sistemas de numeração e conversão de bases

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CONVERSÃO

Material elaborado por Leandro Costa Coelho ( leandrocosta2@gmail.com ) para a disciplina de Tópicos Avançados ( TAV )

INTRODUÇÃO

INTR

OD

UÇ

ÃO

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Atualmente, o sistema de numeração decimal é o sistema mais importante e maisutilizado por nós, seres humanos, para a representação de quantidades em geral,sendo este reconhecido universalmente.

No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de um sistema denumeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o sistema binário.

Tendo em vista esta interoperabilidade de sistemas, esta aula visa apresentar ossistemas de numeração utilizados no mundo computacional e demonstrar, atravésde cálculos matemáticos, como efetuar a conversão de uma determinada base paraoutra, tendo sempre como base intermediária, a base decimal.

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

SISTEM

AS

DE

NU

MER

AÇ

ÃO

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Dentro do mundo computacional, os sistemas de numeração utilizados atualmentesão esses: decimal, binário, octal e o hexadecimal. Então, vamos conhecer cada umdeles...

Decimal – Base 10

Sistema no qual possui 10 algarismos para representá-lo, quesão estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Binário – Base 2

Sistema no qual possui 2 algarismos para representá-lo, quesão estes: 0 e 1.

Octal – Base 8

Sistema no qual possui 8 algarismos para representá-lo, quesão estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Hexadecimal – Base 16

Sistema no qual possui 16 algarismos para representá-lo, quesão estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.

Equivalências: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15.

Observações Gerais

Reparem que o maior algarismo de um sistema de numeraçãosempre será ( base – 1 ).

Tabela de Valores

Decimal Binário Octal Hexadecimal

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

CONVERSÃO ENTRE BASES

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Agora que já conhecemos cada uma das bases e suas respectivas particularidades,passemos a parte que aborda sobre os cálculos matemáticos utilizados paraconverter uma base numérica em outra.

Cabe lembrar que será utilizado o sistema de numeração decimal ( base 10 ) comobase intermediária entre as converções numéricas, mas que existem métodos deconversão direta como, por exemplo, de octal para binário etc., que não serãoabordados aqui, mas que seria interessante se você, aluno, se aprofundasse neles.

Então, vamos ao que interessa...

CONVERSÃO BINÁRIO >>> DECIMAL

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( BIN

ÁR

IO>>> D

ECIM

AL

)Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão binário >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do númerobinário pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrandoque a base do número binário é 2.

Ex: 101102 => ______ 10

24 23 22 21 20

1 0 1 1 0

Em seguida, efetuamos o cálculo:

1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 22

101102 => 2210

CONVERSÃO DECIMAL >>> BINÁRIO

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( DEC

IMA

L>>> B

INÁ

RIO

)Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão decimal >>> binário consiste em dividir o número decimal pela base 2, obtendo um resultadoe um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos umresultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo oprimeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.

Ex: 2210 => ______ 2

22 2

02 11 2

0 1 5 2

1 2 2

0 1 Resultado da última divisãoSequência dos números

Sentido: ascendente

Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos oresultado: 10110

2210 => 101102

CONVERSÃO OCTAL >>> DECIMAL

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( OC

TAL

>>> DEC

IMA

L)

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão octal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número octalpela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que abase do número octal é 8.

Ex: 6278 => ______ 10

82 81 80

6 2 7

Em seguida, efetuamos o cálculo:

6 * 82 + 2 * 81 + 7 * 80 = 407

6278 => 40710

CONVERSÃO DECIMAL >>> OCTAL

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( DEC

IMA

L>>> O

CTA

L)

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão decimal >>> octal consiste em dividir o número decimal pela base 8, obtendo um resultado eum resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultadoque não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeirodígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.

Ex: 40710 => ______ 8

407 8

7 50 8

2 6 Resultado da última divisãoSequência dos números

Sentido: ascendente

Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos oresultado: 627

40710 => 6278

CONVERSÃO HEXADECIMAL >>> DECIMAL

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( HEX

AD

ECIM

AL

>>> DEC

IMA

L)

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão hexadecimal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo donúmero hexadecimal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número,lembrando que a base do número hexadecimal é 16.

Ex: CF8016 => ______ 10

163 162 161 160

12 15 8 0

Em seguida, efetuamos o cálculo:

12 * 163 + 15 * 162 + 8 * 161 + 0 * 160 = 53120

CF8016 => 5312010

OBS: Não esqueça de transformar as letras em

números!

A = 10 | B = 11 | C = 12D = 13 | E = 14 | F = 15

CONVERSÃO DECIMAL >>> HEXADECIMAL

CO

NV

ERSÃ

OE

NTR

EB

ASES

( DEC

IMA

L>>> H

EXA

DEC

IMA

L)

Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

A conversão decimal >>> hexadecimal consiste em dividir o número decimal pela base 16, obtendo umresultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termosum resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendoo primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.

Ex: 5312010 => ______ 16

53120 16

51 3320 16

32 120 207 16

00 8 47 12

0 15

Resultado da última divisãoSequência dos números

Sentido: ascendente

Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos oresultado: CF80

5312010 => CF8016

OBS: Não esqueça de transformar os números em

letras!

A = 10 | B = 11 | C = 12D = 13 | E = 14 | F = 15

CONCLUSÃO

CO

NC

LUSÃ

OSistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Agora que você já conheceu cada uma das bases numéricas, suasrespectivas particularidades e aprendeu como é o processo de conversãoentre elas, você está pronto para seguir para os próximos slides e fazeralguns exercícios, que abordam o conteúdo aprendido nesta aula e que lheajudarão a fixar bem o mesmo.

Então, vamos ao que interessa...

EXERCÍCIOS

EX

ERC

ÍCIO

SSistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Converta as Bases Numéricas

5010 => ______ 2 7510 => ______ 2

1100112 => ______ 10 10012 => ______ 10

29610 => ______ 8 100010 => ______ 8

1428 => ______ 10 77658 => ______ 10

22310 => ______ 16 1688910 => ______ 16

7A216 => ______ 10 FADA16 => ______ 10

BIBLIOGRAFIA

BIB

LIOG

RA

FIASistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO

Livros

Internet

1. André Garcia, Professor – Apostila de Técnicas Digitais -http://www.tecmos.com.br/APOSTILA%20%20%20DE%20T%C9CNICAS%20DIGITAIS.doc

2. Wikipedia – Conversão entre Sistemas Numéricos -http://pt.wikipedia.org/wiki/Convers%C3%A3o_entre_sistemas_num%C3%A9ricos

Outros Materiais

1. Márcio Gonçalves, Professor – Notas de Aula – Matéria Arquitetura de Computadores I – IST-RIO / 2004