sinais e sistemas - bem-vindo - departamento de física da...
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Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Licenciatura em Engenharia Biomédica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Sinais e Sistemas
Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Tópicos: Representações de Fourier de Sinais Compostos
Introdução
Transformada de Fourier de Sinais Periódicos
Convolução e Multiplicação por Composição de
Sinais Periódicos
Não- Periódicos
Transformada de Fourier de Sinais Discretos no Tempo
Amostragem
Reconstrução de Sinais a partir de Amostras
Processamento Discreto no Tempo de Sinais Contínuos
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Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Introdução: Em sistemas é muito comum coexistirem sinais que são representados de formas diferentes (DTFS, FS, DTFT, FT) e que se misturam.
Em particular as seguintes classes de sinais podem ser misturados:
Sinais Periódicos e não-periódicos
Sinais Contínuos e Discretos
Exemplos:
Um sinal periódico é aplicado a um SLIT e a saída corresponde à convolução da resposta a impulso (sinal não-periódico) e o sinal de entrada (sinal periódico).
Um sinal contínuo é amostrado e processado.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos : A representação de um sinal periódico é
Sendo a frequência fundamental do sinal. Aplicando o par seguinte
e a propriedade do deslocamento em frequência aplicado a um impulso
A expressão anterior obtemos
€
x t( ) = X k[ ]e jkω0t
k=−∞
∞
∑Frequência fundamental
€
x t( )
€
x t( ) = X k[ ]e jkω0t
k=−∞
∞
∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos : Podemos concluir que a FT de um sinal periódico é uma série de
impulsos espaçados da frequência fundamental
A expressão mostra como converter entre representações FT e FS de um sinal periódico.
€
x t( ) = X k[ ]e jkω0t
k=−∞
∞
∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação de um co-seno
Substituindo os coeficientes em
Obtemos €
cos ω0t( ) FS,ω0← → X k[ ] =12 , k = ±10, k ≠ ±1
€
cos ω0t( ) FT← → X jω( ) = πδ ω −ω0( ) + πδ ω +ω0( )
€
x t( ) = X k[ ]e jkω0t
k=−∞
∞
∑ FT← → X jω( ) = 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação de trem de impulsos Se é um trem de impulsos sinal de período e frequência
Os coeficientes FS são dados por
Substituindo em
Desse modo obtemos
um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na frequência.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação de trem de impulsos Um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na
frequência.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos : A representação DTFS para um sinal N-periódico é
Sendo a frequência fundamental do sinal. De forma similar ao caso anterior obtemos uma expressão que relaciona a DTFS e a DTFT.
A partir dos coeficientes da DTFS e a frequência fundamental podemos obter a representação para a DTFT.
Frequência fundamental
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos : A partir dos coeficientes da DTFS e a frequência fundamental
podemos obter a representação para a DTFT.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico Determinar a transformada inversa DTFT da representação espectral da figura abaixo
com
que se expressa por
Utilizando o par
Conclui-se
€
x n[ ] = X k[ ]e jkΩ0n
k= 0
N−1
∑ DTFT← → X e jΩ( ) = 2π X k[ ]δ Ω− kΩ0( )k=−∞
∞
∑
€
X k[ ] = 14πj ,k =1; X k[ ] = − 1
4πj ,k = −1; 0,outros−1≤ k ≤ N − 2( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico A partir dos coeficientes
Podemos determinar o sinal original
€
x n[ ] = 12π
12 j e
jΩ1n − e− jΩ1n( )[ ] = 12π sin Ω1n( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos :
Exemplo: Representação DTFT de um sinal Periódico Determinar a transformada inversa DTFT da representação espectral da
figura abaixo com
um trem de impulsos no tempo é ainda um trem de impulsos na frequência.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Convolução de Sinais Compostos: Convolução de Sinais Periódico e Não- Periódicos
Utilizando as expressões anteriores que relaciona a FT de um sinal periódico e a propriedade de deslocamento para um trem de impulsos chegamos à relação
Este par permite estabelecer a relação, no domínio da frequência, entre a mistura de um sinal periódico e um sinal não-periódico .
Resposta a Impulso Sinal de Entrada
€
y t( ) = x t( )∗ h t( ) FT← → Y jω( ) = 2π H jkω0( )X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Convolução de Sinais Compostos: Convolução de Sinais Periódico e Não- Periódicos
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos:
Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT Considere um SLIT com a seguinte resposta a impulso
ao qual é aplicado o sinal periódico seguinte
Pretende-se determinar a saída do sistema recorrendo às propriedades da convolução.
€
y t( ) = x t( )∗ h t( ) FT← → Y jω( ) = 2π H jkω0( )X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos: Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT
A resposta em frequência do SLIT é
Pela expressão
Como
O produto é dado por
mostrando que actua como um filtro passa - baixo.
€
y t( ) = x t( )∗ h t( ) FT← → Y jω( ) = 2π H jkω0( )X k[ ]δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TF’s de Sinais Periódicos: Exemplo: Entrada Periódica a um SLIT
Sendo o produto expresso graficamente por
Utilizando a FT inversa obtemos a saída.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Multiplicação de Sinais Compostos: Multiplicação de Sinais Periódico e Não- Periódicos
Sendo periódico e tendo em atenção a propriedade de deslocamento da função impulso chegamos à relação
A multiplicação de com a função periódica dá origem a uma FT que é uma soma pesada de versões deslocadas de .
Sinal “Gate”
Sinal de Entrada
€
y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = 12π G jω( )∗ X jω( )
€
y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = X k[ ]G j ω − kω0( )( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Multiplicação de Sinais Compostos: Multiplicação de Sinais Periódico e Não- Periódico
Sinal “Gate” Sinal de Entrada
€
y t( ) = g t( )x t( ) FT← → Y jω( ) = X k[ ]G j ω − kω0( )( )k=−∞
∞
∑
A multiplicação com a função periódica dá origem a uma FT que é uma soma pesada de versões deslocadas do espectro do sinal periódico.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TFs de Sinais Discretos no Tempo: Considerando a representação DTFT de um sinal discreto arbitrário
Pretendemos obter o par correspondente ao par DTFT em que é o sinal contínuo no tempo que corresponde a e corresponde à DTFT de .
€
X e jΩ( ) = x n[ ]e− jΩnk=−∞
∞
∑
€
x n[ ] DTFT← → X e jΩ( )
€
xδ t( ) DTFT← → Xδ jω( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
TFs de Sinais Discretos no Tempo: A representação contínua no tempo e correspondente a
corresponde a uma descrição amostrada do sinal com período cuja relação com a frequência discreta através de
€
x n[ ]
€
Ω =ωTs
€
xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞
∞
∑ FT← → Xδ jω( ) = x n[ ]e− jωTs nn=−∞
∞
∑
€
xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: A amostragem de um sinal contínuo no tempo é uma operação
que gera um sinal discreto no tempo e permite operações de processamento do sinal por computadores.
O sinal discreto corresponde a um conjunto de amostras do sinal que são múltiplos inteiros de um sinal amostrado
Sendo podemos estabelecer
com
representando o sinal amostrado como produto do sinal contínuo com um trem de impulsos.
Esta representação é designada amostragem impulsional.
€
x n[ ]
€
x n[ ] = x nTs( )
€
xδ t( ) = x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞
∞
∑
€
xδ t( ) = x nTs( )δ t − nTs( )n=−∞
∞
∑
€
p t( ) = δ t − nT( )n=−∞
∞
∑
€
xδ t( ) = x t( )p t( )€
x nTs( )δ t − nTs( ) = x t( )δ t − nTs( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: A multiplicação corresponde à convolução no
domínio da frequência dada por
Como a relação vem
com a frequência de amostragem
A convolução final vem
O espectro FT de um sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas do espectro do sinal antes da sua amostragem
€
P jω( ) = 2πTs
δ ω − kω0( )k=−∞
∞
∑
€
Xδ jω( ) = 12π X jω( )∗P jω( )
€
Xδ jω( ) = 1Ts
X j ω − kωs( )( )k=−∞
∞
∑
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem:
Banda do Sinal
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem:
aliasing
O “aliasing” é um fenómeno em que as componentes de alta-frequência do sinal continuo amostrado se identificam com as componentes de baixa frequência do sinal discreto. Ocorre sempre que a frequência de amostragem é inferior a 2xW.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: A frequência de amostragem deve ser sempre o que implica
que a condição
deve ser satisfeita para ser possível obter um espectro “limpo” e recuperar o sinal posteriormente.
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: Para sinais discretos
A DTFT do sinal amostrado é obtido de utilizando a relação com
com a variável independente
o que implica
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem:
Espectro periódico
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: Exemplo: Amostragem de uma sinusóide
Considere o sinal
Determine a FT do sinal amostrado para os intervalos de amostragem
A FT do sinal é
Graficamente:
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem: Exemplo: Amostragem de uma sinusóide
Sendo
e substituindo em:
Obtemos
sendo um par de impulsos separados de mas centrados numa frequência que é um múltiplo inteiro da frequência de amostragem .
Sendo as respectivas frequências de amostragem serão €
Xδ jω( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Amostragem:
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: A reconstrução de um sinal contínuo no tempo envolve a mistura de sinais discretos
no tempo e contínuos no tempo.
O problema da reconstrução revela-se difícil e é necessário que determinadas condições se cumpram para que a reconstrução seja possível.
Notar que as amostras, por si, não revelam nada sobre o comportamento do sinal entre o intervalo das amostras
Slide 33 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais:
Uma das restrições é assegurar que o sinal reconstruído realize uma transição entre as diferentes amostras. Esta restrição está relacionada com a frequência máxima do sinal e corresponde a limitar a largura de banda do sinal.
Seja a representação de um sinal de banda limitada tal que para . Se ,com a frequência de amostragem, então o sinal pode ser reconstruído a partir das amostras .
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Exemplo: Selecção do intervalo de Amostragem
Sendo determine a condição para o intervalo de amostragem de forma que exista uma única solução para a reconstrução de .
Fazendo a FT do sinal podemos determinar a máxima frequência presente no sinal .
Sendo a respectiva frequência de amostragem deverá ser
€
Ts
€
x t( ) = sin 10πt( ) πt
€
x t( )
€
x t( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Ideal
Se o par existe então a representação do sinal amostrado é
O objectivo da reconstrução é aplicar uma operação a que permita obter . Isso equivale a realizar a multiplicação do espectro pelo filtro
€
X jω( ) = Xδ jω( )Hr jω( )
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Ideal
Sendo a multiplicação do espectro dada por
com e .
Sendo o resultado da convolução dado por
€
x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = hr t( )∗ x n[ ]δ t − nTs( )n=−∞
∞
∑
= x n[ ]hr t − nTs( )n=−∞
∞
∑ = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞
∞
∑
Soma pesada de espectros
Slide 37 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
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Slide 38 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Ideal
€
x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞
∞
∑
Slide 38 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Ideal
A operação descrita por
é ideal e não pode ser realizada na prática porque:
- É não- causal (depende de valores de valores futuros da entrada x[n]
- A influência de cada amostra tem extensão temporal infinita.
Reconstrução Prática – Sample & Hold
Causa transições abruptas na saída e uma aproximação “em escada” do sinal de saída
€
x t( ) = hr t( )∗ xδ t( ) = x n[ ]sinc ωs t − nTs( ) 2π( )n=−∞
∞
∑
Slide 39 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
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Slide 40 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Prática – Sample & Hold
O sistema “Sample & Hold” ou “Zero-order hold” pode ser representado por uma composição de sinais de pulso deslocados de múltiplos inteiros do intervalo de amostragem.
A convolução da entrada pelo sistema “sample & hold” é
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Prática – Sample & Hold
De forma equivalente
Cujo espectro é
Que introduz modificações no
sinal
- Imagens atenuadas
- Distorção na amplitude
- Fase linear
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Reconstrução de Sinais: Reconstrução Prática – Sample & Hold
A compensação destas modificações é feita com um filtro especial cujo espectro é
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Processamento Discreto de Sinais: O sistema típico de conversão de sinais contínuos e
processamento discreto tem vários blocos de processamento
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Processamento Discreto de Sinais: Sobre amostragem
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Cap. 4 - Rep. de Fourier de Sinais Compostos
Sumário
Transformada de Fourier de Sinais Periódicos
Convolução e Multiplicação por Composição de
Sinais Periódicos
Não- Periódicos
Transformada de Fourier de Sinais Discretos no Tempo
Amostragem
Reconstrução de Sinais a partir de Amostras
Processamento Discreto no Tempo de Sinais Contínuos
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