sistemas numéricos: evolução

Sistemas Numéricos:

Evolução

Escrita egípcia

Inscrição numa fonteSão Pedro das Águias (velhas), Granjinha

Papiro Rhind, Museu de Londres.

Contando nas cavernas,. Foto: © AlekBaptista/MUHPAN.

March 31, 2010© Celeste Duque

Introdução: origem dos números

1. Como surgiram os números?

2. Quais as eram as primeiras formas de contagem?

3. Como é que os números foram criados, ou, será queeles sempre existiram?

Pintura Rupestre

– Os homens primitivos não tinham necessidade decontar, pois o que necessitavam para a suasobrevivência era retirado da própria natureza - povosrecolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha defrutos e raízes...

– A necessidade de contar começou com odesenvolvimento das actividades humanas, quandodeixou de ser nómada:

• E sentiu necessidade de se fixar em determinada áreageográfica fosse pela abundância de recursos ou poruma questão de melhor sobreviver aos sucessivosataques de tribos inimigas...

– Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuartrocas de produtos.

• Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iriatrocar por outros

• Foi nessa altura que a humanidade começou a construir oconceito de número matemático.

– As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia,foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hojeé denominada Oriente Médio.

• A agricultura passou então a exigir o conhecimento– do tempo,

– das estações do ano e

– das fases da Lua e

– assim começaram a surgir as primeiras formas decalendário.

Calendário Lunar

Sistemas numéricos

Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registavaos números como conjuntos de incisões emplacas de argila: triângulos cursivosrepresentando as dezenas e traços em formade Y para as unidades

Diversas civilizações da Antiguidadedesenvolveram os seus próprios sistemasde numeração.

– São inúmeros os vestígios deixados aolongo dos tempos, por exemplo os sistemasde numeração dos Egípcios, Gregos,Romanos, Chineses...

– Alguns destes sistemas perderamcompletamente a sua utilidade, outros, comoé o caso da numeração romana continuam aser utilizados, embora com menorfrequência.

Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade

Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seuspróprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelospovos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçadosem barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...).

Tablete mesopotâmico.Foto: The British Museum.

Moeda Chinesa, época Medieval

Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “OGrande”, 323-305 a.C - Egipto

Moeda Romana com 1700 anos

Calendário Maia

Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade

– Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo abase sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutoscompõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida naMesopotâmia, há mais de 4000 anos.

Para saber mais: http://www.biotrust-eco-energy.com/473.html

Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,na actualidade

– Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: anumeração Romana - podem ser observados nos mostradoresde relógios, na indicação de datas, na numeração decapítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosascujo nome é igual (reis, papas...).

Papa Benedicto XV Papa Benedicto XVI

Relógio de fachada. Pormeno: IIII emvez do convencional IV.

Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tema numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o4 convencional: iv.

Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,na actualidade

Sistema numéricoBabilónico

O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade autilizar símbolos numéricos.

– O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal.– Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em

forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eramcozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos nãofossem de extrema importância.

• A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuíamais de 2000 sinais.

Sítio arqueológico, cidade histórica da BabilóniaPara saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia

Sistema numérico Babilónico

Os babilónios usavam seuconhecimento de aritmética eálgebra simples para expressar

– comprimentos e pesos,

– trocar moedas e mercadorias,

– calcular juros simples ecompostos,

– impostos, e a

– proporção de uma colheita quedeveria ir para o fazendeiro,para a igreja e para o Estado.

Também usavam a matemática na– divisão de campos e de

– heranças, e em• projectos de canais,

• represas e

• sistemas de irrigação;

– Pensa-se que os problemaseconómicos que enfrentaram foram oestímulo para desenvolvimento damatemática. (Kine, 1990)

Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia

A grande utilidade desta escrita foi aonível da:

– contabilidade e administração, pois• facilitava o registo de bens,

• marcas de propriedade,

• cálculos e transacções comerciais.

– Os símbolos numéricos utilizados eramos que se podem observar na figura:

Tinham um símbolo diferente para a– Unidade;

– Dezena;

– Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, porexemplo:

• O número 60 escrevia-se exactamente como o 1,

• o que para nós é muito confuso.– Por exemplo, 61 escreve-se como 2.

lhe, p

– Pensa-se que os Babilónios sabiamdistinguir o número a que se referiamde acordo com o contexto doproblema.

• Escritos Babilónicos provam que estacivilização já possuía conhecimentosmatemáticos avançados.

• Neles aparecem uma série denotações que se inserem num sistemade numeração sexagesimal.

– O uso do número 60 como basepara contar e dos seus divisores

• como a dúzia: 12 = 60/5

– era utilizado pelos babilónios hámilhares de anos nos seus cálculosquotidianos e também pelossacerdotes nos seus cálculosastronómicos e de quem dependia acontagem do tempo.

– Mais um exemplo:

Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59)

Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000)

Sistema numérico Babilónico: Exemplos

Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistemasexagesimal.

1x60! + 45x60" + 29x60 + 36

= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36

= 216000 + 162000 + 1740 + 36

A notação decimal é: 379776

– Exemplo:1,45,29,36 em numerais Babilónicos

– Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, emsua substituição, utilizavam um espaço em branco paramarcar a não existência de um dígito num determinadolugar do montante.

• Exemplo:– 4,0,8 em numerais da Babilónia

– Outro exemplo:

– Um exemplo muito simples:

Sistema numérico Babilónico: Regras

Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/

Tabela de multiplicação babilónica do 9

Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm

Cálculo do quadrado de númerosbabilónicos > 59 e do cubo de números > 32

– Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadasde cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se asque apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. Eo Cubo de números maiores que 32.

82 = 1,4 [(1 x 601) + (4 x 600)] até chegar a

592 = 58,1 [(58 x 601) + (1 x 600)] (ver imagem).

The famous 'root (2)' tablet from the Yale

Babylonian Collection.

Para Saber mais:http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm

Sistema numérico Maia

Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas daAmérica Central, algumas dezenas de cidades mortasilustram um dos mais misteriosos episódios da História.

– Os historiadores e arqueólogos designaram-nas deCivilização Maia.

Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintenae as potências de vinte.

Ex.: 365 representado numa base de 10

– Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar pormeio de símbolos figurativos realidades numéricas,

• foram eles quem escreveram as datas mais antigas que seregistam na história da humanidade.

Números Maia de 0 a 10

Criaram um sistemabaseado na posição dossímbolos, que incluía autilização do zero 0

– para indicar que nãoexistem unidades destevalor,

• um símbolo ovalado queaparece em numerososvestígios ou códices maias

– bastante semelhante aosímbolo zero, da notaçãocientífica: !.

A razão, desta contagem, édevida ao hábito que os seusancestrais tinham de contar nãoapenas com

– os dez dedos das mãos, ecom

– os dez dedos dos pés.• A escrita é orientada na

horizontal até ao número 19.

– A partir do 20 os números eram representados considerandoa posição do algarismo, parecido com o sistema denumeração que utilizamos,

• com uma diferença importante,– eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se:

(Imenes, 2002)

Sistema numérico Maia: Exemplos

– Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicarda mesma forma, ficamos com:

• Outro exemplo:

Sistema numérico Maia: Exercício

– E os números seguintes consegue dizer quais são?

• Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é!– Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é

representado com dois pontos lado a lado.

• Quais são então estes números?

(Imenes, 2002)

– Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30:

(Imenes, 2002)

(1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20)

Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)

Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,para facilitar cálculos nesta área,

– fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seusistema numérico, i.,e. do

• número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser devinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18por 20 (18x20)

– que é igual a 360,– Ao invés de 20 x 20.

Isto porque:– O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então,

não consideravam as posições 200, 201, 202,... mas sim• 200, 201, e a partir daí salta para:• 201#18 (=360), 202#18 (=7 200), 203#18 (=144 000)

• Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios"punham o sinal ovalado:

Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, onúmero

482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 100 = 482.• Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma

potência de 20.

Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360

1 x 360 = 3602 x 360 = 1803 x 120 = 3604 x 90 = 3605 x 72 = 3606 x 60 = 3608 x 45 = 3609 x 40 = 36010 x 36 = 36012 x 30 = 36015 x 24 = 36018 x 20 = 360 © DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html )

Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamospartir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê umpalpite: como você acha que os maias escreviam 467?

– Não sabe?

Então vamos juntos:– Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias

escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20por 20. Dessa forma, para representar o número 467, porexemplo,

• Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava– 1x20x20, ou seja, 400.

• Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos,– o que significava 3x20, ou seja, 60.

• E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) edois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura aseguir:

E este número, qual é?

• 2012

Sistema numérico Maia: Regra geral

Sabendo que os números se representam da seguinteforma:

E que a regra é:

Torna-se fácil representar o número abaixo:

Calendário Maia

Calendário MaiaPara saber mais:http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html

A mudança de contagem a partirda 3ª casa surgiu, provavelmente,porque os sacerdotes –astrónomos – quiseram que estativesse um número aproximadoao número de dias do Ano Maia.

– O uso da potência de base 20corresponde ao factormultiplicativo de cada casa.

Espiral da Numeração Maia

No desenho ao lado:– A segunda coluna da esquerda, de cima

para baixo, contém os números 9,9,16,0,0,que indicam

• 9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 =1.366.560.

• Na terceira coluna estão os números9,9,9,16,0 representando 1.364.360.Imagem original de cor preta e vermelha

(Morley, 1915, p. 266)

Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200)

Número representado numa base de 205125 = 12x202 + 16x201 + 5x100

Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia

Sistema numérico Chinês: Primitivo

“Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun,

no distrito da província de An-Yang.

Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham

inscrições em caracteres chineses antigos.

A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também

conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C..

Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de

tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas.

Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no

lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que

surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados,

às questões colocadas.”

(Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html)

Sistema numérico Chinês: Primitivo

A importância desta descoberta, foipermitir um maior conhecimento sobreo sistema numérico da antiga China.

– Muitas das inscrições eram numéricase registavam o número de homensque perderam a vida na guerra, queforam feitos prisioneiros, o número desacrifícios feitos, o número de animaismortos numa caçada, etc. O sistemanumérico utilizado baseava-se nosistema decimal e permitia a adição ea multiplicação. Nesta imagem podemver-se os símbolos utilizados naquelaépoca.

Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos

O número 4359 é a representaçãográfica da natureza aditiva, senão veja-se, utiliza o

– símbolo que equivale a 4000;• Adiciona-lhe

– Símbolo que equivale a 300;• Adiciona-lhe

– Símbolo que equivale a 50;• Adiciona-lhe

– Símbolo que equivale a 9;Mas por não contemplar o zero vejacomo se representa o número 5080.

4000 + 300 + 50 + 9

5000 + 80 + 10

Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução

•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema denumérico tinha uma segunda finalidade, talvez maisprofunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelossacerdotes da época.

– Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma deescrita que visa colmatar algumas falhas em termosnuméricos,

• mas também esta não contemplava o zero.

Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução

Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam emfolhas de bambu com tinta preta.

– Como se pode observar na imagem abaixo, a• unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na

horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12ou mesmo 111.

Numeração chinesa, séc. IV a.C.

Representação do número 1234Representação do número 45698 Representação do número 60390

Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html

Sistema numérico Japonês/Chinês

Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-seo utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelosjaponeses.

– No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria erradoconsiderá-las um fenómeno isolado.

Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais eculturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com aEuropa.

– A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influênciasobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marcana ciência de outras sociedades.

• Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os númerosnegativos, que podem ter vindo da China para a Índia.

Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinaisfundamentais, respectivamente associados às nove unidades e àsquatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000).

– Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummenteempregue é o seguinte:

Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos

Por exemplo: Mais exemplos:

3x 100

Isto é, 1347.

Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual

Sistema numérico Egípcio

Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema denumeração escrita.

– Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquerinfluência estrangeira.

– "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos

tirados da fauna e da flora do Nilo”;– Tratava-se de um sistema numérico décimal.

Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos

– A origem do algarismo 1 foi"natural": a barra é o sinalgráfico mais elementar que oser humano possa imaginarpara a representação daunidade.

– A dezena constituiu odesenho de um cordão que,outrora, deve ter servido paraunir os bastonetes numpacote de dez unidades.

A numeração escrita egípcia foi fundada numabase rigorosamente decimal.

•Outra designação para cada um dos símbolos

Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema denumerais, sem usar hieróglifos, que

– registavam da direita para a esquerda.

Sistema numérico Egípcio: Potências

Sistema numérico Egípcio: Exemplos

Técnica de cálculo dos Egípcios

Com a ajuda deste sistema de numeração, osegípcios conseguiam efectuar todos os cálculos queenvolviam números inteiros.

– Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muitoespecial: todas as operações matemáticas eramefectuadas através de uma adição.

• Por exemplo, a multiplicação– 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.

13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

Técnica de cálculo dos Egípcios

A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam amultiplicação:

– Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas;• era simplesmente a soma das três colunas destacadas:

– 1 + 4 + 8 = 13• O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta

três colunas:– 9 + 36 + 72 = 117

– Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos noscálculos com números inteiros.

• Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades deexpressar um pedaço de alguma coisa através de um número.

– E para isso os números inteiros não serviam.

Sistema numérico Egípcio: Fracções

Sistema numérico Hindu

O desenvolvimento do sistema numérico actual começouno vale Hindu.

– Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares.– Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em

letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas.• Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo.

– No início era apenas um ponto que representava uma colunavazia num ábaco.

Sistema numérico Hindu

Actualmente aceitamos naturalmente os números queconhecemos. No entanto, nem sempre foi assim.

– Um milhão, um bilião, um trilião...• Sabemos que é possível contar para além de um milhão e

que podemos exprimir qualquer número que queiramos.Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares deanos.

– A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0,

• inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e800 d.C..

Sistema numérico Hindu:O Ábaco

Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram osistema posicional de numeração.

– $%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que asua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500anos.

– Colunas imaginárias baseadas em potências de dezrepresentavam as colunas do ábaco

– O valor posicional permite que qualquer dos dígitos representeum valor diferente.

• O algarismo 5 pode representar cinco unidades;

• 50 unidades (cinco dezenas),

• 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente.

Sistema numérico Hindu: O Ábaco

– O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadoresbabilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedrasse dispunham em colunas paralelas para representar osnúmeros.

Ex.: Representando o número 6302715408

Sistema numérico Hindu: O Ábaco

– O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma baseem metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferiore pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores equatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numaranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia1.

Numeração Hindu - O Ábaco

A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feitodeslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – nesteexemplo está representado o número 5648.

O Ábaco: alguns exemplares

Ábaco chinês

Ábaco Chinês - Suan Pan

Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe

Foram os Hindus (doNorte da índia) quecomeçaram a usar os

• símbolos numéricosque deram origem aos

• numerais queutilizamos,actualmente.

Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe

Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C.

Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos

– Cada algarismo tinha um nome:

– Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena,cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:

Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicasde Cálculo

Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e dovalor posicional surgiram os cálculos com os símbolos semo auxílio do ábaco.

– Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindusterão usado esses sinais numéricos, que os árabesadoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.

– Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito.Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolopara designar o zero.

• Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7,ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao“nada” das dezenas.

Expansão do Sistema numérico Hindu

O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição esubtracção segundo o método hindu” (tradução livre).

– Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenaschegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde.

– Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numagruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos,1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução dessesnúmeros na Europa em 1300 d.C..

Sistema numérico Grego

Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europaocidental através da civilização árabe.

– Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo noscálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método gregode representação de números com letras, que puseram de lado quandodescobriram o sistema hindu de numeração.

Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia

Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos

Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muitosimilar ao utilizado pelo sistema numérico Romano.

– Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico acada um deles.

– Sendo a sequência a seguinte:

• a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,50000.

Sistema numérico Grego: Exemplo

Sistema numérico Grego: Tabuada

Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais:http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm))

“This is a multiplication table dating from ca.100

AD. The ancient Greek numbering system was

based on their alphabet of 24 letters plus three

other symbols borrowed from the alphabets of

trading partners.

The numbers 1 through 10 are written across the

top and down the left column in the same pattern

we often see today. They continued using

additional letters for multiples of 10 and 100.

See if you can find these examples in the table.”

Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras

Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual.

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicaçãoexistentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/

Sistema numérico Grego: Fibonacci

O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução dosistema de numeração hindu na Europa.

– Viveu entre 1170 e 1250.

– Na sua juventude viajou bastante pela África, MédioOriente e, provavelmente, pela Índia.

– Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursosde matemática e tornou-se famoso como matemático.

• Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seulivro demonstrando como

– "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se

escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem serusados na aritmética.

Sistema numérico Grego: Fibonacci

Sequência de FibonaciQual é o número?

• Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de númerosque viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeirosnúmeros de Fibonacci.

– Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Sistema numérico Romano

Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos,atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendoporque ao conquistar territórios aprendia com oscolonizados. Apesar disso,

– ao nível da numeração e, durante toda a sua existência,manteve um sistema de contagem que se revelouprofundamente complicado e pouco operacional, o quedenota um certo arcaísmo ao nível do pensamento.

Sistema numérico Romano-Romano

– Mais antigo documento Romano que exibe a representaçãoda escrita de número muito grande. (Sistema Romano-Romano)

• Algarismo (((I))) representava 100.000• Sofrendo alterações

Sistema Romano Moderno C = 100.000

Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/

98Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/

Para saber mais:http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematics.html#Ancient

Sistema numérico Romano: Evolução

Tanto quanto se sabe, este era o único sistema deescrita numérica usado na antiga Roma e Europa, atépor volta de 900 d.C., altura em que a numeraçãoárabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada.Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes teremalargado as suas Rotas Comerciais e posteriormenteexpandido o seu domínio territorial.

Sistema numérico Romano: Primórdios

Apesar destes numerais serem suficientes para escreverqualquer número sem confusões, acontecia haver númeroscom um elevado uso de símbolos gráficos

• A título de exemplo apresenta-se o número: 5878 MMMMMDCCCLXXVIII.

• As multiplicações e divisões eram praticamenteimpossíveis

Sistema numérico Romano

Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, anumeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio daadição dos seus algarismos

• eram independentes uns dos outros. A sua justaposiçãoimplicava geralmente na soma dos valores correspondentes:

CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187

MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649

!D"#$ %&

1000500100501051

Sistema numérico Romano: Regras

Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexoquando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram:

1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo

de três vezes.

2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os

símbolo numérico respectivo. Por ex.:

3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor

numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.:

MCDC#XVIIIVIIVI

110060060876

CMCDXCXLIXIV

900400904094

Regras: Numeração Romana

• Todo símbolo numérico:– com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e

• o símbolo numérico que apresenta– dois traços sobre ele representa o milhão.

Sistema numérico Romano: Símbolos

Os romanos usaram o alfabeto para representar números.– Ainda hoje a numeração romana é usada.

!'"$"#$$$#$$#$#$#$$$

1000500100908070605040 30

$$$($)$*$+$ %$,$-./

201918171615 14131211

$()*+%,-0&

10987654321

Numeração Romana: Exemplos

• Exemplos:!!"### = 28!!!#! = 39$$$!$"## = 397%&$$$!"###'= 1818%%!'= 2010

Numeração Romana: Cálculos

Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplosdígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa.

• Apesar disso “o sistema de numeração romana era o

sistema predominante na Itália até o século XVIII e em

outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o

século XVI."

Numeração Romana: Cálculos

Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam paraefectuar operações aritméticas.

– São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números.Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam osÁbacos para efectuar os seus cálculos.

• Introduzindo algumas alterações no formato inicial,nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte,tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática deutilizar...

Numeração Árabe versus Babilónica

Evolução sistemas de numeração

Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução

– Na primeira linha da imagem, numerais de há1000 anos.

– Na segunda, há 800 anos.– Na terceira, há 600 anos.– Na última, numeração actual.

Evolução:Sistema de numeração Hindu/Árabe

Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV)

Evolução da Numeração Árabe:Escrita cursiva

– Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dosalgarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação:

Evolução da Numeração Árabe:Escrita cursiva

– Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismosárabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dosrespectivos ângulos:

Numeração Árabe:Representação gráfica/fonética

Numeração Árabe:Representação Polinomial

Referências bibliográficas

Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics.

Washington: Carnegie Institution.Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a

matemática”. São Paulo: Scipione.Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:

Livraria Sá da Costa Editora.Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1.

New York: Oxford University Press.Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág.

146.Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics.

Moscow: MIR Publishers.Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia

sistemas numéricos: evolução

Documents

integración de modelos numéricos de predicción...

sistemas numéricos -...

historia dos computadores e sistemas numéricos

métodos numéricos c - · pdf filemétodos numéricos c a....

métodos numéricos para sistemas lineares

sistemas numÉricos y su didÁctica para...

sistemas numéricos

evolução dos sistemas operativos imc

cálculo numérico / métodos numéricos solução de...

evolução dos sistemas de automação

capítulo 04 : sistemas numéricos · 2015-03-03 · 1.2 -...

conjuntos numéricos - equipe alfacon concursos pú · pdf...

resolução de sistemas lineares por métodos numéricos

apresentação de sistemas numéricos - bits bytes

sistemas numéricos e a representação interna dos dados no

evolução dos principais sistemas operativos

icc-04 sistemas numéricos

aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas...

apostila de introdução aos métodos numéricos de...

métodos numéricos i - norg · métodos numéricos i a....