44FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 87VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasValordarendanomomento0,correspondeaovalorda dvida da empresa aps o pagamento dos 500 euros, ou seja:( )12 12 0,5%12 0,5%4.000 4.0004.500 5001 1 0, 0050, 005344, 266c a c cac = = = +=A empresa ABC pagou o equipamento industrial do seguinte modo:500eurosnadatadacomprae344,266euros mensalmente durante os prximos 12 meses.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 88VI RENDASExemplo 6.4Considerequeumadeterminadaentidadepretendeacumular 6.000eurosnumacontabancriaatravsdedepsitos semestrais constantes, aefectuardurante3anos.Pressupondo regime de juro composto com capitalizao de juros semestral e umataxadejuroanualefectivade5,0625%,determineovalor decadadepsito,porformaaqueimediatamenteapster efectuado o ltimo depsito, a referida entidade possua na conta6.000 euros. 6.4 Rendas fraccionadasAteno: ataxadejurodadaanualeasprestaesso semestrais. A renda fraccionada.45FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 89VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasConverter a taxa anual efectiva numa taxa de juro semestral, transformando a renda em inteira.A renda do ex. tem a seguinte representao:Perodoem semestresTermos0 1 2 6c c c( )( )1212 semestral 1anual efectiva 1 semestral 1 0, 050625 1semestral 2, 5%i ii i= + = + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 90VI RENDAS6.3 Rendas fraccionadasValor da renda no momento 6, corresponde a 6.000 euros:Aentidadeternasuaconta6.000euros,imediatamente apsterefectuadooltimodepsito,seefectuar semestralmente um depsito no valor de 939,30 euros.( )6 6 2,5%6 2,5%6.000 6.0006.0001 0, 025 10, 025939, 30c s c csc= = =+ =46FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 91VI RENDASRendas de termos antecipadosExemplo 6.5AempresaXPTOcomprouumequipamentoinformtico atravs do pagamento de 8 prestaes trimestrais iguais a 220 euros cada, a primeira das quais logo no acto da compra, com juros contados a uma taxa de 2% ao trimestre. a)Qualovalordoequipamentoinformtico,casoaempresa pretendesse pag-lo no momento da compra.QualadiferenadesteexemploemrelaoaosQualadiferenadesteexemploemrelaoaos anteriores? anteriores?Pretende-sedeterminarovalordasprestaesnadatade vencimentoda1:trata-sedeumarendadetermosrendadetermos antecipados antecipados (ovencimentodostermosocorrenoinciode cada perodo).FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 92termosperodoem trimestres VI RENDASRendas de termos antecipadosA renda do exemplo tem a seguinte representao:220 220220 .2200 12. 7 8Oquesepretendedeterminarovalordarendano momento0,istoovalordarendanadatade vencimento do primeiro termo. -147FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 93VI RENDASRendas de termos antecipadosSerqueasfrmulasdeduzidasanteriormentepodemser aplicadas para a resoluo deste problema?A frmula do permite obter o valor de todos os termos da rendaum perodo antes do vencimento do primeiro termo. No exemplo,pretende-se obter o valor dos termos na data de vencimento doprimeiro termnao. Ento, vem:( )8 2%8 2%Valor da renda no momento "-1" 220Valor da renda no momento "0"=220 1 0, 02aa= +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 94VI RENDASRendas de termos antecipados( )88 2%1 1 0, 02220 (1, 02) 220 1, 02 1.643, 840, 02a + = =Ovalordoequipamentoinformtico,casoaempresa pretendessepag-loaprontopagamentoerade1.643,84 euros.Continuao do exemplo 6.5:b)Considereagoraqueaempresapretendepagara totalidade do equipamento no fim do 8 trimestre. Qual o valor a pagar?48FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 95termosperodoem trimestres VI RENDASRendas de termos antecipadosNestecasopretende-sedeterminarovalordarendano momento8,ousejaumperodoapsovencimentodo ltimo termo. 220 220220 .2200 12. 7 8( )8 2%8 2%Valor da renda no momento "7": 220Valor da renda no momento "8": 220 1 0, 02ss +FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 96VI RENDASRendas de termos antecipados( )88 2%1 0, 02 1220 (1, 02) 220 1, 02 1.926, 020, 02s+ = =Caso a empresa pretendesse pagar o equipamento informtico no fim do 8 trimestre deveria entregar 1.926,02 euros.Repare-se que:( )81926, 02 1.643, 84 1 0, 02 = +49FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 970 ... 21... 2 1 + + t t t 1 1 + + + + n t n t n t1 1 1 1termosperodosVI RENDASEmtermosgerais,considereumarendacomntermos antecipados e unitrios, imediata, temporria e inteira.Para uma renda de termos antecipados, vem:Inciodoprimeiroperodo:t+1(coincidecomovencimentodo primeiro termo)Incio do ltimo perodo: t+nRendas de termos antecipadosFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 98VI RENDASRendas de termos antecipadosOclculodovaloractualdarendadetermosantecipadose imediata, refere-se ao clculo do valor de todos os termos da renda na data de vencimento do primeiro termo. No esquema apresentado, em t+1.O smbolo utilizado :( ), onde1n n na a a i = + Para o caso mais geral, onde os termos so iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:n nA c a =50FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 99VI RENDASRendas de termos antecipadosOclculodovaloracumuladodarendadetermos antecipadoseimediata,refere-seaoclculodovalorde todos os termos da renda um perodo aps o vencimento do ltimo termo. No esquema apresentado, em t+n+1.O smbolo utilizado :( ), onde1n n ns s s i = + Para o caso mais geral, onde os termos so iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:n nS c s =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 100VI RENDASRendas diferidasExemplo 6.6A empresa YYY comprou uma mquinaatravs dopagamento de24prestaesiguaisemensaisde300euroscadaa primeiradasquaiscomvencimentodaquia6meses. Considerando uma taxa de juro mensal de 1%, qual o valor da mquina? QualadiferenadesteexemploemrelaoaosQualadiferenadesteexemploemrelaoaos anteriores? anteriores?Pretende-sedeterminarovalordasprestaes,6meses antes da data de vencimento da primeira prestao. Trata-se de uma renda diferida. renda diferida.51FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 101termosperodoem meses VI RENDASRendas diferidasA renda do exemplo tem a seguinte representao:300 . 300 3000 56. 2829Oquesepretendedeterminarovalordarendano momento 0. Como faz-lo?FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 102VI RENDASRendas diferidasPrimeiro calculamos o valor da renda no momento 5:( )2424 1% 24 1% 24 1% 24 1%1 1 0, 01300 300 6.373, 0160, 01A a A A += = =Ento, o valor da renda no momento 0, corresponde a:( )56.373, 0166.063, 7061 0, 01=+Valor da mquina sem juros52FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 1030 ... 21... 2 1 + + t t t 1 1 + + + + n t n t n t1 1 1 1termosperodosVI RENDASEmtermosgerais,comocalcularovaloractualdumarenda diferida:Aocontrriodasrendasimediatas,designam-seporrendas diferidas,asrendasparaasquaissedeterminaovaloractual numa data anterior ao incio do primeiro perodo da renda.Talsignifica,deacordocomoesquemaseguinte,queovalor actual calculado para uma data anterior a t.Rendas diferidasFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 104VI RENDASRendas diferidasAssim,ovalordarendanomomento0,correspondeaovalor actualdumarenda temporria,inteira,diferidadetperodos, com n termos normais e unitrios.O smbolo utilizado :( )1 , onde 1t tt n n na a ai=+Para o caso mais geral, onde os termos so iguais a um certo valor constante, designado por c, vem: t tn nA c a =53FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 1050 ... 21... 2 1 + + t t t1 1 + + + + n t n t n ttermosperodosVI RENDASRendas temporrias de termos constantesc cc c( ) 1tnc a i +nc a ( ) 1nc a i +nc s ( ) 1nc s i +nt AnAnAnSnSEmesquema,ovalordeumarendatemporriadetermos constantes, para diferentes datas:FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 106VI RENDASRendas perptuasExemplo 6.7Umfilantropopretendecriarumprmioanualperptuo,no valorde4.000euros,destinadoaomelhoralunodeuma universidade.Qualomontantequeofilantropodeve disponibilizarhojeporformaaatingiresseobjectivo, considerando que o capital rende juros com base numa taxa de juro anual de 5%, com capitalizao de juros anual. a)Considerequeoprmioanualdevercomearaser atribudo de hoje a uma ano. Trata-se de uma renda perptua renda perptua ( renda com nmero ilimitado de termos)54FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 107VI RENDASRendas perptuas0 123...4.0004.0004.000...anostermosA quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje corresponde ao valor actual da renda perptua, no momento zero. Como determinar o valor actual de uma renda perptua, imediata e de termos normais?Aplicando a frmula do quando tende para infinito, oque representado por.na naFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 108VI RENDASRendas perptuas( ) 1 11lim limnnn nia a a ai i += = =Voltar ao ex. 6.7 a), pretende-se determinar o valor da renda no momento 0:14.000 4.000 80.0000, 05A a A A = = =Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje,caso o primeiro prmio seja entregue de hoje a um ano55FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 109VI RENDASRendas perptuas0 12 ...4.0004.0004.000...anostermosContinuao do ex. 6.7b) Considere, agora, queoprmioanualdevercomearaser atribudo hoje.Trata-sededeterminarovalordarendaperptuanomomento 0 (neste caso, na data de vencimento do primeiro termo).FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 110VI RENDASRendas perptuas Comodeterminarovaloractualdeumarendaperptua, imediata e de termos antecipados? No ex. como determinar o valor da renda, no momento 0?( )( )4.000 4.000 114.000 1 0, 05 84.0000, 05A a A a iA A = = + = + = Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje,caso o primeiro prmio seja entregue hoje.56FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 111VI RENDASRendas perptuas0 12 34...4.0004.000...anostermosContinuao do ex. 6.7c)Considere,agora, queoprmioanualdevercomearaser atribudo de hoje a trs anos.Trata-sededeterminarovalordarendaperptuanomomento 0 (neste caso, 3 anos antes da data de vencimento do primeiro termo, logo diferimento de 2 anos).FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 112VI RENDASRendas perptuas Comodeterminarovaloractualdeumarendaperptua, diferida e de termos normais? No ex. como determinar o valor da renda, no momento 0?( )( )24.000 4.000 114.000 1 0, 05 72.562, 3580, 05tt ttA a A a iA A = = + = + =Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje,3 anos antes de ser entregue o primeiro prmio57FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 1130 ... 21 1 2... t t t + +termosperodosVI RENDASRendas perptuasc c( ) 1tc a i +c a( ) 1 c a i +t AAAEmesquema,ovalordeumarendaperptuadetermos constantes, para diferentes datas:Pararendasperptuas nofazsentido determinarovalor acumulado,umavezque onmerodetermos tende para infinito.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 114VI RENDASRendas constantes com diferentes taxas de juroExemplo 6.8Considereumarendade36termosmensaisde250euros cada,em queoprimeirotermovencenodia13 deNovembro de2008.Considereumataxadejuromensalde1%de 13/10/2008 a 13/10/2009e uma taxa de juro mensal de 0,75% durante o restante prazo.a) Calcule o valor da renda no dia 13 de Outubro de 2008.Ateno: a renda de termos constantes mas tem associada duastaxasdejurodiferentes.Necessidadededesdobrara renda numa soma de duas rendas.58FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 115VI RENDASRendas constantes com diferentes taxas de juro1%13/10/ 08 13/11/08 13/12/08...13/10/09i=

250250...250+0,75% 1%13/10/ 08 ... 13/10/09 13/11/09 ...13/10/11i i = =

250... 250FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 116VI RENDASRendas constantes com diferentes taxas de juroEmtermosalgbricos,ovalordarendanodia13/10/2008 corresponde a:( )1212 1%1 1 0, 01250 250 2.813, 7690, 01a + = =( )( )( )( )2412 1224 0,75%1224 0,75%1 1 0, 0075250 1 0, 01 250 1 0, 010, 0075250 1 0, 01 4.856, 376aa + + = + + =+2.813, 769 4.856 7.67 , 37 45 6 0,1 + =59FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 117VI RENDASRendas constantes com diferentes taxas de juroContinuao do ex. 6.8:b) Calcule o valor da renda no dia 13 de Outubro de 2011.1% 0,75%13/10/ 08 13/11/08 ... 13/10/0913/11/09... 13/10/11i i = =

250 ...2500,75%13/10/ 08...13/10/09 13/11/09 ... 13/10/11=

250 ... 250+FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 118VI RENDASRendas constantes com diferentes taxas de juroEmtermosalgbricos,ovalordarendanodia13/10/2011 corresponde a:( )( )( )( )1224 2412 1%2412 1%1 0, 01 1250 1 0, 0075 250 1 0, 00750, 01250 1 0, 0075 3.793, 38ss+ + = + + =( )2424 0,75%1 0, 0075 1250 250 6.547,120, 0075s+ = =+3.793, 38 6.547 10.34 5 , 0 12 0, = +60FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 119VI RENDASRendas variveisExemplo 6.9Considereumarendade12termostrimestraisemqueos primeiros 4 so iguais a 300 euros e os restantes a 400 euros. Pressuponha uma taxa de juro anual nominal de 8%a)Calculeovalordarendanadatadevencimentodoltimo termo.Ateno:arendadetermosvariveismaspodeser desdobradanumasomadeduasrendasdetermos constantes. FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 120VI RENDASRendas variveis300 ...3000... 45...12400 ... 400+0 1 ... 4 5... 12 anual nominal trimestral i i 8% trim.trim. 2%4i i = =61FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 121VI RENDASRendas variveisEmtermosalgbricos,ovalordarendanomomento12 corresponde a:( )( )( )48 84 2%1 0, 02 1300 1 0, 02 300 1 0, 02 1.448, 7360, 02s+ + = + =( )88 2%1 0, 02 1400 400 3.433,1880, 02s+ = =+1.448, 736 3.433 4.88 ,18 24 8 1, 9 + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 122VI RENDASRendas variveis300 ...300400 ... 400+0 1 ... 4 5... 12Continuao do ex. 6.9:b) Calcule o valor da renda na data de vencimento do 1 termo.0 1 ... 4 5... 1262FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 123VI RENDASRendas variveisEm termos algbricos, o valor da renda na data de vencimento do 1 termo, corresponde a:( )( )44 2%1 1 0, 02300 300 1 0, 02 1.165,1650, 02a + = + = ( )( )833 8 2%1 1 0, 02400 400 1 0, 02 2.761,1860, 02a + = + =+1.165,165 2.761 3.92 ,18 51 6 6, 3 + =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 124VI RENDASRendas variveis: os termos variam de forma aleatriaExemplo 6.10Considereumarendamensalcom4termosnormaisde100, 50, 300 e 75 euros, para a qual foi negociada uma taxa de juro anual nominal de 6% com capitalizao de juros mensal. Calcule o valor actual da renda.Ateno:Ostermosdarendavariamaleatoriamente(so irregulares).Nopossvelestabelecerqualquerrelaonaformacomo os termos da renda variam.63FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 125VI RENDASRendas variveis10050300750 1234 anual nominal mensal i i 6% mensalmensal 0, 5%12i i = =mesesClculo do valor da renda no momento 0 = somatrio do valor actual dos termos da renda , reportando-se todos ao mesmo momento, isto ao momento 0.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 126VI RENDASRendas variveis: os termos variam de forma aleatriaEmtermosalgbricos,ovalordarendanomomento0 corresponde a:( )( ) ( ) ( )2 3 4100 50 300 751 0, 0051 0, 005 1 0, 005 1 0, 005518, 0694 + + + =++ + +Emtermosgerais,pararendascujostermosvariamdeforma aleatria,oclculodovaloractual (ouvaloracumulado)corresponde a: Somatrio do valor actual (ou valor acumulado) dos diversos termos da renda, reportando-se todos ao mesmo momento, isto aomomentoparaoqualsepretendecalcularovaloractual (ou valor acumulado) da renda.64FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 127VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.1 Conceitos genricosUmemprstimo umcontratopeloqualumadaspartes(o mutuante)cedeaoutra(omuturio)determinadaimportncia, ficando este ltimo com a obrigao de restituir essa importncia, acrescidadosjurosacordados,deacordocomascondies inicialmente estabelecidas.Emprstimos clssicos: Oemprstimoconcedidonasuatotalidadeporapenasuma entidade (h apenas um mutuante).Emprstimos obrigacionistas:Neste tipo de emprstimos, existem vrios mutuantes.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 128VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesExemplo 7.1Considereosseguintesdadosgeraisrelativosaum emprstimobancriodestinadohabitao:Montantedo emprstimo:100.000euros;tipodeprestao:prestaoconstante;prazodoemprstimo:10anos;periodicidadedas prestaes:mensal.Paraalmdosdadosgerais,considere que a taxa de juro anual nominal do emprstimo igual a 4,5% e que a primeira prestao pagaummsapsacontraco do emprstimo. Determineovalordaprestaoconstanteeovalorda amortizaoedojurorelativosprimeiraesegunda prestaes.65FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 129VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesComoasprestaessomensais,necessrioconvertera taxadejuroanualnominalnarespectivataxadejuromensal proporcional:4, 5%0, 375%12i i = =Nestecaso,omontantedaprestaoconstantenosofre qualquerajustamentoduranteos10anos(120meses),uma vez que a taxa de juro do emprstimo fixa. Assim, o valor de cada prestao corresponde ao valor de cada mensalidade de uma renda com 120 termos constantes:120 0,375%100.000 1.036, 38 euros c a c = =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 130VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantes Como determinar o juro a incluir em cada perodo?Capital em dvida no incio do perodo taxa de juro Como determinar a amortizao a incluir em cada perodo?Prestao do perodo juro do perodo Note-se que:Prestao = juros + amortizao Soma de todas as amortizaes = valor total do emprstimo66FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 131VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesJuro a incluir na primeira prestao:100.000 0, 00375 375Amortizao a incluir na primeira prestao:1.036, 38 375 661, 38 = =Voltando ao exemplo, o valor do juro e da amortizao relativos primeira prestao:FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 132VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantes( )Juro a incluir na segunda prestao:100.000 661, 38 0, 00375 372, 52Amortizao a incluir na segunda prestao:1.036, 38 372, 52 663,86 = =O valor do juro e da amortizao relativos segunda prestao:67FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 133VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesDeduodasfrmulasgeraisquepermitemdeterminaro valordaamortizaoedojuroaincluiremcadaprestao constante,pressupondoqueovencimentodaprimeira prestaoocorreumperododetempoapsacontraco do emprstimo.Considere-se:0valor total do emprstimonmero de prestaes peridicas valor de cada prestao constantetaxa de juro fixa reportada ao perodo de tempo entre duas prestaes consecutivasCnciFEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 134VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesO valor do juro includo em cada prestao dado por:( )11 0 1 2 11com...para1, 2,...,Onde:juro relativo ao perodo capital em dvida no incio do perodo amortizao do emprstimo relativo ao perodo k kk kkkkj C iC C m m m k nj kC km k = = + + + =68FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 135VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesPor outro lado, para qualquer prestao, verifica-se sempre:com 1, 2,...,k kj m c k n + = =Pelo que:( )0 1 2 1...k kC m m m i m c + + + + =( Porsuavez,ocapitalem dvidanoinciodoperodok,corresponde ao valor actualizado das prestaes vincendas, pelo que:( )( )111 11k nk knkic a i m c m c ii + ( + + = = ( ( FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 136VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesDestemodo,eapsalgumastransformaesalgbricas, possvel determinar o valor da amortizao e do juro relativovalor da amortizao e do juro relativo aumdeterminadoperodo aumdeterminadoperodo,comofunodovalorda prestao,donmerototaldeprestaesedataxadejuro. Assim:( )( )1111 1k nkk nkm c ij c i = + (= + 69FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 137VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesVoltaraoexemplo7.1.a)- calcularovalordaamortizaoe do juro, relativos primeira e segunda prestao, aplicando as frmulas gerais:( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1201 1 11 2 1 1202 2 21 1.036, 38 1 0, 00375 661, 381 1.036, 38 1 0, 00375 663, 86nk nm c i m mm c i m m = + = + == + = + =( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1201 1 12 1 2 1 1202 2 21 1 1.036, 38 1 1 0, 00375 3751 1 1.036, 38 1 1 0, 00375 372, 52nnj c i j jj c i j j ((= + = + = ((= + = + = FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 138VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesExemplo 7.2Considereosseguintesdadosgeraisrelativosaumemprstimo bancrio destinado habitao: Montante do emprstimo: 100.000 euros;tipodeprestao:prestao constante;prazodo emprstimo: 10 anos; periodicidade das prestaes: mensal. Para alm dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal doemprstimoiguala4,5%equeexisteumperodode carncia de12meses,oqueimplicaapenasopagamentode juros durante este perodo inicial de 12 meses.Determineovalordojuromensalapagarduranteos12meses iniciais, o valor da prestao constante a pagar a partir do 13 ms eovalordojuroedaamortizaoaincluirnopagamento efectuado no 13 ms.70FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 139VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesNos primeiros 12 meses do emprstimo, o muturio paga juros mensais no valor de:100.000 0, 00375 375com 1, 2,...,12k kj j k = = =Paraumemprstimocomaduraode10anos,restam108 prestaes.Assim,ovalordecadaprestaoconstante corresponde a:108 0,375%100.0001.127, 76 c ca= =FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 140VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesOpagamentoaefectuarno13mscorrespondeaovalorda primeiraprestaoconstantequeincluijuroeamortizaodo emprstimo.Assim, aplicando as frmulas:( ) ( )1 11 e 1 1k n k nk km c i j c i (= + = + ( )1 1 1081 11.127, 76 1 0, 00375 752, 76 m m = + =( )1 1 1081 11.127, 76 1 1 0, 00375 375 j j (= + = Valor da amortizao e do juro a incluir na primeira prestao constante a pagar no 13 ms.71FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 141VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesExemplo 7.3Considereosseguintesdadosgeraisrelativosaumemprstimo bancrio destinado habitao: Montante do emprstimo: 100.000 euros;tipodeprestao:prestao constante;prazodo emprstimo: 10 anos; periodicidade das prestaes: mensal. Para alm dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal doemprstimoiguala4,5%equeexisteumperodode diferimento de12meses,oquepressupeaexistnciadeum perododuranteoqualnoexistepagamentodejurosnem amortizao de capital (neste caso durante 12 meses).Determineovalordaprestaoconstanteapagarapartirdo13mseovalordojuroedaamortizaoaincluirnopagamento efectuado no 13 ms.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 142VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesComodurante,oprimeiroano,nopagaqualquerprestao doemprstimo,necessriocalcularocapitalemdvidano incio do segundo ano:1212 120, 045100.000 1 104.593, 9812C C| |= + = |\ Combasenestecapitalaplicadaafrmuladeclculodo valor da prestao constante com taxa de juro fixa:108 0,375%104.593, 981.179, 57 c ca= =72FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 143VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesOpagamentoaefectuarno13mscorrespondeaovalorda primeira prestao.Assim, aplicando as frmulas:( ) ( )1 11 e 1 1k n k nk km c i j c i (= + = + ( )1 1 1081 11.179, 57 1 0, 00375 787, 34 m m = + =( )1 1 1081 11.179, 57 1 1 0, 00375 392, 23 j j (= + = Valor da amortizao e do juro a incluir na primeira prestao constante a pagar no 13 ms.FEUALG Clculo Financeiro 2009/2010 144VII EMPRSTIMOS CLSSICOS E OBRIGACIONISTAS7.3.1 Emprstimos clssicos Reembolso em prestaes peridicas constantesDeduodeumafrmulaquepermiterelacionarovalorda amortizaoaocorrer emdiferentesperodosdetempo,no caso de prestaes constantes( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 112 1 1 12 2 2 13 1 1 1 2 23 3 3 14 1 1 1 3 34 4 4 1111,logo:11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 e1comyk nknn nn nn nk k yk k ym c im c im c i m c i i m m im c i m c i i m m im c i m c i i m m im m i m m i k = += += + = + + = += + = + + = += + = + + = += + = +